高中全程复习方略课时提能演练：5.1数列(含函数特性

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课时提能演练(七十三)(45分钟 100分)一、选择题(每小题6分，共36分)1.(2024·新余模拟)随机变量ξ的分布列如下，其中a、b、c为等差数列，若Eξ=13，则Dξ的值为( )ξ-1 0 1P a b c(A)49(B)59(C)13(D)232.(2024·威海模拟)设X为随机变量,X～B(n,13),若随机变量X的数学期望EX=2,则P(X=2)等于( )(A)1316(B)4243(C)13243(D)802433.已知随机变量ξ+η=8，若ξ～B(10,0.6)，则Eη,Dη分别是( )(A)6和2.4 (B)2和2.4(C)2和5.6 (D)6和5.64.同时抛掷两枚质地匀称的硬币，随机变量ξ=1表示结果中有正面对上，ξ=0表示结果中没有正面对上，则Eξ=( )(A)14(B)12(C)34(D)15.若X是离散型随机变量，P(X＝x1)＝23，P(X＝x2)＝13，且x1＜x2，又已知EX＝42DX39，＝，则x1＋x2的值为( )(A)53(B)73(C)3 (D)1136.(预料题)利用下列盈利表中的数据进行决策，应选择的方案是( )(A)A1(B)A2(C)A3 (D)A4二、填空题(每小题6分，共18分)7.某射手射击所得环数ξ的分布列如下：ξ7 8 9 10P x 0.1 0.3 y已知ξ的期望Eξ＝8.9，则y的值为________.8.“好运”出租车公司按月将某辆车出租给司机，依据规定：无论是否出租，该公司每月都要负担这辆车的各种管理费100元，假如在一个月内该车被租的概率是0.8，租金是2 600元，那么公司每月对这辆车收入的期望值为______元.9.抛掷两个骰子，至少有一个4点或5点出现时，就说这次试验胜利，则在10次试验中，胜利次数X的期望是________.三、解答题(每小题15分,共30分)10.(预料题)在衡水中学举办的老师阳光心理素养拓展活动中有一项趣味投篮竞赛，A、B为两个定点投篮位置，在A处投中一球得2分，在B处投中一球得3分.老师甲在A和B处投中的概率分别是1123和，且在A、B两处投中与否相互独立.(1)若老师甲最多有2次投篮机会，其规则是：按先A后B的次序投篮，只有首次在A处投中后才能到B处进行其次次投篮，否则终止投篮，试求他投篮所得积分ξ的分布列和期望；(2)若老师甲有5次投篮机会，其规则是：投篮点自由选择，共投篮5次，投满5次后终止投篮，求投满5次时的积分为9分的概率.11.(2024·淄博模拟)A 、B 是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验.每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A ，另2只服用B ，然后视察疗效.若在一个试验组中,服用A 有效的小白鼠的只数比服用B 有效的小白鼠的只数多,就称该试验组为甲类组.设每只小白鼠服用A 有效的概率为23,服用B 有效的概率为12.(1)求一个试验组为甲类组的概率;(2)视察3个试验组,用ξ表示这3个试验组中甲类组的个数,求ξ的分布列和数学期望. 【探究创新】(16分)某俱乐部实行迎圣诞活动，每位会员交50元活动费，可享受20元的消费，并参与一次嬉戏：掷两颗正方体骰子，点数之和为12点获一等奖，奖价值为a 元的奖品；点数之和为11或10点获二等奖，奖价值为100元的奖品；点数之和为9或8点获三等奖，奖价值为30元的奖品；点数之和小于8点的不得奖.求：(1)同行的三位会员一人获一等奖、两人获二等奖的概率； (2)如该俱乐部在嬉戏环节不亏也不赢利，求a 的值.答案解析1.【解析】选B.∵a b c 1,2b a c ++=⎧⎨=+⎩2.【解析】选D.∵1X B n,,EX 2,3=～（）∴n ·13=2，∴n=6，∴P(X=2)=22464116511680C 1.331293243⨯-=⨯⨯=⨯（）（） 3.【解析】选B.∵E ξ=10×0.6=6，D ξ=10×0.6×(1-0.6)=2.4,∴E η=E(8-ξ)=8-E ξ=8-6=2，D η=D(8-ξ)=(-1)2D ξ=D ξ=2.4. 4.【解析】选C.∵P(ξ=1)=34，P(ξ=0)=14， ∴E ξ=13301.444⨯+⨯=5.【解题指南】利用离散型随机变量的均值和方差的计算公式构造含有x 1，x 2的方程组求解.【解析】选C.分析已知条件，利用离散型随机变量的均值和方差的计算公式得：解得125x 32x 3⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝＝或12x 1x 2,⎧⎨⎩＝＝又∵x 1＜x 2，∴x 1＋x 2=3.6.【解题指南】求出四种方案A 1、A 2、A 3、A 4盈利的期望，再结合期望作出推断.【解析】选C.方案A 1、A 2、A 3、A 4盈利的期望分别是： A 1:50×0.25＋65×0.30＋26×0.45＝43.7； A 2:70×0.25＋26×0.30＋16×0.45＝32.5； A 3:－20×0.25＋52×0.30＋78×0.45＝45.7； A 4:98×0.25＋82×0.30－10×0.45＝44.6. 所以A 3盈利的期望值最大,所以应选择A 3.7.【解题指南】利用离散型随机变量全部概率和为1和E ξ=8.9通过解方程组即可得到y 的值.【解析】依题意得x 0.10.3y 17x 0.8 2.710y 8.9⎧⎨⎩＋＋＋＝，＋＋＋＝即x y 0.67x 10y 5.4⎧⎨⎩＋＝，＋＝由此解得y ＝0.4. 答案：0.48.【解析】设公司每月对这辆车的收入为X 元，则其分布列为：X －100 2 500 P0.20.8故EX ＝(－100)×0.2＋2 500×0.8＝1 980元. 答案：1 9809.【解题指南】先求出一次试验胜利的概率，再依据二项分布求解.【解析】由题意一次试验胜利的概率为2251339⨯－＝，10次试验为10次独立重复试验，则胜利次数X ～B(10，59)，所以EX ＝509.答案：50910.【解析】(1)依题意得ξ的可能取值为0,2,5. 所以ξ的分布列为ξ 025P121316E ξ=025.2362⨯+⨯+⨯=(2)设“老师甲投满5次时的积分为9分”为事务C ； “在A 处投篮4球中3次，在B 处投1球中1次”为事务A 1; “在A 处投篮3球中3次，在B 处投2球中1次”为事务A 2; “在A 处投篮2球中0次，在B 处投3球中3次”为事务A 3; “在A 处投篮1球中0次，在B 处投4球中3次”为事务A 4;“在B 处投5球中3次”为事务A 5.可知A 1、A 2、A 3、A 4、A 5为互斥事务. =P(A 1)+P(A 2)+P(A 3)+P(A 4)+P(A 5)=88243. 答：老师甲投满5次时的积分为9分的概率为88243. 11.【解析】(1)设A i 表示事务“一个试验组中，服用A 有效的小白鼠有i 只”，i=0,1,2;B i 表示事务“一个试验组中，服用B 有效的小白鼠有i 只”，i=0,1,2.依题意有()()()120124224111P A 2P A P B 339339224=⨯⨯==⨯==⨯=，，，()1111P B 2222=⨯⨯=，所求的概率为0102121414144P P(B A )P(B A )P(B A ).4949299=++=⨯+⨯+⨯=(2)ξ的可能取值为0，1,2,3,且ξ～B(3，49)，∴3123512545100P(0)()P(1)C ()972999243ξ===ξ==⨯⨯=，，2234580P(2)C ()99243ξ==⨯⨯=， P(ξ=3)=3464()9729=，∴ξ的分布列为数学期望E ξ=0123.7292432437293⨯+⨯+⨯+⨯=【方法技巧】求离散型随机变量均值与方差的基本方法(1)定义法：已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差，可干脆按定义(公式)求解；(2)性质法：已知随机变量ξ的均值与方差，求ξ的线性函数η=a ξ+b 的均值与方差，可干脆利用均值、方差的性质求解；(3)公式法：如能分析所给随机变量，是听从常用的分布(如两点分布，二项分布等)，可干脆利用它们的均值、方差公式求解.【变式备选】在甲、乙等6个单位参与的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中支配在一起，若采纳抽签的方式随机确定各单位的演出依次(序号为1,2，…，6)，求：(1)甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率； (2)甲、乙两单位之间的演出单位个数X 的分布列与期望.【解析】只考虑甲、乙两单位的相对位置，故可用组合计算基本领件数. (1)设A 表示“甲、乙的演出序号至少有一个为奇数”，则A 表示“甲、乙的演出序号均为偶数”，(2)X 的全部可能取值为0,1,2,3,4，且P(X ＝0)＝2651C 3＝， P(X ＝1)＝22664431P(X 2)C 15C 5＝，＝＝＝， P(X ＝3)＝22662211P(X 4).C 15C 15＝，＝＝＝ 从而知X 的分布列为X1234P13 415 15215115所以EX ＝14121401234.315515153⨯⨯⨯⨯⨯＋＋＋＋＝【探究创新】【解析】(1)设掷两颗正方体骰子所得的点数记为(x ，y)，其中1≤x ≤6,1≤y ≤6，x,y ∈N *,则获一等奖只有(6，6)一种可能，其概率为：1116636⨯=；获二等奖共有(6，5)、(5，6)、(4，6)、(6，4)、(5，5)共5种可能，其概率为：536；设事务A 表示“同行的三位会员一人获一等奖、两人获二等奖”，则有：P(A)=13C ×21525()363615 552⨯=；(2)设俱乐部在嬉戏环节收益为ξ元，则ξ的可能取值为30-a,-70,0,30,其分布列为：则：Eξ=(30-a)×()70030+-⨯+⨯+⨯=；由Eξ=0得：a=310，即一363641236等奖可设价值为310元的奖品.。

