高三数学应用题强化训练学生版

2021年高三强化训练（三）数学理含答案一.选择题:(共60分,每小题5分,每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求）1．已知R是实数集，，则( )A.（1，2）B. [0，2]C.D. [1，2]2．已知a＋2ii＝b－i, (a，b∈R)，其中i为虚数单位，则a＋b＝（）A.－1 B．1 C．2 D．33.“”是“函数在单调递增”的（）A.充分不必要条件B.充分必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件4．设是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则5．数列是公差不为0的等差数列，且为等比数列的连续三项，则数列的公比为（）A．B．4 C．2 D．6．已知向量a=(x－1，2)，b=(y，－4)，若a∥b，则向量与向量的夹角为（）A．45°B．60°C. 135°D．120°7．已知某个几何体的三视图如下，那么可得这个几何体的体积是（）A. B．C．D．8．若右边的程序框图输出的是，则条件①可为（）A．B．C．D．9.某铁路局近日对所属六列高速列车进行编组调度,决定将这六列高速列车编成两组,每组三列,且和两列列车不在同一小组,如果所在小组三列列车先开出,那么这六列列车先后不同的发车顺序共有( )A. 种B. 种C. 种D. 种10、已知函数有两个不同的零点，且方程有两个不同的实根，若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数的值为（）A B C D11.已知是直线上一动点，是圆：的两条切线，是切点，若四边形的最小面积是，则的值为（）A. B. C. D.12.函数若方程有且只有两个不等的实数根,则实数a的取值范围为A.(-∞,0)B.[0,1)C.(-∞,1)D.[0,+∞)第Ⅱ卷二.填空题:( 每小题5分共20分)13.设函数，其中，则展开式中的系数为14．椭圆上有一个动点P，圆E ：，过圆心E任意作一条直线与圆E交于A，B两点。

江西省赣州市赣县区第三中学2021届高三数学上学期强化训练试题第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，，则的子集共有A．个 B．个 C．个 D．个2．是虚数单位，复平面内表示的点位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．学校有3个文艺类兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，他们参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个文艺类兴趣小组的概率为A． B． C． D．4．数列中，，，，，则A． B． C． D．5．执行右面的程序框图，如果输出的的值是，则输入的的值是A． B． C．或 D．以上都不是6．直角坐标系中，点在直线上，则A． B． C． D．7．已知，、，则A． B． C． D．8．是正三棱柱，若，，则A． B． C． D．9．经过抛物线（）的焦点且倾斜角为的直线与抛物线相交于、两点，若，则A． B． C． D．10．给出下列结论：⑴某学校从编号依次为001，002，…，900的900个学生中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中有两个相邻的编号分别为053，098，则样本中最大的编号为862．⑵甲组5个数据的方差为5，乙组数据为5、6、9、10、5，那么这两组数据中较稳定的是甲．⑶若两个变量的线性相关性越强，则相关系数的值越接近于1．⑷对A 、B 、C 三种个体按3∶1∶2的比例进行分层抽样调查，若抽取的A 种个体有15个，则样本容量为30．其中，正确结论的个数是A ．B ．C ．D ． 11．直角坐标系中，双曲线的左焦点为，，是右支上的动点，则的最小值是A ．B ．C ．D ．12．已知函数，若，且，则的取值范围是A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13 ~ 21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22 ~ 23题为选考题，考生根据要求作答． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分． 13．是等比数列，若，，则数列的前项和 ．14．是边长为的正方形，、分别是、的中点，则．15．设，满足 则的取值范围是 ．（用区间表示）16．点M ，N 分别是棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中棱BC ，1CC 的中点，动点P 在正方形11BCC B （包括边界）内运动，且1//PA 面AMN ，则1PA 的长度范围为______. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分） 在如图所示的几何体中，DEAC ，AC ⊥平面BCD ，24AC DE ==，2BC =，1DC =，60BCD ∠=︒.（1）证明：BD ⊥平面ACDE ；（2）过点D 作一平行于平面ABE 的截面，画出该截面，不用说明理由，求夹在该截面与平面ABE 之间的几何体的体积.18．（本小题满分12分）物业公司为了改善某小区空气质量和居住环境，计划将小区内部的空地种植绿植，平时许多用户将私家车停在空地上，为了了解该小区居民对种植绿植的态度，在该小区中随机抽查了年龄段[)15,25[)25,35[)34,45[)45,55[)55,65[]65,75频数 5 15 20 n20 10赞成人数3 12 17 18 16 2（1）求出表格中n的值，并完成被调查人员年龄的频率分布图．（2）若从年龄在[)45,55被调查者中按照是否赞成进行分层抽样，从中抽取5人参与某项调查，然后再从这5人中随机抽取2人参加座谈会，求选出的2人中至少有1人赞成“种植绿植”的概率．19.（本小题满分12分）△的角、、的对边为、、，已知、、成等差数列，．（1）若，求；（2）若△的周长为，求△的面积．20．（本小题满分12分）直角坐标系中，椭圆（）的短轴长为，离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）斜率为且经过椭圆的右焦点的直线交椭圆于、两点，是椭圆上任意一点，若（，），证明：为定值．21．（本小题满分12分）已知函数，．（1）求函数的图象在点处的切线方程；（2）求证：．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

