2017年高考试题分类汇编之向量(带答案解析)

湖北省各地2017届高三最新考试数学理试题分类汇编平面向量2017.02一、选择、填空题1、（黄冈市2017届高三上学期期末）已知ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为2，且0OA AB AC ++=，则向量CA 在向量CB 方向上的投影为A. 3 C.3- D.2、（荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟2017届高三2月联考）如图，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，边33B C 上有10个不同的点1210,,,P P P ，记2(1,2,10)i i m AB AP i ==，则1210m m m +++的值为A. B.45 C. D.1803、（荆门市2017届高三元月调考）向量(2,3)a =，(1,2)b =-，则2a b -的模等于 ▲ .4、（荆州市五县市区2017届高三上学期期末）设向量12,,OA e OB e ==若1e 与2e 不共线，且6AP PB =，则OP =A ．121677e e -B ．126177e e -C ．121677e e +D ．126177e e + 5、（天门、仙桃、潜江市2017届高三上学期期末联合考试）平面向量(1,2)=a ，(4,2)=b ，()m m =+∈R c a b ，且与c a 的夹角等于与c b 的夹角，则m 等于 ▲6、（武汉市2017届高三毕业生二月调研考）已知,m n 为两个非零向量，且2,22m m n =+=，则2n m n ++的最大值为A.7、（武汉市武昌区2017届高三1月调研）已知平面向量,a b 的夹角为0120，且1a =，2b =，若平面向量m 满足1m a m b ⋅=⋅=，则m = ．8、（襄阳市2017届高三1月调研）等边三角形ABC 的边长为2，则AB 在BC 方向上的射影为 .9、（襄阳市优质高中2017届高三1月联考）设向量()(),2,1,1a m b m ==+，且a 与b 的方向相反，则实数m 的值为A. 2-B. 1C. 2-或1D.m 的值不存在10、（孝感市七校教学联盟2017届高三上学期期末）已知向量OM =()3,2-，=()5,1--，则MN 21等于 .11、（湖北省部分重点中学2017届高三上学期第二次联考）若等边ABC ∆的边长为3，平面内一点M 满足1132CM CB CA =+，则AM MB ⋅的值为 A. 2 B.152- C. 152 D.2- 12、（荆州中学2017届高三1月质量检测）已知数列{}n a 为等差数列，满足32015OA a OB a OC =+u u r u u r u u u r ，其中,,A B C 在一条直线上，O 为直线AB 外一点，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则2017S 的值为（ ）A.20172B. 2017C. 2016D. 20152 13、（荆州市五县市区2017届高三上学期期末）正ABC ∆中，AB 在BC 方向上的投影为1-，且2AD DC =,则BD AC ⋅=________.14、（天门、仙桃、潜江市2017届高三上学期期末联合考试）设G 是△ABC 的重心，且sin 3sin 37sin 0A GB B GC C ++=，则角B 的大小为 ▲ ．15、（湖北省部分重点中学2017届高三上学期第二次联考）已知向量,a b 满足2,1a b ==，a 与b 的夹角为23π，则2a b += . 16、（湖北省部分重点中学2017届高三上学期第二次联考）在直径AB=4的圆上有长度为2的动弦CD,则AC BD ⋅的最大值为 .17、（荆州中学2017届高三1月质量检测）已知,A B 是单位圆O 上的两点（O 为圆心），120AOB ∠=，点C 是线段AB 上不与A B 、重合的动点．MN 是圆O 的一条直径，则CM CN 的取值范围是（ ）A ．3[,0)4-B ．[1,1)-C ．1[,1)2- D ．[1,0)-二、解答题1、（孝感市七校教学联盟2017届高三上学期期末）已知向量a ＝(sin x ，－1)，b ＝)21,cos 3(-x ， 函数()().2f x a b a =+- (1)求函数()f x 的最小正周期T ；(2)已知,,a b c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，其中A 为锐角，a ＝32，c ＝4，且f （A ）＝1，求△ABC 的面积S.参考答案一、选择、填空题1、B2、D3、174、C5、26、D7、3 8、－1 9、A 10、14,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ 11、A 12、A 13、23 14、3π15、2 16、2 17、A二、解答题1、解：(1)f(x)＝(a ＋b )·a －2＝|a |2＋a ·b －2＝sin 2x ＋1＋3sin x cos x ＋12－2＝1－cos 2x 2＋32sin 2x －12（2分） ＝32sin 2x －12cos 2x ＝sin )62(π-x , ……………………………4分 因为ω＝2，所以T ＝2π2＝π. ……………………………（6分）(2)f (A )＝sin )62(π-A ＝1.因为A ∈)2,0(π，2A －π6∈(-)65,6ππ， 所以2A －π6＝π2，A ＝π3……………………………（8分） 又a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，所以12＝b 2＋16－2×4b ×12，即b 2－4b ＋4＝0，则b ＝2. …… （10分） 从而S ＝12bc sin A ＝12×2×4×sin π3＝23. …… （12分）。

