高中数学人教A版选修1-2学业分层测评9 复数的几何意义 Word版含解析

3．1.2复数的几何意义填一填1.复平面的定义如下图，点Z 的横坐标为a，纵坐标为b，复数 z＝ a＋ bi 可用点 Z(a， b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴， y 轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．2．复数的几何意义复数 z＝a＋ bi(a， b∈ R)与复平面内的点Z(a， b)及以原点为起点，点Z( a，b)为终点的向→量 OZ是一一对应的．3．复数的模复数 z＝ a＋ bi(a，b∈ R)，对应的向量为→→OZ，则向量 OZ的模 r 叫做复数 z＝ a＋ bi 的模，记作 |z|或 |a＋ bi|.由模的定义可知： |z|＝ |a＋ bi|＝ r＝ a2＋ b2(r≥ 0， r∈ R)．判一判1.在复平面内，对应于实数的点都在实轴上．(√ )分析：实数的虚部为0，对应纵坐标为0 的实轴上点，故正确．2．若 |z1|＝ |z2|，则 z1＝ z2.(× )分析：例 z1＝ 1＋ i， z2＝ 1－ i 有 |z1 |＝ |z2|，可是 z1与 z2不相等，故错误．3．虚轴上的点都表示纯虚数，表示纯虚数的点都在虚轴上．( ×)分析：原点在虚轴上不表示虚数，故错误．4．第一象限的点都表示实部为正数的虚数．(√ )分析：第一象限的点横坐标为正，对应复数的实部，故正确．5．实部为正数、虚部为负数的虚数对应的点必然在第四象限．(√ )分析：实部为正虚部为负的虚数对应的点的横坐标为正，纵坐标为负，是第四象限点，故正确 .想想1.实数可用数轴上的点来表示，类比一下，复数如何来表示呢？提示：任何一个复数 z＝ a＋ bi，都和一个有序实数对 (a， b)一一对应，所以，复数集与平面直角坐标系中的点集之间能够成立一一对应的关系．2．平面向量能够与复数一一对应的前提是什么？提示：向量的起点是原点与复数一一对应．3．复数的模必定是正数吗？提示：当 z＝0 时， |z|＝0；反之，当 |z|＝0 时，必有z＝ 0.故复数的模不必定是正数，复数的模是非负数，即|z|≥ 0.Z 的轨迹是什么？4．若复数z 知足 |z|＝ 1，则在复平面内，复数z 对应的点提示：点 Z 的轨迹是以原点为圆心， 1 为半径的一个圆．思虑感悟：练一练1．已知复数z＝ m－ 2－ (4－m2)i ，且复数z 在复平面内对应的点位于虚轴上，则实数m 的值为()A ． 0B ． 2C．－ 2D．±2分析：当点在虚轴上时，实部m－ 2＝0，∴ m＝ 2.答案： B()2．当 0<m<1 时， z＝ (m＋ 1)＋ (m－ 1)i 在复平面内对应的点位于A ．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限分析： z＝ (m＋1)＋ (m－ 1)i 对应的点为 (m＋ 1， m－ 1)，∵0<m<1，∴ 1<m＋ 1<2，－ 1<m－ 1<0 ，∴点 (m＋ 1， m－1)位于第四象限．答案： D→3．向量 OZ＝ (0，－ 3) 对应的复数是 ________．→分析：易知向量 OZ对应的复数为z＝ 0＋(－ 3)i ＝－ 3i.答案：－ 3i4．已知复数z＝ 2＋ i(i 是虚数单位 )，则 |z|＝ ________.分析： |z|＝4＋ 1＝ 5.答案：5知识点一复数的几何意义21.当3<m<1时，复数z＝ (3m－ 2)＋ (m－ 1)i在复平面上对应的点位于()A ．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2分析：∵3<m<1，∴ 3m－ 2>0 ，m－ 1<0，∴点 (3m－2， m－1)在第四象限．答案： D2．已知 z＝ (m＋ 3)＋ (m－ 1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是()A ． (－ 3,1)B． (－ 1,3)C． (1，＋∞ ) D ． (－∞，－ 3)z 在复平面内对应的点的坐标为m＋ 3>0，分析：由已知可得复数(m＋ 3，m－ 1)，所以m－ 1<0，解得－ 3<m<1，应选 A.答案： A3．在复平面内，复数6＋ 5i，－ 2＋ 3i 对应的点分别为A，B.若 C 为线段 AB 的中点，则点 C 对应的复数是 ()A ． 4＋ 8iB ． 8＋2iC． 2＋ 4i D． 4＋ i分析：由题意知A(6,5)， B(－ 2,3)，则 AB 中点 C(2,4)对应的复数为 2＋ 4i.答案： C知识点二复数的模4.已知复数 z 知足 |z|＝ 1，则 z＝ ()A．±1B．±iC． a＋ bi(a， b∈R )，且 a2＋b2＝ 1D． 1＋ i分析：设 z＝ a＋ bi( a，b∈ R)，则由 |z|＝ 1，得 a2＋b2＝ 1.应选 C.答案： C5．复数 z1＝ a＋ 2i， z2＝－ 2＋ i，假如 |z1|<|z2 |，则实数 a 的取值范围是 ()A ． (－ 1,1)B． (1，＋∞ )C． (0，＋∞ ) D ． (－∞，－ 1)∪ (1，＋∞ )分析：∵ |z1|＝a2＋4， |z2|＝5，∴a2＋4< 5，∴ － 1<a<1.答案： A6．复数 z＝－ 5－ 12i 在复平面内对应的点到原点的距离为________．分析：∵ |z|＝－5 2＋－122＝13，∴对应点到原点的距离为 13.答案： 13知识点三复数几何意义的应用7.在复平面上，复数 i,1,4＋ 2i对应的点分别是 A， B， C.求平行四边形ABCD 的极点 D 所对应的复数．分析：方法一：由已知，得点A，B， C 的坐标分别为A(0,1)， B(1,0)， C(4,2) ，则 AC 的3中点为 E 2，2 .由平行四边形的性质，知 E 也是 BD 的中点．x＋1＝ 2，2x＝ 3，设 D 点的坐标为 (x， y)，则∴y＋ 03y＝ 3.2＝2，即 D 点的坐标为 (3,3) ．∴D 点对应的复数为3＋ 3i.→→→方法二：由已知，得OA＝(0,1)， OB＝ (1,0)， OC＝ (4,2)，→→∴BA ＝ (－1,1)， BC＝ (3,2)．→→→＝ (2,3)．∴BD ＝BA＋ BC→→→．∴OD ＝ OB＋ BD＝ (3,3)∴点 D 对应的复数为3＋ 3i.8．已知复数 z＝ 2＋ cos θ＋(1 ＋sin θ)i( θ∈ R)，试确立复数 z 在复平面内对应的点的轨迹是什么曲线．x＝ 2＋ cos θ，分析：设复数 z 与复平面内的点(x，y)相对应，则由复数的几何意义可知y＝ 1＋ sin θ.由 sin2θ＋ cos2θ＝1 可得 ( x－2) 2＋ (y－1) 2＝ 1.所以复数 z 在复平面内对应的点的轨迹是以(2,1) 为圆心， 1 为半径的圆．基础达标一、选择题1．已知复数12|z1|＝() z＝ 2＋ i ， z＝－ i，则|z2|51A.5B.5C.5D． 5|z |＝5.分析：由已知得 |z1|＝ 5，|z2|＝ 1，所以1|z2 |答案： C2．复数 z 与它的模相等的充要条件是 () A ． z 为纯虚数B． z 为实数C． z 为正实数D． z 为非负实数y ＝ 0，分析： 设 z ＝ x ＋ yi( x ， y ∈ R )，依题意有x 2＋ y 2＝ x ＋ yi ，所以必有即x 2＋ y 2＝ x ，y ＝ 0，所以 y ＝ 0， x ≥ 0，即 z 为非负实数．x 2＝x ，答案： D3．已知复数 z ＝ ( x － 1)＋ (2x － 1)i 的模小于10，则实数 x 的取值范围是 ()4 A ．－ 5<x<2 B ． x<2C ． x>－ 4D ． x<－ 4或 x>25 54分析： 由条件，得 (x － 1)2＋ (2x － 1)2<10 ，所以 5x 2－ 6x － 8<0，故－ 5<x<2. 应选 A.答案： A4．已知 i 为虚数单位，若 x ＋ xi ＝y － 3i ，此中 x ， y 是实数，则 |x ＋ yi|＝ ( )A ．6B ．3 2C ．