【附20套高考模拟试题】2020届太原市第五中学高考数学模拟试卷含答案

太原五中2019-2020学年度第二学期6月模拟考试（一）高三数学（理）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个正确选项. 1.已知集合()(){}440A x x x =-+≤，{}22416B y x y =+=.则A B =I （ ）A.[]3,3--B.[]2,2-C.[]4,4-D.∅2.设z a bi =+且a b R ∈、，“z 是纯虚数”是“0a =”的（ ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.若双曲线()222109y x a a -=>的一条渐近线与直线13y x =垂直，则此双曲线的实轴长为（ ） A.18B.9C.6D.34.已知方程ln 112x x =-的根为0x ，且()0,1x k k ∈+，*k N ∈，则k =（ ） A.2B.3C.4D.55.已知某线性规划问题的约束条件是34y xy x x y ≤⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则下列目标函数中，在点()3,1处取得最小值的是（ ）A.2 z x y =-+B.2z x y =+C.12z x y =-- D.2z x y =-6.把9个完全相同的口罩分给6名同学，每人至少一个，不同的分法有（ ）种 A.41B.56C.156D.2527.43π的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋（球体）离蛋巢底面的最短距离为（ ）A.12B.12C.12D.128.已知3,2αππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2sin 21cos2αα=-，则tan2α=（ ）A.12- B.12+-C.12-± D.12- 9.设()f x ，()g x 分别为定义在[],ππ-上的奇函数和偶函数，且()()2cos xe f x x g x +=（e 为自然对数的底数），则函数()()y f x g x =-的图象大致为（ ）A B. C. D.10.如图是正态分布()0,1N 的正态曲线图，下面4个式子中，等于图中阴影部分面积的式子的个数为（ ）注：()()a P X a Φ=≤①()12a -Φ- ②()1a Φ- ③()12a Φ- ④()()12a a Φ-Φ-⎡⎤⎣⎦ A.1 B.2C.3D.411.如图所示，在ABC △中，AD DB =，点F 在线段CD 上，设AB a =u u u r r ，AC b =u u u r r ，AF xa yb =+u u u r r r ，则141x y ++的最小值为（ ）A.6+B.C.6+D.3+12.设()f x '是函数()()0f x x >的导函数，且满足()()2f x f x x'>，若在ABC △中，A ∠为钝角，则下列不等式一定成立的是（ ） A.()()22sin sin sin sin f A B f B A <B.()()22sin sin sin sin f C B f B C <C.()()22cos sin sin cos f A B f B A ->D.()()22cos sin sin cos f C B f B C >二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.2020503+被7除后的余数为________________________.14.若顶点在原点的抛物线经过三个点()2,1-，()1,2，()4,4中的2个点，则满足要求的抛物线的标准方程有_______________________.15.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别是棱AB ，BC ，1CC 的中点，P 是底面ABCD 内一动点.若直线1D P 与平面EFG 不存在公共点，设直线1D P 与直线1C C 所成角为θ，则cos θ的取值范围是___________________.16.ABC △中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .且()sin A C +=，若AC 边上的中线BM 的长为2，则ABC △面积的最大值为____________________.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17.（12分）如图所示的多面体ABCDEF 满足：正方形ABCD 与正三角形FBC 所在的两个平面互相垂直，//FB EA 且2FB EA =.（1）证明：平面EFD ⊥平面ABFE ； （2）求二面角E FD C --的余弦值. 18.（12分）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，且111n n n n n n a S a S a a λ+++-=-，对一切*n N ∈都成立.（1）当1λ=时，证明数列1n n S a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是常数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）是否存在实数λ，使数列{}n a 是等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由. 19.（12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>经过点)，离心率为3（1）求椭圆C 的方程；（2）过点()4,0M 的直线交椭圆于A ，B 两点，若AM MB λ=u u u u r u u u r ，在线段AB 上取点D ，使得AD DB λ=-u u u r u u u r.求证：点D 在定直线上. 20.（12分）为了提高生产线的运行效率，工厂对生产线的设备进行了技术改造.为了对比技术改造后的效果，采集了生产线的技术改造前后各20次连续正常运行的时间长度（单位：天）数据，并绘制了如茎叶图：（1）（Ⅰ）设所采集的40个连续正常运行时间的中位数m ，并将连续正常运行时间超过m 和不超过m 的次数填入下面的列联表：（Ⅱ）根据（Ⅰ）中的列联表，能否有99%的把握认为生产线技术改造前后的连续正常运行时间有差异？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++（2）工厂的生产线的运行需要进行维护，工厂对生产线的生产维护费用包括正常维护费、保障维护费两种.对生产线设定维护周期为T 天（即从开工运行到第T 天()*k N ∈进行维护.生产线在一个生产周期内设置几个维护周期，每个维护周期相互独立.在一个维护周期内，若生产线能连续运行，则不会产生保障维护费；若生产线不能连续运行，则产生保障维护费.经测算，正常维护费为0.5万元/次；保障维护费第一次为0.2万元/周期，此后每增加一次则保障维护费增加0.2万元.现制定生产线一个生产周期（以120天计）内的维护方案：30T =，1,2,3,4k =以生产线在技术改造后一个维护周期内能连续正常运行的频率作为概率，求一个生产周期内生产维护费的分布列. 21.（12分） 已知函数()1x x f x a e-=-的两个零点记为1x ，2x .（1）求a 的取值范围； （2）证明：12x x ->.（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做第一题记分. 22.（10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为4x at y ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（其中t 为参数），以坐标原点O 为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点A 的极坐标为2,6π⎛⎫⎪⎝⎭，直线l 经过点A .曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=.（1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程； （2）过点)P作直线l 的垂线交曲线C 于D ，E 两点（D 在x 轴上方），求11PD PB-的值. 23.（10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()()0, 0f x x a x b a b =-++>>. （1）当1a b ==时，解不等式()2f x x <+； （2）若()f x 的值域为[)3,+∞，证明：()224281a b b a b +++≥+.太原五中2020年6月数学（理科）答案和解析一、选择题：1-12 BAAC ABDB ACDD 二、填空题13.4； 14.24x y =或24y x = 15.2⎣⎦； 16.8- 三、解答题17解：（1）由题可得，∵四边形ABCD 是正方形且三角形FBC 是正三角形，所以//BC AD ，BC AD =，FB BC =且60FBC ∠=︒，又∵//EA FE ，2EA FB =，所以60EAD ∠=︒，在三角形EAD 中，根据余弦定理可得：ED AE ⊥. ∵平面ABCD ⊥平面FBC ，AB BC ⊥，平面ABCD I 平面FBC BC =，且AB ⊆平面ABCD ，所以AB ⊥平面BCF ，∵//BC A ，//EA FB ，FB BC B =I ，且FB BC ⊆、平面FCB ，,EA AD ⊆平面EAD ，所以平面//EAD 平面FBC ，所以AB ⊥平面EAD ， 又∵ED ⊆平面EAD ，所以AB ED ⊥，综上：ED AE ⊥，ED AB ⊥，EA AB A =I 且,EA AB ⊆面ABFE ，所以DE ⊥平面ABFE ， 又∵DE ⊆平面DEF ，所以平面EFD ⊥平面ABFE .（2）如图，分别取BC 和AD 的中点O ，G ，连接OF ，OG ， 因为BO OC =且三角形FBC 为正三角形，所以FO BC ⊥， 因为AG GD =，BO OC =，所以//OG AE ，由（1）可得，AB ⊥平面FBC ，则OG ⊥平面FBC ，故OF 、OB 、OG 两两垂直，分别以OB 、OG 、OF 所在直线为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，不设4BC =，则(F ，()2,0,0C -，()2,4,0D --，(1,E -设平面DEF 的法向量为()111,,n x y z =r，平面DCF 的法向量为()222,,m x y z =u r ，则(111112401,1,030x yDF nnDE n x⎧⎧++=⋅=⎪⎪⇒⇒=⎨⎨⋅=+=⎪⎪⎩⎩u u u r rru u u r r，则)22220240140DF m x ymyDC m⎧⎧⋅=++=⎪⎪⇒⇒=-⎨⎨=⋅=⎪⎪⎩⎩u u u r u ru ru u u r u r，所以cos,nn mmn m⋅==⋅=rru ru rr r又二面角E FD C--是钝二面角，所以二面角E FD C--的余弦值为18.解：（1）①当1λ=时，111n n n n n na S a S a a+++-=-，则111n n n n nna S aa S a++++=+，即()()1111n n n nS a S a+++=+.∵数列{}n a的各项均为正数，∴1111n nn nSaSa+++=+.∴3131221212111111n nn na a S Sa Sa a a S S S+++++⋅⋯=⋅⋯+++，化简，得1112n nS a+++=，①∴当2n≥时，12n nS a+=，②②-①，得12n na a+=，∵当1n=时，22a=，∴1n=时上式也成立，∴数列{}n a是首项为1，公比为2的等比数列，即12nna-=.（2）由题意，令1n=，得21aλ=+；令2n=，得()231aλ=+.要使数列{}n a是等差数列，必须有2132a a a=+，解得0λ=.当0λ=时，()111n n n nS a S a++=+，且211a a==.当2n≥时，()()()1111n n n n n nS S S S S S+-+-=+-，整理，得2111n n n n n S S S S S +-++=+，即1111n n n nS S S S +-+=+， 从而3312412123111111n n n nS S S S S S S S S S S S +-+++⋅⋯=⋅⋯+++， 化简，得11n n S S ++=，即11n a +=. 综上所述，可得1n a =，*n N ∈. ∴0λ=时，数列{}n a 是等差数列.19.解：（1）由题意得223311c a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得a =b =，2c =， 所以椭圆C 的方程为22162x y +=. （2）证明：设直线AB 的方程为4x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，()00,D x y ，由224162x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2238100m y my +++=，()()2284030n m ∆=-+>，则25m >，则有12283m y y m -+=+，122103y y m =+， 由AM MB λ=u u u u r u u u r，得12y y λ-=，由AD DB λ=-u u u r u u u r 可得1212011x x x y y y λλλλ-⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩，()121204411my my x x x λλλλ+-+-==-- 21121212210222334448213m my my y m y m y y m y ⨯+=+=+=+=-+++，212112012122102225381213y y y y y m y y m y y m m y λλ⨯-+=====---+++. 综上，点D 在定直线32x =上. 20.解：（Ⅰ）（1）由茎叶图的数据可得中位数2931302m +==， 根据茎叶图可得：5a =，15b =，15c =，5d =，（2）根据（1）中的列联表，222()40(551515)10 6.636()()()()20202020n ad bc K a b c d a c b d -⨯-⨯===>++++⨯⨯⨯， 有99%的把握认为生产线技术改造前后的连续正常运行时间有差异；（Ⅱ）120天的一个生产周期内有4个维护周期，一个维护周期为30天，一个维护周期内，以生产线在技术改造后一个维护周期内能连续正常运行的频率作为概率，得51204p ==， 设一个生产周期内需要ξ次维护，1~4,4B ξ⎛⎫⎪⎝⎭，正常维护费为0.542⨯=万元， 保障维护费为首项为0.2，公差为0.2的等差数列，共ξ次维护需要的保障费为()20.20.210.20.10.12ξξξξ++-⋅⎡⎤⎣⎦=+元，故一个生产周期内保障维护X 次的生产维护费为()20.10.12ξξ++万元， 设一个生产周期内的生产维护费为X 万元，则X 可能取值为2，2.2，2.6，3.2，4，则()40438124256P X C ⎛⎫==⋅=⎪⎝⎭， ()31413272.24464P X C ⎛⎫==⋅⋅=⎪⎝⎭， ()222413272.644128P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()3341333.24464P X C ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()41144256P X ⎛⎫===⎪⎝⎭， 则X 的分布列为：21.解：（Ⅰ）由()0f x =得1x a e-=，令()1x g x xe-=，()11x g x xe --'=， 当1x <，()0g x '>，()g x 递增， 当1x >，()0g x '<，()g x 递减，因为当0x <，()0g x <；当0x >，()0g x >，且()00g =，()11g =，0x +→，()0g x +→， x →+∞，()0g x +→，所以函数有两个不同的零点，此时01a <<； （Ⅱ）先证122x x +>，不妨设12x x <，由（1）可知，1201x x <<<， 构造函数()()()()1122xx F x f x f x xex e --=--=--，()()()111x x F x x e e --'=--，当01x <<，()0F x '>，()F x 递增，()10F =，()0F x <， 所以()10F x <，即()()112f x f x <-因为1201x x <<<，所以121x ->，()()12f x f x =，由（1）可知()f x 在()1,+∞是递增，212x x >-，即122x x +>，要证明12x x ->()2111121x x x -+->->即2112x x a ->-，111x x a e -=，只需证明12111120x x x x e -+->，101x <<，令()212x xh x x x e -=+-，()()1112x h x x e -⎛⎫'=-- ⎪⎝⎭，当()0,1ln 2x ∈-，()0h x '>，()h x 递增，当()1ln 2,1x ∈-，()0h x '<，()h x 递减，当01x <<，()()(){}min min 0,10h x h h ==，()0h x >，故12x x ->22.解：（1）由题意得点A的直角坐标为)，将点A代入4x at y ⎧=⎪⎨=+⎪⎩得1a t =⎧⎪⎨=⎪⎩ 则直线l的普通方程为2y =-. 由2sin 4cos ρθθ=得22sin 4cos ρθρθ=，即24y x =.故曲线C 的直角坐标方程为24y x =. （2）设直线DE的参数方程为12x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入24y x =得20t +-=. 设D 对应参数为1t ，E 对应参数为2t .则12t t +=-12t t =-10t >，20t <. ∴1212121211111112t t PD PE t t t t t t +-=-=+==. 23.解：（Ⅰ）当1a b ==时，不等式为112x x x -++<+，当1x <-时，不等式化为2223x x x -<+⇒>-，此时不等式无解； 当11x -≤<时，不等式化为220x x <+⇒>，故01x <<；当1x ≥时，不等式化为222x x x <+⇒<，故12x ≤<. 综上可知，不等式的解集为{}02x x <<.（Ⅱ）()f x x a x b a b =-++≥+，当且仅当x a -与x b +同号时，()f x 取得最小值a b +， ∵()f x 的值域为[)3,+∞，且0a >，0b >，故3a b +=.故()2222211a b b a b ++=++-，()122a b ++≥=，∴()2218a b ++≥（当且仅当12a b =+=时取等号）.又∵()1a b ++≥()41a b +≤，∴()411a b +≥，（等号成立条件同上） ∴()224281a b b a b +++≥+.。

