高三数学80分标准化强化训练 标准练 三

2023届高三数学（80分系列）三基小题训练（04）（生）班级：_________ 姓名：_____________________ 座号：_________ 成绩：__________一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1．设集合{}13A x x =≤≤，{}2680B x x x =-+≥，则A B ⋂=R （ ） A ．{}23x x <≤B ．{}13x x ≤≤C ．{}14x x ≤<D ．{}24x x << 2．“1a >”是“11a<”的（ ） A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件3．已知数列{}n a 是递减的等比数列，{}n a 的前n 项和为n S ，若349a a +=，2518a a =，则26S a ⋅=（ ）A ．54B ．36C ．27D ．184．已知向量,a b 满足3||2||3a b ==，若|2|14 a b +=，则,a b 夹角的余弦值为（ ）A ．12B ．13C ．23D ．565．函数()3()3sin f x x x x =-的部分图象大致为（ ）6．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．“礼”主要指德育；“乐”主要指美育；“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”指数学．某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每周安排一次讲座，共讲六次．讲座次序要求“射”不在第一次，“数”和“乐”两次不相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有（ ）A ．408种B ．240种C ．192种D ．120种7．已知直线:l y kx =与圆22:(2)4C x y -+=交于A ，B 两点，若||23AB =，则k =（ ）A ．33±B ．±1C ．3±D ．2±8．已知函数ln y x =（1e e x ≤≤）的图象上存在点P ，函数212c y x -=+的图象上存在点Q ，且P 、Q 关于x 轴对称，则实数c 的取值范围为（ ）A ．211,122e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦B ．221e 1,12e 2⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦C ．21e ,122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．221,12e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦ 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知2714a b ==，则下列关于a ，b 可能满足的关系有（ ）A ．111a b+= B ．4a b +> C ．228a b +< D ．()()22112a b -+->10．已知函数()2sin()(0,||)f x x ωϕωϕπ=+><的部分图象如图所示，则（ ）A ．2ω=B ．(0)3f =C ．若123x x π+=，则()()12f x f x = D ．若123x x π+=，则()()120f x f x +=11．()f x 是定义在R 上的偶函数，对x R ∀∈，均有()()2f x f x +=-，当[]0,1x ∈时，()()2log 2f x x =-，则下列结论正确的是（ ）A ．函数()f x 的一个周期为4B ．()20221f =C ．当[]2,3x ∈时，()()2log 4f x x =--D ．函数()f x 在[]0,2021内有1010个零点12．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ，F ，G 分别为11,,BC CC BB 的中点，则（ ）A ．直线1D D 与直线AF 垂直B ．直线1A G 与平面AEF 平行C ．平面AEF 截正方体所得的截面面积为92D ．点C 到平面AEF 的距离为23 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．曲线32ln y x x x =+-在1x =处的切线方程为______________．14．已知()()()5455410212121x a x a x a x a =+++++++，则4a =___________.15．九连环是中国的一种古老智力游戏，它用九个圆环相连成串，环环相扣，以解开为胜，趣味无穷．中国的末代皇帝溥仪（1906-1967）也曾有一个精美的由九个翡翠缳相连的银制的九连环（如图）．现假设有n 个圆环，用n a 表示按照某种规则解下n 个圆环所需的最少移动次银和翠玉制九连环数，且数列{}n a 满足11a =，22a =，122n n n a a --=+（3n ≥，n *∈N ），则21n a -=_______．16．如图所示，三棱锥A BCD -中，BAC BCA ∠=∠，DCA DAC ∠=∠，554AB AD BD AC +===则三棱锥A BCD -体积的最大值为_________．。

[80分] 12＋4标准练(三)1.已知U ＝{y |y ＝log 2x ，x >1}，P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ＝1x ，x >2，则∁U P 等于( ) A.⎣⎡⎭⎫12，＋∞ B.⎝⎛⎭⎫0，12 C.(0，＋∞) D.(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞答案 A解析 由集合U 中的函数y ＝log 2x ，x >1， 解得y >0，所以全集U ＝(0，＋∞)，又P ＝⎝⎛⎭⎫0，12，所以∁U P ＝⎣⎡⎭⎫12，＋∞. 2.“a >0”是“函数f (x )＝x 3＋ax 在区间(0，＋∞)上是增函数”的( ) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案 B解析 当a >0时，f ′(x )＝3x 2＋a >0在区间(0，＋∞)上恒成立， 即f (x )在(0，＋∞)上是增函数，充分性成立；当f (x )在区间(0，＋∞)上是增函数时，f ′(x )＝3x 2＋a ≥0在(0，＋∞)上恒成立，即a ≥0，必要性不成立，故“a >0”是“函数f (x )＝x 3＋ax 在区间(0，＋∞)上是增函数”的充分不必要条件. 3.(2019·全国Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.已知S 4＝0，a 5＝5，则( ) A.a n ＝2n －5 B.a n ＝3n －10 C.S n ＝2n 2－8n D.S n ＝12n 2－2n答案 A解析 设等差数列{a n }的公差为d ，∵⎩⎪⎨⎪⎧S 4＝0，a 5＝5，∴⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋4×32d ＝0，a 1＋4d ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－3，d ＝2，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－3＋2(n －1)＝2n －5，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n 2－4n .故选A.4.(2019·全国Ⅱ)下列函数中，以π2为周期且在区间⎝⎛⎭⎫π4，π2上单调递增的是( ) A.f (x )＝|cos 2x | B.f (x )＝|sin 2x | C.f (x )＝cos|x | D.f (x )＝sin|x |答案 A解析 A 中，函数f (x )＝|cos 2x |的周期为π2，当x ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2时，2x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，函数f (x )单调递增，故A 正确；B 中，函数f (x )＝|sin 2x |的周期为π2，当x ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2时，2x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，函数f (x )单调递减，故B 不正确；C 中，函数f (x )＝cos|x |＝cos x 的周期为2π，故C 不正确；D 中，f (x )＝sin|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x ≥0，－sin x ，x <0，由正弦函数图象知，当x ≥0和x <0时，f (x )均以2π为周期，但在整个定义域上f (x )不是周期函数，故D 不正确.故选A. 5.已知x ，y 的取值如下表：对所得的散点图分析可知：y 与x 线性相关，且y ^＝1.03x ＋a ^，则a ^等于( ) A.1.30 B.1.13 C.1.65 D.1.80 答案 B解析 根据题意得x ＝4，y ＝5.25，将样本点中心(4，5.25)代入线性回归方程，可得a ^＝1.13. 6.(2019·汉中质检)汉中市2019年油菜花节在汉台区举办，组委会将甲、乙等6名工作人员分配到两个不同的接待处负责参与接待工作，每个接待处至少2人，则甲、乙两人不在同一接待处的分配方法共有( )A.12种B.22种C.28种D.30种 答案 C解析 由题意可分两种情况讨论：①甲可能在A 组，组内分到其他四人中的1人，2人或3人，则有C 14＋C 24＋C 34＝14(种)分法； ②甲可能在B 组，组内分到其他四人中的1人，2人或3人，则有C 14＋C 24＋C 34＝14(种)分法.一共有14＋14＝28(种)分法.7.如图，在△ABC 中，AN →＝14NC →，P 是直线BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋25AC →，则实数m 的值为( )A.－4B.－1C.1D.4 答案 B解析 由题意，设BP →＝nBN →， 则AP →＝AB →＋BP → ＝AB →＋nBN → ＝AB →＋n (AN →－AB →) ＝AB →＋n ⎝⎛⎭⎫15AC →－AB → ＝(1－n )AB →＋n 5AC →，又∵AP →＝mAB →＋25AC →，AB →，AC →不共线，∴m ＝1－n ，n 5＝25.解得n ＝2，m ＝－1.8.秦九韶是我国南宋时期著名的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入x 的值为3，每次输入a 的值均为4，输出s 的值为484，则输入正整数n 的值为( )A.6B.5C.4D.3答案 C解析模拟程序的运行，可得x＝3，k＝0，s＝0，a＝4，s＝4，k＝1；不满足条件k>n，执行循环体，a＝4，s＝16，k＝2；不满足条件k>n，执行循环体，a＝4，s＝52，k＝3；不满足条件k>n，执行循环体，a＝4，s＝160，k＝4；不满足条件k>n，执行循环体，a＝4，s＝484，k＝5.由题意，此时应该满足条件k>n，退出循环，输出s的值为484，可得4≤n<5，所以输入n的值为4.9.把正方形ABCD沿对角线AC折起到△ACD′的位置，当以A，B，C，D′四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD′和平面ABC所成角的大小为()A.90°B.60°C.45°D.30°答案 C解析如图，当D′O⊥平面ABC时，三棱锥D′－ABC的体积最大.∴∠D ′BO 为直线BD ′和平面ABC 所成的角， ∵在Rt △D ′OB 中，OD ′＝OB ，∴直线BD ′和平面ABC 所成角的大小为45°.10.已知正数x ，y ，z 满足x 2＋y 2＋z 2＝1，则S ＝1＋z 2xyz 的最小值为( )A.3B.3(3＋1)2C.4D.2(2＋1)答案 C解析 由题意可得0<z <1,0<1－z <1， ∴z (1－z )≤⎝⎛⎭⎫z ＋1－z 22＝14，当且仅当z ＝1－z ，即z ＝12时取等号.又x 2＋y 2＋z 2＝1，∴1－z 2＝x 2＋y 2≥2xy ， 当且仅当x ＝y 时取等号，∴1－z 22xy ≥1，∴(1＋z )(1－z )2xy ≥1，∴1＋z 2xy ≥11－z ，∴1＋z 2xyz ≥1(1－z )z≥4， 当且仅当x ＝y ＝64且z ＝12时取等号， ∴S ＝1＋z2xyz的最小值为4.11.(2019·湖南长沙一中、常德一中等六校联考)已知函数f (x )＝ln x －ax＋a 在x ∈[1，e]上有两个零点，则a 的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤e1－e ，－1B.⎣⎡⎭⎫e1－e ，1C.⎣⎡⎭⎫e1－e ，－1D.[－1，e)答案 C解析 ∵f ′(x )＝1x ＋a x 2＝x ＋ax2，x ∈[1，e].当a ≥－1时，f ′(x )≥0，f (x )在[1，e]上单调递增，不合题意. 当a ≤－e 时，f ′(x )≤0，f (x )在[1，e]上单调递减，也不合题意.当－e<a <－1时，则当x ∈[1，－a )时，f ′(x )<0，f (x )在[1，－a )上单调递减， 当x ∈(－a ，e]时，f ′(x )>0，f (x )在(－a ，e]上单调递增， 又f (1)＝0，所以要使函数f (x )在x ∈[1，e]上有两个零点， 只需f (e)＝1－ae ＋a ≥0即可，解得e 1－e≤a <－1.综上，a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫e1－e ，－1.12.椭圆x 2＋y 2b 2＝1(0<b <1)的左焦点为F ，上顶点为A ，右顶点为B ，若△F AB 的外接圆圆心P (m ，n )在直线y ＝－x 的左下方，则该椭圆离心率的取值范围为( ) A.⎝⎛⎭⎫22，1 B.⎝⎛⎭⎫12，1 C.⎝⎛⎭⎫0，22 D.⎝⎛⎭⎫0，12 答案 A解析 如图所示，右顶点B (1,0)，上顶点A (0，b )，左焦点F (－1－b 2，0)，线段FB 的垂直平分线为x ＝1－1－b 22.