广西南宁市武鸣高中等四校联考2015届高三上学期12月月考数学试卷(文科)

2024—2025学年度上学期高三12月联合教学质量检测高三数学试卷解析版满分150分，考试用时120分钟注意事项：1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置.2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3. 非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设为虚数单位，若，则（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知的值为（ ）AB ．CD ．3．意大利数学家斐波那契的《算经》中记载了一个有趣的数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，……这就是著名的斐波那契数列，该数列的前2024项中有（ ）个奇数A ．1012B ．1348C ．1350D ．1352【答案】C【详解】对数列中的数归纳发现，每3个数中前2个都是奇数，后一个是偶数，i 32ii z -=z =2i +2i -12i +12i-cos 1sin αα=+cos sin 1αα-又，故该数列前2024项有个奇数.故选：C4．在中，为的中点，为的中点，若，则等于（ ）A．B ．C ．D ．5．已知，，，则（ ）A ．B ．C ．D ．20223674=⨯267421350⨯+=ABC V H BC M AH AM AB AC λμ=+λμ+231216133log 5a =2log 3b =4ln 3e c =a b c <<c b a <<b c a <<c a b<<6．某人有两把雨伞用于上下班，如果一天上班时他也在家而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把去办公室，如果一天下班时他也在办公室而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把回家.；如果天不下雨，那么他不带雨伞.假设每天上班和下班时下雨的概率均为，不下雨的概率均为，且与过去情况相互独立.现在两把雨伞均在家里，那么连续上班两天，他至少有一天淋雨的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知直线与圆，点在直线上，过点作圆的切线，切点分别为，当取最小值时，则的最小值为（ ）A B ．C ．D ．1323168120818272881:4350l x y ++=22:(4)(3)4C x y -+-=,P Q l P C ,A B PA QA QB +8．在平行四边形中，，是平行四边形内（包括边界）一点，，若，则的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．[0,1]因为，所以点在线段不妨设所以ABCD DA DB =E ABCD DE DA DE DB DA DB ⋅⋅= CE xCB yCD =+ x y +[]1,231,2⎡⎤⎢⎥⎣13,22⎡⎤⎢⎥⎣DA DB =E [,0,1DE DM λλ=∈ CE CD DMλ=+二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．对任意，记，并称为集合的对称差．例如：若，则．下列命题中，为真命题的是（）A ．若且，则B ．若且，则C ．若且，则D ．存在，使得,A B ⊆R {},A B x x A B x A B ⊕=∈⋃∉⋂A B ⊕,A B {}{}1,2,3,2,3,4A B =={}1,4A B ⊕=,A B ⊆R A B B ⊕=A =∅,A B ⊆R A B ⊕=∅A B =,A B ⊆R A B A ⊕⊆A B ⊆,A B ⊆R A B A B ⊕≠⊕R R ðð故选：AB ．10．在菱形中，，，E 为AB 的中点，将沿直线DE 翻折至的位置，使得二面角为直二面角，若为线段的中点，则（ ）A ．平面B ．C ．异面直线，所成的角为D ．与平面对于A ，因为所以，所以平面ABCD 2AB =60BAD ∠=︒ADE V 1A DE △1A DE C --P 1AC //BP 1A DE DP EC⊥PB 1A D π31A B PBD 310,,22BP ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭0BP m ⋅=//BPA ．B ．C ．D ．()()()P AB P A P B =()38P AB =()34P A B +=()()()()()22P AB A B P AB P A P B +=故选：.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12．已知数列的通项公式为，若数列是单调递增数列，则实数的取值范围是 .13．已知函数在区间上的值域为，且，则的值为 .，如图所示，则故答案为：14．欧拉，他是数学史上最多产的数学家之一，他发现并证明了欧拉公式，从而建立了三角函数和指数函数的关系，若将其中的取作就得到了欧拉恒等式，它是令人着CD {}n a 271717,2842,2n n tn t n n a t n ⎧⎛⎫-++≤⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪>⎩{}n a t π()2sin (0)4f x x ωω⎛⎫=+> ⎪[]0,1[],m n 3n m -=ωπ4ω+=11π12(17071783)-cos sin i e i θθθ=+θπi e 10π+=迷的一个公式，它将数学里最重要的几个量联系起来，两个超越数——自然对数的底数，圆周率，两个单位——虚数单位和自然数单位1，以及被称为人类伟大发现之一的0，数学家评价它是“上帝创造的公式”，请你根据欧拉公式：，将复数表示成（为虚数单位）的形式；若，则，这里，称为1的一个n 次单位根，简称单位根．类比立方差公式，我们可以获得，复数，则的值是．四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.（本小题13分）已知数列的前项和，，且．e πi cos sin i e i θθθ=+πi i π3e e +i a b +,R,i a b ∈1n z =(0,1,2,,1)k z z k n ==- 2π2πcosisink k k z n n=+(0,1,2,,1)k n =- k z ()543211(1)1x x x x x x -=-++++2πi 5ez =()()()()2342222z z z z ----{}n a n 3(1)n n S na n n =--*n ∈N 317a =(1)求；(2)求数列的前项和；(3)设数列的前项和，且满足16.（本小题15分）1a {}n a n n S {}n b n n T n b =n T <在中，角所对的边分别为，且.(1)求角的大小；(2)若，如图，是上的动点，且始终等于，记.当为何值时，的面积取到最小值，并求出最小值.17.（本小题15分）如图，在以为顶点的五面体中，四边形与四边形均为等腰梯形，对的中点.ABC V ,,A B C ,,a b c cos cos 2C Ac a b-=+C 2AC BC ==,D E AB DCE ∠30o CED α∠=αCDE ,,,,,A B C D E F ABCD CDEF ,,2,4,AB CD CD EF AB DE EF CF CD AD BC AE =======∥∥M CD(1)证明：平面平面；(2)求平面与平面所成角的正弦值；(3)设点是内一动点，，当线段的长最小时，求直线与直线所成角的余弦值.则设平面的法向量为n =(x,y,z ABCD ⊥CDEF AEM BEM N ADM △0ND NM ⋅=AN EN BF ()()(0,0,3,3,0,0,0,1,0A EM ()(3,0,3,3,1,0AE EM =-=- AEM18.（本小题17分）已知A ，B 分别是双曲线的左、右顶点，点是双曲线C 上的一点，直线PA ，PB 的斜率分别为，，且.(1)求双曲线C 的方程；(2)已知过点的直线，交C 的左，右两支于D ，E 两点（异于A ，B ）.（i ）求m 的取值范围；（ii ）设直线与直线交于点Q ，求证：点Q 在定直线上.2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>()P n 1k 2k 12||4k k AB ==(4,0):4l x my =+AD BE（2）（i ）由题意知直线l 的方程为联立，化简得因为直线l 与双曲线左右两支相交，所以即满足：{4m 2―1(32m )2―192(4y 1y 2=484m 2所以或.2214164x y x my ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩()224132m y my -++m 12m <-12m >19.（本小题17分）已知函数.(1)求函数y =f(x)的单调区间；(2)若曲线与存在两条公切线，求整数的最小值；(3)已知，函数有3个零点为：，且，证明：.()()2,e ln xf x xg x x ==e x m y +=()1y g x =+m 1,0e a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭()()()11a h x x g x x =---123,,x x x 123x x x <<1232ex x x ++>由图象可知，要证，只需证因为，所以又因为在121,1x x -<<-<1232ex x x ++>2x 2111e x <<+11e +<()()()1ln 1q x x x =--。

