2020-2021深圳市新安中学高一数学下期中第一次模拟试卷(含答案)

深圳市高一第二学期期中测试卷数学一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知倾斜角为45的直线经过(2,4)A ，(3,)B m 两点，则m =（ ） A ．3 B ．3- C ．5 D ．1-2．过点A 且倾斜角为120︒的直线方程为（ ）3．下列四个命题中正确的是（ ）①若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；②若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ③垂直于同一平面的两个平面相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直． A. ①和③ B. ①和④ C. ①②和④ D. ①③和④4．如图是一正方体被过棱的中点M 、N 和顶点A 、D 、C 1的两个截面截去两个角后所得的几何体，则该几何体的主视图为 ( )A B C D5．如图，平面⊥α平面β，AB B A ,,βα∈∈与两平面βα,所成的角分别为4π和6π，过B A ,分别作两平面交线的垂线，垂足为,A B ''，若16AB =，则A B ''=（ ）.A 4 .B 6 .C 8 .D 96、已知两条直线,m n 和两个不同平面,αβ，满足αβ⊥，=l αβ⋂,//m α,n β⊥,则 （ ）A ．//m nB ．m n ⊥ C.//m l D ．n l ⊥7．已知向量()1,2a =--，()3,0b =，若()()2//a b ma b +-，则m的值为 （ ） A．2- D ．28．某几何体的正视图和侧视图如图①，它的俯视图的直观图是矩形1111O A B C 如图②，其中11116,2,O A O C ==则该几何体的体积为 （ ）A ．32B ．64 C．．9、已知向量,a b 满足2+=0a b ，()2+⋅=a b a ，则⋅=a b （ ）A ．12-B ．12C ．2-D ．210．点O 在ABC ∆所在平面内，给出下列关系式：（1）0OA OB OC ++=； （2）OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅；（3）0AC AB BC BA OA OB AC AB BC BA ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⋅-=⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （4）()()0OA OB AB OB OC BC +⋅=+⋅=． 则点O 依次为ABC ∆的（ ）（注：重心是三条中线的交点；垂心是三条高的交点；内心是内切圆的圆心；外心是外接圆的圆心） A ．内心、外心、重心、垂心 B ．重心、外心、内心、垂心 C ．重心、垂心、内心、外心 D ．外心、内心、垂心、重心11．已知O 是正三角形ABC 内部一点，且32=++,则OAB ∆的面积与OAC ∆的面积之比为 （ ）A ．23 B ．25C ．2D ．512．直角梯形ABCD ，满足,,222AB AD CD AD AB AD CD ⊥⊥===,现将其沿AC 折叠成三棱锥D ABC -，当三棱锥D ABC -体积取最大值时其外接球的体积为（ ）AB ．43πC ．3πD ．4π二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分. 131=的倾斜角等于 ． 14．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，0190,1ACB AA AC BC ∠====，则异面直线1A B 与AC 所成角的余弦值是____________．15．设a 、b 是单位向量，其夹角为θ．若t +a b 的最小值为12，其中t R ∈．则θ=______． 16．在棱长为1 的正方体1111ABCD A B C D -中，以A为 。

期中数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知A={a，1}，B={2，a}，且A∪B={1，2，4}，则A∩B=（）A. {1，2}B. {2，4}C. {4}D. ∅2.下列函数中，在其定义域内既是增函数又是奇函数的是（）A. y=x2B. y=-log2xC. y=3xD. y=x3+x3.α是第三象限角，且sin，则tanα=（）A. B. C. D.4.已知向量，的夹角为60°，且||=2，||=1，则||=（）A. 2B.C. 2D. 25.△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=60°，a=4，b=4，则B=（）A. 45°或135°B. 135°C. 45°D. 以上都不对6.在a，b中插入n个数，使它们和a、b组成等差数列a，a1，a2，…a n，b，则a1+a2+…+a n=（）A. n（a+b）B.C.D.7.若，，则一定有（）A. B. C. D.8.在等比数列{a n}中，若a1-a5=-，前四项的和S4=-5，则a4=（）A. 1B. -1C.D.9.已知函数f（x）=log2（x2-ax+3a）在[2，+∞）上是增函数，则a的取值范围是（）A. （-∞，4]B. （-∞，2]C. （-4，4]D. （-4，2]10.圆锥的高h和底面半径r之比h：r=2：1，且圆锥的体积V=18π，则圆锥的表面积为（）A. 18πB. 9（1+2）πC. 9πD. 9（1+）π11.函数f（x）=（）cos x的图象大致为（）A. B.C. D.12.设a+b=2，b＞0，则+的最小值是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.在等比数列{a n}中，a2a3a4=8，a7=8，则a1=______．14.已知tanα=2，则=______．15.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，M为B1C1中点，连接A1B，D1M，则异面直线A1B和D1M所成角的余弦值为______．16.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，M是BC的中点，BM=2，AM=c-b，△ABC面积的最大值为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知A={x|-x2+4＜0}，B={x|x2-2x-3＜0}，求A∩B及A∪B．18.已知在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，2c cos B=2a+b．（1）求角C的值；（2）若a=2b，求tan A．19.北京某附属中学为了改善学生的住宿条件，决定在学校附近修建学生宿舍，学校总务办公室用1000万元从政府购得一块廉价土地，该土地可以建造每层1000平方米的楼房，楼房的每平方米建筑费用与建筑高度有关，楼房每升高一层，整层楼每平方米建筑费用提高0.02万元，已知建筑第5层楼房时，每平方米建筑费用为0.8万元．（1）若学生宿舍建筑为x层楼时，该楼房综合费用为y万元（综合费用是建筑费用与购地费用之和），写出y=f（x）的表达式；（2）为了使该楼房每平方米的平均综合费用最低，学校应把楼层建成几层？此时平均综合费用为每平方米多少万元？20.已知f（x）=2sin x cosx+（cos2x-sin2x）．（1）求函数y=f（x）的最小正周期和对称轴方程；（2）若x∈[0，]，求y=f（x）的值域．21.已知等比数列{a n}的前n项和为S n，公比q＞0，S2=2a2-2，S3=a4-2．（1）求等比数列{a n}的通项公式；（2）设b n=log2a n，求{}的前n项和T n．22.已知函数f（x）=ax2+bx+c（a＞b＞c）的图象上有两点A（m1，f（m1）），B（m2，f（m2））（m1≠m20．函数f（x）满足f（1）=0，且（a+f（m1））（a+f（m2））=0．（1）求证：-2；（2）求证：b≥0；（3）能否保证f（m1+3）和f（m2+3）中至少有一个为正数？请证明你的结论．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵A={a，1}，B={2，a}，且A∪B={1，2，4}；∴a=4；∴A∩B={4}．故选：C．根据条件可求出a=4，然后进行交集的运算即可．考查列举法表示集合的定义，以及交集、并集的运算．2.【答案】D【解析】解：由题意，可知：对于A：很明显y=x2是偶函数，所以排除A；对于B：y=-log2x在其定义域内是减函数，所以排除B；对于C：y=3x不是奇函数，所以排除C；对于D：y=x3+x，y′=3x2+1＞0，∴y=x3+x是增函数，∵f（-x）=-f（x），∴y=x3+x是奇函数．故选：D．本题可根据各种函数的奇偶性及单调性采用排除法逐个判别．最终能得出正确选项．本题主要考查二次函数、对数函数、指数函数及三次函数的奇偶性和单调性，本题属基础题．3.【答案】B【解析】解：因为α是第三象限角，且sin，所以，所以．故选：B．利用同角三角函数的基本关系可得结果．本题考查了同角三角函数的基本关系，属基础题．4.【答案】D【解析】解：根据已知条件，=4+4+4=12；∴．故选：D．由已知条件及向量数量积的运算即可求出，从而便求出．考查数量积的运算及数量积的计算公式，求向量的长度先求的方法．5.【答案】C【解析】解：∵A=60°，a=4，b=4，∴由正弦定理=得：sin B===，∵a＞b，∴A＞B，则B=45°．故选：C．由A的度数求出sin A的值，再由a与b的值，利用正弦定理求出sin B的值，由b小于a，得到B小于A，即可求出B的度数．此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．6.【答案】B【解析】解：依题意，设等差数列a，a1，a2，…a n，b，记为{c n}，其前n项和为S n，则c1=a，c n+2=b，所以a1+a2+…+a n=S n+2-（a+b）==，故选：B．在a，b中插入n个数，使它们和a、b组成等差数列，则第一项为a，第n+2项为b，根据等差数列的前n项和公式求解即可．本题考查了等差数列的前n项和，等差数列的性质，属于基础题．7.【答案】D【解析】【分析】本题考查不等式比较大小，特值法有效，倒数计算正确．利用特例法，判断选项即可．【解答】解：不妨令a=3，b=1，c=-3，d=-1，则，，∴A、B不正确；，=-，∴C不正确，D正确．解法二：∵c＜d＜0，∴-c＞-d＞0，∵a＞b＞0，∴-ac＞-bd，∴，∴．故选：D．8.【答案】A【解析】解：根据题意，设等比数列{a n}的公比为q，若a1-a5=-，即a1（1-q4）=-，若其前四项的和S4=-5，则有S4==-5，解可得q=-，又由a1（1-q4）=-，则a1=-8，则a4=a1×q3=（-8）×（-）3=1；故选：A．根据题意，设等比数列{a n}的公比为q，由a1-a5=-分析可得a1（1-q4）=-，结合等比数列的前n项和公式可得S4==-5，解可得q的值，进而可得a1=-8，结合等比数列的通项公式计算可得答案．本题考查等比数列的性质以及前n项和公式，属于基础题．9.【答案】C【解析】【分析】本题考查复合函数的单调性，二次函数的性质，对数函数的单调区间，属于简单题．若函数f（x）=log2（x2-ax+3a）在[2，+∞）上是增函数，则x2-ax+3a＞0在[2，+∞）恒成立,结合二次函数的单调性，得a的不等式求解即可．【解答】解：若函数f（x）=log2（x2-ax+3a）在[2，+∞）上是增函数，则函数g（x）=x2-ax+3a在[2,+∞)上为增函数，且x∈[2，+∞）上，x2-ax+3a＞0恒成立，所以，g（2）=4+a＞0，解得-4＜a≤4．故选C．10.【答案】D【解析】解：圆锥的高h和底面半径r之比h：r=2：1，∴h=2r，又圆锥的体积V=18π，即πr2h==18π，解得r=3；∴h=6，母线长为l===3，则圆锥的表面积为S=πrl+πr2=π•3•3+π•32=9（1+）π．故选：D．根据圆锥的体积求出底面圆的半径r和高h，再求出母线长l，即可计算圆锥的表面积．本题考查了圆锥的体积与表面积计算问题，是基础题．11.【答案】C【解析】【分析】本题考查函数的图象的判断与应用，考查函数的零点以及特殊值的计算，利用函数的零点排除选项，然后通过特殊点的位置判断即可，属于中档题．【解答】解：函数f（x）=（）cos x，当x=时，是函数的一个零点，所以排除A，B；当x∈（0，1）时，cos x＞0，＜0，函数f（x）=（）cos x＜0，函数的图象在x轴下方；排除D；故选C．12.【答案】D【解析】【分析】本题考查了基本不等式的应用，需要根据条件和所求式子的特点，进行变形凑出定值再进行求解，考查了转化和分类讨论的能力．由题意得=1代入所求的式子，进行化简后，再对部分式子利用基本不等式求出范围，再由a的范围求出式子的最小值．【解答】解：∵a+b=2，∴=1，∴+=（+）=++，∵b＞0，|a|＞0，∴+≥1（当且仅当b2=4a2时取等号），∴+≥+1，故当a＜0时，+的最小值为．故选：D．13.【答案】1【解析】解：根据题意，等比数列{a n}中，其公比为q，a2a3a4=8，则（a3）3=8，解可得a3=2，又由a7=8，则有q4==4，则q2=2，则a1===1；故答案为：1．根据题意，由等比数列的性质可得（a3）3=8，解可得a3=2，又由q4=，计算可得q2的值，进而计算可得答案．本题考查等比数列的性质以及应用，关键是求出等比数列的公比，属于基础题．14.【答案】【解析】解：tanα=2，则==故答案为：．=$\frac{tan\alpha-3}{2tan\alpha+1}，将tanα=2代入求值即可．本题考查了三角函数的化简求值，属基础题．15.【答案】【解析】解：如图，连接CD1，CM，由A1D1∥BC，A1D1=BC，可得四边形A1BCD1为平行四边形，则A1B∥CD1，∴∠CD1M为异面直线A1B和D1M所成角，由正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，M为B1C1中点，得，．在△CMD1中，由余弦定理可得，cos∠CD1M=．∴异面直线A1B和D1M所成角的余弦值为．故答案为：．连接CD1，CM，由A1D1∥BC，A1D1=BC，可得四边形A1BCD1为平行四边形，则A1B∥CD1，可得∠CD1M为异面直线A1B和D1M所成角，再由已知求出△CD1M的三边长，由余弦定理求解．本题考查异面直线所成角及其求法，考查余弦定理的应用，是基础的计算题．16.【答案】2【解析】解：在△ABM中，由余弦定理得：cos B==．在△ABC中，由余弦定理得：cos B==．∴=．即b2+c2=4bc-8．∵cos A==，∴sin A==．∴S=sin A=bc=．由cos A=∈（-1，1）可得bc∈（4，12）．∴当bc=8时，S取得最大值2．故答案为2．在△ABM和△ABC中分别使用余弦定理得出bc的关系，求出cos A，sin A，代入面积公式求出最大值．本题考查了余弦定理得应用，根据余弦定理得出bc的关系是解题关键．17.【答案】解：A={x|x＜-2，或x＞2}，B={x|-1＜x＜3}；∴A∩B={x|2＜x＜3}，A∪B={x|x＜-2，或x＞-1}．【解析】可求出集合A，B，然后进行交集、并集的运算即可．考查描述法表示集合的定义，一元二次不等式的解法，以及交集、并集的运算．18.【答案】解（1）因为2sin C cos B=2sin A+sin B⇒2sin C cos B=2（sin B cos C+cos B sin C）+sin B ⇒cos C=-，C是三角形内角，C=120°．（2）根据余弦定理c== b根据正弦定理=，所以sin A=sin C=•=．cos A===所以tan A===．【解析】（1）将已知条件边化角可得；（2）先根据余弦定理求得c=b，再根据正弦定理求得sin A=，然后根据同角公式求得正切值．本题考查了三角形中的几何计算，属中档题．19.【答案】解：（1）由建筑第5层楼房时，每平方米建筑费用为0.8万元，且楼房每升高一层，整层楼每平方米建筑费用提高0.02万元，可得建筑第1层楼房每平方米建筑费用为：0.72万元．建筑第1层楼房建筑费用为：0.72×1000=720（万元）．楼房每升高一层，整层楼建筑费用提高：0.02×1000=20（万元）．建筑第x层楼时，该楼房综合费用为：y=f（x）=720x++1000=10x2+710x+1000．∴y=f（x）=10x2+710x+1000（x≥1，x∈Z）；（2）设该楼房每平方米的平均综合费用为g（x），则：g（x）===≥2=0.91，∴学校应把楼层建成10层，此时平均综合费用为每平方米0.91万元．【解析】本题考查简单的数学建模思想方法，训练了等差数列前n项和的求法，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．（1）由已知求出第1层楼房每平方米建筑费用为0.72万元，得到第1层楼房建筑费用，由楼房每升高一层，整层楼建筑费用提高20（万元），然后利用等差数列前n项和求建筑x层楼时的综合费用y=f（x）；（2）设楼房每平方米的平均综合费用为g（x），则g（x）=，然后利用基本不等式求最值．20.【答案】解：（1）f（x）=2sin x cosx+（cos2x-sin2x）=令，则f（x）的对称轴为，最小正周期；（2）当x∈[0，]时，，因为y=sin x在单调递增，在单调递减，在取最大值，在取最小值，所以，所以f（x）∈[-1，2]．【解析】（1）将f（x）化简，利用整体法求出f（x）的对称轴和周期即可；（2）根据正弦函数的单调性，求出f（x）的最大值和最小值即可．本题考查了三角函数的图象与性质和三角函数的化简求值，属基础题．21.【答案】解：（1）等比数列{a n}的前n项和为S n，公比q＞0，S2=2a2-2①，S3=a4-2②．②-①，得a3=a4-2a2，则q2-q-2=0，又q＞0，所以q=2，因为S2=2a2-2，所以a1+a2=2a2-2，所以a1=2，所以a n=2n；（2）b n=log2a n=log22n=n，==-，所以前n项和T n=1-+-+…+-=1-=．【解析】（1）由数列的递推式和等比数列的通项公式，解方程可得公比，由等比数列的求和可得首项，进而得到所求通项公式；（2）求得b n=log2a n=log22n=n，==-，再由数列的裂项相消求和，化简可得所求和．本题考查等比数列的通项公式和数列的裂项相消求和，考查方程思想和运算能力，属于基础题．22.【答案】（1）证明：f（1）=a+b+c=0，且a＞b＞c，所以a＞0，c＜0，因为b=-a-c，所以a＞-a-c＞c，所以，（2）因为（a+f（m1））（a+f（m2））=0．所以f（m1）=-a或f（m2）=-a，即m1或m2是方程f（x）=-a的一个实根，即ax2+bx+c+a=0的有根，所以△=b2-4a（a+c）≥0，因为b=-a-c，所以b2≥4a（a+c）=-4ab，即b（b+4a）≥0，即b（3a-c）≥0，因为3a-c＞0，所以b≥0（3）设f（x）=0的两根为x1，x2，显然其中一根为1，另一根为设f（x）=a（x-1）（x-），若f（m1）=-a，则a（m1-1）（m2-）=-a＜0所以，所以又函数f（x）在（1，+∞）上是增函数，所以f（m1+3）＞f（1）=0．同理当f（m2）=-a时，f（m2+3）＞0所以f（m1+3），f（m2+3）中至少有一个是正数．【解析】（1）由f（1）=0，且a＞b＞c，可判断a＞0，c＜0且b=-a-c，所以a＞-a-c＞c，从而可证明；（2）由已知可知f（m1）=-a或f（m2）=-a，即m1或m2是方程f（x）=-a的一个实根，即ax2+bx+c+a=0的有根，结合二次方程的实根存在条件即可证；（3）由f（x）=0的两根中，其中一根为1，另一根为，结合二次方程的根的存在及二次函数的单调性可证．本题主要考查了二次方程的根的存在及二次不等式的求解，二次函数性质的综合应用，属于中档试题。

