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(word版)分式方程培优讲义

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(word版)分式方程培优讲义

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分式方程拔高讲练

一、含有参数方程

1．假设关于x的分式方程 的解为非负数，那么 a的取值范围是

2．分式方程 =1﹣ 的根为

3．假设数a使关于x的分式方程 + =4的解为正数，且使关于y的不等式组

的解集为y＜﹣2，那么符合条件的所有整数 a的和为

二、方程无解

1．假设关于x的方程 ﹣ =﹣1无解，那么m的值是

2．假设 =0无解，那么m的值是

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3．假设关于x的分式方程 ﹣ = 无解，求a= ．文案大全(word版)分式方程培优讲义

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三、有增根

1、如果解关于x的分式方程 ﹣ =1时出现增根，那么 m的值为

2、关于x的分式方程 有增根，那么增根为 ．

3、假设关于x的方程 有增根，那么m的值是 ．

4、解关于x的方程 + = 产生增根，那么常数 a=

四、整体代入解方程

1．在方程 x2+2x+ =3中，如果设 y=x2+2x，那么原方程可化为关于 y

的整式方程是 ．

2、用换元法解方程 ﹣2? +1=0时应设y= ．

3．如果实数x满足〔x+ 〕2﹣〔x+ 〕﹣2=0，那么x+ 的值是 ．

四、实际问题

1．某服装店用10000元购进一批某品牌夏季衬衫假设干件，很快售完；该店又用

14700元钱购进第二批这种衬衫，所进件数比第一批多 40%，每件衬衫的进

价比第一批每件衬衫的进价多 10元，求第一批购进多少件衬衫？设第一批

购进x件衬衫，那么所列方程为〔 〕

A． ﹣10= B ． +10=

C． ﹣10= D ． +10=

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2．一艘轮船在静水中的最大航速为35km/h，它以最大航速沿江顺流航行120km所用时间，与以最大航速逆流航行90km所用时间相等．设江水的流速为v

km/h，那么可列方程为〔 〕

A． = B． = C． = D． =

3．甲、乙二人做某种机械零件，甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与乙60个所用的时间相等．设甲每小时做x个零件，下面所列方程正确的

是〔 〕

A． B． C． D．

4．2021年，在创立文明城市的进程中，乌鲁木齐市为美化城市环境，方案种植

树木30万棵，由于志愿者的参加，实际每天植树比原方案多 20%，结果提前5

天完成任务，设原方案每天植树 x万棵，可列方程是〔 〕

A． ﹣ =5 B ． ﹣ =5

C． +5= D ． ﹣ =5

5．西宁市创立全国文明城市已经进入倒计时！某环卫公司为清理卫生死角内的垃圾，调用甲车3小时只清理了一半垃圾，为了加快进度，再调用乙车，两车

合作小时清理完另一半垃圾．设乙车单独清理全部垃圾的时间为 x小时，

根据题意可列出方程为〔 〕

A． + =1 B． + = C． + = D． + =1

【同步训练】

1．如果关于x的不等式组 的解集为x＞1，且关于x的分式方程

+ =3有非负整数解，那么符合条件的 m的所有值的和是〔 〕

A．﹣2 B．﹣4 C ．﹣7 D ．﹣8

2．从﹣2、﹣1、0、2、5这一个数中，随机抽取一个数记为 m，假设数m使关于x

的不等式组 无解，且使关于 x的分式方程 + =﹣1有非负

整数解，那么这一个数中所有满足条件的 m的个数是〔 〕

A．1 B ．2 C ．3 D ．4

3．假设关于x的分式方程 +3= 无解，那么实数m= ．

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4．假设关于x的分式方程 + =3的解为正实数，那么实数m的取值范围是 ． 5．甲、乙工程队分别承接了160米、200米的管道铺设任务，乙比甲每天多铺设5米，甲、乙完成铺设任务的时间相同，问甲每天铺设多少米？设甲每

