FDTD介绍ppt课件

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FDTD算法概述

前向差分
后向差分
中心差分
4
利用泰勒展开式
df ( x) h 2 d 2 ( x) f ( x h) f ( x ) h 2 dx 2! dx df ( x) h 2 d 2 ( x) f ( x h) f ( x ) h 2 dx 2! dx df ( x) 2h 3 d 3 ( x) f ( x h) f ( x h) 2h 3 dx 3! dx
H x t
n 1 1 i , j ,k 2 2
Hx
n
1 1 i , j ,k Fra bibliotek 21 2
Hx t
n
1 1 i , j ,k 2 2
1 2
2 O t
E y z
E z y
n

1 1 i , j ,k 2 2
n
Ey
n 1 i , j , k 1 2
2
• 基本计算步骤
① 采用一定的网格划分方式离散化场域 ② 对场内的偏微分方程及各种边界条件进行差分离散化处理，建立差分格式，得到差分方程组 ③ 结合选定的代数方程组的解法，编制程序，求边值问题的数值解
3
2.差分格式
• 差分基础知识
设函数f(x)，对其自变量x取增量 x h ，则
df f ( x) f ( x) f ( x h) f ( x) lim x 0 dx x x h f ( x ) f ( x h) h f ( x h) f ( x h) 2h
11
• 数值稳定的条件：
t 1 1 1 (x)2 (y )2 (z )2
当空间步长相等即Δx=Δy=Δz时，

Adi-FDTD

FDTD简介
FDTD方法的扩展：
网络并行FDTD方法时域多分辨小波（MRTD）方法
伪谱时域差分（PSTD）方法
简化时域有限差分（RFDTD）方法交替方向隐式时域差分（ADI-FDTD）方法
FDTD简介
优点：计算相对简单显式差分足一定要求缺点：时间步长必须满优点：无条件稳定性隐式差分缺点：计算复杂且量大
ECJTU@2013
概要
FDTD简介背景及发展基本原理
FDTD简介
传统的FDTD法属于显式差分方法，因而具有显式差分
方法的共同特性，解得过程必须满足稳定性条件。对 FDTD法来说，就是必须满足Courant条件。
1 1 1 1 2 2 (x) (y ) (z ) 2
背景及发展
基本原理
2.二维ADI-FDTD差分格式考虑空间一个无源区域，
其媒质参数不随时间变化且各向同性，二维TE 波情况的麦克斯韦旋度方程在直角坐标系中写成分量式为：
E x H z y t E y H z x t E y E x H z y t x
基于交变隐式差分方向方法的时域有限差分法基于交变隐式差分方向方法的时域有限差分法adifdtdecjtu2013概要?fdtd简介?背景及发展?基本原理fdtd简介?传统的fdtd法属于显式差分方法因而具有显式差分方法的共同特性解得过程必须满足稳定性条件
ADI-FDTD
基于交变隐式差分方向方法的时域有限差分法

1
2

t 1 1 i , j 2 2 2 y E E Nhomakorabea
n 1 x n 1 2 y

第1课 FDTD基础

近似：
f n ( x, y, z) x
x ix
f n (i 1 , j, k ) f n (i 1 , j
f n (i, j 1 , k ) 2
f
n (i,
j
1 2
,k)
y y jy
y
f n ( x, y, z) z
z k z
f n (i, j, k 1 ) f n (i, 2 z
K.S. Yee. Numerical solution of initial boundary value problems involving Maxwell's equations in isotropic media. IEEE Trans. Antennas Propagat. 14: 302‐307, 1966
Nanjing University of Science & Technology
计算电磁学
Unit 1：时域有限差分方法
樊振宏
研究背景
近年来，微波和毫米波通信、航空航天、雷达、精确制导等民用军用系统朝着高频化、微型化、多功能、高可靠性以及低成本方向发展。由于色散、不连续性和封装而产生的失真与时延，以及由于耦合而产生的串音噪声等问题变得十分严重，传统的准静设计方法已不能满足设计要求，必须采用精确的电磁场全波分析方法。
14
Ey
Ex
Hz
(i,j,k+1) Ez Hx
Hy
(i,j+1,k)
(i+1,j,k)
z y
(i+1,j+1,k) x
场分量的空间编号，采用上面的场量空间离散定义，定义各方向上
Ex
E x t