2020-2021深圳市高一数学下期中试卷带答案一、选择题 1．已知a ，b 是两条异面直线，且a b ⊥r r ，直线c 与直线a 成30°角，则c 与b 所成的角的大小范围是( )A ．[]60,90︒︒B ．[]30,90︒︒C ．[]30,60︒︒D ．[]45,90︒︒ 2．设圆C ：223x y +=，直线l ：360x y +-=，点()00,P x y l ∈，若存在点Q C ∈，使得60OPQ ∠=︒（O 为坐标原点），则0x 的取值范围是( )A ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．60,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]0,1D ．16,25⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 3．如图是某四面体ABCD 水平放置时的三视图（图中网格纸的小正方形的边长为1，则四面体ABCD 外接球的表面积为A ．20πB ．1256πC ．25πD ．100π4．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1AD 与1A C 所成的角的大小是( )A ．30oB ．60oC ．90oD ．120o5．如图是水平放置的平面图形的斜二测直观图，其原来平面图形面积是（ ）A ． 22B ． 42C ．4D ．8 6．已知点A （1，2），B （3，1），则线段AB 的垂直平分线的方程是（ ） A ．4x 2y 5+=B ．4x 2y 5-=C ．x 2y 5+=D ．x 2y 5-= 7．用一个平面去截正方体，则截面不可能是（ ） A ．直角三角形 B ．等边三角形C ．正方形D ．正六边形 8．从点(,3)P m 向圆22(2)(2)1x y +++=引切线，则切线长的最小值( )A ．26B ．5C ．26D ．42+9．长方体的三个相邻面的面积分别为2，3，6，则该长方体外接球的表面积为( ) A ．72π B ．56π C ．14π D ．64π10．已知点()1,2-和3,03⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在直线():100l ax y a --=≠的两侧，则直线l 的倾斜角的取值范围是 ( )A ．,43ππ⎛⎫⎪⎝⎭ B ．2,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．25,36ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．30,,34πππ⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11．一锥体的三视图如图所示,则该棱锥的最长棱的棱长为 ( )A ．B ．C ．D ．12．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：①BM 与ED 平行 ②CN 与BE 是异面直线③CN 与BM 成60︒角 ④DM 与BN 是异面直线以上四个命题中，正确命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题13．光线由点P(2,3)射到直线x+y+1=0上，反射后过点Q(1,1) ，则反射光线方程为__________．14．已知圆22:20(0)M x y ay a +-=>截直线0x y +=所得线段的长度是22，则圆M 与圆22:(1)(1)1N x y -+-=的位置关系是_________．15．已知点1232M N （，），（，），点F 是直线l:3y x =-上的一个动点，当MFN ∠最大时，过点M ，N ，F 的圆的方程是__________.16．若圆的方程为2223()(1)124k x y k +++=-，则当圆的面积最大时，圆心坐标和半径分别为 、 ．17．直线10ax y ++=与连接A （4，5），B （-1，2）的线段相交，则a 的取值范围是___．18．若直线l ：-3y kx =与直线23-60x y +=的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是___________.19．在一个密闭的容积为1的透明正方体容器内装有部分液体，如果任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围是 ．20．直线:l y x b =+与曲线2:1C y x =-有两个公共点，则b 的取值范围是______. 三、解答题21．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，平面PBD ⊥平面ABCD ，2AD =，25PD =，4AB PB ==，60BAD ∠=︒.（1）求证：AD PB ⊥；（2）E 是侧棱PC 上一点，记PE PCλ=，当PB ⊥平面ADE 时，求实数λ的值22．如图，矩形ABCD 所在平面与半圆弧»CD所在平面垂直，M 是»CD 上异于C ，D 的点．（1）证明：平面AMD ⊥平面BMC ；（2）在线段AM 上是否存在点P ，使得MC ∥平面PBD ？说明理由．23．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AD ⊥平面1A BC ，其垂足D 落在直线1A B 上．（Ⅰ）求证：1BC A B ⊥；（Ⅱ）若P 是线段AC 上一点，3,2AD AB BC ===，三棱锥1A PBC -的体积为3，求AP PC 的值. 24．如图四棱锥C ABDE -的侧面ABC ∆是正三角形，BD ⊥面ABC ，//BD AE 且2BD AE =，F 为CD 的中点.（1）求证：//EF 面ABC（2）若6BD AB ==，求BF 与平面BCE 所成角的正弦值25．四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，//AB CD ，90BCD ∠=︒，22AB AD DC ===.PAD △ 为正三角形，二面角P -AD -C 的大小为23π.（1）线段AD 的中点为M.求证：平面PMB ⊥平面ABCD ；（2）求直线BA 与平面P AD 所成角的正弦值.26．如图，在直三棱柱111ABCA B C 中，AC BC ⊥，14CC =，M 是棱1CC 上的一点．（1）求证：BC AM ⊥；（2）若N 是AB 的中点，且//CN 平面1AB M ，求CM 的长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【解析】【分析】将异面直线所成的角转化为平面角，然后由题意，找出与直线a 垂直的直线b 的平行线，与直线c 平行线的夹角.【详解】在直线a 上任取一点O ，过O 做//c c '，则,a c '确定一平面α，过O 点做直线b 的平行线b '，所有平行线b '在过O 与直线a 垂直的平面β内， 若存在平行线1b '不在β内，则1b '与b '相交又确定不同于β的平面，这与过一点有且仅有一个平面与一条直线垂直矛盾，所以b '都在平面β内， 且,l αβαβ⊥=I ，在直线c '上任取不同于O 的一点P ，做PP l '⊥于P '，则PP β'⊥，POP '∠为是c '与β所成的角为60︒，若b l '⊥，则,b b c α'''⊥⊥，若b '不垂直l 且不与l 重合，过P '做P A b ''⊥，垂足为A ，连PA ，则b '⊥平面PP A '，所以b PA '⊥，即1,cos 2OA OP OA PA AOP OP OP '⊥∠=<=， 60AOP ∠>︒，综上b '与c '所成角的范围为[60,90]︒︒， 所以直线b 与c 所成角的范围为[]60,90︒︒.故选：A.【点睛】本题考查异面直线所成角，空间角转化为平面角是解题的关键，利用垂直关系比较角的大小，属于中档题.2．B解析：B【解析】【分析】圆O 外有一点P ，圆上有一动点Q ，OPQ ∠在PQ 与圆相切时取得最大值．如果OP 变长，那么OPQ ∠可以获得的最大值将变小．因为sin QO OPQ PO∠=，QO 为定值，即半径，PO 变大，则sin OPQ ∠变小，由于(0,)2OPQ π∠∈，所以OPQ ∠也随之变小．可以得知，当60OPQ ∠=︒，且PQ 与圆相切时，2PO =，而当2PO >时，Q 在圆上任意移动，60OPQ ∠<︒恒成立．因此，P 的取值范围就是2PO „，即满足2PO „，就能保证一定存在点Q ，使得60OPQ ∠=︒，否则，这样的点Q 是不存在的．【详解】由分析可得：22200PO x y =+ 又因为P 在直线l 上，所以00(36)x y =--要使得圆C 上存在点Q ，使得60OPQ ∠=︒，则2PO „故22220000103634PO x y y y ==+-+„ 解得0825y 剟，0605x 剟即0x 的取值范围是6[0,]5，故选：B ．【点睛】解题的关键是充分利用几何知识，判断出2PO …，从而得到不等式求出参数的取值范围． 3．C解析：C【解析】【分析】【详解】由三视图可知，这是三棱锥的三视图，如下图所示，三角形BCD 为等腰直角三角形， 其外心为BD 中点1O ，设O 为AD 中点，则O 为外接球球心，半径长度为1522AD =， 所以表面积为25π.4．C解析：C【解析】【分析】在正方体1111ABCD A B C D -中，利用线面垂直的判定定理，证得1AD ⊥平面1A DC ，由此能求出结果．【详解】如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，连结1A D ，则1AD DC ⊥，11A D AD ⊥， 由线面垂直的判定定理得1AD ⊥平面1A DC ，所以11AD AC ⊥, 所以异面直线1AD 与1A C 所成的角的大小是90o ．故选C ．【点睛】本题主要考查了直线与平面垂直的判定与证明，以及异面直线所成角的求解，其中解答中牢记异面直线所成的求解方法和转化思想的应用是解答的关键，平时注意空间思维能力的培养，着重考查了推理与论证能力，属于基础题．5．C解析：C【解析】分析：由三视图还原实物图,再根据三角形面积公式求解.详解：在斜二测直观图中OB=2,OA=2, 所以在平面图形中OB=2,OA=4， OA ⊥OB ， 所以面积为12442S =⨯⨯=. 选C.点睛： 1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图． 2．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据． 6．B解析：B【解析】【分析】【详解】因为线段AB 的垂直平分线上的点(),x y 到点A ，B 的距离相等， 22(1)(2)x y -+-22(3)(1)x y =-+-．即：221244x x y y +-++- 229612x x y y =+-++-，化简得：425x y -=．故选B ．7．A解析：A【解析】【分析】【详解】画出截面图形如图显然A 正三角形C 正方形：D 正六边形可以画出三角形但不是直角三角形；故选A ．用一个平面去截正方体，则截面的情况为：①截面为三角形时，可以是锐角三角形、等腰三角形、等边三角形，但不可能是钝角三角形、直角三角形；②截面为四边形时，可以是梯形（等腰梯形）、平行四边形、菱形、矩形，但不可能是直角梯形；③截面为五边形时，不可能是正五边形；④截面为六边形时，可以是正六边形．故可选A ．8．A解析：A【解析】【分析】设切线长为d ,则2222(2)51(2)24d m m =++-=++再利用二次函数的图像和性质求函数的最小值得解.【详解】设切线长为d ,则2222(2)51(2)24d m m =++-=++, min 26d ∴=故选:A.【点睛】本题主要考查圆的切线问题,考查直线和圆的位置关系,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.9．C解析：C【解析】【分析】由题意首先求得长方体的棱长，然后求解其外接球的表面积即可.【详解】设长方体的棱长分别为,,a b c ，则236ab bc ac =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以()236abc =，于是213a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，设球的半径为R ，则2222414R a b c =++=，所以这个球面的表面积为24R π=14π． 本题选择C 选项.【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.10．D解析：D【解析】设直线l 的倾斜角为θ∈[0,π).点A (1,−2),B直线l :ax −y −1=0(a ≠0)经过定点P (0,−1). ()121,01PA PB k k ---==-==- ∵点(1,−2)和(3,0)在直线l :ax −y −1=0(a ≠0)的两侧， ∴k P A <a <k PB ,∴−1<tanθtanθ≠0. 解得30,34ππθθπ<<<<. 本题选择D 选项.解析：C【解析】试题分析：该几何体为一个侧面与底面垂直，底面为正方形的四棱锥（如图所示），其中底面边长为，侧面平面，点在底面的射影为，所以,所以,,,,底面边长为，所以最长的棱长为，故选C.考点：简单几何体的三视图．12．B解析：B【解析】【分析】把平面展开图还原原几何体，再由棱柱的结构特征及异面直线定义、异面直线所成角逐一核对四个命题得答案．【详解】把平面展开图还原原几何体如图：由正方体的性质可知，BM 与ED 异面且垂直，故①错误；CN 与BE 平行，故②错误；连接BE ，则BE CN P ，EBM ∠为CN 与BM 所成角，连接EM ，可知BEM ∆为正三角形，则60EBM ∠=︒，故③正确；由异面直线的定义可知，DM 与BN 是异面直线，故④正确．∴正确命题的个数是2个．故选：B ．本题考查棱柱的结构特征，考查异面直线定义及异面直线所成角，是中档题．二、填空题13．4x －5y+1=0【解析】【分析】先求P 点关于直线x+y+1=0对称点M 再根据两点式求MQ 方程即得结果【详解】因为P 点关于直线x+y+1=0对称点为所以反射光线方程为【点睛】本题考查点关于直线对称问解析：4x －5y +1=0【解析】【分析】先求P 点关于直线x+y+1=0对称点M ，再根据两点式求 MQ 方程，即得结果.【详解】因为P 点关于直线x+y+1=0对称点为(4,3)M --， 所以反射光线方程为13:1(1),451014MQ y x x y +-=--+=+. 【点睛】本题考查点关于直线对称问题，考查基本分析求解能力，属基本题. 14．相交【解析】【分析】根据直线与圆相交的弦长公式求出的值结合两圆的位置关系进行判断即可【详解】解：圆的标准方程为则圆心为半径圆心到直线的距离圆截直线所得线段的长度是即则圆心为半径圆的圆心为半径则即两个 解析：相交【解析】【分析】根据直线与圆相交的弦长公式，求出a 的值，结合两圆的位置关系进行判断即可．【详解】解：圆的标准方程为222:()(0)M x y a a a +-=>，则圆心为(0,)a ，半径R a =，圆心到直线0x y +=的距离d =，Q圆22:20(0)M x y ay a +-=>截直线0x y +=所得线段的长度是∴即24a =，2a =，则圆心为(0,2)M ，半径2R =，圆22:(1)(1)1N x y -+-=的圆心为(1,1)N ，半径1r =，则MN =3R r +=Q ，1R r -=，R r MN R r ∴-<<+，即两个圆相交．