江苏省—高三数学小练习及答案23

扬州市2023届高三考前调研测试数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集}{0,1,2,3,4,5,6U A B ==，{}1,3,5UAB =，则B =（ ）．A ．{}1,0,2,4,6-B ．{}0,2,4,6C ．{}1,2,4,6-D ．{}2,4,62．已知空间内不过同一点的三条直线,,m n l ，则“,,m n l 两两相交”是“,,m n l 在同一平面”的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件3．以点π(,0)2k ()k ∈Z 为对称中心的函数是（ ）．A ．sin y x =B ．cos y x =C ．tan y x =D ．|tan |y x =4．某教学楼从二楼到三楼的楼梯共10级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，某同学从二楼到三楼准备用7步走完，则第二步走两级台阶的概率为（ ）． A ．17B ．27C ．37D ．476．复数i z x y =+（,x y ∈R ，i 为虚数单位）在复平面内对应点(,)Z x y ，则下列为真命题的是（ ）．A ．若|1||1|z z +=-，则点Z 在圆上B ．若|1||1|=2z z ++-，则点Z 在椭圆上C ．若|1||1|=2z z +--，则点Z 在双曲线上D ．若|1|=|1|x z +-，则点Z 在抛物线上7．已知函数()f x 的导函数为()g x ，()f x 和()g x 的定义域均为R ，()g x 为偶函数，()sin x f x e x --也为偶函数，则下列不等式一定成立的是（ ）．A ．(0)0f =B ．(0)0g =C ．()(e )x f x f <D ．()(e )x g x g <8．已知向量(1,)a x y =++，(1,)b x y =-，满足a b ⊥的动点(,)M x y 的轨迹为E ，经过点(2,0)N 的直线l 与E 有且只有一个公共点A ，点P 在圆22(1x y +-=上，则A P 的最小值为（ ）．A ．3-B 1C ．2D ．1二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知两个离散型随机变量X ，Y ，满足21Y X =+，其中X 的分布列如下：A ．16a =B ．23b =C ．()2E Y =D ．4()3D Y =10．已知函数32()()f x x x x a a =--+∈R 的图象为曲线C ，下列说法正确的有（ ）． A ．a ∀∈R ，()f x 都有两个极值点 B ．a ∀∈R ，()f x 都有三个零点C ．a ∀∈R ，曲线C 都有对称中心D ．a ∃∈R ，使得曲线C 有对称轴11．定义：在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫作该数列的一次“美好成长”．将数列1，2进行“美好成长”，第一次得到数列1，2，2；第二次得到数列1，2，2，4，2；；设第n 次“美好成长”后得到的数列为1221,,,,,k x x x ，并记()122log 12k n a x x x ⨯=⨯⨯⨯⨯，则（ ）．A ．25a =B ． 21n k =+C ．131n n a a +=-D ．数列13n n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为112231n +-+12．圆柱1OO 高为1，下底面圆O 的直径AB 长为2，1BB 是圆柱1OO 的一条母线，点,P Q 分别在上、下底面内（包含边界），下列说法正确的有（）． A ．若3PA PB +=，则P 点的轨迹为圆B ．若直线OP 与直线1OB 成45︒，则P 的轨迹是抛物线的一部分C ．存在唯一的一组点,P Q ，使得AP PQ ⊥D ．1AP PQ QB ++的取值范围是+三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．若()20232202301220235x a a x a x a x +=++++，3012202T a a a a =++++，则T 被5除所得的余数为 ．14．圆O （O 为坐标原点）与直线:2l x y +=相切，与直线l 垂直的直线m 与圆O 交于不同的两点P 、Q ，若0OP OQ ⋅<，则直线m 的纵截距的取值范围是 ．15．已知正四棱锥的侧面是边长为3的正三角形，它的侧棱的所有三等分点都在同一个球面上，则该球的表面积为________．16．若直线l 是曲线ln y x =的切线，也是曲线2x y e -=的切线，则直线l 的方程为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在①233n n S a =-；②13a =，313log log 1n n a a +=+这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题． 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足________，139,n n n b n a *+-=∈N ． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若存在正整数0n ，使得0n n b b ≥对*n ∀∈N 恒成立，求0n 的值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 18．随着网络技术的迅速发展，各种购物群成为网络销售的新渠道．在凤梨销售旺季，某凤梨基地随机抽查了100个购物群的销售情况，各购物群销售凤梨的数量情况如下：（2）假设所有购物群销售凤梨的数量X 服从正态分布2)(,N μσ，其中μ为（1）中的平均数，212100σ=．若该凤梨基地参与销售的购物群约有1000个，销售凤梨的数量在[266,596)（单位：盒）内的群为“一级群”，销售数量小于266盒的购物群为“二级群”，销售数量大于等于596盒的购物群为“优质群”．该凤梨基地对每个“优质群”奖励1000元，每个“一级群”奖励200元，“二级群”不奖励，则该凤梨基地大约需要准备多少资金？（群的个数按四舍五入取整数）附：若X 服从正态分布2~(,)X N μσ，则()0.683P X μσμσ-<<+≈，(22)0.954P X μσμσ-<<+≈，(33)0.997P X μσμσ-<<+≈．19．在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，222sin 2sin 2sin C B A =-． （1）求证：4cos c a B =；（2）延长BC 至点D ，使得AD BD =，求CAD ∠的最大值．20．如图，平行六面体1111ABCD A B C D -的体积为6，截面11ACC A 的面积为6． （1）求点B 到平面11ACC A 的距离；（2）若2AB AD ==，60BAD ∠=︒，1AA =，求直线1BD 与平面11CC D D 所成角的正弦值．21．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左顶点为A ，过右焦点F 且平行于y 轴的弦3PQ AF ==．（1）求△APQ 的内心坐标；（2）是否存在定点D ，使过点D 的直线l 交C 于,M N ，交PQ 于点R ，且满足MR ND MD RN ⋅=⋅？若存在，求出该定点坐标，若不存在，请说明理由．22．已知函数()sin ln(1)()f x a x x a =-+∈R ． （1）若1a =-，求证：0x ∀>，()20f x x +>；（2）当1a ≥时，对任意[0,]2kx ∈，都有()0f x ≥，求整数k 的最大值．扬州市2023届高三考前调研测试数学参考答案1．B 2．A 3．C 4．C 5．B 6．D 7．C 8．A9．ABD 10．AC 11．ACD 12．BC 13．1 14．( 15．10π 16．1y x =-或1y x e=17．【解析】（1）若选择条件①：233n n S a =- 11233n n S a ++∴=-，则112233n n n n S S a a ++-=-即13n n a a +=， ……………………3分 令1n =，则11233S a =-，解得130a =≠ 13n na a +∴= {}n a ∴是以3为首项，3为公比的等比数列 3n n a ∴= ……………………5分若选择条件②：13133,log log 1n n a a a +=-= {}3log n a ∴是以31log 1a =为首项，1为公差的等差数列()3log 111n a n n ∴=+-⨯= ……………………3分 3n n a ∴= ……………………5分 （2）∴13933n n n n n b a +--== ……………………6分 11113372333n n n n n n n nb b ++++----=-= ……………………7分 ∴当113,0n n n b b +≤≤->，即1234b b b b <<<；当14,0n n n b b +≥-<，即4567b b b b >>>>； ……………………9分∴当04n =时，0n n b b ≥对*n ∀∈N 恒成立． ……………………10分18．【解析】（1）由题意得：1222032100m +++=，解得18m =． ……………………2分 故平均数为1(1501225018350204503255018)376100⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． ……………………4分 （2）由题意，376μ=，且266376110μσ=-=-，5963762202μσ=+=+，故1(596)(2)(10.954)0.0232P X P X μσ>=>+=⨯-=，所以“优质群”约有10000.02323⨯=个；11(266596)(2)0.6830.9540.818522P X P X μσμσ≤<=-<<+=⨯+⨯=，所以“一级群”约有10000.8185818.5819⨯=≈个； ……………………9分 所以需要资金为 231000819200186800⨯+⨯=，故至少需要准备186800元． ……………………12分 19．【解析】（1）222sin 2sin 2sin C B A =-∴在△ABC 中，由正弦定理得22222c b a =- ………………2分2222cos b a c ac B =+- 2222222224cos c a b a c ac B ∴+==+- 4cos c a B ∴=………………4分 （2）∴在△ABC 中，由正弦定理得：sin 4sin cos C A B = (显然角B 为锐角) 在△ABC 中，()sin sin C A B =+ sin cos cos sin 4sin cos A B A B A B ∴+= cos sin 3sin cos A B A B ∴=角B 为锐角 ∴角A 也为锐角 tan 3tan B A ∴= ……………………8分AD BD =B BAD A CAD ∴∠=∠=∠+∠CAD B A ∴∠=- ……………………9分()tan tan tan tan 1tan tan B ACAD B A B A-∴∠=-=+由（1）可知tan 3tan B A =，π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭22tan tan 13tan 2133tan tan A CAD A A A∴∠=+=≤=+ ……………………11分 当且仅当13tan tan A A=，即πtan 36A A ==时取等号． 此时DAC ∠的最大值为π6． ……………………12分 20．【解析】（1）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，111ABC A B C -是三棱柱，11111111121233B ACC A ABC A B C ABCD A B C D V V V ---===， ………………………………2分设点B 到平面11ACC A 的距离为d ，则1111116233B ACC A ACC A V S d d -=⋅=⨯=，所以1d =，即点B 到平面11ACC A 的距离为1． ………………………………4分（2）在ABCD 中，2,60AB AD BAD ==∠=︒，所以ABCD 是菱形，连接BD 交AC 于O ，则1BO =， 由（1）知点B 到平面11ACC A 的距离为1，所以BO ⊥平面11ACC A ． ………6分 设点1A 在直线AC 上射影为点H，11116ACC A SAC A H H =⋅==，则1A H =1BO A H ⊥，AH === 所以O 和H 重合，即1A O AO ⊥． ………………………8分以O 为坐标原点，1,,OA OB OA 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则1(0,1,0),(3,0,0),(0,1,0),(0,0,3)B A D A -，根据11(AA DD ==-，(AB DC ==-，则1(D-1(3,2,BD =--，设平面11CC D D 的一法向量为(,,)n x y z =，则13030DD n DC n y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取1x =，则(1,3,1)n =， ………………10分 设直线1BD 与平面11CC D D 所成角为α，则111sin |cos ,||||||||BD n BD n BD n α⋅-=<>===， 所以直线1BD 与平面11CC D D 所成角正弦值为5． ………………12分 21．【解析】（1）22222,32,1b a b c a c a b c a=+=+=∴=== ∴椭圆C 的标准方程为22143x y +=， ………………2分 不妨取33(1,),(1,),(2,0)22P Q A --，则32AP PF ==； 因为△APQ 中，AP AQ =，所以△APQ 的内心在x 轴，设直线PT 平分APQ ∠，交x 轴于T ，则T 为△APQDCB A的内心，且AT AP TF PQ ==AT =，则T ； …………4分 （2）椭圆和弦PQ 均关于x 轴上下对称∴若存在定点D ，则点D 必在x 轴上∴设(,0)D t ………………6分 设直线l 方程为()y k x t =-，1122(,),(,)M x y N x y ，直线方程与椭圆方程联立22()143y k x t x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得22222(43)84(3)0k x k tx k t +-+-=，则22248(3)0k k t ∆=+->，212284+3k tx x k +=，221224(3)43k t x x k -=+① ………………8分点R 的横坐标为1，M R N D 、、、均在直线l 上，MR ND MD RN ⋅=⋅∴221212(1)(1)()(1)()(1)k x t x k t x x +--=+-- ………………10分12122(1)()20t t x x x x ∴-+++= ∴2222284(3)2(1)+204343k t k t t t k k --+⨯=++，整理得4t =，因为点D 在椭圆外，则直线l 的斜率必存在 ∴存在定点(4,0)D 满足题意． ………………12分 22．【解析】（1）1a =-时，设()()2sin ln(1)2g x f x x x x x =+=--++，则1'()cos 21g x x x=--++， 011x x >∴+> 1(1,0)1x ∴-∈-+cos [1,1]x ∈- 1cos 201x x ∴--+>+，即'()0g x >在(0,)+∞上恒成立 ()g x ∴在(0,)+∞上单调增 又(0)0g = ()(0)0g x g ∴>=，即：0x ∀>，()20f x x +>；………………4分 （2）1a =时，当4k =时，(2)sin 2ln30f =-<，所以4k <． ………………5分 下证3k =符合．3k =时，当3[0,]2x ∈时，sin 0x >，所以当1a ≥时，()sin ln(1)sin ln(1)f x a x x x x =-+≥-+．记()sin ln(1)h x x x =-+，则只需证()sin ln(1)0h x x x =-+≥对3[0,]2x ∈恒成立．1'()cos 1h x x x =-+，令1()cos 1x x x φ=-+，则21'()sin (1)x x x φ=-++在π(0,)2递减， 又2π1'(0)10,'()102(1)2φφπ=>=-+<+，所以存在1(0,)2x π∈，使得'1()0x φ=， 则11(0,),'()0,()x x x x φφ∈>在1(0,)x 递增，11π(,),'()0,()2x x x x φφ∈<在1π(,)2x 递减；又1(0)0,()0212πφφπ==-<+，所以存在21π(,)2x x ∈使得2()0x φ=，且22π(0,),()0,(,),()02x x x x x x φφ∈>∈<， 所以()h x 在2(0,)x 递增，在2π(,)2x 递减，又ππ(0)0,()1ln(1)022h h ==-+>，所以()0h x ≥对π[0,]2x ∈恒成立因为3π[0,][0,]22⊆，所以3k =符合．综上，整数k 的最大值为3． ………………12分。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求2023-2024学年江苏省盐城中学高三年级模拟考试数学试题的。

1.若集合，，则( )A. B.C.D.2.若是关于x 的 实系数方程的一个虚数根，则( )A. ， B. ，C. ，D. ，3.若，则( )A. B.C.D.4.已知，则“”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.若函数在R 上无极值，则实数a 的取值范围( )A. B.C.D. 6.设，是双曲线的两个焦点，O 为坐标原点，P 是C 的左支上一点，且，则的面积为( )A.B.C. 8D.7.数列中，，，使对任意的为正整数恒成立的最大整数k 的值为( )A. 1209B. 1211C. 1213D. 12158.对于一个古典概型的样本空间和事件A ，B ，C ，D ，其中，，，，，，，，则( )A. A 与B 不互斥B. A 与D 互斥但不对立C. C 与D 互斥D. A 与C相互独立二、多选题：本题共4小题，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知，则( )A. B.C. D.10.已知函数的一条对称轴为，则( )A. 的最小正周期为B.C. 在上单调递增D.11.平行六面体中，各棱长均为2，设，则( )A. 当时，B. 的取值范围为C. 变大时，平行六面体的体积也越来越大D. 变化时，和BD总垂直12.已知曲线C是平面内到定点和定直线的距离之和等于4的点的轨迹，若在曲线C上，则下列结论正确的是( )A.曲线C关于x轴对称B. 曲线C关于y轴对称 C. D.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.某产品有5件正品和3件次品混在了一起产品外观上看不出有任何区别，现从这8件产品中随机抽取3件，则取出的3件产品中恰有1件是次品的概率为__________.14.已知单位向量，，满足，则的值为__________.15.在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列，“0，1数列”是每一项均为0或1的数列，设C是一个“0，1数列”，定义数列为数列C中每个0都变为“1，0，1”，每个1都变为“0，1，0”所得到的新数列.例如数列，1，则数列，0，1，0，1，已知数列，1，0，1，0，记数列，，2，3，，则数列的所有项之和为__________;数列的所有项之和为__________.16.在中，，P为内部一动点含边界，在空间中，若到点P的距离不超过1的点的轨迹为L，则几何体L的体积等于__________.四、解答题：本题共6小题，共70分。

2023-2024学年江苏省镇江市高三下学期4月月考数学模拟试题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合(){}{ln 10},21,x A x x B y y x A=-<==-∈，则A B ⋃=（）A.()1,2 B.()1,3 C.()1,3- D.()1,-+∞【正确答案】B【分析】化简集合,A B ，根据并集的定义求A B ⋃.【详解】因为不等式()ln 10x -<的解集为()1,2，所以()1,2A =，函数21,x y x A =-∈的值域为()1,3，所以()1,3B =，所以()1,3A B = ，故选：B.2.函数()πln cos(2)2f x x x =+的图象可能为（）A. B.C. D.【正确答案】A【分析】先利用函数的奇偶行排除选项B,D ，再利用特殊值即可求解.【详解】因为函数()πln cos(2)ln sin 22f x x x x x =+=-，定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，且()ln sin(2)ln sin 2()f x x x x x f x -=---==-，所以函数()f x 为奇函数，图像关于原点对称，故排除选项B,D ；当(0,1)x ∈时，ln 0x <，sin 20x >，所以()ln sin 20f x x x =->，故排除选项C .故选.A3.已知,αβ为两个不同的平面，,m n 为两条不同的直线，则下列说法正确的是（）A.若//,,m n αβαβ⊂⊂，则//m nB.若,m αβα⊥⊥，则//m βC.若,,m n m n αβ⊥⊥⊥，则αβ⊥D.若,//m αβα⊥，则m β⊥【正确答案】C【分析】根据面面平行的性质定理可得选项A 的正误；考虑直线m 是否在平面β内可得选项B 的正误；选项C 根据面面垂直的判定定理可得正误；选项D 考虑直线m 与平面β的位置关系可得正误.【详解】对于选项A ，缺少,m n 共面的条件，因此得不到//m n ，直线,m n 还可以互为异面直线，故A 错误；对于选项B ，直线m 还可以在平面β内，故B 错误；对于选C ，由,,m n m n αβ⊥⊥⊥得,m n 分别为,αβ的垂线，两个平面的垂线互相垂直则这两个平面互相垂直，故C 正确；对于选项D ，直线m 与平面β或平行，或相交，或直线在平面内，故D 错误.故选：C.4.已知甲盒中有2个白球，2个红球，1个黑球，乙盒中有4个白球，3个红球，2个黑球，现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，记事件A =“甲盒中取出的球与乙盒中取出的球颜色不同”，则()P A =（）A.712B.2945 C.2150D.2950【正确答案】D【分析】分类讨论甲盒中随机取出一个球的颜色，根据题意结合独立事件的概率乘法公式运算求解.【详解】若甲盒中随机取出一个球为白球的概率为25，放入乙盒，此时乙盒中有5个白球，3个红球，2个黑球，再取出一个非白球的概率为51102=；若甲盒中随机取出一个球为红球的概率为25，放入乙盒，此时乙盒中有4个白球，4个红球，2个黑球，再取出一个非红球的概率为63105=；若甲盒中随机取出一个球为黑球的概率为15，放入乙盒，此时乙盒中有4个白球，3个红球，3个黑球，再取出一个非黑球的概率为710；故()21231729525551050P A =⨯+⨯+⨯=.故选：D.5.已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，半焦距为c ．在椭圆上存在点P 使得1221sin sin a cPF F PF F =∠∠，则椭圆离心率的取值范围是（）A.)1,1B.)1,1-C.()1-D.(1⎤-⎦【正确答案】B【分析】由正弦定理及椭圆定义得11211221sin sin 2PF PF PF F c a PF F PF a PF ∠===∠-，得12acPF a c=+，结合()1,PF a c a c ∈-+，得关于e 的不等式，从而求出e 的范围.