最新人教版高中数学选修1-2《数系的扩充与复数的引入》单元检测3

数学·选修1－2(人教A版)章末过关检测卷(三)第三章数系的扩充与复数的引入(测试时间：120分钟评价分值：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设i为虚数单位，复数z1＝a－3i，z2＝2＋b i，a其中a，b∈R，若z1＝z2，则ab＝()A．－1 B．5 C．－6 D．6答案：C2．复数z1＝－3＋i，z2＝1－i，则z＝z1·z2在复平面内的对应点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：B3．i为虚数单位，则i＋1i等于()A．0 B．2i C．1＋i D．－1＋i答案：A4．对于复数z＝a＋b i有()A．|z2|>|z|2B．|z2|＝|z|2C．|z2|<|z|2D．|z2|＝z2答案：B5.1－3i (3＋i )2＝( ) A.14＋34i B ．－14－34i C.12＋32i D ．－12－32i 答案：B6．复数z ＝i(i ＋1)(i 为虚数单位)的共轭复数是( ) A ．－1－i B ．－1＋i C ．1－i D ．1＋i分析：本题考查复数代数形式的四则运算及复数的基本概念，考查基本运算能力．先把z 化成标准的a ＋b i(a ，b ∈R)形式，然后由共轭复数定义得出z －＝－1－i.解析：由z ＝i(i ＋1)＝－1＋i ，及共轭复数定义得z －＝－1－i.答案：A7．若复数z ＝1＋i(i 为虚数单位)，z 是z 的共轭复数，则z 2＋z 2的虚部为( )A ．0B ．－1C ．1D ．－2解析：因为z ＝1＋i ，所以z －＝1－i ，所以z 2＋z －2＝(1＋i)2＋(1－i)2＝2i －2i ＝0，选A. 答案：A8．若1＋2i 是关于x 的实系数方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个复数根，则( )A ．b ＝2，c ＝3B ．b ＝2，c ＝－1C ．b ＝－2，c ＝－1D ．b ＝－2，c ＝3解析：根据实系数方程的根的特点知1－2i 也是该方程的另一个根，所以1＋2i ＋1－2i ＝2＝－b ，即b ＝－2，(1－2i)(1＋2i)＝3＝c ，故选D.答案：D9．若复数z 满足z (2－i)＝11＋7i(i 为虚数单位)，则z 为( ) A ．3＋5i B ．3－5i C ．－3＋5i D ．－3－5i解析：因为z (2－i)＝11＋7i ，所以z ＝11＋7i2－i ，分子分母同时乘以2＋i ，得z ＝(11＋7i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝22＋11i ＋14i ＋7i 24－i2＝22－7＋25i 4－i2＝22－7＋25i 4＋1＝15＋25i 5＝3＋5i.答案：A10．复数方程|||z ＋i|－|z －i|＝2对应的复平面内的曲线是( ) A ．双曲线 B ．双曲线的一支C ．直线D ．两条射线(包括端点)答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分；将正确答案填在题中的横线上)11．若复数z 1＝4＋29i ，z 2＝6＋9i ，则复数(z 1－z 2)i 的实部为______．解析：(z 1－z 2)i ＝[(4＋29i)－(6＋9i)]i ＝(－2＋20i)i ＝－20－2i ，实部为－20.答案：－2012．若复数z 满足z ＝i(2－z )，则z ＝______.解析：由z ＝i(2－z )，得(1＋i)z ＝2i ，即z ＝2i1＋i＝2i (1－i )2＝1＋i.答案：1＋i13．在复平面内，复数1＋i 与－1＋3i 分别对应向量O A →和O B →，其中O 为坐标原点，则|A B →|＝________.解析：AB→＝OB →－OA →＝(－1＋3i)－(1＋i)＝－2＋2i ， ∴|AB→|＝2 2. 答案：2214．已知复数z 1＝a ＋b i ，z 2＝－1＋a i(a ，b ∈R)，若|z 1|＜|z 2|，则b 的取值范围是______．解析：由题知a 2＋b 2<(－1)2＋a 2，∴b 2<1，∴－1<b <1. 答案：(－1,1)三、解答题(本大题共6小题，共80分；解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤)15．(12分)计算：(1)(1－i)(1＋i)2－⎝ ⎛⎭⎪⎫25－15i ＋1＋2i 1－2i－4i ；(2)(－1＋3i )3(1＋i )6－(2＋i )24－3i .解析：(1)(1－i)(1＋i)2－⎝ ⎛⎭⎪⎫25－15i ＋1＋2i 1－2i－4i ＝2i ＋2－25＋15i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＋45i －4i ＝1－i. (2)(－1＋3i )3(1＋i )6－(2＋i )24－3i ＝(－1＋3i )3(2i )3－3＋4i 4－3i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i 3(－i)3－(4－3i )i4－3i ＝－i －i ＝－2i.16．(12分)设复数z ＝(a 2＋a －2)＋(a 2－7a ＋6)i ，其中a ∈R ，当a 取何值时，(1)z ∈R ？(2)z 是纯虚数？(3)z 是零？解析：(1)当a 2－7a ＋6＝0，即a ＝1或a ＝6时，z ∈R.(2)当⎩⎨⎧ a 2＋a －2＝0，a 2－7a ＋6≠0，即a ＝－2时，z 是纯虚数．(3)当⎩⎨⎧a 2＋a －2＝0，a 2－7a ＋6＝0，即a ＝1时，z 是零17.(14分)设z 是虚数，ω＝z ＋1z 是实数，且－1＜ω＜2. (1)求|z |的值及z 的实部的取值范围； (2)求ω2－4ω的取值范围．解析：(1)设z ＝a ＋b i ，a ，b ∈R ，b ≠0，ω＝z ＋1z ＝a ＋b i ＋1a ＋b i ＝a ＋b i ＋a －b i a 2＋b 2＝a ＋aa 2＋b2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫b －b a 2＋b 2i ，由－1＜ω＜2，得⎩⎪⎨⎪⎧－1＜a ＋aa 2＋b2＜2，b －b a 2＋b2＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－12＜a ＜1，a 2＋b 2＝1.∴|z |是1，z 的实部的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－12，1.(2)由(1)知ω＝2a ，ω2－4ω＝4a 2－8a ＝4(a －1)2－4，∴－4＜ω2－4ω＜5.18．(14分)方程x 2＋5x ＋m ＝0有两虚根z 1，z 2，且|z 1－z 2|＝3，求实数m 的值．解析：由方程有虚根，得Δ＝25－4m ＜0⇒m ＞254.由韦达定理，得z 1＋z 2＝－5，z 1·z 2＝m ，|z 1－z 2|2＝|(z 1－z 2)2|＝|(z 1＋z 2)2－4z 1z 2|＝|25－4m |＝9.∴m ＝4(舍去)，m ＝172.19.(14分)求虚数z ，使之同时满足以下两个条件： ①|z －3|＝|z －3i|；②z －1＋5z －1是实数．解析：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R ，y ≠0)， 由|z －3|＝|z －3i|，得|x －y i －3|＝|x －y i －3i|⇒y ＝－x .①由z －1＋5z －1是实数，得x －1＋y i ＋5(x －1)＋y i ∈R ，y ≠0⇒(x －1)2＋y 2＝5.②联立①和②，得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－2或⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝1.∴z ＝2－2i 或z ＝－1＋i.20．(14分)已知：复数z 1＝m ＋n i ，z 2＝2－2i 和z ＝x ＋y i ，若z ＝z 1i －z 2，其中m ，n ，x ，y 都是实数．(1)若复数z 1所对应点M (m ，n )在曲线y ＝12(x ＋3)2＋1上运动，求复数z 所对应点P (x ，y )的轨迹C 方程；(2)过原点的直线与轨迹C 有两个不同的交点，求直线的斜率k 的取值范围．解析：(1)z ＝z 1i －z 2＝(m －n i)i －(2－2i)＝(n －2)＋(2＋m )i ＝x ＋y i ，复数相等，得⎩⎨⎧x ＝n －2，y ＝2＋m⇒⎩⎨⎧n ＝x ＋2，m ＝y －2.∵点M (m ，n )在曲线y ＝12(x ＋3)2＋1上运动，∴n ＝12(m ＋3)2＋1⇒x ＋2＝12(y －2＋3)2＋1⇒x ＝12(y ＋1)2－1.(2)设过原点的直线的方程是y ＝kx ，代入曲线C 的方程，得ky 2＋(2k －2)y －k ＝0，Δ＝(2k －2)2＋4k 2＝8⎝⎛⎭⎪⎫k －122＋2＞0恒成立，∴k ∈R.。

一、选择题1．已知i 是虚数单位，121z i z -=+，则||z 等于（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．52．若复数2320211z i i i i =++++⋯+，则复数z 对应的点在第（ ）象限 A ．一 B ．二 C ．三D ．四 3．设复数(1)i(,)z x y x y =-+∈R ，若||1z ，记事件A ：实数x y ，满足10x y --，则事件A 的概率为（ ）A ．14B ．12C ．12πD ．1π4．复数()34z i i =--在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 5．如图所示，在复平面内，OP 对应的复数是1－i ，将OP 向左平移一个单位后得到00O P ，则P 0对应的复数为( )A ．1－iB ．1－2iC ．－1－iD ．－i 6．已知复数21i z i =+，则共轭复数z =( ) A ．1i -+B ．1i -C ．1i +D ．1i -- 7．已知复数z 满足(i−1)(z −3i )=2i(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数为 A ．i−1B ．1+2iC ．1−iD ．1−2i 8．若复数(32)z i i =-，则z =（ ） A ．32i - B ．32i +C ．23i +D ．23i - 9．“0x =”是“复数()()21z x x x i x R =-+-∈为纯虚数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 10．设复数3422i i z +-=，则复数z 的共轭复数是( ) A ．52i - B ．52i + C ．52i -+ D ．52i -- 11．已知复数z 满足|12||2|32z i z i ---++=i 是虚数单位），若在复平面内复数z应的点为Z ，则点Z 的轨迹为（ ）A ．双曲线的一支B ．双曲线C ．一条射线D ．两条射线 12．设复数21i x i=-（i 是虚数单位），则112233202020202020202020202020C x C x C x C x +++⋅⋅⋅+=（ ）A ．1i +B ．i -C ．iD ．0 二、填空题13．i 是虚数单位，若复数()()12i i a -+ 是纯虚数，则实数a 的值为____________. 14．2320111i i i i ++++⋯+=_______________.15．关于x 的方程240x x k ++=有一个根为23i -+（i 为虚数单位），则实数k =______.16．在复平面上，若正方形OABC （按顺时针方向，O 表示原点）中的顶点A 对应复数为12i +，则顶点C 对应的复数为_________.17．复数1323i i=+__________． 18．设i 为虚数单位，复数2i z i +=，则z 的模||z =______. 19．复数z 满足()12i z -=，则z 的虚部是__________．20．若复数z 满足3i z i+=（其中i 是虚数单位），则z =__________. 三、解答题21．已知复数z a bi =+（a ，b 为正实数，i 是虚数单位）是方程2450x x -+=的一个根.（1）求此方程的另一个根1z 及1z 的值；（2）复数3w u i =+()u R ∈满足w z -<u 的取值范围.22．已知1z i =-.(1)若2z az b 1i,a,b R ++=+∈,求,a b .(2)设复数1(,)z x yi x y R =+∈满足11z z -=，试求复数1z 平面内对应的点(,)x y 到原点距离的最大值.23．已知复数w 满足()1243w i i +=+（i 为虚数单位），52z w w=+-，求一个以z 为根的实系数一元二次方程．24．已知复数z 满足：234z i =+，且z 在复平面内对应的点位于第三象限.（I ）求复数z ；（Ⅱ）设a R ∈，且2019121z a z +⎛⎫+= ⎪+⎝⎭，求实数a 的值.25．已知复数23(68)(1)41m m m i z m i--++=+--（i 为虚数单位，m R ∈）. （1）若z 是实数，求m 的值；（2）若复数z 在复平面内对应的点位于第四象限，求m 的取值范围.26．已知()1243i z i +=+，求复数z .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【解析】 因为121z i z-=+，所以12(1)22z i z i iz -=+=+，212(12)343412(12)(12)555i i i z i i i i ----====--++-，1z ==，故选A ． 2．A解析：A【分析】根据周期性得到1z i =+,得到答案.【详解】2320211(11)(11)11z i i i i i i i i i i =++++⋯+=+--+⋯++--++=+，故复数z 对应的点在第一象限.故选：A.【点睛】本题考查了复数对应象限，意在考查学生的计算能力和转化能力.3．B解析：B【解析】【分析】先计算复数表示的圆面22(1)1x y -+，由于直线10x y --=过()2211x y -+=的圆心，概率为12【详解】由(1)i z x y =-+得到||1z =，22(1)1x y -+， 又直线10x y --=过()2211x y -+=的圆心，所以事件A 的概率为12p =． 故选B ．【点睛】本题考查了几何概型，判断直线10x y --=过()2211x y -+=的圆心是解题的关键. 4．D解析：D【分析】直接由复数的乘法运算化简，求出z 对应点的坐标，则答案可求．【详解】复数()3443z i i i =--=-.对应的点为()4,3-，位于第四象限.故选D.【点睛】本题考查复数代数形式的乘法运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题． 5．D解析：D【分析】要求P 0对应的复数，根据题意，只需知道0OP ，而0000OP OO O P =+，从而可求P 0对应的复数【详解】因为00O P OP=，0OO 对应的复数是－1， 所以P 0对应的复数，即0OP 对应的复数是()11i i -+-=-，故选D. 【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，复平面内复数、向量及点的对应关系，是基础题．6．B解析：B【解析】 分析：首先求得复数z ，然后求解其共轭复数即可.详解：由题意可得：()()()()2121211112i i i i z i i i i -+====+++-， 则其共轭复数1z i =-.本题选择B 选项.点睛：本题主要考查复数的运算法则，共轭复数的概念等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7．B解析：B【解析】分析：把已知等式变形，再利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．