由微分方程求状态空间表达式【精选】

电气系统状态空间表达式例题状态空间表达式是描述线性时不变系统动态行为的一种数学模型，它基于系统的状态变量和控制变量来描述系统的动态行为：
假设有一个电气系统，其动态行为可以用以下微分方程描述：
dx/dt = Ax + Bu
y = Cx + Du
其中，x 是系统的状态变量，u 是系统的控制输入，y 是系统的输出。

A、B、C 和 D 是系统的系数矩阵，它们描述了系统内部状态变量之间的动态关系以及系统对控制输入和输出的响应。

根据状态空间表达式，我们可以将上述微分方程转换为以下形式：
x' = Ax + Bu
y = Cx + Du
其中，x' 是新的状态变量，它包含了系统状态的导数。

这个形式的状态空间表达式包含了系统的动态行为，可以通过控制输入 u 来影响系统的状态变量 x 和输出 y。

需要注意的是，具体的系数矩阵 A、B、C 和 D 取决于具体的电气系统，需要根据系统的具体参数和特性来确定。

用向量矩阵表示的微分方程为： X (t ) F [ X (t ),U (t ), t ] 其中：X (t ) ____ 系统的n维状态向量 U (t ) ____ 系统的r维输入向量 F [] ____ n维向量函数
2.状态空间表达式： 系统的状态方程和输出方程合起来称为系统的状态空间表 达式，或称状态空间描述。前例中输出方程描述为：
其中
a12 .... a1n a11 a a22 .... a2 n , A 21 .................................. an 2 .... ann an1
c12 .... c1n c11 c c22 .... c2 n , C 21 .................................. cm1 cm 2 .... cmn
F[] [ f1, f2 ,.... fn ]T
G[] [ g1, g2 ,....gm ]T
—— F[· ]为n×1函数向量 —— G[· ]为m×1函数向量
1. 非线性时变系统
非线性时变函数
gi x1 (t ), x2 (t ),..., xn (t ); u1 (t ), u2 (t ),..., ur (t ); t
4.状态空间： 以状态变量x1,x2,…xn为坐标轴,组成的n维空间称为状态空间。 状态随时间的变化过程，则构成了状态空间中的一条轨迹， 这条轨迹称为状态轨迹。
5. 状态方程： 由系统的状态变量构成的一阶微分方程组称为状态方程。 状态方程反映了输入与状态变量间的关系。
X AX bu
6. 输出方程： 系统输出与状态变量间的函数关系。 例如， 例1-1， 若取uc为输出，则有 y uc

X AX bu
5、输出方程：系统输出与状态变量间的函数关系。例如， 前例中，若取 uc 为输出，则有 y uc x1 写出矩阵形式：
x1 y [1 0] x2
若指定 i 为输出，则 若指定
y i x2
x1 y [0 1] x2
模拟结构图用来反映系统各状态之间的信息传递关系。
五、状态空间表达式的特点：
1、状态变量的选择不是唯一的，选择不同的状态变量，就得 一个 n 阶系统只能有 n 个状态。这 n 个状态： x1(t), x2(t), … , xn(t)构成了系统变量中线性无关的一个极大变 量组。 2、状态空间描述是系统“输入－状态－输出”诸变量间的时域 描述，揭示了系统的全部信息。因面比传递函数描述更为全
X AX bu Y CX
多输入多输出系统的状态空间表达式为：
X AX BU Y CX DU
x1 其中： x2 N维向量 X xn
a11 A a n1
a1n 系统矩阵 n×n方阵 ann
到不同的状态变量描述方程。但是不论选择哪一组状态变量，
面、完善。
4、系统状态变化是一个运动过程，用微分方程进行描述；而输 出方程为代数方程。
例：写出双T网络 的状态方程：
i
ur
R1
i1
u1
R2
i2
i2
uc
ur ( s ) u1 ( s ) I (s) R1 1 u1 ( s ) [ I ( s ) I 2 ( s )] sC 1 I ( s ) u1 ( s ) uC ( s ) 2 R2 消除中间变量: I (s), u1 (s), I 2 (s) u ( s ) I ( s ) 1 C 2 sC2 uc ( s ) 1 G( s) ur ( s) R1R2C1C2 s 2 ( R1C1 R2C2 R1C2 ) s 1

1 s1 0 0
0 1 0 0
0 x1 0 0 x 2 u 0 1 xn 1 s1
约当标准形
Y ( s) G ( s)U ( s) k11 k12 u( s) u( s) n n 1 ( s s1 ) ( s s1 ) k1n U ( s) ( s s1 )
s s1
, n)
1 X1 ( s) U ( s) n ( s s1 ) 1 X 2 ( s) U ( s ) ( s s1 ) n 1 1 X n ( s) U ( s) ( s s1 )
1 X1 ( s) X 2 ( s) ( s s1 ) 1 X 2 ( s) X 3 ( s) ( s s1 ) 1 X n ( s) U ( s) s s1
从传递函数的角度分析，这实际上是一种分 子与分母直接分离分解法。设中间变量，可得：
Y ( s) Z (s) Y ( s) U ( s) U ( s) Z (s)
式中
Z ( s) 1 n U ( s) s a1 s n1 an1 s an
Y ( s) b0 s n b1 s n 1 bn 1 s bn Z ( s)
1 s1 x1 x2 x x2 s1 x2 x3 n 1 s1 xn 1 xn x n s1 xn u x
s1 x1 x 0 2 0 xn 0
则根据上节公式，可直接写出能控标准形。 即：
0
1 0 a n 1
0 1 a1
0 ,B 0 1