第二章 谓词逻辑

第二章 谓词逻辑

第六讲 谓词和量词

前一章讲解了命题逻辑，但是命题逻辑有局限性，甚至无法判别一些简单的命题。

比如：

凡偶数都能被2整除，4是偶数，所以4能被2整除。

这个推理显然是正确的(是重言式)。但是，如果将该命题符号化：（p∧q）→r. 显然，这并不是一个重言式。

因此，为了克服命题逻辑的局限性，我们需要引入谓词逻辑。

1. 谓词

首先来看两个命题：

（a）2是有理数

（b）我和他年龄相同

在上面两句话中，“„„是有理数”及“„„年龄相同”是句子的谓语成分，称为谓词。

下面将其符号化：

将“„„是有理数”这一谓词记为F，那么命题a就可以表示为F（2）.该形式类似于函数的表示。

将“„„年龄相同”记为G，“我”记为 s,“他”记为t. 那么命题b就可以表示为G（s,t）.

涉及一个个体的称为一元谓词，比如F（2），涉及两个个体的称为二元谓词G（s,t），同样的，n元谓词表示为P（a1,a2,a3„„an）。

个体也可以是变项，比如：x是有理数，记作F（x）。

谓词本身不是命题，只有具体的个体被取出时才成为一个确定的命题。所以谓词也称为命题函数。

2.量词

2.1全称量词

我们引入符号 ∀ 读作“任意”，∀x 就表示个体域里的所有个体。∀xF（x）就表示个体域中所有个体都具有性质F。

举例来说：

人都会思考。小张是人，则小张会思考。

符号化：

会思考：D 是人：P 人：x 小张：a

进一步可以将分句表示如下：

小张是人：P（a） 小张会思考: D（a） 人都会思考：∀x（ P（x）→D（x））

（注意∀x后面要加括号，并且括号要包括所有x所在的谓词）

该命题就可以表示为：

(∀x (P（x）→D（x）) ∧P（a）) →D（a）

2.2存在量词

我们引入符号 ∃ 读作“存在”，∃x就表示个体域里面有某个个体，∃x F（x）就表示个体域中存在某个个体具有性质F。

第二章 谓词逻辑

一、原子命题的内部结构

12．谓词逻辑·谓词和个体词·量词、全称量词和存在量词·个体域·量词的辖域·自由个体变项和约束个体变项·一阶谓词逻辑

什么是谓词逻辑

在第一章中，我们知道，命题逻辑的根本特征，就在于把原子命题作为基本的单位，对原子命题的内部结构不再进行分析。在思维实际中，有时我们不涉及原子命题的内部结构，例如，命题推理只涉及命题之间的关系，这时命题逻辑的工具就足够了。但在更多的情况下需要涉及原子命题的内部结构。例如：

推理1：

所有的人都是要死的。

苏格拉底是人。

所以，苏格拉底是要死的。

推理1包括三个不同的原子命题，经过相应的设定后，它的真值形式是rqp。这不是一个重言式。因此，这个显然有效的推理在命题逻辑个被判定无效。这是因为，推理1的有效性的根据不在原于命题之间的关系，而在于原子命题内部的构成要素之间的关系。命题逻辑无法解决这样的推理的判定问题。传统逻辑中的词项逻辑把原子命题进一步分析为主项、谓项、量项和联项的合式构成，这样它就能处理命题逻辑所无法处5理的许多推理，如推理1这样的三段论。但是，词项逻辑的处理能力有着很大的局限。例如：