数学(理科)试题2021年高三下学期强化训练第二次模拟考试数学（理）试题 含答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}{}{}1,2,3,4,5,1,2,3,2,5U A B ===，则( ) A. B. C. D.2.若复数，则（ ）A. B. C. D.3.已知椭圆的标准方程为，则椭圆的焦点坐标为（ ） A. B.C. D.4.下列命题正确的是（ ）A. 函数在区间内单调递增；B. 函数的图象关于直线成轴对称图形C. 函数的最小正周期为D.函数的图象是关于点成中心对称的图形5. 已知条件；条件直线与圆相切，则是的（ ）A.充分必要条件B. 既不充分也不必要条件C. 充分不必要条件D.必要不充分条件6.已知向量()()cos ,2,sin ,1a b αα=-=，且，则等于（ ） A. B. C. 3 D.7.已知两条直线()()12:34350,:2680l m x y m l x m y +++-=++-=，且，则直线的一个方向向量是（ ）A. B. C. D.8.已知满足约束条件1,1,1,x yx yx a-≥⎧⎪+≥⎨⎪<≤⎩目标函数的最大值为10，则实数的值是（）A. 4B.C. 2D. 89.设等比数列的前项和为，若成等差数列，则数列的公比的值等于（）A. 或B. 或C.D.110.在边长为4的等边三角形的内部任取一点P，使得的概率为（）A. B. C. D.11.若有两个零点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.12.定义R上的函数满足，当时，()23 1212,01,22,12,xx xf xx--⎧-≤<⎪=⎨⎪-≤<⎩函数，若对任意，存在，不等式成立，则实数m的取值范围是（）A. B. C. D.第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第1321题为必考题，每个试题考生都必须作答，第2224题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.若()62212012121x x a a x a x a x++=+++，则.14.一个无上盖容器的三视图如下图所示，则该几何体的表面积为.15.如上右图，是一个程序框图，则输出的结果为.16.已知双曲线的左右焦点分别为，P为双曲线右支上一点，点Q的坐标为，则的最小值为.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.在三角形ABC中，已知222sin sin sin sin sin,A AB B C++=其中角A,B,C的对边分别是（1）求角C的大小；（2）求的取值范围.18.(本小题满分12分)某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中随机抽取了若干名学生的体检表，并得到如图所示的直方图：（1）若直方图中前三组的频率成等比数列，后四组的频率成等差数列，试估计全年级视力在5.0以下的人数；（2）学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对年级名次在1—50名和951—1000名的学生进行了调查，得到如下数据：年级名次 是否近视1—50 951—1000近视 41 32 不近视918根据表中数据，能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系？ （3）在（2）中调查的100名学生中，在不近视的学生中按照成绩是否在50名分层抽样抽取了9人，进一步调查他们良好的护眼习惯，并且在这9人中任取3人，记名次在1—50名的学生人数为X ，求X 的分布列和数学期望.19.(本小题满分12分)如图，在四棱锥中，底面ABCD 为正方形，AE 底面CDE ，已知AE=DE=2，F 为线段DE 的中点.（1）求证：BE//平面ACF;（2）求平面BCF 与平面BEF 夹角的余弦值.20.(本小题满分12分)已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴正半轴上，抛物线上的点到其焦点F 的距离等于5. （1）求抛物线C 的方程；（2）若正方形ABCD 的三个顶点()()()()112233123,,,,,0A x y B x y C x y x x x <≤<在抛物线上，可设直线BC 的斜率为，求正方形ABCD 面积的最小值.20.(本小题满分12分)已知函数()()2ln , 2.f x x x g x x ax ==-+-（1）求在上的最小值；（2）若函数有两个不同的极值点，且，求实数的取值范围.请考生从第22、23、24三题中任选一题作答.注意：只能做所选的题目.如果多做，则按所做的第一个题计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 22.(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲如图，在中，AB=BC ，以AB 为直径的交AC 于点D,过点D 作，垂足为E ，连结EA 交于点F. 求证：（1）DE 是的切线； （2）23.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程选讲在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线()2:sin 2cos 0C a a ρθθ=>，过点的直线的参数方程为2224x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（为参数），与C分别交于M,N 两点.（1）写出C 的平面直角坐标方程和的普通方程； （2）若成等比数列，求的值.24.(本小题满分10分)不等式选讲 设函数（1）求的最小值，并求出取最小值时的取值范围； （2）若不等式的解集为空集，求实数的取值范围.。

2021-2022年高中数学课后强化训练（含详解）2.1.3 新人教版必修3一、选择题1．某社区有500个家庭，其中高收入家庭125户，中等收入家庭280户，低收入家庭95户．为了调查社会购买力的某项指标，要从中抽取1个容量为100户的样本，记作①；某学校高一年级有12名女排运动员，要从中选出3名调查学习负担情况，记作②.那么完成上述两项调查应采用的抽样方法是( ) A．①用简单随机抽样法；②用系统抽样法B．①用分层抽样法；②用简单随机抽样法C．①用系统抽样法；②用分层抽样法D．①用分层抽样法；②用系统抽样法[答案] B[解析] 对于①，总体由高收入家庭、中等收入家庭和低收入家庭差异明显的3部分组成，而所调查的指标与收入情况密切相关，所以应采用分层抽样法．对于②，总体中的个体数较少，而且所调查内容对12名调查对象是“平等”的，所以适宜采用简单随机抽样法．2．简单随机抽样、系统抽样和分层抽样之间的共同点是( )A．都是从总体中逐个抽取B．将总体分成几部分，按事先确定的规则在各部分抽取C．抽样过程中每个个体被抽到的机会是相等的D．将总体分成几层，然后各层按照比例抽取[答案] C[解析] 由三种抽样方法的定义可知，在抽样过程中，每个个体被抽到的机会相等，∴选C.3．(08·重庆文)某校高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康情况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查，这种抽样方法是( )A．简单随机抽样法B．抽签法C．随机数表法D．分层抽样法[答案] D4．一个年级有12个班，每个班同学从1～50排学号，为了交流学习经验，要求每班学号为14的同学参加交流活动，这里运用的是什么抽样方法( ) A．分层抽样B．抽签法C．随机数表法D．系统抽样[答案] D[解析] 实际上是把总体分成12个部分，从每个部分都抽取学号为14的学生．这正是系统抽样的方法．5．某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品的数量之比依次为347.