2019_2020学年高中数学第1章常用逻辑用语1.1.1命题学案新人教B版选修1_1

1.1.1 命题

学

习

目 标 核 心

素 养

1.理解命题的概念，并能判断命题的真假．(重点、易混点)

2．了解命题的构成形式，能把命题改写成“若p则q”的形式，并能判断其真假．(难点) 1.通过命题概念的学习，培养学生的数学抽象素养．

2．借助对命题的判断及命题的结构的解读，提升学生的逻辑推理素养.

1．命题的概念

(1)命题的概念：在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．

(2)命题定义中的两个要点：“可以判断真假”和“陈述句”．我们学习过的定理、推论都是命题．

(3)分类

命题 真命题：判断为真的语句，假命题：判断为假的语句.

思考1：依据上面命题的定义，判断下列说法中，哪些是命题，哪些不是命题．

①三角形外角和为360°；

②连接A，B两点；

③计算3－2的值；

④过点A作直线l的垂线；

⑤在三角形中，大边对的角一定也大吗？

[提示] 根据命题的定义，只有①为命题，其他说法都不是命题．

2．命题的结构

(1)命题的一般形式为“若p，则q”．其中p叫做命题的条件，q叫做命题的结论．

(2)确定命题的条件和结论时，常把命题改写成“若p，则q”的形式．

思考2：如何判断一个命题的条件和结论各是什么？

[提示] 将一个命题改写成“若p，则q”的形式判断．

1．下列语句中，不能成为命题的是 ( )

A．8＞15 B．x＜0 C．梯形是四边形 D．三角形三条中线交于一点

B [“x＜0”不能判断真假，故不是命题．]

2．下列命题中，真命题共有( )

①面积相等的三角形是全等三角形；

②若xy＝0，则|x|＋|y|＝0；

③若a>b，则a＋c＞b＋c；

④矩形的对角线互相垂直．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

A [①②④是假命题，③是真命题．]

3．指出下列命题中的条件p和结论q：

(1)若x<0，则x2<0；

(2)如果一个函数的图象是一条直线，那么这个函数为一次函数．

[解] (1)条件p：x＜0，结论q：x2＜0.

(2)条件p：一个函数的图象是一条直线，结论q：这个函数为一次函数．

命题的判断

【例1】 (1)下列语句：

①垂直于同一条直线的两条直线平行吗？

②一个数的算术平方根一定是非负数；

③x，y都是无理数，则x＋y是无理数；

④请完成第九题；

⑤若直线l不在平面α内，则直线l与平面α平行．

其中是命题的是________(填序号)．

(2)下列语句中是命题的有________(填序号)．

①平行于同一条直线的两条直线必平行吗？

②一个数不是正数就是负数；

③x·y为有理数，则x，y也都是有理数；

④作△ABC∽△A′B′C′.

(1)②③⑤ (2)②③ [(1)①不是命题，因为它不是陈述句；

②是命题，是假命题，因为负数没有算术平方根；

③是命题，是假命题，例如－2＋2＝0,0不是无理数； ④不是命题，因为它不是陈述句；

⑤是命题，是假命题，直线l与平面α可以相交．

(2)①疑问句．没有对平行于同一条直线的两条直线是否平行作出判断，不是命题．

②是假命题.0既不是正数也不是负数．

③是假命题．如x＝3，y＝－3.

④是祈使句，不是命题．]

并不是所有的语句都是命题，只有能判断真假的陈述句才是命题，命题首先是“陈述句”，其他语句如疑问句、祈使句、感叹句等一般都不是命题；其次是“能判断真假”，不能判断真假的陈述句不是命题，如“x≥2”“小高的个子很高”等都不能判断真假，故都不是命题.因此，判断一个语句是否为命题，关键有两点：①是否为陈述句；②能否判断真假.

1．下列语句中是命题的是________(填序号)．

①求证3是无理数；②x∈R，x2＋4x＋4≥0；③你是高一的学生吗？④并非所有人都喜欢苹果；⑤一个正整数不是质数就是合数；⑥如果x＋y和xy都是有理数，那么x，y都是有理数；⑦60x＋9>4；⑧如果x∈R，那么x2＋4x＋7＞0.

②④⑤⑥⑧ [①是祈使句，不是命题．②x2＋4x＋4＝(x＋2)2≥0，它包括x2＋4x＋4>0或x2＋4x＋4＝0，对于x∈R，可以判断此陈述语句的真假，故它是命题．③是疑问句，不是命题．④是命题，人群中有喜欢苹果的人，也有不喜欢苹果的人，所以可判断该陈述语句的真假，故它是命题．⑤是命题，整数1既不是质数，也不是合数，所以该陈述句为假，所以它是命题．⑥是命题，3＋(－3)和3·(－3)都是有理数，但3，－3都是无理数，所以该陈述语句为假，是命题．⑦不是命题，这种含有未知数的语句，未知数的取值是否使不等式恒成立无法确定，不能判断其真假，所以它不是命题．⑧是命题，因为x2＋4x＋7＝(x＋2)2＋3>0，对于x∈R，不等式恒成立，所以该陈述语句为真，是命题．故填②④⑤⑥⑧.]