3 D. 3分析： 由于 x ＋ xi ＝ y － 3i ，所以 x ＝－ 3， y ＝ x ＝－ 3，所以 |x ＋ yi|＝ |－ 3－3i| ＝ 3 2，应选B.答案： B5．设复数 z ＝(2t 2＋ 5t － 3)＋ (t 2＋ 2t ＋ 2)i ， t ∈ R ，则以下结论正确的选项是 ()A ．复数 z 对应的点在第一象限B ．复数 z 必定不是纯虚数C ．复数 z 对应的点在实轴上方D ．复数 z 必定是实数分析： 由于 2t 2＋ 5t － 3＝ 0 的 ＝ 25＋ 24＝ 49>0，所以方程有两根，所以2t 2＋ 5t － 3 的值可正可负可为零，应选项 A 、B 不正确．又 t 2＋2t ＋ 2＝ (t ＋1) 2＋ 1>0，所以选项 D 不正确，故选 C.答案： C6．已知 0< a<2 6，复数 z 的实部为 a ，虚部为 1，则 |z|的取值范围是 ()A ． (1,5)B ． (1,2 6)C ． (1， 5)D ．(1,25)分析： 由已知，得 |z|＝ a 2＋ 1.由 0<a<2 6，可得 0<a 2<24 ，所以 1<a 2＋ 1<25 ，所以 |z|＝ a 2＋ 1∈ (1,5)．应选 A.答案： A7．已知 z ∈ C ， i 为虚数单位，且 |z|＝ 2，则 |z － i|的最大值为 ( )A ．3B ．2 C. 3 D ．1分析： 设 z ＝ x ＋yi ，由于 |z|＝ 2，所以 x 2 ＋y 2＝4，易得 |z － i| ＝ |x － i ＋ yi|＝x 2＋ － 1＋ y2＝5－ 2y ，由于－ 2≤ y ≤2，所以 5－ 2y 的最大值为 3，即 |z － i|的最大值为 3，应选 答案： A 二、填空题8．已知 i 为虚数单位，设复数z 1， z 2 在复平面内对应的点对于原点对称，若A.z 1＝ 2－ 3i ，则 z 2＝ ________.分析：在复平面内，复数z1＝ 2－ 3i 与点 (2，－ 3)对应．由于点 (2，－ 3)对于原点对称的点为 (－ 2,3)，则复数 z2＝－ 2＋3i.答案：－ 2＋3i9．在复平面内，已知 O 为坐标原点，点 Z，Z分别对应复数 z ＝ 4＋ 3i，z ＝ 2a－3i( a∈ R)，1212若 OZ1⊥ OZ2，则 a＝ __________.分析：由于 z1→→→→2121⊥OZ2，＝ 4＋3i ，z ＝ 2a－3i( a∈ R)，所以 OZ ＝ (4,3) ，OZ ＝ (2a，－ 3)．由于 OZ9所以 8a＝ 9，即 a＝8.9答案：810．复数 z＝ cos 40 －°icos 50的°模等于 ________．22分析： |z|＝ cos40°＋－cos 50 °＝ cos240°＋ sin2 40°＝ 1.答案： 111．设 z1＝ 1＋ i ， z2＝－ 1＋ i， O 为原点，复数z1和 z2在复平面内对应的点分别为A， B，则△ AOB 的面积为 ________．分析：由已知可得A(1,1)， B(－ 1,1)， O 为原点，∴△ AOB 中， AB 与 x 轴平行， |AB|＝ 2，1∴S△AOB＝2×2× 1＝ 1.答案： 112．若复数 z 对应的点在直线y＝－ 2x 上，且 |z|＝5，则复数 z＝ ________.分析：依题意可设复数 z＝ a－2ai( a∈R )，由 |z|＝5得 a2＋ 4a2＝5，解得 a＝±1，故 z ＝ 1－ 2i 或 z＝－ 1＋ 2i.答案： 1－ 2i 或－ 1＋ 2i三、解答题13．已知复数z＝ (a2＋ 1)＋ ai(a∈ R )．求：(1)z 在复平面内对应的点所在的地点；(2)复数 z 在复平面内对应的点的轨迹方程．分析： (1) 由于 a2＋ 1≥1>0 ，复数 z＝ (a2＋1)＋ ai 在复平面内对应的点为(a2＋ 1， a)，所以复数 z 在复平面内对应的点在第一、四象限或实轴的正半轴上．x＝ a2＋1，(2)设 z＝ x＋yi(x， y∈ R)，则y＝ a，消去 a 可得 x＝ y2＋ 1，所以复数 z 在复平面内对应的点的轨迹方程为y2＝ x－ 1.14．设 z∈ C，则知足条件 |z|＝ |3＋ 4i|的复数 z 在复平面上对应的点Z 的会合是什么图形？分析：方法一：由 |z|＝ |3＋ 4i|得 |z|＝ 5.→5.所以，知足条件的点Z 的会合这表示向量 OZ的长度等于 5，即点 Z 到原点的距离等于是以原点 O 为圆心，以 5 为半径的圆．方法二：设 z＝x＋ yi( x， y∈ R )，则 |z|2＝ x2＋ y2.由于 |3＋ 4i|＝ 5，所以由 |z|＝ |3＋ 4i|得 x2＋ y2＝ 25，故点 Z 的会合是以原点为圆心，以 5 为半径的圆 .能力提高15.已知对于 x 的方程 x2－ (tan θ＋i)x－ (2＋ i) ＝ 0(i 为虚数单位 ) 有实数根，求锐角θ和方程的实数根．分析：设 x0是方程 x2－ (tan θ＋ i)x－ (2＋ i) ＝0 的实数根，22则 x0－(tan θ＋i) x0－ (2＋ i) ＝ 0，即 x0－x0tan θ－ 2－ (x0＋ 1)i＝ 0，2－ x tan θ－ 2＝ 000所以，解得 x ＝－ 1，tan θ＝ 1，x0＋ 1＝ 0π又θ为锐角，所以θ＝4.16．已知复数ω＝(m2－2m－3)＋(m2－m－12)i( m∈ R，i为虚数单位)．(1)若ω为实数，求m 的值；m 的取值范围．(2)若复数ω对应的点在第四象限，务实数分析： (1) 由于ω为实数，所以m2－ m－ 12＝ 0? m＝－ 3 或 m＝ 4.(2)由复数ω对应的点在第四象限得m2－ 2m－ 3>0? m>3 或m<－1，m2－ m－12<0? － 3<m<4所以－3< m<－ 1 或3<m<4，即实数 m 的取值范围为(－ 3，－ 1)∪ (3,4)．。

3.1.2复数的几何意义学习目标：1.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系．(重点、难点)2.掌握实轴、虚轴、模等概念．(易混点)3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法．(重点)[自主预习·探新知]1．复平面思考：有些同学说：实轴上的点表示实数，虚轴上的点表示虚数，这句话对吗？[提示]不正确．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为(0,0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0，表示的是实数．2．复数的几何意义3．复数的模→的模叫做复数z＝a＋b i的模．(1)定义：向量OZ(2)记法：复数z＝a＋b i的模记为|z|或|a＋b i|且|z|[基础自测]1．思考辨析(1)复平面内的点与复数是一一对应的．()(2)复数即为向量，反之，向量即为复数．()(3)复数的模一定是正实数．()(4)复数与向量一一对应．()[答案](1)√(2)×(3)×(4)×2．已知复数z＝－i，复平面内对应点Z的坐标为()A．(0，－1)B．(－1,0)C．(0,0) D．(－1，－1)A[复数z＝－i的实部为0，虚部为－1，故复平面内对应点Z的坐标为(0，－1)．]3．向量a＝(－2,1)所对应的复数是()A．z＝1＋2i B．z＝1－2iC．z＝－1＋2i D．z＝－2＋iD[向量a＝(－2,1)所对应的复数是z＝－2＋i.]4．已知复数z＝1＋2i(i是虚数单位)，则|z|＝________.5[∵z＝1＋2i，∴|z|＝12＋22＝ 5.][合作探究·攻重难]1．在复平面上，如何确定复数z＝a＋b i(a，b∈R)对应的点所在的位置？提示：看复数z＝a＋b i(a，b∈R)的实部和虚部所确定的点的坐标(a，b)所在的象限即可．2．在复平面上，若复数z＝a＋b i(a，b∈R)对应的点在第一象限，则实数a，b应满足什么条件？我们可以得到什么启示？提示：a>0，且b>0.在复平面内复数所表示的点所处位置，决定了复数实部、虚部的取值特征．