计算三角形的重心

三角形重心的3个结论
三角形重心是三角形的重要点之一，它位于三角形三个顶点所在的中线交点处。

下面是三角形重心的三个结论：
1. 重心将中线分为2:1
从任意一个顶点开始，连接该顶点所对的边中点和另外两个顶点，这样就可以得到三条中线。

这些中线在重心处相交，且重心将每条中线分成两段，其中一段的长度是另一段的两倍。

这个结论可以用向量法或者平面几何法来证明。

2. 重心到各顶点距离平均
连接重心和每个顶点，可以得到三条线段。

这些线段的长度恰好等于从重心到各个顶点的距离。

因此，我们可以得出结论：三角形重心到各个顶点距离的平均值等于任意两个顶点之间距离的一半。

3. 重心是质心和垂心连线上的一点
质心是连接三角形所有顶点与其对边中点所形成垂直平分线交汇处。

垂心则是连接每条边与其对边垂直相交所形成高度交汇处。

如果我们将质心和垂心连起来，则这条线段上的任意一点都是三角形重心。

这个结论可以用向量法或者平面几何法来证明。

重心坐标计算公式推导重心坐标计算的基本思想是将几何图形分割为若干个小面积，并分别计算每个小面积的中心点坐标，然后根据每个小面积的面积将这些中心点的坐标加权求和，即可得到整个几何图形的重心坐标。

首先我们来推导一个简单的情况，即平面上的三角形的重心坐标计算公式。

设三角形的三个顶点坐标分别为$A(x_1,y_1)$、$B(x_2,y_2)$和$C(x_3,y_3)$。

我们将三角形分割为三个小三角形，分别以三个顶点为定点，其中小三角形$\triangle ABC$的面积可以通过海伦公式计算出来：\[S = \frac{1}{2} \left| (x_1-x_3)(y_2-y_3)-(x_2-x_3)(y_1-y_3) \right|\]那么$\triangle ABC$的重心坐标$(\bar{x},\bar{y})$可以表示为：\[\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}\]\[\bar{y} = \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}\]同理，另外两个小三角形的重心坐标分别为$(\bar{x}_1,\bar{y}_1)$和$(\bar{x}_2,\bar{y}_2)$，那么整个三角形的重心坐标$(X,Y)$可以表示为：\[X = \frac{S_1\bar{x}_1 + S_2\bar{x}_2 + S_3\bar{x}}{S}\]\[Y = \frac{S_1\bar{y}_1 + S_2\bar{y}_2 + S_3\bar{y}}{S}\]其中$S_1$、$S_2$和$S_3$分别表示三个小三角形的面积。

通过以上计算过程，我们可以得到三角形的重心坐标计算公式。

接下来，我们将推导平面上任意多边形的重心坐标计算公式。

设多边形的n个顶点分别为$P_1(x_1,y_1)$、$P_2(x_2,y_2)$、...、$P_n(x_n,y_n)$。

我们将多边形分割为多个小三角形，根据前面的推导可以得到每个小三角形的重心坐标$(\bar{x}_i,\bar{y}_i)$。

引言概述：在几何学中，三角形是研究的重要对象之一。

而三角形四心定理是关于三角形内四个特殊点的定理，它们分别是三角形的重心、外心、内心和垂心。

这个定理不仅有着重要的理论价值，而且在实际应用中也有广泛的应用。

本文将详细介绍三角形四心定理以及相关的证明。

正文内容：一、重心（G）重心是三角形内部三条中线的交点，也称为质心。

重心的坐标可以通过三个顶点的坐标求得。

设三角形的顶点分别为A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）、C（x₃，y₃），则重心的坐标为G（(x₁+x₂+x₃)/3，(y₁+y₂+y₃)/3）。

大点1：重心的性质小点1：重心与顶点的连线成比例小点2：重心与重心连线中点的连线平行于底边小点3：重心是内心和外心连线的中点大点2：重心的应用小点1：稳定平衡问题小点2：质心的分割线小点3：质心的建模应用二、外心（O）外心是可以通过三角形的三个顶点构造出的唯一圆的圆心。

外心到三角形的每个顶点距离相等。

大点1：外心的性质小点1：外心是垂直平分线的交点小点2：外心到各顶点的距离相等小点3：外心是三角形内切圆的圆心大点2：外心的应用小点1：计算三角形的外接圆半径小点2：设计圆形邮票小点3：构造圆锥曲线三、内心（I）内心是可以通过三角形的三条内切圆的切点构造出的唯一点。

大点1：内心的性质小点1：内心到三边的距离相等（接切性质）小点2：内心是角平分线的交点小点3：内心是三角形外角平分线的交点大点2：内心的应用小点1：计算三角形的内切圆半径小点2：解决三角形的内接问题小点3：优化布局问题四、垂心（H）垂心是通过三角形的三条高的交点构造出的唯一点。

大点1：垂心的性质小点1：垂心是中线的垂直平分线的交点小点2：垂心到各边的距离相等小点3：垂心是三角形外心的反演点大点2：垂心的应用小点1：计算三角形的三条高的长度小点2：解决三角形与圆的位置关系问题小点3：优化三角形的面积总结：三角形四心定理是几何学中重要的定理，包括重心、外心、内心和垂心。

三角形重心三角形是几何学中最简单、最基本的图形之一，它由三条边和三个顶点组成。

在三角形中，有一个特殊的点称为三角形的重心，它是三条中线的交点。

重心在三角形的性质和应用中有着很重要的地位。

在本文中，将深入探讨三角形重心的定义、性质、计算方法和应用领域。

1. 重心的定义和性质三角形的重心定义为三条中线的交点，其中中线是连接一个顶点与对边中点的线段。

如果一个三角形的三条中线相交于一点，则该点就是三角形的重心。

以下是三角形重心的一些性质：（1）三角形的重心和顶点的连线是三等分角的角平分线；（2）三角形的重心到三边的距离满足距离定理，即重心到顶点所在边的距离是重心到对边的距离的两倍；（3）重心到三边的距离和相等；（4）三角形的重心是三个中线的交点，也是质心的两倍。

