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圆锥曲线方程专题讲座(第20讲)

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圆锥曲线方程专题讲座 一、 二次曲线系（一）共焦点圆锥曲线系1ty tc x222=++当t>0时，表示共焦点（±c,0）的椭圆系；当-c 2<t<0时，表示共焦点（±c,0）的双曲线系； 当t<-c 2时无轨迹。

[例1]已知椭圆的焦点坐标是（0，3），（0，-3），且经过点（1，-2），求椭圆的标准方程。

解：3c,3c 2=∴=。

又焦点坐标为（0，3），（0，-3），曲线为椭圆，故设所求方程为)0t (1t3ytx 22>=++∵椭圆过点（1，-2），∴()1t32t12=+-+。

化简整理得 t 2-2t-3=0。

∴t=3或t =-1（舍去） 故所求椭圆方程为16y3x22=+。

说明 运用共焦点曲线系建立方程时，一是要注意焦点所在的坐标轴，二是应注意参数t 的取值范围。

[例2] 求以椭圆13y13x22=+的焦点为焦点，以直线x 21y ±=为渐近线的双曲线方程解 由椭圆方程13y13x22=+知a 2=13，b 2=3，则c 2=10，焦点在x 轴上。

设共焦点的双曲线系方程为),10t 0(1ty t10x22<<=--其渐近线方程为,0ty t10x =±- 已知双曲线的渐近线方程为x 21y ±=，41t10t =-∴，解得t=2。

故所求双曲线方程为.12y8x22=-说明 这里由于出现参数t 的二次根式，所以设t>0，但要改变共焦点的二次曲线系方程中相应的符号。

与椭圆1b y ax 2222=+共焦点的二次曲线系方程也可以设为1kb yka x2222=-+-（0<b<a ，则a 2>k ≠b 2，k 为参数）。

（二）具有相同离心率的圆锥曲线系[例3]已知椭圆的离心率是21，焦点在x 轴上，且被直线2x 21y +=截得的弦长为53，求椭圆的标准方程。

解：43211e1a b 22=⎪⎭⎫⎝⎛-=-=，又其焦点在x 轴上，∴ 设椭圆方程为().03y4x22>=+λλ即 .012y 4x 322=-+λ 将 2x 21y +=代入，整理得.034x 2x 2=-++λ由韦达定理可知：x 1+x 2=-2,x 1x 2=4-3λ 由弦长公式，有 ()212212212x x 4x x k1x x k153-+⋅+=-+==()()λ344221122---⋅⎪⎭⎫⎝⎛+=()335-λ 解得4=λ。

故所求椭圆方程为43y4x22=+，即.112y16x22=+说明 应用具有相同离心率的圆锥曲线系方程时，同样要注意其焦点所在的坐标轴及圆 锥曲线的类型。

（三）共渐近线的双曲线系()0by ax 2222≠=-λλ显然，它们的公共渐近线为.0by a x 2222=-[例4]求与双曲线14y16x22=-共渐近线且与直线x-y-1=0相切的双曲线方程。

解：设此双曲线方程为,164y16x22λ=-由方程组⎩⎨⎧=--=-01y x y 4x 22λ消去x 得3y 2-2y+（λ-1）=0。

由双曲线与直线相切知 .34,0)1(344==-⨯-=λλ∆得将34=λ代入方程组得所求的双曲线方程为3x 2-12y 2=4。

二、 求轨迹的几种方法求轨迹方程是解析几何中主要类型题之一，求轨迹的方法通常有：定义法、参数法、交轨法、转化法、待定系数法。

下面我们逐一介绍。

（一）定义法利用圆和圆锥曲线的定义及其标准方程，依据已知条件，直接定出轨迹方程的方法叫做定义法。

[例1]过原点O 的一条直线交圆x 2+(y-1)2=1于点Q ，在直线OQ 上取一点P ，使点P 到直线y=2的距离等于|PQ |，当直线PQ 绕点O 旋转时，求动点P 的轨迹方程。

