高中数学几何证明选讲

高中数学-《几何证明选讲》知识点归纳与练习 （含答案）

一、相似三角形的判定及有关性质

平行线等分线段定理

平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。

推理1:经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。

推理2 :经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰。

平分线分线段成比例定理

平分线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。

相似三角形的判定及性质

相似三角形的判定：

定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。相似三角形对应边的比值叫做相似比（或相似

系数）。

由于从定义岀发判断两个三角形是否相似， 需考虑6个元素，即三组对应角是否分别相等， 三组对应边是否分别

成比例，显然比较麻烦。所以我们曾经给岀过如下几个判定两个三角形相似的简单方法：

（1 ）两角对应相等，两三角形相似；

（2 ）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；

（3 ）三边对应成比例，两三角形相似。

预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与三角形相似。

判定定理1 :对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三

角形相似。简述为：两角对应相等，两三角形相似。

判定定理2 :对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，

那么这两个三角形相似。简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。

判定定理3 :对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个

三角形相似。简述为：三边对应成比例，两三角形相似。

引理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的 第三边 定理：（1）如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似； （2 ）如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似。

２０１１年第６期　数学教学　６－４ｊ　

２００７－２０１０几何证明选讲高考试题分析与启示　

５１０００６广州大学数学与信息科学学院张雄廖运章　

“几何证明选讲”是新课标的新增内容，许多　

新课标高考试卷都以其为选考内容．至２０１０年　

已有广东、海南、宁夏、山东、江苏、上海、辽宁、浙　

江、福建、天津、安徽、北京、湖南、陕西、吉林、黑　

龙江等１６个省市使用新课标高考试卷，其中新课　

标全国卷、广东卷、江苏卷、辽宁卷、北京卷（理）、　

天津卷、陕西卷和湖南卷（理）都涉及几何证明　

选讲的内容，共有２２题．以下从不同的角度对几　

何证明选讲高考试题进行综合分析．　

一、几何证明选讲试题的统计分析　

１．考点分析　

结合数学新课标和高考试题，几何证明选讲　

的内容涉及的考点可归纳为：①相似三角形的　

定义与性质；②平行线截割定理；③直角三角　

形射影定理；④圆周角与圆心角定理；⑤圆的　

切线的判定定理及性质定理；⑥弦切角的性质；　

⑦相交弦定理；⑧圆内接四边形的性质定理和　

判定定理；⑨切割线定理．各试卷对几何证明选　

讲内容的试题要么以圆为载体，要么隐含圆的相　

关知识，总之，试题均涉及圆的有关平面几何知　

识．特别地，圆周角定理和圆心角定理的考查频　

率极高．　

２．课本来源　

数学课本是数学知识结构的外在呈现，数学　

试题均源白于这个系统．笔者仅以课本中的例　

题、习题及练习题为源题，分析几何证明选讲高　

考题源于课本（人教Ａ版选修４—１）的情况，如表　

１所示．　

二、命题方法实例剖析　

由表ｌ可知，几何证明选讲高考试题大多由　

课本源题变化而来．这些题目中一些是利用课　

本结论，赋予具体的数值而得到，可视为课本源　题重现；一些题目是把题目中的条件或结论稍加　

改变得到，试题结构并没有改变，可视为课本源　

题简单变形；还有一些试题的主体结构和课本题　目基本一致，但仅从题目外形很难将两者联系起　

来，可视为课本源题深层次变形．下面，将以三道　

高考题为例剖析其命题方法　

1

编写说明：考虑到复习实际，本书将选修4－5不等式选讲与前面第六章不等式、推理与证明整合编写。

选修4－1 几何证明选讲

第一节相似三角形的判定及有关性质

1．平行线等分线段定理

如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．

推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边．

推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰．

2．平行线分线段成比例定理

三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．

推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．

3．相似三角形的判定与性质

(1)判定定理：

内容

判定定理1 两角对应相等的两个三角形相似

判定定理2 两边对应成比例，并且夹角相等的两个三角形相似

判定定理3 三边对应成比例的两个三角形相似

(2)性质定理：

内容

性质定理1 相似三角形对应高、中线、角平分线和它们周长的比都等于相似比

性质定理2 相似三角形的面积比等于相似比的平方 2 结论

相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方

射影定理 直角三角形中，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项；斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影的比例中项

1．在使用平行线截割定理时易出现对应线段、对应边对应顺序混乱，导致错误．

2．在解决相似三角形的判定或应用时易出现对应边和对应角对应失误．

[试一试]

1．如图，F为▱ABCD的边AD延长线上的一点，DF＝AD，BF分别交DC，AC于G，E两点，EF＝16，GF＝12，则BE的长为________．

解析：由DF＝AD，AB∥CD知BG＝GF＝12，又EF＝16知EG＝4，故BE＝8.

答案：8

2．在△ABC中，点D在线段BC上，∠BAC＝∠ADC，AC＝8，BC＝16，则CD＝________.

解析：∵∠BAC＝∠ADC，∠C＝∠C，∴△ABC∽△DAC，∴BCAC＝ACCD，∴CD＝AC2BC＝8216＝4.

几何证明选讲

自主学习

Q基础自测

1.如图所示，己知在AABC中，ZC二90° ,正方形DEFC

内接于AABC, DE〃AC, EF〃BC,

AC=1, BC=2,贝lj AF : FC= ________ .

答案&

2

2•从不在00上的一点A作直线交00于B. C•且AB・AC二64, 0A=10,则00的半径等

■ *7 » 1 ‘ •

3•设P为Z\ABC内一点,HAP=- AB+- AC ,则ZSABP的面积与AABC的面积之比等于.

5

4•如图所示,AC为00的直径,BD丄AC于P, PC二2, PA二8, 则CD的长为 ,cosZACB-

答案2^5 £

5•如图所示,PA与圆0相切于A, PCB为圆0的割线,并且不过圆心

己知ZBPA=30° , PA=2 V3 , PC=1,则圆0的半径等于 B

答案7

典例剖析一

例1已知：如图所示，以梯形ABCD的对角线AC及腰AD为 邻边作平行四边形ACED,连接EB, DC的延长线交BE于F. 求证：EF-BF.

证明连接AE交DC于0.

•・•四边形ACED为平行四边形,

・・・0是AE的屮点（平行四边形对角线互相平分）.

•・•四边形ABCD是梯形，

・・・DC〃AB.

在AEAB屮，OF/ZAB, 0是AE的中点,

・・・F是EB的中点,即EF-BF.

例2如图所示，在ZXABC中，AD为BC边上的中线,F为AB

A

上任意一点，CF交AD于点E.求证：AE • BF=2DE • AF・ 证明过点D作AB的平行线DM交AC于点M,交FC于点N. 在ZiBCF中,D是BC的中点，

DN〃BF, •••DN二丄 BF.

2

VDN/7AF, AAAFE^ADNE,

• AE _ DE

• AF DN

乂 DN二丄BF, • AE - 2DE

'~AF~

BF

即 AE ・ BF=2DE ・ AF.

例3 （2008 •苏、锡、常、镇三检）自岡0外一点P引切线与鬪切于点A,