平面与平面平行的判定及其性质

教案平面与平面平行的判定和性质一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解平面与平面平行的定义及其判定方法；（2）掌握平面与平面平行的性质；（3）能够运用平面与平面平行的知识解决实际问题。

2. 过程与方法：通过观察、思考、交流、归纳等方法，引导学生掌握平面与平面平行的判定和性质。

3. 情感态度与价值观：培养学生的空间想象力，提高对几何图形的认识，激发学生学习几何的兴趣。

二、教学重点与难点1. 教学重点：（1）平面与平面平行的定义及其判定方法；（2）平面与平面平行的性质。

2. 教学难点：（1）平面与平面平行的判定方法的运用；（2）平面与平面平行的性质在实际问题中的应用。

三、教学过程1. 导入：通过复习已学过的平面几何知识，如点、线、面的基本概念，引导学生进入本节课的学习。

2. 新课讲解：（1）平面与平面平行的定义：两个平面在空间中不存在公共点，则称这两个平面平行。

（2）平面与平面平行的判定方法：①如果一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面平行；②如果两个平面分别过第三条交线，且这两条交线互相平行，则这两个平面平行。

（3）平面与平面平行的性质：①平行平面之间的距离相等；②平行平面上的线段在另一个平面上的投影互相平行；③平行平面上的角相等。

3. 案例分析：通过展示一些实际问题，引导学生运用平面与平面平行的知识解决问题。

4. 课堂练习：布置一些有关平面与平面平行的练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。

5. 总结与拓展：对本节课的内容进行总结，并提出一些拓展问题，激发学生进一步学习平面几何的兴趣。

四、课后作业1. 完成教材上的相关练习题；2. 查找一些有关平面与平面平行的实际问题，加以解决。

五、教学评价1. 知识与技能：学生能熟练掌握平面与平面平行的定义、判定方法和性质；2. 过程与方法：学生能够运用所学知识解决实际问题，提高空间想象力；六、教学策略与方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究平面与平面平行的判定和性质；2. 利用多媒体课件，展示平面与平面平行的图形，增强学生的空间想象力；3. 结合实例，让学生直观地理解平面与平面平行的判定和性质；4. 组织小组讨论，培养学生的合作意识和团队精神；5. 运用归纳总结法，引导学生自主总结平面与平面平行的判定和性质。