详解：由(i−1)(z −3i )=2i(， 得()22(1)1211(1)i i i z i i i i i i ----=--+-+--＝＝， 则z 的共轭复数为12i + ．故选：B ．点睛：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．8．C解析：C【解析】分析：由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.详解：由复数的运算法则可得：()2323223z i i i i i =-=-=+.本题选择C 选项.点睛：本题主要考查复数的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 9．C解析：C【解析】分析：首先求得复数z 为纯虚数时x 是值，然后确定充分性和必要性即可.详解：复数()()21z x x x i x R =-+-∈为纯虚数，则： 2010x x x ⎧-=⎨-≠⎩，即：011x x x ==⎧⎨≠⎩或，据此可知0x =， 则“0x =”是“复数()()21z x x x i x R =-+-∈为纯虚数”的充要条件 本题选择C 选项.点睛：本题主要考查充分必要条件的判断，已知复数类型求参数的方法，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10．B解析：B【解析】分析：根据复数模的定义化简复数，再根据共轭复数概念求结果. 详解：因为3422i iz +-=，所以522i z -=,所以复数z 的共轭复数是52i +, 选B. 点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭为.-a bi11．C解析：C【解析】分析：利用两个复数的差的绝对值表示两个复数对应点之间的距离，来分析已知等式的意义．详解：∵复数z 满足|122|z i z i ---++=i 是虚数单位），在复平面内复数z 对应的点为Z ，则点Z 到点（1，2）的距离减去到点（﹣2，﹣1）的距离之差等于，而点（1，2）与点（﹣2，﹣1）之间的距离为，故点Z 的轨迹是以点（1，2）为端点的经过点（﹣2，﹣1）的一条射线．故选 C ．点睛：本题考查两个复数的差的绝对值的意义，两个复数的差的绝对值表示两个复数对应点之间的距离．12．D解析：D【分析】先化简1x +，再根据所求式子为2020(1)1x +-，从而求得结果．【详解】 解：复数2(1i x i i=-是虚数单位）， 而1122332020202020202020202020202020(1)1C x C x C x C x x +++⋯+=+-， 而2121(1)111(1)(1)i i i i x i i i i i -++++====--+-， 故11223320202020202020202020202020202020(1)11110C x C x C x C x x i +++⋯+=+-=-=-=， 故选：D ．【点睛】本题主要考查复数的乘除法运算、二项式定理的应用，属于中档题．二、填空题13．【解析】试题分析：由复数的运算可知是纯虚数则其实部必为零即所以考点：复数的运算解析：2-【解析】 试题分析：由复数的运算可知，()()12i a i -+是纯虚数，则其实部必为零，即，所以. 考点：复数的运算. 14．0【分析】先利用等比数列的求和公式化简然后利用虚数单位的性质求解即可【详解】故答案为0【点睛】本题主要考查等比数列的求和公式以及虚数单位的性质属于中档题解析：0【分析】先利用等比数列的求和公式化简，然后利用虚数单位的性质求解即可.【详解】()50342012232011111110111i i i i i i i i i---++++⋯+====---, 故答案为0.【点睛】 本题主要考查等比数列的求和公式以及虚数单位的性质，属于中档题.15．13【分析】根据复数方程的性质可得也是方程的根结合韦达定理即可求解【详解】由题意方程有一个根为则是方程的另一个根由韦达定理可得又由所以故答案为13【点睛】本题主要考查了复数的性质以及一元二次方程的根 解析：13【分析】根据复数方程的性质，可得23i --也是方程的根，结合韦达定理，即可求解.【详解】由题意，方程240x x k ++=有一个根为123x i =-+，则223x i =--是方程的另一个根，由韦达定理，可得12x x k =，又由(23)(23)13i i ---+=，所以13k =.故答案为13.【点睛】本题主要考查了复数的性质，以及一元二次方程的根与系数的关系的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.16．【分析】根据正方形的几何性质对应的复数乘以得到对应的复数【详解】由于顶点对应复数为顺时针旋转得到故对应的复数为故填：【点睛】本小题主要考查复数对应的点考查复数的几何性质与乘法运算属于基础题解析：2i -【分析】根据正方形的几何性质，A 对应的复数乘以i -，得到C 对应的复数.【详解】由于顶点A 对应复数为12i +，OA 顺时针旋转90得到OC ，故C 对应的复数为()()122i i i +⋅-=-.故填：2i -.【点睛】本小题主要考查复数对应的点，考查复数的几何性质与乘法运算，属于基础题. 17．【解析】【分析】根据复数除法法则进行计算【详解】【点睛】首先对于复数的四则运算要切实掌握其运算技巧和常规思路如其次要熟悉复数相关基本概念如复数的实部为虚部为模为对应点为共轭为解析：32i +【解析】【分析】根据复数除法法则进行计算.【详解】()131323322313i i i i i =-=++。

数学人教A 选修1-2第三章 数系的扩充与复数的引入单元检测(时间：45分钟，满分：100分)一、选择题(每小题6分，共48分)1．已知i 是虚数单位，则3i 1i +-＝( )． A ．1－2i B ．2－iC ．2＋iD ．1＋2i2．若a ，b ∈R ，i 为虚数单位，且(a ＋i)i ＝b ＋i ，则( )．A ．a ＝1，b ＝1B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝1，b ＝－1D ．a ＝－1，b ＝－13．设复数22i (1i)z +=+，则复数z 的虚部是( )． A ．12B ．－1C ．－iD ．1 4．已知复数z 满足2i z -＝1＋2i ，则z ＝( )． A ．4＋3i B ．4－3iC ．－iD ．i5．如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数z ＝(1＋a i)i(i 是虚数单位)为“等部复数”，则实数a 的值是( )．A ．1B ．0C ．－1D ．26．已知复数z ＝(a －2i)(1＋i)(a ∈R )在复平面内对应的点为M ，则“a ＝1”是点M 在第四象限的( )．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知复数(x －2)＋y i(x ，y ∈R )，则y x的最大值为( )．A ．2B ．3C ．12D 8．已知复数z 1＝2＋i ，z 2在复平面内对应的点在直线x ＝1上，且满足1z ·z 2是实数，则z 2等于( )．A ．11i 2-B ．11i 2+ C ．1i 2＋ D ．1i 2－二、填空题(每小题6分，共18分)9．若复数z 1＝3＋4i ，z 2＝－1－2i ，则复数(z 1－z 2)i 的实部为__________．10．已知1im +＝1－n i(m ，n ∈R )，则m ＋n i ＝__________． 11．已知复数z 1＝3＋a i ，z 2＝1－i ，z 3＝b ＋2i(a ，b ∈R )，它们在复平面内对应的点分别为A ，B ，C ，且BC CA =，则z 1＋z 3＝__________．三、解答题(共3小题，共34分)12．(10分)已知复数z ＝(2＋i)m 2－61im -－2(1－i)，当实数m 取什么值时，复数z 是(1)虚数；(2)纯虚数．13．(10分)实数m 分别取什么数值时，复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i(1)与复数2－12i 相等；(2)与复数12＋16i 互为共轭复数；(3)对应的点在x 轴上方．14．(14分)设z ＝log 2(1＋m )＋12ilog (3)m －(m ∈R )．(1)若z 在复平面内对应的点在第三象限，求m 的取值范围；(2)若z 在复平面内对应的点在直线x －y －1＝0上，求m 的值．参考答案 1答案：D 解析：∵23i (3i)(1i)33i i i 1i (1i)(1i)2++++++==--+＝1＋2i ，∴选D ． 2答案：C 解析：由(a ＋i)i ＝b ＋i ，得a i －1＝b ＋i ，所以a ＝1，b ＝－1．3答案：B 解析：2i 2i 11i 2i 22z +-+===-， ∴虚部为－1．4答案：D 解析：由2i z -＝1＋2i ，得2i (2i)(12i)24i i 2i 12i 55z ------====-+，∴z ＝i ．5答案：C 解析：z ＝(1＋a i)i ＝－a ＋i ，由已知－a ＝1，∴a ＝－1．6答案：A 解析：z ＝(a －2i)(1＋i)＝(a ＋2)＋(a －2)i ，当a ＝1时，z ＝3－i 对应的点在第四象限．当复数z 对应的点在第四象限时，20,20,a a +>⎧⎨-<⎩解得－2＜a ＜2．a 不一定为1， ∴a ＝1是复数z 对应的点在第四象限的充分不必要条件．7答案：D 解析：∵22(2)3x y -+=，∴(x －2)2＋y 2＝3．设l ：y ＝kx ，则圆心到直线的距离为231d k ==+，∴k ＝±3，∴y x 的最大值为3．8答案：B 解析：由z 1＝2＋i ，得1z ＝2－i ，由z 2在复平面内对应的点在直线x ＝1上，可设z 2＝1＋b i(b R )，则1z ·z 2＝(2－i)·(1＋b i)＝2＋b ＋(2b －1) i ．又1z ·z 2为实数，∴2b －1＝0，b ＝12． ∴z 2＝1＋1i 2．9答案：－6 解析：z 1－z 2＝3＋4i －(－1－2i)＝4＋6i ，(z 1－z 2)i ＝(4＋6i)i ＝－6＋4i ， ∴(z 1－z 2)i 的实部为－6．10答案：2＋i 解析：1i m +＝1－n i 可化为i 2m m -＝1－n i ， ∴1,2,2m m n ⎧=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩∴2,1,m n =⎧⎨=⎩∴m ＋n i ＝2＋i ．11答案：5＋7i 解析：设点O 为坐标原点．∵BC CA =，∴OC OB OA OC -=-，∴2OC OA OB =+，∴2b ＋4i ＝4＋(a －1)i ，∴24,14,b a =⎧⎨-=⎩∴5,2,a b =⎧⎨=⎩∴z 1＋z 3＝3＋5i ＋2＋2i ＝5＋7i ．12答案：解：z ＝(2＋i)m 2－3m (1＋i)－2(1－i)＝(2m 2－3m －2)＋(m 2－3m ＋2)i ，(1)当m 2－3m ＋2≠0，即m ≠2且m ≠1时，z 为虚数．(2)当222320,320,m m m m ⎧--=⎪⎨-+≠⎪⎩ 即m ＝12-时，z 为纯虚数． 13答案：解：根据复数相等的充要条件得22562,21512.m m m m ⎧++=⎪⎨--=-⎪⎩解之，得m ＝－1．答案：根据共轭复数的定义得225612,21516.m m m m ⎧++=⎪⎨--=-⎪⎩解之，得m ＝1． 答案：根据复数z 对应的点在x 轴上方可得m 2－2m －15＞0，解之，得m ＜－3或m ＞5．14答案：解：由已知， 得212log (1)0, log (3)0, 10, 30, m m m m +<⎧⎪-<⎪⎨⎪+>⎪->⎩①②③④解得不等式组的解集为－1＜m ＜0，即m 的取值范围是－1＜m ＜0．答案：由已知得，点(log 2(1＋m )，12log (3)m －)在直线x －y －1＝0上，即log 2(1＋m )－12log (3)m －－1＝0，∴log 2[(1＋m )(3－m )]＝1，∴(1＋m )(3－m )＝2，∴m 2－2m －1＝0．∴m＝1m＝11＋m ＞0，且3－m ＞0，∴m＝1。

一、选择题1．若复数1a iz i+=+(i 为虚数单位)为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．1B ．0C ．12- D ．1-2．若复数1z ，2z 满足1134z z i +=-，212z i ++=，则12z z -的最小值为（ ）．A ．110B ．1110C ．2110D ．2110-3．若1+是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，则（ ） A ．2,3b c ==B ．2,1b c ==-C ．2,1b c =-=-D ．2,3b c =-=4．设m R ∈，复数()23521z m m i m =-++-，则z 在复平面内的对应点一定不在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．在复数范围内，有下列命题：（1）若12,z z 是两个复数，则1212z z z z +一定是实数 （2）“||1z =”是“1z R z+∈”的充分非必要条件（3）方程20(0)x t t +=>的根是（4）22z z =则其中假命题的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．46．i 是虚数单位，20191i ()(1i+=- ) A ．i B ．i -C ．1D ．1-7．若2131aii i+=--+，a R ∈，则a =（ ） A ．4- B ．3-C ．3D ．48．复数1323ii+的共轭复数为（ ） A ．32i + B ．32i -C ．23i +D ．23i -9．复数z 11ii-=+，则|z |=( )A ．1B ．2C D ．10．已知i 是虚数单位，且1zi =+，下列命题错误的是（ ） A ．z 对应复平面内的点在第四象限B ．||2z =C ．z 的共轭复数为3z i =+ D ．22z z =11．已知复数z 满足(1)|3|i z i +=+，其中i 为虚数单位，则复数z 在复平面内对应点所在的象限为（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限12．若34sin cos 55i z θθ⎛⎫-+- =⎪⎝⎭是纯虚数，则tan 4πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．﹣7B ．17-C ．7D ．﹣7或17-二、填空题13．已知复数z 满足方程||2z i +=，则|2|z -的最小值为____________．14．若复数2018,1z i i=+-则z 的虚部为__________． 15．复数(12)(3),z i i =+-其中i 为虚数单位，则z 的实部是________________.16．设复数满足，则____________.17．关于x 的方程240x x k ++=有一个根为23i -+（i 为虚数单位），则实数k =______.18．设复数z 满足(2)1z i i i +=-，其中i 为虚数单位，则z =__________． 19．设复数()21z i =-（i 是虚数单位），则z 的模为__________． 20．若z C ∈,且221z i +-=,则22z i --的最小值为______________．三、解答题21．已知复数2()z a ai a R =+∈，若2z =z 在复平面内对应的点位于第四象限.（1）求复数z ；（2）若22m m mz +-是纯虚数，求实数m 的值. 22．已知复数1212,34,z i z i i =-=+为虚数单位.（1）若复数21z az + 对应的点在第四象限，求实数a 的取值范围； （2）若()1212z z z z z +=-，求z 的共轭复数.23．已知复数13z i =，22z =，212z z ⨯是虚部为正数的纯虚数.（1）求212z z ⨯的模； （2）求复数2z .24．