求实数a分别取何值时，复数z＝a2－a－6a＋3＋(a2－2a－15)i(a∈R)对应的点Z满足下列条件：(1)在复平面的第二象限内．(2)在复平面内的x轴上方.思路探究：确定z的实部、虚部→列方程(不等式组) [解](1)点Z在复平面的第二象限内，则⎩⎨⎧a 2－a －6a ＋3<0，a 2－2a －15>0，解得a ＜－3.(2)点Z 在x 轴上方，则⎩⎨⎧a 2－2a －15>0，a ＋3≠0，即(a ＋3)(a －5)＞0，解得a ＞5或a ＜－3.A ．1B ． 2C ． 3D ．2(2)已知复数z 满足z ＋|z |＝2＋8i ，求复数z .(1)[解析] 因为(1＋i)x ＝x ＋x i ＝1＋y i ，所以x ＝y ＝1，|x ＋y i|＝|1＋i|＝12＋12＝2，故选B.[答案] B(2)设z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )，则|z |＝a 2＋b 2， 代入方程得a ＋b i ＋a 2＋b 2＝2＋8i ， ∴⎩⎨⎧a ＋a 2＋b 2＝2b ＝8，解得⎩⎨⎧a ＝－15b ＝8.∴z ＝－15＋8i.1．(1)若复数z ＝2a －1a ＋2＋(a 2－a －6)i 是实数，则z 1＝(a －1)＋(1－2a )i 的模为________．(2)已知复数z ＝3＋a i ，且|z |<4，求实数a 的取值范围. (1)29 [∵z 为实数，∴a 2－a －6＝0， ∴a ＝－2或3.∵a ＝－2时，z 无意义，∴a ＝3， ∴z 1＝2－5i ，∴|z 1|＝29.](2)法一：∵z ＝3＋a i(a ∈R )，∴|z |＝32＋a 2，由已知得32＋a 2<42，∴a 2<7，∴a ∈(－7，7)．法二：利用复数的几何意义，由|z |<4知，z 在复平面内对应的点在以原点为圆心，以4为半径的圆内(不包括边界)，由z ＝3＋a i 知z 对应的点在直线x ＝3上， 所以线段AB (除去端点)为动点Z 的集合． 由图可知：－7<a <7.线段AB 的中点，则点C 对应的复数是( )A ．4＋80iB ．8＋2iC ．2＋4iD ．4＋i(2)在复平面内，A ，B ，C 三点对应的复数分别为1,2＋i ，－1＋2i. ①求向量AB →，AC →，BC →对应的复数； ②判定△ABC 的形状．(1)[解析] 两个复数对应的点分别为A (6,5)，B (－2,3)，则C (2,4)．故其对应的复数为2＋4i .[答案] C(2)①由复数的几何意义知：OA →＝(1,0)，OB →＝(2,1)，OC →＝(－1,2)，所以AB →＝OB →－OA →＝(1,1)，AC →＝OC →－OA →＝(－2,2)，BC →＝OC →－OB →＝(－3,1)，所以AB →，AC →，BC →对应的复数分别为1＋i ，－2＋2i ，－3＋i.②因为|AB →|＝2，|AC →|＝22，|BC →|＝10， 所以|AB →|2＋|AC →|2＝|BC →|2，所以△ABC 是以BC 为斜边的直角三角形． 数形结合思想：利用复数的几何意义数形结合解决；2．设O 为原点，向量OA →，OB →对应的复数分别为2＋3i ，－3－2i ，那么向量BA →对应的复数为( )A ．－1＋iB ．1－iC ．－5－5iD ．5＋5iD [由题意知，OA →＝(2,3)，OB →＝(－3，－2) ∴BA →＝OA →－OB →＝(5,5)， ∴对应的复数为5＋5i ，故选D.][当 堂 达 标·固 双 基]1．复数z ＝－1－2i(i 为虚数单位)在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限C [z ＝－1－2i 对应点Z (－1，－2)，位于第三象限. ]2．已知复数z ＝(m －3)＋(m －1)i 的模等于2，则实数m 的值为( ) A ．1或3 B ．1 C ．3D ．2A [依题意可得(m －3)2＋(m －1)2＝2，解得m ＝1或3，故选A.] 3．在复平面内表示复数z ＝(m －3)＋2m i 的点在直线y ＝x 上，则实数m 的值为________．9 [∵z ＝(m －3)＋2m i 表示的点在直线y ＝x 上，∴m －3＝2m ，解之得m ＝9.]4．复数z ＝x －2＋(3－x )i 在复平面内的对应点在第四象限，则实数x 的取值范围是________.(3，＋∞) [∵复数z 在复平面内对应的点在第四象限，∴⎩⎨⎧x －2>0，3－x <0，解得x ＞3.]5．在复平面内画出下列复数对应的向量，并求出各复数的模． z 1＝1－i ；z 2＝－12＋32i ；z 3＝－2；z 4＝2＋2i.[解] 在复平面内分别画出点Z 1(1，－1)，Z 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32， Z 3(－2,0)，Z 4(2,2)，则向量Z 1，Z 2，Z 3，Z 4分别为复数z 1，z 2，z 3，z 4对应的向量，如图所示．各复数的模分别为：|z 1|＝12＋(－1)2＝2；|z 2|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝1； |z 3|＝(－2)2＝2；|z 4|＝22＋22＝2 2.精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

学业分层测评(十二)第3章 3.3 复数的几何意义(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1.在复平面内，复数6＋5i ，-2＋3i 对应的点分别为A ，B .若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是________.【解析】 ∵复数6＋5i ，-2＋3i 对应点分别为A ，B ，∴点A (6,5)，B (-2,3).∴中点C (2,4)，其对应复数2＋4i.【答案】 2＋4i2.(2016·启东中学月考)若复数z ＝a 2-1＋(a ＋1)i.(a ∈R )是纯虚数，则|z |＝________.【解析】 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2-1＝0，a ＋1≠0，解得a ＝1，则z ＝2i ，故|z |＝2. 【答案】 23.复数z ＝i·(1＋i)(i 为虚数单位)位于第________象限.【解析】 ∵z ＝i·(1＋i)＝-1＋i ，∴复数z 对应复平面上的点是(-1,1)，该点位于第二象限.【答案】 二4.已知复数z 1＝-1＋2i ，z 2＝1-i ，z 3＝3-2i ，它们所对应的点分别是A ，B ，C ，若OC →＝xOA →＋yOB →(x ，y ∈R )，则x ＋y 的值是________.【解析】 由复数的几何意义，知3-2i ＝x (-1＋2i)＋y (1-i)，∴3-2i ＝y -x ＋(2x -y )i.根据复数相等的定义，得⎩⎪⎨⎪⎧ 3＝y -x ，-2＝2x -y .解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝4.∴x ＋y ＝5. 【答案】 55.已知i 为虚数单位，复数z ＝-12＋32i 的共轭复数为z ，则z ＋|z |＝________. 【解析】 z ＝-12-32i ，|z |＝1，∴z ＋|z |＝12-32i.【答案】 12-32i6.已知|z -3|＝1，则|z -i|的最大值为________.【导学号：97220036】【解析】 由|z -3|＝1知z 表示以(3,0)为圆心，1为半径的圆，|z -i|表示点(0,1)到圆上的距离，则|z -i|的最大值为10＋1. 【答案】 10＋1 7.(2016·江西师大附中三模)设复数z ＝-1-i(i 是虚数单位)，z 的共轭复数为z ，则|(1-z )·z |＝________. 【解析】 z ＝-1＋i ，则|(1-z )·z |＝|(2＋i)·(-1＋i)|＝|-3＋i|＝10. 【答案】 108.