现在用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，样本中A号产品有15件，那么样本容量n为( )A．50 B．60C．70 D．80[答案] C[解析] 由分层抽样定义知，3＋4＋7n ＝315，∴n＝70，故选C.6．(09·陕西文)某单位共有老、中、青职工430人，其中青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍．为了解职工的身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为( )A．9 B．18C．7 D．36[答案] B[解析] 由题意知青、中、老职工的人数分别为160、180、90，∴三者比为16：18：9，∵样本中青年职工32人，∴老年职工人数为18，故选B.7．xx年某市共有30万公务员参加计算机等级考试，为了分析考试情况，评卷人员对其中1000名公务员的成绩进行分析，下列说法中正确的是( ) A．30万公务员是总体B．每名参加考试的公务员的考试成绩是个体C．1000名公务员是总体的一个样本D．1000名公务员是样本的容量[答案] B[解析] 30万公务员的计算机考试成绩是总体，30万是总体容量，其中每名参加考试的公务员的考试成绩是个体，1000名公务员的成绩是样本，1000是样本容量，∴选B.8．在某班元旦晚会上，现场的一个游戏要求从观众中选出5人参与，下列抽样方法最合适的是( )A．分层抽样B．系统抽样C．随机数表法D．抽签法[答案] D[解析] 元旦晚会上的游戏，该班任何一个人参与都可以，故不需要分层抽样，人数不太多不需要系统抽样，故用简单随机抽样即可，这种情形下，用抽签法更合适．9．采用分层抽样的方法抽取一个容量为45的样本，高一年级被抽取20人，高三年级被抽取10人，高二年级共有300人，则这个学校共有高中学生____人．( )A．1350 B．675C．900 D．450[答案] C[解析] 高二年级被抽取的人数为45－20－10＝15，则每层的抽样比为15300＝120，所以学生总数为45÷120＝900，即这个学校共有高中学生900人．10．某单位有老年人28人，中年人54人，青年人81人．为了调查它们的身体状况，从他们中抽取容量为36的样本，最适合抽取样本的方法是( ) A．简单随机抽样B．系统抽样C．分层抽样D．先从老年人中剔除1人，再用分层抽样[答案] D[解析] 总体总人数为28＋54＋81＝163(人)．样本容量为36，由于总体由差异明显的三部分组成，考虑用分层抽样．若按36163取样本，无法得到整解．故考虑先剔除1人，抽取比例变为36162＝29.则中年人取54×29＝12(人)，青年人取81×29＝18(人)，先从老年人中剔除1人，老年人取27×29＝6(人)，组成容量为36的样本．二、填空题11．某地区有农民、工人、知识分子家庭共计xx户，其中农民家庭1 600户，工人家庭303户．现要从中抽出容量为40的样本，则在整个抽样过程中，可以用到下列抽样方法中的________．(将你认为正确的选项的序号都填上)①简单随机抽样②系统抽样③分层抽样[答案] ①②③[解析] 为了保证抽样的合理性，应对农民、工人、知识分子分层抽样；在各层中采用系统抽样和简单随机抽样．抽样时还要先用简单随机抽样剔除多余个体．12．(08·天津文)一个单位共有职工200人，其中不超过45岁的有120人，超过45岁的有80人．为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为25的样本，应抽取超过45岁的职工________人．[答案] 1013．(09·广东文)某单位200名职工的年龄分布情况如图所示，现要从中抽取40名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按1～200编号，并按编号顺序平均分为40组(1～5号，6～10号…，196～200号)．若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是________．若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取________人．[答案] 37,20[解析] 由分组可知，抽号的间隔为5，又因为第5组抽出的号码为22，所以第8组抽出的号码为22＋(8－5)×5＝37.40岁以下年龄段的职工数为200×0.5＝100，则应抽取的人数为40200×100＝20人．14．(08·湖南文)从某地区15000位老人中随机抽取500人，其生活能否自理的情况如下表所示.男女能178278不能2321[答案] 60[解析] 男性比女性多15000500×(23－21)＝60(人)．三、解答题15．某班有40名男生，25名女生，已知男、女身高有明显不同，现欲调查平均身高．准备抽取130.采用分层抽样方法，抽取男生1人，女生1人，你认为这种做法妥当否？如果让你来调查，你准备怎样做？[解析] 由于取样比例数过小，仅抽取2人，很难准确反映总体情况，况且男、女生差异较大，抽取人数相同，也不尽合理，故此法不妥当．抽取人数太多，失去了抽样调查的统计意义，取样太少，不能准确反映真实情况，考虑到本题应采用分层抽样及男、女生各自的人数，故按51抽取更妥贴，即男生抽取8人，女生抽取5人，各自用抽签法或随机数法抽取组成样本．16．某校在校高中学生有1600人，其中高一学生520人，高二学生500人，高三学生580人．如果想通过抽查其中的80人来调查学生的消费情况，考虑到学生的年级高低消费情况有明显差别，而同一年级内消费情况差异较小，问应当采用何种抽样方法？高三学生中应抽查多少人？[分析] 各部分之间有明显差别是分层抽样的依据．至于各层内用什么方法抽样，是灵活自主的，可系统抽样，也可简单随机抽样．本题只问采用何种抽样方法，而不必答出如何抽样的过程．[解析] 因为不同年级的学生消费情况有明显的差别，所以应采用分层抽样．由于520∶500∶580＝26∶25∶29，于是将80分成26∶25∶29的三部分，该三部分各抽个体数分别为26x,25x,29x，则26x＋25x＋29x＝80，解得x＝1.故高三年级中应抽取29人．17．一批产品中，有一级品100个，二级品60个，三级品40个，分别用系统抽样法和分层抽样法，从这批产品中抽取一个容量为20的样本．[解析] (1)系统抽样方法：将200件产品编号为1～200，然后将编号分成20个部分，在第1部分中用简单随机抽样法抽取一件产品．如抽到5号，那么得到的20个编号为5号，15号，25号，…，195号的样本．(2)分层抽样方法：因为100＋60＋40＝200，20200＝110，所以100×110＝10,60×110＝6,40×110＝4.因此在一级品、二级品和三级品中分别抽取10件，6件和4件，即得到所需样本．18．对某单位1000名职工进行某项专门调查，调查的项目与职工任职年限有关，人事部门提供了如下资料：请根据上述资料，设计一个样本容量为总体容量的110的抽样方案．[解析] 在这个问题中，总体是某单位的1000名职工，并且已经知道人数的分布情况，可以用分层抽样法抽取样本．把总体分三层，任职5年以下抽取个体数30010＝30，任职5～10年的抽取个体数50010＝50，任职10年以上的抽取个体数200×110＝20，用系统抽样方法或简单随机抽样方法在各层中抽取以上数目的样本．25212 627C 扼24319 5EFF 廿39946 9C0A 鰊 I36821 8FD5 迕+aw28422 6F06 漆36374 8E16 踖Q29399 72D7 狗20023 4E37 丷。

