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结构力学课件：第八章《位移法》解析

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结构力学第8章位移法(f).

结构力学第8章位移法(f).
将系数和自由项代入典型方程并求解，可得
9 Fl 22 Fl 2 Z1 ， Z2 552 i 552 i
结构的最后弯矩图可由叠加法绘制： M
M1Z1 M 2 Z 2 M P
内力图校核同力法，略。
§8-4 位移法的典型方程及计算步骤
位移法计算步骤
（1）确定基本未知量：独立的结点角位移和线位移，加入附加
一个附加联系上的附加反力矩和附加反力都应等于零。
原结构的静力平衡条件
§8-4 位移法的典型方程及计算步骤
为求系数和自由项，绘弯矩图如图a、b、c。
r11 7i
6i r12 l
Fl R1P 8
6i r21 l
15i r22 2 l
F R2 P 2
§8-4 位移法的典型方程及计算步骤
§8-3 位移法的基本未知量和基本结构
确定独立的结点线位移另种一方法
把原结构的所有刚结点和固定支座均改为铰结点→铰结体系，如图b。 此铰结体系为几何不变，原结构无结点线位移。 此铰结体系为几何可变或瞬变，添加最少的支座链杆保证其几何不变， 添加的链杆数目既是原结构独立的结点线位移数目。如图b，加一个水 平支座链杆，体系成为几何不变的。
自由项 作
位移法基本方程
Z1 1 及荷载作用下的弯矩图，如图a、b。
由a图，取结点B为隔离体，由∑MB=0，可得r11=3i+3i=6i 由b图，取结点B为隔离体，由∑MB=0，可得R1P=-24kN· m
i
EI 8m
§8-4 位移法的典型方程及计算步骤
将 r11和R1P代入方程求出
R1P 4kN m Z1 r11 i
r11Z1 r1i Z i r1n Z n R1P 0 ri1Z1 rii Z i rin Z n RiP 0 rn1Z1 rni Z i rnn Z n RnP 0

结构力学位移法课件

结构力学位移法课件

r11
3i
R1P
r11=6i
3i R1Pql2/8
ql 2 Z1ql2/48i
8 MM 1Z1M P
ql2 /16
Z1
M
位移法基本未知数 ----结点位移.
位移法的基本结构 ----单跨梁系.
=
=
Z1
q
EI
EI
Z1
R1
q
EI
EI
ql 2 / 8
R1P
q
位移法的基本方程 ----平衡方程.
+
MP
Z1=1
三.位移法基本结构与基本未知量 无侧移结构(刚架与梁不计轴向变形)
位移法计算, 1个基本未知量
R1=r11 Z1+ R1P =0
基本未知量:独立的 结点位移.包括角位移和线位移 如果把所有的刚结点(包括固定支座)都改为铰结点，则此铰结体系的自由度数就是原结构的独立结点线位移的数目.
有侧移结构(刚架与梁不计轴向变形) 杆端单位位移引起的杆端内力称为形常数.
杆端剪力：使所研究的分离体 有顺时针转动趋势为正，有逆 时针转动趋势为负。
2. 杆端位移的正、负号规定
杆端转角（角位移）：以顺时针方向转动为正，反之 为负 。
杆端相对线位移：指杆件两端垂直于杆轴线方向的相对 线位移，正负号则以使整个杆件顺时针方向转动规定为 正，反之为负。
第八章 位移法
一.单跨超静定梁的形常数与载常数
3. 等截面梁的形常数 杆端单位位移引起的杆端内力称为形常数.
i=EI/l----线刚度
4. 等截面梁的载常数 荷载引起的杆端内力称为载常数.
第八章 位移法
一.单跨超静定梁的形常数与载常数
二.位移法基本概念

结构力学第八章位移法

结构力学第八章位移法

二、等截面直杆的刚度方程
D
EI 1. 两端固定梁 i l
MAB 4iA M BA 2i A
由上图可得： i
A
M AB 4i A 2i B
M BA
B( ) 3．杆件两端相对侧移 杆件两端相对侧移
C ( )
A A
EI
B