2017高考真题分类汇编：三角与向量1．【2017课标II 3】函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为（ ） （A ）4π （B ）2π （C ）π （D ）2π2．【2017课标II 4】设非零向量,a b 满足||||a b a b +=-，则（ ）（A ）a b ⊥ （B ）||||a b = （C ）//a b （D ）||||a b >3．【2017课标III 4】已知4sin cos 3αα-=，则sin 2α=（ ） （A ）7- （B ）29- （C ）29 （D ）794．【2017山东 4】已知3cos 4x =，则cos2x =（ ） （A ）14- （B ）14 （C ）18- （D ）15．【2017课标III 6】函数()1sin cos 536f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为（ ） （A ）5 （B ）1 （C ）3 （D ）156．【2017北京 7】设,m n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m n λ=”是“0m n ⋅<”的（ ）（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件7．【2017天津 7】设函数()()()2sin f x x x R ωϕ=+∈，其中0ω>，||ϕπ<，若()52f π=， ()1180f π=，且()f x 的最小正周期大于2π，则（ ）（A ）2,312πωϕ== （B ）211,312πωϕ==- （C ）111,324πωϕ==- （D ）17,324πωϕ==8．【2017山东 7】函数2cos2y x x =+ 最小正周期为（ ）（A ）2π （B ）32π （C ）π （D ）2π9．【2017浙江 10】已知平面四边形ABCD ，AB BC ⊥，2AB BC AD ===，3CD =，AC 与BD 交于点O ，记1I O A O B =⋅，2I OB OC =⋅，3I OC OD =⋅，则（ ） （A ）123I I I << （B ）132I I I << （C ）312I I I << （D ）213I I I <<10．【2017课标I 11】ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()sin sin sin cos 0B A C C +-=，2a =，c =C =（ ）（A ）12π （B ）6π （C ）4π （D ）3π11．【2017江苏 5】 若1tan 46πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则tan α= 。

2017高考向量汇总1.（2017全国│理，13）已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2， | b |=1，则| a +2 b |= .2.（2017全国│文，13）已知向量a =（-1，2）b=（m ,1）,若a +b 与a 垂直，则m = .3.（2017全国Ⅱ理，12）已知是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则的ABC ∆()PA PB PC ⋅+u u u r u u u r u u u r 最小值是（ ）A. B. C. D.2-32-43-1-4.（2017全国Ⅱ文，4）设非零向量a,b 满足则a+b =a-b A.a b B. C.a ∥b D. ⊥a =b a b >5.（2017全国Ⅲ理，12）在矩形ABCD 中，AB=1，AD=2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上.若= +，则+的最大值为AP u u u r λAB u u u r μAD u u u r λμA.3 D.26.（2017全国Ⅲ文，13）已知向量，，且，则= 。

)3,2(-=→a ),3(m b =→→→⊥b a m 7.（2017山东文，13）已知向量a =（2,6），b = ，若a ∥b ，则 。

(1,)λ-λ=8.（2017山东理，12）已知12,e e 12-e 与12λ+e e 的夹角为60o ，则实数λ的值是9.（2017北京文，12）已知点P 在单位圆上，点A 的坐标为(-2,0)，O 为原点，则的最大值22=1x y +AO AP ⋅u u u r u u u r 为 。

10.（2017江苏文理，12）如图，在同一个平面内，向量α，且OA ，OB , tan α=7，的夹角为45°。

若OB 与OC =m +n （m ，n ∈OC OA OB 11.（2017浙江文，12）已知向量a,b 满足=1,=2,则的最小值是 ，最大值是 。

|a ||b ||a +b |+|a ‒b |12.（2017天津文理，14）在ABC △中，60A =︒∠，3AB =，2AC =.若2BD DC =u u u r u u u r ，()AE AC AB λλ∈=-R u u u r u u u r u u u r ，且4AD AE ⋅=-u u u ru u u r ，则λ的值为___________.。