故答案为：相交．【点睛】本题主要考查直线和圆相交的应用，以及两圆位置关系的判断，根据相交弦长公式求出a 的值是解决本题的关键．15．【解析】【分析】【详解】试题分析：根据题意设圆心坐标为C （2a ）当∠MFN 最大时过点MNF 的圆与直线y=x-3相切∴∴a=1或9a=1时r=∠MCN=90°∠MFN=45°a=9时r=∠MCN＜90解析：22(2)(1)2x y -+-=【解析】【分析】【详解】试题分析：根据题意，设圆心坐标为C （2，a ），当∠MFN 最大时，过点M ，N ，F 的圆与直线y=x-3相切．=，∴a=1或9，a=1时，，∠MCN=90°，∠MFN=45°，a=9时，r=MCN ＜90°，∠MFN ＜45°，则所求圆的方程为22(2)(1)2x y -+-=考点：圆的标准方程 16．【解析】试题分析：圆的面积最大即半径最大此时所以圆心为半径为1考点：圆的方程解析：(0,1)-，1【解析】试题分析：圆的面积最大即半径最大，此时0k =()2211x y ∴++=，所以圆心为(0,1)-半径为1考点：圆的方程 17．或【解析】【分析】判断直线恒过定点P （0-1）计算PAPB 的斜率再利用数形结合求a 的取值范围【详解】解：由直线ax+y+1=0的方程判断直线恒过定点P （0-1）如图所示计算且或则或即实数a 的取值范围解析：32a ≤-或3a ≥ 【解析】【分析】判断直线0ax by c ++=恒过定点P （0，-1），计算PA 、PB 的斜率，再利用数形结合求a 的取值范围．【详解】解：由直线ax+y+1=0的方程，判断直线恒过定点P （0，-1），如图所示，计算513402PA k +==-，21310PB k +==--- 且PA k k ≥或PB k k ≤，则PA a k ≤-或PB a k ≥-，即实数a 的取值范围是：32a ≤-或3a ≥． 故答案为：32a ≤-或3a ≥． 【点睛】本题考查直线的斜率与直线方程的应用问题，是基础题． 18．【解析】若直线与直线的交点位于第一象限如图所示：则两直线的交点应在线段上（不包含点）当交点为时直线的倾斜角为当交点为时斜率直线的倾斜角为∴直线的倾斜角的取值范围是故答案为解析：(,)62ππ 【解析】若直线:3l y kx =-与直线2360x y +-=的交点位于第一象限，如图所示：则两直线的交点应在线段AB 上（不包含,A B 点）, 当交点为()0,2A 时，直线l 的倾斜角为2π，当交点为()3,0B 时，斜率()033303k --==-，直线l 的倾斜角为6π ∴直线的倾斜角的取值范围是,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭． 故答案为,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭19．【解析】【分析】【详解】试题分析：如图正方体ABCD-EFGH 此时若要使液面不为三角形则液面必须高于平面EHD 且低于平面AFC 而当平面EHD 平行水平面放置时若满足上述条件则任意转动该正方体液面的形状解析：15,66⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】【详解】试题分析：如图，正方体ABCD-EFGH ，此时若要使液面不为三角形，则液面必须高于平面EHD ，且低于平面AFC ．而当平面EHD 平行水平面放置时，若满足上述条件，则任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形．所以液体体积必须＞三棱柱G-EHD 的体积16，并且＜正方体ABCD-EFGH 体积-三棱柱B-AFC 体积15166-=考点：1．棱柱的结构特征；2．几何体的体积的求法20．【解析】【分析】由题意曲线表示以原点为圆心1为半径的半圆根据图形得出直线与半圆有两个公共点时抓住两个关键点一是直线与圆相切时二是直线过时分别求出的值即可确定的范围【详解】如图所示是个以原点为圆心1为 解析：2⎡⎣【解析】【分析】由题意，曲线2:1C y x =-表示以原点为圆心，1为半径的半圆，根据图形得出直线:l y x b =+与半圆有两个公共点时抓住两个关键点，一是直线:l y x b =+与圆相切时，二是直线:l y x b =+过()1,0A -时分别求出b 的值，即可确定b 的范围。

2020-2021深圳实验学校初中部高一数学下期中一模试卷附答案一、选择题1．已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ） A ．若//,//,m n αα则//m n B ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥ C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α D ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥2．设曲线31x y x +=-在点25（，）处的切线与直线10ax y +-=平行，则a=（ ） A ．-4B ．14-C ．14D ．43．圆心在x +y =0上，且与x 轴交于点A （-3，0）和B （1，0）的圆的方程为（ ） A ．22(1)(1)5x y ++-= B ．22(1)(1)5x y -++= C ．22(1)(1)5x y -++= D ．22(1)(1)5x y ++-=4．三棱锥P -ABC 中，P A ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，P A =2，AB =BC =1，则其外接球的表面积为（ ） A ．6πB ．5πC ．4πD ．3π5．若函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---≤⎧=⎨>⎩单调递增,则实数a 的取值范围是( ) A ．9,34⎛⎫⎪⎝⎭B ．9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．()1,3D ．()2,36．已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，SC 为球O 的直径，且SC OA ⊥，SC OB ⊥，OAB V 为等边三角形，三棱锥S ABC -的体积为43，则球O 的半径为( ) A ．3B ．1C ．2D ．47．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．12B ．18C ．24D ．308．某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为4的正方形，两条虚线互相垂直且相等，则该几何体的体积是（ ）A ．1763B ．1603C ．1283D ．329．在长方体1111ABCD A B C D -中，11111,2AA A D a A B a ===，点P 在线段1AD 上运动，当异面直线CP 与1BA 所成的角最大时，则三棱锥11C PA D -的体积为（ ）A ．34aB ．33aC ．32aD ．3a 3a10．若方程21424x kx k +-=-+ 有两个相异的实根，则实数k 的取值范围是（ ）A ．13,34⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．13,34⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．53,124⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．53,124纟çúçú棼11．如图，平面四边形ABCD 中，1AB AD CD ===，2BD =，BD CD ⊥，将其沿对角线BD 折成四面体A BCD '-，使平面A BD '⊥平面BCD ，若四面体A BCD '-的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）A ．3πB ．32π C ．4πD ．34π 12．如图在正方体中，点为线段的中点. 设点在线段上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是( )A ．B ．C ．D ．二、填空题13．在平面直角坐标xOy 系中,设将椭圆()2222110y x a a a +=>-绕它的左焦点旋转一周所覆盖的区域为D ，P 为区域D 内的任一点，射线()02x y x =≥－上的点为Q ，若PQ 的最小值为a ，则实数a 的取值为_____．14．如图，在ABC V 中，AB BC ⊥，SA ⊥平面ABC ，DE 垂直平分SC ，且分别交AC ，SC 于点D ，E ，又SA AB =，SB BC =，则二面角E BD C --的大小为_______________.15．圆221x y +=上的点到直线34250x y +-=的距离的最小值是 ．16．已知直线:0l x my m ++=，且与以A (-1,1)、B (2,2)为端点的线段相交，实数m 的取值范围为___________.17．已知点()1,0A -，()2,0B ，直线l ：50kx y k --=上存在点P ，使得2229PA PB +=成立，则实数k 的取值范围是______.18．在正方体1111ABCD A B C D -中，①BD P 平面11CB D ②直线AD 与1CB 所成角的大小为60︒ ③1AA BD ⊥ ④平面11A BC ∥平面1ACD 请把所有正确命题的序号填在横线上________．19．如图，已知圆锥的高是底面半径的2倍，侧面积为π，若正方形ABCD 内接于底面圆O ，则四棱锥P ABCD -侧面积为__________．20．如图所示，二面角l αβ--为60,,A B o是棱l 上的两点，,AC BD 分别在半平面内,αβ，且AC l ⊥，，4,6,8AB AC BD ===，则CD 的长______．三、解答题21．如图，正方形ABCD 所在平面与三角形CDE 所在平面相交于CD ，AE ⊥平面CDE ，且1AE =,2AB =.(Ⅰ)求证：AB ⊥平面ADE ； (Ⅱ)求凸多面体ABCDE 的体积.22．如图所示，四棱锥B AEDC -中，平面AEDC ⊥平面ABC ，F 为BC 的中点，P 为BD 的中点，且AE ∥DC ，90ACD BAC ∠=∠=︒，2DC AC AB AE ===．（Ⅰ）证明：平面BDE ⊥平面BCD ； （Ⅱ）若2DC =，求三棱锥E BDF -的体积．23．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，点D 、E 、F 分别是BC 、1AC 、1BB 的中点.（1）求证：AD ⊥平面11BCC B ； （2）求证：//EF 平面111A B C .24．如图，已知三棱锥A BPC -中，AP PC ⊥，AC BC ⊥，M 为AB 的中点，D 为PB 的中点，且PMB △为正三角形.（1）求证：//DM 平面APC ； （2）求证：BC ⊥平面APC ；（3）若4BC =，10AB =，求三棱锥D BCM -的体积. 25．求满足下列条件的直线方程：（1）经过两条直线23100x y -+=和3420x y +-=的交点，且平行于直线10x y -+=；（2）经过两条直线280x y +-=和210x y -+=的交点，且垂直于直线320x y --=. 26．设直线l 的方程为()()1520a x y a a R ++--=∈. (1)求证:不论a 为何值，直线l 必过一定点P ;(2)若直线l 分别与x 轴正半轴，y 轴正半轴交于点(),0A A x ，()0,B B y ，当AOB ∆而积最小时，求AOB ∆的周长;(3)当直线l 在两坐标轴上的截距均为整数时，求直线l 的方程.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】试题分析：线面垂直，则有该直线和平面内所有的直线都垂直，故B 正确. 考点：空间点线面位置关系．2．D解析：D 【解析】 【分析】求出原函数的导函数，得到函数在2x =时的导数，再由两直线平行与斜率的关系求得a 值． 【详解】解：由31x y x +=-，得()()2213411x x y x x ---=---'=， ∴2'|4x y ==-， 又曲线31x y x +=-在点25（，）处的切线与直线10ax y +-=平行， ∴4a -=-，即4a =． 故选D ． 【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查两直线平行与斜率的关系，是中档题．3．A解析：A 【解析】 【分析】由题意得：圆心在直线x=-1上，又圆心在直线x+y=0上，故圆心M 的坐标为（-1，1），再由点点距得到半径。

2020年年高一数学第二学期期中模拟试卷及答案（共七套）2020年年高一数学第二学期期中模拟试卷及答案（一）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分，有且只有一个选项正确）1．如果cosθ＜0，且tanθ＞0，则θ是（）A．第一象限的角B．第二象限的角C．第三象限的角D．第四象限的角2．①某高校为了解学生家庭经济收入情况，从来自城镇的150名学生和来自农村的150名学生中抽取100名学生的样本；②某车间主任从100件产品中抽取10件样本进行产品质量检验．I．简单随机抽样法；Ⅱ．分层抽样法．上述两问题和两方法配对正确的是（）A．①配I，②配ⅡB．①配Ⅱ，②配ⅠC．①配I，②配I D．①配Ⅱ，②配Ⅱ3．某研究机构对儿童记忆能力x和识图能力y进行统计分析，得到如下数据：46810记忆能力x3568识图能力y由表中数据，求得线性回归方程为，=x+，若某儿童的记忆能力为11时，则他的识图能力约为（）A．8.5 B．8.7 C．8.9 D．94．如果如图所示程序执行后输出的结果是480，那么在程序UNTIL 后面的“条件”应为（）A．i＞8 B．i＞=8 C．i＜8 D．i＜=85．若，，则sin（2π﹣α）=（）A． B．C． D．6．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为50%．现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用0，1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9表示不下雨；再以每三个随机数作为一组，代表这三天的下雨情况．经随机模拟试验产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，这三天中恰有两天下雨的概率近似为（）A．0.30 B．0.35 C．0.40 D．0.507．如图的茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为（）A． B． C．D．8．若sinα=，cosα=﹣，则在角α终边上的点是（）A．（﹣4，3）B．（3，﹣4）C．（4，﹣3）D．（﹣3，4）9．记集合A={x，y）|x2+y2≤4}和集合B={（x，y）|x﹣y﹣2≤0，x ﹣y+2≥0}表示的平面区域分别为Ω1、Ω2，若在区域Ω1内任取一点M （x，y），则点M落在区域Ω2内的概率为（）A．B．C． D．10．当x=时，函数f（x）=Asin（x+φ）（A＞0）取得最小值，则函数y=f（﹣x）是（）A．奇函数且图象关于直线x=对称B．偶函数且图象关于点（π，0）对称C．奇函数且图象关于（，0）对称D．偶函数且图象关于点（，0）对称二、填空题：（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请将正确的答案填在横线上）11．已知扇形AOB的周长是6，中心角是2弧度，则该扇形的面积为．12．设a=sin33°，b=cos55°，c=tan35°，则a，b，c三数由大到小关系为．13．高一（9）班同学利用国庆节进行社会实践，对[25，55]岁的人群随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：则统计表中的a•p=．组数分组低碳族的人数占本组的频率第一组[25，30）1200.6第二组[30，35）195p第三组[35，40）1000.5第四组[40，45）a0.4第五组[45，50）300.3第六组[50，55）150.314．已知函数f（x）=x+sinπx，则f（）+f（）+f（）+…+f （）的值为．三、解答题：（本大题有3个小题，共30分．请书写完整的解答过程）15．（10分）某中学调查了某班全部50名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）参加书法社团未参加书法社团参加演讲社团86未参加演讲社团630（I）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；（II）在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5，3名女同学B1，B2，B3，现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率．16．（10分）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180），[180，200），[200.220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]分组的频率分布直方图如图示．