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【数学】1.4.2《正、余弦函数的性质》课件(1)(周期)

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1.4正弦函数_余弦函数的性质(1--4)ppt.ppt

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归纳：余弦函数的单调性y
1
3 5
2
2 3
2
O
2
1
2
3 2
2
5 3
2
x
由余弦函数的周期性知：
在每个闭区间[ k 2 , 2k ](k Z)都是增函数，
其值从－1增大到1 ；
在每个闭区间 [2k , 2k ](k Z) 上都是减函数，
其值从1减小到－1。
探究：正弦函数的最大值和最小值 y
2
减函数，其值从1减小到－1。
探究：余弦函数的单调性 y
1
3 5
2
2 3
2
O
2
1
2
3 2
2
5 3
2
x
当x在区间L [3 , 2 ]、[，0]、[，2 ][3 ,4 ]L上时，
曲线逐渐上升，cosα的值由 增1 大到 。1
当x在区间 L [2 , ]、[0， ]、[2，3 ]L 上时，
曲线逐渐下降， sinα的值由 1减小到 。1
P36 练习1
练习2：求下列函数的周期
(1)y sin 3 x, x R 4
T
2
3
2
4 3
8
3
4
(2)y cos4x, x R
(3)y 1 cosx, x R 2
(4)y sin(1 x ), x R
34
T 2
42
T 2 2
1
T
2
1
2
3
6
3
当堂检测
（1）下列函数中，最小正周期是 的函数是（ D ）
思考：
1。今天是2013年11月25日，星期一，那么7 天后是星期几？30天后呢？为什么？这是 周期现象吗？

课件2：1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质

课件2：1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质

o
2
3
x
-1
想一想
通过观察，我们发现正弦函数、余弦函数的 图像也是具有周期性的，那么严谨来说，何 为周期性呢，周期又是怎么得到的呢?
知识点2：
周期的定义
x 对于函数 f (x) ，如果存在一个非零常数 T ，使得当
取定义域内的每一个值时，都有 f (x T ) f (x)，
那么函数 f (x) 就叫做周期函数，
知识点1：
诱导公式sin(x+2π) =sinx,的几何意义．
y
o
x
X
X+2π
X
X+2π
正弦函数值是按照一定规律不断重复地出现的 能不能从正弦、余弦函数周期性归纳出一般函数的规 律性？
正弦曲线
-2
-
余弦曲线
-2
-
y
1 y sin x , x R
x
o
2 3
4
-1
y 1 y cos x , x R
再见
注意:
1.定义是对定义域中的每一个x值来说的,
只有个别的x值满足:f (x T ) f (x)
不能说T 是y f (x)的周期.
例如 : sin(
4
) sin ,
2
4
但是sin( ) sin .
32
3
就是说 不能对x在定义域内的每一个值使
2
sin( x ) sin x,因此 不是y sin x的周期.
T 2
若0则
T 2
课堂练习
求下列函数的最小正周期
(1) f (x) sin(2 x )
5
(2) f (x) 1 cos( x)
2 32

1.4.2正弦函数余弦函数的性质

1.4.2正弦函数余弦函数的性质

讲授新课
例1. 求下列三角函数的周期：
练习1. 求下列三角函数的周期：
讲授新课 一般结论:
讲授新课
三个函数的周期是什么?
讲授新课 一般结论:
讲授新课 正弦、余弦函数的性质2——奇偶性
请同学们观察正、余弦函数的图形， 说出函数图象有怎样的对称性？其特点 是什么？
y＝sinx
y＝cosx
讲授新课 正弦、余弦函数的性质2——奇偶性
讲授新课
例4.不通过求值，指出下列各式大于 0还是小于0.
例5、求函数y=sin(
1 2
x
3
),
x
2
,
2
的单调递增区间。
课堂小结
1. 正弦函数、余弦函数的周期性； 2.正弦函数、余弦函数的奇偶性； 3. 正弦函数、余弦函数的单调性.
补充作业：
1.已知sin(x ) 1 ,求sin(5 x) sin2 ( x)的值.
前提：定义域关于原点对称
讲授新课
例2.判断下列函数的奇偶性
讲授新课 正弦、余弦函数的性质3——单调性
增函数
减函数
讲授新课 正弦、余弦函数的性质3——单调性
增函数 减函数
对称轴 y=sinx的对称轴为
y=cosx的思考. 教材P.46习题1.4第11题.
讲授新课
例3.下列函数有最大值、最小值吗？如果 有，请写出取最大值、最小值时的自变 量x的集合，并说出最大值、最小值分别 是什么.
(3) 这个规律由诱导公式sin(2k+x)=sinx 可以说明.
结论：象这样一种函数叫做周期函数.
讲授新课
周期函数定义：
对于函数f(x)，如果存在一个非零 常数T，使得当x取定义域内的每一个 值时，都有：f (x＋T)＝f(x).那么函数 f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做 这个函数的周期.

