2020年广西南宁市高考数学一模试卷(理科)(有解析)

2020年广西南宁市高考数学一模试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={−1,0，1，2}，B={x|x2+x−2<0}.则A∩B=()A. {−1,0}B. {0,1}C. {1,2}D. {−1,2}2.若复数z满足(1−i)z=−1+2i，则|z−|=()A. √22B. 32C. √102D. 123.在某次测量中得到A样本数据如下：43，50，45，55，60，若B样本数据恰好是A样本每个数都增加3得到，则A、B两样本的下列数字特征对应相同的是()A. 众数B. 中位数C. 方差D. 平均数4.(2x−y)(x+2y)5展开式中x3y3的系数为()A. −40B. 120C. 160D. 2005.设S n为等比数列{a n}的前n项和，8a2+a5=0，则S5S2=()A. −11B. −8C. 5D. 116.已知函数f(x)=a2x2+bln x图象在点(1,f(1))处的切线方程是2x−y−1=0，则ab等于()A. 2B. 1C. 0D. −27.函数f(x)=(e x−1)ln|x|e x+1的部分图像大致为()A. B.C. D.8.在空间四边形ABCD中，AD=BC=2，E,F分别是AB,CD的中点，若异面直线AD与BC所成角为90∘，则EF=()A. 1B. 2C. √2D. √39.如图所示的程序框图，输出的结果是S=2017，则输入A的值为()A. 2018B. 2016C. 1009D. 100810.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，过原点的直线与双曲线交于A，B两点，以AB为直径的圆恰好过双曲线的右焦点C，若△ABC的面积为2a2，则双曲线的渐近线方程为()A. y=±√22x B. y=±√2x C. y=±√33x D. y=±√3x11.已知函数f(x)=|x|−1x2，则不等式的解集为()A. (1,0)U(1,+∞)B. (−∞,−1)U(0,1)C. (−∞,1)U(1,+∞)D. (−1,0)U(0,1)12.已知函数f(x)=√3sin2x−cos2x，有下列四个结论：①f(x)的最小正周期为π；②f(x)在区间[−π3,π6]上是增函数；③f(x)的图象关于点(π12,0)对称；④x=π3是f(x)的一条对称轴．其中正确结论的个数为()A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.向量a⃗=(3,1)与向量b⃗ =(−1,2)的夹角余弦值是______．14.等差数列{a n}的前n项和为S n，若a7−a2=a9−10，则S7=________．15.F1，F2为椭圆Γ：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，点M在椭圆Γ上．若△MF1F2为直角三角形，且|MF1|=2|MF2|，则椭圆Γ的离心率为______．16.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面四边形ABCD是矩形，BC=2，△PAD是等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD，点E，F分别在线段PA，CD上，若EF//平面PBC，且DF=2FC，则点E 到平面ABCD的距离为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.从一种零件中抽取了80件，尺寸数据表示如下(单位：cm)：这里用x×n表示有n件尺寸为x的零件，如362.51×1表示有1件尺寸为362.51cm的零件．(1)作出样本的频率分布表和频率分布直方图；(2)在频率分布直方图中画出频率分布折线图．18.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，侧面ABB1A1是矩形，∠BAC=90°，AA1⊥BC，AA1=AC=2AB=4，且BC1⊥A1C.(1)求证：平面ABC1⊥平面A1ACC1；(2)设D是A1C1的中点，判断并证明在线段BB1上是否存在点E，使得DE//平面ABC1.若存在，求二面角E−AC1−B的余弦值．19.在△ABC中，a，b，c分别为A，B，C的对边，且sinA=2sinB，(1)若C=3π4，△ABC的面积为9√24，求a的值；(2)求sin(C−A)sinB −8sin2C2的值．20.已知函数f(x)=lnx−ax+1−ax−1(a∈R)．(Ⅰ)当a≤12时，讨论f(x)的单调性；(Ⅱ)设g(x)=x2−2bx+4.当a=14时，若对任意x1∈(0,2)，存在x2∈[1,2]，使f(x1)≥g(x2)，求实数b的取值范围．21.已知抛物线E：y=x2的焦点为F，过点F的直线l的斜率为k，与抛物线E交于A，B两点，抛物线在点A，B处的切线分别为l1，l2，两条切线的交点为D．(1)证明：∠ADB=90°；(2)若△ABD的外接圆Γ与抛物线E有四个不同的交点，求直线l的斜率的取值范围．22.在直角坐标系xOy中，A(0,−1)，B(−√3,0)，以AB为直径的圆记为圆C，圆C过原点O的切线记为l，若以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求圆C的极坐标方程；(2)若过点P(0,1)，且与直线l垂直的直线l′与圆C交于M，N两点，求|MN|．23.设a，b为正实数，且1a +1b=4．(Ⅰ)求a3+b3的最小值；(Ⅱ)若(a−b)2≥16(ab)3，求ab的值．【答案与解析】1.答案：A解析：解：B={x|−2<x<1}；∴A∩B={−1,0}．故选：A．可解出集合B，然后进行交集的运算即可．考查列举法、描述法的定义，以及交集的运算．2.答案：C解析：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．解：由(1−i)z=−1+2i，得z=−1+2i1−i =(−1+2i)(1+i)(1−i)(1+i)=−32+12i，∴|z−|=|z|=√(−32)2+(12)2=√102．故选：C．3.答案：C解析：解：根据题意知，A样本数据一定时，B样本数据恰好是A样本每个数都增加3得到的，则A样本的众数比B样本的众数小3；A样本的中位数比B样本的中位数小3；A样本的方差等于B样本的方差；A样本的平均数比B样本的平均数小3．故选：C．根据众数、中位数、平均数和方差的定义知，A样本数据一定时，B样本数据是A样本每个数都增加3得到的，则两样本的方差不变．本题考查了众数、中位数、平均数和方差的定义与应用问题，是基础题．解析：解：(x+2y)5展开式的通项为T r+1=C5r(x)5−r(2y)r∴(x+2y)5=x5+10x4y+40x3y2+80x2y3+80xy4+32y5，∴(2x−y)(x+2y)5展开式中x3y3的系数为160−40=120，故选：B．把(x+2y)5按照二项式定理展开，可得(2x−y)(x+2y)5展开式中x3y3的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．5.答案：A解析：解：设公比为q，由8a2+a5=0，得8a2+a2q3=0，解得q=−2，所以S5S2=1−q51−q2=−11．故选：A．先由等比数列的通项公式求得公比q，再利用等比数列的前n项和公式求之即可．本题主要考查等比数列的通项公式与前n项和公式．6.答案：C解析：本题考查利用导数求曲线在某点处的切线方程的应用，属于基础题．对f(x)求导，由导数的几何意义即可求解．解：由题意可得f′(x)=ax+bx，所以f′(1)=a+b=2，且f(1)=a2=1，所以a=2，b=0，所以ab=0．7.答案：B解析：本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性，属基础题．利用函数的奇偶性排除选项，然后利用特殊点的函数值，推出结果即可．解：因为f(−x)=(e −x−1)ln|−x|e−x+1=(1−e x)ln|x|e x+1=−f(x)是奇函数，所以排除A，C，当x→+∞时，f(x)>0，所以排除D．故选B ．8.答案：C解析：↵本题考查异面直线所成角，取BD中点G，连接EG，FG，EF，可得∠EGF=90°，进而得出答案．解：取BD中点G，连接EG，FG，EF，则EG//AD，EG=1，同理FG//BC，FG=1，所以∠EGF=90°，∴EF=√2．9.答案：D解析：解：模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算并输出S=2A+1的值，由题意，可得：2017=2A+1，解得：A=1008．故选：D．根据题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出正的确答案．本题主要考查了程序框图的应用，属于基础题．10.答案：B解析：本题考查双曲线的渐近线方程的求法，考查双曲线的方程和应用，考查运算能力，属于中档题．设双曲线的左焦点为F，连接AF，BF，可得四边形FACB为矩形，由三角形的面积公式，可得a，c的关系，进而得到a，b的关系，可得渐近线方程．解：设双曲线的左焦点为F，连接AF，BF，由题意可得AC⊥BC，可得四边形FACB为矩形，即有|AF|=|BC|，mn=2a2，设|AC|=m，|BC|=n，可得n−m=2a，n2+m2=4c2，12即有4c2−8a2=4a2，即有c=√3a，b=√c2−a2=√2a，可得双曲线的渐近线方程为y=±√2x.故选：B．11.答案：B解析：本题考查函数的奇偶性、单调性，以及不等式的解法，题目难度一般．首先判断出f(x)为偶函数，且在区间(0,+∞)内为增函数是解题的关键．解：显然f(x)为偶函数，且在区间(0,+∞)内为增函数，f(1)=f(−1)=0，故f(x)+f(−x)x <0等价于2f(x)x<0．当x>0时，2f(x)<0，解得0<x<1；当x<0时，2f(x)>0，解得x<−1．综上，所求不等式的解集为(−∞,−1)∪(0,1)．故选B．12.答案：C解析：本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了三角函数的图象和性质，难度中档．函数f(x)=√3sin2x−cos2x=2sin(2x−π6)，分析函数的周期性，单调性，对称性，可得答案．解：函数f(x)=√3sin2x−cos2x=2sin(2x−π6)，①f(x)的最小正周期为π，故①正确；②由2x−π6∈[−π2+2kπ,π2+2kπ](k∈Z)得：x∈[−π6+kπ,π3+kπ](k∈Z)，故f(x)在区间[−π3,π6]上不是单调函数，故②错误；③由2x−π6=2kπ得：x=π12+kπ，(k∈Z)，当k=0时，f(x)的图象关于点(π12,0)对称，故③正确；④由2x−π6=π2+2kπ得：x=π3+kπ，(k∈Z)，当k=0时，f(x)的图象关于x=π3对称，故④正确；故选C．13.答案：−√210解析：解：cos <a ⃗ ，b ⃗ >=√10√5=−√210． 故答案为：−√210．根据向量夹角公式计算可得．本题考查了数量积表示两个向量的夹角，属基础题．14.答案：70解析：本题主要考查等差数列的通项公式，等差数列的性质及求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．利用等差数列的通项公式可求得a 4=10，进而利用等差数列的性质及求和公式即可求解． 解：设等差数列的公差为d ，首项为a 1， 由a 7−a 2=a 9−10，所以a 1+6d −a 1−d =a 1+8d −10， 即a 1+3d =10， 所以a 4=10， 所以S 7=7(a 1+a 7)2=7×2a 42=7a 4=70．故答案为70．15.答案：√33或√53解析：本题考查椭圆的定义，考查椭圆的几何性质，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于基础题．设|MF 2|=x ，则|MF 1|=2x ，由椭圆的定义可得3x =2a ，根据△MF 1F 2为直角三角形，分类讨论，即可求出椭圆Γ的离心率． 解：设|MF 2|=x ，则|MF 1|=2x ， ∴3x =2a ，∴a =3x 2，∵△MF 1F 2为直角三角形，若MF 2⊥F 1F 2，则x 2+4c 2=(2x)2， ∴c =√32x ，e =c a=√33； 若MF 1⊥MF 2，则x 2+(2x)2=4c 2， ∴c =√52x ，e =ca =√53． 故答案为：√33或√53．16.答案：2√33解析：本题考查点到平面的距离的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查等价转化思想、数形结合思想，是中档题．连接AF 并延长AF 交线段BC 的延长线于G ，连接PG ，因为EF//平面PBC ， 平面PAF ∩平面PBC =PG ，EF ⊂平面PAF ，所以EF//PG ， 又DF =2FC ，由平面几何知识可得GCBC =GFFA =PEEA =12，过E 作EH ⊥AD 于H ，由平面PAD ⊥平面ABCD 可得，EH ⊥平面ABCD ， 直角三角形AEH 中，，即点E 到平面ABCD 的距离为2√33． 故答案为：2√33． 17.答案：略.解析：(1)在样本数据中，最大值是364.41，最小值是362.51，所以极差为364.41−362.51=1.90． 若取组距为0.30，则由于1.900.3=613，要分7组，组数合适，于是决定取组距为0.3，分7组，把第一组起点稍微提前，得分组如下：[362.40,362.70),[362.70,363.00)…[364.20,364.50].列出频率分布表：由上表可以画出频率分布直方图：．18.答案：证明：(1)在三棱柱ABC−A1B1C1中，侧面ABB1A1是矩形，∴AA1⊥AB，又AA1⊥BC，AB∩BC=B，∴AA1⊥平面ABC，∴A1A⊥AC，又A1A=AC，∴A1C⊥AC1.又BC1⊥A1C，BC1∩AC1=C1，∴A1C⊥平面ABC1，又A1C⊂平面A1ACC1，∴平面ABC1⊥平面A1ACC1；解：(2)当E为B1B的中点时，连接AE、EC1、DE，如图，取A1A的中点F，连接EF、FD，∵EF//AB，DF//AC1，又EF∩DF=F，AB∩AC1=A，∴平面EFD//平面ABC 1，则有DE//平面ABC 1， 设点E 到平面ABC 1的距离为d ，∵AB ⊥AC ，且AA 1⊥AB ，∴AB ⊥平面A 1ACC 1，∴AB ⊥AC 1， ∴S △BAC 1=12×4√2×2=4√2，∵A 1A ⊥AC ，AB ⊥AC ，∴AC ⊥平面A 1ABB 1， ∵AC//A 1C 1，∴A 1C 1⊥平面 1ABB 1，∴V C 1−ABE =13×S △ABE ×A 1C 1=13×12×2×2×4=83，由V E−ABC 1 =V C 1−ABE =83，解得d =3×83S △ABC 1=3834√2=√2．以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，AA 1为z 轴，建立空间直角坐标系， A(0,0，0)，B(2,0，0)，C 1(0,4，4)，E(2,0，2)， AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,4，4)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0，0)，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0，2)， 设平面AC 1E 的法向量n⃗ =(x,y ，z)， 则{n ⃗ ⋅AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4y +4z =0n ⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2x +2z =0，取x =1，得n⃗ =(1,1，−1)， 设平面AC 1B 的法向量m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4y +4z =0m ⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2x =0，取y =1，得m ⃗⃗⃗ =(0,1，−1)， 设二面角的平面角为θ， 则cosθ=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√3⋅√2=√63． ∴二面角E −AC 1−B 的余弦值为√63．解析：(1)推导出AA 1⊥AB ，A 1A ⊥AC ，从而A 1C ⊥平面ABC 1，由此能证明平面ABC 1⊥平面A 1ACC 1； (2)当E 为B 1B 的中点时，连接AE ，EC 1，DE ，取A 1A 的中点F ，连接EF ，FD ，设点E 到平面ABC 1的距离为d ，由V E−ABC 1 =V C 1−ABE ，求出d =√2.以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，AA 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角E −AC 1−B 的余弦值．本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．19.答案：解：(1)△ABC 中，a ，b ，c 分别为A ，B ，C 的对边，且sinA =2sinB ，则：利用正弦定理得：a=2b．∵s△=9√24,C=3π4，所以：12absinC=9√24，解得：a=3√2,b=3√22．(2)sin(C−A)sinB −8sin2C2，=(sinCcosA−cosCsinA)sinB−4(1−cosC)，=2sinBsinA−4=−3．解析：(1)直接利用正弦定理和三角形的面积公式求出结果．(2)利用三角函数关系式的恒等变换求出结果．本题考查的知识要点：正弦定理的应用，三角形面积公式的应用，三角函数关系式的恒等变换．20.答案：解：(Ⅰ)f(x)=lnx−ax+1−ax−1(x>0)，f′(x)=1x −a+a−1x2=−ax2+x+a−1x2(x>0)，令ℎ(x)=ax2−x+1−a(x>0)，(1)当a=0时，ℎ(x)=−x+1(x>0)，当x∈(0,1)，ℎ(x)>0，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；当x∈(1,+∞)，ℎ(x)<0，f′(x)>0，函数f(x)单调递增．(2)当a≠0时，由f′(x)=0，即ax2−x+1−a=0，解得x1=1,x2=1a−1．当a=12时x1=x2，ℎ(x)≥0恒成立，此时f′(x)≤0，函数f(x)单调递减；当0<a<12时，1a−1>1>0，x∈(0,1)时ℎ(x)>0，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；x∈(1,1a−1)时，ℎ(x)<0，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；x∈(1a−1,+∞)时，ℎ(x)>0，f′(x)<0，函数f(x)单调递减．当a<0时1a−1<0，当x∈(0,1)，ℎ(x)>0，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；当x∈(1,+∞)，ℎ(x)<0，f′(x)>0，函数f(x)单调递增．综上所述：当a≤0时，函数f(x)在(0,1)单调递减，(1,+∞)单调递增；当a =12时x 1=x 2，ℎ(x)≥0恒成立，此时f′(x)≤0，函数f(x)在(0,+∞)单调递减； 当0<a <12时，函数f(x)在(0,1)单调递减，(1,1a −1)单调递增，(1a −1,+∞)单调递减．(Ⅱ)当a =14时，f(x)在(0,1)上是减函数，在(1,2)上是增函数，所以对任意x 1∈(0,2)，有f(x 1)≥f(1)=−12，又已知存在x 2∈[1,2]，使f(x 1)≥g(x 2)，所以−12≥g(x 2)，x 2∈[1,2]，(※)， 又g(x)=(x −b)2+4−b 2，x ∈[1,2]，当b <1时，g(x)min =g(1)=5−2b >0与(※)矛盾； 当b ∈[1,2]时，g(x)min =g(b)=4−b 2≥0也与(※)矛盾； 当b >2时，g(x)min =g(2)=8−4b ≤−12,b ≥178．综上，实数b 的取值范围是[178,+∞)．解析：本题考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数求函数的最值以及二次函数的最值问题，考查了分类讨论的数学思想以及解不等式的能力；考查了学生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力．(Ⅰ)直接利用函数与导数的关系，求出函数的导数，再讨论函数的单调性；(Ⅱ)利用导数求出f(x)的最小值、利用二次函数知识求出g(x)在闭区间[1,2]上的最小值，然后解不等式求参数．21.答案：(1)证明：依题意有F (0, 14)，直线l ：y =kx +14，设A(x 1, y 1), B(x 2, y 2)，直线l 与抛物线E 相交， 联立方程{y =x 2, y =kx +14,消去y ，化简得x 2−kx −14=0，所以x 1+x 2=k, x 1x 2=−14，又因为y′=2x ，所以直线l 1的斜率k 1=2x 1， 同理，直线l 2的斜率k 2=2x 2， 所以，所以，直线l 1⊥l 2，即∠ADB =90∘．(2)解：由(1)可知，圆Γ是以AB 为直径的圆， 设P(x, y)是圆Γ上的一点，则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 所以，圆Γ的方程为又因为x 1+x 2=k, x 1x 2=−14 ， y 1+y 2=kx 1+14+kx 2+14=k 2+12，y 1y 2=x 12x 22=116，所以，圆Γ的方程可化简为联立圆Γ与抛物线E 得{x 2+y 2−kx −(k 2+12)y −316=0, y =x 2,消去y 得x 4−(k 2−12)x 2−kx −316=0， 即(x 2+14)2−(kx +12)2=0，即若方程x 2−kx −14=0与方程x 2+kx +34=0有相同的实数根x 0，则矛盾，所以，方程x 2−kx −14=0与方程x 2+kx +34=0没有相同的实数根，所以，圆Γ与抛物线E 有四个不同的交点等价于{k 2+1>0k 2−3>0,解得k >√3或k <−√3． 综上所述，k >√3或k <−√3．解析：本题考查抛物线简单几何性质，直线与抛物线的位置关系，导数的几何意义，定值问题，曲线的交点个数问题，参数的范围问题，考查计算能力，属于难题．(1)由直线l 与抛物线E 相交，联立方程消去y ，由导数的几何意义，结合韦达定理可得l 1⊥l 2，故可得答案(2)先求得圆Γ的方程联立圆Γ与抛物线E 消去y 得通过外接圆Γ与抛物线E 有四个不同的交点可得答案．22.答案：解：(1)由题意，知圆C 的直径|AB|=2，圆心C 的坐标为(−√32,−12)，∴圆C 的直角坐标为(x +√32)2+(y +12)2=1，即x 2+y 2+√3x +y =0， 将x =ρcosθ，y =ρsinθ代入上式，得到圆C 的极坐标方程为ρ+√3cosθ+sinθ=0． (2)因为直线l′与圆C 过原点O 的切线l 垂直， 所以直线l′的倾斜角为π6，斜率为√33，又直线l′过点P(0,1)，故直线l′的普通方程为y =√33x +1，即√3x −3y +3=0，圆心C(−√32,−12)到直线l′的距离d =2√3=√32， 所以|MN|=2√1−34=1．解析：(1)直接利用转换关系式，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．(2)首先利用垂直关系确定直线的斜率，进一步确定直线的方程，再利用点到直线的距离公式求出结果．本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，直线方程的求法及应用，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．23.答案：解：(Ⅰ)∵a 、b 为正实数，且1a +1b =4．∴a 、b 为正实数，且1a +1b =4≥2√1ab (a =b 时等号成立)．即ab ≥14(a =b =12时等号成立)∵a 3+b 3≥2√(ab)3≥14(a =b =12时等号成立)． ∴a 3+b 3的最小值为14，(Ⅱ)∵(a−b)2≥16(ab)3，∴(1a −1b)2≥16ab，则(1a +1b)2−4ab≥16ab⇒4ab+1ab≤4，又∵4ab+1ab ≥4，∴4ab+1ab=4∴当且仅当ab=12时“=”成立．∴ab=12．解析：本题主要考查基本不等式在最值中的应用，要注意检验等号成立条件是否具备，属于基础题．(Ⅰ)由条件利用基本不等式求得ab≥14，再利用基本不等式求得a3+b3的最小值．(Ⅱ)根据∵(a−b)2≥16(ab)3，∴(1a −1b)2≥16ab，化简得4ab+1ab=4从而可得ab=12．。

广西南宁市、玉林市、贵港市等2020届毕业班摸底考试高三数学（理）试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出集合A，B，由此能求出A∩B．【详解】∵集合A={x|x2≤4x}={x|0≤x≤4}，B={x|3x﹣4＞0}={x|x}，∴A∩B={x|＜x≤4}=（]．故选：C．【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2.（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据虚数单位i的性质以及复数的基本运算法则，直接计算化简．【详解】===﹣3﹣i．故选：B．【点睛】本题考查复数代数形式的混合运算．除法中关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，实现分母实数化．3.已知角A满足，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】将已知等式两边平方，判断出cosA小于0，sinA大于0，且sinA的绝对值大于cosA的绝对值，利用完全平方公式求出sinA﹣cosA的值，与已知等式联立求出sinA与cosA的值，即可确定出的值.【详解】∵A为三角形内角，且sinA+cosA=，∴将sinA+cosA=两边平方得：2sinAcosA=﹣，∴A为钝角，即sinA＞0，cosA＜0，且|sinA|＞|cosA|，∴1﹣2sinAcosA=，即（sinA﹣cosA）2=，∵sinA﹣cosA＞0，∴sinA﹣cosA=，联立得：，解得：sinA=，cosA=﹣，则sin2A=故选：D【点睛】应用公式时注意方程思想的应用：对于sin＋cos，sin cos，sin－cos这三个式子，利用(sin±cos)2＝1±2sin cos，可以知一求二．4.执行如图所示的程序框图，那么输出的值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：先根据循环语句得S变化规律（周期），再根据规律确定输出值.详解：因为所以,所以当时选B.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.5.已知随机变量服从正态分布，若，则（）A. 0.6827B. 0.8522C. 0.9544D. 0.9772【答案】C【解析】【分析】利用正态分布的对称性结合已知求得，然后求解即可。

