【名师点睛】高中数学苏教版必修2第二章第1课时《直线的斜率》word配套练习1

§2.1直线与方程2．1.1直线的斜率一、基础过关1．对于下列命题①若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180°；②若k是直线的斜率，则k∈R；③任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率；④任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角．其中正确的有________个．2．斜率为2的直线经过点A(3,5)、B(a,7)、C(－1，b)三点，则a、b的值分别为________和________．3．直线经过原点和点(－1，－1)，它的倾斜角是__________．4．直线l过原点(0,0)，且不过第三象限，那么l的倾斜角α的取值范围是______________．5．若图中直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则k1、k2、k3的大小关系为______________．6．若直线AB与y轴的夹角为60°，则直线AB的倾斜角为________，斜率为________．7．如图所示，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，求菱形ABCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率．8．一条光线从点A(－1,3)射向x轴，经过x轴上的点P反射后通过点B(3,1)，求P点的坐标．二、能力提升9．下列说法中：①任何一条直线都有惟一的倾斜角；②任何一条直线都有惟一的斜率；③倾斜角为90°的直线不存在；④倾斜角为0°的直线只有一条．其中正确的有________个．10．已知直线l的倾斜角为α－20°，则α的取值范围是____________．11．设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为________．12．△ABC 为正三角形，顶点A 在x 轴上，A 在边BC 的右侧，∠BAC 的平分线在x 轴上，求边AB 与AC 所在直线的斜率．三、探究与拓展13．已知实数x ，y 满足y ＝－2x ＋8，当2≤x ≤3时，求y x的最大值和最小值．答案 1．3 2．4 －3 3．45°4．90°≤α<180°或α＝0°5．k 1<k 3<k 26．30°或150° 33或－337．解 直线AD ，BC 的倾斜角为60°，直线AB ，DC 的倾斜角为0°，直线AC 的倾斜角为30°，直线BD 的倾斜角为120°.k AD ＝k BC ＝3，k AB ＝k CD ＝0，k AC ＝33，k BD ＝－ 3. 8．解 设P (x,0)，则k PA ＝3－0－1－x ＝－3x ＋1，k PB ＝1－03－x ＝13－x，依题意， 由光的反射定律得k PA ＝－k PB ，即3x ＋1＝13－x，解得x ＝2，即P (2,0)． 9．110．20°≤α<200°11．当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾斜角为α－135°12．解 如右图，由题意知∠BAO ＝∠OAC ＝30°，∴直线AB 的倾斜角为180°－30°＝150°，直线AC 的倾斜角为30°，∴k AB ＝tan 150°＝－33， k AC ＝tan 30°＝33. 13．解 y x ＝y －0x －0其意义表示点(x ，y )与原点连线的直线的斜率． 点(x ，y )满足y ＝－2x ＋8，且2≤x ≤3，则点(x ，y )在线段AB 上，并且A 、B 两点的坐标分别为A (2,4)，B (3,2)，如图所示．则k OA ＝2，k OB＝23.所以得y x 的最大值为2，最小值为23.。

．直线与方程
．直线的斜率
．理解直线的倾斜角和斜率的概念及它们之间的关系．(难点)
．掌握过两点的直线斜率计算公式．(重点)．了解直线的倾斜角的范围，能根据直线的倾斜角求出直线的斜率．(易错
点)
[基础·初探]
教材整理直线的斜率
阅读教材～例，完成下列问题．
已知两点(，)，(，)，如果≠，那么直线的斜率为＝
(
≠
)，如果＝，那么直线的斜率
．
不存在
．若直线过点()，(＋)，则此直线的斜率是．
【解析】过点()，(＋)的斜率＝＝.
【答案】
．若直线的斜率为－，其中(－，－)，()，则的值是.
【导学号：】【解析】∵＝－，∴＝－.