（Ⅰ）求直方图中x的值；（Ⅱ）求月平均用电量的众数和中位数；（Ⅲ）在月平均用电量为[220，240），[240，260），[260，280）的三组用户中，用分层抽样的方法抽取10户居民，则月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取多少户？17．（10分）已知：﹣＜x＜﹣π，tanx=﹣3．（Ⅰ）求sinx•cosx的值；（Ⅱ）求的值．四、选择题：（本大题共2小题，每小题5分，共15分，有且只有一个选项正确）18．现有1名女教师和2名男教师参加说题比赛，共有2道备选题目，若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说题，其中恰有一男一女抽到同一道题的概率为（）A．B．C．D．19．函数y=，x∈（﹣，0）∪（0，）的图象可能是下列图象中的（）A．B．C．D．五、填空题：（共5分．请将正确的答案填在横线上）20．将函数f（x）=2cos2x的图象向右平移个单位得到函数g（x）的图象，若函数g（x）在区间和上均单调递增，则实数a的取值范围是．六、解答题：（本大题有3个小题，共35分．请书写完整的解答过程）21．（11分）已知关于x的二次函数f（x）=ax2﹣4bx+1．（Ⅰ）设集合A={﹣1，1，2，3，4，5}和B={﹣2，﹣1，1，2，3，4}，分别从集合A，B中随机取一个数作为a和b，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．（Ⅱ）设点（a，b）是区域内的随机点，求函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．22．（12分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣π＜φ＜0）．（1）若f（x）的部分图象如图所示，求f（x）的解析式；（2）在（1）的条件下，求最小正实数m，使得函数f（x）的图象向左平移m个单位后所对应的函数是偶函数；（3）若f（x）在[0，]上是单调递增函数，求ω的最大值．23．（12分）我们把平面直角坐标系中，函数y=f（x），x∈D上的点P（x，y），满足x∈N*，y∈N*的点称为函数y=f（x）的“正格点”．（Ⅰ）若函数f（x）=sinmx，x∈R，m∈（3，4）与函数g（x）=lgx 的图象有正格点交点，求m的值，并写出两个函数图象的所有交点个数．（Ⅱ）对于（Ⅰ）中的m值，函数f（x）=sinmx，时，不等式log a x＞sinmx恒成立，求实数a的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分，有且只有一个选项正确）1．如果cosθ＜0，且tanθ＞0，则θ是（）A．第一象限的角B．第二象限的角C．第三象限的角D．第四象限的角【考点】GC：三角函数值的符号．【分析】根据三角函数的符号，判断θ是哪一象限角即可．【解答】解：∵cosθ＜0，∴θ是第二、第三象限角或x负半轴角，又tanθ＞0，∴θ是第一或第三象限角，∴θ是第三象限角．故选：C．【点评】本题考查了根据三角函数值判断三角函数符号的应用问题，是基础题目．2．①某高校为了解学生家庭经济收入情况，从来自城镇的150名学生和来自农村的150名学生中抽取100名学生的样本；②某车间主任从100件产品中抽取10件样本进行产品质量检验．I．简单随机抽样法；Ⅱ．分层抽样法．上述两问题和两方法配对正确的是（）A．①配I，②配ⅡB．①配Ⅱ，②配ⅠC．①配I，②配I D．①配Ⅱ，②配Ⅱ【考点】B3：分层抽样方法；B2：简单随机抽样．【分析】由题意知①的总体中个体明显分层两，用分层抽样，②的总体中个体的数目不大用简单分层抽样．【解答】解：①、总体中个体明显分层两层：来自城镇的学生和来自农村的学生，故用分层抽样来抽取样本；②，总体中个体的数目是100，不是很大，故用简单分层抽样来抽取样本．故选B．【点评】本题的考点是选择抽样方法，即根据总体的特征和抽样方法适用的条件进行选择最佳方法．3．某研究机构对儿童记忆能力x和识图能力y进行统计分析，得到如下数据：46810记忆能力x3568识图能力y由表中数据，求得线性回归方程为，=x+，若某儿童的记忆能力为11时，则他的识图能力约为（）A．8.5 B．8.7 C．8.9 D．9【考点】BK：线性回归方程．【分析】由表中数据计算、，根据线性回归方程过样本中心点求出，写出线性回归方程，利用回归方程计算x=11时的值．【解答】解：由表中数据，计算=×（4+6+8+10）=7，=×（3+5+6+8）=5.5，且线性回归方程=x+过样本中心点（，），∴=5.5﹣×7=﹣0.1=﹣，∴线性回归方程为=x﹣；当x=11时，=×11﹣=8.7，即某儿童的记忆能力为11时，他的识图能力约为8.7．故选：B．【点评】本题考查了线性回归方程过样本中心点的应用问题，是基础题．4．如果如图所示程序执行后输出的结果是480，那么在程序UNTIL 后面的“条件”应为（）A．i＞8 B．i＞=8 C．i＜8 D．i＜=8【考点】EA：伪代码．【分析】先根据输出的结果推出循环体执行的次数，再根据S=1×10×8×6=480得到程序中UNTIL后面的条件．【解答】解：因为输出的结果是480，即S=1×10×8×6，需执行3次，所以程序中UNTIL后面的“条件”应为i＜8．故选：C．【点评】本题主要考查了直到型循环语句问题，语句的识别是一个逆向性思维过程，是基础题．5．若，，则sin（2π﹣α）=（）A． B．C． D．【考点】GO：运用诱导公式化简求值．【分析】由条件利用诱导公式求得cosα的值，再根据α的范围求得sinα的值，可得要求式子的值．【解答】解：∵=﹣cosα，∴cosα=．又，∴sinα=﹣=﹣，∴sin（2π﹣α）=﹣sinα=，故选：B．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．6．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为50%．现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用0，1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9表示不下雨；再以每三个随机数作为一组，代表这三天的下雨情况．经随机模拟试验产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，这三天中恰有两天下雨的概率近似为（）A．0.30 B．0.35 C．0.40 D．0.50【考点】CE：模拟方法估计概率．【分析】由题意知模拟三天中恰有两天下雨的结果，分析所给的数据可得表示三天下雨的数据组数，根据概率公式，计算可得结果．【解答】解：根据题意，用随机模拟试验模拟三天中恰有两天下雨的结果，分析可得：20组数据中表示三天中恰有两天下雨的有191、271、932、812、393、027、730，共7组，则这三天中恰有两天下雨的概率近似为=0.35；故选：B．【点评】本题考查模拟方法估计概率，解题主要依据是等可能事件的概率，注意列举法在本题的应用．7．如图的茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为（）A． B． C．D．【考点】BA：茎叶图；CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】根据茎叶图中的数据，求出甲乙两人的平均成绩，再求出乙的平均成绩不小于甲的平均成绩的概率，即可得到答案．【解答】解：由已知中的茎叶图得，甲的平均成绩为（88+89+90+91+92）=90；设污损的数字为x，则乙的平均成绩为（83+83+87+99+90+x）=88.4+，当x=9，甲的平均数＜乙的平均数，即乙的平均成绩超过甲的平均成绩的概率为，当x=8，甲的平均数=乙的平均数，即乙的平均成绩等于甲的平均成绩的概率为，所以，甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为1﹣﹣=．故选：D．【点评】本题考查了平均数，茎叶图，古典概型概率计算公式的应用问题，是基础题目．8．若sinα=，cosα=﹣，则在角α终边上的点是（）A．（﹣4，3）B．（3，﹣4）C．（4，﹣3）D．（﹣3，4）【考点】G9：任意角的三角函数的定义．【分析】利用三角函数的定义有sinα=，cosα=，从而可知选项．【解答】解：由于sinα=，cosα=﹣，根据三角函数的定义：sinα=，cosα=，可知x=﹣4，y=3，故选：A．【点评】本题主要考查了三角函数的定义．考查了学生对三角函数基础知识的掌握．9．记集合A={x，y）|x2+y2≤4}和集合B={（x，y）|x﹣y﹣2≤0，x ﹣y+2≥0}表示的平面区域分别为Ω1、Ω2，若在区域Ω1内任取一点M （x，y），则点M落在区域Ω2内的概率为（）A．B．C． D．【考点】CF：几何概型．【分析】分别求出集合A，B对应区域的面积，根据几何概型的概率公式即可得到结论．【解答】解：区域Ω1对应的面积S1=4π，作出平面区域Ω2，则Ω2对应的平面区域如图，则对应的面积S=2π+4，则根据几何概型的概率公式可知若在区域Ω1内任取一点M（x，y），则点M落在区域Ω2的概率为P==．故选；D【点评】本题主要考查几何概型的概率公式的计算，根据条件求出相应的面积是解决本题的关键．10．当x=时，函数f（x）=Asin（x+φ）（A＞0）取得最小值，则函数y=f（﹣x）是（）A．奇函数且图象关于直线x=对称B．偶函数且图象关于点（π，0）对称C．奇函数且图象关于（，0）对称D．偶函数且图象关于点（，0）对称【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；H2：正弦函数的图象．【分析】由题意可得sin（+φ）=﹣1，解得φ=2kπ﹣，k∈Z，从而可求y=f（﹣x）=﹣Asinx，利用正弦函数的图象和性质即可得解．【解答】解：由x=时函数f（x）=Asin（x+φ）（A＞0）取得最小值，∴﹣A=Asin（+φ），可得：sin（+φ）=﹣1，∴+φ=2kπ﹣，k∈Z，解得：φ=2kπ﹣，k∈Z，∴f（x）=Asin（x﹣），∴y=f（﹣x）=Asin（﹣x﹣）=﹣Asinx，∴函数是奇函数，排除B，D，∵由x=时，可得sin取得最大值1，故C错误，图象关于直线x=对称，A正确；故选：A．【点评】本题主要考查了正弦函数的图象和性质，考查了数形结合能力，属于基础题．二、填空题：（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请将正确的答案填在横线上）11．已知扇形AOB的周长是6，中心角是2弧度，则该扇形的面积为．【考点】G8：扇形面积公式．【分析】由已知中，扇形AOB的周长是6cm，该扇形的中心角是2弧度，我们可设计算出弧长与半径的关系，进而求出弧长和半径，代入扇形面积公式，即可得到答案【解答】解：∵扇形圆心角2弧度，可得扇形周长和面积为整个圆的．弧长l=2πr•=2r，故扇形周长C=l+2r=4r=6，∴r=，扇形面积S=π•r2•=．故答案为：．【点评】本题考查的知识点是扇形面积公式，弧长公式，其中根据已知条件，求出扇形的弧长及半径，是解答本题的关键，属于基础题．12．设a=sin33°，b=cos55°，c=tan35°，则a，b，c三数由大到小关系为c＞b＞a．【考点】GA：三角函数线．【分析】分别作出三角函数线，比较可得．【解答】解：∵a=sin33°，b=cos55°，c=tan35°，作出三角函数线结合图象可得c＞b＞a，故答案为：c＞b＞a．【点评】本题考查三角函数线，数形结合是解决问题的关键，属基础题．13．高一（9）班同学利用国庆节进行社会实践，对[25，55]岁的人群随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：则统计表中的a•p= 65．组数分组低碳族的人数占本组的频率第一组[25，30）1200.6第二组[30，35）195p第三组[35，40）1000.5第四组[40，45）a0.4第五组[45，50）300.3第六组[50，55）150.3【考点】B8：频率分布直方图．【分析】由频率=，得第一组人数为200，由频率分布直方图得第一组的频率为0.2，从而n=1000，进而a=1000×0.02×5=100，第二组人数为1000×[1﹣（0.04+0.04+0.03+0.02+0.01）×5]=300，求出P==0.65，由此能求出a•P．【解答】解：由频率=，得第一组人数为：=200，由频率分布直方图得第一组的频率为：0.04×5=0.2，n==1000，∴a=1000×0.02×5=100，第二组人数为1000×[1﹣（0.04+0.04+0.03+0.02+0.01）×5]=300，∴P==0.65，∴a•P=100×0.65=65．故答案为：65．【点评】本题考查频率率的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意频率=及频率分布直方图的合理运用．14．已知函数f（x）=x+sinπx，则f（）+f（）+f（）+…+f （）的值为4033．【考点】3O：函数的图象；3T：函数的值．【分析】根据题意，求出f（2﹣x）的解析式，分析可得f（x）+f（2﹣x）=2，将f（）+f（）+f（）+…+f（）变形可得[f（）+f（）]+[f（）+f（）]+…[f（）+f（）]+f （1），计算可得答案．【解答】解：根据题意，f（x）=x+sinπx，f（2﹣x）=（2﹣x）+sin[π（2﹣x）]=（2﹣x）﹣sinx，则有f（x）+f（2﹣x）=2，f（）+f（）+f（）+…+f（）=[f（）+f（）]+[f （）+f（）]+…[f（）+f（）]+f（1）=4033；故答案为：4033．【点评】本题考查了利用函数的对称性求函数值的应用问题，关键是依据函数的解析式确定函数的对称中心．三、解答题：（本大题有3个小题，共30分．请书写完整的解答过程）15．（10分）（2017春•台江区校级期中）某中学调查了某班全部50名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）参加书法社团未参加书法社团参加演讲社团86未参加演讲社团630（I）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；（II）在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5，3名女同学B1，B2，B3，现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率．【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；B8：频率分布直方图．【分析】（Ⅰ）由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人，故至少参加上述一个社团的共有50﹣30=20（人），利用古典概率计算公式即可得出．（Ⅱ）从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，其一切可能的结果组成的基本事件有15个根据题意，这些基本事件的出现是等可能的，事件“A1被选中且B1未被选中”所包含的基本事件有：{A1，B2}，{A1，B3}，共2个，利用古典概率计算公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人，故至少参加上述一个社团的共有50﹣30=20（人），所以从该班随机选1名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率为P=．（4分）（Ⅱ）从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，其一切可能的结果组成的基本事件有：{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，{A4，B1}，{A4，B2}，{A4，B3}，{A5，B1}，{A5，B2}，{A5，B3}，共15个．…（6分）根据题意，这些基本事件的出现是等可能的，事件“A1被选中且B1未被选中”所包含的基本事件有：{A1，B2}，{A1，B3}，共2个．…（8分）因此，A1被选中且B1未被选中的概率为．…（10分）【点评】本题考查了古典概型及其概率计算公式、列举法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．（10分）（2017春•黄山期末）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180），[180，200），[200.220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]分组的频率分布直方图如图示．（Ⅰ）求直方图中x的值；（Ⅱ）求月平均用电量的众数和中位数；（Ⅲ）在月平均用电量为[220，240），[240，260），[260，280）的三组用户中，用分层抽样的方法抽取10户居民，则月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取多少户？【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；B8：频率分布直方图．【分析】（Ⅰ）由直方图的性质能求出直方图中x的值．（Ⅱ）由频率分布直方图能求出月平均用电量的众数和中位数．