已知()1243i z i +=+，求复数z .25．关于复数z 的方程()()()230z a i z i a R -+-+=∈.（1）若此方程有实数解，求a 的值；（2）证明：对任意的实数a ，原方程不可能有纯虚数根.26．已知i 为虚数单位，复数z 在复平面内对应的点为（1）设复数z 的共轭复数为z ，求|z +的值；（2）已知,a b ∈R ，(3()a bi i z i -=，求ab 的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】直接利用复数的除法运算结合复数定义得到答案. 【详解】()()()()()1+1+11112a i i a a i a i z i i i +--+===++-为纯虚数，故1010a a +=⎧⎨-≠⎩，故1a =-. 故选：D. 【点睛】本题考查了复数的除法，根据复数类型求参数，意在考查学生的计算能力和应用能力.2．A解析：A 【分析】由复数模的定义求出1z 对应的点在一条直线上，2z 对应的点在圆上，利用圆的性质可求得直线上的点到圆上点的距离的最小值． 【详解】复数1z 对应的点为1(,)Z x y ，因为1134z z i +=-，所以=6870x y +-=，所以点1Z 的轨迹是一条直线．复数2z 对应的点为2(,)Z x y ，因为212z i ++=表示点(),x y 到定点()1,1--的距离为2，所以点2Z 的轨迹表示以()1,1--为圆心、半径为2的圆，12z z -211221010-=-=． 故选：A ． 【点睛】本题考查复数的模的运算，考查模的几何意义，利用几何意义把复数问题转化为直线上的点到圆上点的距离的最小值这个几何问题，利用几何性质得出求解方法．3．D解析：D 【分析】由题意，将根代入实系数方程x 2+bx +c ＝0整理后根据得数相等的充要条件得到关于实数a ，b的方程组10b c -++=⎧⎪⎨=⎪⎩，解方程得出a ，b 的值即可选出正确选项【详解】由题意1是关于x 的实系数方程x 2+bx +c ＝0∴﹣2+b bi +c ＝0，即()10b c i -+++=∴10b c -++=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得b ＝﹣2，c ＝3 故选：D ． 【点睛】本题考查复数相等的充要条件，解题的关键是熟练掌握复数相等的充要条件，能根据它得到关于实数的方程，本题考查了转化的思想，属于基本计算题4．C解析：C 【分析】z 在复平面内的对应点考查点()2352,1mm m -+-横纵坐标的正负,分情况讨论即可.【详解】由题得, z 在复平面内的对应点为()2352,1m m m -+-.当10m ->,即1m <时,二次函数2352(32)(1)y m m m m =-+=--取值范围有正有负,故z 在复平面内的对应点可以在一二象限.当10m -<,即1m 时,二次函数2352(32)(1)0y m m m m =-+=-->,故z 在复平面内的对应点可以在第四象限.故z 在复平面内的对应点一定不在第三象限. 故选：C 【点睛】本题主要考查了复平面的基本定义与根据参数范围求解函数范围的问题,属于基础题型.5．B解析：B 【分析】利用复数的概念及运算法则对各个命题依次进行判定． 【详解】设12,z a bi z c di =+=+（,,,a b c d R ∈），则1212z z z z +()()()()a bi c di a bi c di =+-+-+()()ac adi bci bd ac adi bci bd =-++++-+22ac bd R =+∈，①正确；设i(,0)z a b a b b =+∈≠R,，若1z ==，则11z a bi z a bi +=+++222a bi a bi a bi a bi a R a b-=++=++-=∈+， 反之，若11z a bi z a bi +=+++22a bi a bi R a b -=++∈+，则220bb a b-=+，221a b +=，∴1z =．应是充要条件，②错误；方程20(0)x t t +=>的根是，③正确；z 是复数，2z 可能是虚数，但2z 是复数的模，一定是实数，④错误，∴错误命题有2个． 故选B ． 【点睛】本题考查复数的概念与运算，解题时可设(,)z a bi a b R =+∈，然后代入进去进行检验证明．6．B解析：B 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由虚数单位i 的性质计算． 【详解】()()21i (1i)i 1i 1i 1i ++==--+， 20192019450431i ()i (i )i i 1i +∴==⋅=--． 故选B ． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查虚数单位i 的运算性质，是基础题．7．A解析：A 【解析】分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数21aii++，然后利用复数相等的性质列方程求解即可.详解：因为()()()()2i 1i 2i 1i 1i 1i a a +-+=++- ()()22i 2a a ++-=13i =--，所以212232aa +⎧=-⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩，解得4a =-，故选A.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.8．B解析：B 【解析】分析：由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果. 详解：由复数的运算法则可知：()()()23231323322323i i i i i i i i i+-==-=+++， 则复数1323ii +的共轭复数为32i -. 本题选择B 选项.点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9．A解析：A 【解析】 【分析】运用复数的除法运算法则,先计算出z 的表达式,然后再计算出z . 【详解】由题意复数z 11ii-=+得221(1)12=1(1)(1)2i i i i i i i i ---+===-++-,所以=1z . 故选A 【点睛】本题考查了运用复数的除法运算求出复数的表达式,并能求出复数的模,需要掌握其计算法则,较为基础.10．D解析：D 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，然后逐一核对四个选项得答案. 【详解】 ∵1zi =+，∴1z i i+==，∴z 对应复平面内的点为)1-在第四象限，故A 正确；2z ==，故B 正确；z 的共轭复数为z i =，故C 正确；222z z =-≠，故D 错误；故选：D . 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，属于基础题.11．D解析：D 【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】解：因为(1)|i z i +=||2(1)11(1)(1)i i z i i i i -∴===-++-， ∴复数z 在复平面内对应的点的坐标为()1,1-在第四象限，故选：D . 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．12．A解析：A 【分析】根据纯虚数得到3sin 5θ=，4cos 5θ=-，即3tan 4θ=-，再利用和差公式展开计算得到答案. 【详解】34sin cos 55z i θθ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭是纯虚数，故4cos 5θ≠，3sin 5θ=所以4cos 5θ=-，3tan 4θ=-∴tan tan4tan 741tan tan 4πθπθπθ-⎛⎫-==- ⎪⎝⎭+⋅， 故选：A 【点睛】本题考查了纯虚数定义，和差公式，意在考查学生的综合应用能力.二、填空题13．【分析】设复数根据复数的几何意义可知的轨迹为圆；再根据点和圆的位置关系及的几何意义即可求得点到圆上距离的最小值即为的最小值【详解】复数满足方程设（）则在复平面内轨迹是以为圆心以2为半径的圆；意义为圆2【分析】设复数,z a bi =+根据复数的几何意义可知(),a b 的轨迹为圆；再根据点和圆的位置关系，及|2|z -的几何意义即可求得点到圆上距离的最小值，即为|2|z -的最小值. 【详解】复数z 满足方程||2z i +=， 设,z a bi =+（,a b ∈R ），则|||(1)|2z i a b i +=++=，(),a b 在复平面内轨迹是以()0,1-为圆心，以2为半径的圆；()|2||2|z a bi -=-+=()2,0的距离，由点与圆的几何性质可知，|2|z -22=，2. 【点睛】本题考查了复数几何意义的综合应用，点和圆的位置关系及距离最值的求法，属于中档题.14．1010【解析】分析：由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果详解：由复数的运算法则可知：则的虚部为1010点睛：本题主要考查复数的运算法则意在考查学生的转化能力和计算求解能力解析：1010 【解析】分析：由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.详解：由复数的运算法则可知：()()()20181201820182018100910091112i ii i i i ++===+--+，则2018100910101z i i i=+=+-， z 的虚部为1010.点睛：本题主要考查复数的运算法则，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.15．5【解析】试题分析：故答案应填：5【考点】复数概念【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念属于基本题首先对于复数的四则运算要切实掌握其运算技巧和常规思路如其次要熟悉复数的相关概念如复数的实解析：5 【解析】试题分析：(12i)(3i)55i z =+-=+．故答案应填：5 【考点】复数概念【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),,,,a bi c di ac bd ad bc i a b c d R ++=-++∈，其次要熟悉复数的相关概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a ，虚部为b ，模为22a b +，共轭为a bi -16．【解析】试题分析：由题：得：考点：复数的概念和运算 解析：2【解析】 试题分析：由题：，得：11iz i i-==-+，221112z +=+=考点：复数的概念和运算．17．13【分析】根据复数方程的性质可得也是方程的根结合韦达定理即可求解【详解】由题意方程有一个根为则是方程的另一个根由韦达定理可得又由所以故答案为13【点睛】本题主要考查了复数的性质以及一元二次方程的根解析：13 【分析】根据复数方程的性质，可得23i --也是方程的根，结合韦达定理，即可求解. 【详解】由题意，方程240x x k ++=有一个根为123x i =-+，则223x i =--是方程的另一个根，由韦达定理，可得12x x k =，又由(23)(23)13i i ---+=，所以13k =. 故答案为13. 【点睛】本题主要考查了复数的性质，以及一元二次方程的根与系数的关系的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.18．【解析】分析：由题意首先求得复数z 然后求解其模即可详解：由复数的运算法则有：则故答案为点睛：本题主要考查复数的运算法则复数的模的计算等知识意在考查学生的转化能力和计算求解能力 解析：10【解析】分析：由题意首先求得复数z ，然后求解其模即可. 详解：由复数的运算法则有：121iz i i i-+==--， 则13z i =--，1910z =+=. 故答案为10 ．点睛：本题主要考查复数的运算法则，复数的模的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19．2【解析】分析：计算可得进而得到的模详解：即答案为2点睛：本题考查复数的运算及复数的模属基础题解析：2 【解析】分析：计算可得z ，进而得到z 的模 详解：()212,2z i i z =-=-∴=.即答案为2.点睛：本题考查复数的运算及复数的模，属基础题.20．3【详解】∵|z+2-2i|=|z-(-2+2i)|=1∴复数z 在复平面内对应点的轨迹是以（-22）为圆心1为半径的圆∵|z-2-2i|=|z-(2+2i)|表示复数z 在复平面内的对应点到点（22）解析：3 【详解】∵|z+2-2i|=|z-(-2+2i)|=1，∴复数z 在复平面内对应点的轨迹是以（-2，2）为圆心，1为半径的圆.∵|z-2-2i|=|z-(2+2i)|表示复数z 在复平面内的对应点到点（2，2）的距离，即圆上的点到点（2，2）的距离，∴最小值为圆心与点（2，2）的距离减去半径， ∴|z-2-2i|的最小值为4-1=3.三、解答题21．(1)1z i =-.(2)1m =-.【解析】分析：（1）先根据2z =和z 在复平面内对应的点位于第四象限求出a 的值，即得复数z.(2)直接根据纯虚数的定义求m 的值.详解：（1）因为2z =，所以422a a +=，所以21a =.又因为z 在复平面内对应的点位于第四象限，所以1a =-，即1z i =-.（2）由（1）得1z i =-，所以22z i =-，所以2222m m mz m m mi +-=++.因为22m m mz +-是纯虚数， 所以2020m m m ⎧+=⎨≠⎩，所以1m =-. 点睛：（1）本题主要考查复数的模和复数的几何意义，考查纯虚数的概念，意在考查学生对这些知识的掌握水平.（2）复数(,)z a bi a b R =+∈为纯虚数0,0a b =⎧⇔⎨≠⎩不要把下面的b≠0漏掉了.22．（1）0a >；（2）1z i =-+【解析】试题分析：（1）求出复数21z az +的代数形式，根据第四象限的点的特征，求出a 的范围；（2）由已知得出1212z z z z z -=+ ，代入12,z z 的值，求出1,1z i z i =--=-+ ． 试题解析;（I ）=， 由题意得 解得（2）()()()()12121234261,123442i i z z i z i z z i i i--+---====--+-+++ 1.z i =-+23．（1）8；（2）2(3)z i =±.【分析】（1）由复数的模的性质，知|221212z z z z ⨯=⋅ ，由此利用题设条件能够求出212z z ⨯的模；（2）由212z z ⨯是虚部为正数的纯虚数，212z z ⨯的模是8，知2128z z i ⨯=，设复数()2,z a bi a b R =+∈，利用复数相等的性质能求出复数z 2．【详解】（1）2221212128z z z z z z ⨯===； （2）212z z ⨯是虚部为正数的纯虚数2128z z i ∴⨯=,)22824i i z ==+，设复数()2,z a bi a b R =+∈，2222a b abi -+=+，2222a b ab ⎧-=⎪⎨=⎪⎩1a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩1a b ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，∴2)z i =±.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查乘除法运算，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.24．2z i =+【分析】 根据复数的除法运算求出z ，再根据共轭复数的定义写出复数z .【详解】()()()()()224312434561051243,2121212145i i i i i i i z i z i i i i i +-+---+=+∴=====-++--， 2z i ∴=+.【点睛】本题考查复数的除法运算和共轭复数，属于基础题.25．（1）2；（2）证明见解析【分析】（1）设z m R =∈，由题意可得23010m am m ⎧--=⎨--=⎩，即可得解； （2）假设z ni =（n R ∈，且0n ≠）时方程的解，转化条件得23010n n an ⎧-+-=⎨--=⎩，由于230n n -+-=无实数根，可得假设错误，即可得证.【详解】（1）设z m R =∈，带入原方程得()()230m a i m i -+-+=， 即()2310m am m i --+--=，则23010m am m ⎧--=⎨--=⎩，故12m a =-⎧⎨=⎩. （2）证明:假设原方程有纯虚数根，设z ni =（n R ∈，且0n ≠）， 则有()()()230ni a i ni i -+-+=，整理可得()2310n n an i -+-+--=， 则23010n n an ⎧-+-=⎨--=⎩，对于230n n -+-=，判别式112110∆=-=-<， 则方程230n n -+-=无实数解，故方程组无实数解，即假设不成立，从而原方程不可能有纯虚数根.【点睛】本题考查了复数的综合应用，考查了复数相等的条件和反证法的应用，属于中档题.26．（1）3；（2）ab =【分析】（1）根据复数z 在复平面内对应的点为写出复数和共轭复数，即可求出||z +；（2）根据题意得)(b ai i i +=--，求出1b =-，a =-.【详解】解：（1）由题知：z i =+，所以z i =，所以||||3z i ===；（2）由题知：(3()a bi i z i -=-，所以)(b ai i i +=--，所以1b ai +=-- ，由复数相等知：1b =-，a =-，所以ab =【点睛】此题考查复数概念与几何意义的辨析和基本运算，关键在于熟练掌握基本概念，根据运算法则准确进行复数运算.。