【答案】－
教材整理直线的倾斜角
阅读教材～，完成下列问题．
．直线的倾斜角
在平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，把轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角，并规定：与轴平行或重合的直线的倾斜角为°.
倾斜角α的范围为°≤α<°.
．直线的斜率与倾斜角的关系
()从关系式上看：若直线的倾斜角为α(α≠°)，则直线的斜率＝α.
()从几何图形上看：
．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
()任意一条直线都有倾斜角，也都有斜率．(×)
()平行于轴的直线的倾斜角是°或°.(×)
()若两条直线的倾斜角相等，则它们的斜率也相等．(×)
()若是直线的斜率，则∈.(√)
．直线的倾斜角α＝°，则其斜率为．
【解析】直线的斜率为°＝－°＝－.。

第2章 平面解析几何初步2.1 直线与方程2.1.1 直线的斜率5分钟训练(预习类训练,可用于课前)1.过点P(1,3)和Q(0,5)的直线的斜率为( )A.2B.-2C.21D.21- 思路解析：考查直线斜率的求法.由于直线上有两已知点,故用斜率公式求之.由斜率公式知21035-=--=k . 答案：B2.已知直线l 1的斜率为0,且直线l 1⊥l 2,则直线l 2的倾斜角为( )A.0°B.90°C.135°D.180° 思路解析：考查垂直两直线倾斜角之间的关系.因为l 1的斜率为零,其倾斜角为0°,所以l 2的倾斜角为90°，可作图后利用“数形结合”的思想解决.答案：B3.直线l 经过(0,0)、(1,3-)，则直线l 的倾斜角为__________.思路解析：考查直线斜率和倾斜角之间的关系.由斜率公式知30103-=---=k ，由斜率与倾斜角的关系知3-=tanα，且α∈［0,π)，所以α=32π. 答案：32π 10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.与y 轴平行的一条直线,其倾斜角为α,则α( )A.等于0°B.等于45°C.等于90°D.不存在思路解析：考查倾斜角的定义.在平面直角坐标系中作出任一条与y 轴平行的直线,这条直线与x 轴相交且可以看成是由x 轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转90°后得到的,由倾斜角的定义，可知这条直线的倾斜角为90°.答案：C2.已知直线l 的斜率大小为tan240°,则l 的倾斜角为( )A.30°B.60°C.120°D.240°思路解析：考查倾斜角的范围和三角函数值等相关知识.由tan240°=3,知这条直线的斜率为3,如果设l 的倾斜角为α,则由斜率和倾斜角的关系得tanα=3,又由倾斜角的范围是［0°，180°)知,直线l 的倾斜角为60°.答案：B3.若A(1,-1)、B(3,3)、C(5,a)三点在一条直线上，则a=________思路解析：考查斜率公式的应用.三点在一条直线上,则任意两点连线的斜率相等；或由两点确定的直线必过第三个点，由斜率相等代入点坐标可得结果.∵k AB =21313=-+,k BC =23353-=--a a ，又A 、B 、C 三点在一条直线上,∴k AB =k BC .∴223=-a . ∴a=7.答案：74.若直线l 经过第二、四象限，则直线l 倾斜角的范围是_________.思路解析：考查数形结合思想和倾斜角知识.如图,直线过二、四象限,可知k<0,即tanα<0,所以直线l 的倾斜角为钝角,其范围是90°<α<180°.答案：90°<α<180°5.求坐标轴的两条角平分线所在直线的斜率.思路解析：考查数形结合思想和求直线斜率的方法.由于定直线的斜率是确定的,与计算时选取的两点位置无关,所以可在直线上任取两点,计算直线的斜率.