人教A版高中数学选修1-2《类比推理》教案及说明

§2.1.1.2类比推理●教学目标：（一）知识与能力：通过对已学知识的回顾，认识类比推理这一种合情推理的基本方法，并把它用于对问题的发现中去。

（二）过程与方法：类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质，类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠。

（三）情感态度与价值观：1．正确认识合情推理在数学中的重要作用，养成从小开始认真观察事物、分析问题、发现事物之间的质的联系的良好个性品质，善于发现问题，探求新知识。

2．认识数学在日常生产生活中的重要作用，培养学生学数学，用数学，完善数学的正确数学意识。

●教学重点：了解合情推理的含义，能利用类比进行简单的推理。

●教学难点：用类比进行推理，做出猜想。

●教具准备：与教材内容相关的资料。

●教学设想：类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠。

●教学过程：学生探究过程：除了归纳，在人们的创造发明活动中，还常常应用类比．例如，据说我国古代工匠鲁班类比带齿的草叶和蝗虫的齿牙，发明了锯；人们仿照鱼类的外形和它们在水中的沉浮原理，发明了潜水艇；等等。

事实上，仿生学中许多发明的最初构想都是类比生物机制得到的。

从一个传说说起：春秋时代鲁国的公输班（后人称鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒霉事却使他发明了锯子.他的思路是这样的：茅草是齿形的；茅草能割破手.我需要一种能割断木头的工具；它也可以是齿形的.这个推理过程是归纳推理吗？中国古代杰出科学家张衡，曾将人们日常生活中的影子与日月食现象的类似情况进行类比，提出了日月食科学成因的初步认识。

几百年前，人们对热量的认识是非常直观的，将一定质量的水加热到沸点所吸收的热确定为基本热量单位“大卡”。

科学家焦耳通过对比热与功相互转化过程中的类似现象，指出了它们本质的同一性，这就是热力学基本定律。

归纳推理人教A版普通高中课程标准实验教科书选修1-2各位评委：大家好，我是xxx，现担任高二数学，今天我说课的题目是《归纳推理》。

我准备就下面几方面来进行分析。

一、教材分析1、教材的地位和作用推理与证明是人教版普通高中课程标准实验教科书选修1-2第二章第一节内容，思想贯穿于高中数学的整个知识体系，是新课标教材的亮点之一。

本节内容将归纳推理的一般方法进行了必要的总结和归纳，同时也对后继知识的学习起到引领的作用.2、教材处理《归纳推理》是培养学生观察、分析、发现、概括、猜想和探索能力的极好素材。

根据本节课标要求：从演示观察，先形象地真实举例，然后转化为猜想，引导探究典型例子分析，加强对概念的理解。

二、教学目标分析：1．知识技能目标：理解归纳推理的概念，了解归纳推理的作用，掌握归纳推理的一般步骤，会利用归纳进行一些简单的归纳推理。

2、过程方法目标：学生自主学习归纳推理的一般方法，建构归纳推理的思维方式.让学生明白数学发现的过程和方法，培养学生分析解决问题的能力，锻炼他们探索规律，融会贯通的能力，并使学生思维能力得到提升。

3．情感态度，价值观目标:通过学生主动探究、合作学习、相互交流，培养不怕困难、勇于探索的优良作风，增强学生的数学应用意识，提高学生数学思维的情趣，给学生成功的体验，形成学习数学知识、了解数学文化的积极态度.三、教学的重点、难点分析：1、教学重点：了解归纳推理含义、能利用归纳进行简单推理。

教学策略：演示观察，先形象地真实举例，然后转化为猜想，引导探究典型例子分析，加强对概念的理解2．教学难点：用归纳进行推理，做出猜想。

教学策略：第一，创设情景；第二，观察规律，得出猜想；第三，实际应用，提出质疑。

四、教法分析、教学手段与教具选择：1．教学方法：自主探究、协作学习、启发发现、课堂讨论法2．教具：多媒体、粉笔、黑板。

3.教学手段：多媒体教学课件。

五、学法分析：本课教给学生的学法是“发现问题、分析问题、解决问题”。

2019-2020年高中数学《类比推理》教案1 新人教A版选修2-2●教学目标：（一）知识与能力：通过对已学知识的回顾，认识类比推理这一种合情推理的基本方法，并把它用于对问题的发现中去。

（二）过程与方法：类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质，类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠。

（三）情感态度与价值观：1．正确认识合情推理在数学中的重要作用，养成从小开始认真观察事物、分析问题、发现事物之间的质的联系的良好个性品质，善于发现问题，探求新知识。

2．认识数学在日常生产生活中的重要作用，培养学生学数学，用数学，完善数学的正确数学意识。

●教学重点：了解合情推理的含义，能利用类比进行简单的推理。

●教学难点：用类比进行推理，做出猜想。

●教具准备：与教材内容相关的资料。

●教学设想：类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠。

●教学过程：学生探究过程：除了归纳，在人们的创造发明活动中，还常常应用类比．例如，据说我国古代工匠鲁班类比带齿的草叶和蝗虫的齿牙，发明了锯；人们仿照鱼类的外形和它们在水中的沉浮原理，发明了潜水艇；等等。

事实上，仿生学中许多发明的最初构想都是类比生物机制得到的。

从一个传说说起：春秋时代鲁国的公输班（后人称鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒霉事却使他发明了锯子.他的思路是这样的：茅草是齿形的；茅草能割破手.我需要一种能割断木头的工具；它也可以是齿形的.这个推理过程是归纳推理吗？中国古代杰出科学家张衡，曾将人们日常生活中的影子与日月食现象的类似情况进行类比，提出了日月食科学成因的初步认识。

