2020高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.1 命题作业2 北师大版选修1-1

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1.1 命题

[A.基础达标]

1．“若x＞1，则p”为真命题，那么p不能是( )

A．x＞－1 B．x＞0

C．x＞1 D．x＞2

解析：选D. x＞1⇒/ x＞2，故选D.

2．命题“若x>a2＋b2，则x>2ab”的逆命题是( )

A．“若x

B．“若x>a2＋b2，则x≥2ab”

C．“若x≥a2＋b2，则x≥2ab”

D．“若x>2ab，则x>a2＋b2”

解析：选D.把命题“若x>a2＋b2，则x>2ab”的条件和结论互换得其逆命题为“若x>2ab，则x>a2＋b2”．

3．如果一个命题的逆命题是真命题，那么这个命题的否命题是( )

A．真命题 B．假命题

C．与所给的命题有关 D．无法判断

解析：选A.因为一个命题的逆命题、否命题是互为逆否命题，它们的真假性相同．由于逆命题是真命题，所以否命题也是真命题．

4．已知命题“非空集合M中的元素都是集合P中的元素”是假命题，那么下列命题中真命题的个数为( )

①M中的元素都不是P的元素；

②M中有不属于P的元素；

③M中有属于P的元素；

④M中的元素不都是P的元素．

A．1 B．2

C．3 D．4

解析：选C.因为“非空集合M中的元素都是集合P中的元素”是假命题，所以在M中存在不属于集合P的元素，故②③④正确，①不正确，故选C.

5．若命题p的等价命题是q，q的逆命题是r，则p与r是( )

A．互逆命题 B．互否命题

C．互逆否命题 D．不确定

解析：选B.因为p与q互为逆否命题，又因为q的逆命题是r，则p与r为互否命题．

6．命题“对顶角相等”的等价命题是________________．

解析：因为原命题和逆否命题是等价命题，所以该原命题的等价命题为“若两个角不相等，则这两个角不是对顶角”．

答案：若两个角不相等，则这两个角不是对顶角

7．命题“若x∈R，则x2＋(a－1)x＋1≥0恒成立”是真命题，则实数a的取值范围为________．

解析：由题意得：Δ≤0，即：(a－1)2－4×1×1≤0，

解得：a∈[－1，3]．

答案：[－1，3]

8．命题“若∠C＝90°，则△ABC是直角三角形”的否命题的真假性为________．

解析：该命题的否命题为“若∠C≠90°，则△ABC不是直角三角形”．因为∠A、∠B可能等于90°，所以该命题的否命题为假命题．

答案：假

9．已知命题“若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根”．写出命题的逆否命题并判断其真假．

解：逆否命题为“若x2＋x－a＝0无实根，则a<0”．因为a≥0，所以4a≥0，所以方程x2＋x－a＝0的判别式Δ＝4a＋1>0，所以方程x2＋x－a＝0有实根．故原命题“若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根”为真命题．

又因原命题与其逆否命题等价，所以“若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根”的逆否命题为真．

10．(1)如图，证明命题“a是平面π内的一条直线，b是平面π外的一条直线(b不垂直于π)，c是直线b在平面π上的投影，若a⊥b，则a⊥c”为真．

(2)写出上述命题的逆命题，并判断其真假(不需要证明)． 精品

解：(1)证明：如图，设c∩b＝A，P为直线b上异于点A的任意一点，作PO⊥π，垂足为O，则O∈c，

因为PO⊥π，aπ，所以PO⊥a，

又a⊥b，b平面PAO，PO∩b＝P，

所以a⊥平面PAO，又c平面PAO，

所以a⊥c.

(2)逆命题为：a是平面π内的一条直线，b是平面π外的一条直线(b不垂直于π)，c是直线b在平面π上的投影，若a⊥c，则a⊥b.逆命题为真命题．

[B.能力提升]

1．有下列四个命题：

①“若a2＋b2＝0，则a，b全为0”的逆否命题；

②“全等三角形的面积相等”的否命题；

③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆否命题；

④“矩形的对角线相等”的逆命题．

其中真命题为( )