譬如在直线l 1上取两点(m,m)、(n,n)(m≠n)，可得l 1的斜率11=--=nm n m k .解：如图，在l 1上取两点O(0,0)、A(1,1)，可得l 1的斜率101011=--=k ；在直线l 2上取两点O(0,0)、B(1,-1)，可得l 2的斜率101012-=---=k .所以两条直线的斜率分别为1和-1. 30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.直线l 的斜率k=2,又过一点(3,2),则直线l 经过点( )A.(0,4)B.(4,0)C.(0,-4)D.(-2,1)思路解析：因为直线l 经过无数个点,不可能都求出来,可用逆推验证法,即检验选项中哪一个点坐标与点(3,2)连线的斜率为2.答案：C2.已知一次函数的表达式为y=33-x+1,则其图象表示的直线倾斜角为( ) A.6π- B.3π- C.32π D.65π 思路解析：解决这类问题需要注意倾斜角的取值范围.由一次函数的知识知其图象表示的直线斜率为33-,再由tanα=33-且α∈［0,π)得α=65π. 答案：D3.若两直线l 1、l 2的倾斜角分别为α1、α2,则下列四个命题中正确的是( )A.若α1<α2,则两直线的斜率k 1<k 2B.若α1=α2,则两直线的斜率k 1=k 2C.若两直线的斜率k 1<k 2,则α1<α2D.若两直线的斜率k 1=k 2,则α1=α2思路解析：斜率与倾斜角满足k=tanα且α∈［0,π),因为α∈［0,2π)时,k>0;α∈(2π,π)时,k<0;当α=2π时,k 不存在，对于选项A,可取α1为锐角、α2为钝角,这时k 1>k 2；对于选项B,可取α1=α2=90°；对于C 可取k 1=-1,k 2=1,可知α1>α2.所以可以排除A 、B 、C ，选D.答案：D4.(2006北京高考，理) 若三点A(2，2)、B(a,0)、C(0,b)(ab≠0)共线，则ba 11+的值等于________. 思路解析：本题考查利用过两点的直线的斜率公式判断三点共线问题，我们只需利用两点间的斜率相等建立方程即可.由题意知a≠2，所以⇒-==-=2222b k a k AC AB 4=(2-a)(2-b) ⇒ab=2(a+b)⇒2111=+b a . 答案：21 5.已知直线l 1、l 2、l 3的斜率分别是k 1、k 2、k 3，如图2-1-1，则k 1、k 2、k 3的大小关系是_________(由小到大写出).图2-1-1思路解析：考查直线的斜率与倾斜角的关系.由图中直线倾斜角的大小可知l 1的倾斜角为钝角,所以k 1<0；l 2、l 3的倾斜角均为锐角,且l 2的倾斜角较大,所以k 2>k 3>0.所以k 1＜k 3＜k 2. 答案：k 1<k 3<k 26.直线l 过A(-2,(t+t 1)2)、B(2,(t-t1)2)两点,其中t≠0,则此直线的斜率为_________,倾斜角为_________.思路解析：考查两点间的斜率公式应用,斜率与倾斜角的关系.由斜率公式k AB =144)2(2)1()1(22-=-=--+--t t t t ,由tanα=-1,α∈［0°,180°)知α=135°. 答案：-1 135°7.已知A(3,4)在坐标轴上有一点B,使直线AB 的斜率等于2,求B 点的坐标.思路解析：点B 在坐标轴上,即可能在x 轴上,可能在y 轴上,所以需要分情况讨论,设出B 点的坐标后,可利用斜率公式求得所设的变量.解：①如果B 在x 轴上,可设B(x 0,0),则k AB =3400--x =2,所以x 0=1,即B(1,0);②如果B 在y 轴上,可设B(0,y 0),则k AB =23040=--y ,所以y 0=-2,即B(0，-2). 8.求过点A(-2,n)、B(n,4)两点的直线斜率.思路解析：由于直线AB 可能和x 轴垂直,倾斜角为2π,斜率不存在,所以需要对n 分类讨论，当n≠-2时可直接利用斜率公式，当n=-2时，直接写出斜率不存在.