天铺设x米，根据题意可列出方程： ．

6．某市为绿化环境方案植树 2400棵，实际劳动中每天植树的数量比原方案多

20%，结果提前8天完成任务．假设设原方案每天植树 x棵，那么根据题意可列方

程为 ．

7．关于x的方程：x+ =c+ 的解是x1=c，x2= ；x﹣ =c﹣ 的解是x1=c，x2=

﹣ ，那么x+ =c+ 的解是x1=c，x2= ．

8．假设数a使关于x的不等式组 有且仅有四个整数解，且使关于 y 的分式方程 + =2有非负数解，那么所有满足条件的整数 a的值之和是

〔 〕

A．3 B．1 C．0 D．﹣3

9．如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3cm，BC=4cm．点D在AC上，AD=1cm，点P从点A出发，沿AB匀速运动；点Q从点C出发，沿C→B→A→C的路径匀速运动．两点同时出发，在B点处首次相遇后，点P的运动速度每秒提高了2cm，并沿B→C→A的路径匀速运动；点Q保持速度不变，并继续沿原路径匀速运动，两点在D点处再次相遇后停止运动，设点P原来的速度为xcm/s．

1〕点Q的速度为cm/s〔用含x的代数式表示〕．

2〕求点P原来的速度．

12．定义新运算：对于任意实数 a，b〔其中a≠0〕，都有a?b= ﹣ ，等式右

边是通常的加法、减法及除法运算，例如 2?3= ﹣ = + =1．

〔1〕求〔﹣2〕?3的值； 〔2〕假设x?2=1，求x的值．

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2021年12月02日峰尚的初中数学组卷 参考答案与试题解析

一．选择题〔共 14小题〕 1．假设关于x的分式方程 的解为非负数，那么 a的取值范围是〔 〕 A．a≥1B．a＞1C．a≥1且a≠4D．a＞1且a≠4【解答】解：去分母得：2〔2x﹣a〕=x﹣2，

解得：x= ，

由题意得： ≥0且 ≠2， 解得：a≥1且a≠4， 应选：C．

2．假设数a使关于x的分式方程 + =4的解为正数，且使关于y的不等式组

的解集为y＜﹣2，那么符合条件的所有整数 a的和为〔 〕

A．10 B．12 C．14 D．16

【解答】解：分式方程 + =4的解为x= 且x≠1，

∵关于x的分式方程 + =4的解为正数，

∴ ＞0且 ≠1，

a＜6且a≠2．

，

解不等式①得：y＜﹣2；

解不等式②得：y≤a．

∵关于y的不等式组 的解集为y＜﹣2，

∴a≥﹣2．

∴﹣2≤a＜6且a≠2．

∵a为整数，

a=﹣2、﹣1、0、1、3、4、5，〔﹣2〕+〔﹣1〕+0+1+3+4+5=10．

应选A．

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3．假设数a使关于x的不等式组 有且仅有四个整数解，且使关于 y

的分式方程 + =2有非负数解，那么所有满足条件的整数 a的值之和是〔 〕

A．3 B．1 C．0 D．﹣3

【解答】解：解不等式组 ，可得 ，

∵不等式组有且仅有四个整数解， ∴﹣1≤﹣ ＜0， ∴﹣4＜a≤3， 解分式方程 + =2，可得y= 〔a+2〕，

又∵分式方程有非负数解， ∴y≥0，且y≠2， 即 〔a+2〕≥0， 〔a+2〕≠2， 解得a≥﹣2且a≠2， ∴﹣2≤a≤3，且a≠2， ∴满足条件的整数 a的值为﹣2，﹣1，0，1，3， ∴满足条件的整数 a的值之和是1． 应选：B．

4．分式方程 =1﹣ 的根为〔 〕 A．﹣1或3B．﹣1C．3 D．1或﹣3 【解答】解：去分母得：3=x2+x﹣3x， 解得：x=﹣1或x=3， 经检验x=﹣1是增根，分式方程的根为 x=3， 应选C 5．如果解关于x的分式方程 ﹣ =1时出现增根，那么 m的值为〔 〕 A．﹣2B．2 C．4 D．﹣4 【解答】解： ﹣ =1，