高三数学能力题强化训练1班级 学号 姓名1. 已知函数xx f -=11)(的定义域为M ，)1ln()(x x g +=的定义域为N ，则=⋂N M （ ）A.{}1>x xB.{}1<x xC.{}11<<-x xD.φ2．设()f x ，()g x 是定义在R 上的函数，()()()h x f x g x =+，则“()f x ，()g x 均为偶函数”是“()h x 为偶函数”的 （ ） A ．充要条件 B ．充分而不必要的条件 C ．必要而不充分的条件 D ．既不充分也不必要的条件 3．已知函数()x f 为R 上的减函数，则满足()11f x f <⎪⎪⎭⎫⎝⎛的实数x 的取值范围是 4．设1a >，函数()log a f x x =在区间[,2]a a 上的最大值与最小值之差为12，则a = 5. 定义在区间(1,1)-内的函数()f x 满足2()()lg(1)f x f x x --=+，则()f x 的解析式为 6．若函数2()log (2)(0,1) a f x x x a a =+>≠在区间1(0,)2内恒有()0f x >，则()y f x =的单调递增区间为7．设集合{}6,5,4,3,2,1=M ，k S S S ,,,21 都是M 的含有两个元素的子集，且满足：对任意的{}i i i b a S ,=、{}j j j b a S ,=（{}k j i j i ,,3,2,1,, ∈≠）都有⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≠⎭⎬⎫⎩⎨⎧j j j j i i i i a b b a a b b a ,min ,min ，（{}y x ,min 表示两个数y x ,中的较小者），则k 的最大值是8．(07广东) 已知a 是实数，函数()a x ax x f --+=3222，如果函数()x f y =在区间[]1,1-上有零点，求a 的取值范围.高三数学能力题强化训练1答案 1.C 2. B 3. ()()1,00,1 -)1lg(31)1lg(32x x -++ 6 1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ 7. 118解：若0a = , ()23f x x =- ,显然在[]1,1-上没有零点, 所以 0a ≠. 令 ()248382440a a a a ∆=++=++=, 解得32a -=①当32a --=时, ()y f x =恰有一个零点在[]1,1-上; ②当()()()()05111<--=⋅-a a f f ，即15a <<时，()y f x =在[]1,1-上也恰有一个零点.③当()y f x =在[]1,1-上有两个零点时, 则()()208244011121010a a a a f f >⎧⎪∆=++>⎪⎪-<-<⎨⎪≥⎪⎪-≥⎩ 或()()208244011121010a a a a f f <⎧⎪∆=++>⎪⎪-<-<⎨⎪≤⎪⎪-≤⎩解得5a ≥或a <综上所求实数a 的取值范围是 1a > 或a ≤高三数学能力题强化训练2班级 学号 姓名1．函数()⎩⎨⎧>+-≤-=1,341,442x x x x x x f 的图象和函数()x x g 2log =的图象的交点个数是 （ ）A.4B.3C.2D.12．设()2 11x x f x x x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，()x g 是二次函数，若()[]x g f 的值域是[)+∞,0，则()x g 的值域是（ ）A.(][)+∞-∞-,11,B.(][)+∞-∞-,01,C.[)+∞,0D. [)+∞,1 3．设集合2{|60}M x x mx =-+=，则满足{1,2,3,6}M M ⋂=的集合M 为 4．设⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∈3,21,1,1α，则使函数αx y =的定义域为R 且为奇函数的所有α的值为 5．函数())1,0(13log ≠>-+=a a x y a 的图象恒过定点A,若点A 在直线01=++ny mx 上，其中0>mn ，则nm 21+的最小值为 6. 设()1ln1x f x x +=-，则函数()12x g x f f x ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的定义域为 7．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒. 已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为at y -⎪⎭⎫⎝⎛=161（a 为常数），如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：（Ⅰ）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）之间的函数关系式为 .（Ⅱ）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那从药物释放开始，至少需要经过 小时后，学生才能回到教室 8. (07上海)已知函数()),0(2R a x xax x f ∈≠+= （1）判断函数()x f 的奇偶性；（2）若()x f 在区间[)+∞,2是增函数，求实数a 的取值范围。

高三数学强化训练（35）1．如图1所示，D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量=CDA ．BA BC 21+- B ．BA BC 21--C ．BA BC 21-D ．BA BC 21+2．与向量a ==⎪⎭⎫ ⎝⎛b ,21,27⎪⎭⎫ ⎝⎛27,21的夹解相等，且模为1的向量是A ．⎪⎭⎫- ⎝⎛53,54B ．⎪⎭⎫- ⎝⎛53,54或⎪⎭⎫ ⎝⎛-53,54 C ．⎪⎭⎫- ⎝⎛31,322 D ．⎪⎭⎫-⎝⎛31,322或⎪⎭⎫⎝⎛-31,3223．设a r 与b r 是两个不共线向量，且向量a b λ+r r 与()2b a --r r共线，则λ=A ．0B ．－1C ．－2D ．0.54．已知向量()1,3=a ，b 是不平行于x 轴的单位向量，且3=⋅b a ，则b =A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21,23 B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23,21 C ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛433,41 D ．（1，0）5．如图,已知正六边形P 1P 2P 3P 4P 5P 6,下列向量 的数量积中最大的是A ．3121P P P P ⋅B ．4121P P P P ⋅C ．5121P P P P ⋅D ．6121P P P P ⋅ 6．在OAB ∆中，OA a =u u u r ，OB b =u u u r ，OD 是AB 边上的高，若AD AB λ=u u u r u u u r，则实数λ等于A ．2()a b a a b⋅-- B ．2()a a b a b⋅--C ．()a b a a b⋅--D ．()a a b a b⋅--7．在ΔABC 中，O 为中线AM 上的一个动点，若AM=2，则)(OC OB OA +⋅的最小值为 .8．