线段AB 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫12，b 2.∵k AB ＝－b ，∴线段AB 的垂直平分线的斜率k ＝1b ，∴线段AB 的垂直平分线方程为 y －b 2＝1b ⎝⎛⎭⎫x －12，把x ＝1－1－b 22＝m ， 代入上述方程，可得y ＝b 2－1－b 22b＝n .由P (m ，n )在直线y ＝－x 的左下方，可得m ＋n <0， ∴1－1－b 22＋b 2－1－b 22b <0，化简得b <1－b 2， 又0<b <1，解得0<b <22. ∴e ＝c a ＝c ＝1－b 2∈⎝⎛⎭⎫22，1，∴椭圆离心率的取值范围为⎝⎛⎭⎫22，1.13.已知复数z 满足z (3＋4i)＝3－4i ，z 为z 的共轭复数，则|z |＝________. 答案 1解析 由题意得z ＝3－4i 3＋4i ＝(3－4i )(3－4i )(3＋4i )(3－4i )＝－7－24i 9＋16＝－725－2425i ，∴z ＝－725＋2425i ，|z |＝⎝⎛⎭⎫－7252＋⎝⎛⎭⎫24252＝1.14.已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≤0，3x －y ＋1≥0，x －y －1≤0，则z ＝2x －3y 的最大值为________.答案 4解析 作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分(含边界)所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A (－1，－2)处取得最大值，其最大值为 z max ＝2×(－1)－3×(－2)＝4.15.已知a ，b ，c 分别是锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，且b ＝2,4－c 2＝(a －3c )a ，则sin A －2cos C 的取值范围是________. 答案 ⎝⎛⎭⎫0，32解析 由题意得b 2－c 2＝a 2－3ac ， 即a 2＋c 2－b 2＝3ac ， 则cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝32，又B ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 所以B ＝π6，由⎩⎨⎧0<A <π2，0<C ＝5π6－A <π2，得π3<A <π2，0<cos A <12. 因为sin A －2cos C ＝sin A ＋2cos(B ＋A )＝sin A ＋2⎝⎛⎭⎫32cos A －12sin A ＝3cos A ，所以0<3cos A <32， 故sin A －2cos C 的取值范围为⎝⎛⎭⎫0，32.。

2024届高三二轮复习“8+3+3”小题强化训练(27)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．抛物线24x y =-的准线方程是（）A.1y = B.1y =- C.2y = D.=2y -【答案】A 【解析】由题知抛物线224x py y =-=-,所以2p =，故抛物线24x y =-的准线方程为12p y ==.故选：A.2．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2532a a a =，且4a 与6a 的等差中项为54，则5S =（）A .29 B.31 C.33 D.36【答案】B【解析】不妨设等比数列{}n a 的公比为q ，由2532a a a =可得：252112a q a q =，因0,0n a q >>，则312a q =①又由4a 与6a 的等差中项为54可得：4652a a +=，即3215(1)2a q q +=②将①代入②，可得：12q =，回代入①，解得：116a =，于是515116(1)(1)3231.112a q S q --===-故选：B.3．已知α，β为关于x 的实系数方程2450x x -+=的两个虚根，则αβαβ+=+（）A. B.52-C.D.【答案】A 【解析】由2450x x -+=，()2441540∆=--⨯⨯=-<，∴方程2450x x -+=的两个虚根为44i 2i 2α+==+，44i 2i 2β-==-或2i α=-，2i β=+，不妨取2i α=+，2i β=-，则α==，β==∴2i 2i 2αβαβ+==+++-.故选：A.4．柏拉图多面体是指每个面都是全等正多边形的正多面体，具有严格对称，结构等价的特点．六氟化硫具有良好的绝缘性和广泛的应用性．将六氟化硫分子中的氟原子按图1所示方式连接可得正八面体（图2）．若正八面体外接球的体积为4π3，则此正八面体的表面积为（）A.32 B. C. D.【答案】D【解析】根据题意，作正八面体如下所示，连接,,AC BD PE ，设AC BD O ⋂=，根据其对称性可知，PE 过点O ，又该八面体为正八面体，则PO ⊥面ABCD ，又AO ⊂面ABCD ，故PO AO ⊥；显然正八面体的外接球球心为O ，设其半径为R ，PA a =，则OA OP R ==，在直角三角形PAO 中，a PA ===；由34π3R =4π3可得1R =，则a =；故该八面体的表面积2824S a =⨯==.故选：D.5．某班一天上午有五节课，下午有两节课，现要安排该班一天中语文､数学､物理､英语､地理､体育､艺术7堂课的课程表，要求艺术课排在上午第5节，体育课排在下午，数学与物理不相邻，则不同的排法种数是（）A.128B.148C.168D.188【答案】C【解析】艺术课一定在上午第5节只一种排法，体育课在下午共12A 种排法；因数学与物理不相邻，分两类：第一类：数学与物理有一科在下午，另一科在上午，与其他科排列共1424A A 种排法；第二类：数学与物理均在上午且不相邻，先在语文､英语､地理中选一科排在下午有13A ，再把剩下2科排在上午22A 种排法，在它们中间及两端共3个空位安排数学与物理，共23A 种排法，由分步乘法计数原理共122323A A A 种，所以共有()()114122224323A A A A A A 2224326168+=⨯+⨯⨯=,故选：C.6．已知非零向量a ，b满足a = ，若()()32a b a b +⊥- ，则a 与b 的夹角为（）A.π4 B.π2 C.3π4 D.π【答案】C 【解析】因为()()32a b a b +⊥- ，所以()()320+⋅-= a b a b ，则2223a b b a ⋅=- ，又a =，则2223223a b b b ⎪⋅=-⎫=-⎪⎭，所以22cos ,223b a b a b a b ⋅===--⋅ ，又0,πa b ≤≤ ，则a 与b 的夹角为3π4.故选：C .7.已知函数()(),f x g x 的定义域均为(),21f x +R 是奇函数，且()()()34,f x g x y g x +-=-=的图象关于1x =对称，()42f =，则()()2224f g +=（）A.4B.8C.4-D.6-【答案】D 【解析】因为()y g x =的图象关于1x =对称，所以()()31g x g x -=-．因为()()34f x g x +-=-①，则()()()4344f x g x -+--=-，即()()414f x g x -+-=-②，①-②得，()()4f x f x =-，所以()y f x =的图像关于2x =对称．令()()21h x f x =+，则()h x 是奇函数，所以()()11022x x h h f x f x ⎛⎫⎛⎫+-=++-+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()()11f x f x +=--+，所以()f x 的图象关于点()1,0中心对称，所以()()42f x f x -=--，所以()()()24f x f x f x =--=-，所以()f x 是以4为周期的周期函数．因为()()14f x g x +-=-，所以()()41g x f x =--+．因为()f x 是以4为周期的周期函数，所以()g x 也是以4为周期的周期函数，取0x =，()()11f f =-，所以()10f =．因为()42f =，所以()02f =，所以()()()()202,310f f f f =-=-=-=．取3x =，所以()()304f g +=-，所以()04g =-，所以()()()()222420246f g f g +=+=--=-，故选:D．8．若3sin cos θθ+=，则π1tan π8tan 8θθ⎛⎫+- ⎪⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭的值为（）A.7- B.14- C.17 D.27【答案】B【解析】一方面由题意3sin cos θθ+=，且注意到22sin cos 1θθ+=，联立得210sin 90θθ-+=，解得31010sin ,cos 1010θθ==，所以sin tan 3cos θθθ==，另一方面不妨设πtan 08x =>，且2π2tanπ8tan 1π41tan 8==-，所以有2210x x +-=，解得1x =-或1x =--πtan 18x ==-+，由两角和的正切公式有(3124πtan tan 7581tan x x θθθ+-++⨯++⎛⎫+==-+ ⎪-⋅⎝⎭，所以(π1t 87an π8t an θθ⎛⎫+⎛=-+- ⎪⎫⎝⎭+ ⎪+⎝⎭(7=-++7714=--+=-.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．已知一组样本数据()1,2,3,,10i x i = ，其中()1,2,3,,10i x i = 为正实数.满足12310x x x x ≤≤≤≤ ，下列说法正确的是（）A.样本数据的第80百分位数为8xB.去掉样本的一个数据，样本数据的极差可能不变C.若样本数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则样本数据的平均数大于中位数D.若样本数据的方差102211410i i s x ==-∑，则这组样本数据的平均数等于2【答案】BCD【解析】对于A，由1080%8⨯=，所以样本数据的第80百分位数为892x x +，故A错误；对于B，由题意存在这样一种可能，若23101x x x x =≤≤≤ ，则极差为101102x x x x -=-，此时样本数据的极差不变，故B正确；对于C，数据的频率分布直方图为单峰不对称，向右边“拖尾”，大致如下图，由于“右拖”时最高峰偏左，中位数靠近高峰处，平均数靠近中点处，此时平均数大于中位数，故C正确；对于D，由()1010222111141010i i i i s x x x ===-=-∑∑，则()1010101010222222111114021010i i i i i i i i i i xx xx x x x x x =====-=-=-+=-∑∑∑∑∑，所以24x =，因为()1,2,3,,10i x i = 为正实数，所以0x >，即2x =，故D正确.故选：BCD.10．已知函数()sin cos sin 2f x x x x =-+，则下列选项正确的是（）A.π是函数()f x 的一个周期B.π4x =-是函数()f x 的一条对称轴C.函数()f x 的最大值为54，最小值为1-D.函数()f x 在35π,π44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减【答案】ABC【解析】对A：()()()()πsin πcos πsin 2πsin cos sin 2f x x x x x x x +=+-+++=-+，故π是函数()f x 的一个周期，故A正确；对B：()ππππsin x cos x sin 2x sin cos sin π22222f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=-----+-=-+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭sin cos sin 2x x x =-+，故π4x =-是函数()f x 的一条对称轴，故B正确；对C、D：令sin cos x x t -=，有2sin 21x t =-，因为[]sin 21,1x ∈-，所以[]20,2t ∈，则2215sin cos sin 2124y x x x t t t ⎛⎫=-+=-++=--+ ⎪⎝⎭，由π0,4t x ⎛⎫⎡=-∈ ⎪⎣⎝⎭，则函数()f x 的最大值为54，最小值为1-，故C正确；函数f x 由21y t t =-++和sin cos t x x =-复合而成，函数21y t t =-++在⎡⎣上先增后减，π4t x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在3π5π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减，且t ⎡∈⎣，则函数()f x 在3π5π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不是单调递减，故D错误.故选：ABC.11．已知点(2,0),(2,0),(0A B N ,-动点M 满足直线AM 和BM 的斜率之积为12-，记点M 的轨迹为曲线C ，过坐标原点的直线交C 于,P Q 两点，点P 在第一象限，PE x ⊥轴，垂足为E ，连接QE 并延长交C 于点G ，则（）A.