一、选择题1．若复数2i z =-，i 为虚数单位，则(1)(1)z z +-=A ．24i +B ．24i -+C ．24i --D ．4-2．已知i 是虚数单位，121z i z -=+，则||z 等于（ ）A ．1 BC D 3．已知i 是虚数单位，复数13i 1i +=+（ ） A ．2i +B ．2i -C ．1i -+D ．1i -- 4．复数z 满足(2)36z i i +=-（i 为虚数单位），则复数z 的虚部为（ ）A ．3B ．3i -C ．3iD ．3- 5．设复数()0,0z a bi a b =+>≠是实系数方程20x px q ++=的根，又3z 为实数，则点(),p q 的轨迹在一条曲线上，这条曲线是（ ）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线 6．已知复数13ai z i +=+为纯虚数（其中i 为虚数单位），则实数a =（ ） A ．3-B ．3C ．13- D ．137．若1+是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，则（ ） A ．2,3b c == B ．2,1b c ==- C ．2,1b c =-=-D ．2,3b c =-= 8．若m 为实数，则复数22()()26m m m m i ---＋＋在复平面内所对应的点不可能位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 9．设i 是虚数单位，则()()3211i i -+等于( )A ．1i -B ．1i -+C ．1i +D ．1i --10．在复平面内，复数12z i ＝－对应的向量为OA ，复数2z 对应的向量为OB ，则向量AB 所对应的复数为( )A ． 42i ＋B ． 42i -C ． 42i --D ． 42i -+ 11．若(1)()5(,)ai b i i a b R ++=∈，则+a b 的值为（ ）A ．25±B ．C ．4±D ．412．若复数2(2)m i -所表示的点在第一象限，则实数m 的取值范围是( ) A ．()(),22,-∞-⋃+∞ B ．()2,2- C ．(),2-∞-D ．()2,0-二、填空题13．若复数z 满足112z i i i =-+-，则z 等于__________. 14．设α和β是关于x 的方程220x x m ++=的两个虚数根，若α、β、0在复平面上对应的点构成直角三角形，那么实数m =_______________. 15．已知复数z 满足1z =，且负实数a 满足2220z az a a -+-=，则a 的值为___________.16．已知132i ω=-+（i 是虚数单位），2015()x ωω+的展开式中系数为实数的项有_______项17．若复数z 满足3i z i +=（其中i 是虚数单位），则z =__________. 18．若2+1()i mi m R i=+∈,则m =________． 19．若z C ∈,且221z i +-=,则22z i --的最小值为______________． 20．如果复数z =421i i -+（其中i 为虚数单位），那么Im z （即的虚部）为__________．三、解答题21．设z 是虚数，1w z z=+是实数，且12w -<<. （1）求z 的值及Rez 的取值范围；（2）若2z z z z++为纯虚数，求z . 22．（1）在复数范围内解方程22||0x x +=；（2）已知复数z 满足4z R z+∈，且|2|2z -=，求z 的值. 23．已知复数1z i =-.（1）设(1)13w z i i =+--，求w ；（2）如果21z az b i i++=+，求实数a ，b 的值. 24．已知z 是复数，2iz +为实数（i 为虚数单位），且4i z z -=． （1）求复数z ；（2）若i 5z m -<，求实数m 的取值范围.25．已知复数12,34z x yi z i =+=-（,x y R ∈，i 为虚数单位）.（1）若2y =且12z z 是纯虚数，求实数x 的值； （2）若复数12=1z z -，求1z 的取值范围.26．（1）对于复数12,z z ，若()121z i z -⋅=，则称1z 是2z 的“错位共轭”复数，求复数12i -的“错位共轭”复数； （2）设复数[]()cos sin 0,2z i θθθπ=+∈，其中i 为虚数单位，若212z <，求θ.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【解析】()()11z z +-=2211(2)1(34)24z i i i -=--=--=-+ ,选B.,2．A解析：A【解析】 因为121z i z-=+，所以12(1)22z i z i iz -=+=+，212(12)343412(12)(12)555i i i z i i i i ----====--++-，1z ==，故选A ． 3．A解析：A【详解】 因为13i (1+3)(1)4221i (1)(1)2i i i i i i +-+===+++-， 故选：A ．点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数，共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化，转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分．4．D解析：D【分析】首先化简复数z ，然后结合复数的定义确定其虚部即可.【详解】 由题意可得：()()()()362361151322255i i i i z i i i i -----====--++-， 据此可知，复数z 的虚部为3-.本题选择D 选项.【点睛】复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根．除法实际上是分母实数化的过程．5．D解析：D【分析】由3z 为实数，求出,a b 关系，实系数方程有虚数根，∆<0，且两根互为共轭，由韦达定理，求出,p q 与,a b 关系，结合,a b 关系，即可得出,p q 的关系式，得出结论.【详解】()3220,0,(2)()z a bi a b z a b abi a bi =+>≠=-++，其虚部为22222()2(3)a b b a b b a b -+=-，又3z 为实数，所以2222(3)0,0,30b a b b b a -=≠=≠，复数()0,0z a bi a b =+>≠是实系数方程20x px q ++=的根， ()0,0z a bi a b =->≠也是实系数方程20x px q ++=的根， 所以222240,2,40p q z z a p zz a b a q ∆=-<+==-=+==>，所以2,0p q p =<，此时30q ∆=-<， 即点(),p q 的轨迹在抛物线2y x 上.故选：D.【点睛】 本题考查实系数一元二次方程根的关系、复数的基本概念，韦达定理的应用是解题的关键，考查计算求解能力，属于中档题.6．A解析：A【分析】化简复数z 的代数形式，根据复数为纯虚数，列出方程组，即可求解.【详解】由题意，复数()()()()131********10ai i ai a a z i i i i +-++-===+++-， 因为复数z 为纯虚数，可得30310a a +=⎧⎨-≠⎩，解得3a =-. 故选：A.【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，以及复数的分类及其应用，着重考查计算能力，属于基础题.7．D解析：D【分析】由题意，将根代入实系数方程x 2+bx +c ＝0整理后根据得数相等的充要条件得到关于实数a ，b的方程组100b c -++=⎧⎪⎨=⎪⎩，解方程得出a ，b 的值即可选出正确选项 【详解】由题意1是关于x 的实系数方程x 2+bx +c ＝0∴﹣2+b bi +c ＝0，即()10b c i -+++=∴100b c -++=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得b ＝﹣2，c ＝3 故选：D ．【点睛】本题考查复数相等的充要条件，解题的关键是熟练掌握复数相等的充要条件，能根据它得到关于实数的方程，本题考查了转化的思想，属于基本计算题8．C解析：C【分析】实部虚部相加为4，不可能都为负.【详解】若m 为实数，复数22()()26m m m m i ---＋＋ 实部虚部相加为：222640m m m m ---=>＋＋，不可能都为负所对应的点不可能位于第三象限故答案选C【点睛】本题考查了复数对应的象限，是常考题型.9．B解析：B【分析】化简复数得到答案.【详解】()()3221(1)(1)2(1)1221i i i i i i i ii -----===-++ 故答案选B【点睛】本题考查了复数的计算，意在考查学生的计算能力.10．C解析：C【分析】先计算A 点坐标和B 点坐标，再计算向量AB ，最后得到对应的复数.【详解】复数12z i ＝－对应的向量为(1,2)OA A ⇒-22()3412i z i ==--－复数2z 对应的向量为(3,4)OB B ⇒--(4,2)AB =--对应的复数为：42i -- 故答案选C【点睛】本题考查了复数的计算，对应向量，意在考查学生综合应用能力.11．C解析：C【分析】结合复数运算性质,化简,利用待定系数法,计算a,b 值，即可．【详解】()()()115ai b i b a ab i i ++=-++=,所以015b a ab -=⎧⎨+=⎩,解得22a b =⎧⎨=⎩或22a b =-⎧⎨=-⎩所以4a b +=±,故选C.【点睛】 本道题考查了复数四则运算和待定系数法，难度中等．12．C解析：C【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简复数2(2)m i -，再由实部与虚部均大于0联立不等式组求解即可.【详解】()22(2)44m i m mi -=--表示的点在第一象限， 24040m m ->⎧∴->⎨⎩，解得2m <-． ∴实数m 的取值范围是(),2-∞-．故选C ．【点睛】本题主要考查的是复数的乘法、乘方运算，属于中档题．解题时一定要注意21i =-和()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++以及()()()()a bi c di a bi c di c di c di +-+=++- 运算的准确性，否则很容易出现错误．二、填空题13．【分析】利用行列式展开法则和复数的性质进行求解【详解】∵∴∴故答案为【点睛】本题主要考查行列式运算法则解题时要注意复数运算性质的合理运用属于基础题解析：1i +【分析】 利用行列式展开法则a c ad bcb d =-和复数的性质进行求解．【详解】 ∵1z iz i i i =+-，∴12iz i i +=-+， ∴1z i =+，故答案为1i +．【点睛】本题主要考查行列式运算法则，解题时要注意复数运算性质的合理运用，属于基础题. 14．【分析】由题意可设α＝a+bi 则由实系数一元二次方程虚根成对定理可得β＝a ﹣bi 且m 与n 为实数b≠0由根与系数的关系得到ab 的关系由αβ0对应点构成直角三角形求得到实数m 的值【详解】设α＝a+bi 则解析：2【分析】由题意，可设α＝a +bi ，(),a b ∈R 则由实系数一元二次方程虚根成对定理可得β＝a ﹣bi ，且m 与n 为实数，b ≠0．由根与系数的关系得到a ，b 的关系，由α，β，0对应点构成直角三角形，求得到实数m 的值【详解】设α＝a +bi ，(),a b ∈R 则由实系数一元二次方程虚根成对定理可得β＝a ﹣bi ，且m 与n 为实数，n ≠0．由根与系数的关系可得α+β＝2a ＝﹣2，α•β＝a 2+b 2＝m ．∴m ＞0．∴a ＝﹣1，m ＝b 2+1，∵复平面上α，β，0对应点构成直角三角形，∴α，β在复平面对应的点分别为A ，B ，则OA ⊥OB ，所以b 2＝1，所以m ＝1+1＝2；， 故答案为：2【点睛】本题主要考查实系数一元二次方程虚根成对定理、根与系数的关系，三角形是直角三角形是解题的关键，属于基础题．15．【分析】由设代入后利用复数相等的定义求解【详解】因为故可设则即所以或若则时不是负数舍去时无实解则（舍去）故答案为：【点睛】关键点点睛：与复数有关的方程常常设代入方程后利用复数相等的定义转化为实数方程解析：12【分析】 由1z =，设cos sin ()z i R ααα=+∈，代入后利用复数相等的定义求解．【详解】 因为1z =，故可设cos sin ()z i R ααα=+∈，则22222(cos sin )2(cos sin )0z az a a i a i a a αααα-+-=+-++-=，即222(cos sin 2cos )2sin (cos )0a a a a i ααααα--+-+-=，所以2222sin (cos )0cos sin 2cos 0a a a a ααααα-=⎧⎨--+-=⎩， 2sin (cos )0sin 0a ααα-=⇒=或cos a α=，若sin 0α=，则cos 1α=±，cos 1α=时，222cos sin 2cos a a a ααα--+-2310a a =-+=，32a =，不是负数，舍去．cos 1α=-时，222cos sin 2cos a a a ααα--+-210a a =++=，a =，无实解．cos a α=，则22222222cos sin 2cos (1)210a a a a a a a a a a ααα--+-=---+-=--=，152a （12a +=舍去）．故答案为：12．【点睛】关键点点睛：与复数有关的方程，常常设(,)z m ni m n R =+∈，代入方程后利用复数相等的定义转化为实数方程求解．16．672【分析】由二项式定理得出通项的系数再利用复数的运算得出哪些系数是实数【详解】系数为（）只要考虑是实数即可则（）是3的整数倍即可由于这样的有共672个∴展开式中系数为实数的项的672项故答案为：解析：672【分析】由二项式定理得出通项的系数，再利用复数的运算得出哪些系数是实数．