解：①当n=-2时,过A 、B 两点的直线斜率不存在;②当n≠-2时,过A 、B 两点的直线斜率24+-=n n k .综上所述，n=-2时,斜率不存在;n≠-2时,斜率24+-=n n k . 9.(1)已知直线l 经过原点,且与以A(1,1)、B(3,-1)为端点的线段相交,试通过作图探索出直线l 的斜率范围.(2)已知直线l 经过原点,且与以A(1,1)、B(-3,-1)为端点的线段相交,试通过作图探索出直线l 的斜率范围.试比较(1)和(2)两小题的结果有什么不同,你能从中总结出什么规律来吗?思路解析：本题主要考查对图形运动变化的理解及探究能力.根据题目的提示,可以作出线段AB,用绕原点旋转的动直线来探究直线与线段相交的动态过程.解：(1)如图(1)，当直线l 绕着原点旋转和线段AB 相交时,即从OB 旋转到OA 的过程中斜率由负(k OB )到正(k OA )连续增大,因为k OB =310301-=---,k OA =10101=--,所以直线l 的斜率k 的范围是31-≤k≤1. (2)如图(2)，当直线l 绕着原点旋转和线段AB 相交时,即从OA 旋转到OB 的过程中斜率从k OA 开始逐渐增加到正无穷大,这时l 与y 轴重合,当l 再旋转下去时,斜率从负无穷逐渐增加到k OB ,因为k OB =310301=----,k OA =10101=--,所以直线l 的斜率k 的范围是k≤31或k≥1.经比较可以发现:(1)中直线l 斜率介于k OA 和k OB 之间,而(2)中直线l 斜率处于k OA 和k OB 之外.一般地,如果直线l 和线段AB 相交,若直线l 和x 轴垂直(斜率不存在)时,与线段AB 不相交,则l 斜率介于k OA 和k OB 之间;若直线l 和x 轴垂直(斜率不存在)时,与线段AB 相交,则l 斜率位于k OA 和k OB 之外.。

高中数学 2.1.1直线的斜率随堂自测和课后作业 苏教版必修21.已知直线的斜率为3，则直线的倾斜角为________． 答案：60°2.已知直线l 过点A (1，2)，B (－1，0)，则直线l 的斜率为________，倾斜角为________．解析：k ＝2－01－（－1）＝1.tan α＝1，α∈[0°，180°)．∴α＝45°. 答案：1 45°3.若直线l 的斜率不存在，则与此直线垂直的直线的斜率为________．解析：l 的倾斜角为90°，∴所求直线倾斜角为0°，其斜率为0.答案：04.若A (4，3)，B (5，a )，C (6，5)三点共线，则a ＝________．解析：利用k AB ＝k AC ，即a －35－4＝5－36－4，解得a ＝4. 答案：45.设直线l 的斜率为k ，且k ∈(－3，33)，则直线l 的倾斜角的取值范围是________． 解析：倾斜角θ∈[0°，180°)，tan θ∈(－3，33)，∴θ∈[0°，30°)∪(120°，180°)． 答案：[0°，30°)∪(120°，180°)[A 级 基础达标]1.在下列四个命题中，错误的命题是________．(写出所有错误命题的序号)①坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率；②直线的倾斜角的取值范围为[0°，180°]；③若一条直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为α；④若一条直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α.解析：当倾斜角为90°时，其斜率不存在，故命题①④不正确．由直线的倾斜角的定义知倾斜角的取值范围为[0°，180°)，而不是[0°，180°]，故命题②不正确．直线的斜率可以是tan210°，但其倾斜角是30°，而不是210°，所以命题③也不正确．根据以上判断，四个命题均不正确．答案：①②③④2.直线l 过点A (1，|t |)和点B (－2，1)，当________时，直线的倾斜角为钝角．