曲线C 的方程为：22142x y += B.PQG 为直角三角形C.PAN △面积最大值为2D.PQG 面积最大值为169【答案】BD【解析】对A：设(,)M x y ，则1222y y x x ，⋅=-+-化简得：22142(2)x y x +=≠±，故A错误；对B：设()00,P x y ，()11,G x y ，()()000,,,0Q x y E x --，则0000022PQ QE y y k k k k x x ，==>==，2210101022101010QG GPy y y y y y k k x x x x x x +--=⋅=+--，∵2211142x y +=，2200142x y +=，∴220122102222122QG GP GP x x k k k k x x ⎛⎫--- ⎪⎝⎭==-=-，则1GP k k =-，则1,90GP PQ k k QPG ⋅=-∠=︒，故B 正确；对C：与直线AN 平行且与曲线C 相切且切点在第一象限的切线方程为22y x m =-+()0m >，联立2222142y x m x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得2220x m -+-=，由()222420m m D =--=得2m =，∴切线为222y x =-+，两平行直线的距离为2263d （+==，此时PAN△面积最大，最大值为1226223（+=+，故C错误；对D：设直线PQ 得方程为(0)y kx k =>，2224y kx x y =⎧⎨+=⎩，解得00x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩则直线PG ：()2000111k y x x y x x k k k+=--+=-+，联立直线PG 与曲线C 的方程可得()()()222222002412140k x x k x x k +-+++-=，则()2002412G x k x x k ++=+，()()()()20022211888112122211221PQG G k k k k k k S y x x k k k k k k k k ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭=+===⎛⎫⎛⎫++⎛⎫++++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，令12t k k =+³，则Δ28822122PQG t S t t t ==++，∵222y t t =+,22924242y t t =+≥+=，即Δ8162922PQG S t t =≤+，当且仅当1k =时等号成立，故D正确，故选：BD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．设集合(){}(){}2233log 9,log 9A xy x B y y x ==-+==-+∣∣，则A B = __________.【答案】(]3,2-【解析】(){}{}{}223log 99033A x y x x x x x ==-+=-+>=-<<，()3,3A ∴=-，(){}{}{}233log 9log 92B y y x y y y y ==-+=≤=≤，(],2B ∴=-∞，(]3,2A B ∴⋂=-.故答案为：(]3,2-.13.函数()f x 的定义域为R ，对任意的x ，y ，恒有ππ()()()22f x y f x f y f x f y ⎛⎫⎛⎫+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立.请写出满足上述条件的函数()f x 的一个解析式__________.【答案】()sin f x x =（答案不唯一）依题意不妨令()sin f x x =，则()()sin sin cos cos sin f x y x y x y x y +=+=+，又ππππ()()sin sin sin sin 2222f x f y f x f y x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭sin cos cos sin x y x y =+，所以ππ()()()22f x y f x f y f x f y ⎛⎫⎛⎫+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()sin f x x =符合题意.同理可证明()sin 5f x x =，()sin 9f x x =，L ，也符合题意.故答案为：()sin f x x =（答案不唯一）14.锐角ABC 的内角A 的对边为a ，若ABC 的面积是2a ，则sin cos cos A B C的最小值是______．【答案】8【解析】作AD BC ⊥于D ，则212a AD a ⋅=，所以2AD a =.设BD xa =，则DC a xa =-，因为ABC 是锐角三角形，所以00xa a a xa a <<⎧⎨<-<⎩，解得01x <<，则10x ->，又2222tan ,tan 1a a B C xa x a xa x ====--，所以sin sin()sin cos cos sin cos cos cos cos cos cos A B C B C B C B C B C B C ++==2211tan tan 2[(1)]11B C x x x x x x ⎛⎫=+=+=++- ⎪--⎝⎭142481x x x x -⎛⎫=++≥+ ⎪-⎝⎭，等号仅当11x x x x -=-，即12x =时成立，所以sin cos cos A B C的最小值为8.故答案为：8.。

分小题精准练三建议用时：50分钟一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1．集合A＝{|n ＜1}，B＝{|2－－2＜0}，那么A∩B＝A．－1,2 B．0,2C．－1，e D．0，eB[A＝{|n ＜1}＝{|0＜＜e}，B＝{|2－－2＜0}＝－1,2，故A∩B＝0,2，应选B．]2．复数满足·i2 02021＋i2 019其中i为虚数单位，那么复数的虚部是A．－1 B．1C．－i D．iA[∵i4＝1，∴i2 020214×505＝1，i2 019＝i4×504＋3＝－i，那么·i2 02021＋i2 019化为＝1－i，∴的虚部为－．]3．在等差数列{a n}中，a2＋a4＋a6＝－3，a3＋a5＋a7＝6，那么S8＝A．3 B．4C．5 D．6B[由a2＋a4＋a6＝－3，a3＋a5＋a7＝6，那么3a2＋a7＝3，解得a2＋a7＝1，S8＝错误!＝．]4．，满足约束条件错误!那么＝2＋的最小值为A．4 B．2C．1 D．错误!C[先根据，满足线性约束条件错误!画出可行域，平移直线2＋＝0，当直线＝2＋过点B0,1时，．]5．甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念．假设老师站在正中间，甲同学不与老师相邻，乙同学与老师相邻，那么不同站法种数为A．24 B．12C．8 D．6C[根据题意，分3步进行分析：①老师站在正中间，甲同学不与老师相邻，那么甲的站法有2种；②乙同学与老师相邻，那么乙的站法有2种；③将剩下的2人全排列，安排在剩下的2个位置，有A错误!＝2种情况．那么不同站法有2×2×2＝8种．应选C．]6．假设in错误!＝错误!，那么co错误!的值为A．－错误!B．－错误!C．错误!D．错误!B[∵in错误!＝错误!，∴co错误!＝错误!，∴co错误!＝co 2错误!＝2co2错误!－1＝2×错误!－1＝－错误!应选B．]7．在△ABC中，a，b，c，分别是内角A，B，C的对边，假设in C co B＝错误! in B，那么边长b为A．1 B．错误!C．错误!D．2D[由in C co B＝错误!in B，∴in C co B＋co C in B＝错误!a in B，in B＋C＝错误!a in B，in A＝错误!a in B，∴a＝错误!ab，∴b＝．]8．直三棱柱ABC-A1B1C1的体积为V，假设in，而g＝－错误!在错误!递增，g ＞g错误!＝－8，故a＞－8，应选C．]12．直线：－＋3＝0与双曲线C：错误!－错误!＝1a＞0，b＞0交于A，B两点，点＝－2,1，n＝4，，假设m⊥n，那么|2m＋n|＝________10[根据题意，向量m＝－2,1，n＝4，，假设m⊥n，那么m·n＝－8＋＝0，解得＝8，那么2m＋n＝0,10，故|2m＋n|＝10]＝A in2＋θ错误!的局部图象如下图，对于任意的1，2∈[a，b]，假设f1＝f2，有f1＋2＝错误!，那么in θ＝________，f＝________错误!2in错误![由图象可知，A＝2，对称轴＝错误!，所以2in错误!＝2，所以1＋2＋θ＝2π＋错误!错误!，因此1＋2＝2π＋错误!－θ错误!，又因为f错误!＝错误!，即2in错误!＝错误!，可得in θ＝错误!错误!，所以θ＝错误!，即f＝2in错误!]16．在平面直角坐标系O中，直线过抛物线2＝8的焦点F，且与该抛物线相交于A、B两点，其中点A在轴上方．假设直线的倾斜角为60°，那么|OA|＝________2错误![抛物线2＝8的焦点F的坐标为2,0，∵直线过F，倾斜角为60°，即斜率＝tan 60°＝错误!，∴直线的方程为：＝错误!－2，即＝错误!＋2，由错误!点A在轴上方，解得：错误!即A6,4错误!，那么|OA|＝错误!＝2错误!]。

2023届高三数学（80分系列）三基小题训练（01）（参考答案）（内容：立体几何）1．【答案】B 【解析】解：设外接球半径为R ，球心为O ，圆台较小底面圆的圆心为1O ，则22211OO R +=，而152OO R =+-，故221(52)R R =++-5R ⇒=2420S R ππ⇒==.故选:B. 2．【答案】B 【解析】解：如图所示，由题得28,22BM BM ππ⨯==.设球的半径为R ，则1,3MO R OB R ==,所以2221(22),39R R R OA =+∴==.故选：B3．【答案】A【解析】设正三棱台上下底面所在圆面的半径12,r r ，所以1233432,2sin 60sin 60r r ==，即123,4r r ==，设球心到上下底面的距离分别为12,d d ，球的半径为R ，所以219d R =-，2216d R =-，故121d d -=或121d d +=，即229161R R ---=或229161R R -+-=，解得225R =符合题意，所以球的表面积为24π100πS R ==．故选：A ． 4．【答案】D 【解析】如图，在正方体中，即1AD 为m ，EF 为n ，底面ABCD为平面α，则m ，n 在平面α内的射影AD 和CD 垂直；如图，在正方体中，即1AD 为m ，BG 为n ，底面ABCD 为平面α，则m ，n在平面α内的射影AD 和BC 平行；综上，m ，n 在平面α内的射影,m n ''可能平行，也可能垂直. 故选：D. 5．【答案】D【解析】如图，分别取1111、、A D A A CC 的中点F 、E 、M ，连接、、、、、RF FE EP PQ QM MR ，由正方体性质//RF PQ ，所以、、、∈R F P Q 平面α，且////RF PQ MN ，又、、QF RP EM 交于同一点O ，所以、∈E M 平面α，所以点P 、Q 、R 确定的平面β即为六边形RFEPQM 故选：D ． 6．【答案】D【解析】A 选项，α内有无数条直线与β平行，α与β可能相交，A 选项错误.B 选项，,αβ垂直于同一平面，α与β可能相交，B 选项错误.C 选项，,αβ平行于同一条直线，α与β可能相交，C 选项错误.D 选项，α内的任何直线都与β平行，则//αβ，D 选项正确. 故选：D7．【解析】设正方体的棱长为2a ，连接1B C ，MC ，MB ， 因为11//B C A D ，故1CB M ∠或其补角为直线1A D 与直线1B M 所成角. 而122B C a =，2MC a =，222211426B M B B BM a a a =+=+=，故22211B C B M CM =+，所以1MB CM ⊥，所以163cos 222a CB M a∠==，因为1CB M ∠为锐角，故130CB M ∠=︒，故选：A.8．【答案】C 【解析】依题意可知棱台的高为157.5148.59MN =-=(m)，所以增加的水量即为棱台的体积V ．棱台上底面积262140.014010S ==⨯km m ，下底面积262180.018010S '==⨯km m ，∴()()661211914010180101401801033V h S S SS =++=⨯⨯⨯+⨯+⨯⨯''()()679933320607109618 2.6510 1.43710 1.410(m )=⨯+⨯≈+⨯⨯=⨯≈⨯．故选：C ．9．【答案】ABD 【解析】如下图，可知A 、B 、D 都正确，而满足C 的平面γ不存在.故选：ABD. 10．【答案】ACD【解析】对于A ，记圆锥底面圆心为O ，3sin 2AO APO AP ∠==，所以60APO ∠=︒，所以120APB ∠=︒，故A 正确；对于B ，设()0120APB θθ∠=︒<︒≤，则截面三角形的面积1sin 2sin 22S PA PB θθ=⋅=≤，故B 不正确；对于C ，由选项B 中推理可知，此时22AB =，所以点C 到AB 的距离的最大值为()()2233231+-=+，从而可知三棱锥C -PAB 的体积最大值为()116231221323+⎛⎫⨯⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭，故C 选项正确； 对于D ，由题意可得△PAC 和△PBC 全等，在△PAC 中，2PA PC ==，6AC =，所以4461cos 2224APC +-∠==⨯⨯，进而15sin 4APC ∠=，记PC 边上的高为h （垂足为Q ），则1515sin 242h PA APC =∠=⨯=，所以215MA MB h +=≥，当M 与Q 重合时取等号，故D 选项正确；故选：ACD ． 11．【答案】BD【解析】对A ，如图，根据正方体的性质有11AB D C ∥且11AB D C =，故平行四边形11ABC D ，故11BC AD ∥，故当且仅当P 在B 点时才有11PC AD ∥，故A 错误；对B ，如图，由正方体的性质可得11B C BC ⊥，11A B ⊥平面11BB C C ，故111A B BC ⊥，又111B C A B ⋂，111,B C A B ⊂平面11A B CD ，故1BC ⊥平面11A B CD ，故11BC A C ，同理11DC AC ⊥，故1A C ⊥平面1BC D ，故11PC A C ⊥，故B 正确；对C ，当P 在B 时，1160C BA ∠=，故1PC ⊥平面1A BD 不成立，故C 错误；对D ，同B 有1A C ⊥平面11AB D ，故平面1BC D ∥平面11AB D ，故1PC ∥平面11AB D 成立，故D 正确；故选：BD12．【答案】ACD 【解析】对于A ，取OO '的中点M ，易得MA MB MC MP ===，则M 为三棱锥P ABC -外接球的球心，在ABC 中，由正弦定理得2sin BCO A BAC '==32332=，所以3O A '=， 又12O M OO ''==1=，所以()2312AM =+=，所以三棱锥P ABC -外接球的表面积为24π216π⋅=.