2020年山西省太原五中高考数学模拟试卷（理科）（一）（4月份）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个正确选项．1. 已知集合A={x|(12)x≤1}，B＝{x|x2−2x−8≤0}，则A∩B＝（）A.{x|−2≤x≤0}B.{x|2≤x≤4}C.{x|0≤x≤4}D.{x|x≤−2}2. 若复数z1，z2在复平面内对应的点关于y轴对称，且z1＝2−i，则复数z1z2在复平面内对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3. 下列关于命题的说法错误的是（）A.命题“若x2−3x+2＝0，则x＝2”的逆否命题为“若x≠2，则x2−3x+2≠0”B.“a＝2”是“函数f(x)＝log a x在区间(0, +∞)上为增函数”的充分不必要条件C.若命题p:∃n∈N，2n>1000，则￢p:∀n∈N，2n>1000D.命题“∃x∈(−∞, 0)，2x<3x”是假命题4. “欧几里得算法”是有记载的最古老的算法，可追溯至公元前300年前，如图的程序框图的算法思路就是来源于“欧几里得算法”．执行改程序框图（图中“aMODb”表示a除以b的余数），若输入的a，b分别为675，125，则输出的a＝（）A.0B.25C.50D.755. 已知公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足a2，a5，a9成等比数列，则7S55S7=()A.57B.79C.1011D.11236. 甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制（无平局），甲在每局比赛中获胜的概率均为23，且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的条件下，比赛进行了三局的概率为（）A.13B.25C.23D.457. 已知函数f(x)＝sinωx(ω>0)，满足f(π4)=f(3π4)，且在[π4,3π4]内恰有一个最大值点和一个最小值点，则ω的值为（）A.1B.2C.3D.48.某同学在参加《通用技术》实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为4√3的正方体的六个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合），若其中一个截面圆的周长为4π，则该球的半径是（）A.2B.4C.2√6D.4√69. 已知AB为圆O：(x−1)2+y2=1的直径，点P为直线x−y+1=0上任意一点，则PA→⋅PB→的最小值为（）A.1B.√2C.2D.2√210. 已知直线y=kx(k≠0)与双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)交于A，B两点，以AB为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F，若△ABF的面积为4a2，则双曲线的离心率为（）A.√2B.√3C.2D.√511. 数列{a n}满足a1=1，na n+1=(n+1)a n+n(n+1)，且b n=a n cos2nπ3，记S n为数列{b n}的前n项和，则S24等于( )A.294B.174C.470D.30412. 已知以4为周期的函数f(x)满足，当−1<x≤3时，f(x)={m√1−x2,x∈(−1,1]1−|x−2|,x∈(1,3]，其中m>0，若方程3f(x)−x＝0恰有5个根，则实数m的取值范围是（）A.(43,√7) B.(43,83) C.(√153,√7) D.(√153,83)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．已知f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)＝ln x−3x，则f(−1)的值为________．设实数x，y满足{x−y−2≤0x+2y−5≥0y−2≤0，则μ=yx的取值范围是________．二项式(ax+1bx)n(a>0,b>0)的展开式中只有第6项的二项式系数最大，且展开式中的第3项的系数是第4项的系数的3倍，则ab的值为________．如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点F是线段BC1上的动点，则下列说法正确的是________.（填序号）①无论点F在BC1上怎么移动，都有A1F⊥B1D；②无论点F在BC1上怎么移动，异面直线A1F与CD所成角都不可能是30∘；③当点F移动至BC1中点时，直线A1F与平面BDC1所成角最大；④当点F移动至BC BC1中点时，才有A1F与B1D相交于一点，记为点E，且A1EEF=2．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A+√3cos A=0，a=2√7，b=2．（Ⅰ）求c；（Ⅱ）设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．如图，四边形ABCD为平行四边形，点E在AB上，AE＝2EB＝2，且DE⊥AB．以DE为折痕把△ADE折起，使点A到达点F的位置，且∠FEB＝60∘．(Ⅰ)求证：平面BFC⊥平面BCDE；(Ⅱ)若直线DF与平面BCDE所成角的正切值为√155，求二面角E−DF−C的正弦值．已知圆C：(x−1)2+y2=14，一动圆与直线x=−12相切且与圆C外切．(Ⅰ)求动圆圆心P的轨迹T的方程；(Ⅱ)若经过定点Q(6, 0)的直线l与曲线T相交于A、B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的平行线与曲线T 相交于点N，试问是否存在直线l，使得NA⊥NB，若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由．已知函数f(x)＝xe mx．（1）若函数f(x)的图象在点（−1, f(−1)）处的切线平行于x轴，求函数f(x)在[−2, 2]上的最小值；（2）若关于x的方程f(x)=1x在(0, +∞)上有两个解，求实数m的取值范围．冠状病毒是一个大型病毒家族，已知可引起感冒以及中东呼吸综合征(MERS)和严重急性呼吸综合征(SARS)等较严重疾病．而今年出现在湖北武汉的新型冠状病毒(nCoV)是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株．人感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状、发热、咳嗽、气促和呼吸困难等．在较严重病例中，感染可导致肺炎、严重急性呼吸综合征、肾衰竭，甚至死亡．某医院为筛查冠状病毒，需要检验血液是否为阳性，现有n(n∈N∗)份血液样本，有以下两种检验方式：方式一：逐份检验，则需要检验n次．方式二：混合检验，将其中k(k∈N∗且k≥2)份血液样本分别取样混合在一起检验．若检验结果为阴性，这k份的血液全为阴性，因而这k份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k份再逐份检验，此时这k份血液的检验次数总共为k+1．假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p(0<p<1)．现取其中k(k∈N∗且k≥2)份血液样本，记采用逐份检验，方式，样本需要检验的总次数为ξ1，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为ξ2．（1）若E(ξ1)＝E(ξ2)，试求p关于k的函数关系式p＝f(k)；（2）若p与干扰素计量x n相关，其中x1，x2，…，x n，…(n≥2)是不同的正实数，满足x1＝1且∀n∈N∗都有x n2(1x1x2+1x2x3+⋯1x n−1x n)＝e13x n2−x12x22−x12成立(ⅰ)求证：数列{x n }为等比数列；(ⅱ)当p ＝1−√x 3时采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数的期望值更少，求k 的最大值．（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =1+cos α1−cos αy =2sin α1−cos α （α为参数）．以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为θ=θ0（θ0∈(0, π)），将曲线C 1向左平移2个单位长度得到曲线C ． (1)求曲线C 的普通方程和极坐标方程；(2)设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求1|OA|+1|OB|的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]已知函数f(x)＝|2x −7|+|2x −5|． (Ⅰ)解不等式f(x)≥6；(Ⅱ)设函数f(x)的最小值为m ，已知正实数a ，b ，且k =max {1a+b,a 2+b 2a+b}，证明：k 2m ≥1．参考答案与试题解析2020年山西省太原五中高考数学模拟试卷（理科）（一）（4月份）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个正确选项．1.【答案】C【考点】交集及其运算【解析】解不等式求出集合A、B，根据交集的定义写出A∩B．【解答】集合A={x|(12)x≤1}={x|x≥0}，B＝{x|x2−2x−8≤0}＝{x|−2≤x≤4}，则A∩B＝{x|0≤x≤4}．2.【答案】B【考点】复数的代数表示法及其几何意义【解析】由z1＝2−i，复数z1，z2在复平面内对应的点关于y轴对称，求出z2，然后代入z1z2，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数z1z2在复平面内对应的点的坐标，则答案可求．【解答】∵z1＝2−i，复数z1，z2在复平面内对应的点关于y轴对称，∴z2＝−2−i．∴z1z2=2−i−2−i=(2−i)(−2+i)(−2−i)(−2+i)=−3+4i5=−35+45i，则复数z1z2在复平面内对应的点的坐标为：(−35, 45)，位于第二象限．3.【答案】C【考点】命题的真假判断与应用【解析】A，命题“若x2−3x+2＝0，则x＝2”的逆否命题为“若x≠2，则x2−3x+2≠0”；B，只要a>1时，函数f(x)＝logax在区间(0, +∞)上为增函数；C，”>“的否定是”≤“；D，根据指数函数图象可判定；【解答】对于A，命题“若x2−3x+2＝0，则x＝2”的逆否命题为“若x≠2，则x2−3x+2≠0”正确；对于B，只要a>1时，函数f(x)＝logax在区间(0, +∞)上为增函数，故正确；对于C，若命题p:∃n∈N，2n>1000，则￢p:∀n∈N，2n≤1000，故错；对于D，根据幂函数图象得“x∈(−∞, 0)时，2x>3x”，故正确；4.【答案】B【考点】程序框图【解析】模拟程序框图的运行过程，该程序执行的是欧几里得辗转相除法，求出运算结果即可．【解答】输入a＝675，b＝125，c＝50，a＝125，b＝50，c＝25，a＝25，b＝0，c＝0，输出a＝25，5.【答案】C【考点】等差数列与等比数列的综合【解析】设{a n}的公差为d，且d≠0，运用等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，解方程可得首项和公差的关系，再由等差数列的求和公式，计算可得所求值．【解答】设{a n}的公差为d，且d≠0，a2，a5，a9成等比数列，可得a52＝a2a9，即(a1+4d)2＝(a1+d)(a1+8d)，整理可得a1＝8d，故7S55S7=72×5(a1+a5)52×7(a1+a7)=a3a4=8d+2d8d+3d=1011．6.【答案】B【考点】条件概率与独立事件【解析】求出甲获得冠军的概率、比赛进行了3局的概率，即可得出结论．【解答】由题意，甲获得冠军的概率为23×23+23×13×23+13×23×23=2027，其中比赛进行了3局的概率为23×13×23+13×23×23=827，∴所求概率为827÷2027=25，7.【答案】D【考点】正弦函数的图象【解析】根据题意，讨论f(x)的第一个最大值出现在ωx=π2时求出ω的值，验证ω是否满足题意；再求f(x)的第一个最小值出现在ωx=3π2，第一个最大值出现在ωx=5π2时对应的ω值，验证ω是否满足题意．【解答】函数f(x)＝sinωx(ω>0)，满足f(π4)=f(3π4)，且在[π4,3π4]内恰有一个最大值点和一个最小值点，当ω>0时，若f(x)的第一个最大值出现在ωx=π2，第一个最小值出现在ωx=3π2，则第二个最大值出现在ωx=5π2，由于函数f(x)在[π4, 3π4]上恰有一个最大值点和一个最小值点，也就是π4ω≤π2且3π2≤3π4ω<5π2，解得：ω＝2，此时不满足f(π4)＝f(3π4)，不合题意；若f(x)的第一个最小值出现在ωx=3π2，第一个最大值出现在ωx=5π2，则第二个最小值出现在ωx=7π2，由于函数f(x)在[π4, 3π4]上恰有一个最大值点和一个最小值点，也就是π4ω≤3π2且5π2≤3π4ω<7π2，解得103≤ω<143，结合题目中的选项知：ω＝4，此时满足f(π4)＝f(3π4)＝0，满足题意．8.【答案】B【考点】球的表面积和体积球内接多面体柱体、锥体、台体的体积计算【解析】由题意画出图形，由圆的周长公式求得圆的半径，再由勾股定理求球的半径．【解答】作出截面图如图，则OA=2√3，由截面圆的周长为4π，得2π⋅AB＝4π，则AB＝2．∴球的半径是√OA2+AB2=√(2√3)2+22=4．9.【答案】A【考点】平面向量数量积的性质及其运算直线与圆的位置关系【解析】运用向量加减运算和数量积的性质，可得PA→⋅PB→=(PO→+OA→)⋅(PO→+OB→)＝|PO→|2−r2，即为d2−r2，运用点到直线的距离公式，可得d的最小值，进而得到结论．【解答】解：由PA→⋅PB→=(PO→+OA→)⋅(PO→+OB→)=PO→2+PO→⋅(OA→+OB→)+OA→⋅OB→=|PO→|2−r2，即为d2−r2，其中d为圆外点到圆心的距离，r为半径，因此当d取最小值时，PA→⋅PB→的取值最小，可知d的最小值为√2=√2，故PA→⋅PB→的最小值为2−1=1．故选A.10.【答案】D【考点】双曲线的离心率直线与双曲线的位置关系【解析】根据以AB为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F，得到以AB为直径的圆的方程为x2+y2＝c2，根据三角形的面积求出B的坐标，代入双曲线方程进行整理即可．【解答】解：设双曲线的左焦点为F′，由图象的对称性得，圆O经过点F′，且|BF′|=|AF|，设|BF′|=|AF|=m，|BF|=n，∵BF⊥AF∴S△ABF=12mn=4a2，m2+n2=4c2，则mn=8a2，∵|BF′|−|BF|=2a，∴m−n=2a则m2−2mn+n2=4a2，∴4c2−16a2=4a2，即c2=5a2，则c=√5a，即离心率e=ca =√5aa=√5.故选D.11.【答案】D【考点】诱导公式数列的求和数列递推式等差数列的通项公式【解析】na n+1＝(n+1)a n+n(n+1)，可得a n+1n+1−a nn=1，利用等差数列的定义通项公式可得a n＝n2，b n＝n2cos2nπ3，可得b3k−2＝(3k−2)2cos2(3k−2)π3=−12(3k−2)2，同理可得b3k−1=−12(3k−1)2，b3k＝(3k)2，k∈N∗．即可得出．【解答】解：∵na n+1=(n+1)a n+n(n+1)，∴a n+1n+1−a nn=1.又∵a1=1，∴数列{a nn}是首项为1，公差为1的等差数列，∴a nn=1+(n−1)×1，得a n=n2．∵b n=a n cos2nπ3，∴b n=n2cos2nπ3，∴b3k−2=(3k−2)2cos2(3k−2)π3=−12(3k−2)2，b3k−1=(3k−1)2cos2(3k−1)π3=−12(3k−1)2，b3k=(3k)2cos2×3kπ3=(3k)2，k∈N∗，∴b3k−2+b3k−1+b3k=−12(3k−2)2−12(3k−1)2+(3k)2=9k−52，则S24=9×(1+2+⋯+8)−52×8=304．故选D.12.【答案】C【考点】函数的零点与方程根的关系【解析】根据条件函数是周期为4的函数，作出两个函数的图象，利用数形结合结合直线和曲线的相切问题，即可得到结论．【解答】依题意，函数f(x)的周期为4，方程3f(x)−x＝0恰有5个根，等价为函数y＝f(x)的图象与直线y=x3有5个交点，作函数图象如下：当x ∈(3, 5)时，f(x)＝m√1−(x −4)2，当x ∈(7, 9)时，f(x)＝m√1−(x −8)2，当直线y =x3与f(x)＝m√1−(x −4)2，相切时，即方程m√1−(x −4)2=x3有唯一解，化简得(1+9m 2)x 2−72m 2x +135m 2＝0，则△＝(−72m 2)2−4(1+9m 2)⋅135m 2＝0，解得m =√153； 当直线y =x3与f(x)＝m√1−(x −8)2相切时，即方程x3=m√1−(x −8)2有唯一解，化简得(1+9m 2)x 2−144m 2x +567m 2＝0，则△＝(−144m 2)2−4(1+9m 2)⋅567m 2＝0，解得m =√7； 由图可知，实数m 的取值范围(√153, √7)． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 【答案】 3【考点】函数奇偶性的性质与判断 【解析】结合已知函数解析式及奇函数的定义代入即可求解． 【解答】因为f(x)为奇函数，当x >0时，f(x)＝ln x −3x ， 则f(−1)＝−f(1)＝−(ln 1−3)＝3． 故答案为：3 【答案】[13, 2] 【考点】 简单线性规划 【解析】根据不等式组画出可行域，得到如图所示的△ABC 及其内部的区域．设P(x, y)为区域内一点，根据斜率计算公式可得μ=yx 表示直线OP 的斜率，运动点P 得到PQ 斜率的最大、最小值，即可得到μ=yx 的取值范围． 【解答】作出不等式组表示的平面区域，得到如图所示的△ABC 及其内部的区域 其中A(1, 2)，B(4, 2)，C(3, 1)设P(x, y)为区域内的动点，可得μ=yx 表示直线OP 的斜率， 其中P(x, y)在区域内运动，O 是坐标原点．运动点P ，可得当P 与A 点重合时，μ＝2达到最大值； 当P 与C 点重合时，μ=13达到最小值．综上所述，μ=y x 的取值范围是[13, 2]【答案】 8【考点】二项式定理及相关概念 【解析】由题意得n ＝10，再利用展开式中的第3项的系数是第4项的系数的3倍求得ab 的值． 【解答】∵ 二项式(ax +1bx )n (a >0, b >0)的展开式中只有第6项的二项式系数最大， 故展开式共有11项，∴ n ＝10．