【详解】20152015120152015()()()r r r r r r r r T C x C x ωωωω--+==，系数为20152015()r r r C ωω-，（02015,r r N ≤≤∈） 只要考虑20151()r r r a ωω-+=是实数即可，12ω=-+，则331,()11ωωωω===，，20152015211()r r r r a ωωω--+==， 201522013323r r r k -=-++=（k Z ∈），2r +是3的整数倍即可，由于02015,r r N ≤≤∈，这样的r 有1,4,7,,2014共672个，∴展开式中系数为实数的项的672项．故答案为：672．【点睛】本题考查二项式定理，考查复数的运算．解题关键是由二项展开式通项公式得出项的系数，然后利用ω的性质分析系数为实数的项有哪些．17．【解析】∴故答案为:点睛：复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略：（1）复数的乘法复数的乘法类似于多项式的四则运算可将含有虚数单位的看作一类同类项不含的看作另一类同类项分别合并即可（2）复数的除法【解析】313i i z i+==-，13i z =+，∴z ==，故答案为:点睛：复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略：（1）复数的乘法．复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可．（2）复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i 的幂写成最简形式．（3）利用复数相等求参数．,(,,,R)a bi c di a c b d a b c d +=+⇔==∈18．-2【解析】则考点：复数的运算解析：-2【解析】 ，则.考点：复数的运算. 19．3【详解】∵|z+2-2i|=|z-(-2+2i)|=1∴复数z 在复平面内对应点的轨迹是以（-22）为圆心1为半径的圆∵|z-2-2i|=|z-(2+2i)|表示复数z 在复平面内的对应点到点（22）解析：3【详解】∵|z+2-2i|=|z-(-2+2i)|=1，∴复数z 在复平面内对应点的轨迹是以（-2，2）为圆心，1为半径的圆.∵|z-2-2i|=|z-(2+2i)|表示复数z 在复平面内的对应点到点（2，2）的距离，即圆上的点到点（2，2）的距离，∴最小值为圆心与点（2，2）的距离减去半径，∴|z-2-2i|的最小值为4-1=3.20．－3【分析】对复数进行化简得到的虚部即为答案【详解】所以其虚部为【点睛】本题考查复数的运算虚部的概念属于简单题解析：－3【分析】对复数z 进行化简，得到z 的虚部，即为答案.【详解】z =421i i -+()()421132i i i --==- 所以其虚部为3-【点睛】本题考查复数的运算，虚部的概念，属于简单题.三、解答题21．（1）1,z =Rez 的取值范围为1(,1)2-；（2）1322z =+或1322z =-.【分析】（1）先设出复数，结合1w z z=+是实数可求出z 的值及Rez 的取值范围； （2）先设出复数，结合2z z z z++为纯虚数可求. 【详解】（1）设z x yi =+，其中,x y R ∈且0y ≠，222211i ()i i x y w z x y x y z x y x y x y=+=++=++-+++， 因为1w z z =+是实数，所以220y y x y -=+，解得221x y +=，所以1z ==；因为12w -<<，所以222(1,2)x x x x y +=∈-+，即1(,1)2x ∈-； 所以Rez 的取值范围为1(,1)2-. （2）由（1）知221x y +=，()2222i i (2)i i i 2x y x y z z x y x xy y x y x y x z z++++-+++==++-+， 因为2z z z z ++为纯虚数，所以220x y x -+=且20xy y +≠，0x ≠， 联立222201x y x x y ⎧-+=⎨+=⎩可得12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以122z =+或122z =-. 【点睛】本题主要考查复数的运算及相关概念，待定系数法是求解复数的常用方法，侧重考查数学运算的核心素养.22．（1）0或2i 或2i -；（2）z =4或1±.【分析】（1）设(,)=+∈x a bi a b R 代入方程利用复数相等的定义求解。

第三章 数系的扩充与复数的引入章末检测时间：120分钟 满分：150分一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．i 是虚数单位，计算i ＋i 2＋i 3＝( ) A ．－1 B ．1 C ．－iD ．i解析：i ＋i 2＋i 3＝i ＋(－1)－i ＝－1. 答案：A2．已知i 为虚数单位，复数z ＝1－2i2－i ，则复数z 的虚部是( )A ．－35iB ．－35C.45 iD.45解析：1－2i 2－i ＝－＋－＋＝4－3i 5＝45－35i ，则复数z 的虚部是－35. 答案：B3．如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是( ) A ．A B ．B C ．CD ．D解析：设z ＝a ＋b i(a <0，b >0)∴z ＝a －b i 对应点的坐标是(a ，－b )，是第三象限点B . 答案：B4．i 是虚数单位，复数z ＝7＋i3＋4i的共轭复数z ＝( ) A ．1－i B ．1＋i C.1725＋3125i D ．－177＋257i解析：z ＝7＋i3＋4i ＝＋－25＝25－25i25＝1－i ∴z ＝1＋i. 答案：B5．若复数z ＝(1＋i)(x ＋i)(x ∈R)为纯虚数，则|z |等于( ) A ．2 B. 5 C. 2D ．1解析：∵z ＝x －1＋(x ＋1)i 为纯虚数且x ∈R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝0，x ＋1≠0，得x ＝1，z ＝2i ，|z |＝2.答案：A6．已知复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则实数t 等于( ) A.34 B.43 C ．－43D ．－34解析：z 1·z 2＝(3＋4i)(t －i)＝(3t ＋4)＋(4t －3)i ， 依题意4t －3＝0，∴t ＝34.答案：A7．设z ∈C ，若z 2为纯虚数，则z 在复平面上的对应点落在( ) A ．实轴上B ．虚轴上C ．直线y ＝±x (x ≠0)上D ．以上都不对解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，∵z 2＝a 2－b 2＋2ab i 为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝0，ab ≠0.∴a ＝±b ，即z 在直线y ＝±x (x ≠0)上． 答案：C8．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc ，则符合条件⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －1z z i ＝4＋2i 的复数z 为( ) A ．3－i B ．1＋3i C ．3＋iD ．1－3i解析：由定义知⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －1z z i ＝z i ＋z ，得z i ＋z ＝4＋2i ，∴z ＝4＋2i 1＋i ＝＋－2＝6－2i2＝3－i. 答案：A9．若复数x 0＝1＋2i 是关于x 的实系数方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个根，则( )A ．b ＝2，c ＝3B ．b ＝－2，c ＝3C ．b ＝－2，c ＝－1D ．b ＝2，c ＝－1解析：因为1＋2i 是实系数方程的一个复数根，所以1－2i 也是方程的根，则1＋2i ＋1－2i ＝2＝－b ，(1＋2i)(1－2i)＝3＝c ，解得b ＝－2，c ＝3. 答案：B10．已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－4i ，它们在复平面上所对应的点分别为A ，B ，C .若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：3－4i ＝λ(－1＋2i)＋μ(1－i)＝μ－λ＋(2λ－μ)i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧μ－λ＝3，2λ－μ＝－4，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝2，∴λ＋μ＝1.答案：A二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中的横线上) 11．设i 为虚数单位，则1－i ＋2＝________. 解析：1－i＋2＝1－i 2i＝－－2＝－i 2－12.答案：－12－i212．已知复数z 1＝cos 23°＋sin 23°i 和复数z 2＝sin 53°＋sin 37°i，则z 1·z 2＝________.解析：z 1·z 2＝(cos 23°＋sin 23°i)·(sin 53°＋sin 37°i)＝(cos 23°sin 53°－sin 23°sin 37°)＋(sin 23°sin 53°＋co s 23°sin 37°)i ＝(cos 23°sin 53°－sin 23°cos 53°)＋i(sin 23°sin 53°＋cos 23°cos 53°) ＝sin 30°＋i cos 30°＝12＋32i.答案：12＋32i13．已知复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)且a 1－i ＋b 1－2i ＝53＋i，则复数z ＝________.解析：∵a ，b ∈R 且a1－i ＋b 1－2i ＝53＋i，即a 1＋i2＋b 1＋2i5＝3－i2， ∴5a ＋5a i ＋2b ＋4b i ＝15－5i ，即⎩⎪⎨⎪⎧5a ＋2b ＝15，5a ＋4b ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝7，b ＝－10，故z ＝a ＋b i ＝7－10i. 答案：7－10i14. 复数z ＝(m 2－3m ＋2)＋(m 2－2m －8)i 的共轭复数在复平面内的对应点位于第一象限，则实数m 的取值范围是________．解析：复数z ＝(m 2－3m ＋2)＋(m 2－2m －8)i 的共轭复数为z ＝(m 2－3m ＋2)－(m 2－2m －8)i ， 又z 在复平面内对应的点在第一象限，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＋2>0，－m 2－2m －，解得－2<m <1或2<m <4. 答案：(－2,1)∪(2,4)15．若复数z ＝1＋2i ，其中i 是虚数单位，则⎝ ⎛⎭⎪⎫z ＋1z ·z ＝________. 解析：∵z ＝1＋2i ，知z ＝1－2i则⎝ ⎛⎭⎪⎫z ＋1z ·z ＝z ·z ＋1＝(1＋2i)(1－2i)＋1＝6. 答案：6三、解答题(本大题共有6小题，共75分．解答时应写出文字说明、证明过程或运算步骤) 16．(12分)实数k 为何值时，复数z ＝ (k 2－3k －4)＋(k 2－5k －6)i 是： (1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)0.解析：(1)当k 2－5k －6＝0，即k ＝6或k ＝－1时，z 是实数． (2)当k 2－5k －6≠0，即k ≠6且k ≠－1时，z 是虚数．(3)当⎩⎪⎨⎪⎧k 2－3k －4＝0，k 2－5k －6≠0，即k ＝4时，z 是纯虚数．(4)当⎩⎪⎨⎪⎧k 2－3k －4＝0，k 2－5k －6＝0，即k ＝－1时，z 是0.17．(12分)已知复数z 的共轭复数为z ，且z ·z －3i z ＝101－3i，求z .解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z ＝a －b i. 又z ·z －3i z ＝101－3i ，所以a 2＋b 2－3i(a ＋b i)＝＋10，所以a 2＋b 2＋3b －3a i ＝1＋3i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＋3b ＝1，－3a ＝3.所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－3.所以z ＝－1，或z ＝－1－3i.18．(12分)已知z 是复数，z ＋2i ，z2－i 均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋a i)2在复平面上对应的点位于第一象限，求实数a 的取值范围． 解析：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，则z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ， 由z ＋2i 为实数，得y ＝－2. ∵z2－i ＝x －2i 2－i ＝15(x －2i)(2＋i) ＝15(2x ＋2)＋15(x －4)i ， 由z2－i为实数，得x ＝4.∴z ＝4－2i. ∵(z ＋a i)2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i ，根据条件，可知⎩⎪⎨⎪⎧12＋4a －a 2>0，a －解得2<a <6.∴实数a 的取值范围是(2,6)．19．(12分)已知复数z 1满足(1＋i)z 1＝－1＋5i ，z 2＝a －2－i ，其中i 为虚数单位，a ∈R ，若|z 1－z 2|<|z 1|，求a 的取值范围．解析：∵z 1＝－1＋5i1＋i ＝2＋3i ，z 2＝a －2－i ，z 2＝a －2＋i ，∴|z 1－z 2|＝|(2＋3i)－(a －2＋i)|＝|4－a ＋2i| ＝－a2＋4，又∵|z 1|＝13，|z 1－z 2|<|z 1|， ∴－a2＋4<13，∴a 2－8a ＋7<0，解得1<a <7. ∴a 的取值范围是(1,7)．20．(13分)已知关于x 的方程x a ＋b x＝1，其中a ，b 为实数． (1)若x ＝1－3i 是该方程的根，求a ，b 的值．(2)当a >0且b a >14时，证明该方程没有实数根．解析：(1)将x ＝1－3i 代入x a ＋bx＝1， 化简得⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋b 4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫34b －3a i ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧1a ＋b 4＝1，34b －3a ＝0，解得a ＝b ＝2.(2)原方程化为x 2－ax ＋ab ＝0， 假设原方程有实数解，那么Δ＝(－a )2－4ab ≥0，即a 2≥4ab .∵a >0，∴b a ≤14，这与题设b a >14相矛盾．故原方程无实数根． 21．(14分)复数z ＝＋3a ＋b1－i且|z |＝4，z 对应的点在第一象限，若复数0，z ，z 对应的点是正三角形的三个顶点，求实数a ，b 的值．解析：z ＝＋2＋1－i(a ＋b i)＝－2a －2b i.由|z |＝4得a 2＋b 2＝4，①∵复数0，z ，z 对应的点构成正三角形， ∴|z －z |＝|z |.把z ＝－2a －2b i 代入化简得a 2＝3b 2，② 代入①得，|b |＝1. 又∵Z 点在第一象限， ∴a <0，b <0.由①②得⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝－1，故所求值为a ＝－3，b ＝－1.。