2020年广西高考数学一诊试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合2{|3520}A x x x =--…，则(R A =ð ) A ．1(,2)3- B ．1(2,)3-C ．1(,][2,)3-∞-+∞U D ．5(2,)22．已知复数z 满足|34|25(z i i i -=+g 为虚数单位），则在复平面内复数z 对应的点的坐标为( )A ．2(1,)5B ．2(,1)5C ．2(1,)5--D ．2(,1)5--3．设x R ∈，则“38x >”是“2x >”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知双曲线22:4C x y k -=的焦距等于圆22:412M x y x ++=的直径，则实数(k = )A ．645B ．645-C ．645或645-D ．5645．在区间[4，12]上随机地取一个实数a ，则方程2280x ax -+=有实数根的概率为( )A ．14B ．23C ．13D ．126．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若138a a =-，且313S =，则2(a = )A ．3-B ．3C ．353-D ．3或353-7．某程序框图如图所示，则该程序的功能是( )A ．输出3(12342018)++++⋯+的值B ．输出3(12342017)++++⋯+的值C ．输出3(12342019)++++⋯+的值D ．输出12342018++++⋯+的值8．某几何体的三视图如图所示，其俯视图是一圆心角为45︒的扇形，则该几何体的表面积为( )A ．524π+B ．5122π+ C ．312π+ D ．3122π+9．近两年为抑制房价过快上涨，政府出台了--系列以“限购、限外、限贷、限价”为主题的房地产调控政策．各地房产部门为尽快实现稳定房价，提出多种方案，其中之一就是在规定的时间T 内完成房产供应量任务Q ．已知房产供应量Q 与时间t 的函数关系如图所示，则在以下四种房产供应方案中，供应效率（单位时间的供应量）逐步提高的是( )A ．B ．C ．D ．10．函数()sin()(0f x A wx A ϕ=+>，0)w >的部分图象如图所示，则下列说法中错误的是()A ．()f x 的最小正周期是2πB ．()f x 在1931[,]1212ππ上单调递增C ．()f x 在175[,]1212ππ--上单调递增D ．直线1712x π=-是曲线()y f x =的一条对称轴11．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是C 上一点，且2PF x ⊥轴，直线1PF 与C 的另一个交点为Q ，若11||4||PF FQ =，则C 的离心率为( ) A ．25 B ．2 C ．15 D ．2112．已知二次函数2()1f x ax ax =--没有零点，32()()(3)2g x f x ax a x ax =+-+++，若方程()0g x =只有唯一的正实数根，则实数a 的取值范围是( ) A ．(4,0)-B ．(,4)-∞-C ．(2,0)-D ．(4,2)--二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知向量(1,)a k =-r，(2,4)b =-r ，若(3)//a b a +r r r ，则实数k = ．14．二项式91()2x x-的展开式中的常数项是 ．15．已知实数x ，y 满足不等式组40,220,0,0,x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪⎩„…厖则11y z x +=+的最小值为 ．16．已知正三棱锥的底面边长为23，侧棱长为25，则该正三棱锥内切球的表面积为 ． 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且223a c ac -=，sin cos sin (2cos )A C C A =-．（1）求角B 的大小； （2）若ABC ∆的外接圆半径是43，求ABC ∆的周长． 18．（12分）如图，在四棱锥A DBCE -中，5AD BD AE CE ====，4BC =，2DE =，//DE BC ，O ，H 分别为DE ，AB 的中点，AO CE ⊥．（1）求证：//DH 平面ACE ；（2）求直线DH 与底面DBCE 所成角的大小19．（12分）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点(2,0)P 的直线交抛物线C 于1(A x ，1)y 和2(B x ，2)y 两点．（1）当124x x +=时，求直线AB 的方程；（2）若过点P 且垂直于直线AB 的直线l 与抛物线C 交于C ，D 两点，记ABF ∆与CDF ∆的面积分别为1S ，2S ，求12S S 的最小值．20．（12分）在某项娱乐活动的海选过程中评分人员需对同批次的选手进行考核并评分，并将其得分作为该选手的成绩，成绩大于等于60分的选手定为合格选手，直接参加第二轮比赛，大于等于90分的选手将直接参加竞赛选拔赛．已知成绩合格的100名参赛选手成绩的频率分布直方图如图所示，其中[60，70)，[80，90)，[90，100]的频率构成等比数列． （1）求a ，b 的值；（2）估计这100名参赛选手的平均成绩；（3）根据已有的经验，参加竞赛选拔赛的选手能够进入正式竞赛比赛的概率为14，假设每名选手能否通过竞赛选拔赛相互独立，现有4名选手进入竞赛选拔赛，记这4名选手在竞赛选拔赛中通过的人数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望．21．（12分）已知函数()(1)()x f x e aln x a R =++∈的图象在点(0，(0))f 处的切线与直线210x y ++=垂直．（1）求()f x 的单调区间；（2）若当[0x ∈，)+∞时，()10f x mx --…恒成立，求实数m 的取值范围．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为3(3x t t y t =-⎧⎨=⎩为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为212cos 350ρρθ++=．（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）设A 是曲线C 上任意一点，直线l 与两坐标轴的交点分别为M ，N ，求22||||AM AN +最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．（1）求不等式|4|0x x --<的解集；（2）设a ，(2,)b ∈+∞，证明：2222(4)(4)88a b a b ++>+．《高中数学教研微信系列群》“助力2020高考”特别奉献备考（纯WORD ）资料—（9）2020年广西高考数学一诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合2{|3520}A x x x =--…，则(R A =ð ) A ．1(,2)3- B ．1(2,)3-C ．1(,][2,)3-∞-+∞U D ．5(2,)2【思路分析】先求出集合A ，再利用补集的定义即可求出R A ð．【解析】：易知()(){}1|3120{|2}3A x x x x x x =+-=-或厔?，所以1|23R C A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭，故选：A ．【总结与归纳】本题主要考查了补集的定义，是基础题．2．已知复数z 满足|34|25(z i i i -=+g 为虚数单位），则在复平面内复数z 对应的点的坐标为( )A ．2(1,)5B ．2(,1)5C ．2(1,)5--D ．2(,1)5--【思路分析】利用复数模的计算公式求|34|i -，即可求得z ，则答案可求．【解析】：由题意，得525z i =+g ．则25z i =+，其在复数平面内对应的点的坐标为2(,1)5．故选：B ．【总结与归纳】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3．设x R ∈，则“38x >”是“2x >”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【思路分析】“38x >” ⇔ “2x >”，即可判断出结论．【解析】：“38x >” ⇔ “2x >”，∴ “38x >”是“2x >”的充要条件．故选：C ．【总结与归纳】本题考查了简易逻辑的判定方法、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．已知双曲线22:4C x y k -=的焦距等于圆22:412M x y x ++=的直径，则实数(k = )A ．645B ．645-C ．645或645-D ．564【思路分析】C 圆22:412M x y x ++=化为标准方程是22(2)16x y ++=，其半径为4．直径为8．对k 分类讨论，可得双曲线的焦距，即可得出k ．【解析】：C 圆22:412M x y x ++=化为标准方程是22(2)16x y ++=，其半径为4．直径为8．当0k >时，双曲线22:4C x y k -=化为标准方程224x y k k k -=，其焦距为8=，解得645k =； 当0k <时，双曲线22:4C x y k -=化为标准方程是2214y x k k -=--，其焦距为8=，解得645k =-．综上，645k =或645k =-．故选：C ．【总结与归纳】本题考查了双曲线与圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．在区间[4，12]上随机地取一个实数a ，则方程2280x ax -+=有实数根的概率为( )A ．14B ．23C ．13D ．12【思路分析】根据一元二次方程有实数根△0…，求出a 的取值范围，再求对应的概率值． 【解析】：因为方程2280x ax -+=有实数根，所以△2()4280a =--⨯⨯…， 解得8a …或8a -„， 所以方程2280x ax -+=有实数根的概率为12811242P -==-．故选：D ．【总结与归纳】本题考查了一元二次方程有实数根的问题，也考查了几何概型的问题，是基础题．6．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若138a a =-，且313S =，则2(a = )A ．3-B ．3C ．353-D ．3或353-【思路分析】由已知结合等比数列的通项公式及求和公式可求首项及公比，然后再结合等比数列的通项公式即可求解． 【解析】：设公比为q ，易知1q ≠．由133813a a S =-⎧⎨=⎩得211318(1)131a a q a q q ⎧=-⎪⎨-=⎪-⎩，解得113a q =⎧⎨=⎩或125375a q⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，当113a q =⎧⎨=⎩时，213a a q ==；当125375a q ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩时，21353a a q ==-所以23a =或2353a =-，故选：D ．【总结与归纳】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，考查了基本运算的能力．7．某程序框图如图所示，则该程序的功能是( )A ．输出3(12342018)++++⋯+的值B ．输出3(12342017)++++⋯+的值C ．输出3(12342019)++++⋯+的值D ．输出12342018++++⋯+的值【思路分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【解析】：模拟程序的运行，可得 第一次运行时，2k =，332S =+⨯； 第二次运行时，3k =，33233S =+⨯+⨯；第三次运行时，4k =，332333S =+⨯+⨯+⋯，以此类推，第2017次运行时，2018k =，332333432018S =+⨯+⨯+⨯+⋯+⨯， 此时刚好不满足2018k <，则输出3(12342018)S =++++⋯+，所以该程序的功能是“输出3(12342018)++++⋯+的值． 故选：A ．【总结与归纳】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．8．某几何体的三视图如图所示，其俯视图是一圆心角为45︒的扇形，则该几何体的表面积为( )A ．524π+B ．5122π+ C ．312π+ D ．3122π+【思路分析】直接把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的表面积．【解析】：由三视图可知，该几何体是18个圆柱，其上下底面均为18圆面，侧面由2个矩形和1个18圆弧面构成，所以其表面积21152223222312882S πππ=⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯=+．故选：B ．【总结与归纳】本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．9．近两年为抑制房价过快上涨，政府出台了--系列以“限购、限外、限贷、限价”为主题的房地产调控政策．各地房产部门为尽快实现稳定房价，提出多种方案，其中之一就是在规定的时间T 内完成房产供应量任务Q ．已知房产供应量Q 与时间t 的函数关系如图所示，则在以下四种房产供应方案中，供应效率（单位时间的供应量）逐步提高的是( )A ．B ．C ．D ．【思路分析】分析可知，图象应上升的，且越来越陡，由此即可得出选项． 【解析】：单位时间的供应量逐步提高时，供应量的增长速度越来越快，图象上切线的斜率随着自变量的增加会越来越大，则曲线是上升的，且越来越陡， 所以函数的图象应一直下凹的． 故选：B ．【总结与归纳】本题考查实际模型中的函数图象，考查作图识图能力，属于基础题． 10．函数()sin()(0f x A wx A ϕ=+>，0)w >的部分图象如图所示，则下列说法中错误的是()A ．()f x 的最小正周期是2πB ．()f x 在1931[,]1212ππ上单调递增C ．()f x 在175[,]1212ππ--上单调递增D ．直线1712x π=-是曲线()y f x =的一条对称轴【思路分析】由图象求出函数()f x 的解析式，然后逐个分析所给命题的真假．【解析】：由图可知，2A =，该三角函数的最小正周期7233T πππ=-=，故A 项正确；由21w T π==，则()2sin()f x x ϕ=+中，因为5()()36f f ππ=，所以该三角函数的一条对称轴为5736212x πππ+==，将7(,2)12π代入2sin()y x ϕ=+，得72()122k k Z ππϕπ+=+∈，解得2()12k k Z πϕπ=-+∈，所以()2sin(2)2sin()1212f x x k x πππ=-+=-，令22()2122k x k k Z πππππ--+∈剟，得5722()1212k x k k Z ππππ-+∈剟，所以函数()f x 在1931[,]1212ππ上单调递增．故B 项正确； 令322()2122k x k k Z πππππ+-+∈剟，得71922()1212k x k k Z ππππ++∈剟，所以函数()f x 在175[,]1212ππ--上单调递减．故C 项错误； 令()122x kx k Z ππ-=+∈，得7()12x k k Z ππ=+∈，则直线1712x π=-是()f x 的一条对称轴．故D 项正确． 故选：C ．【总结与归纳】考查由图象求三角函数的解析式及三角函数的性质，属于中档题．11．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是C 上一点，且2PF x ⊥轴，直线1PF 与C 的另一个交点为Q ，若11||4||PF FQ =，则C 的离心率为( ) A 25B ．22C 15D ．217【思路分析】本题根据题意可得22||b PF a=，然后过Q 点作QE x ⊥轴，垂足为点E ，设0(Q x ，0)y ，根据两个直角三角形相似可计算出点Q 坐标，再将点Q 坐标代入椭圆方程，结合222b a c =-，可解出e 的值．【解析】：由题意，可将点P 坐标代入椭圆C 方程得22222||1PF c a b +=，解得22||b PF a=． 如图所示，过Q 点作QE x ⊥轴，垂足为点E ，设0(Q x ，0)y ， 根据题意及图可知，Rt △211Rt QEF PF F ∆∽， Q 11||4||PF F Q =，∴1221||||4||||F F PF EF QE ==， 121||2||442F F c cEF ∴===，0322c cx c ∴=--=-．又220||||44PF b y QE a =-=-=-Q ．∴点Q 坐标为3(2c-，2)4b a -．将点Q 坐标代入椭圆方程，得222291416c b a a +=．结合222b a c =-，解得21c e a ==，故选：D ．【总结与归纳】本题主要考查椭圆基础知识的计算，直线与椭圆的综合问题，几何计算能力，转化思想的应用．本题属中档题．12．已知二次函数2()1f x ax ax =--没有零点，32()()(3)2g x f x ax a x ax =+-+++，若方程()0g x =只有唯一的正实数根，则实数a 的取值范围是( ) A ．(4,0)-B ．(,4)-∞-C ．(2,0)-D ．(4,2)--【思路分析】根据已知二次函数2()1f x ax ax =--没有零点，则0a ≠且△240a a =+<；解得40a -<<．再根据方程()0g x =只有唯一的正实数根，求导，分析函数()y g x =根的分布，列出不等式得出a 的取值范围即可．【解析】：因为二次函数2()1f x ax ax =--没有零点，则0a ≠且△240a a =+<，解得40a -<<．由3223232()()(3)21(3)231g x f x ax a x ax ax ax ax a x ax a x x =+-+++=--+-+++=-+． 则2()363(2)g x ax x x ax '=-=-，令()0g x '=，故0x =或2x a =；由于0a <，所以2x a <时，()0g x '<，()g x 单调递减；当20x a<<时，()0g x '>，()g x 单调递增；当0x >时，()0g x '<，()g x 单调递减；所以2x a=有极小值，0x =时，有极大值；因为(0)1g =．当0a <时，()0g x =只有唯一的正实数根，所以()0g x =在(,0)-∞上没有实数根．而当2x a=时，32()31g x ax x =-+在(,0)-∞上取得最小值，所以32222()()3()10g a a a a=-+>，解得2a >（舍去）或2a <-．综上所述，实数a 的取值范围是(4,2)--． 故选：D ．【总结与归纳】本题考查了函数的零点及零点个数问题，数形结合是常用的方法，属于中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知向量(1,)a k =-r，(2,4)b =-r ，若(3)//a b a +r r r ，则实数k = 2 ． 【思路分析】根据两向量平行的坐标表示，列出方程求出k 的值【解析】：由题意，得33(1,)(2,4)(5,34)a b k k +=-+-=--rr ，因为(3)//a b a +r r r．所以1(34)5()0k k ⨯----=， 解得2k =． 故答案为2．【总结与归纳】本题考查了两向量平行的坐标表示与应用问题，是基础题目．14．二项式91()2x x-的展开式中的常数项是212 ．【思路分析】先求得二项式展开式的通项公式，再令x 的幂指数等于0，求得r 的值，即可求得结论．【解析】：二项式91()2x x-的展开式的通项是3999219911()()(1)()22r r r r r r rr T C x C x x ---+=-=-， 令3902r -=，解得6r =．故二项式91()2x x -的展开式中的常数项是669679121(1)()22T C -=-=．故答案为：212【总结与归纳】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，二项式系数的性质，属基础题．15．已知实数x ，y 满足不等式组40,220,0,0,x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪⎩„…厖则11y z x +=+的最小值为 15 ．【思路分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，转化为斜率问题即可求解． 【解答】解作出不等式组表示的平面区域如图所示：由几何意义可知，目标函数11y z x +=+表示可行域内的点(,)x y 与点(1,1)--组成的直线的斜率，目标函数在点(4,0)C 处取得最小值011415min z +==+， 故答案为：15．【总结与归纳】本题主要考查线性规划的应用，利用图象平行分析斜率何时取得最值，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．16．已知正三棱锥的底面边长为23，侧棱长为25，则该正三棱锥内切球的表面积为17(4)π-．【思路分析】设底面正三角形BCD的中心为O，由三角形的知识可得棱锥的高和底面积，代入体积公式可得；设内切球的半径为R，则由等体积的方法可求半径，由球的表面积公式可得．【解析】：正三棱锥的底面边长为23，侧棱长为25，由正弦定理可知，BDC∆外接圆半径23243r==及2r=，所以三棱锥的高2044h=-=，又底面积23(23)33BCDS∆=⨯=，根据题意可知ABC∆底BC边上的高120317h=-=，侧面积13323173512ABCS S∆==⨯⨯⨯=，设三棱锥的体积1334433V=⨯⨯=，设内切球的半径为R，则由等体积可得，1()433ABC ACD ABD BCDS S S S R∆∆∆∆+++=，所以171R-=，故内切球的表面积2174(4)S Rππ'==-．故答案为：17(4)π-．【总结与归纳】本题考查三棱锥的体积的求解，涉及内切球的半径的求解，等体积法是求解半径的关键，属中档题．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）在ABC∆中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且223a c ac-=，sin cos sin(2cos)A C C A=-．（1）求角B的大小；（2）若ABC ∆的外接圆半径是43，求ABC ∆的周长． 【思路分析】（1）由sin cos sin (2cos )A C C A =-，可得sin cos 2sin sin cos A C C C A =-，利用和差公式可得：sin()2sin A C C +=，利用诱导公式、三角形内角和定理及其正弦定理可得2b c =．根据已知223a c ac -=，利用余弦定理即可得出B ．（2）因为ABC ∆的外接圆半径是43，由正弦定理，得．解得b ．c ．代入223a c ac -=中，得a ，j 即可得出ABC ∆的周长．【解析】：（1）因为sin cos sin (2cos )A C C A =-， 所以sin cos 2sin sin cos A C C C A =-， 所以sin cos sin cos 2sin A C C A C +=， 所以sin()2sin A C C +=， 所以sin 2sin B C =． 由正弦定理，得2b c =． 因为223a c ac -=，由余弦定理，得22222222(2)31cos 22222a c b a c c a c ac B ac ac ac ac +-+--=====，又因为(0,)B π∈，所以3B π=（2）因为ABC ∆的外接圆半径是43，则由正弦定理，得．解得4b =．所以2c =．将2c =代入223a c ac -=中，得2122a a -=， 解得113a =-（舍去）或113a =+．所以ABC ∆的周长是11342137a b c ++=+++=+．【总结与归纳】本题考查了和差公式、诱导公式、三角形内角和定理、正弦定理余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（12分）如图，在四棱锥A DBCE -中，5AD BD AE CE ====，4BC =，2DE =，//DE BC ，O ，H 分别为DE ，AB 的中点，AO CE ⊥．（1）求证：//DH 平面ACE ；（2）求直线DH 与底面DBCE 所成角的大小【思路分析】（1）利用中位线的性质及平行线的传递性，可证四边形DEFH 为平行四边形，由此即可得证；（2）关键是找出HDG ∠是DH 与底面DBCE 所成的角，进而转化到三角形中解三角形即可． 【解答】（1）证明：取线段AC 的中点F ，连接EF ，HF ．因为HF 是ABC ∆的中位线，所以12,//2HF BC HF BC ==．又因为2DE =，//DE BC ， 所以HF DE =，//HF DE ．所以四边形DEFH 为平行四边形， 所以//EF HD ．因为EF ⊂平面ACE ，DH ⊂/平面ACE ． 所以//DH 平面ACE ．（2）解：连接OB ，取OB 的中点G ，连接HG ，DG ．易知222211,(5)122OD DE AO AD OD ==-=-=，易知HG 是AOB ∆的中位线，所以//HG AO 且112HG AO ==．因为AD AE =，O 为DE 中点，AO DE ⊥，又//HG AO ，所以HG DE ⊥．因为AO CE ⊥，//HG AO ，所以HG CE ⊥． 又DE CE E =I ，DE ，CE ⊂平面DBCE ， 所以HG ⊥底面DBCE ．所以HDG ∠是DH 与底面DBCE 所成的角． 易求等腰梯形DBCE 222242()(5)()222BC DE CE ---=-= 所以1DG =．在Rt HDG ∆中，由1tan 11HG HDG DG ∠===．得45HDG ∠=︒． 故直线DH 与底面DBCE 所成角的大小为45︒．【总结与归纳】本题线面平行的判定及直线与平面所成角，考查推理论证能力，属于中档题． 19．（12分）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点(2,0)P 的直线交抛物线C 于1(A x ，1)y 和2(B x ，2)y 两点．（1）当124x x +=时，求直线AB 的方程；（2）若过点P 且垂直于直线AB 的直线l 与抛物线C 交于C ，D 两点，记ABF ∆与CDF ∆的面积分别为1S ，2S ，求12S S 的最小值．【思路分析】（1）由直线AB 过定点(2,0)P ，可设直线方程为2x my =+．与抛物线方程联立消去x ，得2480y my --=，利用根与系数的关系即可得出． （2）由（1），知ABF∆的面积为11212111||||||||1||222APF BPF S S S PF y PF y y y ∆∆=+=+=⨯⨯-=g g ，利用根与系数的关系代入可得．因为直线CD 与直线AB 垂直，对m 分类讨论，0m ≠时，推理可得：CDF ∆的面积2S = 【解析】：（1）由直线AB 过定点(2,0)P ，可设直线方程为2x my =+． 联立224x my y x=+⎧⎨=⎩消去x ，得2480y my --=，由韦达定理得124y y m +=，128y y =-，所以212121222()44444x x my my m y y m m m +=+++=++=+=+g ． 因为124x x +=．所以2444m +=，解得0m =． 所以直线AB 的方程为2x =． （2）由（1），知ABF ∆的面积为11212111||||||||1||222APF BPF S S S PF y PF y y y ∆∆=+=+=⨯⨯-g g ．因为直线CD 与直线AB 垂直，且当0m =时，直线AB 的方程为2x =，则此时直线l 的方程为0y =， 但此时直线l 与抛物线C 没有两个交点，所以不符合题意，所以0m ≠．因此，直线CD 的方程为12x y m=-+．同理，CDF ∆的面积2S =所以1212S S ====， 当且仅当2222m m=，即21m =，亦即1m =±时等号成立． 【总结与归纳】本题考查了直线与抛物线的位置关系、一元二次方程的根与系数的关系、两点之间的距离公式、分类讨论方法、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．（12分）在某项娱乐活动的海选过程中评分人员需对同批次的选手进行考核并评分，并将其得分作为该选手的成绩，成绩大于等于60分的选手定为合格选手，直接参加第二轮比赛，大于等于90分的选手将直接参加竞赛选拔赛．已知成绩合格的100名参赛选手成绩的频率分布直方图如图所示，其中[60，70)，[80，90)，[90，100]的频率构成等比数列． （1）求a ，b 的值；（2）估计这100名参赛选手的平均成绩；（3）根据已有的经验，参加竞赛选拔赛的选手能够进入正式竞赛比赛的概率为14，假设每名选手能否通过竞赛选拔赛相互独立，现有4名选手进入竞赛选拔赛，记这4名选手在竞赛选拔赛中通过的人数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望．【思路分析】（1）由频率分布直方图的性质能求出a ，b ． （2）由频率分布直方图的性质能估计这100名选手的平均成绩．（3）由题意知1~(4,)4X B ，由此能求出X 的分布列和数学期望．【解析】：（1）由题意，得2(0.010.03)1010.01a b a b +++⨯=⎧⎨=⎩， 解得0.04a =，0.02b =．（2）估计这100名选手的平均成绩为：650.1750.3850.2950.484x =⨯+⨯+⨯+⨯=． （3）由题意知1~(4,)4X B ，则4431()()()44i i iP X i C -==，(0i =，1，2，3，4)，X 0 1 2 3 4 P 812562764271283641256()414E X =⨯=． 【总结与归纳】本题考查频率、平均数、数学期望的求法，考查频率分布直方图、二项分布的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21．（12分）已知函数()(1)()x f x e aln x a R =++∈的图象在点(0，(0))f 处的切线与直线210x y ++=垂直．（1）求()f x 的单调区间；（2）若当[0x ∈，)+∞时，()10f x mx --…恒成立，求实数m 的取值范围． 【思路分析】（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系即可求解；（2）构造函数()()1g x f x mx =--，对其求导，然后结合导数，对a 进行分类讨论，结合函数的性质分析求解．【解析】：（1）由已知得()1x af x e x '=++，则0(0)1f e a a '=+=+． 又因为直线210x y ++=的斜率为12所以1(1)()12a +⨯-=-，解得1a =．所以()(1)x f x e ln x =++，定义域为(1,)-+∞，所以1()01x f x e x '=+>+．所以函数()f x 的单调递增区间为(1,)-+∞，无单调减区间．（2）令()()1g x f x mx =--．则1()1x g x e m x '=+-+令1()1x h x e x =++，则21()(1)x h x e x '=-+当0x …时，211,01(1)x e x <+厔，所以()0h x '…．所以函数()(0)y h x x =…为增函数． 所以()(0)2h x h =…，所以()2g x m '-…．①当2m „时，20m -…，所以当2m „时，()0g x '…， 所以函数()(0)y g x x =…为增函数，所以()(0)0g x g =…， 故对0x ∀…，()10f x mx --…成立；②当2m >时，11m ->，由0x …时，1011x <+„，1()()11x x g x f x m e m e m x ''=-=+-<+-+，当(0x ∈，(1))ln m -，知10x e m +-<，即()0g x '<．所以函数()y g x =，(0x ∈，(1))ln m -为减函数． 所以当0(1)x ln m <<-时，()(0)0g x g <=． 从而()10f x mx --<，这与题意不符． 综上，实数m 的取值范围为(-∞，2]．【总结与归纳】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，及由不等式求解参数的范围，体现了转化思想及分类讨论思想的应用．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为3(3x t t y t =-⎧⎨=⎩为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为212cos 350ρρθ++=．（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）设A 是曲线C 上任意一点，直线l 与两坐标轴的交点分别为M ，N ，求22||||AM AN +最大值．【思路分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用两点间的距离公式的应用和三角函数关系式的恒等变换及正弦型函数的性质的应用求出结果．【解析】：（1）由直线l 的参数方程为3(3x t t y t =-⎧⎨=⎩为参数）．转换为直角坐标方程为：390x y -+=．所以：直线l 的普通方程为390x y -+=．曲线C 的极坐标方程为212cos 350ρρθ++=．转换为直角坐标方程为：2212350x y x +++=．故曲线C 的直角坐标方程为2212350x y x +++=．（2）直线390l x y -+=与坐标轴的交点依次为(3,0)-，(0,9)， 不妨设(3,0)M -，(0,9)N ，曲线C 的直角坐标方程2212350x y x +++=化为标准方程是22(6)1x y ++=， 由圆的参数方程，可设点(6cos ,sin )A αα-+， 所以22||||AM AN +最22222(3cos )sin (6cos )(sin 9)18(sin cos )128)1284πααααααα=-+++-++-=-++=-++，当sin()14πα+=-，即54πα=时，最大值为128．【总结与归纳】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，二次函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． [选修4-5：不等式选讲]23．（1）求不等式|4|0x x --<的解集；（2）设a ，(2,)b ∈+∞，证明：2222(4)(4)88a b a b ++>+． 【思路分析】（1）解绝对值不等式即可； （2）利用作差法比较大小．【解析】：（1）由不等式|4|0x x --<，得|4|x x -<， 则04x x x x >⎧⎨-<-<⎩，解得2x >．故所求不等式的解集为(2,)+∞． 证明：（2）2222(4)(4)(88)a b a b ++-+222()4416ab a b =--+ 222()4416ab a b =--+ 22(4)(4)a b =--，因为2b>，a>，2所以24b>，a>，24所以22-->．(4)(4)0a b所以原不等式2222++>+成立．(4)(4)88a b a b【总结与归纳】本题考查绝对值不等式的解法及利用作差法比较大小，属于基础题．。

广西2020年高考摸底考试理科数学试题及答案（满分150分，考试时间120分钟）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

） 1. 如果复数12aii-+（a R ∈，i 为虚数单位）的实部与虚部相等，则a 的值为 A. 1B. -1C. 3D. -32. 若{0,1,2}A =，{|2,}aB x x a A ==∈，则A B =A. {0,1,2}B. {0,1,2,3}C. {0,1,2,4}D. {1,2,4}3. 在等比数列{}n a 中，若()57134a a a a +=+，则62a a =( ) A.14B.12C. 2D. 44. 公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n 的值为（ ）（参考数据：sin15°=0.2588，sin7.5°=0.1305）A. 12B. 24C. 48D. 965. 若直线1y mx =+与圆22:220C x y x y +++=相交于A ，B 两点，且AC BC ⊥，则m =A.34B. 1-C. 12-D.326. 若x 、y 满足约束条件，则z=3x-2y 的最小值为A.B.C.D. 57. 已知(1)nx λ+展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相同，且01(1)n x a a x λ+=++22n n a x a x +⋯+,若12242n a a a ++⋯+=,则4()x xλ+展开式中常数项A. 32B. 24C. 4D. 88. 如图所示的网格是由边长为1的小正方形构成，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为A. 40B.103C.163D.8039. 若:,sin 2p x R x a ∃∈=-，:q 函数321()3f x x x ax =-+在R 上是增函数，则p 是q 的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件10. 已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的两个焦点为12,F F ，P 为椭圆上一点，1290F PF ∠=︒。

2020年广西高考数学一诊试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|1−2x x+3<0}，则∁R A = ( ) A. (−∞,−3]⋃[12,+∞)B. (−∞,−3)⋃(12,+∞) C. [−3,12]D. (−3,12) 2. 在复平面内，复数z =2+4ii (i 为虚数单位)对应的点位于( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限3. 设x ，y ∈R ，则“x 2+y 2≤2“是“|x|≤1且|y|≤1“的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 4. 已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的两条渐近线均与圆x 2+y 2−6x +5=0相切，且双曲线的右焦点为该圆的圆心，则C 的离心率为( )A. √63 B. √62 C. 3√55 D. √525. 在区间[−1,3]上随机取一个实数x ，则x 使不等式|x|≤2成立的概率为( )A. 14B. 13C. 12D. 34 6. 等比数列{a n }的前n 项和为S n ，己知S 2=3，S 4=15，则S 3=( )A. 7B. −9C. 7或−9D.7. 执行如图所示的程序框图，运行相应程序，则输出的s 的值为( )A. 20192020B. 20202021C. 20212022D. 202220238.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A. 1283B. 1294C. 42D. 369.函数y=1−|x−x2|的图象大致是()A. B.C. D.10.函数y=Asin(wx+φ)的部分图象如图所示，则()A. y =2sin (x +π6)B. y =2sin (2x −π6)C. y =2sin (x +π3)D. y =2sin (2x −π3)11. 已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是椭圆上一点，|PF 1|=|F 1F 2|且cos∠PF 2F 1=23，则椭圆离心率为( ) A. 12 B. 37 C. 23 D. 34 12. 定义：如果函数f(x)的导函数为f′(x)，在区间[a,b]上存在x 1，x 2(a <x 1<x 2<b)使得f′(x 1)=f′(x 2)=f(b)−f(a)b−a ，则称f(x)为区间[a,b]上的“双中值函数”.已知函数g(x)=13x 3−m 2x 2是[0,2]上的“双中值函数”，则实数m 的取值范围是( )A. [43,83]B. (43,83)C. (43,+∞)D. (−∞,83) 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知向量a ⃗ =(2,1)，b ⃗ =(−1,k)，若a ⃗ //b ⃗ ，则k 等于______ ．14. 二项式(2x x )6的展开式的常数项为______．15. 实数x ，y 满足{x +2y −4≤0x ≥1y ≥1，则z =x −2y 的最小值为______．16. 高为4，底面边长为2的正四棱锥的内切球的体积为______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在△ABC 中，已知cosC +cosAcosB −√3sinAcosB =0(Ⅰ)求角B 的大小；(Ⅱ)若a +c =1，求b 的取值范围．18.如图，四棱锥S−ABCD的底面是正方形，SA⊥平面ABCD，SA=√2AB，点E在棱SC上．(Ⅰ)若E为SC的中点，求证：SA//平面BDE；(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，求CE与平面BDE所成的角．19.已知过点M(p2,0)的直线l与抛物线y2=2px(p>0)交于A、B两点，且OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−3，其中O为坐标原点．(1)求p的值；(2)若圆x2+y2−2x=0与直线l相交于C，D(A,C两点均在第一象限)，且线段AC，CD，BD 的长构成等差数列，求直线l的方程．20.高三年级某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间为：[80,90) ,[90,100),[100,110),[110,120),[120,130),[130,140),[140,150].其中a，b，c成等差数列且c=2a.物理成绩统计如表.(说明：数学满分150分，物理满分100分)分组[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]频数6920105(1)根据频率分布直方图，请估计数学成绩的平均分；(2)根据物理成绩统计表，请估计物理成绩的中位数；(3)若数学成绩不低于140分的为“优”，物理成绩不低于90分的为“优”，已知本班中至少有一个“优”同学总数为6人，从此6人中随机抽取3人，记X为抽到两个“优”的学生人数，求X的分布列和期望值．21.已知函数f(x)=e x−ax(a∈R)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)若m ∈(0,+∞)时，f (x )+ax −ln (x +m )−1>0恒成立，求实数m 的取值范围．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =1+cosαy =sinα (α为参数).以坐标原点O 为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=1，直线l 的极坐标方程为θ=π4(ρ∈R)．(1)求：①曲线C 1的普通方程；②曲线C 2与直线l 交点的直角坐标；(2)设点M 的极坐标为(6,π3)，点N 是曲线C 1上的点，求△MON 面积的最大值．23. 已知函数f(x)=|x +1|+|ax −1|．(Ⅰ)当a =1时，求不等式f(x)⩽4的解集；(Ⅱ)当x ≥1时，不等式f(x)⩽3x +b 成立，证明：a +b ≥0．【答案与解析】1.答案：C解析：本题考查了补集的定义与运算，不等式求解，是基础题．根据补集的定义写出运算结果即可．解：因为1−2xx+3<0⇔(2x−1)(x+3)>0，所以A={x|x>12或x<−3}，所以∁R A={x|−3⩽x⩽12}．故选C．2.答案：D解析：解：z=2+4ii =2i+4=4−2i，对应的点的坐标为(4,−2)，位于第四象限，故选：D．将复数进行化简，结合复数的几何意义即可得到结论．本题主要考查复数的几何意义，利用复数的四则运算进行化简是解决本题的关键．3.答案：B解析：解：由|x|≤1且|y|≤1⇒x2+y2≤2，反之不成立，例如x=0，y=√2．∴x2+y2≤2“是“|x|≤1且|y|≤1“的必要不充分条件．故选：B．由|x|≤1且|y|≤1⇒x2+y2≤2，反之不成立，即可判断出结论．本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.答案：C解析：此题重点考查了直线与圆相切的等价条件，还考查了双曲线及圆的标准方程及利用方程的思想进行解题．由题意圆C：x2+y2−6x+5=0把它变成圆的标准方程知其圆心为(3,0)，利用双曲线的右焦点为圆C的圆心及双曲线的标准方程建立a，b的方程．再利用双曲线C：x2a −y2b=1(a>0,b>0)的两条渐近线均和圆C：x2+y2−6x+5=0相切，建立另一个a，b的方程．求出a，b，然后求解离心率．解：因为圆C：x2+y2−6x+5=0⇔(x−3)2+y2=4，由此知道圆心C(3,0)，圆的半径为2，又因为双曲线的右焦点为圆C的圆心而双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，∴a2+b2=9①又双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线均和圆C：x2+y2−6x+5=0相切，而双曲线的渐近线方程为：y=±bax⇔bx±ay=0，∴√a2+b2=2②连接①②得{b=2a2=5，可得c=3，所以双曲线的离心率为：ca =3√55．故选：C．5.答案：D解析：本题考查了几何概型的概率求法，求出满足不等式的x范围，利用区间长度比求概率是关键．首先求出满足不等式的x范围，利用区间长度求概率．解：在区间[−1,3]上随机取一个实数x，则x使不等式|x|≤2成立的x范围为[−1,2]，所以由几何概型的公式得到概率为2+13+1=34；故选D．6.答案：C解析：本题考查等比数列的前n项和公式，根据条件联立方程组求出首项和公比即可求出答案．解：己知S 2=3，S 4=15，则{a 1(1−q 2)1−q =3a 1(1−q 4)1−q =15，解答{a 1=−3q =−2或{a 1=1q =2， 故S 3=a 1(1−q 3)1−q =−3×(1+8)3=−9，或S 3=a 1(1−q 3)1−q =1×(1−8)−2=7．故选C ．7.答案：C解析：解析：解：模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s 的值，可得s =11×2+12×3+⋯+12021×2022=1−12022=20212022．故选：C ．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s 的值，利用裂项法即可求解．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题． 8.答案：A解析：本题考查了空间几何体的三视图，几何体的性质，体积运算公式，属于计算题，属于中档题． 解：由三视图可知，几何体为一个侧面垂直于底面的三棱锥，底面为等腰直角三角形，顶点在底面的投影为斜边的中点，所以V =13×12×(4+4)×4×8=1283， 故选A ．9.答案：C解析：[分析]本题考查函数的性质与图象．根据函数的解析式并结合选项，列举出几组点的坐标，应用排除法找出正确的选项．[解答]解：当时，，说明函数图象上应该有点(−1,−1)，所以舍去A，D；当x=2时，，说明函数图象上应该有点(2,−1)，所以舍去B；故选C．10.答案：B解析：本题考查了函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质，由题意求出A，T，代入点，得φ，即可得出结果．解：由图像得A=2，，即T=π，则，，代入点，得，即，，则，取k=0，得，，选项B符合题意，故选B．11.答案：B解析：本题考查椭圆的简单性质，注意解题方法的积累，属于中档题．通过|PF1|=|F1F2|可得△PF1F2是以PF2为底的等腰三角形，且底边长为2a−2c、腰长为2c，过三角形的顶点作底边上的高，利用锐角三角函数的定义计算即得结论．解：∵|PF1|=|F1F2|=2c，∴△PF 1F 2是以PF 2为底的等腰三角形，|PF 2|=2a −2c ， 过F 1作F 1A ⊥PF 2交PF 2于A ， 则有cos∠PF 2F 1=|AF 2||F 1F 2|=12|PF 2||F 1F 2|=a−c 2c=23， ∴3a =7c ，即离心率e =ca =37， 故选B ．12.答案：B解析：本题考查实数的取值范围的求法，考查导数的性质及应用等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题． 根据题目给出的定义得到g′(x 1)=g′(x 2)=g(2)−g(0)2−0=43−m ，即方程x 2−mx +m −43=0在区间(0,2)上有两个不相等的解，利用二次函数的性质能求出m 的取值范围． 解：∵g(x)=13x 3−m 2x 2，∴g′(x)=x 2−mx ，由题意可知g′(x)=x 2−mx 在区间[0,2]上存在x 1，x 2(0<x 1<x 2<2)， 满足g′(x 1)=g′(x 2)=g(2)−g(0)2−0=43−m ，∴方程x 2−mx +m −43=0在区间(0,2)上有两个不相等的解． 令ℎ(x)=x 2−mx +m −43，则{Δ=m 2−4(m −43)>0ℎ(0)=m −43>0ℎ(2)=83−m >00<m 2<2，解得43<m <83．故选B ．13.答案：−12解析：解：∵向量a ⃗ =(2,1)，b ⃗ =(−1,k)，a ⃗ //b ⃗ ， ∴2k +1=0，解得k =−12． 故答案为：−12根据向量平行列方程解出k ．本题考查了向量平行与坐标的关系，属于基础题．14.答案：60解析：解：设二项式(2x +1√x )6的展开式的通项为T r+1，则T r+1=C 6r ⋅(2x)6−r ⋅x −12r =C 6r ⋅26−r ⋅x 6−32r ，令6−32r =0得：r =4，∴二项式(2x +√x )6的展开式的常数项为T 5=C 64⋅22=15×4=60．故答案为：60．利用二项展开式的通项T r+1=C 6r ⋅26−r ⋅x 6−32r 中x 的幂指数为0求得r ，从而可求二项式(2x +√x )6的展开式的常数项．本题考查二项式定理的应用，突出考查二项展开式的通项公式，属于中档题．15.答案：−2解析：解：由z =x −2y 得y =12x −z2，作出不等式组对应的平面区域如图(阴影部分ABC)： 平移直线y =12x −z2，由图象可知当直线y =12x −z2，过点A 时，直线y =12x −z2的截距最大，此时z 最小，由{x =1x +2y −4=0，解得{x =1y =32，即A(1,32). 代入目标函数z =x −2y ， 得z =1−2×32=1−3=−2 ∴目标函数z =x −2y 的最小值是−2． 故答案为：−2作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．16.答案：(√17−1)348π解析：解：正四棱锥的斜高为√17，正四棱锥内切球的半径为r 由等体积可得13×22×4=13(4+4×12×2×√17)r ， ∴r =√17−14， ∴高为4，底面边长为2的正四棱锥的内切球的体积为43⋅π⋅(√17−14)3=(√17−1)348π． 故答案为：(√17−1)348π．由等体积可得内切球半径r ，即可求出高为4，底面边长为2的正四棱锥的内切球的体积． 本题主要考查内切球半径r ，考查计算能力和空间想象能力，等体积方法求出球的半径是解决本题的关键．17.答案：解：(Ⅰ)由已知得cosAcosB +cosC =√3sinAcosB ，即cosAcosB +cos[π−(A +B)]=√3sinAcosB ． cosAcosB −cos(A +B)=√3sinAcosB ．所以sinAsinB =√3sinAcosB ，两边除以sin A cos B ，得，tanB =√3， ∴B =π3，(Ⅱ)由余弦定理可得b 2=a 2+c 2−2ac ⋅cosB =a 2+c 2−ac =(a +c)2−3ac =1−3ac ． ∵a +c =1≥2√ac ， ∴ac ≤14．∴b 2=1−3ac ≥14，即b ≥12．再由b <a +c =1，可得 12≤b <1，故边b 的取值范围是[12,1)．解析：(Ⅰ)利用两角和的余弦公式，将cosAcosB +cosC =√3sinAcosB ，变形为sinAsinB =√3sinAcosB ，即可求B ．(Ⅱ)由余弦定理可得b2=1−3ac，利用基本不等式求出b≥12，再由b<a+c=1，求出边b的取值范围．本题考查三角函数公式，余弦定理、基本不等式的综合灵活应用，考查转化变形、计算能力，属于中档题．18.答案：(Ⅰ)证明：设AC与BD的交点为O，连接OE，因为四边形ABCD是正方形，所以O为AC的中点，又E为SC的中点，所以OE为三角形SAC的中位线，所以SA//OE，又OE⊂面BDE，SA⊄面BDE，所以，SA//平面BDE；(Ⅱ)解：因为SA⊥平面ABCD，所以SA⊥OC，因为SA//EO，所以EO⊥OC，因为四边形ABCD是正方形，所以BD⊥OC，所以OC⊥平面BDE，所以∠CEO为CE与平面BDE所成的角．设正方形的边长为a，则EO=12SA=√22a，Rt△COE中，tan∠CEO=OCEO=1，所以∠CEO=45°，所以CE与平面BDE所成的角为45°．解析：(Ⅰ)要证明SA//平面BDE，只需证明SA平行于平面BDE内的一条直线即可，而E为中点，所以连接AC、BD交于点O.由条件知道O为AC中点，从而EO为三角形SAC的中位线，从而得到SA//OE，得证；(Ⅱ)证明∠CEO为CE与平面BDE所成的角，即可得出结论．本题考查线面平行的判定，直线与平面所成的觉，线面平行转化为线线平行是解题的关键．19.答案：解：(1)设A(x1,y1)，Bx2，y2)，直线l：x=my+p2，代入抛物线方程，消去x，得，y2−2pmy−p2=0，y1+y2=2pm，y1y2=−p2，由于OA→⋅OB→=−3，即x1x2+y1y2=−3，x1x2=y122p ⋅y222p=p24，即有p24−p2=−3，解得，p=2；(2)由(1)得，y1+y2=4m，y1y2=−4，则(y1−y2)2=(y1+y2)2−4y1y2=16(1+m2)，|AB|2=(y1−y2)2+(x1−x2)2=(y1−y2)2+(y12−y224)2=(y1−y2)2[1+(y1+y24)2]=16(1+m2)2，即有|AB|=4(1+m2)，由于线段AC，CD，DB长构成等差数列，则2|CD|=|AC|+|DB|=|AC|+|BC|−|CD|=|AB|−|CD|，又CD为圆x2+y2−2x=0的直径，即有|CD|=2，则4(1+m2)=6，解得，m=±√22，则直线l的方程是√2x+y−√2=0或√2x−y−√2=0．解析：本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查直线方程和抛物线方程联立，消去未知数，运用韦达定理，考查等差数列的性质，考查运算能力，属于中档题．(1)设A(x1,y1)，Bx2，y2)，直线l：x=my+p2，代入抛物线方程，运用韦达定理，及平面向量的数量积的坐标表示，即可得到p=2；(2)求出AB的长，用m表示，再由等差数列的性质，以及CD为圆的直径，即可得到m的方程，解出m，即可得到直线l的方程．20.答案：解：(1)由于a+b+2c=0.052，a+c=2b，c=2a，解得a=0.008，b=0.012，c=0.016，故数学成绩的平均分：x−=85×0.04+95×0.12+105×0.16+115×0.2+125×0.24+135×0.16+145×0.08= 117.8分，(2)由物理成绩统计表知，中位数在成绩区间[70,80)，所以物理成绩的中位数为75分．(3)数学成绩为“优”的同学有4人，物理成绩为“优”有5人，因为至少有一个“优”的同学总数为6名同学，故两科均为“优”的人数为3人，故X的取值为0、1、2、3．P(X=0)=C33C63=120，P(x=1)=C31C32C63=920，P(X=2)=C32C31C63=920，P(X=3)=C33C63=120．E(X)=0×120+1×920+2×920+3×120=32．解析：(1)根据题意，列方程，即可求得a，b和c值，根据频率分布值直方图，即可求得平均值；(2)根据频率分布直方图即可求得中位数；(3)由题意，求得X的取值，分别求得其分布列，求得其数学期望．本题考查频率分布直方图的应用，考查分布列及数学期望的方法，考查转化思想，属于中档题．21.答案：解：(1)f(x)=e x−a⋅x，∴f′(x)=e x−a，①当a≤0时，f′(x)>0恒成立，故函数f(x)在(−∞,+∞)上单调递增，②当a>0时，令f′(x)=0，解得x=lna，当x<lna时，f′(x)<0，当x>lna时，f′(x)>0，∴函数f(x)在(−∞,lna)上单调递减，在(lna,+∞)上单调递增，综上所述：当a≤0时，函数f(x)在(−∞,+∞)上单调递增，当a>0时，f(x)在(−∞,lna)上单调递减，在(lna,+∞)上单调递增；(2)∵m∈(0,+∞)时，f(x)+ax−ln(x+m)−1>0恒成立，∴m∈(0,+∞)时，e x−ln(x+m)−1>0恒成立，令g(x)=e x−ln(x+m)−1，x>−m，∴g′(x)=e x−1x+m，令ℎ(x)=g′(x)=e x−1x+m，∴ℎ′(x)=e x+1(x+m)2>0，∴g′(x)在(−m,+∞)上为增函数，∵g′(1)=e−11+m >0，g′(0)=1−1m，当x→−m时，g′(x)→+∞，∴g′(x)=0有且只有一个根， 设为x 0，则e x 0−1x0+m=0，∴g(x)在(−m,x 0)上单调递减，在(x 0,1)上单调递增，∴g(x)min =g(x 0)=e x 0−ln(x 0+m)−1=e x 0+x 0−1>0， 设φ(x)=e x +x −1，x ∈(−m,1)， 易知，φ(x)在(−m,1)在(−m,1)上单调递增， 又φ(0)=0， ∴x 0>0，∴g′(0)=1−1m <0， 解得0<m <1， ∴m 的取值范围为(0,1)．解析：(1)对函数f(x)的求导数f′(x)，然后分类讨论，当a ≤0或a >0时的情况，即可求出结果； (2)构造函数g(x)=e x −ln(x +m)−1，求导后，再构造函数ℎ(x)=g′(x)=e x −1x+m ，再求导，利用导数研究函数g′(x)的零点，根据函数的最值，即可求出．本题考查了利用导数研究函数的单调性和根据不等式恒成立求参数，考查了转化与化归的能力，对于恒成立的问题，通常构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．22.答案：解：(1)①因为{x =1+cosαy =sinα，又sin 2α+cos 2α=1，所以(x −1)2+y 2=1，即曲线C 1的的普通方程为(x −1)2+y 2=1；②由ρ2=x 2+y 2得曲线C 2的直角坐标方程为x 2+y 2=1，又直线l 的直角坐标方程为x −y =0， 所以{x 2+y 2=1x −y =0⇒{x 1=√22y 1=√22或{x 2=−√22y 2=−√22，所以曲线C 2与直线l 的交点的直角坐标为(√22,√22)和(−√22,−√22)．(2)设N(ρ,θ)，又由曲线C 1的普通方程为(x −1)2+y 2=1得其极坐标方程ρ=2cosθ． ∴△MON 的面积S =12|OM|⋅|ON|⋅sin∠MON =12|6ρsin(π3−θ)|=|6cosθsin(π3−θ)|=|3sin(π3−2θ)+3√32|=|3cos(2θ+π6)+3√32|．所以当θ=23π12或θ=11π12时，(S △MON )max =3+3√32．解析：(1)①直接利用转换关系把参数方程转换为直角坐标方程． ②利用直线和圆的关系求出点的坐标．(2)利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用和三角形的面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．23.答案：(Ⅰ)解：当a =1时，f(x)=|x +1|+|x −1|={2x,x >12,−1≤x ≤1−2x,x <−1．∵f(x)≤4，∴{2x ≤4x >1或−1≤x ≤1或{−2x ≤4x <−1, ∴1<x ≤2或−1≤x ≤1或−2≤x <−1，∴−2≤x ≤2， ∴不等式的解集为{x|−2≤x ≤2}．(Ⅱ)证明：当x ≥1时，不等式f(x)≤3x +b 成立， 则x +1+|ax −1|≤3x +b ， ∴|ax −1|≤2x +b −1，∴−2x −b +1≤ax −1≤2x +b −1，∴{(a +2)x ≥2−b(a −2)x ≤b, ∵x ≥1，∴{a +2≥0a +2≥2−ba −2≤0a −2−b ≤0,∴{−2≤a ≤2a +b ≥0a −2≤b,∴a +b ≥0．解析：【试题解析】本题考查了绝对值不等式的解法和利用综合法证明不等式，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．(Ⅰ)将a =1代入f(x)中，然后将f(x)写出分段函数的形式，再根据f(x)≤4分别解不等式即可；(Ⅱ)根据当x≥1时，不等式f(x)≤3x+b成立，可得|ax−1|≤2x+b−1，然后解不等式，进一步得到a+b≥0．。