2. 重心的计算方法计算三角形的重心可以使用向量法或坐标法。

以坐标法计算为例，假设一个三角形的顶点坐标分别为A(x1, y1)，B(x2, y2)和C(x3,y3)。

可以通过以下公式计算重心的坐标G(x, y)：x = (x1 + x2 + x3) / 3y = (y1 + y2 + y3) / 3通过坐标法计算重心的好处是，无论三角形的形状和大小如何改变，只要知道顶点的坐标，就能准确计算重心的坐标。

3. 重心的应用领域重心在几何学和物理学中有着广泛的应用。

以下是几个重心的应用领域：（1）建筑物和桥梁设计：重心在建筑物和桥梁的设计中起着关键作用。

确定一个建筑物或桥梁的重心可以帮助工程师分析和预测结构的稳定性和平衡性。

（2）机械工程：在机械工程中，重心的概念经常用于计算和设计运动系统的稳定性。

（3）物理学：在物理学中，重心是许多力学问题的重要概念。

通过确定物体的重心，可以帮助理解和分析物体的运动和平衡状态。

（4）地理学：在地理学中，重心被用来计算地球表面的重心，以便更好地了解地球的质量分布和地理数据分析。

（5）航空航天工程：在航空航天工程中，重心对于飞机和火箭的稳定性和控制至关重要。

三角形重心概念三角形是几何学中的基本形状之一，它由三条边和三个角组成。

在三角形中，重心是一个重要的概念，它被定义为连接三角形的三条中线的交点。

在本文中，我们将探讨三角形重心的性质、计算方法及其在实际生活和数学中的应用。

让我们来了解一下三角形重心的定义。

在一个三角形ABC中，中线是连接边AB、BC和CA的中点的线段。

当这三条中线交于一点G时，我们将这个点称为三角形的重心。

可以用符号表示为：G。

接下来，我们将探讨三角形重心的一些基本性质。

1.三角形重心是三条中线的交点。

中线是连接三角形的顶点到相对边中点的线段。

对于任何一个三角形，三条中线都会相交于同一个点，即重心。

2.重心将每条中线划分为2:1的比例。

也就是说，从重心到三角形的顶点的长度是从重心到中点的长度的两倍。

这个性质对任何三角形都成立。

3.重心将三角形的面积划分为1:3的比例。

也就是说，从三角形的每个顶点到重心的距离与从重心到相对边的距离的比例为1:3。

这意味着，从重心到三角形的顶点的距离比从重心到相对边的距离更远。

4.如果一个三角形的三边长度相等（等边三角形），那么它的重心将位于三角形的内部，并与每个顶点的距离相等。

以上是三角形重心的一些基本性质。

接下来，我们将看一下如何计算三角形的重心坐标。

对于一个三角形ABC，我们可以使用以下公式来计算重心的坐标（x，y）：x = (xA + xB + xC) / 3y = (yA + yB + yC) / 3其中(xA, yA)，(xB, yB)和(xC, yC)是三角形顶点A、B和C的坐标。

现在，让我们来看一些实际生活和数学中的应用。

在实际生活中，三角形的重心有一些实用的应用。

例如，在建筑和工程中，我们需要计算物体的质心，以确定物体的平衡和稳定性。

三角形也经常用于测量和制图。

重心可以用来确定三角形的中心位置，并用于计算其他属性，如面积和周长。

在数学中，三角形的重心是研究三角形性质的重要概念之一。

它在许多几何问题中发挥着重要的作用，并成为解决计算问题的关键。

2020中考数学知识点：三角形的重心公式证明重心是三角形三边中线的交点，三线交一点可用燕尾定理来证明。

三角形的重心已知：△ABC中，D为BC中点，E为AC中点，AD与BE交于O，CO延长线交AB于F。

求证：F为AB 中点。

证明：根据燕尾定理，S(△AOB)=S(△AOC)，又S(△AOB)=S(△BOC)，∴S(△AOC)=S(△BOC)，再应用燕尾定理即得AF=BF，命题得证。

重心的几条性质：1.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。

2.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

3.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

4.在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3);空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3竖坐标：(Z1+Z2+Z3)/35.重心是三角形内到三边距离之积最大的点。

如果用塞瓦定理证，则极易证三条中线交于一点。

如图，在△ABC中，AD、BE、CF是中线则AF=FB，BD=DC，CE=EA∵(AF/FB)*(BD/DC)*(CE/EA)=1∴AD、BE、CF交于一点即三角形的三条中线交于一点其实考试中不会单独的出现关于三角形的重心问题，而是综合图形知识要领，这就需要大家准确的分析了。

