福建省晋江市季延中学2015-2016学年高二数学下学期期中试题 理

2015-2016学年福建省泉州市晋江市季延中学高一（下）期中数学试卷一．选择题（每题5分，共60分）1．（5分）与角﹣终边相同的角是（）A．B．C．D．2．（5分）函数y=sin（2x﹣）在区间[﹣，π]的简图是（）A．B．C．D．3．（5分）若tan160°=a，则sin2000°等于（）A．B．C．D．﹣4．（5分）设D为△ABC所在平面内一点，=3，则（）A．=﹣+B．=﹣C．=+D．=+5．（5分）已知f（cosx）=cos2x，则f（sin30°）的值等于（）A．B．﹣C．0D．16．（5分）已知α为第三象限角，且sinα+cosα=2m，sin2α=m2，则m的值为（）A．B．﹣C．﹣D．﹣7．（5分）对任意平面向量，下列关系式中不恒成立的是（）A．B．C．D．8．（5分）要得到函数y=sin（4x﹣）的图象，只需要将函数y=sin4x的图象（）个单位．A．向左平移B．向右平移C．向左平移D．向右平移9．（5分）若非零向量，满足||=||，且（﹣）⊥（3+2），则与的夹角为（）A．B．C．D．π10．（5分）已知角α的终边上一点的坐标为（），角α的最小正值为（）A．B．C．D．11．（5分）△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量，满足=2，=2 +，则下列结论正确的是（）A．||=1B．⊥C．•=1D．（4+）⊥12．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜），其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且函数f（x+）是偶函数，下列判断正确的是（）A．函数f（x）的最小正周期为2πB．函数f（x）的图象关于点（，0）d对称C．函数f（x）的图象关于直线x=﹣对称D．函数f（x）在[，π]上单调递增二．填空题（每题5分，共20分）13．（5分）已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则•=．14．（5分）方程4cosx+sin2x+m﹣4=0恒有实数解，则实数m的取值范围是．15．（5分）在△ABC中，若，则∠C．16．（5分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中x∈R，A＞0，ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示．则f（x）=．三．解答题（共70分）17．（10分）已知f（α）=．（1）化简f（α）；（2）若α是第三象限角，且cos（α﹣）=，求f（α）的值．18．（10分）已知（1）求与的夹角θ；（2）求．19．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知向量=（，﹣），=（sinx，cosx），x∈（0，）．（1）若⊥，求tanx的值；（2）若与的夹角为，求x的值．20．（12分）已知tan（+x）=﹣．（Ⅰ）求tan2x的值；（Ⅱ）若x是第二象限的角，化简三角式+，并求值．21．（13分）已知函数f（x）=sin cos﹣sin2．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣π，0]上的最值．22．（15分）如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池（ABCD）的池底水平铺设污水净化管道（Rt△FHE，H是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好．设计要求管道的接口H是AB的中点，E，F分别落在线段BC，AD上．已知AB=20米，米，记∠BHE=θ．（1）试将污水净化管道的长度L表示为θ的函数，并写出定义域；（2）若，求此时管道的长度L；（3）当θ取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度．2015-2016学年福建省泉州市晋江市季延中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（每题5分，共60分）1．（5分）与角﹣终边相同的角是（）A．B．C．D．【解答】解：与﹣终边相同的角为2kπ﹣，k∈z，当k=1时，此角等于，故选：C．2．（5分）函数y=sin（2x﹣）在区间[﹣，π]的简图是（）A．B．C．D．【解答】解：当x=﹣时，y=sin[（2×﹣]=﹣sin（）=sin=＞0，故排除A，D；当x=时，y=sin（2×﹣）=sin0=0，故排除C；故选：B．3．（5分）若tan160°=a，则sin2000°等于（）A．B．C．D．﹣【解答】解：tan160°=tan（180°﹣20°）=﹣tan20°=a＜0，得到a＜0，tan20°=﹣a ∴cos20°===，∴sin20°==则sin2000°=sin（11×180°+20°）=﹣sin20°=．故选：B．4．（5分）设D为△ABC所在平面内一点，=3，则（）A．=﹣+B．=﹣C．=+D．=+【解答】解：；∴；∴．故选：A．5．（5分）已知f（cosx）=cos2x，则f（sin30°）的值等于（）A．B．﹣C．0D．1【解答】解：因为f（cosx）=cos2x所以f（sin30°）=f（cos60°）=cos120°=﹣，故选：B．6．（5分）已知α为第三象限角，且sinα+cosα=2m，sin2α=m2，则m的值为（）A．B．﹣C．﹣D．﹣【解答】解：把sinα+cosα=2m两边平方可得1+sin2α=4m2，又sin2α=m2，∴3m2=1，解得m=，又α为第三象限角，∴m=故选：B．7．（5分）对任意平面向量，下列关系式中不恒成立的是（）A．B．C．D．【解答】解：对于A，∵|•|=||×||×|cos＜，＞|，又|cos＜，＞|≤1，∴|•|≤||||恒成立，A正确；对于B，由三角形的三边关系和向量的几何意义得，|﹣|≥|||﹣|||，∴B 错误；对于C，由向量数量积的定义得（+）2=|+|2，C正确；对于D，由向量数量积的运算得（+）•（﹣）=2﹣2，∴D正确．故选：B．8．（5分）要得到函数y=sin（4x﹣）的图象，只需要将函数y=sin4x的图象（）个单位．A．向左平移B．向右平移C．向左平移D．向右平移【解答】解：因为函数y=sin（4x﹣）=sin[4（x﹣）]，要得到函数y=sin（4x﹣）的图象，只需将函数y=sin4x的图象向右平移单位．故选：B．9．（5分）若非零向量，满足||=||，且（﹣）⊥（3+2），则与的夹角为（）A．B．C．D．π【解答】解：∵（﹣）⊥（3+2），∴（﹣）•（3+2）=0，即32﹣22﹣•=0，即•=32﹣22=2，∴cos＜，＞===，即＜，＞=，故选：A．10．（5分）已知角α的终边上一点的坐标为（），角α的最小正值为（）A．B．C．D．【解答】解：=∴角α的终边在第四象限∵到原点的距离为1∴∴α的最小正值为故选：D．11．（5分）△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量，满足=2，=2 +，则下列结论正确的是（）A．||=1B．⊥C．•=1D．（4+）⊥【解答】解：因为已知三角形ABC的等边三角形，，满足=2，=2+，又，∴的方向应该为的方向．所以，，所以=2，=1×2×cos120°=﹣1，4=4×1×2×cos120°=﹣4，=4，所以=0，即（4）=0，即=0，所以；故选：D．12．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜），其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且函数f（x+）是偶函数，下列判断正确的是（）A．函数f（x）的最小正周期为2πB．函数f（x）的图象关于点（，0）d对称C．函数f（x）的图象关于直线x=﹣对称D．函数f（x）在[，π]上单调递增【解答】解：函数f（x）=sin（ωx+φ）图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，∴函数f（x）的周期T=π，故A错误；∵ω＞0∴ω=2，∴函数f（x+）的解析式为：f（x）=sin[2（x+）+φ]=sin（2x++φ），∵函数f（x+）是偶函数，∴+φ=kπ+，k∈Z，又|φ|＜，解得：φ=．∴f（x）=sin（2x+）．∴由2x+=kπ，k∈Z，解得对称中心为：（﹣，0），k∈Z，故B错误；由2x+=kπ+，k∈Z，解得对称轴是：x=，k∈Z，故C错误；由2kπ≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得单调递增区间为：[kπ，kπ]，k∈Z，故D正确．故选：D．二．填空题（每题5分，共20分）13．（5分）已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则•=2．【解答】解：∵已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则=0，故=（）•（）=（）•（）=﹣+﹣=4+0﹣0﹣=2，故答案为2．14．（5分）方程4cosx+sin2x+m﹣4=0恒有实数解，则实数m的取值范围是[0，8] ．【解答】解：∵m=4﹣4cosx﹣（1﹣cos2x）=（cosx﹣2）2﹣1，当cosx=1时，m min=0，当cosx=﹣1时，m max=（﹣1﹣2）2﹣1=8，∴实数m的取值范围是[0，8]．故答案为：[0，8]．15．（5分）在△ABC中，若，则∠C60°．【解答】解：由可得tan（A+B）==﹣因为A，B，C是三角形内角，所以A+B=120°，所以C=60°故答案为：60°16．（5分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中x∈R，A＞0，ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示．则f（x）=sin（x+）．【解答】解：由最大值得A=1，T=2×[3﹣（﹣1）]=8，则=8，解得ω=，所以f（x）=sin（x+φ）；由f（﹣1）=0，得4sin（﹣+φ）=0，又﹣＜φ＜，所以φ=，所以f（x）=sin（x+）．故答案为：sin（x+）．三．解答题（共70分）17．（10分）已知f（α）=．（1）化简f（α）；（2）若α是第三象限角，且cos（α﹣）=，求f（α）的值．【解答】解：（1）原式==﹣cosα；（2）∵cos（α﹣）=﹣sinα，∴sinα=﹣，又α是第三象限角，∴cosα=﹣=﹣=﹣，∴f（α）=﹣cosα=．18．（10分）已知（1）求与的夹角θ；（2）求．【解答】解（1）∵=61，∴﹣3=61．又=4，||=3，∴64﹣4﹣27=61，∴=﹣6．∴cosθ===﹣．又0≤θ≤π，∴θ=．（2）∵==42+32+2×（﹣6）=13，∴=．19．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知向量=（，﹣），=（sinx，cosx），x∈（0，）．（1）若⊥，求tanx的值；（2）若与的夹角为，求x的值．【解答】解：（1）若⊥，则•=（，﹣）•（sinx，cosx）=sinx﹣cosx=0，即sinx=cosxsinx=cosx，即tanx=1；（2）∵||=，||==1，•=（，﹣）•（sinx，cosx）=sinx﹣cosx，∴若与的夹角为，则•=||•||cos=，即sinx﹣cosx=，则sin（x﹣）=，∵x∈（0，）．∴x﹣∈（﹣，）．则x﹣=即x=+=．20．（12分）已知tan（+x）=﹣．（Ⅰ）求tan2x的值；（Ⅱ）若x是第二象限的角，化简三角式+，并求值．【解答】解：（Ⅰ）已知等式变形得：tan（+x）==﹣，解得：tanx=﹣3，则tan2x===；（Ⅱ）∵x是第二象限的角，∴cosx＜0，∴原式=+=+==﹣，∵tanx=﹣3，∴cos2x==，∵cosx＜0，∴cosx=﹣，∴原式=﹣=2．21．（13分）已知函数f（x）=sin cos﹣sin2．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣π，0]上的最值．【解答】解；（1）函数f（x）=sin cos﹣sin2=sinx﹣（1﹣cosx）=sin（x+）﹣；∴最小正周期为T=2π，令+2kπ≤x+≤+2kπ，k∈Z，则+2kπ≤x≤+2kπ，k∈Z，∴f（x）的减区间为；（2）∵x∈[﹣π，0]，∴，当，即时，f（x）有最小值为﹣1﹣；当，即x=0时，f（x）有最大值为0．22．（15分）如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池（ABCD）的池底水平铺设污水净化管道（Rt△FHE，H是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好．设计要求管道的接口H是AB的中点，E，F分别落在线段BC，AD上．已知AB=20米，米，记∠BHE=θ．（1）试将污水净化管道的长度L表示为θ的函数，并写出定义域；（2）若，求此时管道的长度L；（3）当θ取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度．【解答】解：（1），，．由于，，所以，所以．所以，．（2）当时，，（米）．（3），设sinθ+cosθ=t，则，所以．由于，所以．由于在上单调递减，所以当即或时，L取得最大值米．答：当或时，污水净化效果最好，此时管道的长度为米．。