（Ⅲ）月平均用电量为[220，240]的用户有25户，月平均用电量为[240，260）的用户有15户，月平均用电量为[260，280）的用户有10户，由此能求出月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取的户数．【解答】（本小题10分）解：（Ⅰ）由直方图的性质，可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20=1得：x=0.0075，所以直方图中x的值是0.0075．…（3分）（Ⅱ）月平均用电量的众数是=230．…（4分）因为（0.002+0.0095+0.011）×20=0.45＜0.5，所以月平均用电量的中位数在[220，240）内，设中位数为a，由（0.002+0.0095+0.011）×20+0.0125×（a﹣220）=0.5得：a=224，所以月平均用电量的中位数是224．…（6分）（Ⅲ）月平均用电量为[220，240]的用户有0.0125×20×100=25户，月平均用电量为[240，260）的用户有0.0075×20×100=15户，月平均用电量为[260，280）的用户有0.005×20×100=10户，…（8分）抽取比例==，所以月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取25×=5户．…（10分）【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．17．（10分）（2017春•台江区校级期中）已知：﹣＜x＜﹣π，tanx=﹣3．（Ⅰ）求sinx•cosx的值；（Ⅱ）求的值．【考点】GH：同角三角函数基本关系的运用；GI：三角函数的化简求值．【分析】（Ⅰ）利用“切化弦”及其平方关系可得sinx•cosx的值；（Ⅱ）根据诱导公式化简，利用“弦化切”可得答案．【解答】解：（Ⅰ）∵tanx=﹣3，即=﹣3，且﹣＜x＜﹣π，sin2x+cos2x=1，∴cosx=﹣，sinx=．那么：sinx•cosx=．（Ⅱ）原式====﹣3．【点评】本题考查了“弦化切”及同角三角函数基本关系式，考查了计算能力，属于基础题．四、选择题：（本大题共2小题，每小题5分，共15分，有且只有一个选项正确）18．现有1名女教师和2名男教师参加说题比赛，共有2道备选题目，若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说题，其中恰有一男一女抽到同一道题的概率为（）A．B．C．D．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】基本事件总数n=23=8，设两道题分别为A，B题，利用列举法求出满足恰有一男一女抽到同一题目的事件个数，由此能求出其中恰有一男一女抽到同一道题的概率．【解答】解：现有1名女教师和2名男教师参加说题比赛，共有2道备选题目，若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说题，基本事件总数n=23=8，设两道题分别为A，B题，所以抽取情况共有：AAA，AAB，ABA，ABB，BAA，BAB，BBA，BBB，其中第1个，第2个分别是两个男教师抽取的题目，第3个表示女教师抽取的题目，一共有8种；其中满足恰有一男一女抽到同一题目的事件有：ABA，ABB，BAA，BAB，共4种，故其中恰有一男一女抽到同一道题的概率为p=．故选：C．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．19．函数y=，x∈（﹣，0）∪（0，）的图象可能是下列图象中的（）A．B．C．D．【考点】3O：函数的图象．【分析】根据三角函数图象及其性质，利用排除法即可．【解答】解：因为y=是偶函数，排除A，当x=1时，y=＞1，排除C，当x=时，y=＞1，排除B、C，故选D．【点评】本题考查了三角函数的图象问题，注意利用函数图象的寄偶性及特殊点来判断．五、填空题：（共5分．请将正确的答案填在横线上）20．将函数f（x）=2cos2x的图象向右平移个单位得到函数g（x）的图象，若函数g（x）在区间和上均单调递增，则实数a的取值范围是[，] ．【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）=2cos （2x﹣）；再利用条件以及余弦函数的单调性，求得a的范围．【解答】解：将函数f（x）=2cos2x的图象向右平移个单位得到函数g（x）=2cos（2x﹣）的图象，若函数g（x）在区间和上均单调递增，∴a＞0．由2kπ﹣π≤0﹣≤2kπ，且2kπ﹣π≤2•﹣≤2kπ，k∈Z，求得k=0，﹣π≤a≤①．由2nπ﹣π≤4a﹣≤2nπ，且2nπ﹣π≤2•﹣≤2nπ，求得n=1，≤a≤②，由①②可得，≤a≤，故答案为：．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的单调性，属于中档题．六、解答题：（本大题有3个小题，共35分．请书写完整的解答过程）21．（11分）（2017春•黄山期末）已知关于x的二次函数f（x）=ax2﹣4bx+1．（Ⅰ）设集合A={﹣1，1，2，3，4，5}和B={﹣2，﹣1，1，2，3，4}，分别从集合A，B中随机取一个数作为a和b，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．（Ⅱ）设点（a，b）是区域内的随机点，求函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．【考点】CF：几何概型；CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】（Ⅰ）分a=1，2，3，4，5 这五种情况来研究a＞0，且≤1的取法共有16种，而所有的取法共有6×6=36 种，从而求得所求事件的概率．（Ⅱ）由条件可得，实验的所有结果构成的区域的面积等于S△OMN=×8×8=32，满足条件的区域的面积为S△POM=×8×=，故所求的事件的概率为P=，运算求得结果．【解答】解：要使函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，则a ＞0且，即a＞0且2b≤a．（Ⅰ）所有（a，b）的取法总数为6×6=36个，满足条件的（a，b）有（1，﹣2），（1，﹣1），（2，﹣2），（2，﹣1），（2，1），（3，﹣2），（3，﹣1），（3，1），（4，﹣2），（4，﹣1），（4，1），（4，2），（5，﹣2），（5，﹣1），（5，1），（5，2）共16个，所以，所求概率．…（6分）（Ⅱ）如图，求得区域的面积为．由，求得所以区域内满足a＞0且2b≤a的面积为．所以，所求概率．【点评】本题考查了等可能事件的概率与二次函数的单调区间以及简单的线性规划问题相结合的问题，画出实验的所有结果构成的区域，Ⅰ是古典概型的概率求法，Ⅱ是几何概型的概率求法．22．（12分）（2017春•台江区校级期中）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣π＜φ＜0）．（1）若f（x）的部分图象如图所示，求f（x）的解析式；（2）在（1）的条件下，求最小正实数m，使得函数f（x）的图象向左平移m个单位后所对应的函数是偶函数；（3）若f（x）在[0，]上是单调递增函数，求ω的最大值．【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；H5：正弦函数的单调性．【分析】（1）根据函数f（x）的部分图象，求出A、T、ω和φ的值，即可写出f（x）的解析式；（2）根据函数图象平移法则，写出f（x）左移m个单位后的函数解析式，根据函数y是偶函数，求出m的最小正数；（3）根据f（x）在[0，]上是单调递增函数，得出﹣≤φ≤ω+φ≤，求出ω≤﹣，再根据φ的取值范围求出ω的最大值．【解答】解：（1）根据函数f（x）=Asin（ωx+φ）的部分图象知，\A=3，=﹣=，∴T=π，ω==2；根据五点法画图知，2×+φ=，解得φ=﹣，∴f（x）=3sin（2x﹣）；（2）f（x）=3sin（2x﹣），函数f（x）的图象向左平移m个单位后，所对应的函数是y=3sin[2（x+m）﹣]=3sin（2x+2m﹣）的图象，又函数y是偶函数，∴2m﹣=+kπ，k∈Z，解得m=+，k∈Z，∴m的最小正数是；（3）f（x）=Asin（ωx+φ）在[0，]上是单调递增函数，A＞0，ω＞0，∴﹣≤φ≤ω+φ≤，解得ω≤﹣；又﹣π＜φ＜0，∴﹣≤φ＜0，∴0＜﹣≤，∴ω≤+=3，即ω的最大值为3．【点评】本题考查了正弦型函数的图象与性质的应用问题，也考查了数形结合思想，是综合题．23．（12分）（2017春•台江区校级期中）我们把平面直角坐标系中，函数y=f（x），x∈D上的点P（x，y），满足x∈N*，y∈N*的点称为函数y=f（x）的“正格点”．（Ⅰ）若函数f（x）=sinmx，x∈R，m∈（3，4）与函数g（x）=lgx 的图象有正格点交点，求m的值，并写出两个函数图象的所有交点个数．（Ⅱ）对于（Ⅰ）中的m值，函数f（x）=sinmx，时，不等式log a x＞sinmx恒成立，求实数a的取值范围．【考点】3O：函数的图象．【分析】（I）根据正弦函数的性质可知正格点交点坐标为（10，1），从而求出m的值，根据图象判断交点个数．（II）令y=log a x的最小值大于f（x）的最大值即可．【解答】解：（Ⅰ）若y=sinmx与函数y=lgx的图象有正格点交点，则此交点必为（10，1），∴sin10m=1，即10m=+2kπ，m=+，k∈Z．∵m∈（3，4），∴．作出y=sinmx与y=lgx的函数图象，如图所示：根据图象可知：两个函数图象的所有交点个数为10个．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，x∈（0，]，i）当a＞1时，不等式log a x＜0，而sin＞0，故不等式log a x＞sinmx 无解．ii）当0＜a＜1时，由图函数y=log a x在上为减函数，∵关于x的不等式log a x＞sinmx在（0，]上恒成立，∴log a＞1，解得：．综上，．【点评】本题考查了方程的解与函数图象的关系，函数恒成立问题与函数最值计算，属于中档题．2020年年高一数学第二学期期中模拟试卷及答案（二）一、选择题1、集合A={x|3x+2＞0}，B={x| ＜0}，则A∩B=（）A、（﹣1，+∞）B、（﹣1，﹣）C、（3，+∞）D、（﹣，3）2、已知a，b，c为实数，且a＞b，则下列不等式关系正确的是（）A、a2＞b2B、ac＞bcC、a+c＞b+cD、ac2＞bc23、在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若b= ，a=2，B= ，则c=（）A、B、C、2D、4、在数列{a n}中，已知a1=0，a n+2﹣a n=2，则a7的值为（）A、9B、15C、6D、85、在下列函数中，最小值为2的是（）A、y=2x+2﹣xB、y=sinx+ （0＜x＜）C、y=x+D、y=log3x+ （1＜x＜3）6、若点A（4，3），B（2，﹣1）在直线x+2y﹣a=0的两侧，则a的取值范围是（）A、（0，10）B、（﹣1，2）C、（0，1）D、（1，10）7、在等比数列{a n}中，3a5﹣a3a7=0，若数列{b n}为等差数列，且b5=a5，则{b n}的前9项的和S9为（）A、24B、25C、27D、288、若实数x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（）A、9B、4C、6D、39、在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若（a+c+b）（b+a﹣c）=3ab，则C=（）A、150°B、60°C、120°D、30°10、在等差数列{a n}中，a1=﹣2012，其前n项和为S n，若﹣=2002，则S2017=（）A、8068B、2017C、﹣8027D、﹣201311、设x＞0，y＞0，满足+ =4，则x+y的最小值为（）A、4B、C、2D、912、已知数列{a n}满足a1=4，a n+1=a n+2n，设b n= ，若存在正整数T，使得对一切n∈N*，b n≥T恒成立，则T的最大值为（）A、1B、2C、4D、3二、填空题13、在△ABC中，若a=18，b=24，A=30°，则此三角形解的个数为________．14、设关于x的不等式x+b＞0的解集为{x|x＞2}，则关于x的不等式＞0的解集为________．15、若△ABC的内角A，C，B成等差数列，且△ABC的面积为2 ，则AB边的最小值是________．16、某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获得利润分别为4万元、3万元，则该企业每天可获得最大利润为________万元甲乙原料限额A（吨） 2 5 10B（吨） 6 3 18三、解答题17、如图，在△ABC中，已知B=45°，D是BC边上的一点，AD=4，AC=2 ，DC=2(1)求cos∠ADC(2)求AB．18、已知数列{a n}是等差数列，{b n}是各项均为正数的等比数列，满足a1=b1=1，b2﹣a3=2b3，a3﹣2b2=﹣1。

第 1 页 共 18 页2020-2021学年深圳中学高一下期中考试数学试卷一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分） 1．已知复数z ＝1+i ，则z 2+2z 2z−1=（ ）A ．2B ．﹣2C ．2iD ．﹣2i2．已知矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，E 为AB 上的点，且BE →=2EA →，F 为BC 的中点，则AF →•DE →=（ ） A ．﹣2B ．﹣5C ．﹣6D ．﹣83．在△ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且3a 2+3c 2﹣3b 2＝2ac ，BA →⋅BC →=2，则△ABC 的面积为（ ） A ．√2B ．32C ．2√2D ．4√24．已知点A （1，2），B （3，4），则与AB →共线的单位向量为（ ） A ．(√22，√22)B ．(−√22，−√22) C ．(√22，√22)或(−√22，−√22) D ．（2，2）5．如图，在△ABC 中，N 为线段AC 上靠近A 的三等分点，点P 在BN 上且AP →=(m +211)AB →+211BC →，则实数m 的值为（ ）A ．1B ．13C ．911D ．5116．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，（ ） A ．若α⊥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ⊥n B ．若m ⊥α，m ∥n ，n ∥β，则α⊥β C ．若m ⊥n ，m ⊂α，n ⊂β，则α⊥βD ．若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ∥n7．“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体，得到“牟合方盖”的体积与球的体积之比为4：π，也得到了“牟合方盖”的18体积。

深圳市第二学期期中测试卷高一数学分值：150 时间：120分钟一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（ ）1．已知倾斜角为45的直线经过(2,4)A ，(3,)B m 两点，则m =A ．3B ．3-C ．5D ．1-（ ）2．过点(3,1)A 且倾斜角为120︒的直线方程为A.34y x =--B.34y x =-+C.323y x =-- D.323y x =-+ （ ）3．下列四个命题中正确的是①若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；②若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ③垂直于同一平面的两个平面相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直． A. ①和③ B. ①和④ C. ①②和④ D. ①③和④（ ）4．如右图，某几何体的正视图与侧视图 都是边长为1的正方形，且体积为12，则该几何体的俯视图可能是（ ）5．已知两条直线,m n 和两个不同平面,αβ，满足αβ⊥，=l αβ⋂,//m α,n β⊥,则A ．//m nB ．m n ⊥ C.//m l D ．n l ⊥（ ）6．已知向量()1,2a =--，()3,0b =，若()()2//a b ma b +-，则m 的值为A ．37 B ．37- C ．2- D ．2 （ ）7．已知点M 是△ABC 的边BC 的中点，点E 在边AC 上，且EC →＝2AE →，则向量EM →＝A. 12AC →＋13AB →B. 12AC →＋16AB →C. 16AC →＋12AB →D. 16AC →＋32AB →（ ）8．某几何体的正视图和侧视图如图①，它的俯视图的直观图是矩形1111O A B C 如图②，其中11116,2,O A O C ==则该几何体的体积为A ．32B ．64C ．162D ．322（ ）9．如图，平面⊥α平面β，AB B A ,,βα∈∈与两平面βα,所成的角分别为4π和6π，过B A ,分别作两平面交线的垂线，垂足为'',B A ，若16AB =，则=''B A.A 4 .B 6 .C 8 .D 9（ ）10．如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，OP →＝xOA →＋yOB →，且BP →＝2 PA →，则A.x ＝23，y ＝13B.x ＝13，y ＝23C.x ＝14，y ＝34D.x ＝34，y ＝14（ ）11．已知M 是ABC ∆内部一点，且4AB AC AM +=,则MBC ∆的面积与ABC ∆ 的面积之比为A ．13B ．12C ．2D ．14（ ）12．直角梯形ABCD ，满足,,222AB AD CD AD AB AD CD ⊥⊥===,现将其沿AC 折叠成三棱锥D ABC -，当三棱锥D ABC -体积取最大值时其表面积为A ．()12322++ B ．()1422+ C ．()1522+ D ．()13322++B A B ’A ‘βα二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13．直线331x y +=的倾斜角等于 ．14．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中， 090,ACB ∠=11AA AC BC ===，则异面直线1A B 与AC 所成角的余弦值是____________．15．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0，若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝________. 16．已知棱长为6的正四面体（四个面都是正三角形的三棱锥）的四个顶点都在同一球面上，则球的体积为 。

