江苏省2010届高三数学中等生强化练习08

高三数学中等生练习题1. 以下各题都是高三数学中等难度的练习题，适合高三学生巩固知识和提高解题能力。

请认真阅题，仔细思考后回答。

2. 题目一：已知函数 f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 12x + 5，求函数 f(x) 的导函数 f'(x) 及其在点 x = 2 和 x = -1 处的值。

解析：首先，我们需要求函数 f(x) 的导函数 f'(x)。

对于多项式函数f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 12x + 5 来说，可以使用求导法则进行求导。

根据求导法则，我们可以得到 f'(x) = 6x^2 + 6x - 12。

接下来，我们需要求函数 f(x) 在 x = 2 和 x = -1 处的值。

将 x = 2 和x = -1 分别代入 f(x) 和 f'(x) 的表达式中，即可得到相应的函数值。

具体计算如下：当 x = 2 时，f(x) = 2(2)^3 + 3(2)^2 - 12(2) + 5 = 28，f'(x) = 6(2)^2 + 6(2) - 12 = 24。

当 x = -1 时，f(x) = 2(-1)^3 + 3(-1)^2 - 12(-1) + 5 = 18，f'(x) = 6(-1)^2 + 6(-1) - 12 = -12。

总结答案：f'(x) = 6x^2 + 6x - 12，f(2) = 28，f'(-1) = -12。

3. 题目二：已知等差数列 {an} 的前 n 项和 Sn = n^2 - 3n，则求等差数列的公差 d 和首项 a1。

解析：对于等差数列 {an} 来说，假设其公差为 d，首项为 a1。

根据等差数列的性质，可以得到等差数列的通项公式 an = a1 + (n - 1)d 和前 n 项和的表达式 Sn = (n / 2)(a1 + an)。

根据已知条件 Sn = n^2 - 3n，代入等差数列的前 n 项和表达式，可以得到 (n / 2)(a1 + a1 + (n - 1)d) = n^2 - 3n。

江苏省2010届高三数学强化训练平面向量的综合应用一、填空题1．在直角坐标系xOy 中，若点(1,2) A 与动点(,) P x y 满足4OP OA ⋅=. 则点P 的轨迹方程是 ．2．在△ABC 中,O 是中线AM 上的一个动点，若AM=2，则()OA OB OC ⋅+的最小值是 ．3．自圆222440x y x y +--+=外一点)4,0(P 向圆引两条切线,切点分别为A 、B ，则PA PA ⋅等于 ．4．已知向量(3,4),(6,3)(5,3) , OA OB OC m m =-=-=---，若点A 、B 、C 能构成三角形，则实数m 应满足的条件是 ．5．设O 为坐标原点，(2,1)M ，点),(y x N 满足4335251x y x y x -≤-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则cos ON MON∠的最大值为 ．6．在凸四边形ABCD 中，AB=4，BC=3，CD=52，且∠ADC=∠ABC=90°，则BC AD ⋅= ．7．已知O 是△ABC 内一点，3OA OC OB +=-，则△AOB 和△AOC 的面积之比为 ． 8．已知向量(1,0),(1cos ,sin ) OA OB θθ==+，则向量OA 与向量OB 的夹角的取值范围是 ．9．△ABC 的外接圆圆心为O ，两边上的高的交点为H ，()OH m OA OB OC =++，则实数m= ．10．若对n 个向量12,,,a a a n ，存在n 个不全为零的实数12,,,n k k k 使1122a a a n n k k k +++=0，则称向量12,,,a a a n 为线性相关，依次规定，能使123(1,0),(1,1),(2,2)a a a ==-=11．已知向量1(6,2),(4,)2a b ==-，直线l 过点(3,1)A - 且与向量2a b +垂直，则直线l 的方程为 ． 12．如图，四边形MNPQ 是⊙C 的内接梯形，C 是圆心，C 在MN 上，向量CM 与PN 的夹角为120°，2QC QM ⋅=，则⊙C 的方程为 ．13．设1(,2a a b a bOA OB =-=-=+，若△OAB 是以O 为直角顶点的等腰直角三角形，则△OAB 的面积是 ．14．O 是平面上一定点，A,B,C 是平面上不共线的三点，动点P 满足()||||ABACOP OA AB AC λ=++， [0,)λ∈+∞，则P 点的轨迹一定通过△ABC ．（填外心、内心、重心、垂心之一）二、解答题15．已知,a b 是两个给定的向量，它们的夹角为θ，向量(c a b t t =+∈R)，求c 的最小值，并求此时向量b 与c 的夹角．16．如图，在Rt △ABC 中，已知BC a =，若长为2a 的线段PQ 以点A 为中点，问PQ 与BC 的夹角θ取何值时BP CQ ⋅的值最大？并求这个最大值．B17．已知11),(2a b =-=，存在实数k 和t ，使得2(3)x a b t =+-，y a b k t =-+， 且x y ⊥，若不等式2k t mt +>恒成立，求m 的取值范围．18．在直角坐标系xOy 中，以O 为圆心的圆与直线4x -=相切． （1）求圆的方程；（2）圆O 与x 轴相交于,A B 两点，圆内的动点P 使||,||,||PA PO PB 成等比数列，求PA PB ⋅的取值范围．19．已知抛物线C ：24(0)y ax a =>，过点(,0)F a 的直线l （不与x 轴垂直）与曲线C 交于A 、B 两点，设点)0,(a k -，KA 与KB 的夹角为θ，求证：02πθ≤≤．20．椭圆的两焦点分别为1(0,1)F -、2(0,1)F ，直线4y =是椭圆的一条准线． （1）求椭圆的方程；（2）设点P 在椭圆上，且12||||1PF PF m -=≥，求1212||||PF PF PF PF ⋅-的最大值和最小值．参考答案 一、填空题1．在直角坐标系xOy 中，若点(1,2) A 与动点(,) P x y 满足4OP OA ⋅=. 则点P 的轨迹方程是24x y +=．2．在△ABC 中,O 是中线AM 上的一个动点，若AM=2，则()OA OB OC ⋅+的最小值是 2 ．3．自圆222440x y x y +--+=外一点)4,0(P 向圆引两条切线,切点分别为A 、B ，则PA PA ⋅等于125．4．已知向量(3,4),(6,3)(5,3) , OA OB OC m m =-=-=---，若点A 、B 、C 能构成三角形，则实数m 应满足的条件是12m ≠．5．设O 为坐标原点，(2,1)M ，点),(y x N 满足4335251x y x y x -≤-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则cos ON MON∠的最大值为．6．在凸四边形ABCD 中，AB=4，BC=3，CD=52，且∠ADC=∠ABC=90°，则BC AD ⋅=274．7．已知O 是△ABC 内一点，3OA OC OB +=-，则△AOB 和△AOC 的面积之比为13．8．已知向量(1,0),(1cos ,sin ) OA OB θθ==+，则向量OA 与向量OB 的夹角的取值范围是[,]32ππ．9．△ABC 的外接圆圆心为O ，两边上的高的交点为H ，()OH m OA OB OC =++，则实数m= 1 ．10．若对n 个向量12,,,a a a n ，存在n 个不全为零的实数12,,,n k k k 使1122a a a n n k k k +++=0，则称向量12,,,a a a n 为线性相关，依次规定，能使123(1,0),(1,1),(2,2)a a a ==-=“线性相关”的一组实数依次为4,2,1-．11．已知向量1(6,2),(4,)2a b ==-，直线l 过点(3,1)A - 且与向量2a b +垂直，则直线l 的方程为2390x y --=． 12．如图，四边形MNPQ 是⊙C 的内接梯形，C 是 圆心，C 在MN 上，向量CM 与PN 的夹角为120°，2QC QM ⋅=，则⊙C 的方程为224x y +=．13．设1(,2a a b a bOA OB =-=-=+，若△OAB 是以O 为直角顶点的等腰直角三角形，则△OAB 的面积是 1 ．14．O 是平面上一定点，A,B,C 是平面上不共线的三点，动点P 满足()||||ABACOP OA AB AC λ=++，[0,)λ∈+∞，则P 点的轨迹一定通过△ABC 内心 ．（填外心、内心、重心、垂心之一）拓展：1．O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点，动点P 满足OP OA =+，()||sin ||sin AB AC AB B AC C λ+,[0,)λ∈+∞，则P 点的轨迹一定通过△ABC 的 ．2．O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点，动点P 满足OP OA =+()||cos ||cos AB ACAB B AC C λ+,[)+∞∈,0λ，则P 点的轨迹一定通过△ABC 的 ．3．P 是△ABC 所在平面上一点，若PA PC PC PB PB PA ⋅=⋅=⋅，则P 是△ABC 的 ． 4．点O 是△ABC 所在平面内一点，满足222222OA BC OB AC OC AB +=+=+，则O 是△ABC 的． 二、解答题15．已知,a b 是两个给定的向量，它们的夹角为θ，向量(c a b t t =+∈R)，求c 的最小值，并求此时向量b 与c 的夹角．点拨：求||c 的最小值，就是求2||c 的最小值，于是将问题转化为关于t 的二次函数，通过配方可以求出的||c 最小值．解：因为c a b t =+，所以22222||||2||c a b a a b b t t t =+=+⋅+ 2222222||cos ||()||cos ||sin ||a b a a a b t θθθ=++-≥ 于是，当||cos 0||a b t θ+=，即||cos ||a b t θ=-时， 2||c 取最小值22||sin a θ， 此时||cos ()||a b b b a b b θ⋅=⋅-=||||cos ||||cos 0a b a b θθ-=，所以b c ⊥，此时向量b 与c 的夹角为90°．变式1．已知向量,||1a e e ≠=，对任意t ∈R ，恒有a e a et -≥-，则下列结论：①a e ⊥；②()a a e ⊥-；③()e a e ⊥-；④()()a e a e +⊥-，其中正确的一个是 ③ ． 变式2．已知△ABC ，若对任意t ∈R ，BA tBC AC-≥，则ACB ∠= 90° ．变式3．若向量a 与c 不共线，0a b ⋅≠，且()a ac a b a b ⨯=-⋅，则向量a 与c 的夹角为 90° ．16．如图，在Rt △ABC 中，已知BC a =，若长为2a 的线段PQ 以点A 为中点，问PQ 与BC 的夹角θ取何值时BP CQ ⋅的值最大？并求这个最大值．点拨：一种思路是通过向量运算将BP CQ ⋅朝着PQ 与BC 的运算上靠拢；另一种思路是通过建立直角坐标系，将问题转化为坐标运算．解法一：AB AC ⊥，故0AB AC ⋅=，因为,,AP AQ BP AP AB CQ AQ AC =-=-=- 所以()()BP CQ AP AB AQ AC AP AQ AP AC AB AQ AB AC⋅=-⋅-=⋅-⋅-⋅+⋅=222()a AP AC AB AP a AP AB AC a AP--⋅+⋅=-+⋅-=-+⋅=2221cos 2a PQ BC a a θ-+⋅=-+B故当cos 1θ=，即0θ=时，BP CQ ⋅的值最大，其最大值为0． 解法二：以直角顶点A 为坐标原点，两直角边所在的直线为坐标轴建立直角坐标系． 设,,(,)AB c AC b P x y ==，则(0,0),(,0),(0,)A B c C b ，且2,PQ a BC a==，(,),(,),(,),(2,2)BP x c y CQ x y b BC c b PQ x y =-=---=-=--．所以22()()()()BP CQ x c x y y b x y cx by ⋅=--+--=-++-． 因为2222cos PQ BC cx by cx bya a PQ BCθ⋅--===所以2cos cx by a θ-=，所以22cos BP CQ a a θ⋅=-+， 故当故当cos 1θ=，即0θ=时，BP CQ ⋅的值最大，其最大值为0．17．已知11),(2a b =-=，存在实数k 和t ，使得2(3)x a b t =+-，y a b k t =-+， 且x y ⊥，若不等式2k t mt +>恒成立，求m 的取值范围．点拨：本题具有一定的综合性，要注意揭示题中的隐含条件，然后根据垂直的条件列方程得到k 和t 的关系，再利用二次函数求出2k t t +的最小值解：由题意，有||2,||1a b ==，∵13102a b =⨯-= ∴a b ⊥，∵0x y ⋅=，∴2[(3)]()0a b a b t k t +-⋅-+=， ∴2332(3)1(3)4b a t t k t t -==-，∴222117(43)(2)444k t t t t t +=+-=+-故2t =-时，2k t t +有最小值74-，即74m <-．18．在直角坐标系xOy 中，以O 为圆心的圆与直线4x -=相切． （1）求圆的方程；（2）圆O 与x 轴相交于,A B 两点，圆内的动点P 使||,||,||PA PO PB 成等比数列，求PA PB ⋅的取值范围．解：依题意，圆O 的半径r 等于原点O到直线4x -=的距离，即2r =所以圆的方程为224x y +=． 不妨设12(,0),(,0)A x B x ，且21x x <，由24x =，得(2,0),(2,0)A B -. 设(,)P x y ，由,,PA PO PB22x y =+，即222x y -=. 所以222(2,)(2,)42(2)PA PB x y x y x y y ⋅=---⋅--=-+=-.由于点P 在圆内，故 222242x y x y ⎧+<⎪⎨-=⎪⎩，由此得201y <<. 所以PB PA ⋅的取值范围为[2,0)-．19．已知抛物线C ：24(0)y ax a =>，过点(,0)F a 的直线l （不与x 轴垂直）与曲线C 交于A 、B 两点，设点)0,(a k -，KA 与KB 的夹角为θ，求证：02πθ≤≤．解：设l 的方程为)(a x k y -=，由24()y ax y k x a ⎧=⎨=-⎩消去x ，得22440a y y a k --=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则2124y y a =-，1122(,),(,)KA x a y KB x a y =+=+22221212121212121()()()(2)4KA KB x a x a y y x x a x x a y y y y a ⋅=+++=++++=+- 21212204y y a >⨯-=，所以cos 0KA KBKA KB θ⋅=>⋅，即02πθ≤≤． 点评：向量具有代数形式与几何形式的双重身份，这使它成为知识的一个交汇点，本题是将向量与解析几何、方程、不等式以及三角函数等知识有机结合起来． 20．椭圆的两焦点分别为1(0,1)F -、2(0,1)F ，直线4y =是椭圆的一条准线． （1）求椭圆的方程；（2）设点P 在椭圆上，且12||||1PF PF m -=≥，求1212||||PF PF PF PF ⋅-的最大值和最小值．解：（1）解答本题的入手点是写出椭圆的标准方程．依据题意，设椭圆的方程为22221(0)y x a b a b +=>>，则由212,14c a c a c=⎧⎪⇒==⎨=⎪⎩,b =椭圆方程为22143y x +=．11212244242m PF PF PF m PF PF m PF +⎧=⎧+=⎪⎪⎪⇒⎨⎨--=⎪⎪=⎩⎪⎩ （2）因为P 在椭圆上，故1212cos PF PF PF PF FPF⋅=⋅∠2222121212121212818()442PF PF F F PF PF m PF PF m m PF PF PF PF +-⋅+=⋅⋅=⋅=+⋅-由平面几何知识得1212PF PF F F -≤ ，即2m ≤，所以[]1,2m ∈．令8()f x x x =+，设12,[1,2]x x ∈，且12x x >，则1212128()()()(1)0f x f x x x x x -=--<．所以函数()f x 在[1,2]上是单调递减的，从而当1m =时，原式取得最大值94，当2m =时 原式取得最小值32．点评 本题的综合性极强，涉及到解析几何、向量、函数、不等式等知识，当中，应用平面几何知识，构造函数，进而判断函数的单调性，这是问题的解答水到渠成．。

