2017年高二文科数学上学期 专题六 抛物线

高二数学抛物线试题答案及解析1.下图是利用计算机作图软件在直角坐标平面上绘制的一列抛物线和一列直线，在焦点为的抛物线列中，是首项和公比都为的等比数列，过作斜率2的直线与相交于和（在轴的上方，在轴的下方）.证明：的斜率是定值；求、、、、所在直线的方程；记的面积为，证明：数列是等比数列，并求所有这些三角形的面积的和.【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】解题思路：（1）联立直线与抛物线方程，整理成关于，的方程，进而求出的斜率；（2）利用直线的点斜式方程写出直线方程即可；（3）联立直线与抛物线方程，求弦长与点到直线的距离，进而求三角形的面积.规律总结：锥曲线的问题一般都有这样的特点：第一小题是基本的求方程问题，一般简单的利用定义和性质即可；后面几个小题一般来说综合性较强，用到的内容较多，大多数需要整体把握问题并且一般来说计算量很大，学生遇到这种问题就很棘手，有放弃的想法,所以处理这类问题一定要有耐心..试题解析：（1）由已知得，抛物线焦点，抛物线方程为，直线的方程为于是，抛物线与直线在轴上方的交点的坐标满足则有而直线的斜率为，则解得又点在第一象限，则；直线方程为；由得则，而到直线的距离为，于是的面积，所以数列是以为首项，为公比的等比数列.由于，所以所有三角形面积和为.【考点】1.直线的方程；2.直线与抛物线的位置关系.2.抛物线（）的焦点为，已知点，为抛物线上的两个动点，且满足.过弦的中点作抛物线准线的垂线，垂足为，则的最大值为（）A．B．1C．D．2【答案】A.【解析】设，连接AF、BF，由抛物线的定义知，，在梯形ABPQ中，；应用余弦定理得，配方得，又因为，所以，得到.所以，即的最大值为，故选A.【考点】抛物线的简单性质.3.已知抛物线.（1）若直线与抛物线相交于两点，求弦长；（2）已知△的三个顶点在抛物线上运动.若点在坐标原点，边过定点，点在上且，求点的轨迹方程.【答案】（1）；（2）（）.【解析】（1）这是解析几何中的常规问题，注意设而不求思想方法的使用；（2）求轨迹方程的方法有：直接法、定义法、代入转移法、几何法、参数法等，这里使用的是直接法，直接法的步骤是：建系、设点、列式、坐标化、化简整理、最后是多退少补，特别要注意多退少补.试题解析：（1）由，消去整理得： 2分设，则，所以 6分（注：用其他方法也相应给分）（2）设点的坐标为，由边所在的方程过定点，8分所以, 即（） 14分（注:没写扣1分）【考点】1.直线与抛物线；2.求轨迹方程.4.已知圆C：的圆心为抛物线的焦点，直线3x＋4y＋2＝0与圆C相切，则该圆的方程为（）.A．B．C．D．【解析】因为抛物线的焦点为，即为圆C的圆心，又直线3x＋4y＋2＝0与圆C相切，所以圆心到直线的距离即为半径，则有，故选C.【考点】点到直线的距离公式，圆的切线的性质，抛物线的焦点坐标公式，圆的标准方程.5.已知抛物线．命题p: 直线l1:与抛物线C有公共点．命题q: 直线l2:被抛物线C所截得的线段长大于2．若为假, 为真,求k的取值范围．【答案】或或．【解析】先求出p为真, ；q为真,得且．由为假, 为真可得：p,q一真一假．若p真q假, 则或;若q真p假, 则．综上可得结论．若p为真,联立C和l1的方程化简得．时,方程显然有解;时,由得且．综上 (4分)若q为真, 联立C和l2的方程化简得,时显然不成立;∴,由于l2是抛物线的焦点弦, 故,解得且．(8分)∵为真, 为假,∴p,q一真一假．若p真q假, 则或; 若q真p假, 则．综上或或． (12分)【考点】复合命题真假的判断；根与系数的关系；焦点弦问题．6.如图，，，为两个定点，是的一条切线，若过，两点的抛物线以直线为准线，则该抛物线的焦点的轨迹是( )A．圆B．双曲线C．椭圆D．抛物线【答案】C【解析】焦点到和的距离之和等于和分别到准线的距离和，而距离之和为和的中点到准线的距离的二倍是定值，结合椭圆的定义得焦点的轨迹方程是以和为焦点的椭圆．【考点】圆锥曲线的轨迹问题．7.抛物线的焦点坐标是( )A．B．C．D．【答案】B【解析】根据题意可知条件中表示的是焦点在y轴上抛物线，2p=4，p=2，而焦点坐标为，【考点】抛物线的焦点坐标．8.过抛物线的焦点作一条直线交抛物线于两点，若线段的中点的横坐标为，则等于 .【答案】【解析】设，又抛物线的准线方程为，焦点，则根据抛物线的定义可知,所以.【考点】1.抛物线的定义；2.直线与抛物线的位置关系.9.已知点A(3,2), 点P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F为抛物线的焦点，求的最小值及此时P点的坐标．【答案】4, (1,2)．【解析】设点P在准线上的射影为D，由抛物线的定义把问题转化为求PA+PD的最小值，同时可推断出当D，P，A三点共线时PA+PD最小，答案可得．设点P在准线上的射影为D,记抛物线y2＝2x的焦点为F（1,0），准线l是x= -1，由抛物线的定义知点P到焦点F的距离等于它到准线l的距离，即PF=PD ,因此PA +PF="PA+" PD AD="4," 即当D，P，M三点共线时PA+PD最小，此时P(1,2)．【考点】抛物线的简单性质．10.若点的坐标为，是抛物线的焦点，点在抛物线上移动时，取得最小值的的坐标为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】点在抛物线内部，设点在抛物线准线上的投影为点，点在抛物线准线上的投影为点，则,因此当时，取最小值，所以的坐标为.【考点】抛物线定义的应用11.设为抛物线上的动弦，且, 则弦的中点到轴的最小距离为A．2B．C．1D．【答案】B【解析】设、，弦的中点到轴的距离最小，则弦过抛物线的焦点，由题意得准线为，∴，即，∴弦的中点到轴的最小距离.【考点】抛物线的定义、最值问题.12.