【全程复习方略】（陕西专用）2013版高考数学 5.3 等比数列课时提能演练 理北师大版(45分钟 70分)一、选择题(每小题5分，共30分)1.(2012·宝鸡模拟)在各项为负数的数列{a n }中，已知2a n ＝3a n ＋1，且a 2·a 5＝827，则－827是数列{a n }的( ) (A)第3项 (B)第4项 (C)第5项 (D)第6项2.(2012·合肥模拟)在等比数列{a n }中，a 1＋a 2＝1，a 3＋a 4＝2，则a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝( )(A)10 (B)11 (C)12 (D)143.等比数列{a n }中，若a 4a 7＝1，a 7a 8＝16，则a 6a 7等于( )(A)4 (B)－4 (C)±4 (D)1724.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若8a 2＋a 5＝0，则下列式子中数值不能确定的是( ) (A)a 5a 3 (B)S 5S 3 (C)a n ＋1a n (D)S n ＋1S n5.在公比q ＜1的等比数列{a n }中，a 2a 8＝6，a 4＋a 6＝5，则a 5a 7等于( ) (A)56 (B)65 (C)23 (D)326.(2012·赣州模拟)已知正项等比数列{a n }满足：log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 2 011＝2 011，则log 2(a 1＋a 2 011)的最小值为( )(A)1 (B)32 (C)2 (D)log 22 011二、填空题(每小题5分，共15分)7.(预测题)等比数列{a n }是递减数列，其前n 项的积为T n ，若T 13＝4T 9，则a 8·a 15＝ .8.等比数列{a n }的公比q ＞0，已知a 2＝1，a n ＋2＋a n ＋1＝6a n ，则{a n }的前4项和S 4＝ .9.(易错题)已知函数f(x)＝2x ＋3，数列{a n }满足：a 1＝1且a n ＋1＝f(a n )(n∈N ＋)，则该数列的通项公式a n ＝ .三、解答题(第10题12分，第11题13分，共25分)10.(2011·湖北高考)成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n }中的b 3、b 4、b 5.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)数列{b n }的前n 项和为S n ，求证：数列{S n ＋54}是等比数列. 11.(2012·西安模拟)已知数列{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 1＋a 2＝2(1a 1＋1a 2)，a 3＋a 4＝32(1a 3＋1a 4). (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设2n n 2n b a log a ＝＋，求数列{b n }的前n 项和T n .【选做•探究题】数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2且S n ＝S n －1＋2n(n≥2，n∈N ＋).(1)求S n ；(2)是否存在等比数列{b n }满足b 1＝a 1，b 2＝a 3，b 3＝a 9？若存在，则求出数列{b n }的通项公式；若不存在，则说明理由.答案解析1.【解析】选C.∵2a n ＝3a n ＋1，∴a n ＋1a n ＝23， ∴{a n }是等比数列，公比q ＝23， ∵a 2a 5＝827，即a 1q ·a 1q 4＝827，∴a 1＝－32. 令a 1q n －1＝－827， ∴－32·q n －1＝－827， ∴(23)n －1＝1681，∴n ＝5. 2.【解析】选C.由题意知，a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6，a 7＋a 8成等比数列，∴a 5＋a 6＝2×2＝4，a 7＋a 8＝4×2＝8.∴a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝4＋8＝123.【解析】选A.∵a 4a 7＝1，a 7a 8＝16，∴q 4＝16，∴q 2＝4，∴a 6a 7＝a 4a 7q 2＝4.4.【解析】选D.数列{a n }为等比数列，由8a 2＋a 5＝0，知8a 2＋a 2q 3＝0，因为a 2≠0，所以q ＝－2，a 5a 3＝q 2＝4，S 5S 3＝1－q 51－q 3＝113；a n ＋1a n ＝q ＝－2；S n ＋1S n ＝1－q n ＋11－q n ，其值与n 有关，故选D.5.【解题指南】a 5a 7＝1q 2，故只需求出q 2即可，利用a 2·a 8＝a 4·a 6可先求出a 4·a 6，再求q 2. 【解析】选D.∵a 2a 8＝a 4a 6＝6，a 4＋a 6＝5，∴a 4，a 6是方程x 2－5x ＋6＝0的两实根.又公比q ＜1，∴a 4＝3，a 6＝2，∴q 2＝23，∴a 5a 7＝1q 2＝32. 6.【解析】选C.log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 2 011＝log 2(a 1·a 2·…·a 2 011)＝2 011.又∵a 1·a 2·…·a 2 011＝(a 1a 2 011)1 005·a 1 006 ＝(a 1a2 011)1 005·121 2 011(a a )＝201121 2 011(a a )， ∴201121 2 011(a a )＝22 011，∴a 1a 2 011＝4，log 2(a 1＋a 2 011)≥log 22a 1a 2 011＝2.7.【解析】∵等比数列{a n }是递减数列，∴a 1>0,0<q<1或a 1<0，q>1.∴q 必为正值.∴数列{a n }的各项都同号.又T 13＝4T 9，∴a 10·a 11·a 12·a 13＝4＝(a 8·a 15)2，∴a 8·a 15＝2.答案：28.【解析】∵a n ＋2＋a n ＋1＝a n q 2＋a n q ＝6a n ，∴q 2＋q －6＝0，又q ＞0，∴q ＝2，由a 2＝a 1q ＝1得a 1＝12， ∴S 4＝12(1－24)1－2＝152. 答案：1529.【解析】由题意知a n ＋1＝2a n ＋3，∴a n ＋1＋3＝2(a n ＋3)，∴数列{a n ＋3}是以a 1＋3＝4为首项，以2为公比的等比数列.∴a n ＋3＝4×2n －1＝2n ＋1， ∴a n ＝2n ＋1－3.答案：2n ＋1－3【方法技巧】构造等比数列求通项公式递推关系为a n ＋1＝qa n ＋b 的数列，在求其通项公式时，可将a n ＋1＝qa n ＋b 转化为a n ＋1＋a ＝q(a n ＋a)的形式，其中a 的值可由待定系数法确定，即qa n ＋b ＝a n ＋1＝qa n ＋(q －1)a ⇒a ＝b q －1(q ≠1). 10.【解析】(1)设等差数列的三个正数分别为a －d ，a ，a ＋d.依题意得，a －d ＋a ＋a ＋d ＝15，解得a ＝5.所以{b n }中的b 3，b 4，b 5依次为7－d,10,18＋d.依题意，有(7－d)(18＋d)＝100，解得d ＝2或d ＝－13(舍去)故{b n }的第3项为5，公比为2.由b 3＝b 1·22，即5＝b 1·22，解得b 1＝54. 所以{b n }是以54为首项，2为公比的等比数列，其通项公式为：b n ＝54×2n －1＝5×2n －3. (2)数列{b n }的前n 项和S n ＝54(1－2n )1－2＝5×2n －2－54，即S n ＋54＝5×2n －2， 所以S 1＋54＝52，n 1n 5S 45S 4+++＝n 1n 25252--⨯⨯＝2. 因此数列{S n ＋54}是以52为首项，公比为2的等比数列. 11.【解析】(1)设等比数列{a n }的公比为q(q>0)，则a n ＝a 1qn －1，且a n >0. 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 1q ＝2(1a 1＋1a 1q )a 1q 2＋a 1q 3＝32(1a 1q 2＋1a 1q 3)，化简得21251a q(q 1)2(q 1)a q (q 1)32(q 1)⎧+=+⎨+=+⎩，即21251a q 2a q 32⎧=⎨=⎩. 又∵a 1>0，q>0.∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，q ＝2，∴a n ＝2n －1. (2)由(1)知b n ＝2n a ＋log 2a n ＝4n －1＋n －1.∴T n ＝(1＋4＋42＋…＋4n －1)＋(0＋1＋2＋3＋…＋n －1) ＝4n －14－1＋n(n －1)2＝4n －13＋n(n －1)2. 【选做•探究题】【解析】(1)因为S n ＝S n －1＋2n ，所以有S n －S n －1＝2n 对n ≥2，n ∈N ＋成立， 即a n ＝2n 对n ≥2成立，又a 1＝S 1＝2·1，所以a n ＝2n 对n ∈N ＋成立，所以a n ＋1－a n ＝2对n ∈N ＋成立，所以{a n }是等差数列，所以有S n ＝a 1＋a n 2·n ＝n 2＋n ，n ∈N ＋. (2)存在.由(1)，a n ＝2n ，对n ∈N ＋成立，所以有a 3＝6，a 9＝18，又a 1＝2所以由b 1＝a 1，b 2＝a 3，b 3＝a 9，则b 2b 1＝b 3b 2＝3， 所以存在以b 1＝2为首项，公比为3的等比数列{b n }，其通项公式为b n ＝2·3n －1.。