2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．下列说法：①平方等于其本身的数有0，±1；②32xy 3是4次单项式；③将方程121.20.30.5x x -+-=中的分母化为整数，得1010102035x x -+-＝12；④平面内有4个点，过每两点画直线，可画6条、4条或1条．其中正确的有( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．某公司2018年获利润1000万元，计划到2020年年利润达到1210万元设该公司的年利润平均增长率为x ，下列方程正确的是（ ） A ．1000（1+x ）2＝1210 B ．1210（1+x ）2＝1000 C ．1000（1+2x ）＝1210D ．1000+10001+x ）+1000（1+x ）2＝12103．13的倒数是（ ） A.13B.3C.3-D.13-4．如图，已知正方形ABCD ，E 为AB 的中点，F 是AD 边上的一个动点，连接EF 将△AEF 沿EF 折叠得△HEF ，延长FH 交BC 于M ，现在有如下5个结论：①△EFM 定是直角三角形；②△BEM ≌△HEM ；③当M 与C 重合时，有DF ＝3AF ；④MF 平分正方形ABCD 的面积；⑤FH•MH＝214AB ，在以上5个结论中，正确的有（ ）A ．2B ．3C ．4D ．55．如图，从A 点出发的光线，经C 点反射后垂直地射到B 点，然后按原路返回A 点．若∠AOC ＝33°，OC ＝1，则光线所走的总路线约为( )A ．3.8B ．2.4C ．1.9D ．1.26．多项式4x-x 3分解因式的结果是( ) A ．()2x 4x-B ．()()x 2x 2x -+C ．()()x x 2x 2-+D ．2x(2x)-7．若2是关于x 的方程()2120x m x m --++=的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰ABC ∆的两条边的长，则ABC ∆的周长为A ．7或10B ．9或12C ．12D ．98．某种病菌的直径为0.00000471cm ，把数据0.00000471用科学记数法表示为( ) A ．47.1×10﹣4 B ．4.71×10﹣5C ．4.71×10﹣7D ．4.71×10﹣69．若反比例函数2k y x-=的图象经过点(1,2)，则k 的值为（ ） A.2-B.0C.2D.410．某市公园的东、西、南、北方向上各有一个入口，周末佳佳和琪琪随机从一个入口进入该公园游玩，则佳佳和琪琪恰好从同一个入口进入该公园的概率是（ ） A ．12B ．14C ．16D ．11611．如图，在矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，P 是对角线AC 上的动点，连接DP ，将直线DP 绕点P 顺时针旋转使∠DPG=∠DAC ，且过D 作DG ⊥PG ，连接CG ，则CG 最小值为( )A ．65B ．75C ．3225D ．362512．下列运算正确的是（ ） A ．（y+1）（y ﹣1）＝y 2﹣1 B ．x 3+x 5＝x 8 C ．a 10÷a 2＝a 5D ．（﹣a 2b ）3＝a 6b 3二、填空题13．如图，在矩形ABCD 中，AB=8，AD=6，点E 为AB 上一点，AE=23，点F 在AD 上，将△AEF 沿EF 折叠，当折叠后点A 的对应点A′恰好落在BC 的垂直平分线上时，折痕EF 的长为_____．14．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣2x ﹣5＝0的两个实数根，则x 12+x 22+3x 1x 2＝_____． 15．购买1个单价为a 元的面包和3瓶单价为b 元的饮料，所需钱数为 元．16．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AB=2，点D 为线段AB 的中点，将线段BC 绕点B 顺时针旋转90°，得到线段BE ，连接DE ，则DE 最大值是______．\17．不等式﹣2x＞﹣4的正整数解为_____．18．同时掷两枚质地均匀的骰子，观察向上一面的点数，用两枚骰子的点数作为点的坐标，则点在第一象限角平分线上的概率是_____．三、解答题19．等腰直角三角板的一个锐角顶点与正方形ABCD的顶点A重合，两边分别交BC、CD于M、N．（1）如图①，作AE⊥AN交CB的延长线于E，求证：△ABE≌△AND；（2）如图②，若M、N分别在边CB、DC所在的直线上时.①求证：BM+MN=DN；②如图③，作直线BD交直线AM、AN于P、Q两点，若MN=10，CM=8，求AP的长．20．如图，在正方形ABCD中，E是CD上一点，连接AE．过点D作DM⊥AE，垂足为M，⊙O经过点A，B，M，与AD相交于点F．（1）求证：△ABM∽△DFM；（2）若正方形ABCD的边长为5，⊙O的直径为29，求DE的长．21．为了深入培养学生交通安全意识，加强实践活动，新华中学八年级（1）班和交警队联合举行了“我当一日小交警”活动，利用星期天到交通路口值勤，协助交通警察对行人、车辆及非机动车辆进行纠章．在这次实践活动中，若每一个路口安排5名学生，那么还剩下4人；若每个路口安排6人，那么最后一个路口不足3人，但不少于1人．（1）求新华中学八年级（1）班有多少名学生？（2）在值勤过程中，学生发现每辆汽车驶出路口后有三种方式前行：左转、直行、右转，而且每种前行方式的可能性相同．请通过画树形图或列表的方法，求连续驶出路口的两辆汽车前行路线相同的概率．22．“五一”期间，小张把容积为60升的油箱加满后自驾出行，行驶一段路程后进入服务区停车休息，休息后，小张离开服务区继续前行，为能顺利到达目的地，小张需在相距S千米的加油站加油.若小张从出发点到服务区休息点行驶的路程为200千米，且这期间平均油耗为每千米0.12升.(1)求小张离开服务区休息点时，油箱内还有多少升汽油?(2)记小张从离开服务区休息点到进入加油站加油期间的平均油耗为每千米a升，请写出S与a的函数关系式；若0.08≤a≤0.1，求S的取值范围.23．如图，反比例函数y 1＝k x 与一次函数y 2＝ax+b 的图象交于点A （2，2）、B （12，n ）． （1）求这两个函数解析式；（2）直接写出不等式y 2＞1y 的解集．24．（1）计算：201(5)3tan 30|13|π︒-+-+--．（2）解不等式组：3(2)42113x x x x -->⎧⎪+⎨>-⎪⎩．25．为了庆祝“五四”青年节，我市某中学举行了书法比赛，赛后随机抽查部分参赛同学成绩（满分为100分），并制作成图表如下分数段 频数 频率 60≤x＜70 30 0.15 70≤x＜80 m 0.45 80≤x＜90 60 n 90≤x≤100200.1请根据以上图表提供的信息，解答下列问题：（1）这次随机抽查了 名学生；表中的数m ＝ ，n ＝ ； （2）请在图中补全频数分布直方图；（3）若绘制扇形统计图，分数段60≤x＜70所对应扇形的圆心角的度数是 ； （4）全校共有600名学生参加比赛，估计该校成绩不低于80分的学生有多少人？【参考答案】***一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B A B C A B C D D B D A 二、填空题13．4或43.14．﹣115．（a+3b）.16．21+17．x＝1．18．1 6三、解答题19．（1）见解析；（2）①见解析；②AP=310.【解析】【分析】（1）利用互余判断出∠EAB=∠NAD，即可得出结论；（2）先构造出△ADG≌△ABM，进而判断出，△AMG为等腰直角三角形，即可得出NM=NG，即可得出结论；（3）由（2）得出MN+BM=DN，进而得出CN=18-2BC，再利用勾股定理得求出CN=6，在判断出△ABP∽△ACN，得出AP AB1AN AC2==，再利用勾股定理求出AN，代入即可得出结论．