几百年前，人们对热量的认识是非常直观的，将一定质量的水加热到沸点所吸收的热确定为基本热量单位“大卡”。

科学家焦耳通过对比热与功相互转化过程中的类似现象，指出了它们本质的同一性，这就是热力学基本定律。

1.2 类比推理一、教学目标1.知识与技能：（1）结合已学过的数学实例，了解类比推理的含义；（2）能利用类比进行简单的推理；（3）体会并认识类比推理在数学发现和生活中的作用。

2.方法与过程：递进的了解、体会类比推理的思维过程；体验类比法在探究活动中：类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠。

3.情感态度与价值观：体会类比法在数学发现中的基本作用：即通过类比，发现新问题、新结论；通过类比，发现解决问题的新方法。

培养分析问题的能力、学会解决问题的方法；增强探索问题的信心、收获论证成功的喜悦；体验数学发现的乐趣、领略数学方法的魅力！同时培养学生学数学、用数学，完善数学的正确数学意识。

二、教学重点：了解类比推理的含义，能利用类比进行简单的推理。

教学难点：培养学生“发现—猜想—证明”的推理能力。

三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程（一）复习：归纳推理的概念：根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都具有这种属性。

我们将这种推理方式称为归纳推理。

注意：利用归纳推理得出的结论不一定是正确的。

1.归纳推理的要点：由部分到整体、由个别到一般；2.典型例子方法归纳。

（二）引入新课：据科学史上的记载，光波概念的提出者，荷兰物理学家、数学家赫尔斯坦•惠更斯曾将光和声这两类现象进行比较，发现它们具有一系列相同的性质：如直线传播、有反射和干扰等。

又已知声是由一种周期运动所引起的、呈波动的状态，由此，惠更斯作出推理，光也可能有呈波动状态的属性，从而提出了光波这一科学概念。

惠更斯在这里运用的推理就是类比推理。

（三）例题探析例1：已知：“正三角形内一点到三边的距离之和是一个定值”，将空间与平面进行类比，空间中什么样的图形可以对应三角形？在对应图形中有与上述定理相应的结论吗？解：将空间与平面类比，正三角形对应正四面体，三角形的边对应四面体的面。

得到猜测：正四面体内一点到四个面距离之和是一个定值。

课题：合情推理---类比推理（第一课时）教材：普通高中课程标准实验教科书人教社A版选修1-2【教学目标】：1.知识与能力：掌握类比推理的基本方法与步骤，会对一些简单问题进行类比，得出新的结论，并把它们用于对问题的发现与解决中去，培养类比推理能力。

2.过程与方法：类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质，类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠。

3.情感态度与价值观：(1).正确认识合情推理在数学中的重要作用，养成从小开始认真观察事物、分析问题、发现事物之间的质的联系的良好个性品质，善于发现问题，探求新知识。

(2).认识数学在日常生产生活中的重要作用，培养学生学数学，用数学，完善数学的正确数学意识。

【教学重点、难点】：重点：了解合情推理的含义，能利用类比进行简单的推理。

难点：用类比进行推理，做出猜想。

【教学方法与手段】教学方法：启发探究式教学手段：多媒体课件∠C ＝90° PDF ＝∠PDE ＝∠EDF ＝90°三条边的长度a ，b ，c 四个面的面积S 1,,S 2,S 3和S 两条直角边a ，b 和一条斜三个“直角面”S 1,,S 2,S 3和一个“斜面”S ,+S 2= S 12+S 22+S 32S的面积为三个面两两垂直的四面体C2.（2004广东，15）由图(1)有面积关系: 则由图(2)有体积关系:∆∆PA B PAB S PA PB S PA PB''''⋅=⋅A B CP ABCV'''--=《类比推理》教案说明江门市新会第一中学黄小滨一、教学内容的分析本节课是合情推理中类比推理的第一课时的内容，主要通过几何中图形的类比，使学生掌握类比推理的基本方法与步骤，会对一些简单问题进行类比，得出新的结论，并把它们用于对问题的发现与解决中去，培养类比推理能力。

高中数学类比推理2教案
教学目标：
1. 理解类比推理的基本原理和规则；
2. 掌握常见的数学类比推理方法；
3. 提高解决数学类比问题的能力；
教学重点：
1. 掌握类比推理的基本概念及规则；
2. 熟练运用类比推理方法解决数学问题；
教学难点：
1. 理解和应用数学类比推理的方法；
2. 提高解决类比问题的思维能力；
教学准备：
1. 教材：数学类比推理相关的教材和练习题；
2. 教具：黑板、彩色粉笔；
教学步骤：
一、导入（5分钟）
教师通过举例引入类比推理的概念，让学生了解类比推理的基本原理。