课时提能演练(五)(45分钟 100分)一、选择题(每小题6分，共36分)1.(2012·延安模拟)已知a ＝32，函数f(x)＝a x ，若实数m ，n 满足f(m)>f(n)，则m ，n 满足的关系为( )(A)m ＋n<0 (B)m ＋n>0(C)m>n (D)m<n2.(2012·商洛模拟)函数y ＝log 22x 2＋1的值域为( ) (A)[1，＋∞) (B)(0,1](C)(－∞，1] (D)(－∞，1)3.若函数f(x)＝log a (x ＋1)(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[0,1]，则a 等于( ) (A)13 (B) 2 (C)22(D)2 4.(预测题)已知f(x)为定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且f(x)在[0，＋∞)上为增函数，则f(－2)，f(－π)，f(3)的大小顺序是( )(A)f(－π)<f(3)<f(－2)(B)f(－π)<f(－2)<f(3)(C)f(－2)<f(3)<f(－π)(D)f(3)<f(－2)<f(－π)5.(2012·咸阳模拟)函数y ＝f(x)(x ∈R)的图像如下图所示，则当0<a<1时，函数g(x)＝a f(x)的单调增区间是( )(A)[0，12] (B)(－∞，0)，(12，＋∞) (C)[a ，1] (D)[a ，a ＋1]6.已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋4x ， x≥04x －x 2， x<0，若f(2－a 2)>f(a)，则实数a 的取值范围是( )(A)(－∞，－1)∪(2，＋∞)(B)(－1,2)(C)(－2,1)(D)(－∞，－2)∪(1，＋∞)二、填空题(每小题6分，共18分)7.如果二次函数f(x)＝x 2－(a －1)x ＋5在区间(12，1)上是增函数，那么f(2)的取值范围是 .8.(2012·榆林模拟)已知f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数，那么f(a 2－a ＋1)与f(34)的大小关系是 . 9.(2012·西安模拟)已知f(x)的定义域为(－1,1)，又f(x)是奇函数且是减函数，若f(m －2)＋f(2m －3)≥0，那么实数m 的取值范围是 .三、解答题(每小题15分，共30分)10.(易错题)已知函数f(x)＝|x|x＋2，(1)判断函数f(x)在区间(0，＋∞)上的单调性并加以证明；(2)求函数f(x)的值域.11.(2012·合肥模拟)已知函数f(x)在定义域(0，＋∞)上为增函数，且满足对定义域内的任意x，y都有f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1.(1)求f(9)，f(27)的值；(2)解不等式f(x)＋f(x－8)<2.【探究创新】(16分)定义：已知函数f(x)在[m，n](m<n)上的最小值为t，若t≤m恒成立，则称函数f(x)在[m，n](m<n)上具有“DK”性质.(1)判断函数f(x)＝x2－2x＋2在[1,2]上是否具有“DK”性质，并说明理由.(2)若f(x)＝x2－ax＋2在[a，a＋1]上具有“DK”性质，求a的取值范围.答案解析1.【解析】选D.∵a＝32<1，∴f(x)＝a x 是减函数，又∵f(m)>f(n).∴m<n.2.【解析】选C.∵x 2＋1≥1，∴0<2x 2＋1≤2， 又y ＝log 2x 在(0，＋∞)上为增函数，∴log 22x 2＋1≤log 22＝1.即值域为(－∞，1]. 3.【解析】选D.当0<a<1时，f(x)在[0,1]上为减函数，则其值域不可能为[0,1]；当a>1时，f(x)在[0,1]上为增函数，由已知有⎩⎨⎧ log a 1＝0log a 2＝1，得a ＝2，综上知a＝2.4.【解析】选C.由已知f(－π)＝f(π)，f(－2)＝f(2)，又f(x)在[0，＋∞)上递增，则f(π)>f(3)>f(2)，即f(－π)>f(3)>f(－2).【方法技巧】比较函数值大小常用的方法 (1)利用函数的单调性，但需将待比较函数值调节到同一个单调区间上.(2)利用数形结合法比较.(3)对于选择、填空题可用排除法、特值法等比较.5.【解析】选B.∵0<a<1，∴函数g(x)的增区间就是f(x)的减区间，故选B.6.【解题指南】本题需先判断f(x)的单调性，再应用单调性解不等式.【解析】选C.f(x)＝⎩⎨⎧ x 2＋4x ＝(x ＋2)2－4 x ≥04x －x 2＝－(x －2)2＋4 x<0，由f(x)的图像可知f(x)在(－∞，＋∞)上是单调增函数，由f(2－a 2)>f(a)得 2－a 2>a ，即a 2＋a －2<0，解得－2<a<1.7.【解析】f(x)＝x 2－(a －1)x ＋5在(a －12，＋∞)上递增，由已知条件得a －12≤12，则a ≤2，f(2)＝11－2a ≥7.答案：[7，＋∞)8.【解析】∵a 2－a ＋1＝(a －12)2＋34≥34>0， f(x)在(0，＋∞)上是减函数，∴f(a 2－a ＋1)≤f(34). 答案：f(a 2－a ＋1)≤f(34) 9.【解析】由f(m －2)≥－f(2m －3).又f(x)为奇函数，∴f(m －2)≥f(3－2m).而f(x)为(－1,1)上的减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －1<m －2<1－1<3－2m<1m －2≤3－2m ，解得：1<m ≤53. 答案：(1，53] 10.【解析】(1)当x>0时，f(x)＝|x|x ＋2＝x ＋2－2x ＋2＝1－2x ＋2. 设0<x 1<x 2，f(x 1)－f(x 2)＝(1－2x 1＋2)－(1－2x 2＋2)＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2)， 由0<x 1<x 2可得f(x 1)－f(x 2)<0，即f(x 1)<f(x 2)，因此f(x)在(0，＋∞)上递增.(2)f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1－2x ＋2x ≥0－1＋2x ＋2 x<0且x ≠－2.可以证明f(x)在(－∞，－2)上递减，且f(x)在(－2,0)上递减，由反比例函数y ＝2x通过平移、对称变换得f(x)的图像如图所示，因此f(x)的值域为：(－∞，－1)∪[0，＋∞).11.【解析】(1)∵f(x)对(0，＋∞)上的任意x ，y 都有f(xy)＝f(x)＋f(y)， ∴f(9)＝f(3×3)＝f(3)＋f(3)＝2，f(27)＝f(9×3)＝f(9)＋f(3)＝3.(2)∵f(x)＋f(x －8)＝f[x(x －8)]<f(9)，而函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x>0x －8>0x(x －8)<9解得8<x<9，即原不等式的解集为(8,9).【探究创新】【解析】(1)∵f(x)＝x 2－2x ＋2，x ∈[1,2]，∴f(x)min ＝1≤1，∴函数f(x)在[1,2]上具有“DK ”性质.(2)f(x)＝x 2－ax ＋2，x ∈[a ，a ＋1]，其对称轴为x ＝a 2. ①当a 2≤a ，即a ≥0时， 函数f(x)min ＝f(a)＝a 2－a 2＋2＝2.若函数f(x)具有“DK ”性质，则有2≤a 总成立，即a ≥2.②当a<a 2<a ＋1， 即－2<a<0时，f(x)min ＝f(a 2)＝－a 24＋2. 若函数f(x)具有“DK ”性质，则有－a 24＋2≤a 总成立，解得a ∈∅. ③当a 2≥a ＋1，即a ≤－2时，函数f(x)的最小值为f(a ＋1)＝a ＋3. 若函数f(x)具有“DK ”性质，则有a ＋3≤a ，解得a ∈∅. 综上所述，若f(x)在[a ，a ＋1]上具有“DK ”性质，则a 的取值范围为[2，＋∞).。