复数z ＝x ＋1＋(y -2)i(x ，y ∈R )，且|z |＝3，则点Z (x ，y )的轨迹是________.【解析】 ∵|z |＝3，∴(x ＋1)2＋(y -2)2＝3，即(x ＋1)2＋(y -2)2＝32.故点Z (x ，y )的轨迹是以(-1,2)为圆心，以3为半径的圆.【答案】 以(-1,2)为圆心，以3为半径的圆二、解答题9.已知复数z ＝1＋a i(a ∈R )，ω＝cos α＋isin α，α∈(0,2π)，若z ＝z ＋2i ，且|z -w |＝5，求角α的值.【解】 由题意知1＋a i ＝1＋(2-a )i ，则a ＝2-a ，即a ＝1，∴z ＝1＋i.由|z -w |＝5得(1-cos α)2＋(1-sin α)2＝5，整理得sin α＋cos α＝-1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝-22， ∵0<α<2π，∴π4<α＋π4<94π，∴α＋π4＝5π4或α＋π4＝7π4，∴α＝π或α＝3π2.10.已知复数z 满足(z -2)i ＝a ＋i(a ∈R ).(1)求复数z ；(2)a 为何值时，复数z 2对应的点在第一象限.【解】 (1)由(z -2)i ＝a ＋i ，得z -2＝a ＋i i ＝1-a i ，∴z ＝3-a i.(2)由(1)得z 2＝9-a 2-6a i ，∵复数z 2对应的点在第一象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧9-a 2>0，-6a >0，解得-3<a <0. 故当a ∈(-3,0)时，z 2对应的点在第一象限.[能力提升]1.在复平面内，O 是原点，OA →，OC →，AB →对应的复数分别为-2＋i,3＋2i,1＋5i ，那么BC →对应的复数为________.【解析】 由OB →＝OA →＋AB →，知OB →对应的复数为(-2＋i)＋(1＋5i)＝-1＋6i ，又BC →＝OC →-OB →，∴BC →对应的复数为(3＋2i)-(-1＋6i)＝4-4i.【答案】 4-4i2.(2016·宜昌模拟)已知复数z 满足(1＋i)z ＝1-i ，其中i 为虚数单位，则|z |＝________.【导学号：97220037】【解析】 由(1＋i)z ＝1-i 得z ＝1-i 1＋i＝-i ，∴|z |＝1. 【答案】 13.(2016·镇江二模)在复平面内，复数z ＝i 1-i ＋i 2 014表示的点所在的象限是________.【解析】 z ＝i 1-i ＋i 2 014＝i-12＋i 2＝-32＋12i ，对应点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫-32，12，故在第二象限.【答案】 第二象限4.已知O 为坐标原点，OZ →1对应的复数为-3＋4i ，OZ →2对应的复数为2a ＋i(a ∈R ).若OZ →1与OZ →2共线，求a 的值.【解】 因为OZ →1对应的复数为-3＋4i ，OZ →2对应的复数为2a ＋i ，所以OZ →1＝(-3,4)，OZ →2＝(2a,1).因为OZ →1与OZ →2共线，所以存在实数k 使OZ →2＝kOZ →1，即(2a,1)＝k (-3,4)＝(-3k,4k )，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝-3k ，1＝4k ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝14，a ＝-38，即a 的值为-38.。

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课堂达标·效果检测1.复数z=-1+2014i(i是虚数单位)在复平面上对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选B.由-1<0,2014>0得复数z=-1+2014i(i是虚数单位)在复平面上对应的点位于第二象限.2.已知z1=5+3i,z2=5+4i,下列选项中正确的是( )A.z1>z2B.z1<z2C.|z1|>|z2|D.|z1|<|z2|【解析】选D.|z 1|=|5+3i|==,|z 2|=|5+4i|==,因为<,所以|z 1|<|z2|.3.复数z=(a2-2a)+(a2-a-2)i对应的点在虚轴上,则( )A.a≠2或a≠1B.a≠2或a≠-1C.a=2或a=0D.a=0【解析】选C.由题意知a2-2a=0,解得a=0或2.4.设z=a+bi(a,b∈R)和复平面内的点Z(a,b)对应,当b= 时,点Z位于实轴上.【解析】当b=0时,复数z=a+bi=a为实数即落在实轴上.答案:05.在复平面内(每个小正方形的边长为1)有A,B,C,D,E,F六个点分别在如图对应的节点处,如图指出各点表示的复数,并对这些复数进行归类.【解析】由图中所给点的位置可得A点对应复数为1+i;B点对应复数为3i;C点对应复数为-2+2i;D点对应复数为-2-2i;E点对应复数为-2i;F点对应复数为2.由复数的分类可得,其中虚数有:A点对应复数1+i;C点对应复数-2+2i;D点对应复数-2-2i.B点对应复数3i;E点对应复数-2i.实数有F 点对应复数为2.关闭Word文档返回原板块。

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．(6－3i)－(3i ＋1)＋(2－2i)的结果为( ) A ．5－3i B ．3＋5i C ．7－8iD ．7－2i【解析】 (6－3i)－(3i ＋1)＋(2－2i) ＝(6－1＋2)＋(－3－3－2)i ＝7－8i. 【答案】 C2．在复平面内，复数1＋i 和1＋3i 分别对应向量OA →和OB →，其中O 为坐标原点，则|AB →|＝( )A. 2 B ．2 C.10D ．4【解析】 由复数减法运算的几何意义知， AB →对应的复数为(1＋3i)－(1＋i)＝2i ， ∴|AB →|＝2. 【答案】 B3．复数z 1＝a ＋4i ，z 2＝－3＋b i ，若它们的和为实数，差为纯虚数，则实数a ，b 的值为( )A ．a ＝－3，b ＝－4B ．a ＝－3，b ＝4C ．a ＝3，b ＝－4D ．a ＝3，b ＝4【解析】 由题意可知z 1＋z 2＝(a －3)＋(b ＋4)i 是实数，z 1－z 2＝(a ＋3)＋(4－b )i 是纯虚数，故{b ＋4＝0，a ＋3＝0，4－b ≠0，解得a ＝－3，b ＝－4.【答案】 A4．(2016·石家庄高二检测)A ，B 分别是复数z 1，z 2在复平面内对应的点，O 是原点，若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则△AOB 一定是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形【解析】 根据复数加(减)法的几何意义，知以OA →，OB →为邻边所作的平行四边形的对角线相等，则此平行四边形为矩形，故△AOB 为直角三角形．【答案】 B5．设z ＝3－4i ，则复数z －|z |＋(1－i)在复平面内的对应点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【解析】 ∵z ＝3－4i ， ∴z －|z |＋(1－i)＝3－4i －32＋(－4)2＋1－i＝(3－5＋1)＋(－4－1)i ＝－1－5i. 【答案】 C 二、填空题6．计算：(2＋7i)－|－3＋4i|＋|5－12i|i ＋3－4i ＝_______________________.【导学号：19220046】【解析】 原式＝2＋7i －5＋13i ＋3－4i ＝(2－5＋3)＋(7＋13－4)i ＝16i. 【答案】 16i7．z 为纯虚数且|z －1－i|＝1，则z ＝________.【解析】 设z ＝b i(b ∈R 且b ≠0)，|z －1－i|＝|－1＋(b －1)i|＝1＋(b －1)2＝1，解得b ＝1，∴z ＝i.