一个酒杯的轴截面是抛物线的一部分,它的方程是.在杯内放入一个玻璃球,要使球触及酒杯底部,则玻璃球的半径r的范围是( )A．0＜r≤1B．0＜r＜1C．0＜r≤2D．0＜r＜2【答案】A），抛物线上点（x，y），求得点到圆心距离平方的表达式，进而根【解析】设小球圆心（0，y≥0，进而求得r的范围．据若r2最小值在（0，0）时取到，则小球触及杯底，需1-y【考点】抛物线定义与性质.13.抛物线y2=4px（p＞0）上一点M到焦点的距离为，则M到y轴距离为 ( )A．a-p B．a+p C．a－D．a+2p【答案】A【解析】根据抛物线的定义，点到准线的距离就是，因此它到轴距离为.【考点】抛物线的定义.14.点P是抛物线y2=4x上一动点，则点P到点（0，－1）的距离与到抛物线准线的距离之和的最小值是 .【答案】【解析】抛物线y2=4x的焦点，点P到准线的距离与点P到点F的距离相等，本题即求点P到点的距离与到点的距离之和的最小值，画图可知最小值即为点与点间的距离，最小值为.【考点】抛物线的定义.15.曲线C上任一点到定点(0，)的距离等于它到定直线的距离.(1)求曲线C的方程；(2)经过P(1,2)作两条不与坐标轴垂直的直线分别交曲线C于A、B两点，且⊥，设M是AB中点，问是否存在一定点和一定直线，使得M到这个定点的距离与它到定直线的距离相等.若存在，求出这个定点坐标和这条定直线的方程.若不存在，说明理由.【答案】（1）y=2x2；（2）M轨迹是抛物线，故存在一定点和一定直线，使得M到定点的距离等于它到定直线的距离。

【最新】高二数学圆锥曲线：抛物线知识点整理和总结高二数学圆锥曲线:抛物线知识点整理和总结专题九抛物线一.根本概念1.抛物线的定义:平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离相等的点的轨迹.其中:定点为抛物线的焦点,定直线叫做准线.2.抛物线的标准方程.图象及几何性质:p0标准方程l焦点在_轴上,开口向右y2焦点在_轴上,开口向左y2p_2焦点在y 轴上,开口向上_2焦点在y轴上,开口向下_22p_2py2pyyP_OFPyl_FOlyPFOy轴lyOF_图形_PO(0,0)顶点对称轴焦点离心率准线二．例题分析【例1】〔河西区__高考一模〕双曲_a22_轴F(p2,0)F(p2,0)F(0,p2)F(0,p2)e1_p2_p2yp2yp2yb221a0,b0的一个顶点与抛物线y20_的焦点重合,该双曲线的离心率为252,那么该双曲线的渐近线斜率为〔〕A2B43C12D34【例2】〔南开区__年高三一模〕假设抛物线y2p_的焦点与双曲线焦重合,那么p的值为〔〕A3B-3C6D-62_26y231的左【变式1】〔河北区__年高三三模〕抛物线y245_的焦点和双曲线_a22yb221(a0,b0)的一个焦点重合,且双曲线的离心率e52,那么双曲线的方程为〔〕A【变式2】〔__年第三次六校联考〕.双曲线_a22_216y291B_29y2161C_2y241D_24y291yb221的离心率为2,它的一个焦点与抛物线y28_的焦点相同,那么双曲线的渐近线方程为--------------------------------【例3】.〔__年天津一中高三第五次月考〕抛物线y22p_p0的焦点F为双 _a22曲线yb221a0,b0的一个焦点,经过两曲线交点的直线恰好过点F,那么该双曲线的离心率为〔〕A2B【例4】〔__年天津文〕双曲线_a2221C3D31yb221(a0,b0)的左顶点与抛物线y2p_(p0)的焦点的距离为4,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的准线的交点2坐标为〔-2,-1〕,那么双曲线的焦距为〔〕A．23B．25C．43D．45【例5】〔__年天津文〕双曲线_a22yb221(a0,b0)的一条渐近线方程是y3_,它的一个焦点与抛物线y216_的焦点相同.那么双曲线的方程为.【变式1】〔__年天津理〕双曲线_a22yb221(a0,b0)的一条渐近线方程是y=3_,它的一个焦点在抛物线y224_的准线上,那么双曲线的方程为〔〕〔A_236y21081〔B_29y2271〔C〕_2108y2361〔D〕_227y291【变式2】〔__陕西理〕设抛物线的顶点在原点,准线方程为_2,那么抛物线的方程是.【例6】〔__年福建〕双曲线_24yb221的右焦点与抛物线y212_的焦点重合,那么该双曲线的焦点到渐近线的距离为_________.【变式1】〔__年安徽〕过抛物线y4_的焦点F的直线交抛物线于A.B两点,O 为坐标原点,假设AF3,那么三角形AOB的面积为________.【例7】〔__辽宁理〕F是抛物线y2=_的焦点,A,B是该抛物线上的两点,AFBF=3,那么线段AB的中点到y轴的距离为〔〕A．34B．1C．54D．74【变式1】〔__年天津理〕抛物线的参数方程为_2pty2pt2〔t为参数,p>0〕,焦点为F,准线为l,过抛物线上一点M作l的垂线,垂足为E.假设|EF|=|MF|,点M 的横坐标是3,那么p=_________.【变式2】〔__山东文〕设M(_0,y0)为抛物线C:_28y上一点,F为抛物线C的焦点,以F为圆心.FM为半径的圆和抛物线C的准线相交,那么y0的取值范围是〔〕A．(0,2)【变式3】〔__年四川〕抛物线关于_轴对称,它的顶点在坐标原点,并且经过点 M2,y0,假设点M到抛物线焦点距离为3,那么OM长度________.B．[0,2]C．(2,+∞)D．[2,+∞)扩展阅读:抛物线题及知识点总结一.抛物线的定义及其应用[例1]设P是抛物线y2＝4_上的一个动点．(1)求点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线_＝－1的距离之和的最小值;(2)假设B(3,2),求|PB|＋|PF|的最小值．