A
B 可写成：
6i l 6i 2i A 4i B l
F M BA 0 F M BC
B
EI
C
上图示连续梁，取结点B的转角θB作为基本未 知量，这保证了AB杆与BC杆在B截面的位移协 这保 与 在 截 位移协 调。
2
2）令 ）令B结点产生转角 结点产生转角 B ( ) 。此时 。此时AB、BC杆 杆 类似于B端为固端且产生转角 B 时的单跨梁。
l
MAB
B
MBA
MAB 2iB M BA 4i B
杆件两端相对侧移△，其与弦转角β 的正负 号一致。而β以顺时针方向为正，逆时针方向 为负。 为负 l B A A B
l
13
A
i
MAB
B
B
A
A
EI
B
l
B

A
i
MBA
M AB 4i 2i 6i A l B M 2i 4i 6i BA l
F M AB
A
i EI l
A
B
A
i EI l
A
B
1．结点转角未知量θ 结构有几个刚结点就有几个结点转角未知量。 A B C D
MBA 4iA
MBA 2iA

结构力学 第8章 位移法

结构力学 第8章 位移法

6
杆端内力、位移的符号规定： 杆端内力、位移的符号规定：
●
杆端弯矩: 表示AB杆 端的弯矩 绕杆端顺时针 端的弯矩。 顺时针为正 杆端弯矩: MAB表示 杆A端的弯矩。绕杆端顺时针为正 杆端剪力：绕隔离体顺时针转为正(同前) 杆端剪力：绕隔离体顺时针转为正(同前)。 顺时针转为正 结点转角： 顺时针转为正。 结点转角：以顺时针转为正。 转为正 杆端的相对线位移：使杆件弦转角顺时针转动为正。 杆端的相对线位移：使杆件弦转角顺时针转动为正。 弦转角顺时针转动为正
1 2 3
杆14, 36: 两端固定
4 5 6
基本未知量3个。 基本未知量 个
杆12, 23, 25: 一端固定 一端铰结
23
又例:
m m
原结构
次超静定） （4次超静定） 次超静定
基本结构
次超静定） （5次超静定） 次超静定
24
§8—4 位移法的典型方程及计算步骤 4
基本未知量为: 基本未知量为:Z1、Z2 。 基本结构如图。 基本结构如图。 R1—附加刚臂上的反力矩 附加刚臂上的反力矩 F R2—附加链杆上的反力 附加链杆上的反力 l 据叠加原理, 则有 据叠加原理, 2 R1=R11+R12+R1P=0 R2=R21+R22+R2P=0
EI
可见， 不独立, 代入第一式: 可见，B=f (A、△AB), 不独立 代入第一式 MAB=3iA 式中 （转角位移方程） 转角位移方程） （固端弯矩） 固端弯矩）
l
t2
16
§8—3 位移法的基本未知量和基本结构 3
1.位移法的基本未知量 1.位移法的基本未知量
位移法的基本未知量是各结点的角位移和线位移, 位移法的基本未知量是各结点的角位移和线位移, 计算时应 各结点的角位移 独立的角位移和 数目。 首先确定独立的角位移 线位移数目 首先确定独立的角位移和线位移数目。 (1) 独立角位移数目 同一刚结点,各杆端转角相等一个独立的角位移未知量。 一个独立的角位移未知量 同一刚结点,各杆端转角相等一个独立的角位移未知量。 固定支座处，转角=0,已知量; =0,已知量 固定支座处，转角=0,已知量; 铰结点或铰支座各杆端的转角不独立，不必作为基本未知量。 铰结点或铰支座各杆端的转角不独立，不必作为基本未知量。 独立角位移数目= 独立角位移数目=结构刚结点的数目

结构力学位移法PPT_图文

结构力学位移法PPT_图文
6．校核。
用位移法分析超静定结构时，把只有角位移没有线位移结构，称无侧移 结构，如连续梁； 又把有线位移的结构，称为有侧移结构。如铰接排架 和有侧移刚架等。
位移法应用举例
例题1 试计算图示连续梁，绘弯矩图。各杆EI相同。
22.5
5、依M=M1X1+ M2X2+ MP绘弯矩图
例题2 试计算图示刚架，绘弯矩图。各杆EI相同。 Z1 Z2
(a)
(b )
(c)
1）求qA1,qA1见上图(b) (d
(e)
(f)
(g )
2）求qA2,qA2见图(c) 3）叠加得到
由平衡条件得杆端剪力：见图(g)
等截面直杆的转角位移方程，或典型单元刚度 方程。
4）当考虑典型单元上同时也作用荷载时的单元 刚度方程
MfAB
MfBA
式中，MfAB、MfBA——为两端固定梁在荷载单独作 用下的杆端弯矩(固端弯矩或载常数)
四、一端固定、另一端铰支梁的转角位移方程
φA P
MAB A φA
QAB
q
βAB
EI
l
B ΔAB
B'
QBA
五、一端固定、另一端定向支承梁的转角位移方程
φA P
MAB A φA
QAB
q
βAB
EI
l
B
B' MBA
× ×
表9－1 等截面单跨超静定梁的杆端弯矩和剪力
28
29
30
31
32
9.3 基本未知量数目的确定
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
§9-5 用位移法分析具有剪力静定杆的刚架