【详解】由1221sin sin a c PF F PF F =∠∠，得11211221sin sin 2PF PF PF F c a PF F PF a PF ∠===∠-，得12ac PF a c=+，又()1,PF a c a c ∈-+，则2aca c a c a c-<<++，∴()2222a c ac a c -<<+，即2210e e +->，又()0,1e ∈，∴)1,1e ∈-．故选：B ．6.已知函数()()2sin (0,R)f x x ωϕωϕ=+>∈在区间7π51π,1260⎛⎫⎪⎝⎭上单调，且满足74π12π3f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.若函数()f x 在区间213,36ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恰有5个零点，则ω的取值范围为（）A.810,33⎛⎤⎥⎝⎦ B.830,311⎛⎤⎥⎝⎦C.510,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.530,311⎛⎤ ⎥⎝⎦【正确答案】B 【分析】由74π12π3f f ⎛⎫⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得出函数()f x 的对称中心，结合已知的单调区间，限定ω的范围，由函数()f x 在区间213,36ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恰有5个零点，再得到ω的一个范围，取两个范围的交集即可.【详解】()f x 在区间7π51π,1260⎛⎫⎪⎝⎭上单调，7π3π3π7π51π,,12441260⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭f f ，()f x \的对称中心为2π,03⎛⎫⎪⎝⎭，且51π2π11π2π7π5π6036031260-=>-=，T 11π460∴≥，即1115T π≥，即2π11π15ω≥，30011ω∴<≤.又()f x 的对称中心为2π,03⎛⎫⎪⎝⎭，2π03⎛⎫∴= ⎪⎝⎭f ，()f x 在区间213,36ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恰有5个零点，相邻两个零点之间的距离为2T ，五个零点之间即2T ，六个零点之间即52T ，只需2π13π2π523632T T +<≤+即可，即81033ω<≤，又30011ω<≤ ，830311ω∴<≤.故选：B .7.已知ABO 中，1OA =，2OB =，1OA OB ⋅=-，过点O 作OD 垂直AB 于点D ，则（）A.5277OD OA OB=+B.3477OD OA =+C.2577OD OA OB=+ D.4377OD OA =+ 【正确答案】A【分析】根据1OA OB ⋅=-求得120AOB ︒∠=，再用余弦定理求得AB =，利用等面积法求得7OD =，勾股定理求得7AD=，从而27AD AB = ，最后分解为已知向量即可.【详解】cos 2cos 1,OA OB OA OB AOB AOB ⋅=∠=∠=- 即1cos 2AOB ∠=-，又因为0180AOB ︒︒<∠<，所以120AOB ︒∠=.在AOB 中，根据余弦定理可得：2222cos1207AB OA OB OA OB ︒=+-⋅⋅=，即AB =，根据三角形面积公式11sin12022AOB S AB OD OA OB ︒=⋅=⋅⋅ ，解得OD =，7AD ∴==，27AD AB ∴= ，()22527777OD OA AD OA AB OA OB OA OA OB ∴=+++-===+ .故选：A8.若函数()ln f x x =与()()10g x ax a =->的图像有且仅有一个交点，则关于x 的不等式()433x f x a --<-的解集为（）A.(),4-∞ B.()4,+∞ C.()3,4 D.()3,5【正确答案】C【分析】将条件()f x 与()g x 只有1个交点转换为函数()ln 1h x x ax =-+只有1个零点，参数分离求出a ，再构造函数()()4ln 331x k x x -=-+-，利用其单调性求解即可.【详解】()f x 与()g x 只有1个交点等价于函数()ln 1h x x ax =-+只有1个零点，即ln 1x a x+=只有1个解，令()ln 1x p x x +=，则()2ln xp x x-='，()10p '=，当01x <<时，()()0,p x p x '＞单调递增，当1x >时，()()0,p x p x '<单调递减，并且()0p x >，所以()()max 11p x p ==，()2ep -<，函数()p x 的大致图像如下图：0,1a a >∴= ，原不等式为：()4ln 313x x --<-，即()4ln 3310x x --+-<，令()()4ln 331x k x x -=-+-，显然()k x 在3x >时是增函数，又()40k =，∴()0k x <的解集是34x <<.故选：C.二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9.已知事件A ，B 满足()0.5P A =，()0.2P B =，则（）A.若B A ⊆，则()0.5P AB =B.若A 与B 互斥，则()0.7P A B +=C.若A 与B 相互独立，则()0.9P AB = D.若()|0.2P B A =，则A 与B 相互独立【正确答案】BD【分析】对于A ，由题意可得()()P AB P B =，从而即可判断；对于B ，由互斥事件的概率计算公式计算即可；对于C ，先求得()0.8P B =，再根据独立事件的计算公式计算即可；对于D ，判断()()()P AB P A P B =⋅是否成立即可.【详解】解：对于A ，因为()0.5P A =，()0.2P B =，B A ⊆，所以()()0.2P AB P B ==，故错误；对于B ，因为A 与B 互斥，所以()()()0.50.20.7P A B P A P B +=+=+=，故正确；对于C ，因为()0.2P B =，所以()10.20.8P B =-=，所以()0.50.80.4P AB =⨯=，故错误；对于D ，因为()|0.2P B A =，即()0.2()P AB P A =，所以()0.2()0.1P AB P A =⨯=，又因为()()0.50.20.1P A P B ⨯=⨯=，所以()()()P AB P A P B =⋅，所以A 与B 相互独立，故正确.故选：BD10.设n S 是公差为d （0d ≠）的无穷等差数列{}n a 的前n 项和，则下列命题正确的是（）A.若0d <，则1S 是数列{}n S 的最大项B.若数列{}n S 有最小项，则0d >C.若数列{}n S 是递减数列，则对任意的：*N n ∈，均有0nS <D.若对任意的*N n ∈，均有0n S >，则数列{}n S 是递增数列【正确答案】BD【分析】取特殊数列判断A ；由等差数列前n 项和的函数特性判断B ；取特殊数列结合数列的单调性判断C ；讨论数列{}n S 是递减数列的情况，从而证明D.【详解】对于A ：取数列{}n a 为首项为4，公差为2-的等差数列，2146S S =<=，故A 错误；对于B ：等差数列{}n a 中，公差0d ≠，211(1)(222n n n d dS na d n a n -=+=+-，n S 是关于n 的二次函数.当数列{}n S 有最小项，即n S 有最小值，n S 对应的二次函数有最小值，对应的函数图象开口向上，0d >，B 正确；对于C ：取数列{}n a 为首项为1，公差为2-的等差数列，22n S n n =-+，122(1)2(1)(2)210n n S n n n n S n =-+++-+---=+<＋，即1n n S S <＋恒成立，此时数列{}n S 是递减数列，而110S =>，故C 错误；对于D ：若数列{}n S 是递减数列，则10(2)n n n a S S n -=-<≥，一定存在实数k ，当n k >时，之后所有项都为负数，不能保证对任意*N n ∈，均有0n S >.故若对任意*N n ∈，均有0n S >，有数列{}n S 是递增数列，故D 正确．故选：BD11.已知圆22:4O x y +=，下列说法正确有（）A.对于R m ∀∈，直线()()211740+++--=m x m y m 与圆O 都有两个公共点B.圆O 与动圆22:()()4C x k y -+-=有四条公切线的充要条件是2k >C.过直线40x y +-=上任意一点P 作圆O 的两条切线,PA PB （,A B 为切点），则四边形PAOB 的面积的最小值为4D.圆O 上存在三点到直线20x y +-=距离均为1【正确答案】BC【分析】对于选项A ，转化为判断直线恒过的定点与圆的位置关系即可；对于选项B ，转化为两圆外离，运用几何法求解即可；对于选项C ，由2PAOB OAP S S == ，转化为求||OP 最小值即可；对于选项D ，设圆心到直线的距离为d ，比较r d -与1的关系即可.【详解】对于选项A ，因为(21)(1)740m x m y m +++--=，即：(27)40m x y x y +-++-=，所以2703401x y x x y y +-==⎧⎧⇒⎨⎨+-==⎩⎩，所以直线恒过定点(3,1)，又因为22314+>，所以定点(3,1)在圆O 外，所以直线(21)(1)740m x m y m +++--=与圆O 可能相交、相切、相离，即交点个数可能为0个、1个、2个.故选项A 错误；对于选项B ，因为圆O 与动圆C 有4条公切线，所以圆O 与圆C 相离，又因为圆O 的圆心(0,0)O ，半径12r =，圆C 的圆心()C k ，半径22r =，所以12||OC r r >+4>，解得.||2k >故选项B 正确；对于选项C ，1122||||2||22PAOB OAP S S OA PA OA ==⨯⨯⨯=⨯⨯=△，又因为O 到P 的距离的最小值为O 到直线40x y +-=的距离，即：min ||OP ==所以四边形PAOB 的面积的最小值为4=.故选项C 正确；对于选项D ，因为圆O 的圆心(0,0)O ，半径12r =，则圆心O 到直线20x y +-=的距离为d ==所以121r d -=<，所以圆O 上存在两点到直线20x y +-=的距离为1.故选项D 错误.故选：BC.12.如图，点M 是棱长为l 的正方体1111ABCD A B C D -中的侧面11ADD A 上的一个动点（包含边界），则下列结论正确的是（）A.不存在点M 满足CM ⊥平面1C BDB.存在无数个点M 满足1CM AD ⊥C.当点M 满足1113A M A D =uuuu r uuu r 时，平面1BD M 截正方体所得截面的面积为2D.满足12MD MD =的点M 的轨迹长度是2π9【正确答案】BCD【分析】对于A ：根据线面垂直关系可得11AC C BD ⊥平面，分析判断；对于B ：根据线面垂直关系可得111AD A DCB ⊥平面，分析判断；对于C ：根据平行线的性质以及利用空间向量分析运算求截面，进而可求截面面积；对于D ：利用空间向量求点M 的轨迹，进而求点M 的轨迹长度.【详解】对于选项A ：连接11,AC AC ，因为四边形ABCD 是正方形，所以BD AC ⊥，∵1AA ABCD ⊥平面，且BD ⊂平面ABCD ，所以1A A BD ⊥，1AC A A A ⋂=，1,AC A A ⊂平面1A AC ，所以BD ⊥平面11A ACC ，且1AC ⊂平面11A ACC ，可得1BD AC ⊥，同理可证11BC AC ^，1BD BC B = ，1,BD BC ⊂平面1C BD ，所以11AC C BD ⊥平面，又点M 是面11ADD A 上的一个动点（包含边界），所以当M 与A 1重合时，1,CM C BD ⊥平面故A 错误；对于选项B ：连接11,A D B C ，11CD ADD A ⊥侧面，111AD ADD A ⊂侧面，则1CD AD ⊥，又因为11AD A D ⊥，1A D DC D = ，111,A D DC A DCB ⊂平面，所以111AD A DCB ⊥平面，可知当M 在线段1A D 上时，有1,CM AD ⊥故存在无数个点满足1CM AD ⊥，故B 正确；对于选项C ：延长1D M 交1D E 于点E ，∵1113A M A D =uuuu r uuu r，则M 为线段1A D 靠近点1A 的三等分点，且1A A 1D D ，则11112A E A M D D DM ==，则E 为线段1A A 的中点，如图，以D 点为原点建立空间直角坐标系，则()()110,0,1,1,1,0,1,0,2D B E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，可得()111,1,1,0,1,2BD BE ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭uuu r uur ，设平面1BD M 的法向量为(),,n x y z = ，则1012n BD x y z n BE y z ⎧⋅=--+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令2z =，则1,1y x ==，即()1,1,2n =，设平面11BD M CC F =I ，点()0,1,F c ，则()1,0,BF c =-uu u r，则120n BF c ⋅=-+=r uu u r，解得12c =，则10,1,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故()1,1,0EF =- ，可得()()()11111100BD EF ⋅=-⨯-+-⨯+⨯=uuu r uu u r ，即1BD EF ⊥uuu r uu u r ，且1BD EF ===uuu r uu u r故截面1BED F面积111222S BD EF =⨯⨯==uuu r uu u r ，故C 正确；对于选项D ：因为正方体1111ABCD A B C D -的棱长为l ，所以设()()()1,0,,0,0,0,0,0,1,M x z D D 所以(),0,MD x z =-- ，()1,0,1MD x z =--，因为12MD MD =)01,01,x z =≤≤≤≤化简得：2244220,13933x z x z ⎛⎫⎛⎫+-=≤≤≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以点M 的轨迹是一段以40,0,3N ⎛⎫ ⎪⎝⎭为圆心，半径为23的圆弧，设圆弧与111,A D DD 分别交于点,P Q ，取0x =，则23z =，即23DQ =；取1z =，则33x =，即1D P =；则111,33PD D N ==，则111tan PD PND D N ∠==且1π0,2PND ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，即1π3PND ∠=，∴轨迹长度是2π2π339⨯=，故D 正确．故选：BCD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.设平面向量a ，b 的夹角为60︒，且2a b == ，则a 在b上的投影向量是______.【正确答案】12b【分析】根据题意，求得cos 601a = ，进而求得a 在b 上的投影向量，得到答案.【详解】由题意知，平面向量a ，b的夹角为60︒，且2a b == ，则cos 601a =，所以则a 在b 上的投影向量为112b b b ⨯=.故12b 14.若直线l ：y kx b =+为曲线()e xf x =与曲线()2e ln g x x =⋅的公切线（其中e 为自然对数的底数，e 2.71828≈⋯），则实数b=___________.【正确答案】0或2e -##2e -或0【分析】设切点坐标，求导，根据切线方程的求解，分别得到()f x ，()g x 的切线方程，由两条切线方程相同可联立方程即可求出切点横坐标，进而可求解.【详解】根据切线方程的求解，联立方程即可解得切点，进而可求b .设l 与()f x 的切点为()11,x y ，则由()e x f x '=，有()111:e 1e x xl y x x =+-.同理，设l 与()g x 的切点为()22,x y ，由()2e g x x'=，有()2222e :e ln 1l y x x x =+-.故()()1122212e e 1e e ln 1,x x x x x ⎧=⎪⎨⎪-=-⎩，①②由①式两边同时取对数得：12212ln ln 1=1x x x x =-⇒--③，将③代入②中可得：()()121e 01e x x --=，进而解得121,e x x =⎧⎨=⎩或122,1x x =⎧⎨=⎩.则:e l y x =或22e e .y x =-故0b =或2e -.故0或2e -15.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PD ⊥底面ABCD ，O 为对角线AC 与BD 的交点，若3PD =，π3APD BAD ∠=∠=，则三棱锥P AOD -的外接球的体积为______.【正确答案】36π【分析】根据棱锥的性质，证明PA 的中点就是三棱锥P AOD -的外接球球心，得出半径后可求体积．【详解】取PA 中点M ，DA 中点E ，连接,ME EO ，则//ME PD ，因为PD ⊥底面ABCD ，所以ME ⊥平面ABCD ，因为四边形ABCD 是菱形，则AO OD ⊥，所以E 是AOD △的外心，又PD ⊥底面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以PD AD ⊥，所以M 到,,,P A D O 四点距离相等，即为三棱锥P AOD -的外接球球心．又3PD =，π3APD ∠=，所以36πcos 3PA ==，所以3MA MP ==，所以三棱锥P AOD -的外接球体积为34π336π3V =⨯=．故36π．16.已知点P 是椭圆22:14x C y +=上一点，椭圆C 在点P 处的切线l 与圆22:4O x y +=交于A ，B 两点，当三角形AOB 的面积取最大值时，切线l 的斜率等于_______【正确答案】22±【分析】根据面积公式分析可得当AOB 是等腰三角形，面积最大，此时点O 到切线l 的距离等于d =.解法一：设切线l 的方程，根据点到直线的距离和直线与椭圆相切分别可得()22222141,m k m k =+=+，求解即可；解法二：设点P 的坐标为00(,)x y ，切线l 的方程为0014x xy y +=，结合点到直线的距离公式运算求解.【详解】∵圆22:4O x y +=的圆心()0,0O ，半径2r =，设()0,πAOB θ∈∠=，则Δ11sin 22sin 2sin 222AOB S OA OB θθθ=⋅=⨯⨯⨯=≤，当且仅当sin 1θ=，即π2θ=时，等号成立，当π2θ=时，AOB 是等腰三角形，此时点O 到切线l的距离等于d =解法一：设切线l 的方程为y kx m =+，即0kx y m -+=，=，整理得：()2221m k =+①联立方程2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得：222(41)8440k x kmx m +++-=，由相切得：()()2222Δ64164110,k m k m =-+-=整理得：2241m k =+②由①②得：()222141=k k ++，解得2k =±.解法二：设点P 的坐标为00(,)x y ，切线l 的方程为0014x x y y +=，即00104x xy y +-==，整理得22001612x y =+，∵点P 在椭圆上，则220014x y +=，则22002200141162x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2020831,3x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以切线l的斜率00242x k y =-==±.故答案为.2±四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知6a c +=，()()3cos sin sin 1cos A B A B -=+.（1）求边b 的大小；（2）求ABC 的面积的最大值.【正确答案】（1）2b =；（2）.【分析】（1）先利用三角恒等变换化简得3sin sin sin B A C =+，再利用正弦定理化简即得解；（2）先利用基本不等式求出9ac ≤，再利用余弦定理求出cos B 得到sin B ，即得解.【小问1详解】()()3cos sin sin 1cos A B A B -=+ ，则3sin sin sin cos cos sin sin sin()B A A B A B A A B =++=++，A +B +C =π，∴3sin sin sin B A C =+，∴由正弦定理可得36b a c =+=，∴2b =.【小问2详解】6a c +=，6a c ∴=+≥9ac ≤（当且仅当3a c ==时等号成立），2222()2416cos 22a c b a c ac acB ac ac ac+-+---∴===，可得sin B ===11sin 22S ac B ac ∴==⨯=≤=（当且仅当3a c ==时等号成立）.∴ABC的面积的最大值为18.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足12n n S n S n++=，11a =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）数列{}n b 为等比数列，数列{}n c 满足112nn n n n a c a a b +++=⋅⋅，若22b =，10123452b b b b b =，求证.121n c c c ++⋅⋅⋅+<【正确答案】（1）n a n =，n *∈N （2）证明见解析.【分析】（1）先由累乘法求得n S ，再根据n a 与n S 的关系即可求得数列{}n a 的通项公式；（2）先由条件求得数列{}n b 的通项公式，即可得到n c ，然后根据裂项相消法即可证明.【小问1详解】因为12n n S n S n ++=，则3124123213451,,,,,12321n n n n S S S S S n n S S S S n S n ---+=====-- ，累乘可得，()113451123212n n n S n n S n n ++=⨯⨯⨯⨯⨯=-- ，2n ≥所以()1,22n n n S n +=≥，又111S a ==符合式子，所以()1,2n n n S n *+=∈N ，当2n ≥时，()()2211122n n n n n S--+--==，所以两式相减可得1n n n a S S n -=-=，2n ≥，又11a =符合上式，所以n a n =，n *∈N 【小问2详解】因为数列{}n b 为等比数列，22b =，且10123452b b b b b =，设数列{}n b 的公比为q ，则()51022b q =，即()51022q =，所以2q =，则12n n b -=所以()()121112212n n n nn c n n n n -+==-+⋅⋅+⋅，即()1211111111144121232212n n n c c c n n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+=-+-+-++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⋅+⋅⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()11112nn =-<+⋅19.在直角梯形11AA B B 中，11∥A B AB ，1AA AB ⊥，11126AB AA A B ===，直角梯形11AA B B 绕直角边1AA 旋转一周得到如下图的圆台1A A ，已知点,P Q 分别在线段1,CC BC 上，二面角111B AA C --的大小为θ．