一维FDTD方法模拟电磁波传播ppt

十三、程序流程说明(FDTD程序)
提取波形注意事项： 1)第一次运行该程序，为了提取入射波，需要将计算空间全部设置为自由空间，并得到数据文件，如inc.dat 2)第二次运行程序，此时提取的波形为入射波和反射波叠加，并得数据文件，inc_ref.dat 3)两次数据相减，得到反射波波形，并生成数据文件ref.dat 4)透射波的提取是第二次运行程序时提取。
一维简易时域有限差分法(FDTD) 计算介质板反射和透射系数
汤炜
一、一维Maxwell方程
假设电场极化方向为x，磁场极化方向为y，波传播方向为z。所有物理量在x、y平面不变，而仅仅为z的函数，一维Maxwell方程为
Ex H y
z
t
H y Ex
z
t
二、时间，空间离散
•核心思想：将计算区域的空间和时间进行划分。空间：例如：三维空间划分为立方块，二维空间划分为正方柱，一维空间划分为平面板。划分的区域非常小，以至于可以认为场量在该区域是不变的。时间：将电磁波的与目标的作用时间划分为很多时间小段，可以认为场量在该时间段内是不变的。
0.5
t
s
Exn
k
1
Exn
k
五、差分与Maxwell方程的结合
H
n.5 y
k
0.5
H
n.5 y
k
0.5
t
s
Exn
k
1
Exn
k
同理根据另一Maxwell方程得：
E n1 x
k
Exn
k
t
s
H
n.5 y
k
0.5
H
n.5 y
k
0.5
两个迭代方程中右边：后时刻场量左边：前时刻场量即如果能够得到前一时刻的电场和磁场，根据方程即可得到后一时刻的场量。

FDTD介绍

FDTD 研究历史和现状
原则上可以求解任意形式的电磁场和电磁波的技术和工程问题, 并且对计算机内存容量要求较低、计算速度较快、尤其适用于并
行算法。现在FDTD法己被广泛应用于天线的分析与设计、目标电
磁散射、电磁兼容、微波电路和光路时域分析、生物电磁剂量学、瞬态电磁场研究等多个领域。经过了近四十年的发展,FDTD法在计算方法和应用上取得了大量成果。近几年来,讨论FDTD法的深入发展和实际应用的文章几乎按指数增长。
的网格空间步长，用Δt表示时间步长。设 f (i,j,k)代表电场或磁
场的,某一分量在时间和空间域中的离散表达式为 f (i,j,k)= f (i x ,j y ,k z )= (i,j,k)
差分格式
Yee网格如图2.2所示，主要表示的是电场和磁场在空间各节点的排布。由图可以看出每个电场的分量周围有四个磁场分量，相应的每个磁场分量周围也有四个电场分量。这种空间的设置方式能够实现空间坐标的差分计算，并且考虑到电磁场在空间
高的计算精度且无论以何种角度入射均无反射。
FDTD 方法介绍
FDTD具有以下基本要素：差分格式、数值特性和吸收边界条件。其计算过程如下：
差分格式
对三维FDTD计算，如，电场分量Ez在t=n+1/2时刻的差分格式为：
式中，i, j, k 分别为x，y，z，方向的网格编号。
差分格式
首先，在直角坐标系中将问题空间沿三个坐标轴方向分成多个网格单元，其中 x, y , z 分别表示在x、y、z坐标方向
好多种吸收边条件都已经被提出来了。一般吸收边界应满足以下
条件：便于执行；计算精度够满足大多数的工程需求；通用性强；数值稳定。
吸边界条件
目前构造吸收边界条件主要有两种思路：一种是从电磁波方程出发构造透射边界条件，最常用的是 Mur 吸收边界和廖氏吸收边界；另一种是在边界上吸收材料建立的吸收边界，例如完全匹配层(PML)，电磁波在无反射地进入吸收材料后，一般会被哀减掉的。其中 Mur 吸收边界具有构造简单、