结构力学课件矩阵位移法整体分析-先处理法

结构力学课件矩阵位移法整体分析-先处理法
第八章 矩阵位移法 8.4 整体分析
Global analysis
第八章 矩阵位移法 8.5 先处理法
后处理法的计算步骤
1. 结点、单元标码，并选择整体坐标系和局部坐标系； 2. 结点位移分量编码，建立整体坐标系下的结点位移列阵和结
点力列阵； 3. 建立局部坐标系下单元刚度矩阵，坐标变换，建立整体坐标
4(0,0,7) x
O
（2）建立结点位移列阵和结点力列阵
y
FP1 2(1,2,3) FP2 3(4,5,6)
②
①
③
1(0,0,0) O
4(0,0,7)
FP1
0
1
2
F
0 0
,
3 4
FP
2
5
0
6
0
7
x
（3）建立整体坐标系下单元刚度矩阵
k e
ke TT k eT
k (3) 46
k (2) 56
k (3) 56
k (2) 66
k (3) 66
0 1
0
2
0 k (3)
47
3 4
k
(3) 57
5
k
(3) 67
6
k
(3) 77
7
先处理法的计算步骤
1. 结点、单元标码，并选择整体坐标系和局部坐标系； 2. 结点位移分量编码，建立整体坐标系下的结点位移列阵和结
l 6EI
l2
4 0
0
0
4EI
0
l
②单元
y 3(1,0,3)
2(1,0,2)
②
4(1,0,4)
①
③
1(0,0,0)
5(0,0,0) x

结构力学位移法ppt课件

结构力学位移法ppt课件

为了消除基本结构与原
Z1
结构的差别，在结点1的附
R11
加约束上人为地加上一个外
Z1
力矩R11，迫使结点1正好转
动了一个转角Z1，于是变形
复原到原先给定的结构。
.
R1P
P
基本结构
=
+
Z1
R11
Z1
.
结点1正好转动一个转角Z1时，所加的附加约束不再 起作用，其数学表达式为：
R1=0 即外荷载和应有的转角Z1共同作用于基本结构时，附 加约束反力矩等于零。
.
R1P
P
在基本结构上加上原来的 力P，由于附加刚臂不允许结 点1转动，此时只有梁lB发生 变形，梁1A则不变形。
基本结构
此时附加刚臂中产生了反力矩R1P，反力矩规定以顺时 针为正。于是，基本结构与原结构就发生了差别，表现为：
1．由于加了约束，使结点1不能转动，而原来是能转动 的。
.
2．由于加了约束，产生了约束反力矩，而原来是没有 这个约束反力矩的。
结构 力学Ⅱ
STRUCTURE MECHANICS
南华大学建资学院道桥教研室
.
结构力学Ⅱ
讲 授： 课件制作：
刘华良 刘华良
南华大学建资学院道桥教研室 衡阳 2005年
.
第八章 位移法
(Displacement Method)
.
内容
位移法的基本概念
等截面直杆的物理方程
位移法基本未知量数目的确定
位移法的两种思路:位移法典型方程和直接平衡方程
+
2i A
B
2iB
4iB
y 由线性小变形，由叠加原理可得
+
6iAB/l