【详解】解：（1）如图①，∵AE垂直于AN，∴∠EAB+∠BAN=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=90°，∴∠NAD+∠BAN=90°，∴∠EAB=∠NAD，又∵∠ABE=∠D=90°，AB=AD，∴△ABE≌△AND；………………（2）如图②，在ND上截取DG=BM，连接AG、MG，∵AD=AB，∠ADG=∠ABM=90°，∴△ADG≌△ABM，∴AG=AM，∠MAB=∠GAD，∵∠BAD=∠BAG+∠GAD=90°，∴∠MAG=∠BAG+∠MAB=90°，∴△AMG为等腰直角三角形，∴AN⊥MG，∴AN为MG的垂直平分线，∴NM=NG，∴DN﹣BM=MN，即MN+BM=DN；（3）如图③，连接AC，同（2），证得MN+BM=DN，∴MN+CM﹣BC=DC+CN，∴CM﹣CN+MN=DC+BC=2BC，即8﹣CN+10=2BC，即CN=18﹣2BC，在Rt△MNC中，根据勾股定理得MN2=CM2+CN2，即102=82+CN2，∴CN=6，∴BC=6， ∴AC=62，∵∠BAP+∠BAQ=45°，∠NAC+∠BAQ=45°， ∴∠BAP=∠NAC ， 又∵∠ABP=∠ACN=135°， ∴△ABP ∽△ACN ， ∴AP AB 1AN AC 2== 在Rt △AND 中，根据勾股定理得AN 2=AD 2+DN 2=36+144， 解得AN=65，∴AP 1652=， ∴AP=310． 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，解（1）的关键是判断出∠EAB=∠NAD ，解（2）的关键是判断出△AMG 为等腰直角三角形，解（3）的关键是判断出△ABP ∽△ACN ． 20．（1）见解析;(2) 253【解析】 【分析】（1）由四边形ABCD 为正方形，可得∠BAM ＝∠ADM ，再由四边形BAFM 为圆内接四边形，可得∠ABM ＝∠MFD ，可以求证；（2）连接BF ，得BF 为直径，由勾股定理可得到AF 的长，从而得FD ＝3，因为△ABM ∽△DFM ，所以有53AB AM DF DM ==，而易证△ADM ∽△DEM ，可得DE AMAD DM=，即可得DE 的长度． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 为正方形， ∴∠BAD ＝90°， ∴∠BAM+∠MAF ＝90°， ∵DM ⊥AE ，∴∠MAD+∠ADM ＝90°， ∴∠BAM ＝∠ADM ，∵四边形BAFM 为圆内接四边形 ∴∠ABM+∠AFM ＝180° ∴∠ABM ＝∠MFD∴△ABM∽△DFM（2）如图，连接BF，∵∠BAF＝90°，BF为直径∴在Rt△ABF中，由勾股定理得AF＝22(29)5-＝2，∴FD＝3，∵△ABM∽△DFM，∴53 AB AMDF DM==，∵∠DEM＝∠ADM，∠AMD＝∠DME＝90°，∴△ADM∽△DEM，∴DE AM AD DM=，∴DE＝53•AD＝553⨯＝253【点睛】此题主要考查相似三角形的判定及性质，本题关键是要懂得找相似三角形，利用相似三角形的性质求解．21．（1）新华中学八年级（1）班有44或49名学；（2）1 3【解析】【分析】（1）设有x个交通路口，则八年级（1）班人数为（5x+4）名，根据题意列不等式组求解可得；（2）由树状图求得所有等可能的结果与两辆汽车前行路线相同的情况，继而利用概率公式即可求得答案．【详解】解：（1）设有x个交通路口，则八年级（1）班人数为（5x+4）名，根据题意得546(1)1 546(1)3 x xx x+--≥⎧⎨+--⎩＜，解得：7＜x≤9，∵x为正整数，∴x＝8或9，所以5x+4＝44或49．答：新华中学八年级（1）班有44或49名学；（2）列表可得：第一辆第二辆左转直行右转左转（左转，左转）（直行，左转）（右转，左转）直行（左转，直行）（直行，直行）（右转，直行）右转（左转，右转）（直行，右转）（右转，右转）由上表可知，所有可能发生的结果共有9种，并且它们发生的可能性都相等，连续驶出路口的两辆汽车前行路线相同的有3种，分别为（左转，左转），（直行，直行），（右转，右转），∴连续驶出路口的两辆汽车前行路线相同的概率为31 =93，答：连续驶出路口的两辆汽车前行路线相同的概率是13．【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法或列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．22．(1) 36升； (2)S＝36a. 360≤S≤450【解析】【分析】（1）根据剩下的油=原来油箱里的油-消耗的油，列出算式计算即可.（2）根据从离开服务区休息点到进入加油站加油期间的平均油耗=总油量÷总路程即可得到关系式，根据反比例函数的性质即可求解.【详解】(1)60－200×0.12＝36(升)(2)S＝36a.∵36>0,当0.08≤a≤0.1时，随增大而减小，∴360≤S≤450【点睛】本题考查的是反比例函数的应用，把握题目中的数量关系及掌握反比例函数的性质是解题关键.23．（1）y1＝4x；y 2＝﹣4x+10；（2）12＜x＜2或x＜0．【解析】【分析】（1）将A坐标代入反比例解析式求出m的值，确定出反比例解析式，将B坐标代入反比例解析式求n的值，确定出B坐标，将A与B坐标代入一次函数解析式求出k与b的值，即可确定出一次函数解析式；（2）根据图象和交点坐标找出一次函数图象位于反比例函数图象上方时x的范围即可．【详解】解：（1）将A（2，2）代入反比例解析式得：k＝2×2＝4，则反比例解析式为y1＝4x；将B（12，n）代入反比例解析式得：n＝8，即B（12，8），将A与B坐标代y2＝ax+b中，得2218 2a ba b+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得：410ab=-⎧⎨=⎩．2y＝﹣4x+10；则一次函数解析式为（2）由图象得：不等式y2＞y1的解集为12＜x＜2或x＜0．【点睛】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法确定函数解析式，利用了数形结合的思想，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．24．(1)1;(2) 1＜x＜4．【解析】【分析】（1）先根据零指数幂、有理数乘方的法则、绝对值的性质及特殊角的三角函数值计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．（2）分别求出不等式的解集，即可解答【详解】解：（1）原式＝﹣1+1+3×33﹣3 +1＝1；（2）3(2)42113x xxx-->⎧⎪⎨+>-⎪⎩①②，由①得：x＞1，由②得：x＜4，则不等式组的解集为1＜x＜4．【点睛】此题考查负整数指数幂，零指数幂，实数的运算，特殊角的三角函数值，解一元一次不等式组，掌握运算法则是解题关键25．（1）200；90，0.3；（2）补图见解析；（3）54°；（4）240人【解析】【分析】（1）根据60≤x＜70的频数及其频率求得总人数，进而计算可得m、n的值；（2）根据（1）的结果，可以补全直方图；（3）用360°乘以样本中分数段60≤x＜70的频率即可得；（4）总人数乘以样本中成绩80≤x＜100范围内的学生人数所占比例．【详解】解：（1）本次调查的总人数为30÷0.15＝200人，则m＝200×0.45＝90，n＝60÷200＝0.3，故答案为：200、90、0.3；（2）补全频数分布直方图如下：（3）若绘制扇形统计图，分数段60≤x＜70所对应扇形的圆心角的度数是360°×0.15＝54°，故答案为：54°；（4）600×6020200＝240，答：估计该校成绩不低于80分的学生有240人．