2010届高三第十次强化训练数学试题(文)第Ⅰ卷（满分60分）一、选择题（本大题共l2题，每小题5分，共60分；在每小题给出的4个选项中，只有一是符合题目要求的）1．复数5(3)2iZ ii=-+-在复平面内的对应点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．集合22{|10},{|320}M x x N x x x=-==-+=集合，全集为U，则图中阴影部分表示的集合是（）A．{-1，l} B．{-I} C．{1} D．φ3．下列命题：①,x∀∈R不等式2243x x x+>-成立;②若2log log22xx+≥，则x>1;③命题“00,c ca b ca b>><>若且则”的逆否命题；④若命题p: 2,11x x∀∈+≥R，命题q：2,210x x x∃∈--≤R，则命题p q∧⌝是真命题.其中真命题只有（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④4．如果执行如图的程序框图，那么输出的值是（）A．2010 B．—1 C．12D．25.已知某一几何体的正视图与侧视图如图，则在下列图形中，可以是该几何体的俯视图的图形有（）A．①②③⑤B．②③④⑤C．①②④⑤D．①②③④6．中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C的两条渐近线与圆1)2(22=+-yx都相切，则双曲线C的离心率是( )A．63或B．23或C．232或D．236或7.函数siny x=的一个单调增区间是（）A.ππ⎛⎫- ⎪44⎝⎭， B.3π⎛⎫π ⎪2⎝⎭， C.32π⎛⎫π⎪2⎝⎭， D.3ππ⎛⎫⎪44⎝⎭，8.设l m n ，，均互不重合的直线，其中m n ，在平面α内，则“l α⊥”是“l m ⊥且l n ⊥”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件9．若直线mx ＋ny ＝4和⊙O ∶422=+y x 没有交点，则过（m ，n ）的直线与椭圆14922=+y x 的交点个数（ ）A ．至多一个B ．0个C ．1个D ．2个10.如果实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≤+-,1,02553,034x y x y x 目标函数y kx z +=的最大值为12，最小值为3，那么实数k 的值为 （ ）A ．2B ．-2C ．51 D ．不存在11.若函数)(x f y =的导函数在区间[a ，b]上是先增后减的函数，则函数)(x f y =在区间[a ，b]上的的图象可能是（ ）12. 若)2(2)()(,0|,lg |)(ba fb f a f b a x x f +==<<=，则b 的值所在的区间为（ ）A ．（1，2）B ．（2，3）C ．（3，4）D ．（4，5） 二、填空题（本大题共4题，每小题5分，共20分） 13．不等式201xx -≥-的解集是 。