FDTD仿真报告PPT课件

精确普遍适用能够模拟任意复
杂形状可获得宽谱结果
2
1 FDTD简介-设计流程
1、仿真物理建立：几何结构：材料特性
2、定义仿真区域：边界条件
3、设置激励源（光源） 4、设置监视器
：至少使用一个时间监视器：分析组：记录需要的数据
3
1 FDTD简介-运行与分析
运行仿真文件分布式并行运算并发式并行运算
FDTDSolutions使用报告
姓名：学号：
1
1 FDTD简介-优点
FDTD（时域有限差分）方法是把 Maxwell 方程式在时间和空间领域上进行差分化。利用空间领域内的电场和磁场进行交替计算，通过时间领域上更新来模仿电磁场的变化，达到数值计算的目的。
用该方法分析问题的时候要考虑研究对象的几何参数，材料参数，计算精度，计算复杂度，计算稳定性等多方面的问题。其优点是能够直接模拟场的分布，精度比较高，是目前使用比较多的数值模拟的方法之一。
2、设置仿真区 -设置为3D模式 -BC(Periodic in x, y, PML in z) -”x, y span”=400nm, “z span”=1 micron -Mesh精度为 2
3、设置光源 -平面波，z axis backward -波长400-800nm
4、设置监视器 -movie监视器 -index监视器 -time监视器（置于Si层） -透/反（T/R）射率监视器（每网格50频点） -场分布监视器（3频点）
5
2.1 硅膜层仿真建模
在FDTD Solutions中建立的物理模型，并设置仿真参数。软件会用颜色和线框形象表示出材料、监视器区域等，非常直观。
图2.1 仿真建模
6

fdtd讲座1125

n x
n 2 x
1
设置的边界条件
一维电磁波在介质中传播
n1/2 (k ) E n1/2 (k ) E x x t
r 0 0 x
t
n n 1 [H y (k 1 ) H y (k 2 )] 2
n 1 n 1 Hy (k 1 ) H y (k 2 ) 2
(1.7) (1.8)
式中，时间变量已隐含在迭代公式中, 只要给定了所有空间点上电和磁场的初值，就可以一步一步地求出任意时刻所有空间点上的电场和磁场值。
一维边界条件
x x t 2 c0 3 c0
稳定性条件
x 距离 c0 t 2
电磁波传播距离
E 0 E
E
H
n 1/2 x
(k ) E
1 2
n 1/2 x
t n n 1 (k ) [H y (k 1 ) H y (k 2 )] 2 0 x
1 2
n 1 y
t n 1/2 n 1/2 (k ) H (k ) [ Ex (k 1) Ex (k )] 0 x
0 0 x
n1/2 (k 1) E n1/2 (k )] [E x x
Ex[k ] Ex[k ] Cb[k ]* Hy[k ] Hy[k 1]
Hy[k ] Hy[k ] 0.5 * Ex[k 1] Ex[k ]
Cb[k ] 0.5 / epsilon
•
•
媒质的非均匀性、各向异性、色散特性和非线性等均能很容易地进行精确模拟。 • 由于在网格空间中电场和磁场分量是被交叉放置的，而且计算中用差分代替了微商，使得介质交界面上的边界条件能自然得到满足，这就为模拟复杂的结构提供了极大的方便。

时域有限差分法PPT课件

vg
d
dk
c
(1-10)
这种情况下，群速也是与频率无关。
.
8
1.2 数值色散关系(2)
上述过程也可用于一维标量波动方程差分近似的数值色散分析。
设在离散空间点 xi,tn,离散行波解为 u in u x i,tn e j n t k ~ i x ，
式中，k~ 为存在于有限差分网格中的数值正弦波的波数。一般情况下，不同于连续物理波的波数。正是这种不同导致了数值相速和群速偏离了精确解。进而导致了数值色散误差。
1.5 数值稳定性（1）
• FDTD计算中每一步都是有误差的，随着时间步进，误差会不断积累。如果误差的积累不会造成总误差的增加，就成FDTD法是稳定的，否则成为不稳定的。数值不稳定性会造成计算结果随时间步进无限增加。
• FDTD法是有条件稳定的，即：时间步必须必须小于一定值以避免数值不稳定性。
考虑(1.1)的正弦行波解 ux,tejtkx 代入(1-1)得
j2c2jk2 即
k c
上式便是一维标量波动方程的色散关系。
(1-8)
由上式得相速度
vp
k
c
（1-9）
可见，相速与频率无关，称为非色散。非色散意味着对于具有任意
调制的包络或脉冲形状的波传播任意距离后波形保持不变。进一步
由(1-8)可以得到群速关系
正弦函数
ui=sin(nt+)
高斯函数
ui=exp[-(n-n0)2/T2]
阶跃函数
ui= 0
n<n1
= ( n-n1)/(n2-n1) n1<n<n2
=1
n>n2
“硬源”设置简单，但当反射波回到“硬源”位置时，会引起寄生反射，所以，要在这之前“关”掉源。