（1）若120θ=，123CP CC =，⊥AQ AB ，证明：PQ ∥平面11AA B B ；（2）若90θ= ，点P 为1CC 上的动点，点Q 为BC 的中点，求PQ 与平面11AAC C 所成最大角的正切值，并求此时二面角Q AP C --的余弦值．【正确答案】（1）证明见详解（2，28989【分析】（1）构造面面平行来推线面平行，作QE ∥AB 交AC 于E ，连接PE 即证面PEQ ∥面AB 1即可；（2）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量求出PQ 与平面11AAC C 所成最大角时的P 点位置，求其正切，再求二面角即可.【小问1详解】如图所示，过Q 作QE ∥AB 交AC 于E ，连接PE ，过C 1作C 1F ∥A 1A ，交AC 于F ，∵120θ= ，结合圆台的特征知30BAC ∠= ，又∵⊥AQ AB，解三角形得12AQ QC BQ ====，故12CQ CE BQ AE ==，即2CE =，∵123CP CC =，由题意易知四边形11AC CA 为直角梯形，∴113AF AC FC ===，123EC PC FC CC ==，故11PE C F A A ∥∥，∵QE ⊄面11A B BA ，AB ⊂面11A B BA ，∴QE ∥面11A B BA ，同理PE ∥面11A B BA ，又QE PE E QE PE =⊂ ，、面PQE ，∴面PEQ ∥面11A B BA ，PQ ⊂面PEQ ，∴PQ ∥平面11AA B B ，得证；【小问2详解】如图，结合圆台的特征，当90θ= 时，此时1A A AB AC 、、两两垂直，故以A 为中心，以AB 、AC 、AA 1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，则()()()()16,0,0,0,6,0,0,3,6,3,3,0B C C Q ，设[]1,0,1CP CC λλ=∈ ，则()()00,36,600,3,6CP λλλ=---=-，()()()3,3,00,3,63,33,6PQ CQ CP λλλλ=-=---=--，易知x 轴⊥面11A ACC ，不妨取()1,0,0m =作为面11A ACC 的一个法向量，设PQ 与平面11AAC C 所成角为π,0,2αα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则sin cos ,3PQ m α===，即当15λ=时，sin α取得最大值，此时α为最大角，tan 2α==，设此时面APQ 的一个法向量为(),,n x y z =，易得()2763,3,0,0,,55AQ AP ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ，则330276055n AP x y n AQ y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令9z =，则2,2y x =-=，即()2,2,9n =-，由图可知该二面角的平面角为锐角，设其为φ，故289cos cos ,89m n φ===，故PQ 与平面11AAC C，此时二面角Q AP C --的余弦值为28989.20.某学校为了弘扬中华传统文化，组织开展中华传统文化活动周，活动周期间举办中华传统文化知识竞赛活动，以班级为单位参加比赛，每班通过中华传统文化知识竞答活动，择优选拔5人代表班级参加年级比赛.年级比赛分为预赛与决赛二阶段进行，预赛阶段的赛制为：将两组中华传统文化的们答题放在甲、乙两个纸箱中，甲箱有5个选择题和3个填空题，乙箱中有4个选择题和3个填空题，比赛中要求每个班级代表队在甲或乙两个纸箱中随机抽取两题作答.每个班级代表队先抽取一题作答，答完后试题不放回纸箱中，再抽取第二题作答，两题答题结束后，再将这两个试题放回原纸箱中.（1）若1班代表队从甲箱中抽取了2个试题，答题结束后错将题目放入了乙箱中，接着2班代表队答题，2班代表队抽取第一题时，从乙箱中抽取试题.已知2班代表队从乙箱中取出的是选择题，求1班代表队从甲箱中取出的是2个选择题的概率；（2）经过预赛，成绩最好的6班代表队和18班代表队进入决赛，决赛采用成语接龙的形式进行，采用五局三胜制，即两班代表队中先胜三局的代表队赢得这场比赛，比赛结束.已知第一局比赛6班代表队获胜的概率为35，18班代表队胜的概率为25，且每一局的胜者在接下来一局获胜的概率为25，每局必分胜负.记比赛结束时比赛局数为随机变量X ，求随机变量X 的数学期望()E X .【正确答案】（1）2049（2）()537125E X =.【分析】（1）根据古典概型概率公式、全概率公式可得2班代表队从乙箱中取出1个选择题的概率，然后根据条件概率公式计算即可；（2）由题意知：X 的可能取值为3，4，5，分别计算对应的概率，利用数学期望的公式计算()E X .【小问1详解】设事件A 为“2班代表队从乙箱中取出1个选择题”，事件1B 为“1班代表队从甲箱中取出2个都是选择题”，事件2B 为“1班代表队从甲箱中取出1个选择题1个填空题”，事件3B 为“I 班代表队从甲箱中取出2个题都是填空题”则1B 、2B 、3B 彼此互斥，且123=B B B Ω ，因为25128C 5()C 14P B ==，1153822C C 15()C 28P B ==，22338C 3()C 28P B ==所以16(|)9P A B =，25(|)9P A B =，34(|)9P A B =，()()()()()()()1122335615534714928928912P A P B P A B P B P A B P B P A B =++=⨯+⨯+⨯=，所求概率即是A 发生的条件下1B 发生的概率：111156()()(|)20149(|)7()()4912P B A P B P A B P B A P A P A ⨯====.【小问2详解】由题意知：X 的可能取值为3、4、5，两班代表队打完三局恰好结束比赛的基本事件有{三局6班胜}，{三局18班胜}，而第一局比赛6班获胜的概率为35，则第一局比赛18班获胜的概率为25，又胜者在接下来一局获胜的概率为25，所以3222221284(3)55555512512525P X ==⨯⨯+⨯⨯=+=，当4X =时，前三局{两局6班胜，一局18班胜，最后6班胜}，{两局18班胜，一局6班胜，最后18班胜}，最后6班胜概率为1232233323233132++555555555555625P =⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=，最后18班胜概率为2332223322233108++555555555555625P =⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=，所以13210848(4)625625125P X ==+=，则有57(5)1(4)(3)=125P X P X P X ==-=-=，综上，44857537()34525125125125E X =⨯+⨯+⨯=.21.已知双曲线C .2213x y -=（1）若点P 在曲线C 上，点A ，B 分别在双曲线C 的两渐近线1l 、2l 上，且点A 在第一象限，点B 在第四象限，若AP PB λ=，1,23λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求AOB 面积的最大值；（2）设双曲线C 的左、右焦点分别为1F 、2F ，过左焦点1F 作直线l 交双曲线的左支于G 、Q 两点，求2GQF △周长的取值范围.【正确答案】（1）3（2）,3⎡⎤+∞⎢⎥⎣⎦【分析】（1）易得两渐近线12:,:33l y x l y x ==-，设()()1122100,,,,0,,33A x x B x x x P x y ⎛⎫⎛⎫-> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据AP PB λ= ，将P 点的坐标用12,,x x λ表示，再根据点P 在曲线C 上，可得12,,x x λ的关系，再根据1sin 2AOB S OA OB AOB =∠△化简整理即可得解；（2）分直线斜率存在和不存在两种情况讨论，设()()3344,,,Q x y G x y ，当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()2y k x =+，根据线l 交双曲线的左支于G 、Q 两点求出k 的范围，再根据弦长公式求出QG ，再根据2GQF △周长为2242QF GF QG a QG ++=+，从而可得出结论.【小问1详解】双曲线C ：2213x y -=的两渐近线1233:,:33l y x l y x ==-，设()()1122100,,,,0,,33A x x B x x x P x y ⎛⎫⎛⎫-> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由AP PB λ=，得01012020,,33x x y x x x x y λ⎛⎫⎛⎫--=--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()0120012033x x x x y x x y λλ⎧-=-⎪⎛⎫⎨-=-- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎩，所以120120131x x x x x y λλλλ+⎧=⎪+⎪⎨-⎪=⋅⎪+⎩，因为点P 在曲线C 上，所以212212311331x x x x λλλλ+⎛⎫ ⎪⎛⎫-+⎝⎭-⋅= ⎪ ⎪+⎝⎭，整理得()212314x x λλ+=，12,OA x OB x ====，因为直线1233,33l l k k ==-，所以直线1l 的倾斜角为π6，所以π3AOB ∠=，()212111sin 22344AOB S OA OB AOB x x λλλλ+⎫=∠==⋅=++⎪⎝⎭，令()11,,23f x x x x ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦，则()()()221111x x f x x x +-'=-=，当113x ≤<时，()0f x '<，当12x <≤时，()0f x ¢>，所以函数()f x 在1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭上递减，在1,23⎛⎤ ⎥⎝⎦上递增，又()1105,2332f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以()max 11033f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以当13λ=时，()max 433AOB S = ；【小问2详解】()12,0F -，设()()3344,,,Q x y G x y ，若直线l 的斜率不存在时，则:2l x =-，在2213x y -=中，令2x =-，得33y =±，则3QG =，2GQF △周长为22163423QF GF QG a QG ++=+=，当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()2y k x =+，联立()22213y k x x y ⎧=+⎪⎨-=⎪⎩，消y 得()222213121230k x k x k ----=，因为直线l 交双曲线的左支于G 、Q 两点，所以()()()2222223422342130Δ12413123012013123013k k k k k x x k k x x k ⎧-≠⎪⎪=----->⎪⎪⎨+=<⎪-⎪--⎪=>⎪-⎩，得213k >，2GQF △周长为2242QF GF QG a QG++=+==+22113k k+=+-22131k k +=+-()2214313331kk-+=-213331k=+⋅-，因为213k>，所以2310k->，所以2133313k+⋅>-，所以2GQF△周长的范围为3⎛⎫+∞⎪⎪⎝⎭，综上所述，2GQF△周长的取值范围为163,3⎡⎤+∞⎢⎥⎣⎦.方法点睛：解答圆锥曲线的最值问题的方法与策略：1、几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决；2、函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）单调性法；（4）三角换元法；（5）导数法等，要特别注意自变量的取值范围.22.已知函数()()lnf x x n x=+.（1）若1n=，求函数()()()()12g x f x k x k=-->的零点个数，并说明理由；（2）当0n=时，若方程()f x b=有两个实根12,x x，且12x x<，求证.213e2e123b x x b-+<-<++【正确答案】（1）3，理由见解析（2）证明见解析【分析】（1）先求导数，构造函数2()ln1kh x x kx=+-+，利用导数研究单调性和图象的大致走势，结合零点存在定理和单调性可得答案；（2）先找出曲线()y f x=的两条切线，利用切线与y b=的交点证明213e232x bx-<++-，再利用割线与y b=的交点证明21e1x x b->+.【小问1详解】当1n=时，()()1lnf x x x=+，()()()()21ln 11ln 1k g x x x k x x x k x ⎛⎫=+--=++- ⎪+⎝⎭，显然1x =是()g x 的一个零点，令2()ln 1k h x x k x =+-+，则()()()22222112()11x k x k h x x x x x +-+'=-=++()0x >；设()()2221x x k x ϕ=+-+()0x >，因为2k >，其对应方程的判别式()420k k ∆=->，所以()0x ϕ=有两个根，设为12,x x ，则1212220,1x x k x x +=->=；不妨设1201x x <<<，令()0h x '>，则()()120,,x x x ∞∈⋃+；令()0h x '<，则()12,x x x ∈；所以()h x 在区间()()120,,,x x +∞单调递增，在区间()12,x x 单调递减，又1201x x <<<，所以12()(1)0()h x h h x >=>；又当x 无限趋近于正无穷大时，()h x 也无限趋近于正无穷大；当x 无限趋近于0时，()h x 无限趋近于负无穷大；根据零点存在定理和函数单调性、连续性可知()h x 在()()120,,,x x ∞+各有一个零点，所以()g x 总共有3个零点.【小问2详解】证明：先证右半部分不等式：213e 232x b x -<++-；因为()ln f x x x =，()ln 1f x x '=+，所以333(1)0,(e )3e ,(1)1,(e )2f f f f ---''==-==-；可求曲线()y f x =在3x e -=和1x =处的切线分别为31:2e l y x -=--和2:1l y x =-；设直线y b =与直线1l ，函数()f x 的图象和直线2l 交点的横坐标分别为1122,,,,x x x x ''则312e ,1,2b x x b -+''=-=+则332121e e 23(1)(22b b x x x x b --+++''-<-=+--=；因此213e 232x b x -<++-.再证左半部分不等式.21e 1x x b ->+设取曲线上两点11(,(1,0)e e A B -，用割线:OA y x =-，1:(1)e 1AB y x =--来限制21x x -，设直线y b =与直线1(1)e 1,y x y x =---=的交点的横坐标分别为34,x x ，则1342x x x x <<<，且3x b =-，4(e 1)1,x b =-+所以2143(e 1)1()e 1x x x x b b b ->-=-+--=+.综上可得213e 2e 123b x x b -+<-<++成立.方法点睛：导数证明不等式的方法常有：（1）最值法：移项构造函数，通过求解最值来证明；（2）放缩法：通过构造切线或割线，利用切线放缩或者割线放缩来证明.。

2023年江苏省普通高中学业水平合格性考试数学模拟试题（三）一、单选题：本题共28小题，每小题3分，共84分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合，则( )A. B. C. D.2.命题“，都有”的否定为( )A. ，使得B. ，使得C. ，都有D. ，使得3.设甲是乙的充分条件，乙是丙的充要条件，丙是丁的必要条件，那么丁是甲的( )A. 充分条件B. 必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要的条件4.已知，a，b，c为实数，则下列不等式成立的有( )A. B.C. D.5.已知，，则( )A. B. C. D.6.代数式取得最小值时对应的x值为( )A. 2B.C.D.7.已知函数，若，则a的值为( )A. B. 2 C. 9 D. 或98.已知，则的值是( )A. 7B. 8C. 9D. 109.已知，则( )A. 3B. 5C. 7D. 910.设，则的值是( )A. 1B. 2C. 4D. 911.函数的定义域为( )A. B.C.D.12.设，则大小关系为( )A. B.C.D.13.若函数是偶函数，则可取一个值为( )A. B.C.D.14.函数的最小正周期是( )A. B.C.D.15.已知，则( )A. B.C.D.16.圆心角为且半径长r 为1cm 的扇形的面积为( )A. 15B. 30C.D. 17.函数图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的3倍，则得到的图象对应的解析式为( )A.B.C. D.18.已知复数，则z 的虚部为( )A. 2 B. 2iC. D.19.已知，，若，则实数x 的值为( )A. B. 4C. D. 120.在中，点N 满足，记，，那么( )A.B.C.D.21.已知圆锥的轴截面是斜边为的直角三角形，该圆锥的体积为( )A.B.C.D.22.某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为300，200，400，为了了解学生的课业负担情况，该校采用分层抽样的方法，从这三个年级中抽取18名学生进行座谈，则高一、高二、高三年级抽取人数分别是( )A. 6，4，8B. 6，6，6C. 5，6，7D. 4，6，823.已知，，如果，那么( )A. B. C. D.24.学校组织班级知识竞赛，某班的8名学生的成绩单位：分分别是：68、63、77、76、82、88、92、93，则这8名学生成绩的分位数是( )A. 88 分B. 89 分C. 90 分D. 92 分25.( )A. B. C. D.26.已知，则的最小值为( )A. 12B. 14C. 16D. 1827.在中，角的对边分别是，若，，则( )A. B. C. D.28.若，则的终边落在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限二、解答题：本题共2小题，共16分。

江苏省海安中学2025届高三年级学习测试数学试卷一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的1.已知集合{}{}20,1,2,3,log 1A B xx ==≤∣，则A B ⋂=（ ）A.{}0,1,2B.{}1,2C.{}0,1D.{}12.命题“20,10x x x ∀>-+>”的否定为（ ）A.20,10x x x ∀>-+≤B.20,10x x x ∀≤-+≤C.20,10x x x ∃>-+≤D.20,10x x x ∃≤-+≤3.已知函数()21,0cos ,0x x f x x x ⎧+>=⎨≤⎩，则下列结论正确的是（ ）A.()f x 是偶函数B.()f x 是增函数C.()f x 是周期函数D.()f x 的值域为[)1,∞-+4.若a b >，则（ ）A.ln ln a b >B.0.30.3a b >C.330a b ->D.0a b ->5.已知函数()()1ln 1f x x x=+-，则()y f x =的图象大致是（ ）A. B.C. D.6.如图，矩形ABCD 的三个顶点A B C ､､分别在函数12,,xy y x y ===的图像上，且矩形的边分别平行于两坐标轴.若点A 的纵坐标为2，则点D 的坐标为（）A.11,24⎛⎫⎪⎝⎭ B.11,34⎛⎫ ⎪⎝⎭ C.11,23⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.11,33⎛⎫ ⎪⎝⎭7.已知()912160,0,log log log a b a b a b >>==+，则ab=（ ）C.128.已知()()5,15ln4ln3,16ln5ln4a b c ==-=-，则（ ）A.a c b <<B.c b a <<C.b a c <<D.a b c<<二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求､全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分9.下列函数中，在区间ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减的函数是（ ）A.πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B.cos y x x=-C.sin2y x =D.πcos 3y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭10.下面的结论中正确的是（ ）A.若22ac bc >，则a b >B.若0,0a b m >>>，则a m ab m b+>+C.若110,0,a b a b a b>>+=+，则2a b +≥D.若20a b >>，则()44322a b a b +≥-11.已知函数()cos sin2f x x x =，下列结论中正确的是（ ）A.()y f x =的图像关于()π,0中心对称B.()y f x =的图像关于π2x =对称C.()f xD.()f x 既是奇函数，又是周期函数三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知()(),f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且()()321f x g x x x -=+-，则()()11f g +=__________.13.某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为__________.14.若存在实数t ，对任意的(]0,x s ∈，不等式()()ln 210x x t t x -+---≤成立，则整数s 的最大值为__________.（参考数据：ln3 1.099,ln4 1.386≈≈）四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本题13分）如图1，在等腰直角三角形ABC 中，90,6,A BC D E ∠== ､分别是,AC AB 上的点，CD BE O ==为BC 的中点.将ADE 沿DE 折起，得到如图2所示的四棱锥A BCDE '-，其中AO =（1）求证：A O '⊥平面BCDE ；（2）求点B 到平面A CD '的距离.16.（本题15分）设数列{}n a 的各项均为正整数.（1）数列{}n a 满足1121212222n n n n a a a a n --++++= ，求数列{}n a 的通项公式；（2）若{}n a 是等比数列，且n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递减数列，求公比q .17.（本题15分）已知函数()πsin (0)6f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在2π0,3⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，在2π,π3⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，设()0,0x 为曲线()y f x =的对称中心.