高一数学人教A版必修4课件：1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(一)

高一数学人教A版必修4课件：1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(一)

23.∴f53π＝
3 2.
明目标、知重点
反思与感悟 解决此类问题关键是综合运用函数的周 期性和奇偶性，把自变量x的值转化到可求值区间内.
明目标、知重点
跟踪训练 2 已知函数 f(x)对于任意 x∈R 满足条件 f(x＋3)＝f1x，
且 f(1)＝12，则 f(2 014)等于( B )
1 A.2 解析
明目标、知重点
填要点·记疑点
1.函数的周期性 (1)对于函数f(x)，如果存在一个 非零常数T ，使得当x取定 义域内的每一个值时，都有 f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就 叫做周期函数.非零常数T叫做这个函数的周期. (2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数， 那么这个最小正数就叫做f(x)的 最小正周期 .
明目标、知重点
由于 x 至少要增加|2ωπ|个单位，f(x)的函数值才会重复出现，因此，|2ωπ| 是函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)的最小正周期.
同理，函数 f(x)＝Acos(ωx＋φ)也是周期函数，最小正周期也是|2ωπ|.
明目标、知重点
探究点四 正弦、余弦函数的奇偶性 导引 正弦曲线
∴f(－x)＝lg[1－sin(－x)]－lg[1＋sin(－x)]
＝lg(1＋sin x)－lg(1－sin x)＝－f(x). ∴f(x)为奇函数.
明目标、知重点
1＋sin x－cos2x
(3)f(x)＝
.
1＋sin x
解 ∵1＋sin x≠0，∴sin x≠－1，
∴x∈R 且 x≠2kπ－π2，k∈Z.
明目标、知重点
探究点三 函数y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝A·cos(ωx＋φ))(A>0，ω≠0)的周期

人教版高中数学必修4第一章三角函数《1.4三角函数的图象与性质：1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质》教学PPT

人教版高中数学必修4第一章三角函数《1.4三角函数的图象与性质：1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质》教学PPT

解：(2)当x 2k , k Z时，函数取得最大值，ymax 1
2
当x 2k , k Z时,函数取得最小值,
2
ymin 1
函数取得最大值的x的集合是x
x
2
2k
,
k
Z
，ymax
1,
函数取得最大值的x的集合是x
x
2
2k
,
k
Z
，ymin
1.
二、 正、余弦函数的奇偶性
-4 -3
例1.下列函数有最大(小)值？如果有,请写出取最大(小) 值时的自变量x的集合,并说出最大(小)值是什么？
（1）y cos x 1, x R; （2）y sin x, x R.
解：(1)当x 2k , k Z时，ymax 11 2,
当x 2k , k Z时，ymin 11 0.
1.4.2 正弦、余弦函数的性质
(1)周期性
定义域、值域
-4 -3
y
1
-2
- o
-1
y=sinx (xR)
2
3
4
定义域 xR
-4 -3
y=cosx (xR)
y
1
-2
- o
-1
值 域 y[ - 1, 1 ]
2
3
4
5 6x 5 6x
举例：
生活中“周而复始”的变化规律。
24小时1天、7天1星期、365天1年……. 相同的间隔重复出现的现象称为周期现象. 数学中又有哪些周期现象呢？
思考：y=sinx，x∈R的图象为什么会重复出现形 状相同的曲线呢?
y
1
4
3
2
7 2
5
3
2