二、概念讲解（10分钟）
教师介绍类比推理的定义、基本规则和方法，让学生了解类比推理的基本技巧和应用场景。

三、示范演练（15分钟）
教师通过几道实例演示如何运用类比推理方法解决数学问题，并让学生尝试解答。

四、练习巩固（15分钟）
教师布置练习题让学生在课堂上独立解答，巩固所学知识。

五、板书总结（5分钟）
教师总结本节课的重点内容，并引导学生找出解题方法和规律。

六、作业布置（5分钟）
布置相关练习题作业，让学生巩固课堂所学内容。

教学反思：
本节课主要介绍了数学类比推理相关知识，通过讲解概念、示范演练和练习巩固等环节，提高了学生的类比推理能力和解题思维。

在以后的教学中，可以加强学生的实践能力，提高他们的解题水平。

2.1.1 合情推理（二）教学目标1．知识与技能目标通过对已学知识的回顾，进一步理解推理这种基本的分析问题的方法，了解类比推理的含义，掌握类比推理的基本方法与步骤，并把它们用于对问题的发现与解决中去．2．过程与方法目标类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质；通过教学使学生认识到，类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越密切，从而类比得出的结论就越可靠．3．情感、态度与价值观(1)正确认识合情推理在数学中的重要作用，培养学生养成认真观察事物，发现事物之间的质的联系的良好个性品质，善于发现问题、分析问题、解决问题．(2)认识数学在日常生产生活中的重要作用，培养学生学数学、用数学、完善数学的意识．重点难点重点：了解类比推理的含义，能利用类比进行简单的推理．难点：用类比进行推理，提出猜想．教学过程引入新课我们先看几个推理的实例：1．工匠鲁班类比带齿的草叶和蝗虫的牙齿，发明了锯．2．人类仿照鱼类的外型和它们在水中沉浮的原理，发明了潜水艇．3．利用平面向量的基本定理类比得到空间向量的基本定理．提出问题1：这些推理是归纳推理吗？活动设计：先让学生独立思考，然后小组交流．学情预测：学生根据上节所学归纳推理的定义，很快就可以得出答案．活动结果：以上推理不是归纳推理．提出问题2：这三个推理过程有何共同特点？活动设计：学生先独立思考，然后再分小组讨论．学情预测：以实例1为例，学生的思路有可能是这样的：草叶是齿形的；草叶能割破手；我需要一种能割断木头的工具；它也可以是齿形的．这是学生应该能想到的，但对这种思维方式共同点的总结存在一定的难度．活动结果：将两类不同事物进行对比，找出若干相同或相似点之后，推测在其他方面也可以存在相同或相似之处的一种推理模式．设计意图自然合理地提出问题，让学生体会“数学来源于生活”，以此创造和谐积极的学习氛围．探究新知我们再看几个类似的推理实例．例1 科学家对火星进行研究，发现火星与地球有许多类似的特征：(1)火星也是绕太阳运行、绕轴自转的行星；(2)有大气层，在一年中也有季节变更；(3)火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存，等等．科学家猜想：火星上也可能有生命存在．例2 根据等式的性质猜想不等式的性质．等式的性质：猜想不等式的性质：(1)a＝b⇒a＋c＝b＋c; (1)a＞b⇒a＋c＞b＋c；(2)a＝b⇒ac＝bc; (2)a＞b⇒ac>bc；(3)a＝b⇒a2＝b2等等. (3)a＞b⇒a2＞b2等等．提出问题：这两个推理实例在思维方式上有什么共同特点？活动设计：学生先独立思考，然后学生分小组讨论，教师适当加以指导．活动结果：共同特点：由特殊到特殊的推理．类比推理的定义：这种由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．设计意图从大量的实例出发，让学生充分体会类比推理的含义和类比推理的构成，使类比推理概念的形成自然、生动，训练和培养学生的抽象概括和表达能力．理解新知教师举例：类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出对空间中三个面两两垂直的四面体性质的猜想．活动设计：学生先独立思考，然后分小组讨论．教师适时介入全班引导，提醒学生注意类比的对象是什么？平面内直角三角形的性质是什么？反映的是哪些几何量之间的关系？给出空间四面体性质应从哪些方面进行类比？学情预测：学生的回答可能很杂，甚至于偏离主题，教师应及时地加以引导．活动结果：猜想：S2＝S21＋S22＋S23.类比推理的几个特点：1．类比是从人们已经掌握的事物的属性，推测正在研究的事物的属性，是以已有的旧的认识为基础，类比出新的结果；2．类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性；3．类比的结果是猜测，不一定可靠，但它却有发现的功能．设计意图通过所举的例子，教师可以了解学生对类比推理的理解程度，使学生加深对关键词、重点词的理解，掌握类比推理的特点，及时更正学生在认识理解中产生的偏差，巩固类比推理的定义．运用新知例1 计算机中常用的十六进位制是逢16进1的计算制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表：例如用16进位制表示E＋D＝1B，则A×B等于()A．6E B．72C．5F D．0B思路分析：类比十六进位制是逢16进1的规律，找到本题所规定的进位制的规律．【解析】因为用16进位制表示E＋D＝1B，所以A×B＝6E，应选A.【答案】A点评：类比推理的一般步骤：(1)找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；(2)用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；(3)检验猜想，即证明结论．2试将平面上圆的性质与空间中球的性质进行类比．思路分析：从已掌握的平面上圆的基本性质出发，逐步类比推测出空间中球的性质，圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合．球的定义：空间内到一个定点的距离等于定长的点的集合．圆球弦←→ 截面圆直径←→ 大圆周长←→ 表面积面积←→ 体积解：点评：通过例题让学生进一步熟悉进行类比推理的一般过程，同时体会类比推理的特点和作用．虽然猜想的正确性还有待严格证明，但这个猜想可以为我们的研究提供一个方向．设计意图选择开放性命题加以练习，让全班同学做．在学生学习类比推理方法和步骤的同时，完成对类比推理的再认识．教师：我们上节所学的归纳推理和本节所学的类比推理，就其所进行的推理过程可以概括为：从具体问题出发―→观察、分析、比较、联想―→归纳、类比―→提出猜想可见，上节所学的归纳推理和本节所学的类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．提出问题：合情推理所得的结论有时是正确的，有时是错误的，那么我们为什么还要进行合情推理呢？活动设计：学生先独立思考，然后进行讨论．活动成果：合情推理是指“合乎情理”的推理．数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论；证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向．下面再来看一个例子：例3 如图所示，有三根针和套在一根针上的若干金属片(小在上，大在下)．按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上．1．每次只能移动1个金属片；2．较大的金属片不能放在较小的金属片上面．试推测：把n个金属片从1号针移到3号针，最少需要移动多少次？