福建省泉州市晋江市季延中学2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）若命题p：2是偶数，命题q：2是3的约数，则下列结论中正确的是（）A．“p∨q”为假B．“p∨q”为真C．“p∧q”为真D．以上都不对2．（5分）抛物线y=ax2的准线方程为y+2=0，则实数a的值为（）A．B．C．8 D．﹣83．（5分）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若=，=，=．则下列向量中与相等的向量是（）A．B．C．D．4．（5分）平面内有两定点A、B及动点P，设命题甲：“|PA|+|PB|是定值”，命题乙：“点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆”，则甲是乙的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）下列命题为真命题的是（）A．若p∨q为真命题，则p∧q为真命题B．“x=5”是“x2﹣4x﹣5=0”的充分不必要条件C．命题“若x＜﹣1，则x2﹣2x﹣3＞0”的否命题为“若x＜﹣1，则x2﹣2x﹣3≤0”D．已知命题p：∃x∈R，使得x2+x﹣1＜0，￢p：∀x∈R，使得x2+x﹣1＞06．（5分）设平面α的法向量为（1，2，﹣2），平面β的法向量为（﹣2，﹣4，k），若α∥β，则k=（）A．2 B．﹣4 C．4 D．﹣27．（5分）若A，B，C不共线，对于空间任意一点O都有=++，则P，A，B，C四点（）A．不共面B．共面C．共线D．不共线8．（5分）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面是边长为1的正方形，若∠A1AB=∠A1AD=60°，且A1A=3，则A1C的长为（）A．B．C．D．9．（5分）空间四边形OABC中，OB=OC，，则cos＜＞的值是（）A．B．C．﹣D．010．（5分）已知直线l1：4x﹣3y+6=0和直线l2：x=﹣1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（）A．2 B．3 C．D．二、填空题（每小题5分，共25分）11．（5分）命题“若x2＜1，则﹣1＜x＜1”的逆否命题是．12．（5分）与双曲线=1有共同的焦点，且离心率e=的双曲线方程为．13．（5分）若椭圆两焦点为F1（﹣4，0），F2（4，0）点P在椭圆上，且△PF1F2的面积的最大值为12，则此椭圆的方程是．14．（5分）已知向量在基底{}下的坐标为（2，1，﹣1），则在基底{}下的坐标为．15．（5分）设F1，F2为椭圆的焦点，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A，B两点，若△ABF2为锐角三角形，则该椭圆离心率e的取值范围是．三、解答题（12+12+12+12+13+14=75分，写出必要的解题过程）16．（12分）抛物线y2=8x的焦点是F，倾斜角为45°的直线l与抛物线相交于A，B两点，|AB|=8，求直线l的方程．17．（12分）判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2+（2a+1）x+a2+2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假，并证明．18．（12分）如图，四面体ABCD中，AB、BC、BD两两垂直，AB=BC=BD=4，E、F分别为棱BC、AD的中点．（1）求异面直线AB与EF所成角的余弦值；（2）求E到平面ACD的距离；（3）求EF与平面ACD所成角的正弦值．（12分）已知P为椭圆=1上的任意一点，O为坐标原点，M在线段OP上，且19．（Ⅰ）求点M的轨迹方程；（Ⅱ）已知直线3x+6y﹣2=0与M的轨迹相交于A，B两点，求△OAB的面积．20．（13分）如图，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1=AB=AC=1，AB⊥AC，M，N分别是CC1，BC的中点，点P在直线A1B1上，且；（Ⅰ）证明：无论λ取何值，总有AM⊥PN；（Ⅱ）当λ取何值时，直线PN与平面ABC所成的角θ最大？并求该角取最大值时的正切值；（Ⅲ）是否存在点P，使得平面PMN与平面ABC所成的二面角为30°，若存在，试确定点P 的位置，若不存在，请说明理由．21．（14分）已知定点F（0，1）和直线l1：y=﹣1，过定点F与直线l1相切的动圆圆心为点C．（1）求动点C的轨迹方程；（2）过点F的直线l2交动点C的轨迹于两点P、Q，交直线l1于点R，求•的最小值；（3）过点F且与l2垂直的直线l3交动点C的轨迹于两点R、T，问四边形PRQT的面积是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．福建省泉州市晋江市季延中学2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）若命题p：2是偶数，命题q：2是3的约数，则下列结论中正确的是（）A．“p∨q”为假B．“p∨q”为真C．“p∧q”为真D．以上都不对考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：利用复合命题的真假判定方法即可得出．解答：解：命题p：2是偶数，是真命题；命题q：2是3的约数，是假命题．∴p∨q是真命题．故选：B．点评：本题考查了复合命题的真假判定方法，属于基础题．2．（5分）抛物线y=ax2的准线方程为y+2=0，则实数a的值为（）A．B．C．8 D．﹣8考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：化抛物线的方程为标准方程，可得其准线方程比较已知可得a的方程，解方程可得．解答：解：化抛物线y=ax2的方程为x2=y，可得其准线方程为y=﹣，又抛物线的直线方程为y+2=0，即y=﹣2，故﹣=﹣2，解得a=故选：A点评：本题考查抛物线的准线方程，属基础题．3．（5分）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若=，=，=．则下列向量中与相等的向量是（）A．B．C．D．考点：空间向量的加减法．专题：空间向量及应用．分析：表示向量，只需要用给出的基底，，表示出来即可，要充分利用图形的直观性，熟练利用向量加法的三角形法则进行运算．解答：解：=+=+=+=+（+）=+（+）=．故选：A．点评：本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，同时考查了转化的思想，属于基础题．4．（5分）平面内有两定点A、B及动点P，设命题甲：“|PA|+|PB|是定值”，命题乙：“点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆”，则甲是乙的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：结合椭圆的定义，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．解答：解：若点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，则根据椭圆的定义可知动点P到两定点A，B的距离之和|PA|+|PB|=2a （a＞0，且a为常数）成立是定值．若动点P到两定点A，B的距离之和|PA|+|PB|=2a （a＞0，且a为常数），当2a≤|AB|，此时的轨迹不是椭圆．∴甲是乙的必要不充分条件．故选：B．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合椭圆的定义是解决本题的关键．5．（5分）下列命题为真命题的是（）A．若p∨q为真命题，则p∧q为真命题B．“x=5”是“x2﹣4x﹣5=0”的充分不必要条件C．命题“若x＜﹣1，则x2﹣2x﹣3＞0”的否命题为“若x＜﹣1，则x2﹣2x﹣3≤0”D．已知命题p：∃x∈R，使得x2+x﹣1＜0，￢p：∀x∈R，使得x2+x﹣1＞0考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：A，利用复合命题真值表可判断A的正误；B，利用充分必要条件的概念可判断B的正误；C，搞清楚命题的否定与否命题的概念可判断C的正误；D，明确特称命题的否定既要在量词上否定，又要在结论处否定，可判断D的正误．解答：解：A，由复合命题真值表知：若p∨q为真命题，则p、q至少有一个为真命题，有可能一真一假，也可能两个都真，推不出p∧q为真命题，∴选项A错误；B，由x=5可以得到x2﹣4x﹣5=0，但由x2﹣4x﹣5=0不一定能得到x=5，也可以是x=﹣1，∴选项B成立；C，选项C错在把否命题写成了命题的否定，∴选项C错误；D，选项D错在没有搞清楚特称命题的否定既要在量词上否定，且要在结论处否定（符号应为≤）．故选：B．点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查易混淆的概念的理解与应用，如否命题与命题的否定、特称命题的否定全称命题的关系及复合命题真值表的应用，属于中档题．6．（5分）设平面α的法向量为（1，2，﹣2），平面β的法向量为（﹣2，﹣4，k），若α∥β，则k=（）A．2 B．﹣4 C．4 D．﹣2考点：向量语言表述面面的垂直、平行关系；平面的法向量．专题：计算题．分析：根据两平面平行得到两平面的法向量平行，再根据向量平行坐标的关系建立等量关系，求出k即可．解答：解：∵α∥β，∴两平面的法向量平行则（﹣2，﹣4，k）=λ（1，2，﹣2），∴﹣2=λ，k=﹣2λ，∴k=4．故选C点评：本题主要考查了向量语言表述面面的垂直、平行关系，以及平面的法向量，属于基础题．7．（5分）若A，B，C不共线，对于空间任意一点O都有=++，则P，A，B，C四点（）A．不共面B．共面C．共线D．不共线考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：由共面向量基本定理即可得出．解答：解：：由=++，可得=1，又A，B，C不共线，∴P，A，B，C四点共面．故选：B．点评：本题考查了共面向量基本定理，属于基础题．8．（5分）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面是边长为1的正方形，若∠A1AB=∠A1AD=60°，且A1A=3，则A1C的长为（）A．B．C．D．考点：棱柱的结构特征．专题：计算题；空间位置关系与距离；空间向量及应用．分析：用空间向量解答．解答：解：∵=+﹣；∴2=（+﹣）2；即2=•+•﹣•+•+•﹣•﹣（•+•﹣•）=1+0﹣3×1×cos60°+0+1﹣3×1×cos60°﹣（3×1×cos60°+3×1×cos60°﹣9）；=1﹣+1﹣﹣+9=5，∴A1C=．故选A．点评：本题考查了空间向量的应用，属于基础题．9．（5分）空间四边形OABC中，OB=OC，，则cos＜＞的值是（）A．B．C．﹣D．0考点：平面向量数量积的性质及其运算律．专题：计算题．分析：利用OB=OC，以及两个向量的数量积的定义化简cos＜＞的值，解答：解：∵OB=OC，，故选 D．点评：本题考查两个向量的数量积的定义，两个向量的夹角公式的应用．10．（5分）已知直线l1：4x﹣3y+6=0和直线l2：x=﹣1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（）A．2 B．3 C．D．考点：直线与圆锥曲线的关系；点到直线的距离公式．专题：计算题．分析：先确定x=﹣1为抛物线y2=4x的准线，再由抛物线的定义得到P到l2的距离等于P 到抛物线的焦点F（l2，0）的距离，进而转化为在抛物线y2=4x上找一个点P使得P到点F （l2，0）和直线l2的距离之和最小，再由点到线的距离公式可得到距离的最小值．解答：解：直线l2：x=﹣1为抛物线y2=4x的准线，由抛物线的定义知，P到l2的距离等于P到抛物线的焦点F（l2，0）的距离，故本题化为在抛物线y2=4x上找一个点P使得P到点F（l2，0）和直线l2的距离之和最小，最小值为F（l2，0）到直线l2：4x﹣3y+6=0的距离，即d=，故选A．点评：本小题考查抛物线的定义、点到直线的距离，考查基础知识的综合应用．圆锥曲线是2015届高考的热点也是难点问题，一定要强化复习．二、填空题（每小题5分，共25分）11．（5分）命题“若x2＜1，则﹣1＜x＜1”的逆否命题是“若x≥1或x≤﹣1，则x2≥1”．考点：四种命题间的逆否关系．专题：阅读型．分析：先否定原命题的题设做结论，再否定原命题的结论做题设，就得到原命题的逆否命题．解答：解：∵“x2＜1”的否定为“x2≥1”．“﹣1＜x＜1”的否定是“x≤﹣1或x≥1”．∴命题“若x2＜1，则﹣1＜x＜1”的逆否命题是：“若x≥1或x≤﹣1，则x2≥1”．故答案：若x≥1或x≤﹣1，则x2≥1．点评：本题考查四种命题的相互转化，解题时要认真审题，注意．“﹣1＜x＜1”的否定是“x≤﹣1或x≥1”．12．（5分）与双曲线=1有共同的焦点，且离心率e=的双曲线方程为．考点：双曲线的标准方程．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出双曲线=1的焦点坐标，设出双曲线的方程，据题意得到参数c的值，根据双曲线的离心率等于，得到参数a的值，得到双曲线的方程．解答：解：∵双曲线=1的焦点坐标为（﹣4，0）和（4，0），…（1分）设双曲线方程为（a＞0，b＞0），则c=4，…（2分）∵双曲线的离心率等于，即=，∴a=．…（4分）∴b2=c2﹣a2=．…（5分）；故所求双曲线方程为．故答案为：．点评：本题主要考查双曲线的简单性质和标准方程．解答的关键在于考生对圆锥曲线的基础知识的把握．13．（5分）若椭圆两焦点为F1（﹣4，0），F2（4，0）点P在椭圆上，且△PF1F2的面积的最大值为12，则此椭圆的方程是．考点：椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．专题：计算题．分析：先设P点坐标为（x，y），表示出△PF1F2的面积，要使三角形面积最大，只需|y|取最大，因为P点在椭圆上，所以当P在y轴上，此时|y|最大，故可求．解答：解：设P点坐标为（x，y），则，显然当|y|取最大时，三角形面积最大．因为P点在椭圆上，所以当P在y轴上，此时|y|最大，所以P点的坐标为（0，±3），所以b=3．∵a2=b2+c2，所以a=5∴椭圆方程为．故答案为点评：本题的考点是椭圆的标准方程，主要考查待定系数法求椭圆的方程，关键是利用△PF1F2的面积取最大值时，只需|y|取最大14．（5分）已知向量在基底{}下的坐标为（2，1，﹣1），则在基底{}下的坐标为（，，﹣1）．考点：空间向量的基本定理及其意义．专题：空间向量及应用．分析：设出向量在基底{}下的坐标为（x，y，z），把用基底表示，利用向量相等，求出x、y、z的值即可．解答：解：设向量在基底{}下的坐标为（x，y，z），则=x（+）+y（﹣）+z=（x+y）+（x﹣y）+z，又∵=2+﹣，∴，解得x=，y=，z=﹣1；∴在基底{}下的坐标为（，，﹣1）．故答案为：（，，﹣1）．点评：本题考查了空间向量的基本定理以及坐标表示的应用问题，是基础题目．15．（5分）设F1，F2为椭圆的焦点，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A，B两点，若△ABF2为锐角三角形，则该椭圆离心率e的取值范围是．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；压轴题．分析：先依据条件求出AF1的长度，由题意知∠AF2F1小于45°，由tan∠AF2F1＜1 建立关于a、c的不等式，转化为关于e的不等式，解此不等式求出离心率e的范围，再结合 0＜e＜1 得到准确的离心率e的范围．解答：解：由题意知∠AF2F1小于45°，故tan∠AF2F1  =＜1，即＜1，b2＜2ac，a2﹣c2＜2ac，e2+2e﹣1＞0，∴e＞﹣1，或 e＜﹣1﹣（舍去）．又 0＜e＜1，故有﹣1＜e＜1，故答案为：﹣1＜e＜1．点评：本题考查椭圆的标准方程和简单的性质，利用∠AF2F1小于45°，tan∠AF2F1＜1求出e的范围，将此范围与 0＜e＜1取交集．三、解答题（12+12+12+12+13+14=75分，写出必要的解题过程）16．（12分）抛物线y2=8x的焦点是F，倾斜角为45°的直线l与抛物线相交于A，B两点，|AB|=8，求直线l的方程．考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设AB方程为y=x+b，与抛物线方程联立可得根与系数的关系，利用弦长公式即可得出．解答：解：设AB方程为y=x+b，联立，消去y得：x2+（2b﹣8）x+b2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=8﹣2b，x1•x2=b2．∴|AB|=•|x1﹣x2|=×==8，解得：b=﹣3．∴直线方程为y=x﹣3．即：x﹣y﹣3=0．点评：本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．（12分）判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2+（2a+1）x+a2+2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假，并证明．考点：四种命题．专题：简易逻辑．分析：根据原命题与它的逆否命题真假性相同，判断原命题的真假即可．解答：解：该命题的逆否命题是真命题．证明如下；∵关于x的不等式x2+（2a+1）x+a2+2≤0的解集非空，∴△=（2a+1）2﹣4（a2+2）≥0，解得a≥，∴a≥1，原命题正确；∴它的逆否命题也正确的．点评：本题考查了四种命题的应用问题，解题时应根据原命题与它的逆否命题的真假性相同进行解答，是基础题．18．（12分）如图，四面体ABCD中，AB、BC、BD两两垂直，AB=BC=BD=4，E、F分别为棱BC、AD的中点．（1）求异面直线AB与EF所成角的余弦值；（2）求E到平面ACD的距离；（3）求EF与平面ACD所成角的正弦值．考点：直线与平面所成的角；异面直线及其所成的角；点、线、面间的距离计算．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）如图，分别以直线BC，BD，AB为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出异面直线AB与EF的方向向量，代入向量夹角公式，可得异面直线AB与EF所成角的余弦值；（2）求出平面ACD的一个法向量=（1，1，1），结合F∈平面ACD，=（﹣2，2，2），可得：E到平面ACD的距离d=；（3）由（2）中平面ACD的一个法向量=（1，1，1），设EF与平面ACD所成角为α．则sinα=cos＜，＞．解答：解：（1）如图，分别以直线BC，BD，AB为x，y，z轴建立空间直角坐标系，∵AB=BC=BD=4，E、F分别为棱BC、AD的中点．∴A（0，0，4），C（4，0，0），D（0，4，0），E（2，0，0），F（0，2，2），∵=（0，0，﹣4），=（﹣2，2，2），设异面直线AB与EF所成角为θ，则cosθ===，即异面直线AB与EF所成角的余弦值为；（2）设平面ACD的一个法向量=（x，y，1），∵=（4，0，﹣4），=（﹣4，4，0），由，得，故=（1，1，1），∵F∈平面ACD，=（﹣2，2，2），∴E到平面ACD的距离d===；（3）由（2）中平面ACD的一个法向量=（1，1，1），设EF与平面ACD所成角为α．则sinα=cos＜，＞===．点评：本题考查的知识点是直线与平面所成的角，异面直线及其所成的角，点到平面的距离，建立空间坐标系，将空间夹角问题和距离问题转化为向量夹角和向量射影问题是解答的关键．（12分）已知P为椭圆=1上的任意一点，O为坐标原点，M在线段OP上，且19．（Ⅰ）求点M的轨迹方程；（Ⅱ）已知直线3x+6y﹣2=0与M的轨迹相交于A，B两点，求△OAB的面积．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）设M（x，y），P（x0，y0），由，解出P（x0，y0），代入椭圆方程即可得出．（2）直线3x+6y﹣2=0与M的轨迹方程联立解得点A，B坐标，利用三角形面积计算公式即可得出．解答：解：（1）设M（x，y），P（x0，y0），由得，∵P（x0，y0）在椭圆上，∴，∴M的轨迹方程为：=1．（2）据已知，∴．点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交转化为方程联立、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．（13分）如图，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1=AB=AC=1，AB⊥AC，M，N分别是CC1，BC的中点，点P在直线A1B1上，且；（Ⅰ）证明：无论λ取何值，总有AM⊥PN；（Ⅱ）当λ取何值时，直线PN与平面ABC所成的角θ最大？并求该角取最大值时的正切值；（Ⅲ）是否存在点P，使得平面PMN与平面ABC所成的二面角为30°，若存在，试确定点P 的位置，若不存在，请说明理由．考点：用空间向量求平面间的夹角；向量语言表述线线的垂直、平行关系；用空间向量求直线与平面的夹角．专题：综合题．分析：（1）以AB，AC，AA1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系A﹣xyz，求出各点的坐标及对应向量的坐标，易判断，即AM⊥PN；（2）设出平面ABC的一个法向量，表达出sinθ，利用正弦函数的单调性及正切函数的单调性的关系，求出满足条件的λ值，进而求出此时θ的正切值；（3）假设存在，利用平面PMN与平面ABC所成的二面角为30°，则平面PMN与平面ABC法向量的夹角为30°，代入向量夹角公式，可以构造一个关于λ的方程，研究方程根的情况，即可得到结论．解答：（1）证明：如图，以A为原点建立空间直角坐标系，则A1（0，0，1），B1（1，0，1），M（0，1，），N（，0），，（1）解：∵，∴∴无论λ取何值，AM⊥PN…（4分）（2）解：∵=（0，0，1）是平面ABC的一个法向量．∴s inθ=|cos＜|=而θ∈，当θ最大时，sinθ最大，tanθ最大，θ=除外，∴当λ=时，θ取得最大值，此时sinθ=，cosθ=，tanθ=2 …（8分）（3）假设存在，则，设是平面PMN的一个法向量．则得令x=3，得y=1+2λ，z=2﹣2λ∴∴|cos＜＞|=化简得4λ2+10λ+13=0（*）∵△=100﹣4×4×13=﹣108＜0∴方程（*）无解∴不存在点P使得平面PMN与平面ABC所成的二面角为30°…（13分）点评：利用向量知识解决立体几何问题的优点在于用代数化的方法解决立体几何，解题的关键在于用坐标表示空间向量，熟练掌握向量夹角公式．21．（14分）已知定点F（0，1）和直线l1：y=﹣1，过定点F与直线l1相切的动圆圆心为点C．（1）求动点C的轨迹方程；（2）过点F的直线l2交动点C的轨迹于两点P、Q，交直线l1于点R，求•的最小值；（3）过点F且与l2垂直的直线l3交动点C的轨迹于两点R、T，问四边形PRQT的面积是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）由已知条件推导出点C的轨迹是以F为焦点，l1为准线的抛物线，由此能求出动点C的轨迹方程．（2）设l2：y=kx+1，由，得x2﹣4kx﹣4=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，由直线PQ的斜率k≠0，得R（﹣，﹣1），由此能求出•的最小值．（3）由，得y2﹣（4k2+2）y+1=0，所以PQ=，同理可得：RT=，由此能求出四边形PRQT的面积存在最小值32．解答：解：（1）∵定点F（0，1）和直线l1：y=﹣1，过定点F与直线l1相切的动圆圆心为点C，∴点C的轨迹是以F为焦点，l1为准线的抛物线，∴动点C的轨迹方程为x2=4y．（2）设l2：y=kx+1，由，得x2﹣4kx﹣4=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，由直线PQ的斜率k≠0，得R（﹣，﹣1），∴=（）•（x2+，y2+1）===﹣=，∵，当且仅法k2=1取等号．∴•≥8+8=16．∴•的最小值是16．（3）由，得y2﹣（4k2+2）y+1=0，∴PQ=，设，代入x2=4y，同理可得：RT=，∴S PRQT==8（）≥32．当且仅当k2=1时取等号，∴四边形PRQT的面积存在最小值32．点评：本题考查点的轨迹方程的求法，考查向量的数量积的最小值的求法，考查四边形面积是否有最小值的判断与求法，解题时要认真审题，注意均值定理的合理运用．。