广西南宁市武鸣高中等四校联考2015届高三上学期12月月考数学试卷（理科） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．cos240°=( ) A．﹣B．C．﹣D． 考点：运用诱导公式化简求值． 专题：三角函数的求值． 分析：原式中的角度变形后，利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果． 解答：解：cos240°=cos（180°+60°）=﹣cos60°=﹣． 故选：C． 点评：此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键． 2．已知两点A（4，1），B（7，﹣3），则与向量同向的单位向量是( ) A．±（，﹣）B．（﹣，）C．（，﹣）D．（，﹣ 考点：单位向量；平行向量与共线向量． 专题：计算题． 分析：根据两个点的坐标写出向量的坐标表示，进而求出其模并且求出与向量同向的单位向量． 解答：解：因为两点A、B的坐标为A（4，1），B（7，﹣3）， 所以=（3，﹣4）． 所以||=5， 所以与向量同向的单位向量为（，﹣）． 故选C． 点评：解决此类问题的关键是正确表达向量与求出向量的模，并且熟悉单位向量的定义． 3．已知全集U=R，集合A={x|y=，集合B={y|y=2x，x∈R}，则（?RA）∩B=( ) A．{x|x＞2} B．{x|0＜x≤1} C．{x|1＜x≤2} D．{x|x＜0} 考点：交、并、补集的混合运算． 专题：计算题． 分析：由全集U=R，集合A={x|y=}={x|2x﹣x2≥0}={x|0≤x≤2}，求出?RA={x|x＜0，或x ＞2}，再由B={y|y=2x，x∈R}={y|y＞0}，能求出（?RA）∩B． 解答：解：∵全集U=R， 集合A={x|y=}={x|2x﹣x2≥0}={x|0≤x≤2}， ∴?RA={x|x＜0，或x＞2}， ∵B={y|y=2x，x∈R}={y|y＞0}， ∴（?RA）∩B={x|x＞2}． 故选A． 点评：本题考查集合的交、并、补集的混合运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意指数函数性质的灵活运用． 4．若a，b，c成等比数列，则函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点个数为( ) A．0 B．1 C．2 D．0或1 考点：数列与函数的综合． 专题：计算题． 分析：根据a，b及c为等比数列，得到b2=ac，且ac＞0，然后表示出此二次函数的根的判别式，判断出根的判别式的符号即可得到二次函数与x轴交点的个数． 解答：解：由a，b，c成等比数列，得到b2=ac，且ac＞0， 令ax2+bx+c=0（a≠0） 则△=b2﹣4ac=ac﹣4ac=﹣3ac＜0， 所以函数f（x）=ax2+bx+c的图象与x轴的交点个数是0． 故选A． 点评：本题主要考查了等比数列的性质，灵活运用根的判别式的符号判断二次函数与x轴的交点个数，属于基础题． 5．一个四棱锥的三视图如图所示，其中主视图是腰长为1的等腰直角三角形，则这个几何体的体积是( ) A．B．1 C．D．2 考点：由三视图求面积、体积． 专题：计算题． 分析：由三视图知几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个直角梯形，上底是1，下底是2，梯形的高是四棱锥的高是1×，根据四棱锥的体积公式得到结果． 解答：解：由三视图知几何体是一个四棱锥， 四棱锥的底面是一个直角梯形， 上底是1，下底是2，梯形的高是 四棱锥的高是1× ∴四棱锥的体积是=故选A． 点评：本题考查由三视图还原几何体的图形和求几何体的体积，解题的关键是看出几何体的形状和各个部分的大小，本题是一个基础题． 6．等比数列{an}中，已知对任意自然数n，a1+a2+a3+…+an=2n﹣1，则a12+a22+a32+…+an2等于( ) A．B．（2n﹣1）2 C．4n﹣1 D．2n﹣1 考点：数列的求和． 专题：计算题． 分析：根据所给的对任意自然数n，a1+a2+a3+…+an=2n﹣1，给n取1和2，得到数列的前两项，得到等比数列{an2}是首项是1，公比是4的等比数列，应用等比数列的前n项和公式得到结果． 解答：解：∵当n=2时，a1+a2=3， 当n=1时，a1=1， ∴a2=2， ∴公比q=2， ∴等比数列{an}是首项是1，公比是2的等比数列， ∵a12=1，a22=4， ∴等比数列{an2}是首项是1，公比是4的等比数列， ∴a12+a22+a32+…+an2==， 故选A． 点评：有的数列可以通过递推关系式构造新数列，构造出一个我们较熟悉的数列，从而求出数列的通项公式．这类问题考查学生的灵活性，考查学生分析问题及运用知识解决问题的能力，这是一种化归能力的体现． 7．设x，y满足约束条件向量=（y﹣2x，m），=（1，1），且∥，则m的最小值为( ) A．6 B．﹣6 C．D．﹣ 考点：简单线性规划． 专题：不等式的解法及应用． 分析：根据向量平行的坐标关系得到y=2x+m，然后利用线性规划进行求解即可． 解答：解：∵=（y﹣2x，m），=（1，1），且∥， ∴y﹣2x﹣m=0，即y=2x+m， 作出不等式组对应的平面区域， 平移直线y=2x+m， 当直线经过点B时，直线的截距最小，此时m最小， 由，解得，即B（4，2）， 此时m=y﹣2x=2﹣8=﹣6， 故选：B 点评：本题主要考查线性规划的应用，根据向量的关系求出y=2x+m是解决本题的关键，利用数形结合是基本思想． 8．若函数f（x）=cos（3x﹣θ）﹣sin（3x﹣θ）为奇函数，则θ等于( ) A．kπ（k∈Z） B．C．D． 考点：余弦函数的奇偶性． 专题：计算题． 分析：根据辅导角公式，我们可以将已知中的函数f（x）=cos（3x﹣θ）﹣sin（3x﹣θ）解析式化为正弦型函数的形式，进而根据正弦函数的对称性，结合函数奇偶性的性质得到到f（0）=0，进而解三角方程即可求出对应θ的值． 解答：解：∵函数f（x）=cos（3x﹣θ）﹣sin（3x﹣θ）=﹣2sin（3x﹣﹣θ） 若函数f（x）=cos（3x﹣θ）﹣sin（3x﹣θ）为奇函数， 则sin（﹣﹣θ）=0， 即+θ=kπ，k∈Z． ∴θ=故选D． 点评：本题考查的知识点是余弦函数的奇偶性，其中利用辅助角公式，将函数的解析式化为正弦型函数的形式，是解答本题的关键． 9．已知两定点A（﹣2，0）和B（2，0），动点P（x，y）在直线l：y=x+3上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为( ) A．B．C．D． 考点：椭圆的简单性质． 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析：由题意知，要使椭圆C的离心率取最大值，则a取最小值．即|PA|+|PB|取最小值．利用点的对称性求出|PA|+|PB|的最小值即可解答本题． 解答：解：由题意得， 2c=|AB|=4． ∴c=2． 2a=|PA|+|PB|． 当a取最小值时，椭圆C的离心率有最大值． 设点A（﹣2，0）关于直线l：y=x+3的对称点为A′（x，y）． 则． 解得，． ∴A′（﹣3，1）． 则|PA|+|PB|=|PA′|+|PB|≥|A′B|． ∴2a≥|A′B|=． ∴当a=时，椭圆有最大离心率． 此时，=． 故选：B． 点评：本题考查椭圆的基本性质，动点到定点距离的最值等知识，属于中档题． 10．如图，AB是⊙O的直径，VA垂直⊙O所在的平面，点C是圆周上不同于A，B的任意一点，M，N分别为VA，VC的中点，则下列结论正确的是( ) A．MN∥AB B．MN与BC所成的角为45° C．OC⊥平面VAC D．平面VAC⊥平面VBC 考点：空间中直线与直线之间的位置关系． 专题：空间位置关系与距离． 分析：利用空间中线线、线面、面面间的位置关系进行判断． 解答：解：∵M，N分别为VA，VC的中点， ∴MN∥AC，故A错误； ∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°， ∵MN∥AC，∴MN与BC所成的角为90°，故B错误； ∵∠ACO＜∠ACB=90°， ∴OC与平面VAC不垂直，故C错误； ∵∠ACB=90°，∴AC⊥BC， ∵VA⊥⊙O所在的平面，∴VA⊥BC， ∴BC⊥面VAC，∵BC?面VBC， ∴平面VAC⊥平面VBC，故D正确． 故选：D． 点评：本题考查命题的真假判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的合理运用． 11．已知函数f（x）=x3+x，?m∈，f（mx﹣2）+f（x）＜0恒成立，则x的取值范围为( ) A．（﹣2，）B．（，2）C．（﹣2，2）D．（﹣3，2） 考点：函数恒成立问题． 专题：函数的性质及应用． 分析：根据函数f（x）的单调性和奇偶性的关系将不等式恒成立进行等价转化，即可得到结论． 解答：解：∵f（x）=x3+x， ∴f（x）是奇函数，且在R上单调递增， 由f（mx﹣2）+f（x）＜0， 得f（mx﹣2）＜﹣f（x）=f（﹣x）， 此时应有mx﹣2＜﹣x?xm+x﹣2＜0， 对所有m∈恒成立， 令f（m）=xm+x﹣2，此时只需， 则，即， 解得﹣2＜x＜． 故选：A． 点评：本题主要考查不等式恒成立问题，利用函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键． 12．已知双曲线（a＞0，b＞0）的焦点F1（﹣c，0）、F2（c，0）（c＞0），过F2的直线l 交双曲线于A，D两点，交渐近线于B，C两点．设+=，+=，则下列各式成立的是( ) A．||＞|| B．||＜|| C．|﹣|=0 D．|﹣|＞0 考点：双曲线的简单性质． 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析：特殊化，取过F2垂直于x轴的直线l交双曲线于A，D两点，交渐近线于B，C两点，可得+==2，+==2，即可得出结论． 解答：解：取过F2垂直于x轴的直线l交双曲线于A，D两点，交渐近线于B，C两点，则 +==2，+==2， ∴|﹣|=0．． 故选：C 点评：特殊化是我们解决选择、填空题的常用方法． 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分） 13．lg5+lg20+log40． 考点：对数的运算性质． 专题：函数的性质及应用． 分析：利用对数的性质和运算法则求解． 解答：解：lg5+lg20+log4=lg100﹣2=2﹣2=0． 故答案为：0． 点评：本题考查对数式化简求值，是基础题，解题时要认真审题，注意运算法则的合理运用． 14．已知，则的展开式中的常数项是160． 考点：定积分． 专题：导数的综合应用；二项式定理． 分析：根据积分公式先求出a的值，然后利用二项式定理的展开式即可得到结论． 解答：解：=﹣cosx|=1﹣， 则=（x+）6， 则展开式的常数项为， 故答案为：160 点评：本题主要考查积分的应用，以及二项式定理的应用，要求熟练掌握相应的计算公式． 15．设函数f（x）在（0，+∞）内可导，且f（ex）=x+ex，则f′（1）=2． 考点：导数的运算；函数的值． 专题：计算题；压轴题；函数的性质及应用；导数的概念及应用． 分析：由题设知，可先用换元法求出f（x）的解析式，再求出它的导数，从而求出f′（1）． 解答：解：函数f（x）在（0，+∞）内可导，且f（ex）=x+ex， 令ex=t，则x=lnt，故有f（t）=lnt+t，即f（x）=lnx+x， ∴f′（x）=+1，故f′（1）=1+1=2． 故答案为：2． 点评：本题考查了求导的运算以及换元法求外层函数的解析式，属于基本题型，运算型． 16．已知定义在R上的函数f（x）是奇函数且满足f（3+x）=f（x），f（2）=﹣5，数列{an}满足a1=﹣1，且Sn=2an+n（其中Sn为{an}的前n项和），则f（a4）+f（a5）=﹣5． 考点：数列与函数的综合． 专题：函数的性质及应用；点列、递归数列与数学归纳法． 分析：先确定f（x）是以3为周期的周期函数，再由a1=﹣1，且Sn=2an+n，推知a5=﹣31，a6=﹣63，由此即可求得结论． 解答：解：∵函数f（x）是奇函数， ∴f（﹣x）=﹣f（x）且f（0）=0， 又∵f（3+x）=f（x）， ∴f（x）是以3为周期的周期函数， ∴f（2）=f（﹣1）=﹣5， ∵a1=﹣1，且Sn=2an+n， ∴a2=﹣3， ∴a3=﹣7，a4=﹣15， ∴a5=﹣31， ∴f（a4）+f（a5）=f（﹣15）+f（﹣31）=f（0）+f（﹣1）=0+f（2）=﹣5， 故答案为：﹣5． 点评：本题主要考查函数性质的转化，考查数列的通项，考查学生的计算能力，确定f （x）是以3为周期的周期函数是关键． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．如图，在△ABC中，BC边上的中线AD长为3，且BD=2，sinB=（1）求sin∠BAD的值； （2）求AC边的长． 考点：正弦定理． 专题：解三角形． 分析：（1）由BD，sinB，AD的值，利用正弦定理求出sin∠BAD的值即可； （2）由sinB的值求出cosB的值，由sin∠BAD的值求出cos∠BAD的值，利用两角和与差的余弦函数公式求出cos∠ADC的值，在三角形ACD中，利用余弦定理即可求出AC的长． 解答：解：（1）在△ABD中，BD=2，sinB=，AD=3， ∴由正弦定理=，得sin∠BAD===； （2）∵sinB=，∴cosB=， ∵sin∠BAD=，∴cos∠BAD=， ∴cos∠ADC=cos（∠B+∠BAD）=×﹣×=﹣， ∵D为BC中点，∴DC=BD=2， ∴在△ACD中，由余弦定理得：AC2=AD2+DC2﹣2AD?DCcos∠ADC=9+4+3=16， ∴AC=4． 点评：此题考查了正弦、余弦定理，两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握定理是解本题的关键． 18．近年来，政府提倡低碳减排，某班同学利用寒假在两个小区逐户调查人们的生活习惯是否符合低碳观念．若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”．数据如下表（计算过程把频率当成概率）．B小区低碳族非低碳族频率p0.80.2A小区低碳族非低碳族频率p0.50.5 A小区低碳族非低碳族 频率 p 0.5 0.5 小区低碳族非低碳族 频率 p 0.8 0.2 （Ⅰ）如果甲、乙来自A小区，丙、丁来自B小区，求这4人中恰有2人是低碳族的概率； （Ⅱ）A小区经过大力宣传，每周非低碳族中有20%的人加入到低碳族的行列．如果2周后随机地从A小区中任选3个人，记X表示3个人中低碳族人数，求X的分布列和数学期望． 考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差． 专题：概率与统计． 分析：（Ⅰ）设事件C表示“这4人中恰有2人是低碳族”．利用互斥事件概率计算公式能求出这4人中恰有2人是低碳族的概率． （Ⅱ）设A小区有a人，X的所有可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望． 解答：解：（Ⅰ）设事件C表示“这4人中恰有2人是低碳族”．…=0.01+0.16+0.16=0.33．… （Ⅱ）设A小区有a人， 两周后非低碳族的概率． 故低碳族的概率P=1﹣0.32=0.68．… X的所有可能取值为0，1，2，3， 低碳族的概率， ， ， ， ， X的分布列为 X 0 1 2 3 P 因随机地从A小区中任选3个人，这3个人是否为低碳族相互独立， 且每个人是低碳族的概率都是0.68， 故这3个人中低碳族人数服从二项分布，即X～B（3，0.68）， 故E（X）=3×0.68=2.04．… 点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的数学期望和分布列的求法，是中档题． 19．四棱锥S﹣ABCD，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD．已知∠DAB=135°，BC=2，SB=SC=AB=2，F为线段SB的中点． （1）求证：SD∥平面CFA； （2）求面SCD与面SAB所成二面角的平面角的余弦值大小． 考点：与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面平行的判定． 专题：空间角． 分析：（1）连结BD交AC于点E，连结EF，由已知条件推导出EF∥SD，由此能够证明SD∥平面CFA． （2）以BC的中点O为坐标原点，分别以OA，OC，OS为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．利用向量法能求出面SCD与面SAB所成二面角的平面角的余弦值． 解答：（1）证明：连结BD交AC于点E，连结EF， ∵底面ABCD为平行四边形，∴E为BD的中点． 在△BSD中，F为SB的中点，∴EF∥SD， 又∵EF?面CFA，SD?面CFA， ∴SD∥平面CFA． （2）解：以BC的中点O为坐标原点， 分别以OA，OC，OS为x，y，z轴， 建立如图所示的坐标系． 则有，，，， ∴，， ，， 设平面SAB的一个法向量为 由得， 令z=1得：x=1，y=﹣1∴ 同理设平面SCD的一个法向量为 由，得， 令b=1得：a=﹣1，c=1，∴ 设面SCD与面SAB所成二面角为θ， 则=， ∴面SCD与面SAB所成二面角的平面角的余弦值为． 点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用． 20．直线l：y=kx+1与双曲线C：2x2﹣y2=1的右支交于不同的两点A、B． （Ⅰ）求实数k的取值范围； （Ⅱ）是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由． 考点：直线与圆锥曲线的综合问题；双曲线的简单性质． 专题：计算题． 分析：（Ⅰ）将直线l的方程y=kx+1代入双曲线C的方程2x2﹣y2=1后，由题意知，由此可知实数k的取值范围． （Ⅱ）设A、B两点的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），由题意得，由此入手可求出k的值． 解答：解：（Ⅰ）将直线l的方程y=kx+1代入双曲线C的方程2x2﹣y2=1后，整理得（k2﹣2）x2+2kx+2=0．① 依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同两点，故 解得k的取值范围是﹣2＜k＜． （Ⅱ）设A、B两点的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），则由①式得② 假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F（c，0）． 则由FA⊥FB得：（x1﹣c）（x2﹣c）+y1y2=0． 即（x1﹣c）（x2﹣c）+（kx1+1）（kx2+1）=0． 整理得（k2+1）x1x2+（k﹣c）（x1+x2）+c2+1=0．③ 把②式及代入③式化简得． 解得 可知使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点． 点评：本题主要考查直线、双曲线的方程和性质，曲线与方程的关系，及其综合应用能力． 21．已知函数f（x）=（e为自然对数的底数）． （1）求函数f（x）的单调区间； （2）设函数φ（x）=xf（x）+tf′（x）+，存在函数x1，x2∈，使得成立2φ（x1）＜φ（x2）成立，求实数t的取值范围． 考点：导数在最大值、最小值问题中的应用． 专题：综合题；导数的综合应用． 分析：（1）确定函数的定义域，求导数．利用导数的正负，可得函数f（x）的单调区间； （2）假设存在x1，x2∈，使得成立2φ（x1）＜φ（x2）成立，则2φ（x）min＜φ（x）max．分类讨论求最值，即可求实数t的取值范围． 解答：解：（1）∵函数的定义域为R，f′（x）=﹣…． ∴当x＜0时，f′（x）＞0，当x＞0时，f′（x）＜0． ∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减．…． （2）假设存在x1，x2∈，使得成立2φ（x1）＜φ（x2）成立，则2φ（x）min＜φ（x）max． ∵φ（x）=xf（x）+tf′（x）+=， ∴φ′（x）=… ①当t≥1时，φ′（x）≤0，φ（x）在上单调递减，∴2φ（1）＜φ（0），即t＞3﹣＞1．…． ②当t≤0时，φ′（x）＞0，φ（x）在上单调递增，∴2φ（0）＜φ（1），即t＜3﹣2e ＜0．…． ③当0＜t＜1时， 在x∈上单调递减 在x∈（t，1]，φ′（x）＞0，φ（x）在上单调递增 ∴2φ（t）＜max{φ（0），φ（1）}，即2?＜{1，}（*） 由（1）知，g（t）=2?在上单调递减 故≤2?≤2，而≤≤， ∴不等式（*）无解 综上所述，存在t∈（﹣∞，3﹣2e）∪（3﹣，+∞），使得命题成立．… 点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 【选做题】（共1小题，满分10分） 22．选修4﹣1几何证明选讲 如图，已知⊙O的直径AB垂直于弦CD于E，连结AD、BD、OC、OD，且OD=5． （Ⅰ）若sin∠BAD=，求CD的长； （Ⅱ）若∠ADO：∠EDO=4：1，求扇形OAC（阴影部分）的面积（结果保留π）． 考点：弦切角；与圆有关的比例线段． 专题：立体几何． 分析：（I）由⊙O的直径AB垂直于弦CD于E，利用垂径定理可得CE=ED．在Rt△ABD中，利用直角三角形的边角关系可得BD=ABsin∠BAD．再利用勾股定理可得．由等面积变形可得，即可得出． （II）设∠ODE=x，则∠ADO=4x，利用三角形外角定理可得∠EOD=∠OAD+∠ODE=8x．在Rt△EOD中，由于∠EOD+∠ODE=，可得x=．进而得到∠AOC=2∠ADC=．再利用扇形的面积计算公式即可得出． 解答：解：（I）∵⊙O的直径AB垂直于弦CD于E，∴CE=ED，∠ADB=90°． 在Rt△ABD中，∵sin∠BAD=，∴=6． 由勾股定理可得==8． ∵，∴=4.8． ∴CD=2ED=9.6． （II）设∠ODE=x，则∠ADO=4x，∵OA=OD，∴∠OAD=4x． ∴∠EOD=∠OAD+∠ODE=8x． 在Rt△EOD中，∠EOD+∠ODE=，∴8x+x=，解得x=． ∴， ∴∠AOC=2∠ADC=． ∴扇形OAC（阴影部分）的面积S==． 点评：本题综合考查了圆的性质、垂径定理、直角三角形的边角关系、勾股定理、等面积变形、三角形外角定理、扇形的面积计算公式等基础知识与基本技能方法，属于基础题． 【选做题】（共1小题，满分0分）。