解：如图所示，设动点P 的坐标为(x,y)，作PD 垂直于直线y=2，垂足为D 。

（1）当点P 不在y 轴上时，PQ PD =P D A Rt ∆∴≌PQA Rt ∆从而∠1=∠2。

又PD ∥OA ，∴∠1=∠3。

从而∠2=∠3。

∴|OP |=|OA |=2。

这时，点P 的轨迹方程为x 2+y 2=4(x ≠0)。

（2）当点P 在y 轴上时，∵点Q 与D 重合于点A ，∴y 轴上任一点P 都满足|PD |=|PQ |。

这时，点P 的轨迹方程为x=0。

于是由（1），（2）可知，动点P 的轨迹方程为x 2+y 2=4(x ≠0)或x=0。

（二）参数法[例2] 已知∠MON =120°，长为32的线段AB 的两段A ，B 分别在OM ，ON 上滑动，求AB 中点P 的轨迹方程。

分析 中点P 依赖于A ，B 两点，设A ，B 的横坐标为参数，利用|AB |=32消去参数，便可得到P 的轨迹方程。

解：如图所示，以O 为原点，∠MON 的平分线为x 轴的正方向，则射线ON ，OM 的方程分别为)0x (x 3y )0x (x 3y ≥-=≥=和。

设()()()0x ,0x x 3,x A ),x 3,x (B ,y ,x P 212211>>-，则()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=2121x x 23y 2x x x,32AB =()(),32x x 3x x 22121=++-∴即(x 1-x 2)2+3(x 1+x 2)2=12 把式①②代入式③中，得(),12x 23y 3222=⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 即 .19yx 22=+解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=19y x x 3y 22故动点P 的轨迹方程为 )23x (19yx 22>=+。

（三）交轨法①②23x0x =>得注意当动点P 是两条动直线（或动曲线）的交点时，求动点P 的轨迹方程，可选择适当的参数，表示这两条动直线（或动曲线）的方程，从而解方程组消去参数，便得动点P 的轨迹方程。

[例3]如图8—24所示，在直角坐标系xOy 中，已知矩形OABC 的边长|OA |=a ,|OC |=b ，点D 在AO 的延长线上，且|DO |=a ，设M ，N 分别是OC ，BC 边上的动点，且0NCBN MCOM ≠=，求直线DM 与AN 的交点P 的轨迹方程。

解 如图所示，点A ，D 的坐标分别为(a,0),(-a,0)。

设)a t 0(t BN <<=，则点N 的坐标为(a-t,b)。

NC BN MC OM = ，.BCBN OCOM =∴ 从而 .a bt OC BCBN OM =⋅=⎪⎭⎫⎝⎛∴a bt ,0M 的坐标为点。

直线DM 的方程为1bt aya x =+-直线AN 的方程为ta x by --=设动点P 的坐标为(x,y)，则从式①②中消去参数t ，得P 的轨迹方程为).0y ,0x (1by ax 2222>≥=+（四）代入法对于已知曲线C:F(x,y)=0上的各点M ，按照某种法则，同一平面上的点P 与它对应，当点M 在曲线C 上移动时，点P 的轨迹是曲线*C ，则称*C 为C 的伴随曲线。

求伴随曲线*C 的方程一般用代入法。

其步骤如下：设点P ，M 的坐标分别为(x,y),(x 1,y 1)，则F(x 1,y 1)=0。

由点M 与点P 的关系，求得x 1=f(x,y),y 1=g(x,y),然后用代入法，即可得到点P 的轨迹方程为F(f(x,y,),g(x,y))=0。

[例4] 从原点O 作圆(x-2)2+y 2=4的动弦OP ，把OP 延长到M ，使PM 21OP =，求动点M 的轨迹方程。

解 如图所示，设点M ，P 的坐标分别为(x,y),(x 1,y 1)，则()4y 2x 2121=+-①②.21PMOP ,PM 21OP =∴=从而.211y 21y ,211x 21x 11+=+=即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==3y y 3x x 11把式②③代入式①中，得,43y 23x 22=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-于是，动点M 的轨迹方程为().36y6x 22=+-（五）待定系数法当曲线的议程的类型已知时，求这曲线方程的具体表达式，可用待定系数法。

[例5] 求以直线0y 5x 4=+和040y 5x 4=--为渐近线，焦点在直线04y =+上且焦距是414的双曲线方程。

解 如图所示，解方程组 ⎩⎨⎧=--=+040y 5x 40y 5x 4得 ⎩⎨⎧-==4y 5x即两直线的交点坐标为（5，-4）。

又双曲线的中心为O ’（5，-4）。

由已知条件可设这双曲线的方程为 ()())0b ,b a (1b4y a5x 2222>>=+--为0b4y a5x =+±-即：0)4y (a )5x (b =-±-结合已知渐近线方程54ab =从而可设).0k (k 4b ,k 5a >==412c ,414c 2=∴= 。