【点睛】本题考查条形统计图、图表等知识．结合生活实际，绘制条形统计图或从统计图中获取有用的信息，是近年中考的热点．只要能认真准确读图，并作简单的计算，一般难度不大．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．在一次数学课上，张老师出示了一个题目：“如图，▱ABCD 的对角线相交于点O ，过点O 作EF 垂直于BD 交AB ，CD 分别于点F ，E ，连接DF ，BE ．请根据上述条件，写出一个正确结论．”其中四位同学写出的结论如下：小青：OE=OF ；小何：四边形DFBE 是正方形； 小夏：S 四边形AFED =S 四边形FBCE ；小雨：∠ACE=∠CAF ． 这四位同学写出的结论中不正确的是（ ）A.小青B.小何C.小夏D.小雨2．二次根式：①29a -；②()()a b a b +-；③221a a -+；④1x；⑤0.75中最简二次根式是（ ） A ．①②B ．③④⑤C ．②③D ．只有④3．如图，是小明作线段AB 的垂直平分线的作法及作图痕迹,则四边形ADBC 一定是（ ）A.矩形B.菱形C.正方形D.无法确定4．6月15日“父亲节”，小明准备送给父亲一个礼盒（如图所示），该礼盒的俯视图是（ ）A. B. C. D.5．北京气象部门测得冬季某周内七天的气温如下：3，5，5，4，6，5，7（单位：℃），则这组数据的平均数和众数分别是（ ） A ．6，5B ．5.5，5C ．5，5D ．5，46．弹簧原长（不挂重物）15cm ，弹簧总长L （cm ）与重物质量x （kg ）的关系如下表所示： 弹簧总长L （cm ） 16 17 18 19 20 重物重量x （kg ） 0.51.01.52.02.5当重物质量为5kg （在弹性限度内）时，弹簧总长L （cm ）是（ ） A.22.5B.25C.27.5D.307．某市在旧城改造过程中，需要整修一段全长2400m 的道路．为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际工作效率比原计划提高了20%，结果提前8小时完成任务．求原计划每小时修路的长度．若设原计划每小时修路xm ，则根据题意可得方程( )A ．240024008(120%)x x-=+ B ．240024008(120%)x x-=+ C ．240024008(120%)x x -=-D ．240024008(120%)x x-=- 8．如图，已知▱ABCD 中，E 是边AD 的中点，BE 交对角线AC 于点F ，那么S △AFE ：S 四边形FCDE 为( )A ．1：3B ．1：4C ．1：5D ．1：69．某商店有方形、圆形两种巧克力，小明如果购买3块方形和5块圆形巧克力，他带的钱会差8元，如果购买5块方形和3块圆形巧克力，他带的钱会剩下8元.若他只购买8块方形巧克力，则他会剩下（ ）元 A ．8B ．16C ．24D ．3210．据报道，截至2018年12月，天津轨道交通运营线路共有6条，线网覆盖10个市辖区，运营里程215000米，共设车站154座.将215000用科学计数法表示应为( ) A ．321510⨯B ．421.510⨯C ．52.1510⨯D ．60.21510⨯11．如图，点E 在BC 的延长线上，则下列条件中，能判定AD 平行于BC 的是（ ）A ．∠1＝∠2B ．∠3＝∠4C ．∠D+∠DAB ＝180°D ．∠B ＝∠DCE12．观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2019个图形共有( )个〇．A ．6055B ．6056C ．6057D ．6058二、填空题13．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，OAB ∆的顶点,,O A B 均在格点上，点E 在OA 上，且点E 也在格点上. （Ⅰ）OEOB的值为_____________； （Ⅱ）DE 是以点O 为圆心，2为半径的一段圆弧.在如图所示的网格中，将线段OE 绕点O 逆时针旋转得到OE '，旋转角为，连接E A '，E B '，当23E A E B +''的值最小时，请用无刻度的直尺画出点E '，并简要说明点E '的位置是如何找到的（不要求证明）______.14．如图，∠A=22°，∠E=30°，AC ∥EF ，则∠1的度数为______．15．把多项式a 3b-ab 分解因式的结果为______．16．如图，点A 1，A 2在射线OA 上，B 1在射线OB 上，依次作A 2B 2∥A 1B 1 ，A 3B 2∥A 2B 1 ， A 3B 3∥A 2B 2 ， A 4B 3∥A 3B 2 ， …．若△A 2B 1B 2和△A 3B 2B 3的面积分别为1、9，则△A 1007B 1007A 1008的面积是________．17．如图，九宫格中横向、纵向、对角线上的三个数之和均相等，请用含x的代数式表示y，y＝____．18．已知32xy=，则x yx y-+=_____．三、解答题19．如图，A、B两点在反比例函数kyx=（k＞0，x＞0）的图象上，AC⊥y轴于点C，BD⊥x轴于点D，点A的横坐标为a，点B的横坐标为b，且a＜b．（1）若△AOC的面积为4，求k值；（2）若a＝1，b＝k，当AO＝AB时，试说明△AOB是等边三角形；（3）若OA＝OB，证明：OC＝OD．20．如图，直线l的解析式为y＝﹣x+4，它与x轴、y轴分别相交于A、B两点．平行于直线l的直线m 从原点O出发，沿x轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动，它与x轴、y轴分别相交于M、N两点，设运动时间为t秒(0＜t≤4)．(1)求A、B两点的坐标；(2)以MN为对角线作矩形OMPN，记△MPN和△OAB重合部分的面积为S1，在直线m的运动过程中，当t为何值时，S1为△OAB面积的5 16？21．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点O在AB上，BC=CD，过点C作⊙O的切线，分别交AB，AD的延长线于点E，F．（1）求证：AF⊥EF；（2）若cosA=45，BE=1，求AD的长．22．解不等组533(1)131922x xx x->+⎧⎪⎨-<-⎪⎩并求出其整数解．23．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AE⊥BC交CB延长线于E，CF∥AE交AD延长线于点F．(1)求证：四边形AECF是矩形；(2)连接OE，若cos∠BAE＝45，AB＝5，求OE的长．24．如图，反比例函数y＝kx（x＜0）的图象过格点（网格线的交点）P．（1）求反比例函数的解析式；（2）在图中用直尺和2B铅笔画出两个三角形（不写画法），要求每个三角形均需满足下列两个条件：①三个顶点均在格点上，且其中两个顶点分别是点O，点P；②三角形的面积等于|k|的值．25．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，以AB的中点O为圆心，OA为半径的圆交AC于点D，E是BC的中点，连结DE、OE．（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由．（2）求证：BC2＝2CD•OE．【参考答案】*** 一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B A B C C B A C D C BD二、填空题 13．（Ⅰ）23（Ⅱ）取格点,M N ，连接MN ，交OB 于点F ；连接AF ，交DE 于点'E ，点'E 即为所求. 14．52°． 15．ab(a+1)(a-1) 16．20113 17．