命题结构形式

【例2】 把下列命题改写成“若p，则q”的形式．

(1)末位数是0的整数能被5整除；

(2)偶函数的图象关于y轴对称；

(3)一个等比数列的公比大于1时，该数列为递增数列；

(4)当a>0时，函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大．

[思路探究] 先确定命题的条件与结论，再改写；若命题中的条件与结论比较隐含，要补充完整．

[解] (1)若一个整数的末位数字是零，则这个整数能被5整除．

(2)若一个函数是偶函数，则这个函数的图象关于y轴对称．

(3)若一个等比数列的公比大于1，则该数列为递增数列．

(4)当a>0时，若x增大，则函数y＝ax＋b的值也增大．

把命题改写成“若p，则q”的形式，关键是找到命题的条件“p”和结论“q”，在有些命题的叙述中，条件、结论不是那么分明，但我们可以把它们改写成条件和结论分明的形式，这要求我们能够分清命题的条件和结论分别是什么.

提醒：任何命题都是由条件和结论构成的，可以写成“若p，则q”的形式.含有大前提的命题写成“若p，则q”的形式时，大前提应保持不变，且不写在条件p中.

2．将下列命题改写成“若p，则q”的形式．

(1)6是12和18的公约数；

(2)当a>－1时，方程ax2＋2x－1＝0有两个不等实根；

(3)平行四边形的对角线互相平分；

(4)已知x，y为非零自然数，当y－x＝2时，y＝4，x＝2.

[解] (1)若一个数是6，则它是12和18的公约数．

(2)若a>－1，则方程ax2＋2x－1＝0有两个不等实根．

(3)若一个四边形是平行四边形，则它的对角线互相平分．

(4)已知x，y为非零自然数，若y－x＝2，则y＝4，x＝2.

命题真假的判断

[探究问题]

1．命题与真命题、假命题的关系是什么？

[提示] 一个命题要么是真命题，要么是假命题；不管真命题还是假命题都是命题．

2．数学中的定义、公理、定理、推论是真命题吗？

[提示] 是真命题．是我们判断其它命题真假的依据．

【例3】 判断下列命题的真假，并说明理由．

(1)正方形既是矩形又是菱形；

(2)当x＝4时，2x＋1<0；

(3)若x＝3或x＝7，则(x－3)(x－7)＝0； (4)设集合A＝{x|x2－6x－7<0}，B＝{x|x≥a}，若∁RB＝{x|x<2}, 则a∈A.

[思路探究] 找出命题的条件和结论

→写成“若p，则q”的形式→判断真假

[解] (1)是真命题，由正方形的定义知，正方形既是矩形又是菱形．

(2)是假命题，x＝4不满足2x＋1<0.

(3)是真命题，x＝3或x＝7能得到(x－3)(x－7)＝0.

(4)是真命题，∵A＝{x|x2－6x－7<0}＝{x|－1

∴a＝2，则a∈A.

本例(4)大前提条件不变，其它变为

(1)“若a≤－1，则A⊆B”，

(2)“若a＝0，则A∪B＝{x|x>－7}”．

判断两命题的真假，并说明理由．

[解] (1)由本例(4)可知A＝{x|－1

所以A⊆B，故该命题为真命题．

(2)若a＝0，B＝{x|x≥0}，

∴A∪B＝{x|x>－1}．

故该命题为假命题．

1真命题的判定方法

真命题的判定过程实际上就是利用命题的条件，结合正确的逻辑推理方法进行正确逻辑推理的一个过程.判断命题为真的关键是弄清命题的条件，选择正确的逻辑推理方法.

2假命题的判定方法

通过构造一个反例否定命题的正确性，这是判断一个命题为假命题的常用方法.

提醒：一个命题为“真”或“假”是唯一确定的，不存在亦真亦假的命题.

3．判断下列命题的真假：

(1)已知a，b，c，d∈R，若a≠c，b≠d，则a＋b≠c＋d；

(2)如果x∈N，则x3＞x2成立；

(3)如果m>1，则方程x2－2x＋m＝0无实数根；

(4)存在一个三角形没有外接圆．

[解] (1)假命题．反例：1≠4,5≠2，但1＋5＝4＋2.

(2)假命题．反例：当x＝0时，x3>x2不成立．

(3)真命题．∵m>1⇒Δ＝4－4m<0，∴方程x2－2x＋m＝0无实数根．

(4)假命题．因为不共线的三点确定一个圆，即任何三角形都有外接圆．

1．思考辨析

(1)“x＞5”是命题． ( )

(2)疑问句、祈使句、感叹句等一般都不是命题． ( )

(3)“3＞12”是命题． ( )

[提示] (1)× 不能判断真假．

(2)√ (3)√

2．下列命题：①mx2＋2x－1＝0是一元二次方程；②抛物线y＝ax2＋2x－1与x轴至少有一个交点；③互相包含的两个集合相等；④垂直于同一平面的两直线平行．真命题的个数为( )

A．1 B．2 C．3 D．4

B [①当m不为0时，mx2＋2x－1＝0是一元二次方程；

②当Δ＝4＋4a≥0且a≠0时，抛物线y＝ax2＋2x－1与x轴至少有一个交点；

③符合集合相等的定义，真命题；

④真命题．

∴选B.]

3．给定下列四个命题，其中正确的是 ( )

①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；

②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直；

③若集合A＝{1,3,5,7,9}，B＝{0,3,6,9,12}，则A∩B＝{3,9}；

④若集合A＝{1,3,5,7,9}，B＝{0,3,6,9,12}，则A∩B＝{1,3,5}．

A．①和② B．②和③ C．③和④ D．②和④

B [①若一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；