.2k ,414k 41b a c 2222=∴⨯==+= 于是a =10，b =8。

故所求的双曲线方程为 ()().1644y 1005x 22=+--三、求最值方法总结解析几何中的最值涉及代数、三角、几何诸方面的知识，问题复杂，解法灵活。

现把这类问题的解法总结如下： （一）利用综合几何法求最值利用平面几何中的极值定理求解最值问题的方法叫做综合几何法。

这种解法如果运用得当，往往显得非常简捷、明快。

[例1]如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，A ，B 是y 轴正方向上给定的两点，试在x 轴正方向上求一点C ，使∠ACB 取得最大值。

解：如图所示，过A ，B 两点作圆与x 轴正方向相切于点C 。

设C ’是x 轴正方向上异于点C 的任一点，连结BC ，AC ，BC ’，AC ’，则由平面几何知识，易得∠ACB ＞∠AC ’B ，从而点C 即为所求。

设a OA ,b OB ==，则由切割线定理，得 ab OA OB OC2=⋅=，ab OC =∴。

即所求的点C 的坐标为()0,ab 。

（二）利用二次函数的性质求最值[例2]过点B （0，-b ）作椭圆)0b a (1by ax 2222>>=+的弦，求这些弦长的最大值。

解：如图所示，设点M(x,y)是椭圆上任一点，则1by ax 2222=+，即).by 1(a x 2222-=从而 ()22b y x BM ++=).b y b (c a c b y b cbby 2yby a a2222322222222≤≤-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=+++-=于是，（1）若2323cb y ,b 2a ,b cb =≥≤则当即时，|BM |取得最大值ca2；（2）若b cb 23>，即b 2a <，则当y=b 时，|BM |取得最大值b 2c a c b b b c2222322=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛--。

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专题 圆锥曲线的定义、方程与性质(课件)2023届高考数学二轮专题复习

专题 圆锥曲线的定义、方程与性质(课件)2023届高考数学二轮专题复习

A. B. C. D.
√
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解析：由题意可知，抛物线 的标准方程为 , ,设直线 的方程为 , , ,联立得 消去 ,得 , ,则 , . ,所以当 时， 的面积取得最小值，最小值为2，故选D.
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（2）（2022·新高考卷Ⅱ）已知直线 <m></m> 与椭圆 <m></m> 在第一象限交于 <m></m> ， <m></m> 两点， <m></m> 与 <m></m> 轴、 <m></m> 轴分别交于 <m></m> ， <m></m> 两点，且 <m></m> , <m></m> ，则 <m></m> 的方程为__________________．
，所以 ①,又 ②, 得 ,所以四边形 的面积为18.
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考点二 圆锥曲线的几何性质
例2.（1）（2022·陕西西安五校高三联考）已知双曲线 <m></m> 的离心率为2，则双曲线 <m></m> 的渐近线方程是( )
A. B. C. D.
解析：由题意可知，双曲线的实半轴长的平方 ,虚半轴长的平方 ,所以双曲线的离心率 满足 ,从而 ,所以双曲线的渐近线方程为 ,故选A.
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2. <m></m> ， <m></m> 是椭圆 <m></m> 的两个焦点， <m></m> 是椭圆 <m></m> 上异于顶点的一点， <m></m> 是 <m></m> 的内切圆圆心，若 <m></m> 的面积等于 <m></m> 的面积的3倍，则椭圆 <m></m> 的离心率为_ _.
圆锥曲线PPT优秀课件

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F1
.
F0 A2 x
其中 a2 b2 c2 , a 0,b c 0 ， F0 , F1, F2 是对应的焦点。 B1
（1）若三角形 F0 F1F2 是边长为 1 的等边三角形，求“果圆”的方程；
（2）若
A1 A
B1B
，求
b a
的取值范围；
解：（1）∵F0（c，0）F1（0， b2 c2 ），F2（0， b2 c2 ）
①；
∵点 P1, P2 在双曲线上，∴点 P1, P2 的坐标适合方程①。
将 (3, 4
2
),
(
9 4
,
5)
分别代入方程①中，得方程组：
(4 2)2 a2
32 b2
25 a2
(
9)2 4 b2
1
1
将
1 a2
和
1 b2
1
看着整体，解得
a2 1
1 16
1
，
b2 9
∴
a 2 b2
16 即双曲线的标准方程为 y2
9
16
x2 9
1。
点评：本题只要解得 a2 ,b2 即可得到双曲线的方程，没有
必要求出 a,b 的值；在求解的过程中也可以用换元思想， 可能会看的更清楚。
(4) 与双曲线 x 2 y 2 1有共同渐近线， 9 16
且过点 (3,2 3) 。
解析：（4）设所求双曲线方程为 x2 y 2 ( 0) ，
3 m
5 n
1
定义，还要知道椭 圆中一些几何要素
所以，椭圆方程为 y2 x2 1 ． 与椭圆方程间的关
10 6
系。
例 2．设椭圆的两个焦点分别为 F1、、F2，过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P，若△F1PF2 为
专题(20)圆锥曲线焦点三角形求解策略