2x ﹣7 18．15三、解答题19．（1）8（2）△AOB 是等边三角形（3）见解析 【解析】 【分析】（1）由反比例函数系数k 的几何意义解答；（2）根据全等三角形△ACO ≌△BDO （SAS ）的性质推知AO ＝BO ，结合已知条件AO ＝AB 得到：AO ＝BO ＝AB ，故△AOB 是等边三角形；（3）证明：在Rt △ACO 和Rt △BDO 中，根据勾股定理得：AO 2＝AC 2+OC 2，BO 2＝BD 2+OD 2，结合已知条件OA＝OB ，得到：AC 2+OC 2＝BD 2+OD 2，由坐标与图形性质知：2222()()k k a b ab+=+，整理得到：2222()()k k a b b a -=- ，2222222(k a b a b a b --=），易得k b a =，故OC ＝OD ．【详解】解：（1）∵AC ⊥y 轴于点C ，点A 在反比例函数ky x=（k ＞0，x ＞0）的图象上，且△AOC 的面积为4，∴12|k|＝4， ∴k ＝8；（2）由a ＝1，b ＝k ，可得A （1，k ），B （k ，1）， ∴AC ＝1，OC ＝k ，OD ＝k ，BD ＝1， ∴AC ＝BD ，OC ＝OD ．又∵AC ⊥y 轴于点C ，BD ⊥x 轴于点D ， ∴∠ACO ＝∠BDO ＝90°， ∴△ACO ≌△BDO （SAS ）． ∴AO ＝BO ． 又AO ＝AB ， ∴AO ＝BO ＝AB ， ∴△AOB 是等边三角形；（3）证明：在Rt △ACO 和Rt △BDO 中，根据勾股定理得：AO 2＝AC 2+OC 2，BO 2＝BD 2+OD 2， ∵OA ＝OB ，∴AC 2+OC 2＝BD 2+OD 2，即有：2222()()kk a b ab+=+，∴2222()()k k a b b a -=-，2222222(k a b a b a b--=）， 因为0＜a ＜b ，所以a 2﹣b 2≠0，∴2221=k a b，∴1k ab =±，负值舍去，得：1k ab=， ∴kb a=， ∴OC ＝OD ．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数系数k 的几何意义以及全等三角形的判定与性质，利用数形结合解决此类问题，是非常有效的方法．20．(1)A(4，0)，B(0，4)；(2)t＝73或t＝3．【解析】【分析】（1）由直线的解析式，分别让x、y为0，可求得A、B的坐标；（2）由已知易求得三角形ABO的面积，然后用t表示出重合部分的面积，根据题意列出方程即可得到答案．【详解】（1）y＝﹣x+4，令y=0，得x=4，令x=0，得y=4，故A(4，0)，B(0，4)；(2)S△ABO＝12×4×4＝8，当0＜t≤2时，S△MNP＝12t2，如图1由题意得12t2＝8×516，解得此时t＝5(不合题意舍去)，如图2，当2＜t≤4时，S1＝S△ABO﹣S△OMN﹣2S△MAF，即S1＝8﹣12t2﹣2×12(4﹣t)2＝516×8，解得t＝73或t＝3．【点睛】本题考查了一次函数的应用；在求解第二问时，要思考全面，分类讨论的应用是正确解答本题的关键．21．（1）略；（2）325.【解析】【分析】（1）连接AC，OC，如图，先证明OC∥AF，再根据切线的性质得OC⊥EF，从而得到AF⊥EF；（2）先利用OC∥AF得到∠COE＝∠DAB，在Rt△OCE中，设OC＝r，利用余弦的定义得到415rr=+，解得r＝4，连接BD，如图，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，然后根据余弦的定义可计算出AD的长．【详解】解：（1）连接AC，OC，如图，∵CD＝BC，∴CD BC=，∴∠1＝∠2，∵OA＝OC，∴∠2＝∠OCA，∴∠1＝∠OCA，∴OC∥AF，∵EF为切线，∴OC⊥EF，∴AF⊥EF；（2）∵OC∥AF，∴∠COE＝∠DAB，在Rt△OCE中，设OC＝r，∵cos∠COE＝cos∠DAB＝45OCOE=，即415rr=+，解得r＝4，连接BD，如图，∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，在Rt△ADB中，cos∠DAB＝45 ADAB=，∴AD＝45×8＝325．【点睛】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理和解直角三角形．22．4【解析】【分析】先分别求出各不等式的解集，再找到他们的公共解集.【详解】解：533(1)131922x xx x->+⎧⎪⎨-<-⎪⎩①②，由①得：x＞3，由②得：x＜5，∴不等式的解集为：3＜x＜5，∴整数解是：4．【点睛】此题主要考查不等式组的解集，解题的关键是熟知不等式的性质.23．(1)证明见解析；(2)25.【解析】【分析】(1)根据菱形的性质得到AD ∥BC ，推出四边形AECF 是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；(2)根据三角函数的定义得到AE ＝4，BE ＝3，根据勾股定理得到AC ＝45，再根据直角三角形斜边中线的性质即可得到结论．【详解】(1)∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ∥BC ，∵CF ∥AE ，∴四边形AECF 是平行四边形，∵AE ⊥BC ，∴四边形AECF 是矩形；(2)在Rt △ABE 中，∠E=90°，∵cos ∠BAE ＝AE AB =45，AB ＝5， ∴AE ＝4，∴BE ＝22AB AE -=3，∵AB ＝BC ＝5，∴CE ＝8，∴AC ＝22AE EC +=45，∵四边形ABCD 是菱形，AC 、BD 交于点O ，∴AO ＝CO ，∵∠AEC=90°，∴OE ＝12AC=25．【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，解直角三角形，正确的识别图形是解题的关键．24．（1）2y x=-；（2）详见解析【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可求得；（2）根据三角形满足的两个条件画出符合要求的两个三角形即可．【详解】解：（1）∵反比例函数y＝kx（x＜0）的图象过格点P，由图象易知P点坐标是（﹣2，1），∴将P（﹣2，1）代入y＝kx得，k＝﹣2×1＝﹣2，∴反比例函数的解析式为2yx =-；（2）如图所示：△APO、△BPO即为所求作的图形；第三个点可以是（﹣4，0），（﹣2，﹣1），（4，0），（﹣2，3），（﹣6，1），（2，1），（0，2），（0，﹣2）．【点睛】本题考查了作图﹣应用与设计作图，反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数解析式，三角形的判定与性质，正确求出反比例函数的解析式是解题的关键．25．（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）连接OD，根据直角三角形中线性质和圆周角定理可得∠ODE＝90°；（2）连接OE，根据三角形中位线性质证△ABC∽△BDC，BC2＝2CD•OE．【详解】（1）证明：连接OD，∵AB为圆O的直径，∴∠ADB＝90°，在Rt△BDC中，E为斜边BC的中点，∴CE＝DE＝BE＝ BC，∴∠C＝∠CDE，∵OA＝OD，∴∠A＝∠ADO，∵∠ABC＝90°，即∠C+∠A＝90°，∴∠ADO+∠CDE＝90°，即∠ODE＝90°，∴DE⊥OD，又OD为圆的半径，∴DE为圆O的切线；（2）证明：连接OE，∵E是BC的中点，O点是AB的中点，∴OE是△ABC的中位线，∴AC＝2OE∵∠C＝∠C，∠ABC＝∠BDC＝90°，∴△ABC∽△BDC，．BC2＝2CD•OE．；【点睛】考核知识点：三角形中位线，相似三角形判定和性质.。

