２０１１年第６期 数学教学 ６－４ｊ
２００７－２０１０几何证明选讲高考试题分析与启示
５１０００６广州大学数学与信息科学学院张雄廖运章
“几何证明选讲”是新课标的新增内容，许多
新课标高考试卷都以其为选考内容．至２０１０年
已有广东、海南、宁夏、山东、江苏、上海、辽宁、浙
江、福建、天津、安徽、北京、湖南、陕西、吉林、黑
龙江等１６个省市使用新课标高考试卷，其中新课
标全国卷、广东卷、江苏卷、辽宁卷、北京卷（理）、
天津卷、陕西卷和湖南卷（理）都涉及几何证明
选讲的内容，共有２２题．以下从不同的角度对几
何证明选讲高考试题进行综合分析．
一、几何证明选讲试题的统计分析
１．考点分析
结合数学新课标和高考试题，几何证明选讲
的内容涉及的考点可归纳为：①相似三角形的
定义与性质；②平行线截割定理；③直角三角
形射影定理；④圆周角与圆心角定理；⑤圆的
切线的判定定理及性质定理；⑥弦切角的性质；
⑦相交弦定理；⑧圆内接四边形的性质定理和
判定定理；⑨切割线定理．各试卷对几何证明选
讲内容的试题要么以圆为载体，要么隐含圆的相
关知识，总之，试题均涉及圆的有关平面几何知
识．特别地，圆周角定理和圆心角定理的考查频
率极高．
２．课本来源
数学课本是数学知识结构的外在呈现，数学
试题均源白于这个系统．笔者仅以课本中的例
题、习题及练习题为源题，分析几何证明选讲高
考题源于课本（人教Ａ版选修４—１）的情况，如表
１所示．
二、命题方法实例剖析
由表ｌ可知，几何证明选讲高考试题大多由
课本源题变化而来．这些题目中一些是利用课
本结论，赋予具体的数值而得到，可视为课本源 题重现；一些题目是把题目中的条件或结论稍加
改变得到，试题结构并没有改变，可视为课本源
题简单变形；还有一些试题的主体结构和课本题 目基本一致，但仅从题目外形很难将两者联系起
来，可视为课本源题深层次变形．下面，将以三道
高考题为例剖析其命题方法
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编写说明：考虑到复习实际，本书将选修4－5不等式选讲与前面第六章不等式、推理与证明整合编写。
选修4－1 几何证明选讲
第一节相似三角形的判定及有关性质
1．平行线等分线段定理
如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．
推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边．
推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰．
2．平行线分线段成比例定理
三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．
3．相似三角形的判定与性质
(1)判定定理：
内容
判定定理1 两角对应相等的两个三角形相似
判定定理2 两边对应成比例，并且夹角相等的两个三角形相似
判定定理3 三边对应成比例的两个三角形相似
(2)性质定理：
内容
性质定理1 相似三角形对应高、中线、角平分线和它们周长的比都等于相似比
性质定理2 相似三角形的面积比等于相似比的平方 2 结论
相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方
射影定理 直角三角形中，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项；斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影的比例中项
1．在使用平行线截割定理时易出现对应线段、对应边对应顺序混乱，导致错误．
2．在解决相似三角形的判定或应用时易出现对应边和对应角对应失误．
[试一试]
1．如图，F为▱ABCD的边AD延长线上的一点，DF＝AD，BF分别交DC，AC于G，E两点，EF＝16，GF＝12，则BE的长为________．
解析：由DF＝AD，AB∥CD知BG＝GF＝12，又EF＝16知EG＝4，故BE＝8.
答案：8
2．在△ABC中，点D在线段BC上，∠BAC＝∠ADC，AC＝8，BC＝16，则CD＝________.
解析：∵∠BAC＝∠ADC，∠C＝∠C，∴△ABC∽△DAC，∴BCAC＝ACCD，∴CD＝AC2BC＝8216＝4.
