第二章 谓词逻辑
一、原子命题的内部结构
12．谓词逻辑·谓词和个体词·量词、全称量词和存在量词·个体域·量词的辖域·自由个体变项和约束个体变项·一阶谓词逻辑
什么是谓词逻辑
在第一章中，我们知道，命题逻辑的根本特征，就在于把原子命题作为基本的单位，对原子命题的内部结构不再进行分析。在思维实际中，有时我们不涉及原子命题的内部结构，例如，命题推理只涉及命题之间的关系，这时命题逻辑的工具就足够了。但在更多的情况下需要涉及原子命题的内部结构。例如：
推理1：
所有的人都是要死的。
苏格拉底是人。
所以，苏格拉底是要死的。
推理1包括三个不同的原子命题，经过相应的设定后，它的真值形式是rqp。这不是一个重言式。因此，这个显然有效的推理在命题逻辑个被判定无效。这是因为，推理1的有效性的根据不在原于命题之间的关系，而在于原子命题内部的构成要素之间的关系。命题逻辑无法解决这样的推理的判定问题。传统逻辑中的词项逻辑把原子命题进一步分析为主项、谓项、量项和联项的合式构成，这样它就能处理命题逻辑所无法处5理的许多推理，如推理1这样的三段论。但是，词项逻辑的处理能力有着很大的局限。例如：
推理2：
所有的罪犯或者是故意犯罪，或者是过失犯罪。
有些罪犯不是故意犯罪。
因此，有些罪犯是过失犯罪。
这个有效性同样明显的推理的判定，命题逻辑解决不了，词项逻辑同样解决不了。
为了更为有效和尽量不失—般性地解决推理的判定，需要提出新的逻辑工具，进—步分析原子命题的内部结构。这就是谓词逻辑的任务。
在谓词逻辑中，原子命题被进一步分析为谓词、个体词、量词和联结词这样几个基本成分。谓词、个体词和量词是谓词逻辑中新引入的概念，联结词作为符号就是真值联结词。
谓词和个体词
我们通过以下实例来说明什么是谓词和个体词。
#include
#include
#include
#define null 0
typedef struct
{
char var;
char *s;
}mgu;
void strreplace(char *string,char *str1,char *str2)
{
char *p;
while(p=strstr(string,str1))
{
int i=strlen(string);
int j=strlen(str2);
*(string+i+j-1)='\0';
for(int k=i-1;(string+k)!=p;k--)
*(string+k+j-1)=*(string+k);
for(i=0;i
*(p++)=*(str2+i);
}
}
void sort(mgu *u,int count)
{
int j=count;
int k=j;
if(count==1)return;
for(int i=1;i
{
if(!((u+i)->s))
continue;
if((u+i)->var==(u+j)->var)
{
delete (u+j)->s;
(u+j)->s=null;
k--;
j=i;
}
if(((u+i)->s)&&((u+i)->var==*((u+i)->s)))
{
delete (u+i)->s;
(u+i)->s=null;
k--; }
}
j=count;
if(k==j)return;
count=k;
for(int i=1;i0;i++)
{
if((u+i)->s)
continue;
while(!((u+j)->s))
j--;
(u+i)->var= (u+j)->var;
数学逻辑知识点总结
数学逻辑是数学的一个重要分支，它研究的是数学命题和论证的形式结构。通过数学逻辑，我们可以建立数学的基础，推导定理，解决问题，拓展数学知识，并且可以应用到现实生活中，如计算机科学、哲学、语言学等方面。本文将对数学逻辑的基本知识点进行总结，包括命题逻辑、谓词逻辑、集合论和函数论等。
一、命题逻辑
1. 命题：在逻辑学中，命题是能够判断真假的陈述句，如“2+2=4”、“地球是圆的”等。命题可以用P、Q、R等字母表示。
2. 连词和量词：在命题逻辑中，常用的连词包括合取（∧，表示且）、析取（∨，表示或）、蕴涵（→，表示如果……，那么……）和双条件（↔，表示当且仅当）；常用的量词包括全称量词（∀，表示所有）和存在量词（∃，表示存在）。
3. 逻辑运算：命题逻辑中的逻辑运算是指对命题进行组合，例如通过合取和析取可以得到新的复合命题，通过蕴涵和双条件可以得到含有条件关系的复合命题。
4. 真值表：真值表是一种描述命题逻辑运算的方法，通过真值表可以对不同的命题组合情况进行分类和分析，从而确定命题的真假。
5. 推理规则：在命题逻辑中，有一些常用的推理规则，如假言推理、析取三段论、排中律和矛盾律等，通过这些规则可以根据已知的真假条件得出新的结论。
6. 归结原理：归结原理是命题逻辑的一个重要理论，在归结原理中，通过归结的方法可以判断一个命题是否可满足，从而进行逻辑推理。
二、谓词逻辑
1. 谓词：在谓词逻辑中，谓词是一种对对象进行描述的函数，例如“x>y”、“P(x)”等。谓词可以分为一元谓词、二元谓词等，分别表示一个对象的性质和两个对象之间的关系。
2. 量词和谓词演算：在谓词逻辑中，引入了量词和谓词演算的概念，量词包括全称量词和存在量词，而谓词演算则是一种形式化的逻辑推理方法，通过对谓词的操作和替换，可以得到新的谓词表达式。
3. 谓词逻辑的语义和语法：谓词逻辑是一种复杂的逻辑系统，它包括语义和语法两个方面，通过语义可以理解谓词的含义和推理规则，通过语法可以对谓词进行形式化的描述和分析。
２Ｏｌ４年２月 第４１卷第１期 西安电子科技大学学报（自然科学版） Ｊ０ＵＲＮＡＬ ０Ｆ ＸＩＤＩＡＮ ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ Ｆｅｂ．２Ｏ１４ Ｖｏ１．４１ Ｎ０．１