广西南宁市武鸣高中等四校联考2 015届高三上学期12月月考数学试卷（文科）一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1．设集合M={x|﹣1≤x＜2}，N={x|x﹣k≤0}，若M⊆N，则k的取值范围是( )A．k≤2B．k≥﹣1 C．k＞﹣1 D．k≥2考点：集合的包含关系判断及应用．专题：计算题．分析：集合M={x|﹣1≤x＜2}，N={x|x﹣k≤0}={x|x≤k}，M⊆N，利用数轴能够求出结果．解答：解：∵集合M={x|﹣1≤x＜2}，N={x|x﹣k≤0}={x|x≤k}，M⊆N，作出图形，∴k≥2．故选D．点评：本题考查集合的包含关系的判断及其应用，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．2．已知复数z=a2﹣1+（a+1）i（a∈R）为纯虚数，则为( )A．0 B．2i C．﹣2i D．﹣1﹣2i考点：复数的基本概念．专题：数系的扩充和复数．分析：由纯虚数的定义可得a值，进而可得复数z，可得．解答：解：由纯虚数的定义可得，解得a=1，∴z=2i，∴故选：C点评：本题考查复数的基本概念，属基础题．3．若{a n}为等差数列，S n是其前n项和，且S15=10π，则tana8的值为( )A．B．﹣C．±D．﹣考点：等差数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由等差数列{a n}的前n项和的性质，S15=15a8=10π，求出a8，进而根据特殊角的三角函数值求出结果．解答：解：由等差数列{a n}的前n项和的性质，S15=15a8=10π，∴∴，故选B．点评：由等差数列{a n}的前n项和的性质，n为奇数时，，求出a8，进而根据特殊角的三角函数值求出结果．4．在△ABC中，C=90°，且CA=CB=3，点M满足等于( )A．2 B．3 C．4 D．6考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题．分析：由•=（）•，再利用向量和的夹角等于45°，两个向量的数量积的定义，求出•的值．解答：解：由题意得 AB=3，△ABC是等腰直角三角形，•=（）•=+=0+||•||cos45°=×3×3×=3，故选B．点评：本题考查两个向量的数量积的定义，注意向量和的夹角等于45°这一条件的运用．5．已知双曲线﹣=1的离心率为，则n的值为( )A．B．C．1 D．2考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：离心率为的双曲线为等轴双曲线，分焦点在x轴和焦点在y轴上求出n的值．解答：解：离心率为的双曲线为等轴双曲线，当焦点在x轴上时，n=4﹣n，∴n=2；当焦点在y轴上时，﹣n=n﹣4，∴n=2；总之，n=2，故选：D．点评：本题考查等轴双曲线的特点：离心率为，渐近线的斜率为±1，属于一道基础题．6．关于x的不等式x2﹣4ax+3a2＜0（a＞0）的解集为（x1，x2），则的最小值是( )A．B．C．D．考点：一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：由不等式x2﹣4ax+3a2＜0（a＞0）的解集为（x1，x2），利用根与系数的关系可得x1+x2，x1x2，再利用基本不等式即可得出．解答：解：∵关于x的不等式x2﹣4ax+3a2＜0（a＞0）的解集为（x1，x2），∴△=16a2﹣12a2=4a2＞0，又a＞0，可得a＞0．∴x1+x2=4a，，∴=4a+==，当且仅当a=时取等号．∴的最小值是．故选：C．点评：本题考查了一元二次不等式解集与相应的一元二次方程的实数根的关系、根与系数的关系、基本不等式的性质，属于基础题．7．“k=﹣1”是“直线l：y=kx+2k﹣1在坐标轴上截距相等”的( )条件．A．充分必要B．充分不必要C．必要不充分D．既不充分也不必要考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：直线与圆；简易逻辑．分析：根据直线截距的定义结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解答：解：当k=﹣1时，直线l：y=kx+2k﹣1=﹣x﹣3，即，满足在坐标轴上截距相等，即充分性成立，当2k﹣1=0，即k=时，直线方程为y=，在坐标轴上截距都为0，满足相等，但k=﹣1不成立，即必要性不成立，故“k=﹣1”是“直线l：y=kx+2k﹣1在坐标轴上截距相等”的充分不必要条件，故选：B点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据直线截距的定义是解决本题的关键．8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A．B．C．πD．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：利用三视图判断几何体的形状为一个底面半径为1，高为2的半圆锥，然后通过三视图的数据求解几何体的体积．解答：解：几何体为圆锥被轴截面分割出的半个圆锥体，底面是半径为1的半圆，高为2．所以体积V=••π•12•2=．故选：B．点评：本题考查几何体与三视图的对应关系，几何体体积的求法，考查空间想象能力与计算能力．9．已知某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的结果为( )A．B．C．D．考点：程序框图．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环和分支的嵌套，计算并输出A值．解答：解：程序运行过程中，各变量的值如下表示：是否继续循环 A n循环前 0.2 1第一圈是 0.4 2第二圈是 0.8 3第三圈是 0.6 4第四圈是 0.2 5第五圈是 0.4 6…第4n+1圈是 0.4 4n+2第4n+2圈是 0.8 4n+3第4n+3圈是 0.6 4n+4第4n+4圈是 0.2 4n+5…第2007圈是 0.6 2008第2008圈是 0.2 2009第2009圈否所以最后输出的A值为0.2，即故答案为：A．点评：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中既要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．10．能够把圆O：x2+y2=16的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆O的“和谐函数”，下列函数不是圆O的“和谐函数”的是( )A．f（x）=4x3+x B．C．D．f（x）=e x+e﹣x考点：奇偶性与单调性的综合．专题：新定义；函数的性质及应用．分析：由“和谐函数”的定义及选项知，该函数若为“和谐函数”，其函数须为过原点的奇函数，由此逐项判断即可得到答案．解答：解：由“和谐函数”的定义知，若函数为“和谐函数”，则该函数为过原点的奇函数．A中，f（0）=0，且f（x）为奇函数，故f（x）=4x3+x为“和谐函数”；B中，f（0）=ln=ln1=0，且f（﹣x）=ln=ln=﹣ln=﹣f（x），所以f（x）为奇函数，所以f（x）=ln为“和谐函数”；C中，f（0）=tan0=0，且f（﹣x）=tan=﹣tan=﹣f（x），所以f（x）为奇函数，故f（x）=tan为“和谐函数”；D中，f（0）=e0+e﹣0=2，所以f（x）=e x+e﹣x的图象不过原点，故f（x））=e x+e﹣x不为“和谐函数”；故选D．点评：本题考查函数的奇偶性、单调性，考查学生对新问题的分析理解能力及解决能力，属中档题．11．已知点A（2，﹣3），B（﹣3，﹣2），直线l：y=﹣kx+k+1与线段AB相交，则k的范围是( )A．k≤﹣或k≥4 B．﹣≤k≤4C．k≤﹣4或k≥D．﹣4≤k≤考点：直线的斜率．专题：直线与圆．分析：由题意可得直线l：y=﹣kx+k+1经过 C（1，1）点，斜率为﹣k，由斜率公式k BC和k AC 的值，数形结合易得k的不等式，化简可得．解答：解：直线l：y=﹣kx+k+1经过 C（1，1）点，斜率为﹣k，当直线l经过B点（﹣3，﹣2）时，k BC=﹣k==，结合图形知﹣k≥，∴k≤﹣；当直线l经过A点（2，﹣3）时，k AC=﹣k==﹣4，结合图形知﹣k≤﹣4，∴k≥4综上可知k≤﹣或k≥4，故选：A点评：本题考查直线的斜率，涉及数形结合的思想，属基础题．12．已知函数f（x）=x3+ax2﹣x+c（x∈R），则下列结论错误的是( ) A．函数f（x）一定存在极大值和极小值B．若f（x）在（﹣∞，x1）、（x2，+∞）上是增函数，则x2﹣x1≥C．函数f（x）在点（x0，f（x0））处的切线与f（x）的图象必有两个不同公共点D．函数f（x）的图象是中心对称图形考点：利用导数研究函数的极值．专题：计算题；阅读型；导数的概念及应用；导数的综合应用．分析：先求出函数的导数，找到单调区间，列出表格，逐一排除，得出答案．解答：解：∵f′（x）=3x2+2ax﹣1．∴△=4a2+12＞0，∴f′（x）=0有两解，不妨设为x1＜x2，列表如下x （﹣∞，x1）x1（x1，x2）x2（x2，+∞）f'（x）+ 0 ﹣0 +f（x）单调递增极大值单调递减极小值单调递增由表格可知：①x=x1时，函数f（x）取到极大值，x=x2时，函数f（x）取到极小值，故选项A正确，②函数f（x）在（﹣∞，x1），（x2，+∞）上是增函数，x2﹣x1==≥，故选项B正确，③∵f（﹣a﹣x）+f（x）=+，f（﹣）=+，∴f（﹣﹣x）+f（x）=2f（﹣），∴（﹣，f（﹣））为对称中心，故选项D正确，选项A，B，D都正确，利用排除法，选项C错误，即函数f（x）在点（x0，f（x0））处的切线与f（x）的图象可以有一个不同公共点．故选C．点评：本题考查函数的单调性，函数的最值问题，导数的应用：求切线和单调区间、极值，是一道综合题．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡相应位置的横线上）13．设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为8．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由z=2x﹣y得y=2x﹣z，平移直线y=2x﹣z，由图象可知当直线y=2x﹣z经过点A时，直线y=2x﹣z的截距最小，此时z最大．由，解得，即A（5，2）将A的坐标代入目标函数z=2x﹣y，得z=2×5﹣2=8．即z=2x﹣y的最大值为8．故答案为：8点评：本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．14．若tanθ+=4，则sin2θ=．考点：二倍角的正弦．专题：三角函数的求值．分析：先利用正弦的二倍角公式变形，然后除以1，将1用同角三角函数关系代换，利用齐次式的方法化简，可求出所求．解答：解：若tanθ+=4，则sin2θ=2sinθcosθ=====，故答案为．点评：本题主要考查了二倍角公式，以及齐次式的应用，同时考查了计算能力，属于中档题．15．已知=2，=3，=4…，照此规律，第五个等式为=6．考点：归纳推理．专题：规律型．分析：由题目给出的4个式子可得等式左边根号内为一个整数加上一个分数，并且这个分数的分子为这个整数，分母为这个整数的平方减1，等式右边是这个整数乘以左边的分数的算术平方根，然后根据此规律即可得到第五个等式．解答：解：由=2，=3，=4，…，归纳可得：第n﹣1个式子为：=n，故第5个式子为：=6，故答案为：=6点评：本题考查了关于数字的变化规律：先要观察每个式子左右两边的数字的特点，得出数字变化的规律，然后写出一般规律性的式子．16．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点P是线段A1C1上的动点，则四棱锥P﹣ABCD的外接球半径R的取值范围是．考点：球的体积和表面积．专题：计算题；球．分析：画出图形，设P﹣ABCD的外接球的球心为G，说明GP=GA=R，设O1P=x，O1G=y，求出OG=1﹣y，推出R2=x2+y2，然后推出R与y的函数关系，利用二次函数的值域求出R的范围即可．解答：解：如图，设P﹣ABCD的外接球的球心为G，∵A，B，C，D在球面上，∴球心在正方体ABCD﹣A1B1C1D1上下底面中心连线O1O上，点P也在球上，∴GP=GA=R∵棱长为1，∴，设O1P=x，O1G=y，则OG=1﹣y，在Rt△GO1P中，有R2=x2+y2…①，在Rt△GOA中，…②，将①代入②，得，∵，∴，∴，于是R的最小值为．R的取值范围是：．故答案为：．点评：本题考查球与几何体的关系，二次函数的最值的求法，考查空间想象能力以及转化思想的应用．三、解答题：（本大题共5小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知函数（ω＞0，．其图象的最高点与相邻对称中心的距离为，且过点．（Ⅰ）求函数f（x）的达式；（Ⅱ）在△ABC中．a、b、c分别是角A、B、C的对边，，，角C为锐角．且满足2a=4asinC﹣csinA，求c的值．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；两角和与差的正弦函数；正弦定理．专题：三角函数的图像与性质；解三角形．分析：（Ⅰ）利用两角和差的正弦公式化简函数的解析式，根据函数的周期求ω，把所给的点的坐标代入求出Φ的值，从而确定出函数的解析式．（Ⅱ）根据条件2a=4asinC﹣csinA，由正弦定理求得sinC的值，可得cosC的值，再由余弦定理求得c的值．解答：解：（Ⅰ）由于．∵最高点与相邻对称中心的距离为=，则，即T=π，∴，∵ω＞0，∴ω=2．又f（x）过点，∴，即，∴．∵，∴，∴．（Ⅱ）2a=4asinC﹣csinA，由正弦定理可得 2sinA=4sinAsinC﹣sinCsinA，解得．又∵，∴．又，，∴b=6，由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC=21，∴．点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，两角和差的正弦公式、正弦定理和余弦定理的应用，两个向量的数量积的定义，属于中档题．18．为了响应政府“节能、降耗、减排、增效”的号召，某工厂决定转产节能灯，现有A，B 两种型号节能灯的生产线供选择；从这两种生产线生产的大量节能灯中各随机抽取100个进行质量评估，经检验，综合得分情况如下面的频率分布直方图：产品级别划分以及利润如下表：综合得分k的范围产品级别产品利润率（元/件）k≥85 一级 475≤k＜85 二级 2k＜75 不合格﹣2视频率为概率．（1）估计生产A型节能灯的一级品率．（2）估计生产一个B型节能灯的利润大于0的概率，并估计生产品100个B型节能灯的平均利润．考点：频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：（1）由频率分布直方图，求出一级品的频率即可；（2）根据题意，结合频率分布直方图，得出k≥75的频率，计算生产100个B型节能灯的平均利润．解答：解：（1）由频率分布直方图知，A型节能为的一级品频率为0.004×5+0.016×5=0.30，∴生产A型节能灯的一级品率的估计值为0.3；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）由条件知，生产B型节能灯一个产品的利润大于0的条件是必须满足k≥75，由频率分布直方图知，k≥75的频率为0.96，∴生产B型节能灯一个产品的利润大于0的概率估计值为0.96，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣生产100个B型节能灯的平均利润为：．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣点评：本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了产品利润的计算问题，是基础题．19．如图，菱形ABCD的边长为6，∠BAD=60°，AC∩BD=O．将菱形ABCD沿对角线AC折起，得到三棱锥B﹣ACD，点M是棱BC的中点，．（Ⅰ）求证：OM∥平面ABD；（Ⅱ）求证：平面ABC⊥平面MDO；（Ⅲ）求三棱锥M﹣ABD的体积．考点：平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．专题：计算题；证明题．分析：（Ⅰ）根据点O是菱形ABCD的对角线的交点，则O是AC的中点．又点M是棱BC的中点，根据中位线定理可知OM∥AB，而OM⊄平面ABD，AB⊂平面ABD，满足线面平行的判定定理；（Ⅱ）根据OM=OD=3，而，则OD⊥OM，根据菱形ABCD的性质可知OD⊥AC，而OM∩AC=O，根据线面垂直的判定定理可得OD⊥平面ABC，OD⊂平面MDO，满足面面垂直的判定定理，从而证得结论；（Ⅲ）根据三棱锥M﹣ABD的体积等于三棱锥D﹣ABM的体积，由（Ⅱ）知，OD⊥平面ABC，则OD=3为三棱锥D﹣ABM的高，最后根据三棱锥的体积公式解之即可．解答：（Ⅰ）证明：因为点O是菱形ABCD的对角线的交点，所以O是AC的中点．又点M是棱BC的中点，所以OM是△ABC的中位线，OM∥AB．…因为OM⊄平面ABD，AB⊂平面ABD，所以OM∥平面ABD．…（Ⅱ）证明：由题意，OM=OD=3，因为，所以∠DOM=90°，OD⊥OM．…又因为菱形ABCD，所以OD⊥AC．…因为OM∩AC=O，所以OD⊥平面ABC，…因为OD⊂平面MDO，所以平面ABC⊥平面MDO．…（Ⅲ）解：三棱锥M﹣ABD的体积等于三棱锥D﹣ABM的体积．…由（Ⅱ）知，OD⊥平面ABC，所以OD=3为三棱锥D﹣ABM的高．…△ABM的面积为BA×BM×sin120°=×6×3×=，…所求体积等于．…点评：本题主要考查了线面平行的判定，以及面面垂直的判定和体积的计算，同时考查了推理论证和计算能力，属于中档题．20．圆M和圆P：x2+y2﹣2x﹣10=0相内切，且过定点Q（﹣，0）．（Ⅰ）求动圆圆心M的轨迹方程；（Ⅱ）斜率为的直线l与动圆圆心M的轨迹交于A、B两点，且线段AB的垂直平分线经过点（0，﹣），求直线l的方程．考点：直线和圆的方程的应用．专题：综合题．分析：（Ⅰ）依题意，不难得到|MP|+|MQ|=2，且2大于|PQ|，转化为椭圆定义，求出动圆圆心M的轨迹E的方程．（Ⅱ）设直线l的方程，代入椭圆方程，求出AB的中点，可得AB的垂直平分线方程，将（0，﹣）代入，即可求直线l的方程．解答：解：（I）由已知|MP|=2﹣|MQ|，即|MP|+|MQ|=2，且2大于|PQ|…所以M的轨迹是以P，Q为焦点，2为长轴长的椭圆，即其方程为；…（II）设直线l的方程为y=x+m，A（x1，y1），B（x2，y2），则直线l的方程代入椭圆方程得10x2+6mx+3m2﹣3=0…∴x1+x2=﹣m …∴AB的中点（﹣m，）…∴AB的垂直平分线方程为y﹣=﹣（x+m）…将（0，﹣）代入得m=…∴直线l的方程为y=x+．…点评：本题考查圆与圆的位置关系，直线与椭圆的位置关系，椭圆的定义，是中档题．21．已知函数f（x）=在点（1，f（1））处的切线方程为x+y=2．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）对函数f（x）定义域内的任一个实数x，f（x）＜恒成立，求实数m的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：综合题；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（I）求导函数，利用函数在点（1，f（1））处的切线方程为x+y=2，建立方程组，即可求a，b的值；（II）对函数f（x）定义域内的任一个实数x，恒成立，等价于恒成立，求出函数的最值，即可求实数m的取值范围．解答：解：（Ⅰ）∵，∴∵点（1，f（1））在直线x+y=2上，∴f（1）=1，∵直线x+y=2的斜率为﹣1，∴f′（1）=﹣1∴有，∴（Ⅱ）由（Ⅰ）得由及x＞0，可得令，∴，令h（x）=1﹣x﹣lnx，∴，故h（x）在区间（0，+∞）上是减函数，故当0＜x＜1时，h（x）＞h（1）=0，当x＞1时，h（x）＜h（1）=0从而当0＜x＜1时，g′（x）＞0，当x＞1时，g′（x）＜0∴g（x）在（0，1）是增函数，在（1，+∞）是减函数，故g（x）max=g（1）=1要使成立，只需m＞1故m的取值范围是（1，+∞）．点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．【选修4-1：几何证明选讲】（共1小题，满分10分）22．如图，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，以AB为直径的圆O交AC于点E，点D是BC边的中点，连接OD交圆O于点M．（1）求证：O、B、D、E四点共圆；（2）求证：2DE2=DM•AC+DM•AB．考点：与圆有关的比例线段．专题：证明题；直线与圆．分析：（1）连接BE、OE，由直径所对的圆周角为直角，得到BE⊥EC，从而得出DE=BD=，由此证出△ODE≌△ODB，得∠OED=∠OBD=90°，利用圆内接四边形形的判定定理得到O、B、D、E四点共圆；（2）延长DO交圆O于点H，由（1）的结论证出DE为圆O的切线，从而得出DE2=DM•DH，再将DH分解为DO+OH，并利用OH=和DO=，化简即可得到等式2DE2=DM•AC+DM•AB成立．解答：解：（1）连接BE、OE，则∵AB为圆0的直径，∴∠AEB=90°，得BE⊥EC，又∵D是BC的中点，∴ED是Rt△BEC的中线，可得DE=BD．又∵OE=OB，OD=OD，∴△ODE≌△ODB．可得∠OED=∠OBD=90°，因此，O、B、D、E四点共圆；（2）延长DO交圆O于点H，∵DE⊥OE，OE是半径，∴DE为圆O的切线．可得DE2=DM•DH=DM•（DO+OH）=DM•DO+DM•OH．∵OH=，OD为△ABC的中位线，得DO=，∴，化简得2DE2=DM•AC+DM•AB．点评：本题着重考查了圆的切线的性质定理与判定、直径所对的圆周角、全等三角形的判定与性质等知识，属于中档题．【选修4-4；坐标系与参数方程】（共1小题，满分0分）23．已知平面直角坐标系xOy，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的参数方程为（φ为参数）．点A，B是曲线C上两点，点A，B的极坐标分别为（ρ1，），（ρ2，）．（Ⅰ）写出曲线C的普通方程和极坐标方程；（Ⅱ）求|AB|的值．考点：参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（Ⅰ）消去参数φ，把曲线C的参数方程化为普通方程；由公式，把曲线C的普通方程化为极坐标方程；（Ⅱ）方法1：由A、B两点的极坐标，得出，判定AB为直径，求出|AB|；方法2：把A、B化为直角坐标的点的坐标，求出A、B两点间距离|AB|．解答：解：（Ⅰ）∵曲线C的参数方程为，（φ为参数），消去参数φ，化为普通方程是x2+（y﹣2）2=4；由，（θ为参数），∴曲线C的普通方程x2+（y﹣2）2=4可化为极坐标ρ=4sinθ，（θ为参数）；（Ⅱ）方法1：由是圆C上的两点，且知，∴AB为直径，∴|AB|=4；方法2：由两点A（ρ1，），B（ρ2，），化为直角坐标中点的坐标是A（，3），B（﹣，1），∴A、B两点间距离为|AB|=4．点评：本题考查了参数方程与极坐标的应用问题，解题时应熟练地应用参数方程、极坐标与普通方程的互化公式，是基础题．【选修4-5：不等式选讲】（共1小题，满分0分）24．已知f（x）=|2x﹣1|+ax﹣5（a是常数，a∈R）①当a=1时求不等式f（x）≥0的解集．②如果函数y=f（x）恰有两个不同的零点，求a的取值范围．考点：函数零点的判定定理；带绝对值的函数．专题：计算题．分析：①当a=1时，f（x）=，把和的解集取并集，即得所求．②由f（x）=0得|2x﹣1|=﹣ax+5，作出y=|2x﹣1|和y=﹣ax+5 的图象，观察可以知道，当﹣2＜a＜2时，这两个函数的图象有两个不同的交点，由此得到a的取值范围．解答：解：①当a=1时，f（x）=|2x﹣1|+x﹣5=．由解得x≥2；由解得x≤﹣4．∴f（x）≥0的解为{x|x≥2或x≤﹣4}．②由f（x）=0得|2x﹣1|=﹣ax+5．作出y=|2x﹣1|和y=﹣ax+5 的图象，观察可以知道，当﹣2＜a＜2时，这两个函数的图象有两个不同的交点，函数y=f（x）有两个不同的零点．故a的取值范围是（﹣2，2）．点评：本题考查函数零点的判定定理，带有绝对值的函数，体现了转化的数学思想，属于基础题．。