【答案】 i8．已知z 1＝2(1－i)，且|z |＝1，则|z －z 1|的最大值为________．【解析】 |z |＝1，即|OZ |＝1，∴满足|z |＝1的点Z 的集合是以(0,0)为圆心，以1为半径的圆，又复数z 1＝2(1－i)在坐标系内对应的点为(2，－2)．故|z －z 1|的最大值为点Z 1(2，－2)到圆上的点的最大距离，即|z －z 1|的最大值为22＋1.【答案】 22＋1 三、解答题9．已知z 1＝32a ＋(a ＋1)i ，z 2＝－33b ＋(b ＋2)i ，(a ，b ∈R )，且z 1－z 2＝43，求复数z ＝a ＋b i.【解】 z 1－z 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32a ＋(a ＋1)i －[－33b ＋(b ＋2)i]＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ＋33b ＋(a －b－1)i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧32a ＋33b ＝43，a －b －1＝0，解得{a ＝2，b ＝1，∴z ＝2＋i.10．如图3-2-3，已知复数z 1＝1＋2i ，z 2＝－2＋i ，z 3＝－1－2i ，它们在复平面上的对应点是一个正方形ABCD 的三个顶点A ，B ，C ，求这个正方形的第四个顶点对应的复数．图3-2-3【解】 法一：设正方形的第四个点D 对应的复数为 x ＋y i(x ，y ∈R )，∴AD →＝OD →－OA →对应的复数为 (x ＋y i)－(1＋2i)＝(x －1)＋(y －2)i ， BC →＝OC →－OB →对应的复数为 (－1－2i)－(－2＋i)＝1－3i. ∵AD →＝BC →，∴(x －1)＋(y －2)i ＝1－3i ， 即{x －1＝1，y －2＝－3，解得{x ＝2，y ＝－1.故点D 对应的复数为2－i.法二：∵点A 与点C 关于原点对称，∴原点O 为正方形的中心，于是(－2＋i)＋(x ＋y i)＝0， ∴x ＝2，y ＝－1，故点D 对应的复数为2－i.[能力提升]1．(2016·昆明高二检测)实数x ，y 满足z 1＝y ＋x i ，z 2＝y i －x ，且z 1－z 2＝2，则xy 的值是( )A ．1B ．2C ．－2D ．－1【解析】 z 1－z 2＝(y ＋x i)－(－x ＋y i)＝(y ＋x )＋(x －y )i ＝2， ∴{x ＋y ＝2，x －y ＝0，∴x ＝y ＝1，∴xy ＝1. 【答案】 A2．△ABC 的三个顶点对应的复数分别为z 1，z 2，z 3，若复数z 满足|z －z 1|＝|z －z 2|＝|z －z 3|，则z 对应的点为△ABC 的( )【导学号：19220047】A ．内心B ．垂心C ．重心D ．外心【解析】 由已知z 对应的点到z 1，z 2，z 3对应的点A ，B ，C 的距离相等．所以z 对应的点为△ABC 的外心．【答案】 D3．已知|z |＝2，则|z ＋3－4i|的最大值是________．【解析】 由|z |＝2知复数z 对应的点在圆x 2＋y 2＝4上，圆心为O (0,0)，半径r ＝2.而|z ＋3－4i|＝|z －(－3＋4i)|表示复数z 对应的点与M (－3,4)之间的距离，由于|OM |＝5，所以|z ＋3－4i|的最大值为|OM |＋r ＝5＋2＝7. 【答案】 74．在复平面内，A ，B ，C 三点分别对应复数1,2＋i ，－1＋2i. (1)求AB →，AC →，BC →对应的复数； (2)判断△ABC 的形状．【解】 (1)∵A ，B ，C 三点对应的复数分别为1,2＋i ，－1＋2i. ∴OA →，OB →，OC →对应的复数分别为1,2＋i ，－1＋2i(O 为坐标原点)， ∴OA →＝(1,0)，OB →＝(2,1)，OC →＝(－1,2)． ∴AB →＝OB →－OA →＝(1,1)，AC →＝OC →－OA →＝(－2,2)， BC →＝OC →－OB →＝(－3,1)．即AB →对应的复数为1＋i ，AC →对应的复数为－2＋2i ，BC →对应的复数为－3＋i.(2)∵|AB →|＝1＋1＝2，|AC →|＝(－2)2＋22＝8，|BC →|＝(－3)2＋1＝10，∴|AB →|2＋|AC →|2＝10＝|BC →|2. 又∵|AB →|≠|AC →|，∴△ABC 是以角A 为直角的直角三角形.。

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课时提升作业九复数的几何意义一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2016·青岛高二检测)在复平面内,复数z=sin2+icos2对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选D.因为<2<π,所以sin2>0,cos2<0,所以复数z=sin2+icos2对应的点位于第四象限.2.(2016·黄山高二检测)设i是虚数单位,若z=cosθ+isinθ对应的点位于复平面的第二象限,则θ位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选B.因为z=cosθ+isinθ对应的点坐标为(cosθ,sinθ),且点(cosθ,sinθ)位于复平面的第二象限,所以所以θ为第二象限角.【补偿训练】复数z1=1+i,z2=1-i在复平面内对应点关于( )A.实轴对称B.虚轴对称C.一、三象限平分线对称D.二、四象限平分线对称【解析】选A.由实部相等,虚部互为相反数得复数z1=1+i,z2=1-i在复平面内对应点关于实轴对称.3.设O为原点,向量,对应的复数分别为2+3i,-3-2i,那么向量对应的复数为( )A.-1+iB.1-iC.-5-5iD.5+5i【解析】选D.因为由已知=(2,3),=(-3,-2),所以=-=(2,3)-(-3,-2)=(5,5),所以对应的复数为5+5i.4.(2016·烟台高二检测)过原点和-i对应点的直线的倾斜角是( )A. B.- C. D.【解析】选D.因为-i在复平面上的对应点是(,-1),所以tanα==-(0≤α<π),所以α=π.5.(2016·西安高二检测)复数1+cosα+isinα(π<α<2π)的模为( )A.2cosB.-2cosC.2sinD.-2sin【解析】选B.所求复数的模为==，因为π<α<2π，所以<<π，所以cos<0，所以=-2cos.【误区警示】本题容易忽视cos<0而错选A.二、填空题(每小题5分，共15分)6.(2016·潍坊高二检测)若复数z=(a-1)+3i(a∈R)在复平面内对应的点在直线y=x+2上，则a的值等于________.【解析】复数z=(a-1)+3i(a∈R)在复平面内对应的点在直线y=x+2上，可得3=a-1+2，解得a=2.答案：27.(2016·武汉高二检测)i为虚数单位,设复数z1,z2在复平面内对应的点关于原点对称,若z1=2-3i,则z2=________.【解题指南】从复数与复平面上的点的对应角度处理.【解析】因为z1=2-3i对应的点的坐标为(2,-3),且复数z1,z2在复平面内对应的点关于原点对称,所以z2在复平面内对应点的坐标为(-2,3),对应的复数为z2=-2+3i.答案:-2+3i8.已知△ABC中,,对应的复数分别为-1+2i,-2-3i,则对应的复数为________. 【解析】因为,对应的复数分别为-1+2i,-2-3i,所以=(-1,2), =(-2,-3). 又=-=(-2,-3)-(-1,2)=(-1,-5),所以对应的复数为-1-5i.答案:-1-5i三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2016·郑州高二检测)在复平面内,复数-3-i与5+i对应的向量分别是与,其中O 是原点,求向量+,对应的复数及A,B两点之间的距离.