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课时提能演练（四）（45分钟100分）一、选择题（每小题6分，共36分）1. （2012 •湘潭模拟）函数f（x）= 丄+1 g（x+1）的定义域是（）1 -x(C)(-1,1) U (1,+ 乂) (D)(- *，+ s)（A）（- 乂,-1）（B）（1,+ 乂）2. （2012 •株洲模拟）已知f（x 5）=lgx,则f（2）等于（）(A)lg2 (B)lg32(C)l g 32 (D) i ©2 3(C)- 2 (D)3不含端点)，则f(f( 1 (A)- 1(B)3(A)2 010 (B)2 011 (C)2 012 (D)2 0135.某学校要召开学生代表大会，规定各班每 10人推选一名代表，当各班人数除 以10的余数大于6时再增选一名代表，那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y= [x ] （ :x ]表示不大于x 的最大整数）可以 表示为（）4.（预测题）已知函数f （x ）=x-1,f x -1 1, x <0 x -0,则 f(2 013)=(3.（2012 •潍坊模拟）已知函数f （x ） 1))=( 313 23的图象是两条线段（如图,二、填空题(每小题6分，共18分)7. _______________________________________________________________ 已知函数f(x)的图象如图所示，贝卩函数g(x)= log草f(x)的定义域是______________ 8. 对于实数x,y，定义运算x*y= ｛：：；；；：；：0；，已知1*2=4，-1*仁2，则下列运算结果为3血的序号为 ______ .(填写所有正确结果的序号)①.2* ,2 ②-.2* ,2③-3 2*2卫④3 2*(-2 .2)9.已知函数f(x)= 壬，那么f(1)+f(2)+f( 1 )+f(3)+f( 1 )+f(4)+f( 1) 1 x 2 3 4(A)y= : 101 (C)y=:讦1(B)y=(D)y=2x ' _ 26. ( 2012 •三明模拟)函数y= 2，x，(=，21的值域为() X (2,：：)(A)(- 3,+ -)2 (C)(- 乂，- |)2(B) (- 乂,0 1(D)(-2,0三、解答题(每小题15分，共30 分)(x >0)，试写出y=g(x)的解析式，并画出其图象10.(易错题)设 x >0 时,f (x)=2;xV 0 时，f(x)=1 ，又规定：g(x)=3f x -1 -f x -211.(2012 •深圳模拟)已知f(x)=x 2-1 , g(x)二x-1,x>°.2_x, x V O(1) 求f(g(2))和g(f(2))的值；⑵求f(g(x))和g(f(x))的解析式.【探究创新】(16 分)如果对- x,y € R都有f(x+y)=f(x) • f(y)，且f(1)=2,(1)求f(2),f(3),f(4) 的值.⑵求f(2)十f(4)十f(6)十十f(2 008)十f(2 010)十f(2 012)的值f(1) f(3) f(5)… f(2 007) f(2 009) f (2 011)答案解析M 老01. 【解析】选C.由，可得-1<x<1或x>1.[x +1A 02. 【解析】选D. ••f(x5)=lgx,•••f 2 =f[(52)5Hlg52 =-lg2.53. 【解析】选B.由图象知，当-1 < x V 0时，f(x)=x+1,当0< x< 1 时,f(x)=x-1,x 1,-1< x <0 1、1 彳 2• f(x)二，.f( )= -1二——,x -1,0< x <1 3 3 31 2 2 1f f(f( ))=f(-)=-了+ 1=：.3 3 3 34. 【解析】选C.由已知得f(0)=f(0-1)+1=f(-1)+1=-1-1+1=-1, f(1)=f(0)+1=0,f(2)=f(1)+1 = 1,f(3)=f(2)+1=2, f(2 013)=f(2 012)+1=2 011 + 1=2 012.5. 【解题指南】分别就各班人数除以10商为n余数为0〜6及7〜9探究出y与n 的关系，从而进行判断.【解析】选B.当各班人数x除以10，商为n余数为0,1,234,5,6时，即x=10n+m,0 E m 詬时，y=n ;当各班人数x除以10商为n余数为7,8,9时，即x=10n+7,x=10n+8,x=10n+9时，即x+3=10(n+1),x+3=10(n+1)+1,x+3=10(n+1)+2 时，y=n+1.故y= : I ].故选B.106. 【解析】选 D. -.X<2,/x-1 <1 得 0 V 2x-1 <2, .•-2 V 2X-1 -2<0同理：x >2 得-2 V 21-X -2 V -3 . 2综上可得-2V yO.【变式备选】设函数g(x)=x 2-2(x 9R) , f(X )= 9 X X 4,x vg x ，则 蚀的值域是 [g (x ) —x,x ^g (x ) ()9(A) :-9,0]U (1,+ 乡(B) :0,+ 乡49 9(C) :-9,+乡 (D) :-9,0]Q 2,+ 乡44【解析】选D.由x v g(x)得x v x 2-2, .V -1 或 x > 2;由 x 刊(x)得 x 汰2-2, .1 <<<2,'• 2x + x+2, x V -1 或x >2x -x-2,-1 < x < 21 2 7j (x+-)+—,x v -1 或x >2即 f(x)=2 4.当 x V -1 时,1 2 9'(x- — ) - —,-1 < x < 22 4当 x > 2 时，f(x) > 8. •••当x q -«^1) L(2,+ 旳时， 函数的值域为(2,+旳. 当-1 «<2 时，-? <(x)切.•••当x €F 1,2］时，函数的值域为］--,0］.4综上可知，f(x)的值域为］--,0 ］U(2,+巧•f (x)= f(x) >2;47. 【解析】要使函数有意义，须f(x) >0,由f(x)的图象可知，当x6(2,8]时，f(x) >0.答案：(2,8 ]8.【解析】*.1*2=a+2=4,-1*1=-1+b=2,得a=2,b=3.2x y(xy >0)• x*y=x +3y(xy <0).•.① 2 * 2 =2 .2 + . 2 =3 2②-、2 * . 2 =-、2 +3 ■- 2 =2、、2③-3 . 2 *2 2 =-3 2+3 X2 2 =3 ,2④3 .2 *(-2 ：2 )= 3 .2 +3《2、2 )=-3 , 2 .答案：①③9.【解题指南】解答本题，需先探究f(x)+f(-)的值x再求式子的值【解析】x21 x2丄~2一「I1x22x-+ 1 x 1 x 1-=1 2•原式=丄+ 1+1+1 =2答案：7210.【解析】当0 < x< 1 时，x-1 < 0,x-2 < 0, •g(X)=号=1.当1<x< 2 时，x-1 丸，x-2 < 0,6 -1 5• g(x)= ;2 2当x^2 时，x-1 >0, x-2 约，•g(x)= ^=2.1(O v x v 1) 故 g(x)= 5(仁 x V 2), I 22(x - 2)其图象如图所示•11.【解析】⑴由已知，g(2)=1,f(2)=3, ••f(g(2))=f(1)=0,g(f(2))=g (3)=2.(2)当 x > 0 时，g(x)=x-1, 故 f(g(x))=(x-1) 2-仁x 2-2x;当 x v 0 时，g(x)=2-x, 故 f(g(x))=(2-x) 2-仁x 2-4x+3;•f(g(x))=2x -2x, x > 02 , x -4x 3,x V 0当 x > 1 或 x v -1 时，f(x) > 0,故 g(f(x))=f(x)-1=x 2-2; 当-1 v x v 1 时，f(x) v 0,故 g(f(x))=2-f(x)=3-x 2,2x -2,x > 1 或x v -123-x ,-1 v x v 1 【探究创新】【解析】(1) 丁 对一 x,y 9R , f(x+y)=f(x) f (y),■3 '「g(f(x))=学习必备 欢迎下载且 f(1)=2,f(2)=f(1 + 1)=f(1) f (1)=22=4, f(3)=f(2+1)=f(1) f(2)=2 3=8.f(4)=f(2+2)=f(2) f(2)=2 4=16.故原式=2 X1 006=2 012. ⑵由(1)知 f (2) 2f (4) f 1 _ ，f 3f (6)_2f 2 012 f 2 011 2,。

第五章 数列5.1数列基础 5.1.1数列的概念一、知识点1. 定义：按照一定顺序排列的一列数成为数列。

2. 项：数列中的每一个数都称为这个数列的项,各项依次称为这个数列的第1项(或首项) ,第2项,…,第n 项 ,n a a a a ,......,,321，-1a 首项。

3. 通项：因为数列从首项起,每一项都与正整数对应,所以数列的一般形式可以写成n a a a a ,......,,321…,其中n a 表示数列的第n 项(也称n 为n a 的序号,其中n 为正整数,即n ∈N+),n a 称为数列的通项.此时,一般将整个数列简记为{an} ,这里的小写字母a 也可以换成其他小写英文字母.4. 通项公式：一般地,如果数列的第n 项n a 与n 之间的关系可以用 n a =f(n) 来表示,其中f (n)是关于n 的不含其他未知数的表达式,则称上述关系式为这个数列的一个通项公式 .不是所有的数列都能写出通项公式,如果数列有通项公式,那么通项公式的表达式不一定唯一.5. 与函数的关系：数列{n a }可以看成定义域为正整数集的子集的函数,数列中的数就是自变量从小到大依次取正整数值时对应的函数值,而数列的通项公式也就是相应函数的解析式.数列也可以用平面直角坐标系中的点来直观地表示.6. 分类：1）有穷数列：项数有限个2）无穷数列：项数无限个3）增数列：从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列 4）减数列：从第2项起,每一项都小于它的前一项的数列 5）常数列：各项都相等6）摆动数列：时而增大时而减小二、典型题典型题一 数列定义的理解1.有下面四个结论,其中正确的为( ) ①数列的通项公式是唯一的;②数列可以看成是一个定义在正整数集或其子集上的函数; ③若用图像表示数列,则其图像是一群孤立的点; ④每个数列都有通项公式. A.①② B.②③ C.③④ D.①④2.在数列1,1,2,3,5,8,x,21,34,55中,x 等于( ) A.11B.12C.13D.143.(2020甘肃兰州高二期中)下列数列中,既是递增数列又是无穷数列的是( ) A.-1,-2,-3,-4,…B.-1,-,…C.-1,-2,-4,-8,…D.1,,…,典型题二 求数列的通项公式4.