武鸣高中2015届第一次模拟考试试题数学（文科）参考答案一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.) CABAA BCCCD BD二、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分） 13. 答案：54 14. 答案：31- 15．答案：14+n n解析 由已知条件可得数列{}n a 的通项为 21321n n n a n =++⋅⋅⋅+++=.∴设==+11n n n a a b ()14+n n ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛+-1114n n .14111411131212114+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⋅⋅⋅+-+-=n n n n n s n . 16. 答案：x y 42=或x y 162= 解析：依题意知：⎪⎭⎫⎝⎛0,2p F 准线方程为2p x -=，则由抛物线的定义知，,25p x M -=设以MF 为直径的圆的圆心为⎪⎭⎫⎝⎛2,25M y ，所以圆的方程为,42522522=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-M y y x 又因为过点()2,0，所以4=M y ，又因为点M 在C 上，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛-=25216p p ，解得2=p 或8=p ，所以抛物线C 的方程为x y 42=或x y 162=.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分12分）18.龋齿因为828.10667.16600200640160)14010050060(80022>≈⨯⨯⨯⨯-⨯=k 。

所以能在犯错率不超过0.001的前提下,为该区学生常吃零食与患龋齿有关系。

（Ⅱ）设其他工作人员为丙和丁，4人分组的所有情况有： 收集数据：甲乙；甲丙；甲丁；乙丙；乙丁；丙丁；处理数据：丙丁；乙丁；乙丙；甲丁；甲丙；甲乙共有6种。

记事件A ：工作人员甲分到负责收集数据组，工作人员乙分到负责数据处理组则满足条件的情况有：甲丙收集数据，乙丁处理数据；甲丁收集数据，乙丙处理数据共计2种()2163P A ==。

广西武鸣高中等四校2015届高三上学期12月联考数学理试题本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分。

考试时间120分钟．第Ⅰ卷一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 0cos 240= A．2-B ．23C ．12-D ．212.已知两点(4,1),(7,3)A B -，则与AB 同方向的单位向量是A ．34(,)55-B ．34(,)55-C ．43(,)55-D ．43(,)55-3.设全集U=R,集合x R ∈x 2，}，则()U C A B = A ．{x|x<0} B ．{x|0<x ≤1} C ．{x|1<x ≤2} D ．{x|x>2}4.若a 、b 、c 成等比数列，则函数2y ax bx c =++的图象与x 轴的交点个数为 A ．0 B ．1 C ．2 D ．不能确定5.一个四棱锥的三视图如图所示，其中正视图是 腰长为1的等腰直角三角形，则这个几何体的 体积是 A ．1 B ．22C ．21D ．416.等比数列{}n a 中，已知对任意正整数n ，12321n n a a a a ++++=-，则2222123na a a a ++++= A ．n 13（4-1） B ．n 13（2-1） C ．n 4-1 D ．n 2（2-1）7.设x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥10y x 2x 21y 1x ，向量),1,1(),,2(=-=b m x y a 且//，则m正视图侧视图俯视图的最小值为A ．6B ．6-C ．23 D ．23-8. 函数()f x )sin(3x )θθ---是奇函数，则θ为A ．k π（Z k ∈）B ．6k ππ+（Z k ∈） C ．3k ππ+（Z k ∈） D ．3k ππ--（Z k ∈）9.已知两定点A （-2,0）和B （2,0），动点P （x,y ）在直线L ：3y x =+上移动，椭圆C 以A 、B 为焦点且经过点P ，则椭圆C 的离心率的最大值为 A ．B C D10.如图，AB 是⊙O 的直径，VA 垂直⊙O 所在的平面，C 是圆周上不同于A 、B 的任意一点，M 、N 分别为VA 、VC 的中点，则下列结论正确的是A ．MN//AB B ．MN 与BC 所成的角为45o C ．OC ⊥平面VACD ．平面VAC ⊥平面VBC11.已知函数3(),[2,2],(2)()0f x x x m f mx f x =+∀∈--+<恒成立，则x 的取值范围为 A ．（-2，32） B ．（32，2） C ．（-2,2） D ．（-3,2） 12.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦点12(0)(c 0)F c F -，、，（c>0），过2F 的直线L 交双曲线于A 、D 两点，交渐近线于B 、C 两点，设1111m,n FB FC F A FD +=+=, 则下列各式成立的是A ．|n ||m |>B ．|n ||m |<C ．|m n|0-=D ．|m n|0->第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13.12lg5lg 20log 4++=14.已知30sinx dx a π=⎰，则61()x a+的展开式中的常数项是15.设函数()f x 在()0,+∞内可导，且()x x f e x e =+，则/(1)f = 16.已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数且满足(3)(),(2)5f x f x f +==-，数列{}n a 满足11a =-,且2n n S a n =+（其中n S 为{}n a 的前n 项和），则45()()f a f a +=三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.（本小题满分12分）.如图，在ABC ∆中，BC 边上的 中线AD 长为3，且2,sin 8BD B ==。

高中数学学习材料唐玲出品武鸣高中2015届第一次模拟考试试题数 学（文科）一．选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1．已知集合{}{}|33,|1A x x B x x =-<<=>，则集合A B ⋂为（ ） A ．[0,3) B ．[1,3)C ．(1,3)D ．(-3,1]2.在复平面内，复数21ii-对应的点的坐标为 ( ) A ．（-1，1） B.（1，1） C.（1，-1） D.（-1，-1） 3.下列有关命题的说法正确的是 （ ） A.若“()p q ∧⌝”为真命题，则“p q ∧”也为真命题 B.“3x =”是“22730x x -+=”成立的充分不必要条件C.命题“,x R ∀∈, 均有210x x -+>”的否定是：“x R ∃∈, 使得210x x -+<”D.线性回归方程a x b yˆˆˆ+=对应的直线一定经过其样本数据点()()()1122,,,,,,n n x y x y x y ⋅⋅⋅中的一个点4.棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -的内切球．．．的表面积为（ ） A. 4π B ．16π C ．43πD ．323π211俯视图侧视图正视图135. 已知,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，3sin 5α=,则tan 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭等于（ ）A ． －7B ． －71 C ． 7 D ．716. 某四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则该四棱锥的体积等于（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．47．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的离心率为26，则此双曲线的渐近线方程为（ ）A.2y x =±B.2y x =±C. x y 22±= D.12y x =±8.如图，在程序框图中，若输入3n =，则输出k 的值是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 9．在等差数列{}n a 中，0>n a ，且408321=++++a a a a ，则54a a ⋅的最大值是( )A.5B.10C.25D.5010. 已知向量(2,3),(1,2)a b ==-，若4ma b +与2a b -共线，则m 的值为( ) A ．12 B ． 2 C ．12- D ．2-11．在平面区域002x y x y ⎧≥⎪≥⎨⎪+≤⎩内随机取一点，则所取的点恰好落在圆221x y +=内的概率是（ ）A ．2π B ．4π C ．8π D ．16π12．定义域为R 的可导函数()x f y =的导函数为()x f '，满足()()x f x f '>，且(),10=f 则不等式()1<xex f 的解集为（ ) A. ()0,∞- B. ()+∞,2 C.()2,∞- D. ()+∞,0 第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）13. 如图是甲、乙两名篮球运动员2014年赛季每场比赛得分的 茎叶图，则甲、乙两人比赛得分的中位数之和为.甲 乙 7 1 2 62 8 23 1 9 645 3 1 214.设函数()cx bx ax x f ++=23，若1和1-是函数()x f 的两个零点，1x 和2x 是()x f 的两个极值点，则=⋅21x x _________ ． 15．已知数列{}n a ：,,109103102101,,434241,3231,21⋅⋅⋅+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++那么数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+11n n a a 的前n 项和n s 为________．16. 设抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，点M 在C 上，|MF|=5,若以MF 为直径的圆过点()2,0，则C 的方程为________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分12分）已知向量1(sin ,1),(3cos ,)2a xb x =-=-,函数()()2f x a b a =+⋅-． （1）求函数()f x 的最小正周期;（2）已知,,a b c 分别为ABC ∆内角A 、B 、C 的对边, 其中A 为锐角,23,4a c ==且()1f A =,求,A b 和ABC ∆的面积S ．18. （本小题满分12分）某区卫生部门成立了调查小组，调查 “常吃零食与患龋齿的关系”，对该区六年级800名 学生进行检查，按患龋齿和不患龋齿分类，得汇总数据：不常吃零食且不患龋齿的学生有60 名，常吃零食但不患龋齿的学生有100名，不常吃零食但患龋齿的学生有140名.（Ⅰ）完成下列22⨯列联表，并分析能否在犯错概率不超过0.001的前提下，认为该区学生的常吃零食与患龋齿有关系？不常吃零食常吃零食 总计 不患龋齿患龋齿总计（Ⅱ）4名区卫生部门的工作人员随机分成两组，每组2人，一组负责数据收集，另一组负责数据处理.求工作人员甲分到负责收集数据组，工作人员乙分到负责数据处理组的概率.)(02k K P ≥0.010 0.005 0.001附：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n k ++++-=19. （本小题满分12分）如图：//22CD ABC EB DC AC BC EB DC ⊥====平面，， ,120,,ACB P Q ∠=︒ 分别为,AE AB 的中点. （1）证明：//PQ 平面ACD ；（2）求AD 与平面ABE 所成角的正弦值.20. （本小题满分12分）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的长轴长为4，且点3(1,)2在椭圆上．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过椭圆右焦点斜率为k 的直线l 交椭圆于,A B 两点，若0OA OB ⋅=，求直线l 的方程21．（本小题满分12分）已知函数x kx x x f +-+=1)1ln()(，（k R ∈.()xx +='+11)1ln(） （1）讨论)(x f 的单调区间；（2）当1k =时，求)(x f 在[0,)+∞上的最小值，并证明()1111ln 12341n n ++++<++.请考生在第22、23、24题中任选一道．．．．作答，如果多做，则按所做的第1题计分．作答时请写清题号． 22．（本小题满分10分）选修4-1几何证明选讲已知,ABC AB AC ∆=中，D ABC ∆为外接圆劣弧AC 上的点（不与点A 、C 重合），延长BD 至E ,延长AD 交BC 的延长线于F ． （Ⅰ）求证：CDF EDF ∠=∠；（Ⅱ）求证：AB AC DF AD FC FB ⋅⋅=⋅⋅．0k6.6357.879 10.82823．（本小题满分10分）选修4-4：极坐标与参数方程选讲已知曲线C 的极坐标方程是2sin ρθ=，直线l 的参数方程是32,545x t y t ⎧=-+⎪⎨⎪=⎩（t 为参数）．（Ⅰ）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l 与x 轴的交点是M ，N 是曲线C 上一动点，求MN 的最大值． 24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知1a b +=，对,(0,)a b ∀∈+∞，14|21||1|x x a b+≥--+恒成立，求x 的取值范围．武鸣高中2015届第一次模拟考试试题数学（文科）参考答案一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.) CABAA BCCCD BD二、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分） 13. 答案：54 14. 答案：31- 15．答案：14+n n解析 由已知条件可得数列{}n a 的通项为 21321n n n a n =++⋅⋅⋅+++=.∴设==+11n n n a a b ()14+n n ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛+-1114n n .14111411131212114+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⋅⋅⋅+-+-=n n n n n s n . 16. 答案：x y 42=或x y 162= 解析：依题意知：⎪⎭⎫⎝⎛0,2p F 准线方程为2p x -=，则由抛物线的定义知，,25p x M -=设以MF 为直径的圆的圆心为⎪⎭⎫⎝⎛2,25M y ，所以圆的方程为,42522522=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-M y y x 又因为过点()2,0，所以4=M y ，又因为点M 在C 上，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛-=25216p p ，解得2=p 或8=p ，所以抛物线C 的方程为x y 42=或x y 162=.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分12分）18. （本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意可得列联表：不常吃零食常吃零食 总计不患龋齿 60 100 160 患龋齿 140 500 640 总计200600800因为828.10667.16600200640160)14010050060(80022>≈⨯⨯⨯⨯-⨯=k 。