故A 正确；对于B ，过P 过PQ ⊥平面ABC ，垂足为Q ，连AQ ，则PQ BC ⊥，又因为PA BC ⊥，PA PQ P =，所以BC ⊥平面PAQ ，所以BC AQ ⊥，只有当AQ 经过BC 的中点时，才有AB AC =，故B 不正确；对于C ，在ABC 中，由余弦定理得2222cos60BC AB AC AB AC =+-⋅⋅ 222()AB AC AB AC AB AC AB AC =+-⋅=-+⋅，所以29()AB AC AB AC AB AC =-+⋅≥⋅，即9AB AC ⋅≤，当且仅当AB AC =时，等号成立，所以1sin 602ABC S AB AC =⋅⋅△13939224≤⨯⨯=， 所以三棱锥P ABC -体积的最大值为193332342⨯⨯=.故C 正确； 对于D ，设点A 到平面PBC 距离为h ，则11123332A PBC PBC V h S h h -=⋅=⋅⋅⋅=△，因为332A PBC P ABC V V --=≤，所以332h ≤，即点A 到平面PBC 距离的最大值为332，故D 正确. 故选：ACD13．【答案】42【解析】如图所示，将三棱锥的侧面展开，因为30APB BPC CPA ∠=∠=∠=，所以190∠=APA ， 当虫子沿1AA 爬行时，距离最短， 又1161642=+=AA ，所以虫子爬行的最短距离是42. 故答案为：42.14．【答案】227【解析】由图知3R r =，包装盒的高为2r ，因此，232π218πV R r r =⋅=，又314π3V r =， 所以31324π2318π27rV V r ==.故答案为：227 15．【解析】在长方体1111ABCD A B C D -中，AB ⊥平面11ADD A ，则有1AB AD ⊥， 又3cm AB =，2cm AD =，11cm AA =，于是有1AD1112ABD S AB AD =⋅=而111,AB BB D A ⊥⊥平面1ABB ，111322ABB SAB BB =⋅=， 设点1B 到平面1ABD 的距离为h ，由1111B ABD D ABB V V --=得：11111133ABD ABB Sh SDA ⋅=⋅，322=⋅，解得h =所以点1B 到平面1ABD16． 【解析】依题意，O 是BD 中点，取AC 中点1O ，延长1BO 至E ，使11O E BO =，连接1,,,OO DE AE CE ，如图，则有1//DE OO ，且四边形ABCE 是平行四边形，2AE BC ==，因AB BC ⊥，则1O 是平面ABC 截球O 所得截面小圆的圆心，于是得1OO ⊥平面ABC ，DE ⊥平面ABC ，因此，DAE ∠是直线AD 与平面ABC 所成角，由球O 的表面积为16π得球半径2OA =，而2AB BC ==，则1AO 1OO AC ⊥，从而得1OO 12DE OO ==Rt ADE △中，AD =sin DE DAE AD ∠==所以直线AD 与平面ABC.。

[80分] 解答题标准练(二)1．(2018·威海模拟)在△ABC 中，边BC 上一点D 满足AB ⊥AD ，AD ＝3DC . (1)若BD ＝2DC ＝2，求边AC 的长； (2)若AB ＝AC ，求sin B . 解 (1)∵AB ⊥AD ，∴在Rt△ABD 中，sin∠ABD ＝AD BD ＝32， ∴∠ABD ＝60°，AB ＝1.在△ABC 中，AB ＝1，BC ＝3，由余弦定理可得，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos∠ABC＝1＋9－2×1×3×12＝7，∴AC ＝7.(2)在△ACD 中，由正弦定理可得AD sin C ＝DCsin∠DAC ，∵AD ＝3DC ， ∴3sin C ＝1sin∠DAC， ∵AB ＝AC ，∴B ＝C ， ∴∠BAC ＝180°－2B ， ∵∠BAD ＝90°， ∴∠DAC ＝∠BAC －∠BAD ＝180°－2B －90°＝90°－2B ， ∴3sin B ＝1sin (90°－2B )， ∴3sin B ＝1cos 2B， 化简得23sin 2B ＋sin B －3＝0， 即(3sin B －1)(2sin B ＋3)＝0， ∵sin B >0，∴sin B ＝33. 2．(2018·安徽省亳州市涡阳一中模拟)如图，在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，已知∠B 1C 1A 1＝90°，异面直线AB 1⊥A 1C ，且AA 1＝AC .(1)求证：平面ACC1A1⊥平面A1B1C1；(2)若AC1＝AA1＝B1C1，求直线A1C1与平面ABB1A1所成角的正弦值．(1)证明因为AA1＝AC，所以四边形ACC1A1是菱形，所以A1C⊥AC1，又因为异面直线AB1⊥A1C，AC1∩AB1＝A，AB1，AC1⊂平面AB1C1，所以A1C⊥平面AB1C1，又B1C1⊂平面AB1C1，所以A1C⊥B1C1.又因为∠B1C1A1＝90°，即B1C1⊥A1C1，且A1C1∩A1C＝A1，A1C，A1C1⊂平面ACC1A1，所以B1C1⊥平面ACC1A1，又B1C1⊂平面A1B1C1，所以平面ACC1A1⊥平面A1B1C1.(2)解设O是A1C1的中点，因为AC1＝AA1，所以AO⊥A1C1，由(1)可知，AO⊥平面A1B1C1，以O为坐标原点，过点O且与C1B1平行的直线为x轴，以OC1所在直线为y轴，以OA所在直线为z轴，建立空间直角坐标系O－xyz，设AA1＝2，则A(0,0，3)，A1(0，－1,0)，C1(0,1,0)，B1(2,1,0)，设A 1C 1与平面ABB 1A 1所成的角为θ，因为 A 1C 1→＝(0,2,0)，A 1B 1→＝(2,2,0)，A 1A →＝(0,1，3)， 设平面ABB 1A 1的一个法向量是n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧A 1B 1→·n ＝0，A 1A →·n ＝0，即⎩⎨⎧2x ＋2y ＝0，y ＋3z ＝0，不妨令x ＝1， 则y ＝－1，z ＝33，可得n ＝⎝⎛⎭⎪⎫1，－1，33， 所以sin θ＝|cos 〈A 1C 1→，n 〉|＝22×73＝217， 所以直线A 1C 1与平面ABB 1A 1所成角的正弦值为217. 3．(2018·山西省运城市康杰中学模拟)在某校举行的航天知识竞赛中，参与竞赛的文科生与理科生人数之比为1∶3，且成绩分布在[40,100]内，分数在80以上(含80)的同学获奖．按文、理科用分层抽样的方法抽取200人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图(见下图)．(1)填写下面的2×2列联表，判断能否有超过95%的把握认为“获奖与学生的文、理科有关”？(2)将上述调査所得的频率视为概率，现从该校参与竞赛的学生中，任意抽取3名学生，记“获奖”学生人数为X ，求X 的分布列及期望．附表及公式：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，n ＝a ＋b ＋c ＋d .其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .解 (1)K 2＝200×(5×115－35×45)250×150×40×160＝256≈4.167>3.841，所以有超过95%的把握认为“获奖与学生的文、理科有关”．(2)由表中数据可知，将频率视为概率，从该校参赛学生中任意抽取一人，抽到获奖同学的概率为15.X 的所有可能的取值为0,1,2,3，且X ～B ⎝⎛⎭⎪⎫3，15.P (X ＝k )＝C k 3×⎝ ⎛⎭⎪⎫15k ×⎝⎛⎭⎪⎫1－153－k(k ＝0,1,2,3)． P (X ＝0)＝C 03×⎝ ⎛⎭⎪⎫150×⎝ ⎛⎭⎪⎫453－0＝64125， P (X ＝1)＝C 13×⎝ ⎛⎭⎪⎫151×⎝ ⎛⎭⎪⎫453－1＝48125， P (X ＝2)＝C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫152×⎝ ⎛⎭⎪⎫451＝12125， P (X ＝3)＝C 33×⎝ ⎛⎭⎪⎫153×⎝ ⎛⎭⎪⎫45＝1125， 所以X 的分布列为E (X )＝3×15＝35.4．(2018·安徽省“皖江八校”联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F (－c,0)，右顶点为A ，点E 的坐标为(0，c )，△EFA 的面积为b 22，过点E 的动直线l 被椭圆C 所截得的线段MN 长度的最小值为463.(1)求椭圆C 的方程；(2)B 是椭圆C 上异于顶点的一点，且直线OB ⊥l ，D 是线段OB 延长线上一点，且|DB |＝75|MN |，⊙D 的半径为|DB |，OP ，OQ 是⊙D 的两条切线，切点分别为P ，Q ，求∠POQ 的最大值，并求出取得最大值时直线l 的斜率．解 (1)由已知，可得12(c ＋a )c ＝b22.又由b 2＝a 2－c 2，可得2c 2＋ac －a 2＝0，解得a ＝2c ，设椭圆C 的方程为x 24c 2＋y 23c2＝1，当直线l 的斜率不存在时，线段MN 的长为23c ； 当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y ＝kx ＋c ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24c 2＋y 23c 2＝1，y ＝kx ＋c ，得(4k 2＋3)x 2＋8kcx －8c 2＝0，Δ＝(8kc )2＋32c 2(4k 2＋3)>0， 从而|MN |＝k 2＋1·Δ4k 2＋3＝46c ·k 2＋1·2k 2＋14k 2＋3 ＝23c ·(4k 2＋4)·(4k 2＋2)(4k 2＋3)2＝23c ·1－1(4k 2＋3)2<23c ， 易知当k ＝0时，|MN |的最小值为463c ，从而c ＝1，因此，椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由B 是椭圆上异于顶点的一点且直线OB ⊥l ，可知l 的斜率存在且不为0.由(1)知，|MN |＝46·k 2＋1·2k 2＋14k 2＋3， 而⊙D 的半径r ＝75|MN |， 又直线OB 的方程为y ＝－1kx ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝－1k x ，得x 2B ＝12k23k 2＋4，＝12·k 2＋13k 2＋4， 由题意可知sin ∠POQ 2＝r r ＋|OB |＝11＋|OB |r，要求∠POQ 的最大值，即求|OB |r的最小值．而|OB |r＝12·k 2＋13k 2＋475·46·k 2＋1·2k 2＋14k 2＋3＝57·4k 2＋322·3k 2＋4·2k 2＋1 ＝57(4k 2＋3)2(12k 2＋16)·(4k 2＋2)， 令u ＝4k 2＋3， 则u >3，1u ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13，因此|OB |r ＝57u 2(3u ＋7)·(u －1)＝5713＋4u －7u2＝5－⎝ ⎛⎭⎪⎫7u －22＋25≥1，当且仅当7u ＝2，即u ＝72时等号成立，此时k ＝±24，所以sin ∠POQ 2≤12， 因此∠POQ 2≤π6，所以∠POQ 的最大值为π3.综上所述，∠POQ 的最大值为π3，取得最大值时直线l 的斜率k ＝±24. 5．(2018·四川省成都市第七中学模拟)已知函数f (x )＝(3－x )e x＋ax(x >0，a ∈R )．(1)当a >－34时，判断函数f (x )的单调性；(2)当f (x )有两个极值点时，若f (x )的极大值小于整数m ，求m 的最小值．解 (1)由题意知，f ′(x )＝[－e x＋(3－x )e x]x －(3－x )e x－ax2＝(－x 2＋3x －3)e x－a x2(x >0)． 令h (x )＝(－x 2＋3x －3)e x－a (x >0)， 则h ′(x )＝(－x 2＋x )e x，当0<x <1时，h ′(x )>0，h (x )为增函数； 当x >1时，h ′(x )<0，h (x )为减函数． 故h (x )在x ＝1处取得极大值，也为最大值． 则h (x )max ＝h (1)＝－e －a . 由于a >－34，所以h (x )max ＝h (1)＝－e －a <0， 所以f ′(x )<0，于是f (x )为(0，＋∞)上的减函数． (2)令h (x )＝(－x 2＋3x －3)e x－a (x >0)， 则h ′(x )＝(－x 2＋x )e x，当0<x <1时，h ′(x )>0，h (x )为增函数； 当x >1时，h ′(x )<0，h (x )为减函数． 当x 趋近于＋∞时，h (x )趋近于－∞. 由于f (x )有两个极值点， 所以f ′(x )＝0有两个不等实根，即h (x )＝(－x 2＋3x －3)e x－a ＝0有两不等实根x 1，x 2(x 1<x 2)．则⎩⎪⎨⎪⎧h (0)<0，h (1)>0，解得－3<a <－e.可知x 1∈(0,1)，由于h (1)＝－e －a >0， h ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－34e 32－a <－34e 32＋3<0，则x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32. 而f ′(x 2)＝(－x 22＋3x 2－3)2e x－ax 22＝0， 即e x 2＝a－x 22＋3x 2－3，①所以f (x )极大值＝f (x 2)＝(3－x 2)2e x＋ax 2，于是f (x 2)＝ax 2－2ax 22－3x 2＋3，②令t ＝x 2－2，则x 2＝t ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫－1<t <－12，则②可变为g (t )＝t t 2＋t ＋1a ＝1t ＋1t＋1a ，可得－1<1t ＋1t＋1<－23，而－3<a <－e ， 则有g (t )＝tt 2＋t ＋1a ＝1t ＋1t＋1a <3， 下面再说明对于任意－3<a <－e ，x 2∈⎝⎛⎭⎪⎫1，32，f (x 2)>2.又由①得a ＝2e x(－x 22＋3x 2－3)，把它代入②得f (x 2)＝(2－x 2)2e x，所以当x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32时，f ′(x 2)＝(1－x 2)2e x<0恒成立，故f (x 2)＝(2－x 2) 2e x为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32上的减函数，所以f (x 2)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝1232e >2.