2017年高考数学—向量（选择+填空+答案）1.（17全国2理12）已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+u u u r u u u r u u u r的最小值是（ ）A.2-B.32-C. 43- D.1- 2.（17全国2文4）设非零向量a ，b 满足+=-b b a a 则A. a ⊥bB. =b aC. a ∥bD. >b a3.（17全国3理12）在矩形ABCD 中，1,2AB AD ==，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP AB AD λμ=+u u u r u u u r u u u r，则λμ+的最大值为A ．3B ．CD ．24.（17北京理（6））设,m n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m n λ=”是“0m n ⋅<”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件5.（17北京文（7））设,m n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m n λ=”是“0m n <g ”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件6.（17全国1理13）已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则| a +2 b |= .7.（17全国1文13）已知向量a =（–1，2），b =（m ，1）.若向量a +b 与a 垂直，则m =______________.8.（17全国3文13）已知向量(2,3),(3,)a b m =-=，且a b ⊥，则m = .9.（17山东理（12））已知12,e e 是互相垂直的单位向量，12-e 与12λ+e e 的夹角为60o ，则实数λ的值是 .10.（17山东文（11））已知向量a =（2,6），b =(1,)λ- ，若//a b ，则λ= 。

2017高考分类汇编 平面向量解析版1、（2017北京文理）设m ,n 为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若，使，则两向量反向，夹角是，那么；若，那么两向量的夹角为，并不一定反向，即不一定存在负数，使得，所以是充分而不必要条件，故选A.2、（2017江苏卷）．如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，与的夹角为，且=7，与的夹角为45°．若，则 ▲ ．【答案】3【解析】由可得，根据向量的分解，易得，即，即，即得，所以．3、（2017山东理）（12）已知12,e e与的夹角为60︒，则实数的值是.λλ=m n 0<⋅m n 0λ∃<λ=m n ,m n 180︒cos1800⋅=︒=-<m n m n m n 0⋅<m n (]90,180︒︒λλ=m n OA OB OCOA OC αtan αOB OC OC mOA nOB =+(,)m n ∈R m n +=tan 7α=sin α=cos 10α=cos 45cos sin 45sin 0n m n m αα⎧︒+=⎪⎨︒-=⎪⎩0210n m =⎪-=⎪⎩510570n m n m +=⎧⎨-=⎩57,44m n ==3m n +=12-e 12λ+e e λ4、（2017山东文）（11）已知向量a =（2,6）,b =(1,)λ- ,若∥a b ,则λ= . 【答案】3- 【解析】由∥a b 可得162 3.λλ-⨯=⇒=-5、（2017天津）（13）在中，，，．若，，且，则的值为___________．【答案】【解析】由题可得，则．6、（2017浙江）10．如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝3，AC 与BD 交于点O ，记，，，则ABC △60A =︒∠3AB =2AC =2BD DC = ()AE AC AB λλ∈=-R 4AD AE ⋅=-λ3111232cos 603,33AB AC AD AB AC ⋅=⨯⨯︒==+12()33AD AE AB AC ⋅=+2123()34934333311AC AB λλλλ-=⨯+⨯-⨯-⨯=-⇒= 1·I OAOB ＝2·I OB OC ＝3·I OC OD＝（第10题图）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】因为，，，所以，故选C ．7、（2017全国1卷理）已知向量a ，b的夹角为60︒，2a = ，1b = ，则2a b += ________．【答案】【解析】()22222(2)22cos602a b a b a a b b+=+=+⋅⋅⋅︒+221222222=+⨯⨯⨯+444=++12=∴2a b + 8、（2017全国2卷理）【题目12】(2017·新课标全国Ⅱ卷理12)12.已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是（）A.2-B.32-C. 43- D.1- 【命题意图】本题主要考查等边三角形的性质及平面向量的线性运算﹑数量积，意在考查考生 转化与化归思想和运算求解能力 【解析】解法一：建系法连接PC ∴∴∴最小值为解法二：均值法∵2PC PB PO += ，∴ ()2PA PC PB PO PA ⋅+=⋅123I I I <<132I I I <<312I I I <<213I I I <<90AOB COD ∠=∠> OA OC <OB OD <0OB OC OA OB OC OD ⋅>>⋅>⋅由上图可知：OA PA PO =- ；两边平方可得()()2232PA PO PA PO =+-⋅∵()()222PA POPA PO +≥-⋅ ，∴ 322PO PA ⋅≥-∴ ()322PA PC PB PO PA ⋅+=⋅≥- ，∴最小值为32-解法三：配凑法 ∵2PC PB PO +=∴ ()()()()()222232222PO PA PO PAPO PA AOPA PC PB PO PA +--+-⋅+=⋅==≥-∴最小值为32-9、(2017全国卷2文)4.设非零向量a ，b 满足+=-b b a a 则A. a ⊥bB. =b aC. a ∥bD. >b a解析：ba b a b a b a b a b a ⊥⇒=⋅⇔-=+⇔-=+022选A10、（2017全国3卷理）12．在矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为（） A ．3 B． CD ．2 【答案】A【解析】由题意，画出右图．设BD 与C 切于点E ，连接CE ． 以A 为原点，AD 为x 轴正半轴， AB 为y 轴正半轴建立直角坐标系， 则C 点坐标为(2,1)． ∵||1CD =，||2BC =．∴BD ∵BD 切C 于点E ． ∴CE ⊥BD ．∴CE 是Rt BCD △中斜边BD 上的高．12||||22||||||BCD BC CD S EC BD BD ⋅⋅⋅====△()A O Dxy BP gCE即C． ∵P 在C 上．∴P 点的轨迹方程为224(2)(1)5x y -+-=．设P 点坐标00(,)x y ，可以设出P 点坐标满足的参数方程如下：0021x y θθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ 而00(,)AP x y = ，(0,1)AB = ，(2,0)AD =． ∵(0,1)(2,0)(2,)AP AB AD λμλμμλ=+=+=∴0112x μθ==，01y λθ==． 两式相加得：112)2sin()3λμθθθϕθϕ+=++=+=++≤(其中sin ϕ=，cos ϕ=当且仅当π2π2k θϕ=+-，k ∈Z 时，λμ+取得最大值3． 11、（2017全国卷3文）13．已知向量(2,3),(3,)a b m =-=，且a ⊥b ，则m =. 【答案】2【解析】由题意可得：2330,2m m -⨯+=∴=.。