2015年广西南宁市武鸣高中高考数学一模试卷（文科）一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知集合A={x|﹣3＜x＜3}，B={x|x＞1}，则集合A∩B为（）A．[0，3）B．[1，3）C．（1，3） D．（﹣3，1]2．在复平面内，复数对应的点的坐标是（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，﹣1） C．（1，﹣1）D．（1，1）3．下列有关命题的说法正确的是（）A．若“p∧（¬q）”为真命题，则“p∧q”也为真命题B．“x=3”是“2x2﹣7x+3=0”成立的充分不必要条件C．命题“∀x∈R，均有x2﹣x+1＞0”的否定是：“∃x∈R，使得x2﹣x+1＜0”D．线性回归方程对应的直线一定经过其样本数据点（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n）中的一个点4．棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内切球的表面积为（）A．B．16π C．4πD．5．已知α∈（，π），sinα=，则tan（α﹣）=（）A．﹣7 B．﹣C．7 D．6．一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是（）A．1 B．2 C．3 D．47．已知双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（）A．y=±2x B．C．D．8．如图，在程序框图中，若输入n=3，则输出k的值是（）A．2 B．3 C．4 D．59．在等差数列{a n}中a n＞0，且a1+a2+a3+…+a8=40，则a4•a5的最大值是（）A．5 B．10 C．25 D．AB=4，5010．已知向量，，若与共线，则m的值为（）A．B．2 C． D．﹣211．在平面区域内随机取一点，则所取的点恰好落在圆x2+y2=1内的概率是（）A．B．C．D．12．定义域为R的可导函数y=f（x）的导函数为f′（x），满足f（x）＞f′（x）且f（0）=1，则不等式＜1的解为（）A．（﹣∞，0）B．（0，+∞）C．（﹣∞，2）D．（2，+∞）二、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）13．如图是甲、乙两名篮球运动员2012年赛季每场比赛得分的茎叶图，则甲、乙两人比赛得分的中位数之和是．14．设函数f（x）=ax3+bx2+cx，若1和﹣1是函数f（x）的两个零点，x1和x2是f（x）的两个极值点，则x1•x2= ．15．已知数列{a n}：， +， ++， +++，…，那么数列b n=前n项和为．16．设抛物线C：y2=3px（p＞0）的焦点为F，点M在C上，|MF|=5，若以MF为直径的圆过点（0，2），则C的方程为．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知向量=（sinx，﹣1），=（cosx，﹣），函数f（x）=（）•﹣2．（1）求函数f（x）的最小正周期T；（2）已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，其中A为锐角，a=2，c=4，且f （A）=1，求A，b和△ABC的面积S．18．某区卫生部门成立了调查小组，调查“常吃零食与患龋齿的关系”，对该区六年级800名学生进行检查，按患龋齿和不患龋齿分类，得汇总数据：不常吃零食且不患龋齿的学生有60名，常吃零食但不患龋齿的学生有100名，不常吃零食但患龋齿的学生有140名．（Ⅰ）完成下列2×2列联表，并分析能否在犯错概率不超过0.001的前提下，认为该区学生的常吃零食与患龋齿有关系？（Ⅱ）4名区卫生部门的工作人员随机分成两组，每组2人，一组负责数据收集，另一组负责数据处理．求工作人员甲分到负责收集数据组，工作人员乙分到负责数据处理组的概率．附：k2=．19．如图，DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC=BC=EB=2DC=2，∠ACB=120°，P，Q分别为AE，AB的中点．（Ⅰ）证明：PQ∥平面ACD；（Ⅱ）求AD与平面ABE所成角的正弦值．20．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的长轴长为4，且点（1，）在椭圆上．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过椭圆右焦点斜率为k的直线l交椭圆于A，B两点，若•=0，求直线l的方程．21．已知函数f（x）=ln（1+x）﹣，k∈R．（1）讨论f（x）的单调区间；（2）当k=1时，求f（x）在[0，+∞）上的最小值，并证明+++…+＜ln（1+n）．请考生在第22、23、24题中任选一道作答，如果多做，则按所做的第1题计分．作答时请写清题号．[选修4-1几何证明选讲]22．已知△ABC中，AB=AC，D为△ABC外接圆劣弧上的点（不与点A，C重合），延长BD 至E，延长AD交BC的延长线于F（1）求证：∠CDF=∠EDF；（2）求证：AB•AC•DF=AD•FC•FB．[选修4-4：极坐标与参数方程选讲]23．已知曲线C的极坐标方程是ρ=2sinθ，直线l的参数方程是（t为参数）（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l与x轴的交点是M，N是曲线C上一动点，求MN的最大值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知a+b=1，对∀a，b∈（0，+∞），+≥|2x﹣1|﹣|x+1|恒成立，（Ⅰ）求+的最小值；（Ⅱ）求x的取值范围．2015年广西南宁市武鸣高中高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知集合A={x|﹣3＜x＜3}，B={x|x＞1}，则集合A∩B为（）A．[0，3）B．[1，3）C．（1，3） D．（﹣3，1]【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．【解答】解：∵A=（﹣3，3），B=（1，+∞），∴A∩B=（1，3），故选：C．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．在复平面内，复数对应的点的坐标是（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，﹣1） C．（1，﹣1）D．（1，1）【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数，则答案可求．【解答】解：由=，则复数对应的点的坐标是：（﹣1，1）．故选：A．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3．下列有关命题的说法正确的是（）A．若“p∧（¬q）”为真命题，则“p∧q”也为真命题B．“x=3”是“2x2﹣7x+3=0”成立的充分不必要条件C．命题“∀x∈R，均有x2﹣x+1＞0”的否定是：“∃x∈R，使得x2﹣x+1＜0”D．线性回归方程对应的直线一定经过其样本数据点（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n）中的一个点【考点】命题的真假判断与应用．【专题】计算题；规律型；转化思想；简易逻辑．【分析】利用复合命题的真假判断A的正误；充要条件判断B的正误；命题的否定判断C的正误；回归直线方程的性质判断D的正误．【解答】解：对于A，若“p∧（¬q）”为真命题，说明P与¬q是真命题，则“p∧q”也为真命题是错误的．对于B，x=3可得“2x2﹣7x+3=0”成立，但是2x2﹣7x+3=0可得x=3或x=，所以B的判断不正确；对于C，命题“∀x∈R，均有x2﹣x+1＞0”的否定是：“∃x∈R，使得x2﹣x+1＜0”，不满足命题的否定的定义，所以不正确；对于D，线性回归方程对应的直线一定经过其样本数据点（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n）中的一个点，显然不满足回归直线方程的性质，所以不正确；故选：B．【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，充要条件，命题的否定，回归直线方程，复合命题的真假的判断，难度不大，但是考查知识全面．4．棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内切球的表面积为（）A．B．16π C．4πD．【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题．【分析】根据正方体和内切球半径之间的关系即可求球的表面积．【解答】解：∵棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内切球的直径等于正方体的棱长，∴2r=2，即内切球的半径r=1，∴内切球的表面积为4π．故选：C．【点评】本题主要考查球的表面积公式的计算，根据正方体的内切球和正方体棱长之间的关系是解决本题的关键．5．已知α∈（，π），sinα=，则tan（α﹣）=（）A．﹣7 B．﹣C．7 D．【考点】同角三角函数间的基本关系；两角和与差的正切函数．【专题】三角函数的求值．【分析】根据同角三角函数关系先求出cosa，然后根据tana=求出正切值，最后根据两角差的正切函数公式解之即可．【解答】解：∵a∈（，π），sina=，∴cosa=﹣，则tana===﹣∴tan（a﹣）===﹣7故选A．【点评】本题主要考查了同角三角函数的基本关系，以及两角差的正切函数，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．6．一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；图表型．【分析】由三视图及题设条件知，此几何体为一个四棱锥，其较长的侧棱长已知，底面是一个正方形，对角线长度已知，故先求出底面积，再求出此四棱锥的高，由体积公式求解其体积即可【解答】解：由题设及图知，此几何体为一个四棱锥，其底面为一个对角线长为2的正方形，故其底面积为=2由三视图知其中一个侧棱为棱锥的高，其相对的侧棱与高及底面正方形的对角线组成一个直角三角形由于此侧棱长为，对角线长为2，故棱锥的高为=3此棱锥的体积为=2故选B．【点评】本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是四棱锥的体积，其公式为×底面积×高．三视图的投影规则是：“主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等”，三视图是新课标的新增内容，在以后的高考中有加强的可能．7．已知双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（）A．y=±2x B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题．【分析】由离心率的值，可设，则得，可得的值，进而得到渐近线方程．【解答】解：∵，故可设，则得，∴渐近线方程为，故选C．【点评】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求出的值是解题的关键．8．如图，在程序框图中，若输入n=3，则输出k的值是（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】程序框图．【专题】算法和程序框图．【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的n，k的值，当n=127，满足条件n＞100，输出k的值为4．【解答】解：执行程序框图，有n=3，k=0n=7，不满足条件n＞100，有k=1n=15，不满足条件n＞100，有k=2n=31，不满足条件n＞100，有k=3n=63，不满足条件n＞100，有k=4n=127，满足条件n＞100，输出k的值为4．故选：C．【点评】本题主要考察了程序算法和框图，属于基本知识的考查．9．在等差数列{a n}中a n＞0，且a1+a2+a3+…+a8=40，则a4•a5的最大值是（）A．5 B．10 C．25 D．AB=4，50【考点】基本不等式在最值问题中的应用；等差数列的性质．【专题】计算题；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．【分析】利用等差数列的性质，可得a4+a5=10，再利用基本不等式，即可求出a4•a5的最大值．【解答】解：∵等差数列{a n}中a n＞0，且a1+a2+a3+…+a8=40，∴a4+a5=10，∴10=a4+a5≥2∴a4•a5≤25，∴a4•a5的最大值是25，故选：C．【点评】本题考查等差数列的性质，考查基本不等式，正确运用等差数列的性质是关键．10．已知向量，，若与共线，则m 的值为（ ）A ．B ．2C ．D ．﹣2【考点】平行向量与共线向量；平面向量的坐标运算．【分析】先由向量的坐标运算表示出与，再根据向量共线定理的坐标表示可得答案．【解答】解：由题意可知=m （2，3）+4（﹣1，2）=（2m ﹣4，3m+8）=（2，3）﹣2（﹣1，2）=（4，﹣1）∵与共线∴（2m ﹣4）×（﹣1）=（3m+8）×4 ∴m=﹣2 故选D ．【点评】本题主要考查向量的坐标运算和共线定理．属基础题．11．在平面区域内随机取一点，则所取的点恰好落在圆x 2+y 2=1内的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】几何概型；简单线性规划． 【专题】概率与统计．【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△AB0及其内部．单位圆x 2+y 2=1位于△AB0内的部分为一个圆心角为的扇形，由此结合几何概型计算公式和面积公式，即可算出所求的概率．【解答】解：作出不等式组表示表示的平面区域如图，得到如图的△AB0及其内部，其中A （，0），B （0，），0为坐标原点∵单位圆x2+y2=1位于△AB0内的部分为一个扇形，其圆心角为∴在平面区域内任取一点P，点P恰好在单位圆x2+y2=1内的概率为P==；故选B．【点评】本题给出不等式组表示的平面区域内一点，求点P恰好在单位圆x2+y2=1内的概率．着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和几何概型等知识，属于基础题．12．定义域为R的可导函数y=f（x）的导函数为f′（x），满足f（x）＞f′（x）且f（0）=1，则不等式＜1的解为（）A．（﹣∞，0）B．（0，+∞）C．（﹣∞，2）D．（2，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算．【专题】导数的综合应用．【分析】根据条件构造函数F（x）=，求函数的导数，利用函数的单调性即可得到结论．【解答】解：设F（x）=，则F′（x）=，∵f（x）＞f′（x），∴F′（x）＜0，即函数F（x）在定义域上单调递减．∵f（0）=1，∴不等式＜1等价为F（x）＜F（0），解得x＞0，故不等式的解集为（0，+∞）故选：B．