例2.．(__山东高考)设M(_0,y0)为抛物线C:_2＝8y上一点,F为抛物线C的焦点,以F为圆心.|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交,那么y0的取值范围是()A．(0,2)B．[0,2]C．(2,＋∞)D．[2,＋∞)．二.抛物线的标准方程和几何性质例3.抛物线y＝2p_(p>0)的焦点为F,准线为l,经过F的直线与抛物线交于A. 2B两点,交准线于C点,点A在_轴上方,AK⊥l,垂足为K,假设|BC|＝2|BF|,且|AF|＝4,那么△AKF的面积是()A．4B．33C．43D．8[悟一法]1.求抛物线的标准方程常采用待定系数法,未知数只有p,可利用题中条件确定p的值．注意到抛物线方程有四种标准形式,因此求抛物线方程时,需先定位,再定量．2.涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考,通过图形可以直观地看出抛物线的顶点.对称轴.开口方向等几何特征．例4．过抛物线y2＝2p_(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A.B,交其准线l 于点C,假设|BC|＝2|BF|,且|AF|＝3那么此抛物线的方程为()39A．y2＝_B．y2＝9_C．y2＝_D．y2＝3_22三.抛物线的综合问题[例5](__江西高考)过抛物线y2＝2p_(p>0)的焦点,斜率为22的直线交抛物线于A(_1,y1),B(_2,y2)(_10)上,M点到抛物线C的焦点F的1 距离为2,直线l:y＝－_＋b与抛物线C交于A,B两点．2(1)求抛物线C的方程;(2)假设以AB为直径的圆与_轴相切,求该圆的方程．练习题1．抛物线_2＝ay的焦点恰好为双曲线y2－_2＝2的上焦点,那么a等于() A．1B．4C．8D．162．抛物线y＝－4_2上的一点M到焦点的距离为1,那么点M的纵坐标是() A．－1716157B．－C.16162D.15163．(__辽宁高考)F是物线y＝_的焦点,A,B是该物线上的两点,|AF|＋|BF|＝3,那么线段AB的中点到y轴的距离为()3A.425B．1C.47D.44．抛物线y＝2p_,以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是()A．相离B．相交C．相切D．不确定5．(__宜宾检测)F为抛物线y2＝8_的焦点,过F且斜率为1的直线交抛物线于()A．42A.B两点,那么||FA|－|FB||的值等于D．16B．8C．826．在y＝2_2上有一点P,它到A(1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小,那么点P的坐标是()A．(－2,1)C．(2,1)B．(1,2)D．(－1,2)7．设抛物线y2＝8_的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足．如果直线AF的斜率为－3,那么|PF|＝()A．43B．8C．83D．168．(__陕西高考)设抛物线的顶点在原点,准线方程为_＝－2,那么抛物线的方程是()A．y2＝－8_B．y2＝8_C．y2＝－4_D．y2＝4_9．(__永州模拟)以抛物线_2＝16y的焦点为圆心,且与抛物线的准线相切的圆的方程为________．10．抛物线的顶点在原点,对称轴为y轴,抛物线上一点Q(－3,m)到焦点的距离是5,那么抛物线的方程为________．11．抛物线y＝4_与直线2_＋y－4＝0相交于A.B两点,抛物线的焦点为F,那么|FA|＋|FB|＝________.212．过抛物线y2＝4_的焦点作直线交抛物线于A(_1,y1),B(_2,y2)两点,假设_1＋_2＝6,那么|AB|等于________13．根据以下条件求抛物线的标准方程: (1)抛物线的焦点是双曲线16_2－9y2＝144的左顶点;(2)过点P(2,－4)． 14．点A(－1,0),B(1,－1),抛物线C:y2＝4_,O为坐标原点,过点A的动直线l交抛物线C于M,P两点,直线MB交抛物线C于另一点Q.假设向与OP的夹角为,求△POM的面积．4一.抛物线的定义及其应用[例1]设P是抛物线y2＝4_上的一个动点．(1)求点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线_＝－1的距离之和的最小值;(2)假设B(3,2),求|PB|＋|PF|的最小值．[自主解答](1)如图,易知抛物线的焦点为F(1,0),准线是_＝－1.由抛物线的定义知:点P到直线_＝－1的距离等于点P到焦点F的距离．于是,问题转化为:在曲线上求一点P,使点P到点A(－1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小．显然,连结AF交曲线于P点,那么所求的最小值为|AF|,即为5.(2)如图,自点B作BQ垂直准线于Q,交抛物线于点P1,那么|P1Q|＝|P1F|.那么有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4.即|PB|＋|PF|的最小值为 4.例2.．(__山东高考)设M(_0,y0)为抛物线C:_2＝8y上一点,F为抛物线C的焦点,以F为圆心.|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交,那么y0的取值范围是() A．(0,2)B．[0,2]C．(2,＋∞)D．[2,＋∞)解析:圆心到抛物线准线的距离为p,即p＝4,根据只要|FM|>4即可．根据抛物线定|FM|＝y0＋2由y0＋2>4,解得y0>2,故y0的取值范围是(2,＋∞)．二.抛物线的标准方程和几何性质例3.