高一数学1.4.2正余弦函数的性质(1)优秀课件

高一数学1.4.2正余弦函数的性质(1)优秀课件

D．y＝cos 4x
解析 选项 A，周期 T＝21π＝4π；选项 B，周期 T＝22π＝π； 2
选项 C，周期 T＝21π＝8π；选项 D，周期 T＝24π＝π2． 4
答案 D
知识点二 正弦函数、余弦函数的奇偶性
思考 对于x∈R，sin(－x)＝－sin x，cos(－x)＝cos x，这说 明正弦函数、余弦函数具备怎样的性质？
变式2：条件改为f(x+2)= —f(x)其它不变，如何证明?
规律方法 求函数的最小正周期的方法 观察出周期，再用定义验证.也可利用函数性质推出
定义法 f(x＋T)＝f(x)
图象法 作出函数图象，观察图象得出T，例如y＝|sin x|
函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(或f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)
问题4 周期函数都有最小正周期吗？举例说明
问题导学
新知探究 点点落实
问题5 三角函数是周期函数吗？它的周期是多少？最小的正周 期呢？ 2.两种特殊的周期函数 (1)正弦函数y＝sin x是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，
最小正周期是2π. (2)余弦函数y＝cos x是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，
解 ∵3cos(x＋2π)] ＝3cosx， ∴函数y＝3cos x，x∈R的周期是2π.
(2)y＝sin 2x，x∈R；
解 ∵sin[2(x＋π)] ＝sin(2x＋2π)＝sin 2x，
∴函数y＝sin 2x，x∈R的周期是π.
（3)y＝2sin12x－π6，x∈R；
解 ∵2sin12x＋4π－6π＝2sin12x－6π＋2π＝2sin12x－π6， ∴函数 y＝2sin12x－π6，x∈R 的周期是 4π.

高中数学必修4(1.4.2正弦函数、余弦函数的性质)PPT课件


∴函数 y2sin1x(),x.正弦函数、余弦函数的性质
例1) 3y.求s下in列( x函数的)周期：
3 2) y cos 3x
3) y 3 sin ( 1 x ), x R 一般
35
结论：
函 数 yAsin(x)及 yAcos(x),xR (A,,为 常 数 ,A0,. 0)的 周 期 T2 8
.
15
结论：正弦函数是奇函数，余弦函数是偶 函数
.
9
正弦、余弦函数的图象和性质
-4 -3
-2
y
1
- o
-1
2
3
4
y=sinx (xR) 定义域 xR
值 域 y[ - 1, 1 ]
y=cosx (xR) 周期性 T = 2
y
1
-4 -3
-2
- o
-1
2
3
4
.
5 6 x
5 6 x
10
正弦、余弦函数的奇偶性
对于函数f(x),如果存在一个非零常数T, 使得当x取定义域内的每一个值时，都有
f(x+T)=f(x)
那么函数f(x)就叫做周期函数.非零常数T 叫做这个函数的周期.
注意：如果在周期函数f(x)的所有周期中
存在一个最小的正数，那么这个最小正数
就叫做f(x)的最小正周期.
.
6
例：求下列函数的周期 ( 1 ) y 3 cx ,o x R s( 2 ) y s2 x i ,x n R ( 3 ) y 2 s1 i x n ) 26 解:(1)∵cos(x+2π)=cosx, ∴3cos(x+2π)=3cosx ∴函数y= 3cosx，x∈R的周期为2π

正弦函数_余弦函数的性质 ppt课件

(1)y cosx1, xR;
(2)y 3sin2x, xR.
解（：2）令t=2x,因为使函{t数|ty 3si2nkt,t, k RZ取}最大值的t的集合是
由 2xt2k2 得 xk
2
4
所以使函数 y3sin2x,x R 取最大值的x的集合是
{x|xk,kZ}
4 同理，使函数 y3sin2x,x R取最小值的x的集合是
3 5
2
2 3
2
P' 2
y 1P
O 3 2
2
2
1
5 3 x
2
对称轴：x L5,3,1,1,3L
2 2 222
xk,kZ
2
对称中心： L ( , 0 ) , ( 0 , 0 ) , ( , 0 ) , ( 2 , 0 ) L
(k,0) k Z
ppt课件
27
余弦函数的图象 y
说明：我们现在谈到三角函数周期时，如果 不加特别说明，一般都p是pt课件指的最小正周期。 5
正弦函数 ys ixn(xR)
y
· · -2
-
o
· · · ·x
2 3
4
x 结合图像：在定义域内任取一个 ，
由诱导公式可知： s ix n2 (k)s ixn
即 f(x2k)f(x)
☺正弦函数ys ixn(xR ppt课)是件 周期函数，周期是 2k6
3
A.x 4
3
B.x 2
C .x
12
y
D.x0
1
3 5
2
2 3
2
2
O 3 2 5 3 x
2
2
2
1
解：经验证，当

1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(一)


请列举几个“周而复始”的函数图象
y
y=sinx 1
-2
-
o
-1
y=cosx y 1
-
o

-1
2 3
2
3
4 x x
情景引入 图象初探 图象再探 概念形成 概念剖析 概念应用 完美终结
请列举几个“周而复始”的函数图象
y
y=sinx 1
-2
-
o
-1
y=cosx y 1
-
o