再根据展开式中的第3项的系数是第4项的系数的3倍，可得C 102⋅a 8⋅(1b )2=3⋅C 103⋅a 7⋅(1b )3，化简得ab ＝8， 【答案】 ①②③④ 【考点】命题的真假判断与应用 【解析】①，由B 1D ⊥面A 1BC 1，且A 1F⊂面A 1BC 1，可知A 1F ⊥B 1D ；②，F 为BC 1中点时，最小角的正切值为√221=√22>√33，最小角大于30∘； ③，当F 为BC 1中点时，OF 最小，此时tan∠A 1FO 最大，即∠A 1FO 最大；④，设A 1F F 和B 1D 相交于点E ，则△A 1DE ～△FB 1E ，所以A 1EEF =DA 1B 1F=2．【解答】解：在正方形中，B 1D ⊥面A 1BC 1，又A 1F⊂面A 1BC 1，∴ A 1F ⊥B 1D ，即①正确； 当F 从B 移至C 1时，异面直线A 1F 与CD 所成角由大变小再变大，且F 为BC 1中点时， 最小角的正切值为√221=√22>√33，最小角大于30∘，即②正确． 如图所示，其中点O 为A 1在平面BDC 1上的投影， 直线A 1F 与平面BDC 1所成角为∠A 1FO ，tan∠A 1FO =A 1O OF，其中A 1O 为定值，当OF 最小时，tan∠A 1FO 的值最大，即∠A 1FO 最大，在等边△BDC 1中，当F 为BC 1中点时，OF 最小，此时tan∠A 1FO =A 1O OF最大，即∠A 1FO 最大，即③正确；对于C 选项，当点F 为BC 1中点时，也是B 1C 的中点，它们共面于平面A 1B 1CD ，且必相交， 设交点为E ，连接A 1D 和B 1F ，如图所示，因为△A 1DE ～△FB 1E ，所以A1E EF=DA 1B 1F=2，即④正确．故答案为：①②③④．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分． 【答案】解：（Ⅰ）由已知可得tan A =−√3，所以A =2π3．在△ABC 中，由余弦定理得28=4+c 2−4c cos 2π3，即c 2+2c −24=0．解得c =−6（舍去），c =4． （Ⅱ）由题设可得∠CAD =π2，所以∠BAD =∠BAC −∠CAD =π6． 故△ABD 面积与△ACD 面积的比值为12AB⋅AD⋅sin π612AC⋅AD =1．又△ABC 的面积为12×4×2sin ∠BAC =2√3， 所以△ABD 的面积为√3．【考点】 三角形求面积 【解析】本题考查三角函数的同角关系、余弦定理在解三角形中的应用．【解答】解：（Ⅰ）由已知可得tan A =−√3，所以A =2π3．在△ABC 中，由余弦定理得28=4+c 2−4c cos 2π3，即c 2+2c −24=0． 解得c =−6（舍去），c =4．（Ⅱ）由题设可得∠CAD =π2， 所以∠BAD =∠BAC −∠CAD =π6． 故△ABD 面积与△ACD 面积的比值为12AB⋅AD⋅sin π612AC⋅AD =1．又△ABC 的面积为12×4×2sin ∠BAC =2√3， 所以△ABD 的面积为√3．【答案】（1）证明：∵ DE ⊥AB ，∴ DE ⊥EB ，DE ⊥EF ， ∴ DE ⊥平面BEF ，∴ DE ⊥BF ，∵ AE ＝2EB ＝2，∴ EF ＝2，EB ＝1，∵ ∠FEB ＝60∘，∴ 由余弦定理得BF =√EF 2+EB 2−2EF ×EB ×cos ∠FEB =√3，∴ EF 2＝EB 2+BF 2，∴ FB ⊥EB ， 由①②得BF ⊥平面BCDE ， ∴ 平面BFC ⊥平面BCDE ．（2）以B 为原点，BA 为x 轴，在平面ABCD 中过点B 作AB 的垂线为y 轴，BF 为z 轴，建立空间直角坐标系， 设DE ＝a ，则D(1, a, 0)，F(0, 0, √3)，DF →=(−1, −a, √3)， ∵ 直线DF 与平面BCDE 所成角的正切值为√155， ∴ 直线DF 与平面BCDE 所成角的正弦值为√64， 平面BCDE 的法向量n →=(0, 0, 1)，∴ |cos <n →,DF →>|=|n →⋅DF →||n →|⋅|DF →|=√3√4+a 2=√64，解得a ＝2， ∴ D(1, 2, 0)，C(−2, 2, 0)，∴ ED →=(0, 2, 0)，DF →=(−1, −2, √3)， 设平面EDF 的法向量m →=(x, y, z)，则{ED →⋅m →=2y =0DF →⋅m →=−x −2y +√3z =0 ，取z ＝1，得m →=(√3,0,1)， 同理得平面DFC 的一个法向量p →=(0, √3, 2)，∴ cos <m →,p →>=m →⋅p→|m →|⋅|p →|=2√7=√77， ∴ 二面角E −DF −C 的正弦值为sin <m →,p →>=√1−17=√427．【考点】平面与平面垂直二面角的平面角及求法【解析】(Ⅰ)由DE ⊥AB ，得DE ⊥EB ，DE ⊥EF ，从而DE ⊥平面BEF ，进而DE ⊥BF ，FB ⊥EB ，BF ⊥平面BCDE ，由此能证明平面BFC ⊥平面BCDE ．(Ⅱ)以B 为原点，BA 为x 轴，在平面ABCD 中过点B 作AB 的垂线为y 轴，BF 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角E −DF −C 的正弦值． 【解答】（1）证明：∵ DE ⊥AB ，∴ DE ⊥EB ，DE ⊥EF ， ∴ DE ⊥平面BEF ，∴ DE ⊥BF ，∵ AE ＝2EB ＝2，∴ EF ＝2，EB ＝1，∵ ∠FEB ＝60∘，∴ 由余弦定理得BF =√EF 2+EB 2−2EF ×EB ×cos ∠FEB =√3， ∴ EF 2＝EB 2+BF 2，∴ FB ⊥EB ， 由①②得BF ⊥平面BCDE ， ∴ 平面BFC ⊥平面BCDE ．（2）以B 为原点，BA 为x 轴，在平面ABCD 中过点B 作AB 的垂线为y 轴，BF 为z 轴，建立空间直角坐标系， 设DE ＝a ，则D(1, a, 0)，F(0, 0, √3)，DF →=(−1, −a, √3)， ∵直线DF 与平面BCDE 所成角的正切值为√155，∴ 直线DF 与平面BCDE 所成角的正弦值为√64， 平面BCDE 的法向量n →=(0, 0, 1)， ∴ |cos <n →,DF →>|=|n →⋅DF →||n →|⋅|DF →|=√32=√64，解得a ＝2， ∴ D(1, 2, 0)，C(−2, 2, 0)，∴ ED →=(0, 2, 0)，DF →=(−1, −2, √3)， 设平面EDF 的法向量m →=(x, y, z)，则{ED →⋅m →=2y =0DF →⋅m →=−x −2y +√3z =0 ，取z ＝1，得m →=(√3,0,1)， 同理得平面DFC 的一个法向量p →=(0, √3, 2)，∴ cos <m →,p →>=m →⋅p→|m →|⋅|p →|=2√7=√77， ∴ 二面角E −DF −C 的正弦值为sin <m →,p →>=√1−17=√427．【答案】（1）设P(x, y)，则由题意，|PC|−(x +12)=12，∴ √(x −1)2+y 2=x +1，化简可得动圆圆心P 的轨迹T 的方程为y 2＝4x ； （2）设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)．由题意，设直线l 的方程为x ＝my +6，联立抛物线方程可得y 2−4my −24＝0， ∴ y 1+y 2＝4m ，y 1y 2＝−24①，∴ x 1+x 2＝4m 2+12②，x 1x 2＝36③ 假设存在N(x 0, y 0)，使得NA ⊥NB ，则y 0=y 1+y 22=2m ④，∴ x 0＝m 2⑤， ∵ NA →⋅NB →=0，∴ 代入化简可得(m 2+6)(3m 2−2)＝0， ∴ m =±√63， ∴ 存在直线l:x =±√63y +6，使得NA ⊥NB ，【考点】轨迹方程 【解析】(Ⅰ)利用直接法，求动圆圆心P 的轨迹T 的方程；(Ⅱ)由题意，设直线l 的方程为x ＝my +6，联立抛物线方程，利用NA →⋅NB →=0，代入化简可得(m 2+6)(3m 2−2)＝0，即可得出结论．【解答】（1）设P(x, y)，则由题意，|PC|−(x +12)=12，∴ √(x −1)2+y 2=x +1，化简可得动圆圆心P 的轨迹T 的方程为y 2＝4x ； （2）设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)．由题意，设直线l 的方程为x ＝my +6，联立抛物线方程可得y 2−4my −24＝0， ∴ y 1+y 2＝4m ，y 1y 2＝−24①，∴ x 1+x 2＝4m 2+12②，x 1x 2＝36③ 假设存在N(x 0, y 0)，使得NA ⊥NB ，则y 0=y 1+y 22=2m ④，∴x0＝m2⑤，∵NA→⋅NB→=0，∴代入化简可得(m2+6)(3m2−2)＝0，∴m=±√63，∴存在直线l:x=±√63y+6，使得NA⊥NB，【答案】f(x)＝xe mx，f′(x)＝e mx+mxe mx，f′(−1)＝e−m−me−m＝0，解得m＝1．∴f(x)＝xe x，f′(x)＝(1+x)e x，令f′(x)＝0，解得x＝−1．令f′(x)>0，解得x>−1，此时函数f(x)单调递增；令f′(x)<0，解得x<−1，此时函数f(x)单调递减．∴x＝−1时，函数f(x)取得极小值即最小值，f(−1)=−e−1=−1e．f(x)=1x⇒xe mx=1x在(0, +∞)有两解即：ln x+mx＝−ln x在(0, +∞)有两解−m2=ln xx．设F(x)=ln xx ，F′(x)=1−ln xx2，可得F(x)在(0, e)上为增函数，在(e, +∞)上为减函数．x→0，F(x)→−∞；x→+∞，F(x)→0，F(x)max=F(e)=1e 所以−m2∈(0,1e)，解得：m∈(−2e,0)．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究函数的最值【解析】（1）求出f(x)的导数，根据f′(−1)＝0，求出m的值，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出f(x)的最小值即可；（2）问题转化为−m2=ln xx有2个解，设F(x)=ln xx，根据函数的单调性求出F(x)的值域，求出m的范围即可．【解答】f(x)＝xe mx，f′(x)＝e mx+mxe mx，f′(−1)＝e−m−me−m＝0，解得m＝1．∴f(x)＝xe x，f′(x)＝(1+x)e x，令f′(x)＝0，解得x＝−1．令f′(x)>0，解得x>−1，此时函数f(x)单调递增；令f′(x)<0，解得x<−1，此时函数f(x)单调递减．∴x＝−1时，函数f(x)取得极小值即最小值，f(−1)=−e−1=−1e．f(x)=1x⇒xe mx=1x在(0, +∞)有两解即：ln x+mx＝−ln x在(0, +∞)有两解−m2=ln xx．设F(x)=ln xx，F′(x)=1−ln xx2，可得F(x)在(0, e)上为增函数，在(e, +∞)上为减函数．x→0，F(x)→−∞；x→+∞，F(x)→0，F(x)max=F(e)=1e所以−m2∈(0,1e)，解得：m∈(−2e,0)．【答案】当进行逐份检验时，ξ1的取值只有k，所以E(ξ1)＝k，当进行混合检验时，ξ2的取值有1，k+1，其中ξ2＝1对应的情况为“k份血液混合之后检验结果为阴性”，此时P(ξ2＝1)＝(1−p)k，ξ2＝k+1对应的情况为“k份血液混合之后检验结果为阳性，随后对k份血液进行逐份检验”，此时P(ξ2＝k+1)＝1−(1−p)k，所以E(ξ2)＝(1−p)k+(k+1)[1−(1−p)k]＝k+1−k(1−p)k，令E(ξ1)＝E(ξ2)，即k＝k+1−k(1−p)k，所以(1−p)k=1k，即p＝1−(1k)1k，(k∈N∗且k≥2)．(ⅰ)证明：∵x n+12−x n2=(e13−e−13)x n x n+1，∴x n+12x n x n+1−x n2x n x n+1=e13−e−13，∴x n+1x n−x nx n+1=e13−1e13，∴x n+1x n=e13或x n+1x n=−e−13（舍），∴{x n}是以1为首项，以e13为公比的等比数列．(ii)∵{x n}是以1为首项，以e13为公比的等比数列．∴x n=(e13)n−1=e n−13，(n∈N∗)，∴ x 4＝e ，∴ p ＝1√e 3，由题意知E(ξ1)>E(ξ2)，则有k >k +1−k(1−p)4， 整理得ln k −13k >0，构造p(x)＝ln x −13x ，(x >0)，则p′(x)=3−x 3x， 当x ∈(0, 3)时，p′(x)>0，当x ∈(3, +∞)时，p′(x)<0， ∴ p(x)在(0, 3)上单调递增，在(3, +∞)上单调递减， 而p(4)>0，p(5)<0， ∴ k 的最大值为4．【考点】离散型随机变量的期望与方差 利用导数研究函数的单调性【解析】（1）分别求解ξ1，ξ2可能的取值以及对应的概率，即可求解E(ξ1)、E(ξ2)； (2)(ⅰ)推导出xn+12x n xn+1−x n2xn x n+1=e 13−e −13，由此能证明x n }是以1为首项，以e 13为公比的等比数列．(ii)x n =(e 13)n−1=en−13，(n ∈N ∗)，从而x 4＝e ，p ＝1√e3，由E(ξ1)>E(ξ2)，得ln k −13k >0，构造p(x)＝ln x −13x ，(x >0)，则p′(x)=3−x 3x，由导数性质得p(x)在(0, 3)上单调递增，在(3, +∞)上单调递减，由此能求出使得f(k)>0的最大的k 值． 【解答】当进行逐份检验时，ξ1的取值只有k ，所以E(ξ1)＝k ， 当进行混合检验时，ξ2的取值有1，k +1，其中ξ2＝1对应的情况为“k 份血液混合之后检验结果为阴性”，此时P(ξ2＝1)＝(1−p)k ， ξ2＝k +1对应的情况为“k 份血液混合之后检验结果为阳性，随后对k 份血液进行逐份检验”， 此时P(ξ2＝k +1)＝1−(1−p)k ，所以E(ξ2)＝(1−p)k +(k +1)[1−(1−p)k ]＝k +1−k(1−p)k ，令E(ξ1)＝E(ξ2)，即k ＝k +1−k(1−p)k ，所以(1−p)k=1k ，即p ＝1−(1k )1k，(k ∈N ∗且k ≥2)． (ⅰ)证明：∵ x n+12−x n 2=(e 13−e −13)x n x n+1， ∴ x n+12x n x n+1−x n 2x n x n+1=e 13−e −13，∴x n+1x n−x n x n+1=e 13−1e 13，∴x n+1x n=e 13或x n+1x n=−e −13（舍），∴ {x n }是以1为首项，以e 13为公比的等比数列． (ii)∵ {x n }是以1为首项，以e 13为公比的等比数列． ∴ x n =(e 13)n−1=en−13，(n ∈N ∗)，∴ x 4＝e ，∴ p ＝1√e3，由题意知E(ξ1)>E(ξ2)，则有k >k +1−k(1−p)4， 整理得ln k −13k >0，构造p(x)＝ln x −13x ，(x >0)，则p′(x)=3−x 3x，当x ∈(0, 3)时，p′(x)>0，当x ∈(3, +∞)时，p′(x)<0， ∴ p(x)在(0, 3)上单调递增，在(3, +∞)上单调递减， 而p(4)>0，p(5)<0， ∴ k 的最大值为4．（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程] 【答案】解：(1)∵ x =1+cos α1−cos α=2cos 2α22sin2α2=cos 2α2sin2α2，y =2sin α1−cos α=4sin α2cos α22sin 2α2=2cosα2sin α2，∴ y 2=4cos 2α2sin2α2=4x ，即曲线C 1的普通方程为y 2=4x ，依题意得曲线C 的普通方程为y 2=4(x +2)．令x =ρcos θ，y =ρsin θ得曲线C 的极坐标方程为ρ2sin 2θ−4ρcos θ−8=0. (2)将θ=θ0代入曲线C 的极坐标方程得ρ2sin 2θ0−4ρcos θ0−8=0， 则ρ1+ρ2=4cos θ0sin 2θ0，ρ1ρ2=−8sin 2θ0，∵ ρ1ρ2<0， ∴ ρ1，ρ2异号． ∴ 1|OA|+1|OB|=1|ρ1|+1|ρ2|=|ρ1−ρ2||ρ1ρ2|=√(ρ1+ρ2)2−4ρ1ρ2|ρ1ρ2|=√(4cos θ0sin 2θ0)2+32sin 2θ08sin 2θ0=12√1+sin 2θ0 ∵ θ0∈(0, π)， ∴ sin θ0∈(0, 1]， ∴ 1|OA|+1|OB|∈(12,√22]． 【考点】抛物线的极坐标方程与直角坐标方程的互化 根与系数的关系正弦函数的定义域和值域【解析】(Ⅰ)利用倍角公式化简x，y即可得出曲线C1的普通方程为，令x＝ρcosθ，y＝ρsinθ得曲线C的极坐标方程．(Ⅱ)法一：将θ＝θ0代入曲线C的极坐标方程得ρ2sin2θ0−4ρcosθ0−8＝0，利用根与系数的关系及其ρ1，ρ2的意义代入即可得出．法二：设直线l的参数方程为{x=t cosφy=t sinφ（t为参数），代入曲线C的普通方程得t2sin2φ−4t cosφ−8＝0，利用直线参数方程及其参数的意义即可得出．【解答】解：(1)∵x=1+cosα1−cosα=2cos2α22sin2α2=cos2α2sin2α2，y=2sinα1−cosα=4sinα2cosα22sin2α2=2cosα2sinα2，∴y2=4cos2α2sin2α2=4x，即曲线C1的普通方程为y2=4x，依题意得曲线C的普通方程为y2=4(x+2)．令x=ρcosθ，y=ρsinθ得曲线C的极坐标方程为ρ2sin2θ−4ρcosθ−8=0.(2)将θ=θ0代入曲线C的极坐标方程得ρ2sin2θ0−4ρcosθ0−8=0，则ρ1+ρ2=4cosθ0sin2θ0，ρ1ρ2=−8sin2θ0，∵ρ1ρ2<0，∴ρ1，ρ2异号．∴1|OA|+1|OB|=1|ρ1|+1|ρ2|=|ρ1−ρ2||ρ1ρ2|=√(ρ1+ρ2)2−4ρ1ρ2|ρ1ρ2|=√(4cosθ0sin2θ0)2+32sin2θ08sin2θ0=12√1+sin2θ0∵θ0∈(0, π)，∴sinθ0∈(0, 1]，∴1|OA|+1|OB|∈(12,√22]．[选修4-5：不等式选讲]【答案】（1）由f(x)≥6，得不等式|2x−7|+|2x−5|≥6，当x<52时，不等式可化为−(2x−7)−(2x−5)≥6，解得x≤32；当52≤x≤72时，不等式可化为−(2x−7)+(2x−5)≥6，即2≥6，无解；当x>72时，不等式可化为(2x−7)+(2x−5)≥6，解得x≥92．综上，不等式f(x)≥6的解集是(−∞,32]∪[92,+∞)．（2）∵f(x)＝|2x−7|+|2x−5|≥|2x−7−(2x−5)|＝2，当且仅当(2x−7)(2x−5)≤0时取等号，∴m＝2．∵a2+b2(a+b)2≥12，∴1a+b⋅a2+b2a+b≥12．∵k=max{1a+b,a2+b2a+b}>0，∴k2≥1a+b⋅a2+b2a+b≥12，∴2k2≥1，即k2m≥1．【考点】绝对值不等式的解法与证明绝对值三角不等式不等式的证明【解析】(Ⅰ)根据f(x)≥6，利用零点分段法解不等式即可；(Ⅱ)由绝对值三角不等式可得f(x)≥2，从而得到m＝2，再由1a+b⋅a2+b2a+b=a2+b2(a+b)2≥12，得2k2≥1，进而证明不等式成立．【解答】（1）由f(x)≥6，得不等式|2x−7|+|2x−5|≥6，当x<52时，不等式可化为−(2x−7)−(2x−5)≥6，解得x≤32；当52≤x≤72时，不等式可化为−(2x−7)+(2x−5)≥6，即2≥6，无解；当x>72时，不等式可化为(2x−7)+(2x−5)≥6，解得x≥92．综上，不等式f(x)≥6的解集是(−∞,32]∪[92,+∞)．（2）∵f(x)＝|2x−7|+|2x−5|≥|2x−7−(2x−5)|＝2，当且仅当(2x−7)(2x−5)≤0时取等号，∴m＝2．∵a2+b2(a+b)2≥12，∴1a+b⋅a2+b2a+b≥12．∵k=max{1a+b,a2+b2a+b}>0，∴k2≥1a+b⋅a2+b2a+b≥12，∴2k2≥1，即k2m≥1．。