季延中学2016年春高二期中考试数学(文)试卷一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分) 1. 复数z ＝i1＋i在复平面上对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2. 已知点P 的极坐标是（1，π），则过点P 且垂直极轴的直线方程是( )A.1=ρB. θρcos =C. θρcos 1-= D. θρcos 1= 3. 直线：3x-4y-9=0与圆：⎩⎨⎧==θθsin 2cos 2y x ，(θ为参数)的位置关系是( )A.相切B.相离C.直线过圆心D.相交但直线不过圆心4．在等差数列{a n }中，若a n >0，公差d>0，则有a 4·a 6>a 3·a 7，类比上述性质，在等比数列{b n }中，若b n >0，公比q>1，则b 4，b 5，b 7，b 8的一个不等关系是( )A ．b 4＋b 8>b 5＋b 7B ．b 4＋b 8<b 5＋b 7C ．b 4＋b 7>b 5＋b 8D ．b 4＋b 7<b 5＋b 85．在如下图所示的各图中，两个变量具有相关关系的是( )A ．(1)(2)B ．(1)(3)C ．(2)(4)D ．(2)(3)6．否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是( )A ．有一个解B ．有两个解C ．至少有三个解D ．至少有两个解7. 曲线的参数方程为⎩⎨⎧-=+=12322t y t x (t 是参数)，则曲线是( ) A.线段 B.双曲线的一支 C.圆 D.射线8．阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的i 值等于( )A ．2B ．3C ．4D ．59.在极坐标系中， 已知点()0,0,43,2,2,2O B A ⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛--ππ, 则ABO ∆为( )A.正三角形B.直角三角形C.锐角等腰三角形D.直角等腰三角形10．等差数列前n 项和为210，其中前4项的和为40，后4项的和为80，则n 的值为( )A ．12B ．14C ．16D ．1811．若△ABC 能被一条直线分成两个与自身相似的三角形，则这个三角形的形状是( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．不能确定12．在ABC ∆中，若,,,AC BC AC b BC a ⊥==则外接圆半径222a b r +=，将此结论拓展到空间，可得到的正确结论是在四面体S ABC -中，若,,SA SB SC 两两互相垂直，,,SA a SB b SC c ===，则四面体S ABC -的外接球半径R =( )A ．33332a b c ++ B ．2223a b c ++ C ．2222a b c ++ D ．3abc二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分)13．在同一平面直角坐标系中，由曲线x y tan =变成曲线''tan 32y x =的伸缩变换 .14．观察下列式子1＋122＜32，1＋122＋132＜53，1＋122＋132＋142＜74，……，则可归纳出____________________________________________ 15．直线()为参数t ty t x ⎩⎨⎧+=--=2322上与点()32，P -距离等于2的点的坐标是16．曲线⎩⎨⎧==ααtan sec b y a x （α为参数）与曲线⎩⎨⎧==ββsec tan b y a x （β为参数）的离心率分别为e 1和e 2，则e 1＋e 2的最小值为_______________三、解答题(本大题共6个小题，共70分) 17．(满分10分) 给出如下列联表患心脏病 患其它病 合 计 高血压 20 10 30 不高血压 30 50 80 合 计5060110由以上数据判断高血压与患心脏病之间在多大程度上有关系？ （参考公式：22n ad-bc)k =(+)(+)(+)(+)a b c d a c b d （参考数据：010.0)635.6(2=≥K P ，005.0)879.7(2=≥K P ）18．(满分12分)设复数z ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i ，若z 2＋a ·z ＋b ＝1＋i ，求实数a ，b 的值．19．(满分12分)直线l 经过两点P(-1，2)和Q(2，-2)，与双曲线(y-2)2-x 2=1相交于A 、B 两点；(1)根据下问所需写出l 的参数方程； (2)求AB 中点M 与点P 的距离．20.(满分12分)在极坐标系中，已知圆C 的圆心C ⎪⎭⎫⎝⎛6,3π，半径=1，Q 点在圆C 上运动。