-1
练习2：
知识迁移
若钟摆的高度h(mm)与时间t(s)之间的函数关系如图所示：
(1)求该函数的周期; (2)求t=10s时钟摆的高度．
h/mm
60 55
50 50 45 40 35 30 25 20 20 15
10 10
5
o
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
2
3
t/s
情景引入 图象初探 图象再探 概念形成 概念剖析 概念应用 完美终结
我们收获了什么？ 1.周期函数的定义
2.设T是f(x) 的周期，则_k_T_(k为非零整数)也是
f(x)的周期. 3.周期的求法：
①.定义法; ②.公式法: ③.图 象 法.
作业：
必做题：书上P36 练习2 P46 3, 10
选做题： 设f ( x) cos x,则f (1) f (2) ... f (99)
正弦函数、余弦函数的性质（一） ----周期性
2
1 周而复始

3 2


2
0O 2

3 2

1.4.2第1课时 正、余弦函数的周期性与奇偶性 课件(共25张PPT)


___2_π_____ ___偶__函__数____
栏目 导引
第一章 三角函数
做一做
2.函数y＝－sin x是________函数(填“奇”或“偶”)．
答案：奇
3．若函数y＝sin(φ－x)是偶函数，则φ的值可能是( )
A．30°
B．60°
C．90°
D．180°
解析：选C.当φ＝90°时，sin(90°－x)＝cos x.
栏目 导引
第一章 三角函数
想一想 1.是否所有函数都是周期函数？ 提示：不是，如y＝x. 2．由于sin(30°＋120°)＝sin 30°，则120°是函数y＝ sin x的一个周期吗？ 提示：不是．因为对于函数y＝f(x)，使f(x＋T)＝f(x)成立 的x必须取定义域内的每一个值才可以，即x的任意性．
栏目 导引
题型二 正、余弦函数的周期性 例2 求下列函数的周期．
(1)y＝sin12x；
(2)y＝2sin3x－π6 ；
(3)y＝|sinx|.
【解】 (1)∵sin21x＋2π＝sin12x， 即 sin21x＋4π＝sin12x.
∴y＝sin12x 的周期是 4π.
第一章 三角函数
栏目 导引
第一章 三角函数
(2)f(x)＝sin(cos x)．
解：(1)函数的定义域为 R，
且
f(x)
＝
cos(
π 2
＋
2x)
＝
－
sin
2x.∵f( －x) ＝－
sin(－2x)＝sin 2x＝－f(x)，∴函数 f(x)＝cos(2x
＋52π)是奇函数．(2)函数的定义域为 R，
且 f(－x)＝sin[cos(－x)]＝sin(cos x)＝f(x)，
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1 解：(1)∵f(x＋2)＝ ， fx 1 1 ∴f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝ ＝ ＝f(x)． fx＋2 1 fx ∴函数 f(x)是周期函数，4 是一个周期． (2)f(119)＝f(4×30－1)＝f(－1)＝f(1)． ∵f(x＋2)f(x)＝1，∴f(－1＋2)f(－1)＝1，即 f(1)f(－1) ＝1. 又 f(x)是偶函数，∴f(－1)＝f(1)． ∴f2(1)＝1.又 f(1)＞0，∴f(1)＝1.∴f(119)＝1.
1.4.2
正弦函数、余弦函数的性质
第一课时
问题提出
1. 正弦函数和余弦函数的图象分别是什 么？二者有何相互联系？
1 -6π y
y=sinx
π 3π 2π 4π 5π
-4π
-5π -3π
-2π
-π
O
x 6π
-1
2
2
2 2
1 2
O
y
2
2
y=cosx
知识探究（二）：周期概念的拓展
思考1：函数f(x)=sinx（x≥0）是否为 周期函数？函数 f(x)=sinx （x≤0 ）是 否为周期函数？ 思考 2 ：函数 f(x)=sinx ，x∈[0 ， 10π ] 是否为周期函数？周期函数的定义域有 什么特点？
注意：（1）周期T为非零常数。
（2）等式f(x+T)=f(x)对于定义域 M内任意一个x都成立。 (3）周期函数f(x)的定义域必为无 界数集（至少一端是无界的）
.
sin( x 2k ) sin x (k Z )
为了突出函数的这个特性，我们把 函数f(x)=sinx称为周期函数，2kπ 为这 个函数的周期. 对于函数 f(x) ，如果存在一个非 零常数 T ，使得当 x 取定义域内的每一 个值时，都有 f(x+T)=f(x), 那么函数 f(x)就叫做周期函数，非零常数 T就叫 做这个函数的周期.
第21页
2
2
2
x
2
-1
2
正弦、余弦函数的图象和性质
y
1 4 3 2 -
o
-1

2
3
4
5
6
x
y=sinx (xR)
定义域 xR 值 域 y[ - 1, 1 ] 周期性 T = 2
y=cosx (xR)
y
1 4 3 2 -
o
-1

