- 1 - 谓词逻辑定义
谓词逻辑是一种用来描述事物真假性的语言，它的核心是谓词（Predicate）和符号表示法，它可以用来表达自然语言中的复杂概念和描述一些事实及其关系。谓词逻辑是一种强大的数学模型，可以用来表示我们对自然现象的知识，并且可以推断出未来的情况。
谓词逻辑的发展源自上世纪六十年代，受到欧几里得的哲学思想的启发，以便为数学模型提供更完整的语言。它发展成为一种用来描述事物的语言，可以用来描述一些事实及其关系，实现机器模拟思维的目的，它主要用于计算机科学领域，其他领域如哲学也有广泛的应用。
谓词逻辑通过谓词（predicates）来描述一般状况和条件，它是一种抽象的数学语言，可以表达自然语言中的复杂概念，以符号表示法来表达一些有关真假性的概念，并通过推断技术来完成其任务。
谓词逻辑由以下几个部分组成：
1.尔谓词：它是一些布尔谓词（Boolean predicates），用来描述一般状况和条件，比如P（x），Q（x），R（x）等等。
2.号表示：谓词逻辑使用比较简单的符号表示法，以表达一些有关真假性的概念，比如“&”（且），“”（否定），“∨”（或）等等。
3.词逻辑语句（Logical Sentences）：谓词逻辑语句是谓词逻辑中使用的一种有用结构，它由谓词和符号表示法组成，可以表达一些真假性概念。
4.型：谓词逻辑的模型是一种强大的数学模型，它可以用来描述 - 2 - 自然现象的知识，它可以用来表达一些事实及其关系（fact and
relationship）。
谓词逻辑的最大优势在于它是一种可以描述一些有关真假性的复杂概念的语言，它不但可以用来表达自然语言中的复杂概念，也可以用来描述一些事实及其关系，实现机器模拟思维的目的，从而实现机器智能。
谓词逻辑使用比较简单的符号表示法，可以表达一些有关真假性的概念，可以用来计算机科学中的解释和推理，可以用来描述一些事实及其关系，实现机器模拟思维的目的，也可以用于哲学等其他领域。
谓词逻辑
王剑
定义: 一个公式，若它的所有量词均非否定地出现在公式的最左
边，而它们的辖域一直延伸到公式之末，且公式中不出现联
接词“”及“”，则此种形式的公式称前束范式。
EX1 :
(1) xyz (P(x) ∨Q(y)∧R(x, z))
(2) xyz ((P(x,y)∧(Q(x))) ∨(R(y,z)∨(Q(x))))
都是前束范式。§2.5谓词演算中的范式（前束范式和斯柯林范式）前束范式和斯柯林范式
定理任一谓词公式都可以化成为与之等值的前束范式。
任一公式化归为前束范式的过程如下:
1. 消去联结词, 。
2. 将联结词向内深入, 使之只作用于原子公式。
3. 利用换名或代入规则使所有约束变元的符号均不同, 并且自由变
元与约束变元的符号也不同。
4. 利用量词辖域的扩张和收缩律, 将所有量词以在公式中出现的顺
序移到公式最前面, 扩大量词的辖域至整个公式。前束范式和斯柯林范式
EX2: 求公式A：(x P(x)∨y Q(y)) x R(x)的前束范式。
解:A (xP(x)∨yQ(y))∨xR(x)
消去联结词
(xP(x)∧yQ(y))∨xR(x)
德.摩根律
(xP(x)∧yQ(y))∨zR(z)
换名
xy z ((P(x)∧Q(y))∨R(z))
量词辖域扩张
EX3：求公式(xP(x,y) yQ(y))xR(x,y)的前束范式
解原式(xP(x,t) yQ(y)) xR(x,t) 代入
(xP(x,t) yQ(y)) zR(z,t)换名
(xP(x,t)∨yQ(y))∨zR(z,t)消去联结词
(xP(x,t)∧yQ(y))∨zR(z,t)向内深入
(xP(x,t)∧yQ(y))∨zR(z,t)量词转换
x(P(x,t)∧yQ(y))∨zR(z,t)量词辖域扩张
xy(P(x,t)∧Q(y))∨zR(z,t)量词辖域扩张
51 第二章 谓词逻辑
