几何证明选讲(全国卷文科)
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几何证明选讲（2011-2015全国卷文科）
（一）新课标卷
1.（2011.全国新课标22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，D，E分别为ABC的边AB，AC上的点，且不与ABC的顶点重合．已知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程2140xxmn的两个根．
（I）证明：C，B，D，E四点共圆；
（II）若90A，且4,6,mn求C，B，D，E所在圆的半径．
2.（2012.全国新课标22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点，若CF//AB，证明：
(Ⅰ)CD=BC；
(Ⅱ)△BCD∽△GBD
FGDEABC
（二）全国Ⅰ卷
1.（2013.全国1卷22）（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D。
（Ⅰ）证明：DB=DC；
（Ⅱ）设圆的半径为1，BC=3 ，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径。
2.（2014.全国1卷22）（本小题满分10分）选修4-1，几何证明选讲
如图，四边形ABCD是O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CBCE.
（I）证明：DE；
（II）设AD不是O的直径，AD的中点为M，且MBMC，证明：ABC为等边三角形.
3.（2015.全国1卷22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图AB是O直径，AC是O切线，BC交O与点E.
（I）若D为AC中点，证明：DE是O切线；
（II）若3OACE ，求ACB的大小.
（三）全国Ⅱ卷
1.（2013.全国2卷22）(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲
如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E，F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC·AE＝DC·AF,B，E，F，C四点共圆．
(1)证明：CA是△ABC外接圆的直径．
(2)若DB=BE=EA,求过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值
2.（2014.全国2卷22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明:
（I）BE=EC；
（II）AD·DE=2PB2。
3.（2015.全国2卷22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图O是等腰三角形ABC内一点,圆O与△ABC的底边BC交于M,N两点,与底边上的高交于点G,且与AB,AC分别相切于E,F两点.
（I）证明BCEF//；
（II）若AG等于圆O半径,且23AEMN ,求四边形EDCF的面积.
几何证明选讲（2011-2015全国卷文科）参考答案
（一）新课标卷
1.（2011.全国新课标22）
解：（I）连接DE，根据题意在△ADE和△ACB中， AD×AB=mn=AE×AC，
即ABAEACAD.又∠DAE=∠CAB，从而
△ADE∽△ACB
因此∠ADE=∠ACB
所以C，B，D，E四点共圆。
（Ⅱ）m=4， n=6时，方程x2-14x+mn=0的两根为x1=2，x2=12.
故 AD=2，AB=12.
取CE的中点G，DB的中点F，分别过G，F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连接DH.因为C，B，D，E四点共圆，所以C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH.
由于∠A=900，故GH∥AB， HF∥AC. HF=AG=5，DF= 21(12-2)=5.
故C，B，D，E四点所在圆的半径为52
2.（2012.全国新课标22）
解：
（二）全国Ⅰ卷
1.（2013.全国1卷22）
解：
2.（2014.全国1卷22）
解：.(Ⅰ) 由题设知得A、B、C、D四点共圆，所以D=CBE，由已知得，CBE=E ,
所以D=E ……………5分
（Ⅱ）设BCN中点为，连接MN,则由MB=MC,知MN⊥BC
所以O在MN上，又AD不是O的直径，M为AD中点，故OM⊥AD， 即MN⊥AD，所以AD//BC,故A=CBE， 又CBE=E，故A=E由(Ⅰ)（1）知D=E， 所以△ADE为等边三角形． ……………10分
3.（2015.全国1卷22）
解：（I）连接AE，由已知得，AE⊥BC,AC⊥AB.
在Rt△AEC中，由已知得，DE=DC,故∠DEC=∠DCE.
连结OE，则∠OBE=∠OEB.
又∠OED+∠ABC=o90，所以∠DEC+∠OEB=o90，故∠OED=o90，DE是O的切线.
……5分 N
（II）设CE=1，AE=x，由已知得AB=23，BE=212x.由射影定理可得，2AECEBE，
所以2212xx，即42120xx.可得3x，所以∠ACB=60o.
……10分
（三）全国Ⅱ卷
1.（2013.全国2卷22）
解：(1)因为CD为△ABC外接圆的切线，所以∠DCB＝∠A.
由题设知BCDCFAEA，
故△CDB∽△AEF，所以∠DBC＝∠EFA.
因为B，E，F，C四点共圆，
所以∠CFE＝∠DBC，故∠EFA＝∠CFE＝90°.
所以∠CBA＝90°，
因此CA是△ABC外接圆的直径．
(2)连结CE，因为∠CBE＝90°，
所以过B，E，F，C四点的圆的直径为CE，
由DB＝BE，有CE＝DC，又BC2＝DB·BA＝2DB2，所以CA2＝4DB2＋BC2＝6DB2.
而DC2＝DB·DA＝3DB2，故过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值为12.
2.（2014.全国2卷22）
解：（1）连结AB, AC,由题设知PA=PD,故∠PAD=∠PDA
因为∠PDA=∠DAC+∠DCA，∠PAD=∠BAD+∠PAB，∠DCA=∠PAB
所以∠DAC=∠BAD,从而=
因此BE=EC
（2）由切割线定理得2PA=PB.PC
因为PA=PD=DC，所以DC=2PB,BD=PB
由相交弦定理得AD*DE=BD*DC=22PB
3.（2015.全国2卷22）