2020年山西省太原五中高考数学模拟试卷（文科）（一）（4月份）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x>0}，B={y|y=2|x|}，则∁A B=()A. {x|x<0}B. {x|0<x<1}C. {x|0≤x≤1}D. {x|1≤x≤2}2.若z=4+3i，则z|z|=()A. 1B. −1C. 45+35i D. 45−35i3.已知非零向量a⃗，b⃗ 满足|b⃗ |=4|a⃗|，且a⃗⊥(2a⃗+b⃗ )，则a⃗与b⃗ 的夹角为()A. π3B. π2C. 2π3D. 5π64.若tanα=34，则cos2α+2sin2α=()A. 6425B. 4825C. 1D. 16255.已知双曲线C：x22−y2=1的左右焦点为F1、F2，点M为双曲线C上任一点，则|MF1|⋅|MF2|的最小值为()A. 1B. √2C. 2D. 36.以下四个命题中，真命题的个数是()①若a+b≥2，则a，b中至少有一个不小于1；②a⃗⋅b⃗ =0是a⃗⊥b⃗ 的充要条件；③∀x∈[0,+∞)，x3+x≥0；④函数y=f(x+1)是奇函数，则y=f(x)的图象关于(1,0)对称．A. 0B. 1C. 2D. 37.执行如图所示的程序框图．则输出的所有点(x,y)()A. 都在函数y=x+1的图象上B. 都在函数y=2x的图象上C. 都在函数y=2x的图象上D. 都在函数y=2x−1的图象上8.已知函数f(x)满足：f(x)≥|x|且f(x)≥2x，x∈R，则()A. 若f(a)≤|b|，则a≤bB. 若f(a)≤2b，则a≤bC. 若f(a)≥|b|，则a≥bD. 若f(a)≥2b，则a≥b9.函数f(x)=xlog a|x||x|(0<a<1)图象的大致形状是()A. B.C. D.10.已知数列{a n}是等比数列，数列{b n}是等差数列，若a1⋅a6⋅a11=−3√3,b1+b6+b11=7π，则tan b3+b91−a4⋅a8的值是()A. 1B. √22C. −√22D. −√311.已知抛物线x2=2y的焦点为F，点M是抛物线C上的一点，O为坐标原点，若△MOF的外接圆与抛物线的准线相切，则该圆的面积为()A. π4B. π2C. 9π16D. 3π412.如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为()A. 14B. 10+4√2C. 212+4√2D. 21+√32+4√2二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若样本数据x1，x2，…，x10的平均数为10，则数据4x1−3，4x2−3，…，4x10−3，的平均数为．14.已知x，y满足约束条件{x−y≥0x+y≤2y≥0，若z=ax+y的最大值为4，则a=______．15.函数f(x)=sin(ωx+π3)的图象向右平移π3个单位后与原函数的图象关于x轴对称，则ω的最小正值是______．16.已知f(x)=|x⋅e x|，g(x)=f2(x)+tf(x)(t∈R)若满足g(x)=−1的x有四个，则t的取值范围为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{a n}是等比数列，a2=4，a3+2是a2和a4的等差中项．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)设b n=2log2a n−1，求数列{a n b n}的前n项和T n．18.如图，四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，四边形ABCD为平行四边形，CA=√3CD，∠BCD=120°．(1)若AC∩BD=O，求证：B1O//平面A1C1D；(2)若CD=2，且三棱锥A−CDC1的体积为2√2，求C1D.19.2019年下半年以来，各地区陆续出台了“垃圾分类”的相关管理条例，实行“垃圾分类”能最大限度地减少垃圾处置量，实现垃圾资源利用，改善垃圾资源环境，某部门在某小区年龄处于[20,45]岁的人中随机地抽取x人，进行了“垃圾分类”相关知识掌握和实施情况的调查，并把达到“垃圾分类”标准的人称为“环保族”，得到如图示各年龄段人数的频率分布直方图和表中的统计数据．(1)求x，y，z的值；(2)根据频率分布直方图，估计这x人年龄的平均值(同一组数据用该区间的中点值代替，结果按四舍五入保留整数)；(3)从年龄段在[25,35]的“环保族”中采取分层抽样的方法抽取9人进行专访，并在这9人中选取2人作为记录员，求选取的2名记录员中至少有一人年龄在[30,35]中的概率．组数分组“环保族”人数占本组频率第一组[20,25)450.75第二组[25,30)25y第三组[30,35)200.5第四组[35,40)z0.2第五组[40,45)30.120.已知过原点的动直线l与圆C1：x2+y2−6x+5=0相交于不同的两点A，B．(1)求圆C1的圆心坐标；(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程；(3)是否存在实数k，使得直线L：y=k(x−4)与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．21.已知函数f(x)=lnx+x，g(x)=4x2+mx(m<0)，函数f(x)在点x=1处的切线与函数y=g(x)相切．(1)求函数g(x)的值域；(2)求证：f(x)<g(x)．22.已知曲线C的极坐标方程是ρsin2θ−8cosθ=0，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系xOy.在直角坐标系中，倾斜角为α的直线l过点P(2,0)．(1)写出曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程；(2)设点Q和点G的极坐标分别为(2,3π2)，(2,π)，若直线l经过点Q，且与曲线C相交于A，B两点，求△GAB的面积．23.(Ⅰ)若a，b，均为正数，且a+b=1.证明：(1+1a )(1+1b)≥9；(Ⅱ)若不等式|x+3|−|x−a|≥2的解集为{x|x≥1}，求实数a的值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵|x|≥0，∴y=2|x|≥1，∴集合B={y|y≥1}，∴∁A B={x|0<x<1}，故选：B．先指数函数的性质求出集合B={y|y≥1}，再利用补集的定义即可算出结果．本题主要考查了指数函数的性质，以及补集的定义，是基础题．2.【答案】D【解析】【分析】本题考查共轭复数，复数的模，属于基础题．利用共轭复数，复数的模化简即可得到答案．【解答】解：由z=4+3i得z=4−3i，则z|z|=4−3i|4+3i|=4−3i5=45−35i.故选D．3.【答案】C【解析】解：由已知非零向量a⃗，b⃗ 满足|b⃗ |=4|a⃗|，且a⃗⊥(2a⃗+b⃗ )，可得a⃗⋅(2a⃗+b⃗ )= 2a⃗2+a⃗⋅b⃗ =0设a⃗与b⃗ 的夹角为θ，则有2|a⃗|2+|a⃗|⋅4|a⃗|⋅cosθ=0，即cosθ=−12，又因为θ∈[0,π]，所以θ=2π3，故选：C．由题意可得可得a⃗⋅(2a⃗+b⃗ )=2a⃗2+a⃗⋅b⃗ =0，设a⃗与b⃗ 的夹角为θ，求得cosθ=−12，结合θ的范围，求得θ的值．本题主要考查向量的数量积运算与向量夹角之间的关系，采用两向量垂直时其数量积为零来进行转化．本体属于基础题，注意运算的准确性．4.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查三角函数的化简求值，同角三角函数的关系式，二倍角公式的应用，“弦”化“切”是关键，属于基础题．将所求的关系式的分母“1”化为(cos2α+sin2α)，再将“弦”化“切”即可得到答案．【解答】解：∵tanα=34，∴cos2α+2sin2α=cos2α+4sinαcosαsin2α+cos2α=1+4tanαtan2α+1=1+4×3 49 16+1=6425．故选A．5.【答案】A【解析】解：根据题意可得F1(−√3,0)，F2(√3,0)，设M(x,y)，其中x(−∞,−√2]∪[√2,+∞)，则y2=x22−1，则|MF1|⋅|MF2|=√(x+√3)2+y2⋅√(x−√3)2+y2=√(x+√3)2+x22−1⋅√(x−√3)2+x22−1=√(32x2−2)2，因为x∈(−∞,−√2]∪[√2,+∞)，所以32x2≥3，则当x=±√2时，|MF1|⋅|MF2|取最小值，最小值=√(3−2)2=1，故选：A．根据条件设M(x,y)，其中x∈[−√2,√2]，表示出|MF1|⋅|MF2|=√(32x2−2)2，则可得当x=±√2时取得最小值．本题考查双曲线的相关性质，考查函数最值得求法，属于中档题．6.【答案】D【解析】解：对于①，逆否命题为：a，b都小于1，则a+b<2是真命题所以原命题是真命题对于②，a⃗⊥b⃗ ⇒a⃗⋅b⃗ =0，反之不成立，取a⃗=0⃗，不能说a⃗⊥b⃗ ，所以②是假命题；对于③，∀x∈[0,+∞)，x3+x≥0；显然是真命题；对于④，函数y=f(x+1)是奇函数，函数的对称中心为(0,0)，则y=f(x)的图象是y=f(x+1)的图象向右平移1个单位得到的，所以y=f(x)关于(1,0)对称．是真命题；故选：D．利用逆否命题的真假判断①的正误；由a⃗⊥b⃗ 可得a⃗⋅b⃗ =0，反之不成立，取a⃗=0⃗即可判断；利用全称命题直接判断③的正误即可．利用函数的奇偶性以及对称性说明④的正误；本题考查命题的真假的判断与应用，考查向量的数量积与垂直的关系，函数的对称性，充要条件，是基础题．7.【答案】C【解析】解：开始：x=1，y=2，进行循环：输出(1,2)，x=2，y=4，输出(2,4)，x=3，y=8，输出(3,8)，x=4，y=16，输出(4,16)，x=5，y=32，因为x=5>4，∴退出循环，则输出的所有点(1,2)，(2,4)，(3,8)，(4,16)都在函数y=2x的图象上．故选：C．开始x=1，y=2，输出(x,y)，继续循环，x=x+1，y=2y.x≤4就循环，当x>4时，循环结束．最后看碟输出(x,y)值适合哪一个函数的解析式即可．本题主要考查了直到型循环结构，根据流程图计算运行结果是算法这一模块的重要题型，处理的步骤一般为：分析流程图，从流程图中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型解模．8.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查不等式的判断和证明，根据条件，结合不等式的性质是解决本题的关键，属于中档题．根据不等式的性质，分别进行递推判断即可．【解答】解：A.若f(a)≤|b|，则由条件f(x)≥|x|得f(a)≥|a|，即|a|≤|b|，则a≤b不一定成立，故A错误;B.若f(a)≤2b，则由条件知f(x)≥2x，即f(a)≥2a，则2a≤f(a)≤2b，则a≤b，故B正确;C.若f(a)≥|b|，则由条件f(x)≥|x|得f(a)≥|a|，则|a|与|b|大小关系不确定，故不能得到a≥b，故C错误;D.若f(a)≥2b，则由条件f(x)≥2x，得f(a)≥2a，则2a≥2b不一定成立，即a≥b不一定成立，故D错误，故选：B．9.【答案】C【解析】【分析】本题考查函数的图象，考查函数的奇偶性、单调性，正确分析函数的性质是关键，是基础题．确定函数是奇函数，图象关于原点对称，x>0时，f(x)=log a x(0<a<1)是单调减函数，即可得出结论．【解答】解：由题意，f(−x)=−f(x)，所以函数是奇函数，图象关于原点对称，排除B 、D ； x >0时，f(x)=log a x(0<a <1)是单调减函数，排除A ． 故选C ．10.【答案】D【解析】 【分析】本题考查等差数列与等比数列的综合题，考查等差数列与等比数列的性质，训练了三角函数值的求法，是中档题．由等差数列和等比数列的性质求出b 3+b 9，1−a 4a 8的值，代入tan b 3+b 91−a4⋅a 8得答案．【解析】解：在等差数列{b n }中，由b 1+b 6+b 11=7π，得3b 6=7π，b 6=7π3，∴b 3+b 9=2b 6=14π3，在等比数列{a n }中，由a 1a 6a 11=−3√3，得a 63=−3√3，a 6=−√3，∴1−a 4a 8=1−(−√3)2=−2， 则tanb 3+b 91−a4⋅a 8=tan14π3−2=tan(−7π3)=−√3．故选：D ．11.【答案】C【解析】解：如图，抛物线x 2=2y 的焦点为F(0,12)， △MOF 的外接圆的圆心在OF 的垂直平分线上，则圆心纵坐标为14，又△MOF 的外接圆与抛物线的准线相切，∴外接圆半径为34．则该圆的面积为π×(34)2=916π． 故选：C ．由题意画出图形，可知△MOF 的外接圆的圆心在OF 的垂直平分线上，则圆心纵坐标为14，结合△MOF 的外接圆与抛物线的准线相切，得外接圆半径为34，代入圆的面积公式得答案．本题是抛物线与圆的综合题，考查抛物线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．12.【答案】D【解析】解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为三棱柱切去一个三棱锥体．如图所示：所以该几何体的表面积为：S=2×2√2+2×2×2+2×12×2×2−3×12×1×1+12×√2×√2×√32=√3+212+4√2．故选：D．首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的表面积．本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积和表面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．13.【答案】37【解析】【分析】本题考查样本均值的求解，属于基础题．根据平均数定义可求．【解答】解：因为样本数据x1，x2，…，x10的平均数为10，则x1+x2+⋯+x1010=10，所以数据4x1−3，4x2−3，…，4x10−3，的平均数为：4x1−3+4x2−3+⋯+4x10−310=4(x1+x2+⋯+x10)−3010=4×100−3010=37，故答案为：37．14.【答案】2【分析】本题主要考查线性规划的应用，中档题作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定a的值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：(阴影部分)．则A(2,0)，B(1,1)，若z=ax+y过A时取得最大值为4，则2a=4，解得a=2，此时，目标函数为z=2x+y，即y=−2x+z，平移直线y=−2x+z，当直线经过A(2,0)时，截距最大，此时z最大值为4，满足条件，若z=ax+y过B时取得最大值为4，则a+1=4，解得a=3，此时，目标函数为z=3x+y，即y=−3x+z，平移直线y=−3x+z，当直线经过A(2,0)时，截距最大，此时z最大值为6，不满足条件，故a=2；故答案为：2．15.【答案】3【解析】解：∵函数f(x)=sin(ωx+π3)的图象向右平移π3个单位后与原函数的图象关于x轴对称，则平移后函数的解析式为y=sin(ωx−ωπ3+π3)=−sin(ωx+π3)，∴−ωπ3=(2k+1)π，=π，∴ω=3，则ω取得最小正值时，ωπ3故答案为：3．根据函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，诱导公式，得出结论．本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，诱导公式，属于基础题．16.【答案】(−∞,−e2+1)e【解析】解：∵g(x)=−1的x有四个，∴方程f2(x)+tf(x)+1=0有4个根，设ℎ(x)=x⋅e x，则ℎ′(x)=e x+xe x=e x(x+1)，令ℎ′(x)=0，得x=−1，∴当x∈(−∞,−1)时，ℎ′(x)<0，函数ℎ(x)单调递减；当x∈(−1,+∞)时，ℎ′(x)>0，函数ℎ(x)单调递增，∴ℎ(x)min=ℎ(−1)=−1，e画出函数ℎ(x)=x⋅e x的大致图象，如图所示：，∵f(x)=|x⋅e x|，∴保留函数ℎ(x)的x轴上方的图象，把x轴下方的图象关于x轴翻折到x轴上方，即可得到函数f(x)=|x⋅e x|的图象，如图所示：，令m=f(x)，则m2+tm+1=0，所以要使方程f2(x)+tf(x)+1=0有4个根，则方程m 2+tm +1=0应有两个不等的实根，且一个根在(0,1e )内，一个根在(1e ,+∞)内， 设φ(m)=m 2+tm +1，因为φ(0)=1>0，则只需φ(1e )<0，即(1e )2+te +1<0， 解得：t <−e 2+1e，故答案为：(−∞,−e 2+1e).g(x)=−1的x 有四个，等价于方程f 2(x)+tf(x)+1=0有4个根，设ℎ(x)=x ⋅e x ，利用导数得到函数ℎ(x)的单调性和极值，画出函数ℎ(x)的大致图象，再利用函数图象的变换得到函数f(x)的大致图象，要使方程f 2(x)+tf(x)+1=0有4个根，则方程m 2+tm +1=0应有两个不等的实根，且一个根在(0,1e )内，一个根在(1e ,+∞)内，设φ(m)=m 2+tm +1，再利用二次函数根的分布列出不等式，即可解出t 的取值范围．本题主要考查了函数的零点与方程的根的关系，以及利用导数研究函数的单调性和极值，考查了二次函数的图象和性质，是中档题．17.【答案】解：(Ⅰ)设数列{a n }的公比为q ，因为a 2=4，所以a 3=4q ，a 4=4q 2，因为a 3+2是a 2和a 4的等差中项，所以2(a 3+2)=a 2+a 4． 即2(4q +2)=4+4q 2，化简得q 2−2q =0． 因为公比q ≠0，所以q =2．所以a n =a 2q n−2=4×2n−2=2n (n ∈N ∗). (Ⅱ)因为a n =2n ，所以b n =2log 2a n −1=2n −1． 所以a n b n =(2n −1)2n ．则T n =1×2+3×22+5×23+⋯+(2n −3)2n−1+(2n −1)2n ，①， 2T n =1×22+3×23+5×24+⋯+(2n −3)2n +(2n −1)2n+1，②， ①−②得，−T n =2+2×22+2×23+⋯+2×2n −(2n −1)2n+1． =2+2×4(1−2n−1)1−2−(2n −1)2n+1=−6−(2n −3)2n+1，所以T n =6+(2n −3)2n+1．【解析】(Ⅰ)由等比数列的首项和公比分别表示出已知条件，解方程组即可求得首项和公比，代入等比数列的通项公式即可求得结果；(Ⅱ)把(Ⅰ)中求得的结果代入b n =2log 2a n −1，求出b n ，利用错位相减法求出T n ． 本题考查等比数列求通项公式和等差、等比中项的概念及错位相减法求数列的前项和S n ，等差数列和等比数列之间的相互转化，考查运算能力，属中档题．