思路分析：我们分别从1,2,3,4个金属片的情形入手，探究其中的规律性，进而归纳出移动n个金属片所需的次数．解：当n＝1时，只需把金属片从1号针移到3号针，用符号(13)表示，共移动了1次．当n＝2时，为了避免将较大的金属片放在较小的金属片上面，我们利用2号针作为“中间针”，移动的顺序是：(1)把第1个金属片从1号针移到2号针；(2)把第2个金属片从1号针移到3号针；(3)把第1个金属片从2号针移到3号针；用符号表示为(12)(13)(23)，共移动了3次．当n＝3时，把上面两个金属片作为一个整体，则归结为n＝2的情形，移动的顺序是：(1)把上面两个金属片从1号针移到2号针；(2)把第3个金属片从1号针移到3号针；(3)把上面两个金属片从2号针移到3号针．其中(1)和(3)都需要借助中间针．用符号表示为(13)(12)(32)；(13)；(21)(23)(13)，共移动了7次．当n＝4时，把上面3个金属片作为一个整体，移动的顺序是：(1)把上面3个金属片从1号针移到2号针；(2)把第4个金属片从1号针移到3号针；(3)把上面3个金属片从2号针移到3号针．用符号表示为(12)(13)(23)(12)(31)(32)(12)；(13)；(23)(21)(31)(23)(12)(13)(23)，共移动了15次．至此，我们得到依次移动1,2,3,4个金属片所需次数构成的数列为1,3,7,15.观察这个数列，可以发现其中蕴含着如下规律：1＝21－1,3＝22－1,7＝23－1,15＝24－1.由此我们猜想：若把n 个金属片从1号针移到3号针，最少需要移动a n 次，则数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1(n ∈N )．①点评：通过研究上述n ＝1,2,3,4时的移动方法，我们可以归纳出对n 个金属片都适用的移动方法．当移动n 个金属片时，可分为下列3个步骤：(1)把上面(n －1)个金属片从1号针移到2号针； (2)把第n 个金属片从1号针移到3号针； (3)把上面(n －1)个金属片从2号针移到3号针．这样就把移动n 个金属片的任务，转化为移动(n －1)个金属片和移动一次第n 个金属片的任务．而移动(n －1)个金属片需要移动两次(n －2)个金属片和移动一次第(n －1)个金属片，移动(n －2)个金属片需要移动两次(n －3)个金属片和移动一次第(n －2)个金属片……如此继续下去，直到转化为移动1个金属片的情形．根据这个过程，可得递推公式⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a n ＝2a n －1＋1(n ∈N )，且n >1.从这个递推公式出发，可以证明通项公式①是正确的．一般来说，由合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠． 变练演编前面我们类比平面内直角三角形的勾股定理，给出了对空间中三个面两两垂直的四面体性质的猜想．得到猜想：S 2＝S 21＋S 22＋S 23.变式1：平面内的一般三角形的性质与空间中的四面体的性质类比：三角形四面体 三角形任意两边之和大于第三边三角形任意两边中点的连线平行于第三边，且等于第三边的一半 在△ABC 中，∠A 的平分线交BC 于D ，则AB AC ＝BD DC在△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝csin C(正弦定理)设△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，外接圆半径为R ，则(1)r ＝2Sa ＋b ＋c；(2)R ≥2r变式2：平面内三角形的性质与空间中的三棱柱的性质类比：活动设计：学生讨论交流并回答问题，老师对不同的合理答案给予肯定，将所有发现的结果一一列举，并让学生之间互相判断合理性．活动结果：变式1：平面内的一般三角形的性质与空间中的四面体的性质类比：变式2：平面内三角形的性质与空间中的三棱柱的性质类比：设计意图通过变练演编，使学生对类比推理的方法和步骤的掌握更加牢固，同时培养学生善于发现问题，探求新知识、发现事物之间的质的联系的良好品质．课堂小结1．知识收获：了解类比推理和合情推理的含义； 2．方法收获：利用类比进行简单推理的方法和步骤；3．思维收获：合情推理是进行猜测发现结论，探索和提供思路的常用思维方法．布置作业1．课本习题2.1 A 组 第5题．2．实习作业：登陆网站，选择两例用类比推理得到的猜想并探究其来源．补充练习基础练习1．下列哪个平面图形与空间中平行六面体作为类比对象比较合适( ) A ．三角形 B ．梯形 C ．平行四边形 D ．矩形 2．下面使用类比推理正确的是( )A ．“若a ×3＝b ×3，则a ＝b ”类比推出“若a ×0＝b ×0，则a ＝b ”B ．“若(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类比推出“(a ·b )c ＝ac ·bc ”C ．“若(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类比推出“a ＋b c ＝a c ＋b c (c ≠0)”D ．“(ab )n ＝a n b n ”类比推出“(a ＋b )n ＝a n ＋b n ”3．等差数列{a n }中，a n >0，公差d >0，则有a 4·a 6>a 3·a 7，类比上述性质，在等比数列{b n }中，若b n >0，q >1，写出b 4，b 5，b 7，b 8的一个不等关系：________.4．中学数学中存在许多关系，比如“相等关系”“平行关系”等等．如果集合A 中元素之间的一个关系“－”满足以下三个条件：(1)自反性：对于任意a ∈A ，都有a －a ； (2)对称性：对于a ，b ∈A ，若a －b ，则有b －a ； (3)传递性：对于a ，b ，c ∈A ，若a －b ，b －c ，则有a －c .则称“－”是集合A 的一个等价关系．例如：“数的相等”是等价关系，而“直线的平行”不是等价关系(自反性不成立)．请你再列出三个等价关系：__________.5．若图(1)有面积关系S′△ΡΑ′Β′S′△ΡΑΒ＝ΡΑ′·ΡΒ′ΡΑ·ΡΒ，则图(2)有体积关系V P—A′B′C′V P—ABC＝__________.【答案】 1.C 2.C3.b 4＋b 8>b 5＋b 74.集合相等；充要条件；非零向量共线5.P A′·PB′·PC′P A·PB·PC拓展练习6．把下面在平面内成立的结论类比推广到空间，并判断类比的结论是否成立． (1)如果一条直线与两条平行直线中的一条相交，则必与另一条相交． (2)如果两条直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线平行．解：(1)一个平面若和两个平行平面中的一个相交，则必然和另一个也相交，此结论成立；(2)若两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面平行，此结论不成立．设计说明【设计思想】 从已学知识入手，以学生熟知的生活实例和数学实例为载体，引导他们概括、提炼类比推理的含义和类比推理的方法．【设计意图】 给学生创建一个开放、有活力、有个性的数学学习环境，感受数学美和发现规律的喜悦，激发学生更积极地去寻找规律、认识规律，同时让学生感受到只要做个有高中数学选修1-2心人，发现规律并非难事．【设计特点】自然合理地提出问题，让学生体会“数学来源于生活”，通过创造和谐积极的学习气氛，让学生通过直观感知、观察分析、归纳类比，形成由浅入深、由易到难、由特殊到一般的思维飞跃，并借助例题具体说明在数学发现的过程中应用类比推理的过程.11。