【点评】本题主要考查函数单调性的判断和应用，根据条件构造函数是解决本题的关键．二、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）13．如图是甲、乙两名篮球运动员2012年赛季每场比赛得分的茎叶图，则甲、乙两人比赛得分的中位数之和是54 ．【考点】茎叶图；众数、中位数、平均数．【专题】概率与统计．【分析】由茎叶图得到甲乙运动员的得分数据，由小到大排列后得到两组数据的中位数，则甲、乙两人比赛得分的中位数之和可求．【解答】解：由茎叶图得到甲运动员的得分数据为：17，22，28，34，35，36．由茎叶图得到乙运动员的得分数据为：12，16，21，23，29，31，32．由此可得甲运动员得分数据的中位数是．乙运动员得分数据的中位数是23．所以甲、乙两人比赛得分的中位数之和是54．故答案为54．【点评】本题考查了茎叶图，考查了一组数据的中位数的求法，是基础的概念题．14．设函数f（x）=ax3+bx2+cx，若1和﹣1是函数f（x）的两个零点，x1和x2是f（x）的两个极值点，则x1•x2= ．【考点】利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系．【专题】计算题；导数的综合应用．【分析】由1和﹣1是函数f（x）的两个零点可得f（x）=ax3+bx2+cx=a（x﹣1）x（x+1），求导利用根与系数的关系即可．【解答】解：∵1和﹣1是函数f（x）的两个零点，∴f（x）=ax3+bx2+cx=a（x﹣1）x（x+1），∴x1和x2是f′（x）=a（3x2﹣1）=0的两个根，则x1•x2=．故答案为：．【点评】本题考查了导数在求极值时的应用，属于中档题．15．已知数列{a n}：， +， ++， +++，…，那么数列b n=前n项和为．【考点】数列的求和；数列的函数特性．【专题】计算题；等差数列与等比数列．【分析】依题意可知a n=，利用裂项法可求得b n=4（﹣），求和即可．【解答】解：依题意得：a n=++…+==，∴=，∴b n==•=4（﹣），∴b1+b2+…+b n=4（1﹣+﹣+…+﹣）=4（1﹣）=．故答案为：【点评】本题考查数列的求和，着重考查等差数列的求和与裂项法求和，考查分析转化与运算能力，属于中档题．16．设抛物线C：y2=3px（p＞0）的焦点为F，点M在C上，|MF|=5，若以MF为直径的圆过点（0，2），则C的方程为y2=4x或y2=16x ．【考点】圆的一般方程；抛物线的简单性质．【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据抛物线方程算出|OF|=，设以MF为直径的圆过点A（0，2），在Rt△AOF中利用勾股定理算出|AF|=，再由直线AO与以MF为直径的圆相切得到∠OAF=∠AMF，Rt△AMF中利用∠AMF的正弦建立关系式，从而得到关于p的方程，解之得到实数p的值，进而得到抛物线C的方程．【解答】解：因为抛物线C方程为y2=3px（p＞0）所以焦点F坐标为（，0），可得|OF|=因为以MF为直径的圆过点（0，2），所以设A（0，2），可得AF⊥AMRt△AOF中，|AF|=，所以sin∠OAF==因为根据抛物线的定义，得直线AO切以MF为直径的圆于A点，所以∠OAF=∠AMF，可得Rt△AMF中，sin∠AMF==，因为|MF|=5，|AF|=，所以=，整理得4+=，解之可得p=或p=因此，抛物线C的方程为y2=4x或y2=16x．故答案为：y2=4x或y2=16x．【点评】本题给出抛物线一条长度为5的焦半径MF，以MF为直径的圆交抛物线于点（0，2），求抛物线的方程，着重考查了抛物线的定义与简单几何性质、圆的性质和解直角三角形等知识，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知向量=（sinx，﹣1），=（cosx，﹣），函数f（x）=（）•﹣2．（1）求函数f（x）的最小正周期T；（2）已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，其中A为锐角，a=2，c=4，且f （A）=1，求A，b和△ABC的面积S．【考点】解三角形；平面向量数量积的运算；三角函数的周期性及其求法．【专题】计算题．【分析】（Ⅰ）利用向量数量积的坐标表示可得，结合辅助角公式可得f（x）=sin（2x﹣），利用周期公式可求；（Ⅱ）由结合可得，，由余弦定理可得，a2=b2+c2﹣2bccosA，从而有，即b2﹣4b+4=0，解方程可得b，代入三角形面积公式可求．【解答】解：（Ⅰ）====因为ω=2，所以（Ⅱ）因为，所以，则a2=b2+c2﹣2bccosA，所以，即b2﹣4b+4=0则b=2从而【点评】本题主要考查了向量的数量积的坐标表示，辅助角公式的应用，三角函数的周期公式的应用，由三角函数值求角，及三角形的面积公式．综合的知识比较多，但试题的难度不大．18．某区卫生部门成立了调查小组，调查“常吃零食与患龋齿的关系”，对该区六年级800名学生进行检查，按患龋齿和不患龋齿分类，得汇总数据：不常吃零食且不患龋齿的学生有60名，常吃零食但不患龋齿的学生有100名，不常吃零食但患龋齿的学生有140名．（Ⅰ）完成下列2×2列联表，并分析能否在犯错概率不超过0.001的前提下，认为该区学生的常吃零食与患龋齿有关系？（Ⅱ）4名区卫生部门的工作人员随机分成两组，每组2人，一组负责数据收集，另一组负责数据处理．求工作人员甲分到负责收集数据组，工作人员乙分到负责数据处理组的概率．附：k2=．【考点】独立性检验的应用．【专题】应用题；概率与统计．【分析】（Ⅰ）先作出2×2列联表，再利用公式求出K2的值，与临界值比较，即可得到结论；（Ⅱ）利用列举法确定基本事件的个数，再利用古典概型概率公式求解即可．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得列联表：因为．所以能在犯错率不超过0.001的前提下，为该区学生常吃零食与患龋齿有关系．（Ⅱ）设其他工作人员为丙和丁，4人分组的所有情况有：收集数据：甲乙；甲丙；甲丁；乙丙；乙丁；丙丁；处理数据：丙丁；乙丁；乙丙；甲丁；甲丙；甲乙共有6种．记事件A：工作人员甲分到负责收集数据组，工作人员乙分到负责数据处理组则满足条件的情况有：甲丙收集数据，乙丁处理数据；甲丁收集数据，乙丙处理数据共计2种所以．【点评】本题主要考查了独立性检验知识，考查概率知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．19．如图，DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC=BC=EB=2DC=2，∠ACB=120°，P，Q分别为AE，AB的中点．（Ⅰ）证明：PQ∥平面ACD；（Ⅱ）求AD与平面ABE所成角的正弦值．【考点】用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面平行的判定．【专题】空间角．【分析】（Ⅰ）利用三角形的中位线定理，又已知，可得，再利用线面平行的判定定理即可证明；（Ⅱ）利用线面、面面垂直的判定和性质定理得到CQ⊥平面ABE，再利用（Ⅰ）的结论可证明DP⊥平面ABE，从而得到∠DAP是所求的线面角．【解答】（Ⅰ）证明：连接DP，CQ，在△ABE中，P、Q分别是AE，AB的中点，∴，又，∴，又PQ⊄平面ACD，DC⊂平面ACD，∴PQ∥平面ACD．（Ⅱ）解：在△ABC中，AC=BC=2，AQ=BQ，∴CQ⊥AB．而DC⊥平面ABC，EB∥DC，∴EB⊥平面ABC．而EB⊂平面ABE，∴平面A BE⊥平面ABC，∴CQ⊥平面ABE由（Ⅰ）知四边形DCQP是平行四边形，∴DP∥CQ．∴DP⊥平面ABE，∴直线AD在平面ABE内的射影是AP，∴直线AD与平面ABE所成角是∠DAP．在Rt△APD中， ==，DP=CQ=2sin∠CAQ=2sin30°=1．∴=．【点评】熟练掌握三角形的中位线定理、线面平行的判定定理、线面与面面垂直的判定和性质定理、线面角的定义是解题的关键．20．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的长轴长为4，且点（1，）在椭圆上．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过椭圆右焦点斜率为k的直线l交椭圆于A，B两点，若•=0，求直线l的方程．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【专题】计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）由题意a=2，设所求椭圆方程为=1，代入已知点，即可得到b，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）设出直线AB的方程为y=k（x﹣），联立椭圆方程，消去y，得到x的方程，运用韦达定理和向量的数量积坐标公式，化简整理，解方程，即可得到k，进而得到所求直线方程．【解答】解：（Ⅰ）由题意a=2，设所求椭圆方程为=1．又点（1，）在椭圆上，可得b=1．则所求椭圆方程为+y2=1；（Ⅱ）由（Ⅰ）知a2=4，b2=1，所以c=，椭圆右焦点为（，0）．则直线AB的方程为y=k（x﹣）．由可得（1+4k2）x2﹣8k2x+12k2﹣4=0．由于直线AB过椭圆右焦点，可知△＞0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，y1y2=k2（x1﹣）（x2﹣）=k2[x1x2﹣（x1+x2）+3]=．所以=x1x2+y1y2=．由=0，即=0，可得k2=，即k=．所以直线l的方程为y=（x﹣）．【点评】本题考查椭圆的性质和方程的求法，考查联立直线方程和椭圆方程消去未知数，运用韦达定理，以及平面向量的数量积的坐标公式，考查化简整理和运算能力，属于中档题．21．已知函数f（x）=ln（1+x）﹣，k∈R．（1）讨论f（x）的单调区间；（2）当k=1时，求f（x）在[0，+∞）上的最小值，并证明+++…+＜ln（1+n）．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【专题】导数的综合应用．【分析】（1）f（x）的定义域为（﹣1，+∞）．f′（x）=，对k分类讨论：当k≤0时，当k＞0时，即可得出单调性．（2）由（1）知，当k=1时，f（x）在[0，+∞）上单调递增，可得f（x）在[0，+∞）上的最小值为f（0）=0．因此（x＞0），取x=可得（n∈N*）．利用“累加求和”即可得出．【解答】解：（1）f（x）的定义域为（﹣1，+∞）．=，当k≤0时，f′（x）＞0在（﹣1，+∞）上恒成立，∴f（x）的单调递增区间是（﹣1，+∞），无单调递减区间．当k＞0时，由f′（x）＞0解得x＞k﹣1，由f′（x）＜0得﹣1＜x＜k﹣1，∴函数f（x）的单调递增区间是（k﹣1，+∞），单调递减区间是（﹣1，k﹣1）．（2）由（1）知，当k=1时，f（x）在[0，+∞）上单调递增，∴f（x）在[0，+∞）上的最小值为f（0）=0．∴（x＞0），∴，即（n∈N*）．∴+…+＜（ln2﹣ln1）+（ln3﹣ln2）+…+（ln（n+1）﹣lnn）=ln（1+n）．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、“累加求和”方法，考查了利用已证明结论证明不等式的方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．请考生在第22、23、24题中任选一道作答，如果多做，则按所做的第1题计分．作答时请写清题号．[选修4-1几何证明选讲]22．已知△ABC中，AB=AC，D为△ABC外接圆劣弧上的点（不与点A，C重合），延长BD 至E，延长AD交BC的延长线于F（1）求证：∠CDF=∠EDF；（2）求证：AB•AC•DF=AD•FC•FB．【考点】与圆有关的比例线段．【专题】推理和证明．【分析】（I）根据A，B，C，D 四点共圆，可得∠ABC=∠CDF，AB=AC可得∠ABC=∠ACB，从而得解．（II）证明△BAD∽△FAB，可得AB2=AD•AF，因为AB=AC，所以AB•AC=AD•AF，再根据割线定理即可得到结论．【解答】证明：（I）∵A，B，C，D 四点共圆，∴∠ABC=∠CDF又AB=AC∴∠ABC=∠ACB，且∠ADB=∠AC B，∴∠ADB=∠CDF，对顶角∠EDF=∠ADB，故∠EDF=∠CDF；（II）由（I）得∠ADB=∠ABF，∵∠BAD=∠FAB，∴△BAD∽△FAB，∴=，∴AB2=AD•AF，∵AB=AC，∴AB•AC=AD•AF，∴AB•AC•DF=AD•AF•DF，根据割线定理DF•AF=FC•FB，∴AB•AC•DF=AD•FC•FB．【点评】本题以圆为载体，考查圆的内接四边形的性质，考查等腰三角形的性质，考查三角形的相似，属于基础题．[选修4-4：极坐标与参数方程选讲]23．已知曲线C的极坐标方程是ρ=2sinθ，直线l的参数方程是（t为参数）（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l与x轴的交点是M，N是曲线C上一动点，求MN的最大值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【专题】计算题；转化思想；综合法；坐标系和参数方程．【分析】（Ⅰ）曲线C的极坐标方程可化为ρ2=2ρsinθ，由此能求出曲线C的直角坐标方程．（Ⅱ）将直线l的参数方程化为直角坐标方程，求出M点的坐标，从而得到|MC|，再由|MN|≤|MC|+r，能求出MN的最大值．【解答】解：（Ⅰ）曲线C的极坐标方程可化为ρ2=2ρsinθ，…又x2+y2=ρ2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣2y=0．…（Ⅱ）将直线l的参数方程化为直角坐标方程，得y=﹣．…令y=0，得x=2，即M点的坐标为（2，0）．又曲线C为圆，圆C的圆心坐标为C（0，1），半径r=1，∵直线l与x轴的交点是M，∴M（2，0），∴|MC|==，…∵N是曲线C上一动点，∴|MN|≤|MC|+r=．故MN的最大值为．…【点评】本题考查曲线的直角坐标方程的求法，考查线段长的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意两点间距离公式的合理运用．[选修4-5：不等式选讲]24．已知a+b=1，对∀a，b∈（0，+∞），+≥|2x﹣1|﹣|x+1|恒成立，（Ⅰ）求+的最小值；（Ⅱ）求x的取值范围．【考点】基本不等式在最值问题中的应用；函数恒成立问题．【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）利用“1”的代换，化简+，结合基本不等式求解表达式的最小值；（Ⅱ）利用第一问的结果．通过绝对值不等式的解法，即可求x的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵a＞0，b＞0且a+b=1∴=，当且仅当b=2a时等号成立，又a+b=1，即时，等号成立，故的最小值为9．（Ⅱ）因为对a，b∈（0，+∞），使恒成立，所以|2x﹣1|﹣|x+1|≤9，当x≤﹣1时，2﹣x≤9，∴﹣7≤x≤﹣1，当时，﹣3x≤9，∴，当时，x﹣2≤9，∴，∴﹣7≤x≤11．【点评】本题考查函数的最值基本不等式的应用，考查分析问题解决问题的能力．。