结构力学课件：第八章《位移法》解析

结构力学课件：第八章《位移法》解析

r11Z1+ ···+ r1iZi+ ···+ r1nZn+R1P=0 ····················································
ri 1Z1+ ···+ ri iZi+ ···+ ri nZn+Ri P=0
(8—6）
····················································
FP=20kN MBA
EI 3m 3m
M BA
M BC
(c)
q=2kN/m
EI
6m
(d)
(e)
M
BA
4i B
Pl 8
M BC
3i B
ql 2 8
M BA M BC 0 得:
B
6 7i
17
3)由结点B的平衡条件建立 位移法方程见图(e)
4)计算杆端总弯矩
M
AB
2i(
6) 7i
15
16.72(k N
这样，结构独立角位移数目就等于结构刚结点的数目。
1
2
例如图示刚架
独立的结点角位移
数目为2。
4
5
3
6
返10回
(2)独立线位移数目的确定
在一般情况下，每个结点均可能有水平和竖向两个线位移。
但通常对受弯杆件略去其轴向变形，其弯曲变形也是微小的，于
是可以认为受弯直杆的长度变形后保持不变，故每一受弯直杆就
相当于一个约束，从而减少了结点的线位移数目，故结点只有一
单跨超静定梁(或可定杆件)。通常 的做法是，在每个刚结点上假想 1

结构力学位移法详解

结构力学位移法详解

基本系
FP 单独作用
1 单独作用
1 , FR1P , FR11 规定顺时针为正
基本系与原结构在附加约束处的受力状况, FR1 0 FR1P FR11 0
典型方程---表示结点B 处的力矩平衡. k111 FR1P 0
求系数和自由项
FR1P 1 FP l 8
k11 4i 4i 4i 12i
§8.1 位移法的基本概念
基本未知量 B
FR1 0
在结点B附加一刚臂------基本体系
FR1 FR1P FR11
基本系
FP 单独作用
1 单独作用
1 , FR1P , FR11 规定顺时针为正
基本系与原结构在附加约束处的受力状况, FR1 0 FR1P FR11 0
X1
X2
X3
X1
X2
1C [1 b ( l ) ]
l
X1 1
0
1
X2 1
0
1 1 1 0 X3 1
0 0
l b 2 C a 3C
1.两端固定受支座转角作用的力 法方程：
1.两端固定受支座转角作用：
位移法
(Displacement Method)
FP 单独作用
1 1 单独作用
解方程
1 12i1 FP l 0 8
FPl FPl 2 1 (顺时针) 96i 96 EI
作弯矩图
FPl 2 1 96 EI
FP 单独作用
1 1 单独作用
M M11 M P
Z1
EI
q
EI
Z1
Z1=1
=
Z1

《结构力学》第八章 位移法

《结构力学》第八章 位移法

位移未知数确定举例
位移未知数确定举例
位移未知数确定举例
位移未知数确定举例
位移未知数确定练习
na 5 nl 2
na 2 nl 2
位移未知数确定练习
na 3 nl 4
na 0 nl 1
位移未知数确定练习
na 3 nl 1
na 3 nl 0
位移未知数确定练习
na 2 nl 3
基本思路
两种解法对比：
典型方程法和力法一样，直接对结构按统 一格式处理。最终结果由迭加得到。
平衡方程法对每杆列转角位移方程，视具 体问题建平衡方程。位移法方程概念清楚， 杆端力在求得位移后代转角位移方程直接可 得。
位移法方程：
两法最终方程都是平衡方程。整理后形式 均为：
K R 0
典型方程法基本概念
有一(A 点
转角,设为
).
位移法第一种基本思路
利用转角位移 方程可得:
M AD M
M AC
3i
ql 2 8
M AB
4i
FP l 8
M AE
i
FP l 2
在此基础上,由图示结点平衡得 M 0
第一种基本思路
位移法思路(平衡方程法)
以某些结点的位移为基本未知量 将结构拆成若干具有已知力-位移(转角-位移) 关系的单跨梁集合 分析各单跨梁在外因和结点位移共同作用下 的受力 将单跨梁拼装成整体 用平衡条件消除整体和原结构的差别,建立 和位移个数相等的方程 求出基本未知量后,由单跨梁力-位移关系可 得原结构受力
超静定单跨梁的力法结果(3) 载
载 载
1
超静定单跨梁的力法结果(4) 载 形 形 载
超静定单跨梁的力法结果(5) 载 载 载