2020届广西南宁市、玉林市高考理科数学一模试题一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{x|x﹣1＞0}，B＝{x|﹣1≤x≤2}，则A∪B＝（）A．（1，+∞）B．[﹣1，+∞）C．[﹣1，1]D．[﹣1，2]2．（5分）设（1﹣i）x＝1+yi，其中x，y是实数，则x+yi在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）若实数x，y满足，则z＝2x+y的最小值为（）A．1B．2C．4D．104．（5分）已知α∈（0，π），，则sinα的值为（）A．B．C．D．5．（5分）PM2.5是空气质量的一个重要指标，我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35μg/m3以下空气质量为一级，在35μg/m3～75μg/m3之间空气质量为二级，在75μg/m3以上空气质量为超标．如图是某市2019年12月1日到10日PM2.5日均值（单位：μg/m3）的统计数据．若从这10天中随机抽取3天进行进一步的空气质量数据分析，则空气质量为一级的恰好抽取了2天的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）设a为正实数，函数f（x）＝x3﹣3ax2+2a2，若∀x∈（a，2a），f（x）＜0，则a的取值范围是（）A．[1，+∞）B．（0，+∞）C．（0，1）D．7．（5分）已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，过F2且斜率为的直线与双曲线在第一象限的交点为A．线段F1A的中点为D，若，则此双曲线的离心率为（）A．B．C．D．8．（5分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，SD⊥平面ABCD，AB∥CD，AD⊥CD，SD＝CD，AB＝AD，CD＝2AD，M是BC中点，N是线段SA上的点，设MN与平面SAD所成角为α，则sinα的最大值为（）A．B．C．D．9．（5分）过曲线y＝e x﹣x外一点（e，﹣e）作该曲线的切线l，则l在y轴上的截距为（）A．﹣e e B．﹣e e+2C．﹣e e+1D．e e+210．（5分）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，l与x轴的焦点为P，点A在抛物线C 上，过点A作AA'⊥l，垂足为A'，若cos∠F AA'＝，则四边形AA'PF的面积为（）A．8B．10C．14D．2811．（5分）已知定义域为R的奇函数f（x）的导函数为f'（x），当x＞0时，xf'（x）＞f（x）．若a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a12．（5分）已知函数f（x）＝2cos（ωx+φ）﹣1（ω＞0，|φ|＜π）的一个零点是，当时函数f（x）取最大值，则当ω取最小值时，函数f（x）在上的最大值为（）A．﹣2B．C．D．0本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）在平面上，、是方向相反的单位向量，若向量满足（﹣）⊥（﹣），则||的值．14．（5分）设a，b，c分别为三角形ABC的内角A，B，C的对边，已知三角形ABC的面积等于，则内角A的大小为．15．（5分）已知某几何体是一个平面将一正方体截去一部分后所得，该几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为．16．（5分）关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验，受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请240名同学，每人随机写下两个都小于1的正实数x，y组成的实数对（x，y），再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对（x，y）的个数m；最后再根据计数m来估计π的值．假设统计结果是m ＝68，那么可以估计π的近似值为．（用分数表示）三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）水稻是人类重要的粮食作物之一，耕种与食用的历史都相当悠久，日前我国南方农户在播种水稻时一般有直播、撒酒两种方式．为比较在两种不同的播种方式下水稻产量的区别，某市红旗农场于2019年选取了200块农田，分成两组，每组100块，进行试验．其中第一组采用直播的方式进行播种，第二组采用撒播的方式进行播种．得到数据如表：产量（单位：斤）播种方式[840，860）[860，880）[880，900）[900，920）[920，940）直播48183931散播919223218约定亩产超过900斤（含900斤）为“产量高”，否则为“产量低”（1）请根据以上统计数据估计100块直播农田的平均产量（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）（2）请根据以上统计数据填写下面的2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为“产量高”与“播种方式”有关？产量高产量低合计直播散播合计附：P（K2≥k0）0.100.0100.001k0 2.706 6.63510.82818．（12分）已知数列{a n}满足a1＝4，a n+1＝2a n+3×2n+1．（1）证明：数列为等差数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}的前n项和T n．19．（12分）如图所示，在四棱柱ABCD＝A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AD⊥AB，AB∥CD，AB＝2AD＝2AA1＝4．（1）证明：A1D⊥平面ABC1D1；（2）若DC＝1，求二面角B1﹣BC1﹣A的正弦值．20．（12分）已知椭圆的离心率为，F为椭圆的右焦点，PQ为过椭圆中心O的弦．（1）求△PQF面积的最大值；（2）动直线与椭圆交于A、B两点，证明：在第一象限内存在定点M，使得当直线AM与直线BM的斜率均存在时，其斜率之和是与t无关的常数，并求出所有满足条件的定点M的坐标．21．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣8x+alnx（a∈R）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）已知函数f（x）的两个极值点x1，x2（x1＜x2，x≠1），若m≤1，①证明：0＜x1＜2；②证明：﹣x12）．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l1的倾斜角为30°，且经过点A（2，1）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l2：ρcosθ＝3，从原点O作射线交l2于点M，点N为射线OM上的点，满足|OM|•|ON|＝12，记点N的轨迹为曲线C．（1）①设动点P∈l1，记是直线l1的向上方向的单位方向向量，且，以t为参数求直线l1的参数方程；②求曲线C的极坐标方程并化为直角坐标方程；（2）设直线l1与曲线C交于P，Q两点，求的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+2|+|x﹣1|．（1）求不等式f（x）≥x+8的解集；（2）记函数y＝f（x）的最小值为k，若a，b，c是正实数，且，求证a+2b+3c ≥9．。

2020年广西高考数学一诊试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合A ＝{x|3x 2−5x −2≥0}，则∁R A ＝（ ） A.(−2,13)B.(−13,2)C.(2,52) D.(−∞,−13]∪[2,+∞)2. 已知复数z 满足z ⋅|3−4i|＝2+5i （i 为虚数单位），则在复平面内复数z 对应的点的坐标为（ ） A.(25,1) B.(1,25)C.(−25,−1)D.(−1,−25)3. 设x ∈R ，则“x 3>8”是“x >2”的（ ） A.必要而不充分条件 B.充分而不必要条件 C.既不充分也不必要条件 D.充要条件4. 已知双曲线C:x 2−4y 2＝k 的焦距等于圆M:x 2+y 2+4x ＝12的直径，则实数k ＝（ ） A.−645B.645C.564D.645或−6455. 在区间[4, 12]上随机地取一个实数a ，则方程2x 2−ax +8＝0有实数根的概率为（ ） A.23B.14C.13D.126. 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝a 3−8，且S 3＝13，则a 2＝（ ） A.3 B.−3C.3或−353D.−3537. 某程序框图如图所示，则该程序的功能是（ ）A.输出3(1+2+3+4+...+2017)的值B.输出3(1+2+3+4+...+2018)的值C.输出3(1+2+3+4+...+2019)的值D.输出1+2+3+4+...+2018的值8. 某几何体的三视图如图所示，其俯视图是一圆心角为45∘的扇形，则该几何体的表面积为（ ）A.5π2+12B.5π+24C.3π+12D.3π2+129. 近两年为抑制房价过快上涨，政府出台了--系列以“限购、限外、限贷、限价”为主题的房地产调控政策．各地房产部门为尽快实现稳定房价，提出多种方案，其中之一就是在规定的时间T 内完成房产供应量任务Q ．已知房产供应量Q 与时间t 的函数关系如图所示，则在以下四种房产供应方案中，供应效率（单位时间的供应量）逐步提高的是（ ）A.B.C. D.10. 函数f(x)＝A sin (wx +φ)(A >0, w >0)的部分图象如图所示，则下列说法中错误的是（ ）A.f(x)在[19π12,31π12]上单调递增B.f(x)的最小正周期是2πC.f(x)在[−17π12,−5π12]上单调递增D.直线x =−17π12是曲线y ＝f(x)的一条对称轴11. 已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上一点，且PF 2⊥x 轴，直线PF 1与C 的另一个交点为Q ，若|PF 1|＝4|F 1Q|，则C 的离心率为（ ） A.√22 B.2√55C.√217D.√15512. 已知二次函数f(x)＝ax 2−ax −1没有零点，g(x)＝f(x)+ax 3−(a +3)x 2+ax +2，若方程g(x)＝0只有唯一的正实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A.(−∞, −4)B.(−4, 0)C.(−4, −2)D.(−2, 0)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.已知向量a →=(1,−k),b →=(2,−4)，若(3a →+b →)∥a →，则实数k ＝________．二项式(12x −√x )9的展开式中的常数项是________．已知实数x ，y 满足不等式组{x +y −4≤0,x −2y +2≥0,x ≥0,y ≥0, 则z =y+1x+1的最小值为________．已知正三棱锥的底面边长为2√3，侧棱长为2√5，则该正三棱锥内切球的表面积为________．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a 2−3c 2＝ac ，sin A cos C ＝sin C(2−cos A)． （1）求角B 的大小；（2）若△ABC 的外接圆半径是4√33，求△ABC 的周长．如图，在四棱锥A −DBCE 中，AD ＝BD ＝AE ＝CE =√5，BC ＝4，DE ＝2，DE // BC ，O ，H 分别为DE ，AB的中点，AO ⊥CE ．（1）求证：DH // 平面ACE ；（2）求直线DH 与底面DBCE 所成角的大小已知抛物线C:y 2＝4x 的焦点为F ，过点P(2, 0)的直线交抛物线C 于A(x 1, y 1)和B(x 2, y 2)两点． （1）当x 1+x 2＝4时，求直线AB 的方程；（2）若过点P 且垂直于直线AB 的直线l 与抛物线C 交于C ，D 两点，记△ABF 与△CDF 的面积分别为S 1，S 2，求S 1S 2的最小值．在某项娱乐活动的海选过程中评分人员需对同批次的选手进行考核并评分，并将其得分作为该选手的成绩，成绩大于等于60分的选手定为合格选手，直接参加第二轮比赛，大于等于90分的选手将直接参加竞赛选拔赛．已知成绩合格的100名参赛选手成绩的频率分布直方图如图所示，其中[60, 70),[80, 90),[90, 100]的频率构成等比数列．（1）求a ，b 的值；（2）估计这100名参赛选手的平均成绩；（3）根据已有的经验，参加竞赛选拔赛的选手能够进入正式竞赛比赛的概率为14，假设每名选手能否通过竞赛选拔赛相互独立，现有4名选手进入竞赛选拔赛，记这4名选手在竞赛选拔赛中通过的人数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望．已知函数f(x)＝e x +a ln (x +1)(a ∈R)的图象在点（0, f(0)）处的切线与直线x +2y +1＝0垂直． （1）求f(x)的单调区间；（2）若当x ∈[0, +∞)时，f(x)−mx −1≥0恒成立，求实数m 的取值范围．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =t −3y =3t （t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2+12ρcos θ+35＝0． （1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）设A 是曲线C 上任意一点，直线l 与两坐标轴的交点分别为M ，N ，求|AM|2+|AN|2最大值．[选修4-5：不等式选讲]（1）求不等式|x −4|−x <0的解集；（2）设a ，b ∈(2, +∞)，证明：(a 2+4)(b 2+4)>8a 2+8b 2．参考答案与试题解析2020年广西高考数学一诊试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】此题暂无答案【考点】补集体其存算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】此题暂无答案【考点】复数射代开表波法及酸几何意义【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】此题暂无答案【考点】充分常件、头花条件滤充要条件【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】此题暂无答案【考点】圆于虫锥春线接综合问题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】此题暂无答案【考点】几何概表计声（集长样、角度奇附积、体积有关的几何概型）【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】此题暂无答案【考点】等比数使的前n种和【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】此题暂无答案【考点】程正然图【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】此题暂无答案【考点】由三都问求体积【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答9.【答案】此题暂无答案【考点】函来锰略也与图象的变换【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答10.【答案】此题暂无答案【考点】由y=于si械（ωx+美）的部分角象六定其解断式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答11.【答案】此题暂无答案【考点】椭圆水明心率【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答12.【答案】此题暂无答案【考点】二次来数的斗象二次明数织性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 【答案】此题暂无答案【考点】平面水因共线（平行）的坐似表阻【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】二项式定因及京关概念【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】简单因性规斯【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】球的表体积决体积【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.【答案】此题暂无答案【考点】余于视理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】直线与正键所成的角直线体平硫平行【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】直三与臂容在的位置关系直线都一起式方钾与直荷的性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】离散验他空变量截其分布列离散来随机兴苯的期钱与方差【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】利用验我研究务能的单调性利验热数技究女数的最值【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]【答案】此题暂无答案【考点】圆的较坐标停程参数较严与普码方脂的互化【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答[选修4-5：不等式选讲]【答案】此题暂无答案【考点】不等较的证夏绝对常不等至的保法与目明【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。

2020年广西高考数学一诊试卷（理科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|3x2-5x-2≥0}，则∁R A=（）A. B.C. D.2.已知复数z满足z•|3-4i|=2+5i（i为虚数单位），则在复平面内复数z对应的点的坐标为（）A. B. C. D.3.设x∈R，则“x3＞8”是“x＞2”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.已知双曲线C：x2-4y2=k的焦距等于圆M：x2+y2+4x=12的直径，则实数k=（）A. B. C. 或 D.5.在区间[4，12]上随机地取一个实数a，则方程2x2-ax+8=0有实数根的概率为（）A. B. C. D.6.已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若a1=a3-8，且S3=13，则a2=（）A. -3B. 3C.D. 3或7.某程序框图如图所示，则该程序的功能是（）A. 输出3（1+2+3+4+…+2018）的值B. 输出3（1+2+3+4+…+2017）的值C. 输出3（1+2+3+4+…+2019）的值D. 输出1+2+3+4+…+2018的值8.某几何体的三视图如图所示，其俯视图是一圆心角为45°的扇形，则该几何体的表面积为（）A. 5π+24B.C. 3π+12D.9.近两年为抑制房价过快上涨，政府出台了--系列以“限购、限外、限贷、限价”为主题的房地产调控政策．各地房产部门为尽快实现稳定房价，提出多种方案，其中之一就是在规定的时间T内完成房产供应量任务Q．已知房产供应量Q与时间t的函数关系如图所示，则在以下四种房产供应方案中，供应效率（单位时间的供应量）逐步提高的是（）A. B.C. D.10.函数f（x）=A sin（wx+φ）（A＞0，w＞0）的部分图象如图所示，则下列说法中错误的是（）A. f（x）的最小正周期是2πB. f（x）在上单调递增C. f（x）在上单调递增D. 直线是曲线y=f（x）的一条对称轴11.已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上一点，且PF2⊥x轴，直线PF1与C的另一个交点为Q，若|PF1|=4|F1Q|，则C的离心率为（）A. B. C. D.12.已知二次函数f（x）=ax2-ax-1没有零点，g（x）=f（x）+ax3-（a+3）x2+ax+2，若方程g（x）=0只有唯一的正实数根，则实数a的取值范围是（）A. （-4，0）B. （-∞，-4）C. （-2，0）D. （-4，-2）二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量，若，则实数k=______．14.二项式的展开式中的常数项是______．15.已知实数x，y满足不等式组则的最小值为______．16.已知正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为2，则该正三棱锥内切球的表面积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2-3c2=ac，sin A cos C=sin C（2-cos A）．（1）求角B的大小；（2）若△ABC的外接圆半径是，求△ABC的周长．18.如图，在四棱锥A-DBCE中，AD=BD=AE=CE=，BC=4，DE=2，DE∥BC，O，H分别为DE，AB的中点，AO⊥CE．（1）求证：DH∥平面ACE；（2）求直线DH与底面DBCE所成角的大小19.已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点P（2，0）的直线交抛物线C于A（x1，y1）和B（x2，y2）两点．（1）当x1+x2=4时，求直线AB的方程；（2）若过点P且垂直于直线AB的直线l与抛物线C交于C，D两点，记△ABF与△CDF的面积分别为S1，S2，求S1S2的最小值．20.在某项娱乐活动的海选过程中评分人员需对同批次的选手进行考核并评分，并将其得分作为该选手的成绩，成绩大于等于60分的选手定为合格选手，直接参加第二轮比赛，大于等于90分的选手将直接参加竞赛选拔赛．已知成绩合格的100名参赛选手成绩的频率分布直方图如图所示，其中[60，70），[80，90），[90，100]的频率构成等比数列．（1）求a，b的值；（2）估计这100名参赛选手的平均成绩；（3）根据已有的经验，参加竞赛选拔赛的选手能够进入正式竞赛比赛的概率为，假设每名选手能否通过竞赛选拔赛相互独立，现有4名选手进入竞赛选拔赛，记这4名选手在竞赛选拔赛中通过的人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望．21.已知函数f（x）=e x+a ln（x+1）（a∈R）的图象在点（0，f（0））处的切线与直线x+2y+1=0垂直．（1）求f（x）的单调区间；（2）若当x∈[0，+∞）时，f（x）-mx-1≥0恒成立，求实数m的取值范围．22.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2+12ρcosθ+35=0．（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）设A是曲线C上任意一点，直线l与两坐标轴的交点分别为M，N，求|AM|2+|AN|2最大值．23（1）求不等式|x-4|-x＜0的解集；（2）设a，b∈（2，+∞），证明：（a2+4）（b2+4）＞8a2+8b2．2020年广西高考数学一诊试卷（理科）答案和解析【答案】1. A2. B3. C4. C5. D6. D7. A8. B9. B10. C11. D12. D13. 214.15.16. （4-）π17. 解：（1）因为sin A cos C=sin C（2-cos A），所以sin A cos C=2sin C-sin C cos A，所以sin A cos C+sin C cos A=2sin C，所以sin（A+C）=2sin C，所以sin B=2sin C．由正弦定理，得b=2c．因为a2-3c2=ac，由余弦定理，得，又因为B∈（0，π），所以（2）因为△ABC的外接圆半径是，则由正弦定理，得．解得b=4．所以c=2．将c=2代入a2-3c2=ac中，得a2-12=2a，解得（舍去）或．所以△ABC的周长是．18. （1）证明：取线段AC的中点F，连接EF，HF．因为HF是△ABC的中位线，所以．又因为DE=2，DE∥BC，所以HF=DE，HF∥DE．所以四边形DEFH为平行四边形，所以EF∥HD．因为EF⊂平面ACE，DH⊄平面ACE．所以DH∥平面ACE．（2）解：连接OB，取OB的中点G，连接HG，DG．易知，易知HG是△AOB的中位线，所以HG∥AO且．因为AD=AE，O为DE中点，AO⊥DE，又HG∥AO，所以HG⊥DE．因为AO⊥CE，HG∥AO，所以HG⊥CE．又DE∩CE=E，DE，CE⊂平面DBCE，所以HG⊥底面DBCE．所以∠HDG是DH与底面DBCE所成的角．易求等腰梯形DBCE的高为所以DG=1．在Rt△HDG中，由．得∠HDG=45°．故直线DH与底面DBCE所成角的大小为45°．19. 解：（1）由直线AB过定点P（2，0），可设直线方程为x=my+2．联立消去x，得y2-4my-8=0，由韦达定理得y1+y2=4m，y1y2=-8，所以．因为x1+x2=4．所以4m2+4=4，解得m=0．所以直线AB的方程为x=2．（2）由（1），知△ABF的面积为=．因为直线CD与直线AB垂直，且当m=0时，直线AB的方程为x=2，则此时直线l的方程为y=0，但此时直线l与抛物线C没有两个交点，所以不符合题意，所以m≠0．因此，直线CD的方程为．同理，△CDF的面积．所以，当且仅当，即m2=1，亦即m=±1时等号成立．20. 解：（1）由题意，得，解得a=0.04，b=0.02．（2）估计这100名选手的平均成绩为：=65×0.1+75×0.3+85×0.2+95×0.4=84．（3）由题意知X～B（4，），则P（X=i）=，（i=0，1，2，3，4），X 0 1 2 3 4PE（X）=4×=1．21. 解：（1）由已知得，则f'（0）=e0+a=a+1．又因为直线x+2y+1=0的斜率为所以，解得a=1．所以f（x）=e x+ln（x+1），定义域为（-1，+∞），所以．所以函数f（x）的单调递增区间为（-1，+∞），无单调减区间．（2）令g（x）=f（x）-mx-1．则令，则当x≥0时，，所以h'（x）≥0．所以函数y=h（x）（x≥0）为增函数．所以h（x）≥h（0）=2，所以g'（x）≥2-m．①当m≤2时，2-m≥0，所以当m≤2时，g'（x）≥0，所以函数y=g（x）（x≥0）为增函数，所以g（x）≥g（0）=0，故对∀x≥0，f（x）-mx-1≥0成立；②当m＞2时，m-1＞1，由x≥0时，，，当x∈（0，ln（m-1）），知e x+1-m＜0，即g'（x）＜0．所以函数y=g（x），x∈（0，ln（m-1））为减函数．所以当0＜x＜ln（m-1）时，g（x）＜g（0）=0．从而f（x）-mx-1＜0，这与题意不符．综上，实数m的取值范围为（-∞，2]．22. 解：（1）由直线l的参数方程为（t为参数）．转换为直角坐标方程为：3x-y+9=0．所以：直线l的普通方程为3x-y+9=0．曲线C的极坐标方程为ρ2+12ρcosθ+35=0．转换为直角坐标方程为：x2+y2+12x+35=0．故曲线C的直角坐标方程为x2+y2+12x+35=0．（2）直线l3x-y+9=0与坐标轴的交点依次为（-3，0），（0，9），不妨设M（-3，0），N（0，9），曲线C的直角坐标方程x2+y2+12x+35=0化为标准方程是（x+6）2+y2=1，由圆的参数方程，可设点A（-6+cosα，sinα），所以|AM|2+|AN|2最=（-3+cosα）2+sin2α+（-6+cosα）2+（sinα-9）2=-18（sinα+cosα）2+128=-18，当，即时，最大值为18．23. 解：（1）由不等式|x-4|-x＜0，得|x-4|＜x，则，解得x＞2．故所求不等式的解集为（2，+∞）．证明：（2）（a2+4）（b2+4）-（8a2+8b2）=（ab）2-4a2-4b2+16=（ab）2-4a2-4b2+16=（a2-4）（b2-4），因为a＞2，b＞2，所以a2＞4，b2＞4，所以（a2-4）（b2-4）＞0．所以原不等式（a2+4）（b2+4）＞8a2+8b2成立．【解析】1. 解：易知，所以，故选：A．先求出集合A，再利用补集的定义即可求出∁R A．本题主要考查了补集的定义，是基础题．2. 解：由题意，得z•5=2+5i．则，其在复数平面内对应的点的坐标为．故选：B．利用复数模的计算公式求|3-4i|，即可求得z，则答案可求．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3. 解：“x3＞8”⇔“x＞2”，∴“x3＞8”是“x＞2”的充要条件．故选：C．“x3＞8”⇔“x＞2”，即可判断出结论．本题考查了简易逻辑的判定方法、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4. 解：C圆M：x2+y2+4x=12化为标准方程是（x+2）2+y2=16，其半径为4．直径为8．当k＞0时，双曲线C：x2-4y2=k化为标准方程，其焦距为，解得；当k＜0时，双曲线C：x2-4y2=k化为标准方程是，其焦距为，解得．综上，或．故选：C．C圆M：x2+y2+4x=12化为标准方程是（x+2）2+y2=16，其半径为4．直径为8．对k分类讨论，可得双曲线的焦距，即可得出k．本题考查了双曲线与圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5. 解：因为方程2x2-ax+8=0有实数根，所以△=（-a）2-4×2×8≥0，解得a≥8或a≤-8，所以方程2x2-ax+8=0有实数根的概率为P==．故选：D．根据一元二次方程有实数根△≥0，求出a的取值范围，再求对应的概率值．本题考查了一元二次方程有实数根的问题，也考查了几何概型的问题，是基础题．6. 解：设公比为q，易知q≠1．由得，解得或，当时，a2=a1q=3；当时，，所以a2=3或，故选：D．由已知结合等比数列的通项公式及求和公式可求首项及公比，然后再结合等比数列的通项公式即可求解．本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，考查了基本运算的能力．7. 解：模拟程序的运行，可得第一次运行时，k=2，S=3+3×2；第二次运行时，k=3，S=3+3×2+3×3；第三次运行时，k=4，S=3+3×2+3×3+3…，以此类推，第2017次运行时，k=2018，S=3+3×2+3×3+3×4+…+3×2018，此时刚好不满足k＜2018，则输出S=3（1+2+3+4+…+2018），所以该程序的功能是“输出3（1+2+3+4+…+2018）的值．故选：A．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．8. 解：由三视图可知，该几何体是个圆柱，其上下底面均为圆面，侧面由2个矩形和1个圆弧面构成，所以其表面积．故选：B．直接把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的表面积．本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．9. 解：单位时间的供应量逐步提高时，供应量的增长速度越来越快，图象上切线的斜率随着自变量的增加会越来越大，则曲线是上升的，且越来越陡，所以函数的图象应一直下凹的．故选：B．分析可知，图象应上升的，且越来越陡，由此即可得出选项．本题考查实际模型中的函数图象，考查作图识图能力，属于基础题．10. 解：由图可知，A=2，该三角函数的最小正周期，故A项正确；由，则f（x）=2sin（x+φ）中，因为，所以该三角函数的一条对称轴为，将代入y=2sin（x+φ），得，解得，所以，令，得，所以函数f（x）在上单调递增．故B项正确；令，得，所以函数f（x）在上单调递减．故C项错误；令，得，则直线是f（x）的一条对称轴．故D项正确．故选：C．由图象求出函数f（x）的解析式，然后逐个分析所给命题的真假．考查由图象求三角函数的解析式及三角函数的性质，属于中档题．11. 解：由题意，可将点P坐标代入椭圆C方程得+=1，解得|PF2|=．如图所示，过Q点作QE⊥x轴，垂足为点E，设Q（x0，y0），根据题意及图可知，Rt△PF2F1∽Rt△QEF1，∵=4，∴==4，∴|EF1|===，∴x0=-c-=-．又∵y0=-|QE|=-=-．∴点Q坐标为（-，-）．将点Q坐标代入椭圆方程，得．结合b2=a2-c2，解得，故选：D．本题根据题意可得|PF2|=，然后过Q点作QE⊥x轴，垂足为点E，设Q（x0，y0），根据两个直角三角形相似可计算出点Q坐标，再将点Q坐标代入椭圆方程，结合b2=a2-c2，可解出e的值．本题主要考查椭圆基础知识的计算，直线与椭圆的综合问题，几何计算能力，转化思想的应用．本题属中档题．12. 解：因为二次函数f（x）=ax2-ax-1没有零点，则a≠0且△=a2+4a＜0，解得-4＜a＜0．由g（x）=f（x）+ax3-（a+3）x2+ax+2=ax2-ax-1+ax3-（a+3）x2+ax+2=a3x-3x2+1．则g'（x）=3ax2-6x=3x（ax-2），令g'（x）=0，故x=0或x=；由于a＜0，所以x＜时，g'（x）＜0，g（x）单调递减；当＜x＜0时，g'（x）＞0，g （x）单调递增；当x＞0时，g'（x）＜0，g（x）单调递减；所以x=有极小值，x=0时，有极大值；因为g（0）=1．当a＜0时，g（x）=0只有唯一的正实数根，所以g（x）=0在（-∞，0）上没有实数根．而当时，g（x）=ax3-3x2+1在（-∞，0）上取得最小值，所以，解得a＞2（舍去）或a＜-2．综上所述，实数a的取值范围是（-4，-2）．故选：D．根据已知二次函数f（x）=ax2-ax-1没有零点，则a≠0且△=a2+4a＜0；解得-4＜a＜0．再根据方程g（x）=0只有唯一的正实数根，求导，分析函数y=g（x）根的分布，列出不等式得出a的取值范围即可．本题考查了函数的零点及零点个数问题，数形结合是常用的方法，属于中档题．13. 解：由题意，得，因为．所以1×（-3k-4）-5（-k）=0，解得k=2．故答案为2．根据两向量平行的坐标表示，列出方程求出k的值本题考查了两向量平行的坐标表示与应用问题，是基础题目．14. 解：二项式的展开式的通项是，令，解得r=6．故二项式的展开式中的常数项是．故答案为：先求得二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得结论．本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，二项式系数的性质，属基础题．15. 解作出不等式组表示的平面区域如图所示：由几何意义可知，目标函数表示可行域内的点（x，y）与点（-1，-1）组成的直线的斜率，目标函数在点C（4，0）处取得最小值，故答案为：．作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，转化为斜率问题即可求解．本题主要考查线性规划的应用，利用图象平行分析斜率何时取得最值，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．16. 解：正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为2，由正弦定理可知，△BDC外接圆半径2r==4及r=2，所以三棱锥的高h==4，又底面积S△BCD==3，根据题意可知△ABC底BC边上的高h1==，侧面积S=3S△ABC=3×=3，设三棱锥的体积V==4，设内切球的半径为R，则由等体积可得，（S△ABC+S△ACD+S△ABD+S△BCD）R=4，所以R=，故内切球的表面积S′=4πR2=（4-）π．故答案为：（4-）π．设底面正三角形BCD的中心为O，由三角形的知识可得棱锥的高和底面积，代入体积公式可得；设内切球的半径为R，则由等体积的方法可求半径，由球的表面积公式可得．本题考查三棱锥的体积的求解，涉及内切球的半径的求解，等体积法是求解半径的关键，属中档题．17. （1）由sin A cos C=sin C（2-cos A），可得sin A cos C=2sin C-sin C cos A，利用和差公式可得：sin（A+C）=2sin C，利用诱导公式、三角形内角和定理及其正弦定理可得b=2c．根据已知a2-3c2=ac，利用余弦定理即可得出B．（2）因为△ABC的外接圆半径是，由正弦定理，得．解得b．c．代入a2-3c2=ac中，得a，j即可得出△ABC的周长．本题考查了和差公式、诱导公式、三角形内角和定理、正弦定理余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18. （1）利用中位线的性质及平行线的传递性，可证四边形DEFH为平行四边形，由此即可得证；（2）关键是找出∠HDG是DH与底面DBCE所成的角，进而转化到三角形中解三角形即可．本题线面平行的判定及直线与平面所成角，考查推理论证能力，属于中档题．19. （1）由直线AB过定点P（2，0），可设直线方程为x=my+2．与抛物线方程联立消去x，得y2-4my-8=0，利用根与系数的关系即可得出．（2）由（1），知△ABF的面积为=，利用根与系数的关系代入可得．因为直线CD与直线AB垂直，对m分类讨论，m≠0时，推理可得：△CDF的面积．进而得出结论．本题考查了直线与抛物线的位置关系、一元二次方程的根与系数的关系、两点之间的距离公式、分类讨论方法、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20. （1）由频率分布直方图的性质能求出a，b．（2）由频率分布直方图的性质能估计这100名选手的平均成绩．（3）由题意知X～B（4，），由此能求出X的分布列和数学期望．本题考查频率、平均数、数学期望的求法，考查频率分布直方图、二项分布的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21. （1）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系即可求解；（2）构造函数g（x）=f（x）-mx-1，对其求导，然后结合导数，对a进行分类讨论，结合函数的性质分析求解．本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，及由不等式求解参数的范围，体现了转化思想及分类讨论思想的应用．22. （1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用两点间的距离公式的应用和三角函数关系式的恒等变换及正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，二次函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23. （1）解绝对值不等式即可；（2）利用作差法比较大小．本题考查绝对值不等式的解法及利用作差法比较大小，属于基础题．。