A．①② B．①③

C．②③ D．③④

解析：选B.对于①：原命题为真命题，故逆否命题也为真命题．对于②：该命题的否命题为“不全等的三角形的面积不相等”，显然为假命题．对于③：该命题的逆否命题为“若x2＋2x＋q＝0无实根，则q>1”，即Δ＝4－4q<0⇒q>1，故③为真命题．对于④：该命题的逆命题为“对角线相等的四边形为矩形”．反例：等腰梯形，故为假命题．

2．原命题为“若an＋an＋12＜an，n∈N＋，则{an}为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )

A．真，真，真 B．假，假，真

C．真，真，假 D．假，假，假

解析：选A.an＋an＋12＜an⇔an＋1＜an⇔{an}为递减数列．

原命题与其逆命题都是真命题，其否命题和逆否命题也都是真命题，故选A.

3．已知命题p：lg(x2－2x－2)≥0；命题q：1－x＋x24＜1，若命题p是真命题，命题q是假命题，则实数x的取值范围是________．

解析：由lg(x2－2x－2)≥0，得x2－2x－2≥1，

即x2－2x－3≥0，解得x≤－1或x≥3.

由1－x＋x24＜1，

得x2－4x＜0，解得0＜x＜4.

因为命题p为真命题，命题q为假命题，

所以x≤－1或x≥3x≤0或x≥4，解得x≤－1或x≥4.

所以，满足条件的实数x的取值范围为(－∞，－1]∪[4，＋∞)．

答案：(－∞，－1]∪[4，＋∞)

4．设p：平面向量a，b，c互不共线，q表示下列不同的结论：

①|a＋b|＜|a|＋|b|.②a·b＝|a|·|b|.

③(a·b)c－(a·c)b与a垂直．④(a·b)c＝a(b·c)．

其中，使命题“若p，则q”为真命题的所有序号是________．

解析：由于p：平面向量a，b，c互不共线，

则必有|a＋b|＜|a|＋|b|，①正确；

由于a·b＝|a||b|cos θ＜|a||b|，②不正确；

由于[(a·b)c－(a·c)b]·a＝(a·b)(c·a)－(a·c)(b·a)＝0，所以(a·b)c－(a·c)b与a垂直，③正精品

确；

由于平面向量的数量积不满足结合律，且a，b，c互不共线，故(a·b)c≠a(b·c)，④不正确．

综上可知真命题的序号是①③.

答案：①③

5．求证：若p2＋q2＝2，则p＋q≤2.

证明：该命题的逆否命题为：若p＋q＞2，则p2＋q2≠2.

p2＋q2＝12[(p＋q)2＋(p－q)2]≥12(p＋q)2.

因为p＋q＞2，所以(p＋q)2＞4，所以p2＋q2＞2.

即p＋q＞2时，p2＋q2≠2成立．

所以若p2＋q2＝2，则p＋q≤2.

6．(选做题)在公比为q的等比数列{an}中，前n项的和为Sn，若Sm，Sm＋2，Sm＋1成等差数列，则am，am＋2，am＋1成等差数列．

(1)写出这个命题的逆命题；

(2)判断公比q为何值时，逆命题为真？公比q为何值时，逆命题为假？

解：(1)逆命题：在公比为q的等比数列{an}中，前n项和为Sn，若am，am＋2，am＋1成等差数列，则Sm，Sm＋2，Sm＋1成等差数列．

(2)因为{an}为等比数列，所以an≠0，q≠0.

由am，am＋2，am＋1成等差数列．

得2am＋2＝am＋am＋1，

所以2am·q2＝am＋am·q，

所以2q2－q－1＝0.

解得q＝－12或q＝1.

当q＝1时，an＝a1(n＝1，2，…)，

所以Sm＋2＝(m＋2)a1，Sm＝ma1，Sm＋1＝(m＋1)a1，

因为2(m＋2)a1≠ma1＋(m＋1)a1，

即2Sm＋2≠Sm＋Sm＋1，

所以Sm，Sm＋2，Sm＋1不成等差数列．

即q＝1时，原命题的逆命题为假命题．

当q＝－12时，

2Sm＋2＝2·a1（1－qm＋2）1－q，

Sm＋1＝a1（1－qm＋1）1－q，Sm＝a1（1－qm）1－q，

所以2Sm＋2＝Sm＋1＋Sm，

所以Sm，Sm＋2，Sm＋1成等差数列．

即q＝－12时，原命题的逆命题为真命题．