18.【答案】解：(1)证明：连结B 1D 1，交A 1C 1∩B 1D 1=E ，连结DE ， ∵B 1E−//DO ，∴四边形EB 1OD 是平行四边形，∴B 1O//DE ， ∵B 1O ⊄面A 1C 1D ，DE ⊂面A 1C 1D ， ∴B 1O//平面A 1C 1D .(2)解：∵CD =2，∴CA =√3CD =2√3， ∵∠BCD =120°.∴∠ADC =60°， ∴cos60°=4+AD 2−124AD，解得CD =4，∴CD 2+CA 2=AD 2，∴CD ⊥AC ， ∵AA 1⊥平面ABCD ，∴AC ⊥CC 1， ∵CD ∩CC 1=C ，∴AC ⊥平面CDC 1， ∵三棱锥A −CDC 1的体积为2√2，∴V A−CDC 1=13S △CDC 1⋅AC =13×12×2×CC 1×2√3=2√2， 解得CC 1=√6， ∴C 1D =√4+6=√10．【解析】(1)连结B 1D 1，交A 1C 1∩B 1D 1=E ，连结DE ，B 1E−//DO ，四边形EB 1OD 是平行四边形，B 1O//DE ，由此能证明B 1O//平面A 1C 1D .(2)推导出CD ⊥AC ，AC ⊥CC 1，从而AC ⊥平面CDC 1，V A−CDC 1=13S △CDC 1⋅AC =13×12×2×CC 1×2√3=2√2，求出CC 1=√6，由此能求出C 1D . 本题考查线面垂直的证明，考查线段长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】解：(1)由题意得：{ x =450.750.06×5=200y =25200×0.04×5=0.625z =200×0.03×5×0.2=6． (2)根据频率分布直方图，估计这x 人年龄的平均值为：x −=22.5×0.06×5+27.5×0.04×5+32.5×0.04×5+37.5×0.03×5+42.5×0.03×5=30.75．(3)从年龄段在[25,35]的“环保族”中采取分层抽样的方法抽取9人进行专访， [25,30)中选：9×2525+20=5人，[30,35]中选：9×2025+20=4人， 在这9人中选取2人作为记录员，基本事件总数n =C 92=36，选取的2名记录员中至少有一人年龄在[30,35]包含的基本事件个数：m =C 51C 41+C 42=26，∴选取的2名记录员中至少有一人年龄在[30,35]中的概率p =m n=2636=1318．【解析】(1)由频率分布直方图和频数分布表能求出x ，y ，z ． (2)根据频率分布直方图，能估计这x 人年龄的平均值．(3)从年龄段在[25,35]的“环保族”中采取分层抽样的方法抽取9人进行专访，[25,30)中选5人，[30,35]中选4人，在这9人中选取2人作为记录员，基本事件总数n =C 92=36，选取的2名记录员中至少有一人年龄在[30,35]包含的基本事件个数m =C 51C 41+C 42=26，由此能求出选取的2名记录员中至少有一人年龄在[30,35]中的概率．本题考查频率、平均数、概率的求法，考查频数分布表、频率分布直方图、分层抽样、古典概型的性质等基础知识，考查数据分析能力、运算求解能力，是基础题．20.【答案】解：(1)∵圆C 1：x 2+y 2−6x +5=0，整理，得其标准方程为(x −3)2+y 2=4， ∴圆C 1的圆心坐标为(3,0)．(2)设当直线l 的方程为y =kx ，A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)， 联立方程组{(x −3)2+y 2=4y =kx ，消去y 可得：(1+k 2)x 2−6x +5=0， 由Δ=36−4(1+k 2)×5>0，可得k 2<45． 由韦达定理，可得x 1+x 2=61+k 2，∴线段AB 的中点M 的轨迹C 的参数方程为{x =31+k 2y =3k 1+k 2，其中−2√55<k <2√55，∴线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程为(x −32)2+y 2=94，其中53<x ≤3．(3)结论：当k ∈(−2√57,2√57)∪{−34，34}时，直线L ：y =k(x −4)与曲线C 只有一个交点． 理由如下：联立方程组{(x −32)2+y 2=94y =k(x −4)， 消去y ，可得：(1+k 2)x 2−(3+8k 2)x +16k 2=0， 令Δ=(3+8k 2)2−4(1+k 2)⋅16k 2=0，解得k =±34，又∵轨迹C 的端点(53,±2√53)与点(4,0)决定的直线斜率为±2√57，∴当直线L ：y =k(x −4)与曲线C 只有一个交点时， k 的取值范围为[−2√57,2√57]∪{−34，34}.【解析】本题考查求轨迹方程、直线与曲线的位置关系问题，注意解题方法的积累，属于较难题．(1)通过将圆C 1的一般式方程化为标准方程即得结论；(2)设当直线l 的方程为y =kx ，通过联立直线l 与圆C 1的方程，利用根的判别式大于0、韦达定理、中点坐标公式及参数方程与普通方程的相互转化，计算即得结论； (3)通过联立直线L 与圆C 的方程，利用根的判别式Δ=0及轨迹C 的端点与点(4,0)决定的直线斜率，即得结论．21.【答案】解：(1)切点P(1,1)，f′(x)=1x +1，f′(1)=2．可得过点P 的f(x)的切线为y −1=2(x −1)，化为：2x −y −1=0．∵函数f(x)在点x =1处的切线与函数y =g(x)相切．联立y =4x 2+mx ，2x −y −1=0，化为：4x 2+(m −2)x +1=0，令△=(m −2)2−16=0，m <0， 解得m =−2．∴g(x)=4x 2−2x =4(x −14)2−14≥−14． ∴函数g(x)的值域为[−14,+∞)．(2)证明：证明f(x)<g(x)，即证明4x 2−3x −lnx >0.x ∈(0,+∞)．即证明4x −3>lnx x.x ∈(0,+∞)．令ℎ(x)=lnx x.x ∈(0,+∞).y =4x −3．假设直线y =4x +m 与曲线ℎ(x)相切于点P(x 0,lnx 0x 0).ℎ′(x)=1−lnx x 2.则1−lnx 0x 02=4.，可得lnx 0=1−4x 02．令u(x 0)=lnx 0+4x 02−1.在(0,+∞)上单调递增．可得u(35)u(1)<0， ∴x 0∈(35,1)． 可得切线方程为：y −1−4x 02x 0=4(x −x 0)，令x =0，可得y =1−4x 02x 0−4x 0，下面证明：1−4x 02x 0−4x 0<−3即可，化为：8x 02−3x 0−1>0，令u(x)=8x 2−3x −1，x ∈(12,1)， u(x)=8(x −316)2−4132． u(x)在x ∈(35,1)上单调递增，而u(35)=7225−95−1=225>0，满足u(x)>0． 结论得证．【解析】(1)切点P(1,1)，f′(x)=1x +1，f′(1)=2.可得过点P 的f(x)的切线为y −1=2(x −1)，化为：2x −y −1=0.根据函数f(x)在点x =1处的切线与函数y =g(x)相切．联立y =4x 2+mx ，2x −y −1=0，化为：4x 2+(m −2)x +1=0，令△=0，m <0，即可即得出m.利用二次函数的单调性可得函数g(x)的值域．(2)要证明f(x)<g(x)，即证明4x 2−3x −lnx >0.x ∈(0,+∞).即证明4x −3>lnx x.x ∈(0,+∞).令ℎ(x)=lnx x.x ∈(0,+∞).y =4x −3.假设直线y =4x +m 与曲线ℎ(x)相切于点P(x 0,lnx 0x 0).ℎ′(x)=1−lnx x 2=4.，可得lnx 0=1−4x 02.令u(x 0)=lnx 0+4x 02−1.在(0,+∞)上单调递增．可得x 0∈(35,1).可得切线方程为：y −1−4x 02x 0=4(x −x 0)，令x =0，可得y =1−4x 02x 0−4x 0，下面证明：1−4x 02x 0−4x 0<−3即可，本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值及其切线方程、等价转化方法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.【答案】解：(1)ρsin 2θ−8cosθ=0，化为ρ2sin 2θ−8ρcosθ=0，∴直角坐标方程为：y 2=8x ．直线l 的参数方程为：{x =2+tcosαy =tsinα(t 为参数)． (2)点Q 和点G 的极坐标分别为(2,3π2)，(2,π)，分别化为：Q(0,−2)，G(−2,0)，k l =0−(−2)2−0=1，倾斜角为π4，直角坐标方程为：y =x −2.可得直线l 的参数方程：{x =2+√22t y =√22t(t 为参数).将参数方程代入曲线C 的方程可得：t 2−8√2t −32=0，△=128+4×32>0，设t 1与t 2为此方程的两个实数根，可得：t 1+t 2=8√2，t 1t 2=−32.∴|AB|=|t 1−t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2=√256=16.点G 到直线l 的距离d =√2=2√2.∴S △GAB =12|BA|⋅d =12×16×2√2=16√2．【解析】(1)ρsin 2θ−8cosθ=0，化为ρ2sin 2θ−8ρcosθ=0，令{x =ρcosθy =ρsinθ，即可得出直角坐标方程．直线l 的参数方程为：{x =2+tcosαy =tsinα(t 为参数)． (2)点Q 和点G 的极坐标分别为(2,3π2)，(2,π)，分别化为：Q(0,−2)，G(−2,0).k l =1，倾斜角为π4，可得直线l 的参数方程：{x =2+√22t y =√22t(t 为参数).将参数方程代入曲线C 的方程可得：t 2−8√2t −32=0，设t 1与t 2为此方程的两个实数根，可得|AB|=|t 1−t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2.点G 到直线l 的距离d.即可得出S △GAB =12|BA|⋅d ．本题考查极坐标方程化为直角标准方程、直线的参数方程及参数几何意义的应用、三角形面积计算公式，考查逻辑思维能力、运算求解能力，属于中档题．23.【答案】(Ⅰ)证明：∵a ，b ，c ，d 均为正数，且a +b =1，∴(1+1a )(1+1b )=(1+a+b a)(1+a+b b)=(1+1+ba )(1+1+ab ) ≥(3⋅3ba )(3⋅3ab )=9，∴(1+1a )(1+1b)≥9；(Ⅱ)解：由题意x<a，不等式可化为x+3+x−a≥2，∴x≥12(a−1)，∴12(a−1)=1，∴a=2．【解析】(Ⅰ)将1=a+b代入，可得(1+1a )(1+1b)=(1+a+ba)(1+a+bb)=(1+1+b a )(1+1+ab)由三元均值不等式，即可得证；(Ⅱ)由题意x<a，不等式可化为x+3+x−a≥2，利用不等式|x+3|−|x−a|≥2的解集为{x|x≥1}，即可求实数a的值．本题考查不等式的证明，绝对值不等式的解法，考查推理能力，属于中档题．第21页，共21页。

2020年高考数学模拟试卷（文科）一、选择题（共12小题）1．已知集合A ＝{x |lnx ＜1}，B ＝{x |﹣1＜x ＜2}，则A ∩B ＝（ ） A ．（0，e ） B ．（﹣1，2）C ．（﹣1，e ）D ．（0，2）2．已知复数z =3−i，则|z |＝（ ） A ．1B ．2C ．√3D ．√23．已知向量a →=(−1，−2)，向量b →=(−3，4)，则向量a →在b →方向上的投影为（ ） A ．1 B ．﹣1C ．√5D ．−√54．若过椭圆x 29+y 24=1内一点P（2，1）的弦被该点平分，则该弦所在的直线方程为（ ） A ．8x +9y ﹣25＝0B ．3x ﹣4y ﹣5＝0C ．4x +3y ﹣15＝0D ．4x ﹣3y ﹣9＝05．已知函数f （x ）＝x 3+x +1+sin x ，若f （a ﹣1）+f （2a 2）≤2，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[−1，32]B ．[−32，1]C ．[−1，12]D ．[−12，1]6．已知命题p ：∀x ∈R ，x 2＞0，命题q ：∃α，β∈R ，使tan （α+β）＝tan α+tan β，则下列命题为真命题的是（ ） A ．p ∧qB ．p ∨（￢q ）C ．（￢p ）∧qD ．p ∧（￢q ）7．荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去（每次跳跃时，均从一叶跳到另一叶），而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图．假设现在青蛙在A 叶上，则跳三次之后停在A 叶上的概率是（ ）A ．13B ．29C ．49D ．8278．庄子说：“一尺之锤，日取其半，万世不竭”，这句话描述的是一个数列问题，现用程序框图描述，如图所示，若输入某个正整数n 后，输出的S ∈（1516，6364），则输入的n的值为（ ）A ．7B ．6C ．5D ．49．函数f(x)=ln|x|⋅cosxx+sinx在[﹣π，0）∩（0，π]的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．10．如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝8，AD ＝6，异面直线BD 与AC 1所成角的余弦值为15，则该长方体外接球的表面积为（ ）A ．98πB ．196πC ．784πD ．13723π11．若f(x)+1=1f(x+1)，当x ∈[0，1]时，f （x ）＝x ，若在区间（﹣1，1]内，g(x)=f(x)−mx −m2，(m ＞0)有两个零点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[0，13)B ．(0，23]C ．(0，13]D ．[23，+∞)12．已知a 为常数，函数f(x)=12x 2−ae x 有两个极值点x 1，x 2，且x 1＜x 2，则有（ ） A ．f(x 1)＜0，f(x 2)＞−12B ．f(x 1)＜0，f(x 2)＞−12C ．f(x 1)＜0，f(x 2)＜−12D ．f(x 1)＞0，f(x 2)＞−12二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上） 13．已知实数x ，y 满足{x +y +2≥02x −y −2≤0y ≤1，则z ＝3x +y 的最小值是 ．14．在区间[﹣2，4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x |≤m 的概率为56，则m ＝ ．15．在△ABC 中，内角A 、，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若（a +b ）sin B ＝c sin C ﹣a sin A ，c =2√3，△ABC 的面积记为S ，则当S +2S 取最小值时，ab ＝16．如图所示，正方形ABCD 与正方形DEFG 的边长分别为a ，b （a ＜b ），原点O 为AD 的中点，抛物线y 2＝2px （p ＞0）经过C ，F 两点，则ba = ．三、解答题（本大题5小题，共60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．△ABC 的内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ．（Ⅰ）若a ，b ，c 成等差数列，证明：sin A +sin C ＝2sin （A +C ）； （Ⅱ）若a ，b ，c 成等比数列，求cos B 的最小值．18．如图所示的多面体中，AD ⊥平面PDC ，四边形ABCD 为平行四边形，E 为AD 的中点，F 为线段PB 上的一点，∠CDP ＝120°，AD ＝3，AP ＝5，PC =2√7． （Ⅰ）试确定点F 的位置，使得直线EF ∥平面PDC ； （Ⅱ）若PB ＝3BF ，求直线AF 与平面PBC 所成角的正弦值．19．2016年春节期间全国流行在微信群里发、抢红包，现假设某人将688元发成手气红包50个，产生的手气红包频数分布表如表：全额分组[1，5）[5，9）[9，13）[13，17）[17，21）[21，25]频数39171182（I）求产生的手气红包的金额不小于9元的频率；（Ⅱ）估计手气红包金额的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅲ）在这50个红包组成的样本中，将频率视为概率．（i）若红包金额在区间[21，25]内为最佳运气手，求抢得红包的某人恰好是最佳运气手的概率；（ii）随机抽取手气红包金额在[1，5）∪[﹣21，25]内的两名幸运者，设其手气金额分别为m，n，求事件“|m﹣n|＞16”的概率．20．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率为√22，与坐标轴分别交于A，B两点，且经过点Q（−√2，1）．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若P（m，n）为椭圆C外一动点，过点P作椭圆C的两条互相垂直的切线l1、l2，求动点P的轨迹方程，并求△ABP面积的最大值．21．已知函数f（x）＝axlnx﹣x2﹣ax+1（a∈R）在定义域内有两个不同的极值点．（1）求实数a的取值范围；（2）设两个极值点分别为x1，x2，x1＜x2，证明：f（x1）+f（x2）＜2﹣x12+x22．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4&shy;4：坐标系与参数方程]22．已知直线l的参数方程为{x=1+√2ty=√2t，（t为参数），以坐标原点为极点，x正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρ=sinθ1−sin2θ．（1）写出直线l的极坐标方程与曲线C的直角坐标方程．（2）若点P是曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值，并求出此时点P的坐标．[选修4&shy;5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|x+2|﹣|x﹣2|．（1）解不等式f（x）≥2；（2）当x∈R，0＜y＜1时，证明：|x+2|﹣|x﹣2|≤1y+11−y．参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题有且只有一个正确选项） 1．已知集合A ＝{x |lnx ＜1}，B ＝{x |﹣1＜x ＜2}，则A ∩B ＝（ ） A ．（0，e ）B ．（﹣1，2）C ．（﹣1，e ）D ．（0，2）【分析】可以求出集合A ，然后进行交集的运算即可． 解：A ＝{x |0＜x ＜e }，B ＝{x |﹣1＜x ＜2}， ∴A ∩B ＝（0，2）． 故选：D ．【点评】本题考查了描述法、区间的定义，对数函数的单调性和定义域，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题． 