2020年广西高考数学一诊试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|3x 2−5x −2≥0}，则∁R A =( )A. (−13,2)B. (−2,13) C. (−∞,−13]∪[2,+∞)D. (2,52)2. 已知复数z 满足z ⋅|3−4i|=2+5i(i 为虚数单位)，则在复平面内复数z 对应的点的坐标为( )A. (1,25)B. (25,1)C. (−1,−25)D. (−25,−1)3. 设x ∈R ，则“x 3>8”是“x >2”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 已知双曲线C ：x 2−4y 2=k 的焦距等于圆M ：x 2+y 2+4x =12的直径，则实数k =( )A. 645B. −645C. 645或−645D. 5645. 在区间[4,12]上随机地取一个实数a ，则方程2x 2−ax +8=0有实数根的概率为( )A. 14B. 23C. 13D. 12 6. 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1=a 3−8，且S 3=13，则a 2=( )A. −3B. 3C. −353D. 3或−3537. 某程序框图如图所示，则该程序的功能是( )A. 输出3(1+2+3+4+⋯+2018)的值B. 输出3(1+2+3+4+⋯+2017)的值C. 输出3(1+2+3+4+⋯+2019)的值D. 输出1+2+3+4+⋯+2018的值 8. 某几何体的三视图如图所示，其俯视图是一圆心角为45°的扇形，则该几何体的表面积为( ) A. 5π+24B.5π2+12C. 3π+12D. 3π2+129.近两年为抑制房价过快上涨，政府出台了--系列以“限购、限外、限贷、限价”为主题的房地产调控政策．各地房产部门为尽快实现稳定房价，提出多种方案，其中之一就是在规定的时间T内完成房产供应量任务Q.已知房产供应量Q与时间t的函数关系如图所示，则在以下四种房产供应方案中，供应效率(单位时间的供应量)逐步提高的是()A. B.C. D.10.函数f(x)=Asin(wx+φ)(A>0,w>0)的部分图象如图所示，则下列说法中错误的是()A. f(x)的最小正周期是2πB. f(x)在[19π12,31π12]上单调递增C. f(x)在[−17π12,−5π12]上单调递增D. 直线x=−17π12是曲线y=f(x)的一条对称轴11.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上一点，且PF2⊥x轴，直线PF1与C的另一个交点为Q，若|PF1|=4|F1Q|，则C的离心率为()A. 2√55B. √22C. √155D. √21712.已知二次函数f(x)=ax2−ax−1没有零点，g(x)=f(x)+ax3−(a+3)x2+ax+2，若方程g(x)=0只有唯一的正实数根，则实数a的取值范围是()A. (−4,0)B. (−∞,−4)C. (−2,0)D. (−4,−2)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 已知向量a ⃗ =(1,−k),b ⃗ =(2,−4)，若(3a ⃗ +b ⃗ )//a ⃗ ，则实数k =______． 14. 二项式(12x −1√x )9的展开式中的常数项是______．15. 已知实数x ，y 满足不等式组{x +y −4≤0,x −2y +2≥0,x ≥0,y ≥0,则z =y+1x+1的最小值为______．16. 已知正三棱锥的底面边长为2√3，侧棱长为2√5，则该正三棱锥内切球的表面积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a 2−3c 2=ac ，sinAcosC =sinC(2−cosA)． (1)求角B 的大小；(2)若△ABC 的外接圆半径是4√33，求△ABC 的周长．18. 如图，在四棱锥A −DBCE 中，AD =BD =AE =CE =√5，BC =4，DE =2，DE//BC ，O ，H 分别为DE ，AB 的中点，AO ⊥CE ． (1)求证：DH//平面ACE ；(2)求直线DH 与底面DBCE 所成角的大小19. 已知抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点P(2,0)的直线交抛物线C 于A(x 1,y 1)和B(x 2,y 2)两点．(1)当x 1+x 2=4时，求直线AB 的方程；(2)若过点P 且垂直于直线AB 的直线l 与抛物线C 交于C ，D 两点，记△ABF 与△CDF的面积分别为S 1，S 2，求S 1S 2的最小值．20. 在某项娱乐活动的海选过程中评分人员需对同批次的选手进行考核并评分，并将其得分作为该选手的成绩，成绩大于等于60分的选手定为合格选手，直接参加第二轮比赛，大于等于90分的选手将直接参加竞赛选拔赛．已知成绩合格的100名参赛选手成绩的频率分布直方图如图所示，其中[60,70)，[80,90)，[90,100]的频率构成等比数列． (1)求a ，b 的值；(2)估计这100名参赛选手的平均成绩；(3)根据已有的经验，参加竞赛选拔赛的选手能够进入正式竞赛比赛的概率为14，假设每名选手能否通过竞赛选拔赛相互独立，现有4名选手进入竞赛选拔赛，记这4名选手在竞赛选拔赛中通过的人数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望．21. 已知函数f(x)=e x +aln(x +1)(a ∈R)的图象在点(0,f(0))处的切线与直线x +2y +1=0垂直．(1)求f(x)的单调区间；(2)若当x ∈[0,+∞)时，f(x)−mx −1≥0恒成立，求实数m 的取值范围． 22. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =t −3y =3t(t 为参数).以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2+12ρcosθ+35=0．(1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)设A 是曲线C 上任意一点，直线l 与两坐标轴的交点分别为M ，N ，求|AM|2+|AN|2最大值．23.(1)求不等式|x−4|−x<0的解集；(2)设a，b∈(2,+∞)，证明：(a2+4)(b2+4)>8a2+8b2．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：易知A ={x|(3x +1)(x −2)≥0}={x|x ≤−13或x ≥2}， 所以C R A ={x|−13<x <2}，故选：A ．先求出集合A ，再利用补集的定义即可求出∁R A . 本题主要考查了补集的定义，是基础题． 2.答案：B解析：解：由题意，得z ⋅5=2+5i.则z =25+i ， 其在复数平面内对应的点的坐标为(25,1)．故选：B ．利用复数模的计算公式求|3−4i|，即可求得z ，则答案可求．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题． 3.答案：C解析：解：“x 3>8”⇔“x >2”， ∴“x 3>8”是“x >2”的充要条件． 故选：C ．“x 3>8”⇔“x >2”，即可判断出结论．本题考查了简易逻辑的判定方法、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 4.答案：C解析：解：C 圆M ：x 2+y 2+4x =12化为标准方程是(x +2)2+y 2=16，其半径为4.直径为8．当k >0时，双曲线C ：x 2−4y 2=k 化为标准方程x 2k −y 2k4=k ，其焦距为2√k +k 4=8，解得k =645；当k <0时，双曲线C ：x 2−4y 2=k 化为标准方程是y 2−k 4−x 2−k =1，其焦距为2√−k −k4=8，解得k =−645． 综上，k =645或k =−645． 故选：C ．C 圆M ：x 2+y 2+4x =12化为标准方程是(x +2)2+y 2=16，其半径为4.直径为8.对k 分类讨论，可得双曲线的焦距，即可得出k ． 本题考查了双曲线与圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 5.答案：D解析：解：因为方程2x 2−ax +8=0有实数根， 所以△=(−a)2−4×2×8≥0， 解得a ≥8或a ≤−8，所以方程2x 2−ax +8=0有实数根的概率为 P =12−812−4=12．故选：D ．根据一元二次方程有实数根△≥0，求出a 的取值范围，再求对应的概率值．本题考查了一元二次方程有实数根的问题，也考查了几何概型的问题，是基础题． 6.答案：D解析：解：设公比为q ，易知q ≠1．由{a 1=a 3−8S 3=13得{a 1=a1q 2−8a 1(1−q 3)1−q =13， 解得{a 1=1q =3或{a 1=253q =−73， 当{a 1=1q =3时，a 2=a 1q =3； 当{a 1=253q =−73时，a 2=a 1q =−353， 所以a 2=3或a 2=−353，故选：D ．由已知结合等比数列的通项公式及求和公式可求首项及公比，然后再结合等比数列的通项公式即可求解．本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，考查了基本运算的能力． 7.答案：A解析：【分析】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【解答】解：模拟程序的运行，可得第一次运行时，k =2，S =3+3×2；第二次运行时，k =3，S =3+3×2+3×3；第三次运行时，k =4，S =3+3×2+3×3+3×4； …，以此类推，第2017次运行时，k =2018，S =3+3×2+3×3+3×4+⋯+3×2018，此时刚好不满足k <2018，则输出S =3(1+2+3+4+⋯+2018)，所以该程序的功能是“输出3(1+2+3+4+⋯+2018)的值． 故选：A ．解析：解：由三视图可知，该几何体是18个圆柱，其上下底面均为18圆面，侧面由2个矩形和1个18圆弧面构成，所以其表面积S =18×π×22×2+2×3×2+18×2π×2×3=52π+12．故选：B ．直接把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的表面积．本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 9.答案：B解析：解：单位时间的供应量逐步提高时，供应量的增长速度越来越快，图象上切线的斜率随着自变量的增加会越来越大，则曲线是上升的，且越来越陡， 所以函数的图象应一直下凹的． 故选：B ．分析可知，图象应上升的，且越来越陡，由此即可得出选项．本题考查实际模型中的函数图象，考查作图识图能力，属于基础题． 10.答案：C解析：解：由图可知，A =2，该三角函数的最小正周期T =7π3−π3=2π，故A 项正确；由w =2πT=1，则f(x)=2sin(x +φ)中，因为f(π3)=f(5π6)，所以该三角函数的一条对称轴为x =π3+5π62=7π12，将(7π12,2)代入y =2sin(x +φ)，得7π12+φ=π2+2kπ(k ∈Z)，解得φ=−π12+2kπ(k ∈Z)，所以f(x)=2sin(x −π12+2kπ)=2sin(x −π12)，令2kπ−π2≤x −π12≤2kπ+π2(k ∈Z)， 得2kπ−5π12≤x ≤2kπ+7π12(k ∈Z)，所以函数f(x)在[19π12,31π12]上单调递增．故B 项正确；令2kπ+π2≤x −π12≤2kπ+3π2(k ∈Z)，得2kπ+7π12≤x ≤2kπ+19π12(k ∈Z)，所以函数f(x)在[−17π12,−5π12]上单调递减．故C 项错误；令x −π12=kx +π2(k ∈Z)， 得x =kπ+7π12(k ∈Z)，则直线x =−17π12是f(x)的一条对称轴．故D 项正确．故选：C ．由图象求出函数f(x)的解析式，然后逐个分析所给命题的真假． 考查由图象求三角函数的解析式及三角函数的性质，属于中档题．解析：解：由题意，可将点P坐标代入椭圆C方程得c2 a2+|PF2|2b2=1，解得|PF2|=b2a．如图所示，过Q点作QE⊥x轴，垂足为点E，设Q(x0,y0)，根据题意及图可知，Rt△PF2F1∽Rt△QEF1，∵|PF1||F1Q|=4，∴|F1F2||EF1|=|PF2||QE|=4，∴|EF1|=|F1F2|4=2c4=c2，∴x0=−c−c2=−3c2．又∵y0=−|QE|=−|PF2|4=−b24a．∴点Q坐标为(−3c2,−b24a).将点Q坐标代入椭圆方程，得9c24a2+b216a2=1．结合b2=a2−c2，解得e=ca =√217，故选：D．本题根据题意可得|PF2|=b2a，然后过Q点作QE⊥x轴，垂足为点E，设Q(x0,y0)，根据两个直角三角形相似可计算出点Q坐标，再将点Q坐标代入椭圆方程，结合b2=a2−c2，可解出e的值．本题主要考查椭圆基础知识的计算，直线与椭圆的综合问题，几何计算能力，转化思想的应用．本题属中档题．12.答案：D解析：解：因为二次函数f(x)=ax2−ax−1没有零点，则a≠0且△=a2+4a<0，解得−4<a<0．由g(x)=f(x)+ax3−(a+3)x2+ax+2=ax2−ax−1+ax3−(a+3)x2+ax+ 2=a3x−3x2+1．则g′(x)=3ax2−6x=3x(ax−2)，令g′(x)=0，故x=0或x=2a；由于a<0，所以x<2a 时，g′(x)<0，g(x)单调递减；当2a<x<0时，g′(x)>0，g(x)单调递增；当x>0时，g′(x)<0，g(x)单调递减；所以x=2a有极小值，x=0时，有极大值；因为g(0)=1.当a<0时，g(x)=0只有唯一的正实数根，所以g(x)=0在(−∞,0)上没有实数根．而当x=2a时，g(x)=ax3−3x2+1在(−∞,0)上取得最小值，所以g(2a )=a(2a)3−3(2a)2+1>0，解得a>2(舍去)或a<−2.综上所述，实数a的取值范围是(−4,−2)．故选：D．根据已知二次函数f(x)=ax2−ax−1没有零点，则a≠0且△=a2+4a<0；解得−4<a<0.再根据方程g(x)=0只有唯一的正实数根，求导，分析函数y=g(x)根的分布，列出不等式得出a的取值范围即可．本题考查了函数的零点及零点个数问题，数形结合是常用的方法，属于中档题．13.答案：2解析：解：由题意，得3a⃗+b⃗ =3(1,−k)+(2,−4)=(5,−3k−4)，因为(3a⃗+b⃗ )//a⃗．所以1×(−3k−4)−5(−k)=0，解得k=2．故答案为2．根据两向量平行的坐标表示，列出方程求出k的值本题考查了两向量平行的坐标表示与应用问题，是基础题目．14.答案：212解析：解：二项式(12x−√x)9的展开式的通项是T r+1=C9r(12x)9−r(−√x)r=C9r(−1)r(12)9−r x9−32r，令9−32r=0，解得r=6．故二项式(12x−√x)9的展开式中的常数项是T7=C96(−1)6(12)9−6=212．故答案为：212先求得二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得结论．本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，二项式系数的性质，属基础题．15.答案：15解析：解作出不等式组表示的平面区域如图所示：由几何意义可知，目标函数z=y+1x+1表示可行域内的点(x,y)与点(−1,−1)组成的直线的斜率，目标函数在点C(4,0)处取得最小值z min=0+14+1=15，故答案为：15．作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，转化为斜率问题即可求解．本题主要考查线性规划的应用，利用图象平行分析斜率何时取得最值，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．16.答案：(4−√172)π解析：解：正三棱锥的底面边长为2√3，侧棱长为2√5，由正弦定理可知，△BDC外接圆半径2r=√3√32=4及r=2，所以三棱锥的高ℎ=√20−4=4，又底面积S△BCD=√34×(2√3)2=3√3，根据题意可知△ABC底BC边上的高ℎ1=√20−3=√17，侧面积S=3S△ABC=3×12×2√3×√17=3√51，设三棱锥的体积V=13×3√3×4=4√3，设内切球的半径为R，则由等体积可得，13(S△ABC+S△ACD+S△ABD+S△BCD)R=4√3，所以R=√17−14，故内切球的表面积S′=4πR2=(4−√172)π．故答案为：(4−√172)π．设底面正三角形BCD的中心为O，由三角形的知识可得棱锥的高和底面积，代入体积公式可得；设内切球的半径为R，则由等体积的方法可求半径，由球的表面积公式可得．本题考查三棱锥的体积的求解，涉及内切球的半径的求解，等体积法是求解半径的关键，属中档题．17.答案：解：(1)因为sinAcosC=sinC(2−cosA)，所以sinAcosC=2sinC−sinCcosA，所以sinAcosC+sinCcosA=2sinC，所以sin(A+C)=2sinC，所以sinB=2sinC．由正弦定理，得b=2c．因为a2−3c2=ac，由余弦定理，得cosB=a2+c2−b22ac =a2+c2−(2c)22ac=a2−3c22ac=ac2ac=12，又因为B∈(0,π)，所以B=π3(2)因为△ABC的外接圆半径是4√3，3则由正弦定理，得．解得b=4．所以c=2．将c=2代入a2−3c2=ac中，得a2−12=2a，解得a=1−√13(舍去)或a=1+√13．所以△ABC的周长是a+b+c=1+√13+4+2=√13+7．解析：(1)由sinAcosC=sinC(2−cosA)，可得sinAcosC=2sinC−sinCcosA，利用和差公式可得：sin(A+C)=2sinC，利用诱导公式、三角形内角和定理及其正弦定理可得b=2c.根据已知a2−3c2=ac，利用余弦定理即可得出B．(2)因为△ABC的外接圆半径是4√3，由正弦定理，得．解得b.c.代入a2−3c2=ac中，3得a，j即可得出△ABC的周长．本题考查了和差公式、诱导公式、三角形内角和定理、正弦定理余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.答案：(1)证明：取线段AC的中点F，连接EF，HF．因为HF是△ABC的中位线，BC=2,HF//BC．所以HF=12又因为DE=2，DE//BC，所以HF=DE，HF//DE．所以四边形DEFH为平行四边形，所以EF//HD．因为EF⊂平面ACE，DH⊄平面ACE．所以DH//平面ACE．(2)解：连接OB，取OB的中点G，连接HG，DG．易知OD=1DE=1,AO=√AD2−OD2=√(√5)2−12=2，2易知HG是△AOB的中位线，AO=1．所以HG//AO且HG=12因为AD=AE，O为DE中点，AO⊥DE，又HG//AO，所以HG⊥DE．因为AO⊥CE，HG//AO，所以HG⊥CE．又DE∩CE=E，DE，CE⊂平面DBCE，所以HG⊥底面DBCE．所以∠HDG 是DH 与底面DBCE 所成的角． 易求等腰梯形DBCE 的高为√CE 2−(BC−DE 2)2=√(√5)2−(4−22)2=2所以DG =1．在Rt △HDG 中，由tan∠HDG =HGDG =11=1.得∠HDG =45°．故直线DH 与底面DBCE 所成角的大小为45°．解析：(1)利用中位线的性质及平行线的传递性，可证四边形DEFH 为平行四边形，由此即可得证；(2)关键是找出∠HDG 是DH 与底面DBCE 所成的角，进而转化到三角形中解三角形即可． 本题线面平行的判定及直线与平面所成角，考查推理论证能力，属于中档题． 19.答案：解：(1)由直线AB 过定点P(2,0)，可设直线方程为x =my +2．联立{x =my +2y 2=4x 消去x ，得y 2−4my −8=0，由韦达定理得y 1+y 2=4m ，y 1y 2=−8，所以x 1+x 2=my 1+2+my 2+2=m(y 1+y 2)+4=m ⋅4m +4=4m 2+4． 因为x 1+x 2=4.所以4m 2+4=4，解得m =0． 所以直线AB 的方程为x =2． (2)由(1)，知△ABF 的面积为S 1=S △APF +S △BPF =12|PF|⋅|y 1|+12|PF|⋅|y 2|=12×1×|y 1−y 2|=12√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√12(4m)2−4×(−8)=12√16m 2+32=2√m 2+2． 因为直线CD 与直线AB 垂直，且当m =0时，直线AB 的方程为x =2，则此时直线l 的方程为y =0， 但此时直线l 与抛物线C 没有两个交点，所以不符合题意，所以m ≠0.因此，直线CD 的方程为x =−1m y +2． 同理，△CDF 的面积S 2=2√1m2+2．所以S 1S 2=4√(2+1m 2)(m 2+2)=4√5+2m 2+2m 2≥4√5+2√2m 2⋅2m 2=4√5+2×2=12，当且仅当2m 2=2m 2，即m 2=1，亦即m =±1时等号成立．解析：(1)由直线AB 过定点P(2,0)，可设直线方程为x =my +2.与抛物线方程联立消去x ，得y 2−4my −8=0，利用根与系数的关系即可得出．(2)由(1)，知△ABF 的面积为S 1=S △APF +S △BPF =12|PF|⋅|y 1|+12|PF|⋅|y 2|=12×1×|y 1−y 2|=12√(y 1+y 2)2−4y 1y 2，利用根与系数的关系代入可得．因为直线CD 与直线AB 垂直，对m 分类讨论，m ≠0时，推理可得：△CDF 的面积S 2=2√1m+2.进而得出结论．本题考查了直线与抛物线的位置关系、一元二次方程的根与系数的关系、两点之间的距离公式、分类讨论方法、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.答案：解：(1)由题意，得{(0.01+0.3+a +b)×10=10.01a =b 2，解得a =0.04，b =0.02．(2)估计这100名选手的平均成绩为：x −=65×0.1+75×0.3+85×0.2+95×0.4=84． (3)由题意知X ～B(4,14)，则P(X =i)=C 4i(34)4−i (14)i ，(i =0,1，2，3，4)，E(X)=4×14=1．解析：(1)由频率分布直方图的性质能求出a ，b ．(2)由频率分布直方图的性质能估计这100名选手的平均成绩． (3)由题意知X ～B(4,14)，由此能求出X 的分布列和数学期望．本题考查频率、平均数、数学期望的求法，考查频率分布直方图、二项分布的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21.答案：解：(1)由已知得f′(x)=e x +ax+1，则f′(0)=e 0+a =a +1．又因为直线x +2y +1=0的斜率为12 所以(a +1)×(−12)=−1，解得a =1．所以f(x)=e x +ln(x +1)，定义域为(−1,+∞)， 所以f′(x)=e x +1x+1>0．所以函数f(x)的单调递增区间为(−1,+∞)，无单调减区间． (2)令g(x)=f(x)−mx −1.则g′(x)=e x +1x+1−m 令ℎ(x)=e x +1x+1，则ℎ′(x)=e x −1(x+1)2当x ≥0时，e x ≥1,0<1(x+1)2≤1，所以ℎ′(x)≥0． 所以函数y =ℎ(x)(x ≥0)为增函数．所以ℎ(x)≥ℎ(0)=2，所以g′(x)≥2−m ．①当m ≤2时，2−m ≥0，所以当m ≤2时，g′(x)≥0， 所以函数y =g(x)(x ≥0)为增函数，所以g(x)≥g(0)=0， 故对∀x ≥0，f(x)−mx −1≥0成立；②当m >2时，m −1>1，由x ≥0时，0<1x+1≤1，g′(x)=f′(x)−m =e x +1x+1−m <e x +1−m ，当x ∈(0,ln(m −1))，知e x +1−m <0，即g′(x)<0． 所以函数y =g(x)，x ∈(0,ln(m −1))为减函数． 所以当0<x <ln(m −1)时，g(x)<g(0)=0． 从而f(x)−mx −1<0，这与题意不符． 综上，实数m 的取值范围为(−∞,2]．解析：(1)先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系即可求解；(2)构造函数g(x)=f(x)−mx −1，对其求导，然后结合导数，对a 进行分类讨论，结合函数的性质分析求解．本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，及由不等式求解参数的范围，体现了转化思想及分类讨论思想的应用．22.答案：解：(1)由直线l 的参数方程为{x =t −3y =3t(t 为参数).转换为直角坐标方程为：3x −y +9=0．所以：直线l 的普通方程为3x −y +9=0．曲线C 的极坐标方程为ρ2+12ρcosθ+35=0.转换为直角坐标方程为：x 2+y 2+12x +35=0．故曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2+12x +35=0．(2)直线l3x −y +9=0与坐标轴的交点依次为(−3,0)，(0,9)， 不妨设M(−3,0)，N(0,9)，曲线C 的直角坐标方程x 2+y 2+12x +35=0化为标准方程是(x +6)2+y 2=1， 由圆的参数方程，可设点A(−6+cosα,sinα)，所以|AM|2+|AN|2最=(−3+cosα)2+sin 2α+(−6+cosα)2+(sinα−9)2=−18(sinα+cosα)2+128=−18√2sin(α+π4)+128， 当sin(α+π4)=−1，即α=5π4时，最大值为18√2+128．解析：(1)直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．(2)利用两点间的距离公式的应用和三角函数关系式的恒等变换及正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，二次函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：(1)由不等式|x −4|−x <0，得|x −4|<x ， 则{x >0−x <x −4<x，解得x >2． 故所求不等式的解集为(2,+∞)．证明：(2)(a 2+4)(b 2+4)−(8a 2+8b 2)=(ab)2−4a 2−4b 2+16 =(ab)2−4a 2−4b 2+16=(a 2−4)(b 2−4)， 因为a >2，b >2， 所以a 2>4，b 2>4，所以(a 2−4)(b 2−4)>0．所以原不等式(a 2+4)(b 2+4)>8a 2+8b 2成立．解析：(1)解绝对值不等式即可；(2)利用作差法比较大小．本题考查绝对值不等式的解法及利用作差法比较大小，属于基础题．。