2017年高考数学试题分项版—平面向量（解析版）一、选择题1．(2017·全国Ⅱ文，4)设非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则( ) A ．a ⊥b B ．|a |＝|b | C ．a ∥b D ．|a |>|b |1．【答案】A【解析】方法一 ∵|a ＋b |＝|a －b |， ∴|a ＋b |2＝|a －b |2.∴a 2＋b 2＋2a·b ＝a 2＋b 2－2a·b . ∴a·b ＝0.∴a ⊥b . 故选A.方法二 利用向量加法的平行四边形法则． 在▱ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ， 由|a ＋b |＝|a －b |知|AC →|＝|DB →|，从而四边形ABCD 为矩形，即AB ⊥AD ，故a ⊥b . 故选A.2．(2017·北京文，7)设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m·n <0”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 2．【答案】A【解析】方法一 由题意知|m |≠0，|n |≠0. 设m 与n 的夹角为θ. 若存在负数λ，使得m ＝λn ， 则m 与n 反向共线，θ＝180°， ∴m ·n ＝|m ||n |cos θ＝－|m ||n |＜0.当90°＜θ＜180°时，m ·n ＜0，此时不存在负数λ，使得m ＝λn . 故“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n ＜0”的充分而不必要条件． 故选A.方法二 ∵m ＝λn ，∴m ·n ＝λn ·n ＝λ|n |2. ∴当λ＜0，n ≠0时，m ·n ＜0.反之，由m ·n ＝|m ||n |cos 〈m ，n 〉<0⇔cos 〈m ，n 〉＜0⇔〈m ，n 〉∈⎝⎛⎦⎤π2，π，当〈m ，n 〉∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，m ，n 不共线．故“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n ＜0”的充分而不必要条件． 故选A.3．(2017·全国Ⅱ理，12)已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则P A →·(PB →＋PC →)的最小值是( ) A ．－2 B ．－32C ．－43D ．－13．【答案】B【解析】方法一 (解析法)建立坐标系如图①所示，则A ，B ，C 三点的坐标分别为A (0，3)， B (－1,0)，C (1,0)．设P 点的坐标为(x ，y )， 则P A →＝(－x ，3－y )，PB →＝(－1－x ，－y )， PC →＝(1－x ，－y )，∴P A →·(PB →＋PC →)＝(－x ，3－y )·(－2x ，－2y )＝2(x 2＋y 2－3y )＝2[x 2＋⎝⎛⎭⎫y －322－34]≥2×⎝⎛⎭⎫－34＝－32. 当且仅当x ＝0，y ＝32时，P A →·(PB →＋PC →)取得最小值，最小值为－32. 故选B.方法二 (几何法)如图②所示，PB →＋PC →＝2PD →(D 为BC 的中点)，则P A →·(PB →＋PC →)＝2P A →·PD →.要使P A →·PD →最小，则P A →与PD →方向相反，即点P 在线段AD 上，则(2P A →·PD →)min ＝－2|P A →||PD →|，问题转化为求|P A →||PD →|的最大值． 又|P A →|＋|PD →|＝|AD →|＝2×32＝3，∴|P A →||PD →|≤⎝⎛⎭⎪⎫|P A →|＋|PD →|22＝⎝⎛⎭⎫322＝34， ∴[P A →·(PB →＋PC →)]min ＝(2P A →·PD →)min ＝－2×34＝－32.故选B.4．(2017·全国Ⅲ理，12)在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP →＝λAB →＋μAD →，则λ＋μ的最大值为( ) A ．3 B ．2 2C. 5D ．24．【答案】A【解析】建立如图所示的直角坐标系，则C 点坐标为(2,1)．设BD 与圆C 切于点E ，连接CE ，则CE ⊥BD . ∵CD ＝1，BC ＝2， ∴BD ＝12＋22＝5， EC ＝BC ·CD BD ＝25＝255，即圆C 的半径为255，∴P 点的轨迹方程为(x －2)2＋(y －1)2＝45.