若数列{a n }的前4项依次是2,0,2,0,则这个数列的通项公式不可能是( ) A.a n =1+(-1)n+1B.a n =1-cos nπC.a n =2sin2D.a n =1+(-1)n-1+(n-1)(n-2)5.已知数列{a n }的通项公式为n n a n -=2，则下列各数中不是数列中的项是（ ）A.2B.40C.56D.906.(2020辽宁沈阳东北育才学校高二期中)如图是谢尔宾斯基三角形,在所给的四个三角形图案中,黑色的小三角形个数依次构成数列{a n }的前4项,则{a n }的通项公式可以是( )A.a n =3n-1B.a n =2n-1C.a n =3nD.a n =2n-17.已知数列{a n }的通项公式为13+=n na n ，那么这个数列是（ ） A.递增数列B.递减数列C.摆动数列D.常数列 8.写出下列数列的一个通项公式.(1)-,…;(2),…;(3)7,77,777,7 777,….典型题三 数列的单调性9.在数列{a n }中,a n =n 2-kn(n ∈N +),且{a n }是递增数列,求实数k 的取值范围.10.(2020北京第十一中学高三一模)数列{a n }的一个通项公式为a n =|n-c|(n ∈N +),则“c<2”是“{a n }为递增数列”的( ) A.必要不充分条件 B.充要条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 11.数列{a n }的通项公式为nan a n +=。

课时提能演练(三十四)(45分钟 100分)一、填空题(每小题5分，共40分)1.设数列{(-1)n }的前n 项和为S n ，则对任意正整数n ，S n =______.2.已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n n 212－，其前n 项和n 321S 64＝，则项数n=______.3.已知数列{a n }：1121231239,,,23344410101010+++⋯+++⋯+⋯，，，若n n n 11b ,a a +=那么数列{b n }的前n 项和S n =______.4.(2012·南通模拟)给定数列{x n },x 1=1,且x n+1则x 1+x 2+…+x 2 011=______. 5.设()n 1111S ,2612n n 1=+++⋯++若S n ·S n+1=34，则n 的值为______. 6.已知数列2 008,2 009,1,-2 008,-2 009,…这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2 011项之和S 2 011=______. 7.数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=1,a 2=2,a n+2-a n =1+(-1)n (n ∈N *),则S 100=______. 8.(2012·泰州模拟)已知数列{a n }满足:a 1=m321-(m ∈N *),n n n 1n n a 3,a 3a ,2a ,a 3+->⎧=⎨≤⎩则数列{a n }的前4m+4项的和S 4m+4=______. 二、解答题(每小题15分，共45分)9.已知各项都不相等的等差数列{a n }的前6项和为60,且a 6为a 1和a 21的等比中项.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)若数列{b n }满足b n+1-b n =a n (n ∈N *)，且b 1=3，求数列{n1b }的前n 项和T n .10.设函数y=f(x)的定义域为R ，其图象关于点11(,)22成中心对称，令a k =f(k n)(n 是常数且n ≥2,n ∈N *)，k=1,2，…，n-1，求数列{a k }的前n-1项的和. 11.(2012·盐城模拟)已知数列{a n }满足［2+(-1)n+1］a n +［2+(-1)n ］a n+1=1+(-1)n ·3n,n ∈N *,a 1=2. (1)求a 2,a 3的值;(2)设b n =a 2n+1-a 2n-1,n ∈N *,证明:{b n }是等差数列; (3)设c n =2n 1a n ,2+求数列{c n }的前n 项和S n . 【探究创新】(15分)已知公差为d(d ＞1)的等差数列{a n }和公比为q(q ＞1)的等比数列{b n }，满足集合{a 3,a 4,a 5}∪{b 3,b 4,b 5}={1,2,3,4,5}, (1)求通项a n ,b n ;(2)求数列{a n ·b n }的前n 项和S n .答案解析1.【解析】∵数列{(-1)n }是首项与公比均为-1的等比数列,∴()()()()nn 111S 11---⨯-=--()n11.2--=答案：()n112--2.【解题指南】首先对数列的通项公式进行变形，观察通项公式的特点是一个常数列与一个等比数列的差，所以需要分组求和. 【解析】∵n n 1a 12＝－，∴n n 1111S (1)(1)(1)(1)2482⋯＝－＋－＋－＋＋－＝n 1111n ()2482⋯－＋＋＋＋＝n n 11(1)122n n 11212－－＝－＋，－ 由n n 3211S n 1642＝＝－＋，观察可得出n ＝6.答案：6 3.【解析】∵n 123n na ,n 12+++⋯+==+∴()n n n 11411b 4(),a a n n 1n n 1+===-++ ∴n 11111S 41)()()223n n 1=-+-+⋯+-+［(］ =14n4(1).n 1n 1-=++ 答案：4nn 1+4.【解析】由x 1=1且n 1x +=可求234567x 221,x 2,x 21,==-=-===所以数列{x n }为循环数列,周期为6, 且x 1+x 2+x 3+x 4+x 5+x 6=0, 所以x 1+x 2+…+x 2 011=x 1=1. 答案：15.【解析】n 1111111S 122334n n 1=-+-+-+⋯+-+=1n1,n 1n 1-=++ ∴S n ·S n+1=n n 1n 3,n 1n 2n 24+==+++解得n=6. 答案：6【变式备选】已知数列{a n }的通项公式a n =4n ，()()n 2n 2n 11b ,log a log a +=则数列{b n }的前10项和S 10=______. 【解析】根据题意()()n 2n 2n 11b log a log a +=2n 2n 1111(),2log a log a +=- 所以{b n }的前10项和S 10=b 1+b 2+…+b 10=212222232102111111111()2log a log a log a log a log a log a -+-+⋯+- 21211111()2log a log a 1115().222222=-=-=答案：5226.【解题指南】根据数列的前5项写出数列的前8项，寻找规律，可发现数列是周期数列.【解析】由已知得n n 1n 1a a a -+=+(n ≥2), ∴n 1n n 1a a a .+-=-故数列的前8项依次为2 008,2 009,1,-2 008,-2 009，-1，2 008，2 009. 由此可知数列为周期数列，周期为6,且S 6=0. ∵2 011=6×335+1, ∴S 2 011=S 1=2 008.答案：2 0087.【解析】由a n+2-a n =1+(-1)n 知 a 2k+2-a 2k =2,a 2k+1-a 2k-1=0, ∴a 1=a 3=a 5=…=a 2n-1=1, 数列{a 2k }是等差数列,a 2k =2k.∴S 100=(a 1+a 3+a 5+…+a 99)+(a 2+a 4+a 6+…+a 100) =50+(2+4+6+…+100)=()100250502+⨯+=2 600. 答案:2 6008.【解析】由已知得,数列{a n }是周期为m+1的周期数列,且前m+1项组成首项为a 1,公比为2的等比数列,∴m 1m 1m3(21)S ,21++-=- ∴m 14m 4m 12(21)S .21++-=-答案：m 1m 12(21)21+--9.【解析】(1)设等差数列{a n }的公差为d(d ≠0),则()()121116a 15d 60,,a a 20d a 5d +=⎧⎪⎨+=+⎪⎩ 解得1d 2,a 5=⎧⎨=⎩ ∴a n =2n+3. (2)由b n+1-b n =a n ,∴b n -b n-1=a n-1(n ≥2,n ∈N *)，b n =(b n -b n-1)+(b n-1-b n-2)+…+(b 2-b 1)+b 1 =a n-1+a n-2+…+a 1+b 1=n(n+2). 当n=1时，b 1=3也适合上式, ∴b n =n(n+2)(n ∈N *). ∴()n 11111(),b n n 22n n 2==-++ ()()n 2111111T (1)2324n n 213113n 5n ().22n 1n 24n 1n 2=-+-+⋯+-++=--=++++10.【解析】∵y=f(x)的图象关于点11(,)22成中心对称, 所以f(x)+f(1-x)=1. 令S n-1=a 1+a 2+…+a n-1,则S n-1=12n 1f()f()f(),n n n -++⋯+又S n-1=n 1n 21f()f()f(),n n n--++⋯+两式相加，得n 11n 12n 2n 112S f()f()f()f()f()f()n 1,n n n n n n----=++++⋯++=-［］［］［］∴n 1n 1S .2--=11.