2020年广西南宁市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{x|x2﹣4x﹣5＜0}，则A∩B＝（）A．{﹣2，﹣1，0}B．{﹣1，0，1，2}C．{﹣1，0，1}D．{0，1，2} 2．（5分）若复数z满足（1+3i）z＝（1+i）2，则|z|＝（）A．B．C．D．3．（5分）某校8位学生的本次月考成绩恰好都比上一次的月考成绩高出50分，则以该8位学生这两次的月考成绩各自组成样本，则这两个样本不变的数字特征是（）A．方差B．中位数C．众数D．平均数4．（5分）若（x2+）6的展开式中x6的系数为150，则a2＝（）A．20B．15C．10D．255．（5分）设递增的等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S4＝，3a4﹣10a3+3a2＝0，则a4＝（）A．9B．27C．81D．6．（5分）已知函数f（x）＝lnx+ax+b的图象在点（1，a+b）处的切线方程是y＝3x﹣2，则a﹣b＝（）A．2B．3C．﹣2D．﹣37．（5分）函数的部分图象大致为（）A．B．C．D．8．（5分）如图，P A⊥平面ABCD，ABCD为正方形，且P A＝AD，E，F分别是线段P A，CD的中点，则异面直线EF与BD所成角的余弦值为（）A．B．C．D．9．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的S＝，则①处应填写（）A．k＜3？B．k≤3？C．k≤5？D．k＜5？10．（5分）已知点F2为双曲线的右焦点，直线y＝kx与双曲线交于两点，若，则△AF2B的面积为（）A．B．C．D．411．（5分）已知函数，则不等式f（lgx）＞3的解集为（）A．（，10）B．（﹣∞，）∪（10，+∞）C．（1，10）D．（，1）∪（1，10）12．（5分）已知，函数f（x）＝sin（2ωx﹣）在区间（π，2π）内没有最值．给出下列四个结论：①f（x）在（π，2π）上单调递增；②ω∈[，]；③f（x）在[0，π]上没有零点；④f（x）在[0，π]上只有一个零点．其中所有正确结论的编号是（）A．②④B．①③C．②③D．①②④二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡中的横线上. 13．（5分）已知两个单位向量满足|+|＝||，则向量与的夹角．14．（5分）设S n是公差不为0的等差数列{a n}的前n项和，且a7＝﹣2a1，则＝．15．（5分）已知F1，F2是椭圆C：的左、右焦点，过左焦点F1的直线与椭圆C交于A，B两点，且|AF1|＝3|BF1|，|AB|＝|BF2|，则椭圆C的离心率为．16．（5分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，，E，F，G分别为AB，BC，C1D1的中点．点P在平面ABCD内，若直线D1P∥平面EFG，则线段D1P长度的最小值是・三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）为了检测某种零件的一条生产线的生产过程，从生产线上随机抽取一批零件，根据其尺寸的数据得到如图所示的频率分布直方图．若尺寸落在区间，（﹣2s，+2s）之外，则认为该零件属“不合格”的零件，其中，s分别为样本平均数和样本标准差，计算可得s≈15（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．（1）求样本平均数的大小；（2）若一个零件的尺寸是100cm，试判断该零件是否属于“不合格”的零件．18．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC＝1，，B1C＝1，B1C⊥平面ABC．（1）证明：平面A1ACC1⊥平面BCC1B1．（2）求二面角A﹣B1B﹣C的余弦值．19．（12分）a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，已知a（sin A+4sin B）＝8sin A．（1）若b＝1，A＝，求sin B；（2）已知C＝，当△ABC的面积取得最大值时，求△ABC的周长．20．（12分）已知函数f（x）＝2x3+mx2+m+1．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若函数f（x）在区间[0，+∞）上的最小值为﹣3，求m的值．21．（12分）如图，已知抛物线E：y2＝4x与圆M：（x﹣3）2+y2＝r2（r＞0）相交于A，B，C，D四个点．（1）求r的取值范围；（2）设四边形ABCD的面积为S，当S最大时，求直线AD与直线BC的交点P的坐标．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系中，已知圆M：（x﹣a）2+（y﹣1）2＝a2+1，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线平分圆M的周长．（1）求圆M的半径和圆M的极坐标方程；（2）过原点作两条互相垂直的直线l1，l2，其中l1与圆M交于O，A两点，l2与圆M交于O，B两点，求△OAB面积的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知正实数a，b满足a+b＝4．（1）求+的最小值．（2）证明：．2020年广西南宁市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{x|x2﹣4x﹣5＜0}，则A∩B＝（）A．{﹣2，﹣1，0}B．{﹣1，0，1，2}C．{﹣1，0，1}D．{0，1，2}【解答】解：∵A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{x|﹣1＜x＜5}，∴A∩B＝{0，1，2}．故选：D．2．（5分）若复数z满足（1+3i）z＝（1+i）2，则|z|＝（）A．B．C．D．【解答】解：由（1+3i）z＝（1+i）2＝2i，得z＝，∴|z|＝．故选：D．3．（5分）某校8位学生的本次月考成绩恰好都比上一次的月考成绩高出50分，则以该8位学生这两次的月考成绩各自组成样本，则这两个样本不变的数字特征是（）A．方差B．中位数C．众数D．平均数【解答】解：由题意知，本次和上次的月考成绩的平均数、中位数、众数都相差50，根据方差公式知方差不变．故选：A．4．（5分）若（x2+）6的展开式中x6的系数为150，则a2＝（）A．20B．15C．10D．25【解答】解：（x2+）6的展开式的通项公式为T r+1＝a r•x12﹣3r，令12﹣3r＝6，求得r＝2，可得展开式中x6的系数为•a2＝150，则a2＝10，故选：C．5．（5分）设递增的等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S4＝，3a4﹣10a3+3a2＝0，则a4＝（）A．9B．27C．81D．【解答】解：根据题意，设等比数列{a n}的公比为q，若3a4﹣10a3+3a2＝0，则3a2q2﹣10a2q+3a2＝0，即有3q2﹣10q+3＝0，解可得q＝3或，又由数列{a n}为递增的等比数列，则q＝3，若S4＝，则S4＝＝40a1＝，解可得a1＝，则a4＝a1q3＝9，故选：A．6．（5分）已知函数f（x）＝lnx+ax+b的图象在点（1，a+b）处的切线方程是y＝3x﹣2，则a﹣b＝（）A．2B．3C．﹣2D．﹣3【解答】解：由f（x）＝lnx+ax+b，得f′（x）＝+a，∴，解得．则a﹣b＝3．故选：B．7．（5分）函数的部分图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，函数，其定义域为{x|x≠0}，又由f（﹣x）＝e﹣x﹣e x+＝﹣（e x﹣e﹣x﹣）＝﹣f（x），则f（x）为奇函数，排除C、D；在（0，+∞）上，当x→0时，f（x）→﹣∞，排除B，故选：A．8．（5分）如图，P A⊥平面ABCD，ABCD为正方形，且P A＝AD，E，F分别是线段P A，CD的中点，则异面直线EF与BD所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，取BC的中点G，连结FG，EG，则BD∥FG，通过异面直线所成角的性质可知∠EFG是异面直线EF与BD所成的角，设AD＝2，则EF＝＝，同理可得EG＝，又FG＝＝，∴在△EFG中，cos∠EFG＝＝，∴异面直线EF与BD所成角的余弦值为．故选：C．9．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的S＝，则①处应填写（）A．k＜3？B．k≤3？C．k≤5？D．k＜5？【解答】解：模拟程序的运行，可得k＝1，S＝0k＝2，S＝0+＝，满足判断框内的条件，执行循环体，k＝3，S＝+＝，满足判断框内的条件，执行循环体，k＝4，S＝+＝由题意，此时应该不满足判断框内的条件，退出循环，输出S的值为．故则①处应填写k≤3？故选：B．10．（5分）已知点F2为双曲线的右焦点，直线y＝kx与双曲线交于两点，若，则△AF2B的面积为（）A．B．C．D．4【解答】解：设双曲线C的左焦点为F1，连接AF1，BF1，由对称性可知四边形AF1BF2是平行四边形，∴，，设|AF1|＝r1，|AF2|＝r2，则，又|r1﹣r2|＝2a，故．∴．则△AF2B的面积为．故选：D．11．（5分）已知函数，则不等式f（lgx）＞3的解集为（）A．（，10）B．（﹣∞，）∪（10，+∞）C．（1，10）D．（，1）∪（1，10）【解答】解：函数，是定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，且在（0，+∞）上是单调递减函数；又f（1）＝log22+＝3，所以不等式f（lgx）＞3可化为0＜|lgx|＜1，即﹣1＜lgx＜1，且lgx≠0，解得＜x＜10，且x≠1；所以所求不等式的解集为（，1）∪（1，10）．故选：D．12．（5分）已知，函数f（x）＝sin（2ωx﹣）在区间（π，2π）内没有最值．给出下列四个结论：①f（x）在（π，2π）上单调递增；②ω∈[，]；③f（x）在[0，π]上没有零点；④f（x）在[0，π]上只有一个零点．其中所有正确结论的编号是（）A．②④B．①③C．②③D．①②④【解答】解：由函数f（x）＝sin（2ωx﹣）在区间（π，2π）内没有最值，则2kπ﹣≤2ωπ﹣＜4ωπ﹣≤2kπ+，或2kπ+≤2ωπ﹣＜4ωπ﹣≤2kπ+，k∈Z；解得k﹣≤ω≤+，或k+≤ω≤+，k∈Z；又T＝≥2π，且ω＞，所以＜ω≤1；令k＝0，可得ω∈[，]，且f（x）在（π，2π）上单调递减；所以①错误，②正确；当x∈[0，π]时，2ωx﹣∈[﹣，2ωπ﹣]，且2ωπ﹣∈[，]，所以f（x）在[0，π]上只有一个零点，所以③错误，④正确；综上知，所有正确结论的编号是②④．故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡中的横线上. 13．（5分）已知两个单位向量满足|+|＝||，则向量与的夹角．【解答】解：∵两个单位向量满足|+|＝||，∴＝1，＝＝1，解得＝﹣1，∴＝﹣，∴cos＜＞＝﹣，∴向量与的夹角为．故答案为：．14．（5分）设S n是公差不为0的等差数列{a n}的前n项和，且a7＝﹣2a1，则＝18．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a7＝﹣2a1，∴a1+6d＝﹣2a1，∴a1＝﹣2d．则＝＝＝＝18．故答案为：18．15．（5分）已知F1，F2是椭圆C：的左、右焦点，过左焦点F1的直线与椭圆C交于A，B两点，且|AF1|＝3|BF1|，|AB|＝|BF2|，则椭圆C的离心率为．【解答】解：设|BF1|＝k，则|AF1|＝3k，|BF2|＝4k，由|BF1|+|BF2|＝|AF1|+|AF2|＝2a，得2a＝5k，|AF2|＝2k，如图：在△ABF2中，，又在△AF1F2中，，得，故离心率，故答案为：．16．（5分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，，E，F，G分别为AB，BC，C1D1的中点．点P在平面ABCD内，若直线D1P∥平面EFG，则线段D1P长度的最小值是・【解答】解：如图，连结D1A，AC，D1C，∵E，F，G分别为AB，BC，C1D1的中点，∴AC∥EF，EF⊄平面ACD1，AC⊂平面ACD1，∴EF∥平面ACD1，∵EG∥AD1，EG⊄平面ACD1，AD1⊂平面ACD1，∴EG∥平面ACD1，∵EF∩EG＝E，∴平面EFG∥平面ACD1，∵D1P∥平面EFG，∴点P在直线AC上，在△ACD1中，AD1＝，AC＝2，CD1＝2，＝＝，∴当D1P⊥AC时，线段D1P的长度最小，最小值为＝．故答案为：．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）为了检测某种零件的一条生产线的生产过程，从生产线上随机抽取一批零件，根据其尺寸的数据得到如图所示的频率分布直方图．若尺寸落在区间，（﹣2s，+2s）之外，则认为该零件属“不合格”的零件，其中，s分别为样本平均数和样本标准差，计算可得s≈15（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．（1）求样本平均数的大小；（2）若一个零件的尺寸是100cm，试判断该零件是否属于“不合格”的零件．【解答】解：（1）＝35×10×0.005+45×10×0.010+55×10×0.015+65×10×0.030+75×10×0.020+85×10×0.015+95×10×0.005＝66.5．（2）＝66.5+30＝96.5，＝66.5﹣30＝36.5，100＞96.5，∴该零件属于“不合格”的零件．18．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC＝1，，B1C＝1，B1C⊥平面ABC．（1）证明：平面A1ACC1⊥平面BCC1B1．（2）求二面角A﹣B1B﹣C的余弦值．【解答】（1）证明：因为B1C⊥平面ABC．所B1C⊥AC，因为AC＝BC＝1，，所以AC2+BC2＝AB2，即AC⊥BC，又BC∩B1C＝C，所以AC⊥平面BCC1B1，因为AC⊂平面A1ACC1．所以平面A1ACC1⊥平面BCC1B1；（2）解：由题可得B1C，CA，CB两两垂直，所以分别以CA，CB，B1C所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系C﹣xyz，则A（1，0，0），C（0，0，0），B（0，1，0），B1（0，0，1），所以＝（0，﹣1，1），＝（﹣1，1，0）．设平面ABB1的一个法向量为＝（x，y，z），由，，得令x＝1，得．又CA⊥平面CBB1，所以平面CBB1的一个向量为，由，所以二面角A﹣B1B﹣C的余弦值为．19．（12分）a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，已知a（sin A+4sin B）＝8sin A．（1）若b＝1，A＝，求sin B；（2）已知C＝，当△ABC的面积取得最大值时，求△ABC的周长．【解答】解：（1）由于b＝1，A＝，所以a（sin A+4sin B）＝8sin A转换为a（sin A+4sin B）＝8b sin A，利用正弦定理sin2A+4sin A sin B＝8sin A sin B，整理得，解得．（2）由于c2＝a2+b2﹣2ab cos C≥ab，当a＝b时，最大值为，由于，所以△ABC为等边三角形．利用正弦定理a（sin A+4sin B）＝8sin A，转化为a2+4ab＝8a，所以a+4b＝8，利用基本不等式，解得ab≤4，即a＝4b时，，解得b＝1，a＝4，所以c2＝a2+b2﹣2ab cos C＝1+16﹣4＝13，解得c＝所以．20．（12分）已知函数f（x）＝2x3+mx2+m+1．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若函数f（x）在区间[0，+∞）上的最小值为﹣3，求m的值．【解答】解：（1）f（x）＝2x3+mx2+m+1，f'（x）＝6x2+2mx＝6x[x﹣（﹣）]，当m＝0时，f'（x）≥0，f（x）在R上递增，当m＞0时，x∈（﹣∞，0），（m，+∞）递增，x∈（0，m）递减，当m＜0时，x∈（﹣∞，m），（0，+∞）递增，x∈（m，0）递减；（2）由（1）知，当m＝0时，f（x）在区间[0，+∞）递增，f（x）＝2x3+1，f（x）的最小值为f（0）＝1≠﹣3，故不成立；当m＞0时，f（x）在区间[0，m）递减，（m，+∞）递增，故f（m）为最小值，由f（m）＝3m3+m+1＝﹣3，即（m+1）（3m2﹣3m+4）＝0，即m＝﹣1＜0，不成立；当m＜0时，f（x）在区间[0，m）递增，故f（0）为最小值，由f（0）＝m+1＝﹣3，得m＝﹣4，成立；所以m＝﹣4．21．（12分）如图，已知抛物线E：y2＝4x与圆M：（x﹣3）2+y2＝r2（r＞0）相交于A，B，C，D四个点．（1）求r的取值范围；（2）设四边形ABCD的面积为S，当S最大时，求直线AD与直线BC的交点P的坐标．【解答】解：（1）联立抛物线y2＝4x与圆M：（x﹣3）2+y2＝r2（r＞0），可得x2﹣2x+9﹣r2＝0，由题意可得△＝4﹣4（9﹣r2）＞0，且9﹣r2＞0，r＞0，解得2＜r＜3；（2）设x2﹣2x+9﹣r2＝0的两个根为x1，x2，且0＜x1＜x2，可得x1+x2＝2，x1x2＝9﹣r2，由抛物线和圆都关于x轴对称，可设A（x1，2），B（x1，﹣2），C（x2，2），D（x 2，﹣2），则S＝（|AB|+|CD|）•（x 2﹣x1）＝（4+4）•（x2﹣x1）＝2•＝2•，可令t＝∈（0，1），设f（t）＝S2＝4（2+2t）（4﹣4t2）即f（t）＝﹣32（t3+t2﹣t﹣1），f′（t）＝﹣32（3t2+2t﹣1）＝﹣32（t+1）（3t﹣1），当0＜t＜时，f（t）递增，在（，1）递减，可得t＝时，四边形ABCD的面积取得最大值，由抛物线和圆都关于x轴对称，可设P（m，0），由P，A，D三点共线，可得＝，解得m＝﹣＝﹣＝﹣t＝﹣，所以P的坐标为（﹣，0）．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系中，已知圆M：（x﹣a）2+（y﹣1）2＝a2+1，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线平分圆M的周长．（1）求圆M的半径和圆M的极坐标方程；（2）过原点作两条互相垂直的直线l1，l2，其中l1与圆M交于O，A两点，l2与圆M交于O，B两点，求△OAB面积的最大值．【解答】解：（1）已知直线转换为直角坐标方程为x+y﹣2＝0．由于直线平分圆M：（x﹣a）2+（y﹣1）2＝a2+1，所以圆心坐标满足直线的方程，所以a+1﹣2＝0，解得：a＝1，所以圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2，圆的半径为．圆M的极坐标方程为ρ＝2sinθ+2cosθ．（2）设直线l1为θ＝α，l2为，|OA|＝ρ1，|OB|＝ρ2，则ρ1＝2sinα+2cosα，用代替，可得ρ2＝2cosα﹣2sinα．由于l1⊥l2，所以＝2（cos2α﹣sin2α）＝2cos2α≤2，故三角形面积的最大值为2．[选修4-5：不等式选讲]23．已知正实数a，b满足a+b＝4．（1）求+的最小值．（2）证明：．【解答】解：（1）∵正实数a，b满足a+b＝4，∴+＝（+）（a+b）＝＝，当且仅当且a+b＝4即a＝，b＝时取得最小值；（2）证明：∵a+b＝4，∴＝＝1，∴，∴（）2+（）2＝（当且仅当a＝b＝2时取等号）。

广西南宁市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A={x|x2+5x＞0}，B={x|﹣3＜x＜4}，则A∩B等于（）A．（﹣5，0）B．（﹣3，0）C．（0，4） D．（﹣5，4）2．已知复数z满足=（a∈R），若z的虚部为﹣3，则z的实部为（）A．﹣1 B．1 C．3 D．53．某仪器厂从新生产的一批零件中随机抽取40个检测，如图是根据抽样检测后零件的质量（单位：克）绘制的频率分布直方图，样本数据分8组，分别为[80，82），[82，84），[84，86），[86，88），[88，90），[90，92），[92，94），[94，96]，则样本的中位数在（）A．第3组B．第4组C．第5组D．第6组4．已知数列{a n}满足：=，且a2=2，则a4等于（）A．﹣ B．23 C．12 D．115．已知角θ的终边过点（2sin2﹣1，a），若sinθ=2sin cos，则实数a等于（）A．﹣B．﹣C．±D．±6．执行如图的程序框图，若输入k的值为3，则输出S的值为（）A．10 B．15 C．18 D．217．已知非零向量、满足|﹣|=|+2|，且与的夹角的余弦值为﹣，则等于（）A．B．C．D．28．如果实数x，y满足约束条件，则z=3x+2y+的最大值为（）A．7 B．8 C．9 D．119．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．12 B．15 C．18 D．2110．已知函数f（x）=设m＞n≥﹣1，且f（m）=f（n），则m•f（m）的最小值为（）A．4 B．2 C．D．211．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点为F（﹣c，0），M、N 在双曲线C上，O是坐标原点，若四边形OFMN为平行四边形，且四边形OFMN 的面积为cb，则双曲线C的离心率为（）A．B．2 C．2 D．212．已知函数f（x）=﹣x2﹣6x﹣3，g（x）=2x3+3x2﹣12x+9，m＜﹣2，若∀x1∈[m，﹣2），∃x2∈（0，+∞），使得f（x1）=g（x2）成立，则m的最小值为（）A．﹣5 B．﹣4 C．﹣2D．﹣3二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（+3）（﹣）5的展开式中的常数项为．14．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点M（x0，2）是抛物线C上一点，圆M与y轴相切且与线段MF相交于点A，若=2，则p=．15．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤．斩末一尺，重二斤．问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细．在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”设该金杖由粗到细是均匀变化的，其重量为M，现将该金杖截成长度相等的10段，记第i段的重量为a i（i=1，2，…，10），且a1＜a2＜…＜a10，若48a i=5M，则i=．16．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为3的正方形，AA1=3，E 是线段A1B1上一点，若二面角A﹣BD﹣E的正切值为3，则三棱锥A﹣A1D1E外接球的表面积为．三、解答题17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且accosB﹣bccosA=3b2．（1）求的值；（2）若角C为锐角，c=，sinC=，求△ABC的面积．18．某中学是走读中学，为了让学生更有效率利用下午放学后的时间，学校在本学期第一次月考后设立了多间自习室，以便让学生在自习室自主学习、完成作业，同时每天派老师轮流值班．在本学期第二次月考后，高一某班数学老师统计了两次考试该班数学成绩优良人数和非优良人数，得到如下2×2列联表：非优良优良总计未设立自习室251540设立自习室103040总计354580（1）能否在在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为设立自习室对提高学生成绩有效；（2）设从该班第一次月考的所有学生的数学成绩中任取2个，取到优良成绩的个数为X，从该班第二次月考的所有学生的数学成绩中任取2个，取到优良成绩的个数为Y，求X与Y的期望并比较大小，请解释所得结论的实际意义．下面的临界值表供参考：P（K2≥k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828（参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d）19．如图，在四棱锥A﹣BCED中，AD⊥底面BCED，BD⊥DE，∠DBC=∠BCE═60°，BD=2CE．（1）若F是AD的中点，求证：EF∥平面ABC；（2）若AD=DE，求BE与平面ACE所成角的正弦值．20．已知F1（﹣c，0）、F2（c、0）分别是椭圆G： +=1（0＜b＜a＜3）的左、右焦点，点P（2，）是椭圆G上一点，且|PF1|﹣|PF2|=a．（1）求椭圆G的方程；（2）设直线l与椭圆G相交于A、B两点，若⊥，其中O为坐标原点，判断O到直线l的距离是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．21．已知函数f（x）=x﹣alnx，（a∈R）．（1）讨论函数f（x）在定义域内的极值点的个数；（2）设g（x）=﹣，若不等式f（x）＞g（x）对任意x∈[1，e]恒成立，求a的取值范围．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，设直线l的参数方程为（t为参数）．（1）求曲线C的直角坐标方程与直线l的普通方程；（2）设曲线C与直线l相交于P，Q两点，以PQ为一条边作曲线C的内接矩形，求该矩形的面积．[选修4-5：不等式选讲]23．设实数x，y满足x+=1．（1）若|7﹣y|＜2x+3，求x的取值范围；（2）若x＞0，y＞0，求证：≥xy．广西南宁市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A={x|x2+5x＞0}，B={x|﹣3＜x＜4}，则A∩B等于（）A．（﹣5，0）B．（﹣3，0）C．（0，4） D．（﹣5，4）【考点】交集及其运算．【分析】求出关于A的解集，从而求出A与B的交集．【解答】解：∵A={x||x2+5x＞0}={x|x＜﹣5或x＞0}，B={x|﹣3＜x＜4}，∴A∩B={x|0＜x＜4}，故选：C．2．已知复数z满足=（a∈R），若z的虚部为﹣3，则z的实部为（）A．﹣1 B．1 C．3 D．5【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由z的虚部为﹣3求得a值，则答案可求．【解答】解：∵=，∴=（2+ai）（1﹣i）=2+a+（a﹣2）i，∴a﹣2=﹣3，即a=﹣1．∴实部为2+a=2﹣1=1．故选：B．3．某仪器厂从新生产的一批零件中随机抽取40个检测，如图是根据抽样检测后零件的质量（单位：克）绘制的频率分布直方图，样本数据分8组，分别为[80，82），[82，84），[84，86），[86，88），[88，90），[90，92），[92，94），[94，96]，则样本的中位数在（）A．第3组B．第4组C．第5组D．第6组【考点】频率分布直方图．【分析】根据频率分布直方图求出前4组的频数为22，且第四组的频数8，即可得到答案．【解答】解：由图可得，前第四组的频率为（0.0375+0.0625+0.075+0.1）×2=0.55，则其频数为40×0.55=22，且第四组的频数为40×0.1×2=8，故中位数落在第4组，故选：B4．已知数列{a n}满足：=，且a2=2，则a4等于（）A．﹣ B．23 C．12 D．11【考点】等比数列的通项公式．【分析】数列{a n}满足：=，可得a n+1+1=2（a n+1），利用等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：∵数列{a n}满足：=，∴a n+1+1=2（a n+1），即数列{a n+1}是等比数列，公比为2．则a4+1=22（a2+1）=12，解得a4=11．故选：D．5．已知角θ的终边过点（2sin2﹣1，a），若sinθ=2sin cos，则实数a等于（）A．﹣B．﹣C．±D．±【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】利用二倍角公式化简，再利用正弦函数的定义，建立方程，即可得出结论．【解答】解：2sin2﹣1=﹣cos=﹣，2sin cos=﹣，∵角θ的终边过点（2sin2﹣1，a），sinθ=2sin cos，∴=﹣，∴a=﹣，故选B．6．执行如图的程序框图，若输入k的值为3，则输出S的值为（）A．10 B．15 C．18 D．21【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的n，S的值，当n=5，S=15时，不满足条件S＜kn=15，退出循环，输出S的值为15，即可得解．【解答】解：模拟程序的运行，可得k=3，n=1，S=1满足条件S＜kn，执行循环体，n=2，S=3满足条件S＜kn，执行循环体，n=3，S=6满足条件S＜kn，执行循环体，n=4，S=10满足条件S＜kn，执行循环体，n=5，S=15此时，不满足条件S＜kn=15，退出循环，输出S的值为15．故选：B．7．已知非零向量、满足|﹣|=|+2|，且与的夹角的余弦值为﹣，则等于（）A．B．C．D．2【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由向量的平方即为模的平方．可得•=﹣2，再由向量的夹角公式：cos＜，＞=，化简即可得到所求值．【解答】解：非零向量、满足|﹣|=|+2|，即有（﹣）2=（+2）2，即为2+2﹣2•=2+4•+42，化为•=﹣2，由与的夹角的余弦值为﹣，可得cos＜，＞=﹣==，化简可得=2．故选：D．8．如果实数x，y满足约束条件，则z=3x+2y+的最大值为（）A．7 B．8 C．9 D．11【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移直线，得到最优解，求出斜率的最值，即可求z的最大值．【解答】解：作出不等式对应的平面区域（阴影部分），由u=3x+2y，平移直线u=3x+2y，由图象可知当直线u=3x+2y经过点A时，直线u=3x+2y的截距最大，此时u最大．而且也恰好是AO的连线时，取得最大值，由，解得A（1，2）．此时z的最大值为z=3×1+2×2+=9，故选：C．9．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．12 B．15 C．18 D．21【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个长宽高分别为4，3，3的长方体，切去一半得到的，进而得到答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个长宽高分别为4，3，3的长方体，切去一半得到的，其直观图如下所示：其体积为：×4×3×3=18，故选：C10．已知函数f（x）=设m＞n≥﹣1，且f（m）=f（n），则m•f（m）的最小值为（）A．4 B．2 C．D．2【考点】函数的最值及其几何意义；分段函数的应用．【分析】做出f（x）的图象，根据图象判断m的范围，利用基本不等式得出最小值．【解答】解：做出f（x）的函数图象如图所示：∵f（m）=f（n），m＞n≥﹣1，∴1≤m＜4，∴mf（m）=m（1+）=m+≥2．当且仅当m=时取等号．故选：D．11．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点为F（﹣c，0），M、N 在双曲线C上，O是坐标原点，若四边形OFMN为平行四边形，且四边形OFMN 的面积为cb，则双曲线C的离心率为（）A．B．2 C．2 D．2【考点】双曲线的简单性质．【分析】设M（x0，y0），y0＞0，由四边形OFMN为平行四边形，四边形OFMN 的面积为cb，由x0=﹣，丨y0丨=b，代入双曲线方程，由离心率公式，即可求得双曲线C的离心率．【解答】解：双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）焦点在x轴上，设M（x0，y0），y0＞0，由四边形OFMN为平行四边形，∴x0=﹣，四边形OFMN的面积为cb，∴丨y0丨c=cb，即丨y0丨=b，∴M（﹣，b），代入双曲线可得：﹣=1，整理得：，由e=，∴e2=12，由e＞1，解得：e=2，故选D．12．已知函数f（x）=﹣x2﹣6x﹣3，g（x）=2x3+3x2﹣12x+9，m＜﹣2，若∀x1∈[m，﹣2），∃x2∈（0，+∞），使得f（x1）=g（x2）成立，则m的最小值为（）A．﹣5 B．﹣4 C．﹣2D．﹣3【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】利用导数先求出函数g（x）的最小值，再根据函数f（x）的图象和性质，即可求出m的最小值【解答】解：∵g（x）=2x3+3x2﹣12x+9，∴g′（x）=6x2+6x﹣12=6（x+2）（x﹣1），则当0＜x＜1时，g′（x）＜0，函数g（x）递减，当x＞1时，g′（x）＞0，函数g（x）递增，∴g（x）min=g（1）=2，∵f（x）=﹣x2﹣6x﹣3=﹣（x+3）2+6≤6，作函数y=f（x）的图象，如图所示，当f（x）=2时，方程两根分别为﹣5和﹣1，则m的最小值为﹣5，故选：A二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（+3）（﹣）5的展开式中的常数项为40．【考点】二项式定理的应用．【分析】把（﹣）5按照二项式定理展开，可得（+3）（﹣）5的展开式中的常数项．【解答】解：（+3）（﹣）5 =（+3）（﹣•2x+•4﹣•8x ﹣2+•16﹣•32x﹣5），故展开式中的常数项为•4=40，故答案为：40．14．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点M（x0，2）是抛物线C上一点，圆M与y轴相切且与线段MF相交于点A，若=2，则p=2．【考点】抛物线的简单性质．【分析】设M到准线的距离为|MB|，则|MB|=|MF|，利用=2，得x0=p，即可得出结论．【解答】解：设M到准线的距离为|MB|，则|MB|=|MF|，∵=2，∴x0=p，∴2p2=8，∵p＞0，∴p=2．故答案为2．15．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤．斩末一尺，重二斤．问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细．在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”设该金杖由粗到细是均匀变化的，其重量为M，现将该金杖截成长度相等的10段，记第i段的重量为a i（i=1，2，…，10），且a1＜a2＜…＜a10，若48a i=5M，则i=6．【考点】等差数列的通项公式．【分析】由题意知由细到粗每段的重量成等差数列，记为{a n}且设公差为d，由条件和等差数列的通项公式列出方程组，求出a1和d值，由等差数列的前n项和公式求出该金杖的总重量M，代入已知的式子化简求出i的值．【解答】解：由题意知由细到粗每段的重量成等差数列，记为{a n}，设公差为d，则，解得a1=，d=，所以该金杖的总重量M==15，因为48a i=5M，所以48[+（i﹣1）×]=25，即39+6i=75，解得i=6，故答案为：6．16．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为3的正方形，AA1=3，E 是线段A1B1上一点，若二面角A﹣BD﹣E的正切值为3，则三棱锥A﹣A1D1E外接球的表面积为35π．【考点】球的体积和表面积．【分析】如图所示，求出三棱锥A﹣A1D1E外接球的直径为，问题得以解决．【解答】解：过点E作EF∥AA1交AB于F，过F作FG⊥BD于G，连接EG，则∠EGF为二面角A﹣BD﹣E的平面角，∵tan∠EGF=3，∴=3，∵EF=AA1=3，∴FG=1，则BF==B1E，∴A1E=2，则三棱锥A﹣A1D1E外接球的直径为=，则其表面积为35π，故答案为：35π三、解答题17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且accosB﹣bccosA=3b2．（1）求的值；（2）若角C为锐角，c=，sinC=，求△ABC的面积．【考点】正弦定理．【分析】（1）根据余弦公式求出a2=4b2，根据正弦定理求出的值即可；（2）求出cosC的值，得到=以及==2，求出a，b的值，求出三角形的面积即可．【解答】解：（1）∵accosB﹣bccosA=3b2，∴﹣=3b2，∴a2﹣b2=3b2，∴a2=4b2，∴=4，∴=2；（2）若角C为锐角，sinC=，∴cosC＞0，∴cosC==，∴=，∴=①，由（1）得，==2②，联立①②得：b=，a=2，∴S=absinC=•2•=2．18．某中学是走读中学，为了让学生更有效率利用下午放学后的时间，学校在本学期第一次月考后设立了多间自习室，以便让学生在自习室自主学习、完成作业，同时每天派老师轮流值班．在本学期第二次月考后，高一某班数学老师统计了两次考试该班数学成绩优良人数和非优良人数，得到如下2×2列联表：非优良优良总计未设立自习室251540设立自习室103040总计354580（1）能否在在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为设立自习室对提高学生成绩有效；（2）设从该班第一次月考的所有学生的数学成绩中任取2个，取到优良成绩的个数为X，从该班第二次月考的所有学生的数学成绩中任取2个，取到优良成绩的个数为Y，求X与Y的期望并比较大小，请解释所得结论的实际意义．下面的临界值表供参考：P（K2≥k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828（参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d）【考点】性检验的应用；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）求出K2，与临界值比较，即可得出能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为设立自习室对提高学生成绩有效；（2）求出期望，即可得出结论．【解答】解：（1）由题意，K2==＞7.879，∴能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为设立自习室对提高学生成绩有效；（2）X的取值为0，1，2，则P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，∴E（X）=0×=．Y的取值为0，1，2，则：P（Y=0）==，P（Y=1）==，P（Y=2）==，E（Y）==．也即EX＜EY，其实际含义即表明设立自习室有效．19．如图，在四棱锥A﹣BCED中，AD⊥底面BCED，BD⊥DE，∠DBC=∠BCE═60°，BD=2CE．（1）若F是AD的中点，求证：EF∥平面ABC；（2）若AD=DE，求BE与平面ACE所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．【分析】（1）取DB中点G，连结EG、FG．证面EGF∥平面ABC，即可得EF∥平面ABC．（2）以点D为原点，建立如图所示的直角坐标系D﹣xyz，则A（0，0，），E （0，，0），B（2，0，0），C（，，0）．求出平面ACE的法向量即可【解答】证明：（1）取DB中点G，连结EG、FG．∵F是AD的中点，∴FG∥AB．∵BD=2CE，∴BG=CE．∵∠DBC=∠BCE∴E、G到直线BC的距离相等，则BG∥CB，∵EG∩FG=G∴面EGF∥平面ABC，则EF∥平面ABC．解：（2）以点D为原点，建立如图所示的直角坐标系D﹣xyz，设EC=1，则DB=2，取BC中点C，则EG∥BC，∴BC=3，∵AD=DE，则A（0，0，），E（0，，0），B（2，0，0），C（，，0）．，．设平面ACE的法向量，，令y=1，则，|cos|=．∴BE与平面ACE所成角的正弦值为：20．已知F1（﹣c，0）、F2（c、0）分别是椭圆G： +=1（0＜b＜a＜3）的左、右焦点，点P（2，）是椭圆G上一点，且|PF1|﹣|PF2|=a．（1）求椭圆G的方程；（2）设直线l与椭圆G相交于A、B两点，若⊥，其中O为坐标原点，判断O到直线l的距离是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）根据椭圆的定义，求得丨PF1丨=a=3|PF2|，根据点到直线的距离公式，即可求得c的值，则求得a的值，b2=a2﹣c2=4，即可求得椭圆方程；（2）当直线l⊥x轴，将直线x=m代入椭圆方程，求得A和B点坐标，由向量数量积的坐标运算，即可求得m的值，求得O到直线l的距离；当直线AB的斜率存在时，设直线方程，代入椭圆方程，由韦达定理及向量数量积的坐标运算，点到直线的距离公式，即可求得O到直线l的距离为定值．【解答】解：（1）由椭圆的定义可知：|PF1|+|PF2|=2a．由|PF1|﹣|PF2|=a．∴丨PF1丨=a=3|PF2|，则=3，化简得：c2﹣5c+6=0，由c＜a＜3，∴c=2，则丨PF1丨=3=a，则a=2，b2=a2﹣c2=4，∴椭圆的标准方程为：；（2）由题意可知，直线l不过原点，设A（x1，x2），B（x2，y2），①当直线l⊥x轴，直线l的方程x=m，（m≠0），且﹣2＜m＜2，则x1=m，y1=，x2=m，y2=﹣，由⊥，∴x1x2+y1y2=0，即m2﹣（4﹣）=0，解得：m=±，故直线l的方程为x=±，∴原点O到直线l的距离d=，②当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+n，则，消去y整理得：（1+2k2）x2+4knx+2n2﹣8=0，x1+x2=﹣，x1x2=，则y1y2=（kx1+n）（kx2+n）=k2x1x2+kn（x1+x2）+n2=，由⊥，∴x1x2+y1y2=0，故+=0，整理得：3n2﹣8k2﹣8=0，即3n2=8k2+8，①则原点O到直线l的距离d=，∴d2=（）2==，②将①代入②，则d2==，∴d=，综上可知：点O到直线l的距离为定值．21．已知函数f（x）=x﹣alnx，（a∈R）．（1）讨论函数f（x）在定义域内的极值点的个数；（2）设g（x）=﹣，若不等式f（x）＞g（x）对任意x∈[1，e]恒成立，求a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）先求导，再分类讨论，得到函数的单调区间，从而求出函数的极值点的个数；（2）由题意，只要求出函数f（x）min＞0即可，利用导数和函数的最值的关系，进行分类讨论，即可得到a的范围．【解答】解：（1）f（x）=x﹣alnx，（x＞0），f′（x）=1﹣=，①a≤0时，f′（x）＞0，f（x）递增，f（x）无极值；②a＞0时，令f′（x）＞0，解得：x＞a，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜a，∴f（x）在（0，a）递减，在（a，+∞）递增，f（x）有1个极小值点；（2）若不等式f（x）＞g（x）对任意x∈[1，e]恒成立，＞0在[1，e]恒成立，令h（x）=f（x）﹣g（x），即h（x）最小值则h（x）=x﹣alnx+（a∈R），∴h′（x）=1﹣﹣=，①当1+a≤0，即a≤﹣1时，在[1，e]上为增函数，f（x）min=f（1）=1+1+a＞0，解得：a＞﹣2，即﹣2＜a≤﹣1，当a＞﹣1时①当1+a≥e时，即a≥e﹣1时，f（x）在[1，e]上单调递减，∴f（x）min=f（e）=e+﹣a＞0，解得a＜，∵＞e﹣1，∴e﹣1≤a＜；②当0＜1+a≤1，即﹣1＜a≤0，f（x）在[1，e]上单调递增，∴f（x）min=f（1）=1+1+a＞0，解得a＞﹣2，故﹣2＜a＜﹣1；③当1＜1+a＜e，即0＜a＜e﹣1时，f（x）min=f（1+a），∵0＜ln（1+a）＜1，∴0＜aln（1+a）＜a，∴f（1+a）=a+2﹣aln（1+a）＞2，此时f（1+a）＞0成立，综上，﹣2＜a＜时，不等式f（x）＞g（x）对任意x∈[1，e]恒成立．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，设直线l的参数方程为（t为参数）．（1）求曲线C的直角坐标方程与直线l的普通方程；（2）设曲线C与直线l相交于P，Q两点，以PQ为一条边作曲线C的内接矩形，求该矩形的面积．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）对于曲线C：由ρ=4cosθ可得ρ2=4ρcosθ，坐标化即可，对于l，消去t整理可得；（2）由（1）可知圆和半径，可得弦心距，进而可得弦长，可得面积．【解答】解：（1）对于曲线C：由ρ=4cosθ，得ρ2=4ρcosθ，∴x2+y2=4x．对于l：由（t为参数），消去t可得，化为一般式可得；（2）由（1）可知C为圆，且圆心为（2，0），半径为2，∴弦心距，∴弦长，∴以PQ为边的圆C的内接矩形面积[选修4-5：不等式选讲]23．设实数x，y满足x+=1．（1）若|7﹣y|＜2x+3，求x的取值范围；（2）若x＞0，y＞0，求证：≥xy．【考点】不等式的证明；绝对值不等式的解法．【分析】（1）根据题意，由x+=1，则y=4﹣4x，则|7﹣y|＜2x+3，可得|4x+3|＜2x+3，解可得x的范围，即可得答案；（2）根据题意，由基本不等式可得1=x+≥2=，即≤1，用作差法分析可得﹣xy=（1﹣），结合的范围，可得﹣xy≥0，即可得证明．【解答】解：（1）根据题意，若x+=1，则4x+y=4，即y=4﹣4x，则由|7﹣y|＜2x+3，可得|4x+3|＜2x+3，即﹣（2x+3）＜4x+3＜2x+3，解可得﹣1＜x＜0；（2）证明：x＞0，y＞0，1=x+≥2=，即≤1，﹣xy=（1﹣），又由0＜≤1，则﹣xy=（1﹣）≥0，即≥xy．3月30日。