结构力学位移法分解课件

结构力学位移法分解课件
结构力学位移法分解课件 PPT模板
目录
• 位移法的基本概念与原理 • 位移法的计算步骤与应用 • 位移法的关键问题与解决方法 • 位移法的拓展应用与前沿研究
01
位移法的基本概念与原理
位移法的定义
定义描述
位移法是结构力学中的一种分析方法， 通过设定结构节点的位移未知量来求解 结构内力。
VS
基本思想
04
位移法的拓展应用与前沿 研究
位移法在复杂结构分析中的应用
01
应用概述
位移法能够用于分析复杂结构中 的受力情况和变形行为，为工程 设计提供准确的数据支持。
优点介绍
02
03
案例分析
位移法具有计算精度高、适用范 围广等优点，在复杂结构分析中 发挥着重要作用。
通过多个复杂结构分析的案例， 展示位移法的应用过程及取得的 成果。
02
高阶单元应用
通过细化单元划但同时也会增加计算量和求解时 间，需要权衡考虑。
采用高阶单元可以更好地逼近结构的 真实位移场，提高计算精度。常用的 高阶单元包括二次单元、三次单元等 。
03
迭代法和增量法
对于非线性问题，可以采用迭代法和 增量法来提高位移法的求解精度。这 些方法通过逐步逼近真实解，避免一 次性求解带来的误差和困难。
03
机械工程
在机械工程中，位移法可以用于分析复杂机械结构的性能，例如齿轮传
动系统、轴承支撑结构等。这些分析有助于优化机械设计，提高其运行
稳定性和效率。
03
位移法的关键问题与解决 方法
位移法中的关键问题
刚度矩阵构建问题
在位移法中，如何准确快速地构建结构刚度矩阵是一个关键问题。这需要理解和掌握单元刚度矩阵和整体刚度矩阵的构建方法。
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1
第八章 位 移 法
§8—1 概述 §8—2 等截面直杆的转角位移方程 §8—3 位移法的基本未知量和基本结构 §8—4 位移法的典型方程及计算步骤 §8—5 直接由平衡条件建立位移法基本方程 §8—6 对称性的利用
2
§8—1 概 述
力法和位移法是分析超静定结构的两种 基本方法。力法于十九世纪末开始应用，位 移法建立于上世纪初。
（2）确定以结构上的哪些位移作为基本未 知量。 （3）如何求出这些位移。
下面依次讨论这些问题。
返5回
§8—2 等截面直杆的转角位移方程
本节解决第一个问题。
用位移法计算超静定刚架时，每根杆件均视为单跨超静定梁。
计算时，要用到各种单跨超静定梁在杆端产生位移(线位移、角位
移)时,以及在荷载等因素作用下的杆端内力(弯矩、剪力)。为了应
1.位移法的基本未知量 在位移法中，基本未知量是各结点的角位移和线位移。计 算时，应首先确定独立的角位移和线位移数目。
(1) 独立角位移数目的确定 由于在同一结点处，各杆端的转角都是相等的，因此每一个 刚结点只有一个独立的角位移未知量。在固定支座处，其转角等 于零为已知量。至于铰结点或铰支座处各杆端的转角，由上节可 知，它们不是独立的，可不作为基本未知量。
单跨超静定梁(或可定杆件)。通常 的做法是，在每个刚结点上假想 1
2
3
地加上一个附加刚臂(仅阻止刚结
点转动),同时在有线位移的结点上
加上附加支座链杆(阻止结点移动)。
例如 (见图a) 基本未知量三个。4
5
6
3
4
(a)
1 2
又例如(见图b)
共有四个刚结点，结点线位移 数目为二，基本未知量为六个。 基本结构如图所示。
可由式(8—1）导出，设B端为铰支，则因
MBA= 4i B +2i A__
=0
A
P t1 B
有
EI
t2
l
可见，B可表示为A、△AB的函数。将 此式代入式(8—1)第一式，得
MAB=3iA
(8—3）（转角位移方程）
式中
（8—4）（固端弯矩）
杆端弯矩求出后，杆端剪力便不难由平衡条件求出。 返9回
§8—3 位移法的基本未知量和基本结构
个独立线位移(侧移)。例如(见图a）
△
4、5、6 三个固定 端 都是不动的 1
2△
3△
点，结点1、2、3均无竖向位移。
又因两根横梁其长度不变，故三个 P
结点均有相同的水平位移△ 。
4
5
6
(a)