本章检测(时间90分钟,满分100分)一、选择题（每题3分，共36分）1.复数z 1=3+i,z 2=1-i,则z=z 1·z 2在复平面内的对应点位于（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 答案：D2.（1+i ）20-(1-i)20的值为（ ）A.0B.1 024C.-1 024D.-1 024i 解析：（1+i ）20-(1-i)20=(2i)10-(-2i)10=0.答案：A3.已知复数z 满足|z|=2，则复数z （ ）A.是实数B.是虚数C.是纯虚数D.对应的点在一个半径为2的圆上 答案：D4.已知复数z 满足z=-|z|，则z 的实部（ ）A.不小于0B.不大于0C.大于0D.小于0 解析：设z=x+yi,∴x+yi=-|z|.∴x=-|z|≤0.答案：B5.复平面上平行四边形ABCD 的四个顶点中，A 、B 、C 所对应的复数分别为2+3i,3+2i,-2-3i ，则D 点对应的复数是（ ）A.-2+3iB.-3-2iC.2-3iD.3-2i解析：∵A 、B 、C 对应的复数分别为2+3i 、3+2i 、-2-3i ，∴A （2，3），B （3，2），C （-2，-3）.设D （x,y ）,则232)2(2x +=-+, 322)3(3y +=-+,∴⎩⎨⎧-=-=.2,3y x ∴D 点的坐标为（-3，-2），∴D 点对应的复数为-3-2i.答案：B6.设z=(2t 2+5t-3)+(t 2+2t+2)i(t ∈R ),则以下结论正确的是（ ）A.z 对应的点在第一象限B.z 一定不为纯虚数C.z 对应的点在实轴的下方D.z 一定为实数解析：2t 2+5t-3=(t+3)(2t-1),t 2+2t+2=(t+1)2+1>0,又z=(2t 2+5t-3)-(t 2+2t+2)i,∴z 对应的点在实轴的下方.答案：C7.在复数集C 内分解因式2x 2-4x+5等于（ ）A.（x-1+3 i ）(x-1-3i)B.(2x-2+3i)(2x-2-3i)C.2(x-1+i)(x-1-i)D.2(x+1+i)(x+1-i)答案：B 8.(ii -+11)2 005等于（ ） A.i B.-i C.22 005 D.-22 005 解析：（ii -+11）2 005=(22i )2 005=i 2 004+1=i. 答案：A 9.设复数ω=21-+23i,则1+ω等于（ ） A.-ω B.ω2 C.ω1- D.21ω 解析：1+ω=ω13321-=+. 答案：C 10.设复数z 满足z z +-11=i,则|1+z|等于（ ） A.-2 B.2-C.2D.2 解析：由z z +-11=i,得 z=ii +-11=-i. ∴|1+z|=|1-i|=11+=2.答案：C11.两个复数z 1=a 1+b 1i,z 2=a 2+b 2i(a 1、a 2、b 1、b 2都是实数且z 1≠0，z 2≠0)对应的向量1OZ 和2OZ 在同一条直线上的充要条件是（O 为坐标原点）（ ） A.11a b ·22a b =-1 B.a 1a 2+b 1b 2=0 C.21a a =21b b D.a 1b 2=a 2b 1 解析：由题意知1OZ =(a 1,b 1), 2OZ =(a 2,b 2), ∴1OZ ∥2OZ .∴a 1b 2-a 2b 1=0.答案：D12.已知复数z=362+-+a a a +(a 2-3a-10)i(a ∈R )满足zi>0或zi<0，则a 的值为（ ）A.3B.-3C.2或-3D.2 解析：zi>0或zi<0知zi 为实数. ∴362+-+a a a =0且a 2-3a-10≠0.∴a=2. 答案：D二、填空题(每题4分，共16分)13.i 4n +i 4n+1+i 4n+2+i 4n+3=_______________(n 为正整数).解析：i 4n +i 4n+1+i 4n+2+i 4n+3=1+i-1-i=0.答案：014.已知ii +-1)1(3=a+3i ，则a=_______________. 解析：∵i i +-1)1(3=2)1(4i -=2)2(2i -=-2, ∴a+3i=-2.∴a=-2-3i.答案：-2-3i15.若关于x 的方程x 2+(1+2i)x-(3m-1)i=0有实根，则纯虚数m=_______________. 解析：设m=ki(k≠0),则⎩⎨⎧=+=++.012,032x k x x ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=.121,21k x ∴m=121i. 答案：121i 16.已知z 为复数，则z+z >2的一个充要条件是z 满足_______________.解析：设z=a+bi(a 、b ∈R ).由z+z=2a>2得a>1.反之，由a>1得z+z=2a>2.答案：z 的实部大于1三、解答题（每小题8分，共48分）17.设|z 1|=13,z 2=12+5i,z 1·z 2是纯虚数，求z 1.解：设z 1=a+bi,则z 1·z 2=(a+bi)(12+5i)=(12a-5b)+(5a+12b)i.由题意，得⎩⎨⎧=-=+,0512,16922b a b a ∴⎩⎨⎧==12,5b a 或⎩⎨⎧-=-=.12,5b a ∴z 1=5+12i 或-5-12i.18.已知z=1+i,求1632++-z z z 的模. 解：1632++-z z z =ii i +++-+26)1(3)1(2 =ii +-23=1-i, ∴1632++-z z z 的模为2. 19.已知复数z 满足z·z +2i z =3+ai （其中a ∈R ）,(1)求复数z （写成关于a 的表达式）；（2）当a 为何值时，满足条件的复数z 存在？解：（1）设z=x+yi(x 、y ∈R ), 则z =x-yi,代入题设z·z+2iz=3+ai(a ∈R ),得(x+yi)(x-yi)+2i(x-yi)=3+ai.∴x 2+y 2+2y+2xi=3+ai.∴⎩⎨⎧==++.2,3222a x y y x ∴y 2+2y+42a -3=0. ∴y=21622a -±-. ∴z=2a +21622a -±-i. (2)∵y ∈R ,∴Δ=4-4(42a -3)≥0. ∴-4≤a≤4.20.设O 为坐标原点，已知向量1OZ 、2OZ 分别对应复数z 1、z 2，且z 1=53+a +（10-a 2）i ，z 2=a-12+(2a-5)i(a ∈R ),若1z +z 2可以与任意实数比较大小，求1OZ ·2OZ 的值. 解：依题意得z 1+z 2为实数， 由1z =53+a -(10-a 2)i, ∴1z +z 2=53+a +a -12+［(a 2-10)+(2a-5)］i 的虚部为0. ∴a 2+2a-15=0,解得a=-5或a=3.又分母不为零，∴a=3.此时z 1=83+i,z 2=-1+i, 即1OZ =（83，1），2OZ =（-1，1）， ∴1OZ ·2OZ =38×(-1)+1×1=85. 21.关于t 的二次方程t 2+(2+i)t+2xy+(x-y)i=0(x 、y ∈R )有实根，求点P （x,y ）的轨迹方程. 解析：设实根为t,则t 2+(2+i)t+2xy+(x-y)i=0,即(t 2+2t+2xy)+(t+x-y)i=0.根据复数相等,⎩⎨⎧=-+=++)2(.0)1(,0222y x t xy t t 由②得t=y-x 代入①得（y-x ）2+2(y-x)+2xy=0,即（x-1）2+(y+1)2=2.③∴所求点的轨迹方程为(x-1)2+(y+1)2=2,轨迹是以（1，-1）为圆心，2为半径的圆.22.设z≠-1,求证11+-z z 是虚数的充要条件是|z|=1. 证明：设z=x+yi(x,y ∈R )则])1[(])1[(])1[(])1[(1111yi x yi x yi x yi x yi x yi x z z ---++++-=+++-=+- =222222122121y x x y y x x y x +++++-+-+. 若|z|=1，则x 2+y 2=1.又z≠-1,∴x≠-1且y≠0,∴z-1z+1是纯虚数.∴充分性证完. 若11+-z z 是纯虚数，则x 2+y 2-1=0,且y≠0, ∴|z|=1.∴必要性证完.∴命题成立.。

2021年高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入章末检测 新人教A 版选修1-2一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设a ，b ，c ∈R ，则复数(a ＋b i)(c ＋d i)为实数的充要条件是(D ) A ．ad －bc ＝0 B ．ac －bd ＝0 C ．ac ＋bd ＝0 D ．ad ＋bc ＝02．(xx·东莞二模)复数(1＋2i)i(i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于(B )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．复数z ＝i(1＋i)(i 为虚数单位)的模等于(B )A ．1 B. 2 C ．0 D ．24．若a ，b ∈R ，i 为虚数单位，且(a ＋i)i ＝b ＋i 则(C ) A ．a ＝1，b ＝1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝1，b ＝－1 D ．a ＝－1，b ＝－15．i 是虚数单位，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 4等于(C )A ．iB ．－iC ．1D ．－1解析：∵1＋i 1－i ＝（1＋i ）2（1－i ）（1＋i ）＝2i2＝i ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 4＝i 4＝1. 6．复数z ＝a （a ＋2）a －1＋(a 2＋2a －3)i(a ∈R )为纯虚数，则a 的值为(C )A ．a ＝0B ．a ＝0，且a ≠－1C ．a ＝0，或a ＝－2D ．a ≠1，或a ≠－3解析：依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a （a ＋2）a －1＝0，a 2＋2a －3≠0，解得a ＝0，或a ＝－2. 7．复数（1＋2i ）23－4i 的值是(A )A ．－1B ．1C ．－iD ．i 解析：（1＋2i ）23－4i ＝－3＋4i 3－4i＝－1.8．复数z ＝i1＋i 在复平面上对应的点位于(A )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 解析：z ＝i 1＋i ＝i （1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝12(i ＋1)＝12＋12i. ∴复数z 的对应点在第一象限． 9．复数3＋2i 2－3i －3－2i2＋3i＝(D ) A ．0 B ．2 C ．－2i D ．2i 解析：3＋2i 2－3i －3－2i 2＋3i ＝i （2－3i ）2－3i ＋i （2＋3i ）2＋3i＝i ＋i ＝2i. 10．复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )是方程z 2＝－3＋4i 的一个根，则z 等于(C ) A ．1±2i B ．－1±2iC ．1＋2i ，或－1－2iD ．2＋i ，或－2－i解析：若按复数相等的充要条件去解方程组，计算量很大，本题可以采用验证的方法．∵(1＋2i)2＝1＋4i ＋(2i)2＝－3＋4i ，∴z ＝1＋2i 或－1－2i.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 11．计算：3－i1＋i＝________(i 为虚数单位)． 解析：3－i 1＋i ＝（3－i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝2－4i2＝1－2i. 答案：1－2i12．设复数i 满足i(z ＋1)＝－3＋2i(i 是虚数单位)，则z 的实部是1．13．设a ，b ∈R .a ＋b i ＝11－7i1－2i(i 为虚数单位)，则a ＋b 的值为________． 解析：由a ＋b i ＝11－7i 1－2i 得a ＋b i ＝11－7i 1－2i ＝（11－7i ）（1＋2i ）（1－2i ）（1＋2i ）＝11＋15i ＋141＋4＝5＋3i ，所以a ＝5，b ＝3，a ＋b ＝8.答案：814．给出下列命题：①若z ∈C ，则z 2≥0；②若a ，b 是实数，且a >b ，则a ＋i>b ＋i ；③a ∈C ，则(a ＋1)i 是纯虚数；④z ＝1i ，则z 2＋1对应的点在第一象限．其中正确的有_______________个．答案：0三、解答题(本大题共6小题，共80分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(12分)如果(x ＋2y )＋(y －1)i ＝(2x ＋3y )＋(2y ＋1)i ，求实数x ，y 的值． 解析：由复数相等的充要条件，有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝2x ＋3y ，y －1＝2y ＋1 ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2.∴x ＝2，y ＝－2. 16．(12分)已知z ＝2－i （3－4i ）（1＋i ）2＋(1－i)2，求|z |.解析：∵z ＝2－i （3－4i ）（1＋i ）2＋(1－i)2＝2－i （3－4i ）（2i ）－2i ＝2－i 8＋6i－2i ＝（2－i ）（8－6i ）（8＋6i ）（8－6i ）－2i ＝（2－i ）（8－6i ）100－2i ＝10－20i 100－2i ＝110－115i ，∴|z |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪110－115i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1102＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1152＝48510. 17．(14分)已知m ∈R ，复数z ＝m （m －2）m －1＋(m 2＋2m －3)i ，当m 为何值时：(1)z ∈R? (2)z 是纯虚数？ (3)z <0?分析：复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，当且仅当b ＝0时，z ∈R ；当且仅当a ＝0且b ≠0时，z 为纯虚数；当且仅当b ＝0且a <0时，z <0.解析：(1)由m 2＋2m －3＝0且m －1≠0，得m ＝－3，所以当m ＝－3时，z ∈R .(2)由⎩⎪⎨⎪⎧m （m －2）m －1＝0，m 2＋2m －3≠0解得m ＝0或m ＝2，所以当m ＝0或m ＝2时，z 为纯虚数．(3)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －3＝0，m （m －2）m －1<0 时z <0；即⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1或m ＝－3，m <0或1<m <2，即m ＝－3时z <0. 点评：要完整理解复数为纯虚数的等价条件．分母不为0不可忽视．18．(14分)已知集合M ＝{1，(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i}，N ＝{－1，1，4i}，若M ∪N ＝N ，求实数m 的值．解析：∵M ∪N ＝N ，∴M ⊆N . 由(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝－1，m 2＋m －2＝0.解得m ＝1. 由(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i ，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0，m 2＋m －2＝4.