所以满足题意的整数m 的最小值为3. 6．在数列{a n }中，S n ＋1＝4a n ＋2，a 1＝1. (1) 设c n ＝a n2n ，求证：数列{c n }是等差数列；(2) 求数列{a n }的通项公式及前n 项和的公式． (1)证明 ∵S n ＋1＝4a n ＋2，① ∴当n ≥2，n ∈N *时，S n ＝4a n －1＋2.② ①－②得a n ＋1＝4a n －4a n －1.方法一 对a n ＋1＝4a n －4a n －1两边同除以2n ＋1，得a n ＋12n ＋1＝2a n 2n －a n －12n －1，即a n ＋12n ＋1＋a n －12n －1＝2a n2n ， 即c n ＋1＋c n －1＝2c n ， ∴数列{c n }是等差数列．由S n ＋1＝4a n ＋2，得a 1＋a 2＝4a 1＋2， 则a 2＝3a 1＋2＝5，∴c 1＝a 12＝12，c 2＝a 222＝54，故公差d ＝54－12＝34，∴{c n }是以12为首项，34为公差的等差数列．方法二 ∵a n ＋1－2a n ＝2a n －4a n －1 ＝2(a n －2a n －1)， 令b n ＝a n ＋1－2a n ，则{b n }是以a 2－2a 1＝4a 1＋2－a 1－2a 1＝3为首项，2为公比的等比数列， ∴b n ＝3·2n －1，∵ c n ＝a n2n ， ∴ c n ＋1－c n ＝a n ＋12n ＋1－a n 2n ＝a n ＋1－2a n2n ＋1＝b n2n ＋1＝3×2n －12n ＋1＝34， c 1＝a 12＝12，∴ {c n }是以12为首项，34为公差的等差数列．(2)解 由(1)可知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是首项为12，公差为34的等差数列，∴a n 2n ＝12＋(n －1)34＝34n －14，a n ＝(3n －1)·2n －2是数列{a n }的通项公式． 设S n ＝(3－1)·2－1＋(3×2－1)·20＋…＋(3n －1)·2n －2，则2S n ＝(3－1)·20＋(3×2－1)·21＋…＋(3n －1)·2n －1，∴S n ＝2S n －S n＝－(3－1)·2－1－3(20＋21＋…＋2n －2)＋(3n －1)·2n －1＝－1－3×2n －1－12－1＋(3n －1)·2n －1＝－1＋3＋(3n －4)·2n －1＝2＋(3n －4)·2n －1.∴数列{a n }的通项公式为a n ＝(3n －1)·2n －2，前n 项和公式为S n ＝2＋(3n －4)·2n －1，n ∈N *.。

高考数学[70分]强化训练 解答题标准练(四)1.已知在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos(2B ＋2C )＋3cos A －1＝0，且△ABC 的外接圆的直径为2. (1)求角A 的大小；(2)若△ABC 的面积为23，求△ABC 的周长； (3)当△ABC 的面积取最大值时，判断△ABC 的形状.解 (1)由题意知2A ＋2B ＋2C ＝2π，所以cos(2B ＋2C )＋3cos A －1＝cos 2A ＋3cos A －1＝0，即2cos 2A ＋3cos A －2＝0， 解得cos A ＝－2(舍去)或cos A ＝12.又0<A <π，所以A ＝π3.(2)由题意及正弦定理得asin A ＝2，所以a ＝2sinπ3＝ 3. 因为△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝23，所以bc ＝8，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc ＝(b ＋c )2－24＝3， 所以b ＋c ＝33，所以△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝3＋33＝4 3.(3)由余弦定理得3＝b 2＋c 2－2bc cos A ≥bc ，当且仅当b ＝c 时等号成立， 所以S ＝12bc sin A ＝34bc ≤34×3＝334，当且仅当b ＝c 时等号成立，故当△ABC 的面积取最大值时，b ＝c ，又A ＝π3，所以△ABC 为等边三角形.2.如图，在平面多边形ABFCDE 中，四边形ABFE 是边长为2的正方形，四边形DCFE 为等腰梯形，G 为CD 的中点，且DC ＝2FE ，DE ＝CF ＝EF ，现将梯形DCFE 沿EF 折叠，使平面DCFE ⊥平面ABFE .(1)求证：EG ⊥平面BDF ；(2)求平面GEB与平面CBF所成锐二面角的余弦值.(1)证明连接GF，由已知得DG∥EF，DG＝EF，∴四边形DEFG为平行四边形.又DE＝EF，∴平行四边形DEFG是菱形，∴EG⊥DF.∵平面DCFE⊥平面ABFE，平面DCFE∩平面ABFE＝EF，BF⊥EF，BF⊂平面ABFE，∴BF⊥平面DCFE.又EG⊂平面DCFE，∴BF⊥EG，又BF∩DF＝F，BF，DF⊂平面BDF，∴EG⊥平面BDF.(2)解取EF的中点O，连接GO，则GO⊥平面ABFE，过点O在平面ABFE内作EF的垂线，交AB于点H，则以OH，OF，OG所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则E (0，－1,0)，B (2,1,0)，F (0,1,0)，G (0,0，3)，∴EB →＝(2,2,0)，EG →＝(0,1，3)，FB →＝(2,0,0)，FC →＝EG →＝(0,1，3). 设平面GEB 的法向量为m ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧ m ·EB →＝0，m ·EG →＝0，即⎩⎨⎧2x ＋2y ＝0，y ＋3z ＝0，取x ＝3，则y ＝－3，z ＝1，则m ＝(3，－3，1)为平面GEB 的一个法向量. 设平面CBF 的法向量为n ＝(x ′，y ′，z ′)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·FB →＝0，n ·FC →＝0，即⎩⎨⎧2x ′＝0，y ′＋3z ′＝0，x ′＝0，取y ′＝－3，则z ′＝1，则n ＝(0，－3，1)为平面CBF 的一个法向量. ∴cos〈m ，n 〉＝m ·n|m |·|n |＝47×2＝277.∴平面GEB 与平面CBF 所成锐二面角的余弦值为277.3.高铁、网购、移动支付和共享单车被誉为中国的“新四大发明”，彰显出中国式创新的强劲活力.某移动支付公司从我市移动支付用户中随机抽取100名进行调查，得到如下数据：(1)把每周使用移动支付超过3次的用户称为“移动支付活跃用户”，能否在犯错误概率不超过0.005的前提下，认为是否为“移动支付活跃用户”与性别有关？(2)把每周使用移动支付6次及6次以上的用户称为“移动支付达人”，视频率为概率，在我市所有“移动支付达人”中，随机抽取4名用户.①求抽取的4名用户中，既有男“移动支付达人”又有女“移动支付达人”的概率； ②为了鼓励男性用户使用移动支付，对抽出的男“移动支付达人”每人奖励300元，记奖励总金额为X ，求X 的分布列及数学期望. 附公式及表如下：K 2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d. P (K 2≥k 0)0.15 0.100.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828解 (1)由表格数据可得2×2列联表如下：非移动支付活跃用户移动支付活跃用户总计 男 25 20 45 女 15 40 55 总计4060100将列联表中的数据代入公式计算，得K 2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d＝10025×40－15×20240×60×55×45＝2 450297≈8.249>7.879. 所以在犯错误概率不超过0.005的前提下，能认为是否为“移动支付活跃用户”与性别有关. (2)视频率为概率，在我市“移动支付达人”中，随机抽取1名用户， 该用户为男“移动支付达人”的概率为13，女“移动支付达人”的概率为23.①抽取的4名用户中，既有男“移动支付达人”，又有女“移动支付达人”的概率为P ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫134－⎝ ⎛⎭⎪⎫234＝6481.②记抽出的男“移动支付达人”人数为Y ，则X ＝300Y .由题意得Y ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，13， P (Y ＝0)＝C 04⎝ ⎛⎭⎪⎫130⎝ ⎛⎭⎪⎫234＝1681；P (Y ＝1)＝C 14⎝ ⎛⎭⎪⎫131⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝3281； P (Y ＝2)＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝2481＝827； P (Y ＝3)＝C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫133⎝ ⎛⎭⎪⎫231＝881； P (Y ＝4)＝C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫134⎝ ⎛⎭⎪⎫230＝181. 所以Y 的分布列为所以X 的分布列为由E (Y )＝4×13＝43，得X 的数学期望E (X )＝300E (Y )＝400.4.已知椭圆C ：x 24＋y 22＝1，动直线l 过点A (0,1)且与椭圆C 交于P ，Q 两点.(1)求弦PQ 的中点M 的轨迹方程；(2)设O 为坐标原点，问是否存在常数λ，使得λAP →·AQ →＋OP →·OQ →为定值？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.解 (1)当直线l 的斜率不存在时，易知点M (0,0). 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，M (x ，y )(y ≠0).由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2y 2＝4，y ＝kx ＋1，得(2k 2＋1)x 2＋4kx －2＝0，Δ＝(4k )2＋8(2k 2＋1)>0恒成立，则x 1＋x 2＝－4k 2k 2＋1，x 1x 2＝－22k 2＋1.所以x ＝x 1＋x 22＝－2k 2k 2＋1，①y ＝k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k 2k 2＋1＋1＝12k 2＋1，② ①②两式联立，得x 2＋2y 2－2y ＝0(y ≠0). 又(0,0)适合上式，故弦PQ 的中点M 的轨迹方程为x 2＋2y 2－2y ＝0. (2)当直线l 的斜率存在时，由(1)知λAP →·AQ →＋OP →·OQ →＝λ[x 1x 2＋(y 1－1)(y 2－1)]＋x 1x 2＋y 1y 2 ＝(1＋λ)(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1 ＝－2λ－4k 2＋－2λ－12k 2＋1＝－λ－12k 2＋1－λ－2， 所以当λ＝1时，－λ－12k 2＋1－λ－2为定值－3.当直线l 的斜率不存在时，易知λAP →·AQ →＋OP →·OQ →为定值－λ－2，当λ＝1时，－λ－2＝－3.综上，存在常数λ＝1，使得λAP →·AQ →＋OP →·OQ →为定值－3. 5.已知函数f (x )＝e x＋ax2x－a ln x .(1)当a ＝－e 时，讨论函数f (x )的单调性； (2)讨论函数f (x )的零点个数.解 (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，当a ＝－e 时，f ′(x )＝exx －1x 2－e x －1x ＝x －1e x－e xx 2 ＝x －1x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫e xx －e .设h (x )＝e xx ，x >0，则h ′(x )＝x e x－e xx2＝e xx －1x 2， 令h ′(x )>0，则x >1，令h ′(x )<0，则0<x <1，所以h (x )在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数， 所以h (x )有最小值h (1)＝e ，所以h (x )≥h (1)＝e ，即exx－e≥0在(0，＋∞)上恒成立.令f ′(x )>0，则x >1，令f ′(x )<0，则0<x <1，因此f (x )在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数. (2)f ′(x )＝exx －1x 2＋a x －1x ＝x －1x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫e xx ＋a ， 由(1)知，exx－e≥0，若a ≥－e ，则e x x ＋a ≥exx－e≥0，令f ′(x )>0，则x >1，令f ′(x )<0，则0<x <1， 因此f (x )在(0,1)上是减函数， 在(1，＋∞)上是增函数， 所以f (x )min ＝f (1)＝e ＋a .当a >－e 时，f (x )min ＝e ＋a >0，f (x )无零点， 当a ＝－e 时，f (x )min ＝e ＋a ＝0，f (x )只有一个零点.若a <－e ，根据(1)知，方程exx＋a ＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2，且0<x 1<1<x 2，当0<x <x 1时，e x x ＋a >0，当x 1<x <x 2时，e x x ＋a <0，当x >x 2时，exx＋a >0.因此当0<x <x 1时，f ′(x )<0，当x 1<x <1时，f ′(x )>0，当1<x <x 2时，f ′(x )<0，当x >x 2时，f ′(x )>0，故f (x )在(0，x 1)和(1，x 2)上是减函数，在(x 1,1)和(x 2，＋∞)上是增函数， 由于f (x )＝e x＋ax2x－a ln x ＝e x ＋ax 2－ax ln xx，当x →0＋时，e x ＋ax 2－ax ln x >0，f (x )>0；当x →＋∞时，e x＋ax 2>0，－ax ln x >0，f (x )>0； 又f (1)＝a ＋e<0，所以f (x )有两个零点.