解析：表示出直线的斜率k ＝1－|t |－2－1，由直线的倾斜角为钝角得1－|t |－3＜0，求得－1＜t ＜1. 答案：－1＜t ＜13.已知点A (1，2)，若在坐标轴上有一点P ，使直线PA 的倾斜角为135°，则点P 的坐标为________．解析：由题意知k PA ＝－1，设x 轴上点(m ，0)，y 轴上点(0，n )，由0－2m －1＝n －20－1＝－1，得m ＝n ＝3. 答案：(3，0)或(0，3)4.(2012·盐城调研)过点M (－3，2)，N (－2，3)的直线的倾斜角的大小是________．解析：k MN ＝3－2－2－（－3）＝1，故倾斜角为45°. 答案：45°5.直线l 1过点P (3－3，6－3)，Q (3＋23，3－3)，直线l 2的倾斜角与l 1的倾斜角互补，则直线l 2的倾斜角为________．解析：可求得k PQ ＝－33，即tan α1＝－33， ∴α1＝150°，∴α2＝180°－α1＝30°.答案：30°6.已知过点(－3，1)及点(0，b )的直线的倾斜角α满足30°≤α<60°，求b 的取值范围．解：∵30°≤α<60°，∴33≤k ＝tan α< 3. 又直线过点(－3，1)及点(0，b )，∴k ＝b －10－（－3）＝b －13，∴33≤b －13< 3. ∴2≤b <4.7.已知实数x ，y 满足2x ＋y ＝8，当2≤x ≤3时，求yx的最大值和最小值．解：如图所示，设P (x ，y )在线段AB 上运动，其中A (2，4)，B (3，2)，则y x ＝y －0x －0可看作是直线OP 的斜率， 由图知，k OB ≤k OP ≤k OA ，而k OB ＝23，k OA ＝2， ∴(y x )max ＝2，(y x )min ＝23. [B 级 能力提升]8.若三点A (2，2)，B (a ，0)，C (0，b )(ab ≠0)共线，则1a ＋1b的值等于________． 解析：∵A 、B 、C 三点共线，∴k AB ＝k AC ，又∵k AB ＝0－2a －2，k AC ＝b －20－2， ∴0－2a －2＝b －20－2，∴ab ＝2a ＋2b ， ∴2(1a ＋1b )＝1，∴1a ＋1b ＝12. 答案：129.(2012·徐州质检)若ab ＜0，则过点P (0，－1b )与Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，0的直线PQ 的倾斜角的取值范围是________． 解析：k PQ ＝－1b －00－1a＝a b ＜0，又倾斜角的取值范围是[0°，180°)，∴直线PQ 的倾斜角的取值范围是(90°，180°)．答案：(90°，180°)10.已知A (－3，－3)，B (2，－2)，P (－2，1)，如图所示，若直线l 过P 点且与线段AB 有公共点，试求直线l 的斜率k 的取值范围．解：∵k PA ＝1－（－3）－2－（－3）＝4，k PB ＝1－（－2）－2－2＝－34，∴要使直线l 与线段AB 有公共点，则k 的取值范围应该是k ≤－34或k ≥4.11.(创新题)(1)m 为何值时，经过A (－m ，6)，B (1，3m )两点的直线的斜率是12?(2)m 为何值时，经过A (m ，2)，B (－m ，2m －1)两点的直线的倾斜角为60°？ (3)直线l 过点A (1，2)与B (m ，3)，求l 的斜率．解：(1)设AB 所在直线的斜率为k AB ，则k AB ＝3m －61＋m .由题意得3m －61＋m ＝12，解之得m ＝－2.(2)同上，k AB ＝2m －1－2－m －m ＝2m －3－2m .由题意得k AB ＝tan60°，∴2m －3－2m ＝3，解之得m ＝33－34.(3)①若m ＝1，则A (1，2)，B (1，3)，l 的方程为x ＝1，斜率不存在；②若m ≠1，则k AB ＝3－2m －1＝1m －1.∴若m ＝1，则l 的斜率不存在；若m ≠1，则斜率为1m －1.。