解得，m ＝2. 综上知m 的值为1或2.19．(14分)已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，z 1·z 2是实数，求z 2.解析：(z 1－2)(1＋i)＝1－i ⇒z 1＝2－i.设z 2＝a ＋2i ，a ∈R ，则z 1·z 2＝(2－i)(a ＋2i)＝(2a ＋2)＋(4－a )i.∵z 1·z 2∈R ，∴z 2＝4＋2i.20．(14分)求虚数z ，使之同时满足以下两个条件： (1)|z －－3|＝|z －－3i|； (2)z －1＋5z －1是实数． 解析：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R ，y ≠0)， 由|z －－3|＝|z －－3i|，得|x －y i －3|＝|x －y i －3i|⇒y ＝－x .① 由z －1＋5z －1是实数，得x －1＋y i ＋5（x －1）＋y i∈R ，y ≠0⇒(x －1)2＋y 2＝5.② 联立①和②，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1.∴z ＝2－2i 或z ＝－1＋i.一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(xx·茂名一模)计算：i(1＋i)2＝(A ) A ．－2 B ．2 C ．2i D ．－2i2．复数z 1＝－3＋i ，z 2＝1－i ，则z ＝z 1·z 2在复平面内的对应点位于(B ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．(xx·深圳二模)i 为虚数单位，则i ＋1i 等于(A )A ．0B ．2iC ．1＋iD ．－1＋i 4．对于复数z ＝a ＋b i 有(B )A ．|z 2|>|z |2B ．|z 2|＝|z |2C ．|z 2|<|z |2D ．|z 2|＝z 25.1－3i （3＋i ）2＝(B)A.14＋34i B ．－14－34i C.12＋32i D ．－12－32i 6．复数z ＝i(i ＋1)(i 为虚数单位)的共轭复数是(A ) A ．－1－i B ．－1＋i C ．1－i D ．1＋i分析：本题考查复数代数形式的四则运算及复数的基本概念，考查基本运算能力．先把z 化成标准的a ＋b i(a ，b ∈R )形式，然后由共轭复数定义得出z －＝－1－i.解析：由z ＝i(i ＋1)＝－1＋i ，及共轭复数定义得z －＝－1－i.7．若复数z ＝1＋i(i 为虚数单位)，z －是z 的共轭复数，则z 2＋z －2的虚部为(A ) A ．0 B ．－1 C ．1 D ．－2解析：因为z ＝1＋i ，所以z －＝1－i ，所以z 2＋z － 2＝(1＋i)2＋(1－i)2＝2i －2i ＝0，选A.8．若1＋2i 是关于x 的实系数方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个复数根，则(D ) A ．b ＝2，c ＝3 B ．b ＝2，c ＝－1 C ．b ＝－2，c ＝－1 D ．b ＝－2，c ＝3 解析：根据实系数方程的根的特点知1－2i 也是该方程的另一个根，所以1＋2i ＋1－2i ＝2＝－b ，即b ＝－2，(1－2i)(1＋2i)＝3＝c ，故选D.9．若复数z 满足z (2－i)＝11＋7i(i 为虚数单位)，则z 为(A )A ．3＋5iB ．3－5iC ．－3＋5iD ．－3－5i 解析：因为z (2－i)＝11＋7i ，所以z ＝11＋7i2－i，分子分母同时乘以2＋i ，得z ＝（11＋7i ）（2＋i ）（2－i ）（2＋i ）＝22＋11i ＋14i ＋7i 24－i 2＝22－7＋25i 4－i 2＝22－7＋25i 4＋1＝15＋25i5＝3＋5i. 10．复数方程|||z ＋i|－|z －i|＝2对应的复平面内的曲线是(D ) A ．双曲线 B ．双曲线的一支 C ．直线 D ．两条射线(包括端点)11．复数z 在复平面内对应的点为A ，将点A 绕坐标原点，按逆时针方向旋转π2，再向左平移一个单位，向下平移一个单位，得到B 点，此时点B 与点A 恰好关于坐标原点对称，则复数z 为(B )A ．－1B ．1C ．iD ．－i解析：设z ＝a ＋b i ，B 点对应的复数为z 1，则z 1＝(a ＋b i)i －1－i ＝(－b －1)＋(a －1)i ，∵点B 与点A 恰好关于坐标原点对称，∴⎩⎪⎨⎪⎧－b －1＝－a ，a －1＝－b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0，∴z ＝1.12．如果复数z 满足|z ＋i|＋|z －i|＝2，那么|z ＋1＋i|的最小值是(A ) A ．1 B. 2 C ．2 D. 5解析：|z ＋i|＋|z －i|＝2，则点Z 在以(0，1)和(0，－1)为端点的线段上，|z ＋1＋i|表示点Z 到点(－1，－1)的距离．由图知最小值为1.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分；将正确答案填在题中的横线上) 13．若复数z 1＝4＋29i ，z 2＝6＋9i ，则复数(z 1－z 2)i 的实部为________． 解析：(z 1－z 2)i ＝[(4＋29i)－(6＋9i)]i ＝(－2＋20i)i ＝－20－2i ，实部为－20. 答案：－2014．若复数z 满足z ＝i(2－z )，则z ＝________．解析：由z ＝i(2－z )，得(1＋i)z ＝2i ，即z ＝2i 1＋i ＝2i （1－i ）2＝1＋i.答案：1＋i15．在复平面内，复数1＋i 与－1＋3i 分别对应向量OA →和OB →，其中O 为坐标原点，则|AB →|＝________．解析：AB →＝OB →－OA →＝(－1＋3i)－(1＋i)＝－2＋2i ，∴|AB →|＝2 2. 答案：2 216．已知复数z 1＝a ＋b i ，z 2＝－1＋a i(a ，b ∈R )，若|z 1|＜|z 2|，则b 的取值范围是________．解析：由题知a 2＋b 2<（－1）2＋a 2，∴b 2<1，∴－1<b <1. 答案：(－1，1)三、解答题(本大题共6小题，共70分；解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤)17．(10分)计算：(1)(1－i)(1＋i)2－⎝ ⎛⎭⎪⎫25－15i ＋1＋2i 1－2i－4i ； (2)（－1＋3i ）3（1＋i ）6－（2＋i ）24－3i. 解析：(1)(1－i)(1＋i)2－⎝ ⎛⎭⎪⎫25－15i ＋1＋2i 1－2i－4i ＝2i ＋2－25＋15i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＋45i －4i ＝1－i.(2)（－1＋3i ）3（1＋i ）6－（2＋i ）24－3i ＝（－1＋3i ）3（2i ）3－3＋4i 4－3i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i 3(－i)3－（4－3i ）i4－3i＝－i －i ＝－2i.18．(12分)设复数z ＝(a 2＋a －2)＋(a 2－7a ＋6)i ，其中a ∈R ，当a 取何值时： (1)z ∈R? (2)z 是纯虚数？ (3)z 是零？解析：(1)当a 2－7a ＋6＝0，即a ＝1或a ＝6时，z ∈R .(2)当⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a －2＝0，a 2－7a ＋6≠0，即a ＝－2时，z 是纯虚数．(3)当⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a －2＝0，a 2－7a ＋6＝0，即a ＝1时，z 是零．19．(12分)已知1＋i 是实系数方程x 2＋ax ＋b ＝0的一个根． (1)求a ，b 的值；(2)试判断1－i 是否是方程的根．解析：(1)∵1＋i 是方程x 2＋ax ＋b ＝0的根，∴(1＋i)2＋a (1＋i)＋b ＝0，即(a ＋b )＋(a ＋2)i ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，a ＋2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝2.∴a ，b 的值分别为a ＝－2，b ＝2.(2)方程为x 2－2x ＋2＝0，把1－i 代入方程左边＝(1－i)2－2(1－i)＋2＝－2i －2＋2i ＋2＝0显然成立．∴1－i 也是方程的一个根． 20．(12分)设ω＝－12＋32i ，(1)求证：1＋ω＋ω2＝0；(2)计算：(1＋ω－ω2)(1－ω＋ω2)． 解析：(1)证明：∵ω＝－12＋32i ，∴ω2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i 2＝14＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12⎝ ⎛⎭⎪⎫32i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32i 2 ＝14－32i －34＝－12－32i. ∴1＋ω＋ω2＝1－12＋32i －12－32i ＝0.(2)由1＋ω＋ω2＝0知，(ω－1)(1＋ω＋ω2)＝0，∴ω3－1＝0.∴ω3＝1. ∴(1＋ω－ω2)(1－ω＋ω2)＝(－2ω2)(－2ω)＝4ω3＝4. 21．(12分)求虚数z ，使之同时满足以下两个条件： (1)|z －－3|＝|z －－3i|； (2)z －1＋5z －1是实数． 解析：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R ，y ≠0)， 由|z －－3|＝|z －－3i|，得|x －y i －3|＝|x －y i －3i|⇒y ＝－x .① 由z －1＋5z －1是实数，得x －1＋y i ＋5（x －1）＋y i∈R ，y ≠0⇒(x －1)2＋y 2＝5.② 联立①和②，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1.∴z ＝2－2i 或z ＝－1＋i.22．(12分)已知：复数z 1＝m ＋n i ，z 2＝2－2i 和z ＝x ＋y i ，若z ＝z －1i －z 2，其中m ，n ，x ，y 都是实数．(1)若复数z 1所对应点M (m ，n )在曲线y ＝12(x ＋3)2＋1上运动，求复数z 所对应点P (x ，y )的轨迹C 方程；(2)过原点的直线与轨迹C 有两个不同的交点，求直线的斜率k 的取值范围． 解析：(1)z ＝z －1i －z 2＝(m －n i)i －(2－2i)＝(n －2)＋(2＋m )i ＝x ＋y i ，复数相等，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝n －2，y ＝2＋m ⇒⎩⎪⎨⎪⎧n ＝x ＋2，m ＝y －2. ∵点M (m ，n )在曲线y ＝12(x ＋3)2＋1上运动，∴n ＝12(m ＋3)2＋1⇒x ＋2＝12(y －2＋3)2＋1⇒x ＝12(y ＋1)2－1，即为所求．(2)设过原点的直线的方程是y ＝kx ，代入曲线C 的方程，得ky 2＋(2k －2)y －k ＝0，Δ＝(2k －2)2＋4k 2＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫k －122＋2＞0恒成立，∴k ∈R .36849 8FF1 迱c SQe|26580 67D4 柔Q23177 5A89 媉~B25409 6341 捁20860 517C兼?。

《数系的扩充与复数的引入》章末达标测评(满分：150分；时间：120分钟）―、选择题（每小题5分，共60分）1.复数z 是实数的充分而不必要条件为( ) A.z z = B.z z = C.2z 是实数 D.z z +是实数2.在复平面上，一个正方形的三个顶点对应的复数分别是12i +，2i -+，0，则第四个顶点对应的复数为( ) A.3i + B.3i - C.13i - D.13i -+3.复数2017z i =(i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ) A.i - B.i C.1- D.14.在复平面内，复数cos3sin3z i =+(i 为虚数单位），则z 为( ) A.1 B.2 C.3 D.45.复数()()213z a a i =++-(i 为虚数单位），若0z <，则实数a 的值是（ ）B.1C.1-D.6.若(z a ai =+为纯虚数，其中a R ∈，则71a i ai+=+( )A.iB.1C.i -D.1-7.已知3()1f x x =-，设i 是虚数单位，则复数()f i i的虚部为( ) A.1- B.1 C.i D.08.若复数z 满足()11z i i i -=-+，则z 的实部为( )A.121 C.1D.129.复数212ii+-的共扼复数是( ) A.35i -B.35iC.i -D.i10.在复平面内，O 是原点，OA ，OC ，AB 对应的复数分别为2i -+，32i +，15i +，那么BC 对应的复数为（ ) A.47i +B.13i +C.44i -D.16i -+11.设i 是虚数单位，若()17,2ia bi ab R i+=+∈-，则ab 的值是( ) A.15- B.3 C.3- D.1512.已知复数z 的共扼复数为z，若()31522z z ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭(i 为虚数单位），则在复平面内，复数z 所对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限二、填空题（每小题5分，共20分）13.复数()()32i m i +-+对应的点在第三象限内，则实数m 的取值范围是_____. 14.设32z i =+，z 和z 在复平面内对应的点分别为A 和B ，O 为坐标原点，则AOB ∆的面积为_____.15.已知复数1cos z i θ=-，2sin z i θ=+，R θ∈，则12z z ⋅的实部最大值为____，虚部最大值为_____.16.设i是虚数单位，122w i =-+，则使得()1niw =成立的最小正整数n 为_____.三、解答题（共70分）17.(12分)设复数()()22lg 2232z m m m m i =--+++，当m 为何值时， (1)z 是实数？ (2)z 是纯虚数？18.(14分)计算下列各题.(1)()()33+÷-；(2))()()()245541i i i +-+.19.(14分）已知复数()()22815918z m m m m i =-++-+在复平面内表示的点为A ，则实数m 取什么值时： (1)复数z 为实数？ (2)复数z 为纯虚数？(3)点A 位于复平面的第三象限？20.(15分）设复数z满足42z z i +=，1sin cos z i θθ=-，R θ∈，求z 及1z z -的取值范围.21.(15分）已知复数()211z i i =+.(1)求1z 及1z ；(2)当复数z 满足341z i +-=，求1z z -的最大值与最小值.参考答案 一、选择题1.答案：A解析：z z z =⇒为实数，但z 为实数z z ⇒=，例如11-≠-. 2.答案：D解析：设第四个顶点对应的坐标为(),C x y ，已知三点的坐标为()0,0O ，()1,2A ，()2,1B -，由题意可知BC OA =，即()()2,11,2x y +-=，1x ∴=-，3y =.∴第四个顶点C 对应的复数为13i -+. 3.答案：D解析：()504201720164z i i i i i i ==⋅=⋅=，故其虚部为1.4.答案：A解析：1z ==，故选A. 5.答案：D解析：由题意得210,30,a a +<⎧⎨-=⎩解得a =故选D.6.