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高中数学2.1.5平面上两点间的距离课件苏教必修2

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高中数学必修二课件：第2章 空间两点间的距离公式 参考课件

高中数学必修二课件：第2章 空间两点间的距离公式 参考课件

O
y
第九页，编辑于星期日：二十三点 四十九分。
3.3空间两点间的距离公式
问题1：长方体的对角线是长方体中的那一条线段？
问题2：怎样测量长方体的对角线的长？ 问题3：已知长方体的长、宽、高分别是a、b、c，则对
角线的长
d
a2 b2 c2
第十页，编辑于星期日：二十三点 四十九分。
问题4：给出空间两点A(x1,y1,z1),P(x2,y2,z2) 可否类比得到一个距离公式？
z
1、设O(0,0,0),P(x0,y0,z0)则
OP
OA 2 OB 2 OC 2 A o
x02 y02 z02
x
P C y
B
第十一页，编辑于星期日：二十三点 四十九分。
设M 1(x 1，y 1，z 1)、M 2(x 2，y 2，z 2)为空间两点．
作一个以M 1和M 2为对角线顶 点的长方体，使其三个相邻的面 分别平行于三个坐标面． z
z
M1 P
O
M2
Qy
与z 轴平行的边的边长为|z 2z 1|．
x
因为 | M1M2 | 2 = | M1Q | 2 + | M2Q | 2 = | M1P | 2 + | PQ | 2 + | M2Q | 2 ．
所以 d | M1M2 |
第十五页，编辑于星期日：二十三点 四十九分。
例１ 求空间两点Ａ（３，－２，５）， Ｂ（６，０，－１）的距离ＡＢ
第一页，编辑于星期日：二十三点 四十九分。
卦 限： 三个坐标面把 空间分成八个部分， 每一部分叫做卦限．
x
z 第一卦限
O
y
第二页，编辑于星期日：二十三点 四十九分。

高中数学必修2第二章点直线平面之间的位置关系211平面及其表示法(含习题课)PPT课件

高中数学必修2第二章点直线平面之间的位置关系211平面及其表示法(含习题课)PPT课件

1，2，3（1）（2）
21
补充练习金太：阳教育网
l 1、A为直线 l上的点，又点A不在平面
与 的公共点最多有 _______1个.
品质来自专业 信赖源于诚信
内，则
2、四条直线过同一点，过每两条直线作一个平
面，则可以作_____1_或___4_或___6个不同的平面 .
22
金太阳教育网
品质来自专业 信赖源于诚信
2
金实太阳教例育网引入
品质来自专业 信赖源于诚信
观察活动室里的地面，它呈现出怎样的形象？
3
一.平面金太的阳教育概网 念：
品质来自专业 信赖源于诚信
光滑的桌面、平静的湖面等都是我们
熟悉的平面形象，数学中的平面概念是现
实平面加以抽象的结果。
二.平面的特征：
平面没有大小、厚薄和宽窄，平面在空 间是无限延伸的。
文字语金言太阳：教育网 公理1.如果一条直线上两点品信质赖在来源自于专诚一业信 个平面内，那么这条直线在此平
面内（即这条直线上的所有的点
23
点、线金、太阳面教之育网间的位置关系及语言表达
品质来自专业
信赖源于诚信
文字语言表达 图形语言表达 符号语言表达
点A在直线a上 点A不在直线a上
A
a
A
a
A∈a A∈a
点A在平面α上 点A不在平面α上 直线a在平面α内
α
A
α
α
A
a a
A∈α A∈ α
aα
a b∩α＝A
直线a在平面α外 α
A α
a∩α＝φ 或 a∥α24
B A
B
CαA
C
公理2.过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.