抛物线y2＝2p_(p>0)的焦点为F,准线为l,经过F的直线与抛物线交于A.B两点,交准线于C点,点A在_轴上方,AK⊥l,垂足为K,假设|BC|＝2|BF|,且|AF|＝4,那么△AKF的面积是()A．4B．33C．43D．8设点A(_1,y1),其中y1>0.由点B作抛物线的准线的垂线,垂足为B1.那么有|BF|＝|BB1|;又|CB|＝2|FB|,因此有|CB|＝2|BB1|,cos∠CBB1＝ππCBB1＝.即直线AB与_轴的夹角为.335|BB1|1＝,∠|BC|pπ又|AF|＝|AK|＝_1＋＝4,因此y1＝4sin＝23,因此△AKF的面积等于|AK|y1＝423＝43.22[悟一法]1.求抛物线的标准方程常采用待定系数法,未知数只有p,可利用题中条件确定p的值．注意到抛物线方程有四种标准形式,因此求抛物线方程时,需先定位,再定量．2.涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考,通过图形可以直观地看出抛物线的顶点.对称轴.开口方向等几何特征．例4．过抛物线y2＝2p_(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A.B,交其准线l 于点C,假设|BC|＝2|BF|,且|AF|＝3那么此抛物线的方程为()3A．y2＝_B．y2＝9_29C．y2＝_D．y2＝3_2解析:分别过点A.B作AA1.BB1垂直于l,且垂足分别为A1.B1,由条件|BC|＝2|BF|得|BC|＝2|BB1|,∴∠BCB1＝30°,又|AA1|＝|AF|＝3,∴|AC|＝2|AA1|＝6,∴|CF|＝|AC|－|AF|＝6－3＝3,∴F为线段AC的中点．故13点F到准线的距离为p＝|AA1|＝,故抛物线的方程为y2＝3_.22三.抛物线的综合问题[例5](__江西高考)过抛物线y2＝2p_(p>0)的焦点,斜率为22的直线交抛物线于A(_1,y1),B(_2,y2)(_1所以p＝4,从而抛物线方程是y2＝8_.(2)由p＝4,4_2－5p_＋p2＝0可简化为_2－5_＋4＝0,从而_1＝1,_2＝4,y1＝－22,y2＝42,从而A(1,－22),B(4,42);设OC＝(_,y)＝(1,－2332)＋λ(4,42)＝(4λ＋1,42λ－22)．又y22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)．3＝8_3,即[2即(2λ－1)2＝4λ＋1.解得λ＝0,或λ＝2.例6.(__湖南高考)(13分)平面内一动点P到点F(1,0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1.(1)求动点P的轨迹C的方程;(2)过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1,l2,设l1与轨迹C相交于点A,B,l与轨迹C相交于点D,E,求ADEB的最小值2妙解](1)设动点P的坐标为(_,y),由题意有_－12＋y2－|_|＝1.化简得y2＝2_＋2|_|.当_≥0时,y2＝4_;当_例7．点M(1,y)在抛物线C:y2＝2p_(p>0)上,M点到抛物线C的焦点F的1距离为2,直线l:y＝－_＋b与抛物线C交于A,B两点．2(1)求抛物线C的方程;(2)假设以AB为直径的圆与_轴相切,求该圆的方程．解:(1)抛物线y2＝2p_(p>0)的准线为_＝－,由抛物线定义和条件可知2|MF|＝1－(－)＝1＋＝2,解得p＝2,故所求抛物线C的方程为y＝4_.22ppp2y＝－1_＋b,2(2)联立y＝4_2消去_并化简整理得y＋8y－8b＝0.2依题意应有Δ＝64＋32b>0,解得b>－2.设A(_1,y1),B(_2,y2),那么y1＋y2 ＝－8,y1y2＝－8b,设圆心Q(_0,y0),那么应用_0＝_1＋_22,y0＝y1＋y22＝－4.因为以AB为直径的圆与_轴相切,所以圆的半径为r＝|y0|＝4.又|AB|＝5[_1－_222＋y1－y22＝1＋4y1－y22＝y1＋y2－4y1y2]＝564＋32b64＋32b所以|AB|＝2r＝58＝8,解得b＝－.548,5所以_1＋_2＝2b－2y1＋2b－2y2＝4b＋16＝那么圆心Q的坐标为(2424,－4)．故所求圆的方程为(_－)2＋(y＋4)2＝16.551．抛物线_2＝ay的焦点恰好为双曲线y2－_2＝2的上焦点,那么a等于() A．1B．4C．8D．16解析:根据抛物线方程可得其焦点坐标为(0,),双曲线的上焦点为(0,2),4依题意那么有＝2解得a＝8.4aa2．抛物线y＝－4_2上的一点M到焦点的距离为1,那么点M的纵坐标是() A．－1716157B．－C.1616D.1516y12解析:抛物线方程可化为_＝－,其准线方程为y＝.设M(_0,y0),那么由416115抛物线的定义,可知－y0＝1y0＝－.16163．(__辽宁高考)F是物线y2＝_的焦点,A,B是该物线上的两点,|AF|＋|BF|＝3,那么线段AB的中点到y轴的距离为()3A.45B．1C.47D.4解析:根据物线定义与梯形中位线定理,得线段AB中点到y轴的距离为:11315(|AF|＋|BF|)－＝－＝.242444．抛物线y2＝2p_,以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是() A．相离B．相交C．相切D．不确定解析:设抛物线焦点弦为AB,中点为M,准线l,A1.B1分别为A.B在直线l上的射影,那么|AA1|＝|AF|,|BB1|＝|BF|,于是M到l的距离d＝(|AA1|＋|BB1|)11＝(|AF|＋|BF|)＝|AB|＝半径,故相切．225．(__宜宾检测)F为抛物线y＝8_的焦点,过F且斜率为1的直线交抛物线于()A．42B．8C．82D．