2020年广西南宁市、玉林市高考数学一模试卷（理科）一、单选题（本大题共24小题，共120.0分）1.复数z=i1−2i=()A. 25+i5B. −25+i5C. 15+2i5D. 15−2i52.已知全集U=R，集合A={x|x2≤4}，那么∁U A=()A. (−∞,−2)B. (2,+∞)C. (−2,2)D. (−∞,−2)∪(2,+∞)3.已知圆x2+y2+2x−4y−8=0的圆心在直线3x+y−a=0，则实数a的值为()A. −1B. 1C. 3D. −34.若等差数列{a n}前9项的和等于前4项的和，a1=1，则a4=()A. −12B. 32C. 12D. 25.如图，某几何体的正视图(主视图)，侧视图(左视图)和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体体积为()A. 4√3B. 4C. 2√3D. 26.已知sinα=23，α为第二象限角，则cos(π2−2α)=()A. −4√59B. −19C. 19D. 4√597.已知向量a⃗，b⃗ 满足(a⃗+2b⃗ )⋅(a⃗−b⃗ )=−6，|b⃗ |=2，且a⃗与b⃗ 的夹角为π3，则|a⃗|= ()A. 2B. 1C. √2D. √38.如果从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组三角形三条边的边长有概率为()A. 310B. 15C. 110D. 1209.已知F1，F2是双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两个焦点，P是C上一点，满足|PF1|+|PF2|=6a，且∠F1PF2=π3，则C的离心率为()A. √2B. √5C. 2D. √310.函数f(x)=e x|lnx|−2的零点个数为()A. 1B. 2C. 3D. 411.已知函数f(x)=√3sin(ωx+φ)−cos(ωx+φ)(0<φ<π,ω>0)为偶函数，且y=f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为π2，则f(π6)的值为()A. −1B. 1C. √3．D. √212.设函数f′(x)是奇函数y=f(x)(x∈R)的导函数，f(−1)=0，当x>0时，xf′(x)+f(x)>0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是()A. (−∞,−1)∪(0,1)B. (0,1)∪(1,+∞)C. (−∞,−1)∪(−1,0)D. (−1,0)∪(1,+∞)13.已知集合A={x|x−1>0}，B={x|−1≤x≤2}，则A∪B=()A. (1,+∞)B. [−1,+∞)C. [−1,1]D. [−1,2]14.设(1−i)x=1+yi，其中x，y是实数，则x+yi在复平面内所对应的点位于()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限15.已知实数x，y满足{x≥1x−y+1≥02x−y−2≤0，则t=2x+y的最小值是()A. 1B. 2C. 4D. 1016.已知α∈(0,π)，cos(α+π6)=35，则sinα的值为()A. 4√3−310B. 3√3−410C. 710D. 2√3517.PM2.5是空气质量的一个重要指标，我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35μg/m3以下空气质量为一级，在35μg/m3～75μg/m3之间空气质量为二级，在75μg/m3以上空气质量为超标．如图是某市2019年12月1日到10日PM2.5日均值(单位：μg/m3)的统计数据．若从这10天中随机抽取3天进行进一步的空气质量数据分析，则空气质量为一级的恰好抽取了2天的概率为()A. 310B. 35C. 25D. 13018. 设a 为正实数，函数f(x)=x 3−3ax 2+2a 2，若∀x ∈(a,2a)，f(x)<0，则a 的取值范围是( )A. [1,+∞)B. (0,+∞)C. (0,1)D. (0,23)19. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 2且斜率为√3的直线与双曲线在第一象限的交点为A.线段F 1A 的中点为D ，若F 2D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则此双曲线的离心率为( )A. √3B. 32C. √3+12D. √3+120. 如图，四棱锥S −ABCD 中，SD ⊥平面ABCD ，AB//CD ，AD ⊥CD ，SD =CD ，AB =AD ，CD =2AD ，M 是BC 中点，N 是线段SA 上的点，设MN 与平面SAD 所成角为α，则sinα的最大值为( )A. 3√57 B. 3√37 C. 2√57 D. 2√3721. 过曲线y =e x −x 外一点(e,−e)作该曲线的切线l ，则l 在y 轴上的截距为( )A. −e eB. −e e+2C. −e e+1D. e e+222. 已知抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，准线为l ，l 与x 轴的焦点为P ，点A 在抛物线C 上，过点A 作AA′⊥l ，垂足为A′，若cos∠FAA′=35，则四边形AA′PF 的面积为( )A. 8B. 10C. 14D. 2823. 已知定义域为R 的奇函数f(x)的导函数为f′(x)，当x >0时，xf′(x)>f(x).若a =f(−log 23)−log 23，b =f(log 46)log 46，c =f(sin π8)sin π8，则a ，b ，c 的大小关系为( )A. a<b<cB. c<a<bC. c<b<aD. b<c<a24.已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)−1(ω>0,|φ|<π)的一个零点是x=π4，当x=π3时函数f(x)取最大值，则当ω取最小值时，函数f(x)在[−π12,π12]上的最大值为()A. −2B. √32C. −32D. 0二、单空题（本大题共8小题，共40.0分）25.已知实数x，y满足约束条件{y≤2xx+y≤1,y≥−1则z=x+2y的最小值为______26.若函数f(x)=ax+lnx在点(1,a)处的切线平行于x轴，则f(x)的最大值为______．27.在直三棱柱ABC−A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC=CC1，则异面直线BC1与AB1所成角的余弦值为______．28.在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60°，则sinC=______．29.在平面上，e1⃗⃗⃗ 、e2⃗⃗⃗ 是方向相反的单位向量，若向量b⃗ 满足(b⃗ −e1⃗⃗⃗ )⊥(b⃗ −e2⃗⃗⃗ )，则|b⃗ |的值______．30.设a，b，c分别为三角形ABC的内角A，B，C的对边，已知三角形ABC的面积等于√34(b2+c2−a2)，则内角A的大小为______．31.已知某几何体是一个平面将一正方体截去一部分后所得，该几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为______．32.关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验，受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请240名同学，每人随机写下两个都小于1的正实数x，y组成的实数对(x,y)，再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对(x,y)的个数m；最后再根据计数m来估计π的值．假设统计结果是m=68，那么可以估计π的近似值为______.(用分数表示)三、解答题（本大题共14小题，共164.0分）33.根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.4，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.2.设各车主购买保险相互独立．(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；(2)求该地3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率．34.已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，S n=a n+1．(l)求数列{a n}的通项公式；(2)若b n=n，求数列{b n}的前n项和为T n．S n35.如图，在四棱锥P−ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=2，DC=BC=1，AB=2，AB//DC，∠BCD=90°．(I)求证：AD⊥PB；(2)求A点到平面BPC的距离．36.已知函数f(x)=ae x−x，(1)求f(x)的单调区间，(2)若关于x不等式ae x≥x+b对任意x∈R和正数b恒成立，求b的最小值．a37.已知F(0,1)为平面上一点，H为直线l：y=−1上任意一点，过点H作直线l的垂线m，设线段FH的中垂线与直线m交于点P，记点P的轨迹为Γ．(1)求轨迹Γ的方程；(2)过点F作互相垂直的直线AB与CD，其中直线AB与轨迹Γ交千点A、B，直线CD与轨迹Γ交于点C、D，设点M，N分别是AB和CD的中点．①问直线MN是否恒过定点，如果经过定点，求出该定点，否则说明理由；②求△FMN的面积的最小值．38.在直角坐标系xOy中，直线C1：x=−2以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，C2极坐标方程为：ρ2−2ρcosθ−4ρsinθ+4=0．(1)求C1的极坐标方程和C2的普通方程；(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，又C1：x=−2(2)若直线C3的极坐标方程为θ=π4与x轴交点为H，求△HMN的面积．39.已知函数f(x)=|x−a|−|x−5|．(1)当a=2时，求证：−3≤f(x)≤3；(2)若关于x的不等式f(x)≤x2−8x+20在R恒成立，求实数a的取值范围．40.水稻是人类重要的粮食作物之一，耕种与食用的历史都相当悠久，日前我国南方农户在播种水稻时一般有直播、撒酒两种方式．为比较在两种不同的播种方式下水稻产量的区别，某市红旗农场于2019年选取了200块农田，分成两组，每组100块，进行试验．其中第一组采用直播的方式进行播种，第二组采用撒播的方式进行播种．得到数据如表：约定亩产超过900斤(含900斤)为“产量高”，否则为“产量低”(1)请根据以上统计数据估计100块直播农田的平均产量(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)(2)请根据以上统计数据填写下面的2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为“产量高”与“播种方式”有关？：附K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)41.已知数列{a n}满足a1=4，a n+1=2a n+3×2n+1．}为等差数列，并求数列{a n}的通项公式；(1)证明：数列{a n2n(2)设b n=6×4n，求数列{b n}的前n项和T n．a n a n+142.如图所示，在四棱柱ABCD=A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AD⊥AB，AB//CD，AB=2AD=2AA1=4．(1)证明：A1D⊥平面ABC1D1；(2)若DC=1，求二面角B1−BC1−A的正弦值．43.已知椭圆C：x24+y2b2=1(0<b<2)的离心率为12，F为椭圆的右焦点，PQ为过椭圆中心O的弦．(1)求△PQF面积的最大值；(2)动直线与椭圆交于A、B两点，证明：在第一象限内存在定点M，使得当直线AM与直线BM的斜率均存在时，其斜率之和是与t无关的常数，并求出所有满足条件的定点M的坐标．44.已知函数f(x)=x2−8x+alnx(a∈R)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)已知函数f(x)的两个极值点x1，x2(x1<x2,x≠1)，若m≤1，①证明：0<x1<2；②证明：alnx11−x1>(m−2)(4+3x1−x12).45.在平面直角坐标系xOy中，直线l1的倾斜角为30°，且经过点A(2,1).以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l2：ρcosθ=3，从原点O作射线交l2于点M，点N为射线OM上的点，满足|OM|⋅|ON|=12，记点N的轨迹为曲线C．(1)①设动点P∈l1，记e⃗是直线l1的向上方向的单位方向向量，且AP⃗⃗⃗⃗⃗ =t e⃗，以t为参数求直线l1的参数方程②求曲线C的极坐标方程并化为直角坐标方程；(2)设直线l1与曲线C交于P，Q两点，求1|AP|+1|AQ|的值46.已知函数f(x)=|x+2|+|x−1|．(1)求不等式f(x)≥x+8的解集；(2)记函数y=f(x)的最小值为k，若a，b，c是正实数，且3ka +32kb+1kc=1，求证a+2b+3c≥9．答案和解析1.【答案】B【解析】解：z=i1−2i =i(1+2i)(1−2i)(1+2i)=−25+15i，故选：B．直接利用复数代数形式的乘除运算化简．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．2.【答案】D【解析】解：∵全集U=R，集合A={x|x2≤4}={x|−2≤x≤2}，∴∁U A={x|x<2或x>2}=(−∞,−2)∪(2,+∞)．故选：D．先求出集合A，由此能求出∁U A.本题考查补集的求法，考查补集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.【答案】A【解析】解：根据题意，圆x2+y2+2x−4y−8=0的圆心为(−1,2)，若圆x2+y2+2x−4y−8=0的圆心在直线3x+y−a=0上，则有3×(−1)+2−a=0，解可得：a=−1；故选：A．根据题意，求出圆的圆心坐标，将其代入直线的方程可得3×(−1)+2−a=0，解可得a的值，即可得答案．本题考查圆的一般方程与直线的方程，注意求出圆的圆心坐标，属于基础题．4.【答案】C【解析】【分析】利用等差数列的通项公式求和公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．【解答】解：由题意可得：S9=S4，∴9×1+36d=4×1+6d，解得d=−16．∴a4=1−3×16=12．故选：C．5.【答案】C【解析】解：由已知中该几何中的三视图中有两个三角形一个菱形可得这个几何体是一个四棱锥由图可知，底面两条对角线的长分别为2√3，2，底面边长为2故底面菱形的面积为12×2√3×2=2√3侧棱为2√3，则棱锥的高ℎ=√(2√3)2−√32=3故V=13⋅3⋅2√3=2√3故选：C．根据已知中的三视图及相关视图边的长度，我们易判断出该几何体的形状及底面积和高的值，代入棱锥体积公式即可求出答案．本题考查的知识点是由三视图求面积、体积其中根据已知求出满足条件的几何体的形状及底面面积和棱锥的高是解答本题的关键．6.【答案】A【解析】解：∵sinα=23，α为第二象限角，∴cosα=−√1−sin2α=−√53，∴cos(π2−2α)=sin2α=2sinαcosα=2×23×(−√53)=−4√59．故选：A．由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosα的值，进而利用诱导公式，二倍角的正弦函数公式即可求解．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，诱导公式，二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：因为向量a⃗，b⃗ 满足(a⃗+2b⃗ )⋅(a⃗−b⃗ )=−6，|b⃗ |=2，且a⃗与b⃗ 的夹角为π3，∴(a⃗+2b⃗ )⋅(a⃗−b⃗ )=a⃗2+a⃗⋅b⃗ −2b⃗ 2=|a⃗|2+|a⃗|⋅|b⃗ |⋅cosπ3−2|b⃗ |2=−6⇒|a⃗|2+|a⃗|−2=0⇒|a⃗|=1(负值舍)故选：B．直接根据数量积的展开式结合已知条件，即可求解结论．本题主要考查平面向量数量积的应用以及模长的计算，属于基础题目．8.【答案】A【解析】解：从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，基本事件总数n=C53=10，这3个数构成一组三角形三条边的边长包含的基本事件有：{2,3,4}，{2,4,5}，{3,4,5}，共3个，∴这3个数构成一组三角形三条边的边长的概率p=310．故选：A．基本事件总数n=C53=10，利用列举法求出这3个数构成一组三角形三条边的边长包含的基本事件有3个，由此能求出这3个数构成一组三角形三条边的边长的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9.【答案】D【解析】解：由双曲线的对称性设P在第一象限，因为|PF1|+|PF2|=6a，由双曲线的定义可得|PF1|=2a+|PF2|，所以|PF2|=2a，|PF1|=4a，因为∠F1PF2=π3，在三角形PF1F2中，由余弦定理可得cos∠F1PF2=|PF1|2+|PF2|2−|F1F2|22|PF1||PF2|，即12=16a2+4a2−4c22⋅2a⋅4a，整理可得：3a2=c2，可得e=√3，故选：D．由双曲线的定义及|PF1|+|PF2|=6a可得|PF1|，|PF2|的值，在三角形PF1F2中由余弦定理可得a，c的关系求出离心率．本题考查双曲线的性质，及余弦定理的应用，属于中档题．10.【答案】B【解析】解：函数f(x)=e x|lnx|−2的零点可以转化为：|lnx|=2e x的零点；在坐标系中画出两个函数的图象，根据图象可得有两个交点；故原函数有两个零点．故选：B．把零点个数问题可化为两个函数的交点，作函数的图象求解即可．本题考查了方程的根与函数的图象的应用，属于基础题．11.【答案】B【解析】解：f(x)=√3sin(ωx+φ)−cos(ωx+φ)=2sin(ωx+φ−π6)，∵f(x)是偶函数，∴φ−π6=kπ+π2，k∈Z，得φ=kπ+2π3，∵0<φ<π，∴当k=0时，φ=2π3，即f(x)=2sin(ωx+2π3−π6)=2sin(ωx+π2)=2cosωx，∵y=f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为π2，∴T2=π2，即T=π，即2πω=π，得ω=2，则f(x)=2cos2x，则f(π6)=2cos(2×π6)=2cosπ3=2×12=1，故选：B．利用辅助角公式进行化简，结合f(x)是偶函数，求出φ的值，利用f(x)的对称轴之间的距离求出函数的周期和ω，代入进行求值即可．本题主要考查三角函数值的计算，利用辅助角公式，结合三角函数的性质求出函数的解析式是解决本题的关键．难度不大．12.【答案】D【解析】解：设g(x)=xf(x)，则g(x)的导数为：g′(x)=f(x)+xf′(x)∵当x>0时，xf′(x)+f(x)>0，即当x>0时，g′(x)恒大于0，∴当x>0时，函数g(x)为增函数，∵f(x)为奇函数∴函数g(x)为定义域上的偶函数又∵g(−1)=−1×f(−1)=0，∵f(x)>0，∴当x>0时，g(x)>0，当x<0时，g(x)<0，∴当x>0时，g(x)>0=g(1)，当x<0时，g(x)<0=g(−1)，∴x>1或−1<x<0故使得f(x)>0成立的x的取值范围是(−1,0)∪(1,+∞)，故选：D．由已知当x>0时总有xf′(x)+f(x)>0成立，可判断函数g(x)为增函数，由已知f(x)是定义在R上的奇函数，可证明g(x)为(−∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数，根据函数g(x)在(0,+∞)上的单调性和奇偶性，而不等式f(x)>0等价于xg(x)>0，分类讨论即可求出本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的奇偶性和单调性解不等式，属于综合题．13.【答案】B【解析】解：∵A={x|x>1}，B={x|−1≤x≤2}，∴A∪B=[−1,+∞)．故选：B．可以求出集合A，然后进行并集的运算即可．本题考查了描述法、区间的定义，并集的运算，考查了计算能力，属于基础题．14.【答案】D【解析】解：由(1−i)x=1+yi，即x−xi=1+yi，则x=1，y=−1．∴x+yi在复平面内所对应的点的坐标为：(1,−1)，位于第四象限．故选：D．直接利用复数复数相等的条件求出x，y的值，进一步求出x+yi在复平面内所对应的点的坐标得答案．本题考查了复数相等的条件，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．15.【答案】B【解析】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由t=2x+y得：y=−2x+t，由图象得：y=−2x+t过(1,0)时，t最小，t最小值=2，故选：B．先画出满足条件的平面区域，有t=2x+y得到y=−2x+t，通过平移直线发现直线过(1,0)时，t最小，代入求出t的最小值即可．本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道基础题．16.【答案】A【解析】解：∵α∈(0,π)，cos(α+π6)=35，∴sin(α+π6)=45，∴sinα=sin[(α+π6)−π6]=45×√32−12×35=4√3−310．故选：A．由已知结合同角平方关系可求sin(α+π6)，然后由sinα=sin[(α+π6)−π6]，利用两角差的正弦公式展开可求．本题主要考查了两角差的三角公式的简单应用，属于基础试题．17.【答案】A【解析】解：由某市2019年12月1日到10日PM2.5日均值(单位：μg/m3)的统计数据折线图得：这10天中空气质量为一级的天数为4天，从这10天中随机抽取3天进行进一步的空气质量数据分析，基本事件总数n=C103=120，空气质量为一级的恰好抽取了2天包含的基本事件个数m=C61C42=36，则空气质量为一级的恰好抽取了2天的概率p=mn =36120=310．故选：A．这10天中空气质量为一级的天数为4天，从这10天中随机抽取3天进行进一步的空气质量数据分析，基本事件总数n=C103=120，空气质量为一级的恰好抽取了2天包含的基本事件个数m=C61C42=36，由此能求出空气质量为一级的恰好抽取了2天的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18.【答案】A【解析】解：因为f′(x)=3x2−6ax=3x(x−2a)，因为a<x<2a时，f′(x)<0，故f(x)在(a,2a)上单调递减，因为∀x∈(a,2a)，f(x)<0，所以f(a)=−2a3+2a2≤0，故a≥1．故选：A．先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系可求函数的单调性，然后转化f(a)≤0，代入即可求解．本题主要考查了不等式的恒成立求解参数范围，导数的应用是求解问题的关键．19.【答案】C【解析】解：斜率为√3的直线l，其倾斜角为60°，过F2且斜率为√3的直线与双曲线在第一象限的交点为A，线段F1A的中点为D，若F2D⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F1A⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，△PF1F2是等腰三角形，即有|PF2|=|F1F2|=2c，则有P(c+2ccos60°,2csin60°)，即为P(2c,√3c)，代入双曲线方程双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)，即有4c 2a 2−3c 2b 2=1，由离心率公式e =ca ，b 2=c 2−a 2， 即有4e 2−3e 2e 2−1=1，化简可得4e 4−8e 2+1=0， 解得：e 2=1±√32，由e >1，解得e =1+√32．故选：C ．由题意可得直线的倾斜角为60°，过F 2且斜率为√3的直线与双曲线在第一象限的交点为A.线段F 1A 的中点为D ，若F 2D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 1A⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则三角形是等腰三角形，可得P(c +2ccos60°,2csin60°)，即为P(2c,√3c)，代入双曲线方程，由离心率公式和a ，b ，c 的关系，得到e 的方程，解方程即可得到e ．本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的离心率的求法，运用直线的倾斜角和等腰三角形的定义，结合任意角的三角函数的定义，求出P 的坐标是解题的关键．20.【答案】A【解析】解：如图所示，作ME ⊥AD ，垂足为E ， ∵SD ⊥平面ABCD ，SD ⊂平面SAD ， ∴平面SAD ⊥平面ABCD ， 又AD ⊥CD ，∴CD ⊥平面SAD ． ∵ME//CD ， ∴ME ⊥平面SAD ．连接NE ，则∠MNE 是MN 与平面SAD 所成角为α， 作EF ⊥SA ，连接MF ， 此时∠MFE 取得最大值． 不妨设AB ，则CD =4，可得ME =2+42=3，EF =AEsin∠SAD =1×4√22+42=2√5．则sinα=EMFM =3√(2√5)2+32=3√57．故选：A ．如图所示，作ME⊥AD，垂足为E，根据SD⊥平面ABCD，可得平面SAD⊥平面ABCD，可得CD⊥平面SAD.可得：ME⊥平面SAD.连接NE，则∠MNE是MN与平面SAD所成角为α，作EF⊥SA，连接MF，可得∠MFE取得最大值．进而得出．本题考查了线面面面垂直的判定与性质定理、直角三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.【答案】B【解析】解：设切线l在曲线y=e x−x上的切点为(x0,y0)，=e x0−1，由y=e x−x，得y′=e x−1，则切线l的斜率k=y′|x=x∴切线l的方程为y−y0=(e x0−1)(x−x0)，∵l为曲线y=e x−x外一点(e,−e)的切线方程，∴y0=e x0−x0①，−e−y0=(e x0−1)(e−x0)②，∴由①②，得x0=e+1，y0=e e+1−(e+1)，∴l在y轴上的截距y0+(e x0−1)(−x0)=−e e+2．故选：B．设切线l在曲线y=e x−x上的切点为(x0,y0)，然后根据条件求出切线l的方程，再由l为曲线y=e x−x外一点(e,−e)的切线方程，建立关于x0和y0的方程，进一步求出l在y轴上的截距．本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查了方程思想，属中档题．22.【答案】C【解析】解：由条件得，p=2，过点F作FF′⊥AA′，垂足为F′.设|AF′|=3x，∵cos∠FAA′=3，∴|AF|=5x，|F′F|=4x．5由抛物线定义可得：|AF|=|AA′|=5x．则|A′F′|=|PF|=5x−3x=2x=p=2，解得x=1.则|AF′|=3x=3，|AF|=|AA′|=5x=5，|F′F|=4x=4．∴四边形AA′PF的面积S=(|PF|+|AA′|)⋅|PA′|=2(2+5)×42=14．故选：C．过点F作FF′⊥AA′，垂足为F′.设|AF′|=3x，根据cos∠FAA′=35，可得|AF|=5x，|F′F|= 4x.由抛物线定义可得：|AF|=|AA′|=5x.|A′F′|=2x=p，解得x.利用四边形AA′PF的面积S=(|PF|+|AA′|)⋅|PA′|2即可得出．本题主要考查了抛物线的定义标准方程及其性质、四边形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．23.【答案】C【解析】【分析】本题考查利用导数研究函数的单调性，构造函数g(x)=f(x)x(x≠0)并分析其奇偶性与单调性是解决问题的关键，考查逻辑推理与运算能力，属于中档题．依题意，可构造函数g(x)=f(x)x(x≠0)，分析得g(x)为偶函数且在(0,+∞)上单调递增，从而可得答案．【解答】解：令g(x)=f(x)x(x≠0)，由于f(x)为R上的奇函数，所以g(−x)=f(−x)−x =−f(x)−x=f(x)x=g(x)，所以g(x)=f(x)x(x≠0)为定义域上的偶函数，又当x>0时，xf′(x)>f(x)，所以，当x>0时，g′(x)=xf′(x)−f(x)x2>0，所以，偶函数g(x)在(0,+∞)上单调递增；又0<sinπ8<1<log46<log49=log23,所以即c<b<a，故选：C．24.【答案】D【解析】解：∵f(π4)=2cos(ωπ4+φ)−1=0，∴cos(ωπ4+φ)=12，∴ωπ4+φ=2kπ±π3，k∈Z，①∵f(π3)=2cos(ωπ3+φ)−1=1，∴cos(ωπ3+φ)=1，∴ωπ3+φ=2mπ，m∈Z，②由①②可得φ=8kπ−6mπ±4π3，由于|φ|<π，可取k=1，m=1，解得φ=2π3(10π3舍去)，则ω=6m−2，m∈Z，可得正数ω的最小值为4，即有f(x)=2cos(4x+2π3)−1，由x∈[−π12,π12]，可得4x+2π3∈[π3,π]，可得f(x)在[−π12,π12]上递减，则f(x)的最大值为f(−π12)=2cosπ3−1=2×12−1=0，故选：D．由题意可得f(π4)=0，f(π3)=1，可得ω，φ的方程组，解得φ，得到ω的关系式，求得最小值，可得f(x)的解析式，由余弦函数的单调性可得所求最大值．本题考查了y=Acos(ωx+φ)的图象与性质的应用问题，主要是零点和单调性的应用，考查运算能力，是中档题．25.【答案】−52【解析】解：作出实数x，y满足约束条件{y≤2xx+y≤1,y≥−1对应的平面区域如图：由z=x+2y得y=−12x+12z，平移直线y=−12x+12z，由图象可知当直线y=−12x+12z经过点A(−12,−1)时，直线的截距最小，此时z最小．即z=−12+2×(−1)=−52，故答案为：−52．画出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，件即可求出z的最小值．本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，结合数形结合是解决本题的关键．26.【答案】−1【解析】【分析】本题考查导数的几何意义和利用导数研究函数的最值．求切线时，抓住切点满足的两个条件列方程是关键．属于基础题．先利用切点处切线与x轴平行，求出a的值，然后利用导数研究函数的单调性，求出最大值．【解答】解：f′(x)=a+1x，∴f′(1)=a+1=0，∴a=−1．∴f(x)=lnx−x，(x>0)∵f′(x)=1x −1=1−xx，易知，x∈(0,1)时，f′(x)>0，f(x)递增；x∈(1,+∞)时，f′(x)<0，f(x)递减．∴f(x)max=f(1)=−1．故答案为：−1．27.【答案】0【解析】解：如图：因为直棱柱ABC−A1B1C1，所以侧面BCC1B1⊥底面ABC于BC，又AC⊥BC，∴AC⊥平面BCC1B1，∴AC⊥BC1．又BC=CC1，∴四边形BCC1B1是正方形，故BC 1⊥B1C，结合AC∩B1C=C，故BC 1⊥平面AB1C，而AB1⊂平面AB1C，所以BC1⊥AB1．异面直线BC1与AB1所成角为π2，余弦值为0．故答案为：0．易证，AC⊥平面BCC1，所以AC⊥BC1，再结合BC=CC1得正方形BCC1B1，则BC1⊥B1C，证得BC1⊥平面ACB1，则问题可解．本题考查空间角的计算问题，要注意空间线线、线面、面面之间平行关系之间、垂直关系之间、平行与垂直关系间的转化．属于中档题．28.【答案】√217【解析】解：∵AB=2，AC=3，A=60°，∴由余弦定理可得：BC2=AB2+AC2−2AB⋅ACcosA=4+9−2×2×3×12=7，∵BC>0，∴BC=√7．∴由正弦定理ABsinC =BCsinA，可得sinC=AB⋅sinABC=2×√32√7=√217．故答案为：√217．由已知利用余弦定理可求BC的值，进而利用正弦定理可求sinC的值．本题考查余弦定理、正弦定理的在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．29.【答案】1【解析】解：∵e1⃗⃗⃗ 、e2⃗⃗⃗ 是方向相反的单位向量，向量b⃗ 满足(b⃗ −e1⃗⃗⃗ )⊥(b⃗ −e2⃗⃗⃗ )，∴(b⃗ −e1⃗⃗⃗ )⋅(b⃗ −e2⃗⃗⃗ )=b⃗ 2−b⃗ (e1⃗⃗⃗ +e2⃗⃗⃗ )+e1⃗⃗⃗ ⋅e2⃗⃗⃗=b⃗ 2−1=0，∴|b⃗ |=1．故答案为：1．利用向量垂直的性质直接求解．本题考查向量的模的求法，考查向量垂直的性质等基础知识，考查运算能力，是基础题．30.【答案】13π【解析】解：因为S=√34(b2+c2−a2)=√34×2bccosA=12bcsinA，所以√3cosA=sinA即tanA=√3，故A=13π．故答案为：13π由已知结合三角形的面积公式及余弦定理可求tanA，进而可求A．本题主要考查了余弦定理及三角形的面积公式在求解三角形中的赢，属于基础试题．31.【答案】203【解析】解：由三视图还原出原几何体如图所示，该几何体是边长为2的正方体截去三棱锥F−BGE，则该几何体的体积为V=V正方体−V三棱锥=23−13×12×2×2×2=203．故答案为：203．由三视图还原出几何体的图形，结合图形求出该几何体的体积．本题考查了由三视图求几何体体积的应用问题，关键是由三视图还原出几何体，是基础题．32.【答案】4715【解析】解：由题意，240对都小于l的正实数对(x,y)，对应区域的面积为1，两个数能与1构成钝角三角形三边的数对(x,y)，满足x2+y2<1且x，y都小于1，x+y>1，面积为π4−12，因为统计两数能与l构成钝角三角形三边的数对(x,y)的个数m=68，所以68240=π4−12，所以π=4715．故答案为：4715．由试验结果知200对0～1之间的均匀随机数x，y，对应区域的面积为1，两个数能与1构成钝角三角形三边的数对(x,y)，满足x2+y2<1且x，y都小于1，x+y>1，面积为π4−12，由几何概型概率计算公式，得出所取的点在圆内的概率是圆的面积比正方形的面积，二者相等即可估计π的值．本题考查了随机模拟法求圆周率的问题，也考查了几何概率的应用问题，考查运算求解能力，是基础题．33.【答案】解：(1)记A表示事件：该地的1位车主购买甲种保险，则P(A)=0.4，设B表示事件：该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险，则P(B)=0.2，设事件C表示事件：该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种，则该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率为：P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)=0.4+0.2=0.6．(2)设事件D表示：该地1位车主甲、乙两种保险都不购买，则D=C−，∴P(D)=1−P(C)=1−0.6=0.4，设E表示：该地3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买，则该地3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率：P(E)=C31×0.4×0．62=0.432．【解析】(1)记A表示事件：该地的1位车主购买甲种保险，则P(A)=0.4，设B表示事件：该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险，则P(B)=0.2，设事件C表示事件：该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种，则该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率为：P(C)=P(A +B)=P(A)+P(B)，由此能求出结果．(2)设事件D 表示：该地1位车主甲、乙两种保险都不购买，则D =C −，求出P(D)=1−P(C)=1−0.6=0.4，由此利用n 次试验中事件A 恰好发生k 次的概率公式能求出该地3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率．本题考查概率的求法，考查互斥事件概率加法公式、n 次试验中事件A 恰好发生k 次的概率公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．34.【答案】解：(1)，a 1=1，S n =a n+1=S n+1−S n ，∴S n+1=2S n ，∴数列{S n }是以1为首项，以2为公比的等比数列， ∴S n =1×2n−1=2n−1， ∴a n =S n −S n−1=2n−2，n ≥2， ∴a n ={1,n =12n−2,n ≥2，(2)b n =n S n =n ⋅(12)n−1，∴T n =(12)0+2⋅(12)1+3⋅(12)2+⋯+n ⋅(12)n−1，①， 由①×12可得，12T n=(12)1+2⋅(12)2+3⋅(12)3+⋯+n ⋅(12)n ，②， 由①−②可得12T n =1+(12)1+(12)2+(12)3+⋯+(12)n−1−n ⋅(12)n=1−12n 1−12−n ⋅(12)n =2−2×(12)n −n ⋅(12)n =2−(n +2)⋅(12)n ， ∴T n =4−n+22n−1．【解析】(1)根据数列的递推公式即可求出数列的通项公式， (2)利用错位相减法即可求出数列{b n }的前n 项和为T n ． 本题考查数列递推式，训练了错位相减法求数列的和，是中档题．35.【答案】解：(1)如图所示：，在四边形ABCD 中，连接BD ，由DC =BC =1，AB =2，∠BCD=∠ABC=π2，在△ABD中，BD=AD=√2，又AB=2，因此AD⊥BD，又PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AD，又BD∩PD=D，∴AD⊥平面PBD，∴AD⊥PB；(2)在四棱锥P−ABCD中，∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BC，而BC⊥DC，∴BC⊥平面PDC，∴BC⊥PC，∴S△BPC=12×BC×PC=√52，而S△ABC=12×AB×BC=1，，设点A到平面PBC的距离为ℎ，由V A−BPC=V P−ABC可得：13×S△BPC×ℎ=13×S△ABC×PD，∴ℎ=√52=4√55，即点A到平面PBC的距离为4√55．【解析】(1)利用勾股定理证得AD⊥BD，又PD⊥平面ABCD，所以PD⊥AD，从而由线面垂直的判定定理得到AD⊥平面PBD，所以AD⊥PB；(2)易证BC⊥PC，所以可求出S△BPC和S△ABC，再由V A−BPC=V P−ABC利用等体积法即可求出点A到平面PBC的距离．本题主要考查了线线垂直的证明，以及等体积法求点到平面的距离，是基础题．36.【答案】解：(1)f′(x)=ae x−1，当a≤0时，f′(x)<0，f(x)在R上单调递减，若a>0时，令f′(x)=ae x−1=0，x=−lna，在x>−lna时，f′(x)>0，f(x)为增函数，在x<−lna时，f′(x)<0，f(x)为减函数．(2)f(x)=ae x−x，由题意f(x)min≥b，由(1)可知，当a≤0时，f(x)在R上单调递减，无最小值，不符合题意，当a>0时，f(x)min=f(−lna)=1+lna≥b，∴a b≥a 1+lna，设ℎ(a)=a1+lna ，则ℎ′(a)=lna(1+lna)2，a ∈(0,1]，ℎ′(a)<0；a ∈[1,+∞)，ℎ′(a)≥0， ∴ℎ(a)min =ℎ(1)=1．【解析】(1)先求导，再分类讨论，根据导数和函数单调性的关系即可求出； (2)先根据(1)利用导数和函数最值的关系求出f(x)min =f(−lna)=1+lna ≥b ，可得ab≥a 1+lna ，设ℎ(a)=a1+lna ，利用导数求出函数的最小值即可． 本题考查了导数和函数单调性的关系以及和最值的关系，考查了函数恒成立的问题，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．37.【答案】解：设P 的坐标(x,y)由题意可得|PF|=|PH|，所以√x 2+(y −1)2=|y +1|， 整理可得x 2=4y ，所以轨迹Γ的方程：x 2=4y ；(2)由题意可得直线AB ，CD 的斜率均存在，设直线AB 的方程：y =kx +1，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，直线与抛物线联立{y =kx +1x 2=4y ，整理可得：x 2−4kx −4=0，x 1+x 2=4k ，y 1+y 2=k(x 1+x 2)+2=4k 2+2， 所以AB 的中点M(2k,2k 2+1)， 同理可得N(−2k ,2k 2+1)， 所以直线MN 的斜率为2k 2+1−(2k 2+1)2k+2k=k −1k ，所以直线MN 的方程为：y −(2k 2+1)=(k −1k )(x −2k)， 整理可得y =(k −1k )x +3，所以恒过定点Q(0,3)． ①所以直线恒过定点(0,3)；②从而可得S △FMN =12×|FQ|×|x M −x N |=12×2×|2k +2k |=2|k +1k |≥4， 所以△FMN 的面积的最小值为4．【解析】(1)设P 的坐标，由题意可得|PF|=|PH|，整理可得P 的轨迹方程； (2)由题意可得直线BA ，CD 的斜率都存在，设直线AB 的方程与抛物线联立求出两根之和，进而求出AB 的中点M 的坐标，同理可得N 的坐标，进而求出直线MN 的斜率，再求直线MN 的方程，可得恒过定点；因为直线MN 恒过定点，所以得S △FMN =12×|FQ|×|x M −x N |，由均值不等式可得△FMN 的面积的最小值为4．本题考查求轨迹方程及直线与抛物线的综合，及直线恒过定点的证明，均值不等式的应用，属于中档题．38.【答案】解：(1)直线C 1：x =−2，转换为极坐标方程为ρcosθ=−2．C 2极坐标方程为：ρ2−2ρcosθ−4ρsinθ+4=0，转换为直角坐标方程为(x −1)2+(y −2)2=1．(2)将θ=π4代入C 2极坐标方程为：ρ2−2ρcosθ−4ρsinθ+4=0.得到ρ2−3√2ρ+4=0，解得ρ1=2√2,ρ2=√2， 所以|MN|=|ρ1−ρ2|=√2，由于H(−2,0)到直线y =x 的距离为√2， 所以S △HNM =1．【解析】(1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． (2)利用一元二次方程根和系数关系和极径的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．39.【答案】(1)证明：当a =2时，f(x)=|x −2|−|x −5|，∴||x −2|−|x −5||≤|x −2−(x −5)|=3， ∴−3≤|x −2|−|x −5|≤3，即−3≤f(x)≤3； (2)解：f(x)=|x −a|−|x −5|，①当a ≥5时，f(x)={5−a,x ≥a−2x +a +5,5<x <a a −5,x ≤5，则f(x)max =a −5，且y =x 2−8x +20=x 2−8x +16+4=(x −4)2+4≥4，。