2015-2016学年福建省泉州市晋江市季延中学高二（上）期中数学试卷（文科）一.选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）“x≠0”是“x＞0”是的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．（5分）若方程C：x2+=1（a是常数）则下列结论正确的是（）A．∀a∈R+，方程C表示椭圆B．∀a∈R﹣，方程C表示双曲线C．∃a∈R﹣，方程C表示椭圆D．∃a∈R，方程C表示抛物线3．（5分）设0＜a＜b且a+b=1，则下列四数中最大的是（）A．a2+b2B．2ab C．a D．4．（5分）不等式﹣x2﹣2x+3≤0的解集为（）A．{x|x≥3或x≤﹣1}B．{x|﹣1≤x≤3}C．{x|﹣3≤x≤1}D．{x|x≤﹣3或x≥1}5．（5分）双曲线：x2﹣=1的渐近线方程和离心率分别是（）A．B．C．D．6．（5分）已知x＞1，则函数的最小值为（）A．4 B．3 C．2 D．17．（5分）在各项都不等于零的等差数列{a n}中，若m＞1，且a m﹣1+a m+1﹣a m2=0，S2m﹣1=38，则m等于（）A．38 B．20 C．10 D．98．（5分）等比数列{a n}中，a3，a9是方程3x2﹣11x+9=0的两个根，则a6=（）A．3 B．C．±D．以上皆非9．（5分）有以下四个命题：①若=，则x=y．②若lgx有意义，则x＞0．③若x=y，则=．④若x＞y，则x2＜y2．则是真命题的序号为（）A．①②B．①③C．②③D．③④10．（5分）双曲线4x2+ty2﹣4t=0的虚轴长等于（）A．B．﹣2t C．D．411．（5分）若椭圆+=1（a＞b＞0）和圆x2+y2=（+c）2，（c为椭圆的半焦距），有四个不同的交点，则椭圆的离心率e的取值范围是（）A．B． C．D．12．（5分）设x，y满足约束条件，则目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为12，则+的最小值为（）A．B．C．6 D．5二.填空题（每小题4分，共16分）13．（4分）已知x是400和1600的等差中项，则x=．14．（4分）不等式的解集为R，则实数m的范围是．15．（4分）已知一个动圆与圆C：（x+4）2+y2=100相内切，且过点A（4，0），则动圆圆心的轨迹方程．16．（4分）若负数a、b、c满足a+b+c=﹣9，则++的最大值是．三.解答题（17---21题均12分，22题14分共74分）17．（12分）已知椭圆C：=1（a＞2）上一点P到它的两个焦点F1（左），F2（右）的距离的和是6．（1）求椭圆C的离心率的值；（2）若PF2⊥x轴，且p在y轴上的射影为点Q，求点Q的坐标．18．（12分）已知命题p：“存在实数a，使直线x+ay﹣2=0与圆x2+y2=1有公共点”，命题q：“存在实数a，使点（a，1）在椭圆内部”，若命题“p且¬q”是真命题，求实数a的取值范围．19．（12分）双曲线C：x2﹣y2=2右支上的弦AB过右焦点F．（1）求弦AB的中点M的轨迹方程（2）是否存在以AB为直径的圆过原点O？若存在，求出直线AB的斜率K的值．若不存在，则说明理由．20．（12分）某工厂修建一个长方体形无盖蓄水池，其容积为4800立方米，深度为3米．池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元．设池底长方形长为x米．（Ⅰ）求底面积并用含x的表达式表示池壁面积；（Ⅱ）怎样设计水池能使总造价最低？最低造价是多少？21．（12分）若{a n}的前n项和为S n，点（n，S n）均在函数y=的图象上．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，T n是数列{b n}的前n项和，求：使得对所有n∈N*都成立的最大正整数m．22．（14分）已知f（x）=，且满足：a1=1，a n+1=f（a n）．（1）求证：{}是等差数列．（2）{b n}的前n项和S n=2n﹣1，若T n=++…+，求T n．2015-2016学年福建省泉州市晋江市季延中学高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一.选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）“x≠0”是“x＞0”是的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：当x=﹣1时，满足x≠0，但x＞0不成立．当x＞0时，一定有x≠0成立，∴“x≠0”是“x＞0”是的必要不充分条件．故选：B．2．（5分）若方程C：x2+=1（a是常数）则下列结论正确的是（）A．∀a∈R+，方程C表示椭圆B．∀a∈R﹣，方程C表示双曲线C．∃a∈R﹣，方程C表示椭圆D．∃a∈R，方程C表示抛物线【解答】解：∵当a=1时，方程C：即x2+y2=1，表示单位圆∴∃a∈R+，使方程C不表示椭圆．故A项不正确；∵当a＜0时，方程C：表示焦点在x轴上的双曲线∴∀a∈R﹣，方程C表示双曲线，得B项正确；∀a∈R﹣，方程C不表示椭圆，得C项不正确∵不论a取何值，方程C：中没有一次项∴∀a∈R，方程C不能表示抛物线，故D项不正确综上所述，可得B为正确答案故选：B．3．（5分）设0＜a＜b且a+b=1，则下列四数中最大的是（）A．a2+b2B．2ab C．a D．【解答】解：∵0＜a＜b且a+b=1∴∴2b＞1∴2ab﹣a=a（2b﹣1）＞0，即2ab＞a又a2+b2﹣2ab=（a﹣b）2＞0∴a2+b2＞2ab∴最大的一个数为a2+b2故选：A．4．（5分）不等式﹣x2﹣2x+3≤0的解集为（）A．{x|x≥3或x≤﹣1}B．{x|﹣1≤x≤3}C．{x|﹣3≤x≤1}D．{x|x≤﹣3或x≥1}【解答】解：不等式﹣x2﹣2x+3≤0，变形为：x2+2x﹣3≥0，因式分解得：（x﹣1）（x+3）≥0，可化为：或，解得：x≤﹣3或x≥1，则原不等式的解集为{x|x≤﹣3或x≥1}．故选：D．5．（5分）双曲线：x2﹣=1的渐近线方程和离心率分别是（）A．B．C．D．【解答】解：双曲线：的a=1，b=2，c==∴双曲线的渐近线方程为y=±x=±2x；离心率e==故选：D ．6．（5分）已知x ＞1，则函数的最小值为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【解答】解：∵x ＞1∴x ﹣1＞0由基本不等式可得，当且仅当即x ﹣1=1时，x=2时取等号“=”故选：B ．7．（5分）在各项都不等于零的等差数列{a n }中，若m ＞1，且a m ﹣1+a m +1﹣a m 2=0，S 2m ﹣1=38，则m 等于（ ） A ．38 B ．20 C ．10 D ．9【解答】解：根据等差数列的性质可得：a m ﹣1+a m +1=2a m ， 则a m ﹣1+a m +1﹣a m 2=a m （2﹣a m ）=0， 解得：a m =0或a m =2，若a m 等于0，显然（2m ﹣1）a m =4m ﹣2=38不成立，故有a m =2 ∴S 2m ﹣1==（2m ﹣1）a m =4m ﹣2=38，解得m=10． 故选：C ．8．（5分）等比数列{a n }中，a 3，a 9是方程3x 2﹣11x +9=0的两个根，则a 6=（ ） A ．3B ．C ．±D ．以上皆非【解答】解：∵a 3，a 9是方程3x 2﹣11x +9=0的两个根， ∴a 3a 9=3，又数列{a n }是等比数列， 则a 62=a 3a 9=3，即a 6=±．故选：C ．9．（5分）有以下四个命题：①若=，则x=y．②若lgx有意义，则x＞0．③若x=y，则=．④若x＞y，则x2＜y2．则是真命题的序号为（）A．①②B．①③C．②③D．③④【解答】解：①若=，则，则x=y，即①对；②若lgx有意义，则x＞0，即②对；③若x=y＞0，则=，若x=y＜0，则不成立，即③错；④若x＞y＞0，则x2＞y2，即④错．故真命题的序号为①②故选：A．10．（5分）双曲线4x2+ty2﹣4t=0的虚轴长等于（）A．B．﹣2t C．D．4【解答】解：双曲线4x2+ty2﹣4t=0可化为：∴∴双曲线4x2+ty2﹣4t=0的虚轴长等于故选：C．11．（5分）若椭圆+=1（a＞b＞0）和圆x2+y2=（+c）2，（c为椭圆的半焦距），有四个不同的交点，则椭圆的离心率e的取值范围是（）A．B． C．D．【解答】解：∵椭圆和圆为椭圆的半焦距）的中心都在原点，且它们有四个交点，∴圆的半径，由，得2c＞b，再平方，4c2＞b2，在椭圆中，a2=b2+c2＜5c2，∴；由，得b+2c＜2a，再平方，b2+4c2+4bc＜4a2，∴3c2+4bc＜3a2，∴4bc＜3b2，∴4c＜3b，∴16c2＜9b2，∴16c2＜9a2﹣9c2，∴9a2＞25c2，∴，∴．综上所述，．故选：A．12．（5分）设x，y满足约束条件，则目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为12，则+的最小值为（）A．B．C．6 D．5【解答】解：不等式组表示的平面区域如图所示阴影部分，当直线ax+by=z（a＞0，b＞0）过直线x﹣y+2=0与直线3x﹣y﹣6=0的交点（4，6）时，目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最大12，即4a+6b=12，即2a+3b=6，而=（）=+（）≥=，当且仅当a=b=，取最小值．故选：B．二.填空题（每小题4分，共16分）13．（4分）已知x是400和1600的等差中项，则x=1000．【解答】解：∵x是400和1600的等差中项，∴x==1000．故答案为：1000．14．（4分）不等式的解集为R，则实数m的范围是．【解答】解：不等式，x2﹣8x+20＞0恒成立可得知：mx2+2（m+1）x+9x+4＜0在x∈R上恒成立．显然m＜0时只需△=4（m+1）2﹣4m（9m+4）＜0，解得：m＜﹣或m＞所以m＜﹣故答案为：15．（4分）已知一个动圆与圆C：（x+4）2+y2=100相内切，且过点A（4，0），则动圆圆心的轨迹方程+=1．【解答】解：设动圆圆心为B，半径为r，圆B与圆C的切点为D，∵圆C：（x+4）2+y2=100的圆心为C（﹣4，0），半径R=10，∴由动圆B与圆C相内切，可得|CB|=R﹣r=10﹣|BD|，∵圆B经过点A（4，0），∴|BD|=|BA|，得|CB|=10﹣|BA|，可得|BA|+|BC|=10，∵|AC|=8＜10，∴点B的轨迹是以A、C为焦点的椭圆，设方程为（a＞b＞0），可得2a=10，c=4，∴a=5，b2=a2﹣c2=9，得该椭圆的方程为+=1．故答案为：+=1．16．（4分）若负数a、b、c满足a+b+c=﹣9，则++的最大值是﹣1．【解答】解：由负数a、b、c，则++=﹣（++）≤﹣3••3=﹣1，当且仅当a=b=c=﹣3，取得最大值﹣1．故答案为：﹣1．三.解答题（17---21题均12分，22题14分共74分）17．（12分）已知椭圆C：=1（a＞2）上一点P到它的两个焦点F1（左），F2（右）的距离的和是6．（1）求椭圆C的离心率的值；（2）若PF2⊥x轴，且p在y轴上的射影为点Q，求点Q的坐标．【解答】解：（1）根据椭圆的定义得2a=6，a=3；∴c=；∴；即椭圆的离心率是；（2）；∴x=带入椭圆方程得，y=；所以Q（0，）．18．（12分）已知命题p：“存在实数a，使直线x+ay﹣2=0与圆x2+y2=1有公共点”，命题q：“存在实数a，使点（a，1）在椭圆内部”，若命题“p且¬q”是真命题，求实数a的取值范围．【解答】解：∵直线x+ay﹣2=0与圆x2+y2=1有公共点∴≤1⇒a2≥1，即a≥1或a≤﹣1，命题p为真命题时，a≥1或a≤﹣1；∵点（a，1）在椭圆内部，∴，命题q为真命题时，﹣2＜a＜2，由复合命题真值表知：若命题“p且¬q”是真命题，则命题p，￢q都是真命题即p真q假，则⇒a≥2或a≤﹣2．故所求a的取值范围为（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．19．（12分）双曲线C：x2﹣y2=2右支上的弦AB过右焦点F．（1）求弦AB的中点M的轨迹方程（2）是否存在以AB为直径的圆过原点O？若存在，求出直线AB的斜率K的值．若不存在，则说明理由．【解答】解：（1）设M（x，y），A（x1，y1）、B（x2，y2），则x12﹣y12=2，x22﹣y22=2，两式相减可得（x1+x2）（x1﹣x2）﹣（y1+y2）（y1﹣y2）=0，∴2x（x1﹣x2）﹣2y（y1﹣y2）=0，∴=，∵双曲线C：x2﹣y2=2右支上的弦AB过右焦点F（2，0），∴，化简可得x2﹣2x﹣y2=0，（x≥2）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）假设存在，设A（x1，y1），B（x2，y2），l AB：y=k（x﹣2）由已知OA⊥OB得：x1x2+y1y2=0，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣①，所以（k2≠1）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②联立①②得：k2+1=0无解所以这样的圆不存在．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）20．（12分）某工厂修建一个长方体形无盖蓄水池，其容积为4800立方米，深度为3米．池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元．设池底长方形长为x米．（Ⅰ）求底面积并用含x的表达式表示池壁面积；（Ⅱ）怎样设计水池能使总造价最低？最低造价是多少？【解答】解：（Ⅰ）设水池的底面积为S1，池壁面积为S2，则有（平方米），可知，池底长方形宽为米，则（5分）（Ⅱ）设总造价为y，则当且仅当，即x=40时取等号，所以x=40时，总造价最低为297600元．答：x=40时，总造价最低为297600元．（12分）21．（12分）若{a n}的前n项和为S n，点（n，S n）均在函数y=的图象上．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，T n是数列{b n}的前n项和，求：使得对所有n∈N*都成立的最大正整数m．【解答】解：（1）由题意知：S n=n2﹣n，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=3n﹣2，当n=1时，a1=1，适合上式，则a n=3n﹣2；（2）根据题意得：b n===﹣，T n=b1+b2+…+b n=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣，∴{T n}在n∈N*上是增函数，∴（T n）min=T1=，要使T n＞对所有n∈N*都成立，只需＜，即m＜15，则最大的正整数m为14．22．（14分）已知f（x）=，且满足：a1=1，a n+1=f（a n）．（1）求证：{}是等差数列．（2）{b n}的前n项和S n=2n﹣1，若T n=++…+，求T n．【解答】解：（1）∵，∴a n=f（a n）=，+1则，∴{}是首项为1，公差为3的等差数列；（2）由（1）得，=3n﹣2，∵{b n}的前n项和为，∴当n≥2时，b n=S n﹣S n﹣1=2n﹣2n﹣1=2n﹣1，而b1=S1=1，也满足上式，则b n=2n﹣1，∴==（3n﹣2）2n﹣1，∴=20+4•21+7•22+…+（3n﹣2）2n﹣1，①则2T n=21+4•22+7•23+…+（3n﹣2）2n，②①﹣②得：﹣T n=1+3•21+3•22+3•23+…+3•2n﹣1﹣（3n﹣2）2n，∴T n=（3n﹣5）2n+5．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】几何最值模型：图形特征：l运用举例：1. △ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为AP的中点，则MF的最小值为EM FB2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。

文科数学试卷(必修3，选修1-2，集合与简易逻辑)试卷满分150分，考试时间120分钟一、选择题（共12小题，每小题5分，共计60分）1．若集合{}8,7,6,5,4,3,2,1=U ，{}8,5,2=A ，{}7,5,3,1=B ，那么(A U )B 等于( ) A ．{}5 B ．{}8,2 C ．{}7,3,1 D ． {}1,3,4,5,6,7,8 2．534+i的共轭复数是( )． A ．34-i B ．3545+i C ．34+i D ．3545-i3．某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生300人，学校学生会用分层抽样的方法从这三个年级的学生中抽取n 个学生进行问卷调查，如果已知从高一学生中抽取的人数为7人，那么从高三学生中抽取的人数应为( )． A ．10 B ．9 C ．8 D ．74．命题“存在x Z ∈，使220x x m ++≤”的否定是（ ） A ．存在x Z ∈，使220x x m ++> B ．不存在x Z ∈，使220x x m ++> C ．任意x Z ∈，使220x x m ++≤D ．任意x Z ∈，使220x x m ++>5．如果一组数中每个数减去同一个非零常数，则这一组数的( )． A ．平均数不变，方差不变 B ．平均数改变，方差改变 C ．平均数不变，方差改变 D ．平均数改变，方差不变 6．已知p ：|2x －3|＞1 ， q ：612-+x x ＞0，则p ⌝是q ⌝的( )． A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件7．按流程图的程序计算，若开始输入的值为3x =，则输出的x 的值是( )A ．6B ．21C ．156D ．231 8．在一次实验中，测得(),x y 的四组值分别是()1,2A ，()2,3B ，()3,4C ，()4,5D ， 则y 与x 之间的回归直线方程为( )．A ．1y x =+B ．2y x =+C ．21y x =+D ．1y x =- 9．在线性回归模型y bx a e =++中，下列说法正确的是( )．A ．y bx a e =++是一次函数；B ．因变量y 是由自变量x 唯一确定的；C ．因变量y 除了受自变量x 的影响外，可能还受到其它因素的影响； 这些因素会导致随机误差e 的产生；D ．随机误差e 是由于计算不准确造成的，可通过精确计算避免随机误差e 的产生。