FDTD基本介绍

FDTD基本介绍配合FDTD_getting_started看1. 介绍用FDTD Solutions进行模拟是很简单的。

首先，创建一个FDTD Simulation Project文件（扩展名为*.fsp）。

它包含了关于物理结构，光源，监测器，模拟参数的细节。

保存这个工程文件然后运行模拟。

运行完后，结果数据会加到fsp文件，用于分析。

模拟的通常步骤如下图所示。

在接下来的章节中有更详细的描述。

1.1 什么是FDTD？时域有限差分方法已经成为目前最新的在复杂几何条件下解决麦克斯韦方程的方法。

它是一个完全的矢量方法，既给出时域也给出频域的信息，它给电磁学和光子学的所有类型问题都提供了独特的视角。

这个方法在空间和时间上都是离散的。

电磁场和目标结构材料都在一种用所谓的Yee元胞组成的独立的网孔中来描述。

麦克斯韦方程在离散的时域中解决，所用时间步长和光通过网孔尺寸所用时间有关。

当网孔大小趋于零时，这个方法确切的描述了麦克斯韦方程。

供模拟的结构可以有各种各样的电磁材料特性。

多种源可以加入到模拟中，连续迭代（重复）可以使电磁场随时间传播。

一般的，模拟运行后会直到在模拟区域基本上没有电磁场剩下才停止。

时域信息可以在任何空间点被记录。

这些数据可以在模拟的时候记录下来，也可以作为一系列快照在任何用户定义的时间记录下来。

任何空间点的频域信息可能可以通过对该点时域信息的傅里叶变换得到。

因而在一个简单的模拟中得到的基于能流和模型文件的频率可能分布在很广的频率范围。

另外，FDTD获取的近场结果可能被转成远场的，这对于研究散射是很重要的。

1.2 第一步：创建物理结构版图编辑器（图略）用Structures列表创建几何结构。

他们的特性用EDIT编辑。

工具栏，在左边。

用Aligning按钮安排对象的位置。

材料特性：可自行定义或从数据库中选择。

1.3 第二步：设置模拟区域和时间用ADD SIMULATION REGION设置：模拟区域，其大小和位置，网格精度，合适的边界条件。

FDTD介绍解析

FDTD介绍解析FDTD（Finite-Difference Time-Domain）是一种时域有限差分方法，用于求解电磁波在介质中传播的问题。

它是一种直接的数值求解方法，通过离散化时空域，将电磁波的偏微分方程转化为差分方程，利用时间步进的方式进行数值计算，从而得到电磁波在空间中的传播情况。

FDTD方法最早由美国伊利诺伊大学的Kane S. Yee于1966年提出，是时域有限差分方法中最为广泛应用的一种。

它的优点是简单易实现，计算效率高，适用于各种不规则场景和介质。

因此，在电磁学、光学、天线、无线通信等领域中得到了广泛应用。

FDTD方法的基本思想是将时空域离散化，将电磁场的偏微分方程转换为差分方程。

在FDTD方法中，空间域被划分为一个有限的网格，时间域被划分为离散的时间步长。

通过迭代计算，根据已知的初值条件和边界条件，在每个时间步长内更新场量的数值。

FDTD方法主要包括以下几个关键步骤：1.空间网格的划分：将求解区域按照一定精度进行离散，通常采用矩形网格，也可以根据具体问题选择其他形式的网格。

2. 时间步长的确定：根据Courant-Friedrichs-Lewy(CFL)条件，确定时间步长，保证波的传播速度不超过网格尺寸的倒数。

较小的时间步长可以提高求解的精度，但会增加计算量。

3.电场和磁场的更新：通过差分方程更新电场和磁场的数值。

根据麦克斯韦方程组，可以得到电场和磁场的更新公式。