2020年广西南宁市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合{|10}A x x =->，{|12}B x x =- ，则(A B = )A ．(1,)+∞B ．[1-，)+∞C ．[1-，1]D ．[1-，2]2．（5分）设(1)1i x yi -=+，其中x ，y 是实数，则x yi +在复平面内所对应的点位于()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．（5分）若实数x ，y 满足110220x x y x y ⎧⎪-+⎨⎪--⎩，则2z x y =+的最小值为()A ．1B ．2C ．4D ．104．（5分）已知(0,)απ∈，3cos()65πα+=，则sin α的值为()A ．43310-B ．33410-C ．710D ．2355．（5分） 2.5PM 是空气质量的一个重要指标，我国 2.5PM 标准采用世卫组织设定的最宽限值，即 2.5PM 日均值在335/g m μ以下空气质量为一级，在3335/~75/g m g m μμ之间空气质量为二级，在375/g m μ以上空气质量为超标．如图是某市2019年12月1日到10日2.5PM 日均值（单位：3/)g m μ的统计数据．若从这10天中随机抽取3天进行进一步的空气质量数据分析，则空气质量为一级的恰好抽取了2天的概率为()A ．310B ．35C ．25D ．1306．（5分）设a 为正实数，函数322()32f x x ax a =-+，若(,2)x a a ∀∈，()0f x <，则a 的取值范围是()A ．[1，)+∞B ．(0,)+∞C ．(0,1)D ．2(0,)37．（5分）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过2F 且斜率为3的直线与双曲线在第一象限的交点为A ．线段1F A 的中点为D ，若210F D F A =，则此双曲线的离心率为()A ．3B ．32C ．312+D ．31+8．（5分）如图，四棱锥S ABCD -中，SD ⊥平面ABCD ，//AB CD ，AD CD ⊥，SD CD =，AB AD =，2CD AD =，M 是BC 中点，N 是线段SA 上的点，设MN 与平面SAD 所成角为α，则sin α的最大值为()A 35B 33C 25D 239．（5分）过曲线x y e x =-外一点(,)e e -作该曲线的切线l ，则l 在y 轴上的截距为()A ．ee -B ．2e e +-C ．1e e +-D ．2e e +10．（5分）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，l 与x 轴的焦点为P ，点A 在抛物线C 上，过点A 作AA l '⊥，垂足为A '，若3cos 5FAA '∠=，则四边形AA PF '的面积为()A ．8B ．10C ．14D ．2811．（5分）已知定义域为R 的奇函数()f x 的导函数为()f x '，当0x >时，()()xf x f x '>．若22(log 3)log 3f a -=-，44(log 6)log 6f b =，(sin )8sin 8f c ππ=，则a ，b ，c 的大小关系为()A ．a b c <<B ．c a b <<C ．c b a <<D ．b c a<<12．（5分）已知函数()2cos()1(0f x x ωϕω=+->，||)ϕπ<的一个零点是4x π=，当3x π=时函数()f x 取最大值，则当ω取最小值时，函数()f x 在[,1212ππ-上的最大值为()A ．2-B ．2C ．32-D ．0本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）在平面上，1e 、2e 是方向相反的单位向量，若向量b 满足12()()b e b e -⊥- ，则||b的值．14．（5分）设a ，b ，c 分别为三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边，已知三角形ABC 的面积等于222)b c a +-，则内角A 的大小为．15．（5分）已知某几何体是一个平面将一正方体截去一部分后所得，该几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为．16．（5分）关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验，受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请240名同学，每人随机写下两个都小于1的正实数x ，y 组成的实数对(,)x y ，再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对(,)x y 的个数m ；最后再根据计数m 来估计π的值．假设统计结果是68m =，那么可以估计π的近似值为．（用分数表示）三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）水稻是人类重要的粮食作物之一，耕种与食用的历史都相当悠久，日前我国南方农户在播种水稻时一般有直播、撒酒两种方式．为比较在两种不同的播种方式下水稻产量的区别，某市红旗农场于2019年选取了200块农田，分成两组，每组100块，进行试验．其中第一组采用直播的方式进行播种，第二组采用撒播的方式进行播种．得到数据如表：产量（单位：[840，860)[860，880)[880，900)[900，920)[920，940)斤）播种方式直播48183931散播919223218约定亩产超过900斤（含900斤）为“产量高”，否则为“产量低”（1）请根据以上统计数据估计100块直播农田的平均产量（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）（2）请根据以上统计数据填写下面的22⨯列联表，并判断是否有99%的把握认为“产量高”与“播种方式”有关？产量高产量低合计直播散播合计附22():()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++20()P K k 0.100.0100.0010k 2.7066.63510.82818．（12分）已知数列{}n a 满足14a =，11232n n n a a ++=+⨯．（1）证明：数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）设164n n n n b a a +⨯=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．19．（12分）如图所示，在四棱柱1111ABCD A B C D =中，侧棱1AA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，AD AB ⊥，//AB CD ，1224AB AD AA ===．（1）证明：1A D ⊥平面11ABC D ；（2）若1DC =，求二面角11B BC A --的正弦值．20．（12分）已知椭圆222:1(02)4x y C b b+=<<的离心率为12，F 为椭圆的右焦点，PQ 为过椭圆中心O 的弦．（1）求PQF ∆面积的最大值；（2）动直线与椭圆交于A 、B 两点，证明：在第一象限内存在定点M ，使得当直线AM 与直线BM 的斜率均存在时，其斜率之和是与t 无关的常数，并求出所有满足条件的定点M 的坐标．21．（12分）已知函数2()8()f x x x alnx a R =-+∈．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）已知函数()f x 的两个极值点1x ，212(x x x <，1)x ≠，若1m ，①证明：102x <<；②证明：21111(2)(43)1alnx m x x x >-+--．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线1l 的倾斜角为30︒，且经过点(2,1)A ．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线2:cos 3l ρθ=，从原点O 作射线交2l 于点M ，点N 为射线OM 上的点，满足||||12OM ON = ，记点N 的轨迹为曲线C ．（1）①设动点1P l ∈，记e是直线1l 的向上方向的单位方向向量，且AP te = ，以t 为参数求直线1l 的参数方程；②求曲线C 的极坐标方程并化为直角坐标方程；（2）设直线1l 与曲线C 交于P ，Q 两点，求11||||AP AQ +的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()|2||1|f x x x =++-．（1）求不等式()8f x x+的解集；（2）记函数()y f x=的最小值为k，若a，b，c是正实数，且33112ka kb kc++=，求证239 a b c++ ．2020年广西南宁市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合{|10}A x x =->，{|12}B x x =- ，则(A B = )A ．(1,)+∞B ．[1-，)+∞C ．[1-，1]D ．[1-，2]【解答】解：{|1}A x x => ，{|12}B x x =- ，[1A B ∴=- ，)+∞．故选：B ．2．（5分）设(1)1i x yi -=+，其中x ，y 是实数，则x yi +在复平面内所对应的点位于()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解答】解：由(1)1i x yi -=+，即1x xi yi -=+，则1x =，1y =-．x yi ∴+在复平面内所对应的点的坐标为：(1,1)-，位于第四象限．故选：D ．3．（5分）若实数x ，y 满足110220x x y x y ⎧⎪-+⎨⎪--⎩，则2z x y =+的最小值为()A ．1B ．2C ．4D ．10【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由2t x y =+得：2y x t =-+，由图象得：2y x t =-+过(1,2)时，t 最小，4t =最小值，故选：C ．4．（5分）已知(0,)απ∈，3cos()65πα+=，则sin α的值为()A ．43310-B ．33410-C ．710D ．235【解答】解：(0,)απ∈ ，3cos()65πα+=，4sin()65πα∴+=，4313433sin sin[()]66522510ππαα-∴=+-=⨯-⨯=．故选：A ．5．（5分） 2.5PM 是空气质量的一个重要指标，我国 2.5PM 标准采用世卫组织设定的最宽限值，即 2.5PM 日均值在335/g m μ以下空气质量为一级，在3335/~75/g m g m μμ之间空气质量为二级，在375/g m μ以上空气质量为超标．如图是某市2019年12月1日到10日2.5PM 日均值（单位：3/)g m μ的统计数据．若从这10天中随机抽取3天进行进一步的空气质量数据分析，则空气质量为一级的恰好抽取了2天的概率为()A ．310B ．35C ．25D ．130【解答】解：由某市2019年12月1日到10日 2.5PM 日均值（单位：3/)g m μ的统计数据折线图得：这10天中空气质量为一级的天数为4天，从这10天中随机抽取3天进行进一步的空气质量数据分析，基本事件总数310120n C ==，空气质量为一级的恰好抽取了2天包含的基本事件个数126436m C C ==，则空气质量为一级的恰好抽取了2天的概率36312010m p n ===．故选：A ．6．（5分）设a 为正实数，函数322()32f x x ax a =-+，若(,2)x a a ∀∈，()0f x <，则a 的取值范围是()A ．[1，)+∞B ．(0,)+∞C ．(0,1)D ．2(0,3【解答】解：因为2()363(2)f x x ax x x a '=-=-，因为2a x a <<时，()0f x '<，故()f x 在(,2)a a 上单调递减，因为(,2)x a a ∀∈，()0f x <，所以f （a ）32220a a =-+ ，故1a ．故选：A ．7．（5分）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过2F 的直线与双曲线在第一象限的交点为A ．线段1F A 的中点为D ，若210F D F A =，则此双曲线的离心率为()A B ．32C D 1+l ，其倾斜角为60︒，过2F 且斜率为的直线与双曲线在第一象限的交点为A ，线段1F A 的中点为D ，若210F D F A =，△12PF F 是等腰三角形，即有212||||2PF F F c ==，则有(2cos60,2sin 60)P c c c +︒︒，即为(2)P c ，代入双曲线方程双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>，即有2222431c c a b -=，由离心率公式ce a =，222b c a =-，即有2223411e e e -=-，化简可得424810e e -+=，解得：212e =±，由1e >，解得132e +=．故选：C ．8．（5分）如图，四棱锥S ABCD -中，SD ⊥平面ABCD ，//AB CD ，AD CD ⊥，SD CD =，AB AD =，2CD AD =，M 是BC 中点，N 是线段SA 上的点，设MN 与平面SAD 所成角为α，则sin α的最大值为()A ．357B ．337C ．257D ．237【解答】解：如图所示，作ME AD ⊥，垂足为E ，SD ⊥ 平面ABCD ，SD ⊂平面SAD ，∴平面SAD ⊥平面ABCD ，又AD CD ⊥，CD ∴⊥平面SAD ．//ME CD ，ME ∴⊥平面SAD ．连接NE ，则MNE ∠是MN 与平面SAD 所成角为α，作EF SA ⊥，连接MF ，此时MFE ∠取得最大值．不妨设AB ，则4CD =，可得2432ME +==，22sin 1524EF AE SAD =∠==+．则2235sin 72()35EMFMα==+．故选：A ．9．（5分）过曲线x y e x =-外一点(,)e e -作该曲线的切线l ，则l 在y 轴上的截距为()A ．ee -B ．2e e +-C ．1e e +-D ．2e e +【解答】解：设切线l 在曲线x y e x =-上的切点为0(x ，0)y ，由x y e x =-，得1x y e '=-，则切线l 的斜率00|1x x x k y e ='==-，∴切线l 的方程为000(1)()x y y e x x -=--，l 为曲线x y e x =-外一点(,)e e -的切线方程，∴000x y e x =-①，000(1)()x e y e e x --=--②，∴由①②，得01x e =+，10(1)e y e e +=-+，l ∴在y 轴上的截距0200(1)()x e y e x e ++--=-．故选：B ．10．（5分）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，l 与x 轴的焦点为P ，点A 在抛物线C 上，过点A 作AA l '⊥，垂足为A '，若3cos 5FAA '∠=，则四边形AA PF '的面积为()A ．8B ．10C ．14D ．28【解答】解：由条件得，2p =，过点F 作FF AA '⊥'，垂足为F '．设||3AF x '=，3cos 5FAA ∠'=，||5AF x ∴=，||4F F x '=．由抛物线定义可得：||||5AF AA x ='=．则||||5322A F PF x x x p ''==-===，解得1x =．则||33AF x '==，||||55AF AA x ='==，||44F F x '==．∴四边形AA PF '的面积(||||)||(25)41422PF AA PA S +''+⨯=== ．故选：C．11．（5分）已知定义域为R 的奇函数()f x 的导函数为()f x '，当0x >时，()()xf x f x '>．若22(log 3)log 3f a -=-，44(log 6)log 6f b =，(sin )8sin 8f c ππ=，则a ，b ，c 的大小关系为()A ．a b c <<B ．c a b <<C ．c b a <<D ．b c a<<【解答】解：令()()(0)f x g x x x=≠，由于()f x 为R 上的奇函数，所以()()(0)f x g x x x=≠为定义域上的偶函数，又当0x >时，()()xf x f x '>，所以，当0x >时，2()()()0xf x f x g x x '-'=>，所以，偶函数()g x 在(0,)+∞上单调递增；又4420sin1log 6log 9log 38π<<<<=，所以4422(sin (log 6)(log 9)(log 3)(log 3)8g g g g g π<<==-，即c b a <<，故选：C ．12．（5分）已知函数()2cos()1(0f x x ωϕω=+->，||)ϕπ<的一个零点是4x π=，当3x π=时函数()f x 取最大值，则当ω取最小值时，函数()f x 在[,1212ππ-上的最大值为()A ．2-B ．2C ．32-D ．0【解答】解：()2cos()1044f πωπϕ=+-= ，1cos()42ωπϕ∴+=，∴243k ωππϕπ+=±，k Z ∈，①(2cos()1133f πωπϕ=+-= ，cos()13ωπϕ∴+=，∴23m ωπϕπ+=，m Z ∈，②由①②可得4863k m πϕππ=-±，由于||ϕπ<，可取1k =，1m =，解得210(33ππϕ=舍去），则62m ω=-，m Z ∈，可得正数ω的最小值为4，即有2()2cos(413f x x π=+-，由[,]1212x ππ∈-，可得24[33x ππ+∈，]π，可得()f x 在[,1212ππ-上递减，则()f x 的最大值为1()2cos 12101232f ππ-=-=⨯-=，故选：D ．本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）在平面上，1e 、2e 是方向相反的单位向量，若向量b 满足12()()b e b e -⊥-，则||b的值1．【解答】解： 1e 、2e是方向相反的单位向量，向量b 满足12()()b e b e -⊥-，12()()b e b e ∴--21212()b b e e e e =-++210b =-=，||1b ∴=．故答案为：1．14．（5分）设a ，b ，c 分别为三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边，已知三角形ABC 的面积等于222()4b c a +-，则内角A 的大小为13π．【解答】解：因为2221()2cos sin 442S b c a bc A bc A =+-==，sin A A =即tan A =，故13A π=．故答案为：13π15．（5分）已知某几何体是一个平面将一正方体截去一部分后所得，该几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为203．【解答】解：由三视图还原出原几何体如图所示，该几何体是边长为2的正方体截去三棱锥F BGE -，则该几何体的体积为311202222323V V V =-=-⨯⨯⨯⨯=正方体三棱锥．故答案为：203．16．（5分）关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验，受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请240名同学，每人随机写下两个都小于1的正实数x ，y 组成的实数对(,)x y ，再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对(,)x y 的个数m ；最后再根据计数m 来估计π的值．假设统计结果是68m =，那么可以估计π的近似值为4715．（用分数表示）【解答】解：由题意，240对都小于l 的正实数对(,)x y ，对应区域的面积为1，两个数能与1构成钝角三角形三边的数对(,)x y ，满足221x y +<且x ，y 都小于1，1x y +>，面积为142π-，因为统计两数能与l 构成钝角三角形三边的数对(,)x y 的个数68m =，所以68124042π=-，所以4715π=．故答案为：4715．三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）水稻是人类重要的粮食作物之一，耕种与食用的历史都相当悠久，日前我国南方农户在播种水稻时一般有直播、撒酒两种方式．为比较在两种不同的播种方式下水稻产量的区别，某市红旗农场于2019年选取了200块农田，分成两组，每组100块，进行试验．其中第一组采用直播的方式进行播种，第二组采用撒播的方式进行播种．得到数据如表：产量（单位：斤）播种方式[840，860)[860，880)[880，900)[900，920)[920，940)直播48183931散播919223218约定亩产超过900斤（含900斤）为“产量高”，否则为“产量低”（1）请根据以上统计数据估计100块直播农田的平均产量（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）（2）请根据以上统计数据填写下面的22⨯列联表，并判断是否有99%的把握认为“产量高”与“播种方式”有关？产量高产量低合计直播散播合计附22():()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++20()P K k 0.100.0100.0010k 2.7066.63510.828【解答】解：（1）估计100块直播农田的平均产量为8500.048700.088900.189100.399300.31907⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（斤)；（2）22⨯列联表：产量高产量低合计直播7030100散播5050100合计1208020022200(70505030)8.333 6.63510010012080K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯．∴有99%的把握认为“产量高”与“播种方式”有关．18．（12分）已知数列{}n a 满足14a =，11232n n n a a ++=+⨯．（1）证明：数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）设164nn n n b a a +⨯=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【解答】（1）证明：依题意，由11232n n n a a ++=+⨯，两边同时乘以112n +，可得11322n n n n a a ++=+，即11322n nn n a a ++-=，114222a ==，∴数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以2为首项，3为公差的等差数列，∴23(1)312nna n n =+-=-，(31)2n n a n ∴=- ，*n N ∈．（2）解：由（1），可知116464311(31)2(32)2(31)(32)3132n n n n n n n b a a n n n n n n ++⨯⨯====--+-+-+ ，故12n n T b b b =++⋯+11111125583132n n =-+-+⋯+--+11232n =-+32(32)nn =+．19．（12分）如图所示，在四棱柱1111ABCD A B C D =中，侧棱1AA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，AD AB ⊥，//AB CD ，1224AB AD AA ===．（1）证明：1A D ⊥平面11ABC D ；（2）若1DC =，求二面角11B BC A --的正弦值．【解答】解：（1）证明：侧棱1AA ⊥平面ABCD ，AB ，AD ⊂平面ABCD ，故1AA AB ⊥，1AA AD ⊥，又12AD AA ==，所以平行四边形11ADD A 为正方形，所以11AD A D ⊥，又1AB AD A = ，所以1A D ⊥平面11ABC D ；（2）以D 为原点，以AD ，DC ，1DD 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则(2A ，0，0)，1(0C ，1，2)，(2B ，4，0)，1(2B ，4，2)，1(0,0,2)BB = ，1(2,3,2)BC =-- ，(0,4,0)BA =-，设平面11BB C 的法向量为(,,)m x y z =，由11202320m BB z m BC x y z ⎧==⎪⎨=--+=⎪⎩ ，得(3,2,0)m =- ，设平面1ABC 的法向量为(,,)n a b c =，由1402320n BA b n BC a b c ⎧=-=⎪⎨=--+=⎪⎩ ，得(1,0,1)n = ，由cos ,m n <>== 故二面角11B BC A --．20．（12分）已知椭圆222:1(02)4x y C b b+=<<的离心率为12，F 为椭圆的右焦点，PQ 为过椭圆中心O 的弦．（1）求PQF ∆面积的最大值；（2）动直线与椭圆交于A 、B 两点，证明：在第一象限内存在定点M ，使得当直线AM 与直线BM 的斜率均存在时，其斜率之和是与t 无关的常数，并求出所有满足条件的定点M 的坐标．【解答】解（1）由椭圆方程知2a =，又因为离心率为12，所以1c =，b =，所以椭圆方程为：22143x y +=．由于直线PQ 过原点，所以122||2PQF POF p S S c y ∆∆==⨯⨯⨯，则PQF ∆（2）设1(A x ，11)2x t +，2(B x ，21)2x t +，联立直线l 与椭圆得2230x tx t ++-=，且12x x t +=-，2123x x t =-，设(,)M m n ，直线AM 与直线BM 的斜率之和是：12212212113()()()()()23222()()3MA MB m x t m x n x t m x n m t mn k k m x m x t mn m ---+----+-+==--++-，当32n m =，23mn =，时斜率和为定值0，解得132m n =⎧⎪⎨=⎪⎩，或132m n =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，故满足所有条件的定点P 为3(1,2，或3(1,2--．21．（12分）已知函数2()8()f x x x alnx a R =-+∈．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）已知函数()f x 的两个极值点1x ，212(x x x <，1)x ≠，若1m ，①证明：102x <<；②证明：21111(2)(43)1alnx m x x x >-+--．【解答】解：（1）2()8()f x x x alnx a R =-+∈ 的定义域为(0,)+∞，228()28a x x a f x x x x-+∴'=-+=，当2(8)426480a a --⨯=- ，即8a 时，()0f x ' ，函数()f x 的在区间(0,)+∞单调递增；当2(8)426480a a --⨯=->，即8a <时，分两类讨论：方程2280x x a -+=的两根为1,28242x ==±，1︒若0a，120x =，220x =，故2(0,)x x ∈时，()0f x '<，()f x 在区间2(0,)x 上单调递减，2(x x ∈，)+∞时，()0f x '>，()f x 在区间2(x ，)+∞上单调递增；2︒若08a <<，同理可得，()f x 在区间1(x ，2)x 上单调递减，在区间1(0,)x ，2(x ，)+∞上单调递增；综上所述，当0a 时，()f x 在区间2(0,)x 上单调递减，在区间2(x ，)+∞上单调递增；当08a <<时，()f x 在区间1(x ，2)x 上单调递减，在区间1(0,)x ，2(x ，)+∞上单调递增；当8a 时，函数()f x 的在区间(0,)+∞单调递增；（2）证明：①当函数()f x 在(0,)+∞内有两个极值点1x ，212()x x x <且11x ≠时，则2280x x a -+=在(0,)+∞上有两个不等正根．0a ∴>且2(8)426480a a --⨯=->，08a ∴<<．124x x ∴+=，122ax x =，120x x <<，214x x ∴=-，121122(4)a x x x x ==-，可得102x <<．②要证明21111(2)(43)1alnx m x x x >-+--成立，即证1111112(4)(2)(4)(1)1x x lnx m x x x ->--+-成立，由于2140x x =->，即证11112(2)(1)1x lnx m x x >-+-成立，也就是证11112(2)(1)01x lnx m x x --+>-．即证2111112(2)(1)[2]01x m x lnx x x --+>-，由于101x <<时，11201x x >-，112x <<时，11201x x <-，故令2(2)(1)()2(02)m x h x lnx x x--=+<<，则22(2)2(2)()(02)m x x m h x x x -++-'=<<，令2(2)2(2)0m x x m -++-=，则△244(2)m =--，由于1m ，故21m -- ，2(2)1m - ，所以△0 ，()0h x ∴' ，∴在(0,2)内函数()h x 为减函数，且h （1）0=，可得：01x <<时，()0h x >．12x <<时，()0h x <．∴2111112(2)(1)[2]01x m x lnx x x --+>-成立，即11112(2)(1)01x lnx m x x --+>-成立，证毕．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线1l 的倾斜角为30︒，且经过点(2,1)A ．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线2:cos 3l ρθ=，从原点O 作射线交2l 于点M ，点N 为射线OM 上的点，满足||||12OM ON = ，记点N 的轨迹为曲线C ．（1）①设动点1P l ∈，记e 是直线1l 的向上方向的单位方向向量，且AP te = ，以t 为参数求直线1l 的参数方程；②求曲线C 的极坐标方程并化为直角坐标方程；（2）设直线1l 与曲线C 交于P ，Q 两点，求11||||AP AQ +的值．【解答】解：（1）①直线1l 的倾斜角为30︒，且经过点(2,1)A．转换为直角坐标方程为12)3y x -=-．由于动点1P l ∈，记e 是直线1l 的向上方向的单位方向向量，且AP te = ，故以t 为参数求直线1l的参数方程为：22(112x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数）．②由于直线2:cos 3l ρθ=，从原点O 作射线交2l 于点M ，所以cos 3M ρθ= ，整理得3cos M ρθ=，点N 为射线OM 上的点，满足||||12OM ON = ，即12M N ρρ= ，所以cos 124cos 3N θρθ=⨯=，整理得224x y x +=，即22(2)4x y -+=．（2）把直线1l的参数方程为：22112x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，代入224x y x +=，得到：230t t +-=，所以121t t +=-，123t t =-．故：12121212||1111||||||||||t t AP AQ t t t t -+=+===．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()|2||1|f x x x =++-．（1）求不等式()8f x x + 的解集；（2）记函数()y f x =的最小值为k ，若a ，b ，c 是正实数，且33112ka kb kc ++=，求证239a b c ++ ．【解答】解：（1）：21,2()3,2121,1x x f x x x x ---⎧⎪=-<<⎨⎪+⎩，则()8f x x + 可得2182x x x --+⎧⎨-⎩ 或3821x x +⎧⎨-<<⎩ 或2181x x x ++⎧⎨⎩，解得3x - 或∅或7x ，故不等式的解集为(-∞，3][7- ，)+∞；证明：（2）由（1）可得函数的最小值为3，即3k =，∴111123a b c++=，211123(23)()(111)923a b c a b c a b c∴++=++++++= ，当且仅当23a b c ==时等号成立.。