2010年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ试题参考公式：锥体的体积公式：13V Sh =锥体，其中S 是锥体的底面面积，h 是高. 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 1.设集合{1,1,3}A =-，{}4,22++=a a B ，{}3=⋂B A ，则实数a 的值为____▲____.1.【答案】1.【命题意图】本题考查交集的定义，对求得的集合中的元素要进行检验. 【解析】由题意得1,32==+a a .又由342=+a 不符合题意.经检验得1=a . 2.设复数z 满足(23)64z i i -=+（i 为虚数单位），则z 的模为____▲____. 2.【答案】2.【命题意图】本题考查复数有关运算及复数模的计算. 【解析】由i i z 46)32(+=-得,2)32)(32()32)(46(3246i i i i i i i z =+-++=-+=即2,2=∴=z i z . 3.盒子里共有大小相同的3只白球，1只黑球.若从中随机摸出两只球，则它们颜色不同的概率是_ ▲__.3.【答案】21. 【命题意图】本题考查古典概型知识. 【解析】31.62p == 4.某棉纺厂为了解一批棉花的质量，从中随机抽测了100根棉花纤维的长度(棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标).所得数据均在区间[5,40]中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的100根中，有_ ▲__ 根棉花纤维的长度小于20mm. 4.【答案】30.【命题意图】本题考查概率统计中频率分布直方图的有关运用,注意纵坐标是频率/组距.【解析】由频率分布直方图得棉花纤维长度小于mm 20的根数为(0.01+0.01+0.04)301005=⨯⨯. 5.设函数()()xxf x x e ae -=+(x ∈R )是偶函数，则实数a 的值为____▲____. 5.【答案】1-.【命题意图】本题考查函数的奇偶性.【解析】设R x ae e x g xx∈+=-,)(,由题意分析)(x g 应为奇函数(奇函数⨯奇函数=偶函数), 又R x ∈ ，0)0(=∴g ，则,01=+a 所以1-=a .6.在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线221412x y -=上一点M 的横坐标为3，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为____▲____.6.【答案】4.【命题意图】本题考查求曲线上点的坐标、双曲线的焦点坐标、两点间距离公式的运用. 【解析】由题意得点15,3(±M ),双曲线的右焦点的坐标为(4,0)，2MF 22)015()43(-±+-==4.或用第二定义：2MFe d==，2d =，4MF =. 7.右图是一个算法流程图，则输出的S 的值是____▲____.7.【答案】63.【命题意图】本题考查算法流程图,由流程图得出S 的关系式,比较得出S 的值. 【解析】由流程图得12345122222S =+++++=1+2+48+16+32=6333≥,即.63=S8.函数2(0)y x x =>的图象在点2(,)k k a a 处的切线与x 轴的交点的横坐标为1k a +，其中k ∈N *.若116a =，则123a a a ++的值是____▲____.8.【答案】21.【命题意图】考查函数的切线方程、数列的通项.【解析】在点2(,)k k a a 处的切线方程为22(),k k k y a a x a -=-当0y =时，解得2ka x =，所以 1135,1641212kk a a a a a +=++=++=. 9.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆224x y +=上有且只有四个点到直线1250x y c -+=的距离为1，则实数c 的取值范围是____▲____. 9.【答案】(13,13)-.【命题意图】本题考查直线与圆的位置关系.【解析】如图,圆422=+y x 的半径为2,圆上有且仅有四个点到直线的距离为1,问题转化为原点(0,0)到直线于1,即1313,13,151222<<-∴<<+c c c .10.设定义在区间(0,)2π上的函数y=6cosx 的图象与y=5tan x 的图象交于点P ，过点P 作x 轴的垂线，垂足为P 1，直线PP 1与函数y=sinx 的图像交于点P 2，则线段P 1P 2的长为____▲____. 10.【答案】.32【命题意图】本题考查三角函数问题,由图象相交,即三角函数值相等,建立关系式,求出,32sin =x 结合图象,0=数形结合分析P 1P 2的值.【解析】由题意得x x tan 5cos 6=，即x x xxx sin 5cos 6,cos sin 5cos 62==， 226(1sin )5sin ,6sin 5sin 60x x x x -=+-=得,32sin =x 结合图象分析得32sin 21==P P x .11.已知函数21,0,()1,0,x x f x x ⎧+≥=⎨<⎩则满足不等式2(1)(2)f x f x ->的x 的取值范围是____▲____.11.【答案】).12,1(--【命题意图】本题考查分段函数的单调性.【解析】2212,10,x x x ⎧->⎪⎨->⎪⎩解得11x -<<-，所以x 的取值范围是).12,1(-- 12.设x,y 为实数，满足3≤2xy ≤8，4≤2x y≤9，则34x y 的最大值是____▲____.12.【答案】27.【命题意图】考查不等式的基本性质，等价转化思想.【解析】22()[16,81]x y ∈，2111[,]83xy ∈，322421()[2,27]x x y y xy =⋅∈，43yx 的最大值是27.13.在锐角△ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若6cos b a C a b +=,则tan tan tan tan C CA B+的值是 ▲ . 【答案】4.【解析】考查三角函数知识，三角形中的正、余弦定理的应用，等价转化思想. （方法一）考虑已知条件和所求结论对于角A 、B 和边a 、b 具有轮换性. 当A=B 或a=b 时满足题意，此时有1cos 3C =，21cos 1tan 21cos 2C C C -==+，tan 22C =.等腰三角形中，1tan tan tan 2A B C===，tan tan tan tan C CA B+=4. （方法二）226cos 6cos b a C ab C a b a b +=⇒=+，2222222236,22a b c c ab a b a b ab +-⋅=++=.2tan tan sin cos sin sin cos sin sin()1sin tan tan cos sin sin cos sin sin cos sin sin C C C B A B A C A B CA B C A B C A B C A B+++=⋅=⋅=⋅, 由正弦定理，得上式22222214113cos ()662c c c c C ab a b =⋅===+⋅. 14.将边长为1m 的正三角形薄铁皮沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记2(s =梯形的周长）梯形的面积,则s 的最小值是____▲____.【答案. 【解析】考查函数中的建模应用，等价转化思想. 设剪成的小正三角形的边长为x，则222(3)(01)122x s x x -==<<-. （方法一）利用导数求函数最小值.22(3)()1x S x x -=-，2222(26)(1)(3)(2)()(1)x x x x S x x -⋅---⋅-'=-222(31)(3)(1)x x x ---=- 1()0,01,3S x x x '=<<=.当1(0,]3x ∈时，()0,S x '<递减；当1[,1)3x ∈时，()0,S x '>递增.故当13x =时，S取最小值3.（方法二）利用函数的方法求最小值.令1113,(2,3),(,)32x t t t -=∈∈，则222186681t S t t t t==-+--+-.故当131,83x t ==时，S. 二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点(1,2)A --，(2,3)B ，(2,1).C -- (1)求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长； (2)设实数t 满足(t -)·=0，求t 的值.【解析】本小题主要考查平面向量的几何意义、线性运算、数量积，考查运算求解能力.满分14分. 解：（1）由题设知(3,5)AB =，(1,1)AC =-，则(2,6)A B A C+=，(4,4).AB AC -=所以||AB AC +=，||AB AC -= 故所求的两条对角线长分别为42，210.（2）由题设知 (2,1)OC =--，(32,5).AB tOC t t -=++由()0AB tOC OC -=，得(32,5)(2,1)0t t ++--=， 从而511t =-，所以11.5t =- 16.（本小题满分14分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，PD=DC=BC=1，AB=2，AB ∥DC ，∠BCD=900. (1)求证：PC ⊥BC ；(2)求点A 到平面PBC 的距离.【解析】本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查几何体的体积，考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力.满分14分.解：（1）因为PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥BC. 由∠BCD=900，得BC ⊥DC.又PD DC D ⋂=，PD ⊂平面PCD ，DC ⊂平面PCD ， 所以BC ⊥平面PCD.因为PC ⊂平面PCD ，所以PC ⊥BC. （2）（方法一）分别取AB 、PC 的中点E 、F ，连DE 、DF.则易证DE ∥CB ，DE ∥平面PBC ，点D 、E 到平面PBC 的距离相等. 由（1）知BC ⊥平面PCD ，所以平面PBC ⊥平面PCD.因为PD=DC ，PF=FC ，所以DF ⊥PC ，所以DF ⊥平面PBC 于F.易知又点A 到平面PBC 的距离等于E 到平面PBC 的距离的2倍，故点A 到平面PBC . （方法二）连结AC.设点A 到平面PBC 的距离h. 因为AB ∥DC ，∠BCD=900，所以∠ABC=900. 从而由AB=2，BC=1，得ABC ∆的面积1ABC S ∆=.由PD ⊥平面ABCD 及PD=1，得三棱锥P ABC -的体积11.33ABC V S PD ∆== 因为PD ⊥平面ABCD ，DC ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥DC.又PD=DC=1，所以PC ==由PC ⊥BC ，BC=1，得PBC ∆的面积PBC S ∆=由11213323PBC V S h h ∆===，得h =因此，点A 到平面PBC . 17.（本小题满分14分）某兴趣小组要测量电视塔AE 的高度H(单位：m).如示意图，垂直放置的标杆BC 高度h=4m ，仰角∠ABE=α，∠ADE=β.（1）该小组已测得一组α，β的值，算出了tan α=1.24，tan β=1.20，请据此算出H 的值；（2）该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d （单位：m ），使α与β之差较大，可以提高测量精度.若电视塔的实际高度为125m ，试问d 为多少时，αβ-最大？【解析】本小题主要考查解三角形、基本不等式、导数等基础知识，考查数学建模能力、抽象概括能力和解决实际问题的能力.满分14分. 解：（1）由tan HAB α=，tan h BD β=，tan H AD β=及AB BD AD +=，得tan tan tan H h H αββ+=， 解得tan 4 1.24124tan tan 1.24 1.20h H αβα⨯===--.因此，算出的电视塔的高度H 是124m. （2）由题设知d AB =，得tan .H dα= 由tan tan H h AB AD BD ββ=-=-，得tan H hdβ-=，所以tan tan tan()()1tan tan h H H h d dαβαβαβ--==≤-+⋅+，当且仅当()H H h d d-=，即d ==.所以当d =tan()αβ-最大. 因为02πβα<<<，则02παβ<-<，所以当d =时，αβ-最大.故所求的d是18.（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，如图，已知椭圆15922=+y x 的左、右顶点为A 、B ，右焦点为F.设过点T （m t ,）的直线TA 、TB 与此椭圆分别交于点M ),(11y x 、),(22y x N ，其中m>0，0,021<>y y . （1）设动点P 满足422=-PB PF ，求点P 的轨迹； （2）设31,221==x x ，求点T 的坐标； （3）设9=t ,求证：直线MN 必过x 轴上的一定点(其坐标与m 无关).【解析】本小题主要考查求简单曲线的方程，考查直线与椭圆的方程等基础知识，考查运算求解能力和探究问题的能力.满分16分.解：由题设得(3,0)A -，(3,0)B ，(2,0).F（1）设点(,)P x y ，则222(2)PF x y =-+，222(3).PB x y =-+ 由422=-PB PF ，得2222(2)(3)4x y x y -+---=，化简得92x =. 故所求点P 的轨迹为直线92x =. （2）由12x =，2211195x y +=及10y >，得153y =，则点5(2,)3M ， 从而直线AM 的方程为113y x =+； 由213x =，2222195x y +=及20y <，得2109y =-，则点110(,)39N -， 从而直线BN 的方程为5562y x =-. 由11,355,62y x y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得7,10.3x y =⎧⎪⎨=⎪⎩所以点T 的坐标为10(7,)3.（3）由题设知，直线AT 的方程为(3)12m y x =+，直线BT 的方程为(3)6my x =-. 点11(,)M x y 满足112211(3),121,95m y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得 22111(3)(3)(3)9125x x x m -++=-，因为13x ≠-，则211339125x x m -+=-，解得212240380m x m -=+，从而124080my m=+. 点22(,)N x y 满足2222222(3),61,953,m y x x y x ⎧=-⎪⎪⎪+=⎨⎪≠⎪⎪⎩解得22236020m x m -=+，222020m y m -=+.若12x x =，则由222224033608020m m m m--=++及0m >，得m = 此时直线MN 的方程为1x =，过点(1,0).D若12x x ≠，则m ≠MD 的斜率2222401080240340180MDmm m k m m m +==---+， 直线ND 的斜率222220102036040120NDmm m k m mm -+==---+，得MD ND k k =，所以直线MN 过D 点. 因此，直线MN 必过x 轴上的点(1,0). 19.（本小题满分16分）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S .已知3122a a a +=，数列{}nS 是公差为d 的等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式（用d n ,表示）；（2）设c 为实数，对满足n m k n m ≠=+且3的任意正整数k n m ,,，不等式k n m cS S S >+都成立，求证：c 的最大值为29. 【解析】本小题主要考查等差数列的通项、求和以及基本不等式等有关知识，考查探索、分析及论证的能力.满分16分. 解：（1(1)(1)n d n d =-=-，则当2n ≥时，221232.n n n a S S d d n -=-=-=+由2132a a a =+，得2212(2)23d a d =++.d = 故当2n ≥时，222.n a nd d =-又21a d =，所以数列{}n a 的通项公式为2(21)n a n d =-. （2d =(1)n d =-，得0d >，22n S n d =.于是，对满足题设的k n m ,,，m n ≠，有2222222()99()222m n k m n S S m n d d d k S ++=+>==.所以c 的最大值max 92c ≥.另一方面，任取实数92a >.设k 为偶数，令331,122m k n k =+=-，则k n m ,,符合条件，且22222222331()((1)(1))(94).222m n S S d m n d k k d k +=+=++-=+于是，只要22942k ak +<，即当k >时，就有22122m n k S S d ak aS +<⋅=.所以满足条件的92c ≤，从而max 92c ≤. 因此c 的最大值为92. 20.（本小题满分16分）设)(x f 是定义在区间),1(+∞上的函数，其导函数为)('x f .如果存在实数a 和函数)(x h ，其中)(x h 对任意的),1(+∞∈x 都有)(x h >0，使得)1)(()('2+-=ax x x h x f ，则称函数)(x f 具有性质)(a P . (1)设函数2()ln (1)1b f x x x x +=+>+，其中b 为实数. (i)求证：函数)(x f 具有性质)(b P ；(ii)求函数)(x f 的单调区间.(2)已知函数)(x g 具有性质)2(P .给定1212,(1,),,x x x x ∈+∞<设m 为实数,21)1(x m mx -+=α，21)1(mx x m +-=β，且1,1>>βα，若|)()(βαg g -|<|)()(21x g x g -|，求m 的取值范围.【解析】本小题主要考查函数的概念、性质、图象及导数等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力.满分16分.解：(1)(i)由2()ln 1b f x x x +=++，得'()f x 221.(1)x bx x x -+=+ 因为1x >时，21()0(1)h x x x =>+，所以函数)(x f 具有性质)(b P . (ii)当2b ≤时，由1x >得222121(1)0x bx x x x -+≥-+=->， 所以)('x f 0>，从而函数)(x f 在区间),1(+∞上单调递增.当2b >时，解方程210x bx -+=得12b x -=，22b x +=因为12b x -=21b=<<，212b x +=>， 所以当2(1,)x x ∈时，)('x f 0<；当2(,)x x ∈+∞时，)('x f 0>；当2x x =时，)('x f =0. 从而函数)(x f 在区间2(1,)x 上单调递减，在区间2(,)x +∞上单调递增. 综上所述，当2b ≤时，函数)(x f 的单调增区间为),1(+∞；当2b >时，函数)(x f 的单调减区间为，单调增区间为)+∞. (2)（方法一）由题意，得22'()()(21)()(1)g x h x x x h x x =-+=-. 又)(x h 对任意的),1(+∞∈x 都有)(x h >0，所以对任意的),1(+∞∈x 都有()0g x '>，()g x 在(1,)+∞上递增.当1m =时，1x α=，2x β=，不合题意.1212,(21)()x x m x x αβαβ+=+-=--. 当1,12m m >≠时，αβ<，且112212(1)(1),(1)(1)x m x m x x m x m x αβ-=-+--=-+-， 221212()()(1)()0x x m x x αβ∴--=---<，12x x αβ∴<<<或12x x αβ<<<，若12x x αβ<<<,则12()()()()f f x f x f αβ<<<,12|()()||()()|g g g x g x αβ∴->-,不合题意. 12x x αβ∴<<<，即112122(1),(1),x mx m x m x mx x <+-⎧⎨-+<⎩解得1m <，11.2m ∴<<当12m =时，αβ=，120|()()||()()|g g g x g x αβ=-<-，符合题意. 当12m <时，αβ>，且212112(),()x m x x x m x x αβ-=--=--，同理有12x x βα<<<，112122(1),(1),x m x mx mx m x x <-+⎧⎨+-<⎩解得0m >，10.2m ∴<<综合以上讨论，得所求的m 的取值范围是(0，1).（方法二）由题设知，()g x 的导函数2'()()(21)g x h x x x =-+，其中函数()0h x >对于任意的),1(+∞∈x 都成立，所以，当1x >时，2'()()(1)0g x h x x =->，从而()g x 在区间),1(+∞上单调递增. ①当(0,1)m ∈时，有12111(1)(1)mx m x mx m x x α=+->+-=，222(1)mx m x x α<+-=，得12(,)x x α∈，同理可得12(,)x x β∈，所以由()g x 的单调性知()g α，()g β12((),())g x g x ∈，从而有|)()(βαg g -|<|)()(21x g x g -|，符合题设.②当0m ≤时，12222(1)(1)mx m x mx m x x α=+-≥+-=，12111(1)(1)m x mx m x mx x β=-+≤-+=，于是由1,1αβ>>及()g x 的单调性知12()()()()g g x g x g βα≤<≤，所以|)()(βαg g -|≥|)()(21x g x g -|，与题设不符.③当1m ≥时，同理可得12,x x αβ≤≥，进而得|)()(βαg g -|≥|)()(21x g x g -|，与题设不符. 因此，综合①、②、③得所求的m 的取值范围为(0，1).数学Ⅱ（附加题）21.【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.选修4-1：几何证明选讲（本小题满分10分）如图，AB 是圆O 的直径，D 为圆O 上一点，过D 作圆O 的切线交AB 的延长线于点C.若DA=DC ，求证：AB=2BC.【解析】本题主要考查三角形、圆的有关知识，考查推理论证能力.满分10分.证明：（方法一）连OD ，则OD ⊥DC.又OA=OD ，DA=DC ，所以∠DAO=∠ODA=∠DCO ，∠DOC=∠DAO+∠ODA=2∠DCO ，所以∠DCO=300，所以OC=2OD ，即OB=BC=OD=OA ，所以AB=2BC.（方法二）连结OD 、BD.因为AB 是圆O 的直径，所以∠ADB=900，AB=2OB.因为DC 是圆O 的切线，所以∠CDO=900.又因为DA=DC ，所以∠A=∠C ，于是△ADB ≌△CDO ，从而AB=CO.即2OB=OB+BC ，得OB=BC.故AB=2BC.B.选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点(0,0),(2,0),(2,1)A B C --.设k 为非零实数，矩阵M =⎥⎦⎤⎢⎣⎡100k ,N =⎥⎦⎤⎢⎣⎡0110,点A 、B 、C 在矩阵MN 对应的变换下得到的点分别为A 1、B 1、C 1，△A 1B 1C 1的面积是△ABC 的面积的2倍，求k 的值.【解析】本题主要考查图形在矩阵对应的变换下的变化特点，考查运算求解能力.满分10分. 解：由题设得0010011010k k MN ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦.由0001000k ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，0201002k -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，021012k k -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 可知1(0,0)A ，1(0,2)B -，1(,2)C k -.计算得△ABC 的面积是1，△A 1B 1C 1的面积是||k ，则由题设知||212k =⨯=.所以k 的值为2-或2.C.选修4-4：参数方程与极坐标（本小题满分10分）在极坐标系中，已知圆2cos ρθ=与直线3cos 4sin 0a ρθρθ++=相切，求实数a 的值.【解析】本题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查转化问题的能力.满分10分.解：将极坐标方程化为直角坐标方程，得圆的方程为22222,(1)1x y x x y +=-+=即，直线的方程为340x y a ++=.由题设知，圆心(1,0)到直线的距离为11,=解得8a =-，或2a =. 故a 的值为8-或2.D.选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）设a ，b 是非负实数，求证：3322)a b a b +≥+.【解析】本题主要考查证明不等式的基本方法，考查推理论证的能力.满分10分.证明：由a ，b 是非负实数，作差得3322)a b a b a b ++=+55]=-.当a b ≥≥55≥，得55]0-≥；当a b <<55<，得55]0->.所以3322)a b a b +≥+.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.（本小题满分10分）某工厂生产甲、乙两种产品.甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%.生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元.设生产各件产品相互独立.（1）记X （单位：万元）为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X 的分布列；（2）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率.【解析】本题主要考查概率的有关知识，考查运算求解的能力.满分10分.解：（1）由题设知，X 的可能取值为10，5，2，-3，且P （X=10）=0.8×0.9=0.72， P （X=5）=0.2×0.9=0.18，P （X=2）=0.8×0.1=0.08， P （X=-3）=0.2×0.1=0.02.由此得X 的分布列为：（2）设生产的4件甲产品中一等品有n 件，则二等品有4n -件.由题设知4(4)10n n --≥，解得145n ≥， 又n N ∈，得3n =，或4n =. 所以3344440.80.20.80.8192P C C =+=. 故所求概率为0.8192. 23.（本小题满分10分）已知△ABC 的三边长都是有理数.（1）求证：cos A 是有理数； (2)求证：对任意正整数n ，cos nA 是有理数.【解析】本题主要考查余弦定理、数学归纳法等基础知识，考查推理论证的能力与分析问题、解决问题的能力.满分10分.证法一：(1)由AB 、BC 、AC 为有理数及余弦定理知222cos 2AB AC BC A AB BC+-=是有理数. (2)①当1n =时，由(1)知cos A 是有理数.当2n =时，∵2cos22cos 1A A =-，因为cos A 是有理数，∴cos2A 也是有理数；②假设当(2)n k k ≤≥时，结论成立，即coskA 、cos(1)k A -均是有理数.当1n k =+时，cos(1)cos cos sin sin k A kA A kA A +=-，1cos(1)cos cos [cos()cos()]2k A kA A kA A kA A +=---+， 11cos(1)cos cos cos(1)cos(1)22k A kA A k A k A +=--++， 解得cos(1)2cos cos cos(1)k A kA A k A +=--. ∵cos A ，cos kA ，cos(1)k A -均是有理数，∴2cos cos cos(1)kA A k A --是有理数，∴cos(1)k A +是有理数.即当1n k =+时，结论成立.综上所述，对于任意正整数n ，cos nA 也是有理数.证法二：(1)由AB 、BC 、AC 为有理数及余弦定理知222cos 2AB AC BC A AB BC+-=是有理数. (2)用数学归纳法证明cos nA 和sin sin A nA 都是有理数.①当1n =时，由(1)知cos A 是有理数，从而有2sin sin 1cos A A A =-也是有理数.②假设当(1)n k k =≥时，cos kA 和sin sin A kA 都是有理数.当1n k =+时，由cos(1)cos cos sin sin k A kA A A kA +=-，sin sin(1)sin (sin cos cos sin )A k A A A kA A kA +=+(sin sin )cos (sin sin )cos A A kA A kA A =+，及①和归纳假设，知cos(1)k A +与sin sin(1)A k A +都是有理数.即当1n k =+时，结论成立.综合①、②可知，对任意正整数n ，cos nA 也是有理数.。

2010年普通高等学校招生全国统一考试江苏卷数学全解全析数学Ⅰ试题参考公式：锥体的体积公式: V 锥体=13Sh ，其中S 是锥体的底面积，h 是高。

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。

请把答案填写在答题卡相应的位．．．．．．．置上．．.1、设集合A={-1,1,3}，B={a+2,a 2+4},A ∩B={3}，则实数a =______▲_____. [解析] 考查集合的运算推理。

3∈B, a+2=3, a=1.2、设复数z 满足z(2-3i)=6+4i （其中i 为虚数单位），则z 的模为______▲_____. [解析] 考查复数运算、模的性质。

z(2-3i)=2(3+2 i), 2-3i 与3+2 i 的模相等，z 的模为2。

3、盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是_ ▲__.[解析]考查古典概型知识。

3162p ==4、某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间[5,40]中，其频率分布直方图如图所示，则其抽样的100根中，有_▲___根在棉花纤维的长度小于20mm 。

[解析]考查频率分布直方图的知识。

注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共4页，包含填空题（第1题——第14题）、解答题（第15题——第20题）。