【解析】(1)因为［2+(-1)n+1］a n +［2+(-1)n ］a n+1=1+(-1)n ·3n(*),且a 1=2,所以将n=1代入(*)式,得3a 1+a 2=-2,故a 2=-8,将n=2代入(*)式,得a 2+3a 3=7,故a 3=5. (2)在(*)式中,用2n 代换n,得［2+(-1)2n+1］a 2n +［2+(-1)2n ］a 2n+1=1+(-1)2n ·6n, 即a 2n +3a 2n+1=1+6n ①, 再在(*)式中,用2n-1代换n,得［2+(-1)2n ］a 2n-1+［2+(-1)2n-1］a 2n=1+(-1)2n-1·(6n-3), 即3a 2n-1+a 2n =4-6n ②, ①-②,得3(a 2n+1-a 2n-1)=12n-3, 即b n =4n-1,则由b n+1-b n =［4(n+1)-1］-(4n-1)=4, 得{b n }是等差数列. (3)因为a 1=2,由(2)知,a 2k-1=a 1+(a 3-a 1)+(a 5-a 3)+…+(a 2k-1-a 2k-3) =2+(4×1-1)+(4×2-1)+…+［4×(k-1)-1］ =(k-1)(2k-1)+2 ③, 将③代入②,得3(k-1)(2k-1)+6+a 2k =4-6k, 即a 2k =-6k 2+3k-5 所以c 2k-1=a 2k-1+12(2k-1)2 =274k 5k ,2-+c 2k =a 2k +12(2k)2=-4k 2+3k-5, 则c 2k-1+c 2k =-2k-32,所以S 2k =(c 1+c 2)+(c 3+c 4)+…+(c 2k-1+c 2k )2333(21)(22)(2k )2225k k,2=-⨯++⨯++⋯+⨯+=--［］所以S 2k-1=S 2k -c 2k =()222511(k k)4k 3k 53k k 5,22----+-=-+故S n =()()22113k k 5 n 2k 125k k n 2k 2⎧-+=-⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩=223n 5n 12(n )4.n 5n (n )4⎧-+⎪⎪⎨+⎪-⎪⎩为奇数为偶数【探究创新】【解题指南】(1)结合等差数列与等比数列的项，由{a 3,a 4,a 5}∪{b 3,b 4,b 5}={1，2，3，4，5}可得a 3,a 4,a 5,b 3,b 4,b 5的值，从而可求数列的通项.(2)由于{a n },{b n }分别为等差数列、等比数列，用“乘公比错位相减”求数列的前n 项和S n .【解析】(1)∵1,2,3,4,5这5个数中成公差大于1的等差数列的三个数只能是1,3,5；成公比大于1的等比数列的三个数只能是1,2,4. 而{a 3,a 4,a 5}∪{b 3,b 4,b 5}={1，2，3，4，5}， ∴a 3=1，a 4=3，a 5=5，b 3=1，b 4=2，b 5=4, ∴a 1=-3，d=2,b 1=14,q=2,∴a n =a 1+(n-1)d=2n-5,b n =b 1×q n-1=2n-3. (2)∵a n b n =(2n-5)×2n-3,∴S n =(-3)×2-2+(-1)×2-1+1×20+…+(2n-5)×2n-3, 2S n =-3×2-1+(-1)×20+…+(2n-7)×2n-3+(2n-5)×2n-2,两式相减得-S n =(-3)×2-2+2×2-1+2×20+…+2×2n-3-(2n-5)×2n-2 =-34-1+2n-1-(2n-5)×2n-2 ∴()n 2n 7S 2n 72.4-=+-⨯【方法技巧】依特征找规律对于数列的综合题，应根据给出的等式的特征，结合数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系，及等比数列、等差数列的性质，转化为数列相邻两项的关系，另外，错位相减法是数列求和的重要方法，应熟练运用.【变式备选】已知等差数列{a n }的前3项和为6，前8项和为-4， (1)求数列{a n }的通项公式;(2)设b n =(4-a n )q n-1(q ≠0,n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和S n . 【解析】(1)设{a n }的公差为d,由已知得113a 3d 6,8a 28d 4.+=⎧⎨+=-⎩ 解得a 1=3,d=-1. 故a n =3-(n-1)=4-n. (2)由(1)可得,b n =n ·q n-1,于是 S n =1·q 0+2·q 1+3·q 2+…+n ·q n-1. 若q ≠1，将上式两边同乘以q, qS n =1·q 1+2·q 2+…+(n-1)·q n-1+n ·q n . 两式相减得到(q-1)S n =nq n -1-q 1-q 2-…-q n-1=()n 1n n nnq n 1q 1q 1nq q 1q 1+-++--=--于是,()()n 1n n 2nq n 1q 1S ,q 1+-++=-若q=1，则S n =1+2+3+…+n=()n n 12+.所以，S n=()()()()n1n2n n1q1,2nq n1q1(q1,q0).q1++⎧=⎪⎪⎨-++⎪≠≠⎪-⎩。

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课后巩固作业（六）(30分钟 50分)一、选择题(每小题4分，共16分) 1.已知数列{a n }的通项公式是a n =n 1n 1-+，那么这个数列是（ ） （A ）递增数列 （B ）递减数列 （C ）常数列 （D ）摆动数列 2.已知数列{a n }中，a n =2n+5，则a 3=（ ）（A ）13 （B ）12 （C ）11 （D ）10 3．数列1，-3，5，-7，9，…的一个通项公式为（ ） （A ）a n =2n-1 （B ）a n =（-1）n （2n-1） （C ）a n =（-1）n+1（2n-1） （D ）a n =（-1）n （2n+1）4.…，则 ）（A ）第6项 （B ）第7项 （C ）第8项 （D ）第9项 二、填空题(每小题4分，共8分) 5.数列1524354863,25101726，，，，…的一个通项公式为______. 6.若三个连续整数的和是48，则紧随它们后面的三个连续整数之和是______.三、解答题(每小题8分，共16分)7.已知数列{a n }中，a n =5n-3. (1)求a 5；(2)判断27是否为数列{a n }的一项. 8.已知数列{a n }的通项a n =(n+1)(1011) n(*n N ∈)，试问该数列{a n }有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的项数；若没有，说明理由. 【挑战能力】（10分）已知数列{a n }中，a n =nn 1+，判断数列{a n }的增减性.答案解析1.【解析】选A.n 1n 1221.n 1n 1n 1-+-==-+++（） 2.【解析】选C.a 3=2×3+5=11.3．【解析】选C.用观察法先不考虑符号，数列1，3，5，7，9…的通项为2n-1，然后再考虑符号，则通项公式a n =（-1）n+1（2n-1）. 4.【解题提示】先通过观察法得数列的通项公式，然后代入解n.【解析】选B.数列的通项公式为a n 解得n=7. 5.【解析】此数列各项都是分式,且分母都减去1为1,4,9,16,25…故分母可用n 2+1表示，若分子各项都加1为：16，25，36，49，64,…故分子可用（n+3）2-1表示,故其通项公式可为a n =22n 31.n 1+-+（） 答案：a n =22n 31n 1+-+（）【误区警示】本题易出现填22n 31n 1+-+（）的错误,应注意通项公式是一个等式a n =f （n ）,而不是一个代数式.6.【解析】设三个数为a ，a+1，a+2，则a+（a+1）+（a+2）=48，解得a=15，则紧随它们后面的三个连续整数分别为18，19，20.故这三个连续整数之和是18+19+20=57. 答案：577.【解题提示】（1）令n=5，代入a n 即可得a 5 (2)令a n =27，解方程，看n 是否是正整数. 【解析】(1)a 5=5×5-3=22. （2）令5n-3=27,解得n=6, 即27是数列{a n }的第6项. 8.【解题提示】先由a n =(n+1)·(1011)n判断此数列的增减性，然后再确定其有无最大项. 【解析】∵a n+1-a n =(n+2)(1011)n+1-(n+1)(1011)n =(1011)n ·9n11-, ∴当n<9时，a n+1-a n >0,即a n+1>a n ； 当n=9时，a n+1-a n =0，即a n+1=a n ； 当n>9时，a n+1-a n <0,即a n+1<a n ； 故a 1<a 2<a 3<…<a 9=a 10>a 11>a 12…， ∴数列{a n }有最大项a 9或a 10，其值为10×(1011)9，其项数为9或10. 【方法技巧】巧用数列通项公式研究数列问题（1）由通项公式研究数列问题是常用办法，此时要注意数列是一类特殊的函数，要重视函数思想方法的运用和函数性质的应用； （2）数列的单调性的判定很大程度上等同于函数单调性的判定，但特殊函数——数列也有自身的特征，数列单调性不同于函数单调性那样任取x 1、x 2,而是直接比较a n 与a n+1的大小来确定单调性. 【挑战能力】【解析】a n+1=n 1n 2++, 则a n+1-a n =n 1nn 2n 1+-++ =2n 1n n 21n 2n 1n 2n 1+-+=++++（）（）()()()(). ∵n N ∈*,∴n+2＞0,n+1＞0, ∴1n 2n 1++()()＞0,∴a n+1＞a n .∴数列{a n }是递增数列.。