2020年1月广西高三年级第一次教学质量诊断性联合考试数学（理科）考生注意：1. 本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2. 答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3. 考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区．．．．．域书写的答案无效．．．．．．．．，在试题卷．．．．、草稿纸上作答无效．．．．．．．．. 4. 本卷命题范围：高考范围.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}2|3520A x x x =--≥，则R C A =（ ） A. 1,23⎛⎫- ⎪⎝⎭B. 12,3⎛⎫- ⎪⎝⎭C. [)1,2,3⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦UD. 52,2⎛⎫ ⎪⎝⎭2. 已知复数z 满足3425z i i ⋅-=+（i 为虚数单位），则在复平面内复数z 对应的点的坐标为（ ） A. 21,5⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 2,15⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 21,5⎛⎫-- ⎪⎝⎭D. 2,15⎛⎫-- ⎪⎝⎭3. “38x >”是“2x >”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 已知双曲线C ：224x y k -=的焦距等于圆M ：22412x y x ++=的直径，则实数k =（ ） A.645B. 645-C.645或645-D.5645. 在区间[]4,12上随机地取一个实数a ，则方程2280x ax -+=有实数根的概率为（ ） A.14B.23C.13D.126. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若138a a =-，且313S =，则2a =（ ） A. -3B. 3C. 353-D. 3或353-7. 某程序框图如图所示，则该程序的功能是（ ）A. 输出()312342018++++⋅⋅⋅+的值B. 输出()312342017++++⋅⋅⋅+的值C. 输出()312342019++++⋅⋅⋅+的值D. 输出12342018++++⋅⋅⋅+的值8. 某几何体的三视图如图所示，其俯视图是一圆心角为45︒的扇形，则该几何体的表面积为（ ）A. 524π+B.5122π+ C. 312π+ D.3122π+ 9. 近两年为抑制房价过快上涨，政府出台了一系列以“限购、限外、限贷、限价”为主题的房地产调控政策.各地房产部门为尽快实现稳定房价，提出多种方案，其中之一就是在规定的时间T 内完成房产供应量任务Q .已知房产供应量Q 与时间t 的函数关系如图所示，则在以下四种房产供应方案中，供应效率（单位时间的供应量）逐步提高的是（ ）A. B. C. D.10. 函数()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+>>的部分图象如图所示，则下列说法中错误的是（ ）A. ()f x 的最小正周期是2πB. ()f x 在1931,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 C. ()f x 在175,1212ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增D. 直线1712x π=-是曲线()y f x =的一条对称轴 11. 已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是C 上一点，且2PF x ⊥轴，直线1PF 与C 的另一个交点为Q ，若114PF F Q =，则C 的离心率为（ ）A.B.C.D.12. 已知二次函数()21f x ax ax =--没有零点，()()()3232ax a x g x x x f a =+-+++，若方程()0g x =只有唯一的正实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A. ()4,0-B. (),4-∞-C. ()2,0-D. ()4,2--二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知向量()1,a k =-r ，()2,4b =-r，若()3//a b a +r r r ，则实数k =______.14.二项式912x ⎛ ⎝的展开式中的常数项是______. 15. 已知实数x ，y 满足不等式组402200,0x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩，则11y z x +=+的最小值为______.16. 已知正三棱锥的底面边长为______.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17. 在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且223a c ac -=，()sin cos sin 2cos A C C A =-. （1）求角B 的大小；（2）若ABC ∆ABC ∆的周长.18. 如图，在四棱锥A DBCE -中，AD BD AE CE ====，4BC =，2DE =，//DE BC ，O ，H 分别为DE ，AB 的中点，AO CE ⊥.（1）求证：//DH 平面ACE ；（2）求直线DH 与底面DBCE 所成角的大小.19. 已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，过点()2,0P 的直线交抛物线C 于()11,A x y 和()22,B x y 两点. （1）当124x x +=时，求直线AB 的方程；（2）若过点P 且垂直于直线AB 的直线l 与抛物线C 交于C ，D 两点，记ABF ∆与CDF ∆的面积分别为1S ，2S ，求12S S 的最小值.20. 在某项娱乐活动的海选过程中评分人员需对同批次的选手进行考核并评分，并将其得分作为该选手的成绩，成绩大于等于60分的选手定为合格选手，直接参加第二轮比赛，大于等于90分的选手将直接参加竞赛选拔赛.已知成绩合格的100名参赛选手成绩的频率分布直方图如图所示，其中[)60,70，[)80,90，[]90,100的频率构成等比数列.（1）求a ，b 的值；（2）估计这100名参赛选手的平均成绩；（3）根据已有的经验，参加竞赛选拔赛的选手能够进入正式竞赛比赛的概率为14，假设每名选手能否通过竞赛选拔赛相互独立，现有4名选手进入竞赛选拔赛，记这4名选手在竞赛选拔赛中通过的人数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望.21. 已知函数()()()ln 1x f x e a x a R =++∈的图象在点()()0,0f 处的切线与直线210x y ++=垂直. （1）求()f x 的单调区间；（2）若当[)0,x ∈+∞时，()10f x mx --≥恒成立，求实数m 的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为33x t y t =-⎧⎨=⎩（t 为参数）.以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为212cos 350ρρθ++=. （1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）设A 是曲线C 上任意一点，直线l 与两坐标轴的交点分别为M ，N ，求22AM AN +的最大值. 23. 选修4-5：不等式选讲（1）求不等式40x x --<的解集；（2）设(),2,a b ∈+∞，证明：()()22224488a b a b ++>+.2020年1月广西高三年级第一次教学质量诊断性联合考试·数学（理科）参考答案一、选择题 1-5：ABCCD6-10：DABBC11-12：DD1. A 易知()(){}1|312023A x x x x x x ⎧⎫=+-≥=≤-≥⎨⎬⎩⎭或，所以123R C A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭.故选A.2. B 由题意，得525z i ⋅=+，则25z i =+，其在复数平面内对应的点的坐标为2,15⎛⎫⎪⎝⎭.故选B. 3. C 由38x >，得2x >；由2x >，得38x >，则38x >是2x >的充要条件.故选C.4. C 圆M ：22412x y x ++=化为标准方程是()22216x y ++=，其半径为4，直径为8.当0k >时，双曲线C ：224x y k -=化为标准方程是2214x y k k -=，其焦距为8=，解得645k =；当0k <时，双曲线C ：224x y k -=化为标准方程是2214y x k k -=--，其焦距为8=，解得645k =-.综上，645k =或645k =-.故选C.5. D 因为方程2280x ax -+=有实数根，所以()24280a ∆=--⨯⨯≥，解得8a ≥或8a ≤-.所以方程2280x ax -+=有实数根的概率12811242p -==-.故选D. 6. D 设公比为q ，易知1q ≠.由133813a a S =-⎧⎨=⎩，得()2113181131a a q a q q ⎧=-⎪-⎨=⎪-⎩，解得113a q =⎧⎨=⎩或125375a q ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩.当113a q =⎧⎨=⎩时，213a a q ==；当125375a q ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩时，21353a a q ==-，所以23a =或2353a =-.故选D. 7. A 第一次运行时，2k =，332S =+⨯；第二次运行时，3k =，33233S =+⨯+⨯；第三次运行时，4k =，3432333S ⨯+⨯++⨯=，…以此类推，第2017次运行时，2018k =，332333432018S =+⨯+⨯+⨯++⨯L ，此时刚好不满足2018k <，则输出()312342018S =++++⋅⋅⋅+，所以该程序的功能是“输出()312342018++++⋅⋅⋅+的值”.故选A.8. B 由三视图可知，该几何体是18个圆柱，其上下底面均为18圆面，侧面由2个矩形和1个18圆弧面构成，所以其表面积2112223222388S ππ=⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯5122π=+.故选B.9. B 单位时间的供应量逐步提高时，供应量的增长速度越来越快，图象上切线的斜率随着自变量的增加会越来越大，则曲线是上升的，且越来越陡，所以函数的图象应一直下凹的.故选B. 10. C 由图可知，2A =，该三角函数的最小正周期7233T πππ=-=，故A 项正确；由21Tπω==，则()()2sin f x x ϕ=+.因为536f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以该三角函数的一条对称轴为5736212x πππ+==.将7,212π⎛⎫⎪⎝⎭代入()2sin y x ϕ=+中，得()72122k k Z ππϕπ+=+∈，解得()212k k Z πϕπ=-+∈，所以()2sin 22sin 1212x k f x x πππ⎛⎫⎛⎫-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=.令()222122k x k k Z πππππ-≤-≤+∈，得()57221212k x k k Z ππππ-≤≤+∈，所以函数()f x 在1931,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增.故B 项正确；令()3222122k x k k Z πππππ+≤-≤+∈，得()719221212k x k k Z ππππ+≤≤+∈，所以函数()f x 在175,1212ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减.故C 项错误；令()122x k k Z πππ=+∈-，得()712x k k Z ππ=+∈，则直线1712x π=-是()f x 的一条对称轴.故D 项正确.故选C.11. D 由2PF x ⊥轴，得22b PF a =；设()00,Q x y ，由114PF F Q =，得032cx =-，204b y a =-，代入椭圆方程，得222291416c b a a+=，结合222b ac =-，解得c e a ==.故选D. 12. D 因为二次函数()21ax x f x a =--没有零点，则0a ≠且240a a ∆=+<，解得40a -<<. 由()()()3232ax a x g x x x f a =+-+++()2323213231ax ax ax a x ax ax x =--+-+++=-+，则()()23632'ax x x a x x g =-=-，()01g =.当0a <时，()0g x =只有唯一的正实数根，所以()0g x =在(),0-∞上没有实数根.而当2x a=时，()3231x g x a x =-+在(),0-∞上取得最小值，所以32222310g a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得2a >（舍去）或2a <-.综上所述，实数a 的取值范围是()4,2--.故选D.二、填空题13. 2 14.212 15. 1516.13. 2 由题意，得()()()331,2,45,34a b k k +=-+-=--r r，因为()3//a b a +r r r ，所以()()13450k k ⨯----=，解得2k =.14. 212 二项式912x ⎛- ⎝的展开式的通项是()9932199911122r r rrr r rr T x C xC ---+⎛⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，令3902r -=，解得6r =.故二项式912x ⎛- ⎝的展开式中的常数项是()966679121122T C -⎛⎫=-=⎪⎝⎭. 15.15作出不等式组表示的平面区域如图所示： 由几何意义可知，目标函数11y z x +=+表示可行域内的点(),x y 与点()1,1--组成的直线的斜率，目标函数在点()4,0C 处取得最小值min 011415z +==+.16.如图，E 是底面ABC ∆的重心，则内切球球心O 在PE 上，OE 与O 到PN 的距离OF 都是内切球的半径.其中PN ==，1sin6013EN =︒⨯=，所以4PE ==.设内切圆的半径为r .由PFO PEN ∆∆:，得FO POEN PN =，即1r =，解得r =.所以内切球的表面积为2244S r ππ==⨯=⎝⎭.三、解答题17. 解：（1）因为()sin cos sin 2cos A C C A =-，所以sin cos 2sin sin cos A C C C A =-， 所以sin cos sin cos 2sin A C C A C +=， 所以()sin 2sin A C C +=， 所以sin 2sin B C =. 由正弦定理，得2b c =. 因为223a c ac -=，由余弦定理，得()2222222223cos 222a c c a c b a c B ac ac ac +-+--===122ac ac ==，又因为()0,B π∈，所以3B π=.（2）因为ABC ∆， 则由正弦定理，得2sin bR B =，即2sin 3b π=，解得4b =. 所以2c =.将2c =代入223a c ac -=中，得2122a a -=，解得1a =1a =.所以ABC ∆的周长是1427a b c ++=+. 18.（1）证明：取线段AC 的中点F ，连接EF ，HF . 因为HF 是ABC ∆的中位线， 所以122HF BC ==，//HF BC . 又因为2DE =，//DE BC ， 所以HF DE =，//HF DE . 所以四边形DEFH 为平行四边形， 所以//EF HD .因为EF ⊂平面ACE ，DH ⊄平面ACE ， 所以//DH 平面ACE .（2）解：连接OB ，取OB 的中点G ，连接HG ，DG .易知112OD DE ==，2AO =，易知HG 是AOB ∆的中位线， 所以//HG AO 且112HG AO ==. 因为AD AE =，O 为DE 中点，所以AO DE ⊥，又//HG AO ，所以HG DE ⊥. 因为AO CE ⊥，//HG AO ，所以HG CE ⊥. 又DE CE E =I ，,DE CE ⊂平面DBCE ， 所以HG ⊥底面DBCE .所以HDG ∠是DH 与底面DBCE 所成的角.易求等腰梯形DBCE 2=， 所以1DG =.在Rt HDG ∆中，由1tan 11HG HDG DG ∠===，得45HDG ∠=︒. 故直线DH 与底面DBCE 所成角的大小为45︒.（法二：坐标法，略）19. 解：（1）由直线AB 过定点()2,0P ，可设直线方程为2x my =+. 联立224x my y x=+⎧⎨=⎩消去x ，得2480y my --=，由韦达定理得124y y m +=，128y y =-，所以()121212224x x my my m y y +=+++=++24444m m m =⋅+=+. 因为124x x +=，所以2444m +=，解得0m =.所以直线AB 的方程为2x =.（2）由（1），知ABF ∆的面积为1121122APF BPF S S S PF y PF y ∆∆=+=⋅+⋅12112y y =⨯⨯-=== 因为直线CD 与直线AB 垂直，且当0m =时，直线AB 的方程为2x =，则此时直线l 的方程为0y =， 但此时直线l 与抛物线C 没有两个交点， 所以不符合题意，所以0m ≠.因此，直线CD 的方程为12x y m=-+.同理，CDF ∆的面积2S =所以12S S ==12=…. 当且仅当2222m m=，即21m =，亦即1m =±时等号成立. 20. 解：（1）由题意，得()20.010.031010.01a b a b ⎧+++⨯=⎨=⎩， 解得0.040.02a b =⎧⎨=⎩. （2）估计这100名选手的平均成绩为650.1750.3850.2950.484⨯+⨯+⨯+⨯=.（3）由题意知，1~4,4X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 则X 可能取值为0，1，2，3，4，所以4411()144ii iP X C i -⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 所以X 的分布列为故X 的数学期望为()1414E X =⨯=.21. 解：（1）由已知得()1'x e x f x a =++，则()0'01a f e a +=+=. 又因为直线210x y ++=的斜率为12-， 所以()1112a ⎛⎫+⨯-=- ⎪⎝⎭，解得1a =. 所以()()ln 1x f x e x =++，定义域为()1,-+∞，所以()1'10x e f x x =+>+. 所以函数()f x 的单调递增区间为()1,-+∞，无单调减区间.（2）令()()1g x f x mx =--，则()1'1x e m g x x =+-+. 令()11x x e x h =++，则()()21'1x e h x x =-+. 当0x ≥时，1x e ≥，()21011x <≤+，所以()'0h x ≥. 所以函数()()0y h x x =≥为增函数.所以()()02h x h ≥=，所以()'2g x m ≥-.①当2m ≤时，20m -≥，所以当2m ≤时，()'0g x ≥， 所以函数()()0y g x x =≥为增函数，所以()()00g x g ≥=， 故对0x ∀≥，()10f x mx --≥成立；②当2m >时，11m ->，由0x ≥时，1011x <≤+， ()()1'1'1x x g m e m e m x x f x -=+-=<+-+， 当()()0,ln 1x m ∈-，知10x e m +-<，即()'0g x <. 所以函数()y g x =，()()0,ln 1x m ∈-为减函数.所以当()0ln 1x m <<-时，()()00g x g <=.从而()10f x mx --<，这与题意不符.综上，实数m 的取值范围为(],2-∞.22. 解：（1）由33x t y t =-⎧⎨=⎩得()33y x =+，即390x y -+=. 故直线l 的普通方程为390x y -+=.由212cos 350ρρθ++=，代入cos sin x yρθρθ=⎧⎨=⎩，得2212350x y x +++=， 故曲线C 的直角坐标方程为2212350x y x +++=.（2）直线l ：390x y -+=与坐标轴的交点依次为()3,0-，()0,9， 不妨设()3,0M -，()0,9N ，曲线C 的直角坐标方程2212350x y x +++=化为标准方程是()2261x y ++=， 由圆的参数方程，可设点()()6cos ,sin 02A αααπ-+≤<. 所以()()()2222223cos sin 6cos sin 9AM AN αααα=-+++++-+- 18cos 18sin 128αα=--+ ()18sin cos 128αα=-++1284πα⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭.当sin 14πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，即54απ=时，22AM AN +取得最大值为128+. 23.（1）解：由不等式40x x --<，得4x x -<， 则04x x x x >⎧⎨-<-<⎩，解得2x >. 故不等式的解集为{}|2x x >.（2）证明：()()()22224488a b a b ++-+ ()()22222441688ab a b a b =+++-+ ()2224416ab a b =--+ ()()2244a b =--.因为2a >，2b >，所以24a >，24b >.所以()()22440a b -->.所以原不等式()()22224488a b a b ++>+成立.。

高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设全集U=R，集合A={x|x＞0}，B={x|-7＜2+3x＜5}，则∁U（A∪B）=（）A. {x|0＜x＜1}B. {x|x≤0或x≥1}C. {x|x≤-3}D. {x|x＞-3}2.已知复数z1，z满足z1=-1-i，z1z=4，则复数在复平面内对应点的坐标为（）A. （2，-2）B. （-2，2）C. （2，2）D. （-2，-2）3.在等比数列{a n}中，若a2=2，a5=-54，则a1=（）A. B. C. D.4.已知α∈（-），tanα=sin76°cos46°-cos76°sin46°，则sinα=（）A. B. C. D.5.如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱AB和A1D1的中点分别为E，F，AB＝6，AD＝8，AA1＝7，则异面直线EF与AA1所成角的正切值为（）A. B. C. D.6.已知直线l：3x-4y-15＝0与圆C：x2+y2-2x-4y+5-r2＝0(r＞0)相交于A，B两点，若|AB|＝6，则圆C的标准方程为（）A. (x-1)2+(y-2)2＝36B. (x-1)2+(y-2)2＝25C. (x-1)2+(y-2)2＝16D. (x-1)2+(y-2)2＝497.已知P（，1），Q（，-1）分别是函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）图象上相邻的最高点和最低点，则ωφ=（）A. B. C. D.8.元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示．若将“没了壶中酒”改为“剩余原壶中的酒量”，即输出值是输入值的，则输入的x=（）A.B.C.D.9.某技术学院安排5个班到3个工厂实习，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，则不同的安排方法共有（）A. 60种B. 90种C. 150种D. 240种10.已知球的半径为4，球面被互相垂直的两个平面所截，得到的两个圆的公共弦长为2．若球心到这两个平面的距离相等，则这两个圆的半径之和为（）A. 4B. 6C. 8D. 1011.已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，直线y=k（x-）交抛物线于A，B两点，过点A作准线l的垂线，垂足为E，若等边△AFE的面积为36，则△BEF 的面积为（）A. 6B. 12C. 16D. 2412.已知函数（a∈R），若方程f（f（x））-2=0恰有5个不同的根，则a的取值范围是（）A. （-∞，0）B. （0，+∞）C. （0，1）D. （1，+∞）二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.在正方形ABCD中，E为线段AD的中点，若=+，则λ+μ=______．14.已知数列{a n}的前n项和为S n，若a n+2-a n+1=a n+1-a n，a1=2，a3=8，则S4=______．15.已知函数f（x）=+x+a-1的图象是以点（-1，-1）为中心的中心对称图形，g（x）=e bx+ax2+bx，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与曲线y=g（x）在点（0，g（0））处的切线互相垂直，则a+b=______．16.用0与1两个数字随机填入如图所示的5个格子里，每个格子填一个数字，并且从左到右数，不管数到哪个格子，总是1的个数不少于0的个数，则这样填法的概率为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）（1）求sin A；（2）若，△ABC的面积为，求△ABC的周长18.2018年9月的台风“山竹”对我国多个省市的财产造成重大损害，据统计直接经济损失达52亿元．某青年志愿者组织调查了某地区的50个农户在该次台风中造成的直接经济损失，将收集的损失数据分成五组：[0，2000]，(2000，4000]，(4000，6000]，(6000，8000]，(8000，10000]（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图．（1）试根据频率分布直方图估计该地区每个农户的损失（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）台风后该青年志愿者与当地政府向社会发出倡议，为该地区的农户捐款帮扶，现从这50户并且损失超过4000元的农户中随机抽取2户进行重点帮扶，设抽出损失超过8000元的农户数为X，求X的分布列和数学期望19.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，PB=PC，E为线段BC的中点，F为线段PA上的一点．（1）证明：平面PAE⊥平面BCP．（2）若PA=AB=PB，二面角A-BD=F的余弦值为，求PD与平面BDF所成角的正弦值．20.设D是圆O：x2+y2=16上的任意一点，m是过点D且与x轴垂直的直线，E是直线m与x轴的交点，点Q在直线m上，且满足2|EQ|=|ED|．当点D在圆O上运动时，记点Q的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程．（2）已知点P（2，3），过F（2，0）的直线l交曲线C于A，B两点，交直线x=8于点M．判定直线PA，PM，PB的斜率是否依次构成等差数列？并说明理由．21.已知函数f（x）=ln x -ax（a∈R）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若x1，x2满足f（x1）=f（x2）=1．证明：x1+x2＞2e2．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（r＞0，φ为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos （θ+）+1=0．若直线l与曲线C相切．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）在曲线C上任取两点M，N，该两点与原点O构成△MON，且满足∠MON=，求△MON面积的最大值．23.己知函数f(x)＝|ax-1|-|2x+a|的图象如图所示．（1）求a的值；（2）设，g(x)的最大值为t，若正数m，n满足m+n＝t，证明：．答案和解析1.【答案】C【解析】解：根据题意，B={x|-7＜2+3x＜5}={x|-3＜x＜1}，则A∪B={x|x＞-3}；故∁U（A∪B）={x|x≤-3}；故选：C．根据题意，由并集的定义求出A∪B，进而由补集的定义分析可得答案．本题考查集合的混合运算，关键是掌握集合交、并、补集的定义，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：由z1=-1-i，z1z=4，得z=，∴．则复数在复平面内对应点的坐标为（-2，-2）．故选：D．把z1=-1-i代入z1z=4，变形后利用复数代数形式的乘除运算化简，进一步求得得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】B【解析】解：∵在等比数列{a n}中，若a2=2，a5=-54，∴，解得a1=-，q=-3．故选：B．利用等比数列通项公式列出方程组，能求出首项．本题考查等比数列的首项的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.【答案】A【解析】解：由tanα=sin76°cos46°-cos76°sin46°=sin（76°-46°）=sin30°=，且α∈（-），∴α∈（0，），联立，解得sinα=．故选：A．由已知求得tanα，再由同角三角函数基本关系式结合角的范围求解．本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式及两角差的正弦，是基础题．5.【答案】A【解析】【分析】本题考查异面直线所成的角，属于基础题．由题意平移AA1，异面直线EF与AA1所成角为∠FEG或其补角，在△EFG中可求．【解答】解：取A1B1中点G，连接EG，FG，EG⊥FG，由可得四边形AEGA1为平行四边形，则EG∥AA1，所以异面直线EF与AA1所成角为∠FEG或其补角，因为EG A1B1，所以，FG平面,所以，由题意可得，，所以.故选：A．6.【答案】B【解析】【分析】化圆的方程为标准方程，求出圆心坐标，利用点到直线距离公式求出圆心到直线的距离，进一步求得半径得答案．本题考查圆的方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，是基础题．【解答】解：化圆C：x2+y2-2x-4y+5-r2=0（r＞0）为（x-1）2+（y-2）2=r2，可得圆心坐标为（1，2），半径为r，由圆心（1，2）到直线l：3x-4y-15=0的距离d=，且|AB|=6，得r2=32+42=25．∴圆C的标准方程为（x-1）2+（y-2）2=25．故选：B．7.【答案】C【解析】【分析】本题重点考查了由y=A sin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．由题意可求T，利用周期公式可求ω，将点P（，1）代入，得：sin（3× +φ）=1，解得φ=kπ+ ，k∈Z，结合范围|φ|＜，可求φ的值，即可计算得解．【解答】解：∵函数过点P（，1），Q（，-1），∴由题意，得T=-，∴T==，∴ω=3，∴f（x）=sin（3x+φ），∴将点P（，1）代入，得：sin（3×+φ）=1，∴3×+φ=kπ+，k∈Z，解得：φ=kπ+，k∈Z，∵|φ|＜，∴φ=，∴ωφ=3×=．故选：C．8.【答案】C【解析】【分析】根据程序框图进行模拟运算即可．本题考查程序框图的知识，考查运算求解能力，利用模拟运算法是解决本题的关键．【解答】解：i=1时．x=2x-1，i=2时，x=2（2x-1）-1=4x-3，i=3时，x=2（4x-3）-1=8x-7，i=4时，退出循环，此时8x-7=x解得x=，故选：C．9.【答案】C【解析】解：根据题意，分2步进行分析：①、将5个班分为3组，若分为2、2、1的三组，有=15种分组方法；若分为3、1、1的三组，有C53=10种方法，则一共有15+10=25种分组方法；②、将分好的三组对应3个工厂，有A33=6种情况，则共有25×6=150种不同的分配方案．故选：C．根据题意，分2步分析：先将5个班分为3组，有2种分组方法，分为2、2、1的三组或3、1、1的三组，由组合数公式可得其分组方法数目，由分类计数原理将其相加可得分组的情况数目，第二步，将分好的三组对应3个不同的工厂，由排列数公式可得其对应方法数目；由分步计数原理计算可得答案．本题考查分类计数原理，考查平均分组，是一个易错题，这种题目特别要注意做到不重10.【答案】B【解析】解：如下图所示，设两圆的圆心为O1、O2，球心为O，公共弦为AB，中点为E，因为圆心到这两个平面的距离相等，则OO1EO2为正方形，两圆半径相等，设两圆半径为r，，，又|OE|2+|AE|2=|OA|2，即32-2r2+2=16，则r2=9，r=3，所以，这两个圆的半径之和为6，故选：B．根据题意得知两圆半径相等，并设两圆半径为r，利用勾股定理计算出OE、AE的长度，然后利用勾股定理列关于r的方程，可求出r的值，即可得出答案．本题考查与球的半径相关的计算，解决本题的关键在于一些几何关系的应用，考查推理能力与计算能力，属于中等题．11.【答案】B【解析】【分析】本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，属于基础题.通过三角形的面积求出p，然后联立直线与抛物线方程，转化求解A，B的横坐标，然后求解三角形的面积．【解答】解：因为△AFE是等边三角形，所以k=，△AFE的边长为：2p，由，解得p=6，抛物线方程为：y2=12x，联立，解得x2-10x+9=0，所以，x A=9，x B=1，所以|BF|=4，|AF|=12，故△BEF的面积为：=12．故选B．12.【答案】B【解析】解：当x＞0时，，，当0＜x＜1时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；当x＞1时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，所以f（x）min=f（1）=1，当x≤0时，f（x）=ax+3的图象恒过点（0，3），当a≤0，x≤0时，f（x）≥f（0）=3，当a＞0，x≤0时，f（x）≤f（0）=3，作出大致图象方程f（f（x））-2=0有5个不同的根，即方程f（f（x））=2有五个解，设t=f（x），则f（t）=2．结合图象可知，当a＞0时，方程f（t）=2有三个根t1∈（-∞，0），t2∈（0，1），t3∈（1，3）．（∵，∴1＜t3＜3），于是f（x）=t1有一个解，f（x）=t2有一个解，f（x）=t3有三个解，共有5个解，而当a≤0时，结合图象可知，方程f（f（x））=2不可能有5个解．综上所述：方程f（f（x））-2=0在a＞0时恰有5个不同的根．故选：B．利用函数的导数，判断函数的单调性求出函数的最值，通过函数的图象，转化求解即可．本题考查函数的零点以及函数的导数的应用，考查转化思想以及计算能力，数形结合的应用．13.【答案】【解析】解：如图所示，=+，=，=．∴=+．又=+，则λ=，μ=1．则λ+μ=．故答案为：．利用向量三角形法则、向量共线定理即可得出．本题考查了向量三角形法则、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14.【答案】26【解析】解：由a n+2-a n+1=a n+1-a n，可得：数列{a n}为等差数列，设公差为d．∵a1=2，a3=8，∴2+2d=8，解得d=3．则S4=4×2+×3=26．故答案为：26．由a n+2-a n+1=a n+1-a n，可得：数列{a n}为等差数列，设公差为d．利用通项公式与求和公本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15.【答案】【解析】解：由y=x+的图象关于（0，0）对称，y=f（x）的图象可由y=x+平移可得．函数f（x）=+x+a-1的图象是以点（-1，-1）为中心的中心对称图形，可得a-2=-1，即a=1，则f（x）=+x，f′（x）=1-，可得f（x）在x=1处的切线斜率为，g（x）=e bx+x2+bx的导数为g′（x）=be bx+2x+b，可得g（x）在x=0处的切线斜率为2b，由题意可得2b•=-1，可得b=-则a+b=1-=．故答案为：．由y=x+的图象关于（0，0）对称，y=f（x）的图象可由y=x+平移可得．由题意可得a-2=-1，可得a，分别求得f（x），g（x）的导数，可得切线斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为-1，可得b，进而得到所求和．本题考查函数的对称性和导数的运用：求切线斜率，考查方程思想和运算能力，属于基础题．16.【答案】【解析】解：用0与1两个数字随机地染如图所示表格中5个格子，每个格子染一种颜色，则有：25=32个不同的染色方法，出现从左至右数，不管数到哪个格子，总1的个数不少于0的个数，包含的基本事件有：全填1，有1种方法，第一个格子填1，另外四个格子中有1个格填1，剩余的都填0，有4种方法，第一个格子填1，另外四个格子中有2个格填0，剩余的都填1，有5种方法，∴出现从左至右数，不管数到哪个格子，总有黑色格子不少于白色格子，包含的基本事件有：1+4+5=10种，∴从左到右数，不管数到哪个格子，总是1的个数不少于0的个数的概率为：p==．故答案为：．用用0与1两个数字随机填入表格中5个格子，每个格子都有2种填法，由此利用乘法原理能求出不同的染色方法种数，再利用分类讨论方法求出出现从左至右数，不管数到哪个格子，总有黑色格子不少于白色格子，包含的基本事件个数，由此能求出不管数到哪个格子，总有黑色格子不少于白色格子的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．17.【答案】解：（1）∵3b2+3c2-4bc=3a2，∴由余弦定理得cos A==，又0＜A＜π，∴sin A==；（2）∵3c sin A=a sin B，∴由正弦定理可得：3ac=ab，解得：b=，∵△ABC的面积为=bc sin A=×，∴解得：c=2，∴b=3，由余弦定理得：∴a==，可得：△ABC的周长a+b+c=2+3+.【解析】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式的综合应用，考查了学生对基础知识的掌握和基本的计算能力，属于基础题．（1）先把题设条件代入关于A的余弦定理中，求得cos A的值，进而利用同角三角函数的基本关系求得sin A的值．（2）由已知及正弦定理可解得b=，利用三角形的面积公式可求c的值，进而可求b，利用余弦定理可求a，即可得解△ABC的周长的值．18.【答案】解：（1）记每个农户的平均损失为元，则=（1000×0.00015+3000×0.00025+5000×0.00008+7000×0.00001+9000×0.00001）×2000=2920；（2）由频率分布直方图，可得损失超过4000元的农户共有（0.00008+0.00001+0.00001）×2000×50=10（户），损失超过8000元的农户共有0.00001×2000×50=1（户），随机抽取2户，则X的可能取值为0，1；计算P（X=0）=，P（X=1）=，所以X的分布列为:数学期望为E（X）=0×+1×=．【解析】本题考查了频率分布直方图与离散型随机变量的分布列与数学期望计算问题，属于中档题．（1）根据频率分布直方图计算每个农户的平均损失多少元；（2）根据频率分布直方图计算随机变量X的可能取值，再求X的分布列和数学期望值．19.【答案】证明：（1）∵在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，PB=PC，E为线段BC的中点，∴AE⊥BC，PE⊥BC，∵AE∩PE=E，∴BC⊥平面PAE，∵BC⊂平面BCP，∴平面PAE⊥平面BCP．解：（2）∵BC⊥平面PAE，BC∥AD，∴PA⊥AD，∵PA=AB=PB，∴PA2+AB2=PB2，∴PA⊥AB，∵AB∩AD=A，∴PA⊥平面ABCD，以A为原点，AE，AD，AP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设PA=AB=PB=，AF=t，则B（，-，0），D（0，，0），F（0，0，t），=（-，，0），=（-，，t），设平面BDF的法向量=（x，y，z），则，取y=1，得=（，1，），平面ABD的法向量=（0，0，1），∵二面角A-BD=F的余弦值为，∴|cos＜＞|==，解得t=，∴F（0，0，），P（0，0，），=（0，，-），平面BDF的法向量=（，1，），设PD与平面BDF所成角的平面角为θ，则PD与平面BDF所成角的正弦值：sinθ===．【解析】（1）推导出AE⊥BC，PE⊥BC，从而BC⊥平面PAE，由此能求出平面PAE⊥平面BCP．（2）推导出PA⊥AD，PA⊥AB，从而PA⊥平面ABCD，以A为原点，AE，AD，AP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出PD与平面BDF所成角的正弦值．本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．20.【答案】解：（1）设Q（x，y），D（x0，y0），∵2|EQ|=|ED|，Q在直线m上，∴x0=x，|y0|=|y|．①∵点D在圆x2+y2=16上运动，∴x02+y02=16，将①式代入②式即得曲线C的方程为x2+y2=16，即+=1，（2）直线PA，PM，PB的斜率成等差数列，证明如下：由（1）知椭圆C：3x2+4y2=48，直线l的方程为y=k（x-2），代入椭圆方程并整理，得（3+4k2）x2-16k2x+16k2-48=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），直线PA，PM，PB的斜率分别为k1，k2，k3，则有x1+x2=，x1x2=，可知M的坐标为（8，6k）．∴k1+k3=+=+=2k-3•=2k-3•=2k-1，2k2=2•=2k-1．∴k1+k3=2k2．故直线PA，PM，PB的斜率成等差数列．【解析】（1）由题意设Q（x，y），D（x0，y0），根据2|EQ|=|ED|，Q在直线m上，则椭圆的方程即可得到；（2）设出直线l的方程，和椭圆方程联立，利用根与系数的关系得到k1+k3，并求得k2的值，由k1+k3=2k2说明直线PA，PM，PB的斜率成等差数列．本题主要考查直线与椭圆的位置关系的应用，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系解题，是处理这类问题的最为常用的方法，但圆锥曲线的特点是计算量比较大，要求考试具备较强的运算推理的能力，该题是中档题．21.【答案】解：（1）f′（x）=-a．（x＞0）．a≤0时，f′（x）＞0，此时函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．a＞0时，f′（x）=，可得函数f（x）在（0，）上单调递增，在上单调递减．（2）由（1）可得：a＞0时，x=时，函数f（x）取得极大值即最大值，∴f=ln-1＞1，解得0＜a＜．∴＞e2．要证明x1+x2＞2e2．即证明x1+x2＞．不妨设0＜x1＜＜x2，即证：x2＞-x1．即证：f（x1）=f（x2）＜f（-x1）．设F（x）=f（x）-f（-x），x∈（0，].=0．则F（x）=ln x-ax-ln（-x）+a（-x）=ln x-ln（-x）+2-2ax，F′（x）=+-2a=，x∈（0，]时，函数F（x）单调递增，∴F（x）＜=0．即：x1+x2＞2e2．【解析】（1）f′（x）=-a．（x＞0）．对a分类讨论及即可得出单调性．（2）由（1）可得：a＞0时，x=时，函数f（x）取得极大值即最大值，f=ln-1＞1，解得0＜a＜．可得＞e2．要证明x1+x2＞2e2．即证明x1+x2＞．不妨设0＜x1＜＜x2，即证：x2＞-x1．即证：f（x1）=f（x2）＜f（-x1）．设F（x）=f（x）-f（-x），x∈（0，].=0．利用导数已经其单调性即可得出．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.【答案】解：（1）由题意可知，直线l的直角坐标方程为-y+2=0，曲线C是圆心为（，1），半径为r的圆，由直线l与曲线C相切可得r==2，可知曲线C的直角坐标方程为（x-）2+（y-1）2=4，所以曲线C的极坐标方程为ρ2-2ρcosθ-2ρsinθ=0，即ρ=4sin（θ+）．（2）由（1）不放设M（ρ1，θ），N（ρ2，）（ρ1＞0，ρ2＞0，-＜θ＜）．S△MON=|OM||ON|sin=ρ1ρ2=4sin（θ+）sin（θ+）=2sinθcosθ+2cos2θ=sin2θ+cos2θ+=2sin（2θ+）+，当θ=时，△MON面积的最大值为2+．【解析】（1）由和角的余弦公式以及互化公式可得直线l的直角坐标方程，根据直线与圆相切得圆的半径，再得到圆C的直角坐标方程和极坐标方程；（2）根据极径的几何意义以及三角函数的性质可得．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.【答案】解：（1）将（-1，3）代入函数的解析式得：3=|-a-1|-|-2+a|，解得：a=2；（2）由（1）f（x）=|2x-1|-|2x+2|，故g（x）=|2x-3|-|2x+3|≤|2x-3-2x-3|=6，故t=6，故m+n=6，故+=（+）（+）=+++≥+2=，当且仅当2n=3m时“=”成立．【解析】（1）代入点的坐标，求出a的值即可；（2）求出g（x）的解析式，求出t的值，根据基本不等式的性质证明即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查基本不等式的性质以及转化思想，是一道常规题．。