2.1.1类比推理一、教学目标1.核心素养通过对类比推理的学习，使学生能够进行简单的类比推理，培养学生的逻辑思维能力.2.学习目标(1)2.1.1.1了解类比推理的含义；(2)2.1.1.2能利用类比进行简单的推理.3.学习重点了解类比推理的含义，能利用类比进行简单的推理.4.学习难点类比推理本质的理解，以及如何进行类比推理.二、教学设计（一）课前设计1.预习任务任务1阅读教材P22—P29思考：什么是推理？什么是合情推理？任务2什么是类比推理？类比推理有何特点？类比推理有什么作用？2.预习自测1.下列说法中正确的是（）A.合情推理就是正确的推理B.合情推理就是归纳推理C.归纳推理是从一般到特殊的推理过程D.类比推理是从特殊到特殊的推理过程答案：D2.下列推理正确的是（）A.把a(b＋c)与lg(x＋y)类比，则lg(x＋y)＝lg x＋lg yB.把a(b＋c)与sin(x＋y)类比，则sin(x＋y)＝sin x＋sin yC.把a(b＋c)与a x＋y类比，则a x＋y＝a x＋a yD.把a(b＋c)与a(b＋c)类比，则a·(b＋c)＝a·b＋a·c答案：D 由向量的运算性质知，a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c 正确.答案为D 3.立体几何中与平面几何中的三角形做类比对象的是（ ） A.三棱柱 B.三棱台 C.三棱锥 D.正方体 答案：C4.类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列性质，你认为比较恰当的是（ ）①各棱长相等，同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等； ②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等； ③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等. A.① B.③ C.①② D.①②③ 答案：D （二）课堂设计问题探究一 类比推理引例1.仿生学中许多发明的最初构想都是类比生物机制得到的.2.有个人的母亲，笃信佛，一天到晚念“南无阿弥陀佛”.于是有一天，这个人一早起来便喊：“妈！”母亲答应了他.过一会他又喊：“妈！”母亲又答应了他.可这个人还是没完没了地喊.现代起重机的挂钩起源于许多动物的爪子母亲终于被喊烦了，便没好气地说：“不在！不在！你烦不烦？”这个人笑着说：“我才喊了您几声，您就不高兴了.那阿弥陀佛每天不知被您喊多少遍，不知他该怎样发脾气呢！”提问：这还是归纳推理吗？（类比推理.让学生对照归纳推理的特点作出判断）.3.火星存在生命吗？这是一个凭空的推断还是科学猜想？地球火星行星、围绕太阳运行、绕轴自转行星、围绕太阳运行、绕轴自转有大气层有大气层在一年中有季节的变更在一年中有季节的变更温度适合生物的生存大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存有生命存在猜想：可能有生命存在提问：你能说说这些问题中用到的推理方法的含义吗？问题探究二类比推理的含义●活动一什么是类比推理？由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，称为类比推理（简称类比）.●活动二类比推理的特点1.类比是从人们已经掌握了的事物的属性，推测正在研究的事物的属性，是以旧有的认识为基础，类比出新的结果.2.类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性.3.类比的结果是猜测性的不一定可靠，单它却有发现的功能.●活动三如何进行类比推理？一般步骤：（1）找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；（2）用一类对象的特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；（3）检验这个猜想.（结论未必正确）问题探究三重点难点突破（1）常见类型：①由等差数列的某些性质类比到等比数列的某些性质；②由平面图形的某些性质类比到空间立体图形的某些性质；解决时要从数目、位置关系、度量等方面入手.(2)常用类比对象：线→线、面，面→面、体，三角形→四面体，圆→球，边长→边长、面积，面积→体积，线线角→面面角等.●活动一 由平面图形的某些性质类比到空间立体图形的某些性质例1：类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想.【知识点：类比推理，猜想与证明】 猜想：2222ABC OAB AOC OBC S S S S =++点拔：由三角形向四体的类比，可以实现由平面向空间的类比，线向面的类比，发现新结论.在直角三角形中有勾股定理，在空间中有没有类似的结论呢？例2.在△ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于D ，求证：222111AD AB AC=+. 在四面体A －BCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由. 【知识点：类比推理，猜想与证明】详解：如图右所示，在Rt △ABC 中，由射影定理得AD 2＝BD ·DC ，AB 2＝BD ·BC ，AC 2＝BC ·DC ，ＡＢＣabc c 2=a 2+b 2∴2222211BC BC AD BD DC BC BD DC BC AB AC ===⋅⋅⋅⋅⋅. 又∵BC 2＝AB 2＋AC 2，∴2222222111AB AC AD AB AC AB AC+==+⋅. 猜想：类比AB ⊥AC ，AD ⊥BC ，猜想在四面体A －BCD 中，AB ，AC ，AD 两两垂直，AE ⊥平面BCD 于E ，则22221111AE AB AC AD=++.如上图，连接BE 交CD 于F ，连接AF . ∵AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，∴AB ⊥平面AC D. ∵AF ⊂平面ACD ，∴AB ⊥AF . 在Rt △ABF 中，AE ⊥BF ， ∴222111AE AB AF=+. 