124两平面平行的判定及性质【课时目标】1．理解并掌握两个平面平行、两个平面相交的定义．2．掌握两个平面平行的判定和性质定理，并能运用其解决一些具体问题．1．平面与平面平行的判定定理如果一个平面内有________________都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．用符号表示为________________________．2．平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，________________________．符号表示为：________________a∥b．3．面面平行的其他性质：α∥β(1)两平面平行，其中一个平面内的任一直线平行于________________，即aα________，可用来证明线面平行；(2)夹在两个平行平面间的平行线段________；(3)平行于同一平面的两个平面________．一、填空题1．平面α∥平面β，aα，bβ，则直线a、b的位置关系是__________．2．下列各命题中假命题有________个．①平行于同一直线的两个平面平行；②平行于同一平面的两个平面平行；③一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么这条直线必和另一个相交；④若平面α内两条直线与平面β内两条直线分别平行，则α∥β．3．过正方体ABCD－A1B1C1D1的三个顶点A1、C1、B的平面与底面ABCD所在平面的交线为l，则l与A1C1的位置关系是________．4．α和β是两个不重合的平面，在下列条件中，可判定α∥β的是________．(填序号)①α内有无数条直线平行于β；②α内不共线三点到β的距离相等；③l、m是平面α内的直线，且l∥α，m∥β；④l、m是异面直线且l∥α，m∥α，l∥α，m∥β．235．已知α∥β且α与β间的距离为d，直线a与α相交于点A、与β相交于B，若AB＝3d，则直线a与α所成的角等于________．6．如图所示，P是三角形ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA、PB、PC于A′、B′、C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则S△A′B′C′∶S△ABC＝________．7．α，β，γ为三个不重合的平面，a，b，c为三条不同的直线，则有下列命题，不正确的是________(填序号)．a∥ca∥γa∥b；②a∥b；①b∥cb∥γ③⑤α∥cβ∥cα∥ca∥cα∥β；④α∥a;⑥α∥γβ∥γα∥β；α∥γa∥γa∥α．8．已知平面α∥平面β，P是α，β外一点，过点P的直线m与α，β分别交于点A，C，过点P的直线n与α，β分别交于点B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，则BD的长为________．9．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足________时，有MN∥平面B1BDD1．二、解答题10．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E、F、G分别是BC、DC和SC的中点．求证：平面EFG∥平面BDD1B1．11．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M是A1C1的中点，平面AB1M∥平面BC1N，AC∩平面BC1N＝N．求证：N为AC的中点．能力提升12．如图所示，已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，面对角线AB1，BC1上分别有两点E、F，且B1E＝C1F．求证：EF∥平面ABCD．13．如图所示，B为△ACD所在平面外一点，M，N，G分别为△ABC，△ABD，△BCD的重心．(1)求证平面MNG∥平面ACD；(2)求S△MNG∶S△ADC．1．判定平面与平面平行的常用方法有：(1)利用定义，证明两个平面没有公共点，常用反证法．(2)利用判定定理．(3)利用平行平面的传递性，即α∥β，β∥γ，则α∥γ．2．平面与平面平行主要有以下性质：(1)面面平行的性质定理．(2)两个平面平行，其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面．(3)夹在两个平行平面之间的平行线段相等．答案知识梳理1．两条相交直线aα，bα，a∩b＝A，a∥β，b∥βα∥βα∥β2．那么所得的两条交线平行β∩γ＝bα∩γ＝a3．(1)另一个平面a∥β(2)相等(3)平行作业设计1．平行或异面2．23．平行解析由面面平行的性质可知第三平面与两平行平面的交线是平行的．4．④5．60°6．4∶25解析面α∥面ABC，面PAB与它们的交线分别为A′B′，AB，∴AB∥A′B′，同理B′C′∥BC，易得△ABC∽△A′B′C′，A′B′2PA′24S△A′B′C′∶S△ABC＝()＝()＝．ABPA257．②③⑤⑥解析由公理4及平行平面的传递性知①④正确．举反例知②③⑤⑥不正确．②中a，b可以相交，还可以异面；③中α，β可以相交；⑤中a 可以在α内；⑥中a可以在α内．248．24或5解析当P点在平面α和平面β之间时，由三角形相似可求得BD＝24，当平面α和平面24β在点P同侧时可求得BD＝．59．M∈线段FH解析∵HN∥BD，HF∥DD1，HN∩HF＝H，BD∩DD1＝D，∴平面NHF∥平面B1BDD1，故线段FH上任意点M与N连结，有MN∥平面B1BDD1．10．证明如图所示，连结SB，SD，∵F、G分别是DC、SC的中点，∴FG∥SD．又∵SD平面BDD1B1，FG平面BDD1B1，∴直线FG∥平面BDD1B1．同理可证EG∥平面BDD1B1，又∵EG平面EFG，FG平面EFG，EG∩FG＝G，∴平面EFG∥平面BDD1B1．11．证明∵平面AB1M∥平面BC1N，平面ACC1A1∩平面AB1M＝AM，平面BC1N∩平面ACC1A1＝C1N，∴C1N∥AM，又AC∥A1C1，∴四边形ANC1M 为平行四边形，11∴AN綊C1M＝A1C1＝AC，22∴N为AC的中点．12．证明方法一过E、F分别作AB、BC的垂线，EM、FN分别交AB、BC于M、N，连结MN．∵BB1⊥平面ABCD，∴BB1⊥AB，BB1⊥BC，∴EM∥BB1，FN∥BB1，∴EM∥FN，∵AB1＝BC1，B1E＝C1F，∴AE＝BF，又∠B1AB＝∠C1BC＝45°，∴Rt△AME≌Rt△BNF，∴EM＝FN．∴四边形MNFE是平行四边形，∴EF∥MN．又MN平面ABCD，EF平面ABCD，∴EF∥平面ABCD．方法二过E作EG∥AB交BB1于G，连结GF，BEBGCFBG∴1＝1，B1E＝C1F，B1A＝C1B，∴1＝1，B1AB1BC1BB1B∴FG∥B1C1∥BC．又∵EG∩FG＝G，AB∩BC＝B，∴平面EFG∥平面ABCD．又EF平面EFG，∴EF∥平面ABCD．