16212A.B两点,那么||FA|－|FB||的值等于y＝_－2,解析:依题意F(2,0),所以直线方程为y＝_－2由2y＝8_,消去y得_2－12_＋4＝0.设A(_1,y1),B(_2,y2),那么||FA|－|FB||＝|(_1＋2)－(_2＋2)|＝|_1－_2|＝(_1＋_2)－4_1_2＝144－16＝82.6．在y＝2_2上有一点P,它到A(1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小,那么点2P的坐标是()A．(－2,1)C．(2,1)B．(1,2)D．(－1,2)2解析:如下图,直线l为抛物线y＝2_的准线,F为其焦点,PN⊥l,AN1⊥l,由抛物线的定义知,|PF|＝|PN|,∴|AP|＋|PF|＝|AP|＋|PN|≥|AN1|,当且仅当A.P.N三点共线时取等号．∴P点的横坐标与A点的横坐标相同即为1,那么可排除 A.C.D.答案:B7．设抛物线y2＝8_的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足．如果直线AF的斜率为－3,那么|PF|＝()A．43B．8C．83D．168．(__陕西高考)设抛物线的顶点在原点,准线方程为_＝－2,那么抛物线的方程是()A．y2＝－8_B．y2＝8_C．y2＝－4_D．y2＝4_解析:由准线方程_＝－2,可知抛物线为焦点在_轴正半轴上的标准方程,同时得p＝4,所以标准方程为y2＝2p_＝8_9．(__永州模拟)以抛物线_2＝16y的焦点为圆心,且与抛物线的准线相切的圆的方程为________．解析:抛物线的焦点为F(0,4),准线为y＝－4,那么圆心为(0,4),半径r＝8.所以,圆的方程为_2＋(y－4)2＝64.10．抛物线的顶点在原点,对称轴为y轴,抛物线上一点Q(－3,m)到焦点的距离是5,那么抛物线的方程为________．解析:设抛物线方程为_2＝ay(a≠0),那么准线为y＝－.∵Q(－3,m)在抛4物线上,∴9＝am.而点Q到焦点的距离等于点Q到准线的距离,aa99a∴|m－(－)|＝5.将m＝代入,得|＋|＝5,解得,a＝±2,或a＝±18,4aa4∴所求抛物线的方程为_＝±2y,或_＝±18y.11．抛物线y2＝4_与直线2_＋y－4＝0相交于A.B两点,抛物线的焦点为F,那么|FA|＋|FB|＝________.22y2＝4_解析:由2_＋y－4＝0,消去y,得_2－5_＋4＝0(_),方程(_)的两根为A.B两点的横坐标,故_1＋_2＝5,因为抛物线y2＝4_的焦点为F(1,0),所以|FA|＋|FB|＝(_1＋1)＋(_2＋1)＝712．过抛物线y2＝4_的焦点作直线交抛物线于A(_1,y1),B(_2,y2)两点,假设_1＋_2＝6,那么|AB|等于________解析:因线段AB过焦点F,那么|AB|＝|AF|＋|BF|.又由抛物线的定义知|AF|＝_1＋1,|BF|＝_2＋1,故|AB|＝_1＋_2＋2＝8.13．根据以下条件求抛物线的标准方程:(1)抛物线的焦点是双曲线16_2 －9y＝144的左顶点;(2)过点P(2,－4)．解:双曲线方程化为－＝1,左顶点为(－3,0),由题意设抛物线方程为9162_2y2py2＝－2p_(p>0),那么－＝－3,∴p＝6,∴抛物线方程为y2＝－12_.2(2)由于P(2,－4)在第四象限且抛物线对称轴为坐标轴,可设抛物线方程为y2＝m_或_2＝ny,代入P点坐标求得m＝8,n＝－1,∴所求抛物线方程为y2＝8_或_2＝－y.14．点A(－1,0),B(1,－1),抛物线C:y2＝4_,O为坐标原点,过点A的动直线l交抛物线C于M,P两点,直线MB交抛物线C于另一点Q.假设向量OMπ与OP的夹角为,求△POM的面积．4解:设点M(,y1),P(,y2),44∵P,M,A三点共线,∴kAM＝kPM,即y21y22y1y21＝4＋1y1－y2y11＝,∴y1y2＝4.22,即2y1y2y1＋4y1＋y24－4444y2y2π12∴OMOP＝＋y1y2＝5.∵向量OM与OP的夹角为,π1π5∴|OM||OP|cos＝5.∴S△POM＝|OM||OP|sin＝.4242。

2017高考模拟文数专题汇编之抛物线含解析一、选择题(本大题共20小题，共100.0分)1.一桥拱的形状为抛物线，该抛物线拱的高为h，宽为b，此抛物线拱的面积为S，若b=3h，则S等于（）A.h2B.2h2C.h2D.h22.若点P为抛物线y=2x2上的动点，F为抛物线的焦点，则|PF|的最小值为（）A.2B.C.D.3.已知抛物线y2=2px的焦点为F，△ABC的三个顶点都在抛物线上，且A（1，2），+=，则BC边所在的直线方程为（）A.2x-y-2=0B.2x-y-1=0C.2x+y-6=0D.2x+y-3=04.抛物线y2=4x的焦点为F，其准线与x轴的交点为N，过点F作直线与抛物线交于A，B两点，若，则|AF|-|BF|=（）A.2B.3C.4D.55.已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，点P是抛物线C上一点，过P 作PM⊥l，垂足为M，记与MN交于点T，若|NF|=2|PF|，且△PNT的面积为，则p=（）A. B.2 C. D.6.过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，且|AF|=2|BF|，则直线AB的斜率为（）A. B. C.或 D.7.过抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F作斜率为的直线l与C及其准线分别相交于A、B、D三点，则的值为（）A.2或B.3或C.1D.4或8.设抛物线C：y2=4x的焦点为F，倾斜角为钝角的直线l过F且与C交于A，B两点，若|AB|=，则l的斜率为（）A.