2021-2022学年广东省深圳市深圳中学高一下学期期中数学试题一、单选题 1．2022i =（ ） A ．1 B ．1- C ．i - D ．i【答案】B【分析】由i 的幂运算的周期性可直接求得结果.【详解】4i 1n =，41i i n +=，42i 1n +=-，43i i n +=-，其中n N ∈，202245052i i 1⨯+∴==-. 故选：B.2．sin 40cos10sin130sin10-=（ ） A ．32-B ．32C ．12-D ．12【答案】D【分析】利用两角差的正弦可求三角函数式的值.【详解】sin 40cos10sin130sin10sin 40cos10cos40sin101sin302-=-==, 故选：D.3．已知2sin cos 3αα-=，则sin 2α=（ ） A ．13B ．59C ．13-D ．59-【答案】B【分析】利用同角的三角函数关系式，结合二倍角的正弦公式进行求解即可. 【详解】由()222244sin cos sin cos sin cos 2sin cos 399αααααααα-=⇒-=⇒+-=⇒ 451sin 2sin 299αα-=⇒=， 故选：B4．如图，在ABC 中，点M 是线段BC 上靠近B 的三等分点，则AM =（ ）A ．1233AB AC +B ．2133AB AC +C ．1433AB AC -+D ．1433AB AC -【答案】B【分析】根据给定条件，利用向量的线性运算计算作答.【详解】在ABC 中，点M 是线段BC 上靠近B 的三等分点，则13BM BC =，所以121()333AM AB BM AB AC AB AB AC =+=+-=+.故选：B5．ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知6,60,75a AB，c =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】A【分析】结合正弦定理求得正确答案. 【详解】18045C A B =︒--=︒，由正弦定理得2sin sin a c c A C ===. 故选：A6．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 满足b 2＝ac ，且c ＝2a ，则cos B ＝（ ）A ．14B ．34CD ．3【答案】B【分析】利用余弦定理求cos B 即可. 【详解】由b 2＝ac ， 又c ＝2a ， 得222b a =， 由余弦定理，得cos B ＝2222a c b ac+-＝222423224a a a a a +-=⋅. 故选：B.7．已知向量(cos ,sin ),(1,2)θθ==a b ，且a b ⊥，则tan 4πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是（ ）A ．1B ．3-C ．3D ．13【答案】D【分析】根据向量垂直的坐标表示求tan θ，再利用两角和的正切公式，求tan 4πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.【详解】a b ⊥，cos 2sin 0θθ∴+=，得1tan 2θ=-，tan 11tan 41tan 3πθθθ+⎛⎫+== ⎪-⎝⎭.故选：D8．在ABC 中，||5,||6==AB AC ，若2B C =，则向量AB 在AC 上的投影是（ ） A ．75-B ．77125C ．11725D ．11725-【答案】C【分析】根据给定条件，利用正弦定理求出cos C ，进而求出cos A ，再利用向量投影的意义计算作答.【详解】在ABC 中，||5,||6==AB AC ，2B C =，由正弦定理得：sin sin B ACC AB=， 即有sin 26sin 5C C =，整理得2sin cos 6sin 5C C C =，解得3cos 5C =，4sin 5C =，因此，24sin 2sin cos 25B C C ==，227cos cos sin 25B C C =-=-， 73244117cos cos()cos cos sin sin 255255125A B C B C B C =-+=-+=⨯+⨯=， 所以向量AB 在AC 上的投影是117117||cos 512525AB A =⨯=. 故选：C 二、多选题9．已知复数43i z =-，下列说法正确的是（ ） A ．复数z 的虚部是3i - B ．复数z 的模为5C ．复数z 的共轭复数是43i --D ．在复平面内复数z 对应的点在第四象限【答案】BD【分析】根据复数的相关定义、模的运算与几何意义即可求得答案. 【详解】复数的虚部为-3，A 错误；5=，B 正确； 复数的共轭复数为43i +，C 错误；复数对应的点的坐标为()4,3-，在第四象限，D 正确. 故选：BD.10．已知向量OA ＝（1，－3），OB ＝（2，－1），OC ＝（m ＋1，m －2），若点A ，B ，C 能构成三角形，则实数m 可以是（ ） A ．－2 B ．12C ．1D ．－1【答案】ABD【分析】先求AB 与AC ，使之共线并求出m 的值，则A ，B ，C 三点不共线即可构成三角形，因此m 取共线之外的值即可．【详解】因为(2,1)(1,3)(1,2)AB OB OA =-=---=， (1,2)(1,3)(,1)AC OC OA m m m m =-=+---=+．假设A ，B ，C 三点共线，则1×（m ＋1）－2m ＝0，即m ＝1．所以只要m ≠1，则A ，B ，C 三点即可构成三角形. 故选：ABD ．11．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列说法中不正确的是（ ） A ．向量(1,0),(0,1)==AB AC ，则|68|2-=AB AC B ．若点G 为ABC 的重心，则0GA GB GC ++=C ．若O 为ABC 所在平面内一点，且OA OB OA OC ⋅=⋅，则=OB OCD ．若I 为ABC 的内心，则0aIA bIB cIC ++= 【答案】AC【分析】利用向量坐标运算及模的坐标表示计算判断A ；利用三角形重心定理计算判断B ；利用数量积运算律计算判断C ；利用三角形内角平分线性质推理计算判断D 作答. 【详解】对于A ，(1,0),(0,1)==AB AC ，则(686,8)AB AC -=-，|68|10AB AC -=，A 不正确；对于B ，点G 为ABC 的重心，如图，延长AG 交BC 于E ，则E 是BC 中点，则122()2AG GE GB GC GB GC ==⨯+=+，因此，0GA GB GC ++=，B 正确；对于C ，由OA OB OA OC ⋅=⋅得：()0OA OB OC ⋅-=，即0OA CB ⋅=， 点O 在ABC 边BC 的高所在直线上，显然OB OC ≠，C 不正确； 对于D ，I 为ABC 的内心，如图，延长AI 交BC 于D ，显然,IB IC 分别平分,ABC ACB ∠∠，则有IA c b b cID BD CD a+===，IA b c AD a b c +=++，CD b CB b c =+，bCD CB b c =+，()b c b c b c bIA DA CA CD CA CB a b c a b c a b c a b c+++==-=-++++++++()c b c bCA CA CB CA BA a b c a b c a b c a b c=+-=+++++++++，同理a cIB AB CB a b c a b c=+++++，a b IC AC BC a b c a b c =+++++， 所以ac ab ab bcCA BA AB CBa b c a b c a b c a aIA bIB cIC b c++++++++++=+++0ac bcAC BC a b c a b c=++++++，D 正确.故选：AC【点睛】易错点睛：平面向量数量积的关系等式中，不能全与代数等式的相关性质类比，如：()··0a b b c b =≠不能推出a c =. 12．如图，甲船从1A 出发以每小时25海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船出发时，乙船位于甲船的北偏西105︒方向的1B 处，此时两船相距52海里．当甲船航行12分钟到达2A 处时，乙船航行到甲船的北偏西120︒方向的2B 处，此时两船相距5海里，下面正确的是（ ）A ．乙船的行驶速度与甲船相同B ．乙船的行驶速度是152/小时C 12+小时 D ．甲乙两船不可能相遇 【答案】AD【分析】连接12A B ，求出12A B ，再用余弦定理求出12B B ，计算乙船速度判断A ，B ；延长12B B 与12A A 延长线交于O ，计算甲乙到达点O 的时间判断C ，D 作答. 【详解】如图，连接12A B ，依题意，121225560A A =⨯=（海里），而225B A =海里，12260A A B ∠=，则122A A B 是正三角形，21260A A B ∠=，125A B =海里，在112A B B 中，11245B A B ∠=，1152A B =由余弦定理得：2222121112111222cos 45(52)5252552B B A B A B A B A B +-⋅=+-⨯⨯⨯，且有11245A B B ∠=，所以乙船的行驶速度是5251260=海里/小时，A 正确，B 不正确；延长12B B 与12A A 延长线交于O ，显然有12190A B B ∠=，即121A B OB ⊥，110OA =海里，253OB =15(31)OB =海里，甲船从出发到点O 用时1102255t ==（小时），乙船从出发到点O 用时25(31)31t ++==（小时），12t t <，即甲船先到达点O ，所以，甲乙两船不可能相遇，C 不正确，D 正确. 故选：AD【点睛】关键点睛：解三角形应用问题，根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型是解题的关键． 三、填空题13．函数3sin2cos2y x x =+的最大值为________． 【答案】2【分析】利用辅助角公式化简即可求解. 【详解】解：3sin2cos22sin 26y x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，∴当sin 216x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，函数3sin2cos2y x x =+取得最大值为2．故答案为：2．14．已知2i1i-=+m z 在复平面内对应的点在第三象限，则实数m 的取值范围是_________．【答案】()2,2-【分析】根据复数的运算法则和复数的几何意义即可列式计算. 【详解】()()()()2i 1i 2i 2(2)i 22i 1i 1i 1i 222m m m m m m z -----+-+====-++-， 由题可知，20222202m m m -⎧<⎪⎪⇒-<<⎨+⎪-<⎪⎩. 故答案为：()2,2-.15．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3,3,4a b c ===，则sin 2sin AC=_______． 【答案】1【分析】根据给定条件，确定角A 与B 的关系，结合诱导公式计算作答. 【详解】在ABC 中，因3,3,4a b c ===，则A B =，()2C A B A ππ=-+=-， 所以sin 2sin 2sin 21sin sin(2)sin 2A A A C A Aπ===-. 故答案为：116．ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 中点，AN AB AC λμ→→→=+，则λμ+的值为________ 【答案】12【分析】根据1,=,,2AN AM AM AB BM BM x BC BC AC AB →→→→→→→→→→=+==-即可得111222AN x AC x AB →→→⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，进而得答案. 【详解】因为[]()1,=,0,1,2AN AM AM AB BM BM x BC x BC AC AB →→→→→→→→→→=+=∈=-， 所以1111122222AN AM AB BM AB x BC AB x AC AB →→→→→→→→→⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+=+=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭111222x AC x AB AB AC λμ→→→→⎛⎫=+-=+ ⎪⎝⎭， 所以111,222x x λμ=-=，所以12λμ+=故答案为：12【点睛】本题考查基底表示向量，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于借助[]()0,1BM x BC x →→=∈得111222AN x AC x AB →→→⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，进而求解. 四、解答题17．已知复数1z 满足1i 1i(i z ⋅=+为虚数单位)，复数22i()z m m R =+∈. （1）求1z ；（2）若12z z ⋅是纯虚数，求m 的值. 【答案】（1）11i z =-；（2）2-.【分析】（1）利用复数代数形式的乘除运算化简即可， （2）先求出12z z ⋅，再利用纯虚数的概念列出方程组得答案. 【详解】解：（1）1i 1i z ⋅=+，121i (1i)i1i i iz ++∴===-， （2）12(1i)(2i)(2)(2)i z z m m m ⋅=-+=++-，12z z ⋅是纯虚数，∴2020m m +=⎧⎨-≠⎩，2m ∴=-.18．已知,αβ为锐角，10tan 2,sin()ααβ=-=． (1)求cos2α的值； (2)求tan β的值． 【答案】(1)35； (2)1.【分析】（1）由二倍角的余弦公式，结合正余弦齐次式法计算作答. （2）由同角公式求出tan()αβ-，再利用差角的正切公式计算作答.【详解】(1)因tan 2α=，所以22222222cos sin 1tan 3cos 2cos sin cos sin 1tan 5ααααααααα--=-===-++. (2)因,αβ为锐角，则22ππαβ-<-<，而10sin()10αβ-=，则2310cos()1sin ()10αβαβ-=--=， 于是得1tan()3αβ-=，所以12tan tan()3tan tan[()]111tan tan()123ααββααβααβ---=--===+-+⨯. 19．如图，已知ABC 内接于以O 圆心，半径为2的圆O 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，R 表示的ABC 外接圆半径．若BC 和BA 是圆O 的弦，且2,45=∠=︒BC ABC ．(1)求A ∠； (2)求弦AB 的长． 【答案】(1)30°； 26【分析】（1）由正弦定理求出sin A ，进而根据角的范围求得答案； （2）通过正弦定理并结合两角和与差的正弦公式即可求得答案. 【详解】(1)由正弦定理可知2124sin sin 2R A A ==⇒=，因为45B =︒，所以0135B ︒<<︒，则30A =︒.(2)由（1）可知105C =︒，于是由正弦定理可得()2123244sin1054sin 754sin 45304sin105222c R c ⎛==⇒=︒=︒=︒+︒=+ ︒⎝⎭2+6AB 2620．己知函数2()cos sin 3sin =f x x x x ，在锐角ABC 中，()0f A =． (1)求A 的值；(2)角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2a =，求锐角ABC 面积最大值．【答案】(1)6A π=；(2)23+.【分析】（1）利用给定函数()f x 及()0f A =，借助同角公式求出A 作答.（2）利用余弦定理结合均值不等式，求出bc 的最大值，再由三角形面积定理求解作答. 