（1）求0x 的值；（2）记ABC 的角,,A B C 对应的边分别为,,a b c ，若0cos cos ,6A x b c =+=，求BC 边上的高AD 长的最大值.18.（本题17分）已知函数()()e ln xf x x m =-+.（1）当0m =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）当2m ≤时，求证()0f x >.19.（本题17分）在平面内，若直线l 将多边形分为两部分，多边形在l 两侧的顶点到直线l 的距离之和相等，则称l 为多边形的一条“等线”，已知O 为坐标原点，双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的左､右焦点分别为12,,F F E 的离心率为2，点P 为E 右支上一动点，直线m 与曲线E 相切于点P ，且与E 的渐近线交于,A B 两点，当2PF x ⊥轴时，直线1y =为12PF F 的等线.（1）求E 的方程；（2）若y =是四边形12AF BF 的等线，求四边形12AF BF 的面积；（3）设13OG OP =，点G 的轨迹为曲线Γ，证明：Γ在点G 处的切线n 为12AF F 的等线江苏省海安中学2025届高三年级学习测试数学试卷答案解析人：福佑崇文阁一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.12345678BCDCBADB二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.91011ACACDABD三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.11-14.2四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.【详解】（1）解：（1）连接,,45,3OD OE B C CD BE CO BO ∠∠====== ，在COD 中，OD ==，同理得OE =，因为6BC =，所以AC AB ==所以AD A D A E AE ='==='因为AO =所以222222,A O OD A D A O OE A E '+=='+''所以,A O OD A O OE'⊥⊥'又因为0,OD OE OD ⋂=⊂平面,BCDE OE ⊂平面BCDE 所以A O '⊥平面BCDE ；（2）取DE 中点H ，则OH OB ⊥以O 为坐标原点，,,OH OB OA '所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系则()(()()0,0,0,,0,3,0,1,2,0O A C D --'，设平面A CD '的一个法向量为(),,n x y z =，又((),1,1,0CA CD ==' ，所以300n CA y n CD x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪'⎩，令1x =，则1,y z =-=，则(1,n =-，又()()0,3,0,0,6,0B CB =，所以点B 到平面A CD '16.【详解】（1）因为1121212222n n n na a a a n --++++= ，①所以当2n ≥时，1121211222n n a a a n --+++=- ，②由①-②得，12nn a =，所以2nn a =，经检验，当1n =时，12a =，符合题意，所以2nn a =（2）由题设知0q >.若1q =，则1,n n a a a n n n ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭是递减数列，符合题意.若1q <，则当1log q n a >时，11nn a a q =<，不为正整数，不合题意.若1q >，则()()1111n n n qn n a a a n n n n +⎡⎤-+⎣⎦-=++，当1qn n >+，即11n q >-时，11n n a a n n +>+，这与n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递减数列相矛盾，不合题意.故公比1q =.17.【详解】（1）因为()πsin 6f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭在2π(0,}3上单调递增，在2π,π3⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减，所以2π13f ⎛⎫=⎪⎝⎭且4π3T ≥，所以2πππ2π,362k k ω⋅+=+∈Z ，可知13,2k k ω=+∈Z ，又由2π4π3ω≥，可知302ω<≤，所以12ω=，故()1πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由1ππ,26x m m +=∈Z ，可得π2π3x m =-，即0π2π,3x m m =-∈Z .（2）22222201()2362cos cos 2222b c a b c bc a bc a A x bc bc bc+-+----=====，化简得2363a bc =-，因为11sin 22ABC S a AD bc A =⋅=，所以AD =，所以()22223()3()44363bc bc AD a bc ==-，又b c +≥，所以9bc ≤，当且仅当3b c ==时取等号，所以()22223()3327363436343634499()bc AD bc bc bc ==≤=-⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以AD ≤，故AD.18.【详解】（1）当()()10,e ln ,e xxm f x x f x x==--'=，所以()1e 1k f '==-，而()1e f =，切线方程为()()e e 11y x -=--，即所求切线方程为()e 110x y --+=；（2）()f x 得定义域为()()1,,e xm f x x m∞='-+-+，设()()1e xg x f x x m='=-+，则()21e 0()xg x x m '=+>+，故()f x '是增函数，当x m →-时，(),f x x ∞∞→-→+'时，()f x ∞'→+，所以存在()0,x m ∞∈-+，使得001e x x m=+①，且()0,x m x ∈-时，()()0,f x f x '<单调递减，()0,x x ∞∈+时，()()0,f x f x '>单调递增，故()()0min 00()e ln xf x f x x m ==-+②，由①式得()00ln x x m =-+③，将①③两式代入②式，结合2m ≤得：min 000011()20f x x x m m m m x m x m =+=++-≥-=-≥++，当且仅当01x m =-时取等号，结合（2）式可知，此时()00e 0x f x =>，故()0f x >恒成立.19.【详解】（1）由题意知()()212,,,0,,0b P c F c F c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，显然点P 在直线1y =的上方，因为直线1y =为12PF F 的等线，所以222212,2,b ce c a b a a -====+，解得1a b ==，E 的方程为2213y x -=（2）设()00,P x y ，切线()00:m y y k x x -=-，代入2213y x -=得：()()()2222200000032230k xk kx y x k x y kx y -+--+-+=，故()()()22222000000243230k kx y kkx y kx y ⎡⎤-+-+-+=⎣⎦，该式可以看作关于k 的一元二次方程()22200001230x k x y k y --++=，所以000002200031113x y x y x k x y y ===-⎛⎫+- ⎪⎝⎭，即m 方程为()001*3y y x x -=当m 的斜率不存在时，也成立渐近线方程为y =，不妨设A 在B 上方，联立得A B x x ==，故02A B x x x +==，所以P 是线段AB 的中点，因为12,F F 到过O 的直线距离相等，则过O 点的等线必定满足：,A B 到该等线距离相等，且分居两侧，所以该等线必过点P ，即OP的方程为y =，由2213y y x ⎧=⎪⎨-=⎪⎩，解得x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，故P .所以03A A y ====，所以03B B y ====-，所以6A B y y -=，所以1212122ABCD A B A B S F F y y y y =⋅-=-=（3）设(),G x y ，由13OG OP =，所以003,3x x y y ==，故曲线Γ的方程为()229310x y x -=>由（*）知切线为n ，也为0093133x y y x -=，即00133y y x x -=，即00310x x y y --=易知A 与2F 在n 的右侧，1F 在n 的左侧，分别记12,,F F A 到n 的距离为123,,d d d ，由（2）知000011A A x y y y x x ===--，所以3d 由01x ≥得12d d ==因为231d d d +==，所以直线n 为12AF F .等线.。

盐城市、南京市2023—2024学年度第一学期期末调研测试高 三 数 学 2024.01注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷．2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．第 Ⅰ 卷(选择题 共60分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2＋3i)(2－3i)＝A ．5B ．－1C ．1D ．72．已知集合A ＝{0，1，2}，B ＝{x |y ＝lg(－x 2＋2x )，则A ∩B ＝A ．{0，1，2}B ．{1}C ．{0}D ．(0，2)3．已知x ＞0，y ＞0，则x ＋y ≥2是xy ≥1的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件4．下列函数中是偶函数的是A ．y ＝e x ＋eB ．y ＝e x －eC ．y ＝e ＋e e －eD ．y ＝(e x ＋e )(e x －e )5．从4位男同学、5位女同学中选出3位同学，男女生都要有的选法有A ．140种B ．44种C ．70种D ．252种6．已知反比例函数y ＝k x (k ≠0)的图象是双曲线，其两条渐近线为x 轴和y 轴，两条渐近线的夹角为π2，将双曲线绕其中心旋转可使其渐近线变为直线y ＝±x ，由此可求得其离心率为2．已知函数y ＝33x ＋1x的图象也是双曲线，其两条渐近线为直线y ＝33x 和y 轴，则该双曲线的离心率是A ．3 B ．23 C ．233 D ．4337．已知直线l 与椭圆x 9＋y 3＝1在第二象限交于A ，B 两点，l 与x 轴，y 轴分别交于M ，N 两点，若|AM |＝|BN |，则l 的倾斜角是A ．π6B ．π3C ．π4D ．5π128．平面向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝a ·b ＝2，|a ＋b ＋c |＝1，则(a ＋c )·(b ＋c )的最小值是A ．－3B ．3－23C ．4－23D ．－23二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)9．《中华人民共和国国民经济和社会发展第十四个五年规划和2035年远景目标纲要》中明确提出要创新实施文化惠民工程，提升基层综合性文化服务中心功能，广泛开展群众性文化活动．某乡镇为了考核甲、乙两村的文化惠民工程，在两村的村民中进行满意度测评，满分100分，规定：得分不低于80分的为“高度满意”，得分低于60分的为“不满意”．经统计发现甲村的评分X 和乙村的评分Y 都近似服从正态分布，其中X ~N (70，σ12)，Y ~N (75，σ22)，0＜σ1＜σ2，则A ．X 对应的正态曲线比Y 对应的正态曲线更扁平B ．甲村的平均分低于乙村的平均分C ．甲村的高度满意率与不满意率相等D ．乙村的高度满意率比不满意率大10．已知{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和，满足a 3＝2a 1＋a 2，则下列说法中正确的有A ．若{a n }是正项数列，则{a n }是单调递增数列B ．S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 一定是等比数列C ．若存在M ＞0，使|a n |≤M 对n ∈N *都成立，则{|a n |}是等差数列D ．若存在M ＞0，使|a n |≤M 对n ∈N *都成立，则{S n }是等差数列11．设M ，N ，P 为函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)图象上三点，其中A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2，已知M ，N 是函数f (x )的图象与x 轴相邻的两个交点，P 是图象在M ，N 之间的最高点，若MP 2＋2MN ·NP ＝0，△MNP 的面积是3，M 点的坐标是(－12，0)，则A ．A ＝2B ．ω＝π2C ．φ＝π4D ．函数f (x )在M ，N 间的图象上存在点Q ，使得QM ·QN ＜012．在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，AD ⊥CD ，AD ＝CD ＝2，四棱锥P －ABCD 的外接球为球O ，则A ．AB ⊥BC B ．V P －ABCD ＞2V P －ACDC ．V P －ABCD ＝2V O －ABCD D ．点O 不可能在平面PBC 内第 Ⅱ 卷(非选择题 共90分)三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．满足f (xy )＝f (x )＋f (y )的函数f (x )可以为f (x )＝ ▲ ．(写出一个即可)14．tan π8－1tan π8＝ ▲ ．15．抛物线有一条重要性质：从焦点出发的光线，经过抛物线上一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴．已知点F 为抛物线C ：y 2＝2px (p ＞1)的焦点，从点F 出发的光线经抛物线上一点反射后，反射光线经过点(10，1)，若入射光线和反射光线所在直线都与圆E ：(x －116)2＋y 2＝1相切，则p 的值是 ▲ ．16．若数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＋a n ＋1＋a n ＋2＝n 2(n ∈N *)，则a 100＝ ▲ ．四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内)17．(本小题满分10分)设数列{a n }的前n 项和为S n ，a n ＋S n ＝1．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)数列{b n }满足a n b n ＝cos n π2，求{b n }的前50项和T 50．18．(本小题满分12分)在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为正方形，AB ＝AA 1＝2，∠A 1AB ＝π3，侧面CDD 1C 1⊥底面ABCD ．(1)求证：平面A 1BC ⊥平面CDD 1C 1；(2)求直线AB 1和平面A 1BC 1所成角的正弦值．(第18题图)19．(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且c tan B＝(2a－c)tan C．(1)求角B的大小；(2)若点D在边AC上，BD平分∠ABC，b＝23，求BD长的最大值．20．(本小题满分12分)春节临近，为了吸引顾客，我市某大型商超策划了抽奖活动，计划如下：有A、B、C三个抽奖项目，它们之间相互不影响，每个项目每位顾客至多参加一次，项目A中奖的概率是14，项目B和C中奖的概率都是25．(1)若规定每位参加活动的顾客需要依次参加A、B、C三个项目，如果A、B、C三个项目全部中奖，顾客将获得100元奖券；如果仅有两个项目中奖，他将获得50元奖券；否则就没有奖券．求每位顾客获得奖券金额的期望；(2)若规定每位顾客等可能地参加三个项目中的一个项目．已知某顾客中奖了，求他参加的是A项目的概率．21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝e－ln xx(m∈R)．(1)当m＝1时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)的图象与x轴相切，求证：1＋ln2＜m＜2＋ln6．22．(本小题满分12分)已知双曲线C：y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点是F1，F2，顶点A(0，－2)，点M是双曲线C上一个动点，且|MF12－MF22|的最小值是85．(1)求双曲线C的方程；(2)设点P是y轴上异于C的顶点和坐标原点O的一个定点，直线l过点P且平行于x轴，直线m过点P且与双曲线C交于B，D两点，直线AB，AD分别与直线l交于G，H两点．若O，A，G，H四点共圆，求点P 的坐标．。

2023年江苏省南通市高考数学二模试卷1. 已知P ，Q 为R 的两个非空真子集，若，则下列结论正确的是( ) A. ， B. ， C. ，D.，2. 已知，，则的取值范围是( )A.B. C. D.3. 三人各抛掷骰子一次，落地时向上的点数能组成等差数列的概率为( )A.B.C.D.4. 已知复数z 的实部和虚部均为整数，则满足的复数z 的个数为( )A. 5B. 4C. 3D. 25. 1471年米勒提出了一个问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆看上去最长即可见角最大后人称其为“米勒问题”.我们把地球表面抽象为平面，悬杆抽象为直线l上两点A ，B ，则上述问题可以转化为如下模型：如图1，直线l 垂直于平面，l 上的两点A ，B 位于平面同侧，求平面上一点C ，使得最大.建立图2所示的平面直角坐标系.设，，，，当最大时，( )A. 2abB.C.D. ab6. 已知在三棱锥中，平面BCD ，，，则三棱锥外接球表面积的最小值为( )A. B. C.D.7. 双曲线和椭圆的右焦点分别为F ，，，，P ，Q 分别为，上第一象限内不同于B 的点，若，，则四条直线PA ，PB ，QA ，QB 的斜率之和为( )A. 1B. 0C.D. 不确定值8. 函数，的定义域均为R，且，，关于对称，，则的值为( )A. B. C. D.9. 下列命题中正确是( )A. 中位数就是第50百分位数B. 已知随机变量，若，则C. 已知随机变量，且函数为偶函数，则D. 已知采用分层抽样得到的高三年级男生、女生各100名学生的身高情况为：男生样本平均数172，方差为120，女生样本平均数165，方差为120，则总体样本方差为10. 重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，其精雅宜士人，其华灿宜艳女，深受各阶层人民喜爱.古人曾有诗赞曰：“开合清风纸半张，随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉栅齐编凤翅长”.荣昌折扇平面图为图2的扇形COD，其中，，动点P 在上含端点，连结OP交扇形OAB的弧于点Q，且，则下列说法正确的是( )A. 若，则B. 若，则C. D.11. 在长方体中，，，，则( )A. 若直线与直线CD所成的角为，则B. 若过点A的直线l与长方体所有棱所成的角相等，且l与面交于点M，则C. 若经过点A的直线m与长方体所有面所成的角都为，则D. 若经过点A的平面与长方体所有面所成的二面角都为，则12. 过平面内一点P作曲线两条互相垂直的切线、，切点为、、不重合，设直线、分别与y轴交于点A、B，则( )A. 、两点的纵坐标之积为定值B. 直线的斜率为定值C. 线段AB的长度为定值D. 面积的取值范围为13. 若函数的最大值为2，则常数的值为______.14. 的展开式中的系数为______用数字作答15. 若对于任意的x，，不等式恒成立，则b的取值范围为______.16. 弓琴左图，也可称作“乐弓”，是我国弹弦乐器的始祖.古代有“后羿射十日”的神话，说明上古生民对善射者的尊崇，乐弓自然是弓箭发明的延伸.在我国古籍《吴越春秋》中，曾记载着：“断竹、续竹，飞土逐肉”.弓琴的琴身下部分可近似的看作是半椭球的琴腔，其正面为一椭圆面，它有多条弦，拨动琴弦，音色柔弱动听，现有某研究人员对它做出改进，安装了七根弦，发现声音强劲悦耳.右图是一弓琴琴腔下部分的正面图.若按对称建立如图所示坐标系，为左焦点，均匀对称分布在上半个椭圆弧上，为琴弦，记，数列前n项和为，椭圆方程为，且，则取最小值时，椭圆的离心率为______.17. 如图，在三棱锥中，为等腰直角三角形，，，为正三角形，D为AC的中点．证明：平面平面PAC；若二面角的平面角为锐角，且三棱锥的体积为，求二面角的正弦值．18. 在数列中，求的通项公式．设的前n项和为，证明：19. 设是一个二维离散型随机变量，它们的一切可能取的值为，其中i，，令，称是二维离散型随机变量的联合分布列．与一维的情形相似，我们也习惯于把二维离散型随机变量的联合分布列写成下表形式：………………………现有个相同的球等可能的放入编号为1，2，3的三个盒子中，记落下第1号盒子中的球的个数为X，落入第2号盒子中的球的个数为当时，求的联合分布列；设，且，计算20. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知若，证明：；若，证明：21. 已知椭圆E：的左、右焦点分别为，，焦距与短轴长均为求E的方程；设任意过的直线l交E于M，N，分别作E在点M，N处的切线，且两条切线相交于点P，过作平行于l的直线分别交PM，PN于A，B，求的取值范围．22. 设连续正值函数定义在区间上，如果对于任意，都有，则称为“几何上凸函数”．已知，讨论函数的单调性；若，试判断是否为上的“几何上凸函数”，并说明理由．答案和解析1.【答案】B【解析】解：，，，，A错误；时，，C错误；，，D错误．故选：根据可判断B正确，D错误，并得出，从而判断A，C都错误．本题考查了补集的运算，子集的定义，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：，，，故选：通过，，推出，然后求解即可．本题考查求解不等式的范围，是基础题．3.【答案】A【解析】解：根据题意，将一个骰子连续抛掷三次，每次都有6种情况，则共有种情况，它落地时向上的点数能组成等差数列，分两种情况讨论：①若落地时向上的点数若不同，则为1，2，3或1，3，5，或2，3，4或2，4，6或3，4，5或4，5，6；共有6种可能，每种可能的点数顺序可以颠倒，即有种情况；即有种情况，②若落地时向上的点数全相同，有6种情况，共有种情况，落地时向上的点数能组成等差数列的概率为；故选：根据题意，分析可得将一个骰子连续抛掷三次，每次都有6种情况，由分步计数原理可得共有种情况，进而分两种情况讨论骰子落地时向上的点数能组成等差数列的情况，可得符合条件的情况数目，由等可能事件的概率计算公式，计算可得答案．本题考查等可能事件的概率计算，注意题干中“向上的点数能组成等差数列”，向上的点数不要求顺序，如“2，1，3”也符合条件．4.【答案】B【解析】解：设，则，，，，，，，，当时，，即，有两组满足条件，，当，或，，，，，时，，不符合题意，满足的复数z的个数为故选：设，由，可得，则，讨论两种情况即可得答案．本题考查复数的运算，考查共轭复数的概念、复数的运算法则等基础知识，是基础题．5.【答案】B【解析】解：，，，则，，故，当且仅当，即时，等号成立，故当最大时，故选：根据已知条件，结合正切函数的两角差公式，以及基本不等式的公式，即可求解．