2015—2016学年福建省泉州市晋江市季延中学高二(下）期中数学试卷（理科）一、选择题(每小题5分，共60分）1．若C n2A22=42，则的值为（）A．6 B．7 C．35 D．202．两个变量y与x的回归模型中,分别选择了4个不同模型,它们的相关指数R2如下，其中拟合效果最好的模型是(）A．模型1的相关指数R2为0。

98 B．模型2的相关指数R2为0。

80C．模型3的相关指数R2为0。

50 D．模型4的相关指数R2为0。

253．设两个正态分布和的密度曲线如图所示，则有（）A．μ1＜μ2,σ1＜σ2B．μ1＜μ2，σ1＞σ2C．μ1＞μ2,σ1＜σ2D．μ1＞μ2，σ1＞σ2 4．“有些指数函数是减函数,y=2x是指数函数，所以y=2x是减函数”上述推理（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．以上都不是5．已知随机变量η=8﹣ξ，若ξ~B（10，0.6）,则Eη,Dη分别是(）A．6和2。

4 B．2和5。

6 C．6和5.6 D．2和2.46．设a∈Z，且0≤a＜13，若1220+a能被13整除，则a=（)A．0 B．1 C．11 D．127．如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC内,曲y=x2和曲线y=围成一个叶形图（阴影部分），向正方形AOBC内随机投一点(该点落在正方形AOBC内任何一点是等可能的)，则所投的点落在叶形图内部的概率是（)A．B．C．D．8．设随机变量ξ~N（μ，σ2），且P（ξ＜﹣1）=P（ξ＞2)=0。

3，则P（ξ＜2μ+1）=()A．0。

4 B．0。

5 C．0.6 D．0。

79．将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接等工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为(）A．240 B．300 C．150 D．18010．若X是离散型随机变量，,且x1＜x2，又已知，DX=2,则x1+x2=(）A．或1 B．C．D．11．甲、乙两位同学玩游戏，对于给定的实数a1,按下列方法操作一次产生一个新的实数：由甲、乙同时各掷一枚均匀的硬币，如果出现两个正面朝上或两个反面朝上，则把a1乘以2后再减去12；如果出现一个正面朝上，一个反面朝上，则把a1除以2后再加上12，这样就可以得到一个新的实数a2,对实数a2仍按上述方法进行一次操作，又得到一个新的实数a3,当a3＞a1,甲获胜，否则乙获胜,若甲获胜的概率为，则a1的取值范围是（）A．（﹣∞，12]B．[24，+∞) C．(12，24）D．（﹣∞,12］∪［24,+∞）12．（5分）（2015春晋江市校级期末）（1+x)n的展开式中，x k的系数可以表示从n个不同物体中选出k个的方法总数．下列各式的展开式中x8的系数恰能表示从重量分别为1,2,3，4，…,10克的砝码（每种砝码各一个)中选出若干个，使其总重量恰为8克的方法总数的选项是（）A．（1+x）（1+x2)（1+x3）…(1+x10）B．（1+x）（1+2x）（1+3x)…（1+10x）C．(1+x）（1+2x2）（1+3x3)…（1+10x10）D．（1+x）（1+x+x2）（1+x+x2+x3）...(1+x+x2+ (x10)二、填空题（每小题5分，共20分）13．气象台统计，5月1日晋江市下雨的概率为，刮风的概率为，既刮风又下雨的概率为，设A为下雨，B为刮风,则P(B｜A）=．14．在未来3天中,某气象台预报天气的准确率为0。

高二下学期期中文科数学复习卷一选择题(60分)1. 复数i(2i)z =+在复平面内的对应点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2. 点P的直角坐标为(1,，则点P 的极坐标为（ ）A ．(2,)3π B ．4(2,)3π C ．(2,)3π- D ．4(2,)3π-- 3. 关于x 的不等式R x ax ax ∈>+-对,012恒成立的充要条件是（ ） A ．40<<a B ．04a ≤≤ C ．40≤<a D ．04a ≤<4. 在2010年3月15日那天，某市物价部门对该市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x 元和销售量y 件之间的一组数据如下表所示：由散点图可知，销售量y 与价格x 之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是；a x y+-=2.3ˆ，则a = （ ） A ．-24 B ．35．6 C ．40．5 D ．405. 已知03131log 4, (),log 105a b c ===，则下列关系中正确的是（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．a c b >>D ．c a b >>6.已知相关指数R2＝0.83，则随机误差对总效应贡献了（ ）A ．27%B ．83%C ．17%D ．38%7. 在下图的算法中，如果输入A=138,B=22,则输出的结果是（ ）A ．2B ．4C ．128D ．08. 设等比数列{an}的前n 项和为Sn.若S2＝3，S4＝15，则S6＝（ ）A ．31B ．32C ．63D ．649. 已知圆x2＋y2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈R)对称，则ab 的取值范围是（ ）10.在同一坐标系中，将曲线y=2sin3x 变成y=sinx 的伸缩变换是（ ）A ．⎪⎩⎪⎨⎧'='=y y x x 213 B ．⎪⎩⎪⎨⎧='='y y x x 213 C ．⎩⎨⎧'='=y y x x 23 D ．⎪⎩⎪⎨⎧='='y y x x 21311. 已知函数)(x f 是R 上的增函数，)2,0(-A ，)2,3(B 是其图象上的两点，记不等式)2(+x f ＜2的解集M ，则M C R =（ ）A ． ()1,2-B ．()2,1-C ．(][)+∞⋃-∞-,12,D ．(][)+∞⋃-∞-,21,12. 在平面直角坐标系中，定义两点11(,)P x y 与22(,)Q x y 之间的“直角距离”为1212(,)d P Q x x y y =-+-．给出下列命题：（1）若(1,2)P ，(sin ,cos )Q αα()R α∈，则(,)d P Q的最大值为3（2）若,P Q 是圆221x y +=上的任意两点，则(,)d P Q的最大值为 （3）若(1,3)P ，点Q 为直线2y x =上的动点，则(,)d P Q 的最小值为12．其中为真命题的是（ ）A.（1）（2）（3）B.（2）C.（3）D.（2）（3）填空题（20分）13. 用反证法证明命题：若整系数一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 有有理根，则c b a ,,中至少有一个是偶数时，结论的否定是 .14. 设0)1)((:;1|34:|≤---≤-a x a x q x p ，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是_______________.15.若直线的极坐标方程为22)4sin(=+πθρ，则极点到该直线的距离是 .16. 观察下列式子：32),(1+=y x y x f ，543),(22+=y x y x f ，785),(33+=y x y x f ，9167),(44+=y xy x f ，…，根据以上事实，由归纳推理可得：当*N n ∈时，=),(y x f n .解答题（70分）法给100个患者服用此药，跟踪调查后得如下表的数据：请问：（1）请分别估计服用该药品男患者和女患者中有效者所占的百分比？（2）是否有99%的把握认为服用此药的效果与患者的性别有关？（写出必要过程）（3）根据(2)的结论，能否提出更好的调查方法来更准确估计服用该药的患者中有效者所占的比例？说明理由．18. （本题满分12分）已知复数z满足:13,z i z=+-求22(1)(34)2i iz++的值.19. （本题满分12分）已知a，b，c是全不相等的正实数，求证3>-++-++-+ccbabbcaaacb.20. （本题满分12分）已知等差数列{}na的前n项和nS满足3S=,55S=-.(1)求{}na的通项公式; (2)求数列21211{}n na a-+的前n项和.21. （本题满分12分）通过计算可得下列等式：1121222+⨯=- 1222322+⨯=- 1323422+⨯=-┅┅12)1(22+⨯=-+n n n 将以上各式分别相加得：n n n +++++⨯=-+)...321(21)1(22 即：2)1(...321+=++++n n n ,类比上述求法：请你求出2222...321n ++++的值.22. （本题满分10分）在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线21C C 、的极坐标方程分别为,1)3cos(=-πθρ 1=ρ.（1）写出曲线21C C 、的直角坐标方程.（2）判断曲线21C C 、的位置关系.。

2015级高一下期中复习卷3（第三章）班级 姓名 座号一、选择题1、sin14cos16sin 76cos74+的值是 （ ）A 、2B 、12C 、2-、12- 2、已知4sin cos 3θθ+=，(0,)4πθ∈，则sin cos θθ-等于 （ ）A 、3、3- C 、13 D 、13- 3、已知tan(x )24π+=，则sin 2x 等于 （ ）A 、110B 、15C 、35D 、9104、已知a (1,sin )α=，b (cos 2,2sin 1)αα=-，(,)2παπ∈，若1a b 5=，则 tan()4πα+等于 （ ）A 、23B 、13- C 、27 D 、17- 5、已知一元二次方程20ax bx c ++=（0,0a c ≠≠）的两根为tan ,tan αβ，则tan()αβ+的值为 （ ）A 、b c a -B 、b a c -C 、b c a -D 、c b a- 6、点P(cos ,sin )αα在直线y 2x =-上，则cos(2)2πα+等于 （ ）A 、45-B 、45C 、35- D 、35 7、22cos sin 2sin cos y x x x x =-+的最小值是 （ ）A 、、2、2-8、在北京召开的国际数学大会的会标如图所示。

它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一大正方形，记直角三角形中较小的锐角为θ，大正方形的面积是1，小正方形的面积是125，则22sin cos θθ-等于 （ ）A 、1B 、725-C 、725D 、2425- 二、填空题9、22sin 15cos 15-=10、y cos 2x 2sin x =+的最大值为11、1cos cos 2αβ-=，1sin sin 3αβ-=-，则cos()αβ-= 12、tan20tan403tan20tan40++=三、解答题13、已知f (x )x ),x R 12π=-∈（1）求f ()3π （2）若3cos 5θ=，3(,2)2πθπ∈，求f ()6πθ-14、已知4cos()5αβ-=-，4cos()5αβ+=，且(,)2παβπ-∈，3(,2)2παβπ+∈，求cos2,cosαβ。