已知向量)3,5(),3,6(),4,3(m m OC OB OA ---=-=-=，若点A 、B 、C 能构成三角形，则实数m 满足的条件是 .9．（本小题满分14分）已知点P 是圆221x y +=上的一个动点，过点P 作PQ x ⊥轴于点Q ，设OM OP OQ =+u u u u r u u u r u u u r.（1）求点M 的轨迹方程；（2）求向量OP uuu r 和OM u u u u r夹角的最大值，并求此时P 点的坐标参考答案1．BA BC BD CB CD 21+-=+=，故选A ． 2．B 设所求向量e r=（cos θ,sin θ）,则由于该向量与,a b r r 的夹角都相等,故e b e a ⋅=⋅⇔=⋅||||||||7117cos sin cos sin 2222θθθθ⇔+=-⇔3cos θ=-4sin θ,为减少计算量,可将选项代入验证,可知B 选项成立,故选B ．3．D 依题意知向量a b λ+r r 与-2共线，设a b λ+r rk =（-2），则有)()21(=++-k k λ，所以⎩⎨⎧=+=-0021λk k ，解得5.0=k ，选D ． 4．解选B ．设(),()b x y x y =≠，则依题意有1,y =+=1,2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 5．解析:利用向量数量积121(1,2,3,4,5,6)i PP PP i =u u u u r u u u r g 的几何意义:数量积121i PP PP u u u u r u u u r g 等于12P P u u u u r的长度12PP u u u u r 与1i PP u u u r 在12P P u u u u r 的方向上的投影1121cos ,i iPP PP PP <>u u u r u u u u r u u u r的乘积.显然由图可知13P P u u u u r 在12P P u u u u r 方向上的投影最大.所以应选(A).6．B (),,AD AB OD OA OB OA λλ=∴-=-u u u r u u u r u u u r u u u rQ 即得()()11,OD OA OB a b λλλλ=-+=-+u u u r u u u r u u u r又OD Q 是AB 边上的高，0OD AB ∴⋅=u u u r u u u r 即()()()0,10OD OB OA a b b a λλ⋅-=∴-+⋅-=⎡⎤⎣⎦u u u r u u u r u u u r ，整理可得()2(),b a a a b λ-=⋅-即得()2a ab a bλ⋅-=-，故选B ． 7．2- 如图，设x AO =，则x OM -=2，所以)(+⋅OM OA OM ⋅⋅-=⋅=22 2)1(242)2(222--=-=--x x x x x ，故当1=x 时，OM mOA nOB =+u u u u r u u u r u u u r取最小值-2.8．21≠m 因为)3,5(),3,6(),4,3(m m ---=-=-=，所以C),1(),1,3(m m ---==.由于点A 、B 、C 能构成三角形，所以与不共线，而当AB 与共线时，有m m -=--113，解得21=m ，故当点A 、B 、C 能构成三角形时实数m 满足的条件是21≠m .9.解析：（1）设(,)P x y o o ，(,)M x y ，则(,)OP x y =o o u u u r ，(,0)OQ x =o u u u r，(2,)OM OP OQ x y =+=o o u u u u r u u u r u u u r222212,1,124x x x x x x y y y y y y ⎧==⎧⎪∴⇒+=∴+=⎨⎨=⎩⎪=⎩o o o o o oQ .（2）设向量OP uuu r 与OM u u u u r的夹角为α，则22cos ||||OP OMOP OM α⋅===⋅u u u r u u u u r u u u r u u u u r 令231t x =+o，则cos α= 当且仅当2t =时，即P点坐标为(时，等号成立. OP ∴u u u r 与OM u u u u r夹角的最大值是arccos 3.。

高三数学强化训练应用题（一）函数模型【例1】甲厂以x 千克/小时的速度运输生产某种产品（生产条件要求110x ≤≤），每小时可获得利润是3100(51)x x+-元.（1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x 的取值范围；（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润.【例2】在数学探究活动中，某兴趣小组合作制作一个工艺品，设计了如图所示的一个窗户，其中矩形ABCD 的三边AB ，BC ，CD 由长为8厘米的材料弯折而成，BC 边的长为2t 厘米(04t <<)；曲线AOD 是一段抛物线，在如图所示的平面直角坐标系中，其解析式为23x y =-，记窗户的高(点O 到BC 边的距离)为()f t .（1）求函数()f t 的解析式，并求要使得窗户的高最小，BC 边应设计成多少厘米？（2）要使得窗户的高与BC 长的比值达到最小，BC 边应设计成多少厘米？【例3】为减少人员聚集，某地上班族S 中的成员仅以自驾或公交方式上班.分析显示，当S 中有()%0100x x <<的成员自驾时，自驾群体的人均上班路上时间为：()30,0301800290,30100x f x x x x <≤⎧⎪=⎨+-<<⎪⎩，(单位：分钟)而公交群体中的人均上班路上时间不受x 的影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回家下列问题：（1）当x 取何值时，自驾群体的人均上班路上时间等于公交群体的人均上班路上时间？（2）已知上班族S 的人均上班时间计算公式为：()()()%50100%g x f x x x =⋅+-，讨论()g x 的单调性，并说明实际意义.(注：人均上班路上时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时.)1、为践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念，聊城市环保部门近年来利用水生植物（例如浮萍、蒲草、芦苇等），对国家级湿地公园—东昌湖进行进一步净化和绿化．为了保持水生植物面积和开阔水面面积的合理比例，对水生植物的生长进行了科学管控，并于2020年对东昌湖内某一水域浮萍的生长情况作了调查，测得该水域二月底浮萍覆盖面积为245m ，四月底浮萍覆盖面积为280m ，八月底浮萍覆盖面积为2115m ．若浮萍覆盖面积y （单位：2m ）与月份x （2020年1月底记1x =，2021年1月底记13x =）的关系有两个函数模型(0,1)=>>x y ka k a 与2log (0)y m x n m =+>可供选择．（1）你认为选择哪个模型更符合实际？并解释理由；（2）利用你选择的函数模型，试估算从2020年1月初起至少经过多少个月该水域的浮萍覆盖面积能达到2148m ？（可能用到的数据：2log 15 3.9≈1.37≈66.72≈）2、2011年六月康菲公司由于机器故障，引起严重的石油泄漏，造成了海洋的巨大污染，某沿海渔场也受到污染.为降低污染，渔场迅速切断与海水联系，并决定在渔场中投放一种可与石油发生化学反应的药剂.