北师大高中数学选修44精讲精练课时作业 椭圆的参数方程 含解析

椭圆的参数方程
例1、如下图，以原点为圆心，分别以a，b（a＞b＞0） 为半径作两个圆，点B是大圆半径OA与小圆的交点，过 点A作AN⊥ox，垂足为N，过点B作BM⊥AN，垂足为M， 求当半径OA绕点O旋转时点M的轨迹参数方程. 分析：点M的横坐标与点A的横坐标相同, 点M的纵坐标与点B的纵坐标相同. y 而A、B的坐标可以通过 引进参数建立联系.
x a cos O N x 由已知: (为参数) y b sin 即为点M的轨迹参数方程. x2 y2 消去参数得: 2 2 1, 即为点M的轨迹普通方程. a b
数方程. 2 .在椭圆的参数方程中，常数a、b分 别是椭圆的长半轴长和短半轴长. a>b
x a cos 1 .参数方程 y b sin 是椭圆的参
l：x-y+4=0的距离最小.
y
分析1： P( 8 8y2 , y), 设
则d | 8 8y 2 y 4 |
O x
2 分析2：设P( 2 2 cos , sin ),
则d | 2 2 cos sin 4 | 2
P
分析3：平移直线 l 至首次与椭圆相切，切点即为所求. 小结：借助椭圆的参数方程，可以将椭圆上的任意一
另外, 称为离心角,规定参数 的取值范围是 [0, 2 )
x a cos , x b cos , 焦点在X 轴 焦点在Y 轴 y b sin . y a sin .
知识归纳 x2 y2 椭圆的标准方程: 2 2 1
y A
x 线AB的方程为 3 y 2
1 2x 3y 6 0
6 13
d
| 6 cos 6 sin 6 | 2 2 32

圆的参数方程、椭圆的参数方程、双曲线的参数方程练习1过点M(2,1)作曲线C：4cos,4sinxyθθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)的弦，使M为弦的中点，则此弦所在直线方程为( )．A．y－1＝－12(x－2)B．y－1＝－2(x－2)C．y－2＝－12(x－1)D．y－2＝－2(x－1)2曲线=5cos,=3sinxyθθ⎧⎨⎩(θ是参数)的左焦点的坐标是( )．A．(－4,0) B．(0，－4) C．(－2,0) D．(0,2)3圆锥曲线4=cos=3tanxyθθ⎧⎪⎨⎪⎩，(θ是参数)的焦点坐标是( )．A．(－5,0) B．(5,0) C．(±5,0) D．(0，±5)4P(x，y)是曲线=2cos=sinxyαα+⎧⎨⎩，(α为参数)上任意一点，则(x－5)2＋(y＋4)2的最大值为( )．A．36 B．6 C．26 D．255点M(x，y)在椭圆22=1124x y+上，则点M到直线x＋y－4＝0的距离的最大值为__________，此时点M坐标是__________．6已知A，B分别是椭圆22=1369x y+的右顶点和上顶点，动点C在该椭圆上运动，则△ABC的重心G的轨迹的参数方程是__________．7求椭圆22=194x y+的参数方程．(1)设x＝3cos φ，φ为参数；(2)设y＝2t，t为参数．8已知双曲线方程为x2－y2＝1，M为双曲线上任意一点，点M到两条渐近线的距离分别为d1和d2，求证：d1与d2的乘积是常数．参考答案1答案：B 把曲线C的参数方程化为普通方程为x2＋y2＝16，表示圆心在原点，半径r＝4的圆，所以过点M的弦与线段OM垂直，又12OMk=.∴弦所在直线的斜率为－2，∴直线方程为y－1＝－2(x－2)．2答案： A 由=5cos=3sinxyθθ⎧⎨⎩，，得22259x y+＝1，∴左焦点的坐标为(－4,0)．3答案：C 由4=cos=3tanxyθθ⎧⎪⎨⎪⎩，，得22169x y-＝1，∴它的焦点坐标为(±5,0)．4答案：A 由参数方程可知，(x－2)2＋y2＝1，圆心O(2,0)，另一定点M(5，－4)，∴|OM|5.∴(x－5)2＋(y＋4)2的最大值为(5＋1)2＝62＝36.5答案：(－3，－1)椭圆参数方程为=2sinxyθθ⎧⎪⎨⎪⎩，(θ为参数)，则点M(cos θ，2sin θ)到直线x＋y－4＝0的距离d＝π|4sin4|θ⎛⎫+-⎪.当π3π=32θ+时，maxd＝此时，点M的坐标为(－3，－1)．6 答案：=22cos,=1sinxyθθ+⎧⎨+⎩π2θθθ⎛⎫≠≠⎪⎝⎭为参数，且由于动点C在该椭圆上运动，故可设点C的坐标为(6cos θ，3sin θ)，重心G的坐标为(x，y)，则由题意可知点A(6,0)，B(0,3)，由重心坐标公式可知有606cos==22cos,3033sin==1sin3xyθθθθ++⎧+⎪⎪⎨++⎪+⎪⎩π2θθθ⎛⎫≠≠⎪⎝⎭为参数，且.7 答案：分析：把x，y含参表达式分别代入椭圆方程求出参数方程．解：(1)把x＝3cos φ代入椭圆方程，得229cos=194yϕ+，∴y2＝4(1－cos2φ)＝4sin2φ，即y＝±2sin φ.由φ的任意性，可取y＝2sin φ.∴22=194x y+的参数方程为=3cos,=2sinxyϕϕ⎧⎨⎩(φ为参数)．(2)把y ＝2t 代入椭圆方程，得224=194x t +. ∴x 2＝9(1－t 2)，∴=x ±.∴参数方程为=2x y t⎧⎪⎨⎪⎩(t 为参数)或==2x y t ⎧⎪-⎨⎪⎩t 为参数)．8答案：分析：利用双曲线的参数方程代入距离公式，利用三角函数公式进行转化． 证明：设d 1为点M 到渐近线y ＝x 的距离，d 2为点M 到渐近线y ＝－x 的距离， 因为点M 在双曲线x 2－y 2＝1上，则可设点M 的坐标为1tan cos αα⎛⎫ ⎪⎝⎭，. 1d，2d ， d 1·d 2＝221tan 1cos =22αα-， 故d 1与d 2的乘积是常数．。

