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换底公式的形式：
换底公式是一个比较重要的公式，在很多对数的计算中都要使用，也是高中数学的重点。
log（a）（b）表示以a为底的b的对数。
所谓的换底公式就是log（a）（b）=log(n)(b)/log(n)（a）
换底公式的推导过程：
若有对数log（a）（b）设a=n^x,b=n^y(n>0,且n不为1)
则 log（a）（b）=log（n^x）(n^y)
根据对数的基本公式log(a）(M^n)=nloga(M) 和基本公式log(a^n)M=1/n×log(a) M
易得 log(n^x)(n^y)=y/x
由 a=n^x,b=n^y 可得 x=log(n)(a),y=log(n)(b)
则有：log(a)(b)=log(n^x)(n^y)=log(n)(b)/log(n)(a)
得证：log(a)(b)=log(n)(b)/log(n)(a)
例子：log(a)(c) * log(c)(a)=log(c)(c)/log(c)(a) *log(c)(a)=log(c)(c)=1
换底公式的应用：
1.在数学对数运算中，通常是不同底的对数运算，这时就需要换底.
通常在处理数学运算中，将一般底数转换为以e为底（即In）的自然对数或者是转换为以10为底（即lg）的常用对数，方便于我们运算；有时
也通过用换底公式来证明或求解相关问题；
2.在工程技术中，换底公式也是经常用到的公式，例如，在编程语言中，有些编程语言（例如C语言）没有以a为底b为真数的对数函数；只有以常用对数10为底的对数或自然对数e为底的对数（即Ig、In）,此时就要用到换底公式来换成以e或者10为底的对数来表示出以a为底b为真数的对数表达式，从而来处理某些实际问题。
强化专题一 换底公式【题型目录】一、换底公式的正用二、换底公式的逆用三、换底公式的基本变形一：log a b ＝1log b a四、换底公式的基本变形二：log n m a b ＝m nlog a b 五、解对数方程六、证明对数恒等式【例题详解】一、换底公式的正用1．已知2log 3a =，则下列能化简为12a a 的是（ ） A ．8log 3B ．18log 3C ．18log 6D ．12log 32．()()2839log 3log 3log 2log 2-+=______．（用数字作答）3．若log 86x =，则2log x =___________. 【答案】124．计算：ln 259elog 3log 25-等于___________. 二、换底公式的逆用1．计算：log 52×log 727log 513×log 74＝________. 【答案】－34【详解】原式＝log 52log 513×log 727log 74＝13log log 427＝lg 2lg 13×lg 27lg 4 ＝12lg 2－lg 3×3lg 32lg 2＝－34.200.5573(2)(0.01)5log log 3--⋅= ________三、换底公式的基本变形一：loga b ＝1log b a 1．若43m =，则3log 12=（ ）A ．1m m +B ．21m m +C ．2m m +D ．212m m+2．已知182,1.52x y ==，则x y -=______;3．已知35a b A ==，则122a b+=，则A 等于__________．，0>∴A A 四、换底公式的基本变形二：log n m a b ＝m nlog a b 1．化简4839(2log 3log 3)(log 2log 2)=++____________2．已知log 1627＝a ，则log 916＝________.【答案】32a【详解】∵log 1627＝a ，∴432log 3＝a ，∴34log 23＝a ，∴log 23＝43a ， ∴log 916＝243log 2＝42log 32＝2log 32＝2·1log 23＝2×34a ＝32a.五、解对数方程1．方程222log log 1x x +=的解为x =___________．2．方程()233log 12log (1)x x -=+-的解为x =___________.【答案】8【分析】由对数运算法则化方程为233log (1)log [9(1)]x x -=-．再根据对数函数的性质求解．【详解】由()233log 12log (1)x x -=+-得233log (1)log [9(1)]x x -=-，所以219(1)10x x x ⎧-=-⎨->⎩，解得8x =． 