-1B.-C.-D.-9.正三角形ABC的两个顶点A，B在抛物线x2=2py（p＞0）上，另一个顶点C是此抛物线焦点，则满足条件的三角形ABC的个数为（）A.0B.1C.2D.310.已知直线l：y=kx-k与抛物线C：y2=4x及其准线分别交于M，N两点，F为抛物线的焦点，若，则实数k等于（）A. B.±1 C. D.±211.设F是抛物线C1：y2=2px（p＞0）的焦点，点A是抛物线与双曲线C2：-=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的一个公共点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.212.过抛物线C：y2=2px（p＞0）焦点F的直线l与C相交于A，B两点，与C的准线交于点D，若|AB|=|BD|，则直线l的斜率k=（）A. B.±3 C. D.13.已知抛物线顶点在原点，焦点为双曲线的右焦点，则此抛物线的方程是（）A.y2=2xB.y2=4xC.y2=10xD.y2=20x14.已知抛物线y2=8x的准线与双曲线-=1相交于A，B两点，点F为抛物线的焦点，△ABF为直角三角形，则双曲线的离心率为（）A.3B.C.2D.15.设抛物线C：y2=4x的焦点为F，倾斜角为钝角的直线l过F且与C交于A，B两点，若|AB|=，则l的斜率为（）A.±B.-C.±D.-16.抛物线的顶点在原点，焦点是椭圆4x2+y2=1的一个焦点，则此抛物线的焦点到准线的距离是（）A. B. C. D.17.过抛物线y2=4x焦点的直线l交抛物线于P（x1，x2），Q（x2，y2）两点，若x1+x2=6，则|PQ|=（）A.9B.8C.8D.618.已知O为坐标原点，F为抛物线y2=4x的焦点，直线l：y=m（x-1）与抛物线交于A，B两点，点A在第一象限，若|FA|=3|FB|．则m的值为（）A.3B.C.D.19.已知F是抛物线x2=8y的焦点，若抛物线上的点A到x轴的距离为5，则|AF|=（）A.4B.5C.6D.720.抛物线y2=-4x的焦点坐标为（）A.（0，-2）B.（-2，0）C.（0，-1）D.（-1，0）二、填空题(本大题共20小题，共100.0分)21.已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，过抛物线上点P（2，y0）的切线为l，过点P作平行于x轴的直线m，过F作平行于l的直线交m于M，若|PM|=5，则p的值为______ ．22.已知抛物线C：x2=2py（p＞0），P，Q是C上任意两点，点M（0，-1）满足，则p的取值范围是 ______ ．23.已知抛物线的方程为x2=2py（p＞0），过点A（0，-a）（a＞0）作直线l与抛物线相交于P，Q两点，点B的坐标为（0，a），连接BP，BQ．且QB，QP与x轴分别交于M，N两点，如果QB的斜率与PB的斜率之积为-3，则∠PBQ= ______ ．24.已知以F为焦点的抛物线C：y2=2px（p＞0）上的两点A，B满足=3，若弦AB的中点到准线的距离为，则抛物线的方程为 ______ ．25.斜率为k（k＞0）的直线l经过点F（1，0）交抛物线y2=4x于A，B两点，若△AOF 的面积是△BOF面积的2倍，则k= ______ ．26.已知点P（2，1）是抛物线上x2=4y上的一点，点M，N是抛物线上的动点（M，N，P 三点不共线），直线PM，PN分别交y轴于A，B两点，且|PA|=|PB|，则直线MN的斜率为 ______ ．27.已知抛物线y2=6x上的一点到焦点的距离是到y轴距离的2倍，则该点的横坐标为______ ．28.抛物线顶点在原点，焦点在y轴上，其上一点P（m，1）到焦点的距离为5，则抛物线的标准方程为 ______ ．29.若抛物线y2=8x上的点P到焦点的距离为6，则P到y轴的距离是 ______ ．30.已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线为l，若l与圆x2+y2+6x+5=0的交点为A，B，且|AB|=2．则p的值为 ______ ．31.圆心在抛物线y=x2上，并且和该抛物线的准线及y轴都相切的圆的标准方程为______ ．32.过抛物线x2=8y焦点F作直线l交抛物线于A、B两点，若线段AB中点M的纵坐标为4，则|AB|= ______ ．33.在平面直角坐标系x O y中，抛物线y2=4x的焦点到其准线的距离为 ______ ．34.抛物线y2=4x上一点M到焦点的距离为5，则点M的横坐标为 ______ ．35.抛物线y2=4x上横坐标为3的点P到焦点F的距离为 ______ ．36.以抛物线y2=4x的焦点为顶点，顶点为中心，离心率为2的双曲线的渐近线方程为______ ．37.已知点，点F为抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，点P是该抛物线上的一个动点．若|PF|+|PM|的最小值为5，则p的值为 ______ ．38.若点A（-6，y）在抛物线y2=-8x上，F为抛物线的焦点，则AF的长度为 ______ ．39.已知圆心C在抛物线y2=4x上且与准线相切，则圆C恒过定点 ______ ．40.已知抛物线y2=8x的准线过双曲线的左焦点，且被双曲线解得的线段长为6，则双曲线的渐近线方程为 ______ ．三、解答题(本大题共20小题，共240.0分)41.在平面直角坐标系x O y中，抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，过F的直线l交C 于A，B两点，交x轴于点D，B到x轴的距离比|BF|小1．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）若S△BOF=S△AOD，求l的方程．