13．(1)证明(1)连结BM，BN，BG并延长分别交AC，AD，CD于P，F，H．∵M，N，G分别为△ABC，△ABD，△BCD的重心，故二面角A—BE—P的大小是60°．12．证明(1)由E、F分别是A1B、A1C的中点知EF∥BC．因为EF平面ABC．BC平面ABC．所以EF∥平面ABC．(2)由三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱知CC1⊥平面A1B1C1．又A1D平面A1B1C1，故CC1⊥A1D．又因为A1D⊥B1C，CC1∩B1C＝C，故A1D⊥平面BB1C1C，又A1D平面A1FD，所以平面A1FD⊥平面BB1C1C．13．(1)证明∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC．又∠BCA＝90°，∴AC⊥BC．又∵AC∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC．(2)解∵DE∥BC，又由(1)知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC．又∵AE平面PAC，PE平面PAC，∴DE⊥AE，DE⊥PE．∴∠AEP为二面角A—DE—P的平面角．∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∴∠PAC＝90°．∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC．这时∠AEP＝90°，故存在点E，使得二面角A—DE—P为直二面角．第3课时两平面垂直的性质【课时目标】1．理解平面与平面垂直的性质定理．2．能应用面面垂直的性质定理证明空间中线、面的垂直关系．1．平面与平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内________于它们________的直线垂直于另一个平面．用符号表示为：α⊥β，α∩β＝l，aα，a⊥l________．2．两个重要结论：(1)如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在________________________________________________________________________．图形表示为：符号表示为：α⊥β，A∈α，A∈a，a⊥β________．(2)已知平面α⊥平面β，aα，a⊥β，那么__________(a与α的位置关系)．一、填空题1．平面α⊥平面β，aα，bβ，且b∥α，a⊥b，则a和β的位置关系是________．2．已知三条不重合的直线m、n、l，两个不重合的平面α，β，有下列命题：①若m∥n，nα，则m∥α；②若l⊥α，m⊥β且l∥m，则α∥β；③若mα，nα，m∥β，n∥β，则α∥β；④若α⊥β，α∩β＝m，nβ，n⊥m，则n⊥α．其中正确的命题是________(填序号)．3．若平面α与平面β不垂直，那么平面α内能与平面β垂直的直线有________条．4．设α－l－β是直二面角，直线aα，直线bβ，a，b与l都不垂直，那么下列说法正确的序号为________．①a与b可能垂直，但不可能平行；②a与b可能垂直，也可能平行；③a与b不可能垂直，但可能平行；④a与b不可能垂直，也不可能平行．5．如图，两个正方形ABCD和ADEF所在平面互相垂直，设M、N分别是BD和AE的中点，那么①AD⊥MN；②MN∥平面CDE；③MN∥CE；④MN、CE异面．其中结论正确的是________(填序号)．6．ππ如图所示，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为和．过A、46B分别作两平面交线的垂线，垂足分别为A′、B′，则AB∶A′B′＝________．7．若α⊥β，α∩β＝l，点P∈α，PD/∈l，则下列命题中正确的为________．(只填序号)①过P垂直于l的平面垂直于β；②过P垂直于l的直线垂直于β；③过P垂直于α的直线平行于β；④过P垂直于β的直线在α内．8．α、β、γ是两两垂直的三个平面，它们交于点O，空间一点P到α、β、γ的距离分别是2cm、3cm、6cm，则点P到O的距离为________cm．9．在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则点C1在底面ABC上的射影H必在________．二、解答题10．如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC．求证：BC⊥AB．11．如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形．侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD．(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD；(2)求证：AD⊥PB．能力提升12．如图所示，四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的菱形，∠BCD＝120°，平面PCD⊥平面ABCD，PC＝a，PD＝2a，E为PA的中点．求证：平面EDB⊥平面ABCD．13．如图所示，在多面体P—ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD＝2AD＝8，AB＝45．(1)设M是PC上的一点，求证：平面MBD⊥平面PAD；(2)求P点到平面ABCD的距离．1．运用两个平面垂直的性质定理时，一般需要作辅助线，其基本作法是过其中一个平面内一点在此平面内作交线的垂线，这样，就把面面垂直转化为线面垂直或线线垂直．知识梳理1．垂直交线a⊥β2．(1)第一个平面内aα(2)a∥α作业设计1．a⊥β2．②④3．0解析若存在1条，则α⊥β，与已知矛盾．4．③5．①②③6．2∶1第3课时两平面垂直的性质答案解析如图：由已知得A A′⊥面β，π∠ABA′＝，6πBB′⊥面α，∠BAB′＝，432设AB＝a，则BA′＝a，BB′＝a，221AB2在Rt△BA′B′中，A′B′＝a，∴＝．2A′B′17．①③④解析由性质定理知②错误．8．7解析P到O的距离恰好为以2cm,3cm,6cm为长、宽、高的长方体的对角线的长．9．直线AB上解析由AC⊥BC1，AC⊥AB，得AC⊥面ABC1，又AC面ABC，∴面ABC1⊥面ABC．∴C1在面ABC上的射影H必在交线AB上．10．证明在平面PAB内，作AD⊥PB于D．∵平面PAB⊥平面PBC，且平面PAB∩平面PBC＝PB．∴AD⊥平面PBC．又BC平面PBC，∴AD⊥BC．又∵PA⊥平面ABC，BC平面ABC，∴PA⊥BC，∴BC⊥平面PAB．又AB平面PAB，∴BC⊥AB．11．证明(1)连结PG，由题知△PAD为正三角形，G是AD的中点，∴PG⊥AD．又平面PAD⊥平面ABCD，∴PG⊥平面ABCD，。