已知每投放a (14a ≤≤，且a R ∈)个单位的药剂，它在水中释放的浓度y (毫克/升)随着时间x (天)变化的函数关系式近似为()y a f x =⋅，其中()()()161,04815,4102x x f x x x ⎧-≤≤⎪⎪-=⎨⎪-<≤⎪⎩，若多次投放，则某一时刻水中的药剂浓度为每次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和.根据实验，当水中药剂的浓度不低于4(毫克/升)时，它才能起到有效治污的作用.称为有效净化；当药剂在水中释放的浓度不低于6(毫克/升)且不高于18(毫克/升)时称为最佳净化.（1）若一次投放4个单位的药剂，则有效治污时间可达几天？（2）若第一次投放2个单位的药剂，6天后再投放a 个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效治污，试问a 的最小值(精确到0.1取近似值1.4).3、在研究某市交通情况时发现，道路密度是指该路段上一定时间内用过的车辆数除以时间，车辆密度是该路段一定时间内通过的车辆数除以该路段的长度，现定义交通流量xq v =，x 为道路密度，q 车辆密度，(0,80]x ∈，且801100135(040,3(040)854080x x v k x x k ⎧-<<⎪=⎨⎪--+≤≤>⎩.（1）当交通流量95v>时，求道路密度x 的取值范围；（2）若道路密度80x =时，测得交通流量50v =，求出车辆密度q 的最大值.（二）三角模型【例4】某高档小区有一个池塘，其形状为直角ABC ，90C ∠=︒，2AB =百米，1BC =百米，现准备养一批观赏鱼供小区居民观赏．（1）若在ABC 内部取一点P ，建造APC 连廊供居民观赏，如图①，使得点P 是等腰三角形PBC 的顶点，且2π3CPB ∠=，求连廊AP PC +的长；（2）若分别在AB ，BC ，CA 上取点D ，E ，F ，建造DEF 连廊供居民观赏，如图②，使得DEF 为正三角形，求DEF 连廊长的最小值．r r rr l 【例5】如图，已知某市穿城公路MON 自西向东到达市中心O 后转向东北方向，34MON π∠=，现准备修建一条直线型高架公路AB ，在MO 上设一出入口A ，在ON 上设一出入口B ，且要求市中心O 到AB 所在的直线距离为10km.（1）求A ，B 两出入口间距离的最小值；（2）在公路MO 段上距离市中心O 点30km 处有一古建筑C （视为一点），现设立一个以C 为圆心，5km 为半径的圆形保护区，问如何在古建筑C 和市中心O 之间设计出入口A ，才能使高架公路及其延长线不经过保护区？【例6】某加油站拟造如图所示的铁皮储油罐（不计厚度，长度单位：米），其中储油罐的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，32-=r l （l 为圆柱的高，r 为球的半径，2l ≥）.假设该储油罐的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为c 千元，半球形部分每平方米建造费用为3千元.设该储油罐的建造费用为y 千元.（1）写出y 关于r 的函数表达式，并求该函数的定义域；（2）求该储油罐的建造费用最小时的r 的值.1、重庆、武汉、南京并称为三大“火炉”城市，而重庆比武汉、南京更厉害，堪称三大“火炉”之首.某人在歌乐山修建了一座避暑山庄O （如图）.为吸引游客，准备在门前两条夹角为6π（即AOB ∠）的小路之间修建一处弓形花园，使之有着类似“冰淇淋”般的凉爽感，已知弓形花园的弦长3AB =且点A ，B 落在小路上，记弓形花园的顶点为M ，且6MAB MBA π∠=∠=，设OBA θ∠=.（1）将OA ，OB 用含有θ的关系式表示出来；（2）该山庄准备在M 点处修建喷泉，为获取更好的观景视野，如何规划花园（即OA ，OB 长度），才使得喷泉M 与山庄O 距离即值OM 最大？2、某城市为发展城市旅游经济，拟在景观河道的两侧，沿河岸直线1l 与2l 修建景观路（桥），如图所示，河道为东西方向，现要在矩形区域ABCD 内沿直线将1l 与2l 接通，已知60m AB =，80m BC =，河道两侧的景观道路修建费用为每米1万元，架设在河道上方的景观桥EF 部分的修建费用为每米2万元.（1）若景观桥长90m 时，求桥与河道所成角的大小；（2）如何设计景观桥EF 的位置，使矩形区域ABCD 内的总修建费用最低？最低总造价是多少？3、如图是一段半圆柱形水渠的直观图，其横断面是所示的半圆弧ACB ，其中C 为半圆弧中点，渠宽AB 为2米.（1）当渠中水深CD 为0.4米时（D 为水面中点），求水面的宽;（2）若把这条水渠改挖（不准填上）成横断面为等腰梯形的水渠，使渠的底面与水平地面平行，则改挖后的水渠底宽为多少米时（精确到0.01米），所挖的土最少?（三）数列模型【例7】某公司自2020年起，每年投入的设备升级资金为500万元，预计自2020年起(2020年为第1年)，因为设备升级，第n年可新增的盈利()()5801,5100010.6,6n nn nan-⎧-≤⎪=⎨-≥⎪⎩(单位：万元)，求：（1）第几年起，当年新增盈利超过当年设备升级资金；（2）第几年起，累计新增盈利总额超过累计设备升级资金总额.【例8】某卫材公司年初投资300万元，购置口罩生产设备，立即投入生产，预计第一年该生产设备的使用费用为36万元，以后每年增加6万元，该生产设备每年可给公司带来121万元的收入.假设第n年该设备产生的利润（利润=该年该设备给公司带来的收入-该年的使用费用）为n a.（1）写出n a的表达式；（2）在该设备运行若干整年后，该卫材公司需要升级产品生产线，决定处置该生产设备，现有以下两种处置方案：①当总利润（总利润=各年的收入之和-各年的使用费用-购置口罩生产设备的成本）最大时，以7万元变卖该生产设备；②当年平均总利润最大时，以72万元变卖该生产设备.请你为该公司选择一个合理的处置方案，并说明理由.1、诺贝尔奖每年发放一次，把奖金总金额平均分成6份，奖励在6项(物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平)为人类做出最有贡献人．每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半，另一半利息用于增加基金总额，以便保证奖金数逐年递增．资料显示：1998年诺贝尔奖发奖后的基金总额(即1999年的初始基金总额)已达19516万美元，基金平均年利率为 6.24%r =．（1）求1999年每项诺贝尔奖发放奖金为多少万美元(精确到0.01)；（2）设n a 表示()1998n +年诺贝尔奖发奖后的基金总额，其中*n N ∈，求数列{}n a 的通项公式，并因此判断“2020年每项诺贝尔奖发放奖金将高达193.46万美元”的推测是否具有可信度．2、2019年9月1日，小刘从各个渠道融资30万元，在某大学投资一个咖啡店，2020年1月1日正式开业，已知开业第一年运营成本为6万元，由于工人工资不断增加及设备维修等，以后每年成本增加2万元，若每年的销售额为30万元，用数列{}n a 表示前n 年的纯收入．（注：纯收入=前n 年的总收入-前n 年的总支出-投资额）（1）试求年平均利润最大时的年份（年份取正整数）并求出最大值．（2）若前n 年的收入达到最大值时，小刘计划用前n 年总收入的13对咖啡店进行重新装修，请问：小刘最早从哪一年对咖啡店进行重新装修（年份取整数）？并求小刘计划装修的费用．。