2．已知复数z =3−i，则|z |＝（ ） A ．1B ．2C ．√3D ．√2【分析】利用复数模的运算性质即可得出． 解：复数z =3−i ，则|z |=2|3−i|=2√(√3)2+(−1)2=1． 故选：A ．【点评】本题考查了复数模的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 3．已知向量a →=(−1，−2)，向量b →=(−3，4)，则向量a →在b →方向上的投影为（ ） A ．1B ．﹣1C ．√5D ．−√5【分析】根据向量a →在b →方向上的投影=a →⋅b →|b →|，带入数值即可．解：∵向量a →=(−1，−2)，向量b →=(−3，4)； ∴a →•b →=（﹣1）×（﹣3）+（﹣2）×4＝3﹣8＝﹣5； ∴向量a →在b →方向上的投影=a →⋅b →|b →|=3−8√(−3)+4=−1．故选：B ．【点评】本题主要考查向量的投影，熟记公式是解决本题的关键，属于简单题．4．若过椭圆x 29+y 24=1内一点P（2，1）的弦被该点平分，则该弦所在的直线方程为（ ） A ．8x +9y ﹣25＝0B ．3x ﹣4y ﹣5＝0C ．4x +3y ﹣15＝0D ．4x ﹣3y ﹣9＝0【分析】设出A 、B 坐标，利用平方差法，求解直线的斜率，然后求解直线方程． 解：设弦的两端点为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），P 为AB 中点，A ，B 在椭圆上，x 129+y 124=1，x 229+y 224=1，两式相减得：x 12−x 229+y 12−y 224=0，x 1+x 2＝4，y 1+y 2＝2， 可得：y 1−y 2x 1−x 2=−89，则k =−89，且过点P （2，1），有y ﹣1=−89（x ﹣2）， 整理得8x +9y ﹣25＝0． 故选：A ．【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，考查点差法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．5．已知函数f （x ）＝x 3+x +1+sin x ，若f （a ﹣1）+f （2a 2）≤2，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[−1，32]B ．[−32，1]C ．[−1，12]D ．[−12，1]【分析】令g （x ）＝f （x ）﹣1＝x 3+x +sin x ，x ∈R ．利用函数的定义判断奇偶性，利用导数判断函数的单调性即可转化求解实数a 的取值范围． 解：令g （x ）＝f （x ）﹣1＝x 3+x +sin x ，x ∈R ． 则g （﹣x ）＝﹣g （x ），∴g （x ）在R 上为奇函数． g ′（x ）＝3x 2+1+cos x ≥0， ∴函数g （x ）在R 上单调递增．f （a ﹣1）+f （2a 2）≤2，化为：f （a ﹣1）﹣1+f （2a 2）﹣1≤0，即g （a ﹣1）+g （2a 2）≤0，化为：g （2a 2）≤﹣g （a ﹣1）＝g （1﹣a ）， ∴2a 2≤1﹣a ， 即2a 2+a ﹣1≤0， 解得﹣1≤a ≤12．∴实数a的取值范围是[﹣1，12 ]．故选：C．【点评】本题考查了构造法、利用导数研究函数的单调性奇偶性、方程与不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．6．已知命题p：∀x∈R，x2＞0，命题q：∃α，β∈R，使tan（α+β）＝tanα+tanβ，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∨（￢q）C．（￢p）∧q D．p∧（￢q）【分析】分别判断命题p，q的真假，然后利用复合命题与简单命题真假之间的关系进行判断．解：命题p：∀x∈R，x2＞0，为假命题，故￢p为真命题；命题q：∃α，β∈R，使tan（α+β）＝tanα+tanβ，当α＝﹣β成立，所以命题q为真命题，￢q为假命题，则p∧q为假命题，p∨（￢q）为假命题，￢p∧q为真命题，p∧￢q为假命题，故选：C．【点评】本题主要考查复合命题的真假判断，要求熟练掌握复合命题与简单命题真假之间的关系7．荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去（每次跳跃时，均从一叶跳到另一叶），而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图．假设现在青蛙在A叶上，则跳三次之后停在A叶上的概率是（）A．13B．29C．49D．827【分析】根据条件先求出逆时针和顺时针跳的概率，然后根据跳3次回到A，则应满足3次逆时针或者3次顺时针，根据概率公式即可得到结论．解：设按照顺时针跳的概率为p，则逆时针方向跳的概率为2p，则p+2p＝3p＝1，解得p=13，即按照顺时针跳的概率为13，则逆时针方向跳的概率为23，若青蛙在A叶上，则跳3次之后停在A叶上，则满足3次逆时针或者3次顺时针，①若先按逆时针开始从A →B ，则对应的概率为23×23×23=827， ②若先按顺时针开始从A →C ，则对应的概率为13×13×13=127，则概率为127+827=927=13，故选：A ．【点评】本题主要考查概率的计算，利用独立重复试验的概率公式是解决本题的关键． 8．庄子说：“一尺之锤，日取其半，万世不竭”，这句话描述的是一个数列问题，现用程序框图描述，如图所示，若输入某个正整数n 后，输出的S ∈（1516，6364），则输入的n的值为（ ）A ．7B ．6C ．5D ．4【分析】模拟程序的运行，依次写出前几次循环得到的S ，k 的值，由题意，说明当算出的值S ∈（1516，6364）后进行判断时判断框中的条件满足，即可求出此时的n 值．解：框图首先给累加变量S 赋值0，给循环变量k 赋值1， 输入n 的值后，执行循环体，S =12，k ＝1+1＝2； 判断2＞n 不成立，执行循环体，S =34，k ＝2+1＝3；判断3＞n 不成立，执行循环体，S =78，k ＝3+1＝4； 判断4＞n 不成立，执行循环体，S =1516，k ＝4+1＝5． 判断5＞n 不成立，执行循环体，S =3132，k ＝4+1＝6． 判断6＞n 不成立，执行循环体，S =6364，k ＝4+1＝7． …由于输出的S ∈（1516，6364），可得：当S =3132，k ＝6时，应该满足条件6＞n ，即：5≤n ＜6，可得输入的正整数n 的值为5． 故选：C ．【点评】本题考查了程序框图中的循环结构，是直到型循环，即先执行后判断，不满足条件继续执行循环，直到条件满足跳出循环，算法结束，是基础题． 9．函数f(x)=ln|x|⋅cosxx+sinx在[﹣π，0）∩（0，π]的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】由函数的奇偶性及特殊点，观察选项即可得解． 解：∵f(−x)=ln|x|⋅cosx−x−sinx=−f(x)，∴函数f （x ）为奇函数，又∵f(±1)=0，f(±π2)=0，f(π3)＞0，f(π)＜0， ∴选项D 符合题意． 故选：D ．【点评】本题考查由函数解析式找函数图象，一般从奇偶性，特殊点，单调性等角度运用排除法求解，属于基础题．10．如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝8，AD ＝6，异面直线BD 与AC 1所成角的余弦值为15，则该长方体外接球的表面积为（ ）A ．98πB ．196πC ．784πD ．13723π【分析】由题意建立空间直角坐标系，由异面直线的余弦值求出长方体的高，由题意长方体的对角线等于外接球的直径，进而求出外接球的半径，求出外接球的表面积． 解：由题意建立如图所示的空间直角坐标系，DA 为x 轴，DC 为y 轴DD 1为z 轴，D 为坐标原点，由题意知A （6，0，0），B （6，8，0），D （0，0，0）， 设D （0，0，a ），则C 1（0，8，a ）， ∴DB →=（6，8，0），AC 1→=（﹣6，8，a ）， ∴cos ＜DB →，AC 1→＞=DB →⋅AC 1→|DB →|⋅|AC 1|→=10⋅√100+a =5√100+a ，由题意可得：15=5√100+a 2，解得：a 2＝96，由题意长方体的对角线等于外接球的直径， 设外接球的半径为R ，则（2R ）2＝82+62+a 2＝196， 所以该长方体的外接球的表面积S ＝4πR 2＝196π， 故选：B ．【点评】考查异面直线的夹角即外接球的表面积公式，属于中档题．11．若f(x)+1=1f(x+1)，当x ∈[0，1]时，f （x ）＝x ，若在区间（﹣1，1]内，g(x)=f(x)−mx −m2，(m ＞0)有两个零点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[0，13)B ．(0，23]C ．(0，13]D ．[23，+∞)【分析】当x∈（﹣1，0）时，x+1∈（0，1），则f（x）+1=1f(x+1)=1x+1，所以f（x）=1x+1−1，故f（x）={1x+1−1，−1＜x＜0x，0≤x≤1，题目问题等价于函数y＝f（x）与函数y＝m（x+12）在区间（﹣1，1]内有两个交点，在同一坐标系内画出两个函数的图象，根据图象，利用数形结合法即可求出m的取值范围．解：依题意，f(x)+1=1f(x+1)，又当x∈[0，1]时，f（x）＝x，故当x∈（﹣1，0）时，x+1∈（0，1），则f（x）+1=1f(x+1)=1x+1，所以f（x）=1x+1−1，故f（x）={1x+1−1，−1＜x＜0 x，0≤x≤1，由g(x)=f(x)−mx−m2，(m＞0)在区间（﹣1，1]内有两个零点，得方程f（x）＝m（x+12）在区间（﹣1，1]内有两个根，等价于函数y＝f（x）与函数y＝m（x+12）在区间（﹣1，1]内有两个交点，而函数y＝m（x+12）恒过定点（−12，0），在同一坐标系内画出两个函数的图象，如图所示：，当y＝m（x+12）过点（1，1）时，斜率m=23，当y＝m（x+12）过点（1，0）时，斜率m＝0，由图象可知，当0＜m≤23时，两个函数图象有两个交点，即g(x)=f(x)−mx−m2，(m＞0)有两个零点，故选：B．【点评】本题主要考查了函数的零点与方程的根的关系，以及直线过定点问题，是中档题．12．已知a为常数，函数f(x)=12x2−ae x有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，则有（）A．f(x1)＜0，f(x2)＞−12B．f(x1)＜0，f(x2)＞−12 C．f(x1)＜0，f(x2)＜−12D．f(x1)＞0，f(x2)＞−12【分析】依题意，a=xe x的两根为x1，x2，设g(x)=xe x，利用导数可知0＜x1＜1，x2＞1，则可得f(x)极小值=f(x1)∈(−12，0)，f(x)极大值=f(x2)∈(−12，+∞)．解：f′（x）＝x﹣ae x，则f′（x）＝0的两根为x1，x2，即a=xe x的两根为x1，x2，设g(x)=xe x，则g′(x)=ex−xe x(e x)2=1−xe x，令g′（x）＝0，解得x＝1，∴g（x）在（﹣∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，函数g（x）的图象如下，由图可知，0＜x1＜1，x2＞1，且当x∈（﹣∞，x1）∪（x2，+∞）时，xe＜a，则f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（x1，x2）时，xe＞a，则f′（x）＞0，f（x）单调递增，∴f（x）极小值=f(x1)=12x12−x1e x1⋅e x1=12x12−x1，又x1∈（0，1），故f(x1)∈(−12，0)，f（x）极大值=f(x2)=12x22−x2e x2⋅e x2=12x22−x2，又x2∈（1，+∞），故f(x2)∈(−12，+∞)．故选：A．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的极值，考查转化思想及数形结合思想，考查计算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上） 13．已知实数x ，y 满足{x +y +2≥02x −y −2≤0y ≤1，则z ＝3x +y 的最小值是 ﹣8 ．【分析】作出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的直线；结合图象知当直线过M 时，z 取得最小值．解：画出不等式组{x +y +2≥02x −y −2≤0y ≤1表示的可行域如图阴影区域所示．{y =1x +y +2=0⇒M （﹣3，1） 平移直线3x +y ＝0，易知当直线z ＝3x +y 经过点M （﹣3，1）时， 目标函数z ＝3x +y 取得最小值， 且z min ＝3×（﹣3）+1＝﹣8． 故答案为：﹣8．【点评】本题考查画不等式组表示的平面区域、考查数形结合求函数的最值．是中档题． 14．在区间[﹣2，4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x |≤m 的概率为56，则m ＝ 3 ．【分析】画出数轴，利用x 满足|x |≤m 的概率为56，直接求出m 的值即可．解：如图区间长度是6，区间[﹣2，4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x |≤m 的概率为56，所以m ＝3． 故答案为：3．【点评】本题考查几何概型的求解，画出数轴是解题的关键．15．在△ABC 中，内角A 、，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若（a +b ）sin B ＝c sin C ﹣a sin A ，c =2√3，△ABC 的面积记为S ，则当S +2S 取最小值时，ab ＝√63【分析】由正弦定理化简已知等式可得a 2+b 2﹣c 2＝﹣ab ，利用余弦定理可求cos C =−12，结合范围C ∈（0，π），可求C =2π3，进而由题意，利用三角形的面积公式，基本不等式即可求解．解：∵（a +b ）sin B ＝c sin C ﹣a sin A ， ∴（a +b ）b ＝c 2﹣a 2，可得a 2+b 2﹣c 2＝﹣ab ，∴cos C =a 2+b 2−c 22ab =−ab 2ab =−12，∵C ∈（0，π）， ∴C =2π3， ∵△ABC 的面积记为S ，S +2S ≥2√2，当且仅当S =2S ，即S =√2=12ab sin C =√34ab 时等号成立，解得此时ab =4√63．故答案为：4√63．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．16．如图所示，正方形ABCD 与正方形DEFG 的边长分别为a ，b （a ＜b ），原点O 为AD 的中点，抛物线y 2＝2px （p ＞0）经过C ，F 两点，则ba = √2+1 ．【分析】可先由图中的点与抛物线的位置关系，写出C ，F 两点的坐标，再将坐标代入抛物线方程中，消去参数p 后，得到a ，b 的关系式，再寻求ba的值．解：由题意可得C(a 2，−a)，F(a2+b ，b)，将C ，F 两点的坐标分别代入抛物线方程y 2＝2px 中，得{(−a)2=2p ⋅a2b 2=2p(a 2+b)∵a ＞0，b ＞0，p ＞0，两式相比消去p 得a b 2=1a+2b，化简整理得a 2+2ab ﹣b 2＝0，此式可看作是关于a 的一元二次方程，由求根公式得a =−2b±√8b 22=(−1±√2)b ，取a =(√2−1)b ， 从而ba =√2−1=√2+1，故答案为：√2+1．【点评】本题关键是弄清两个正方形与抛物线的位置关系，这样才能顺利写出C ，F 的坐标，接下来是消参，得到了一个关于a ，b 的齐次式，应注意根的取舍与细心的计算． 三、解答题（本大题5小题，共60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．△ABC 的内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ．（Ⅰ）若a ，b ，c 成等差数列，证明：sin A +sin C ＝2sin （A +C ）； （Ⅱ）若a ，b ，c 成等比数列，求cos B 的最小值．【分析】（Ⅰ）由a ，b ，c 成等差数列，利用等差数列的性质列出关系式，利用正弦定理化简，再利用诱导公式变形即可得证；（Ⅱ）由a ，bc 成等比数列，利用等比数列的性质列出关系式，再利用余弦定理表示出cos B ，将得出的关系式代入，并利用基本不等式变形即可确定出cos B 的最小值． 解：（Ⅰ）∵a ，b ，c 成等差数列， ∴2b ＝a +c ，利用正弦定理化简得：2sin B ＝sin A +sin C ， ∵sin B ＝sin[π﹣（A +C ）]＝sin （A +C ）， ∴sin A +sin C ＝2sin B ＝2sin （A +C ）； （Ⅱ）∵a ，b ，c 成等比数列， ∴b 2＝ac ，∴cos B =a 2+c 2−b 22ac =a 2+c 2−ac 2ac ≥2ac−ac 2ac =12，当且仅当a ＝c 时等号成立，∴cos B 的最小值为12．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，等差、等比数列的性质，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理是解本题的关键．18．如图所示的多面体中，AD ⊥平面PDC ，四边形ABCD 为平行四边形，E 为AD 的中点，F 为线段PB 上的一点，∠CDP ＝120°，AD ＝3，AP ＝5，PC =2√7． （Ⅰ）试确定点F 的位置，使得直线EF ∥平面PDC ； （Ⅱ）若PB ＝3BF ，求直线AF 与平面PBC 所成角的正弦值．【分析】（Ⅰ）设F 为BP 中点，取AP 中点G ，连结EF 、EG 、FG ，推导出GF ∥AB ∥CD ，EG ∥DP ，从而平面GEF ∥平面PDC ，进而当点F 为BP 中点时，使得直线EF ∥平面PDC ．（Ⅱ）以D 为原点，DC 为x 轴，在平面PDC 中过D 作CD 垂线为y 轴，DA 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AF 与平面PBC 所成角的正弦值． 解：（Ⅰ）设F 为BP 中点，取AP 中点G ，连结EF 、EG 、FG ， ∵AD ⊥平面PDC ，四边形ABCD 为平行四边形，E 为AD 的中点， ∴GF ∥AB ∥CD ，EG ∥DP ，∵EG ∩FG ＝G ，DP ∩CD ＝D ，∴平面GEF ∥平面PDC ，∵EF ⊂平面GEF ，∴当点F 为BP 中点时，使得直线EF ∥平面PDC ．