本题主要考查函数的实际应用，考查转化能力，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：如图，设，，K为的外心，O为三棱锥外接球的球心，则平面BCD，又平面BCD，所以，平面BCD，则，四边形OKDA是直角梯形，设，，，由平面BCD，平面BCD，得，则，即，又，则，，令，则，，当且仅当，即时等号成立，所以三棱锥外接球表面积故选：设，，求得的外接圆的半径为，结合图形求得三棱锥外接球半径，然后换元利用基本不等式及不等式的性质得的最小值，从而可得面积的最小值．本题考查了三棱锥外接球的表面积计算，属于中档题．7.【答案】B【解析】解：，又AB的中点为O，，，Q，O三点共线，又，，且，∽，，，，设，，又，，则，，，，，，，，又P，Q，O三点共线，，，，，故选：根据与，易得P，Q，O三点共线且，，从而可得∽，从而可得，即得，即得，再，，从而可得，，再利用斜率公式及，可得证得，从而得解．本题考查双曲线与椭圆的几何性质，向量共线定理的应用，相似三角形的应用，两点的斜率公式的应用，化归转化思想，属中档题．8.【答案】C【解析】解：关于对称，①，，②，由①②得③，又④，④-③得⑤，⑥，⑥-⑤得，，，的周期为8，，⑦，又⑧，⑦-⑧得，结合⑤可得：，为偶函数，，对，令，可得，又结合⑤可得，对⑤：，令，可得，又为偶函数，，，又的周期为8，，，，，，根据的周期性可得：，故选：根据已知条件的两式结合的对称性，可推出是周期为8的偶函数，再结合赋值法，即可分别求出，，，的值，最后再利用函数的周期性，即可求解．本题考查抽象函数的求值问题，函数的对称性与周期性，考查学生的逻辑推理能力，属中档题．9.【答案】ACD【解析】解：对于A，中位数就是第50百分位数，故A正确；对于B，，则，故B错误；对于C，，函数为偶函数，则，区间与关于对称，故，故C正确；对于D，由分层抽样的平均数公式可得，按分层抽样样本方差的计算公式可得，故D正确．故选：对于A，利用中位数的概念，即可求解；对于B，利用二项分布的方差公式及方差性质求解；对于C，利用正态分布的对称性，即可求解；对于D，利用平均数和方差公式计算即可．本题主要考查中位数的概念，正态分布的对称性，二项分布的方差，平均数与方差的求法，考查运算求解能力，属于中档题．10.【答案】ABD【解析】解：如图，作，分别以OC，OE为x，y轴建立平面直角坐标系，则，设，则，由可得，且，，若，则，解得，负值舍去，故，A正确；若，则，所以，所以，故B正确；，由于，故，故，故C错误；由于，故，而，所以，所以，故D正确，故选：建立平面直角系，表示出相关点的坐标，设，可得，由，结合题中条件可判断A，B，表示出相关向量的坐标，利用数量积的运算律，结合三角函数的性质，可判断C，本题考查了平面向量数量积的运算律和三角函数的性质，属于中档题．11.【答案】ABC【解析】解：对于A：如下图，直线AC直线CD所成角，即为直线AC与直线AB所成角，则，故A正确；对于B：以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，过A的直线l与长方体所有棱所成的角相等，与面交于且x，，又，则，故，则，故B正确；对于C：如下图，过A的直线m与长方体所有面所成的角都为，则直线m为以4为棱长的正方体的体对角线AM，故，故C正确；对于D：如下图，过A的平面与长方体所有面所成的二面角都为，只需面与以4为棱长的正方体中相邻的三条棱顶点所在平面平行，如面EDF，故，则，故D错误．故选：对于A，根据长方体的性质找到直线AC与与直线CD所成角的平面角即可；对于B，建立空间直角坐标系，根据线线角相等，结合空间向量夹角的坐标表示求，即可求M坐标，进而确定线段长；对于C、D，将长方体补为以4为棱长的正方体，根据描述找到对应的直线m、平面，结合正方体性质求线面角、面面角的正弦值．本题主要考查了空间角的计算问题，属于较难题目．12.【答案】BCD【解析】解：，时，；时，不妨设，，，切线，，切线、的方程分别为：，，联立解得，，，为定值，面积；、两点的纵坐标之积为不为定值；直线的斜率为为定值．综上可得：只有BCD正确．故选：，利用导数的运算法则可得不妨设，，，根据切线，可得切线、的方程分别为：，，联立解得，分别令，可得，，进而得出，面积、两点的纵坐标之积为不为定值；利用斜率计算公式可得直线的斜率，进而判断出结论．本题考查了导数的几何意义、切线方程、点斜式、三角形面积计算公式、相互垂直与斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13.【答案】【解析】解：数，由函数的最大值为2，得，解得，可得故答案为：展开两角和的正弦，再由辅助角公式化积，利用最大值为2求得，进一步可得常数的值．本题考查三角函数最值的求法，考查两角和的正弦及辅助角公式的应用，是基础题．14.【答案】【解析】解：原式，前一个式子含的式子为，后一个式子含的式子为，故整个展开式中含的项为，故系数为故答案为：利用计数原理结合组合数的公式求解．本题考查二项式展开式的性质和学生的计算能力，属于中档题．15.【答案】【解析】解：由，得，设，则，令，得，在上单调递减，在上单调递增，最小值为，即，，即，令，则，令，得，在上单调递增，在上单调递减，当时，取最大值，所以b的取值范围是故答案为：依题意，，设，利用导数研究函数的单调性，可得，令，利用导数研究函数的单调性，可得b的取值范围是本题考查利用导数研究函数的单调性，最值，考查不等式的恒成立问题，考查转化思想及运算求解能力，属于中档题．16.【答案】【解析】解：设，有，则椭圆的焦半径公式，由题意可得为等差数列，，由题意，，的横坐标把AB八等分，所以，，又因为，所以，所以，当且仅当，即时取等号，即椭圆的离心率，故答案为：由椭圆的焦半径公式可得，由对称性可得，由题意，，，a成等差数列，可得，可得，的表达式，由均值不等式，可得取最小值时a，c的关系，进而求出椭圆的离心率．本题考查椭圆的对称性的应用及等差数列的性质的应用，椭圆的焦半径公式的应用，均值不等式的应用，属于中档题．17.【答案】解：证明：，D为AC中点，，又是等边三角形，，，，BD，平面PDB，平面PDB，平面PAC，平面平面PDB；是等边三角形，，的面积为，设三棱锥的底面ABC上的高为h，则，解得，为等腰直角三角形，，，，，作交于O，则，，又，是DB的中点，以O为坐标原点，OB所在直线为x轴，在平面ABC中过O作BD的垂线为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，，，，，，设是平面PAB的一个法向量，则，取，得，设平面PBC的一个法向量，则，取，得，，故二面角的正弦值为【解析】本题考查面面垂直的判定以及利用空间向量求平面与平面所成角的正弦值，属于中档题．求出，，平面PDB，由此能证明平面平面作于O，O是DB的中点，以O为坐标原点，OB为x轴，在平面ABC中过O作BD的垂线为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的正弦值．18.【答案】解：，，又，所以是以首项为，公比为的等比数列，从而，所以，证明：，，设①，则②，①-②得：，从而，故【解析】本题考查数列的递推公式，等比数列的证明及错位相减法求和，属于较难题．由数列的递推公式可得的通项公式，先对进行变形，得，再利用错位相减法求和即可得证．19.【答案】解：由题意知X可取0，1，2，Y可取0，1，2，则，，，，，，，的联合分布列为：01 21 020 0当时，，，，设，则由二项分布的期望公式得【解析】由题意知X 可取0，1，2，Y 可取0，1，2，直接计算概率，列出的联系分布列即可；直接计算，结合二项分布的期望公式求出本题考查二维离散型随机变量的联合分布列、概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】证明：由正弦定理可得，，所以，，，，则，即，因为，所以；证明：由已知得，，又由正弦定理可得，，因为，所以，由知，，则，又由正弦定理可得，，又，则，将以及代入可得，，整理可得，因为，，所以，则，令，则，，则，所以当，恒成立，所以在上单调递减，所以，即，综上所述，【解析】根据正余弦定理角化边，整理即可；根据正弦定理推得，即可得到通过分析，可得以及，代入，整理可得到，令，构造，求导得到在上单调递减．进而得到本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．21.【答案】解：由题意，，可得，可得，所以椭圆的方程为：；由题意，，显然l 的斜率不为0，故设l 的方程为，，，联立，即，故，，由题意可知M ，N 不在x 轴上，即过M ，N 两点的切线斜率存在，设过M 点的切线方程为，与椭圆联立有，整理可得：，，可得，即过M 点的切线方程为，即，同理可得过N 点的切线方程为，联立两切线方程，整理可得：，即，化简可得，代入，可得，可得，设MN 的中点为，则，，所以，因为，，所以，即O，Q，P三点共线，又过平行于l的直线分别交PM，PN于A，B，易得∽，取AB中点R，根据三角形的性质有R，O，Q，P四点共线，结合椭圆的对称性，可得，当且仅当时取等号．故的取值范围是【解析】由题意可得b，c的值，进而求出a的值，求出椭圆的方程；设直线l的方程，与椭圆的方程联立，求出两根之和及两根之积，求出直线过M的点的切线方程，与椭圆的方程联立，由判别式为0，可得直线OM的斜率，同理可得过切点N的切线方程，两式联立，整理可得P的坐标，可得MN的中点Q的坐标，再由三角形相似，即椭圆的对称性可得的取值范围．本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合应用，属于中档题．22.【答案】解：定义域为，的导函数当时，，故在单调递减；当时，得：；由得：；于是在单调递减，在单调递增，综上，当时，在单调递减；当时，在单调递减，在单调递增．是上的几何上凸函数，证明如下：由可知，当时，在单调递减，在单调递增．故，故为连续正值函数，由于，，要证是上的几何上凸函数．需证，即证，，，则，需证，由，且，故只需证，下面给出证明：设，则，即在上，递减，所以，即综上，成立，故，得证．【解析】对函数求导，分及讨论导函数与0的关系，进而得到单调性情况；将代入，根据新定义利用分析法证明即可．本题考查利用导数研究函数的单调性，考查不等式的证明，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于难题．。

江苏省南通、泰州、扬州、徐州、淮安、连云港、宿迁七市2023届高三第三次调研测试数 学本试卷共6页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”.2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 已知U ＝R ，A ＝{x |x 2－4x ＋3≤0}，B ＝{x ||x －3|＞1}，则A ∪U B ð＝（ ）A. {x |1≤x ≤4}B. {x |2≤x ≤3}C. {x |1≤x ＜2}D. {x |2＜x ≤3}2. 设向量,a b 均为单位向量，则“a b ⊥”是“22a b a b -=+ ”的（ ）A. 充分不必要条件B. 充要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件3. 某人将斐波那契数列的前6项“1，1，2，3，5，8”进行排列设置数字密码，其中两个“1”必须相邻，则可以设置的不同数字密码有（ ） A. 120种B. 240种C. 360种D. 480种4. 星载激光束与潜艇通信传输中会发生信号能量衰减．已知一星载激光通信系统在近海水下某深度能量估算公式为7310r P E E S-=⨯，其中E P 是激光器输出的单脉冲能量，E r 是水下潜艇接收到的光脉冲能量，S 为光脉冲在潜艇接收平面的光斑面积（单位：km 2，光斑面积与卫星高度有关）．若水下潜艇光学天线接.的收到信号能量衰减T 满足10lgrPE E Γ=（单位：dB ）．当卫星达到一定高度时，该激光器光脉冲在潜艇接收平面的光斑面积为75km 2，则此时Γ大小约为（ ）（参考数据：1g2≈0.301） A. －76.02B. －83.98C. －93.01D. －96.025. 已知底面半径为r 的圆锥SO ，其轴截面是正三角形，它的一个内接圆柱的底面半径为3r，则此圆柱与圆锥的侧面积的比值为（ ） A29B.C.23D.6. 已知F 为椭圆C ：2214x y +=的右焦点，P 为C 上一点，Q 为圆M ：()2231x y +-=上一点，则PQ＋PF 的最大值为（ ） A. 3 B. 6C. 4+D. 5+7. 已知()()()cos 40cos 40cos 800θθθ︒-+︒++︒-=，则tan θ=（ ）A.B.C.D.8. 已知23log log a b =，23log log b c =（b ＞1），则（ ） A. 1222a b c +>+B. 1222b a c +>+C. 5542log log log b a c <+D. 545log log log b a c >+二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 设z 为复数（i 为虚数单位），下列命题正确的有（ ） A. 若z ∈R ，则z ＝z B. 若z 2∈R ，则z ∈RC. 若z 2＋1＝0，则z ＝iD. 若（1＋i ）z ＝1－i ，则|z |＝110. 已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各棱长都为1，E 为AB 的中点，则（ ） A. BC 1∥平面A 1ECB. 二面角A 1－EC －AC. 点A 到平面A 1BC 1D. .11. 已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，()()2f x f x +=-，()()4f x f x -+=-，且当01x <≤时，()33f x x x =-，则（ ）A. ()32f =-B. ()()πe f f >C. 3322f f ⎛⎫⎛⎫''=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D. 702f ⎛⎫'>⎪⎝⎭12. 设A ，B 是一个随机试验中的两个事件，且()13P A =，()34P B =，()12P A B +=，则（ ） A ()16P AB =B. ()34P B A =C. ()()P B P B A =D. ()712P AB AB +=三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 某工厂月产品的总成本y （单位：万元）与月长量x （单位：万件）有如下一组数据，从散点图分析可知y 与x 线性相关．如果回归方程是 3.5y x =+，那么表格中数据a 的值为______．x /万件1 2 3 4 y /万件3.85.6a8.214. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1≠0，a 1＋a 5＝3a 2，则1020S a =_____． 15. 已知F 1，F 2，分别为双曲线C ：22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，过F 2作C 的两条渐近线的平行线，与渐近线交于M ，N 两点．若15cos 13MF N ∠=，则C 的离心率为____． 16. 如图，在△ABC 所在平面内，分别以AB ，BC 为边向外作正方形ABEF 和正方形BCHG ．记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ．已知34S =，且a sinA ＋c sin C ＝4a sin C sinB ，则FH ＝_____________．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤..17. 将函数()sin f x x =的图象先向右平移π4个单位长度，再将所得函图象上所有点的横坐标变为原来的1ω（ω＞0）倍（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象．（1）若2ω=，求函数()y g x =在区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值；（2）若函数()y g x =在区间ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上没有零点，求ω的取值范围．18. 已知数列{}n a 满足11a =，25a =，2156n n n a a a ++=-． （1）证明：{}12n n a a +-是等比数列；（2）证明：存在两个等比数列{}n b ，{}n c ，使得n n n a b c =+成立．19. 综合素质评价是高考招生制度改革的内容之一．某高中采用多维评分的方式进行综合素质评价．下图是该校高三学生“运动与建康”评价结果的频率直方图，评分在区间[90，100），[70，90），[60，70），[50，60）上，分别对应为A ，B ，C ，D 四个等级．为了进一步引导学生对运动与健康的重视，初评获A 等级的学生不参加复评，等级不变，对其余学生学校将进行一次复评．复评中，原获B 等级的学生有14的概率提升为A 等级：原获C 等级的学生有15的概率提升为B 等级：原获D 等级的学生有16的概率提升为C 等级．用频率估计概率，每名学生复评结果相互独立．（1）若初评中甲获得B 等级，乙、丙获得C 等级，记甲、乙、丙三人复评后等级为B 等级的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；（2）从全体高三学生中任选1人，在已知该学生是复评晋级的条件下，求他初评是C 等级的概率． 20. 如图，三棱锥P －ABC 的底面为等腰直角三角形，∠ABC ＝90°，AB ＝2．D ，E 分别为AC ，BC 的中点，PD ⊥平面ABC ，点M 在线段PE 上．（1）再从条件①、②、③、④四个条件中选择两个作为已知，使得平面MBD ⊥平面PBC ，并给予证明； （2）在（1）的条件下，求直线BP 与平面MBD 所成的角的正弦值．条件①：PD =条件②：∠PED ＝60°； 条件③：PM ＝3ME ： 条件④：PE ＝3ME ．21. 已知抛物线21:2(0)C y px p =>与22:2(0)C x qy q =>都经过点(4,8)A ． （1）若直线l 与12,C C 都相切，求l 的方程；（2）点,M N 分别在12,C C 上，且94MA NA OA +=，求AMN 的面积．22. 已知函数()cos f x x x =，()sin g x a x =． （1）若1a =，证明：当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()()x g x f x >>； （2）当ππ,00,22x ⎛⎫⎛⎫∈-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()()sin f x x g x x <，求a 取值范围． 参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知U ＝R ，A ＝{x |x 2－4x ＋3≤0}，B ＝{x ||x －3|＞1}，则A ∪U B ð＝（ ）A. {x |1≤x ≤4}B. {x |2≤x ≤3}C. {x |1≤x ＜2}D. {x |2＜x ≤3}【答案】A 【解析】【分析】先化简集合A ，B ，再利用集合的补集和并集运算求解. 【详解】解：因为{}13A x x =≤≤，{4B x x =或}2x <， 所以{}24U B x x =≤≤ð，(){}14U A B x x ⋃=≤≤ð，的故选：A ．2. 设向量,a b 均为单位向量，则“a b ⊥”是“22a b a b -=+ ”的（ ）A. 充分不必要条件B. 充要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】将22a b a b -=+ 两边平方转化为0a b ⋅=，从而得到与a b ⊥ 之间的关系.【详解】若a b ⊥ ，则0a b ⋅=，所以2222445a b a a b b -=-⋅+= ， 2222445a b a a b b +=+⋅+= ，所以22a b a b -=+ ，满足充分性； 若22a b a b -=+ ，两边平方得0a b ⋅= ，所以a b ⊥ ，满足必要性．故选：B ．3. 某人将斐波那契数列的前6项“1，1，2，3，5，8”进行排列设置数字密码，其中两个“1”必须相邻，则可以设置的不同数字密码有（ ） A. 120种 B. 240种 C. 360种 D. 480种【答案】A 【解析】【分析】将两个1捆绑在一起，可以设置的不同数字密码有55A 种，计算即可.【详解】将两个1捆绑在一起，则可以设置的不同数字密码有55A 120=种.故选：A4. 星载激光束与潜艇通信传输中会发生信号能量衰减．已知一星载激光通信系统在近海水下某深度的能量估算公式为7310r P E E S-=⨯，其中E P 是激光器输出的单脉冲能量，E r 是水下潜艇接收到的光脉冲能量，S 为光脉冲在潜艇接收平面的光斑面积（单位：km 2，光斑面积与卫星高度有关）．若水下潜艇光学天线接收到信号能量衰减T 满足10lgrPE E Γ=（单位：dB ）．当卫星达到一定高度时，该激光器光脉冲在潜艇接收平面的光斑面积为75km 2，则此时Γ大小约为（ ）（参考数据：1g2≈0.301） A. －76.02 B. －83.98C. －93.01D. －96.02【答案】B 【解析】 【分析】由7310r P E E S-=⨯，可得9410r P E E -=⨯，代入10lg r P E E Γ=，由对数的性质求解即可.【详解】因为7310r P E E S-=⨯，该激光器光脉冲在潜艇接收平面的光斑面积为75km 2， 所以77933101041075r P E E S ---=⨯=⨯=⨯， 则910lg 41010lg 490100.6029083.98-Γ=⨯=-=⨯-=-， 故选：B ．5. 已知底面半径为r 的圆锥SO ，其轴截面是正三角形，它的一个内接圆柱的底面半径为3r，则此圆柱与圆锥的侧面积的比值为（ ） A.29B.C.23D.【答案】D 【解析】【分析】由SOM SOB ~可得123OO SO ==，分别表示出圆柱的侧面积和圆锥侧面积，即可得出答案.【详解】圆锥，如图，由SOM SOB ~ 可得：1113O M SO OB SO ==，∴113SO SO =，∴123OO SO ==,圆柱侧面积2112π3S r r =⋅=， 圆锥侧面积2212π22π2S r r r =⋅⋅=，1212S S ==. 故选：D ．的6. 已知F 为椭圆C ：2214x y +=的右焦点，P 为C 上一点，Q 为圆M ：()2231x y +-=上一点，则PQ＋PF 的最大值为（ ） A. 3 B. 6C. 4+D. 5+【答案】D 【解析】【分析】由椭圆的定义结合题意可得11145PQ PF PM PF PM r PF MF +≤++=++-≤+，即可求出PQ ＋PF 的最大值.【详解】圆M ：()2231x y +-=的圆心为()0,3,1M r =，设椭圆的左焦点为1F ，如下图，由椭圆的定义知，124PF PF a +==， 所以14PF PF =-，所以1111455PQ PF PM PF PM r PF PM PF MF +≤++=++-=+-≤+，当且仅当1,,M P F 三点在一条直线上时取等，()0,3M ，()1F ，1MF =()max 5PQ PF +=+.故选：D ．7. 已知()()()cos 40cos 40cos 800θθθ︒-+︒++︒-=，则tan θ=（ ）A. B. C.D.【答案】A 【解析】【分析】利用和差角公式展开，得到2cos 40cos cos80cos sin80sin 0θθθ︒+︒+︒=，即可得到2cos 40cos80tan sin 80θ︒+︒=-︒，再利用两角差的余弦公式计算可得.【详解】因()()()cos 40cos 40cos 800θθθ︒-+︒++︒-=，为所以cos 40cos sin 40sin cos 40cos sin 40sin cos80cos sin 80sin 0θθθθθθ︒+︒+︒-︒+︒+︒=， 所以2cos 40cos cos80cos sin80sin 0θθθ︒+︒+︒=， 所以2cos 40cos80sin80tan 0θ︒+︒+︒=， 所以2cos 40cos80tan sin 80θ︒+︒=-︒()2cos 12080cos80sin 80︒-︒+︒=-︒()2cos120cos80sin120sin 80cos80sin 80︒︒+︒︒+︒=-==︒故选：A ．