事实将上结，图构(a的)所刚示结结点构(的包独括立固线定位 支 座移数)都目变，成与图铰(结b)所点示(成铰为结体铰系结的体线系),
力法——以多余未知力为基本未知量， 由位移条件建立力法方程，求出内力后再 计算位移。
位移法—以—某些结点位移为基本未 知量，由平衡条件建立位移法方程，求出 位移后再计算内力。
返3回
位移法的基本概念
以图示刚架为例予以说明
刚架在荷载P作用下将发生如虚 线所示的变形。在刚结点1处发生转
Z1
P
1
Z1
2
角Z1，结点没有线位移。则12杆可 以视为一根两端固定的梁（见图）。 1 其受荷载P作用和支座1发生转角Z1 这两种情况下的内力均可以由力法
A′
X1
1
，
由图知
XA
这里，AB称为弦转角，顺时针为 正。 △1t、△2t 由第七章公式计算。
P
t1 B
L
t2
AB
B
P
t1
B′
t2 X2
X3
XB AB
M1图
1
M
图
2
MP图
返回
7
将以上系数和自由项代入典型方程，可解得 X1=
X2=
令
称为杆件的线刚度。此外，用MAB代替X1，用
MBA代替X2，上式可写成来自P12
Z1
求得。同理，13杆可以视为一根一 Z1 端固定另一端铰支的梁（见图）。
Z1 EI=常数
而在固定端1处发生了转角Z1，其 内力同样由力法求出。
可见，在计算刚架时，如果以
3
3
ll
22
Z1为基本未知量，设法首先求出Z1，
则各杆的内力即可求出。这就是位移法的基本思路。 返4回
由以上讨论可知，在位移法中须解决以下 问题： （1）用力法算出单跨超静定梁在杆端发生 各种位移以及荷载等因素作用下的内力。
则位移使数其目成是为相几同的何。不因变此添，加实用的上最少
(b)
链移为 位了 移杆数能 数数目简 目，(见捷 ，即地 可图为确 以b)定原。出结结构构的的独独立立线返线11回位
2.位移法的基本结构
用位移法计算超静定结构时，每一根杆件都视为一根单跨超静
定梁。因此，位移法的基本结构就是把每一根杆件都暂时变为一根
用方便，首先推导杆端弯矩公式。 如图所示，两端固定的等截
面梁除，受荷载及温度变化外，两
支座还发生位移：转角 A、 B 及侧移△AB转。角A、B顺时针为 正，△AB则以整个杆件顺时针方 向转动为正。
A EI
A A′
P L AB
t1 B t2
B
在位移法中，为了计算方便，弯
矩的符号规定如下：弯矩是以对杆 端顺时针为正(对结点或对支座以逆
这样，结构独立角位移数目就等于结构刚结点的数目。
1
2
例如图示刚架
独立的结点角位移
数目为2。
4
5
3
6
返10回
(2)独立线位移数目的确定
在一般情况下，每个结点均可能有水平和竖向两个线位移。
但通常对受弯杆件略去其轴向变形，其弯曲变形也是微小的，于
是可以认为受弯直杆的长度变形后保持不变，故每一受弯直杆就
相当于一个约束，从而减少了结点的线位移数目，故结点只有一
MAB= 4iA+2i B－ MBA= 4i B +2i A－
(8—1）
式中
(8—2）
是此两端固定的梁在荷载、温度变化等外因作用下的杆端
弯矩，称为固端弯矩。
返8回
MAB= 4iA+2iB __ MBA= 4iB +2iA__
(8—1）
式(8—1）是两端固定的等截面梁的杆端弯矩的一般公式，通常称
为转角位移方程。 对于一端固定另一端简支的等截面梁(见图)，其转角位移方程
5
6
7
(b)
返12回
位移基本未知量的确定举例
例8-1：试用位移法计算图(a)所 示连续梁，并作梁的弯矩图。
FP=20kN
q=2kN/m
EI
EI
3m 3m
6m
(a)
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解 1)确定位移法基本未知量(图(b))
A
MAB
时针为正图)。中所示均为正值。
B′ MBA
返6回B
用力法解此问题，选取基本 结构如图多。余未知力为X1、X2。
力法典型方程为
11X1+12X2+ △1P+ △1t+ △1△=A
21X1+22X2+ △2P+ △2t +△2△=B
为计算系数和自由项，作 、 、MP图。由图乘法算出：
，
A EI A