课时作业(十)1．已知曲线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ，y ＝cos2θ(θ为参数)，则下列各点在曲线上的是( )A ．(2，7)B ．(13，23)C ．(12，12)D ．(1，0)答案 C解析 由参数方程中x 、y 的取值范围，可排除A ；参数方程可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ，y ＝1－2sin 2θ(θ为参数)，把点的坐标代入验证知，点(12，12)满足方程，故选C.2．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋5t ，y ＝1－2t (t 为参数)与坐标轴的交点是( )A ．(0，25)，(12，0)B ．(0，15)，(12，0)C ．(0，－4)，(8，0)D ．(0，59)，(8，0)答案 B3．曲线xy ＝1的参数方程是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 12，y ＝t －12B.⎩⎨⎧x ＝sin α，y ＝1sin α C.⎩⎨⎧x ＝cos α，y ＝1cos αD.⎩⎨⎧x ＝tan α，y ＝1tan α答案 D4．已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝6＋4cos θ，y ＝5tan θ－3(θ为参数，π≤θ<2π)．已知点M(14，a)在曲线C 上，则a ＝( ) A ．－3－5 3 B ．－3＋5 3 C ．－3＋533D ．－3－533答案 A5．(2016·咸阳模拟)点P(1，0)到曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝2t (其中参数t ∈R)上的点的最短距离为( )A ．0B ．1 C. 2 D ．2答案 B解析 点P(1，0)到曲线上的点的距离设为d ，则 d ＝（x －1）2＋（y －0）2 ＝（t 2－1）2＋（2t ）2 ＝（t 2＋1）2＝t 2＋1≥1. 当t ＝0时，d min ＝1.所以，点P 到曲线上的点的距离的最小值为1.选B.6．由方程x 2＋y 2－4tx －2ty ＋5t 2－4＝0(t 为参数)所表示的一组圆的圆心轨迹方程是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝2t B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝－2t C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2t ，y ＝tD.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝t答案 D解析 原方程可变形为(x －2t)2＋(y －t)2＝4，则这组圆的圆心坐标为(2t ，t)，设圆心坐标为(x ，y)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝t (t 为参数)，故选D. 7．已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数，0≤θ<2π)，则曲线C 上的点A(1，－3)对应的θ值为( ) A.π3 B.2π3 C.5π3 D.116π 答案 C解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1＝2cos θ，－3＝2sin θ，即⎩⎨⎧sin θ＝－32，cos θ＝12，所以θ＝5π3，故选C.8．曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －1，y ＝t 2－1(t 为参数)必过点( )A ．(1，0)B ．(0，1)C ．(0，0)D ．(2，0)答案 C解析 将点的坐标依次代入曲线的参数方程，若参数有解即为所求．由于当t ＝1时，x ＝y ＝0，故选C.9．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋2cos θ，y ＝3＋2sin θ(θ为参数)围成图形的面积等于( )A ．πB ．2πC ．3πD ．