设P (x 0，y 0)，则⎩⎨⎧x 0＝2＋255cos θ，y 0＝1＋255sin θ(θ为参数)，而AP →＝(x 0，y 0)，AB →＝(0,1)，AD →＝(2,0)． ∵AP →＝λAB →＋μAD →＝λ(0,1)＋μ(2,0)＝(2μ，λ)， ∴μ＝12x 0＝1＋55cos θ，λ＝y 0＝1＋255sin θ.两式相加，得λ＋μ＝1＋255sin θ＋1＋55cos θ＝2＋sin(θ＋φ)≤3⎝⎛⎭⎫其中sin φ＝55，cos φ＝255，当且仅当θ＝π2＋2k π－φ，k ∈Z 时，λ＋μ取得最大值3.故选A.5．(2017·北京理，6)设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n <0”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件5．【答案】A【解析】方法一 由题意知|m |≠0，|n |≠0. 设m 与n 的夹角为θ.若存在负数λ，使得m ＝λn ，则m 与n 反向共线，θ＝180°， ∴m ·n ＝|m ||n |cos θ＝－|m ||n |＜0.当90°＜θ＜180°时，m ·n ＜0，此时不存在负数λ，使得m ＝λn . 故“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n ＜0”的充分而不必要条件． 故选A.方法二 ∵m ＝λn ，∴m ·n ＝λn ·n ＝λ|n |2. ∴当λ＜0，n ≠0时，m ·n ＜0.反之，由m ·n ＝|m ||n |cos 〈m ，n 〉＜0⇔cos 〈m ，n 〉＜0⇔〈m ，n 〉∈⎝⎛⎦⎤π2，π， 当〈m ，n 〉∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，m ，n 不共线．故“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n ＜0”的充分而不必要条件， 故选A. 二、填空题1．(2017·全国Ⅰ文，13)已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(m,1)．若向量a ＋b 与a 垂直，则m ＝________. 1．【答案】7【解析】∵a ＝(－1,2)，b ＝(m,1)， ∴a ＋b ＝(－1＋m,2＋1)＝(m －1,3)． 又a ＋b 与a 垂直，∴(a ＋b )·a ＝0， 即(m －1)×(－1)＋3×2＝0， 解得m ＝7.2．(2017·全国Ⅲ文，13)已知向量a ＝(－2,3)，b ＝(3，m )，且a ⊥b ，则m ＝________. 2．【答案】2【解析】∵a ＝(－2,3)，b ＝(3，m )，且a ⊥b ， ∴a·b ＝0，即－2×3＋3m ＝0，解得m ＝2.3．(2017·天津文，14)在△ABC 中，∠A ＝60°，AB ＝3，AC ＝2，若BD →＝2DC →，AE →＝λAC →－AB →(λ∈R )，且AD →·AE →＝－4，则λ的值为________． 3．【答案】311【解析】由题意，知|AB →|＝3，|AC →|＝2， AB →·AC →＝3×2×cos 60°＝3，AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(AC →－AB →)＝13AB →＋23AC →， ∴AD →·AE →＝⎝⎛⎭⎫13AB →＋23AC →·(λAC →－AB →) ＝λ－23AB →·AC →－13AB →2＋2λ3AC →2＝λ－23×3－13×32＋2λ3×22＝113λ－5＝－4，解得λ＝311. 4．(2017·山东文，11)已知向量a ＝(2,6)，b ＝(－1，λ)，若a ∥b ，则λ＝________. 4．【答案】－3【解析】∵a ∥b ，∴2λ－6×(－1)＝0，解得λ＝－3.5．(2017·浙江，15)已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，则|a ＋b |＋|a －b |的最小值是________，最大值是________． 5．【答案】4 2 5【解析】设a ，b 的夹角为θ， ∵|a |＝1，|b |＝2，∴|a ＋b |＋|a －b |＝(a ＋b )2＋(a －b )2＝5＋4cos θ＋5－4cos θ. 令y ＝5＋4cos θ＋5－4cos θ. 则y 2＝10＋225－16cos 2θ. ∵θ∈[0，π]，∴cos 2θ∈[0,1]， ∴y 2∈[16,20]，∴y ∈[4,25]，即|a ＋b |＋|a －b |∈[4,25]．6．(2017·浙江，10)如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝3，AC 与BD 交于点O ，记I 1＝OA →·OB →，I 2＝OB →·OC →，I 3＝OC →·OD →，则( )A ．