在Rt △ACD 中，AF ⊥CD ， ∴222111AF AC AD =+. ∴22221111AE AB AC AD=++. ●活动二 由平面图形中的圆某些性质类比到空间立体图形球的某些性质 例3.找出圆与球的相似之处，并用圆的性质类比球的有关性质.完成下表中的空白.圆球(1)圆心与弦(非直径)中点的直线垂直于弦 (1)______________________________ (2)与圆心距离相等的弦长相等 (2)______________________________ (3)圆的周长C d π=(3)______________________________(4)圆的面积2S r π=(4)______________________________【知识点：类比推理，猜想与证明】详解： (1)球心与截面圆(不过球心的小截面圆)圆心的连线垂直于截面 (2)与球心的距离相等的两个截面圆的面积相等 (3)球的表面积24S r π= (4)球的体积343V r π=点拔：球与圆有许多类似之处，从概念上讲，都是动点到定点的距离相等，都有直径和半径，从平面向空间实现类比，将点与线、线与面、面积向体积等进行类比.●活动三 平面曲线中的图形之间类比例4.在圆222x y r +=中，AB 为直径，C 为圆上异于AB 的任意一点，则有1AC BC K K =-g ，你能用类比的方法得出椭圆22221(0)x y a b a b+=>>中有什么样的结论.【知识点：类比推理，猜想与证明】详解：设00(,)A x y 为椭圆上的任意一点，则A 点关于中心的对称点B 的坐标为00(,)x y --，点(,)P x y 为椭圆上异于A 、B 两点的任意一点，则2200022000AP BPy y y y y y k k x x x x x x -+-⋅=⋅=-+-. 由于A ，B ，P 三点都在椭圆上.所以222222002211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式相减有222200220x x y y a b --+=， 所以22202220y y b x x a-=--，即22AP BP b k k a ⋅=-.故椭圆22221(0)x y a b a b +=>>中过中心的一条弦的两个端点A ，B ，P 为椭圆上异于A ，B的任意一点，则有22AP BPb k k a⋅=-.点拔：圆与椭圆的类比不光是斜率的问题，还有面积的类比，如圆的面积公是2S r π=，椭圆的面积公式是S ab π=，其中r 是圆的半径，a 、b 分别是椭圆的半长轴、半短轴的长. 3.课堂总结【知识梳理】（1）由两个（两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出他们在其他方面也相似或相同；或其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）.简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理.（2）类比推理的一般步骤：①找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；②用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；③检验猜想.即【难点突破】（1）类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质，类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠.（2）类比推理的特点①类比是从特殊到特殊的推理，是根据两类不同对象已具有的某些相似性质，而联想到它们在其他方面可能也有相似的性质，从而由一类对象的已知的某项性质，猜测出另一类对象也可能有此项相应的性质而得到一个明确的结论，类比结论有明显的猜想和创新的特性.所得的结论超越了前提所包容的范围；②类比所得的结论超越了前提所包容的范围，结论不一定真.③类比的前提是两类对象之间有可比性，所谓可比性是指：它们之间有可以清楚定义的某些共同特征.而且两类对象之间的相似性质越多，类比所得的性质的可靠性越大；（3）类比推理的结论未必真，欲知真假需证明.4.随堂检测1.三角形的面积为S＝12(a＋b＋c)·r，a，b，c为三角形的边长，r为三角形内切圆的半径，利用类比推理可以得出四面体的体积为（）A.V＝13abcB.V＝1 3ShC.V＝13(S1＋S2＋S3＋S4)·r（S1，S2，S3，S4分别为四面体的四个面的面积，r为四面体内切球的半径）观察、比较联想、类推猜想新结论D.V ＝13(ab ＋bc ＋ac )·h (h 为四面体的高) 【知识点：类比推理】 解：C平面几何与立体几何的类比，类比的知识点有：面积与体积，边长与面积，圆与球.因此，应选C ，答案为C2.在平面直角坐标系内，方程x a ＋yb ＝1表示在x ，y 轴上的截距分别为a ，b 的直线，拓展到空间，在x ，y ，z 轴上的截距分别为a ，b ，c (abc ≠0)的方程为（ ） A.x a ＋y b ＋z c ＝1 B.x ab ＋y bc ＋zac ＝1 C.xy ab ＋yz bc ＋zx ca ＝1 D.ax ＋by ＋cz ＝1【知识点：类比推理；数学思想：推理论证】 解：A3.圆的面积S ＝πr 2，周长c ＝2πr ，两者满足c ＝S ′(r )，类比此关系写出球的公式的一个结论是：________.【知识点：类比推理】解：V 球＝43πR 3，S 球＝4πR 2，满足S ＝V ′(R )圆的面积、周长分别与球的体积和表面积类比可得，球的体积V ＝43πR 3，表面积S ＝4πR 2，满足S ＝V ′(R ).答案为V 球＝43πR 3，S 球＝4πR 2，满足S ＝V ′(R ).4.等差数列{a n }中，有2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2，且n ∈N *)，类比以上结论，在等比数列{b n }中类似的结论是________. 【知识点：类比推理】解：b 2n ＝b n －1·b n ＋1(n ≥2，且n ∈N *) 5.坐标平面上P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则线段P 1P 2的中点P 的坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭.类比以上结论，若△ABC 中，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，则△ABC 重心G 的坐标为________. 【知识点：类比推理】解：123123,33x x x y y y ++++⎛⎫ ⎪⎝⎭（三）课后作业 基础型 自主突破1.类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是（ ）①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等 ③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等 A.① B.①② C.①②③ D.③ 答案：C解析：【知识点：类比推理】对于①：正四面体中，各棱长相等，各侧面是全等的等边三角形，因此，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；①正确；对于②：∵正四面体中，各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角中，它们有共同的高，底面三角形的中心到对棱的距离相等，∴相邻两个面所成的二面角都相等，②正确；对于③：∵各个面都是全等的正三角形，∴各面都是面积相等的三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等，③正确. ∴①②③都是合理、恰当的.故选C.2.如图所示，椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，当AB FB ⊥时，其离心率为5－12，此类椭圆被称为“黄金椭圆”.类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e 等于（ ）A.215+B.215-C.15-D.15+【知识点：类比推理】解：A类比“黄金椭圆”，在黄金双曲线中，|OA|=a，|OB|=b，|OF|=c，由题意可知222BF AB AF+=，∵222222b c c a c ac++=++，又222b c a=-，整理得22c a ac=+，∴210e e--=，152e±=，又1e>，所以选A.3.平面内平行于同一条直线的两条直线平行，类比可得，在空间有（）A.平行于同一直线的两直线平行；B.平行于同一直线的两平面平行；C.平行于同一平面的两直线平行；D.平行于同一平面的两平面平行.【知识点：类比推理】解：D利用类比推理，平面中的直线与空间中的平面类比，即可得空间中平行于同一平面的两平面平行.4.将一张坐标纸折叠一次，使点（2，3）与点（3，2）重合，且点（2005，2006）与点（m，n）重合，则m，n分别为（）A.2005，2005；B.2006，2006；C.2005，2006；D.2006，2005.【知识点：类比推理】解：D由于（2，3）与（3，2）关于直线y=x对称，(2005，2006)与(m，n)也关于直线y=x 对称，故m =2006，n=2005.5.在三角形中，任意两边之和大于第三边.类比上述性质：在三棱锥中，我们可以得到：__________________________.【知识点：类比推理】解：任意三个表面的面积之和大于第四个表面的面积.6.在项数为n 2（*∈N n ），公差为d 的等差数列中，偶数项和与奇数项和的差等于nd .类比可得：在项数为n 2（*∈N n ），公比为q 的等比数列中， .【知识点：类比推理】解：偶数项与奇数项的商为n q能力型 师生共研8.已知等差数列{}n a 中，有011=a ，则有),21(*212121N n n a a a a a a n n ∈<+⋯++=+⋯++- 成立.类比上述性质，在等比数列{}n b 中，若110=b ，则我们可以得到等式：________________________.【知识点：类比推理】解：*121219(19,)n n b b b b b b n n N -⋯=⋯<∈ 等差数列{}n a 中，有011=a ，则有),21(*212121N n n a a a a a a n n ∈<+⋯++=+⋯++-，类比推理，在等比数列{}n b 若110=b ，则存在的等式是*121219(19,)n n b b b b b b n n N -⋯=⋯<∈. 9.半径为r 的圆的面积2)(r r S π=，周长r r C π2)(=，若将r 看作(0，＋∞)上的变量，则r r ππ2)'(2=.①，①式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数.对于半径为R 的球，若将R 看作(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于①式的式子：_______________________，你所写的式子可用语言叙述为_______________________.【知识点：类比推理】 解：2'3434R R ππ=⎪⎭⎫ ⎝⎛ 球的体积函数的导数等于球的表面积函数. 10.定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和.已知数列}{n a ，是等和数列，且21=a ，公和为5，那么18a 的值为 ，这个数列的前n 项和n S 的计算公式为 .【知识点：类比推理】解：.318=a 当n 为偶数时，n S n 25=；当n 为奇数时，.2125-=n S n 11.已知两个圆：122=+y x ①与1)3(22=-+y x ②，则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴方程，将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广，既要求得到一个更一般的命题，而已知命题要成为所推广命题的一个特例，推广的命题为 .【知识点：类比推理】解：设圆的方程为222)()(r b y a x =-+-③与222)()(r d y c x =-+-④，其中c a ≠或d b ≠，则由③式减去④式可得两圆的对称轴方程.