平面与平面平行的判定和性质一、教学目标1. 让学生理解平面与平面平行的概念。

2. 引导学生掌握平面与平面平行的判定方法。

3. 让学生了解平面与平面平行的性质。

4. 培养学生运用所学知识解决实际问题的能力。

二、教学内容1. 平面与平面平行的概念2. 平面与平面平行的判定方法3. 平面与平面平行的性质4. 应用实例三、教学重点与难点1. 教学重点：平面与平面平行的判定方法，平面与平面平行的性质。

2. 教学难点：如何运用判定方法和性质解决实际问题。

四、教学方法1. 采用直观演示法，让学生通过观察实物模型，理解平面与平面平行的概念。

2. 运用讲解法，引导学生掌握平面与平面平行的判定方法。

3. 运用案例分析法，让学生通过分析实际案例，了解平面与平面平行的性质。

4. 运用练习法，培养学生运用所学知识解决实际问题的能力。

五、教学过程1. 导入新课：通过展示实物模型，引导学生思考平面与平面之间的关系，引出平面与平面平行的概念。

2. 讲解判定方法：讲解平面与平面平行的判定方法，引导学生通过观察实物模型，理解判定方法。

3. 讲解性质：讲解平面与平面平行的性质，引导学生通过观察实物模型，理解性质。

4. 应用实例：分析实际案例，让学生运用所学知识解决实际问题。

5. 课堂练习：布置练习题，让学生巩固所学知识。

6. 总结与拓展：总结本节课所学内容，引导学生思考平面与平面平行在实际中的应用价值。

7. 布置作业：布置课后作业，让学生进一步巩固所学知识。

六、教学评价1. 评价目标：检查学生对平面与平面平行的判定和性质的理解程度。

2. 评价方法：通过课堂提问、作业批改、课后练习等方式进行评价。

3. 评价内容：a. 学生是否能准确描述平面与平面平行的概念。

b. 学生是否能运用判定方法正确判断平面与平面是否平行。

c. 学生是否能理解并应用平面与平面平行的性质解决实际问题。

七、教学反思1. 反思内容：a. 教学方法是否适合学生的学习需求。

两平面平行的判定方法平面几何中，两平面平行是重要的概念，因为它涉及到许多实际问题，例如建筑、地图制作和制造业。

在本文中，我们将讨论10种不同的方法来判断两个平面是否平行，并提供详细说明。

1. 平行线性质法确定两个平面是否平行的最简单方法之一是检查它们所包含的直线。

如果两个平面包含两组平行直线，则这两个平面平行。

这被称为平行线性质。

平面上的平行线永远不会相交，而它们的距离始终相等。

2. 夹角相等法两个平面平行的另一种方法是它们的夹角相等。

当两个平面之间的夹角相等时，它们被认为是平行的。

这里需要注意的是，夹角是指两个平面的法线之间的角度。

3. 垂线判定法如果一条直线是第一个平面上的一条直线，并且以该直线垂直于第二个平面，则第一个平面和第二个平面是平行的。

垂线判定法基于这个原理。

这可通过将两个平面移到同一位置并在它们之间引入垂线来证明。

4. 辅助平面法辅助平面法是一种使用第三平面来判断两个平面平行的方法。

如果两个平面与第三个平面平行，则它们彼此平行。

该方法特别适用于设计要求多个平面平行的情况，例如构建多层建筑物。

5. 截线判定法如果一条直线是第一个平面和第二个平面上的两条直线的截线，则这两个平面平行。

截线判定法基于这个概念。

如果相交的两条线都是平面上的同一直线的截线，则这两个平面平行。

6. 倾斜角相等法倾斜角相等法是一种快速确定两个平面是否平行的方法。

如果两个平面的倾斜角相等，则这两个平面是平行的。

这种方法只能用于倾斜角相等的情况。

7. 向量法向量法是另一种判断两个平面是否平行的方法。

如果两个平面的法线向量相同，则它们是平行的。

将两个平面的向量相减，如果它们的值为零，则它们平行。

8. 距离法距离法是判断两个平面平行的一个简单方法，它基于平面之间的平行线性质。

如果两个平面的法线距离相等，则这两个平面平行。

用法线测量两个平面之间的距离，以确定它们是否平行。

9. 投影法投影法可以通过平面上点的投影来确定两个平面是否平行。