I 1＜I 2＜I 3B ．I 1＜I 3＜I 2C ．I 3＜I 1＜I 2D ．I 2＜I 1＜I 36．【答案】C【解析】∵I 1－I 2＝OA →·OB →－OB →·OC →＝OB →·(OA →－OC →)＝OB →·CA →， 又OB →与CA →所成角为钝角， ∴I 1－I 2＜0，即I 1＜I 2.∵I 1－I 3＝OA →·OB →－OC →·OD →＝|OA →||OB →|cos ∠AOB －|OC →||OD →|cos ∠COD ＝cos ∠AOB (|OA →||OB →|－|OC →||OD →|)， 又∠AOB 为钝角，OA ＜OC ，OB ＜OD ， ∴I 1－I 3＞0，即I 1＞I 3. ∴I 3＜I 1＜I 2， 故选C.7．(2017·江苏，12)如图，在同一个平面内，向量OA →，OB →，OC →的模分别为1,1，2，OA →与OC →的夹角为α，且tan α＝7，OB →与OC →的夹角为45°.若OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，则m ＋n＝________.7．【答案】3【解析】方法一 因为tan α＝7， 所以cos α＝210，sin α＝7210. 过点C 作CD ∥OB 交OA 的延长线于点D ，则OC →＝OD →＋DC →，∠OCD ＝45°. 又因为OC →＝mOA →＋nOB →， 所以OD →＝mOA →，DC →＝nOB →， 所以|OD →|＝m ，|DC →|＝n .在△COD 中，由正弦定理得|DC →|sin α＝|OD →|sin ∠OCD ＝|OC →|sin ∠ODC ，因为sin ∠ODC ＝sin(180°－α－∠OCD )＝sin(α＋∠OCD )＝45，即n 7210＝m 22＝245， 所以n ＝74，m ＝54，所以m ＋n ＝3.方法二 由tan α＝7可得cos α＝152，sin α＝752，则152＝OA →·OC →|OA →||OC →|＝m ＋nOA →·OB →2，由cos ∠BOC ＝22可得22＝OB →·OC →|OB →||OC →|＝mOA →·OB →＋n 2，cos ∠AOB ＝cos(α＋45°)＝cos αcos 45°－sin αsin 45° ＝152×22－752×22＝－35，则OA →·OB →＝－35，则m －35n ＝15，－35m ＋n ＝1，则25m ＋25n ＝65，则m ＋n ＝3. 8．(2017·全国Ⅰ理，13)已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________. 8．【答案】2 3 【解析】方法一 |a ＋2b |＝(a ＋2b )2 ＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝22＋4×2×1×cos 60°＋4×12 ＝12＝2 3. 方法二(数形结合法)由|a |＝|2b |＝2知，以a 与2b 为邻边可作出边长为2的菱形OACB ，如图，则|a ＋2b |＝||.又∠AOB ＝60°，所以|a ＋2b |＝2 3.9．(2017·天津理，13)在△ABC 中，∠A ＝60°，AB ＝3，AC ＝2.若BD →＝2DC →，AE →＝λAC →－AB →(λ∈R )，且AD →·AE →＝－4，则λ的值为________． 9．【答案】311【解析】由题意知|AB →|＝3，|AC →|＝2， AB →·AC →＝3×2×cos 60°＝3，AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(AC →－AB →)＝13AB →＋23AC →，∴AD →·AE →＝⎝⎛⎭⎫13AB →＋23AC →·(λAC →－AB →) ＝λ－23AB →·AC →－13AB →2＋2λ3AC →2＝λ－23×3－13×32＋2λ3×22＝113λ－5＝－4，解得λ＝311. 10．(2017·山东理，12)已知e 1，e 2是互相垂直的单位向量，若3e 1－e 2与e 1＋λe 2的夹角为60°，则实数λ的值是________． 10．【答案】33【解析】由题意知|e 1|＝|e 2|＝1，e 1·e 2＝0，|3e 1－e 2|＝(3e 1－e 2)2＝3e 21－23e 1·e 2＋e 22＝3－0＋1＝2. 同理|e 1＋λe 2|＝1＋λ2.所以cos 60°＝(3e 1－e 2)·(e 1＋λe 2)|3e 1－e 2||e 1＋λe 2|＝3e 21＋(3λ－1)e 1·e 2－λe 2221＋λ2＝3－λ21＋λ2＝12，解得λ＝33.。