探究型 多维突破1.设函数x e x xe x f x x sin 12)(++++=，利用课本中推导等差数列前n 项和公式的方法，可求得(5)(4)(0)(4)(5)f f f f f -+-+++++L L 的值 .【知识点：类比推理】解：11 22()sin sin 11x x x xe x f x x x x e e ++=+=++++， ∴222(2)()()2112x x x x x x e e f x f x e e e e ---+++-=+==++++，(0)1f = ∴(5)(4)(0)(4)(5)f f f f f -+-+++++L L[][][](5)(5)(4)(4)(1)(1)(0)11f f f f f f f =-++-+++-++=L2.若记号“*”表示两个实数a 与b 的算术平均的运算，即2*b a b a +=，则两边均含有运算符号“*”和“+”，且对于任意3个实数c b a ,,都能成立的一个等式可以是 .【知识点：类比推理】解：c a b c b a c b c a c b a +=++=+)*()*(),*()*()*(此题答案不唯一还有：).(*)()*(c a b a c b a ++=+等（四）自助餐1.在平面直角坐标系内，方程x a ＋y b ＝1表示在x ，y 轴上的截距分别为a ，b 的直线，拓展到空间，在x ，y ，z 轴上的截距分别为a ，b ，c (abc ≠0)的方程为（ ） A.x a ＋y b ＋z c ＝1B.x ab ＋y bc ＋z ac ＝1C.xy ab ＋yz bc ＋zx ca ＝1D.ax ＋by ＋cz ＝1【知识点：类比推理】答案：A2.下面类比推理中恰当的是（ ）A.若“a ·3＝b ·3，则a ＝b ”类比推出“若a ·0＝b ·0，则a ＝b ”B.“(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类比推出“a ＋b c ＝a c ＋b c (c ≠0)”C.“(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类比推出“(a ·b )c ＝ac ·bc ”D.“(ab )n ＝a n b n ”类比推出“(a ＋b )n ＝a n ＋b n ”【知识点：类比推理】解：B3.类比三角形中的性质：(1)两边之和大于第三边(2)中位线长等于底边的一半(3)三内角平分线交于一点可得四面体的对应性质：(1)任意三个面的面积之和大于第四个面的面积(2)过四面体的交于同一顶点的三条棱的中点的平面面积等于第四个面面积的14(3)四面体的六个二面角的平分面交于一点其中类比推理方法正确的有（ ）A.(1)B.(1)(2)C.(1)(2)(3)D.都不对【知识点：类比推理】解：C4.六个面都是平行四边形的四棱柱称为平行六面体.如图甲，在□ABCD 中，有)(22222AD AB BD AC +=+，那么在图乙所示的平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，21212121DB CA BD AC +++等于（ ）A.4(AB 2＋AD 2＋AA 21)B.3(AB 2＋AD 2＋AA 21)C.2(AB 2＋AD 2＋AA 21)D.4(AB 2＋AD 2)【知识点：类比推理；数学思想：推理论证】解：A5.等差数列{a n }中，有2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2，且n ∈N *)，类比以上结论，在等比数列{b n }中类似的结论是________.【知识点：类比推理】解：b 2n ＝b n －1·b n ＋1(n ≥2，且n ∈N *) 6.设P 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意P b a ∈、，都有、b a +、b a -、ab P ba ∈（除数0≠b ）则称P 是一个数域，例如有理数集Q 是数域，数集}|2{Q b a b a F ∈+=，也是数域.有下列命题：①整数集是数域；②若有理数集M Q ⊆，则数集M 必为数域；③数域必为无限集；④存在无穷多个数域.其中正确的命题的序号是 .（把你认为正确的命题的序号都填上）【知识点：类比推理；数学思想：推理论证】解：③④7.根据三角形的性质，推测空间四面体的性质：（1）三角形的两边之和大于第三边；（2）三角形的三条内角平分线交于一点且该点是三角形内切圆圆心. 解：（1）四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；（2）四面体的六个二面角的平分面交于一点，且该点是四面体内切球的球心.【知识点：类比推理；数学思想：推理论证】8.在ABC ∆中，射影定理可以表示为B c C b a cos cos +=，其中c b a ,,依次为角C B A ,,的对边，类比以上定理，给出空间四面体性质的猜想.【知识点：类比推理；数学思想：推理论证】解：四面体ABC P -中，S S S S ,,,321分别表示面ABC PAC PBC PAB ∆∆∆∆,,,的面积，γβα,,依次表示面PAB 、面PBC 、面PAC 与底面面ABC 所成的二面角大小，则空间中的射影定理可表示为：γβαcos cos cos 321S S S S ++=.9.若+∈R a a 21,，则有不等式221222122⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥+a a a a 成立，请你类比推广此性质. 解：【知识点：类比推理；数学思想：特殊到一般】232123222133⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++≥++a a a a a a 或22221212n n a a a a a a n n ⎛⎫++++++≥ ⎪⎝⎭L L 或 321323122⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥+a a a a 或nn n a a a a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥+222121 答案不唯一，n 可取任何的正整数.。