【解析】因为复数-3-i与5+i对应的向量分别是与,其中O是原点,所以=(-3,-1),=(5,1),所以+=(-3,-1)+(5,1)=(2,0),所以向量+对应的复数是2,又=-=(-3,-1)-(5,1)=(-8,-2),所以对应的复数是-8-2i,A,B两点之间的距离为||==2.10.实数m分别取什么数值时,复数z=(m2+5m+6)+(m2-2m-15)i是:(1)实数.(2)虚数.(3)纯虚数.(4)对应点在x轴上方.(5)对应点在直线x+y+5=0上.【解析】(1)由m2-2m-15=0,得m=5或m=-3.故当m=5或m=-3时,z为实数.(2)由m2-2m-15≠0,得m≠5且m≠-3.故当m≠5且m≠-3时,z为虚数.(3)由得m=-2.故当m=-2时,z为纯虚数.(4)由m2-2m-15>0,得m<-3或m>5.故当m<-3或m>5时,z的对应点在x轴上方.(5)由(m2+5m+6)+(m2-2m-15)+5=0,得m=或m=.故当m=或m=时,z的对应点在直线x+y+5=0上.一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2016·太原高二检测)在复平面内,复数6+5i,-2+3i对应的点分别为A,B,若C为线段AB 的中点,则点C对应的复数是( )A.4+8iB.8+2iC.2+4iD.4+i【解题指南】先求出复数在复平面上对应点的坐标,再利用中点坐标公式求出C点,再把点的坐标还原为复数.【解析】选C.因为复数6+5i,-2+3i对应的点分别为A,B,所以A(6,5),B(-2,3),又C为线段AB的中点,所以C(2,4),所以点C对应的复数是2+4i.【补偿训练】已知复数z1=-2+3i的对应点为Z1,Z2与Z1关于x轴对称,Z3与Z2关于直线y=-x 对称,则点Z3对应的复数为z=________.【解析】Z1(-2,3),Z2(-2,-3),Z3(3,2),所以z=3+2i.答案:3+2i2.(2016·福州高二检测)已知复数z的模为2,则|z-i|的最大值为( )A.1B.2C.D.3【解题指南】根据复数的几何意义,知|z|=2对应的轨迹是圆心在原点,半径为2的圆,|z-i|表示的是圆上一点到点(0,1)的距离,其最大值为圆上点(0,-2)到点(0,1)的距离.【解析】选D.因为|z|=2,则复数z对应的轨迹是圆心在原点,半径为2的圆,而|z-i|表示的是圆上一点到点(0,1)的距离,所以其最大值为圆上点(0,-2)到点(0,1)的距离,最大的距离为3.【补偿训练】已知f(z)=|1+z|-z且f(-z)=10+3i,则复数z为________.【解析】设z=x+yi(x,y∈R),则f(-z)=|1-x-yi|+(x+yi)=10+3i,所以所以所以z=5+3i.答案:5+3i二、填空题(每小题5分,共10分)3.复数z1=1+2i,z2=-2+i,z3=--i,z4=-i,z1,z2,z3,z4在复平面内的对应点分别是A,B,C,D,则∠ABC+∠ADC=________.【解析】|z1|=|z2|=|z3|=|z4|=,所以点A,B,C,D应在以原点为圆心,为半径的圆上,由于圆内接四边形ABCD对角互补,所以∠ABC+∠ADC=180°.答案:180°【误区警示】注意|z|=a(a>0)z=±a.4.(2016·南宁高二检测)复数z=(a-2)+(a+1)i,a∈R对应的点位于第二象限,则|z|的取值范围是________.【解析】复数z=(a-2)+(a+1)i对应的点的坐标为(a-2,a+1),因为该点位于第二象限,所以解得-1<a<2.由条件得|z|====,因为-1<a<2,所以|z|∈.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)5.(2016·广州高二检测)实数m取什么值时,复平面内表示复数z=(m2-8m+15)+(m2-5m-14)i 的点(1)位于第四象限.(2)位于第一、三象限.【解析】(1)⇒⇒-2<m<3或5<m<7.(2)(m2-8m+15)(m2-5m-14)>0⇒(m-3)(m-5)(m+2)(m-7)>0,得m<-2或3<m<5或m>7.【延伸探究】若结论改为复数z对应的点位于直线x-2y+16=0上,则结果如何?【解析】由复数z=(m2-8m+15)+(m2-5m-14)i对应的点在直线x-2y+16=0上可得m2-8m+15-2(m2-5m-14)+16=0⇒m=1±2.【补偿训练】已知z1=x2+i,z2=(x2+a)i对任意的x∈R均有|z1|>|z2|成立,试求实数a的取值范围.【解析】因为|z1|=,|z2|=|x2+a|,且|z1|>|z2|,所以>|x2+a|对x∈R恒成立,等价于(1-2a)x2+(1-a2)>0恒成立.不等式等价于①:解得a=,所以a=时,0·x2+>0恒成立.或②:解得-1<a<.所以a∈.综上,可得实数a的取值范围是.6.(2016·合肥高二检测)已知O为坐标原点,对应的复数为-3+4i,对应的复数为2a+i(a∈R).若与共线,求a的值.【解题指南】先利用向量与复数的对应求出向量与的坐标,再利用向量共线的条件求出a的值.【解析】因为对应的复数为-3+4i,对应的复数为2a+i,所以=(-3,4),=(2a,1).因为与共线,所以存在实数k使=k,即(2a,1)=k(-3,4)=(-3k,4k),所以所以即a的值为-.【补偿训练】已知虚数(x-2)+yi(x,y∈R)的模为,求的取值范围.【解题指南】由模的定义得到关于x与y的等式,即动点(x,y)的轨迹;再由=的几何意义表示动点(x,y)与(0,0)所在直线的斜率,作出草图,求出范围.【解析】由(x-2)+yi是虚数,得y≠0,又由|(x-2)+yi|=,得(x-2)2+y2=3.这是以(2,0)为圆心,为半径的圆(除去(2±,0)).过O点作圆的切线OP,OQ,则斜率的最大值为=tan∠AOP=,=tan∠AOQ=-.所以的取值范围是.【方法技巧】常见复数模的几何意义复数的模在复平面内对应的常见图形为:(1)以z0为圆心,r为半径的圆:|z-z0|=r.(2)线段z1z2的中垂线|z-z1|=|z-z2|.关闭Word文档返回原板块。

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．(2016·长春高二检测)在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B .若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是( )A ．4＋8iB ．8＋2iC ．2＋4iD ．4＋i【解析】 由题意知A (6,5)，B (－2,3)，则AB 中点C (2,4)对应的复数为2＋4i.【答案】 C2．复数z ＝1＋3i 的模等于( ) A ．2 B ．4 C.10D ．2 2【解析】 |z |＝|1＋3i|＝12＋32＝10，故选C. 【答案】 C3．复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝－2＋i ，如果|z 1|<|z 2|，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－1,1) B ．(1，＋∞)C ．(0，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)【解析】 ∵|z 1|＝a 2＋4，|z 2|＝5， ∴a 2＋4<5，∴－1<a <1. 【答案】 A4．在复平面内，O 为原点，向量OA →对应的复数为－1＋2i ，若点A 关于直线y ＝－x 的对称点为B ，则向量OB →对应的复数为( )A ．－2－iB ．－2＋iC ．1＋2iD ．－1＋2i【解析】 因为A (－1,2)关于直线y ＝－x 的对称点为B (－2,1)，所以向量OB→对应的复数为－2＋i.【答案】 B5．已知复数z 对应的点在第二象限，它的模是3，实部为－5，则z 为( )【导学号：19220042】A ．