8. 已知23log log a b =，23log log b c =（b ＞1），则（ ） A. 1222a b c +>+B. 1222b a c +>+C. 5542log log log b a c <+D. 545log log log b a c >+【答案】C 【解析】【分析】分别取3b =，4b =，4a =，利用对数运算求解判断. 【详解】若3b =，则21log a =，∴2a =，()2ln 3ln ln 2c =，122a b +=，故A 错．若4b =，则23log 4log c =，∴9c =，122c b +>，故B 错．若4a =，则9b =，22ln 3ln 3.5ln 2c =≈， 3.5e c =．对于C ， 3.53.5 3.55455555log 4log elog 93.4log e log 4e log 4e>2log 5>+=+=，故C 对，对于D ， 3.53.5555log 91log e log 5e >+=，而3e 20≈，故D 错，故选：C ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 设z 为复数（i 为虚数单位），下列命题正确的有（ ） A. 若z ∈R ，则z ＝z B. 若z 2∈R ，则z ∈RC. 若z 2＋1＝0，则z ＝iD. 若（1＋i ）z ＝1－i ，则|z |＝1【答案】AD 【解析】【分析】设i z a b =+.A 选项，0b =，后由共轭复数定义可得答案；B 选项，注意到2i 1=-；C 选项，注意到()21-i=-；D 选项，利用复数除法可得z ，后由复数模公式可判断选项正误.【详解】设i z a b =+.A 选项，因z ∈R ，则0b =，则i i z a b a b z =+=-=，故A 正确；B 选项，注意到21i R =-∈，但i R ∉，故B 错误；C 选项，注意到()21-i=-，则z 有可能为i -，故C 错误；D 选项，()()()21i 1i2i i 1i 1i 1i 2z ---====-++-，则1z =，故D 正确 故选：AD10. 已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各棱长都为1，E 为AB 的中点，则（ ） A. BC 1∥平面A 1ECB. 二面角A 1－EC －AC. 点A 到平面A 1BC 1D.【答案】ACD 【解析】【分析】A 选项，连接11,A C AC ，使相交于F ，连接EF ，通过证明1EF BC ∥即可判断选项正误；B 选项，通过证明CE ⊥平面11ABB A ，可得二面角A 1－EC －A 的平面角为1A EA α=∠；C 选项，利用等体积法结合11B AA C V -可得答案；D 选项，利用正弦定理，可得ABC 外接圆半径，后可得球的半径. 【详解】A 选项，连接11,A C AC ，使相交于F ，连接EF ，因F ，E 分别为1,AC AB 中点， 则1EF BC ∥，因EF ⊂平面1A CE ，1BC ⊄平面1A CE ，则BC 1 平面A 1EC ，故A 正确； B 选项，由题可得1A A ⊥平面ABC ，又CE ⊂平面ABC ，则1CE A A ⊥.又CEAB ⊥，1∩AA AB A =，1AA ⊂平面11AA B B ，AB ⊂平面11AA B B ，则CE ⊥平面11AA B B .又1A E ⊂平面11AA B B ，则1CE A E ⊥，结合CEAB ⊥，可知二面角A 1－EC －A 的平面角为1A EA α=∠，则11si n AA αA E===，故B 错误；C 选项，设点A 到平面A 1BC 1的距离为d ，取AC 中点为G ，连接BG ..则111111111133B AA C AA C A BC A A BC V S BG S d V --=⋅== ，又111111122AA C S AA A C =⋅=，BG =，11111BA BC A C ===，由余弦定理可得11221344cos A BC +-∠==，则11si n A BC ∠==，得11111112si n A BC SBA BC A BC =⋅⋅∠=则1111AA C A BC S BG d S ⋅=== C 正确. D 选项，设ABC 外接圆半径为r，由正弦定理，2r r =⇒=又设三棱锥外接球半径为R ，则三棱锥外接球与以111,A A C C B B外接圆为底面的圆柱外接球相同，则R ===.故D 正确 故选：ACD11. 已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，()()2f x f x +=-，()()4f x f x -+=-，且当01x <≤时，()33f x x x =-，则（ ）A. ()32f =-B. ()()πe f f >C. 3322f f ⎛⎫⎛⎫''=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D. 702f ⎛⎫'>⎪⎝⎭【答案】BC 【解析】【分析】本题根据函数对称性，周期性与导数与单调性相关知识可得结果.【详解】因()()2f x f x +=-，则()f x 关于1x =对称，又因()()4f x f x -=-，则()f x 关于()2,0对称，所以()f x 的周期为4，A ：因()()4f x f x -=-，所以()()130f f +=，当01x <≤时，()33f x x x =-，所以()1132f =-=-，∴()32f =，故A 错．B ：当01x <≤时()2330f x x '=-<，∴()f x 在(]0,1上单调递减， ()()π4πf f =--，()()()()e 4e 22e e 2f f f f =--=-+-=--，因0e 24π1<-<-<，所以()()e -24πf f >-，即()()e -24πf f -<--， 所以()()πe f f >，故B 正确.C ：()f x 关于1x =对称且关于()2,0对称，所以()f x 关于()0,0对称，即()f x 为奇函数，()f x '∴为偶函数，故C 正确.D ：因()f x 在(]0,1上单调递减，()f x 关于()0,0对称，所以()f x 在[)1,0-上单调递减，因()f x 的周期为4，所以()f x 在[)3,4上单调递减，所以702f ⎛⎫'< ⎪⎝⎭，D 错误. 故选：BC.12. 设A ，B 是一个随机试验中的两个事件，且()13P A =，()34P B =，()12P A B +=，则（ ） A. ()16P AB =B. ()34P B A =C. ()()P B P B A = D. ()712P AB AB +=【答案】BCD 【解析】【分析】利用和事件的概率公式和条件概率公式可得. 【详解】对于A ：()()()()P A B P A P B P AB +=+-，()111234P AB =+-， 所以()112P AB =，故A 错误； 对于B ：()()()P AB P AB P A += ，()11123P AB ∴+=，∴()14P AB =，()()()134143P AB P B A P A ===，故B 正确；对于C ：1()112()1()43P AB P B A P A ===，()14P B =，∴()()P B A P B =，故C 正确. 对于D ：()()()()112P AB AB P AB P AB P AB +=+=+， ()()()P B P AB P AB =+ ，∴()3144P AB =+，∴()12P AB =， ∴()11712212P AB AB +=+=，所以D 正确. 故选：BCD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 某工厂月产品的总成本y （单位：万元）与月长量x （单位：万件）有如下一组数据，从散点图分析可知y 与x 线性相关．如果回归方程是 3.5y x =+，那么表格中数据a 的值为______．x /万件1 2 3 4 y /万件3.85.6a8.2【答案】6.4##325【解析】【分析】分别求出工厂总成本和月长量的平均值，代入回归方程，即可求出表格中数据a 的值. 【详解】由题意及表知，1234542x +++==，()117.63.8 5.68.244a y a +=+++=，∵回归方程是 3.5y x =+， ∴17.6 2.5 3.54a+=+， ∴ 6.4a =． 故答案为：6.4.14. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1≠0，a 1＋a 5＝3a 2，则1020S a =_____．【答案】114##2.75 【解析】【分析】由1523a a a +=，得到1a 与d 的关系，再利用等差数列的前n 项和公式和通项公式求解. 【详解】解：1523a a a += ， ∴112433a d a d +=+， ∴1a d =，1012011045551119204S a d d a a d d +===+． 故答案为：11415. 已知F 1，F 2，分别为双曲线C ：22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，过F 2作C 的两条渐近线的平行线，与渐近线交于M ，N 两点．若15cos 13MF N ∠=，则C 的离心率为____．【解析】【分析】根据二倍角公式求出2ba=，再求出离心率即可. 【详解】易知MN 关于x 轴对称，令12MF F α∠=，5cos213α=， ∴2159cos121313α⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，24sin 13α=，∴24tan 9α=，∴2tan 3α=．()22b c y x x a bc b y y x c a a ⎧⎧==⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪==--⎪⎪⎩⎩，,22c bc M a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，22tan 332bc a c α==， ∴2ba=，∴c e a ===． 故答案为:16. 如图，在△ABC 所在平面内，分别以AB ，BC 为边向外作正方形ABEF 和正方形BCHG ．记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ．已知34S =，且a sin A ＋c sin C ＝4a sin C sin B ，则FH ＝_____________．【答案】【解析】【分析】通过正弦定理化简已知条件，再结合面积公式和余弦定理即可求出FH 的长度. 【详解】由题意， 在ABC 中，34S =，sin sin 4sin sin a A c C a C B +=， 由正弦定理，sin sin sin a b cA B C==， ∵13sin 24S ac B ==， ∴224sin 6a c ac B +==， 连接,,BF BH FH 如下图所示，BFH △中，由余弦定理， 2222cos FH FB HB FB HB FBH =+-⋅⋅∠， 又3π2FBH B ∠=-，在∴()222223π2cos 24sin 182FH FB HB FB HB B c a ac B ⎛⎫=+-⋅⋅-=++= ⎪⎝⎭，∴FH =故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 将函数()sin f x x =的图象先向右平移π4个单位长度，再将所得函图象上所有点的横坐标变为原来的1ω（ω＞0）倍（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象． （1）若2ω=，求函数()y g x =在区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值； （2）若函数()y g x =在区间ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上没有零点，求ω的取值范围．【答案】（1（2）150,1,22⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦．【解析】【分析】（1）由函数图象变换知识可得()πsin 24g x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，后由()y g x =单调性可得最值情况；（2）由（1）结合题意可知()πππ44ππ1π24k k ωω⎧-≥⎪⎪⎨⎪-≤+⎪⎩，Z k ∈.后由54122≤k k ++可进一步确认k 大致范围，后可得答案.【小问1详解】函数()sin f x x =的图象先向右平移π4个单位长度，则解析式变为： πsin 4x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，再将所得函图象上所有点的横坐标变为原来的1ω（ω＞0）倍（纵坐标不变），则解析式变为4πsi n ωx ⎛⎫-⎪⎝⎭.则()πsin 24g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 当ππ44x -≤≤时，3πππ2444≤≤x --，因函数sin y x =在342ππ,⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减，在ππ,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，12πsi n ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，3444πππm ax si n ,si n si n ⎧⎫⎛⎫-==⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭∴π1sin 24≤≤x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∴()y g x =在区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 【小问2详解】()πsin 4g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ω，当ππ42x <<时，πππππ44424x -<-<-ωωω，要使()g x 在ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上无零点，则()πππ44ππ1π24k k ωω⎧-≥⎪⎪⎨⎪-≤+⎪⎩，Z k ∈.54122k k ω⇒++≤≤，k ∈Z ，0ω>，5341224k k k ++⇒≤≤，当0k =时，512ω≤≤；当1k =-时，113022ωω-⇒<≤≤≤， 当2k ≤-时，0ω<舍去．综上：ω的取值范围为150,1,22⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦．18. 已知数列{}n a 满足11a =，25a =，2156n n n a a a ++=-． （1）证明：{}12n n a a +-是等比数列；（2）证明：存在两个等比数列{}n b ，{}n c ，使得n n n a b c =+成立． 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析 【解析】分析】（1）由2156n n n a a a ++=-构造出()21122n n n n a a q a a +++-=-，用等比数列定义证明即可； （2）通过两次构造等比数列，求出{}n a 的通项公式，根据通项公式得出结论即可. 【小问1详解】由已知，2156n n n a a a ++=-，∴21112562n n n n n a a a a a ++++-=--， ∴()211123632n n n n n n a a a a a a ++++-=-=-，显然120n n a a +-=与11a =，25a =矛盾，∴120n n a a +-≠，【∴211232n n n na a a a +++-=-，∴数列{}12n n a a +-是首项为212523a a -=-=，公比为3的等比数列. 【小问2详解】∵2156n n n a a a ++=-，∴21113563n n n n n a a a a a ++++-=--， ∴()211132623n n n n n n a a a a a a ++++-=-=-，显然130n n a a +-=与11a =，25a =矛盾，∴130n n a a +-≠， ∴∴211323n n n na a a a +++-=-，∴数列{}13n n a a +-是首项为213532a a -=-=，公比为2的等比数列， ∴132nn n a a +-=，①，又∵由第（1）问，123nn n a a +-=，②， ∴②-①得，32nnn a =-，∴存在3nn b =，2n n c =-，两个等比数列{}n b ，{}n c ， 使得n n n a b c =+成立．19. 综合素质评价是高考招生制度改革的内容之一．某高中采用多维评分的方式进行综合素质评价．下图是该校高三学生“运动与建康”评价结果的频率直方图，评分在区间[90，100），[70，90），[60，70），[50，60）上，分别对应为A ，B ，C ，D 四个等级．为了进一步引导学生对运动与健康的重视，初评获A 等级的学生不参加复评，等级不变，对其余学生学校将进行一次复评．复评中，原获B 等级的学生有14的概率提升为A 等级：原获C 等级的学生有15的概率提升为B 等级：原获D 等级的学生有16的概率提升为C 等级．用频率估计概率，每名学生复评结果相互独立．（1）若初评中甲获得B 等级，乙、丙获得C 等级，记甲、乙、丙三人复评后等级为B 等级的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；（2）从全体高三学生中任选1人，在已知该学生是复评晋级的条件下，求他初评是C 等级的概率． 【答案】（1）分布列见解析，2320（2）18113【解析】【分析】（1）求出ξ的所有可能取值及其对应的概率，即可求出ξ的分布列，再由期望公式求出ξ的数学期望；（2）记事件A 为“该学生复评晋级”，事件B 为“该学生初评是C ”，由条件概率公式代入求解即可. 【小问1详解】ξ的所有可能取值为0，1，2，3，()1444045525P ξ==⨯⨯=，()1234411414145545525P C ξ==⨯⨯+⨯⋅⨯=，()12314111124554554P C ξ==⨯⋅⨯+⨯⨯=，()31133455100P ξ==⨯⨯=， ∴ξ的分布列如下：ξ0 1 2 3P425 1425 14 3100()14191152325210010020E ξ=++==． 【小问2详解】记事件A 为“该学生复评晋级”，事件B 为“该学生初评是C ”，()()()10.151851111130.60.150.05456P AB P B A P A ⨯===⨯+⨯+⨯．20. 如图，三棱锥P －ABC 的底面为等腰直角三角形，∠ABC ＝90°，AB ＝2．D ，E 分别为AC ，BC 的中点，PD ⊥平面ABC ，点M 在线段PE 上．（1）再从条件①、②、③、④四个条件中选择两个作为已知，使得平面MBD ⊥平面PBC ，并给予证明； （2）在（1）的条件下，求直线BP 与平面MBD 所成的角的正弦值．条件①：PD =条件②：∠PED ＝60°； 条件③：PM ＝3ME ： 条件④：PE ＝3ME ． 【答案】（1）答案见解析（2）答案见解析 【解析】【分析】（1）如图，建立以D 为原点的空间直角坐标系，设()0,0,P t ，PM λPE =，由平面MBD ⊥平面PBC ，可得两平面法向量互相垂直，即可得221t λt =+，据此可知可选择①④或②③；（2）由（1）所建立空间直角坐标系及平面MBD 法向量，利用向量方法可得答案. 【小问1详解】因PD ⊥平面ABC ，DB ⊂平面ABC ，DC ⊂平面ABC ，则,PD DB PD DC ⊥⊥， 又由题可知DB DC ⊥，则如图，建立以D 为原点的空间直角坐标系，则)B，()0,0,0D，()C，E ⎫⎪⎪⎭，设()0,0,P t ()0t >，()01PM λPE λ=<<.则)DB =，)0,PB t =-，()0,PC t =-，,,PE t ⎫=-⎪⎪⎭，()00,,DP t =.故()1,,DM DP PM DP λPE λλλt ⎫=+=+=-⎪⎪⎭. 设平面MBD 法向量为()1111,,n x y z =，则()111111010DB n DM n x y tz λ⎧⋅==⎪⎨⋅=++-=⎪⎩，令11y =，可得101,,n ⎛= ⎝ ； 设平面PBC 法向量为()2222,,n x y z =，则2222220PB n tz PC n tz ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，可令221x y ==，可得211,,n ⎛= ⎝ . 要使平面MBD ⊥平面PBC ，需满足()12221021λn n λt ⋅=+=⇒-221t λt =+.注意到条件①t ⇔=，PD ⊥平面ABC ，DE ⊂平面ABC ，PD DE ⊥，又由题可知1DE =，则条件②t ⇔=条件③34λ⇔=，条件④23λ⇔=. 则当条件①④成立或条件②③成立时，都有221t λt =+，即可以使平面MBD ⊥平面PBC ；【小问2详解】由（1），当选择①④时，t =，(P ，23λ=.则(BP =，平面MBD法向量为()101011,,,,n ⎛==- ⎝，设BP 与平面MBD 所成角为θ，则111sin 2BP n BP n ⋅===⋅θ；当选择②③时，t =，(P ，34λ=.则(0,BP =，平面MBD法向量10101,,,,n ⎛⎛==- ⎝⎝， 设BP 与平面MBD 所成角为θ，则113sin 5BP n BP n ⋅===⋅θ；.21. 已知抛物线21:2(0)C y px p =>与22:2(0)C x qy q =>都经过点(4,8)A ． （1）若直线l 与12,C C 都相切，求l 的方程；（2）点,M N 分别在12,C C 上，且94MA NA OA +=，求AMN 的面积．【答案】（1）220x y ++=（2）27 【解析】【分析】（1）根据题意求得21:16C y x =，22:2C x y =，利用导数的几何意义，求得切线l 的方程202x y x x =-，根据l 为曲线12,C C 的公切线，联立方程组，结合Δ0=，进而求得l 的方程； （2）设()211,4M t t ，()2222,2N t t ，根据94MA NA OA += ，列出方程得到关系式()()()12121220t t t t t t +---=，分类讨论，即可求解．【小问1详解】因为曲线12,C C 都过点()4,8A ，所以8641616p q=⎧⎨=⎩，解得8,1p q ==，即21:16C y x =，22:2C x y =设直线l 与曲线2C 相切于点200,2x Q x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，令()22x f x =，可得()f x x '=，则切线的斜率()00k f x x '==，所以切线方程为()20002x y x x x =-+，即2002x y x x =-，由2002216x y x x y x ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，整理得22001680x y y x --=， 因为l 为曲线12,C C 的公切线，所以30Δ256320x =+=，解得02x =-，所以直线l 的方程为22y x =--，即220x y ++=． 