本卷满分160分，考试时间为120分钟。

考试结束后，请将本卷和答题卡一并交回。

2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。

4.请在答题卡上按照晤顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效。

作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔。

请注意字体工整，笔迹清楚。

5.如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。

江苏省2010届高三数学中等生强化练习01一、填空题：1．命题“对任意的01,23≤+-∈x x R x ”的否定是_________. 2．已知集合M ＝｛x |x ＜3｝，N ＝｛x |log 2x ＞1｝，则M ∩N ＝_________. 3．将复数3i 321++i 表示为),,(为虚数单位i R b a bi a ∈+的形式为________.4．已知平面上三点A 、B 、C 满足||=3,||=4，||=5,则⋅+⋅+⋅的值等于 .5．一个单位共有职工200人，其中不超过45岁的有120人，超过45岁的有80人．为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为25的样本，应抽取超过45岁的职工________人．6．若抛物线22y px =的焦点与椭圆22162x y +=的右焦点重合，则p 的值为7．设b a ,是两条不同直线，,αβ是两个不同平面，给出下列四个命题：①若,,a b a α⊥⊥b α⊄，则//b α；②若//,a ααβ⊥，则a β⊥；③若,a βαβ⊥⊥，则//a α或a α⊂；④若,,a b a b αβ⊥⊥⊥则αβ⊥．其中正确的命题是________（请把所有正确命题的序号都填上）．8．若)4sin(3)4sin()(ππ-++=x x a x f 是偶函数，则a = _ .9．已知数列{}n a 中,112,34n n a a a +==+.则数列{}n a 的通项公式是 . 10．直线2y x m =+和圆221x y +=交于点A 、B ，以x 轴的正方向为始边，OA 为终边（O 是坐标原点）的角为α，OB 为终边的角为β，若AB =sin()αβ-的值是 _________.11．如右图所示，在单位正方体1111D C B A ABCD -的面对角线B A 1上存在一点P 使得P D AP 1+最短，则P D AP 1+的最小值为 .12．已知椭圆方程22221x y a b +=()0a b >>,当216()a b a b +-的最小值时，椭圆的离心率=e ． 二、解答题：（解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 13．（本小题满分14分）已知角C B A ,,为ABC ∆的三个内角，其对边分别为c b a ,,，若)2s i n ,2c o s (A A -=m ，)2sin ,2(cos A A =n ，32=a ，且21=⋅n m ． （1）求角A 的值． （2）求c b +的取值范围．ABC DA 1B 1C 1D 1P14．（本小题满分14分）设函数2()(1)2ln f x x k x =+-．（1）当k =2时，求函数f (x )的增区间； （2）当k ＜0时，求函数g (x )=()f x '在区间（0，2]上的最小值． 15．（本小题满分15分）如图，四边形ABCD 为矩形，AD ⊥平面ABE ，AE ＝EB ＝BC ＝2，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE ． （1）求证：AE ⊥BE ；（2）求三棱锥D －AEC 的体积； （3）设M 在线段AB 上，且满足AM ＝2MB ，试在线段CE 上确定一点 N ，使得MN ∥平面DAE .16．已知圆M ：22(2)1x y +-=，设点,B C 是直线l ：20x y -=上的两点，它们的横坐标分别是,4()t t t R +∈，点P 在线段BC 上，过P 点作圆M 的切线PA ，切点为A ．（1）若0t =，MP =PA 的方程；（2）经过,,A P M 三点的圆的圆心是D ，求线段DO 长的最小值()L t ．江苏省2010届高三数学中等生强化练习01参考答案一、填空题1．存在01,23>+-∈x x R x 2．｛x |2＜x ＜3｝3．i 107101+4． －25 5． 10 6． 4 7． 1 3 4 8．－3，9． 14.32n n a -=-．10．2±11． 22+12．2二、解答题：（解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 13．解：（1）)2sin ,2cos(A A m -=，)2sin ,2(cos A A n =，且21=⋅n m ． 212sin 2cos 22=+-∴A A ，即21cos =-A ，又),0(π∈A ，32π=∴A … （2）由正弦定理得：432sin 32sin sin sin ====πA a C c B b ，又3ππ=-=+A C B ，)3sin(4)3sin(4sin 4sin 4sin 4ππ+=-+=+=+∴B B B C B c b …8分30π<<B ，则3233πππ<+<B ．则1)3si n(23≤+<πB ，即c b +的取值范围是].4,32(…10分14．解（1）k =2，2()(1)4ln f x x x =+-．则()f x '=422x x+-． 3分 2(1)(2)x x x=-+＞0，（此处用“≥”同样给分）……5分 注意到x ＞0，故x ＞1，于是函数的增区间为(1,)+∞．（写为[1,)+∞同样给分）……7分 （2）当k ＜0时，g (x )=()f x '=222k x x +-．g (x )=2()2kx x-++≥2………9分 当且仅当x“≥”中取“=”．(0,2]， 即当k ∈[4,0)-时，函数g (x )在区间(0,2]上的最小值为2；……11分 ②若k ＜-4，则2()2(1)kg x x'=+在(0,2]上为负恒成立，故g (x )在区间(0,2]上为减函数， 于是g (x )在区间(0,2]上的最小值为g (2)=6-k ．…………13分综上所述，当k ∈[4,0)-时，函数g (x )在区间(0,2]上的最小值为2； 当k ＜-4时，函数g (x )在区间(0,2]上的最小值为6-k ． ………………………15分∴ABE BC 平面⊥，则BC AE ⊥…………2分又 ACE BF 平面⊥，则BF AE ⊥∴BCE AE 平面⊥ 又BCE BE 平面⊂ ∴BE AE ⊥………… 6分 (2)31==--ADC E AEC D V V ×22×342= ………………………………9分 （3）在三角形ABE 中过M 点作MG ∥AE 交BE 于G 点,在三角形BEC 中过G 点作GN ∥BC 交EC 于N 点,连MN,则由比例关系易得CN ＝CE 31…… 11分MG ∥AE MG ⊄平面ADE, AE ⊂平面ADE,∴MG ∥平面ADE 同理, GN ∥平面ADE ………14分 ∴平面MGN ∥平面ADE 又MN ⊂平面MGN ∴MN ∥平面ADE ∴N 点为线段CE 上靠近C 点的一个三等分点…16分16． 解：（1）设(2,)(02).P a a a ≤≤(0,2),M MP 解得1a =或15a =-（舍去）．(2,1).P ∴ 由题意知切线PA 的斜率存在，设斜率为k ． 所以直线PA 的方程为1(2)y k x -=-，即210.k x y k --+=直线PA 与圆M相切，1=，解得0k =或4.3k =-∴直线PA 的方程是1y =或43110.x y +-=（2）设(2,)(24).P a a t a t ≤≤+PA 与圆M 相切于点A ，.PA MA ∴⊥∴经过,,A P M 三点的圆的圆心D 是线段MP 的中点．(0,2),M D ∴的坐标是(,1).2aa + 设222225524().()(1)1().24455aDO f a f a a a a a =∴=++=++=++ 当225t >-，即45t >-时，2min 5()()1;2162t tf a f t ==++ 当22252t t ≤-≤+，即24455t -≤≤-时，min 24()();55f a f =-= 当2225t +<-，即245t <-时22min 515()(2)(2)(2)138242216t t t f a f t t =+=++++=++则45244()55245t L t t t >-=-≤≤-⎪<-。