平面向量的基本定理及向量坐标运算一、填空题1.(2017·全国乙卷文科·T13)已知向量a=(-1,2),b=(m,1).若向量a+b与a垂直,则m=.【命题意图】本题考查平面向量的坐标运算,及平面向量的垂直问题.【解题指南】如果a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b的充要条件是x1x2+y1y2=0.【解析】由题得a+b=(m-1,3),因为(a+b)·a=0,所以-(m-1)+2×3=0,解得m=7.答案:72.(2017·北京高考文科·T12)已知点P在圆x2+y2=1上,点A的坐标为(-2,0),O为原点,则AO·AP的最大值为.【命题意图】本题主要考查圆的方程与数量积运算,意在培养学生的计算与数形结合及推理能力.【解析】设P(x,y),则x2+y2=1,所以AO·AP=(2,0)·(x+2,y)=2(x+2),因为点P在圆x2+y2=1上,所以-1≤x≤1,所以AO·AP ∈[2,6].所以AO·AP的最大值为6.答案:63.(2017·天津高考理科·T13)在△ABC中,∠A=60°,AB=3,AC=2.若错误!未找到引用源。

=2错误!未找到引用源。

,错误!未找到引用源。

=λAC-AB(λ∈R),且错误!未找到引用源。

·错误!未找到引用源。

=-4,则λ的值为.【命题意图】考查平面向量线性运算及数量积运算.要求考生熟练掌握数量积公式,准确计算出结果.【解析】错误!未找到引用源。

·错误!未找到引用源。

=3×2×cos60°=3,错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

+错误!未找到引用源。

,错误!未找到引用源。

·错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

·错误!未找到引用源。

1.【2005高考北京理第3题】｜a |=1，| b |=2,c = a + b，且c⊥a,则向量a与b的夹角为( ）A．30°B．60°C．120°D．150°【答案】C【解析】考点:数量积公式。

2。

【2006高考北京理第2题】若a与b c-都是非零向量，则“a b a c⋅=⋅"是“()⊥-"的（）a b cA。

充分而不必要条件B。

必要而不充分条件C.充分必要条件D。

既不充分也不必要条件【答案】C【解析】a b a c⊥（－）•（－）＝a b c⋅=⋅a b a c0••－＝a b c0故选C3。

【2007高考北京理第4题】已知O是ABC△所在平面内一点，D为BC边中点,且20++=，那么( )OA OB OCＡ．AO OD=Ｄ．2AO OD=AO ODAO OD=Ｂ．2=Ｃ．34。

【2009高考北京理第2题】已知向量a、b不共线，c k=a+b(k∈R)，d=a-b,如果c//d，那么( ）A．1k=且c k=且c与d同向B．1与d反向C．1k=-且c k=-且c与d同向D．1与d反向【答案】D【解析】考点：向量的共线(平行）、向量的加减法。

5. 【2010高考北京理第6题】a，b为非零向量．“a⊥b"是“函数f （x）＝(x a＋b）·（x b－a)为一次函数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】 试题分析：f （x ）＝x 2a ·b ＋(b 2－a 2）x －a ·b 为一次函数a ⊥b 且｜a ｜≠｜b |。

考点：充分必要条件；向量的数量积。

6。

【2006高考北京理第11题】若三点(2,2),(,0),(0,)(0)A B a C b ab ≠共线,则11a b+的值等于 【答案】_______127. 【2008高考北京理第10题】已知向量a 与b 的夹角为120，且4==a b ,那么(2)+b a b 的值为 ．【答案】0［］【解析】试题分析:利用数形结合知，向量a 与2a+b 垂直。