（Ⅱ）以D 为原点，DC 为x 轴，在平面PDC 中过D 作CD 垂线为y 轴，DA 为z 轴，建立空间直角坐标系，∵为AD 的中点，F 为线段PB 上的一点，∠CDP ＝120°，AD ＝3，AP ＝5，PC =2√7． ∴cos120°=222√7)22CD⋅√5−3，解得CD ＝6，A （0，0，3），B （6，0，3），P （﹣2，2√3，0），C （6，0，0），设F （a ，b ，c ），由PB ＝3BF ，得BF →=13BP →，即（a ﹣6，b ，c ﹣3）=13（﹣8，2√3，﹣3）， 解得a =103，b =2√33，c ＝2，∴F （103，2√33，2）， AF →=（103，2√33，﹣1），CB →=（0，0，3），CP →=（﹣8，2√3，0），设平面PBC 的法向量n →=（x ，y ，z ），则{n →⋅CB →=3z =0n →⋅CP →=−8x +2√3y =0，取x ＝1，得n →=（1，√3，0），设直线AF 与平面PBC 所成角为θ， 则直线AF 与平面PBC 所成角的正弦值为： sin θ=|AF →⋅n →||AF →|⋅|n →|=6√1219⋅√193=18√57209．【点评】本题考查满足面面平行的点的位置位置的确定，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 19．2016年春节期间全国流行在微信群里发、抢红包，现假设某人将688元发成手气红包50个，产生的手气红包频数分布表如表： 全额分组 [1，5） [5，9） [9，13） [13，17）[17，21）[21，25]频数39171182（I ）求产生的手气红包的金额不小于9元的频率；（Ⅱ）估计手气红包金额的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （Ⅲ）在这50个红包组成的样本中，将频率视为概率．（i ）若红包金额在区间[21，25]内为最佳运气手，求抢得红包的某人恰好是最佳运气手的概率；（ii ）随机抽取手气红包金额在[1，5）∪[﹣21，25]内的两名幸运者，设其手气金额分别为m ，n ，求事件“|m ﹣n |＞16”的概率．【分析】（Ⅰ）由题意利用互斥事件概率加法公式能求出产生的手气红包的金额不小于9元的频率．（Ⅱ）先求出手气红包在[1，5）、[5，9）、[9，13）、[13，17）、[17，21）、[21，25]内的频率，由此能求了出手气红包金额的平均数．（Ⅲ）（i ）由题可知红包金额在区间[21，25]内有两人，由此能求出抢得红包的某人恰好是最佳运气手的概率．（ii ）由频率分布表可知，红包金额在[1，5）内有3人，在[21，25]内有2人，由此能求出事件“|m ﹣n |＞16“的概率P （|m ﹣n |＞16）．解：（Ⅰ）由题意得产生的手气红包的金额不小于9元的频率： p =17+11+8+250=1925，∴产生的手气红包的金额不小于9元的频率为1925．（Ⅱ）手气红包在[1，5）内的频率为350=0.06，手气红包在[5，9）内的频率为950=0.18， 手气红包在[9，13）内的频率为1750=0.34， 手气红包在[13，17）内的频率为1150=0.22， 手气红包在[17，21）内的频率为850=0.16，手气红包在[21，25]内的频率为250=0.04，则手气红包金额的平均数为：x =3×0.06+7×0.18+11÷0.34+15×0.22+19×0.16+23×0.04＝12.44． （Ⅲ）（i ）由题可知红包金额在区间[21，25]内有两人，∴抢得红包的某人恰好是最佳运气手的概率p=250=125．（ii）由频率分布表可知，红包金额在[1，5）内有3人，设红包金额分别为a，b，c，在[21，25]内有2人，设红包金额分别为x，y，若m，n均在[1，5）内，有3种情况：（a，b），（a，c），（b，c），若m，n均在[21，25]内只有一种情况：（x，y），若m，n分别在[1，5）和[21，25）内，有6种情况，即（a，x），（a，y），（b，x），（b，y），（c，x），（c，y），∴基本事件总数n＝10，而事件“|m﹣n|＞16“所包含的基本事件有6种，∴P（|m﹣n|＞16）=610=35．【点评】本题考查频率的求法，考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意频数分布表的性质的合理运用．20．已知椭圆C：x2a+y2b=1(a＞b＞0)的离心率为√22，与坐标轴分别交于A，B两点，且经过点Q（−√2，1）．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若P（m，n）为椭圆C外一动点，过点P作椭圆C的两条互相垂直的切线l1、l2，求动点P的轨迹方程，并求△ABP面积的最大值．【分析】（Ⅰ）由离心率及椭圆过的点的坐标，及a，b，c之间的关系可得a，b的值，进而求出椭圆的方程；（Ⅱ）过P的两条切线分斜率存在和不存在两种情况讨论，当斜率不存在时，直接由椭圆的方程可得切点A，B的坐标，当切线的斜率存在且不为0时，设过P的切线方程，与椭圆联立．由判别式等于0可得参数的关系，进而可得PA，PB的斜率之积，由直线PA，PB互相垂直可得斜率之积等于﹣1，进而可得m，n之间的关系，即P的轨迹方程，显然切线斜率不存在时的点P也在轨迹方程上；因为PA，PB互相垂直，所以三角形PAB的面积为S△ABP=12|PA|•|PB|≤12|PA|2+|PB|22=|AB|24，当且仅当|PA|＝|PB|时取等号，可得球切线PA的斜率为1，求出直线PA的方程，与椭圆联立求出A的坐标，进而求出|PA|的值，再求|AB|的值，即求出三角形PAB面积的最大值．解：（Ⅰ）由题意可得e =c a=√22，2a2+1b2=1，c 2＝a 2﹣b 2，解得a 2＝4，b 2＝2，所以椭圆的方程为：x 24+y 22=1；（Ⅱ）设两个切点分别为A ，B ，①当两条切线中有一条斜率不存在时，即A ，B 两点分别位于椭圆的长轴和短轴的端点，此时P 的坐标为：（±2，±√2）， ②当两条切线的斜率存在且不为0时，设过P 的切线的方程为：y ﹣n ＝k （x ﹣m ）， 联立直线y ﹣n ＝k （x ﹣m ）和椭圆的方程{y =kx −km +nx 24+y 22=1，整理可得（1+2k 2）x 2﹣4k（km ﹣n ）x +2（km ﹣n ）2﹣4＝0，由题意可得△＝16k 2（km ﹣n ）2﹣4（1+2k 2）[2（km ﹣n ）2﹣4]＝0，整理可得（m 2﹣4）k 2﹣2kmn +n 2﹣2＝0，所以k 1•k 2=n 2−2m 2−4，设直线PA ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，则k 1•k 2=n 2−2m 2−4，而PA ，PB 互相垂直，所以n 2−2m −4=−1，即m 2+n 2＝6，（m ≠±2），又因为P （±2，±√2）在m 2+n 2＝6上， 所以点P 在圆x 2+y 2＝6上． 因为l 1⊥l 2，所以S △ABP =12|PA |•|PB |≤12|PA|2+|PB|22=|AB|24，当且仅当|PA |＝|PB |时取等号，即P 在椭圆的短轴所在的直线上时即P （0，±√6），由圆及椭圆的对称性设P （0，√6），则直线PA 的斜率为1，可得直线PA 的方程为：y ＝x +√6，代入椭圆的方程可得3x 2+4√6x +8＝0，解得x =√23=−2√63，y =√63，即A （−2√63，√63）， 所以|PA |=(−263)2+(√6−63)2=4√33，所以AB 2＝2|PA |2=323，所以（S △ABP ）max =|AB|24=83．【点评】本题考查求椭圆的方程，直线与椭圆的综合，和求轨迹方程，属于中难题．21．已知函数f（x）＝axlnx﹣x2﹣ax+1（a∈一、选择题）在定义域内有两个不同的极值点．（1）求实数a的取值范围；（2）设两个极值点分别为x1，x2，x1＜x2，证明：f（x1）+f（x2）＜2﹣x12+x22．【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系对a进行分类讨论，确定导数正负即可求解函数单调性，结合单调性即可求解；（2）分析要证明不等式特点，进行合理的变形，然后构造函数，结合导数及函数性质可证．解：（1）由题意可知，f（x）的定义域为（0，+∞），f'（x）＝alnx﹣2x，令g（x）＝alnx﹣2x（x＞0），则函数f（x）在定义域内有两个不同的极值点等价于g（x）在区间（0，+∞）内至少有两个不同的零点，由g′(x)=a−2xx可知，当a≤0时，g'（x）＜0恒成立，即函数g（x）在（0，+∞）上单调，不符合题意，舍去．当a＞0时，由g'（x）＞0得，0＜x＜a2，即函数g（x）在区间(0，a2)上单调递增；由g'（x）＜0得，x＞a2，即函数g（x）在区间(a2，+∞)上单调递减；故要满足题意，必有g(a2)=aln a2−a＞0，解得：a＞2e；（2）证明：由（1）可知，alnx1=2x1#/DEL/# alnx2=2x2#/DEL/#，故要证：f(x1)+f(x2)＜2−x12+x22，只需证明：x12＜a2(x1+x2)，即证：x 12＜x 22−x 12ln x 2x1不妨设0＜x 1＜x 2，即证ln x 2x 1＜(x2x 1)2−1，构造函数：h （t ）＝lnt ﹣t 2+1（t ＞1）其中t =x 2x 1，由h′(t)=1−2t 2t ＜0，所以函数h （t ）在区间（1，+∞）内单调递减，所以h （t ）＜h（1）＝0得证，或证：即证：f(x 1)+f(x 2)＜2−x 12+x 22，只需证明：x 12＜a2(x 1+x 2)， 而由（1）可知0＜x 1＜a2，故上式a 2(x 1+x 2)＞x 1(x 1+x 2)=x 12+x 1x 2＞x 12成立，即可得：f(x 1)+f(x 2)＜2−x 12+x 22．【点评】本题主要考查了导数与函数性质的综合应用，考查了考试逻辑推理的能力． 请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4&shy;4：坐标系与参数方程]22．已知直线l 的参数方程为{x =1+√2ty =√2t，（t 为参数），以坐标原点为极点，x 正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是ρ=sinθ1−sin 2θ． （1）写出直线l 的极坐标方程与曲线C 的直角坐标方程．（2）若点P 是曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值，并求出此时点P 的坐标．【分析】（1）可以先消参数，求出直线l 的普通方程，再利用公式将曲线C 的极坐标方程化成平面直角坐标方程；（2）利用点到直线的距离公式，求出P 到直线l 的距离的最小值，再根据函数取最值的情况求出P 点的坐标，得到本题结论．解：（1）{x =1+√2ty =√2t ，(t 为参数)，消去参数可得x ﹣y ＝1 直线l 的极坐标方程为ρcosθ−ρsinθ=1即√2ρcos(θ+π4)=1⋯． 由ρ=sinθ1−sin 2θ．得ρcos 2θ＝sin θ⇒ρ2cos 2θ＝ρsin θ 得y ＝x 2（x ≠0）…..（2）设P（x0，y0），则y0=x02(x≠0)点P到直线l的距离为d=00√2=002√2=0−12)2−34|√2=0−12)2+34√2当x0=12时d min=3√28，此时P(12，14)⋯..当P(12，14)P到直线l的距离最小，最小dmin=3√28⋯．【点评】本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为平面直角坐标方程、点到直线的距离公式，本题难度不大，属于基础题．[选修4&shy;5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|x+2|﹣|x﹣2|．（1）解不等式f（x）≥2；（2）当x∈R，0＜y＜1时，证明：|x+2|﹣|x﹣2|≤1y+11−y．【分析】（Ⅰ）运用绝对值的定义，去掉绝对值，得到分段函数，再由各段求范围，最后求并集即可；（II）由分段函数可得f（x）的最大值，再由基本不等式求得1y+11−y的最小值，即可得证．解：（Ⅰ）由已知可得：f(x)={4，x≥22x，−2＜x＜2−4，x≤−2，由x≥2时，4＞2成立；﹣2＜x＜2时，2x≥2，即有x≥1，则为1≤x＜2．故f（x）≥2的解集为{x|x≥1}．﹣﹣﹣﹣﹣（II）由（Ⅰ）知，∴|x+2|−|x−2|≤1y+11−y；∴1y +11−y=（1y+11−y）[y+（1﹣y）]＝2+1−yy+y1−y≥4，∴|x+2|−|x−2|≤1y+11−y．…【点评】本题考查绝对值不等式的解法，考查不等式恒成立，注意转化为函数的最值，考查基本不等式的运用：求最值，考查运算能力，属于中档题．。

2020年山西省太原五中高考数学模拟试卷(一)(4月份)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|x ≤5,x ∈N }，B ={x|1<x <6,x ∈N }，则∁A B =( )A. {0,1}B. {1}C. {x|0≤x ≤1}D. {x|0<x ≤1}2. 若z =4+3i ，则z −|z|=( )A. 1B. −1C. 45+35iD. 45−35i3. 已知非零向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ −b ⃗ |=√3|a ⃗ +b ⃗ |=√3|a ⃗ |，则a⃗ 与b ⃗ 的夹角为( ) A. π6B. π3C. 2π3D. 5π64. 若tanα=2，则sin2α+cos 2α=( )A. 1B. −1C. 2D. −25. 已知F 1，F 2分别为双曲线x 23−y 2=1的左右焦点，点P(3,1)，点A 在双曲线上，则|AP|+|AF 2|的最小值为( )A. √26−2√3B. √26−4C. √26+4D. √26+2√36. 若“∀x ∈(0,+∞)，x +4x ≥a ”与“∃x ∈R ，x 2+2x +a =0”都是真命题，则a 的取值范围是( )A. a ≤4B. a ≤1C. 1≤a ≤4D. ⌀7. 执行如图所示的程序框图，如果输入的t ∈[−2,2]，则输出的S 属于( )A. [−6,−2]B. [−5,−1]C. [−4,5]D. [−3,6]8. 已知函数f(x)=|x +3|−|x −1|，若f(x)≤a 2−3a(x ∈R)恒成立，则实数a 的取值范围为( )A. (−∞,−1]∪[4,+∞)B. (−∞,−2]∪[5,+∞)C. [1,2]D. (−∞,1]∪[2,+∞)9.函数y=x28−ln|x|的图象大致为()A. B.C. D.10.已知{a n}是等差数列，{b n}等比数列，且满足：a1003+a1013=π，b6·b9=2，则)A. 1B. −1C. √33D. √311.已知抛物线y2=4x的焦点为F，以F为圆心的圆与抛物线交于M、N两点，与抛物线的准线交于P、Q两点，若四边形MNPQ为矩形，则矩形MNPQ的面积是()A. 16√3B. 12√3C. 4√3D. 312.如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则此几何体的体积为()A. 43B. 2C. 4D. 23二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知样本1，2，4，x，y的平均数是3，标准差是2，则xy=______．14.若x，y满足约束条件{x+y−5≤02x−y−1≥0x−2y+1≤0，则2x+y的最大值为________．15.将函数f(x)=sin(ωx−π6)(ω>0)的图象向左平移π3个单位后，所得图象关于直线x=π对称，则ω的最小值为____．16.已知函数f(x)=x2+3，g(x)=e x+a，当x∈(−5,0]时，f(x)≥g(x)恒成立，则实数a的取值范围是__________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知等比数列{a n}的公比q>1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项，数列{b n}满足b1=1，数列{(b n+1−b n)a n}的前n项和为2n2+n．(1)求q的值；(2)求数列{b n}的通项公式．18.如图，已知AB⊥BC，BE//CD，∠DCB=90°，平面BCDE⊥平面ABC，CD=4，AB=BC=BE=2，F为AD中点．(1)证明：EF//平面ABC；(2)求三棱锥D−BCF的体积．19.某电视台为宣传本省的旅游景区，随机从本省内15∼65岁的人群中抽取了n人，按年龄分组，得到的频率分布直方图如图所示．现让这n人回答问题“本省内的AAAAA旅游景区有哪些？”，统计结果如下表所示．组号分组回答正确的人数回答正确的人数占本组的频率1[15,25)a0.52[25,35)18x3[35,45)b0.94[45,55)90.365[55,65]3y(1)分别求出a，b，x，y的值；(2)从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，求从第2，3，4组各抽取多少人？20.在直角坐标系中，以原点O为圆心，r为半径的圆与直线√3x−y+4=0相切．(1)求圆O的方程(2)圆O与x轴相交于A、B两点(其中点B在x轴正半轴上)动点P满足|PA|+|PB|=4r，求动点P的轨迹方程(3)过点B有一条直线l，l与直线√3x−y+4=0平行且l与动点P的轨迹相交于C、D两点，求ΔOCD的面积．21.已知函数f(x)=ln(x+m+1)，m∈R．(I)若直线y=x+1与函数y=f(x)的图象相切，求m的值；(Ⅱ)当m≤1时，求证f(x)<e x．22.在平面直角坐标系中，直线l过点P(2,√3)且倾斜角为α，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，直线l与曲线C相交于A，B 两点；(Ⅰ)求曲线C的直角坐标方程；(Ⅱ)若|AB|=√13，求直线l的倾斜角α的值．23.已知函数f(x)=|x−1|+|x−m|(m>1)，若f(x)>4的解集是{x|x<0或x>4}．(1)求m的值；(2)若正实数a,b,c满足1a +12b+13c=m3，求证：a+2b+3c≥9．【答案与解析】1.答案：A解析：本题考查集合补集的运算，首先化简集合A和B，然后根据补集的定义即可求出结果，属于基础题．解：因为集合A={0,1，2，3，4，5 }，B={2,3，4，5 }，所以∁A B={0,1}．故选A．2.答案：D解析：本题考查共轭复数，复数的模，属于基础题．利用共轭复数的概念求出z=4−3i，再结合复数的模化简即可得到答案．解：由z=4+3i得z=4−3i，则z|z|=4−3i|4+3i|=4−3i5=45−35i.故选D．3.答案：C解析：本题考查了向量的数量积和向量的夹角，根据条件得到a⃗⋅b⃗ =−b⃗22，|a⃗|=|b⃗ |，进而求出cos<a⃗，b⃗ >的值，从而得出a⃗，b⃗ 的夹角．解：由|a⃗−b⃗ |=√3|a⃗+b⃗ |得：(a⃗−b⃗ )2=3(a⃗+b⃗ )2;∴a⃗2−2a⃗⋅b⃗ +b⃗ 2=3(a⃗2+2a⃗⋅b⃗ +b⃗ 2)，(1)∵√3|a⃗+b⃗ |=√3|a⃗|,∴a⃗2+2a⃗·b⃗ +b⃗ 2=a⃗2解得a⃗⋅b⃗ =−b⃗22，代入(1)式，得|a⃗|=|b⃗ |;;∴cos<a⃗，b⃗ >=−12∴a⃗，b⃗ 夹角为2π．3所以C选项是正确的．故选C4.答案：A解析：本题考查三角函数的化简求值和证明，涉及同角三角函数的基本关系，二倍角公式及其应用，属于基础题，先由sin2α+cos2α化简得，再代值计算即可．解：，tanα=2，．故选A．5.答案：A解析：本题考查双曲线的定义、方程和性质，属于中档题．求出双曲线的a，c，得到焦点，由题意可得A在右支上，利用双曲线的定义|AF2|=|AF1|−2a即可求得|PA|+|AF2|的最小值．