ｄｏｉ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００１—２４００．２０１４．Ｏ１．０２４
格值一阶逻辑系统的 广义归结原理
许伟涛 ，张闻强 ，徐 扬 ，张德贤
（１．河南工业大学信息科学与工程学院，河南郑州４５０００１； ２．西南交通大学数学学院，四川成都６１００３１）
摘要：在基于格蕴涵代数的格值逻辑系统框架下，笔者扩展了基于格值逻辑系统的ａ归结原理，将广义子 句集上的归结扩展到一般广义子句集上，提出了基于格值一阶逻辑系统ＬＦ（Ｘ）的ａ广义归结原理，建立了
格值一阶逻辑系统中ａ广义归结原理的可靠性定理．通过给出的提升引理，证明了该原理的弱完备性定 理．这将为建立基于格值逻辑系统的广义归结方法提供新的自动推理技术． 关键词：格值一阶逻辑；一般广义子句；局部极复杂广义文字；广义归结；自动推理
中图分类号：ＴＰ３９ｌ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００１—２４００（２０１４）Ｏ１—０１３５—０５
ａ—ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ ｒｅｓｏｌｕｔｉｏｎ ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ
ｌａｔｔｉｃｅ－ｖａｌｕｅｄ ｆｉｒｓｔ—ｏｒｄｅｒ ｌｏｇｉｃ ｓｙｓｔｅｍ
ＸＵ Ｗｅｉｔａｏ ，ＺＨＡＮＧ Ｗｅｎｑｉａｎｇ ，ＸＵ Ｙａｎｇ ，ＺＨＡＮＧ Ｄｅｘｉａｎ
（１．Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｈｅｎａｎ Ｕｎｉｖ．ｏｆ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｚｈｅｎｇｚｈｏｕ ４５０００１
Ｃｈｉｎａ；２．Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｓｏｕｔｈｗｅｓｔ Ｊｉａｏｔｏｎｇ Ｕｎｉｖ ，Ｃｈｅｎｇｄｕ ６１００３１，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ： Ｉｎ ｔｈｅ ｆｒａｍｅｗｏｒｋ ｏｆ ｔｈｅ ｌａｔｔｉｃｅ—ｖａｌｕｅｄ ｌｏｇｉｃ ｓｙｓｔｅｍ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ｌａｔｔｉｃｅ ｉｍｐｌｉｃａｔｉｏｎ ａｌｇｅｂｒａ，ｔｈｅ ａ—ｒｅｓｏｌｕｔｉｏｎ ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ ｂａｓｅｄ Ｏｎ ｔｈｅ ｌａｔｔｉｃｅ—ｖａｌｕｅｄ ｌｏｇｉｃ ｓｙｓｔｅｍ ｉｓ ｅｘｔｅｎｄｅｄ ｆｒｏｍ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ ｃｌａｕｓｅｓ ｓｅｔ ｔＯ ｇｅｎｅｒａｌ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ ｃｌａｕｓｅｓ ｓｅｔ．Ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ，ｔｈｅ ａ－ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ ｒｅｓｏｌｕｔｉｏｎ ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ ｉｓ ｐｒｅｓｅｎｔｅｄ ｉｎ ｔｈｅ ｌａｔｔｉｃｅ－ｖａｌｕｅｄ ｆｉｒｓｔ—ｏｒｄｅｒ ｌｏｇｉｃ ｓｙｓｔｅｍ ＬＦ（Ｘ）．Ａｔ ｔｈｅ ｓａｍｅ ｔｉｍｅ，ｔｈｅ ｓｏｕｎｄｎｅｓｓ ｔｈｅｏｒｅｍ ｉｓ ｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄ ｉｎ Ｉ Ｆ（Ｘ）．Ｂｙ ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ｌｉｆｔ ｌｅｍｍａ，ｔｈｅ ｗｅａｋ ｃｏｍｐｌｅｔｅｎｅｓｓ ｔｈｅｏｒｅｍ ｉｓ ａｌｓｏ ｐｒｏｖｅｄ．Ｔｈｉｓ ｗｏｒｋ ｃａｎ ｐｒｏｖｉｄｅ ａ ｎｅｗ ａｕｔｏｍａｔｅｄ ｒｅａｓｏｎｉｎｇ ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ ｉｎ ｏｒｄｅｒ ｔｏ ｅｓｔａｂｌｉｓｈ ｎｏｖｅｌ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ ｒｅｓｏｌｕｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄｓ ｆｏｒ ｌａｔｔｉｃｅ— ｖａｌｕｅｄ ｌｏｇｉｃ ｓｙｓｔｅｍｓ． Ｋｅｙ Ｗｏｒｄｓ：ｌａｔｔｉｃｅ－ｖａｌｕｅｄ ｆｉｒｓｔ－ｏｒｄｅｒ ｌｏｇｉｃ；ｇｅｎｅｒａｌ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ ｃｌａｕｓｅ；ｌｏｃａｌ ｅｘｔｒｅｍｅｌｙ ｃｏｍｐｌｅｘ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ ｌｉｔｅｒａｌ；ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ ｒｅｓｏｌｕｔｉｏｎ；ａｕｔｏｍａｔｅｄ ｒｅａｓｏｎｉｎｇ