2016-2017学年福建省泉州市晋江市季延中学高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题（本题共12题，每题5分，共60分）1．在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．用三段论推理：“任何实数的平方大于0，因为a是实数，所以a2＞0”，你认为这个推理（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．是正确的3．设有一个回归方程为=2+3x，变量x增加一个单位时，则（）A．y平均增加2个单位 B．y平均增加3个单位C．y平均减少2个单位 D．y平均减少3个单位4．点M的直角坐标是，则点M的极坐标为（）A．B．C．D．5．已知集合M={y|y=x2﹣1，x∈R}，N={x|y=}，则M∩N=（）A．[﹣1，2]B．[﹣1，+∞）C．[2，+∞）D．∅6．命题“三角形是最多只有一个角为钝角”的否定是（）A．有两个角为钝角 B．有三个有为钝角C．至少有两个角为钝角D．没有一个角为钝角7．将参数方程化为普通方程为（）A．y=x﹣2 B．y=x+2 C．y=x﹣2（2≤x≤3）D．y=x+2（0≤y≤1）8．极坐标方程ρcosθ=2sin2θ表示的曲线为（）A．一条射线和一个圆B．两条直线C．一条直线和一个圆D．一个圆9．已知命题p：x＜1；命题q：不等式x2+x﹣2＜0成立，则命题p的（）是命题q．A．充分而不必要条件B．充要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件10．若P=+，Q=+（a≥0），则P，Q的大小关系是（）A．P＞Q B．P=QC．P＜Q D．由a的取值确定11．下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件C．命题“∃x∈R使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R均有x2+x+1＜0”D．已知命题p：∀x∈[0，1]，a≥e x，命题q：∃x∈R，使得x2+4x+a≤0．若命题“p∧q”是假命题，则实数a的取值范围是（﹣∞，e）∪（4，+∞）12．设函数f（x）=ln（x+），则对任意实数a，b，a+b≥0是f（a）+f（b）≥0的（）A．充分必要条件B．充分而非必要条件C．必要而非充分条件D．既非充分也非必要条件二．填空题（本题共4题，每题5分，共20分）13．若复数（1+ai）2（i为虚数单位，a∈R）是纯虚数，则复数1+ai的模是．14．在同一平面直角坐标系中，由曲线y=tanx变成曲线y′=3tan2x′的伸缩变换．15．[选修4﹣4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为（t为参数），若以直角坐标系xoy的O点为极点，Ox为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程为ρ=2cos（θ﹣）．直线l与曲线C交于A，B两点，求|AB|．16．已知=2，=3，=4，…若=6，（a，t 均为正实数），则类比以上等式，可推测a，t的值，a+t=．三、解答题（本大题共6个小题，共70分）17．（10分）在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知在极坐标系中，A（3，），B（3，），圆C的方程为ρ=2cosθ．（1）求在平面直角坐标系xOy中圆C的标准方程；（2）已知P为圆C上的任意一点，求△ABP面积的最大值．18．（12分）已知集合A={x|3＜x＜10}，B={x|x2﹣9x+14＜0}，C={x|5﹣m＜x ＜2m}．（Ⅰ）求A∩B，（∁R A）∪B；（Ⅱ）若x∈C是x∈（A∩B）的充分不必要条件，求实数的取值范围．19．（12分）某地区在对人们休闲方式的一次调查中，共调查了120人，其中女性70人，男性50人．女性中有40人主要的休闲方式是看电视，另外30人主要的休闲方式是运动；男性中有20人主要的休闲方式是看电视，另外30人主要的休闲方式是运动．（1）根据以上数据建立一个2×2列联表；（2）能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“性别与休闲方式有关系”？20．（12分）过点P（）作倾斜角为α的直线与曲线x2+2y2=1交于M，N两点，求|PM|•|PN|的最小值及相应的α值．21．（12分）已知a，b，c是全不相等的正实数，求证：＞3．22．（12分）某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数．（1）sin213°+cos217°﹣sin13°cos17°（2）sin215°+cos215°﹣sin15°cos15°（3）sin218°+cos212°﹣sin18°cos12°（4）sin2（﹣18°）+cos248°﹣sin（﹣18°）cos48°（5）sin2（﹣25°）+cos255°﹣sin（﹣25°）cos55°（Ⅰ）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．2016-2017学年福建省泉州市晋江市季延中学高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12题，每题5分，共60分）1．在复平面内，复数对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：复数==﹣i ﹣1对应的点（﹣1，﹣1）位于第三象限，故选：C ．【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．用三段论推理：“任何实数的平方大于0，因为a 是实数，所以a 2＞0”，你认为这个推理（ ）A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．是正确的【考点】F6：演绎推理的基本方法．【分析】要分析一个演绎推理是否正确，主要观察所给的大前提，小前提和结论是否都正确，根据三个方面都正确，得到结论．【解答】解：∵任何实数的平方大于0，因为a 是实数，所以a 2＞0，大前提：任何实数的平方大于0是不正确的，0的平方就不大于0．故选A ．【点评】本题是一个简单的演绎推理，这种问题不用进行运算，只要根据所学的知识点，判断这种说法是否正确，是一个基础题．3．设有一个回归方程为=2+3x ，变量x 增加一个单位时，则（ ）A．y平均增加2个单位 B．y平均增加3个单位C．y平均减少2个单位 D．y平均减少3个单位【考点】BP：回归分析．【分析】根据所给的线性回归方程，看出当自变量增加一个单位时，函数值增加3个单位，得到结果【解答】解：∵回归方程为=2+3x，变量x增加一个单位时变换为x+1，y1=2+3（x+1）∴y1﹣y=3，即平均增加3个单位，故选B．【点评】本题考查回归分析，本题是一个基础题，解题的关键是要说清楚y的值是平均增长3个单位．4．点M的直角坐标是，则点M的极坐标为（）A．B．C．D．【考点】Q6：极坐标刻画点的位置．【分析】利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，先将点M的直角坐标是后化成极坐标即可．【解答】解：由于ρ2=x2+y2，得：ρ2=4，ρ=2，由ρcosθ=x得：cosθ=，结合点在第二象限得：θ=，则点M的极坐标为．故选C．【点评】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得．5．已知集合M={y|y=x2﹣1，x∈R}，N={x|y=}，则M∩N=（）A．[﹣1，2]B．[﹣1，+∞）C．[2，+∞）D．∅【考点】1E：交集及其运算．【分析】求出M中y的范围确定出M，求出N中x的范围确定出N，找出两集合的交集即可．【解答】解：由M中y=x2﹣1≥﹣1，得到M=[﹣1，+∞），由N中y=，得到4﹣x2≥0，解得：﹣2≤x≤2，即N=[﹣2，2]，则M∩N=[﹣1，2]，故选：A．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．6．命题“三角形是最多只有一个角为钝角”的否定是（）A．有两个角为钝角 B．有三个有为钝角C．至少有两个角为钝角D．没有一个角为钝角【考点】2J：命题的否定．【分析】根据命题否定即可得到结论．【解答】解：最多只有一个角为钝角的否定是：至少有两个角为钝角，故选：C【点评】本题主要考查命题的否定，注意量词之间的关系．7．将参数方程化为普通方程为（）A．y=x﹣2 B．y=x+2 C．y=x﹣2（2≤x≤3）D．y=x+2（0≤y≤1）【考点】QH：参数方程化成普通方程．【分析】消去参数化普通方程为y=x﹣2，再由0≤sin2θ≤1，可得2≤x≤3，由此得到结论．【解答】解：将参数方程消去参数化普通方程为y=x﹣2，由0≤sin2θ≤1，可得2≤x≤3．故选C．【点评】本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法，注意变量的取值范围，属于基础题．8．极坐标方程ρcosθ=2sin2θ表示的曲线为（）A．一条射线和一个圆B．两条直线C．一条直线和一个圆D．一个圆【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】将极坐标方程化为直角坐标方程，就可以得出结论【解答】解：极坐标方程ρcosθ=2sin2θ可化为：ρcosθ=4sinθcosθ∴cosθ=0或ρ=4sinθ∴或x2+y2﹣4y=0∴极坐标方程ρcosθ=2sin2θ表示的曲线为一条直线和一个圆故选C．【点评】研究极坐标问题，我们的解法是将极坐标方程化为直角坐标方程，再进行研究．9．已知命题p：x＜1；命题q：不等式x2+x﹣2＜0成立，则命题p的（）是命题q．A．充分而不必要条件B．充要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】对于命题q：解出不等式，即可判断出关系．【解答】解：命题p：x＜1；命题q：不等式x2+x﹣2＜0成立，解得：﹣2＜x＜1．则命题p的充分不必要条件是命题q．故选：A．【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10．若P=+，Q=+（a≥0），则P，Q的大小关系是（）A．P＞Q B．P=QC．P＜Q D．由a的取值确定【考点】F9：分析法和综合法．【分析】本题考查的知识点是证明的方法，观察待证明的两个式子P=+，Q=+，很难找到由已知到未知的切入点，故我们可以用分析法来证明．【解答】解：∵要证P＜Q，只要证P2＜Q2，只要证：2a+7+2＜2a+7+2，只要证：a2+7a＜a2+7a+12，只要证：0＜12，∵0＜12成立，∴P＜Q成立．故选C【点评】分析法──通过对事物原因或结果的周密分析，从而证明论点的正确性、合理性的论证方法，也称为因果分析，从求证的不等式出发，“由果索因”，逆向逐步找这个不等式成立需要具备的充分条件；综合法是指从已知条件出发，借助其性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题，其特点和思路是“由因导果”，即从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．11．下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件C．命题“∃x∈R使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R均有x2+x+1＜0”D．已知命题p：∀x∈[0，1]，a≥e x，命题q：∃x∈R，使得x2+4x+a≤0．若命题“p∧q”是假命题，则实数a的取值范围是（﹣∞，e）∪（4，+∞）【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】直接写出原命题的否定判断A；求出方程x2﹣5x﹣6=0的解结合充分必要条件的判断方法判断B；写出特称命题的否定判断C；求出p，q为真命题的a 的范围，由补集思想求得命题“p∧q”是假命题的实数a的取值范围．【解答】解：命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2≠1，则x≠1”，故A错误；由x2﹣5x﹣6=0，解得x=﹣1或x=6，∴“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的充分不必要条件，故B错误；命题“∃x∈R使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R均有x2+x+1≥0”，故C错误；由命题p：∀x∈[0，1]，a≥e x为真命题，得a≥e，由命题q：∃x∈R，使得x2+4x+a≤0，得△=42﹣4a≥0，即a≤4．若命题“p∧q”是假命题，则p，q中至少一个为假命题，而满足p，q均为真命题的a的范围是[e，4]，则满足“p∧q”是假命题的实数a 的取值范围是（﹣∞，e）∪（4，+∞）．故D正确．故选：D．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查了充分必要条件的判断方法，考查了原命题、否命题及复合命题的真假判断，是中档题．12．设函数f（x）=ln（x+），则对任意实数a，b，a+b≥0是f（a）+f（b）≥0的（）A．充分必要条件B．充分而非必要条件C．必要而非充分条件D．既非充分也非必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由题设条件知对于任意的实数a和b，a+b≥0⇒f（a）+f（b）≥0；f（a）+f（b）≥0⇒a+b≥0，从而判断出结论即可．【解答】解：显然，函数f（x）在R上是递增函数，而且是奇函数，于是，由a+b≥0，得a≥﹣b，有f（a）≥f（﹣b）=﹣f（b），即f（a）+f（b）≥0．反过来，也成立．故选：A．【点评】本题考查充分条件、必要条件、充要条件的判断，解题时要注意函数单调性的合理运用．二．填空题（本题共4题，每题5分，共20分）13．若复数（1+ai）2（i为虚数单位，a∈R）是纯虚数，则复数1+ai的模是．【考点】A8：复数求模．【分析】纯虚数是实部为0，虚部不为0，先求出代入模长计算公式即可．【解答】解：∵（1+ai）2=1﹣a2+2ai是纯虚数，∴1﹣a2=0且2a≠0，∴a=±1，∴1+ai=1±i，∴1+ai的模=故答案为．【点评】本题考查纯虚数的定义及模长计算公式，是一道基础题14．在同一平面直角坐标系中，由曲线y=tanx变成曲线y′=3tan2x′的伸缩变换．【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】把函数y′=3tan2x′化为=3tan2x′，由函数y=tanx变成函数=tan2x′，应满足，即得变换公式x′与y′的表达式．【解答】解：函数y′=3tan2x′即=tan2x′，将函数y=tanx变成函数y′=3tan2x′，即=tan2x′，故有，即伸缩变换是．故答案为：．【点评】本题考查了函数的图象变换问题，解题时应熟知坐标变换公式，是基础题目．15．[选修4﹣4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为（t为参数），若以直角坐标系xoy的O点为极点，Ox为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程为ρ=2cos（θ﹣）．直线l与曲线C交于A，B两点，求|AB|．【考点】QJ：直线的参数方程；Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】利用直角坐标与极坐标间的关系：ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得曲线C的极坐标方程为ρ=2cos（θ﹣）的直角坐标方程，曲线C表示以（，）为圆心，以R=1为半径的圆，最后利用直线和圆的相交关系中弦长公式求解即可．【解答】解：l的直角坐标方程为y=+，ρ=2cos（θ﹣）的直角坐标方程为（x﹣）2+（y﹣）2=1，所以圆心（，）到直线l的距离d==，∴|AB|=2=2 =．…（10分）【点评】本题考查了极坐标、直角坐标方程及参数方程的互化，圆中弦长计算方法等．属于基础题．16．已知=2，=3，=4，…若=6，（a，t 均为正实数），则类比以上等式，可推测a，t的值，a+t=41．【考点】F3：类比推理．【分析】观察所给的等式，等号右边是，，…第n个应该是，左边的式子，写出结果．【解答】解：观察下列等式=2，=3，=4，…照此规律，第5个等式中：a=6，t=a2﹣1=35a+t=41．故答案为：41．【点评】本题考查归纳推理，考查对于所给的式子的理解，主要看清楚式子中的项与项的数目与式子的个数之间的关系，本题是一个易错题．三、解答题（本大题共6个小题，共70分）17．（10分）（2016•衡阳三模）在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知在极坐标系中，A（3，），B（3，），圆C的方程为ρ=2cosθ．（1）求在平面直角坐标系xOy中圆C的标准方程；（2）已知P为圆C上的任意一点，求△ABP面积的最大值．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x2+y2=ρ2，可得圆的直角坐标方程；（2）求得A，B的直角坐标，即可得到直线AB的方程；求得AB的距离和圆C 和半径，求得圆C到直线AB的距离，由圆C上的点到直线AB的最大距离为d+r，运用三角形的面积公式，即可得到所求最大值．【解答】解：（1）由ρ=2cosθ，可得：ρ2=2ρcosθ，所以x2+y2=2x故在平面直角坐标系中圆的标准方程为：（x﹣1）2+y2=1 …（2）在直角坐标系中A（0，3），B（，）所以|AB|==3，直线AB的方程为：x+y=3所以圆心到直线AB的距离d==，又圆C的半径为1，所以圆C上的点到直线AB的最大距离为+1故△ABP面积的最大值为S==…（10分）【点评】本题考查极坐标方程和直角坐标方程的互化，直线和圆方程的运用，注意运用圆上的点到直线的距离的最值，考查运算求解能力，考查化归与转化思想等．18．（12分）（2016春•福州期中）已知集合A={x|3＜x＜10}，B={x|x2﹣9x+14＜0}，C={x|5﹣m＜x＜2m}．（Ⅰ）求A∩B，（∁R A）∪B；（Ⅱ）若x∈C是x∈（A∩B）的充分不必要条件，求实数的取值范围．【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断；1H：交、并、补集的混合运算．【分析】（I）由x2﹣9x+14＜0，解得2＜x＜7，可得B，A∩B，由集合A={x|3＜x＜10}，可得∁R A={x|x≤3，或x≥10}，利用并集的运算性质可得：（∁R A）∪B．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，A∩B={x|3＜x＜7}，由x∈C是x∈（A∩B）的充分不必要条件，可得：C⊊（A∩B）．对C与∅的关系、对m分类讨论即可得出．【解答】解：（I）由x2﹣9x+14＜0，解得2＜x＜7，∴B={x|2＜x＜7}．∴A∩B={x|3＜x＜7}，∵集合A={x|3＜x＜10}，∴∁R A={x|x≤3，或x≥10}，∴（∁R A）∪B={x|x＜7，或x≥10}．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，A∩B={x|3＜x＜7}，∵x∈C是x∈（A∩B）的充分不必要条件，∴C⊊（A∩B）．①当C=∅时，满足C⊊（A∩B），此时5﹣m≥2m，解得；②当C≠∅时，要使C⊊（A∩B），当且仅当，解得．综上所述，实数m的取值范围为（﹣∞，2]．【点评】本题考查了集合的运算性质、分类讨论方法、不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（12分）（2016春•湖北期中）某地区在对人们休闲方式的一次调查中，共调查了120人，其中女性70人，男性50人．女性中有40人主要的休闲方式是看电视，另外30人主要的休闲方式是运动；男性中有20人主要的休闲方式是看电视，另外30人主要的休闲方式是运动． （1）根据以上数据建立一个2×2列联表；（2）能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“性别与休闲方式有关系”？【考点】BO ：独立性检验的应用．【分析】（1）根据题意，建立2×2列联表即可； （2）计算观测值K 2，对照数表即可得出概率结论． 【解答】解：（1）根据题意，建立2×2列联表，如下；（2）计算观测值；所以在犯错误的概率不超过0.025的前提下， 没有找到充足证据证明“性别与休闲方式有关系”．【点评】本题考查了独立性检验的应用问题，解题的关键是正确计算出数据的观测值，理解临界值对应的概率的意义．20．（12分）（2017春•晋江市校级期中）过点P （）作倾斜角为α的直线与曲线x 2+2y 2=1交于M ，N 两点，求|PM |•|PN |的最小值及相应的α值． 【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】利用已知可得：直线的参数方程为（t为参数），0≤α＜π，把直线的参数方程代入椭圆方程x2+2y2=1，整理得t的二次方程，由于直线与椭圆相交两点，可得△≥0，得出sinα的取值范围，再利用参数的几何意义可得|PM|•|PN|=|t1t2|=即可．【解答】解：设直线MN的方程为（t为参数），0≤α＜π，代入椭圆的方程可得，t2（1+sin2α）+tcosα+=0，判别式△=10cos2α﹣6（1+sin2α）=4﹣16sin2α≥0，解得0≤sinα≤，即有|PM|•|PN|=|=|t1t2|=≥=，当且仅当sinα=，即α=或时取等号．∴当α=或时，|PM|•|PN|的最小值为．【点评】本题考查了直线的参数方程及其几何意义、三角函数的单调性等基础知识与基本技能方法，属于中档题．21．（12分）（2017•泉州模拟）已知a，b，c是全不相等的正实数，求证：＞3．【考点】7F：基本不等式．【分析】根据a，b，c全不相等，推断出全不相等，然后利用基本不等式求得＞2，＞2，＞2，三式相加整理求得＞3，原式得证．【解答】解：∵a，b，c全不相等，∴全不相等∴＞2，＞2，＞2三式相加得，＞6∴＞3即＞3【点评】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．使用基本不等式时一定要把握好“一定，二正，三相等”的原则．22．（12分）（2012•福建）某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数．（1）sin213°+cos217°﹣sin13°cos17°（2）sin215°+cos215°﹣sin15°cos15°（3）sin218°+cos212°﹣sin18°cos12°（4）sin2（﹣18°）+cos248°﹣sin（﹣18°）cos48°（5）sin2（﹣25°）+cos255°﹣sin（﹣25°）cos55°（Ⅰ）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．【考点】F9：分析法和综合法；F1：归纳推理．【分析】（Ⅰ）选择（2），由sin215°+cos215°﹣sin15°cos15°=1﹣sin30°=，可得这个常数的值．（Ⅱ）推广，得到三角恒等式sin2α+cos2（30°﹣α）﹣sinαcos（30°﹣α）=．证明方法一：直接利用两角差的余弦公式代入等式的左边，化简可得结果．证明方法二：利用半角公式及两角差的余弦公式把要求的式子化为+﹣sinα（cos30°cosα+sin30°sinα），即1﹣+cos2α+ sin2α﹣sin2α﹣，化简可得结果．【解答】解：选择（2），计算如下：sin 215°+cos 215°﹣sin15°cos15°=1﹣sin30°=，故 这个常数为．（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广，得到三角恒等式sin 2α+cos 2（30°﹣α）﹣sinαcos （30°﹣α）=．证明：（方法一）sin 2α+cos 2（30°﹣α）﹣sinαcos （30°﹣α）=sin 2α+﹣sinα（cos30°cosα+sin30°si nα）=sin 2α+cos 2α+sin 2α+sinαcosα﹣sinαcosα﹣sin 2α=sin 2α+cos 2α=．（方法二）sin 2α+cos 2（30°﹣α）﹣sinαcos （30°﹣α）=+﹣sinα（cos30°cosα+sin30°sinα）=1﹣+（cos60°cos2α+sin60°sin2α）﹣sin2α﹣sin 2α=1﹣+cos2α+sin2α﹣sin2α﹣=1﹣﹣+=．【点评】本题主要考查两角差的余弦公式，二倍角公式及半角公式的应用，考查归纳推理以及计算能力，属于中档题．。