因此，当a >－e 时，f (x )无零点，当a ＝－e 时，f (x )只有一个零点，当a <－e 时，f (x )有两个零点.6.在平面直角坐标系xOy 中，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋55t ，y ＝12＋255t(t 为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2＝21＋sin 2θ. (1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求|PA |·|PB |的值.解 (1)由ρ2＝21＋sin 2θ，得ρ2＋ρ2sin 2θ＝2， 令ρ2＝x 2＋y 2，ρsin θ＝y ， 得x 2＋y 2＋y 2＝2，即x 22＋y 2＝1，所以曲线C 的直角坐标方程为x 22＋y 2＝1.(2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋55t ，y ＝12＋255t(t 为参数)代入x 22＋y 2＝1，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋55t 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋255t 2＝1，整理得95t 2＋655t －12＝0，设点A ，B 对应的参数值分别为t 1，t 2， 则t 1t 2＝－1295＝－518，故|PA |·|PB |＝|t 1t 2|＝518. 7.已知函数f (x )＝|2x ＋a |.(1)当a ＝1时，解不等式f (x )≥x ＋5；(2)若a >0，b >0，g (x )＝f (x )＋2|x －b |的最小值为1，证明：a 3＋8b 3≥14.(1)解 当a ＝1时，f (x )＝|2x ＋1|≥x ＋5， 即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－12，2x ＋1≥x ＋5或⎩⎪⎨⎪⎧x <－12，－2x －1≥x ＋5，解得x ≥4或x ≤－2，所以原不等式的解集为{x |x ≤－2或x ≥4}.(2)证明 由题意得g (x )＝f (x )＋2|x －b |＝|2x ＋a |＋|2x －2b |≥|2x ＋a －2x ＋2b |＝a ＋2b ，当且仅当－a2≤x ≤b 时等号成立，所以a ＋2b ＝1.则(a ＋2b )3＝1＝a 3＋8b 3＋6ab (a ＋2b )＝a 3＋8b 3＋6ab ≤a 3＋8b 3＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋2b 22＝a 3＋8b 3＋34，即1≤a 3＋8b 3＋34，所以a 3＋8b 3≥14，当且仅当a ＝2b ＝12时等号成立，所以a 3＋8b 3≥14.。

2024届高三二轮复习“8+3+3”小题强化训练(28)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知单位向量1e ，2e 的夹角为120°，则122(2)-⋅=e e e （）A.2-B.0C.1D.2【答案】A【解析】()221221221221222cos1202122e e e e e e e e e ⎛⎫-⋅=⋅-=-=⨯--=- ⎪⎝⎭.故选：A.2．已知样本数据：1，2，3，4，5，6，7，8，9，则（）A.平均数为6 B.方差为6 C.极差为8 D.80百分位数为7【答案】C【解析】A：平均数为123959++++= ，故A错误；B：由方差公式计算可得()()()222152********93-+-++-== ，故B错误；C：极差等于最大值减去最小值，故918-=，故C正确；D：第80百分位数为90.87.2⨯=，为8，故D错误；故选：C.3．在61(2)x x-的展开式中含2x 项的系数是（）A.192-B.160- C.240D.60【答案】C【解析】二项式612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项公式为()()66621661C 2C 21rr r r rr r r T x x x ---+⎛⎫=⋅⋅-=⋅⋅-⋅ ⎪⎝⎭，令622r -=，得2r =，()2242236C 21240T x x =⋅⋅-⋅=即含2x 的系数为240.故选：C4．若函数()()ln e 1xf x ax =++为偶函数，则实数a 的值为（）A.12-B.0C.12D.1【答案】A【解析】()()ln e 1xf x ax =++的定义域为R ，()()()e 1ln e 1ln ln e 1e x xx x f x ax ax x ax -⎛⎫+-=+-=-=+-- ⎪⎝⎭，由于()()ln e 1xf x ax =++为偶函数，故()()()()()()ln e 11ln e 1120x x f x a x ax f x a x -=+-+=++=⇒+=，故120a +=，故12a =-故选：A 5．若()()()131,,1054P AB P A P B ===，则（）A.事件A 与B 互斥B.事件A 与B 相互独立C.()1320P A B += D.1()5P AB =【答案】B【解析】对于AB，()32155P A =-=，从而()()()21105410P A P B P AB =⨯==≠，故A错误B正确；对于C，()()()()12111451020P A B P A P B P AB +=+-=+-=，故C错误；对于D，()()11()410320P AB P B P AB =-=-=，故D错误.故选：B.6．数学家也有许多美丽的错误，如法国数学家费马于1640年提出了以下猜想：()2210,1,2,nn F n =+=⋅⋅⋅是质数．直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算出56416700417F =⨯，不是质数．现设()2log 1n n a F =-，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则使不等式2311223122220244049++++⋅⋅⋅+<n n n S S S S S S 成立的正整数n 的最大值为（）A.11B.10C.9D.8【答案】B【解析】依题意，222(1)log log 22nnn n F a =-==，2(12)2(21)12-==--n n n S ，则1111122111()4(21)(21)22121n n n n n n n n S S +++++==-----，则23112231222n n n S S S S S S +++++L 223341*********()22121212121212121n n +=-+-+-++---------L 1112024(12214049n +=-<-，即124050n +<，而*N n ∈，解得10n ≤，所以满足条件的正整数n 的最大值为10.故选：B7．已知()()π140,cos ,sin 255βααβαβ<<<+=-=，则tan tan αβ的值为（）A.12B.35C.53D.2【答案】A【解析】()1cos cos cos sin sin 5αβαβαβ+=-=，()4sin sin cos cos sin 5αβαβαβ-=-=，1sin cos cos sin 4cos cos sin sin ααβαβαββ-=-，分子分母同时除以cos cos αβ得：1tan tan 41tan tan αβαβ=--①，由于π02βα<<<，所以0π02π02αββα⎧⎪->⎪⎪-<-<⎨⎪⎪<<⎪⎩，所以π02αβ<-<，所以()3cos 5αβ-==，所以()()sin 4tan cos 3αβαβαβ--==-，即sin cos cos sin 4cos cos sin sin 3αβαβαβαβ-=+，分子分母同时除以cos cos αβ得：即tan tan 444,tan tan tan tan 1tan tan 333αβαβαβαβ-=-=++，代入①得：14441t n a t n ta an tan 33βααβ=+-，解得1tan tan 2αβ=.故选：A.8．已知函数()f x 的定义域为R ，且()22f x +-为奇函数，()31f x +为偶函数，()10f =，则()20241k f k =∑=（）A.4036B.4040C.4044D.4048【答案】D【解析】由题意得()22f x +-为奇函数，所以()()22220f x f x +-+-+-=，即()()224f x f x ++-+=，所以函数()f x 关于点()2,2中心对称，由()31f x +为偶函数，所以可得()1f x +为偶函数，则()()11f x f x +=-+，所以函数()f x 关于直线1x =对称，所以()()()22f x f x f x +=-=--+，从而得()()4f x f x =+，所以函数()f x 为周期为4的函数，因为()10f =，所以()()134f f +=，则()34f =，因为()f x 关于直线1x =对称，所以()()314f f =-=，又因为()f x 关于点()2,2对称，所以()22f =，又因为()()()420f f f =-=-，又因为()()()22422f f f -=-+==，所以()()()()12348f f f f +++=，所以()()()()()202412024123440484k f k f f f f =⎡⎤=⨯+++=⎣⎦∑，故D正确.故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．已知双曲线222:1(0)4x y C b b-=>的右焦点为F ，直线:0+=l x by 是C 的一条渐近线，P 是l 上一点，则（）A.C的虚轴长为 B.C的离心率为2e a ==C.PF 的最小值为2 D.直线PF 的斜率不等于2-【答案】ABD【解析】双曲线222:14x y Cb-=的渐近线方程为20bx y ±=，依题意，12b b -=-，解得b =，对于A，C 的虚轴长2b 对于B，C的离心率2e a ==，B正确；对于C，点F 到直线:0l x ==，即PF ，C错误；对于D，直线:0l x =的斜率为22-，而点F 不在l 上，点P 在l 上，则直线PF 的斜率不等于22-，D正确.故选：ABD10．已知函数()()sin f x A x ωϕ=+的部分图像如图所示，则下列说法正确的是（）A.()f x 的图象关于π,012⎛⎫⎪⎝⎭中心对称B.()f x 在区间7π3π,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增C.()f x 在[]0,a 上有4个零点，则实数a 的取值范围是13π17π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.将()2cos3g x x =的图象向右平移π4个单位长度，可以得到函数()f x 的图象【答案】AD【解析】不妨设0,0A ω>>，则32π5πππ2,412122A ω=⨯=+=，解得3ω=．又π212f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以3⨯ππ2π,122k k ϕ⎛⎫-+=-+∈ ⎪⎝⎭Z ，解得π2π4k ϕ=-+，k ∈Z ，取符合条件的ϕ的一个值，不妨令π4ϕ=-，则()π2sin 34f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭．对于A选项，因为πππ2sin 3012124f ⎛⎫⎛⎫=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．所以()f x 的图像关于π,012⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，故A选项正确；对于B选项，令πππ2π32π,242k x k k -+≤-≤+∈Z ，解得2πππ2π,31243k k x k -≤≤+∈Z ，所以()π2sin 34f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递增区间为:2πππ2π,,31243k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，取5k =，得()f x 的一个单调递增区间为13π43π,412⎡⎤⎢⎥⎣⎦．因为13π7π43π3π4212<<<，所以()f x 在7π3π,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不具有单调性，故B选项错误；对于C选项，因为[]0,x a ∈，所以πππ33444x a -≤-≤-，所以π3π34π4a ≤-<，解得13π17π1212a ≤<，故C选项错误；对于D选项，将()2cos3g x x =的图象向右平移π4个单位长度得到:ππ3π2cos32cos 3444g x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()πππ2cos 32sin 3244x x f x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，故D选项正确，故选:AD．11．如图，点P 是棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -的表面上一个动点，F 是线段11A B 的中点，则（）A.若点P 满足1AP B ⊥P 的轨迹长度为B.三棱锥1体积的最大值为1111832233C ABD V -=⨯⨯=C.当直线AP 与AB 所成的角为45 时，点P 的轨迹长度为π+D.