福建省莆田第一中学2013-高二上学期第一学段(期中)考试数学试题
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一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.设k>1,则关于x、y的方程(1-k)x2+y2=k2-1所表示的曲线是 ( )
A.长轴在y轴上的椭圆 B.长轴在x轴上的椭圆
C.实轴在y轴上的双曲线 D.实轴在x轴上的双曲线
2.关于x的不等式ax²-ax+1>0恒成立的一个必要不充分条件是 ( )
A.0a<4 B.04或a<0
3.已知椭圆方程x²25+y²9=1,椭圆上点M到该椭圆一个焦点F的距离是2,N是MF的中点,O是椭圆的中心,那么线段ON的长是 ( )
A.2 B.4 C.8 D.32
5.已知→a＝(2,-1,3),→b＝(-1,4,-2),→c＝(3,2,λ),若→a、→b、→c三向量共面,则实数λ等于
( )
A.2 B.3 C.4 D.5
4.在下列命题中：①若→a、→b共线,则→a、→b所在的直线平行；②若→a、→b所在的直线是异面直线,则→a、→b一定不共面；③若→a、→b、→c三向量两两共面,则→a、→b、→c三向量一定也共面；④已知三向量→a、→b、→c,则空间任意一个向量→p总可以唯一表示为→p=x→a+y→b+z→c.其中真命题的个数为 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
6.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为面ADD1A1的中心,Q为DCC1D1的中心,则向量→PB,→QA1夹角的余弦值为 ( )
A.66 B.-66 C.16 D.-16
7.若抛物线y2=x上两点A(x1,y1)、B(x2,y2)关于直线y=x+b对称,且y1y2＝-1,则实数b的值为 ( )
A.-3 B.3 C.2 D.-2
8.设P为椭圆x²16+y²9上的动点,则P到直线x+y-6=0的最小距离为 ( )
A.1 B.2 C.22 D.2 第6题图 A B C D A1 B1 C1 D1
P Q 9.在平面斜坐标系xoy中xoy=45,点P的斜坐标定义为：“若→OP=x0→e1+y0→e2(其中→e1,→e2分别为与斜坐标系的x轴,y轴同方向的单位向量),则点P的坐标为(x0,y0)”．若F1(-1,0), F2(1,0),且动点M(x,y)满足|→MF1|=|→MF2|,则点M在斜坐标系中的轨迹方程为
( )
A.x-2y=0 B.x+2y=0 C.2x-y=0 D.2x+y=0
10.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱CC1的中点, F是侧面BCC1B1内的动点, 且A1F//平面D1AE,则A1F与平面BCC1B1所成角的正切值构成的集合是 ( )
A.{t|255t23} B.{t|255t2} C.{t|2t23} D.{t|2t22}
二、填空题(本大题共5个小题,每小题4分,共20分)
11.设双曲线的焦点在x轴上,两条渐近线为y=12x,则该双曲线的离心率e= .
12.已知S是△ABC所在平面外一点,D是SC的中点,若→BD=x→AB+y→AC+z→AS,则x＋y＋z＝ .
13如图,正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2,P是底面A1B1C1D1的中心,M是CD的中点,则P到平面AMD1的距离为 .
14.△ABC的顶点B(-4,0),C(4,0),△ABC的内切圆圆心在直线x=1上,则顶点C的轨迹方程是 .
15.已知直线x=3与双曲线C：x²9-y²4=1的渐近线交于E1,E2两点,记→OE1=→e1,→OE2=→e2,任取双曲线上的点P,若→OP=a→e1+b→e2(a,bR),则下列关于a,b的表述：
①4ab=1 ②0
其中正确的是 .
三、解答题：(本大题共6个小题,共80分,解答时要求写出必要的文字说明或推演步骤. 请按照题目顺序在第Ⅱ卷各个题目的答题区域内作答.)
16.(本小题满分12分)已知命题p：1-a·2x0在x(-∞,0hslx3y3h恒成立,命题q：xR,
ax2-x+a>0.若命题p或q为真,命题p且q为假,求实数a的范围.
A B C D A1 B1 C1 D1
·P
M
第13题图 A1D1CDC1BB1AEF.
第10题图 17.(本小题满分14分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为a的正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F.
(Ⅰ)证明:PA//平面EDB；
(Ⅱ)证明:PB⊥平面EFD；
(Ⅲ)求二面角C-PB-D的大小.
18.(本小题满分12分)已知点E(1,0),⊙E与直线4x+3y+1=0相切,动圆M与⊙E及y轴都相切,切点不为原点.