−y2=1得实半轴长a=√3，半焦距c=2，解：由双曲线方程x23∴右焦点F2(2,0)，左焦点F1(−2,0)；又P(3,1)，A是双曲线上一点，∴当点A在双曲线的右支上时，|AP|+|AF2|取得最小值，∴|AF2|=|AF1|−2a=|AF1|−2√3，∴|AP|+|AF2|=|AP|+|AF1|−2√3≥|PF1|−2√3=√(3+2)2+(1−0)2−2√3=√26−2√3．当且仅当P，A，F1共线时，等号成立．故选：A．6.答案：B解析：分别求得“∀x∈(0,+∞)，x+4x≥a”与“∃x∈R，x2+2x+a=0”都是真命题时a的取值范围，再取交集即可．本题考查命题的真假判断与应用，考查全称命题与特称命题之间的关系，考查基本不等式与判别式法，考查等价转化思想与函数方程思想的应用，属于中档题．解：“∀x∈(0,+∞)，x+4x ≥a”⇔“∀x∈(0,+∞)，a≤(x+4x)min，∵当x>0时，x+4x ≥2√x⋅4x=4(当且仅当x=2时取“=”)，即(x+4x)min=4，∴a≤4；又“∃x∈R，x2+2x+a=0”是真命题，∴方程x2+2x+a=0有实数根，∴△=4−4a≥0，解得：a≤1；∵“∀x∈(0,+∞)，x+4x≥a”与“∃x∈R，x2+2x+a=0”都是真命题，∴a≤1，故选：B．7.答案：D解析：本题考查程序框图，理解程序表示的算法功能是解题的关键．解：由题意，当t∈[−2,0)时，循环得t∈(1,9]，∴S=3−t，t∈[0,9]，所以S∈[−3,6]，故选D.8.答案：A解析：解：函数f(x)=|x+3|−|x−1|≤|(x+3)−(x−1)|=4，当且仅当x≥1时，f(x)取得最大值4．若f(x)≤a2−3a(x∈R)恒成立，则a2−3a≥4，解得a≥4或a≤−1．则实数a的取值范围是(−∞,−1]∪[4,+∞)．故选：A．运用绝对值不等式的性质可得f(x)=|x+3|−|x−1|≤|(x+3)−(x−1)|=4，当且仅当x≥1时，f(x)取得最大值4.再由不等式恒成立思想可得a2−3a≥4，再由二次不等式的解法即可求得．本题考查不等式恒成立问题，主要考查绝对值不等式的性质求最值，注意不等式恒成立或有解问题转化为求函数的最值问题，属于中档题和易错题．9.答案：A解析：本题主要考查函数的性质，属于中档题．解：因为，所以函数为偶函数，故排除B;又x≠0，故排除C，D;故选A．10.答案：D解析：由等差数列的性质得出a1+a2015=a1003+a1013=π，由等比数列的性质得出b7⋅b8=b6⋅b9=2，然后代入求解即可．本题考查等差数列以及等比数列性质的应用，三角函数值的求法，考查计算能力．解：数列{a n}为等差数列，{b n}为等比数列，且满足：a1003+a1013=π，b6⋅b9=2，所以a1+a2015=a1003+a1013=π，b7⋅b8=b6⋅b9=2，所以tan a1+a20151+b7b8=tanπ3=√3．故选：D．11.答案：A解析：本题考查抛物线的简单性质与抛物线与圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．首先根据题目信息作出图形，如图所示，可得圆的圆心坐标为F(1,0)，且点F为该矩形MNPQ的两条对角线的交点，再利用点F到直线PQ的距离与点F到MN的距离相等可求得直线MN的方程，从而可求出M点的坐标；然后求解矩形的面积．解：根据题意画出示意图：依题意，抛物线抛物线y2=4x的焦点为F(1,0)，∴圆的圆心坐标为F(1,0)．∵四边形MNPQ是矩形，∴PM为直径，QN为直径，∴点F为该矩形的两条对角线的交点，∴点F到直线PQ的距离与点F到MN的距离相等．∵点F到直线MN的距离d=2，∴直线MN的方程为：x=3，∴M(3,2√3)，∴则矩形MNPQ的面积是：4×4√3=16√3．故选：A．12.答案：A解析：解：三视图表示的几何体为三棱锥D−ABC，是正方体的一部分，则此几何体的体积为：13×12×2×2×2=43．故选：A．首先由三视图还原几何体，利用三视图的数据求解几何体的体积即可．本题考查了由几何体的三视图求几何体的体积，判断直观图是解题的关键．13.答案：10解析：解：样本1，2，4，x，y的平均数是3，∴(1+2+4+x+y)=3×5，即x+y=8，…①又标准差是2，∴15[(1−3)2+(2−3)2+(4−3)2+(x−3)2+(y−3)2]=22，即(x−3)2+(y−3)2=14，…②由①②联立，消去x得y2−8y+10=0，∴y1y2=10；由x、y的对称性知，xy=10．故答案为：10．根据平均数与标准差的定义，列方程组求得y1y2的值，再由x、y的对称性求得xy的值．本题考查了平均数与标准差的定义和应用问题，是基础题．14.答案：8解析：本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．解：作出不等式组对应的平面区域如图：(阴影部分).由z=2x+y得y=−2x+z，平移直线y=−2x+z由图象可知当直线y=−2x+z经过点B(2,3)时，直线y=−2x+z的截距最大，此时z最大．代入目标函数z=2x+y，得z=8．故答案为8．15.答案：12解析：本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，属于基础题．利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律求得新的解析式，再利用三角函数的图象的对称性求得ω的最小值．解：将函数f(x)=sin(ωx−π6)(ω>0)的图象向左平移π3个单位后，可得函数y=sin(ωx+πω3−π6)的图象；再根据所得图象关于直线x=π对称，可得ωπ+πω3−π6=kπ+π2，k∈Z，∴当k=0时，ω取得最小值为12，故答案为12．16.答案：(−∞,2]解析：f(x)≥g(x)，即x2−e x+3≥a在x∈(−5,0]恒成立，函数y=x2−e x+3在x∈(−5,0]时递减，所以a≤y min=2．17.答案：解：(Ⅰ)等比数列{a n}的公比q>1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项，可得2a4+4=a3+a5=28−a4，解得a4=8，由8q+8+8q=28，可得q=2(q=12舍去)，则q的值为2；(Ⅱ)设c n=(b n+1−b n)a n=(b n+1−b n)2n−1，可得n=1时，c1=2+1=3，n≥2时，可得c n=2n2+n−2(n−1)2−(n−1)=4n−1，上式对n=1也成立，则(b n+1−b n)a n=4n−1，即有b n+1−b n=(4n−1)⋅(12)n−1，可得b n=b1+(b2−b1)+(b3−b2)+⋯+(b n−b n−1)=1+3⋅(12)0+7⋅(12)1+⋯+(4n−5)⋅(12)n−2，1 2b n=12+3⋅(12)+7⋅(12)2+⋯+(4n−5)⋅(12)n−1，相减可得12b n=72+4[(12)+(12)2+⋯+(12)n−2]−(4n−5)⋅(12)n−1=72+4⋅12(1−12n−2)1−12−(4n−5)⋅(12)n−1，化简可得b n=15−(4n+3)⋅(12)n−2．解析：本题考查等比数列的通项公式和等差数列中项的性质，考查数列的恒等式和错位相减法的运用，考查运算能力，属于中档题．(Ⅰ)运用等比数列的通项公式和等差数列中项性质，解方程可得公比q；(Ⅱ)设c n=(b n+1−b n)a n=(b n+1−b n)2n−1，运用数列的递推式可得c n=4n−1，再由数列的恒等式求得b n=b1+(b2−b1)+(b3−b2)+⋯+(b n−b n−1)，运用错位相减法，可得所求数列的通项公式．18.答案：证明：(1)设AC中点为G，连FG，BG，∵F为AD中点，∴FG//DC，FG=12DC，又由题意BE//CD，BE=12CD，∴EB//FG，且EB=FG，∴四边形BEFG为平行四边形，∴EB//FG，又BG⊂平面ABC，EF⊄平面ABC，∴EF//平面ABC．(2)∵平面BCDE所在平面垂直平面ABC，平面BCDE∩平面ABC=BC，AB⊂平面ABC，AB⊥BC，∴AB⊥平面BCDE，∵F为AD中点，∴V D−BCF=V F−BCD=12V A−BCD=16(12BC⋅DC)AB=43，所以，三棱锥D−BCF的体积是43．解析：(1)设AC中点为G，连FG，BG，推导出四边形BEFG为平行四边形，从而EB//FG，由此能证明EF//平面ABC．(2)V D−BCF=V F−BCD=12V A−BCD，由此能求出三棱锥D−BCF的体积．本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.答案：解：(1)由频率表中第4组数据可知，第4组总人数为9÷0.36=25，再结合频率分布直方图可知n=25÷(0.025×10)=100，∴a=100×0.01×10×0.5=5，b=100×0.03×10×0.9=27，x=18÷(100×0.02×10)= 0.9,y=3÷(100×0.015×10)=0.2．(2)第2，3，4组回答正确的共有54人．∴利用分层抽样在54人中抽取6人，每组分别抽取的人数为：第2组13×6=2(人)，第3组12×6=3(人)，第4组16×6=1(人)．解析：本题主要考查频率分布直方图和频率分布表的相关计算问题．(1)利用第4小组的数据，先求出样本容量，然后分别求出a，b，x，y的值．(2)利用分层抽样的定义，进行抽取．20.答案：解：(1)∵以原点O为圆心，r为半径的圆与直线√3x−y+4=0相切．∴r=√(√3)2+1=2，∴要求的圆的方程为：x2+y2=4．(2)对于x2+y2=4，令y=0，解得x=±2，可得A(−2,0)，B(2,0)．∵|PA|+|PB|=4r=8>|AB|=4，∴动点P的轨迹是椭圆：A，B为焦点，2a=8，a=4，b2=a2−c2=12．∴动点P的轨迹方程为：x216+y212=1．(3)∵l与直线√3x−y+4=0平行，可设l的方程为：√3x−y+m=0，把点B(2,0)代入可得m=−2√3．∴直线l的方程为：√3x−y−2√3=0．设C(x1,y1)，D(x2,y2)，联立{√3x −y −2√3=0x 216+y 212=1，化为5x 2−16x =0， 解得{x =0y =−2√3，{x =165y =6√35， ∴|CD|=(5)√5=325．原点O 到直线l 的距离d =2√32=√3．∴△OCD 的面积S =12d|CD|=12×√3×325=16√35．解析：(1)由于以原点O 为圆心，r 为半径的圆与直线√3x −y +4=0相切．可得r =√(√3)2+1=2，即可得出；(2)对于x 2+y 2=4，令y =0，可得A(−2,0)，B(2,0).|PA|+|PB|=4r =8>|AB|=4，可得动点P 的轨迹是椭圆．(3)l 与直线√3x −y +4=0平行，可设l 的方程为：√3x −y +m =0，把点B(2,0)代入可得直线l 的方程为：√3x −y −2√3=0.与椭圆的方程联立可得C ，D ，即可得出|CD|.利用点到直线的距离公式可得原点O 到直线l 的距离d.利用△OCD 的面积S =12d|CD|即可得出．本题考查了直线与圆相切的性质、椭圆的定义及其标准方程、平行直线的性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立、点到直线的距离公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.答案：解：函数f(x)=ln(x +m +1)的导数f′(x)=1x+m+1，(1)设直线y =x +1与函数f(x)的图象切于点(x 0,y 0)， 则y 0=x 0+1，y 0=ln(x 0+m +1)，1x 0+m+1=1，解得x 0=−1，y 0=0，m =1；(2)证明：由m ≤1，可得ln(x +m +1)≤ln(x +2)， 要证f(x)<e x ，只需证ln(x +2)<e x ， 令ℎ(x)=e x −ln(x +2)，则ℎ′(x)=e x −1x+2， 由ℎ′(−1)=1e −1<0，ℎ′(0)=12>0，即有∃x0∈(−1,0)，使ℎ′(x0)=0，即e x0=12+x，ln(x0+2)=−x0，则ℎ(x)在(−2,x0)上递减，在(x0,+∞)上递增，即有ℎ(x)min=ℎ(x0)=e x0−ln(x0+2)，则ℎ(x)≥ℎ(x)min=e x0−ln(x0+2)=12+x0+x0=(x0+1)22+x0>0，则有f(x)<e x．解析：(1)求出函数的导数，设出切点，求得切线的斜率，由点满足曲线和切线方程，解方程，可得m=1：(2)由m≤1，可得ln(x+m+1)≤ln(x+2)，要证f(x)<e x，只需证ln(x+2)<e x，令ℎ(x)=e x−ln(x+2)，求出导数，运用零点存在定理，可得∃x0∈(−1,0)，使ℎ′(x0)=0，求得ℎ(x)的最小值，证明它大于0，即可得证．本题考查导数的运用：求切线的斜率和求单调区间、极值和最值，主要考查导数的几何意义，函数的单调性的运用，考查运算能力，属于中档题．22.答案：解：(Ⅰ)∵ρ=4cos(θ−π3)，∴ρ=4(cosθcosπ3+sinθsinπ3)=2(cosθ+√3sinθ)，∴ρ2=2(ρcosθ+√3ρsinθ)，∴x2+y2=2x+2√3y，∴曲线C的直角坐标方程为(x−1)2+(y−√3)2=4，(Ⅱ)当时，直线l：x=2，∴|AB|=2√3≠√13，舍，当时，设tanα=k，则l：y−√3=k(x−2),即kx−y−2k+√3=0，∴圆心C(1,√3)到直线kx−y−2k+√3=0的距离d=√3−2k+√3|2=2由d2+(|AB|2)2=4得：k2k2+1+134=4,解得：k=±√3，∴tanα=±√3，∵α∈(0,π)，∴α=π3或2π3．解析：本题考查曲线的直角坐标的求法，考查直线的倾斜角的求法，是基础题，解题时要注意极坐标方程、直角坐标方程互化公式的合理运用．(Ⅰ)由ρ2=x 2+y 2，ρcosθ=x ，ρsinθ=y ，能求出曲线C 的直角坐标方程．(Ⅱ)设出直线方程，求出圆心到直线的距离，由已知求出直线的斜率，由此能求出直线l 的倾斜角α的值．23.答案：解：(1)∵m >1，∴f(x)={−2x +m +1,x <1m −1,1≤x ≤m 2x −m −1,x >m ，作出函数f(x)的图象，如图所示：由f(x)>4的解集为{x|x <0或x >4}及函数图象， 可得{−2×0+m +1=42×4−m −1=4，得m =3．证明：(2)由(1)知m =3，从而1a +12b +13c =1， ∴(a +2b +3c)(1a +12b +13c)=3+(a 2b+2b a)+(a 3c+3c a)+(2b 3c+3c 2b)≥9，当且仅当a =3，b =32，c =1时取等号， 故a +2b +3c ≥9．解析：本题考查学生对绝对值不等式和基本不等式的理解与运用，考查了运算能力和转化能力，属于中档题(1)作出f(x)的图象，结合题意可得可得{−2×0+m +1=42×4−m −1=4，由此求得m 的值．(2)利用基本不等式即可证明；。

2020届山西省太原市第五中学高三第二次模拟（6月）数学（理）试题一、单选题(★★) 1. 设集合，集合，则（）A．B．C．D．(★) 2. 已知复数z满足，则复数的虚部为（）A．B．C．D．(★★★) 3. 已知，，，则（）A．B．C．D．(★) 4. 若 x， y满足约束条件，则的最大值为（）A．2B．4C．6D．8(★★) 5. 函数 y＝的图象大致为（）A．B．C．D．(★★★) 6. 如图是一边长为8的正方形苗圃图案，中间黑色大圆与正方形的内切圆共圆心，圆与圆之间是相切的，且中间黑色大圆的半径是黑色小圆半径的2倍.若在正方形图案上随机取一点，则该点取自黑色区域的概率为（）A．B．C．D．(★★) 7. 已知是非零向量且满足，，则与的夹角是（）A．B．C．D．(★★) 8. 已知一个几何体的三视图如图所示，则其体积为（）A．B．C．D．(★★) 9. 设等差数列的前 n项和为，若，，，则的值为（）A．2020B．4032C．5041D．3019(★★★★) 10. 已知抛物线 C方程为， F为其焦点，过点 F的直线 l与抛物线 C交于 A，B两点，且抛物线在 A， B两点处的切线分别交 x轴于 P， Q两点，则的取值范围为（）B．C．D．A．(★★★) 11. 已知函数，给出下列四个结论：（1）不是周期函数（2）是奇函数（3）的图象关于直线对称（4）在处取得最大值其中所有正确结论的编号是（）A．（1）（3）B．（2）（4）C．（1）（3）（4）D．（1）（2）（4）(★★★) 12. 已知三棱锥中，，， E是 BC的中点，点 A在平面 BCD上的射影恰好为 DE的中点，则该三棱锥外接球的表面积为（）A．B．C．D．二、填空题(★★) 13. 曲线在点处的切线的斜率为，则________．(★★★) 14. 记为正项等比数列的前 n项和.若，，则______.(★★) 15. 某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于（）．(★★) 16. 如图，已知双曲线的右顶点为，为坐标原点，以为圆心的圆与双曲线的某渐近线交于两点，若，且，则双曲线的离心率为____________．三、解答题(★★) 17.如图，在三棱锥中, 侧面与侧面均为等边三角形, 为中点. （Ⅰ）证明：平面（Ⅱ）求二面角的余弦值.(★★) 18. 在中，，其中角的对边分别为；（1）求的值;（2）若，，求向量在方向上的投影.(★★★) 19. 《山东省高考改革试点方案》规定：从2017年秋季高中入学的新生开始，不分文理科；2020年开始，高考总成绩由语数外3门统考科目和物理、化学等六门选考科目构成．将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为、、、、、、、共8个等级．参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为、、、、、、、．选考科目成绩计入考生总成绩时，将至等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到、、、、、、、八个分数区间，得到考生的等级成绩．某校高一年级共2000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布．（1）求物理原始成绩在区间的人数；（2）按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取3人，记表示这3人中等级成绩在区间的人数，求的分布列和数学期望．（附：若随机变量，则，，）(★★★★) 20. 已知椭圆 C: （）的离心率为，且椭圆 C的中心 O关于直线的对称点落在直线上.（1）求椭圆 C的方程；（2）设 P ， M、 N是椭圆 C上关于 x轴对称的任意两点，连接交椭圆 C于另一点 E，求直线的斜率取值范围，并证明直线与 x轴相交于定点.(★★★) 21. 已知函数，其中k∈ R.（1）当时，求函数的单调区间；（2）当k∈[1，2]时，求函数在[0， k]上的最大值的表达式，并求的最大值.(★★★) 22. 在平面直角坐标系中，的方程为，的参数方程为，（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系.（1）求和的极坐标方程；（2）直线与交于点，与交于点（异于），求的最大值.(★★★) 23. 已知函数.（1）解不等式；（2）当，时，证明：.。