当P 在底面ABCD 上运动，且满足//PF 平面11B CD 时，线段PF 长度最大值为【答案】BCD【解析】对于A，易知1B C ⊥平面11,ABC D A ∈平面11ABC D ，故动点P 的轨迹为矩形11ABC D ，动点P 的轨迹长度为矩形11ABC D 的周长，即为4，所以A 错误；对于B，因为1111A PD D P AB D V V --=，而等边11AB D 的面积为定值，要使三棱锥11P AB D -的体积最大，当且仅当点P 到平面11AB D 的距离最大，易知点C 是正方体到平面11AB D 距离最大的点，所以()1111maxA PB DC ABD V V --=，此时三棱锥11C AB D -即为棱长是的正四面体，其高为433h ==，所以1111343832233C AB D V -=⨯⨯⨯=，B正确；对于C：连接AC ，1AB ，以B 为圆心，1BB 为半径画弧 1B C，如图1所示，当点P 在线段1,AC AB 和弧 1B C上时，直线AP 与AB 所成的角为45 ，又2222114422,4422AC AB BC AB AB BB =+=+==+=+=，弧 1B C长度21π2π4⨯⨯=，故点P 的轨迹长度为π42+C 正确；对于D，取1111,,,,,A D D D DC CB BB AB 的中点分别为,,,,,Q R N M T H ，连接,,,,,,,,QR QF FT TM MN NR FH HN HM ，如图2所示，因为FT 1,D C FT ⊄平面111,D B C D C ⊂平面11D B C ，故FT 平面11D B C ，TM 1B C ，TM ⊄平面111,D B C B C ⊂平面11D B C ，故TM 平面11D B C ；又,,FT TM T FT TM ⋂=⊂平面FTM ，故平面FTM 平面11D B C ；又QF ,NM QR ,TM RN FT ，故平面FTMNRQ 与平面FTM 是同一个平面.则点P 的轨迹为线段MN ：在三角形FNM 中，22224422;426;2;FN FH HN FM FH HM NM =+=+==+=+==则2228FM MN FN +==，故三角形FNM 是以FMN ∠为直角的直角三角形；故max 22FP FN ==，故FP 长度的最大值为22，故D 正确.故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．设R m ∈，i为虚数单位.若集合{1,2(1)i}=+-A m m ，{2i,1,2}=-B ，且A B ⊆，则m ＝________.【答案】1【解析】集合{1,2(1)i}=+-A m m ，{2i,1,2}=-B ，且A B ⊆，则有2(1)i 2i m m +-=-或2(1)i 2m m +-=，解得1m =.故答案为：113.已知抛物线2:4E x y =与圆()22:116C x y +-=的公共点为,A B ，则AB =______；若P 为圆C 的劣弧AB 上不同于,A B 的一个动点，过点P 作垂直于x 轴的直线l 交抛物线E 于点,N l 不经过原点，则CPN △周长的取值范围是______．【答案】①.②.()8,10【解析联立方程()2224116x y x y ⎧=⎪⎨+-=⎪⎩，解得3x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩或3x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩不妨令()(),A B -，可得AB =由题意可知：圆()22:116C x y +-=的圆心为()0,1C ，半径圆4r =，抛物线2:4E x y =的焦点为()0,1C ，准线为1y =-；因为l 不经过原点，设(),P P P x y ，(),P N N x y ，则()3,5P y ∈，所以CPN △周长()()()4158,10P N N P PC PN NC y y y y ++=+-++=+∈；故答案为：()8,10.14.在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是CD 的中点，F 是1CC 上的动点，则三棱锥A-【解析】连接AE ，取AE 的中点G ，可知G 为ADE V 的外心，过G 作平面ABCD 的垂线，可知三棱锥A DEF -外接球的球心O 在该垂线上，设(],0,4GO n CF m ==∈，以D 为坐标原点，1,,DA DCDD 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，则()()()()()()0,0,0,4,0,0,0,2,0,2,1,0,2,1,,0,4,D A E G O n F m ，因为OD OF =，即=整理得42m n m =+≥=，当且仅当42m m =，即m =时，等号成立，所以三棱锥A DEF -=.。

高三数学答题强化训练三角问题【题目1】已知△ABC三个内角A，B，C对应三条边长分别是a，b，c，且满足c sin A－3a cos C＝0.(1)求角C的大小；(2)若cos A＝277，c＝14，求sin B和b的值.解(1)由c sin A－3a cos C＝0，得sin C sin A－3sin A cos C＝0，∵A为△ABC的内角∴sin A≠0，∴sin C－3cos C＝0，即tan C＝3，又C∈(0，π)，所以C＝π3.(2)由cos A＝277，且A是△ABC的内角，得sin A＝21 7，∴sin B＝sin(A＋C)＝sin A cos C＋cos A sin C＝217×12＋277×32＝32114.在△ABC中，由正弦定理bsin B＝csin C，得b＝c sin Bsin C＝14×3211432＝3 2.立体几何问题【题目2】如图，在四棱锥P－ABCD中，已知底面ABCD为矩形，PA⊥平面PDC，点E为棱PD的中点.(1)求证：PB∥平面EAC；(2)求证：平面PAD⊥平面ABCD.证明(1)连接BD，与AC相交于点O，连接OE.因为四边形ABCD为矩形，所以点O为BD的中点.因为点E为棱PD的中点，所以PB∥OE.因为PB⊄平面EAC，OE⊂平面EAC，所以PB∥平面EAC.(2)因为PA⊥平面PDC，CD⊂平面PDC，所以PA⊥CD.因为四边形ABCD为矩形，所以AD⊥CD.因为PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAD，所以CD⊥平面PAD.因为CD⊂平面ABCD，所以平面PAD⊥平面ABCD.解析几何问题【题目3】已知椭圆C：x2＋2y2＝4.(1)求椭圆C的离心率；(2)设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y＝2上，且OA⊥OB，试判断直线AB与圆x2＋y2＝2的位置关系，并证明你的结论.解 (1)由题意，椭圆C的标准方程为x24＋y22＝1.所以a2＝4，b2＝2，从而c2＝a2－b2＝2.因此a＝2，c＝ 2.故椭圆C的离心率e＝ca ＝22.(2)直线AB与圆x2＋y2＝2相切.证明如下：设点A，B的坐标分别为(x0，y0)，(t，2)，其中x0≠0.因为OA⊥OB，所以OA→·OB→＝0，即tx0＋2y0＝0，解得t＝－2y0 x.当x0＝t时，y0＝－t22，代入椭圆C的方程，得t＝±2，故直线AB的方程为x＝± 2.圆心O到直线AB的距离d＝ 2.此时直线AB与圆x2＋y2＝2相切.当x0≠t时，直线AB的方程为y－2＝y－2x－t(x－t)，即(y0－2)x－(x0－t)y＋2x0－ty0＝0. 圆心O到直线AB的距离d＝|2x0－ty0|（y0－2）2＋[－（x0－t）]2.又x20＋2y20＝4，t＝－2y0 x，故d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x 0＋2y 20x 0x 20＋y 20＋4y 20x 20＋4＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4＋x 20x 0x 40＋8x 20＋162x 20＝ 2. 此时直线AB 与圆x 2＋y 2＝2相切.实际应用问题【题目4】 某校为了落实“每天阳光运动一小时”活动，决定将原来的矩形操场ABCD (其中AB ＝60米，AD ＝40米)扩建成一个更大的矩形操场AMPN (如图)，要求：B 在AM 上，D 在AN 上，对角线MN 过C 点，且矩形AMPN 的面积小于15 000平方米.(1)设AN 长为x 米，矩形AMPN 的面积为S 平方米，试将S 表示成x 的函数，并写出该函数的定义域；(2)当AN 的长为多少米时，矩形AMPN 的面积最小，并求最小面积. 解 (1)由△NDC ∽△NAM ， 可得DN NA ＝DC AM ，∴x －40x ＝60AM， 即AM ＝60x x －40，故S ＝AN ·AM ＝60x 2x －40，由S ＝60x 2x －40＜15 000且x ＞40，可得x 2－250x ＋10 000＜0，解得50＜x ＜200， 故所求函数解析式为S ＝60x 2x －40，定义域为(50，200).(2)令x －40＝t ，则由x ∈(50，200)，可得t ∈(10，160)，故S ＝60x 2x －40＝60（t ＋40）2t ＝60⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1 600t ＋80≥ 60⎝⎛⎭⎪⎫2t ·1 600t＋80＝9 600，当且仅当t ＝1 600t，即t ＝40时S ＝9 600.又40∈(10，160)， 故当t ＝40时，S 取最小值9 600.所以当AN 的长为80米时，矩形AMPN 的面积最小， 最小面积为9 600平方米.函数与导数问题【题目5】已知函数f (x )＝e x⎣⎢⎡⎦⎥⎤13x 3－2x 2＋（a ＋4）x －2a －4，其中a ∈R ，e 为自然对数的底数.(1)若函数f (x )的图象在x ＝0处的切线与直线x ＋y ＝0垂直，求a 的值； (2)关于x 的不等式f (x )＜－43e x 在(－∞，2)上恒成立，求a 的取值范围；(3)讨论函数f (x )极值点的个数.解 (1)由题意得f ′(x )＝e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x 2＋ax －a ，因为f (x )的图象在x ＝0处的切线与直线x ＋y ＝0垂直， 所以f ′(0)＝1，解得a ＝－1. (2)法一 由f (x )＜－43e x ，得e x⎣⎢⎡⎦⎥⎤13x 3－2x 2＋（a ＋4）x －2a －4＜－43e x ，即x 3－6x 2＋(3a ＋12)x －6a －8＜0对任意x ∈(－∞，2)恒成立， 即(6－3x )a ＞x 3－6x 2＋12x －8对任意x ∈(－∞，2)恒成立，因为x ＜2，所以a ＞x 3－6x 2＋12x －8－3（x －2）＝－13(x －2)2，记g (x )＝－13(x －2)2，因为g (x )在(－∞，2)上单调递增，且g (2)＝0， 所以a ≥0，即a 的取值范围是[0，＋∞). 法二 由f (x )＜－43e x ，得e x⎣⎢⎡⎦⎥⎤13x 3－2x 2＋（a ＋4）x －2a －4＜－43e x ，即x 3－6x 2＋(3a ＋12)x －6a －8＜0在(－∞，2)上恒成立，因为x 3－6x 2＋(3a ＋12)x －6a －8＜0等价于(x －2)(x 2－4x ＋3a ＋4)＜0， ① 当a ≥0时，x 2－4x ＋3a ＋4＝(x －2)2＋3a ≥0恒成立， 所以原不等式的解集为(－∞，2)，满足题意.②当a ＜0时，记g (x )＝x 2－4x ＋3a ＋4，有g (2)＝3a ＜0， 所以方程x 2－4x ＋3a ＋4＝0必有两个实数根x 1，x 2，且x 1＜2＜x 2， 原不等式等价于(x －2)(x －x 1)(x －x 2)＜0， 解集为(－∞，x 1)∪(2，x 2)，与题设矛盾， 所以a ＜0不符合题意.综合①②可知，a 的取值范围是[0，＋∞). (3)由题意得f ′(x )＝e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x 2＋ax －a ，所以f (x )只有一个极值点或有三个极值点. 令g (x )＝13x 3－x 2＋ax －a ，①若f (x )有且只有一个极值点，则函数g (x )的图象必穿过x 轴且只穿过一次，即g (x )为增函数或者g (x )的极值同号.当g (x )为增函数时，g ′(x )＝x 2－2x ＋a ≥0在R 上恒成立，得a ≥1. 当g (x )极值同号时，设x 1，x 2为极值点， 则g (x 1)·g (x 2) ≥0，由g ′(x )＝x 2－2x ＋a ＝0有解，得a ＜1，且x 21－2x 1＋a ＝0，x 22－2x 2＋a ＝0，则x 1，x 2为x 2－2x ＋a ＝0的两根， 所以x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝a ， 所以g (x 1)＝13x 31－x 21＋ax 1－a＝13x 1(2x 1－a )－x 21＋ax 1－a ＝－13(2x 1－a )－13ax 1＋ax 1－a＝23[(a －1)x 1－a ]， 同理可得g (x 2)＝23[(a －1)x 2－a ]，所以g (x 1)g (x 2)＝23[(a －1)x 1－a ]·23[(a －1)x 2－a ] ≥0，化简得(a －1)2x 1x 2－a (a －1)(x 1＋x 2)＋a 2≥0， 所以(a －1)2a －2a (a －1)＋a 2≥0， 即a ≥0，所以0≤a ＜1.所以当a ≥0时，f (x )有且仅有一个极值点；②若f (x )有三个极值点，则函数g (x )的图象必穿过x 轴且穿过三次， 同理可得a ＜0.综上，当a ≥0时，f (x )有且仅有一个极值点， 当a ＜0时，f (x )有三个极值点.数列问题【题目6】正项数列a1，a2，…，a m(m≥4，m∈N*)，满足a1，a2，a3，…，ak－1，a k(k<m，k∈N*)是公差为d的等差数列，a1，a m，a m－1，…，a k＋1，a k是公比为2的等比数列.(1)若a1＝d＝2，k＝8，求数列a1，a2，…，a m的所有项的和S m；(2)若a1＝d＝2，m<2 016，求m的最大值；(3)是否存在正整数k，满足a1＋a2＋…＋a k－1＋a k＝3(a k＋1＋a k＋2＋…＋a m－1＋a m)？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.解(1)由已知得k<m，k∈N*，a n＝2n，a k＝a8＝16，故a1，a2，a3，…a k－1，a k(k<m，k∈N*)对应的数为2，4，6，8，10，12，14，16.因为a1，a m，a m－1，…，a k＋1，a k的公比为2，则对应的数为2，4，8，16.从而a1，a2，…，a m即为2，4，6，8，10，12，14，16，8，4，此时m＝10，S m＝8（2＋16）2＋8＋4＝84.(2)因为a1，a2，a3，…，a k－1，a k(k<m，k∈N*)是首项为2，公差为2的等差数列，所以k<m，k∈N*，a n＝2n，从而a k＝2k.