去分母，方程两边同时乘以 x﹣2，得：

m+2x=x﹣2，

由分母可知，分式方程的增根可能是 2，

当x=2时，m+4=2﹣2，m=﹣4，

应选D．

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合集下载

5.4分式方程培优分式方程的增根和无解问题训练北师大版2023—2024学年八年级下册

5.4分式方程培优分式方程的增根和无解问题训练北师大版2023—2024学年八年级下册

5.4分式方程培优分式方程的增根和无解问题训练

北师大版2023—2024学年八年级下册

类型一．已知方程有增根，确定字母系数值

1．若关于x的方程有增根x＝﹣1，则k的值为

．

2．已知关于x的分式方程+＝．若方程的增根为x＝1，求m的值；

3．关于x的分式方程．若方程的增根为x＝2，求m的值；

4．已知关于x的分式方程+＝若方程的增根为x＝1，求m的值

5．已知关于x的分式方程．若解得方程有增根，且增根为x＝﹣2，求m的值．

6．已知关于x的分式方程．若分式方程的根是x＝5，求a的值；

类型二．分式方程有增根，求参数值

1．关于x的分式方程有增根，则a的值是 ．

2.已知关于x的分式方程有增根，求a的值．

3．已知，关于x的方程：．若方程有增根，求m的取值；

4．已知关于x的分式方程．若分式方程有增根，求a的值；

5．已知关于x的分式方程，若方程有增根，求k的值；

6．已知关于x的分式方程．若分式方程有增根，求a的值；

7．已知关于x的方程：．若方程有增根，求m的值；

8．关于x的分式方程．若此方程有增根，求a的值；

9．已知关于x的分式方程．若分式方程有增根，求a的值；

10．关于x的分式方程．若方程有增根，求m的值；

11.当m为何值时，关于x的方程+＝有增根．

12．已知关于x的分式方程+＝，若方程有增根，求m的值

13．若关于x的方程：+＝．有增根，求a的值；

14．若解关于x的分式方程+＝会产生增根，求m的值．

类型三．分式方程是无实数解，求参数值

1．若关于x的分式方程无解，则m的值是（ ）

A．m＝2或m＝6 B．m＝2 C．m＝6 D．m＝2或m＝﹣6

2．若分式方程无解，则实数a的取值是（ ）

A．0或2 B．4 C．8 D．4或8

3．已知，关于x的方程：．若方程无解，求m的取值；

4．已知，关于x的方程：．若方程无解，求m的取值；

5．已知关于x的分式方程+＝．若方程无解，求m的值．

一元二次方程培优专题讲义(最新整理)

一元二次方程培优专题讲义(最新整理)

1数学培优专题讲义：一元二次方程

一.知识的拓广延伸及相关史料

1．一元二次方程几种解法之间的关系

解一元二次方程有下列几种常用方法:

（1）配方法:如，经配方得2

670xx

，再直接用开平方法；2

(3)2x

（2）公式法；

（3）因式分解法。

这三种方法并不是孤立的，直接开平方法，

实际也是因式分解法，解方程，只2

670xx

要变形为

即可，或原方程22

(3)(2)0x

经配方化为

，再求解时，

2

670xx2

(3)2x

还是归到用平方差公式的因式分解法，所以配方法归为

用因式分解法的手段。公式法在推导公式过程中用的是

配方法和直接开平方法，因此，它还是归到因式分解法，

所不同的是，公式法用一元二次方程的系数来表示根，

因而可以作为公式。由此可见，对因式分解法应予以足

够的重视。因式分解法还可推广到高次方程。

2．我国古代的一元二次方程

提起代数，人们自然就把它和方程联系起

来。事实上，过去代数的中心问题就是对方程的

研究。我国古代对代数的研究，特别是对方程解

法的研究有着优良的传统，并取得了重要成果。

下面是我国南宋数学家杨辉在1275年提出

的一个问题:”直田积（矩形面积）八百六十四

步(平方步),只云阔（宽）不及长一十二步（宽

比长少一十二步）,问阔及长各几步？”答:”阔

二十四步,长三十六步.”

这里,我们不谈杨辉的解法,只用已学过的

知识解决上面的问题.

上面的问题选自杨辉所著的《田亩比类乘除

算法》。原题另一个提法是:“直田积八百六十四

步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步?”

