第八章 -结构力学

二、结构位移计算的一般公式
由叠加原理：
i
总位移⊿=叠加每个微段变形在该点(A)处引起的微小
i
位移d⊿
d (M N Q )ds
l
如果结构由多个杆件组成，则整个结构变形引起某点
的位移为： (M N Q )ds
l
若结构的支座还有给定位移，则总的位移为：
( M N Q )ds Rkck （9-6）
虚功方程：
1 m M d 0
m M d
例3、悬臂梁在截面B处由于某种原因产生相对
剪位移d，试求A点在i－i方向的位移 Q。
B
d
B
解：①、在B截面处加
i
机构如图（将实际位移状态
A
Q
明确地表示为刚体体系的位 移状态）。
i
②、A点加单位荷载 FP=1，在铰B处虚设一对剪
A
Q
力Q（为保持平衡）
Q 1sin
➢ ① NP， QP ， MP是荷载作用下，结构各截面上
的轴力，剪力，弯矩。注意这是在实际状态下的
内力。
➢ ②E，G材料的弹性模量和剪切弹性模量。
➢ ③A，I杆件截面的面积和惯性矩。
➢ ④EA，GA ， EI杆件截面的抗拉，抗剪，抗弯
1、广义力与广义位移
作功的两方面因素：力、位移。
与力有关的因素，称为广义力S。
与位移有关的因素，称为广义位移Δ。 广义力与广义位移的关系是：它们的乘积是虚功。
即：W=PΔ
1）广义力是单个力，则广义位移是沿此力作用线 方向的线位移。 2）广义力是一个力偶，则广义位移是它所作用的 截面的转角β，即角位移。
mA
Δ A
B
P
Bm B
2、虚功
为了与实功相区别，虚功的虚是指力作功的位移 不是由该力本身引起的，则：
作功的力与相应于力的位移彼此独立无关。
虚功 = 力 × 相应于力的位移 独立无关
二、刚体体系虚功原理的两种应用
• 对于具有理想约束的刚体体系，其虚功 原理为：设体系上作用任意的平衡力系， 又设体系发生符合约束条件的无限小刚体 体系位移，则主动力在位移上所作的虚功 总和恒等于零。
非线性体系： （1） 物理非线性； （2）几何非线性（大变形）。
§9-2 虚功和虚功原理
一、虚功
一个不变的力所做的功是以该力的大小与其作用 点沿力方向相应位移的乘积来衡量。
W=PΔ
（9-1）
把此式的定义扩大：
W —功，单位是N·m P—力 Δ —与力相应的位移
实功是力在自身引起的位移 上所作的功。 虚功是力在虚位移上作的功。 如力与位移同向，虚功为正， 反向时，虚功为负。
设 ds 0,三种相对位移还存在，相当于整个
结构除B截面发生集中变形外，其他部分都是刚体未 变形，即刚体位移，于是可以利用刚体虚功原理求 局部变形位移。
（3）应用刚体虚功原理求出点A的位移d－即前例
的结论。
d M N Q Md Nd Qd
或 d ( M N Q )ds （9-5）
3）若广义力是等值、反向的一对力P
T P A P B P( A B ) P
这里Δ是与广义力相应的广义位移。表示AB两点间距的改 变，即AB两点的相对位移。
4）若广义力是一对等值、反向的力偶 m
T m A mB
m( A B )
P
A
m
这里Δ是与广义力相应的广义 位移。
表示AB两截面的相对转角。
3、根据公式 ( M N Q )ds Rkck可求出⊿。
注意正负号：
①求得⊿为正，表明位移⊿的实际方向与所设单位荷载方 向一致。
②位移计算公式中各乘积表示，力与变形方向一致，乘积 为正，反之为负。
§9-4 荷载作用下的位移计算
一、荷载作用下的结构位移计算公式
根据公式
（9-6）
本节讨论中，设材料是线弹性的。在此，微
FP
D ⊿DV C
φC
B
D’ ⊿CD
⊿CV
C’
⊿CH
A
φCD
二、产生位移的原因
（1）荷载
（2）温度变 （3）支座沉降、制造误差 化、材料胀缩
c
t1
c t2 t1
以上都是绝对位移
AV
BV
以上都是相对位移
广义位移
位移计算虽是几何问题，但是用虚功原理解决最方便
三、计算位移的目的
（1）刚度验算； （2）超静定结构分析的基础； （3）施工措施、建筑起拱、预应力等。
（a）沿拟求位移⊿方向虚设相应单位荷载，并
求出单位荷载作用下的支座反力FRK。
（b）令虚拟力系在实际位移上作虚功，写虚功
方程： （9-3）
（c）由虚功方程，解出所求位移：
（9-4）
例1:
图示三铰刚架，支
座B下沉c1，向右移动 c2。求铰 C的竖向位
