高中数学选修2-3优质学案12：§1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
- 格式：doc
- 大小：34.43 KB
- 文档页数：5
§1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理（二）
课堂讲练
题型一选(抽)取与分配问题
典例某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人，有多少种不同的选法？
类题通法
选(抽)取与分配问题的常见类型及其解法
(1)当涉及对象数目不大时，一般选用枚举法、树形图法、框图法或者图表法．
(2)当涉及对象数目很大时，一般有两种方法：
①直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理．一般地，若抽取是有顺序的就按分步进行；若按对象特征抽取的，则按分类进行．
②间接法：去掉限制条件计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可．
活学活用
1．甲、乙、丙3个班各有三好学生3,5,2名，现准备推选2名来自不同班的三好学生去参加校三好学生代表大会，共有________种不同的推选方法．
2．图书馆有8本不同的有关励志教育的书，任选3本分给3个同学，每人1本，有________种不同的分法．
题型二用计数原理解决组数问题
典例用0,1,2,3,4五个数字，
(1)可以排出多少个三位数字的电话号码？
(2)可以排成多少个三位数？
(3)可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？
类题通法
组数问题的常见类型及解决原则
(1)常见的组数问题
①组成的数为“奇数”“偶数”“被某数整除的数”；
②在某一定范围内的数的问题；
③各位数字和为某一定值问题；
④各位数字之间满足某种关系问题等．
(2)解决原则
①明确特殊位置或特殊数字，是我们采用“分类”还是“分步”的关键．一般按特殊位置(末位或首位)由谁占领分类，分类中再按特殊位置(或特殊元素)优先的策略分步完成；如果正面分类较多，可采用间接法求解．
②要注意数字“0”不能排在两位数字或两位数字以上的数的最高位．
活学活用
1．从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数．其中奇数的个数为()
A．24B．18
C．12 D．6
2．如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1<a2且a3<a2，则称这样的三位数为凸数(如120,342,275等)，那么所有凸数个数是多少？
题型三用计数原理解决涂色(种植)问题
典例如图所示，要给“优”、“化”、“指”、“导”四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同的颜色，有多少种不同的涂色方法？
类题通法
求解涂色(种植)问题一般是直接利用两个计数原理求解，常用方法有：
(1)按区域的不同以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理分析；
(2)以颜色(种植作物)为主分类讨论，适用于“区域、点、线段”问题，用分类加法计数原理分析；
(3)对于涂色问题将空间问题平面化，转化为平面区域涂色问题．
活学活用
有4种不同的作物可供选择种植在如图所示的4块试验田中，每块种植一种作物，相邻的试验田(有公共边)不能种植同一种作物，共有多少种不同的种植方法？
——★参考答案★——
课堂讲练
题型一选(抽)取与分配问题
典例解：由题意9人中既会英语又会日语的“多面手”有1人．则可分三类：
第一类：“多面手”去参加英语时，选出只会日语的一人即可，有2种选法．
第二类：“多面手”去参加日语时，选出只会英语的一人即可，有6种选法．
第三类：“多面手”既不参加英语又不参加日语，则需从只会日语和只会英语中各选一人，有2×6＝12(种)方法．
故共有2＋6＋128＝20(种)选法．
活学活用
1．[[答案]]31
[[解析]]分为三类：第一类，甲班选一名，乙班选一名，根据分步乘法计数原理有3×5＝15种选法；
第二类，甲班选一名，丙班选一名，根据分步乘法计数原理有3×2＝6种选法；
第三类，乙班选一名，丙班选一名，根据分步乘法计数原理有5×2＝10种选法．
综合以上三类，根据分类加法计数原理，共有15＋6＋10＝31种不同选法．
2．[[答案]]336
[[解析]]分三步进行：第一步，先分给第一个同学，从8本书中选一本，共有8种方法；第二步，再分给第二个同学，从剩下的7本中任选1本，共有7种方法；第三步，分给第三个同学，从剩下的6本中任选1本，共有6种方法．所以不同分法有8×7×6＝336种．
题型二用计数原理解决组数问题
典例解：(1)三位数字的电话号码，首位可以是0，数字也可以重复，每个位置都有5种排法，共有5×5×5＝53＝125(种)．
(2)三位数的首位不能为0，但可以有重复数字，首先考虑首位的排法，除0外共有4种方法，第二、三位可以排0，因此，共有4×5×5＝100(种)．
(3)被2整除的数即偶数，末位数字可取0,2,4，因此，可以分两类，一类是末位数字是0，则有4×3＝12(种)排法；一类是末位数字不是0，则末位有2种排法，即2或4，再排首位，因0不能在首位，所以有3种排法，十位有3种排法，因此有2×3×3＝18(种)排法．因而有12＋18＝30(种)排法．即可以排成30个能被2整除的无重复数字的三位数．
活学活用
1．[[答案]]B
[[解析]]由于题目要求是奇数，那么对于此三位数可以分成两种情况：奇偶奇，偶奇奇．如果是第一种奇偶奇的情况，可以从个位开始分析(3种情况)，之后十位(2种情况)，最后百位(2种情况)，共12种；如果是第二种情况偶奇奇：个位(3种情况)，十位(2种情况)，百位(不能是0，一种情况)，共6种．因此总共有12＋6＝18种情况．故选B．
2．解：分8类，当中间数为2时，百位只能选1，个位可选1、0，由分步乘法计数原理，
有1×2＝2个；
当中间数为3时，百位可选1,2，个位可选0,1,2，由分步乘法计数原理，有2×3＝6个；同理可得：
当中间数为4时，有3×4＝12个；
当中间数为5时，有4×5＝20个；
当中间数为6时，有5×6＝30个；
当中间数为7时，有6×7＝42个；
当中间数为8时，有7×8＝56个；
当中间数为9时，有8×9＝72个．
故共有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240个．
题型三用计数原理解决涂色(种植)问题
典例解：优、化、指、导四个区域依次涂色，分四步．
第1步，涂“优”区域，有3种选择．
第2步，涂“化”区域，有2种选择．
第3步，涂“指”区域，由于它与“优”、“化”区域颜色不同，有1种选择．
第4步，涂“导”区域，由于它与“化”“指”区域颜色不同，有1种选择．
所以根据分步乘法计数原理，得不同的涂色方法共有3×2×1×1＝6(种)．
活学活用
解：法一：第一步：种植A试验田有4种方法；
第二步：种植B试验田有3种方法；
第三步：若C试验田种植的作物与B试验田相同，则D试验田有3种方法，此时有1×3＝3种种植方法．
若C试验田种植的作物与B试验田不同，则C试验田有2种种植方法，D也有2种种植方法，共有2×2＝4种种植方法．
由分类加法计数原理知，有3＋4＝7种方法．
第四步：由分步乘法计数原理有N＝4×3×7＝84种不同的种植方法．
法二：(1)若A，D种植同种作物，则A、D有4种不同的种法，B有3种种植方法，C也有3种种植方法，由分步乘法计数原理，共有4×3×3＝36种种植方法．
(2)若A，D种植不同作物，则A有4种种植方法，D有3种种植方法，B有2种种植方法，C有2种种植方法，由分步乘法计数原理，共有4×3×2×2＝48种种植方法．
综上所述，由分类加法计数原理，共有N＝36＋48＝84种种植方法．。