专题(20)圆锥曲线焦点三角形求解策略

高三第二轮专题复习专题（20）——圆锥曲线焦点三角形 一、椭圆的焦点三角形1、椭圆焦点三角形的一般性质（1）判断椭圆焦点三角形的形状例1、椭圆1121622=+y x 上一点P 到焦点21,F F 的距离之差为2，试判断21F PF ∆的形状. 解：由椭圆定义：3||,5||.2||||,8|||212121==∴=-=+PF PF PF PF PF PF . 又4||21=F F ，故满足：,||||||2122122PF F F PF =+故21F PF∆为直角三角形. （2）椭圆焦点三角形的面积例2、已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a b y a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中,21θ=∠PF F 则2tan221θb S PF F =∆.解：θc os 2)2(2122212212PF PF PF PF F F c -+==)cos 1(2)(21221θ+-+=PF PF PF PF ，θθθcos 12)cos 1(244)cos 1(24)(222222121+=+-=+-+=∴b c a c PF PF PF PF ， 2tan cos 1sin 21222121θθθb b PF PF S PF F =+==∴∆. 变式：已知P 是椭圆192522=+y x 上的点，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点， 212121=，则12F PF ∆的面积为（ ）. A.33 B.32 C.3 D.33 解：设θ=∠21PF F ，则21cos 2121==θ，.60︒=∴θ122tan9tan 302F PF S b θ∆∴==︒= A.（3）椭圆焦点三角形顶角的最大值.例3、已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a by a x 左右两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF ，若21PF F ∠最大，则点P 为椭圆短轴的端点.证明：设,,2211r PF r PF ==则在21PF F ∆中，由余弦定理得：222222212121212121212()2422cos 122r r F F r r rr c a c rr rr rr θ+-+---===-22222221222221112()2a c a c e r r a --≥-=-=-+（当且仅当12r r =时取“=”，此时点P 为短轴端点）. 变式：已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两焦点分别为,,21F F 若椭圆上存在一点,P 使得,120021=∠PF F 求椭圆的离心率e 的取值范围。