季延中学2016年春高二期末考试数学（文）试卷考试时间：120分钟 满分：150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．） 1．如果A =}1|{->x x ，那么( )A ．A ⊆0B ．{0}A ∈C ．A φ∈D ．{0}A ⊆2．已知直线l 的参数方程为132x y t⎧=+⎪⎨=-⎪⎩（t 为参数 ），则直线l 的倾斜角为( )A ．6π B ．6π- C ．56πD ．π323．设x R ∈ ，则“21x -< ”是“220x x +-> ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．函数xx x f 2ln )(-=零点所在的大致区间为( ) A ．)2,1( B ．)3,2( C ．)1,1(e和)4,3( D ．),(∞+e5．下列函数中，既是奇函数又在区间),0(+∞上单调递增的函数为( )A .1y x -=B .ln y x =C . 3y x =D . ||y x =6．点M 的直角坐标是(1-，则点M 的极坐标为( )A ．(2,)3πB ．2(2,)3π C ．(2,)3π- D ．(2,2),()3k k Z ππ+∈ 7．直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点A (1,3)，则2a ＋b 的值为( )A ．2B ．－1C ．1D ．－28．函数()2ag x x =+在[1,2]上为减函数，则a 的取值范围为( ) A ．(,0)-∞ B ．[0,)+∞ C ．(,0]-∞ D ．(0,)+∞9．函数x ax f a x log )(1+=-在区间[1,2]上的最大值和最小值之和为a ，则实数a 为( )A ．21B ．2C ．2D ．410．已知函数()f x 满足()()f x f x π=-，且当(,)22x ππ∈-时，()sin x f x e x =+，则( ) A ．5()()()346f f f πππ<< B ．5()()()436f f f πππ<<C ．5()()()463f f f πππ<<D ．5()()()643f f f πππ<<11．定义运算a b ad bc cd=-,若函数()123x f x xx -=-+在(,)m -∞上单调递减，则实数m 的取值范围( )A ．(,2]-∞-B ．[2,)-+∞C ．(,2)-∞-D ． (2,)-+∞12．已知定义在R 上的偶函数()f x 满足(4)()f x f x -=，且在区间[0，2]上，()f x x =，若关于x 的方程()log a f x x =有三个不同的根，则a 的范围为( )A ．B ．C ．)10,1(D ．)22,2(二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上．） 13．设曲线C 的参数方程为4cos 14sin x a y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ是参数，0>a ），直线l 的极坐标方程为3cos 4sin 5ρθρθ+=，若曲线C 与直线l 只有一个公共点，则实数a 的值是__________14．已知2,(0)()(1),(0)x x f x f x x >⎧=⎨+≤⎩，则44()()33f f -+等于______________15．如图是()y f x =的导函数的图像，现有四种说法：（1）()f x 在()3,1-上是增函数； （2）1x =-是()f x 的极小值点；（3）()f x 在()2,4上是减函数，在()1,2-上是增函数；（4）2x =是()f x 的极小值点；以上正确的序号为16．已知集合M ={()f x |存在非零常数k ，对定义域中的任意x ，等式()f kx ＝2k＋()f x 恒成立}．现有两个函数：()()0f x ax b a =+≠，()2log g x x =，则函数()f x 、()g x 分别与集合M 的关系为三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）极坐标系与直角坐标系xoy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴.已知直线l 的参数方程为122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为2sin 8cos ρθθ=.（1）求C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求弦长||AB .18．（本小题满分12分）设全集U=R ，集合A ={x |x ＞2}，B ={x |ax ﹣1＞0，a ∈R}．（1）当a =2时，求A ∩B ；（2）若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．19．（本小题满分12分）已知函数2()(3)xf x e x =-. （1）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （2）求函数()y f x =的极值.20．（本小题满分12分）已知()y f x =是定义在R 上的偶函数，当0≥x 时，2()2f x x x =-（1）求)2(),1(-f f 的值；（2）求()f x 的解析式；并画出简图；（3）利用图象，讨论方程()f x k =的根的情况。

福建省晋江市季延中学2014-2015学年高二年下学期期中考试文科数学试卷考试时间：120分钟 满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分 1、复数i ﹣1(i 是虚数单位)的虚部是( ) A ．1B ．﹣1C ．iD ．﹣i2、某单位综合治理领导小组成员之问的领导关系可以用框图表示，这种框图通常称为( ) A ．程序流程图 B ．工序流程图 C ．知识结构图 D ．组织结构图A ．)3,2(πB ．)34,2(πC ．)3,2(π-D ．)34,2(π-4、已知回归直线的斜率的估计值是 1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线的方程是( )A ．y ˆ=1.23x +4B ．yˆ=1.23x ﹣0.08 C ．yˆ=1.23x +0.8 D ．y ˆ=1.23x +0.086、对“a ，b ，c 是不全相等的正数”，给出两个判断：①0)()()(222≠-+-+-a c c b b a ；②a c c b b a ≠≠≠,,不能同时成立，下列说法正确的是( ) A ．①对②错B ．①错②对C ．①对②对D ．①错②错7、某程序框图如图，该程序运行输出的值是( )A ．4B ．5C ．6D ．78、下列正确的是( )A ．类比推理是由特殊到一般的推理B ．演绎推理是由特殊到一般的推理C ．归纳推理是由个别到一般的推理D ．合情推理可以作为证明的步骤9、用反证法证明命题：“若a ，N b ∈，ab 能被5整除，则a ，b 中至少有一个能被5整除”，那么假设的内容是( ) A ．a ，b 都能被5整除B ．a ，b 都不能被5整除C ．a ，b 有一个能被5整除D ．a ，b 有一个不能被5整除 10、在复平面内，复数201532i iZ +-=对应的点位于( ) A ．第四象限 B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限11、设△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则cb a Sr ++=2，类比这个结论可知：四面体S —ABC 的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，内切球半径为R ，四面体S —ABC 的体积为V ，则R 等于( )A ．4321S S S S V+++B ．43212S S S S V+++C ．43213S S S S V+++D ．43214S S S S V+++A ．3B ．2C ．2 D ． 3二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分 13、在极坐标系中，直线l 的方程为5cos =θρ，则点)3,4(π到直线l 的距离为14、在复平面内，记复数i +3对应的向量为OZ ，若向量OZ 绕坐标原点逆时针旋转060 得到新向量Z O '所对应的复数为_____________15、在极坐标系中，曲线1C 和2C 的方程分别为θθρsin cos 22=和1cos =θρ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线1C 和2C 交点的直角坐标为_____________16、已知是复数，且1||=z ，则|43|i z +-的最大值为 三、解答题：共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17、(本小题12分)已知复数ii i z -++-=2)1(3)1(2．(1) 求z 的共轭复数z ； (2) 若i b az -=+1，求实数a ，b 的值．18、(本小题12分)在直角坐标系xoy 中，以o 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为1)3cos(=-πθρ，M 、N 分别为曲线C 与x 轴，y 轴的交点。

高二数学期中复习卷（理科）一、选择题1．从0，1，2，…，9这10个数字中，任取两个不同数字作为平面直角坐标系中点的坐标，能够确定不在x 轴上的点的个数是（ B ）A ．100B ．90C ．81D ．722．从6名选手中，选取4个人参加奥林匹克竞赛，其中某甲被选中的概率是（C ） A 、13 B 、12 C 、23 D 、353．某单位有职工52人，现将所有职工随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知6号，32号，45号职工在样本中，则样本中还有一个职工的编号是( A )(A)19 (B)20 (C)18 (D)214.某班有48名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布，平均分为80，标准差为10，理论上说在80分到90分的人数是（B ）A 32B 16C 8D 205.实验测得四组(x,y)的值是(1,2),(2,3),(3,4),(4,5)，则y 与x 之间的回归直线的方程是( A )A.y ∧=x ＋1B. y ∧=x+2C. y ∧=2x+1D. y ∧=x-1 6.在4次独立试验中，事件A 出现的概率相同，若事件A 至少发生1次的概率是8165，则事件A 在一次试验中出现的概率是（ A ）A 31B 52C 65D 327．男女学生共有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其中女生有（ B ）A ．2人或3人B ．3人或4人C ．3人D ．4人8.甲、乙两名同学在5次体育测试中的成绩统计如茎叶图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别是X 甲、X 乙，则下列结论正确的是( A )(A)X 甲<X 乙；乙比甲成绩稳定 (B)X 甲>X 乙；甲比乙成绩稳定(C)X 甲>X 乙；乙比甲成绩稳定 (D)X 甲<X 乙；甲比乙成绩稳定9.在区间［0，1］内任取两个数，则这两个数的平方和也在［0，1］内的概率是( A )(A)4π (B)10π (C)20π (D)40π10.在1,2,3,4,5的排列a1,a2,a3,a4,a5中，满足条件a1＜a2，a2＞a3，a3＜a4，a4＞a5的排列的个数是( )（A ）8 （B ）10 （C ）14 （D ）1611.如图，三行三列的方阵中有9个数aij(i=1,2,3;j=1,2,3)，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是( D )（A ）37 （B ）47 （C ）114 （D ）1314 12.(x ＋1)2＋(x ＋1)11＝a0＋a1(x ＋2)＋a2(x ＋2)2＋…＋a10(x ＋2)10＋a11(x ＋2)11，则a1＝( A )(A)9 (B)-10 (C)11 (D)-12二、填空题 (每小题5分，共30分)13.已知61（）x 的展开式中的第5项的值等于5，则x ＝_3____. 14.若1223n 2n 1n 1n n n n C 3C 3C 3C 385,---+++⋯++=则n 的值为_4____.15．一个均匀小正方体的6个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1，一个面上标以数2。