其中，电场的更新公式涉及磁场的数值，磁场的更新公式涉及电场的数值。

4.边界条件的处理：为了模拟无限大的介质，需要对边界进行特殊处理。

常见的边界条件有吸收边界条件和周期性边界条件等。

吸收边界条件可以避免反射和波的传播超出边界，周期性边界条件可以模拟波的周期性传播。

5.辅助量的计算：在求解过程中，可以根据需要计算一些辅助量，如场强、功率流密度等。

这些辅助量可以用于分析电磁波传播的特性和效果。

FDTD方法的应用非常广泛。

在电磁学中，可以用于计算二维或三维空间中的电磁场分布、辐射特性、散射特性等。

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20
数值色散和解的稳定性
❖ 由于 FDTD 方程只是原 Maxwell 旋度方程的一种近似，在计算中存在误差。只有离散后差分方程组的解是收敛和稳定的，这种代替才有意义。收敛性是指当离散间隔趋于零时，差分方程的解在空间任意一点和任意时刻都一致趋于原方程的解。稳定性是指寻求一种离散间隔所满足的条件，在此条件下差分方程的数值解与原方程的严格解的差为有界。
6
三、FDTD的主要应用
❖ 散射，雷达辐射截面RCS ❖ 传播 ❖ 光学 ❖ 地质学和逆散射 ❖ 特殊的材料，包括非线性、色散、负指数和各向异性材料 ❖ 等离子体（耗尽和重新注入） ❖ 雷电、电磁脉冲
7
FDTD的优势
❖ 简单：不涉及格林函数、矩阵、渐近函数和基函数 ❖ 一次计算既可得到宽频带的仿真结果 ❖ 材料类型广泛：电介质和磁介质，色散材料，非线性和各向异性材料 ❖ 普通的几何结构（不是由结构外形指定计算机内存） ❖ 因此适合分析电大尺寸问题 ❖ 非常适合并行处理
多CPU并行计算并行（MPI）
8
FDTD的缺点
❖ 高Q值、强谐振结构、窄带问题 ❖ 矩量法无需计算自由空间的场值（使用自由空间格林函数），因此更适合解决有少量导体的问题（例如小天线） ❖ 在低频，FDTD 的时间步长可能远小于正弦波的周期，因此需要的时间步长很多。我们已经想方设法让XFdtd 更加有效地处理这些问题，然而，我们也可以选择有限元法来计算低频段电小尺寸问题
9
FDTD 方法介绍
❖ ■ 直接从时域求解麦克思维方程 ❖ ■ 把几何结构划分成网格空间 ❖ ■ 网格尺寸远小于波长 ❖ ■ 网格尺寸远小于物体轮廓 ❖ ■ 随时间逐步迭代
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FDTD 方法介绍
❖ 通常情况下，FDTD方法是把 Maxwell 方程式在时间和空间领域上进行差分化。利用蛙跳式(Leap frog algorithm)--空间领域内的电场和磁场进行交替计算，通过时间领域上更新来模仿电磁场的变化，达到数值计算的目的。用该方法分析问题的时候要考虑研究对象的几何参数，材料参数，计算精度，计算复杂度，计算稳定性等多方面的问题。其优点是能够直接模拟场的分布，精度比较高，是目前使用比较多的数值模拟的方法之一。
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FDTD 方法介绍
❖原理：
FDTD方法就是对空间的电磁场E、H 分量在空间和时间上采取交替抽样的离散方式，每一个E(或H)有四个H（或E）场分量环绕，应用这种方式将含有时间变量的麦克斯韦旋度方程转化为一组差分方程，并在时间轴上逐步推进的求解空间电磁场。
12
FDTD 方法介绍
❖ FDTD具有以下基本要素：差分格式、数值特性和吸收边界条件。其计算过程如下：
16
差分格式
17
差分格式
18
差分格式
19