平面与平面平行的判定和性质第一章：教案简介本章将介绍教案平面与平面平行的判定和性质。

通过本章的学习，学生将能够理解并应用平面与平面平行的判定条件，掌握平面与平面平行的性质，并能够运用这些知识解决实际问题。

第二章：平面与平面平行的判定1. 判定条件一：如果两个平面的法向量互相平行，则这两个平面平行。

2. 判定条件二：如果一个平面经过另一个平面的法向量，则这两个平面平行。

3. 判定条件三：如果两个平面相交于一条直线，且这条直线垂直于两个平面的法向量，则这两个平面平行。

第三章：平面与平面平行的性质1. 性质一：平面与平面平行时，它们的法向量互相平行。

2. 性质二：平面与平面平行时，它们的法向量垂直于它们的交线。

3. 性质三：平面与平面平行时，它们的交线平行于它们的法向量。

第四章：应用举例1. 例一：给定两个平面，如何判断它们是否平行？2. 例二：给定一个平面和一条直线，如何判断这条直线是否与平面平行？3. 例三：给定两个平面和它们的交线，如何判断这两个平面是否平行？第五章：练习题1. 判断题：如果两个平面的法向量互相垂直，则这两个平面平行。

（对/错）2. 判断题：如果一个平面经过另一个平面的法向量，则这两个平面平行。

（对/错）3. 判断题：如果两个平面相交于一条直线，且这条直线垂直于两个平面的法向量，则这两个平面平行。

（对/错）4. 应用题：给定两个平面，它们的法向量分别为向量A和向量B。

判断这两个平面是否平行，并说明理由。

5. 应用题：给定一个平面P和一条直线L。

已知平面P的法向量为向量A，直线L的方向向量为向量B。

判断直线L是否与平面P平行，并说明理由。

第六章：教案平面与平面平行的判定和性质的综合应用1. 综合应用一：如何判断一个平面是否平行于另一个平面的交线？2. 综合应用二：如何判断一条直线是否与另一个平面平行？3. 综合应用三：如何判断两个平面是否平行，并确定它们的交线？第七章：教案平面与平面平行的判定和性质的证明题1. 证明题一：已知平面P和Q，证明平面P与平面Q平行的条件是它们的法向量互相平行。

一、平面与平面的位置关系有且只有两种1、两个平面平行——没有公共点；2、两个平面相交——有一条公共直线。

二、面面垂直性质定理1.如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。

2.如果两个平面相互垂直，那么经过第一个平面内的一点作垂直于第二个平面的直线在第一个平面内。

3.如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面。

4.如果两个平面互相垂直，那么一个平面的垂线与另一个平面平行。

（判定定理推论1的逆定理）三、平面与平面垂直的性质如果两个平面的二面角为直二面角（平面角是直角的二面角），则这两个平面互相垂直。

平面与平面垂直有如下性质：如果两个平面垂直，那么在一个平面内与交线垂直的直线垂直于另一个平面；如果两个平面垂直，那么与一个平面垂直的直线平行于另一个平面或在另一个平面内。

四、面面垂直定义若两个平面的二面角为直二面角（平面角是直角的二面角），则这两个平面互相垂直。

五、线面垂直定义如果一条直线与一个平面内的任意一条直线都垂直，就说这条直线与此平面互相垂直。

是将“三维”问题转化为“二维”解决是一种重要的立体几何数学思想方法。

在处理实际问题过程中，可以先从题设条件入手，分析已有的垂直关系，再从结论入手分析所要证明的重要垂直关系，从而架起已知与未知的“桥梁”。

六、线面垂直判定定理直线与平面垂直的判定定理（线面垂直定理）：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

推论1：如果在两条平行直线中，有一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面。

推论2：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。

两个平面的位置关系的符号语言及其图形如下表：。