广西壮族自治区南宁市武鸣县武鸣高级中学高三数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知等差数列的前n项和为，若M、N、P三点共线，O为坐标原点，且（直线MP不过点O），则S20等于（）A．10 B．15 C．20 D．40参考答案：A2. 下列说法正确的是（）A．命题p：“x∈R，sinx+cosx≤”，则?p是真命题B．命题“?x∈R使得x2+2x+3＜0”的否定是：“?x∈R，x2+2x+3＞0”C．“x=﹣1”是“x2+2x+3=0”的必要不充分条件D．“a＞1”是“f（x）=log a x（a＞0，a≠1）在（0，+∞）上为增函数”的充要条件参考答案：D【考点】命题的否定；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】A．利用含有量词的命题的否定去判断．B．利用含有量词的命题的否定去判断．C．利用充分条件和必要条件的定义判断．D．利用对数函数单调性的性质判断．【解答】解：A．∵sinx+cosx=，∴sinx+cosx成立，即p为真命题，则￢p为假命题，∴A错误．B．根据特称命题的否定是特称命题可知：命题“?x∈R使得x2+2x+3＜0”的否定是：“?x∈R，x2+2x+3≥0”，∴B错误．C．∵△=4﹣4×3=﹣8＜0，∴x2+2x+3=0方程无解，∴C错误．D．根据对数函数的性质可知，若a＞1时，f（x）=log a x（a＞0，a≠1）在（0，+∞）上为增函数，成立．若f（x）=log a x（a＞0，a≠1）在（0，+∞）上为增函数，则a＞1．∴“a＞1”是“f（x）=log a x（a＞0，a≠1）在（0，+∞）上为增函数”的充要条件，∴D正确．故选D．3. 设、分别是定义在R上的奇函数和偶函数。