－5＋2iB ．－5－2iC ．－5＋3iD ．－5－3i【解析】 设z ＝－5＋b i(b ∈R )，由|z |＝(－5)2＋b 2＝3，解得b ＝±2，又复数z 对应的点在第二象限，则b ＝2，∴z ＝－5＋2i. 【答案】 A 二、填空题6．在复平面内，复数z 与向量(－3,4)相对应，则|z |＝________. 【解析】 由题意知z ＝－3＋4i ， ∴|z |＝(－3)2＋42＝5. 【答案】 57．已知复数x 2－6x ＋5＋(x －2)i 在复平面内对应的点在第三象限，则实数x 的取值范围是________．【解析】 由已知得{ x 2－6x ＋5<0，x －2<0，∴{ 1<x <5，x <2，∴1<x <2. 【答案】 (1,2)8．已知△ABC 中，AB →，AC →对应的复数分别为－1＋2i ，－2－3i ，则BC →对应的复数为________．【解析】 因为AB →，AC →对应的复数分别为－1＋2i ，－2－3i ， 所以AB →＝(－1,2)，AC →＝(－2，－3)．又BC →＝AC →－AB →＝(－2，－3)－(－1,2)＝(－1，－5)，所以BC →对应的复数为－1－5i.【答案】 －1－5i三、解答题9．若复数z＝x＋3＋(y－2)i(x，y∈R)，且|z|＝2，则点(x，y)的轨迹是什么图形？【解】∵|z|＝2，∴(x＋3)2＋(y－2)2＝2，即(x＋3)2＋(y－2)2＝4.∴点(x，y)的轨迹是以(－3,2)为圆心，2为半径的圆．10．实数m取什么值时，复平面内表示复数z＝(m－3)＋(m2－5m－14)i的点：(1)位于第四象限；(2)位于第一、三象限；(3)位于直线y＝x上．【解】(1)由题意得{m－3>0，m2－5m－14<0，得3<m<7，此时复数z对应的点位于第四象限．(2)由题意得{m－3>0，m2－5m－14>0，或{m－3<0，m2－5m－14<0，∴m>7或－2<m<3，此时复数z对应的点位于第一、三象限．(3)要使复数z对应的点在直线y＝x上，只需m2－5m－14＝m－3，∴m2－6m－11＝0，∴m＝3±25，此时，复数z对应的点位于直线y＝x上．[能力提升]1．(2016·吉林高二检测)已知a∈R，且0<a<1，i为虚数单位，则复数z＝a ＋(a－1)i在复平面内所对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解析】∵0<a<1，∴a>0，且a－1<0，故复数z ＝a ＋(a －1)i 在复平面内所对应的点(a ，a －1)位于第四象限． 【答案】 D2．已知实数a ，x ，y 满足a 2＋2a ＋2xy ＋(a ＋x －y )i ＝0，则点(x ，y )的轨迹是( )A ．直线B ．圆心在原点的圆C ．圆心不在原点的圆D ．椭圆【解析】 因为a ，x ，y ∈R ，所以a 2＋2a ＋2xy ∈R ，a ＋x －y ∈R .又a 2＋2a＋2xy ＋(a ＋x －y )i ＝0，所以{ a 2＋2a ＋2xy ＝0，a ＋x －y ＝0，消去a 得(y －x )2＋2(y －x )＋2xy ＝0，即x 2＋y 2－2x ＋2y ＝0，亦即(x －1)2＋(y ＋1)2＝2，该方程表示圆心为(1，－1)，半径为2的圆．【答案】 C3．若复数z 对应的点在直线y ＝2x 上，且|z |＝5，则复数z ＝________. 【解析】 依题意可设复数z ＝a ＋2a i(a ∈R )，由|z |＝5，得a 2＋4a 2＝5，解得a ＝±1，故z ＝1＋2i 或z ＝－1－2i.【答案】 1＋2i 或－1－2i4．(2016·黄山高二检测)已知O 为坐标原点，OZ 1→对应的复数为－3＋4i ，OZ 2→对应的复数为2a ＋i(a ∈R )．若OZ 1→与OZ 2→共线，求a 的值.【导学号：19220043】【解】 因为OZ 1→对应的复数为－3＋4i ， OZ 2→对应的复数为2a ＋i ， 所以OZ 1→＝(－3,4)，OZ 2→＝(2a,1)．因为OZ 1→与OZ 2→共线，所以存在实数k 使OZ 2→＝kOZ 1→， 即(2a,1)＝k (－3,4)＝(－3k,4k )，所以{ 2a ＝－3k ，＝4k ，所以⎩⎨⎧k ＝14，a ＝－38，即a 的值为－38.高中数学学习技巧：在学习的过程中逐步做到：提出问题，实验探究，展开讨论，形成新知，应用反思。

第三章 3.1 3.1.2请同学们认真完成练案[8]A 级 基础巩固一、选择题1．复数z ＝－2＋i ，则复数z 在复平面内对应的点位于( B ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限[解析] 复数z 在复平面内对应的点为(－2,1)，位于第二象限． 2．若OZ →＝(0，－3)，则OZ →对应的复数为( C ) A ．0 B ．－3 C ．－3iD ．3[解析] 复数的实部为0，虚部为－3，所以对应的复数为－3i ． 3．复数z ＝1＋(2－sin θ)i 在复平面内对应的点所在的象限为( A ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限[解析] ∵1>0,2－sin θ>0， ∴复数对应的点在第一象限．4．已知复数z 1＝3－4i ，z 2＝－5＋2i ，z 1，z 2在复平面内对应的点分别为P 1，P 2，则P 1P 2→对应的复数为( A )A ．－8＋6iB ．8－6iC ．8＋6iD ．－2－2i [解析] 由题意，得P 1(3，－4)，P 2(－5,2)，∴P 1P 2→＝(－8,6)，∴P 1P 2→对应的复数为－8＋6i ，故选A ．5．复数z 与它的模相等的充要条件是( D ) A ．z 为纯虚数 B ．z 是实数 C ．z 是正实数D ．z 是非负实数[解析] ∵z ＝|z |，∴z 为实数且z ≥0．6．已知复数z 满足|z |2－6|z |＋8≤0，则复数z 对应的点的轨迹是( D ) A ．线段 B ．两个圆 C ．两个点D ．圆环 [解析] 由题意可知(|z |－2)(|z |－4)≤0，即有2≤|z |≤4，所以它表示以原点为圆心2为半径的圆和以原点为圆心4为半径的圆之间的部分，即一个圆环，故选D ．二、填空题7．设复数z ＝1＋2i ，则|z |＝__5__． [解析] |z |＝12＋22＝5．8．已知复数x 2－6x ＋5＋(x －2)i 在复平面内的对应点在第三象限，则实数x 的取值范围是__(1,2)__．[解析] 由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－6x ＋5<0x －2<0，解得1＜x ＜2．三、解答题9．在复平面内画出复数z 1＝1－i ，z 2＝－12＋32i ，z 3＝－2，z 4＝2＋2i 对应的向量，并求出各复数的模．[解析] 在复平面内分别画出点Z 1(1，－1)，Z 2⎝⎛⎭⎫－12，32，z 3(－2,0)，z 4(2,2)，则向量OZ 1→，OZ 2→，OZ 3→，OZ 4→分别为复数z 1，z 2，z 3，z 4对应的向量，如图所示．各复数的模分别为：|z 1|＝12＋(－1)2＝2， |z 2|＝⎝⎛⎭⎫－122＋⎝⎛⎭⎫322＝1， |z 3|＝(－2)2＝2， |z 4|＝22＋22＝22．B 级 素养提升一、选择题1．已知复数z 的模为2，则|z －i|的最大值为( D ) A ．1 B ．2 C ． 5D ．3[解析] |z |＝2，复数z 对应的点在以原点为圆心，半径为2的圆上，|z －i|表示圆上的点到(0,1)的距离，最大为2＋1＝3．2．在复平面内，复数z ＝sin2＋icos2对应的点位于( D ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限[解析] ∵π2＜2＜π，∴sin2>0，cos2＜0.∴复数z 对应的点(sin2，cos2)位于第四象限．3．