推理2：

所有的罪犯或者是故意犯罪，或者是过失犯罪。

有些罪犯不是故意犯罪。

因此，有些罪犯是过失犯罪。

这个有效性同样明显的推理的判定，命题逻辑解决不了，词项逻辑同样解决不了。

为了更为有效和尽量不失—般性地解决推理的判定，需要提出新的逻辑工具，进—步分析原子命题的内部结构。这就是谓词逻辑的任务。

在谓词逻辑中，原子命题被进一步分析为谓词、个体词、量词和联结词这样几个基本成分。谓词、个体词和量词是谓词逻辑中新引入的概念，联结词作为符号就是真值联结词。

谓词和个体词

我们通过以下实例来说明什么是谓词和个体词。

第二章 谓词逻辑 2- 1 -

第二章 谓词逻辑

学习指导

2 .1 谓词逻辑的基本概念

谓词 在原子命题中，所描述的对象称为个体，用以描述一个个体的性质或多个个体

间关系的部分，称为谓词。一般用大写字母P，Q，R，… 等来表示它们。另外这些大写字

母还可以用来表示一个谓词所在的位置，而不表示具体的谓词，此时称之为谓词符号。如果

一个谓词描述n个个体的性质或关系，那么称此谓词为n元谓词。表示一个n元谓词所在位

置的字母称为n元谓词符号。约定0元谓词符号为命题变元。

个体常元和个体变元 表示具体的，特指的个体词，称为个体常元，常用小写字母

,

… 或带下标的小写字母, … 来表示。同样这些小写字母也可以用来表

示一个个体常元所在的位置，而不表示具体的个体常元，此时称之为个体常元符号。表示抽

象的，泛指的或在一定范围内变化的个体词，称为个体变元，常用小写字母cba,,

iiicba,,

zyx,,,

… 或

带下标的小写字母, … 来表示。个体变元的取值范围称为个体域，常用大写字母

表示。个体常元符号与个体变元是两个不同的概念，例如对个体变元可以加量词，但对个体

常元符号却不能加。 iiizyx,,D

n元谓词函数 设P

为一个元谓词符号，为个个体变元，由它们组成

的称为n元谓词函数。本身不是一个命题， 但在用具体的

谓词代替P，用n 个个体常元分别代替个个体变元n

nxxx",,

21n

),,(

21nxxxP"),,(

21nxxxP"

n

12,,,

nxx"x

之后，它就是一个命题了。

量词 （1） 符号“”称为全称量词符，用来表达个体域中所有个体，对应于自然语

言中“对所有的”，“每一个”，“对任何一个”和“一切”等词语。∀

x∀

称为全称量词，x

称

为其指导变元。

（2）符号“”称为存在量词符，用来表达个体域中某个或某些个体，对应于自然语

言中“存在一些”，“至少有一个”，“对于一些”和“有的”等词语。∃

x∃

称为存在量词，x

称

为其指导变元。

51 第二章 谓词逻辑

在命题逻辑中，我们把原子命题看作命题演算和推理的基本单位，是不可再分的整体。

因而命题逻辑无法研究命题的内部结构及命题之间的内在联系，甚至无法有效地研究一些

简单的推理。

例如，著名的“苏格拉底三段论”：凡是人都是要死的；苏格拉底是人；所以苏格拉底

是要死的。我们知道，这个推理是正确的，但用命题逻辑无法说明这一点。

设p:凡人都是要死的；q：苏格拉底是人；r：苏格拉底是要死的。则“苏格拉底三段

论”可符号化为（p∧q）→r。显然（p∧q）→r不是重言式。

因此，为了能够进一步深入地研究推理，需要对原子命题做进一步的分析。

2.1 谓词逻辑的基本概念

2.1.1 个体与谓词

我们可以将原子命题的结构分解为个体和谓词。

定义2.1-1 个体(Individual)：个体是我们思维的对象，它是具有独立意义、可以独立

存在的客体。

谓词(Predicate)：谓词是表示一个个体的性质或若干个个体之间的关系的词。

个体和谓词一起构成了原子命题中的主谓结构。

例2.1-1 ⑪海水是咸的。

⑫张强与张亮是兄弟。

⑬无锡位于上海与南京之间。

⑪、⑫、⑬都是原子命题，其中海水、张强、张亮、无锡、上海和南京都是个体，“„

是咸的”、“„与„是兄弟”和“„位于„与„之间”都是谓词。⑪中的谓词描述了一个个体

的性质，称为一元谓词，⑫中的谓词表示两个个体之间的关系，称为二元谓词，⑬中的谓

词表示三个个体之间的关系，称为三元谓词。依次类推，我们将描述n个个体之间关系的

谓词称为n元谓词，通常用大写英文字母来表示谓词。为方便起见，将命题称为零元谓词。

例如，例2.1-1中的三个谓词可符号化为：

P(x)：x是咸的；Q(x，y)：x与y是兄弟；R(x，y，z)：x位于y和z之间。

这里P 、Q 和R表示的都是具体的谓词，称为谓词常元；否则称为谓词变元。P(x)、

Q(x，y)和R(x，y，z)等都是谓词表示的函数形式，通常称为谓词函数，简称为谓词。