这个问题同样可以类似求解.

3. 掌握数学思想方法，以不变应万变。

本章内容蕴涵了丰富的数学方法，主要有转

化思想、类比思想、降次法、配方法等。

（1）转化思想

我们知道，解方程的过程就是不断地通过变

形把原方程转化为与它等价的最简单方程的过

程。因此，转化思想就是解方程过程中思维活动

的主导思想。在本章，转化无所不在，无处不有，可以说这是本章的精髓和特色之一，其表现主要

第四节 分式方程及应用-学而思培优

第四节 分式方程及应用-学而思培优

第四节 分式方程及应用

一、课标导航

二、核心纲要

l.分式方程

分母中含有未知数的方程叫分式方程．

2．解分式方程的基本思想

把分式方程转化为整式方程．

3.辩分式方程的一般步骤

(1)在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程．

(2)解这个整式方程．

(3)验根：把整式方程的根代人最简公分母，看结果是否等于零，使最简公分母等于零的根是原方程的增根，必须舍去，但对于含有字母系数的分式方程，一般不要求检验．

4.分式方程无解的原因

(1)将分式方程化为整式方程后，整式方程无解．(2)解出的整式方程的根是增根

5．用换元法解分式方程的一般步骤

(1)设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式．(2)解所得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值．

(3)把辅助未知数的值代入原设中，求出原未知数的值．

(4)检验作答，要检验求得的解是否为原方程的根，是否符合题意．

本节重点讲解：一个概念，一个解法，一个应用（列分式方程解应用题）

三、全能突破

基 础 演 练

1．下列各式中，不是分式方程的是( )．

xxxA11. 1)1(1.xxxB 12101.xxxxC 1]1)1(21[31.xD

2．分式方程9431312xxx的解是( )．

2.xA 2.xB 2.xC D．无解

3．关于x的方程323xkxx化为整式方程后，会产生一个解使得原分式方程的最简公分母为O，则

k的值为( )．

3.A 0.B 3.C D．无法确定

4．一艘轮船在静水中的最大航速为30千米／时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？设江水的流速为x千米／时，则可列方程( )．

初中数学分式方程的增根、无解问题选择题培优训练2(附答案详解)

初中数学分式方程的增根、无解问题选择题培优训练2(附答案详解)

初中数学分式方程的增根、无解问题选择题培优训练2（附答案详解）

1．若a为整数，关于x的不等式组22340xxxa有且只有3个整数解，且关于x的分式方程1122axxx有负整数解，则整数a的个数为（ ）

A．4 B．3 C．2 D．1

2．若a为整数，关于x的不等式组2(1)4340xxxa有且只有3个非正整数解，且关于x的分式方程11222axxx有负整数解，则整数a的个数为（ ）个．

A．4 B．3 C．2 D．1

3．若a使得关于x的分式方程21224axx 有正整数解，且方程2420axx有解,则满足条件的所有整数a的个数为( )

A．1 B．2 C．3 D．4

4．若数a使关于x的不等式组111(1){3223(1)xxxax，有且仅有三个整数解，且使关于y的分式方程31222yayy=1有整数解，则满足条件的所有a的值之和是（ ）

A．﹣10 B．﹣12 C．﹣16 D．﹣18

5．若关于x的分式方程21133xmxx的解为正数，且关于y的不等式组212625yyym至少两个整数解，则符合条件的所有整数m的取值之和为( )

A．﹣7 B．﹣9 C．﹣12 D．﹣14

6．关于x的分式方程2322xmmxx的解为正实数，则实数m的取值范围是( )

A．6m且2m B．6m且2m C．6m且2m D．6m且2m

7．若数a使关于x的分式方程41332axx的解为正数，使关于y的不等式组

12255(2)34yyayy＞＜无解，则所有满足条件的整数a的值之积是（ ）

A．360 B．90 C．60 D．15

8．若关于x的方程xacbxd有解，则必须满足条件( )

A．a≠b ，c≠d B．a≠b ，c≠-d C．a≠-b ， c≠d D．a≠-b ， c≠-d