答案：C解析：z 为纯虚数，a R ∈，a ∴=，71313i a i ii ai +-∴====-+. 7.答案：B 解析：()311f i i i =-=--，()2111f i i i i i i i ----∴===-+-，则复数()f i i的虚部为1，故选B.8.答案：A解析：由()11z i i i -=-+，得)()()()11111122i i iz i i i i +===+--+，故z 的实部为12，故选A. 9.答案：C 解析：因为()()()22212122i i i ii i i i i i+++===--+，所以它的共扼复数为i -，选C. 10.答案：C解析：因为OA ，OC ，AB 对应的复数分别为2i -+，32i +，15i +，()BC OC OB OC OA AB =-=-+，所以BC 对应的复数为()()3221544i i i i +--+++=-⎡⎤⎣⎦. 11.答案：C 解析：()()172171325i i i i i +++==-+-，1a ∴=-，3b =，3ab =-. 12.答案：A解析：设(),z a bi a b R =+∈，则3222z z a bi +=+，故21a bi +==，故12a =，b =则在复平面内，复数z所对应的点的坐标为12⎛ ⎝，位于第一象限.二、填空题13.答案：见解析解析：()()321z m m i =-+-，其对应点()32,1m m --在第三象限内，故320m -<且10m -<，23m ∴<. 14.答案：见解析解析：z 和z 在复平面内对应的点如图所示，则14362AOB S ∆=⨯⨯=.15.答案：见解析解析：()()()()12cos sin cos sin 1cos sin z z i i i θθθθθθ⋅=-⋅+=⋅++-，实部13cos sin 11sin 222θθθ⋅+=+≤，最大值为32，虚部cos sin 224πθθθ⎛⎫-=+≤ ⎪⎝⎭2.16.答案：见解析解析：解法一：132w =-+，312iw i ∴=，()2132iw =，()3iw i =-，，()121iw =，可知n 的最小值是12.解法二：1i i =，21i =-，3i i =-，41i =，132w =-，2132w =-，31w =，()()()34121212431iw i w i w ∴=⋅=⋅=.可知使()1niw =成立的最小正整数是12.三、解答题17.答案：见解析解析：（1)要使复数z 为实数，需满足22220,320,m m m m ⎧-->⎪⎨++=⎪⎩解得2m =-或1-.即当2m =-或1-时，z 是实数.(2)要使复数z 为纯虚数，需满足22221,320,m m m m ⎧--=⎪⎨++≠⎪⎩解得3m =.即当3m =时，z 是纯虚数.18.答案：见解析解析：(1)()()2333++÷-==229898ii++=-11171717+==+.(2)原式()()()()()()()4454544142254154112i i i iii i i i i+----=====-+-+-++.19.答案：见解析解析：（1)当29180m m-+=，即3m=或6m=时，z为实数.(2)当28150m m-+=，且29180m m-+≠，即5m=时，z为纯虚数.(3)228150,9180,m mm m⎧-+<⎪⎨-+<⎪⎩35,36,mm<<⎧∴⎨<<⎩∴当35m<<时，z的对应点位于第三象限.20.答案：见解析解析：设(),z a bi a b R=+∈，则z a bi=-，代入42z z i+=，得()()42a bi a bi i++-=.621,ab⎧=⎪∴⎨=⎪⎩即1,2ab⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩122z i∴=+.()11sin cos2z z i iθθ∴-=--===1sin16πθ⎛⎫-≤-≤⎪⎝⎭，022sin46πθ⎛⎫∴≤--≤⎪⎝⎭，102z z∴≤-≤.21.答案：见解析解析：复数()()221112122z i i i i i=+=+-==-.(1)12z=-，12z=.(2)设复数(),z x yi x y R =+∈，341z i +-=，()()341x y i ∴++-=，()()22341x y ∴++-=，它表示圆心为()3,4P -，半径为1的圆，画出图形，如图所示，1z 所对应的点为()2,0A -.则圆心P 到点A 的距离为()223+2+4=17PA =-因为1z z -表示圆P 上的点到点A 的距离，所以1z z -的最大值为+1=17+1PA ，最小值为1=171PA -.。

选修1－2 第三章 数系的扩充与复数的引入 测试卷(时间：90分钟 满分：150分)一、选择题(共12小题，满分60分，每小题5分)1．i 是虚数单位，复数7－i 3＋i＝( ) A ．2＋i B ．2－iC ．－2＋iD ．－2－i解析：7－i 3＋i＝(7－i )(3－i )10＝20－10i 10＝2－i.故选B. 答案：B2．已知复数z ＝－i 3(－1＋2i )2(i 为虚数单位)，则z 在复平面内所对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：因为z ＝i －3－4i ＝i (－3＋4i )(－3－4i )(－3＋4i )＝－4－3i 25＝－425－325i ，所以z 在复平面内所对应的点在第三象限，故选C.答案：C3．若复数z 满足(z －3)(2－i)＝5(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z －为( )A ．2＋iB ．2－iC ．5＋iD ．5－i解析：因为(z －3)(2－i)＝5，所以z －3＝52－i ＝5(2＋i )(2－i )(2＋i )＝2＋i ， 所以z ＝5＋i ，所以z －＝5－i.故选D.答案：D4．设复数z ＝－1－i(i 为虚数单位)，z 的共轭复数是z －，则2－z －z等于( ) A ．－1－2i B ．－2＋iC ．－1＋2iD ．1＋2i解析：由题意可得2－z －z ＝2－(－1＋i )－1－i＝(3－i )(－1＋i )(－1－i )(－1＋i )＝－1＋2i ，故选C. 答案：C5．|(3＋2i)－(4－i)|等于( ) A.58 B.10C ．2D ．－1＋3i解析：3＋2i －(4－i)＝－1＋3i ，|－1＋3i|＝10.答案：B6．已知复数z 1＝2＋a i(a ∈R )，z 2＝1－2i ，若z 1z 2为纯虚数，则|z 1|＝( ) A. 2 B. 3C ．2 D. 5解析：由于z 1z 2＝2＋a i 1－2i ＝(2＋a i )(1＋2i )(1－2i )(1＋2i )＝2－2a ＋(4＋a )i 5为纯虚数，则a ＝1， 则|z 1|＝5，故选D.答案：D7．已知i 为虚数单位，复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝2－i ，且|z 1|＝|z 2|，则实数a 的值为( )A ．1B ．－1C ．1或－1D ．±1或0解析：因为复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝2－i ，且|z 1|＝|z 2|，所以a 2＋4＝4＋1，解得a ＝±1，故选C.答案：C8．已知复数z ＝－12＋32i ，则z －＋|z |＝( ) A ．－12－32i B ．－12＋32i C.12＋32i D.12－32i 解析：因为z ＝－12＋32i ， 所以z －＋|z |＝－12－32i ＋⎝⎛⎭⎫－122＋322＝12－32i.故选D. 答案：D9．设z ＝(2t 2＋5t －3)＋(t 2＋2t ＋2)i ，t ∈R ，则以下结论正确的是( )A ．z 对应的点在第一象限B ．z 一定不为纯虚数C.z －对应的点在实轴的下方D ．z 一定为实数解析：∵t 2＋2t ＋2＝(t ＋1)2＋1＞0，∴z 对应的点在实轴的上方．又∵z 与z －对应的点关于实轴对称． ∴C 项正确．故选C.答案：C10．复数2＋i 与复数13＋i 在复平面上的对应点分别是A ，B ，若O 为坐标原点，则∠AOB 等于( )A.π6B.π4C.π3D.π2解析：∵13＋i ＝3－i (3＋i )(3－i )＝310－i 10， ∴它在复平面上的对应点为B ⎝⎛⎭⎫310，－110， 而复数2＋i 在复平面上的对应点是A (2,1)，显然AO ＝5，BO ＝1010，AB ＝41010. 由余弦定理得 cos ∠AOB ＝AO 2＋BO 2－AB 22AO ·BO ＝22， ∴∠AOB ＝π4.故选B.答案：B11．已知z －是复数z 的共轭复数，z ＋z －＋z ·z －＝0，则复数z 在复平面内对应的点的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线解析：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则z －＝x －y i ，代入z ＋z －＋z ·z －＝0，得x ＋y i ＋x －y i ＋x 2＋y 2＝0，即x 2＋y 2＋2x ＝0，整理得(x ＋1)2＋y 2＝1.∴复数z 在复平面内对应的点的轨迹是圆．故选A.答案：A12．已知复数z ＝(x －2)＋y i(x ，y ∈R )在复平面内对应的向量的模为3，则y x 的最大值是( )A.32B.33C.12D. 3解析：因为|(x －2)＋y i|＝3，所以(x －2)2＋y 2＝3，所以点(x ，y )在以C (2,0)为圆心，以3为半径的圆上，如图，由平面几何知识－3≤y x≤ 3.故选D. 答案：D二、填空题(共4小题，满分20分，每小题5分)13．若a 是复数z 1＝1＋i 2－i的实部，b 是复数z 2＝(1－i)3的虚部，则ab ＝________. 解析：∵z 1＝1＋i 2－i＝(1＋i )(2＋i )5＝15＋35i ，∴a ＝15，∵z 2＝(1－i)3＝－2－2i ，∴b ＝－2，∴ab ＝－25. 答案：－2514．i 是虚数单位，若复数(1－2i)(a ＋i)是纯虚数，则实数a 的值为________．解析：由(1－2i)(a ＋i)＝(a ＋2)＋(1－2a )i 是纯虚数可得a ＋2＝0,1－2a ≠0，解得a ＝－2. 答案：－215．设复数a ＋b i(a ，b ∈R )的模为3，则(a ＋b i)(a －b i)＝________.解析：∵|a ＋b i|＝a 2＋b 2＝3，∴(a ＋b i)(a －b i)＝a 2＋b 2＝3.答案：316．若复数z ＝(m 2－4m )＋(m 2－6m ＋9)i(m ∈R )在复平面内对应的点位于第二象限，其中i 为虚数单位，则实数m 的取值范围为________．解析：由题可得复数z 在复平面内对应的点的坐标为(m 2－4m ，m 2－6m ＋9)，因为点(m 2－3m ，m 2－6m ＋9)位于第二象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2－4m <0m 2－6m ＋9>0，解得0<m <3或3<m <4，故实数m 的取值范围为(0,3)∪(3,4)．答案：(0,3)∪(3,4)三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知复数z 1＝2－3i ，z 2＝15－5i (2＋i )2， 求：(1)z 1z 2；(2)z 1z 2. 解析：因为z 2＝15－5i (2＋i )2＝15－5i 3＋4i ＝(15－5i )(3－4i )(3＋4i )(3－4i )＝25－75i 25＝1－3i ， 所以(1)z 1z 2＝(2－3i)(1－3i)＝－7－9i.(2)z 1z 2＝2－3i 1－3i ＝(2－3i )(1＋3i )(1－3i )(1＋3i )＝11＋3i 10＝1110＋310i. 18．(12分)设z ＝a ＋b i ，a ，b ∈R ，b ≠0，若ω＝z ＋1z是实数，且－1<ω<2. (1)求z 的实部的取值范围；(2)设u ＝1－z 1＋z，求证：u 为纯虚数． 解析：(1)因为z ＝a ＋b i ，a ，b ∈R ，b ≠0，所以ω＝a ＋b i ＋1a ＋b i ＝⎝⎛⎭⎫a ＋a a 2＋b 2＋⎝⎛⎭⎫b －b a 2＋b 2i. 因为ω是实数，所以b －b a 2＋b 2＝0，即a 2＋b 2＝1. 又－1<ω<2，所以－1<a ＋a a 2＋b 2<2，即－1<2a <2，解得－12<a <1， 所以z 的实部的取值范围是⎝⎛⎭⎫－12，1. (2)由题意及(1)可得u ＝1－z 1＋z ＝1－a －b i 1＋a ＋b i ＝(1－a －b i )(1＋a －b i )(1＋a ＋b i )(1＋a －b i )＝1－a 2－b 2－2b i (1＋a )2＋b 2＝－b a ＋1i ，因为a ∈⎝⎛⎭⎫－12，1，a ，b ∈R ，b ≠0，所以u 为纯虚数． 19．(12分)已知复数z 满足(1＋2i)z －＝4＋3i.(1)求复数z ；(2)若复数(z ＋a i)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．解析：(1)∵(1＋2i)z －＝4＋3i ，∴z －＝4＋3i 1＋2i ＝(4＋3i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝10－5i 5＝2－i ， ∴z ＝2＋i.(2)由(1)知z ＝2＋i ，则(z ＋a i)2＝(2＋i ＋a i)2＝[2＋(a ＋1)i]2＝4－(a ＋1)2＋4(a ＋1)i ， ∵复数(z ＋a i)2在复平面内对应的点在第一象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧4－(a ＋1)2>0，4(a ＋1)>0，解得－1<a <1， 即实数a 的取值范围为(－1,1)．20．(12分)已知复数z 1满足(1＋i)z 1＝－1＋5i ，z 2＝a －2－i ，其中i 为虚数单位，a ∈R ，若|z 1－z －2|<|z 1|，求a 的取值范围．解析：因为z 1＝－1＋5i 1＋i＝2＋3i ，z 2＝a －2－i ，z －2＝a －2＋i ， 所以|z 1－z －2|＝|(2＋3i)－(a －2＋i)|＝|4－a ＋2i|＝(4－a )2＋4， 又因为|z 1|＝13，|z 1－z －2|<|z 1|，所以(4－a )2＋4<13，所以a 2－8a ＋7<0，解得1<a <7.所以a 的取值范围是(1,7)．21．(12分)设z －为复数z 的共轭复数，满足|z －z －|＝2 3.(1)若z 为纯虚数，求z .(2)若z －z －2为实数，求|z |.解析：(1)设z ＝b i(b ∈R 且b ≠0)，则z －＝－b i ，因为|z －z －|＝23，则|2b i|＝23，即|b |＝3，所以b ＝±3，所以z ＝±3i.(2)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z －＝a －b i ，因为|z －z －|＝23，则|2b i|＝23，即|b |＝3，因为z －z －2＝a ＋b i －(a －b i)2＝a －a 2＋b 2＋(b ＋2ab )i.z －z －2为实数，所以b ＋2ab ＝0.因为|b |＝3，所以a ＝－12， 所以|z |＝⎝⎛⎭⎫－122＋(±3)2＝132. 22．(12分)已知复数z 满足|z |＝2，z 2的虚部是2.(1)求复数z ；(2)设z ，z 2，z －z 2在复平面上的对应点分别为A ，B ，C ，求△ABC 的面积． 解析：(1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z 2＝a 2－b 2＋2ab i ，由题意得a 2＋b 2＝2且2ab ＝2，解得a ＝b ＝1或a ＝b ＝－1，所以z ＝1＋i 或z ＝－1－i.(2)当z ＝1＋i 时，z 2＝2i ，z －z 2＝1－i ，所以A (1,1)，B (0,2)，C (1，－1)，所以S △ABC ＝1.当z ＝－1－i 时，z 2＝2i ，z －z 2＝－1－3i ，所以A (－1，－1)，B (0,2)，C (－1，－3)，所以S △ABC ＝1.。