【小问2详解】设()211,4M t t ，()2222,2N t t ，又()4,8A ，()()()221212982,16424,89,184MA NA t t t t +=----=⨯= ，所以212212829164218t t t t ⎧--=⎨--=⎩，可得212221210210t t t t ⎧++=⎨++=⎩，两式相减得到()()()12121220t t t t t t +---=，当121t t ==-时，()1,4M -，()2,2N -，此时()3,12MA = ，()6,6NA =，则MA =，NA = 90MA NA ⋅=，可得,co s MA NA MA NA MA NA ⋅===，所以,sin MA NA =所以1,1sin 2272AMNS MA NA MA NA ⋅=== ； 当12t t ≠时，122t t +=，此时211250t t -+=方程无解，（舍去），综上，可得AMN 的面积为27．22. 已知函数()cos f x x x =，()sin g x a x =．（1）若1a =，证明：当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()()x g x f x >>；（2）当ππ,00,22x ⎛⎫⎛⎫∈-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()()sin f x x g x x <，求a 的取值范围． 【答案】（1）证明见解析（2）()[),01,-∞⋃+∞． 【解析】【分析】（1）令()sin h x x x =-，对()h x 求导，得到()h x 的单调性可证得sin x x >，令()sin cos k x x x x =-，对()k x 求导，可得()k x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，即可证得sin cos x x x >，即可证得()()x g x f x ><； （2）由题意分析可得要使()()sin f x x g x x <恒成立即π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()sin cos 0sin x x x F x x a x =->恒成立，通过放缩变形证明()0F x >恒成立，即可求出a 的取值范围. 【小问1详解】当1a =时，()sin g x x =，所以即证：sin cos x x x x >>，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 先证左边：sin x x >，令()sin h x x x =-，()1cos 0h x x '=->，()h x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，∴()()00h x h >=，即sin x x >．再证右边：sin cos x x x >，令()sin cos k x x x x =-，()cos cos sin sin 0k x x x x x x x =-+=>'，∴()k x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，∴()()00k x k >=，即sin cos x x x >， ∴π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()x g x f x >>． 【小问2详解】()()sin sin cos sin f x x x x xx g x x a x-=-， 令()sin cos sin x x x F x x a x =-，ππ,00,22x ⎛⎫⎛⎫∈-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为()()F x F x -=，所以题设等价于()0F x >在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭恒成立，由（1）知，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin cos x x x >>，于是：①当0a <时，()0F x >恒成立；②当0a >时，()0F x >等价于22sin cos 0a x x x ->， （i ）当01a <<时，22sin cos a x x x -()222cos cos ax x x x a x <-=-，令()cos p x a x =-，因为()cos p x a x =-在π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上递增， 且()π010,02p a p a ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，所以存在π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使()0p β=， 所以当0x β<<，()0p x <，即()2cos 0x a x -<，不合题意；(ii)当1a ≥时，2222sin cos sin cos a x x x x x x -≥- 令()22sin cos r x x x x =-，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 则()222sin cos 2cos sin 2sin cos 2sin sin r x x x x x x x x x x x x =-+>-'+，()2222221cos sin 4sin sin 4sinsin 0222x x x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎡⎤=--=-=->⎢⎥ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以()r x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以()()00r x r >=，所以22sin cos 0a x x x ->，所以()0F x >. 综上：a 的取值范围为()[),01,-∞⋃+∞．【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式或在不等式中求参数的取值范围的问题，常见的几种方法有： （1）直接构造函数法：证明不等式()()f x g x >转化为证明()()0f x g x ->，进而构造辅助函数()()()h x f x g x =-；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.。

南京市2023届高三年级期末调研模拟数学一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{}{}113,202x M x x N x =+-≤<=<≤则M N ⋂=（）A.{}04x x ≤<B.{}04x x <<C.{}14x x ≤< D.{}14x x <<【答案】D 【解析】【分析】将集合,M N 分别化简，然后结合交集的运算即可得到结果.【详解】因为{}113M x x =+-≤<，则[)0,4M =，又因为{}202xN x =<≤，则(]1,4N =，所以()1,4M N ⋂=.故选：D.2.若复数z 满足||2,3z z z z -=⋅=，则2z 的实部为（）A.2- B.1- C.1D.2【答案】C 【解析】【分析】设复数i,(,R)z x y x y =+∈，则i z x y =-,故根据||2,3z z z z -=⋅=可求得222,1x y ==，结合复数的乘方运算，可求得答案.【详解】设复数i,(,R)z x y x y =+∈，则i z x y =-，则由||2,3z z z z -=⋅=可得|2i |2y =且223x y +=，解得222,1x y ==，故2222(i)2i x y x y x z y =+=-+，其实部为22211x y -=-=.故选：C.3.若等差数列{}n a 的前5项和为75，422a a =，则9a =（）A.40B.45C.50D.55【答案】B【解析】【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，根据等差数列前n 项和与基本量1a 和d 的关系将题目条件全部转化为基本量的关系，即可求解.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，根据题意可得()11154575232a d a d a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=+⎩，解得15a =，5d =，91845a a d ∴=+=.故选：B.4.已知随机变量X 服从正态分布()22,N σ，且()()1235P X P X -<≤=>，则()150.75P X -<≤==（）A.0.5B.0.625C.0.75D.0.875【答案】C 【解析】【分析】根据正态分布的对称性，由题中条件，直接求解即可.【详解】因为()22,X N σ，()()1225P X P X -<≤=≤<并且()20.5P X ≥=又因为()()1235P X P X -<≤=>，所以()()()()2255450.5P X P X P X P X ≥=≤<+>=>=，所以()50.125P X >=所以()250.50.1250.375P X ≤<=-=，所以()150.75P X -<≤=故选：C5.若正n 边形12n A A A L 的边长为2，21121n i i i i i A A A A -+++=⋅=∑，则n =（）A.6 B.8 C.10D.12【答案】D 【解析】【分析】设正n 边形的内角为θ，根据数量积公式可得1124cos i i i i A A A A θ+++⋅=-，由于21121n i i i i i A A A A -+++=⋅=∑ ()cos 22πn n n -=--，分别代入各选项的n 即可判断正误.【详解】解：设正n 边形的内角为θ，则()2πn nθ-=，()11222cos π4cos i i i i A A A A θθ+++∴⋅=⨯-=-，()2112142cos n i i i i i A A A A n θ-+++=⋅=--∑即()()()42cos cos22π2πn n n n n n--=---=⇒-，当6n =时，()262ππ21cos cos 3662-==-≠--，A 选项错误；当8n =时，()282ππ3coscos 4882-==-≠--，B 选项错误；当10n =时，()43coscos sin sin 51032102ππππ10==-->-=-，由于82-<，所以4cos 5π8-≠，C 选项错误；当12n =时，()5co 122ππs cos 6212122-==-=--，D 选项正确；故选：D.6.已知O 为坐标原点，椭圆C ：2221(1)x y a a+=>，C 的两个焦点为F 1，F 2，A 为C 上一点，其横坐标为1，且|OA |2=|AF 1|·|AF 2|，则C 的离心率为（）A.14B.24C.12D.22【答案】D 【解析】【分析】设()01,A y ，由220||1OA y =+，10||AF a ex =+，20||AF a ex =-，根据题意列方程可得结果.【详解】设0(1,)A y ，则20211y a +=，即：20211y a =-，∴2202211||1112OA y a a =+=+-=-.又∵10||AF a ex a e =+=+，20||AF a ex a e =-=-，∴2212||||AF AF a e =-.又∵212||||||OA AF AF =,∴22212a e a-=-.①又∵222222111c a e a a a -===-②，1a >③，∴由①②③得：22a =，212e =.又∵01e <<,∴22e =.故选：D.7.若()()sin 2sin ,sin tan 1αβαβαβ=+⋅-=，则tan tan αβ=（）A.2B.32C.1D.12【答案】A 【解析】【分析】由三角恒等变换化简结合已知条件求解即可【详解】因为()()cos cos cos sin sin cos cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβ⎧+=-⎪⎨-=+⎪⎩，所以()()1sin sin cos cos 2αβαβαβ⎡⎤=--+⎣⎦，所以()()()1sin sin cos 2cos 22αβαββα+-=-，又()()sin tan 1αβαβ+⋅-=，所以()()()sin sin 1cos αβαβαβ-+⋅=-即()()()sin sin cos αβαβαβ+-=-，所以()()1cos 2cos 2cos 2βααβ-=-，所以()()22112sin 12sin cos 2βααβ--+=-即()22sin sin cos αβαβ-=-，又sin 2sin αβ=，所以224sin sin cos cos sin sin ββαβαβ-=+，所以2224sin sin cos cos 2sin ββαββ-=+，所以2sin cos cos βαβ=，所以1sin sin cos cos 2αβαβ=即sin sin 2cos cos αβαβ=，又易知cos cos 0αβ≠，所以sin sin 2cos cos αβαβ=，即tan tan 2αβ=，故选：A8.若函数()f x 的定义域为Z ，且()()()[()()]f x y f x y f x f y f y ++-=+-，(1)0(0)(2)1f f f -===，，则曲线|()|y f x =与2log y x =的交点个数为（）A.2B.3C.4D.5【答案】B 【解析】【分析】利用赋值法求出当Z x ∈，且x 依次取0,1,2,3 ，时的一些函数值，从而找到|()|y f x =函数值变化的规律，同理找到当Z x ∈，且x 依次取1,2,3--- ，时，|()|y f x =函数值变化的规律，数形结合，即可求得答案.【详解】由题意函数()f x 的定义域为Z ，且()()()[()()]f x y f x y f x f y f y ++-=+-，(1)0(0)(2)1f f f -===，，令1y =，则[]()(1)(1)()(1)1(1())f x f x f x f f x f f ++-==+-，令1x =，则2(2)(0)(1)f f f +=，即2(1)2f =，令2x =，则(3)(1)(2)(1)f f f f +=，即(3)0f =，令3x =，则(4)(2)(3)(1)f f f f +=，即(4)1f =-，令4x =，则(5)(3)(4)(1)f f f f +=，即(5)(1)f f =-，令5x =，则(6)(4)(5)(1)f f f f +=，即2(6)1(1),(6)1f f f -=-∴=-，令6x =，则(7)(5)(6)(1)f f f f +=，即(7)(1)(1),(7)0f f f f -=-∴=，令7x =，则(8)(6)(7)(1)f f f f +=，即(8)10,(8)1f f -=∴=，依次类推，可发现此时当Z x ∈，且x 依次取0,1,2,3 ，时，函数|()|y f x =的值依次为1 ，，即每四个值为一循环，此时曲线|()|y f x =与2log y x =的交点为(2,1)；令=1x -，则(0)(2)(1)(1)0,(2)1f f f f f +-=-=∴-=-，令2x =-，则(1)(3)(2)(1)(1),(3)(1)f f f f f f f -+-=-=-∴-=-，令3x =-，则2(2)(4)(3)(1)(1),(4)1f f f f f f -+-=-=-∴-=-，令4x =-，则(3)(5)(4)(1)(1),(5)0f f f f f f -+-=-=-∴-=，令5x =-，则(4)(6)(5)(1)0,(6)1f f f f f -+-=-=∴-=，令6x =-，则(5)(7)(6)(1)(1),(7)(1)f f f f f f f -+-=-=∴-=，令7x =-，则2(6)(8)(7)(1)(1),(8)1f f f f f f -+-=-=∴-=，依次类推，可发现此时当Z x ∈，且x 依次取1,2,3--- ，时，函数|()|y f x =的值依次为0,11 ，，即每四个值为一循环，此时曲线|()|y f x =与2log y x =的交点为(1,0),(2,1)--；故综合上述,曲线|()|y f x =与2log y x =的交点个数为3，故选：B【点睛】难点点睛：确定曲线|()|y f x =与2log y x =的交点个数，要明确函数|()|y f x =的性质，因此要通过赋值求得|()|y f x =的一些函数值，从中寻找规律，即找到函数|()|y f x =的函数值循环的规律特点，这是解答本题的难点所在.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知点()cos ,sin A αα，()2cos B ββ，其中[),0,2αβπ∈，则（）A.点A 的轨迹方程为221x y +=B.点B 的轨迹方程为22143x y +=C.AB 1D.AB 1【答案】ABC 【解析】【分析】将,A B 点坐标代入方程，即可判断A 、B 项；根据三角形三边关系，结合图象，即可求出AB 的最小值与最大值，即可判断C 、D 项.【详解】对于A 项，将A 点坐标代入，可得22cos sin 1αα+=成立，故A 项正确；对于B 项，将B 点坐标代入，可得())22222cos cos sin 143ββββ+=+=成立，故B 项正确；对于C 项，A 点轨迹为以()0,0为圆心，1为半径的圆.B 点轨迹为椭圆.两者位置关系如下图：显然1BO AO >=，因为1AB BO AO BO ≥-=-，当且仅当,,A B O 三点共线时（如图11,A B 或22,A B ），等号成立.所以，min min 1AB BO =-，当点B 为短轴顶点时，取得最小值，即min BO b ==，所以min 1AB =，故C 项正确；对于D 项，因为1AB AO BO BO ≤+=+，当且仅当,,A B O 三点共线时（如图33,A B 或44,A B ），等号成立.所以，max max 1AB BO =+，当点B 为长轴顶点时，取得最大值，max 2BO a ==，所以max 3AB =，故D 项错误.故选：ABC.10.记函数()πcos (0)4f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为T ，且()*2ππN 3n T n n ≤≤∈.若π6x =为()f x 的零点，则（）A.23n nω≤≤B.321n ω<-C.π2x =为()f x 的零点D.7π6x =为()f x 的极值点【答案】AD 【解析】【分析】利用周期2πT ω=，计算出ω的范围；结合ππcos 0664f ωπ⎛⎫⎛⎫=+=⎪⎪⎝⎭⎝⎭计算出ω的值，结合余弦函数的零点，极值等性质可判断是否正确.【详解】2πT ω=Q ，()*22πN 3n n n ππω∴≤≤∈得23n nω≤≤，故A 正确；由题意得ππcos 0664f ωπ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，πππ,Z 642k k ωπ∴+=+∈,36,Z 2k k ω∴=+∈，又*23n N n nω≤≤∈ ，，则*1111N ,Z 3424k n k n n -≤≤-∈∈，,当2n =有唯一解0k =，则32ω=，故B 错误；()3πcos 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ，则π3πcos 12224f π⎛⎫⎛⎫=⋅+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 错误；7π37πcos 16264f π⎛⎫⎛⎫=⋅+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 正确；故选：AD11.对于伯努利数()N n B n ∈，有定义：001,C (2)nkn nkk B B B n ===∑ .则（）A.216B =B.4130B =C.6142B =D.230n B +=【答案】ACD 【解析】【分析】根据伯努利数的定义以及二项式定理，将()N n B n ∈写成递推公式的形式，逐一代入计算即可判断选项.【详解】由001,C (2)nk n nkk B B B n ===∑ 得，012301230C C C C C +(2)C nk n n k n n n k nn n n B B B B B B n B ==+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+≥=∑，所以，0123101231C )C +C 0(2C C n n n n n n n B B B B n B --+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=≥，同理，0123101213111111C )C +0(1C C C C n nn n n n n n n n n B B B B B B +++++-+-+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++=≥，所以，()1012311211311011+(1)C C C C C C nn n n n n n n n n B B B B n B B +++--+++=-+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+≥，()1012311101231111+(1)C C C C C 1n n n n n n n n B B n n B B B B ++-+++-=-+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+≥+其中第1m +项为111(1)(1)(2)(1)(2)C 11123123n m mm m n n n n m n n n m B B B n n m m ++--+--+=⨯=++⨯⨯⨯⋅⨯⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⨯⨯⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⨯⋅⋅⋅⋅⋅⋅⨯(1)(2)(1)C 12311m mm nB B n n n m n m n m n m m ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅--+-+=⨯⨯⨯⋅+-⨯-+即可得01201211C +C +C C C 11(1)1m m nn n n n n n n B B B B B n B n n n n m --⎛⎫=-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅-⋅⋅+ ⎝⎭++≥-⎪令1n =，得11002C 111B B ⎛⎫= +-=-⎪⎝⎭；令2n =，得0101222C C 31113262B B B ⎛⎫⎛⎫=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭+⎝⎭；令3n =，得012012333310C C 11C 434224B B B B ⎛⎫⎛⎫=-=--+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝++⎭同理，可得45678910111115,0,,0,,0,,030423066B B B B B B B B =-====-===；即可得选项AC 正确，B 错误；由上述前12项的值可知，当n 为奇数时，除了1B 之外其余都是0，即210(1)n B n +=≥，也即230,N n B n +=∈；所以D 正确.故选：ACD.12.已知函数()1πsin ,(,)()(2)2ni xf xg x n f x i n ===+∑ ，则（）A.(),40g x n =B.()(),42n ng x f x ++=C.()()()1,0g x nf n f x ++=D.