彝言霍 辑推理能力，反证的思想方法． 例３ （全国课标卷） 如图２，Ｄ、Ｅ分别为△ＡＢＣ 的边ＡＢ、ＡＣ上的点，且不 与△ＡＢＣ的顶点重合．已 知ＡＥ的长为ｍ，ＡＣ的长 为 ，ＡＤ、ＡＢ的长是关于 Ｄ Ｆ 图２ 的方程ｚ 一１４ｘ＋ 一０的２个根． （１）证明：Ｃ，Ｂ，Ｄ，Ｅ ４点共圆； （２）若 Ａ一９０。，且 ＝＝＝４， 一６，求Ｃ、Ｂ、Ｄ、Ｅ所 在圆的半径． （１）连接ＤＥ，通过证明△ＡＤＥ∽△ＡｃＢ可 析 得 ＡＤＥ—ＬＡＣＢ，ＬＢ＋ ｃＥＤ：１８０。且 ｃ＋ ＥＤＢ一１８０。，故ｃ、Ｂ、Ｄ、Ｅ ４点共圆． （２） 一４， 一６时，方程ｚ 一１４ｘ＋ｍｎ一０的２ 根为 一２，３５＂ 一１２．故ＡＤ一２，ＡＢ一１２．取ＣＥ的中 点Ｇ，ＤＢ的中点Ｆ，分别过Ｇ、Ｆ作ＡＣ、ＡＢ的垂线， 两垂线相交于Ｈ点，连接ＤＨ．由（１）知，Ｃ、Ｂ、Ｄ、Ｅ ４ 点所在圆的圆心为Ｈ，半径为ＤＨ．由于 Ａ一９０。，故 ＧＨ／／ＡＢ，ＨＦ／／ＡＣ．ＨＦ＝ＡＧ＝５，ＤＦ＝５．故Ｃ、Ｂ、 Ｄ、Ｅ ４点所在圆的半径为５√２． 彝奎 考翟 定，圆的其他相关性质（如垂径定理）．考查了逻辑推 理能力，运算能力． ■ ’，’ 例４在直角坐标系ｘＯｙ中，曲线ｃ 的参数方 程为Ｉｘｖ一：２２Ｃ十ＯＳ２ｓａｉｎ￣口（ａ为参数），Ｍ为ｃ－上的动点，Ｐ 点满足ＯＰ一２ ＯＭ，点Ｐ的轨迹为曲线Ｃ ． （１）求Ｃ。的方程； （２）在以０为极点，ｚ轴的正半轴为极轴的极坐 标系中，射线 一 与Ｃ 的异于极点的交点为Ａ，与 Ｃ 的异于极点的交点为Ｂ，求ｌＡＢＩ． 析设Ｐ（ｚ， ），则由条件知Ｍ（号，詈）． （１）方法１ 将Ｍ点的坐标代人Ｃ 可得Ｃ 的 ［９￣／。ｘ＝４．ｃ．￣ ？’（ 为参数）． Ｉ 一４十４ｓｉｎ口 方法２化Ｃ 的参数方程为普通方程ｚ。＋（ 一 ２） ＝＝＝４，再将Ｍ的坐标代人得曲线Ｃ 的普通方程 ｚ ＋（ｙ一４） 一１６． （２）方法ｌ将曲线 的普通方程 ＋（ 一２） －－－４ 化为极坐标方程得ｐ一４ｓｉｎ ，曲线Ｃ 的普通方程 ＋（ｙ一４） 一１６也化为极坐标方程得｜０—８ｓｉｎ ． 射线 一 与Ｃ 、Ｃ 的交点Ａ、Ｂ的极径分别为 ｌ０ 一４ｓｉｎ号一２√ ，ｌ０２—８ｓｉｎ号一４√ ．所以｛ＡＢ Ｉ— Ｉ』Ｄｚ－－ｐｌ Ｉ一２√３． 方法２化射线目一 为直角坐标方程得 一，／５ （ ＞ｏ）． 如图３，设Ｃ 与ｙ轴交于 点Ｃ，连接ＡＣ ，ＢＣ，知ＡＣ ＿上＿ ＯＡ，ＢＣ上０Ｂ， Ｂ０Ｃ一３０。， ＯＣ 一４，０Ｃ一８，故ｌ ０Ａ Ｉ一 ２√３，Ｉ ＯＢ ｌ一４√３，所以 Ｉ ＡＢ ｌ—１ ０Ｂ Ｉ—Ｉ ＯＡ Ｉ一２√３． ｌｃ 圈３ 彝耋 程 方程与普通 ■ ， 。 ，二”例５ （山东卷）不等式Ｉ ｚ一５ Ｊ＋ｆ ＋３ ｌ≥１０的 Ｑ 方法１ Ｉ Ｘ－－５ Ｉ＋ｌ ＋３ Ｉ≥ｌｏ㈢ 解析ｆｚ≥５＇ ｆ一３￣ｘ＜５， 或 二一３ 或ｊ２『或ｚ≤ 故选Ｄ． ，一 ’ ５ 彝主 羹 霎 理想如星辰，我们永不能触到，但我们可以像航海者一样，借星光的位置而航行
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青岛版八年级数学上册
5.6几何证明举例第二课时教案
高唐县第二实验中学 刘和祥
2019年12月
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5.6几何证明举例（2）
高唐县第二实验中学 刘和祥
教学目标：
1、 证明等腰三角形的性质定理、判定定理、等边三角形的性质定理以及判定定理；并会利用上述定理证明有关命题。
2、 进一步掌握几何证明的基本步骤和书写格式，掌握基本的证明方法，会通过分析的方法探索证明的思路。
3、 进一步体会通过合情推理探索数学结论，发展学生推理的能力。
教学重点：几何证明问题的思路分析及其书写步骤。
教学难点：分类讨论思想、多种途径解决几何证明问题。
教学过程：
一、引入新课：
1、第二章我们曾用对折等腰三角形纸片的方法，得出了等腰三角形的性质。教师拿出一张等腰三角形纸片，指出它的两条腰，两个底角和顶角，并向学生演示对折过程。得出：等腰三角形的性质1——等腰三角形的两个底角相等；中间产生了一条折痕，问学生：它是等腰三角形的什么线段？这条折痕既是等腰三角形底边上的高、中线，还是顶角的平分线。得出等腰三角形的性质2——等腰三角形的底边上的高、中线及顶角的平分线重合。
像上面，我们用观察 、实验等方法得出的结论，不能保证它是真命题。要确定它的真实性，还要进一步经过逻辑推理加以证实。本节课我们就以等腰三角形的性质定理和判定定理的证明为例，继续研究几何证明问题。 3
设计意图：通过对折演示，让学生回顾探索等腰三角形的性质的过程，进一步明确通过实验观察的方法得出的结论，不一定是真命题，还得进行演绎推理的证明。
二、探索新知：
（一）等腰三角形的性质定理1：等腰三角形的两个底角相等。
下面是小莹同学的证法：（课件展示）
已知：如图，在△ABC中，AB=AC
求证：∠B=∠C
证明：作∠BAC的平分线AD，与BC交于点D。
在△ABD和△ACD中，
∵AB=AC（已知），
∠BAD=∠CAD（角平分线的定义）