2008年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）一、填空题1．若函数cos()(0)6y x πωω=->最小正周期为5π，则ω= ▲ ． 【解析】2105T ππωω==⇒=2．若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具），先后抛掷两次，则出现向上的点数之和为4的概率是 ▲ ．【解析】本小题考查古典概型．基本事件共6×6 个，点数和为4 的有(1，3)、(2，2)、(3，1)共3个，故316612P ==⨯ 3．若将复数11ii+-表示为(,,a bi a b R i +∈是虚数单位）的形式，则a b += ▲ ．【解析】因()21112i i i i ++==-，故a ＝0，b ＝1，因此1a b += 4．若集合2{|(1)37,}A x x x x R =-<+∈，则A Z I 中有 ▲ 个元素【解析】由2(1)37x x -<+得2560x x --<，(1,6)A =-∴，因此}{0,1,2,3,4,5A Z =I ，共有6个元素．5．已知向量a r 和b r 的夹角为0120，||1,||3a b ==r r ，则|5|a b -=r r ▲ ． 【解析】22222|5|(5)25||10||251a b a b a a b b -=-=-⋅+=⨯-r r r r r r r r 211013()3492⨯⨯⨯-+=，故|5|7a b -=r r ．6．在平面直角坐标系xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随机投一点，则所投点在E 中的概率是 ▲【解析】如图：区域D 表示边长为4 的正方形的内部（含边界），区域E 表示单位圆及其内部，因此214416P ππ⨯==⨯7．某地区为了解7080-岁的老人的日平均睡眠时间（单位：h ），随机选择了50位老人进行调查，下表是这50位老人睡眠时间的频率分布表：在上述统序号i 分组 （睡眠时间） 组中值（i G ） 频数 （人数） 频率（i F ） 1 [4,5) 4.5 6 0.12 2 [5,6) 5.510 0.20 3 [6,7) 6.520 0.40 4 [7,8) 7.510 0.20 5 [8,9] 8.54 0.08 开始 S ←0 输入G i ，F ii ←1 S ← S ＋G i ·F ii ≥5 i ← i ＋1NY计数据的分析中一部分计算见算法流程图，则输出的S 的值为 ▲ 【解析】由流程图1122334455S G F G F G F G F G F =++++4.50.125.50.206.50.407.50.28.50.08=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 6.42=8．设直线b x y +=21是曲线)0(ln >=x x y 的一条切线，则实数b 的值是 ▲【解析】'1y x =，令112x =得2x =，故切点（2，ln2），代入直线方程，得，故b ＝ln2－1．9．如图，在平面直角坐标系xoy 中，设三角形ABC 的顶点分别为)0,(),0,(),,0(c C b B a A ，点(0,)P p 在线段AO 上的一点（异于端点），这里p c b a ,,,均为非零实数，设直线CP BP ,分别与边AB AC ,交于点F E ,，某同学已正确求得直线OE 的方程为1111()()0x y b c p a -+-=，请你完成直线OF 的方程：( ▲ )11()0x y p a+-=． 【解析】画草图，由对称性可猜想填11c b-．事实上，由截距式可得直线AB ：1x yb a+=，直线CP ：1x y c p += ，两式相减得1111()()0x y b c p a -+-=，显然直线AB 与CP 的交点F 满足此方程，又原点O 也满足此方程，故为所求直线OF 的方程．10．将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第n 行（3≥n ）从左向右的第3个数为 ▲【解析】前n －1 行共有正整数1＋2＋…＋（n －1）个，即22n n-个，因此第n 行第3 个数是全体正整数中第22n n -＋3个，即为262n n -+．11．设,,x y z 为正实数，满足230x y z -+=，则2y xz的最小值是 ▲【解析】由230x y z -+=得32x zy +=，代入2y xz 得229666344x z xz xz xz xz xz +++≥=，当且仅当x ＝3z 时取“＝”．12 34 5 67 8 9 1011 12 13 14 15………………12．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的焦距为2c ，以O 为圆心，a 为半径作圆M ，若过2(0)a P c，作圆M 的两条切线相互垂直，则椭圆的离心率为 ▲【解析】设切线PA 、PB 互相垂直，又半径OA 垂直于PA ，故△OAP 是等腰直角三角形，故22a a c=，解得22c e a ==．13．若AB ＝2，AC ＝2BC ，则S △ABC 的最大值为解析 设BC ＝x ，则AC ＝2x .根据三角形的面积公式， 得S △ABC ＝12·AB ·BC sin B ＝x 1－cos 2B .①根据余弦定理，得cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝4＋x 2－2x 24x ＝4－x 24x .②将②代入①，得 S △ABC ＝x1－⎝⎛⎭⎫4－x 24x 2＝128－x 2－12216.由三角形的三边关系，得⎩⎨⎧2x ＋x >2，x ＋2>2x ，解得22－2<x <22＋2，故当x ＝23时，S △ABC 取得最大值22，故选A.14．f (x )＝ax 3－3x ＋1对于x ∈[－1，1]，总有f (x )≥0成立，则a ＝【解】若x ＝0，则不论a 取何值，f (x )≥0显然成立；当x ＞0即x ∈(0，1]时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≥3x 2－1x 3．设g (x )＝3x 2－1x3，则g ′(x )＝3(1－2x )x 4，所以g (x )在区间(0，12]上单调递增，在区间[12，1]上单调递减，因此g (x )max ＝g (12)＝4，从而a ≥4．当x ＜0即x ∈[－1，0)时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≤3x 2－1x 3，设g (x )＝3x 2－1x 3，且g (x )在区间[－1，0)上单调递增，因此g (x )min ＝g (－1)＝4，从而a ≤4，综上a ＝4．二如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别交单位圆于A ，B 两点．已知A ，B 两点的横坐标分别是210，255． ⑴．求tan(α＋β)的值； ⑵．求α＋2β的值．【解】⑴．由已知条件即三角函数的定义可知225cos ,cos αβ==，因α为锐角，故ABC DEF Bsin 0α>，从而sin 10α==，同理可得sin 5β==，故1tan 7,tan 2αβ==．故tan()αβ+=17tan tan 2311tan tan 172αβαβ++==---⨯g ； ⑵．132tan(2)tan[()]111(3)2αβαββ-++=++==---⨯，又0,022ππαβ<<<<，故3022παβ<+<，从而由 tan(2)1αβ+=-得，324παβ+=． 16．如图，在四面体ABCD 中，CB CD AD BD =⊥，，点E F ，分别是AB BD ，的中点．求证： ⑴．直线//EF 面ACD ； ⑵．平面EFC ⊥面BCD ．【标准答案】证明：⑴．因E ，F 分别是AB BD ，的中点．故EF 是△ABD的中位线，故EF ∥AD ，因EF ∥⊄面ACD ，AD ⊂面ACD ，故直线EF ∥面ACD ；⑵．因AD ⊥BD ，EF ∥AD ，故EF ⊥BD ，因CB=CD ，F 是ＢＤ的中点，故CF ⊥BD ，又EF∩CF=F ，故BD ⊥面EFC ，因BD ⊂面BCD ，故面EFC ⊥面BCD 17．如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的两个顶点A ，B 及CD 的中点P 处．AB ＝20km ，BC ＝10km ．为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域上（含边界）且与A ，B 等距的一点O 处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO ，BO ，PO ．记铺设管道的总长度为y km ． ⑴．按下列要求建立函数关系式：（i ）设BAO θ∠=（rad ），将y 表示成θ的函数； （ii ）设OP x =（km ），将y 表示成x 的函数；⑵．请你选用⑴中的一个函数关系确定污水处理厂的位置，使铺设的污水管道的总长度最短． 【解】⑴．①．由条件知PQ 垂直平分AB ，若∠BAO=θ(rad)，则10cos cos AQ OA θθ==， 故10cos OB θ=，又OP ＝1010tan θ-，故10101010tan cos cos y OA OB OP θθθ=++=++-，所求函数关系式为2010sin 10(0)cos 4y θπθθ-=+≤≤；②．若OP=x (km)，则OQ ＝10－x，故OA OB ===数关系式为10)y x x =+≤≤．⑵．选择函数模型①，'2210cos cos (2010)(sin )10(2sin 1)cos cos sin y θθθθθθθ-⋅----==，令'y =0 得sin 12θ=，因04πθ<<，故θ=6π，当(0,)6πθ∈时，'0y <，y 是θ的减函数；当(,)64ππθ∈时，'0y >，y 是θ的增函数，故当θ=6π时，min 10y =+．这时点P 位于线段AB 的中垂线上，在矩形区域内且距离ABkm 处． 18．在平面直角坐标系xOy 中，记二次函数2()2f x x x b =++（x ∈R ）与两坐标轴有三个交点．经过三个交点的圆记为C ．⑴．求实数b 的取值范围； ⑵．求圆C 的方程；⑶．问圆C 是否经过定点（其坐标与b 的无关）？请证明你的结论．【解】⑴．令0x =，得抛物线与y 轴交点是（0，b ）；令2()20f x x x b =++=，由题意b ≠0且Δ＞0，解得b ＜1 且b ≠0．⑵．设所求圆的一般方程为2x 20y Dx Ey F ++++=，令y ＝0得，20x Dx F ++=这与22x x b ++＝0是同一个方程，故D ＝2，F ＝b ．令x ＝0 得2y Ey +＝0，此方程有一个根为b ，代入得出E ＝―b ―1．故圆C 的方程为222(1)0x y x b y b ++-++=． ⑶．圆C 必过定点，证明如下：假设圆C 过定点0000(,)(,)x y x y b 不依赖于，将该点的坐标代入圆C 的方程，并变形为22000002(1)0x y x y b y ++-+-=(*)，为使(*)式对所有满足1(0)b b <≠的b 都成立，必须有010y -=，结合(*)式得，2200020x y x y ++-=，解得000002 11x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，－，或，，，经 检验知，点(0,1),(2,1)-均在圆C 上，因此圆C 过定点．19．⑴．设12,,,n a a a L 是各项均不为零的等差数列(4n ≥)，且公差0d ≠，若将此数列删去某一项得到的数列(按原来的顺序)是等比数列： ①．当4n =时，求1a d的数值；②．求n 的所有可能值； ⑵．求证：对于一个给定的正整数(4)n n ≥，存在一个各项及公差都不为零的等差数列12,,,n b b b L ，其中任意三项(按原来的顺序)都不能组成等比数列．【解】⑴．①．当4n =时， 1234,,,a a a a 中不可能删去首项或末项，否则等差数列中连续三项成等比数列，则推出0d =．若删去2a ，则2314a a a =⋅，即2111(2)(3)a d a a d +=⋅+化简得140a d +=，得14a d=-； 若删去3a ，则2214a a a =⋅，即2111()(3)a d a a d +=⋅+化简得10a d -=，得11a d=； 综上，得14a d =-或11ad=．②．当5n =时，12345,,,,a a a a a 中同样不可能删去1245,,,a a a a ，否则出现连续三项．若删去3a ，则1524a a a a ⋅=⋅，即1111(4)()(3)a a d a d a d +=+⋅+化简得230d =，因0≠d ，故3a 不能删去；当6n ≥时，不存在这样的等差数列．事实上，在数列12321,,,,,,n n n a a a a a a --L 中，由于不能删去首项或末项，若删去2a ，则必有132n n a a a a -⋅=⋅，这与0≠d 矛盾；同样若删去1n a -也有132n n a a a a -⋅=⋅，这与0≠d 矛盾；若删去32,,n a a -L 中任意一个，则必有121n n a a a a -⋅=⋅，这与0≠d 矛盾．(或者说：当n ≥6时，无论删去哪一项，剩余的项中必有连续的三项)综上所述，4n =．⑵假设对于某个正整数n ，存在一个公差为d 的n 项等差数列12,,...,n b b b ，其中111,,x y z b b b +++(01x y z n ≤<<≤-)为任意三项成等比数列，则2111yx z b b b +++=⋅，即2111()()()b yd b xd b zd +=+⋅+，化简得221()(2)y xz d x z y b d -=+-(*)，由10b d ≠知，2y xz-与2x z y +-同时为0或同时不为0；当2y xz -与2x z y +-同时为0时，有x y z ==与题设矛盾．故2y xz -与2x z y +-同时不为0，故由(*)得212b y xz d x z y-=+-，因01x y z n ≤<<≤-，且x 、y 、z为整数，故上式右边为有理数，从而1b d 为有理数．于是，对于任意的正整数)4(≥n n ，只要1bd为无理数，相应的数列就是满足题意要求的数列．例如n 项数列1，11+……，1(n +-满足要求．20．已知函数11()3x p f x -=，22()23x p f x -=⋅（12,,x R p p ∈为常数）．函数()f x 定义为：对每个给定的实数x ，112212(),()()()(),()()f x f x f x f x f x f x f x ≤⎧=⎨>⎩若若⑴．求1()()f x f x =对所有实数x 成立的充分必要条件（用12,p p 表示）；⑵．设,a b 是两个实数，满足a b <，且12,(,)p p a b ∈．若()()f a f b =，求证：函数()f x 在区间[,]a b 上的单调增区间的长度之和为2b a-（闭区间[,]m n 的长度定义为n m -） 【解】⑴．由()f x 的定义可知，1()()f x f x =（对所有实数x ）等价于12()()f x f x ≤（对所有实数x ）这又等价于12||||323x p x p --≤⋅，即312log 2||||332x p x p ---≤=对所有实数x 均成立．（*）由于121212|||||()()|||()x p x p x p x p p p x R ---≤---=-∈的最大值为12||p p -，故（*）等价于12||32p p -≤，即123||log 2p p -≤，这就是所求的充分必要条件⑵．分两种情形讨论（i ）当123||log 2p p -≤时，由⑴知，1()()f x f x =（对所有实数[,]x a b ∈）则由()()f a f b =及1a p b <<易知12a bp +=，再111113,()3,p x x px p f x x p --⎧<⎪=⎨≥⎪⎩的单调性可知，函数()f x 在区间[,]a b 上的单调增区间的长度为22a b b ab +--=（参见示意图1） （ii ）123||log 2p p ->时，不妨设12,p p <，是当1x p ≤时，有1212()33()p xp x f x f x --=<<，从1()()f x f x =；当2x p ≥时，312122122log 212()333333(x p p p x p p p x p x p f x f --+----===>=g g 2当12p x p <<时，11()3x p f x -=，及22()23p xf x -=⋅，由方程12323x p p x --=⋅，解得12()()f x f x 与图象交点的横坐标为12031log 222p p x +=+⑴，显然10221321[()log 2]2p x p p p p <=---<，这表明0x 在1p 与2p 之间．由⑴知，101022(),()(),p x x f x f x x x p f x ≤≤⎧=⎨<≤⎩综上可知，在区间[,]a b 上，0102(),()(),a x x f x f x x x bf x ≤≤⎧=⎨<≤⎩ （参见示意图2），故由函数1()f x 及2()f x 的单调性可知，()f x 在区间[,]a b 上的单调增区间的长度之和为012()()x p b p -+-，由于()()f a f b =，即12323p a b p --=⋅，得123log 2p p a b +=++⑵，故由⑴、⑵得0121231()()[log 2]22b ax p b p b p p --+-=-+-=综合（i ）（ii ）可知，()f x 在区间[,]a b 上的单调增区间的长度和为2ab -．2008年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）B ．选修4—2 矩阵与变换在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆2241x y +=在矩阵⎣⎡⎦⎤2 00 1对应的变换作用下得到曲线F ，求F的方程．解：设00(,)P x y 是椭圆上任意一点，点00(,)P x y 在矩阵A 对应的变换下变为点，'''00(,)P x y 则有'0'0020 01x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即'00'002x x y y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，故'0'002x x y y ⎧=⎪⎨⎪=⎩又因为点P 在椭圆上，故220041x y +=，从而'2'200()()1x y +=，故曲线F 的方程是 221x y +=C ．选修4—4 参数方程与极坐标在平面直角坐标系xOy 中，点()P x y ，是椭圆2213x y +=上的一个动点，求S x y =+的最大值． 解：因椭圆2213x y +=的参数方程为 (sin x y φφφ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数），故可设动点P的坐标为,sin φφ），其中02φπ≤<，故1sin 2(cos sin )2sin()223S x y πφφφφφ=+=+=+=+，故当6πφ=时，S 取最大值222．【必做题】记动点P 是棱长为1的正方体1111-ABCD A B C D 的对角线1BD 上一点，记11D PD Bλ=．当APC ∠为钝角时，求λ的取值范围．解：由题设可知，以DA u u u r 、DC u u ur 、1DD u u u u r 为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，则有(1,0,0)A ，(1,1,0)B ，(0,1,0)C ，(0,0,1)D ，由1(1,1,1)D B =-u u u u r，得11(,,)D P D B λλλλ==-u u u u r u u u u r ，故11(,,)(1,0,1)(1,,1)PA PD D A λλλλλλ=+=--+-=---u u u r u u u u r u u u u r11(,,)(0,1,1)(,1,1)PC PD DC λλλλλλ=+=--+-=---u u u r u u u u r u u u u r ，显然APC ∠不是平角，故APC ∠为钝角等价于cos cos ,0||||PA PCAPC PA PC PA PC ∠=<>=<⋅u u u r u u u ru u u r u u u r g u u u r u u u r ，则等价于0PA PC <u u u r u u u r g ，即2(1)()()(1)(1)(1)(31)0λλλλλλλ--+--+-=--<，得113λ<<，故λ的取值范围是1(,1)323．在等式2cos 22cos 1x x =-（x ∈R ）的两边求导，得：2(cos 2)(2cos 1)x x ''=-，由求导法则，得(sin 2)24cos (sin )x x x -=-g g ，化简得等式：sin 22cos sin x x x =g ．⑴．利用上题的想法（或其他方法），结合等式0122(1)C C C C n n n n n n n x x x x +=++++L （x ∈R ，正整数2n ≥），证明：112[(1)1]C nn k k n k n x k x --=+-=∑．⑵．对于正整数3n ≥，求证：①．1(1)C 0nkknk k =-=∑； ②．21(1)C 0nkk nk k =-=∑； ③．11121C 11n nkn k k n +=-=++∑．【解】⑴．在等式0122(1+x)=C C C C n n nn n n n x x x ++++L 两边对x 求导得112121(1)2(1)n n n n n n n nnn x C C x n Cx nC x----+=+++-+L 移项得112[(1)1]nn k k n k n x kC x --=+-=∑（*）⑵．①．在（*）式中，令1x =-，整理得，11(1)0nk knk kC -=-=∑故1(1)0nk kn k kC =-=∑ ②．由⑴知，112121(1)2(1),3n n n n n n n n n n x C C x n C x nC x n ----+=+++-+≥L 两边对x 求导，得2232(1)(1)232(1)n n n n n n n n x C C x n n C x---+=+++-g L 在上式中，令1x =-23220232(1)(1)(1)n n n nC C n n C -=+-++--g L 即22(1)(1)0nkk nk k k C-=--=∑，亦即22(1)()0nkknk k k C =--=∑（1）又由（i ）知1(1)0nkknk kC =-=∑（2）由（1）+（2）得21(1)C 0nk kn k k =-=∑ ③．将等式0122(1+x)=C C C C n n nn n n n x x x ++++L 两边在[0,1]上对x 积分1101220(1)(C C C C )n n nn n n n x dx x x x dx+=++++⎰⎰L 由微积分基本定理，得11110011(1)()11nn k k n k x C x n k ++=+=++∑，故1012111n nk n k C k n +=-=++∑。