4π答案 D解析 曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋2cos θ，y ＝3＋2sin θ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝2cos θ，y －3＝2sin θ，(θ为参数)表示圆心为(－1，3)，半径为2的圆，所以面积等于4π.10．已知点P(x ，y)在曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)上，则x －2y 的最大值为( )A ．2B ．－2C ．1＋ 5D ．1－ 5答案 C解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ，所以x －2y ＝1＋cos θ－2sin θ ＝1－(2sin θ－cos θ)＝1－5(25sin θ－15cos θ) ＝1－5sin(θ－φ)(其中tan φ＝12)，所以x －2y 的最大值为1＋ 5.11．已知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t 2(t 为参数)，若y ＝1，则x ＝________．答案 0或2解析 若y ＝1，则t 2＝1，则t ＝±1，x ＝0或2.12．已知点A(4，b)在曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝－2＋t (t 为参数)上，则b ＝________．答案 7解析 由题意得⎩⎨⎧4＝t ＋1，b ＝－2＋t ，解得⎩⎪⎨⎪⎧t ＝9，b ＝7.所以b ＝7.13．已知圆C 的圆心是直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝1＋t (t 为参数)与x 轴的交点，且圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切．则圆C 的方程为________． 答案 (x ＋1)2＋y 2＝2解析 直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＝1＋t(t 为参数)与x 轴的交点为(－1，0)，故圆C 的圆心坐标为(－1，0)．又圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，所以圆C 的半径为r ＝|－1＋0＋3|2＝2， 所以圆C 的方程为(x ＋1)2＋y 2＝2.14．设x ＝2pt 2(t 为参数)，求抛物线y 2＝2px 的参数方程． 解析 由x ＝2pt 2得y 2＝2p·2pt 2＝(2pt)2. 又t ∈R ，所以y ＝2pt. 即抛物线y 2＝2px的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)．15．一位同学从楼房的阳台上以v 0＝2.5 m/s 的水平初速度平抛一物体，测得该物体抛出落在楼前5 m 的水平地面上，若不计空气阻力，g 取10 m/s 2，求： (1)物体的轨迹的参数方程； (2)楼房阳台的高度．解析 设阳台的高度为h ，平抛物体在空中运动的时间为t ，如图建立平面直角坐标系，则平抛物体在水平方向做匀速直线运动， x ＝v 0t ＝2.5t ，竖直方向向下是自由落体运动y ＝h －12gt 2，则物体轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2.5t y ＝h －5t 2(t 为参数)， 将x ＝5，y ＝0代入t ＝2 s ，h ＝20 m. 所以阳台高度为20 m.1．在方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin2θ，y ＝sin θ＋cos θ(θ为参数)所表示的曲线上的一点的坐标是( )A ．(1，3)B ．(2，3)C ．(12，－2)D ．(－34，12)答案 D2．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)上的点到两坐标轴的距离之和的最大值为( )A.12 B.22C ．1 D. 2答案 D解析 由题意，曲线上的点到两坐标轴的距离之和为d ＝|cos θ|＋|sin θ|.设θ∈[0，π2]，d ＝sin θ＋cos θ＝2sin(θ＋π4)∈[1，2]，∴d max ＝ 2.3．由方程x 2＋y 2－4tx －2ty ＋3t 2－4＝0(t 为参数)所表示的一族圆的圆心的轨迹方程为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝tB.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2t ，y ＝t C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝－tD.