2021年高中数学第2章平面解析几何初步2.1.6点到直线的距离课件6苏教版必修2

2021年高中数学第2章平面解析几何初步2.1.6点到直线的距离课件6苏教版必修2
【解】 (1)将直线方程化为一般式为 x－y－3＝0， 由点到直线的距离公式，得 d1＝ |112－＋2(－－31|)2＝2 2.
(2)法一：直线方程化为一般式为 y＋1＝0， 由点到直线的距离公式，得 d2＝ |20＋2＋11| 2＝3. 法二：∵y＝－1 平行于 x 轴(如图所示)， ∴d2＝|－1－2|＝3. (3)法一：y 轴的方程为 x＝0， 由点到直线的距离公式，得 d3＝|1＋120＋＋002|＝1. 法二：如图所示，可知 d3＝|1－0|＝1.
|4×4－3a－1| |15－3a| 解析 d＝ 42＋－32 ＝ 5 ≤3，|3a－15|≤15， ∴－15≤3a－15≤15，0≤a≤10.
解析答案
3.假设点P到直线5x－12y＋13＝0和直线3x－4y＋5＝0的距离 相等，那么点P的坐标应满足的方程是 什么？
解析 设点P的坐标为(x，y)， |5x－12y＋13| |3x－4y＋5|
解析答案
解 假设直线l1，l2的斜率存在，设直线l1与l2的斜率为k，
由斜截式得l1的方程为y＝kx＋1，即kx－y＋1＝0；
由点斜式可得l2的方程为y＝k(x－5)，
即kx－y－5k＝0.
在直线l1上取点A(0，1)， |1＋5k|
则点 A 到直线 l2 的距离 d＝ 1＋k2＝5，
∴25k2＋10k＋1＝25k2＋25，∴k＝152. ∴l1的方程为12x－5y＋5＝0， l2的方程为12x－5y－60＝0.
分析：由平面几何知识可知：过点的直线只有过AB 的中点时或平行于AB时，两点到直线距离相等。
l例3：求过点M〔-2，1〕且与A〔-1，2〕，B〔3，0〕 两点距离相等的直线的方程？
解：(1)假设L//AB，那么直线L方程为x+2y=0 (2)假设L过AB的中点N〔1，1〕，那么直 线的方程为y=1.

【数学】2.1.5 平面直角坐标系中的距离 课件(北师大必修2)

【数学】2.1.5 平面直角坐标系中的距离 课件(北师大必修2)

4.我们两条 平行直线间的距离便成为新的课题.
知识探究（一）：点到直线的距离
思考1:你能设计一个方案求点P(x0，y0) 到直线l：Ax+By+C=0的距离吗？
y
B Q
P o
A l
x
思考2:根据上述分析，点P(x0，y0)到直 线l：Ax +By +C=0的距离为：
第二章 解析几何初步
2.1.5 平面直角坐标系中的距离公式
一、两点间的距离:连结两点的线段的长度
A B
如图：线段AB的长就是点A、B之间的距离
A B
二、数轴上两点间的距离公式为： AB x x
B A
平面内任意两点间的距离
例如：已知平面上两点P1（x1,y1)， P2（x2,y2),如 何求P1,P2的距离 P1P2 ？ y P1(x1,y1)
P2(x2,y2)
o
x
| P P | 1 2
( x2 x1 ) ( y2 y1 )
2
2
特别地，原点O（0，0）与任意一点P(x,y)的距离为
练习
OP
x y
2
2
1、求下列两点间的距离：
(1)、A(6，0),B(-2，0) (2)、A(0，-4),B(0，-1)
(3)、A(6，0),B(0，-2)
d | Ax0 By0 C | A B
2 2
这是点到直线的距离公式.当直线l平行 于坐标轴时，公式是否成立？
知识探究（二）：两平行直线的距离
思考1:两条平行直线的相对位置关系常 通过距离来反映，两平行直线间的距离 的含义是什么？
A
B
思考2:根据上述思路，你能推导出两平 行直线l1：Ax+By+C1=0与l2：Ax+By+C2=0 （C1≠C2）之间的距离d的计算公式吗？

高中数学北师大版必修二 2.1.5平面直角坐标系中的距离公式 课件(29张)

高中数学北师大版必修二 2.1.5平面直角坐标系中的距离公式 课件(29张)

问题导学
当堂检测
1.对于任意两点,只要给出两点的坐标,就可利用公式求出两点间 的距离,但应注意公式中被开方式是相应坐标差的平方和 ,不能将纵横 坐标混用. 2.判断三角形的形状时,可以利用边长的关系,有时也可以利用角 的关系,对于特殊的图形,其一些特殊性质也应加强记忆与应用.
问题导学
当堂检测
2.点到直线的距离公式及应用 活动与探究 例 2 求点 P(1,2)到下列直线的距离: (1)l1:y=x-3;(2)l2:y=-1;(3)y 轴. 思路分析:先将直线方程化成一般式,再利用点到直线的距离公式 求解,特殊直线也可以数形结合求距离. 解:(1)将直线方程化为一般式为 x-y-3=0, 由点到直线的距离公式得 d1=
1.5
平面直角坐标系中的距离公式
目标导航
预习引导
学习目标
1.记住直角坐标系中两点间的距离公式,会用坐标法证明简单的 几何问题. 2.会推导并记住点到直线的距离公式,会求点到直线的距离公式. 3.能把求两平行线的距离转化为点到直线的距离. 重点:两点间的距离公式、点到直线的距离公式. 难点:用坐标法证明简单的几何问题时坐标系的建立. 疑点:在用点到直线的距离公式时直线方程必须化为一般式.
|1-2-3| 1 +(-1)
2 2
= 2 2.
问题导学
当堂检测
(2)方法一:直线方程化为一般式为 y+1=0, 由点到直线的距离公式得 d2=
|2+1| 02 y=-1 平行于 x 轴, ∴ d2=|-1-2|=3.
问题导学
当堂检测
(3)方法一:y 轴的方程为 x=0,由点到直线的距离公式得 d3=
目标导航
预习引导
2.点到直线的距离公式 点 P(x0,y0)到直线 Ax+By+C=0 的距离 d=