南京市2010届高三数学考前综合训练题1．定义：在数列{a n }中，若a n 2－a n －12＝p ，（n ≥2，n ∈N *，p 为常数），则称{a n }为“等方差数列”．下列是对“等方差数列”的有关判断：①若{a n }是“等方差数列”，则数列{a n 2}是等差数列； ②{(－1)n }是“等方差数列”； ③若{a n }是“等方差数列”，则数列{a kn }（k ∈N *，k 为常数）也是“等方差数列”； ④若{a n }既是“等方差数列”，又是等差数列，则该数列是常数数列． 其中判断正确的序号是 ． 2．已知向量a ＝(sin θ，－2)与b ＝(1，cos θ)互相垂直，其中θ∈(0，π2)． （1）求sin θ和cos θ的值； （2）若sin(θ－ϕ)＝1010，0＜ϕ＜π2，求ϕ的值． 3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，B ＝π3，cos A ＝45，b ＝3．（1）求sin C 的值；（2）求△ABC 的面积．4．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，已知c ＝2，C ＝π3．（1）若△ABC 的面积等于3，求a ，b 的值；（2）若sin C ＋sin(B －A )＝2sin2A ，求角A 的大小．5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列． （1）若AB →²BC →＝－32，b ＝3，求a ＋c 的值；（2）求2sin A －sin C 的取值范围．6．如图1所示，在边长为12的正方形AA'A 1'A 1中，点B ，C 在线段AA'上，且AB ＝3，BC ＝4，作BB 1//AA 1，分别交A 1A 1'、AA 1'于点B 1、P ，作CC 1//AA 1，分别交A 1A 1'、AA 1'于点C 1、Q ，将该正方形沿BB 1、CC 1折叠，使得A'A 1'与AA 1重合，构成如图2所示的三棱柱ABC －A 1B 1C 1．（1）在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，求证：AB ⊥平面BCC 1B 1；（2）求平面APQ 将三棱柱ABC －A 1B 1C 1分成上、下两部分几何体的体积之比．7．如图，在四棱锥P －ABCD 中，CD ∥AB ，AD ⊥AB ，AD ＝DC ＝12AB ，BC ⊥PC ．（1）求证：P A ⊥BC ； （2）试在线段PB 上找一点M ，使CM ∥平面P AD ，并说明理由．8．如图所示，两个全等的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，CRST －图1 A B C A' A 1 B 1 C 1 A 1' PQ 图2 ABC A 1B 1C 1P QP A BCD T AB C D A 1B 1C 1D 1R 1S 1T 1 S R PQC 1R 1S 1T 1有一条公共的棱CC 1，且平面BCC 1B 1与平面CTT 1C 1在同一平面内，平面CDD 1C 1与平面CRR 1C 1在同一平面内，P 、Q 分别是棱B 1C 1、CC 1的中点． （1）求证：PQ ⊥平面CRS 1T 1； （2）求证：B 1D ∥平面BTS 1R 1．9．如图，底面为菱形的直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为A 1B 1、B 1C 1的中点，G 为DF 的中点． （1）求证：EF ⊥平面B 1BDD 1；（2）过A 1、E 、G 三点平面交DD 1于H ，求证：EG ∥A 1H ．10．在平面直角坐标系xOy 中，点P 是坐标为（0，1），直线l 1的方程为y ＝－1． （1）若动圆C 过点P 且与直线l 1相切，求动圆圆心C 的轨迹方程； （2）设A （0，a ）（a ＞2）为y 轴上的动点，B 是（1）中所求轨迹上距离A 点最近的点，求证：以AB 为直径的圆在y 轴上截得的弦长为定值，并求此定值． 11．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的上顶点为A （0，3），左、右焦点分别为B 、C ，离心率为12．（1）试求椭圆的标准方程；（2）若直线PC 的倾斜角为α，直线PB 的倾斜角为β，当β－α＝2π3时，求证：①点P 一定在经过A ，B ，C 三点的圆M 上； ②P A ＝PB ＋PC ．12．已知曲线E ：ax 2＋by 2＝1（a ＞0，b ＞0），经过点M （33，0）的直线l 与曲线E 交于点A 、B ，且MB →＝－2MA →． （1）若点B 的坐标为（0，2），求曲线E 的方程； （2）若a ＝b ＝1，求直线AB 的方程．13．要设计一容积为V 的下端为圆柱形、上端为半球形的密闭储油罐，已知圆柱侧面的单位面积造价是下底面的单位面积造价的一半，而顶部半球面的单位面积造价又是圆柱侧面的单位面积的造价的一半，问储油罐的下部圆柱的底面半径R 为何值时造价最低？14．某公司为了加大产品的宣传力度，准备立一块广告牌，在其背面制作一个形如△ABC 的支架，要求∠ACB ＝60°，BC 的长度大于1米，且AC 比AB 长0.5米．为节省材料，要求AC 的长度越短越好，求AC 的最短长度，且当AC 最短时，BC 的长度为多少米？BCAC A B A 1 B 1 C 1D 1E G FDH15．直角走廊的示意图如图所示，其两边走廊的宽度均为2m ．（1）过点P 的一条直线与走廊的外侧两边交于A ，B 两点，且与走廊的一边的夹角为θ (0＜θ＜π2)，试用θ 表示线段AB 的长度l (θ )；（2）一根长度为5m 的铁棒能否水平（铁棒与地面平行）通过该直角走廊？并请说明理由（铁棒的粗细忽略不计）．16．已知各项均为实数的数列{a n }是公差为dS 4＝2S 2＋8． （1）求公差d 的值；（2）若数列{a n }的首项的平方与其余各项之和不超过10，则这样的数列至多有多少项； （3）请直接写出满足（2）的项数最多时的一个数列（不需要给出演算步骤）．17．（1）已知函数f (x )＝x x ＋1．数列{a n }满足：a n ＞0，a 1＝1，且a n ＋1＝f (a n )，记数列{b n }的前n 项和为S n ，且S n ＝22[1a n ＋(2＋1)n ]．求数列{b n }的通项公式；并判断b 4＋b 6是否仍为数列{b n }中的项？若是，请证明；否则，说明理由． （2）设数列{c n }是首项为c 1，公差d ≠0的等差数列．求证：“数列{c n }中任意不同两项之和仍为数列{c n }中的项”的充要条件是“存在整数m ≥－1，使c 1＝md ”．18．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋a n ＋1＝2n(n ∈N*)，b n ＝3a n ． （1）试证数列{a n －13³2n }是等比数列，并求数列{b n }的通项公式．（2）在数列{b n }中，是否存在连续三项成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项；若不存在，说明理由．（3）①试证在数列{b n }中，一定存在满足条件1＜r ＜s 的正整数r ，s ，使得b 1，b r ，b s 成等差数列；并求出正整数r ，s 之间的关系．②在数列{b n }中，是否存在满足条件1＜r ＜s ＜t 的正整数r ，s ，t ，使得b 1，b r ，b s ，b t 成等差数列？若存在，确定正整数r ，s ，t 之间的关系；若不存在，说明理由．19．已知函数f （x ）＝|x |x ＋2． （1）判断函数f （x ）在区间（0，＋∞）上的单调性，并加以证明；（2）如果关于x 的方程f （x ）＝kx 2有四个不同的实数解，求实数k 的取值范围． 20．对于定义在区间D 上的函数f (x )，若存在闭区间[a ，b ]⊆D 和常数c ，使得对任意x 1∈[a ，b ]，都有f (x 1)＝c ，且对任意x 2∈D ，当x 2∉[a ，b ]时，f (x 2)＞c 恒成立，则称函数f (x )为区间D 上的“平底型”函数．（1）判断函数f 1(x )＝|x －1|＋|x －2|和f 2(x )＝x ＋|x －2|是否为R 上的“平底型”函数？并说明理由； （2）若函数g (x )＝mx ＋x 2＋2x ＋n 是区间[－2，＋∞)上的“平底型”函数，求m 和n 的值． 21．设定义在R 上的奇函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d ，a ，b ，c ，d ∈R ．当x ＝－1时，f (x )取得极大值23．（1）求函数y ＝f (x )的表达式；（2）判断函数y ＝f (x )的图象上是否存在两点，使得以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标在区间[－2，2]上，并说明理由； （3）设x n ＝1－2－n ，y m ＝2(3－m－1)（m ，n ∈N*），求证：|f (x n )－f (y m )|＜43．南京市2010届高三数学考前综合训练题参考答案1．①、②、③、④．2．(1)因为a 与b 互相垂直，所以a ·b ＝0．所以sin θ－2cos θ＝0，即sin θ＝2cos θ．因为sin 2θ＋cos 2θ＝1，所以（2cos θ）2＋cos 2θ＝1．解得cos 2θ＝15．则sin 2θ＝45．因为θ∈(0，π2)，所以sin θ＞0，cos θ＞0，所以sin θ＝255，cos θ＝55．(2)因为0＜ϕ＜π2，0＜θ＜π2，所以－π2＜θ－ϕ＜π2，所以cos(θ－ϕ)＝1－sin 2(θ－ϕ)＝31010，所以cos ϕ＝cos[θ－(θ－ϕ)]＝cos θcos(θ－ϕ)＋sin θsin(θ－ϕ)＝22．所以ϕ＝π4． 3．(1)因为A 、B 、C 为△ABC 的内角，B ＝π3，cos A ＝45，所以C ＝2π3－A ，sin A ＝35．所以sin C ＝sin(2π3－A )＝32cos A ＋12sin A ＝3＋4310．(2)由(1)，知sin A ＝35，sin C ＝3＋4310．因为B ＝π3，b ＝3，所以在△ABC 中，a ＝b sin A sin B ＝65．所以△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×653×3＋4310＝36＋9350．4．（1）由余弦定理及条件，得a 2＋b 2－ab ＝4，12ab sin C ＝3，即ab ＝4．联立方程组⎩⎨⎧a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4．解得a ＝2，b ＝2．（2）由题意，得32＋sin(2π3－2A )＝2sin2A ．即sin(2A －π6)＝12． 因为A ∈(0，2π3)，所以2A －π6∈(－π6，7π6)．所以2A －π6＝π6或2A －π6＝5π6．则A ＝π6，或A ＝π2．5．（1）因为A ，B ，C 成等差数列，所以B ＝π3．因为AB →²BC →＝－32，所以ac cos(π－B )＝－32，所以12ac ＝32，即ac ＝3．因为b ＝3，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，所以a 2＋c 2－ac ＝3，即(a ＋c )2－3ac ＝3． 所以(a ＋c )2＝12，所以a ＋c ＝23．（2）2sin A －sin C ＝2sin(2π3－C )－sin C ＝2(32cos C ＋12sin C )－sin C ＝3cos C ．因为0＜C ＜2π3，所以3cos C ∈（－32，3）．所以2sin A －sin C 的取值范围是（－32，3）． 6．(1)证明：在正方形AA'A 1'A 1中，因为A 'C ＝AA '－AB －BC ＝5，所以三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面三角形ABC 的边AC ＝5． 因为AB ＝3，BC ＝4，所以AB 2＋BC 2＝AC 2．所以AB ⊥BC ． 因为四边形AA'A 1'A 1为正方形，BB 1//AA 1，所以AB ⊥BB 1．而BC ∩BB 1＝B ，BC ⊂平面BCC 1B 1，BB 1⊂平面BCC 1B 1，所以AB ⊥平面BCC 1B 1． (2)解：因为AB ⊥平面BCC 1B 1，所以AB 为四棱锥A －BCQP 的高． 因为四边形BCQP 为直角梯形，且BP ＝AB ＝3，CQ ＝AB ＋BC ＝7，所以梯形BCQP 的面积为S BCQP ＝12(BP ＋CQ )×BC ＝20．所以四棱锥A －BCQP 的体积V A －BCQP ＝13S BCQP ×AB ＝20．由(1)，知BB 1⊥AB ，BB 1⊥BC ，且AB ∩BC ＝B ，AB ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ． 所以BB 1⊥平面ABC ．所以三棱柱ABC －A 1B 1C 1为直棱柱． 所以三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积为V ABC －A 1B 1C 1＝S △ABC ×BB 1＝72．故平面APQ 将三棱柱ABC －A 1B 1C 1分成上、下两部分的体积之比为72－2020＝135．7．（1）证法一：连结AC ，在四边形ABCD 中，AD ⊥AB ，CD ∥AB ，所以AD ⊥CD ．设AD ＝a ．因为AD ＝DC ＝12AB ，所以CD ＝a ，AB ＝2a ．在△ADC 中，∠ADC ＝90︒，AD ＝DC ，所以∠DCA ＝∠DAC ＝45︒，AC ＝2a ． 在△ACB 中，AB ＝2a ，AC ＝2a ，∠CAB ＝45︒，所以BC ＝AC 2＋AB 2－2AB ⋅AC ⋅cos ∠CAB ＝2a ．所以AC 2＋BC 2＝AB 2．所以AC ⊥BC ． 又因为BC ⊥PC ，AC ⊂平面P AC ，PC ⊂平面P AC ，AC ∩PC ＝C ， 所以BC ⊥平面P AC ．因为P A ⊂平面P AC ，所以P A ⊥BC ． 证法二：连结AC ，过C 作CE ⊥AB ，垂足为E ． 在四边形ABCD 中，AD ⊥AB ，CD ∥AB ，AD ＝DC ，所以四边形ADCE 为正方形．所以∠ACD ＝∠ACE ＝45︒．因为AE ＝CD ＝12AB ，所以BE ＝AE ＝CE ．所以∠BCE ＝45︒．所以∠ACB ＝∠ACE ＋∠BCE ＝45︒＋45︒＝90︒．所以AC ⊥BC ． 又因为BC ⊥PC ，AC ⊂平面P AC ，PC ⊂平面P AC ，AC ∩PC ＝C ， 所以BC ⊥平面P AC ．因为P A ⊂平面P AC ，所以P A ⊥BC ． （2）当M 为PB 中点时，CM ∥平面P AD ． 证法一：取AP 中点F ，连结CM ，FM ，DF ． 则FM ∥AB ，FM ＝12AB ．因为CD ∥AB ，CD ＝12AB ，所以FM ∥CD ，FM ＝CD ．所以四边形CDFM 为平行四边形．所以CM ∥DF ． 因为DF ⊂平面DAP ，CM ⊂/平面P AD ，所以CM ∥平面P AD ．证法二：在四边形ABCD 中，设BC 的延长线与AD 的延长线交于点Q ，连结PQ ，CM ． 因为CD ∥AB ，所以∠QCD ＝∠QBA ．因为∠CQD ＝∠BQA ．所以△CQD ∽△BQA ．所以QC QB ＝CD AB ＝12．所以C 为BQ 的中点．因为M 为BP 的中点，所以CM ∥PQ ．因为PQ ⊂平面P AD ，CM ⊂/平面P AD ，所以CM ∥平面P AD ．证法三：取AB 中点E ，连结EM ，CE ，CM ．在四边形ABCD 中，CD ∥AB ，CD ＝12AB ，E 为AB 的中点，所以AE ∥DC ，且AE ＝DC ．所以四边形AECD 为平行四边形．所以CE ∥DA ． 因为DA ⊂平面P AD ，CE ⊂/平面P AD ，所以CE ∥平面P AD ． 同理，根据E ，M 分别为BA ，BP 的中点，得EM ∥平面P AD ． 因为CE ⊂平面CEM ，ME ⊂平面CEM ，CE ∩EM ＝E ， 所以平面CEM ∥平面P AD ，因为CM ⊂平面CEM ，所以CM ∥平面P AD ．8．（1）连接B 1C ， 因为P 、Q 分别是棱B 1C 1、CC 1的中点，所以PQ ∥B 1C ． 因为平面BCC 1B 1与平面CTT 1C 1在同一平面内，所以CR ⊥平面BCC 1B 1， 又因为B 1C ⊂平面BCC 1B 1，所以CR ⊥B 1C ．因为PQ ∥B 1C ，所以PQ ⊥CR ． 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，CRST －C 1R 1S 1T 1中，∠B 1CC 1＝∠C 1CT 1＝45°， 所以∠B 1CT 1＝90°，即CT 1⊥B 1C ．因为PQ ∥B 1C ，所以PQ ⊥CT 1． 又因为CR ∩CT 1＝C ，CR ⊂平面CRS 1T 1，CT 1⊂平面CRS 1T 1， 所以PQ ⊥平面CRS 1T 1． （2）连接B 1R 1、DT 、D 1T 1．因为DD 1＝∥TT 1， 所以DD 1T 1T 为平行四边形，则DT ＝∥D 1T 1．由题意知C 1为D 1R 1，B 1T 1的中点，所以B 1R 1＝∥D 1T 1，则DT ＝∥ B 1R 1． 所以DTR 1B 1为平行四边形，则B 1D ∥TR 1． 又因为B 1D ⊂/平面BTS 1R 1， TR 1⊂平面BTS 1R 1，所以B 1D ∥平面BTS 1R 1． 说明：关注几个图形的组合体中各种线面关系的研究．PA BC DM FE PA C D MQT ABCDA 1B 1C 1D 1R 1S 1T 1SRP Q9．（1）因为E 、F 分别为A 1B 1、B 1C 1的中点，所以EF ∥A 1C 1，因为底面A 1B 1C 1D 1为菱形，所以A 1C 1⊥B 1D 1，所以EF ⊥B 1D 1． 因为直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1，所以DD 1⊥平面A 1B 1C 1D 1， 又因为EF ⊂平面A 1B 1C 1D 1，所以DD 1⊥EF ．又B 1D 1∩DD 1＝D 1，B 1D 1⊂平面B 1BDD 1，DD 1⊂平面B 1BDD 1，所以EF ⊥平面B 1BDD 1． （2）延长FE 交D 1A 1的延长线于点H ，连接DH ，因为E 、F 分别为A 1B 1、B 1C 1的中点， 所以△EFB 1≌△EHA 1，所以HE ＝EF ，在△FDH 中，因为G 、F 分别为DF 、HF 的中点， 所以GE ∥DH ． 又GE ⊂/平面AA 1D 1D ，DH ⊂平面AA 1D 1D ，故EG ∥平面AA 1D 1D ．因为过A 1、E 、G 三点平面交DD 1于M ， 所以面A 1MGE ∩面AA 1D 1D ＝A 1M ，EG ⊂面A 1MGE ，所以EG ∥A 1M ．10．（1）由抛物线的定义得：圆心C 的轨迹是以（0，1）为焦点，y ＝－1为准线的抛物线，所以动圆圆心C 的轨迹方程x 2＝4y ． （2）设点B （x ，y ）（y ≥0），则x 2＝4y ．因为A （0，a ）（a ＞2）， 所以AB 2＝x 2＋(y －a )2＝4y ＋y 2－2ay ＋a 2＝y 2＋2 (2－a )y ＋a 2．对称轴y ＝a －2＞0，所以当y ＝a －2时，AB 取得最小值，此时点B （±2a －2，a －2）． 以AB 为直径的圆M 的圆心M 为（±a －2，a －1），半径r 2＝a －2＋1＝a －1． 圆心M 到y 轴的距离为d ＝|±a －2|＝a －2， 则圆M 在y 轴上截得的弦长为2r 2－d 2＝2．所以以AB 为直径的圆在y 轴上截得的弦长为定值2． 11．（1）因为b ＝3，c a ＝12，b 2＋c 2＝a 2，解得a 2＝12，b 2＝9，c 2＝3，所以椭圆的标准方程为x 212＋y 29＝1．（2）①因为B （－3，0），C （3，0），A （0，3），所以△ABC 为等边三角形． 经过A ，B ，C 三点的圆M 的方程为x 2＋(y －1)2＝4，即x 2＋y 2－2y ＝3．设点P （x ，y ），则k PC ＝tan α＝y x －3，k PB ＝tan β＝yx ＋3．因为β－α＝2π3，所以tan(β－α)＝－3．