(Ⅰ)求点M的轨迹C的方程；
(Ⅱ)过点E任作直线l,交曲线C于A,B两点,由点A,B分别向⊙E各引一条切线,切点 分别为P,Q,记α=∠PAE,β=∠QBE.求证sinα+sinβ是定值.
19. (本小题满分14分) 已知椭圆M、抛物线N的焦点均在x轴上的,且M的中心和M的顶点均为原点O,从每条曲线上取两个点,将其坐标记录于下表中：
x 3 -2 4 2
y -23 0 -4 22
(Ⅰ)求M,N的标准方程；
(Ⅱ)已知定点A(1,12),过原点O作直线l交椭圆M于B,C两点,求△ABC面积的最大值和此时直线l的方程.
20.(本小题满分14分)如图,AB为圆O的直径,点E、F在圆O上,AB//EF,矩形ABCD所在的平面与圆O所在的平面互相垂直.已知AB=2,EF=1.
(Ⅰ)求证：平面DAF⊥平面CBF；
(Ⅱ)求直线AB与平面CBF所成角的大小；
(Ⅲ)当AD的长为何值时,平面DFC与平面FCB所成的锐二面角的大小为60?
21.(本小题满分14分)已知中心在原点,焦点在坐标轴上的椭圆E,它的离心率为12,一个焦点和FABCDO.E抛物线y²=-4x的焦点重合,过直线l:x=4上一点M引椭圆E的两条切线,切点分别是A,B.
(Ⅰ)求椭圆E的方程；
(Ⅱ)若在椭圆x²a²+y²b²=1(a>b>0)上的点(x0,y0)处的椭圆的切线方程是x0xa²+y0yb²=1.求证:直线AB恒过定点C；并出求定点C的坐标.
(Ⅲ)是否存在实数λ,使得|AC|+|BC|=λ|AC||BC|恒成立？(点C为直线AB恒过的定点)若存在,求出λ的值；若不存在,请说明理由.
16.(本小题满分12分)
解：命题p：1-a·2x≥0在x∈(-∞,0]上恒成立.
即：a≤(12)x在x∈(-∞,0]上恒成立.
∵(12)x≥1,x∈(-∞,0]
∴a≤1
即命题p:a≤1, 3分
命题q：xR,ax2-x+a>0.
显然当a≤0时,不合题意,则:
a>0 (-1)2-4a2<0即a>12
∴命题q: a>12, 7分
∵p或q为真,p且q为假
∴p和q一真一假,
∴ a≤1a≤12或 a>1a>12即a≤12或a >1 11分
∴a的取值范围为：a≤12或a >1. 12分
17.(本小题满分14分)
解：如图所示建立空间直角坐标系,D为坐标原点.设.DCa 1分
(1)证明：连结AC,AC交BD于G.连结EG.
依题意得(,0,0),(0,0,),(0,,)22aaAaPaE ∵底面ABCD是正方形,
∴G是此正方形的中心,
故点G的坐标为(,,0)22aa且(,0,),(,0,).22aaPAaaEG
∴2PAEG即PA//EG.
而EG平面EDB且PA平面EDB,
∴PA//平面EDB. 5分
(2)证明：依题意得(,,0),(,,)BaaPBaaa.又(0,,),22aaDE
故022022aaDEPB
PBDE, 由已知EFPB,且,EFDEE
所以PB平面EFD. 9分
18.(本小题满分12分)
解：(1)⊙E的半径r=|4+1|4²+3²=1 ∴⊙E的方程为(x-1)2+y2=1,
由题意动圆M与⊙E及y轴都相切,分以下情况：
作MH⊥y轴于H,则|MF|-1=|MH|,即|ME|=|MH|+1,
过M作直线x=-1的垂线MN,N为垂足,
则|MF|=|MN|,
∴点M的轨迹是以E为焦点,x=-1为准线的抛物线,
∴点M的轨迹C的方程为y2=4x(x≠0). 6分
(2)当l不与x轴垂直时,设直线l的方程为y=k(x-1).
由 y=k(x-1)y²=4x得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=2k2+4k²,x1x2=1,
∴sinα+sinβ=1|AE|+1|BE|=1x1+1+1x2+1=x1+x2+2x1+x2+x1x2+1=1
当l与x轴垂直时,也可得sinα+sinβ=1, 11分
综上,有sinα+sinβ=1.
12分
19.(本小题满分14分)
解：(1)设抛物线M：y2=2px(p≠0),则有y²x=2p(x0)
据此验证4个点知(3,-23),(4,-4)在抛物线上,
∴N的标准方程为y2=4x．…2分