新教材高中数学北师大版选择性必修第二册：课时作业(二) 数列的函数特性[练基础]1．数列{n 2－4n ＋3}的图象是( ) A ．一条直线B ．一条直线上的孤立的点C ．一条抛物线D ．一条抛物线上的孤立的点2．已知a n ＋1－a n －3＝0，则数列{a n }是( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．常数列 D ．不能确定3．数列{a n }中，a n ＝－2n 2＋29n ＋3，则此数列最大项的值是( ) A ．109 B ．10818C ．108D ．1074．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝411－2n ，则满足a n ＋1<a n 的n 的取值为( )A ．3B ．4C ．5D ．65．给定函数y ＝f (x )的图象，对任意a n ∈(0，1)，由关系式a n ＋1＝f (a n )得到的数列{a n }满足a n ＋1>a n (n ∈N ＋)，则该函数的图象是( )6．(多选题)下列四个命题中，正确的有( ) A ．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n ＋1n 的第k 项为1＋1kB ．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－n －50，n ∈N *，则－8是该数列的第7项C ．数列3，5，9，17，33，…的一个通项公式为a n ＝2n－1 D ．数列{a n }的通项公式为a n ＝nn ＋1，n ∈N *，则数列{a n }是递增数列 7．已知数列{a n }满足a 1＜0，a n ＋1a n＝2(n ∈N *)，则数列{a n }是________数列(填“递增”或“递减”).8．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝4n －102，那么数列{a n }中小于零的项共有________项．9．根据数列的通项公式，写出数列的前5项，并用图象表示出来．(1)a n ＝(－1)n＋2； (2)a n ＝n ＋1n.10．写出数列1，23，35，47，…的通项公式，并判断它的增减性．[提能力]11．若数列{a n }的通项公式a n ＝3n －53n －14，则在数列{a n }的前20项中，最大项和最小项分别是( )A ．a 1，a 20B ．a 20，a 1C ．a 5，a 4D ．a 4，a 512．(多选题)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝3n ＋k2n ，若数列{a n }为递减数列，则实数k的值可能为( )A ．－1B ．0C ．1D ．213．已知数列{a n }中，a n ＝n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫79n ＋1，当a n 最大时，n ＝________．14．已知数列{a n }，对于任意的正整数n ，a n ＝n 2＋λn .若数列{a n }是递增数列，则实数λ的取值范围是________________．15．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝nn ＋51.(1)问0.25是不是这个数列的项？如果是，为第几项；如果不是，请说明理由； (2)计算a n ＋1－a n ，并判断其符号；(3)求此数列的最小项，该数列是否存在最大项？[培优生]16．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝p n＋q (p ，q ∈R )，且a 1＝－12，a 2＝－34.(1)求{a n }的通项公式； (2)－255256是{a n }中的第几项？(3)该数列是递增数列还是递减数列？课时作业(二) 数列的函数特性1．解析：a n ＝n 2－4n ＋3是关于n 的二次函数，故其图象是抛物线y ＝x 2－4x ＋3上一群孤立的点．故选D. 答案：D2．解析：因为a n ＋1－a n ＝3>0，故数列{a n }是递增数列． 故选A. 答案：A3．解析：a n ＝－2n 2＋29n ＋3＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2－292n ＋3＝－2·⎝⎛⎭⎪⎫n －2942＋3＋2928，当n ＝7时，a n 最大且等于108.故选C.答案：C4．解析：由a n ＋1<a n ，得a n ＋1－a n ＝49－2n －411－2n＝8（9－2n ）（11－2n ）<0，解得92<n <112，又因为n ∈N ＋，所以n ＝5. 故选C. 答案：C5．解析：由a n ＋1>a n 可知数列{a n }为递增数列，又由a n ＋1＝f (a n )>a n 可知，当x ∈(0，1)时，y ＝f (x )的图象在直线y ＝x 的上方．故选A. 答案：A6．解析：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n ＋1n 的第k 项为1＋1k，A 正确；令n 2－n －50＝－8，得n ＝7或n ＝－6(舍去)，B 正确；将3，5，9，17，33，…的各项减去1，得2，4，8，16，32，…，设该数列为{}b n ，则其通项公式为b n ＝2n()n ∈N *，因此数列3，5，9，17，33，…的一个通项公式为a n ＝b n ＋1＝2n＋1()n ∈N *，C 错误；a n ＝nn ＋1＝1－1n ＋1，则a n ＋1－a n ＝1n ＋1－1n ＋2＝1()n ＋1()n ＋2>0，因此数列{}a n 是递增数列，D 正确．故选ABD. 答案：ABD7．解析：由已知a 1＜0，a n ＋1＝2a n (n ∈N *)，得a n ＜0(n ∈N *).因为a n ＋1－a n ＝2a n －a n ＝a n＜0，所以{a n }是递减数列．答案：递减8．解析：令4n －102<0，得n <2512，所以数列{a n }中小于零的项共有25项．答案：259．解析：(1)a 1＝1，a 2＝3，a 3＝1，a 4＝3，a 5＝1，图象如图①. (2)a 1＝2，a 2＝32，a 3＝43，a 4＝54，a 5＝65，图象如图②.10．解析：数列的通项公式a n ＝n2n －1.因为a n ＋1－a n ＝n ＋12n ＋1－n 2n －1＝－1（2n ＋1）（2n －1）<0，所以a n ＋1<a n ，所以{a n }是递减数列． 11．解析：由于a n ＝3n －53n －14＝3n －14＋93n －14＝1＋3n －143＝1＋93n －14，因此当1≤n ≤4时，{a n }是递减的，且a 1>0>a 2>a 3>a 4；当5≤n ≤20时，a n >0，且{a n }也是递减的，即a 5>a 6>…>a 20>0，因此最大的是a 5，最小的是a 4.故选C. 答案：C12．解析：由题意知a n ＋1<a n 对n ∈N *恒成立，即3（n ＋1）＋k 2n ＋1<3n ＋k 2n ，所以k >3－3n ，因为n ∈N *，所以3－3n ≤0(n ＝1时等号成立)，即3－3n 的最大值为0，所以k >0.故选CD.答案：CD13．解析：a n ＋1－a n ＝(n ＋1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫79n ＋2－n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫79n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫79n ＋1·7－2n9，故当n ＝1，2，3时，a n ＋1>a n ；当n ≥4时，a n ＋1<a n .所以此数列的最大项为a 4.答案：414．解析：∵{a n }是递增数列，∴a n ＋1－a n ＝(n ＋1)2＋λ(n ＋1)－n 2－λn ＝2n ＋1＋λ>0对于任意的正整数n 恒成立，即λ>－2n －1对于任意的正整数n 恒成立，∴λ>－3.答案：(－3，＋∞)15．解析：(1)0.25是这个数列的项．令a n ＝nn ＋51＝0.25，即n n ＋51＝14，解得n ＝17， ∴0.25是数列{}a n 的项，是第17项．(2)由题知， a n ＋1－a n ＝n ＋1n ＋52－nn ＋51＝()n ＋1()n ＋51－n ()n ＋52()n ＋51()n ＋52＝51()n ＋51()n ＋52∵n ∈N *，∴n ＋51>0，n ＋52>0，即a n ＋1－a n>0.(3)由(2)可得数列{}a n 是递增数列，则最小项为首项，即a 1＝11＋51＝152，无最大项． 16．解析：(1)因为a n ＝p n＋q ， 又因为a 1＝－12，a 2＝－34，所以⎩⎪⎨⎪⎧p ＋q ＝－12，p 2＋q ＝－34，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝12，q ＝－1，因此{a n }的通项公式是a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n－1(n ∈N *).(2)令a n ＝－255256，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝－255256，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝1256，解得n ＝8.故－255256是{a n }中的第8项．(3)由于a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，且⎝ ⎛⎭⎪⎫12n随n 的增大而减小，因此a n 的值随n 的增大而减小，故{a n }是递减数列．。