三角形的重心定理三角形是几何学中最基础且最重要的图形之一，它拥有许多有趣的性质和定理。

在本文中，我们将讨论三角形的一个重要定理——“三角形的重心定理”，并探究其相关性质和应用。

一、三角形的重心定理的表述三角形的重心定理是指：三角形的三条中线交于一点，该点即为三角形的重心。

那么，什么是三角形的中线呢？在三角形ABC中，通过三角形的任意一边和该边对面点的连线，可以将这条边等分为两段，这条连线就是这条边上的中线。

由此可知，三角形ABC有三条中线：AD、BE和CF。

根据三角形的重心定理，这三条中线交于一点G，即重心。

二、三角形重心的性质1. 重心到三角形各顶点的距离相等。

设G为三角形ABC的重心，连接AG、BG和CG。

由三角形的重心定理可知，G是三角形ABC的三条中线的交点。

由此，我们可以得出重心到三个顶点A、B和C的距离相等，即GA = GB = GC。

2. 重心所在的中线是其他两条中线长度的两倍。

由三角形的中线定义可知，AG = 2GD，BG = 2GE，CG = 2GF。

因此，三角形ABC的重心所在的中线，与其余两条中线的长度存在倍数关系。

3. 重心将中线分成1：2的比例。

三角形ABC的重心G将每条中线分成1：2的比例，即AG：GD = BG：GE = CG：GF = 1：2。

三、三角形重心的应用1. 计算三角形的重心坐标对于一个已知的三角形ABC，我们可以通过求出各顶点坐标的平均值来计算重心的坐标。

设A（x1, y1）、B（x2, y2）和C（x3, y3），则重心G的坐标可表示为G（(x1 + x2 + x3)/3, (y1 + y2 + y3)/3）。

2. 判断三角形类型通过计算三角形的重心坐标，我们可以进一步判断三角形的类型。

若重心与三个顶点的距离相等，则三角形为等边三角形；若重心到其中两个顶点的距离相等，则三角形为等腰三角形；若三个顶点到重心的距离不相等，则三角形为一般三角形。

3. 求解三角形面积在三角形的几何学中，可以使用三个顶点的坐标来计算三角形的面积，但这是一种复杂且繁琐的方法。

微积分求三角形重心全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：微积分是数学的一个分支，它主要研究变化的量和变化率。