差分格式
❖ 由此可以看出该算法的特点是：在每一个网格点上，各场的分量新值依赖于该点在前一时间步长时刻的值和该点周围邻近点上另外一场量的场分量早 1/2 个时间步长时刻的值。因此任一时刻可依次计算出一个点，并行算法可以计算多个点。这一关系构成了 FDTD 方法的基本迭代步骤。通过这些运算可以交替算出电场与磁场在各个时间步的值
5
三、FDTD的主要应用
❖ FDTD 应用 ❖ 天线——阻抗、辐射、效率、匹配 ❖ 由蜂窝电话，寻呼机，无线局域网引起的生物电磁效应——SAR ❖ 核磁共振成像设计 ❖ FCC 认可的医疗植入通讯服务（MICS） ❖ 微波电路、波导、光纤、S参数 ❖ 电磁兼容（EMC）和电磁干扰（EMI）、屏蔽、耦合
f (i,j,k)= f (i x ,j y ,k z )= (i,j,k)
15
差分格式
❖ Yee网格如图2.2所示，主要表示的是电场和磁场在空间各节点的排布。由图可以看出每个电场的分量周围有四个磁场分量，相应的每个磁场分量周围也有四个电场分量。这种空间的设置方式能够实现空间坐标的差分计算，并且考虑到电磁场在空间互相正交、铰链的关系，也满足了Maxwell方程的积分形式，能够很好地模拟电磁场传播过程。
4
FDTD研究历史和现状
❖ 原则上可以求解任意形式的电磁场和电磁波的技术和工程问题, 并且对计算机内存容量要求较低、计算速度较快、尤其适用于并行算法。现在FDTD法己被广泛应用于天线的分析与设计、目标电磁散射、电磁兼容、微波电路和光路时域分析、生物电磁剂量学、瞬态电磁场研究等多个领域。经过了近四十年的发展,FDTD法在计算方法和应用上取得了大量成果。近几年来,讨论FDTD法的深入发展和实际应用的文章几乎按指数增长。
时域有限差分(FDTD)
第四周
❖
1
时域有限差分(FDTD)
❖ 一、 FDTD研究的背景和意义 ❖ 二、 FDTD研究历史和现状 ❖ 三、FDTD的主要应用和技术 ❖ 四、FDTD 算法介绍（主要）
2
一、FDTD研究的背景和意义
❖ 随着当代半导体制作工艺的发展, 电子设备越来越趋向于小型化和复杂化,其工作环境也日益复杂,同时电磁环境效应问题变得也越来越重要。虽然在应用电磁数值仿真技术方面做了很多研究, 但是实际应用的数值方法仍存有挑战性,特别是如何使用和如何发展现有的电磁场数值技术以适应电大尺寸和多尺度问题仿真。
13
差分格式
❖ 对三维FDTD计算，如，电场分量Ez在t=n+1/2时刻的差分格式为：
式中，i, j, k 分别为x，y，z，方向的网格编号。
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差分格式
❖ 首先，在直角坐标系中将问题空间沿三个坐标轴方向分成多个网格单元，其中 x , y , z 分别表示在x、y、z坐标方向的网格空间步长，用Δt表示时间步长。设 f (i,j,k)代表电场或磁场的,某一分量在时间和空间域中的离散表达式为
3
二、 FDTD研究历史和现状
❖ 19“年,K.5.Yee首次提出电磁场数值计算的新方法—时域有限差分法(FiniteDifferenee一TimeDomain,简称FDTD)。经历了二十年的发展FDTD法才逐渐走向成熟。（具体发展过程略）上世纪80年代后期以来FDTD法进入了一个新的发展阶段,即由成熟转为被广泛接受和应用的阶段。FDTD法是解决复杂问题的有效方法之一,是一种直接基于时域电磁场微分方程的数值算法, 它直接在时域将Maxwell旋度方程用二阶精度的中心差分近似, 从而将时域微分方程的求解转换为差分方程的迭代求解。是电磁场和电磁波运动规律和运动过程的计算机模拟。