42.已知E（2，2）是抛物线C：y2=2px上一点，经过点D（2，0）的直线l与抛物线C 交于A，B两点（不同于点E），直线EA，EB分别交直线x=-2于点M，N（1）求抛物线方程及其焦点坐标，准线方程；（2）已知O为原点，求证：∠MON为定值．43.已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=2与y的轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|=2|PQ|．（1）求C的方程；（2）边焦点F的直线l斜率为-1，判断C上是否存在两点M，N，使得M，N关于直线l 对称，若存在，求出|MN|，若不存在，说明理由．44.已知圆M：（x-a）2+（y-b）2=9，M在抛物线C：x2=2py（p＞0）上，圆M过原点且与C的准线相切．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）点Q（0，-t）（t＞0），点P（与Q不重合）在直线l：y=-t上运动，过点P作C 的两条切线，切点分别为A，B．求证：∠AQO=∠BQO（其中O为坐标原点）．45.已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点是F，点D（1，y0）是抛物线上的点，且|DF|=2．（I）求抛物线C的标准方程；（Ⅱ）过定点M（m，0）（m＞0）的直线与抛物线C交于A，B两点，与y轴交于点N，且满足：=λ，=μ．（i）当m=时，求证：λ+μ为定值；（ii）若点R是直线l：x=-m上任意一点，三条直线AR，BR，MR的斜率分别为k AR，k BR，k MR，问是否存在常数t，使得．k AR+k BR=t•k MR．恒成立？若存在求出t的值；若不存在，请说明理由．46.已知抛物线C顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线C上一点Q（a，2）到焦点的距离为3，线段AB的两端点A（x1，y1）、B（x2，y2）在抛物线C上．（1）求抛物线C的方程；（2）若y轴上存在一点M（0，m）（m＞0），使线段AB经过点M时，以AB为直径的圆经过原点，求m的值；（3）在抛物线C上存在点D（x3，y3），满足x3＜x1＜x2，若△ABD是以角A为直角的等腰直角三角形，求△ABD面积的最小值．47.如图，O为坐标原点，点F为抛物线C1：x2=2py（p＞0）的焦点，且抛物线C1上点M处的切线与圆C2：x2+y2=1相切于点Q．（Ⅰ）当直线MQ的方程为时，求抛物线C1的方程；（Ⅱ）当正数p变化时，记S1，S2分别为△FMQ，△FOQ的面积，求的最小值．48.如图是一座桥的截面图，桥的路面由三段曲线构成，曲线AB和曲线DE分别是顶点在路面A、E的抛物线的一部分，曲线BCD是圆弧，已知它们在接点B、D处的切线相同，若桥的最高点C到水平面的距离H=6米，圆弧的弓高h=1米，圆弧所对的弦长BD=10米．（1）求弧所在圆的半径；（2）求桥底AE的长．49.已知圆O：x2+y2=1和抛物线E：y=x2-2，O为坐标原点．（1）已知直线l和圆O相切，与抛物线E交于M，N两点，且满足OM⊥ON，求直线l的方程；（2）过抛物线E上一点P（x0，y0）作两直线PQ，PR和圆O相切，且分别交抛物线E于Q，R两点，若直线QR的斜率为，求点P的坐标．50.已知直线l过点P（2，0），斜率为，直线l和抛物线y2=2x相交于A，B两点，设线段AB的中点为M，求：（1）点M的坐标；（2）线段AB的长|AB|．51.已知动点P到点（，0）的距离比它到直线x=-的距离小2．（Ⅰ）求动点P的轨迹方程；（Ⅱ）记P点的轨迹为E，过点S（2，0）斜率为k1的直线交E于A，B两点，Q（1，0），延长AQ，BQ与E交于C，D两点，设CD的斜率为k2，证明：为定值．52.如右图抛物线顶点在原点，圆（x-2）2+y2=22的圆心恰是抛物线的焦点，（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）一直线的斜率等于2，且过抛物线焦点，它依次截抛物线和圆于A、B、C、D四点，求|AB|+|CD|的值．53.已知椭圆C的中心为原点O，焦点在x轴上，且经过点（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）过抛物线y2=4x的焦点F的直线l与椭圆C交于不同两点M，N，且满足⊥，求直线l的方程．54.已知平面内一动点M到点F（1，0）距离比到直线x=-3的距离小2．设动点M的轨迹为C．（1）求曲线C的方程；（2）若过点F的直线l与曲线C交于A、B两点，过点B作直线：x=-1的垂线，垂足为D，设A（x1，y1），B（x2，y2）．求证：①x1•x2=1，y1•y2=-4；②A、O、D三点共线（O为坐标原点）．55.已知抛物线E：y2=2px（p＞0）的焦点F，E上一点（3，m）到焦点的距离为4．（Ⅰ）求抛物线E的方程；（Ⅱ）过F作直线l，交抛物线E于A，B两点，若直线AB中点的纵坐标为-1，求直线l的方程．56.已知抛物线关于y轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M（，-2）（1）求抛物线的标准方程．（2）如果直线y=x+m与这个抛物线交于不同的两点，求m的取值范围．57.（1）已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点在直线2x-y-4=0上，求p的值；（2）已知双曲线的渐近线方程为，准线方程为，求双曲线的标准方程．58.已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线的一个焦点，抛物线与双曲线交点为，求抛物线方程和双曲线方程．