2021-2022年高中数学课后强化训练（含详解）2.1.1 新人教版必修3一、选择题1．某校期末考试后，为了分析该校高一年级1000名学生的学习成绩，从中随机抽取了100名学生的成绩单，就这个问题来说，下面说法中正确的是( ) A．1000名学生是总体B．每名学生是个体C．每名学生的成绩是所抽取的一个样本D．样本的容量是100[答案] D[解析] 1000名学生的成绩是统计中的总体，每个学生的成绩是个体，被抽取的100名学生的成绩是一个样本，其样本的容量为100.2．关于简单随机抽样的特点，有以下几种说法，其中不正确的是( )A．要求总体中的个体数有限B．从总体中逐个抽取C．这是一种不放回抽样D．每个个体被抽到的机会不一样，与先后顺序有关[答案] D[解析] 简单随机抽样，除具有A、B、C三个特点外，还具有：是等可能抽样，各个个体被抽取的机会相等，与先后顺序无关．3．某校高一共有10个班，编号1至10，某项调查要从中抽取三个班作为样本，现用抽签法抽取样本，每次抽取一个号码，共抽3次，设五班第一次被抽到的可能性为a，第二次被抽到的可能性为b，则( )A．a＝310，b＝29B．a＝110，b＝19C．a＝310，b＝310D．a＝110，b＝110[答案] C[解析] 由简单随机抽样的定义知，每个个体在每次抽取中都有相同的可能性被抽到，故五班在每次抽样中被抽到的可能性都是3 10.4．简单随机抽样的结果( )A．完全由抽样方式所决定B．完全由随机性所决定C．完全由人为因素所决定D．完全由计算方法所决定[答案] B[解析] 据简单随机抽样的定义，总体中每个个体被抽到的机会相等，因此抽样结果只与随机性有关，∴选B.5．在简单随机抽样中，某一个个体被抽中的可能性( )A．与第几次抽样有关，第1次抽中的可能性要大些B．与第几次抽样无关，每次抽中的可能性都相等C．与第几次抽样有关，最后一次抽中的可能性大些D．与第几次抽样无关，每次都是等可能的抽取，但各次抽取的可能性不一样[答案] B[解析] 据简单随机抽样的定义可知，某一个个体被抽中的可能性与第几次抽样无关，每次都是等可能的抽取，各次抽到的可能性也都相同，∴选B.6．从总数为N的一批零件中抽取一个容量为30的样本，若每个零件被抽取的可能性为25%，则N为( )A．150 B．200C．100 D．120[答案] D[解析] ∵每个个体被抽到机会相等，都是30N＝0.25，∴N＝120.7．下列抽样方法是简单随机抽样的是( )A．从整数集中，逐个抽取100个检验是否为奇数B．从某车间包装的传送带上，每隔30分钟抽一包产品，称其重量是否合格C．某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取2人、14人、4人调查对学校机构改革的意见D．从8台电脑中不放回地随机抽取2台进行质量检验[答案] D8．某校有40个班，每班50人，每班选派3人参加“学代会”，在这个问题中样本容量是( )A．40 B．50C．120 D．150[答案] C二、填空题9．一次体育运动会，某代表团有6名代表参加，欲从中抽取一人检查是否服用兴奋剂，抽检人员将6名队员名字编号为1～6号，然后抛掷一枚骰子，朝上的一面是几就抽检几号对应的队员，问这种抽检方式是简单随机抽样吗？(答是或不是)________．[答案] 是[解析] 抛掷一颗均匀骰子，各面向上的机会是均等的，故每名队员被抽到的机会相等．10．高一(1)班有50名同学，现要从中抽取6名同学参加一个讨论会，每位同学的机会均等．我们可以把50名同学的学号写在小球上，放在一个不透明的袋子中，充分搅拌后，再从中逐个抽取6个小球，从而抽取6名参加讨论会的同学．这种抽样方法是简单随机抽样吗？(答是或不是)________．[答案] 是[解析] 据抽签法的定义知，上述抽样方法是抽签法，∴是简单随机抽样．11．某大学为了支援西部教育事业，现从报名的18名志愿者中选取6人组成志愿小组．用抽签法设计抽样方案如下：S将18名志愿者编号，号码为1,2， (18)1S将号码分别写在一张纸条上，揉成团，制成号签；2S将号签放入一个不透明的袋子中，并充分搅匀；3S________________________________________；4S所得号码对应的志愿者就是志愿小组的成员．5则S4步骤应为______________________________．[答案] 从袋子中依次抽出6个号签，记录下上面的编号．三、解答题12．从30个足球中抽取10个进行质量检测，说明利用随机数法抽取这个样本的步骤及公平性．[解析] 步骤如下：第一步：首先将30个足球编号：00,01,02， (29)第二步：在随机数表中随机选一数作为开始，如从第9行第17列的数0开始．第三步：从选定的数0开始向右读(也可以向左、向上、向下等)，读取一个二位数字07，由于07<29，将它取出；读取82，由于82>29，将它去掉．按照这种方式继续向右读，取出的二位数字若与前面已有的相同，也将它去掉，这样又得到15,00,13，…，依次下去，直到样本的10个号码全部取出．这样就得到一个容量为10的样本．公平性在于：(1)随机数表中每个位置上出现哪一个数是等可能的；(2)从30个足球的总体中抽到哪一个个体的号码也是机会均等的．基于以上两点，利用随机数表抽取样本保证了各个个体被抽到的机会是相等的．13．为了缓解城市的交通拥堵情况，某大城市准备出台限制私家车的政策．为此要进行民意调查．某个调查小组调查了一些拥有私家车的市民，你认为这样的调查结果会怎样？[解析] 一个城市的交通状况的好坏将直接影响着生活在这个城市中的每个人，关系到每个人的利益，为了调查这个问题，在抽样时应当关注到各种人群，既要抽到拥有私家车的市民，也要抽到没有私家车的市民．调查时，如果只对拥有私家车的市民进行调查，结果一定是片面的，不能代表所有市民的意愿．因此，在调查时，要对生活在该市的所有市民进行随机地抽样调查，不要只关注到拥有私家车的市民．14．一个学生在一次竞赛中要回答的8道题是这样产生的：从15道物理题中随机抽3道；从20道化学题中随机抽3道；从12道生物题中随机抽2道．请用随机抽样法确定这个学生所要回答的三门学科的题的序号(物理题的编号为1～15，化学题的编号为16～35，生物题的编号为36～47)．[解析] S1将物理题编号调整为01,02,03，…，15；其余两种题号不变；S在随机数表中任选一数作为开始，任选一方向作为读数方向；2S从选取的数开始，按指定方向，每次读取2位，凡不在01～47之间的数3跳过去不读，前面已读过的也跳过去不读，从01～15中，读取3个号码为止，从16～35中，读取3个号码为止，从36～47中读取2个号码为止；S读取号码对应的序号就是所要回答问题的编号．4[点评] (1)选取的初始数字不同，读取号码则不同，方向不同，号码也不同，但都合乎问题要求，如选择第6行第3个数字开始向右读数，号码为06,04,12；22,17,23；39,43.若选取第3行第5个数字开始向下读取，读到下方后返回从上向下读，则为03,04,12；16,18,15；42,36.(2)本题用抽签法需将三签符号分开，分别抽取．15．因为样本是总体的一部分，是由某些个体所组成的，尽管对总体具有一定的代表性，但并不等于总体，为什么不把所有个体考察一遍，使样本就是总体？[解析] 如果样本就是总体，抽样调查就变成普查了，尽管确实真实地反映了实际情况，但不是统计的基本思想，其操作性、可行性、人力、物力等方面，都会有制约因素存在．何况有些调查是有破坏性的．如考察一批玻璃的抗碎能力、灯泡的使用寿命等，如果进行普查这批玻璃和灯泡就全部报费了，因此为了又能了解总体的真实情况，又不需要把总体中每个个体都调查一番，人们才想到研究统计．16．现从10架钢琴中抽取4架进行质量检验，写出用抽签法抽样的过程．[解析] S1将10架钢琴编号，号码是0,1， (9)S将号码分别写在一张纸条上，揉成团，制成号签；2S将得到的号签放入一个不透明的袋子中，并充分搅匀；3S从袋子中依次抽取4个号签，并记录上面的编号；4S所得号码对应的4架钢琴就是要抽取的对象．x 36983 9077 遷37791 939F 鎟837429 9235 鈵\ml35643 8B3B 謻u34219 585AB 薫32518 7F06 缆 25012 61B4 憴。