【详解】(1)依题意，2()cos sin 3sin =-f x x x x ，则2cos sin 3s ()0in A A A A f =-=， 在锐角ABC 中，02A π<<，sin 0A >，于是得3tan 3A =，解得6A π=，所以6A π=.(2)在锐角ABC 中，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得：222242cos 3(23)6b c bc b c bc bc π=+-=+-≥-，即44(23)23bc ≤=+-，当且仅当b c =时取“=”， 于是得111sin 4(23)23244ABCSbc A bc ==≤⨯+=+， 所以锐角ABC 面积最大值为23+.21．如图，在直角梯形OABC 中，//OA CB ，OA OC ⊥，22OA BC OC ==，M 为AB 上靠近B 的三等分点，OM 交AC 于D ．(1)用OA 和OC 表示OM ； (2)求OD DM． 【答案】(1)2233OM OA OC =+(2)3【分析】（1）据给定条件及几何图形，利用平面向量的线性运算即可求解； （2）选定一组基向量，OD 将由这一组基向量的唯一表示及三点共线即可求解. 【详解】(1)由题意可知，因为2OA BC =，所以12CB OA =.又因为M 为AB 上靠近B 的三等分点，所以23AM AB =. 22221221()()33333333AM OB OA OC CB OA OC OA OA OC OA ∴=-=+-=+-=-.21223333OM OA AM OA OC OA OA OC ⎛⎫∴=+=+-=+ ⎪⎝⎭. (2)因为OM 交AC 于D ，由（1）知，2233OM OA OC =+， 所以22223333t t OD tOM t OA OC OA OC ⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭， 因为,,A D C 三点共线，所以22133t t +=，解得3t 4=， 所以34OD OM =，即3OD DM =，于是有3OD DM =. 所以3OD DM=. 22．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量(3,1),(1,0),(cos ,)r A B t θ=．(1)若//r AB ，且||2||=AB OA ，求向量OB 的坐标；(2)若AB r ⊥，求22cos 6cos θθ=++y t 的取值范围．【答案】(1)()11-；(2)[]3,7.【分析】（1）运用向量平行的条件和向量的模长公式，解方程可得t ，进而得到所求向量的坐标；（2）由向量垂直数量积为零的条件求出t ，代入函数式子化简，利用余弦函数的性质，可得所求函数的最小值.【详解】(1)(3,1),(1,0),(cos ,)r A B t θ= ()cos 1,AB t θ∴=- ，()1,0OA = (cos AB ∴=，1OA =||2||=AB OA2= ① 又//r ABcos 1θ∴-= ②由①②得，1t =±当1t =时，cos 1θ（舍去）当1t =-时，cos 1θ=()11B ∴-()11OB ∴=-(2)由（1）知，()cos 1,AB t θ=- AB r ⊥ 0A r B =⋅∴)cos 10t θ-+=)1cos t θ∴-)22222cos 6cos cos 6c 1co o s 4os 3s c y t θθθθθθ=⎤∴+=-⎦=++++又[]cos 1,1θ∈- []2cos 0,1θ∴∈ []24cos 33,7θ∴+∈22cos 6cos y t θθ∴=++的取值范围为[]3,7.。

2020-2021深圳平安里学校初中部高一数学下期中第一次模拟试卷附答案一、选择题1．在我国古代数学名著 九章算术 中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑ABCD 中， AB ⊥平面BCD ，且AB BC CD ==，则异面直线AC 与BD 所成角的余弦值为（ ）A ．12B ．12-C ．3 D ．3-2．已知直线20ax y a +-+=在两坐标轴上的截距相等，则实数(a = ) A ．1 B ．1-C ．2-或1D ．2或13．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（ ） A ．814πB ．16πC ．9πD ．274π4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．12B ．18C ．24D ．305．如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 不平行的是( )A ．B ．C ．D ．6．点A 、B 、C 、D 在同一个球的球面上，AB=BC=2，AC=2，若四面体ABCD 体积的最大值为23，则这个球的表面积为（ ） A ．1256πB ．8πC ．2516πD ．254π7．已知点()1,2-和3,03⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭在直线():100l ax y a --=≠的两侧，则直线l 的倾斜角的取值范围是 ( ) A ．,43ππ⎛⎫⎪⎝⎭B ．2,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭C ．25,36ππ⎛⎫⎪⎝⎭D ．30,,34πππ⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭8．已知实数,x y 满足250x y ++=，那么22x y +的最小值为（ ） A ．5 B ．10C ．25D ．210 9．，为两个不同的平面，，为两条不同的直线，下列命题中正确的是（ ）①若，，则； ②若，，则； ③若，，，则④若，，，则.A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④10．若圆22240x y x y +--=的圆心到直线0x y a -+=的距离为22，则a 的值为( ) A ．-2或2B ．12或32C ．2或0D ．-2或0 11．如图所示，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，F 是侧面11CDD C 上的动点，且1//B F 面1A BE ，则F 在侧面11CDD C 上的轨迹的长度是( )A．a B．2aC．2a D．22a12．如图，在三棱柱111ABC A B C-中，1CC⊥平面ABC，ABCV是等腰三角形，BA BC=，123AC CC==，，D是AC的中点，点F在侧棱1A上，若要使1C F⊥平面BDF，则1AFFA的值为( )A．1B．12或2C．2或2D．13或3二、填空题13．已知A，B，C，D是同一球面上的四个点，其中ABC∆是正三角形，AD⊥平面ABC，26AD AB==，则该球的体积为_________.14．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，M为B1C1中点，连接A1B，D1M，则异面直线A1B和D1M所成角的余弦值为________________________．15．点(5,2)到直线()1(21)5m x m y m-+-=-的距离的最大值为________.16．若过点(8,1)P的直线与双曲线2244x y-=相交于A，B两点，且P是线段AB的中点，则直线AB的方程为________．17．已知,m n为直线，,αβ为空间的两个平面，给出下列命题：①,//mnm nαα⊥⎧⇒⎨⊥⎩；②,////m n m n αβαβ⊂⎧⎪⊂⇒⎨⎪⎩；③,//m m ααββ⊥⎧⇒⎨⊥⎩；④,//m m n n ββ⊥⎧⇒⎨⊥⎩．其中的正确命题为_________________．18．将一张坐标纸折叠一次，使点(10,0)与点(6,8)-重合，则与点(4,2)-重合的点是______. 19．正三棱柱的底面边长为，高为2，则它的外接球的表面积为 ．20．函数2291041y x x x =++-+的最小值为_________.三、解答题21．已知圆22:(1)(2)25C x y -+-=，直线:(21)(1)74l m x m y m +++--=0，（m ∈R ）．（1）证明：无论m 取何值，直线l 过定点；（2）求直线l 被圆C 截得的弦长最短时m 的值及最短弦长． 22．已知两直线1l ：240x y -+=和2l ：20x y +-=的交点为P . （1）直线l 过点P 且与直线5360x y +-=垂直，求直线l 的方程； （2）圆C 过点()3,1且与1l 相切于点P ，求圆C 的方程.23．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AD ⊥平面1A BC ，其垂足D 落在直线1A B 上．（Ⅰ）求证：1BC A B ⊥； （Ⅱ）若P 是线段AC 上一点，3,2AD AB BC ===，三棱锥1A PBC -的体积为3，求AP PC 的值.24．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，点D 、E 、F 分别是BC 、1AC 、1BB 的中点.（1）求证：AD ⊥平面11BCC B ； （2）求证：//EF 平面111A B C .25．已知直线1:20l ax y a +--=，22:0l x ay ++=，点(5,0)P - （1）当12//l l 时，求a 的值；（2）求直线1l 所过的定点Q ，并求当点P 到直线1l 的距离最大时直线1l 的方程. 26．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ,1,2AC BC AC BC CC ⊥===，点,,D E F 分别为棱11111,,AC B C BB 的中点．（1）求证：//AB 平面DEF ； （2）求证：平面1ACB ⊥平面DEF ； （3）求三棱锥1E ACB -的体积.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】如图，分别取,,,BC CD AD BD 的中点,,,M N P Q ，连,,,MN NP PM PQ ，则,MN BD NP AC P P ，∴PNM ∠即为异面直线AC 和BD 所成的角（或其补角）． 又由题意得PQ MQ ⊥，11,22PQ AB MQ CD ==. 设2AB BC CD ===，则2PM =又1122MN BD NP AC ==== ∴PNM ∆为等边三角形， ∴60PNM =︒∠，∴异面直线AC 与BD 所成角为60︒，其余弦值为12．选A ． 点睛：用几何法求空间角时遵循“一找、二证、三计算”的步骤，即首先根据题意作出所求的角，并给出证明，然后将所求的角转化为三角形的内角．解题时要注意空间角的范围，并结合解三角形的知识得到所求角的大小或其三角函数值．2．D解析：D 【解析】 【分析】根据题意讨论直线它在两坐标轴上的截距为0和在两坐标轴上的截距不为0时，求出对应a 的值，即可得到答案．【详解】由题意，当2a 0-+=，即a 2=时，直线ax y 2a 0+-+=化为2x y 0+=， 此时直线在两坐标轴上的截距都为0，满足题意；当2a 0-+≠，即a 2≠时，直线ax y 2a 0+-+=化为122x y a a a+=--，由直线在两坐标轴上的截距相等，可得2a2a a-=-，解得a 1=； 综上所述，实数a 2=或a 1=． 故选：D ． 【点睛】本题主要考查了直线方程的应用，以及直线在坐标轴上的截距的应用，其中解答中熟记直线在坐标轴上的截距定义，合理分类讨论求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.3．A解析：A 【解析】 【分析】 【详解】正四棱锥P-ABCD 的外接球的球心在它的高1PO 上， 记为O ，PO=AO=R ，14PO =，1OO =4-R ， 在Rt △1AOO中，1AO =由勾股定理()2224R R =+-得94R =， ∴球的表面积814S π=，故选A.考点：球的体积和表面积4．C解析：C 【解析】试题分析：由三视图可知，几何体是三棱柱消去一个同底的三棱锥，如图所示，三棱柱的高为，消去的三棱锥的高为，三棱锥与三棱柱的底面为直角边长分别为和的直角三角形，所以几何体的体积为，故选C ．考点：几何体的三视图及体积的计算．【方法点晴】本题主要考查了几何体的三视图的应用及体积的计算，着重考查了推理和运算能力及空间想象能力，属于中档试题，解答此类问题的关键是根据三视图的规则“长对正、宽相等、高平齐”的原则，还原出原几何体的形状，本题的解答的难点在于根据几何体的三视图还原出原几何体和几何体的度量关系，属于中档试题．5．A解析：A 【解析】 【分析】利用线面平行判定定理可知B 、C 、D 均不满足题意，从而可得答案． 【详解】对于B 项，如图所示，连接CD ，因为AB ∥CD ，M ，Q 分别是所在棱的中点，所以MQ ∥CD ，所以AB ∥MQ ，又AB ⊄平面MNQ ，MQ ⊂平面MNQ ，所以AB ∥平面MNQ ，同理可证，C ，D 项中均有AB ∥平面MNQ . 故选：A.【点睛】本题考查空间中线面平行的判定定理，利用三角形中位线定理是解决本题的关键，属于中档题．6．D解析：D 【解析】试题分析：根据题意知，ABC V 是一个直角三角形，其面积为1．其所在球的小圆的圆心在斜边AC 的中点上，设小圆的圆心为Q ，若四面体ABCD 的体积的最大值，由于底面积ABC S V 不变，高最大时体积最大，所以，DQ 与面ABC 垂直时体积最大，最大值为12·33ABC S DQ =V ，即12133DQ ⨯⨯=，∴2DQ =，设球心为O ，半径为R ，则在直角AQO V 中，222OA AQ OQ =+，即()22212R R =+-，∴54R =，则这个球的表面积为：2525444S ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭；故选Ｄ．考点：球内接多面体，球的表面积．7．D解析：D 【解析】设直线l 的倾斜角为θ∈[0,π).点A (1,−2),B (33,0). 直线l :ax −y −1=0(a ≠0)经过定点P (0,−1).()121, 3.0130PA PB k k ---==-==--∵点(1,−2)和3在直线l :ax −y −1=0(a ≠0)的两侧， ∴k P A <a <k PB ,∴−1<tanθ3tanθ≠0.解得30,34ππθθπ<<<<.本题选择D 选项.8．A解析：A 【解析】(,)x y 到坐标原点的距离，又原点到直线250x y ++=的距离为d ==A.9．B解析：B 【解析】 【分析】在①中，由面面平行的性质定理得m ∥β；在②中，m 与n 平行或异面；在③中，m 与β相交、平行或m ⊂β；在④中，由n ⊥α，m ⊥α，得m ∥n ，由n ⊥β，得m ⊥β． 【详解】由α，β为两个不同的平面，m ，n 为两条不同的直线，知：在①中，若α∥β，m ⊂α，则由面面平行的性质定理得m ∥β，故①正确； 在②中，若m ∥α，n ⊂α，则m 与n 平行或异面，故②错误；在③中，若α⊥β，α∩β＝n ，m ⊥n ，则m 与β相交、平行或m ⊂β，故③错误； 在④中，若n ⊥α，m ⊥α，则m ∥n ， 由n ⊥β，得m ⊥β，故④正确． 故选：B ． 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力，考查化归与转化思想，是中档题．10．C解析：C 【解析】 【分析】把圆的方程化为标准方程,找出圆心坐标,根据点到直线的距离公式列出关于a 的方程,求出方程的解得到a 的值即可. 【详解】把圆的方程化为标准式为:22(1)(2)5x y -+-=,所以圆心坐标为(1,2).则圆心到直线0x y a -+=的距离2d ==,即11a -=,化简得11a -=或11a -=-,解得:2a =或0a =. 所以a 的值为0或2. 故选C. 【点睛】本题考查学生会将圆的一般式方程化为标准式方程,灵活运用点到直线的距离公式化简求值.11．D解析：D 【解析】 【分析】设H ，I 分别为1CC 、11C D 边上的中点，由面面平行的性质可得F 落在线段HI 上，再求HI 的长度即可. 【详解】解：设G ，H ，I 分别为CD 、1CC 、11C D 边上的中点， 则ABEG 四点共面， 且平面1//A BGE 平面1B HI ， 又1//B F Q 面1A BE ，F ∴落在线段HI 上，Q 正方体1111ABCD A B C D -中的棱长为a ，1122HI CD a ∴==，即F 在侧面11CDD C 上的轨迹的长度是2a ． 故选D ．【点睛】本题考查了面面平行的性质及动点的轨迹问题，属中档题.12．B解析：B 【解析】 【分析】易证1BD C F ⊥，故要使1C F ⊥平面BDF ，只需1C F DF ⊥，然后转化到平面11AAC C中，根据勾股定理计算，即可得结果. 【详解】1CC ⊥平面ABC ，BD ⊂平面ABC ，所以1BD CC ⊥，又BA BC =，D 为AC 中点， 所以BD AC ⊥，又1AC CC C =I ， 所以BD ⊥平面11AAC C ，1C F Q 平面11AAC C ，所以1C F BD ⊥，因为DF BD D =I ，故要使1C F 平面BDF ，只需1C F DF ⊥，在四边形11AAC C 中，1231AC CC AD CD ====，，， 设AF x =，则13FA x =-，由22211C D DF C F =+得()()2219143xx ⎡⎤+=+++-⎣⎦， 即2320x x -+=，解得1x =或2x =，所以112AF FA =或者12AFFA =， 故选：B.