2
3
点评： 通常用周期函数的定义讨论非三角函数的周期问 题，即只需找到一个非零实数 T，对定义域内任意 x 总有 fx ＋T＝fx成立.
第16页
【变式训练】 已知定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x＋ 2)· f(x)＝1，且 f(x)＞0. (1)求证：f(x)是周期函数；(2)求 f(119)．
y A sin( wx 及y A cos( wx x R 2 的最小正周期为
理论迁移
例1 求下列函数的周期： （1）y=3cosx; x∈R （2）y=sin2x，x∈R x p （3） y = 2 sin( 2 - 6 ) ， x∈R ； （4）y=|sinx| x∈R.
（4）周期函数不一定有最小正周期。 举例：f(x)=1(x∈R),任一非零实数都是函 数f(x)=1的周期，但在正实数中无最小值， 故不存在最小正周期。
y A sin(wx 及y A cos(wx
的最小正周期
因为f(x)=Asin(x+ =Asin[(x+ =Asin[ (x+ f(x+ )
；
【变式训练】 求下列函数的最小正周期． π (1)y＝sin3x＋3 ； π (2)y＝cos2x＋6； 2 π (3)y＝sinπx－4 .
第14页
2π 解：(1)∵ω＝3，∴T＝ 3 . π (2)∵函数 y＝cos2x＋6 的最小正周期为 π，而函数 π π y＝|cos2x＋6|的图像是将函数 y＝cos2x＋6 的图像在 x 轴下方的部分对折到 x 轴上方，并且保留在 x 轴上方图 π 像而得到的，由此可知所求函数的最小正周期为 T＝ . 2 2 2π (3)∵ω＝π，∴T＝ 2 ＝π2. π
4
5
6
x
2. 世界上有许多事物都呈现“周而复始” 的变化规律，如年有四季更替，月有阴 晴圆缺.这种现象在数学上称为周期性， 在函数领域里，周期性是函数的一个重 要性质.
知识探究（一）：周期函数的概念
思考1：由正弦函数的图象可知, 正弦曲 线每相隔 2π 个单位重复出现， 这一规 律的理论依据是什么？
P 36 练习1,2
第15页
题型 函数周期性的证明 【例 2】 已知函数 y＝f(x)满足 f(x＋2)＝f(x－2)，求证： 函数 y＝f(x)是周期函数．
分析：只需找一个非零实数 T，满足 f(x＋T)＝f(x)即可．
解：令 x－2＝t，则 x＝t＋2， 于是由 f(x＋2)＝f(x－2)，得 f(t)＝f[(t＋2)＋2]＝f(t＋4)． ∴f(t)＝f(t＋4)．∴f(x＋4)＝f(x)． ∴函数 y＝f(x)是周期函数，4 是一个周期．
解：∵f(x)是以 1 为一个周期的函数， ∴k(k∈Z)也是 f(x)的周期． 7 7 ∴f(x－k)＝f(x)，故 f2＝f2－4. 7 1 从而 f2＝f－2. 又当 x∈(－1,0)时，f(x)＝2x＋1， 7 1 1 ∴f2＝f－2＝2×－2＋1＝0.
第17页
题型 函数周期性的应用 【例 3】 设 f(x)是以 1 为一个周期的函数，且当 x∈(－ 7 1,0)时，f(x)＝2x＋1，求 f 2的值．
分析：解答本题可利用
7 7 1 f2＝f2－1×4＝f－2求解．
第18页
思考3：周期函数的周期是否惟一？正弦 函数的周期有哪些？
思考4：如果在周期函数f(x)的所有周期 中存在一个最小的正数 , 则这个最小正 数叫做f(x)的最小正周期.那么, 正弦函 数的最小正周期是多少？为什么？
正、余弦函数是周期函数，2kπ （k∈Z, k≠0 ）都是它的周期，最小 正周期是2π ．
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【变式训练】 设偶函数 f(x)对任意的 x∈R，都有 f(x＋ 1 3)＝－ ，且当 x∈[－3，－2]时，f(x)＝2x，求 f(113.5)的由于 f[(x＋3)＋3]＝－ ，而 f(x＋3)＝－ ，则 f x fx＋3 f(x＋6)＝f(x)， 即函数的周期为 6， 于是 f(113.5)＝f(19×6－0.5) 1 1 ＝f(－0.5)，f(－0.5)＝－ ＝－ ，又函数为偶 f2.5 f3－0.5 函数，因此 f(2.5)＝f(－2.5)＝2×(－2.5)＝－5，因此 f(－0.5) 1 1 1 1 ＝－ ＝－ ＝ ，也即 f(113.5)＝5. f2.5 －5 5