2025版新教材高中数学第2章两点间的距离公式pptx课件新人教A版选择性必修第一册

2025版新教材高中数学第2章两点间的距离公式pptx课件新人教A版选择性必修第一册
2．通过学习两点间的距离，培养逻辑推理和直观想象的数学素养.
必备知识•探新知
知识点 1 两条直线的交点
1．两直线的交点 已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0.点A(a，b)． (1)若点A在直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0上，则有_A__1a_＋__B_1_b_＋__C_1_＝__0____.
对点训练❷ (1)若不论m取何实数，直线l：mx＋y－1＋2m＝ 0恒过一定点，则该定点的坐标是_____(－__2_,_1_)_____.
(2)直线l过直线x＋y－2＝0和直线x－y＋4＝0的交点，且与直线3x－ 2y＋4＝0平行，求直线l的方程．
[解析] (1)直线 l：mx＋y－1＋2m＝0 可化为 m(x＋2)＋(y－1)＝0，
一组
无数组
直线 l1 与 l2 的公共点的个数 直线 l1 与 l2 的位置关系
一个 __相__交___
__无__数__个___ 重合
__无__解___
零个 __平__行___
做一做：直线x＋y＝5与直线x－y＝3交点坐标是( B )
A．(1,2)
B．(4,1)
C．(3,2)
D．(2,1)
[解析] 解方程组xx－＋yy＝＝35，， 得xy＝ ＝41， ， 因此交点坐标为(4,1)，故
两点间距离公式的应用
3．已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(－3,1)，B(3，－3)， C(1,7)，试判断△ABC的形状．
[分析] 可求出三条边的长，根据所求长度判断三角形的形状．
[解析] 方法一：∵|AB|＝ 3＋32＋－3－12＝ 52， |AC|＝ 1＋32＋7－12＝ 52， |BC|＝ 1－32＋7＋32＝ 104， ∴|AB|＝|AC|，且|AB|2＋|AC|2＝|BC|2. ∴△ABC 是等腰直角三角形． 方法二：∵kAC＝1－7－－13＝32，kAB＝3－－3－ －13＝－23，∴kAC·kAB＝－1. ∴AC⊥AB. 又|AC|＝ 1＋32＋7－12＝ 52， |AB|＝ 3＋32＋－3－12＝ 52， ∴|AC|＝|AB|.∴△ABC 是等腰直角三角形．

新课标人教A版高中数学必修二《两点间的距离公式》课件


P
oP
x
A1
变式训练3:
勇于尝试
<学有所获3>
若A、B两点在目标直线l的同侧，只需找其中一点 关于直线l的对称点(如A点的对称点A1)，则|A1B|为所 求的最短距离,直线A1B与直线l的交点为所求的点P。 (本质：三角形中两边之和大于第三边。)
<数学与生活3>
问题:若要修建两条高速公路PA、PB,
解：如图，d |PA||PB||AB|
(2 1)2 (3 2)2 34
直线AB的方程为：y
2
5(x 3
1)
y •B
令y
0,得：x
1 5
,
P
oP
x
故所求点P
的坐
标为
(1 5
,
0
)
,dm
i
n
34
A•
<学有所获2>
若A、B两点在直线l的异侧，则直线AB与 直线l的交点为所求的点P,且最短距离为|AB|。 (本质：两点之间,直线段最短。)
<数学与生活2>
问题:如果你打算从A地去B地旅行,途经郊外,如
图.你将会怎样走用时最省?
B
数学:d=|AP|+|PB|取最小值.
生活:两点之间,直线段最短, 时间最省.
郊
外
A
郊
外
P
变式训练2:
2.已知点A(-1,2)、B(2,3),在x轴上求一点P,使
d=|PA|+|PB|取最小值. y
•B
A
•
解：由 (0- a)2 (10 5)2 17
得：a2=172-152 =(17+15)(17-15) =64