又a1，a m，a m－1，…，a k＋1，a k是首项为2，公比为2的等比数列，且a k＝2m－k＋2，故2k＝2m－k＋2，即k＝2m－k＋1，即k必是2的整数幂.又k·2k＝2m＋1，要m最大，k必须最大，因为k<m<2 016，故k的最大值为210，所以210·2210＝210·21 024＝21 034＝2m＋1，即m的最大值为1 033.(3)存在.由数列a1，a2，a3，…，a k－1，a k是公差为d的等差数列知a k＝a1＋(k－1)d，又a1，a m，a m－1，…，a k＋1，a k是公比为2的等比数列，则a k＝a1·2m＋1－k，故a1＋(k－1)d＝a1·2m＋1－k，即(k－1)d＝a1(2m＋1－k－1).又a1＋a2＋…＋a k－1＋a k＝3(a k＋1＋a k＋2＋…＋a m－1＋a m)，a m＝2a1，则ka1＋12k(k－1)d＝3×2a1×1－2m－k1－2，即ka1＋12ka1(2m＋1－k－1)＝3×2a1(2m－k－1)，则12k·2m＋1－k＋12k＝6(2m－k－1)，即k·2m＋1－k＋k＝6×2m＋1－k－12，显然k≠6，则2m＋1－k＝k＋126－k＝－1＋186－k，所以k<6，将k＝1，2，3，4，5一一代入验证，易知当且仅当k＝4时，上式右端为8，等式成立，此时m＝6，综上，当且仅当m＝6时，存在k＝4满足等式.解答题综合练【题目1】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＋c＝2b.(1)求证：B≤π2；(2)当AB→·BC→＝－2，b＝23时，求△ABC的面积.(1)证明∵cos B＝a2＋c2－b22ac＝a2＋c2－12（a＋c）22ac＝12（a－c）22ac≥0，且0＜B＜π.∴B≤π2(当且仅当a＝c时取得等号).(2)解∵AB→·BC→＝－2，∴ac cos B＝2，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝12， ∴a 2＋c 2＝16，又a ＋c ＝2b ＝26，∴ac ＝4，∴cos B ＝12，由(1)知0＜B ≤π2，∴sin B ＝32.∴S △ABC ＝12ac sin B ＝ 3.【题目2】如图，在四棱锥P ­ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AC ⊥CD ，∠DAC ＝60°，AB ＝BC ＝AC ，E 是PD 的中点，F 为ED 的中点.(1)求证：平面PAC ⊥平面PCD ； (2)求证：CF ∥平面BAE .证明 (1)因为PA ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥CD ， 又AC ⊥CD ，且AC ∩PA ＝A ，AC ，PA ⊂平面PAC ， 所以CD ⊥平面PAC ，又CD ⊂平面PCD ，所以平面PAC ⊥平面PCD .(2)取AE 中点G ，连接FG ，BG .因为F 为ED 的中点，所以FG ∥AD 且FG ＝12AD .在△ACD 中，AC ⊥CD ， ∠DAC ＝60°，所以AC ＝12AD ，所以BC ＝12AD .在△ABC 中，AB ＝BC ＝AC ， 所以∠ACB ＝60°，从而∠ACB ＝∠DAC ，所以AD ∥BC .综上，FG ∥BC ，FG ＝BC ，四边形FGBC 为平行四边形，所以CF ∥BG .又BG ⊂平面BAE ，CF ⊄平面BAE ， 所以CF ∥平面BAE .【题目3】已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，四点P 1(1，1)，P 2(0，1)，P 3⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32，P 4⎝⎛⎭⎪⎫1，32中恰有三点在椭圆C 上. (1)求C 的方程；(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点.解 (1)由于点P 3，P 4关于y 轴对称， 由题设知C 必过P 3，P 4.又由1a 2＋1b 2>1a 2＋34b 2知，椭圆C 不经过点P 1，所以点P 2在椭圆C 上.因此⎩⎪⎨⎪⎧1b 2＝1，1a 2＋34b 2＝1，解得⎩⎨⎧a 2＝4，b 2＝1.故C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2. 如果直线l 的斜率不存在，l 垂直于x 轴. 设l ：x ＝m ，A (m ，y A )，B (m ，－y A )，k P 2A ＋k P 2B ＝y A －1m ＋－y A －1m ＝－2m＝－1，得m ＝2， 此时l 过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足. 从而可设l ：y ＝kx ＋m (m ≠1). 将y ＝kx ＋m 代入x 24＋y 2＝1得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0. 由题设可知Δ＝16(4k 2－m 2＋1)>0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则解上述一元二次方程后得 x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1.则k 1＋k 2＝y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝kx 1＋m －1x 1＋kx 2＋m －1x 2 ＝2kx 1x 2＋（m －1）（x 1＋x 2）x 1x 2.由题设k 1＋k 2＝－1，故(2k ＋1)x 1x 2＋(m －1)(x 1＋x 2)＝0. ∴(2k ＋1)·4m 2－44k 2＋1＋(m －1)·－8km 4k 2＋1＝0.解之得m ＝－2k －1，此时Δ＝32(m ＋1)>0有解， ∴当且仅当m >－1时，Δ>0， ∴直线l 的方程为y ＝kx －2k －1， 即y ＋1＝k (x －2).当x ＝2时，y ＝－1，所以l 过定点(2，－1). 【题目4】如图，墙上有一壁画，最高点A 离地面4米，最低点B 离地面2米，观察者从距离墙x (x ＞1)米，离地面高a (1≤a ≤2)米的C 处观赏该壁画，设观赏视角∠ACB ＝θ.(1)若a ＝1.5，问：观察者离墙多远时，视角θ最大？ (2)若tan θ＝12，当a 变化时，求x 的取值范围.解 (1)当a ＝1.5时，过点C 作AB 的垂线，垂足为点D ，则BD ＝0.5，且θ＝∠ACD －∠BCD ， 由已知知观察者离墙x 米，且x ＞1， 则tan ∠BCD ＝0.5x，tan ∠ACD ＝2.5x，所以tan θ＝tan(∠ACD －∠BCD )＝2.5x－0.5x 1＋2.5×0.5x 2＝2x 1＋1.25x2＝2x ＋1.25x≤2254＝255， 当且仅当x ＝52＞1时，等号成立.又因为tan θ在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增，所以当观察者离墙52米时，视角θ最大. (2)由题意得tan ∠BCD ＝2－ax ，tan ∠ACD ＝4－ax，又tan θ＝12，所以tan θ＝tan ()∠ACD －∠BCD ＝2xx 2＋（a －2）·（a －4）＝12， 所以a 2－6a ＋8＝－x 2＋4x ， 当1≤a ≤2时，0≤a 2－6a ＋8≤3， 所以0≤－x 2＋4x ≤3，即⎩⎨⎧x 2－4x ≤0，x 2－4x ＋3≥0，解得0≤x ≤1或3≤x ≤4，又因为x ＞1，所以3≤x ≤4， 所以x 的取值范围为[3，4].【题目5】已知函数f (x )＝x 2－(1＋2a )x ＋a ln x (a 为常数). (1)当a ＝－1时，求曲线y ＝f (x )在x ＝1处切线的方程；(2)当a ＞0时，讨论函数y ＝f (x )在区间(0，1)上的单调性，并写出相应的单调区间.解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝x 2＋x －ln x ， 则f ′(x )＝2x ＋1－1x，所以f (1)＝2，且f ′(1)＝2.所以曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线的方程为：y －2＝2(x －1)，即：y ＝2x .(2)由题意得f ′(x )＝2x －(1＋2a )＋a x＝2x 2－（1＋2a ）x ＋ax＝（2x －1）（x －a ）x(x ＞0)，由f ′(x )＝0，得x 1＝12，x 2＝a ，①当0＜a ＜12时，由f ′(x )＞0，又知x ＞0得0＜x ＜a 或12＜x ＜1由f ′(x )＜0，又知x ＞0，得a ＜x ＜12，所以函数f (x )的单调增区间是(0，a )和⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，单调减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，12.② 当a ＝12时，f ′(x )＝（2x －1）22x ≥0，且仅当x ＝12时，f ′(x )＝0，所以函数f (x )在区间(0，1)上是单调增函数. ③当12＜a ＜1时，由f ′(x )＞0，又知x ＞0得0＜x ＜12或a ＜x ＜1，由f ′(x )＜0，又知x ＞0，得12＜x ＜a ，所以函数f (x )的单调增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12和(a ，1)，单调减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，a .③ 当a ≥1时，由f ′(x )＞0，又知x ＞0得0＜x ＜12，由f ′(x )＜0，又知x ＞0，得12＜x ＜1，所以函数f (x )的单调增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，单调减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.【题目6】设数列{b n }满足b n ＋2＝－b n ＋1－b n (n ∈N *)，b 2＝2b 1. (1)若b 3＝3，求b 1的值；(2)求证数列{b n b n ＋1b n ＋2＋n }是等差数列；(3)设数列{T n }满足：T n ＋1＝T n b n ＋1(n ∈N *)，且T 1＝b 1＝－12，若存在实数p ，q ，对任意n ∈N *都有p ≤T 1＋T 2＋T 3＋…＋T n ＜q 成立，试求q －p 的最小值. (1)解∵b n ＋2＝－b n ＋1－b n ，∴b 3＝－b 2－b 1＝－3b 1＝3，∴b 1＝－1.(2)证明 ∵b n ＋2＝－b n ＋1－b n ①， ∴b n ＋3＝－b n ＋2－b n ＋1②， ②－①得b n ＋3＝b n ，∴(b n ＋1b n ＋2b n ＋3＋n ＋1)－(b n b n ＋1b n ＋2＋n ) ＝b n ＋1b n ＋2(b n ＋3－b n )＋1＝1为常数， ∴数列{b n b n ＋1b n ＋2＋n }是等差数列.(3)解 ∵T n ＋1＝T n ·b n ＋1＝T n －1b n b n ＋1＝T n －2b n －1b n b n ＋1＝…＝b 1b 2b 3…b n ＋1. 当n ≥2时T n ＝b 1b 2b 3…b n (*)， 当n ＝1时，T 1＝b 1适合(*)式， ∴T n ＝b 1b 2b 3…b n (n ∈N *).∵b 1＝－12，b 2＝2b 1＝－1，b 3＝－3b 1＝32，b n ＋3＝b n ，∴T 1＝b 1＝－12，T 2＝T 1b 2＝12，T 3＝T 2b 3＝34，T 4＝T 3b 4＝T 3b 1＝34T 1，T 5＝T 4b 5＝T 2b 3b 4b 5＝T 2b 1b 2b 3＝34T 2，T 6＝T 5b 6＝T 3b 4b 5b 6＝T 3b 1b 2b 3＝34T 3， ……T 3n ＋1＋T 3n ＋2＋T 3n ＋3＝T 3n －2b 3n －1b 3n b 3n ＋1＋ T 3n －1b 3n b 3n ＋1b 3n ＋2＋T 3n b 3n ＋1b 3n ＋2b 3n ＋3 ＝T 3n －2b 1b 2b 3＋T 3n －1b 1b 2b 3＋T 3n b 1b 2b 3 ＝34(T 3n －2＋T 3n －1＋T 3n )， ∴数列{T 3n －2＋T 3n －1＋T 3n }(n ∈N *)是等比数列， 首项T 1＋T 2＋T 3＝34且公比q ＝34，记S n ＝T 1＋T 2＋T 3＋…＋T n ， ①当n ＝3k (k ∈N *)时，S n ＝(T 1＋T 2＋T 3)＋(T 4＋T 5＋T 6)…＋(T 3k －2＋T 3k －1＋T 3k ) ＝34⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫34k 1－34＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫34k ，∴34≤S n ＜3； ②当n ＝3k －1(k ∈N *)时，S n ＝(T 1＋T 2＋T 3)＋(T 4＋T 5＋T 6)＋…＋(T 3k －2＋T 3k －1＋T 3k )－T 3k ＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫34k －(b 1b 2b 3)k＝3－4·⎝ ⎛⎭⎪⎫34k，∴0≤S n ＜3；③当n ＝3k －2(k ∈N *)时，S n ＝(T 1＋T 2＋T 3)＋(T 4＋T 5＋T 6)＋…＋(T 3k －2＋T 3k －1＋T 3k )－T 3k －1－T 3k ＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫34k －(b 1b 2b 3)k －1b 1b 2－(b 1b 2b 3)k＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫34k －12⎝ ⎛⎭⎪⎫34k －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫34k＝3－143·⎝ ⎛⎭⎪⎫34k，∴－12≤S n ＜3.综上得－12≤S n ＜3，故p ≤－12且q ≥3，∴q －p 的最小值为72.。