【点睛】本题考查了棱柱的结构特征，考查了空间中直线与平面的垂直的性质，勾股定理，考查空间想象能力和推理能力，属于中档题．二、填空题13．【解析】【分析】取正的外心为过作平面的垂线在上取点使得即得是三棱锥外接球球心求出球半径可得体积【详解】如图是外心延长线与交于点是中点过作平面取∵平面ABC∴到的距离相等∴是三棱锥外接球球心∴所以故答 解析：323π【分析】取正ABC 的外心为M ，过M 作平面ABC 的垂线，在上取点O ，使得12OM AD =，即得O 是三棱锥A BCD -外接球球心，求出球半径可得体积． 【详解】如图，M 是ABC ∆外心，AM 延长线与BC 交于点E ，E 是BC 中点，过M 作MO ⊥平面ABC ，取12OM AD =， ∵AD ⊥平面ABC ，∴//MO AD ，O 到,A D 的距离相等，∴O 是三棱锥A BCD -外接球球心，233332AM =⨯⨯=，3OM =，∴22223(3)23OA OM AM =+=+=， 所以2344()(23)32333V OA πππ==⨯=． 故答案为：323π．【点睛】本题考查求球的体积，解题关键是作出外接球球心．三棱锥外接球球心在过各面中点且与面垂直的直线上．14．【解析】【分析】连接取的中点连接可知且是以为腰的等腰三角形然后利用锐角三角函数可求出的值作为所求的答案【详解】如下图所示：连接取的中点连接在正方体中则四边形为平行四边形所以则异面直线和所成的角为或其解析：105. 【解析】 【分析】连接1CD 、CM ，取1CD 的中点N ，连接MN ，可知11//A B CD ，且1CD M ∆是以1CD 为腰的等腰三角形，然后利用锐角三角函数可求出1cos CD M ∠的值作为所求的答案．如下图所示：连接1CD 、CM ，取1CD 的中点N ，连接MN ，在正方体1111ABCD A B C D -中，11//A D BC ，则四边形11A BCD 为平行四边形， 所以11//A B C D ，则异面直线1A B 和1D M 所成的角为1CD M ∠或其补角，易知1111190B C D BC C CDD ∠=∠=∠=o，由勾股定理可得15CM D M ==12CDN Q 为1CD 的中点，则1MN CD ⊥，在1Rt D MN ∆中，11110cos D N CD M D M ∠==， 因此，异面直线1A B 和1D M 所成角的余弦值为105，故答案为105． 【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的计算，求解异面直线所成的角一般利用平移直线法求解，遵循“一作、二证、三计算”，在计算时，一般利用锐角三角函数的定义或余弦定理求解，考查计算能力，属于中等题．15．【解析】【分析】先判断过定点可得点到直线的距离的最大值就是点与点的距离从而可得结果【详解】化简可得由所以过定点点到直线的距离的最大值就是点与点的距离为故答案为【点睛】本题主要考查直线过定点问题以及两 解析：13【解析】 【分析】先判断()()1215m x m y m -+-=-过定点()9,4-，可得点(5,2)到直线()()1215m x m y m -+-=-的距离的最大值就是点(5,2)与点()9,4-的距离，从而可得结果. 【详解】化简()()1215m x m y m -+-=-可得m ()()2150x y x y +--+-=，由2109504x y x x y y +-==⎧⎧⇒⎨⎨+-==-⎩⎩，所以()()1215m x m y m -+-=-过定点()9,4-，点(5,2)到直线()()1215m x m y m -+-=-的距离的最大值就是 点(5,2)与点()9,4-==故答案为 【点睛】本题主要考查直线过定点问题以及两点间距离公式的应用，考查了转化思想的应用，属于中档题. 转化是数学解题的灵魂，合理的转化不仅仅使问题得到了解决，还可以使解决问题的难度大大降低，本解法将求最大值的问题转化成了两点间的距离的问题来解决，转化巧妙.16．【解析】【分析】设出的坐标代入双曲线方程两式相减根据中点的坐标可知和的值进而求得直线的斜率根据点斜式求得直线的方程【详解】设则直线的方程为即故答案为【点睛】本题主要考查双曲线的方程直线的斜率公式直线 解析：2150x y --=【解析】 【分析】设出,A B 的坐标，代入双曲线方程，两式相减,根据中点的坐标可知12x x +和12y y +的值,进而求得直线AB 的斜率，根据点斜式求得直线的方程. 【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，则1216x x +=，122y y +=，2222112244,44x y x y -=-=Q ，()()()()121212120x x x x y y y y ∴+--+-=()()12121680x x y y ∴---=，12121628y y x x -==- 2AB k ∴=，∴直线的方程为()128y x -=-，即2150x y --=，故答案为2150x y --=.【点睛】本题主要考查双曲线的方程、直线的斜率公式、直线点斜式方程的应用，意在考查灵活运用所学知识解答问题的能力，属于中档题. 涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化.17．③④【解析】关于①也会有的结论因此不正确；关于②也会有异面的可能的结论因此不正确；容易验证关于③④都是正确的故应填答案③④解析：③④ 【解析】关于①,也会有n ⊂α的结论,因此不正确；关于②,也会有,m n 异面的可能的结论,因此不正确；容易验证关于③④都是正确的,故应填答案③④.18．【解析】【分析】先求得点的垂直平分线的方程然后根据点关于直线对称点的求法求得的对称点由此得出结论【详解】已知点点可得中点则∴线段AB 的垂直平分线为：化为设点关于直线的对称点为则解得∴与点重合的点是故 解析：()4,2-【解析】 【分析】先求得点()()10,0,6,8-的垂直平分线的方程，然后根据点关于直线对称点的求法，求得()4,2-的对称点，由此得出结论.【详解】已知点(10,0)A ，点(6,8)B -，可得中点(2,4)M . 则816102AB k ==---.∴线段AB 的垂直平分线为：42(2)y x -=-， 化为20x y -=.设点()4,2-关于直线20x y -=的对称点为(,)P a b ，则2214422022baa b -⎧⨯=-⎪⎪--⎨-++⎪⨯-=⎪⎩，解得42a b =⎧⎨=-⎩. ∴与点()4,2-重合的点是()4,2-. 故答案为：()4,2-. 【点睛】本小题主要考查线段垂直平分线方程的求法，考查点关于直线对称点的坐标的求法，属于中档题.19．【解析】试题分析：由正三棱柱底面边长为得底面所在平面截其外接球所成圆半径为又由高为则球心到圆的球心距为根据球心距截面圆半径球半径构成的直角三角形满足勾股定理我们易得半径满足：已知求得正三棱柱外接球所 解析：【解析】试题分析：由正三棱柱底面边长为2，得底面所在平面截其外接球所成圆O 半径为3r =，又由高为2，则球心到圆O 的球心距为1d =，根据球心距，截面圆半径，球半径构成的直角三角形满足勾股定理，我们易得半径R 满足：22273R r d =+=，已知求得正三棱柱外接球，所以外接球的表面积为22843S R ππ==． 考点：棱柱的几何特征，球的表面积，空间位置关系和距离．【方法点晴】解决本题的关键是确定球心的位置，进而确定半径．因为三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，所以过三角形的外心且垂直于此三角形的所在平面的垂线上的任意一点到次三角形三个顶点的距离相等，所以过该三角形的三个顶点的球的球心必在垂线上．所以本题中球心必在上下底面外心的连线上，进而利用球心距，截面圆半径，球半径构成的直角三角形，即可算出．20．【解析】【分析】将变形为设则即轴上的一动点到的距离之和作点关于轴的对称点即可求出距离和的最小值；【详解】解：设则即轴上的一动点到的距离之和作点关于轴的对称点连接则即为距离和的最小值故答案为：【点睛】【解析】 【分析】将y y =()0,3A ，()5,4B ，(),0C x ，则y AC BC =+即x 轴上的一动点C 到()0,3A ，()5,4B 的距离之和，作()0,3A 点关于x 轴的对称点()10,3A -，即可求出距离和的最小值； 【详解】解：y ==()0,3A ，()5,4B ，(),0C x ，则y AC BC +，即x 轴上的一动点(),0C x 到()0,3A ，()5,4B 的距离之和，作()0,3A 点关于x 轴的对称点()10,3A -，连接1BA ，则1BA 即为距离和的最小值，1BA ==min y ∴=【点睛】本题考查平面直角坐标系上两点间的距离公式的应用，将军饮马问题，属于中档题.三、解答题21．（1）证明见解析；（2）34m =-，5 【解析】 【分析】（1）直线方程可化为()2740x y m x y +-++-=，令27040x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解方程组可求出定点坐标；（2）当圆心与定点所在直线与直线l 垂直时，直线l 被圆C 截得的弦长最短，求解即可. 【详解】（1）证明：直线:(21)(1)74l m x m y m +++--=0可化为()2740x y m x y +-++-=，令27040x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得3,1x y ==，所以直线l 过定点()3,1.（2）直线l 过定点()3,1A ，22(31)(12)525-+-=<，故点()3,1A 在圆的内部，直线l与圆C 相交，圆C 的圆心为()1,2，半径为5，()()2231125AC =-+-=当l AC ⊥时，直线l 被圆C 截得的弦长最短，211132AC k -==--，直线l 的斜率为2，即2121m m +-=+，解得34m =-，此时弦长为=故当34m =-时，直线l 被圆C 截得的弦长最短为 【点睛】本题考查了动直线过定点问题，考查了圆的弦长，考查了学生的计算能力，属于中档题. 22．（1）35100x y -+=；（2）()2215x y -+=. 【解析】 【分析】（1）联立方程组，求出直线1:240l x y -+=和2:20l x y +-=的交点，再求出直线l 的斜率，可得直线l 的方程；（2）设出圆的标准方程，求出圆心与半径，即可求得圆的方程． 【详解】（1）联立方程组24020x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，解得02x y =⎧⎨=⎩，∴直线240x y -+=和20x y +-=的交点()0,2P ， 又∵直线5360x y +-=的斜率为53-，∴直线l 的斜率为35，∴直线l 的方程为()3205y x -=-，化为一般式可得35100x y -+=. （2）设圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=， 2222(3)(1)a b r ∴-+-==，1a \=，0b =，∴圆的方程为22(1)5x y -+=．【点睛】本题考查直线、圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．23．（1）证明见解析；（2）3． 【解析】 【分析】 【详解】 试题分析：（1）要证线线垂直，一般先证线面垂直，考虑直线BC ，由已知AD 与平面1A BC 垂直可得AD BC ⊥，再由直三棱柱中侧棱1AA 与底面ABC 垂直，又得1AA BC ⊥，从而可得BC 与平面1AA B 垂直，于是得证线线垂直；（2）由（1）知ABC ∆是等腰直角三角形，可得其面积，由1AD A B ⊥可通过解直角三角形得1AA ，从而可求得三棱锥1A ABC -的体积．由三棱锥1A PBC -与三棱锥1A ABC -的关系可求得PC ，从而得APPC．（也可设PC x =，求得三棱锥1A PBC -（用x 表示），再由已知列方程解得x ）．试题解析：（1）∵AD ⊥平面1A BC ，BC ⊂平面1A BC ，∴AD BC ⊥，在直三棱柱111ABC A B C -中易知1AA ⊥平面ABC ， ∴1AA BC ⊥，∵1AA AD A =I ，∴BC ⊥平面11AA B B ， ∵1A B ⊂平面11AA B B ， ∴1BC A B ⊥.（2）设PC x =，过点B 作BE AC ⊥于点E ，由（1）知BC ⊥平面11AA B B ，∴BC AB ⊥.∵2AB BC ==，∴AC BE ==∴12PBC S BE CP x ∆=⋅=. ∵AD ⊥平面1A BC ，其垂足D 落在直线1A B 上， ∴1AD A B ⊥∵1,2AA BA AD AB ⊥=，在Rt ABD ∆中，1BD ==，又21AD BD A D =⋅，∴13A D =，在1Rt ADA ∆中，1AA ===∴11133A PBC PBC V S AA x -∆=⋅=.又三棱锥1A PBC -x =，解得4x =.∴AP =53AP PC =. 24．（1）见解析；（2）见解析. 【解析】 【分析】（1）可证1AD CC ⊥，AD BC ⊥，从而可证AD ⊥平面11BCC B .（2）取11A C 的中点为G ，连接1,EG B G ，可证1//EF B G ，从而可证//EF 平面111A B C . 【详解】由正三棱柱111ABC A B C -可得1C C ⊥平面ABC ，而AD ⊂平面ABC ， 故1AD CC ⊥.因为ABC ∆为等边三角形，BD DC =，故AD BC ⊥，因为1BC CC C =I ，BC ⊂平面11BCC B ，1C C ⊂平面11BCC B ， 所以AD ⊥平面11BCC B .（2）取11A C 的中点为G ，连接1,EG B G .在11A AC ∆，因为111,A G GC AE EC ==，故111//,2EG AA EG AA =. 由正三棱柱111ABC A B C -可得四边形11ABB A 为平行四边形，故1111,//AA BB AA BB =， 而1112B F BB =，所以11111//,2B F AA B F AA =，故11//,EG B F EG B F =， 故四边形1B FEG 为平行四边形，1//EF B G .因为EF ⊄平面111A B C ， 1B G ⊂平面111A B C ，故//EF 平面111A B C .【点睛】本题考查线面垂直与线面平行的证明，前者转化为线线垂直，注意平面中的两条直线需为相交直线，后者转化为线线平行，注意一条线是平面外，另一条线是平面内，本题属于中档题.25．（1）1a =±;（2）(1,2)Q ;350x y +-=. 【解析】 【分析】（1）由平行可知系数的关系为21a =，进而可求a 的值；（2）整理直线1l 方程可知()120a x y -+-=，由1020x y -=⎧⎨-=⎩可求得定点坐标. 由分析知，当当(5,0)P -在直线上的射影为(1,2)Q 时，点P 到直线1l 距离最大，由1PQ l ⊥可求出1l 的斜率，结合已知的1l 的方程，可求出此时a 的值，进而可求出直线1l 的方程. 【详解】解：（1）12//l l Q ，21a ∴=，解得1a =±检验：当1a =时12:30:20l x y l x y +-=++=，符合12//l l当1a =-时12:10:20l x y l x y -+=-+=，符合12//l l综上：1a =±.（2）解：1:20l ax y a +--=Q 整理可得()120a x y -+-= ，由1020x y -=⎧⎨-=⎩， 解得12x y =⎧⎨=⎩，所以定点(1,2)Q .则当(5,0)P -在直线上的射影为(1,2)Q 时，距离最大. 此时1PQ l ⊥ ，直线PQ 的斜率为201153PQk -==+，则1l 的斜率113PQ k k =-=- ， 即3a -=-，解得3a =，此时直线1l 的方程为350x y +-=.【点睛】本题考查了两点斜率的求解，考查了直线平行、垂直.本题的难点是分析何时点P 到直线1l 的距离最大.易错点是做第一问时，求出1a =± 后未检验.对于已知直线平行，根据系数关系求出参数值后，应带回直线方程进行验证.26．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）23. 【解析】【分析】（1）由题意可知DE P AB ，从而得证；（2）要证平面1ACB ⊥平面DEF ，转证EF ⊥平面1ACB ，即证AC EF ⊥，1EF CB ⊥； （3）利用等积法即可得到结果.【详解】（1）证明：因为三棱柱111ABC A B C -中，11A B P AB ,又因为,D E 分别为1111,AC B C 的中点，所以DE P 11A B ,于是DE P AB , AB ⊄平面DEF ，DE ⊂平面DEF ,所以AB P 平面DEF .(2) 在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC所以1CC AC ⊥，1CC BC ⊥,又AC BC ⊥,1BC CC C ⋂=，1,BC CC ⊂平面11C BC B ,所以AC ⊥平面11C BC B ,EF ⊂平面11C BC B ,所以AC EF ⊥ ,又因为12BC CC ==， 1CC BC ⊥，所以侧面11C BC B 为正方形，故11BC CB ⊥ , 而,E F 分别为111,B C BB 的中点，连结1BC ，所以EF ‖1BC , 所以1EF CB ⊥ ，又1AC CB C ⋂=，1,AC CB ⊂平面1ACB , 所以EF ⊥平面1ACB ,又EF ⊂平面DEF ,所以平面1ACB ⊥平面DEF .（3） 1111233E ACB A ECB ECB V V S AC --∆==⋅= . 【点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.。