在几何学中，微积分也有着重要的应用，比如求解三角形的一些特殊性质，比如三角形的重心。

在本文中，我们将通过微积分的方法来求解三角形的重心。

三角形的重心是三条中线的交点，中线是三角形的三个顶点与对边中点连线的中垂线。

三角形的重心有很多性质，比如它是三角形内部离三个顶点最近的点，也是三角形内的平衡点，质量相等的三个质点在三角形内部移动，最终都会聚集到重心处。

求解三角形的重心是很有意义的。

现在我们来考虑如何利用微积分的方法来求解三角形的重心。

假设我们有一个三角形ABC，其中A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）分别是三角形的三个顶点。

我们可以通过以下步骤来求解三角形的重心。

1.我们需要求解三角形的中线方程。

三角形的中线通过顶点和对边的中点，因此中线的方程可以表示为三角形的两个顶点的中点和这两个顶点之间的斜率。

假设P（x，y）为中线的交点，中线AB的方程为y = k1*x + b1，中线BC的方程为y = k2*x + b2，中线AC的方程为y = k3*x + b3，其中k1、k2、k3为中线的斜率，b1、b2、b3为中线的截距。

根据中线的性质，我们可以得到以下方程组：(x1+x2)/2 = (k1*x + b1 + k2*x + b2)/2(y1+y2)/2 = (k1*x + b1 + k2*x + b2)/22.解方程组得到中线的交点坐标（x，y），即为三角形的重心坐标。

这就是利用微积分的方法来求解三角形的重心的步骤。

通过求解中线的方程，我们可以得到三角形的重心的坐标。

在实际应用中，我们可以使用计算机软件来简化这个过程，使得求解更加高效。

微积分是一种强大的工具，可以帮助我们求解复杂的几何问题，比如三角形的重心。

通过掌握微积分的方法，我们可以更好地理解几何学中的一些重要性质，为相关问题的求解提供更加有效的方法。

向量三角形重心公式
在咱们的数学世界里，向量三角形重心公式可是个相当重要的小宝贝呢！
先来说说啥是向量三角形。

简单来讲，就是由三个有方向又有长度的向量组成的三角形。

那这重心又是什么呢？就好比是三角形的“平衡点”。

向量三角形重心公式是：若三角形三个顶点的坐标分别为 A(x1,
y1) ，B(x2, y2) ，C(x3, y3) ，那么重心 G 的坐标就是((x1 + x2 + x3) / 3, (y1 + y2 + y3) / 3) 。

咱们来想象一下，有一次我在教室里给学生们讲这个公式，我在黑板上画了一个歪歪扭扭的三角形，标上了三个顶点的坐标。

有个调皮的小家伙举起手说：“老师，这三角形长得太奇怪啦，重心能准吗？”我笑着回答他：“宝贝儿，不管这三角形长得多怪，这个公式都能帮咱们找到它的重心哟！”然后我一步一步带着他们推导这个公式，看着他们从一脸迷茫到逐渐露出恍然大悟的表情，那感觉可太有成就感啦！
再深入点说，这个公式在解决很多实际问题中都大有用处。

比如说在物理学中，计算物体的重心位置；在工程设计里，确定结构的平衡中心点。

学习这个公式的时候，可别死记硬背哟！要多动手画画图，多做做练习题，感受一下其中的规律。

就像搭积木一样，一块一块地积累，最后就能搭出漂亮的“知识城堡”。

有时候，我走在路上，看到那些三角形的建筑或者物体，都会不自觉地在心里用这个公式去算一算它们的重心位置。

这仿佛已经成为了我的一种习惯，也让我更加深刻地理解了数学在生活中的无处不在。

总之，向量三角形重心公式虽然看起来有点小复杂，但只要咱们用心去琢磨，多练习，它就能成为咱们解题的得力小助手！相信大家都能把它掌握得妥妥的，在数学的海洋里畅游无阻！。

微积分可以用来求三角形的重心，但通常我们不需要微积分来求三角形的重心，因为三角形的重心是一个几何概念，其位置可以通过简单的几何方法确定。

三角形的重心是三条中线的交点，也是将三角形分为面积相等的六个小三角形的点。

如果三角形的三个顶点分别是(A(x_1, y_1)), (B(x_2, y_2)), 和(C(x_3, y_3))，那么重心的坐标(G(x, y)) 可以通过以下公式计算：[ x = \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3} ]
[ y = \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3} ]
然而，如果你想要用微积分的方法来解决这个问题，你可以考虑三角形作为平面区域，并使用二重积分来计算面积。

然后，你可以找到使这个面积最大的点，这个点就是三角形的重心。

假设三角形由函数(y = f(x)) 和直线(x = a), (x = b), 和(y = 0) 围成。

三角形的面积(S) 可以通过以下二重积分计算：
[ S = \int_a^b \int_0^{f(x)} dy , dx ]
要找到使面积最大的点，即重心，你可以对(S) 关于(x) 和(y) 求偏导数，并令它们等于零。

然后解这个方程组来找到(x) 和(y) 的值。

但是，这种方法通常比简单的几何方法更复杂，而且不必要。

在实际应用中，我们通常会使用几何方法来找到三角形的重心。