当时，且。

则不等式的解集是( )参考答案：D略4. (2) 设变量x, y满足约束条件则目标函数z = y－2x的最小值为(A) －7 (B) －4(C) 1 (D) 2参考答案：A5. （5分）给定函数①，②，③y=|x﹣1|，④y=2x+1，其中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是（）A．①② B．②③ C．③④ D．①④参考答案：B【考点】：函数单调性的判断与证明．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：本题所给的四个函数分别是幂函数型，对数函数型，指数函数型，含绝对值函数型，在解答时需要熟悉这些函数类型的图象和性质；①为增函数，②为定义域上的减函数，③y=|x﹣1|有两个单调区间，一增区间一个减区间，④y=2x+1为增函数．解：①是幂函数，其在（0，+∞）上即第一象限内为增函数，故此项不符合要求；②中的函数是由函数向左平移1个单位长度得到的，因为原函数在（0，+∞）内为减函数，故此项符合要求；③中的函数图象是由函数y=x﹣1的图象保留x轴上方，下方图象翻折到x轴上方而得到的，故由其图象可知该项符合要求；④中的函数图象为指数函数，因其底数大于1，故其在R上单调递增，不合题意．故选B．【点评】：本题考查了函数的单调性，要注意每类函数中决定单调性的元素所满足的条件．6. 18．在边长为1的正六边形ABCDEF中，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为；以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为.若分别为的最小值、最大值，其中,,则满足（）.(A) (B) (C) (D)参考答案：D7. 若焦点在轴上的椭圆（）的离心率.则实数m的取值范围为（）A．B．(3,4) C. D．(0,3)参考答案：D由题意可得：，结合椭圆离心率的范围可知：，即，求解不等式可得：，即实数m的取值范围为(0,3).本题选择D选项. 8. 已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF，若|AB|=10，|BF|=8，cos∠ABF=，则C的离心率为（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】椭圆的简单性质．【分析】由已知条件，利用余弦定理求出|AF|，设F′为椭圆的右焦点，连接BF′，AF′．根据对称性可得四边形AFBF′是矩形，由此能求出离心率e．【解答】解：如图所示，在△AFB中，|AB|=10，|BF|=8，cos∠ABF=，由余弦定理得|AF|2=|AB|2+|BF|2﹣2|AB||BF|cos∠ABF=100+64﹣2×10×8×=36，∴|AF|=6，∠BFA=90°，设F′为椭圆的右焦点，连接BF′，AF′．根据对称性可得四边形AFBF′是矩形．∴|BF′|=6，|FF′|=10．∴2a=8+6，2c=10，解得a=7，c=5．∴e==．故选B．【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意余弦定理、椭圆的对称性等知识点的合理运用．9. .函数的部分图象如图所示，则的解析式可以是（）A. B.C. D.参考答案：C【分析】先由函数图像，确定函数奇偶性，排除D，再由特殊值法排除A，B，即可得出结果.【详解】由图像可得，该函数关于原点对称，为奇函数，D选项中，，所以，不是奇函数，所以D排除；又由函数图像可得，所以可排除A，B；故选C【点睛】本题主要考查由函数图像确定函数解析式的问题，熟记函数的性质，以及特殊值法的应用即可，属于常考题型.10. 设S n为等比数列{a n}的前n项和，8a2+a5=0，则等于( )A．﹣11 B．﹣7 C．5 D．11参考答案：B考点：等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意可得数列的公比q，代入求和公式化简可得答案．解答：解：设等比数列{a n}的公比为q（q≠0），由8a2+a5=0，可得8a1q+a1q4=0，解得q=﹣2，故====﹣7．故选：B．点评：本题考查等比数列的性质，涉及等比数列的求和公式，属中档题二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知函数在区间上恰有一个极值点，则实数的取值范围是参考答案：[– 1，7）12. 若数列{}满足，且a2+a4+a6=9，则(a5+a7+a9)= 参考答案：略13. 已知向量不超过5，则k的取值范围是．参考答案：[﹣6，2]答：解：∵≤5∴﹣6≤k≤2故答案为：[﹣6，2]评：求常用的方法有：①若已知，则=；②若已知表示的有向线段的两端点A、B坐标，则=|AB|=③构造关于的方程，解方程求．14. 曲线上切线平行于轴的切点坐标为_________________。

数 学（文科）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

试卷总分150分。

第Ⅰ卷一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求)1.设集合{}|12M x x =-≤<，{}|0N x x k =-≤，若M N ⊆，则k 的取值范围是（ ） A ．2k ≤ B ．1k ≥- C ．1k >- D ．2k ≥2．已知复数21(1)()z a a i a R =-++∈为纯虚数，则复数z 的共轭复数z =（ ） A ．0 B ．2i C ．2i - D ．12i -- 3．若{}n a 为等差数列，n S 是其前n 项和，且1510S π=，则8tan a 的值为 （ ）A. 3B. 3-C. 3±D. 33- 4.在ABC ∆中，90C =，且3CA CB ==，点M 满足2,BM MA CM CB =⋅则等于（ ）A ．3B ．2C ．4D ．65.已知双曲线1422=--ny n x 的离心率为2，则n 的值为（ ） A ．25 B ．2 C ．1 D ．346已知关于x 的不等式x 2－4ax ＋3a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，则x 1＋x 2＋ax 1x 2的最小值是（ ） A.63 B. 233 C. 23 6 D. 433 7．“1-=k ”是“直线l ：12-+=k kx y 在坐标轴上截距相等”的（ ）条件A ．充分必要B ．充分不必要C ．必要不充分D ．既不充分也不必要 8．某几何体的三视图如下图所示，则其体积为 （ ）A ．32π B. 3π C ．π D ．5π9．已知某程序框图如上图所示，则该程序运行后输出的结果为（ ）A ．51 B ．52 C ．53 D ．5410．能够把圆O :1622=+y x 的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆O 的“和谐函数”,下列函数不是．．圆O 的“和谐函数”的是（ ） 第8题图第9题图θ1tan θθA ．3()4f x x x =+ B C ．()x xf x e e -=+ 11．已知点)3,2(-A ，-=kx y 相交 ,则k 的范围是（ ）A ．443≥-≤k k 或B ．443≤≤-k C ．434≥-≤k k 或 D.434≤≤-k12.已知函数)()(23R x c x ax xx f ∈+-+=，下列结论错误的是（ ） A. 函数)(x f 一定存在极大值和极小值B.若函数)(x f 在),(1x -∞，),(2+∞x 上是增函数，则33212≥-x x C. 函数)(x f 在点))(,(00x f x )(0R x ∈处的切线与)(x f 的图像必有两个不同的公共点D. 函数)(x f 的图像是中心对称图形第Ⅱ卷二、填空题:（本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡相应位置的横线上）13．设x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥--≤+-≤-+05301307y x y x y x ，则y x z -=2的最大值为 .14．tan +=4，则sin2 = ．15．观察下列等式：,,15441544,832833,322322 ⨯=+⨯=+⨯=+ 照此规律，第五个等式为 。