课时提能演练(三十二)(45分钟 100分)一、填空题(每小题5分，共40分)1.(2012·苏州模拟)等比数列{a n }中，a n >0,且a 3·a 6·a 9=4,则log 2a 2+log 2a 4+log 2a 8+log 2a 10=______.2.在等比数列{a n }中，a 1=1，公比|q|≠1.若a m =a 1a 2a 3a 4a 5，则m=_______.3.已知数列{a n }满足log 3a n +1=log 3a n+1(n ∈N *)，且a 2+a 4+a 6=9，则()15793l o g a a a ++的值是______.4.设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和.已知a 2a 4=1,S 3=7,则S 5=______.5.已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3=S 6,则数列{n1a }的前5项和为______.6.(2012·宿迁模拟)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2+a 5=0,则52S S =______. 7.(2012·泰州模拟)在等比数列{a n }中，若a 3a 5a 7a 9a 11=243,则2911a a 的值为______.8.已知函数f(x)=2x+3,数列{a n }满足:a 1=1且a n+1=f(a n )(n ∈N *),则该数列的通项公式a n =______.二、解答题(每小题15分，共45分) 9.已知等比数列{a n }的前n 项和为S n =2n +c. (1)求c 的值并求数列{a n }的通项公式; (2)若b n =S n +2n+1，求数列{b n }的前n 项和T n .10.(2011·湖北高考)成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n}中的b3、b4、b5.(1)求数列{b n}的通项公式;(2)数列{b n}的前n项和为S n，求证:数列{S n+54}是等比数列.11.(2012·无锡模拟)已知数列{a n}与{b n}满足：b n a n+a n+1+b n+1a n+2=0,b n=()n 31,2+-n∈N*,且a1=2,a2=4.(1)求a3,a4,a5的值；(2)设c n=a2n-1+a2n+1,n∈N*,证明：{c n}是等比数列.【探究创新】(15分)设一元二次方程a n x2-a n+1x+1=0(n=1,2,3,…)有两根α和β,且满足6α- 2αβ+6β=3.(1)试用a n表示a n+1;(2)求证:数列{a n-23}是等比数列;(3)当17a6=时，求数列{a n}的通项公式.答案解析1.【解析】∵a3·a6·a9=a63=4，∴236a 2=，∴log 2a 2+log 2a 4+log 2a 8+log 2a 10=log 2(a 2·a 4·a 8·a 10)=8432628log a log 2.3== 答案：832.【解析】根据题意可知：a m =a 1a 2a 3a 4a 5=q ·q 2·q 3·q 4=q 10=a 1q 10，因此有m=11. 答案：113.【解析】∵log 3a n +1=log 3a n+1, ∴a n+1=3a n ,∴数列{a n }是公比为3的等比数列; ∴a 5+a 7+a 9=(a 2+a 4+a 6)q 3=9×33=35, ∴()51579133log a a a log 3 5.++==-答案：-54.【解析】设公比为q(q ＞0),则q ≠1,由题意知()24121a q 1,a 1q q 7⎧=⎪⎨++=⎪⎩即()2121a q 1,a 1q q 7⎧=⎪⎨++=⎪⎩ 解得1a 4,1q 2=⎧⎪⎨=⎪⎩∴55141()312S .1412-==-［］答案：3145.【解题指南】首先判断公比q 是否能为1,其次应注意数列n1{}a 是公比为1q的等比数列.【解析】设等比数列{a n }的公比为q ，则当公比q=1时，由a 1=1得，9S 3=9×3=27，而S 6=6，两者不相等，故不合题意；当公比q ≠1时，由9S 3=S 6及首项为1得：361q 1q 91q 1q --⨯=--，解得q=2，所以数列n 1{}a 的前5项和为1111311.2481616++++= 答案：31166.【解析】设公比为q,由8a 2+a 5=0,得8a 2+a 2q 3=0, 解得q=-2,所以5522S 1q 11.S 1q-==-- 答案：-117.【解析】∵a 3a 5a 7a 9a 11=a 75=243=35, ∴a 7=3,∴291171111a a aa a ==a 7=3. 答案：38.【解析】由题意知a n+1=2a n +3, ∴a n+1+3=2(a n +3),∴数列{a n +3}是以a 1+3=4为首项,以2为公比的等比数列. ∴a n +3=4×2n-1=2n+1, ∴a n =2n+1-3. 答案：2n+1-3【方法技巧】构造等比数列求通项公式递推关系为a n+1=qa n +b 的数列,在求其通项公式时,可将a n+1=qa n +b 转化为a n+1+a=q(a n +a)的形式,其中a 的值可由待定系数法确定,即qa n +b=a n+1=qa n +(q-1)a ⇒a=bq 1-(q ≠1). 9.【解析】(1)当n=1时，a 1=S 1=2+c, 当n ≥2时，a n =S n -S n-1=2n -2n-1=2n-1,∴n n 1*2c,n 1a .2,n 2,n N-+=⎧=⎨≥∈⎩ ∵数列{a n }为等比数列, ∴a 1=2+c=1, ∴c=-1.∴数列{a n }的通项公式a n =2n-1. (2)∵b n =S n +2n+1=2n +2n, ∴T n =(2+22+…+2n )+2(1+2+…+n) =2(2n -1)+n(n+1)=2n+1-2+n 2+n.10.【解析】(1)设等差数列的三个正数分别为a-d,a,a+d. 依题意得,a-d+a+a+d=15，解得a=5. 所以{b n }中的b 3,b 4,b 5依次为7-d,10,18+d. 依题意,有(7-d)(18+d)=100, 解得d=2或d=-13(舍去). 故{b n }的第3项为5，公比为2. 由b 3=b 1·22,即5=b 1·22，解得b 1=54.所以{b n }是以54为首项，2为公比的等比数列，其通项公式为:b n =54×2n-1=5×2n-3.(2)数列{b n }的前n 项和n n 2n 5(12)54S 52,124--==⨯--即n 2n 5S 52,4-+=⨯所以n 1n 11n 2n5S 55524S , 2.54252S 4-+-+⨯+===⨯+ 因此数列{n 5S 4+}是以52为首项，公比为2的等比数列.【变式备选】已知数列{a n }满足a 1=1,a n+1=2a n +1(n ∈N *), (1)求证数列{a n +1}是等比数列; (2)求{a n }的通项公式.【解析】(1)由a n+1=2a n +1得a n+1+1=2(a n +1) 又a 1+1≠0，所以n 1n a 12.a 1++=+ 即{a n +1}为等比数列. (2)由(1)知a n +1=(a 1+1)q n-1 即a n =(a 1+1)q n-1-1=2×2n-1-1=2n -1.11.【解析】(1)由()nn 31b 2+-=,n ∈N *,可得n 1,n b 2,n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数又b n a n +a n+1+b n+1a n+2=0,当n=1时,a 1+a 2+2a 3=0,由a 1=2,a 2=4,可得a 3=-3; 当n=2时,2a 2+a 3+a 4=0,可得a 4=-5; 当n=3时,a 3+a 4+2a 5=0,可得a 5=4. (2)对任意n ∈N *,a 2n-1+a 2n +2a 2n+1=0, ①2a 2n +a 2n+1+a 2n+2=0, ② a 2n+1+a 2n+2+2a 2n+3=0, ③ ②-③,得a 2n =a 2n+3. ④将④代入①,可得a 2n+1+a 2n+3=-(a 2n-1+a 2n+1) 即c n+1=-c n (n ∈N *) 又c 1=a 1+a 3=-1,故c n ≠0, 因此n 1nc 1,c +=-所以{c n }是等比数列. 【探究创新】【解析】(1)∵一元二次方程a n x 2-a n+1x+1=0(n=1,2,3,…)有两根α和β, 由根与系数的关系易得α+β=n 1n a ,a +αβ=n1a , ∵6α-2αβ+6β=3, ∴n 1n n6a 23,a a +-= 即n 1n 11a a .23+=+(2)∵n 1n 11a a ,23+=+∴n 1n 212a (a ),323+-=-当a n -23≠0时,n 1n 2a 13,22a 3+-=- 当a n -23=0，即n 2a 3=时，此时一元二次方程为222x x 10,33-+=即2x 2-2x+3=0，Δ=4-24＜0，∴不合题意，即数列{n 2a 3-}是公比为12的等比数列.(3)由(2)知:数列{n 2a 3-}是以12721a 3632-=-=为首项,公比为12的等比数列,∴n 1n n 2111a ()(),3222--=⨯=即n n 12a (),23=+∴数列{a n }的通项公式是n n 12a ().23=+。