()()(),0g x n nf n f x ++=【答案】ACD 【解析】【分析】首先理解1(,)()(2)ni g x n f x i n ==+∑，并写出(,4)g x n ，再利用函数()πsin 2xf x =的周期，结合()()()()1234f x f x f x f x +++++++的值，即可判断选项A;代特殊值，判断B ；CD 选项注意2n ≥这个条件，则可判断()nf n 中的()1f n =，则可得*41,N n k k =+∈，这样结合条件和A 的证明，即可判断CD.【详解】1(,)()(2)ni g x n f x i n ==+∑，()πsin 2x f x = ，函数的周期2π4π2T ==,()()()()1234f x f x f x f x +++++++ππππ3ππsin sin πsin sin 2π222222x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ππππcossin cos sin 02222x x x x =--+=，()()()()()41(,4)()1234...4ni g x n f x i f x f x f x f x f x n=∴=+=++++++++++∑00n =⨯=，故A 正确；B.当1n =时，()()()()()11,42,612...6g x g x f x f x f x +==++++++()()ππ12cos sin 22f x f x x x =+++=-，()()11ππππ,42cossin sin cos 2222g x f x x x x ∴++=-+=不恒为0，故B 错误；C.1(,)()(2)ni g x n f x i n ==+∑,()()1,g x nf n ∴+中,()1f n =，*41,N n k k =+∈,()()()()()()1,1,4123...42g x nf n g x k f x f x f x k ∴+=++=+++++++，由A 的证明过程可知，相邻四项和为0，所以()()()()π23...422sin 2f x f x f x k f x +++++++=+=-，()()()ππ1,sinsin 022g x nf n f x x x ∴++=-+=，故C 正确；D.()()(),0g x n nf n f x ++=，由C 的证明过程可知，()()(),0g x n nf n f x ++=()()()()()411412413...4141f x k f x k f x k f x k k f x =++++++++++++++++++()()()()()234...42f x f x f x f x k f x =++++++++++()()2sinsin 022f x f x x x ππ=++=-+=，故D 正确.故选：ACD【点睛】关键点点睛：本题考查函数新定义，关键是理解1(,)()(2)ni g x n f x i n ==+∑，并会展开，但重点考查三角函数的周期，利用周期求和，问题就会迎刃而解.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.小颖和小星在玩抽卡游戏，规则如下：桌面上放有5张背面完全相同的卡牌，卡牌正面印有两种颜色的图案，其中一张为紫色，其余为蓝色.现将这些卡牌背面朝上放置，小颖和小星轮流抽卡，每次抽一张卡，并且抽取后不放回，直至抽到印有紫色图案的卡牌停止抽卡.若小颖先抽卡，则小星抽到紫卡的概率为__________.【答案】25##0.4【解析】【分析】小星只可能在第二次和第四次抽到紫卡，将所有情况列表排列可得答案.【详解】按照规则，两人依次抽卡的所有情形如下表所示，小颖小星小颖小星小颖情形一紫情形二蓝紫情形三蓝蓝紫情形四蓝蓝蓝紫情形五蓝蓝蓝蓝紫其中情形二和情形四为小星最终抽到紫卡，则小星抽到紫卡的概率为25.故答案为：25.14.已知O 为坐标原点，抛物线C ：214y x =的焦点为F ，过点O 的直线与C 交于点A ，记直线OA ，FA 的斜率分别为k 1，k 2，且k 1=3k 2，则|FA |=__________.【答案】52##2.5【解析】【详解】首先设直线OA 为1y k x =，与抛物线方程联立，并根据123k k =，求得点A 的坐标，利用两点间距离求FA .【点睛】设过原点的直线OA 为1y k x =，联立1214y k xy x =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得00x y =⎧⎨=⎩或12144x k y k =⎧⎨=⎩，即()2114,4A k k ，()0,1F ，所以2121414k k k -=，因为123k k =，所以21114134k k k =⨯，解得：164k =±，则32A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以52FA =.故答案为：5215.在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是边长为2的正方形,平面PAB ⊥平面PCD ,则P ABCD -体积的最大值为__________.【答案】43【解析】【分析】先做PE CD,PF AB ⊥⊥交,CD AB 于点,E F ,PO ⊥平面ABCD ,垂足为O ,连接,OE OF ,根据线面垂直的判定定理证明CD OE ⊥,即OE BC ∥,同理可得OF BC ∥,即EF BC ∥,且2EF BC ==,再根据面面垂直的性质定理得PE PF ⊥,再设各个长度,在直角三角形PEF 中得到等式进行化简,即可得关于OP 的式子,进而求得体积的表达式,求得最值即可.【详解】解:由题过点P 做PE CD,PF AB ⊥⊥分别交,CD AB 于点,E F ,过P 做PO ⊥平面ABCD ,垂足为O ,连接,OE OF ,画图如下:PO ⊥ 平面ABCD ,PO CD ∴⊥,,PE CD PO ⊥⊂ 平面POE ,PE ⊂平面POE ,CD \^平面POE ,CD OE ∴⊥,底面ABCD 是边长为2的正方形,,CD BC ∴⊥OE ⊂ 平面ABCD ,BC ⊂平面ABCD ,OE BC ∴ ,同理可得:OF BC ∥,故,,O E F 三点共线,且有EF BC ∥,2EF BC ==,设平面PAB ⋂平面PCD l =,,AB CD AB ⊂ ∥平面PAB ,CD ⊂平面PCD ,l AB CD ∴∥∥,,PE CD PE l ⊥∴⊥ ,平面PAB ⊥平面PCD ,平面PAB ⋂平面PCD l=PE ∴⊥平面PAB ,PF ⊂ 平面PAB,PE PF ∴⊥,不妨设(),,,2,02PE x PF y OF m OE m m ====-≤≤,224x y ∴+=①,且22222OP PF OF PE OE =-=-,即()22222y m x m -=--,化简即:2244y x m -=-②,联立①②可得:222,42y m x m ==-,22222OP y m m m ∴=-=-,∴四棱锥P ABCD -的体积1223V =⨯⨯=,()02m ≤≤,当1m =时,max 43V =,故P ABCD -体积的最大值为43.故答案为:4316.若函数()e sin x f x a x =-，()e sin x g x a x x =-，且()f x 和()g x 在[]0,π一共有三个零点，则=a __________.【答案】sin1e 或4π2e 2-【解析】【分析】考虑a<0，0a =，0a >三种情况，设()1e xF x a =，()2sin F x x =，()3e xa F x x=，求导得到导函数，根据公切线计算得到1π4x =，π4e 2a -=，再根据a 的范围讨论零点的个数，计算得到答案.【详解】当a<0时，()e sin 0xf x a x =<-，()e sin 0xg x a x x -=<，不成立；当0a =时，()sin f x x =-，()sin g x x x =-，在[]0,π上有0，π两个零点，不成立；当0a >时，()00f a =≠，(]0,πx ∈时，()e sin 0xf x a x ==-，即e sin x a x =；()00g a =≠，当(]0,πx ∈时，()e sin 0xg x a x x -==，即e sin xa x x=，设()1e xF x a =，()2sin F x x =，()3e xa F x x=，则()1e xF x a '=，()2cos F x x '=，()()32e 1x a x F x x -'=当()1e xF x a =，()2sin F x x =相切时，设切点为()11,x y ，则1111e sin e cos x x a x a x ⎧=⎨=⎩，解得1π4x =，π42e 2a -=；当[)0,1x ∈时，()30F x '<，函数单调递减；当(]1,πx ∈时，()30F x '>，函数单调递增.画出()2sin F x x =，()3e xa F x x=的简图，如图所示：()2sin F x x =，()3e xa F x x =最多有两个交点，故()g x 最多有2个零点，当π4e 2a ->时，()f x 没有零点，()g x 最多有2个零点，不成立；当π42e 2a -=时，()f x 有1个零点，π432π2e π12π2F F ⎛⎫⎛⎫=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()g x 有2个零点，成立；现说明π42e 1π<，即π44e π<，构造函数，()44e x h x x =-，[]3,3.5x ∈，()()334e 44e x x h x x x '=-=-，设()31e x h x x =-，()21e 3x h x x '=-，设()22e 3xh x x =-，()2e 6x h x x '=-，设()3e 6xh x x =-，()3e 60x h x '=->恒成立，故()3e 6xh x x =-单调递增，()()333e 630h x h >=-⨯>，故()22e 3xh x x =-单调递增，()() 3.52223.5e3 3.50h x h <=-⨯<，故()31e x h x x =-单调递减，()()3313e 30h x h <=-<，故()h x 函数单调递减，()()343π34e 34e 810h h <=-=-<，故π42e π<，当4π2e 20a -<<，()f x 有2零点，()g x 有2个零点，若1x =是一个零点，则有两个零点重合，满足，此时sin1ea =.综上所述：sin1e a =或π42e 2a -=故答案为：sin1e 或4π2e 2-【点睛】关键点睛：本题考查了利用导数解决函数的零点问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，解题的关键是将函数的零点问题转化为交点问题，利用公切线解决参数.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.设（X ，Y ）是一个二维离散型随机变量，其所有可能取值为（a i ，b j ），其中i ，j ∈N *.记p ij =P （X =a i ，Y =b j ）是随机变量（X ，Y ）的联合分布列.与一维的情形相似，二维分布列可以如下形式表示：Y ，求（X ，Y ）的联合分布列.【答案】(),X Y 32103---182--38-1-38--018---【解析】【分析】易知(),X Y 的所有可能取值为()()()()0,3,1,2,2,1,3,0，A 盒中的卡片数一旦确定则B 盒中的卡片数就唯一确定了，利用二项分布考查A 盒中的卡片数为0，1，2，3时的概率即可.【详解】由题意，(),X Y 的所有可能取值为()()()()0,3,1,2,2,1,3,0，且330103303122131113C ,C 2828p p p p ⎛⎫⎛⎫==⨯===⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以(),X Y 的联合分布列为：(),X Y 32103---182--38-1-38--18---18.在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，114,AC AB AC ⋅==（1）求四面体ACB 1D 1体积的最大值；（2）若二面角B -AC -D 1的正弦值为53，求ABCD -A 1B 1C 1D 1的体积.【答案】（1）23；（2）2.【解析】【分析】（1）根据数量积和余弦定理得到214AC AB a ⋅==，即2a =，然后根据1AC =得到222b c +=，最后利用不等式求四面体11ACB D 体积的最大值即可；（2）根据二面角的定义得到1DED ∠为二面角1D AC D --的平面角，然后根据二面角1B AC D --的正弦值为53列方程得到()()221100c c --=，1c =，最后求体积即可.【小问1详解】设AB a =，BC b =，1BB c =，且111cos AC AB AC AB CAB ∠⋅=⋅⋅，由余弦定理得：22211211142AC AB B CAC AB AC AB a AC AB +-⋅=⋅⋅==⋅，则2a =，又1AC ==222b c +=，且11222223323ACB Db c V bc +=⨯= ，当且仅当1b c ==时等号成立，即四面体11ACB D 23；【小问2详解】过点D 作AC 的垂线，垂足为E ，连接1D E ，因为1DD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以1DD AC ⊥，且AC DE ⊥，又1DE DD D =I ，1,DE DD ⊂平面1DED ，所以AC ⊥平面1DED ，且1D E ⊂平面1DED ，所以1AC D E ⊥，即1DED ∠为二面角1D AC D --的平面角，记二面角1B AC D --的平面角为θ，则二面角1D AC D --的平面角为πθ-，所以11sin 3DD D Eθ==，则()()221100c c --=，且22c <，所以1c =，且111122ABCD A B C D V bc -==，所以1111ABCD A B C D -的体积为2.19.记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，分别以a ，b ，c 为直径的三个圆的面积依次为1S ，2S ，3S .已知123S S S A B +-=+.（1）若π4C =，求ABC 的面积；（2）若ABC的面积为3，求ABC 周长的最小值.【答案】（1）34（2）【解析】【分析】（1）由已知条件123S S S A B +-=+和π4C =可得到2223a b c +-=，根据余弦定理可求得2ab =，即可由面积公式求得ABC 的面积；（2）由已知得()2ππcos C ab C-=，从而可得π02C <<，由面积公式可得πtan πC S C -=，构造函数()πtan πC f C C -=确定其在π02C <<上单调性，由特殊值π33f ⎛⎫=⎪⎝⎭，即可得π3C =，83ab =，结合基本不等式得263c ≥，463a b +≥=，从而可求得ABC 周长的最小值.【小问1详解】解：记ABC 的面积为S ，因为()222123π3ππ44S S S a b c A B C +-=+-=+=-=，所以2223a b c +-=，由余弦定理得222cos 2a b c C ab +-=，所以2222cos 3a b c ab C +-===，则322ab =，所以1123sin 2224S ab C ===；【小问2详解】解：因为()222123ππ4S S S a b c A B C +-=+-=+=-，得()2224ππC a b c -+-=又由余弦定理得2222cos a b c ab C +-=，所以()2π0πcos C ab C-=>，所以cos 0C >，则π02C <<，又1πsin tan 2πC S ab C C -==，设()πtan πC f C C -=，π02C <<所以()221πsin 2tan π20ππcos πcos C CC C f C C C---=-+=>'，所以()f C 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，且ππππ3tan 3π33f -⎛⎫== ⎪⎝⎭π3C =，所以83ab =则22282cos 3ab C a b c =+-=，所以2228882333c a b ab =+-≥-=，即3c ≥，且3a b +≥=，当且仅当3a b c ===时，取等号，所以ABC 周长a b c ++的最小值2633⨯=.20.已知数列{a n }，{b n }满足a 1=b 1=1，n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为1的等差数列，{}1n n b b +-是公差为2的等差数列．（1）若b 2=2，求{a n }，{b n }的通项公式；（2）若2N b *∈，2n b a a ，证明：121113n b b b +++<L ．【答案】（1）3222n a n n n =-+；2(1)1n b n =-+（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据已知求得n n a nb =，121n n b b n +-=-，通过累加法求得2(1)1n b n =-+，进而求得n a ；（2）根据已知求得n a ，构造()322222254f b b b b =-+，求导后得()20f b ' ，结合2N b *∈得21b a a，又21b a a ，从而求得21b =，进而证得结论．【小问1详解】解：因为111,n n a a b b ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭是公差为1的等差数列，所以n na nb =，即n n a nb =，且211b b -=，所以121n n b b n +-=-，累加得211n b b n +-=，所以2(1)1n b n =-+，则3222n n a nb n n n ==-+；【小问2详解】解：因为1223n n b b n b +-=+-，累加得21122n b b n n nb +-=-+，所以()22441n b n n n b =-++-，则()322441n a n n n n n b =-++-，则23212221,254b a a b b b ==-+，令()()3222222N 254f b b b b b *=-+∈，且()222261040f b b b =-+' ，所以21b a a，且21b a a ，所以21b =，所以233n b n n =-+，且22121,3332n b b b n n n n ===-+>-+，从而()22111113333221n n b n n n n n n =<=--+-+-- ，所以()1211113331n n b b b n +++<-<- ，当1n =时，1113,2n b =<=时，121123b b +=<，所以121113nb b b +++<L ．21.已知双曲线C ：2221(0)y x b b-=>的准线方程为12x =±，C 的两个焦点为F 1，F 2.（1）求b ；（2）若直线l 与C 相切，切点为A ，过F 2且垂直于l 的直线与AF 1交于点B ，证明：点B 在定曲线上.【答案】（1）b =（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由双曲线的准线方程计算c ，再求b 即可；（2）先以A 点坐标表示直线l 的方程，进而表示出直线1AF 和2BF 的方程，联立表示出B 点坐标，再表示出1AF 的长度，列出关于A 点坐标的方程，最后代换成B 点坐标表示，即可求得B 点的轨迹方程.【小问1详解】由题可知，21a =，又双曲线C 的准线方程为12x =±，所以2112a c c ==，则2c =，所以b ==【小问2详解】由（1）知22:13y C x -=，设点()()()0012,,2,0,2,0A x y F F -，首先证明：00:13y y l x x -=，并将l 斜率不存在的情况舍弃，即01x ≠±,联立2213y x -=消去x 得：22002330y y y x -+-=，且()2200Δ44330y x =--=，所以00:13y y l x x -=，即00033x y x y y =-，所以直线()()002100:2,:232y y F B y x F A y x x x =--=++，联立直线21,F B F A ，解得0000222,1212x y B x x ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，且0022112x x -≠-+，注意到()()22221000221AF x y x =++=+，从而220000112122x y x x ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭+，即22000022412124x y x x ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭+，也即220000222241212x y x x ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭所以点B 的轨迹方程为22(2)4x y ++=，其中1x ≠-，即点B 在定曲线22(2)4x y ++=上.22.已知函数()()2ln ,2ln 2a f x ax x g x x =+=+.（1）若()()f x g x ≥，求a 的取值范围；（2）记()f x 的零点为12,x x （12x x <），()g x 的极值点为0x ，证明：1024e x x x >.【答案】（1）44ln2,12ln2∞+⎡⎫+⎪⎢+⎣⎭（2）证明见解析【解析】【分析】（1）构造函数()()()h x f x g x =-，然后分类讨论，即可得到a 的取值范围（2）()f x 和()g x 分别求导，求出()g x 的极值点0x 的关系式，()f x 单调区间，()f x 零点所在区间，即可证明.【小问1详解】记()()()21ln 202a h x f x g x x ax x ⎛⎫=-=-+- ⎪⎝⎭，①当2a 时，取102h ⎛⎫< ⎪⎝⎭，不符条件；②当2a >时，()()221122122a a x ax ax x h x x x ⎛⎫--+-+-⎪⎝⎭=='，令()0,()0h x h x ''<>，∴()h x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增，所以11ln210224a a h ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即44ln212ln2a ++ ，则a 的取值范围为44ln2,12ln2∞+⎡⎫+⎪⎢+⎣⎭；【小问2详解】∵()22a g x x='+，令()0g x '=，则00,4e e 4a x x a =-=-，且()12f x ax x '=+，令()()0,0f x f x ''><，∴()f x在⎛ ⎝单调递增，在∞⎫+⎪⎪⎭单调递减，且111ln 0222f a ⎛⎫=-+-> ⎪⎝⎭，∴102a e-<<，取1x =，则()10f a =<，∴121x x <<<<，取1e x a=-，则2111ln e e e f a a a ⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，记1,02e t t a=-<<，在()ln e t t t ϕ=-中，()11e 0e e t t t t ϕ-'=-=>，∴()t ϕ在()0,e 单调递增，∴()()e e ln e 0e t ϕϕ<=-=，即222211111ln 0()e e e e e f f x x a a a a a x ⎛⎫⎛⎫-=+-<=⇒->⇒>- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵121x x <<<<∴1221x x x >从而10221e 4e x a x x x >>-=.【点睛】本题考查构造函数，求导，考查单调区间的求法，具有很强的综合性.。