(多选题)已知复数z ＝(x －1)＋(2x －1)i 的模小于10，则实数x 的取值可能是( AB ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3[解析] 由条件知，(x －1)2＋(2x －1)2＜10， ∴5x 2－6x －8＜0，∴－45＜x ＜2，∴选AB ．4．(多选题)设复数z ＝(2t 2＋5t －3)＋(t 2＋2t ＋2)i ，t ∈R ，则以下结论中不正确的是( ABD )A ．复数z 对应的点在第一象限B ．复数z 一定不是纯虚数C ．复数z 对应的点在实轴上方D ．复数z 一定是实数[解析] ∵2t 2＋5t －3＝0时Δ＝25＋24＝49>0，∴方程有两根，2t 2＋5t －3的值可正可负，∴A 、B 不正确． 又t 2＋2t ＋2＝(t ＋1)2＋1>0， ∴D 不正确，∴选ABD ． 二、填空题5．已知复数z 1＝－1＋2i 、z 2＝1－i 、z 3＝3－2i ，它们所对应的点分别是A 、B 、C ，若O C →＝x O A →＋y O B →(x 、y ∈R )，则x ＋y 的值是__5__．[解析] 由复数的几何意义可知，O C →＝xOA →＋yOB →，即3－2i ＝x (－1＋2i)＋y (1－i)，∴3－2i ＝(y －x )＋(2x －y )i ． 由复数相等可得⎩⎪⎨⎪⎧ y －x ＝32x －y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝4.∴x ＋y ＝5． 6．已知z ＝(m ＋3)＋(m －1)i ，(m ∈R )，在复平面内对应的点为P ，则当P 在第三象限时，m 的取值范围为__(－∞，－3)__，当P 在第四象限时，m 的取值范围为__(－3,1)__．[解析] 当P 点在第三象限时，⎩⎪⎨⎪⎧m ＋3＜0m －1＜0，解得m ＜－3；当P 点在第四象限时，⎩⎪⎨⎪⎧m ＋3＞0m －1＜0，解得－3＜m ＜1． 三、解答题7．已知a ∈R ，则复数z ＝(a 2－2a ＋4)－(a 2－2a ＋2)i 所对应的点在复平面的第几象限内？复数z 的对应点的轨迹是什么曲线？[解析] a 2－2a ＋4＝(a －1)2＋3≥3， －(a 2－2a ＋2)＝－(a －1)2－1≤－1．由实部大于0，虚部小于0可知，复数z 的对应点在复平面的第四象限内． 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则x ＝a 2－2a ＋4，y ＝－(a 2－2a ＋2)． 消去a 2－2a ，得y ＝－x ＋2(x ≥3)．所以复数z 的对应点的轨迹是以(3，－1)为端点，－1为斜率，在第四象限的一条射线． 8．已知复数z 1＝x 2－1＋(x 2－3x ＋2)i ，z 2＝x ＋(3－2x )i ，x ∈R ． (1)若z 1为纯虚数，求实数x 的值；(2)在复平面内，若z 1对应的点在第四象限且z 2对应的点在第一象限，求实数x 的取值范围．[解析] (1)∵z 1为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＝0x 2－3x ＋2≠0，解得x ＝－1．(2)∵z 1对应的点在第四象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1>0x 2－3x ＋2<0，解得：1＜x ＜2∵z 2对应的点在第一象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧x >03－2x >0，解得：0＜x ＜32综上，实数x 的取值范围为：1＜x ＜329．设z ∈C ，i 是虚数单位，则满足条件|z |＝|3＋4i|的复数z 在复平面内对应的点Z 的集合是什么图形？[解析] 解法一：由|z |＝|3＋4i|得|z |＝5．这表明向量OZ →的长度等于5，即点Z 到原点的距离等于5． 因此满足条件的点Z 的集合是以原点O 为圆心，5为半径的圆． 解法二：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则|z |2＝x 2＋y 2． ∵|3＋4i|＝5，∴由|z |＝|3＋4i|得x 2＋y 2＝25， ∴点Z 的集合是以原点为圆心，5为半径的圆．莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。

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课时提升作业九
复数的几何意义
一、选择题(每小题分,共分)
.(·青岛高二检测)在复平面内,复数对应的点位于( )
.第一象限.第二象限
.第三象限.第四象限
【解析】选.因为<<π,所以><,
所以复数对应的点位于第四象限.
.(·黄山高二检测)设是虚数单位,若θθ对应的点位于复平面的第二象限,则θ位于( )
.第一象限.第二象限
.第三象限.第四象限
【解析】选.因为θθ对应的点坐标为(θθ),
且点(θθ)位于复平面的第二象限,
所以所以θ为第二象限角.
【补偿训练】复数在复平面内对应点关于( )
.实轴对称
.虚轴对称
.一、三象限平分线对称
.二、四象限平分线对称
【解析】选.由实部相等,虚部互为相反数得复数在复平面内对应点关于实轴对称.
.设为原点,向量,对应的复数分别为,那么向量对应的复数为( ) 【解析】选.因为由已知()(),
所以()()(),
所以对应的复数为.
.(·烟台高二检测)过原点和对应点的直线的倾斜角是( )
...
【解析】选.因为在复平面上的对应点是(),
所以α(≤α<π),所以απ.
.(·西安高二检测)复数αα(π<α<π)的模为( )
【解析】选.所求复数的模为
，
因为π<α<π，
所以<<π，
所以<，。

3.1.2 复数的几何意义一、选择题1．复数z＝3＋i3对应的点在复平面第几象限( ) A．一 B．二 C．三D．四2．当0<m<1时，z＝(m＋1)＋(m－1)i对应的点位于( ) A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是( )A．4＋8i B．8＋2i C．2＋4i D．4＋i4．已知复数z＝a＋b i(a、b∈R)，当a＝0时，复平面内的点z的轨迹是( ) A．实轴 B．虚轴 C．原点 D．原点和虚轴5．已知复数z＝a＋3i在复平面内对应的点位于第二象限，且|z|＝2，则复数z等于( )A．－1＋3i B．1＋3iC．－1＋3i或1＋3i D．－2＋3i6．若θ∈(3π4，5π4)，则复数(cos θ＋sin θ)＋(sin θ－cos θ)i在复平面内所对应的点在( )A．第一象限B．第二象限 C．第三象限D．第四象限二、填空题7．若复数(－6＋k2)－(k2－4)i(k∈R)所对应的点在第三象限，则k的取值范围是________．8．若复数z1＝1－i，z2＝3－5i，则复平面上与z1，z2对应的点Z1与Z2的距离为________．三、解答题9．当实数m为何值时，复数z＝(m2－8m＋15)＋(m2＋3m－28)i在复平面内的对应点：(1)位于第四象限；(2)位于x轴负半轴上；(3)在上半平面(含实轴)．10．已知复数z对应的向量为OZ→(O为坐标原点)，OZ→与实轴正向的夹角为120°且复数z的模为2，求复数z.3.1.2答案1．D 2．D 3．C 4．B 5．A 6.B7．2<k <6或－6<k <－2 8．2 59．解 (1)要使点位于第四象限，须⎩⎨⎧ m 2－8m ＋15>0m 2＋3m －28<0， ∴⎩⎨⎧ m <3或m >5－7<m <4，∴－7<m <3.(2)要使点位于x 轴负半轴上，须⎩⎨⎧ m 2－8m ＋15<0m 2＋3m －28＝0，∴⎩⎨⎧ 3<m <5m ＝－7或m ＝4，∴m ＝4.(3)要使点位于上半平面(含实轴)，须m 2＋3m －28≥0， 解得m ≥4或m ≤－7.10．解 根据题意可画图形如图所示：设点Z 的坐标为(a ，b )，∵|OZ →|＝|z |＝2，∠xOZ ＝120°，∴a ＝－1，b ＝3，即点Z 的坐标为(－1，3)，∴z ＝－1＋3i.。