因为tan(β－α)＝tan β－tan α1＋tan αtan β＝－23y x 2＋y 2－3，所以－23yx 2＋y 2－3＝－3．化简得x 2＋y 2－2y ＝3．所以点P 一定在经过A ，B ，C 三点的圆M 上．②P A 2＝x 2＋(y －3)2＝x 2＋y 2－6y ＋9，因为x 2＋y 2＝3＋2y ，所以P A 2＝12－4y ． PB 2＝(x －3)2＋y 2＝2y ＋6－23x ，PC 2＝(x ＋3)2＋y 2＝2y ＋6＋23x ， 2PB ³PC ＝24(y ＋3)2－12x 2＝4(y ＋3)2－3x 2，因为3x 2＝9－3y 2＋6y ， 所以2PB ³PC ＝44y 2，由于y ＜0，所以2 PB ³PC ＝－8y ，从而(PB ＋PC )2＝PB 2＋2 PB ³PC ＋PC 2＝4y ＋12－8y ＝12－4y ＝P A 2． 所以P A ＝PB ＋PC ．12．（1）设A (x 0，y 0)，因为B (0，2)，M (33，0)，故MB →＝(－33，2)，MA →＝(x 0－33，y 0)． 因为MB →＝－2MA →，所以(－33，2)＝－2(x 0－33，y 0)．所以x 0＝32，y 0＝－1．即A (32，－1)． 因为A ，B 都在曲线E 上，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ⋅02＋b ⋅22＝1，a ⋅(32)2＋b ⋅(－1)2＝1．解得a ＝1，b ＝14． 所以曲线E 的方程为x 2＋y 24＝1．（2）（法一）当a ＝b ＝1时，曲线E 为圆：x 2＋y 2＝1．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．CAB A 1 B 1C 1D 1E GF HD M因为MB →＝－2MA →，所以(x 2－33，y 2) ＝－2(x 1－33，y 1)，即⎩⎨⎧2x 1＋x 2＝3， y 2＝－2y 1．设线段AB 的中点为T ，则点T 的坐标为(x 1＋x 22，y 1＋y 22)，即(3－x 12，－y 12)．所以−→OT ＝(3－x 12，－y 12)，−→AB ＝(x 2－x 1，y 2－y 1)＝(3－3x 1，－3y 1)．因为OT ⊥AB ，所以−→OT ⋅−→AB ＝0，即3－43x 1＋3x 21＋3y 21＝0． 因为x 21＋y 21＝1，所以x 1＝32，y 1＝±12． 当点A 的坐标为(32，－12)时，对应的点B 的坐标为(0，1)，此时直线AB 的斜率 k ＝－3，所求直线AB 的方程为y ＝－3x ＋1； 当点A 的坐标为(32，12)时，对应的点B 的坐标为(0，－1)，此时直线AB 的斜率k ＝3， 所求直线AB 的方程为y ＝3x －1．（法二）当a ＝b ＝1时，曲线E 为圆：x 2＋y 2＝1．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．因为MB →＝－2MA →，所以(x 2－33，y 2) ＝－2(x 1－33，y 1)，即⎩⎨⎧2x 1＋x 2＝3， y 2＝－2y 1．因为点A ，B 在圆上，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋y 21＝1，……①x 22＋y 22＝1，……②由①³4－②，得(2x 1＋x 2)(2x 1－x 2)＝3．所以2x 1－x 2＝3，解得x 1＝32，x 2＝0． 由x 1＝32，得y 1＝±12．（以下同方法一） （法三）如图，设AB 中点为T ． 则TM ＝TA －MA ＝16AB ，OM ＝33．根据Rt △OTA 和Rt △OTM ，得⎩⎪⎨⎪⎧TM 2＋OT 2＝13，TA 2＋OT 2＝1． 即⎩⎨⎧136AB 2＋OT 2＝13，14AB 2＋OT 2＝1．解得AB ＝3，OT ＝12．所以在Rt △OTM 中，tan ∠OMT ＝OT TM ＝3．所以k AB ＝－3或3．所以直线AB 的方程为y ＝－3x ＋1或y ＝3x －1．13．设圆柱的高为h ，下底面单位面积的造价为a ．则V ＝πR 2h ＋23πR 3．所以h ＝V πR 2－23R ．因为h ＞0，所以0＜R ＜33V2π．设总造价为y ， 则y ＝πR 2⋅a ＋2πRh ⋅a 2＋2πR 2⋅a 4＝πa (32R 2＋Rh )＝a (32πR 2＋V R －23πR 2)＝a (56πR 2＋VR)．y '＝a (53πR －V R 2)＝5π aR 3－3a V 3R 2．令y '＝0得R ＝33V5π，当R ∈(0，33V5π）时，y '＜0，y 为减函数； 当R ∈(33V 5π，33V2π)时，y '＞0，y 为增函数．所以当R ＝33V5π时，y 有最小值．答：当储油罐的下部圆柱的底面半径R ＝33V5π时，造价最低． 14．设BC ＝x 米（x ＞1），AC ＝y 米，则AB ＝y －12．在△ABC 中，由余弦定理，得(y －12)2＝y 2＋x 2－2xy cos60︒．所以y ＝x 2－14x －1（x ＞1）．法一：y ＝x 2－14x －1＝(x －1)＋34(x －1)＋2≥2＋3．当且仅当x －1＝34(x －1)，即x ＝1＋32时，y 有最小值2＋3．法二： y ′＝2x (x －1)－(x 2－14)(x －1)2＝x 2－2x ＋14(x －1)2． 由y ′＝0得x ＝1＋32．因为当1＜x ＜1＋32时，y ′＜0；当x ＞1＋32时，y ′＞0， 所以当x ＝1＋32时，y 有最小值2＋3． 答：AC 的最短长度为2＋3米，此时BC 的长度为（1＋32）米． 15．（1）l (θ)＝2sin θ＋2cos θ,，θ∈(0，π2)．（2）法一：铁棒能水平通过该直角走廊．理由如下：l '(θ)＝⎝⎛⎭⎫2sin θ'＋⎝⎛⎭⎫2cos θ'＝0⋅sin θ－2⋅cos θsin 2θ＋0⋅cos θ＋2⋅sin θcos 2θ＝2(sin 3θ－cos 3θ)sin 2θcos 2θ．令l '(θ)＝0得，θ＝π4．当0＜θ＜π4时，l '(θ)＜0，l (θ)为减函数；当π4＜θ＜π2时，l '(θ)＞0，l (θ)为增函数．所以当θ＝π4时，l (θ)有最小值42． 因为42＞5．所以该铁棒能水平通过该直角走廊． 法二：铁棒能水平通过该直角走廊．理由如下：l 2(θ)＝⎣⎡⎦⎤2(sin θ＋cos θ)sin θ⋅cos θ2＝4(1＋2sin θcos θ)sin 2θcos 2θ＝4(sin θcos θ)2＋8sin θcos θ＝4⎝⎛⎭⎫1sin θcos θ＋12－4＝4⎝⎛⎭⎫2sin2θ＋12－4．因为θ∈(0，π2)，所以2θ∈(0，π)，所以当2θ＝π2，即θ＝π4时，2sin2θ有最小值2．所以l 2(θ)有最小值32．l (θ)有最小值42．因为42＞5．所以该铁棒能水平通过该直角走廊． 16．（1）d ＝2；（2）考虑到d ＝2，且首项的平方与其余各项之和不超过10，所以可用枚举法研究．①当a 1＝0时， 02＋d ＋2d ＝0＋2＋4≤10，而02＋d ＋2d ＋3d ＝0＋2＋4＋6＞10，此时，数列至多3项； ②当a 1＞0时，可得数列至多3项；③当a 1＜0时，a 12＋a 1＋d ＋a 1＋2d ＋a 1＋3d ≤10，即a 12＋3a 1＋2≤0，此时a 1有解． 而a 12＋a 1＋d ＋a 1＋2d ＋a 1＋3d ＋a 1＋4d ≤10，即a 12＋4a 1＋10≤0，此时a 1无解． 所以a 1＜0时，数列至多有4项．（3）a 1＝－1时，数列为：－1，1，3，5；或a 1＝－2时，数列为：－2，0，2，4．17．(1)因为a n ＋1＝f (a n )＝a n a n ＋1，所以1a n ＋1＝1a n ＋1，即1a n ＋1－1a n ＝1．因为1a 1＝1，所以1a n＝1＋(n －1)＝n ，即a n ＝1n 2．因为S n ＝22[1a n ＋(2＋1)n ]＝22n 2＋(1＋22)n ，当n ＝1时，S 1＝b 1＝2＋1，当n ≥2时，b n ＝S n －S n －1＝1＋2n ， 所以b n ＝2n ＋1(n ∈N *)．所以b 4＋b 6＝42＋1＋62＋1＝102＋2． 令b t ＝102＋2(t ∈N *)，则102＋2＝2t ＋1，得t ＝10＋22与t ∈N *矛盾， 所以b 4＋b 6不在数列{b n }中．(2)充分性：若存在整数m ≥－1，使c 1＝md ．设c r ，c t 为数列{c n }中不同的两项， 则c r ＋c t ＝c 1＋(r －1)d ＋c 1＋(t －1)d ＝c 1＋(r ＋m ＋t －2)d ＝c 1＋[(r ＋m ＋t －1)－1]d 又r ＋t ≥3且m ≥－1，所以r ＋m ＋t －1≥1． 即c r ＋c t 是数列{c n }的第r ＋m ＋t －1项．必要性：若数列{c n }中任意不同两项之和仍为数列{c n }中的项， 则c s ＝c 1＋(s －1)d ，c t ＝c 1＋(t －1)d ，(s ，t 为互不相同的正整数)． 则c s ＋c t ＝2c 1＋(s ＋t －2)d ．令c s ＋c t ＝c l ，得，2c 1＋(s ＋t －2)d ＝c 1＋(l －1)d (s ，t ，l ∈N *)，所以c 1＝(l －s －t ＋1)d ． 令整数m ＝l －s －t ＋1，所以c 1＝md ．下证整数m ≥－1．若整数m ＜－1，则－m ≥2．令k ＝－m ，由题设取c 1，c k 使c 1＋c k ＝c r (r ≥1)， 即c 1＋c 1＋(k －1)d ＝c 1＋(r －1)d ，所以md ＋(－m －1)d ＝(r －1)d ， 即rd ＝0与r ≥1，d ≠0相矛盾，所以m ≥－1．综上数列{c n }中任意不同两项之和仍为数列{c n }中的项的充要条件是存在整数m ≥－1， 使c 1＝md ．18．(1)由a n ＋a n ＋1＝2n ，得a n ＋1＝2n －a n ，所以a n ＋1－13³2n ＋1a n －13³2n ＝2n －a n －13³2n ＋1a n －13³2n ＝－(a n －13³2n )a n －13³2n ＝－1．又因为a 1－23＝13，所以数列{a n －13³2n }是首项为13,公比为－1的等比数列．所以a n －13³2n ＝13³(－1)n －1,即a n ＝13[2n －(－1)n ]，所以b n ＝2n －(－1)n ．(2)假设在数列{b n }中，存在连续三项b k －1，b k ，b k ＋1(k ∈N*, k ≥2)成等差数列，则b k －1＋b k ＋1＝2b k ，即[2k －1－(－1)k －1]＋[2k＋1－(－1)k ＋1]＝2[2k －(－1)k ]，即2k －1＝4(－1)k －1]．①若k 为偶数，则2k －1＞0，4(－1)k －1＝－4＜0，所以，不存在偶数k ，使得b k －1，b k ，b k ＋1成等差数列． ②若k 为奇数，则当k ≥3时，2k －1≥4，而4(－1)k －1＝4，所以，当且仅当k ＝3时，b k －1，b k ，b k ＋1成等差数列．综上所述，在数列{b n }中，有且仅有连续三项b 2，b 3，b 4成等差数列． (3)①要使b 1，b r ，b s 成等差数列，只需b 1＋b s ＝2b r ，即3＋2s －(－1)s ＝2[2r －(－1)r ]，即2s －2r ＋1＝(－1)s －2(－1)r －3， (﹡)(ⅰ)若s ＝r ＋1，在(﹡)式中，左端2s －2r ＋1＝0，右端(－1)s －2(－1)r －3＝(－1)s ＋2(－1)s －3＝3(－1)s －3，要使(﹡)式成立，当且仅当s 为偶数时成立．又s ＞r ＞1，且s ，r 为正整数， 所以当s 为不小于4的正偶数，且s ＝r ＋1时，b 1，b r ，b s 成等差数列． (ⅱ)若s ≥r ＋2时，在(﹡)式中，左端2s －2r ＋1≥2r ＋2－2r ＋1＝2r ＋1，由(2)可知，r ≥3，所以r ＋1≥4，所以左端2s －2r ＋1≥16(当且仅当s 为偶数、r 为奇数时取“＝”)；右端(－1)s －2(－1)s－3≤0．所以当s ≥r ＋2时，b 1，b r ，b s 不成等差数列．综上所述，存在不小于4的正偶数s ，且s ＝r ＋1，使得b 1，b r ，b s 成等差数列． ②假设存在满足条件1＜r ＜s ＜t 的正整数r ，s ，t ，使得b 1，b r ，b s ，b t 成等差数列．首先找到成等差数列的3项：由第(3)小题第①问，可知，b 1，b 2n －1，b 2n (n ∈N*，且n ≥2)成等差数列，其公差d ＝b 2n －b 2n－1＝[22n －(－1)2n ]－[22n －1－(－1)2n －1]＝22n －1－2．所以b t ＝b 2n ＋d ＝22n －(－1)2n ＋22n －1－2＝3³22n －1－3．又b t ＝2t －(－1)t ，所以3³22n －1－3＝2t －(－1)t ，即2t －3³22n －1＝(－1)t －3． (﹡﹡)因为t ＞2n ＞2n －1，所以t ≥2n ＋1，所以(﹡﹡)式的左端2t －3³22n －1≥22n ＋1－3³22n －1＝22n －1≥8，而(﹡﹡)式的右端(－1)t －3≤－2，所以(﹡﹡)式不成立．综上所述，不存在满足条件1＜r ＜s ＜t 的正整数r ，s ，t ，使b 1，b r ，b s ，b t 成等差数列． 19．（1）方法一：因为f (x )＝|x |x ＋2，所以当x ＞0时，f (x )＝x x ＋2． 因为当x ＞0时f ′(x )＝2(x ＋2)2＞0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增．方法二：因为f (x )＝|x |x ＋2，所以当x ＞0时，f (x )＝xx ＋2．在(0，＋∞)上任取x 1，x 2，使0＜x 1＜x 2，f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2(x 1－x 2)(x 1＋2) (x 2＋2)．因为x 1＋2＞0，x 2＋2＞0，x 1－x 2＜0，所以f (x 1)－f (x 2)＜0．所以f (x 1)＜f (x 2)． 所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增．（2）方法一：原方程即为|x |x ＋2＝kx 2…………(*)．①x ＝0恒为方程*的一个解．②当x ＜0且x ≠－2时方程*有解，则－x x ＋2＝kx 2，k ＝1－x 2－2x ．设g (x )＝1－x 2－2x ，h (x )＝k ．g ′(x )＝2x ＋2(－x 2－2x )2，所以令g ′(x )＜0，得x ＜－1且x ≠－2；g ′(x )＞0，得－1＜x ＜0．所以g (x )在(－∞，－2)和(－2，－1)上单调递减，在(－1，0)上单调递增． 而g (－1)＝1，所以当x ∈(－∞，－2)时，g (x )∈(－∞，0)； 当x ∈(－2，0)时，g (x )∈[1，＋∞)．当x ＞0时方程*有解，则x x ＋2＝kx 2，k ＝1x 2＋2x．设g (x )＝1x 2＋2x ，h (x )＝k ．因为g ′(x )＝－2x －2(x 2＋2x )2，x ＞0，所以g ′(x )＜0．所以g (x )在(0，＋∞)上单调递减．又当x ∈(0，＋∞)时，g (x )＞0．所以当x ∈(0，＋∞)时，g (x )∈(0，＋∞)． 所以k ∈(1，＋∞)时，函数g (x )与h (x )的图象有三个交点． 所以当k ∈(1，＋∞)时，方程f (x )＝kx 2有四个不同的实数解．方法二：原方程即为|x |x ＋2＝kx 2…………(*)．①x ＝0恒为方程*的一个解．②x ≠0且x ≠－2时方程*有解，即当x ＞0时，k ＝1x 2＋2x有解；当x ＜0且x ≠－2时，k ＝1－x 2－2x有解．所以k ≠0．设函数h (x )＝1k ，g (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x ，x ＞0，－x 2－2x ，x ＜0且x ≠－2．因为g (x )＝⎩⎨⎧(x ＋1)2－1，x ＞0，－(x +1)2＋1，x ＜0且x ≠－2．所以当x ∈(－∞，－2)和(－2，－1)时，函数g (x )单调递增；当x ∈(－1，0)时，函数g (x )单调递减；当x ∈(0，＋∞)时，函数g (x )单调递增． 所以当x ∈(－∞，－2)时，g (x )∈(－∞，0)；当x ∈(－2，0)时，g (x )∈(0，1]；当x ∈(0，＋∞)时，g (x )∈(0，＋∞)．所以当1k∈(0，1)时，即k ∈(1，＋∞)时，函数g (x )与h (x )的图象有三个交点．综上可得，当k ∈(1，＋∞)时，方程f (x )＝kx 2有四个不同的实数解． 20．（1）对于函数f 1(x )＝|x －1|＋|x －2|，当x ∈[1，2]时，f 1(x )＝1．当x ＜1或x ＞2时，f 1(x )＞|(x －1)－(x －2)|＝1恒成立，故f 1(x )是“平底型”函数． 对于函数f 2(x )＝x ＋|x －2|，当x ∈(－∞，2]时，f 2(x )＝2；当x ∈(2，＋∞)时， f 2(x )＝2x －2＞2．所以不存在闭区间[a ，b ]，使当x ∉[a ，b ]时，f (x )＞2恒成立． 故f 2(x )不是“平底型”函数．（2）因为函数g (x )＝mx ＋x 2＋2x ＋n 是区间[－2，＋∞)上的“平底型”函数， 则存在区间[a ，b ] ⊆[－2，＋∞)和常数c ，使得mx ＋x 2＋2x ＋n ＝c 恒成立.所以x 2＋2x ＋n ＝(mx －c )2恒成立，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝1，－2mc ＝2， c 2＝n ．解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，c ＝－1，n ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，c ＝1，n ＝1． 当⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，c ＝－1，n ＝1时，g (x )＝x ＋|x ＋1|． 当x ∈[－2，－1]时，g (x )＝－1，当x ∈(－1，＋∞)时，g (x )＝2x ＋1>－1恒成立． 此时g (x )是区间[－2，＋∞)上的“平底型”函数．当⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，c ＝1，n ＝1时，g (x )＝－x ＋|x ＋1|． 当x ∈[－2，－1]时，g (x )＝－2x －1≥1，当x ∈(－1，＋∞)时，g (x )＝1． 此时，g (x )不是区间[－2，＋∞)上的“平底型”函数．所以m ＝1，n ＝1．21．（1）因为函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )对x ∈R 恒成立，则b ＝d ＝0．所以f (x )＝ax 3＋cx ．因为当x ＝－1时，f (x )取得极大值23，f ′(x )＝3ax 2＋c ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋c ＝0，－a －c ＝23．解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，c ＝－1．所以f (x )＝13x 3－x ． （2）存在满足题意的两点．由（1），得f ′(x )＝x 2－1．假设存在两切点(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))，x 1，x 2∈[－2，2]．则f ′(x 1)• f ′(x 2)＝－1．所以(x 21－1)(x 22－1)＝－1．因为(x 21－1)，(x 22－1)∈[－1，1]，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 21－1＝－1，x 22－1＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x 21－1＝1，x 22－1＝－1． 解得⎩⎨⎧x 1＝0，x 2＝±2，或⎩⎨⎧x 1＝±2，x 2＝0．所以两切点的坐标分别为(0，0)，(2，－23)或(0，0)，(－2，23)． （3）因为当x ∈[12，1）时，f ′(x )＜0，所以f (x )在[12，1）上递减。