苏教版高中数学教材必修2


1.2 点、线、面之间的位置关系
直线与平面垂直的判定定理1： 如果一条直线和一个平面内的两条相交 直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面． l⊥a
l⊥b
a⊂ l⊥ * 线线垂直 线面垂直
第1章 立体几何初步
b⊂
a∩b＝A
苏教版高中数学教材必修2
1.2 点、线、面之间的位置关系
直线与平面垂直的判定定理2： 求证： 如果两条平行直线中的一条垂直于一 个平面，那么另一条也垂直于这个平面．
—— 直线a的垂面；

P —— 垂足．
a⊥，l⊂ a⊥l．
第1章 立体几何初步
苏教版高中数学教材必修2
1.2 点、线、面之间的位置关系
过一点有 无数
条直线与已知直线垂
直；
过一点有且只有一 条直线与已知平面垂 直； 过一点有且只有一 个平面与已知直线垂 直．
苏教版高中数学教材必修2 第1章 立体几何初步
苏教版高中数学教材必修2 第1章 立体几何初步
1.2 点、线、面之间的位置关系
P
A
l
一条直线和一个
平面相交但是不 垂直，称这条直 线为这个平面的斜线； 斜线和平面的交点叫 做斜足；

R
Q
A’
从平面外一点向平面引斜线，点与斜足间的线
段叫做点到平面的斜线段； 过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的
判断：
1．a∥b，b∥c，则a∥c． T
2．a⊥b，b⊥c，则a∥c． F 3．a⊥b，b∥c，则a⊥c． T
苏教版高中数学教材必修2
第1章
立体几何初步
1.2 点、线、面之间的位置关系
直线与平面垂直：
如果一条直线a与一个平面内的任意一

高中数学2.1.5平面上两点间的距离公式课件苏教版必修2

y
A（-1，3） D（2，4） A（-1，3）
y
o
B（3，-2）
x
C（6，-1）
A1

M( x, y)
C1
o
M1
x
C（6，-1）
二 构建数学:
设线段AC的中点M的坐标为（x,y），过A， M,C 分别向x轴作垂线，垂足分别为A1，M1 ,C1 ，
则A1，M1 ,C1的横坐标分别为 -1，x,6,
y
方法一 可以根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形 来证明 。由两直线平行的条件，可以证明 AD//BC,AB//CD, 所以四边形ABCD是平行四边形。 y
D（2，4） A（-1，3）
o
B（3，-2）
x
C（6，-1）
问题1：
方法二 根据对边相等的四边形是平行四边形来判断，
问题3
已知点A（-1，3），B（3，-2），C（6，-1） D（2，4），求证：四边形ABCD是为平行四边形。
那么就需要计算这四个边的长度， 先计算点 A（-1，3），B（3，-2）间的距离。 y
A（-1，3） D（2，4）
o
B（3，-2）
x
C（6，-1）
过A，B 分别向x轴，y轴作垂线，两条垂线相 交于点P，则点P的坐标为 （-1，-2）.于是 PA=|3-(-2)|=5, PB=|3-(-1)|=4 在直角△APB中，由勾股定理，知
1 1 1
o
2 1
x
Q( x , y )
二 构建数学:
2 2 PP | PQ | | P Q | 1 2 1 2
= ( x1 x2 ) ( y1 y2 )
2
2
()
y

2.1.5平面上两点间的距离(2)(2014年人教A版数学必修二导学案)