5.平面向量(含解析)、选择题uuur umr【2015，2】2 •已知点A(0,1), B(3,2)，向量AC ( 4, 3)，则向量BC ( )A • (-7,-4)B • (7,4) C. (-1,4) D • (1,4)【2014, 6】设D.E.F分别为A ABC的三边BC,CAAB的中点，贝U EB FC ( )一 1 一1 —A. ADB. — ADC. — BCD. BC2 2:■、填空题【2017, 13】已知向量a 1,2 , br m,1，若向量a b与a垂直，则m _______________【2016, 13】设向量a = x, x 1 , b = 1,2，且a b，则x ___________________ .【2013，13】已知两个单位向量a，b的夹角为60° c = ta + (1 —t)b.若b c= 0，则t= ___________ 【2012，15】15.已知向量a，b 夹角为45° 且|；| 1，|2； b| J10，则|b| ______________ 【2011,13】已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a b与向量ka b垂直,2011 —2017年新课标全国卷2文科数学试题分类汇编4.平面向量-、选择题(2017 4)设非零向量a, b，满足a+b = a - b贝9()A. a 丄bB. a = bC. a // bD. a b(2015 4)向量a = (1 , -1), b = (-1, 2)，则(2a +b) a =( )A. -1B. 0C. 1D. 2(2014 4)设向量a,b 满足|a b | 10 , |a b| .. 6，则a b ( )A . 1B . 2C . 3D . 5:■、填空题(201613)已知向量a=(m,4), b=(3,-2)，且a // b，贝U m= ___________ .uiu uur(2013 14)已知正方形ABCD的边长为2, E为CD的中点，贝U AE BD ____________ .(2012 15)已知向量a, b 夹角为45o,且|a|=1, |2a b|=..f0，则|b|= ______ .(2011 13)已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a+b与向量ka-b垂直,k= ____5.平面向量（解析版）、选择题二、填空题22 2 解析：-.由题意a b x 2 x 1 0，解得x -.故填 -. 33 3 【2013, 13】已知两个单位向量 a , b 的夹角为60° c = ta + (1 — t)b .若b c = 0，则t= _________1 1 解析：2 . T b c= 0, |a|= |b|= 1,〈 a , b 〉= 60°, — a b = 1 1 — — 2 2 '1 ••• b c= [ta + (1 — t)b] b = 0，即 ta b + (1 — t)b2 = 0 .二一t + 1—1= 0 /. t = 2 2 r r r r r _ r 【2012, 15】15.已知向量 a , b 夹角为 45° 且 |a| 1, |2a b| ，则 |b| ____________________因为 |2a b| .10，所以 4|a|2 4a b |b|2 10，即 |b|2 2 2|b|6 0 ,解得 |b| 3 2 .【2011,13】已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量a b 与向量ka b 垂直，则k【解析】因为a 与b 为两个不共线的单位向量，所以 |a b 1.又ka b 与a b 垂直，所以 a b ka b 0,2 2即 ka ka b a b b 0,所以 k 1 ka b a b 0,即k 1 kcos cos 0 .(为a 与b 的夹角)所以k 1 1 cos 0,又a 与b 不共线，所以cos 1，所以k 1 .故答案为1.2011 — 2017年新课标全国卷2文科数学试题分类汇编4.平面向量（解析版）、选择题【2015， 2】 解: uuu Q AB (3,1), uuu uuur BC AC uuu AB =(-7,-4)，故选【2014， 6】 解: uu u EB um r FC uu u EC uuu uur CB+FB uuu 1 uur BC =— AC 2 1 uur — AB2 1 uur uun uur -(AB AC) AD,故选 A 【2017, 13】已知向量1,2 ，b m,1，若向量 a b 与a 垂直，则m 【解析】 由题得 a b (m 1,3），因为（a b ） a 0，所以（m 1） 2 30，解得 m 7 ； 【2016， 13】 设向量a = x, x1 ， b = 1,2，且 a b ，则 x【解析】3 2 . 由已知 a b | a | | b | cos45 |b| .r r r r r 2 rr r 2 r 2 rr r 2 rrr r(2017 4) A 解析：由 |a b| |a b| 平方得(a)2 2ab (b)2 (a)2 2ab (b)2，即 ab 0,则 a b , 故选A.(2015 4) C 解析：由题意可得 a 2=2, a b=-3,所以(2a+b) a=2a 2+a b=4-3=1.(2014 4) A 解析：Q|a b| ,.10,Qa 2 b 2 2ab 10.Q|S! b| ,6, a 2 b 2 2ab 6.两式相减， 则ab i.:■、填空题 (2016 13) (2013 14) -6解析：因为a // b ，所以 uuu AE 2解析：在正方形中, 3 0, uuu uuiu DC) 2m 4 uuiu 1 AD DC , 2 uuu? AD 解得 uuu BD m uir BA 6 • uuu AD uuu AD uuu DC ，所以 uuu uuu uuiu 1 uuu uuiu AE BD (AD DC) (AD (2012 15) 3 . 2 解析：T |2a b|= ,10 , |b|=3 2 或 2 (舍)(2011 13) k = 1 解析：(a+b) (ka-b)=0 展开易得 平方得 1 uuu? -DC 2 4a 2 4a 1 2b+ b 22222 2. 10 ,即 |b |2 2 | b | 6 0,解得 k=1.。