2010年江苏高考数学模拟试卷(1)一、填空题:共14小题,每题5分,共70分. 1.已知集合A={x|1<2x<8,x∈R},B={x||x|<2,x∈R},则A∩B= .2.已知z=4i-zi,i为虚数单位,则复数z= .3.一位篮球运动员在最近的8场比赛中得分的茎叶图如图,则他在这8场比赛中得分的平均值是 .4.已知向量a=(1,n),b=(-1,n),若向量2a-b与向量b垂直,则|a|= .5.函数y=3x2-2alnx+a在(0,1)内有极小值,则实数a的取值范围是 .6.将一根木棒随意分成两段,较长一段的长度不超过较短一段的长度的2倍的概率是 .7.执行如图算法框图,若输入a=18,b=5,则输出的值为 .8.已知F1,F2是椭圆x2k+1+y2k=1的左、右焦点,经过F1的直线与椭圆交于A,B两点,若△ABF2的周长为12,则椭圆的离心率为 .9.曲线y=excosx在x=0处的切线方程为 .10.已知正四面体的表面积为43,则该四面体的体积为 .11.若函数f(x)=a-x+x+a2-2是偶函数,则实数a的值为 .12.用f(n)表示自然数n的各位数字的和,例如f(20)=2+0=2,f(2009)=2+0+0+9=11,若对任意n∈N,都有n+f(n)≠x,满足这个条件的最大的两位数x的值是 .13.函数y=23sinxcosx-cos2x+sin2x的图象在[0,m]上恰好有两个点的纵坐标为1,则实数m的取值范围是 .14.已知定义在R上的函数F(x)满足F(x+y)=F(x)+F(y),当x>0时,F(x)0且a≠1)图象的一部分.根据专家研究,当注意力指数p大于80时听课效果最佳.(1)试求p=f(t)的函数关系式;(2)老师在什么时段内安排核心内容能使得学生听课效果最佳?请说明理由.第17题18.已知圆C:(x+2)2+y2=4,相互垂直的两条直线l1、l2都过点A(a,0).(Ⅰ)若l1、l2都和圆C相切,求直线l1、l2的方程;(Ⅱ)当a=2时,若圆心为M(1,m)的圆和圆C外切且与直线l1、l2都相切,求圆M的方程;(Ⅲ)当a=-1时,求l1、l2被圆C所截得弦长之和的最大值.19.已知数列{an}的通项公式为an=nn+a(n,a∈N*).(1)若a1,a3,a15成等比数列,求a的值;(2)是否存在k(k≥3且k∈N),使得a1,a2,ak成等差数列,若存在,求出常数a的值;若不存在,请说明理由;(3)求证:数列中的任意一项an总可以表示成数列中的其他两项之积.20.已知正方形ABCD的中心在原点,四个顶点都在曲线y=ax3+bx上.(1)若正方形的一个顶点为(2,1),求a、b的值;(2)若a=1,求证:b=-22是正方形ABCD唯一确定的充要条件.数学附加题21.【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题,每小题10分,共计20分.A.选修4-1:几何证明选讲如图,圆O是△ABC的外接圆,过点C的切线交AB的延长线于点D,CD=210,AB=BC=3,求BD以及AC的长.B.选修4-2:矩阵与变换已知变换T把平面上的点(2,-1),(0,1)分别变换成点(0,-1),(2,-1),试求变换T对应的矩阵M.C.选修4-4:坐标系与参数方程圆C:ρ=2cos(θ-π4),与极轴交于点A(异于极点O),求直线CA的极坐标方程.D.选修4-5:不等式选讲证明:1+122+132+…+1n2 (2)连接A1B,连接A1C交AC1于点G,连接DG∵矩形A1ACC1,∴G为A1C的中点,又由(1)得D为BC的中点,∴△A1BC中,DG∥A1B又∵点E,F分别是BB1,A1B1的中点,∴△A1B1B中,EF∥A1B,∴EF∥DG,又EF?て矫?ADC1,DG?计矫?ADC1,∴EF∥平面ADC1.17.(本题满分14分)解:(1)t∈(0,14]时,设p=f(t)=c(t-12)2+82(c0,则n=mt,代入①得t(m2t2-22)+1=0即t[(t+22)t2-22]+1=0化简得(t-1t+2)2=0,又t-1t+2=0有且仅有一个正根,∴(m,n)唯一确定,即正方形ABCD唯一确定.2°必要性:若(m,n)唯一确定,则n=m3+bm-m=n3+bn,即nm=m2+b-mn=n2+b即(m2+b)(n2+b)+1=0――②令m2+b=t>0,则n=mt,代入①得t(m2t2+b)+1=0即t[(t-b)t2+b]+1=0化简得t2+1t2-b(t-1t)=0,即(t-1t)2-b(t-1t)+2=0――③又③有唯一解,∴b2=8,又∵b=-mn-n2=-25&#8226;5=-25.由于异面直线BE与AC所成的角是锐角,故其余弦值是25.(Ⅱ)AB=(2,0,-1),AE=(0,1,-1),设平面ABE的法向量为n1=(x,y,z),则由n1⊥AB,n1⊥AE,得2x-z=0,y-z=0.取n=(1,2,2),平面BEC的一个法向量为n2=(0,0,1),cos=n1&#8226;n2|n1|&#8226;|n2|=21+4+4=23.由于二面角A-BE-C的平面角是n1与n2的夹角的补角,其余弦值是-23.希望以上资料对你有所帮助，附励志名言3条：1、要接受自己行动所带来的责任而非自己成就所带来的荣耀。