2． 一般地， 已知两条平行直线 l1 : Ax By C1 0 ， l1 : Ax By C2 0 ( C1 C2 ) 之间的距离为
| C1 C 2 | A2 B 2
．
说明：公式成立的前提需把直线 l 方程写成一般式．
【课堂研讨】
例 1.用两种方法求两条平行直线 2 x 3 y 4 0 与 2 x 3 y 9 0 之间的距离．
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课题：2.1.5 平面上两点间的距离检测案
班级： 姓名： 学号： 第 学习小组
【课堂检测】 1．直线 3x 4 y 7 0 与直线 6 x 8 y 3 0 之间的距离是 2．直角坐标系中第一象限内的点 P( x, y) 到 x 轴， y 轴及直线 x y 2 0 的距离
例 4.已知两直线 l1 : 3x 4 y 7 0 ，l 2 : 3x 4 y m 0 被直线 l 截得的线段长为 2 ，
l 过点 (2,1) ，且这样的直线有两条，求 m 的范围．
/ /
例 2.求与直线 3x 4 y 5 0 平行且与其距离为 2 的直线方程．
例 3.建立适当的直角坐标系， 证明： 等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于 一腰上的高．
/ /
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6．正方形的中心在 C (1,0) ，一条边所在直线的方程是 x 3 y 5 0 ，求其它三边 所在的直线方程．
/ /
4．直线 l1 过点 A(5,0) ， l 2 过点 B(0,1) ， l1 // l 2 且 l1 与 l 2 间距离等于 5 ， 求 l1 与 l 2 的方程．
/ /
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用解析法解决平面几何问题
已知Rt△ABC，∠B为直角，AB＝a，BC＝b，建立适当的
坐标系，写出顶点A、B、C的坐标，并求证斜边AC的中点 M到三个顶点的距离相等． 分析：取直角边所在的直线为坐标轴建立平面直角坐标系， 再写出各顶点坐标，给出证明．
栏 目 链 接
解析：取边BA所在的直线为x轴，边BC所在的直线为y轴， 建立平面直角坐标系，如右图，则三个顶点的坐标分别为 A(a，0)、B(0，0)、C(0，b)．
a b 由中点坐标公式得斜边 AC 的中点 M 的坐标为2，2.
∴MA＝ MB＝ MC＝
a2 b2 1 a－ ＋0－ ＝ a2＋b2， 2 2 2 a2 b2 1 0－ ＋0－ ＝ a2＋b2， 2 2 2 a2 b2 1 0－ ＋b－ ＝ a2＋b2， 2 2 2
栏 目 链 接
点 A(0，400)关于 x 轴的对称点 A′(0，－400)，由两点式，得直 5 线 A′B 的方程为 y＝ x－400.令 y＝0，得 x＝320，即点 P(320，0)． 栏 4 目 故抽水站(点 P)在距点 O 320 m 处时，到 之和最短．
链 A、B 两厂的水管长度接
∴MA＝MB＝MC.
规律总结：在建立平面直角坐标系时，适当的坐标系能
使运算更加简便(如本例以两直角边为坐标轴建立坐标系)，
故在建坐标系时要有效地利用条件中的垂直、对称等关 系．
栏 目 链 接
►变式训练 2．A、B两个厂距一条河分别为400 m和100 m，且在河的同 侧，A、B两厂之间距离500 m，把小河看做一条直线，今在 小河边上建一座抽水站，供A、B两厂用水，要使抽水站到A、
第 2章
平面解析几何初步
直线与方程 平面上两点间的距离
2． 1 2．1.5
课 标 点 击
栏 目 链 接
1．掌握在平面直角坐标系下的两点间的距离公式．
2．初步学会用坐标法证明简单的平面几何问题．
典 例 剖 析
栏 目 链 接
两点间的距离问题
已知四边形ABCD各顶点坐标分别为A(－7，0)、B(2，
目 链 接
规律总结：根据斜率判断对边是否平行、邻边是否
垂直，再根据对角线的长度、边的长度来确定是哪
种四边形．
栏 目 链 接
►变式训练 1．已知点A(1，2)、B(3，4)、C(5，0)．求证：△ABC是

等腰三角形．
分析：求出三边之长，比较三边的大小下结论．
栏 目 链 接
证明：∵AB＝ （4－2）2＋（3－1）2＝ 8， AC＝ （0－2）2＋（5－1）2＝ 20， BC＝ （5－3）2＋（0－4）2＝ 20，∴AC＝BC. 又∵A、B、C 不共线，∴△ABC 是等腰三角形．
－3)、C(5，6)、D(－4，9)，判断这个四边形的形状．
栏 目 链 接
分析：结合四边形的有关知识，判断边的长度以及边所 在直线的平行及垂直关系．
1 1 解析：∵kAB＝－ ，kCD＝－ ，kAD＝3，kBC＝3， 3 3 ∴AB∥CD，AD∥BC，AB⊥AD，CD⊥BC，即四边形 ABCD 为 栏 矩形． 又∵AB＝3 10，AD＝3 10，AC＝6 5，BD＝6 5， ∴AB＝AD，AC＝BD，即四边形 ABCD 为正方形．
栏 链 接
B两厂铺设的水管长度之和最短，问抽水站应建在什么地方？ 目
分析：这是一个对称问题，点A关于河的对称点A′与点B的连 线，交小河于点P，则PA′＋PB＝PA＋PB，此点即为所求(证 明略)．
解析：如右图，以小河所在直线为x轴，过点A的垂线为y轴， 建立平面直角坐标系，则点A(0，400)，点B(a，100)，过点B 作BC⊥AO于点C.在△ABC中，AB＝500，AC＝400－100＝ 300，由勾股定理得BC＝400，∴B(400，100)．