在命题逻辑中，我们把原子命题看作命题演算和推理的基本单位，是不可再分的整体。
因而命题逻辑无法研究命题的内部结构及命题之间的内在联系，甚至无法有效地研究一些
简单的推理。
例如，著名的“苏格拉底三段论”：凡是人都是要死的；苏格拉底是人；所以苏格拉底
是要死的。我们知道，这个推理是正确的，但用命题逻辑无法说明这一点。
设p:凡人都是要死的；q：苏格拉底是人；r：苏格拉底是要死的。则“苏格拉底三段
论”可符号化为（p∧q）→r。显然（p∧q）→r不是重言式。
因此，为了能够进一步深入地研究推理，需要对原子命题做进一步的分析。
2.1 谓词逻辑的基本概念
2.1.1 个体与谓词
我们可以将原子命题的结构分解为个体和谓词。
定义2.1-1 个体(Individual)：个体是我们思维的对象，它是具有独立意义、可以独立
存在的客体。
谓词(Predicate)：谓词是表示一个个体的性质或若干个个体之间的关系的词。
个体和谓词一起构成了原子命题中的主谓结构。
例2.1-1 ⑪海水是咸的。
⑫张强与张亮是兄弟。
⑬无锡位于上海与南京之间。
⑪、⑫、⑬都是原子命题，其中海水、张强、张亮、无锡、上海和南京都是个体，“„
是咸的”、“„与„是兄弟”和“„位于„与„之间”都是谓词。⑪中的谓词描述了一个个体
的性质，称为一元谓词，⑫中的谓词表示两个个体之间的关系，称为二元谓词，⑬中的谓
词表示三个个体之间的关系，称为三元谓词。依次类推，我们将描述n个个体之间关系的
谓词称为n元谓词，通常用大写英文字母来表示谓词。为方便起见，将命题称为零元谓词。
例如，例2.1-1中的三个谓词可符号化为：
P(x)：x是咸的；Q(x，y)：x与y是兄弟；R(x，y，z)：x位于y和z之间。
这里P 、Q 和R表示的都是具体的谓词，称为谓词常元；否则称为谓词变元。P(x)、
Q(x，y)和R(x，y，z)等都是谓词表示的函数形式，通常称为谓词函数，简称为谓词。
第2章 谓词逻辑
在命题逻辑中，我们把命题分解到原子命题为止，认为原子命题是不能再分解的，仅仅
研究以原子命题为基本单位的复合命题之间的逻辑关系和推理。
实际上，简单命题还可以进行分解，例如，“王平是大学生”这一简单命题可以分解为
主语(王平)和谓语(是大学生)，命题逻辑反映不出这一特点。
其次，如下两个简单命题“王平是大学生”和“李明是大学生”，有一个共同特点——
是大学生，这一共性在命题逻辑中表示不出来。因此，有必要推广命题逻辑。
第三，有些简单而正确的推理过程在命题演算里不能得到证明。例如著名的苏格拉底三
段论：
“人都是要死的，苏格拉底是人，所以苏格拉底是要死的。”
在命题逻辑中，三个原子命题分别用P，Q，R表示，现在要证明P∧Q⇒R，即证明P∧Q→R
是重言式，但这在命题逻辑中是不可能的。因此从推理的角度看，也有必要推广命题逻辑。
谓词逻辑就是命题逻辑的自然推广。本章介绍的谓词逻辑内容仅限于一阶谓词逻辑或狭
义谓词逻辑，即谓词中的变元不再是谓词变元。
2.1 个体、谓词和量词
命题是具有真假意义的陈述句。从语法上分析，一个陈述句由主语和谓语两部分组成。
在谓词逻辑中，为揭示命题内部结构及其不同命题的内部结构关系，就按照这两部分对命题
进行分析，并且把主语称为个体或客体，把谓语称为谓词。
2.1.1 个体
定义2.1 可以独立存在的物体称为个体（Individual），它可以是一个具体的事物，
也可以是一个抽象的概念。
如王平，李明，计算机，离散数学，精神等都可以作为个体。
定义2.2 将表示具体的或确定的个体称为个体常元（Individual Constant），而将表
示抽象的或泛指的（或者说取值不确定的）个体称为个体变元（Individual Variable）。
个体常元一般用小写英文字母a,b,c…或带下标的ai,bi,ci…表示，个体变元一般用小
写英文字母x,y,z…或带下标的xi,yi,zi…表示。