第20讲 圆过定点问题(原卷版)2023最新专题：圆锥曲线

第20讲 圆过定点问题(原卷版)2023最新专题：圆锥曲线

第20讲圆过定点问题一、解答题1．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为13，椭圆上的点到右焦点F 的最近距离为2，若椭圆C 与x 轴交于A B 、两点，M 是椭圆C 上异于A B 、的任意一点，直线MA 交直线:9l x =于G 点，直线MB 交直线l 于H 点．（1）求椭圆C 的方程；（2）试探求以GH 为直径的圆是否恒经过x 轴上的定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．2．已知椭圆222:1(2x y C a a +=>的右焦点为F ，A 、B 分別为椭圆的左项点和上顶点， ABF 的面积为1+．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点F 的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，直线AP 、AQ 分别与直线x ＝交于点M 、N ．以MN 为直径的圆是否恒过定点？若是，请求出该定点坐标；若不是，请说明理由．3．已知定点(1,0)R ，圆22 S: 2150x y x ++-=，过R 点的直线1L 交圆于M ，N 两点过R 点作直线2L SN ∥交SM 于Q 点.（1）求Q 点的轨迹方程；（2）若A ，B 为Q 的轨迹与x 轴的左右交点，()()000,0P x y y ≠为该轨迹上任一动点，设直线AP ，BP 分别交直线l ：6x =于点M ，N ，判断以MN 为直径的圆是否过定点．如圆过定点，则求出该定点；如不是，说明理由.4．已知圆22:1O x y +=和直线:3l x =，在x 轴上有一点(1,0)Q ，在圆O 上有不与Q 重合的两动点,P M ，设直线MP 斜率为1k ，直线MQ 斜率为2k ，直线PQ 斜率为3k ，（l ）若121k k =-①求出P 点坐标；②MP 交l 于'P ，MQ 交l 于'Q ，求证：以''P Q 为直径的圆，总过定点，并求出定点坐标．（2）若232k k =：判断直线PM 是否经过定点，若有，求出来，若没有，请说明理由．5．已知椭圆T ：()222210x y a b a b+=>>的离心率为12，直线l ：0x y +-=与以原点为圆心，以椭圆C 的短半轴长为半径的圆相切.A 为左顶点，过点()1,0G 的直线交椭圆T 于B ，C 两点，直线AB ，AC 分别交直线4x =于M ，N 两点.（1）求椭圆T 的方程；（2）以线段MN 为直径的圆是否过定点？若是，写出所有定点的坐标；若不是，请说明理由.6．已知圆()44:22=++y x C 与x 轴交于B A 、两点，P 是圆C 上的动点，直线AP 与PB 分别与y 轴交于N M 、两点．（1）若()4,2P -时，求以MN 为直径圆的面积；（2）当点P 在圆C 上运动时，问：以MN 为直径的圆是否过定点？如果过定点，求出定点坐标；如果不过定点，说明理由．7．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为32，左、右焦点分别是1F 、2.F 以1F 为圆心、以3为半径的圆与以2F 为圆心、以1为半径的圆相交，交点在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的方程；（2）直线()()10y k x k =-≠与椭圆C 交于,A B 两点，点M 是椭圆C 的右顶点.直线AM 与直线BM 分别与y 轴交于点,P Q ，试问以线段PQ 为直径的圆是否过x 轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．8．已知椭圆G 22+22=1(>>0)1(−s 0),2(s 0)，其短轴长是23，原点到过点os 0)和o0,−p （1）求椭圆的方程；（2）若点s 是定直线=4上的两个动点，且1 •2 =0，证明：以B 为直径的圆过定点，并求定点的坐标.9．已知动圆M 与定圆221:(2)1C x y -+=相外切，又与定直线1: 1l x =-相切.（1）求动圆的圆心M 的轨迹2C 的方程，（2）过点()12,0C 的直线l 交曲线2C 于A ，B 两点，直线2: 2l x =分别交直线OA ，OB 于点E 和点F .求证：以EF 为直径的圆经过x 轴上的两个定点.10．已知动圆P 过定点1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且和直线12x =-相切，动圆圆心P 形成的轨迹是曲线C ，过点()4,2Q -的直线与曲线C 交于,A B 两个不同的点.（1）求曲线C 的方程；（2）在曲线C 上是否存在定点N ，使得以AB 为直径的圆恒过点N ？若存在，求出N 点坐标；若不存在，说明理由.11．已知椭圆C 的短轴的两个端点分别为(0,1),(0,1)A B -，离心率为63．（1）求椭圆C 的方程及焦点的坐标；（2）若点M 为椭圆C 上异于A ，B 的任意一点，过原点且与直线MA 平行的直线与直线3y =交于点P ，直线MB 与直线3y =交于点Q ，试判断以线段PQ 为直径的圆是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．12．已知抛物线2:4C y x =与过点(2,0)的直线l 交于,M N 两点.（1）若MN =，求直线l 的方程；（2）若12MP MN = ，PQ y ⊥轴，垂足为Q ，探究：以PQ 为直径的圆是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.13．已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>.左焦点()1,0F -，点()0,2M 在椭圆E 外部，点N 为椭圆E 上一动点，且NMF 的周长最大值为4+.（1）求椭圆E 的标准方程；（2）点B ､C 为椭圆E 上关于原点对称的两个点，A 为左顶点，若直线AB ､AC 分别与y 轴交于P ､Q 两点，试判断以PQ 为直径的圆是否过定点.如果是请求出定点坐标，如果不过定点，请说明理由.14．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，M 为椭圆上一动点，当12MF F ∆的面积最大时，其内切圆半径为3b ，椭圆E 的左、右顶点分别为A ，B ，且||4AB =．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）过1F 的直线与椭圆相交于点C ，D （不与顶点重合），过右顶点B 分别作直线BC ，BD 与直线4x =-相交于N ，M 两点，以MN 为直径的圆是否恒过某定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．15．已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>的左、右顶点分别为,A B ，上、下顶点分别为,C D ，右焦点为F ，离心率为12，其中24||||||FA FB CD =⋅．（1）求椭圆的标准方程；（2）设Q 是椭圆M 上异于,A B 的任意一点，过点Q 且与椭圆M 相切的直线与x a =-，x a =分别交于,S T 两点，以ST 为直径的圆是否过定点？若过定点，求出定点坐标；如果不存在，请说明理由．16．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，其左､右焦点分别为1F ，2F ，点()00,P x y 是坐标平面内一点，且||2OP =，1234PF PF ⋅= (O 为坐标原点).（1）求椭圆C 的方程；（2）过点10,3S ⎛⎫- ⎪⎝⎭且斜率为k 的动直线l 交椭圆于A ，B 两点，在y 轴上是否存在定点M ，使以AB 为直径的圆恒过这个点？若存在，求出M 的坐标，若不存在，说明理由.。