故答案为：8．3．求下列各式中x 的值：(1)()3log lg 1=x ；(2)()345log log log 0x =⎡⎤⎣⎦.【答案】(1)1000x =；(2)625x =【分析】（1）结合对数运算求得x 的值.（2）结合对数运算求得x 的值.【详解】（1）()3log lg 1=x ，3lg 3,101000x x ===. （2）()345log log log 0x =⎡⎤⎣⎦，()4455log log 1,log 4,5625x x x ====.4．解方程：(1)2555log log 1x x x+=. (2)()1331log 31log 323x x -⎛⎫-⋅-= ⎪⎝⎭(2)log 六、证明对数恒等式1．利用换底公式证明：log log log 1a b c b c a ⋅⋅=．2．设==a b c x y z ，且111a b c+=，求证：z xy =。
对数的换底公式推导
对数的换底公式是数学中一个很重要的公式，它可以用来计算不同对数之间的关系，成为科学研究中不可缺少的一部分。
本文将通过证明换底公式来帮助读者理解其中的原理。
首先，我们要明确一下关于对数的概念，以及换底公式的定义。
对数（log）是一个抽象概念，它表示两个数字之间的关系。
换底公式（logab = logcb / logca）指的是两个对数（logab logcb)之间的关系，即logab于logcb以logca商。
接下来，我们来证明换底公式。
设有两个数ab，其中ab0。
由于logab = logcb / logca，我们可以认为：
b = c^(logca logcb )
下一步，我们可以将b两边同时乘以a：
ab = c^(logca logcb ) a
我们知道，ab于cn幂。
我们可以进一步将上式简化为：
ab = c^(logca + logcb )
以上就是换底公式的证明。
换底公式的应用不仅限于简单的计算，它也可以用于更深层次的研究。
比如，由于logar = logbr + logcr，因此可以用换底公式推导出ab 之间的指数表达式。
此外，换底公式还可以用于方程解等数学问题。
比如，在一个简单的方程中，如果已知ab对数，则可以通过换底公式求解方程。
综上所述，换底公式是一个重要的数学公式，它不仅可以用于简
单的计算，还可以用于更深层次的研究，从而为科学研究带来更多可能性。
换底公式推导换底公式是数学中常用的公式之一，它在计算数学中的对数运算时非常有用。
通过换底公式，我们可以将一个对数的底数转换为另一个底数，从而使计算更加方便。
在本文中，我们将推导换底公式的数学推导过程。
首先，我们先来回顾一下对数的定义。
对数是指以某个数（称为底数）为底的指数。
例如，以底数为2的对数，就是求解下面的方程：2^x = y其中，x为对数，y为底数。
根据这个定义，我们可以得到下面的关系：log2 y = x其中，log2表示以底数为2的对数。
接下来，我们介绍换底公式的一般表达式。
设底数为a的对数为x，底数为b的对数为y，底数为c的对数为z，那么根据换底公式，我们可以得到如下的关系：loga c = logb c / logb a这个公式可以帮助我们在不同底数之间转换对数。
接下来，我们将推导这个公式的过程。
首先，我们有两个对数方程：a^x = cb^y = c我们希望找到一个关系将x和y联系起来。
我们可以将第一个方程两边取以底数为b的对数，得到：logb (a^x) = logb c根据对数的性质，我们可以将指数移到对数的前面，得到：x logb a = logb c同样地，我们可以对第二个方程进行同样的操作，得到：y logb b = logb c由于logb b = 1，所以我们可以将上式简化为：y = logb c由于我们的目标是将x和y联系起来，所以我们需要将x表示为y的函数。
为此，我们将x和y进行交换，得到：x = loga c / loga b这就是我们所要推导的换底公式。
通过这个公式，我们可以将底数为a的对数转换为底数为b的对数。
公式右边的分式表示了从底数为a的对数到底数为b的对数的转换系数。
接下来，让我们举个例子来说明换底公式的用法。
假设我们要计算log4 16的值，但是我们知道计算底数为4的对数不容易。
这时，我们可以使用换底公式，将底数为4的对数转换为底数为2的对数。
根据换底公式，我们有：log4 16 = log2 16 / log2 4我们知道log2 16 = 4，log2 4 = 2，代入上式得到：log4 16 = 4 / 2 = 2通过换底公式，我们得到了底数为4的对数log4 16的值为2。