2018-2019学年福建省晋江市季延中学高二下学期期中考试理科数学试卷★祝考试顺利★ 注意事项：1、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

3、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

5、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

6、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、单选题(每题5分)1．已知随机变量X 的分布列为1()122kP X k k n ===，，，，，则(24)P X <≤为（ ） A ．163B ．41 C ．161D ．165 2．222223410C C C C ++++等于（ ）A ．990B ．165C ．120D ．55 3．下列说法错误的是（ ）A ．在回归模型中，预报变量的值不能由解释变量唯一确定B ．若变量，满足关系，且变量与正相关，则与也正相关C ．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高D ．以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则，4．一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了X 次球，则P(X ＝12)等于( )A ．B ．C ．D ．5．设29201211(1)(21)(2)(2)x x aa x ax a x ++=+++++++，则012a a a a ++++的值为（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．26．将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由落下，小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A 袋或B 袋中，已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率分别为2133、，则小球落入A 袋中的概率为 （ ） A ．34 B ．14 C ．13 D ．237．甲、乙两人通过雅思考试的概率分别为，，两人考试时相互独立互不影响，记x表示两人中通过雅思考试的人数，则x 的方差为（ ） A ．0.41 B ．0.42 C ．0.45 D ．0.468．随机变量x 服从正态分布),10(~2σN X ，m x P =>)12(，n x P =≤≤)108(，则nm 12+的最小值为（ ）A ．243+B ．226+C ．228+D ．246+ 9．一场5局3胜制的乒乓球对抗赛,当甲运动员先胜2局时,比赛因故中断.已知甲、乙水平相当,每局甲、乙胜的概率都为21,则这场比赛的奖金分配(甲∶乙)应为( ) A ．6∶1 B ．7∶1 C ．3∶1 D ．4∶1 10．已知βα,是],0[π上的两个随机数，则满足1sin <αβ的概率为（ ）A ．π2 B ．22πC ．π4D ．24π11．黄冈市有很多处风景名胜，仅4A 级景区就有10处，某单位为了鼓励职工好好工作，准备组织5名优秀的职工到就近的三个景区：龟峰山、天堂寨、红安红色景区去旅游，若规定每人限到一处旅游，且这三个风景区中每个风景区至少安排1人，则这5名职工共有（ ）种安排方法A ．90B ．60C ．210D ．150 12．某工厂为了对研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从这种线性相关关系，且该产品的成本是5元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为（ ）（附：对于一组数据),(),(),,(n 2211n y x y x y x ⋯⋯，其回归直线a x b y +=^^的斜率的最小二乘估计值为∑∑=---=--=ni i ni ii xn x yx n y x b 1221^.参考数值：511661=∑=i ii yx ，7.066122=-∑=-i i x x ）A ．9.4元B ．9.5元C ．9.6元D ．9.7元 二、填空题（每题5分，共20分）13．25()x x y ++的展开式中，52x y 的系数为_____________ 14．dx e x x )1(2112+-⎰-（e 为自然对数的底数）＝__________．15．一个盒子装有3个红球和2个蓝球（小球除颜色外其它均相同），从盒子中一次性随机取出3个小球后，再将小球放回．重复50次这样的实验．记“取出的3个小球中有2个红球，1个蓝球”发生的次数为，则的方差是___________．16．将1，2，3，a,b,c 排成一排，则字母a 不在两端，且三个数字中有且只有两个数字相邻的概率是_____. 三、解答题(共70分) 17．（本题10分）在n xx )2(2+的展开式中，第4项的系数与倒数第4项的系数之比为21.（1）求的值；（2）求展开式中所有的有理项；（3）求展开式中系数最大的项.18．（本题12分）2016年1月1日，我国实行全面二孩政策，同时也对妇幼保健工作提出了更高的要求.某城市实行格化管理，该市妇联在格1与格2两个区域内随机抽取12个刚满8个月的婴儿的体重信息，体重分布数据的茎叶图如图所示（中位：斤）.体重不超过19.6斤的为合格.（1）从格1与格2分别随机抽取2个婴儿，求格1至少一个婴儿体重合格且格2至少一个婴儿体重合格的概率；（2）妇联从格1内8个婴儿中随机抽取4个进行抽检，若至少2个婴儿合格，则抽检通过，若至少3个合格，则抽检为良好.求格1在抽检通过的条件下，获得抽检为良好的概率； （3）若从格1与格2内12个婴儿中随机抽取2个，用X 表示格2内婴儿的个数，求X 的分布列与数学期望.19．（本题12分）春节来临，有农民工兄弟A 、B 、C 、D 四人各自通过互联网订购回家过年的火车票，若订票成功即可获得火车票，即他们获得火车票与否互不影响.若A 、B 、C 、D 获得火车票的概率分别是1311,,,24p p ，其中13p p >，又131,,22p p 成等比数列，且A 、C 两人恰好有一人获得火车票的概率是12.（1）求13,p p 的值；（2）若C 、D 是一家人且两人都获得火车票才一起回家，否则两人都不回家.设X 表示A 、B 、C 、D 能够回家过年的人数，求X 的分布列和期望EX .20. （本题12分）如图，四棱锥P ABCD -，//AB CD ，90BCD ∠=︒，224AB BC CD ===，PAB △为等边三角形，平面PAB ⊥平面ABCD ， Q 为PB 中点．(1) 求证：AQ ⊥平面 PBC ； (2)求二面角B PC D --的余弦值．21．（本题12分）2019年春节期间，某超市准备举办一次有奖促销活动，若顾客一次消费达到400元则可参加一次抽奖活动，超市设计了两种抽奖方案.方案一：一个不透明的盒子中装有30个质地均匀且大小相同的小球，其中10个红球，20个白球，搅拌均匀后，顾客从中随机抽取一个球，若抽到红球则顾客获得60元的返金券，若抽到白球则获得20元的返金券，且顾客有放回地抽取3次.方案二：一个不透明的盒子中装有30个质地均匀且大小相同的小球，其中10个红球，20个白球，搅拌均匀后，顾客从中随机抽取一个球，若抽到红球则顾客获得80元的返金券，若抽到白球则未中奖，且顾客有放回地抽取3次.（1）现有两位顾客均获得抽奖机会，且都按方案一抽奖，试求这两位顾客均获得180元返金券的概率；（2）若某顾客获得抽奖机会.①试分别计算他选择两种抽奖方案最终获得返金券的数学期望；②为了吸引顾客消费，让顾客获得更多金额的返金券，该超市应选择哪一种抽奖方案进行促销活动？22．（本题12分）设函数),(1ln )(R b a b xx ax x f ∈++-= ， （1）讨论)(x f 的单调性； （2）若函数有两个零点21,x x ，求证：212122x ax x x >++．高二理科数学期中考卷参考答案一、CBBDA DADBB DB二、填空题30 )(21222--+e e π12三、解答题17.【答案】（1）； （2），，，； (3).【详解】（1）由题意知：，则第4项的系数为，倒数第4项的系数为， 则有即，.（2）由（1）可得，当时所有的有理项为即，，，.（3）设展开式中第项的系数最大，则，，故系数最大项为.18.【答案】(1) ;(2) ;(3)见解析.（1）由茎叶图知，网格1内体重合格的婴儿数为4，网格2内体重合格的婴儿数为2，则所求概率.（2）设事件表示“2个合格，2个不合格”；事件表示“3个合格，1个不合格”； 事件表示“4个全合格”；事件表示“抽检通过”；事件表示“抽检良好”.∴，，则所求概率.（3）由题意知，的所有可能取值为0,1,2.∴，，，∴的分布列为 ∴.19.（1）A 、C 两人恰好有一人获得火车票的概率是12()()13131112p p p p ∴-+-=联立方程()()131313124{1112p p p p p p =-+-=，13p p >，解得1311,24p p ==（2）0,1,2,3,4X =()21111501124464P X ⎛⎫⎛⎫==--⨯=⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ()121111301511122446432P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-⨯-⨯== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()11111111161211122442244644P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-⨯+-⨯-⨯⨯== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()121111213122446432P X C ⎛⎫==⨯⨯-⨯⨯== ⎪⎝⎭………9分()111114224464P X ==⨯⨯⨯=X∴的分布列为15151119012346432432648EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.18 (1)证明：因为//AB CD ，90BCD ∠=︒， 所以AB BC ⊥，又平面PAB ⊥平面ABCD ，且平面PAB平面ABCD AB =，所以BC ⊥平面PAB ，又AQ ⊂平面PAB ，所以BC ⊥AQ ，·······················2分因为Q 为PB 中点，且PAB △为等边三角形，所以PB ⊥AQ ，··········· 3分又PB BC B =I，所以AQ ⊥平面 PBC .……,………..4分(2)解法一：取AB 中点为O ，连接PO ，因为PAB △为等边三角形，所以PO ⊥AB ，由平面PAB ⊥平面ABCD ，因为PO ⊂平面PAB ，所以PO ⊥平面ABCD ，······ 5分所以PO ⊥OD ，由224AB BC CD ===，90ABC ∠=︒，可知//OD BC ，所以OD AB ⊥．以AB 中点O 为坐标原点，分别以,,OD OB OP所在直线为,,x y z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -.所以()()0,2,0,2,0,0,A D -()(()2,2,0,,0,2,0C P B则()()()2,2,0,2,0,23,0,2,0AD DP CD ==-=-，因为Q 为PB 中点，所以(Q ，由 (1) 知，平面PBC 的一个法向量为(0,AQ =uuu r.7分设平面PCD 的法向量为(),,n x y z =，由0,n CD n DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得x2020y x -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，取1z =，则()3,0,1n =， ··················· 9分由1cos ,4AQ n AQ n AQ n⋅<>===uuu r ruuu r r uuu r r . ·················· 11分 因为二面角B PC D --为钝角，所以，二面角B PC D --的余弦值为14-. ········ 12分 解法二： 取AB 中点为O ，连接PO ，因为PAB △为等边三角形，所以PO ⊥AB ，由平面PAB ⊥平面ABCD ，所以PO ⊥平面ABCD ， ·················5分所以PO ⊥OD ，由224AB BC CD ===，90ABC ∠=︒，可知//OD BC ，所以OD AB ⊥．以AB 中点O 为坐标原点，分别以,,OA OD OP 所在直线为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -. 6分 所以()()()2,0,0,0,2,0,2,2,0,AD C-((),2,0,0P B -，所以()(2,2,0,0,,AD DP =-=-()2,0,0CD =，由(1)知，可以AQ uuu r为平面PBC 的法向量，因为Q 为PB 的中点，所以(Q -， 由(1)知，平面PBC 的一个法向量为(AQ =-uuu r， ·················· 7分设平面PCD 的法向量为(),,n x y z =，由0,0n CD n DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得2020x y =⎧⎪⎨-+=⎪⎩，取1z =，则()0,3,1n =， 9分所以1cos ,4AQ n AQ n AQ n⋅<>===uuu r ruuu r r uuu r r ······································································· 11分 因为二面角B PC D --为钝角，所以，二面角B PC D --余弦值为14-………12分 解法三：过点B 作PC 的垂线BH ，交PC 于点H ，连结DH .由解法一或二知PO ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PO CD ⊥.由条件知OD CD ⊥， 又PO OD O =，所以CD ⊥平面POD ，又PD⊂平面POD ，所以CD PD ⊥，又CD CB =，所以Rt PDC Rt PBC △≌△，x第18HO所以DH PC ⊥，由二面角的定义知，二面角B PC D --的平面角为BHD ∠……..7分在Rt PDC △中，4,2PBBC ==，PC =由PB BC BH PC ⋅=⋅，所以PB BC BH PC ⋅===.同理可得5DH =， ·········· 9分又BD =在BHD △中，222cos 2BH DH BD BHD BH DH +-=∠=14- ··································· 10分所以，二面角B PC D --的余弦值为. 12分21.【答案】(1) (2)①②第一种抽奖方案.【详解】（1）选择方案一，则每一次摸到红球的概率为设“每位顾客获得180元返金劵”为事件A ，则 所以两位顾客均获得180元返金劵的概率（2）①若选择抽奖方案一，则每一次摸到红球的概率为，每一次摸到白球的概率为. 设获得返金劵金额为元，则可能的取值为60，100，140，180.则；；；.所以选择抽奖方案一，该顾客获得返金劵金额的数学期望为（元）若选择抽奖方案二，设三次摸球的过程中，摸到红球的次数为，最终获得返金劵的金额为元，则，故所以选择抽奖方案二，该顾客获得返金劵金额的 数学期望为（元）.②即，所以该超市应选择第一种抽奖方案22【答案】（1）当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增；（2）见解析.【解析】（1），设，①当时，，；②当时，由得或，记则，∵∴当时，，，当时，，，∴当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增．（2）不妨设，由已知得，，即，，两式相减得，∴，要证，即要证，只需证，只需证，即要证，设，则，只需证，设，只需证，，在上单调递增，，得证．【点睛】利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.。