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2t ，y ＝－t答案 A4．已知参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，θ∈[0，2π)．(1)点A(1，3)________参数方程表示的曲线上，点B(2，1)________参数方程表示的曲线上；(填“在”或“不在”)(2)若点C(－3，a)在参数方程表示的曲线上，则a 的值为________． 答案 (1)在 不在 (2)±1解析 (1)把A(1，3)的坐标代入方程，得⎩⎪⎨⎪⎧1＝2cos θ，3＝2sin θ，在[0，2π)内，此方程组的解是θ＝π3， 把B(2，1)的坐标代入方程，得⎩⎪⎨⎪⎧2＝2cos θ，1＝2sin θ，在[0，2π)内，此方程组无解．故A 点在参数方程表示的曲线上，而B 点不在参数方程表示的曲线上． (2)由点C(－3，a)在参数方程表示的曲线上，得⎩⎪⎨⎪⎧－3＝2cos θ，a ＝2sin θ，解得cos θ＝－32，sin θ＝±12，∴a ＝±1. 5．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2t ，y ＝－1＋t(t 为参数)上对应t ＝0，t ＝1两点间的距离是________．答案5解析 将t ＝0，t ＝1分别代入曲线的参数方程，可得相应两点的直角坐标分别为(2，－1)与(4，0)，故两点间的距离为 5.6．直角坐标系中，经过原点O 作圆x 2＋y 2－2ax ＝0(a>0)的弦，选择适当的参数，求出这些弦的中点的轨迹的参数方程．解析 把圆的一般方程x 2＋y 2－2ax ＝0化为标准方程得(x －a)2＋y 2＝a 2，则圆心坐标为C(a ，0)，半径为a.如图，设OP 是过原点的任意一条弦，M(x ，y)是弦OP 的中点，弦OP 与x 轴的夹角为θ，θ为参数，连接CM ，过M 作MN ⊥x 轴于N ，则|OM|＝|OC|cos θ＝acos θ，∴|ON|＝|OM|cos θ＝acos 2θ，|MN|＝|OM|sin θ＝acos θsin θ，∴所求弦的中点的轨迹的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝acos 2θ，y ＝acos θsin θ(θ为参数)．由Ruize收集整理。

姓名，年级：时间：第二章 综合练习1．下列参数方程(t 为参数)中与普通方程x 2－y ＝0表示同一曲线的是( ）A.错误!B.错误! C 。

错误!D.错误! 答案 B2．若圆的参数方程为错误!（θ为参数)，直线的参数方程为错误!(t 为参数），则直线与圆的位置关系是( )A ．过圆心B ．相交而不过圆心C ．相切D ．相离答案 B3．设圆的半径为r>0，其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝rcos φy ＝rsin φ（φ为参数）直线的方程为xcos θ＋ysin θ＝r ，则直线与圆的位置关系（ ）A ．相切B ．相交C ．相离D ．与r 的大小有关答案 A4．直线l ：y ＋kx ＋2＝0与曲线C ：ρ＝2cos θ相交，则k 的取值范围是（ ）A ．k 〈－错误!B ．k ≥－错误!C ．k ∈RD ．k ∈R 且k≠0 答案 A5．直线l 的参数方程是错误!（t∈R），则l 的方向向量是（ )A ．（1，2)B ．（2,1)C ．（－2,1）D ．（1，－2) 答案 C解析 化为普通方程为y ＝－错误!x ＋错误!，∴方向向量为(－2，1）6．直线l ：错误!(t 为参数)与圆错误!（α为参数)相切，则直线的倾斜角θ为（ ）A.错误!或错误!B 。

错误!或错误! C.π3或错误! D ．－错误!或－错误! 答案 A7．曲线错误!上的点与x轴的距离的最大值为（）A．1 B．2C．3 D．4答案C解析曲线错误!的普通方程为(x－1)2＋（y＋2)2＝1,曲线的中心即圆心坐标为（1，－2)，半径为1，圆心到x轴的距离为2，所以圆上的点与x轴的距离的最大值为2＋1＝3. 8．(2015·重庆理)已知直线l的参数方程为错误!（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ＝4（ρ〉0，错误!〈θ〈错误!),则直线l与曲线C的交点的极坐标为________．答案(2，π）解析对错误!(t为参数）消去参数t，得x－y＋2＝0.ρ2cos2θ＝ρ2（2cos2θ－1）＝2ρ2cos2θ－ρ2＝2x2－（x2＋y2)＝x2－y2.又34π〈θ〈错误!，联立错误!得交点坐标（－2,0），化为极坐标为(2,π）．9．已知圆C的参数方程为错误!(θ为参数），则点P(5，3）与圆C上的点的最远距离是________．答案7解析圆C:错误!的普通方程为（x－1)2＋y2＝4，故圆心C（1,0)，半径r＝2,由于点P（5，3）在圆外部，所以点P与圆C上的点的最远距离为｜PC｜＋2＝错误!＋2＝7。