高三数学应用题练习(总9页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除高三数学应用题练习【南京市】17. （本题满分14分）如图，在半径为30cm的半圆形（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD，其中点A、B在直径上，点C、D在圆周上。

（1）怎样截取才能使截得的矩形ABCD的面积最大？并求最大面积；（2）若将所截得的矩形铝皮ABCD卷成一个以AD为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），应怎样截取，才能使做出的圆柱形形罐子体积最大？并求最大面积.【常州市第17题】【盐城市】18．(本小题满分14分)因发生意外交通事故,一辆货车上的某种液体泄漏到一渔塘中.为了治污,根据环保部门的建议,现决定在渔塘中投放一种可与污染液体发生化学反应的药剂.已知每投放(14≤≤a a ,且)∈a R 个单位的药剂,它在水中释放的浓度y (克/升)随着时间x (天)变化的函数关系式近似为()y a f x =⋅,其中161(04)8()15(410)2⎧-≤≤⎪⎪-=⎨⎪-<≤⎪⎩x x f x x x . 若多次投放,则某一时刻水中的药剂浓度为每次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和.根据经验,当水中药剂的浓度不低于4(克/升)时,它才能起到有效治污的作用.（Ⅰ）若一次投放4个单位的药剂,则有效治污时间可达几天（Ⅱ）若第一次投放2个单位的药剂,6天后再投放a 个单位的药剂,要使接下来的4天中能够持续有效治污,试求a 的最小值(精确到0.1,参考数据2取1.4).18．解：（Ⅰ）因为4a =,所以644(04)8202(410)x y x x x ⎧-≤≤⎪=-⎨⎪-<≤⎩………………………………1分则当04x ≤≤时,由64448x-≥-,解得0x ≥,所以此时04x ≤≤………………… 3分当410x <≤时,由2024x -≥,解得8x ≤,所以此时48x <≤………………………5分综合,得08x ≤≤,若一次投放4个单位的制剂,则有效治污时间可达8天…………… 6分（Ⅱ）当610x ≤≤时,1162(5)(1)28(6)y x a x =⨯-+---………………………9分 =161014a x a x -+--=16(14)414a x a x-+---,因为14[4,8]x -∈,而14a ≤≤,所以[4,8],故当且仅当14x -=时,y有最小值为4a - ………12分令44a --≥,解得244a -≤≤,所以a的最小值为24 1.6-≈…14分【镇江市】【无锡市】【苏州市】【徐州市、宿迁市】17．解：（1）设点C 受A 污染源污染程度为2ka x，点C 受B 污染源污染程度为2(18)kb x -，其中k 为比例系数，且0k >． ………………………………………………4分从而点C 处受污染程度22(18)ka kb y x x =+-． ………………………………6分 （2）因为1a =，所以，22(18)k kb y x x =+-， …………………8分'3322[](18)b y k x x -=+-，令'0y =，得31x b=+， …………………12分 又此时6x =，解得8b =，经验证符合题意．所以，污染源B 的污染强度b 的值为8． …………………14分【苏北四市第一次调研】 19.（本小题满分16分）如图1，OA ，OB 是某地一个湖泊的两条垂直的湖堤，线段CD 和曲线EF 分别是湖泊中的一条栈桥和防波堤.为观光旅游需要，拟过栈桥CD 上某点M 分别修建与OA ，OB 平行的栈桥MG ，MK ，且以MG ，MK 为边建一个跨越水面的三角形观光平台MGK ．建立如图2所示的直角坐标系，测得CD 的方程是220(020)x y x +=≤≤，曲线EF 的方程是200(0)xy x =>，设点M 的坐标为(,)s t ．（题中所涉及长度单位均为米，栈桥及防波堤都不计宽度）（1）求三角形观光平台MGK 面积的最小值；（2）若要使MGK ∆的面积不小于320平方米，求t 的范围．19．（1）由题意，得100(,)G t t ，100(,)K s s (0,0)s t >>， 又因为(,)M s t 在线段CD ：220(020)x y x +=≤≤上，所以220(020)s t s +=<<，11200200140000()()(400)222MGK S MG MK s t st t s st ∆=⋅⋅=--=+-……………4分图1 图2由2022222s t s t u =+≥⋅=，得050st <≤，当且仅当10s =，5t =时等号成立.………………………6分令st u =，则140000()(400)2MGK f u S u u ∆==+-，(0,50]u ∈.又2110000()(1)02f u u '=-<，故()f u 在(0,50]上单调递减，（注意：若()f u 在(0,50]上单调递减未证明扣1分）所以min ()(50)225f u f ==，此时10s =，5t =.所以三角形MGK 面积的最小值为225平方米. ……………………………………10分（2）由题意得()320f u ≥，当140000(400)3202u u +-=，解得40u =或1000u =（舍去），由（1）知40st ≤， ……………………………………14分即(202)40t t -≤，解之得5555t -+≤≤.所以t 的范围是[55,55]-+．………………………………………………………16分【泰州市】17. ⑴由已知第7天的销售价格49p =，销售量41q =. ∴第7天的销售收入749412009W =⨯= (元) . ……………………………………………………（3分）11 ⑵设第x 天的销售收入为x W ，则(44)(48)1620097(56)(32)820x x x x W x x x x +-≤≤⎧⎪==⎨⎪-+≤≤⎩.…（6分）当16x ≤≤时，2(44)(48)(44)(48)()21162x x x W x x ++-=+-≤=.（当且仅当2x =时取等号）∴当2x =时取最大值22116W =.………………………………（9分）当820x ≤≤时，2(56)(32)(56)(32)()19362x x x W x x -++=-+≤=.（当且仅当12x =时取等号）∴当12x =时取最大值121936W =. …………………………（12分）由于2712W W W >>，∴第2天该农户的销售收入最大. …………………………（13分）答：⑴第7天的销售收入2009元；⑵第2天该农户的销售收入最大. …………（14分）【扬州市】18.（本小题满分15分）某广场一雕塑造型结构如图所示，最上层是一呈水平状态的圆环，其半径为m 2，通过金属杆321,,,CA CA CA BC 支撑在地面B 处（BC 垂直于水平面），321,,A A A 是圆环上的三等分点，圆环所在的水平面距地面m 10，设金属杆321,,CA CA CA 所在直线与圆环所在水平面所成的角都为θ。