移⊿CV和铰左右截面
的相对角位移φC。
⊿CV
φC
l
We Wi （9-11）
1 Rkck M N Q ds （9-12）
适用范围与特点： 1） 适于小变形，可用叠加原理。 2） 形式上是虚功方程，实质是几何方程。【给出已
知变形（内部变形κ、ε、γ0 和支座位移ck），与拟求
位移⊿之间的关系。】 关于公式普遍性的讨论： （1）变形类型：轴向变形、剪切变形、弯曲变形。
c1 l/2 l/2 c2
⊿CV
FP=1
φC
l
虚拟状态
1/4
1/4
实际状态
c1
l/2 l/2 c2
1/2
1/2
⊿CV =-∑FRKcK= - [-1/2×c1 – 1/4×c2 ]= c1/2+ c2/4
(↓)
⊿CV
MP=1
φC
l
1 /l
1 /l
实际状态
c1
l/2 l/2 c2
φC=-∑FRK cK= - [-1/l×c2]= c2 /l (
（2）产生变形的因素：荷载、温度改变、支座移动等。
（3）结构类型：梁、刚架、拱、桁架等静定、超静定。 （4）材料种类：弹性与非弹性，各种变形固体材料。
( M N Q )ds Rkck
位移计算公式也是变形体虚功原理的一种表达式。
K
t1 t2
c2
K
c1
ds
ds d ds
d
1
R1
ds
ds R2 ds
2、求静定结构的未知位移
例1：
c1
图示简支梁，支座A
向上移动一已知距离
c1 ,现在拟求B点的竖向
线位移ΔB。
解：已给位移状态;
虚设力状态，在拟求位移
ΔB方向上加一单位荷 载FP=1，形成平衡力系。
FR1= - b/a
△B
FP=1
虚功方程： △B ·1+c1·FR1 =0
c1
由平衡方程求出： FR1 = - b/a
（2）令机构发生一刚体体系的可能位移，沿X正 方向相应的位移为单位位移，即δx=1，这时，与荷 载P相应的位移为δp，得到一个虚位移状态。
（3）在平衡力系和虚位移之间建立虚功方程
X·1+ΣP δp=0
（4）求出单位位移δx=1与δp之间的集合关系，代
入虚功方程，得到
X=-ΣP δp 这种求约束力和内力的方法，称单位位移法。见教 材P137例9.1
△B
FP=1
△B=FP·c1=b/a ·c1
注：
FR1= - b/a
a、虚设力系，应用虚功原理，称为虚力原理。若
设FP=1，称为虚单位荷载法。 b、虚功方程在此实质上是几何方程。即利用静
力平衡求解几何问题。
c、方程求解的关键，在于拟求⊿方向虚设单位
荷载，利用力系平衡求出与c1相应的R1,即利用平衡 方程求解几何问题。
所以既可把位移视为虚设的，也可把力系视为
虚设的。
•
根据虚设的对象不同，虚功原理有两种应
用形式，解决两类不同的问题。
•
虚功原理的两种不同应用，不但适用于刚
体体系，也适用于变形体体系。
1、求静定结构的未知约束力
应用虚功原理计算静定结构某一约束力X（包括 支座反力或任一截面的内力）步骤如下：
（1）撤除与X相应的约束，代以相应的约束力X， 使原来的静定结构变为具有一个自由度的机构，约 束力X变成主动力X，X与原来的力系维持平衡。
• 即：
We=0
（9-2）
• 理想约束——约束力在可能位移上所作的功恒
等于零的约束，如：光滑铰链、刚性链杆等。
• 刚体 ——具有理想约束的质点系。刚体内力 在刚体的可能位移上所作的功恒为零。
• 虚功原理（又称虚位移原理、虚力原理） 用于讨论静力学问题非常方便，是分析力学的 基础。
•
因为虚功原理中平衡力系与可能位移无关，
段应变 κ、 ε 、 γ0 是由荷载引起的（实际位移状
态），由荷载—内力—应力—应变顺序求出。
• 由材料力学公式可知：
• 荷载作用下相应的弯曲、拉伸、剪切 应变可表示为：
弯曲应变： κ = MP /EI 轴向应变： ε = NP /EA 平均剪切应变： γ0= k QP /GA
(9-13)
➢ 式中：
d
M
N
Q
外虚功： We 1 Rk ck
内虚功：Wi M N Q ds
三、结构位移计算的一般步骤
已知结构杆件各微段的应变κ、ε、γ0（根据 引起变形的原因而定），支座移动ck，求结构某点
沿某方向的位移⊿。
1、沿欲求⊿方向设FP=1。
2、根据平衡条件求出FP=1作用下的M、FN、FQ 、 FR。
ds d ds
ds
d
A
d
d