59.已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线为l．⊙F与C交于A，B两点，与x轴的负半轴交于点P．（Ⅰ）若⊙F被l所截得的弦长为，求|AB|；（Ⅱ）判断直线PA与C的交点个数，并说明理由．60.已知动点M到点N（1，0）和直线l：x=-1的距离相等．（Ⅰ）求动点M的轨迹E的方程；（Ⅱ）已知不与l垂直的直线l'与曲线E有唯一公共点A，且与直线l的交点为P，以AP为直径作圆C．判断点N和圆C的位置关系，并证明你的结论．【答案】1.B2.D3.B4.C5.D6.C7.D8.D9.C 10.C 11.A 12.D 13.D 14.A 15 .D 16.B 17.B 18.C 19.D 20.D21.622.（0，2]23.24.y2=8x25.226.-127.28.x2=16y29.430.4或831.（x±1）2+（y-）2=132.1233.234.435.436.y=37.2或638.839.（1，0）40.y=±x41.解：（Ⅰ）解法一：抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F（0，），C的准线方程为，（1分）由抛物线的定义，可知|BF|等于点B到C的准线的距离．（2分）又因为点B到x轴的距离比|BF|小1，所以点B到x轴的距离比点B到抛物线准线的距离小1，（3分）故，解得p=2，所以C的方程为x2=4y．（4分）解法二：C的焦点为，（1分）将代入x2=2py，得x=p或x=-p，故，因为点B到x轴的距离比|BF|小1，，即，（2分）解得p=2，所以C的方程为x2=4y，（3分）经检验，抛物线的方程x2=4y满足题意．（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）得C的焦点为F（0，1），设直线l的方程为y=kx+1（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2）．则．（5分）联立方程组消去y，得x2-4kx-4=0．（6分）△=（-4k）2-4×1×（-4）=16k2+16＞0，由韦达定理，得x1+x2=4k，x1x2=-4．（7分）设点O到直线l的距离为d，则，．又S△BOF=S△AOD，所以|BF|=|AD|．（8分）又A，B，D，F在同一直线上，所以，即，（9分）因为，（10分）所以，整理，得16k4+16k2-1=0，故，解得，（11分）所以l的方程为．（12分）42.解：（1）将E（2，2）代入y2=2px，得p=1，∴抛物线方程为y2=2x，焦点坐标为（，0），准线方程x=-；．…（3分）（2）证明：设A（，y1），B（，y2），M（x M，y M），N（x N，y N），因为直线l不经过点E，则直线l的斜率存在，设直线l方程为y=k（x-2），与抛物线方程联立得到，消去x，整理得：ky2-2y-4k=0，则由韦达定理得：y1+y2=，y1y2=-4，…（6分）直线AE的方程为：y-2=（x-2），即y=（x-2）+2，令x=-2，得y M=，…（9分）同理可得：y N=，…（10分）又∵=（-2，y M），=（-2，y N），则•=4+y M y N=4+×，=4+=4+=0…（13分）∴OM⊥ON，即∠MON为定值．…（14分）．方法二：证明：设A（，y1），B（，y2），M（x M，y M），N（x N，y N），设直线l方程为x=my+2，于抛物线方程联立得，整理得：y2-2my-4=0，则由韦达定理得：y1+y2=2m，y1y2=-4，…（6分）直线AE的方程为：y-2=（x-2），即y=（x-2）+2，令x=-2，得y M=，…（9分）同理可得：y N=，…（10分）又∵=（-2，y M），=（-2，y N），则•=4+y M y N=4+×，=4+=4+=0…（13分）∴OM⊥ON，即∠MON为定值．…（14分）43.解：（1）设Q（x0，2），P（0，2）代入由y2=2px（p＞0）中得x0=，所以|PQ|=，|QF|=+，由题设得+=2×，解得p=-2（舍去）或p=2．所以C的方程为y2=4x．（2）设直线l的方程为x+y-1=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则k MN=，MN的中点T的坐标为（，），∵M，N关于直线l对称，∴MN⊥l，∴=1①，∵中点T在直线l上，∴=-+1②，由①②可得y1+y2=4，y1y2=4，∴y1，y2是方程y2-4y+4=0的两个根，此方程有两个相等的根，∴C上不存在M，N，使得M，N关于直线l对称．44.解：（I）解法一：因为圆M的圆心在抛物线上且与抛物线的准线相切，且圆半径为3，故，（1分）因为圆过原点，所以a2+b2=9，所以，（2分）又a2=2pb，所以，（3分）因为p＞0，所以p=4，所以抛物线C方程x2=8y．（4分）解法二：因为圆M的圆心在抛物线上且与抛物线的准线相切，由抛物线的定义，圆M必过抛物线的焦点，（1分）又圆M过原点，所以，（2分）又圆的半径为3，所以，又a2=2pb，（3分）又，得p2=16（p＞0），所以p=4．所以抛物线C方程x2=8y．（4分）解法三：因为圆M与抛物线准线相切，所以，（1分）且圆过又圆过原点，故，可得，（3分）解得p=4，所以抛物线C方程x2=8y．（4分）（Ⅱ）解法一：设A（x1，y1），B（x2，y2），P（m，-t），C方程为，所以，（5分）∴抛物线在点A处的切线的斜率，所以切线PA方程为：，即，化简得，（6分）又因过点P（m，-t），故可得，，（7分）即，同理可得，（8分）所以x1，x2为方程x2-2mx-4t=0的两根，所以x1+x2=2m，x1x2=-4t，（9分）因为Q（0，-t），所以，（10分）化简=．（11分）所以∠AQO=∠BQO．（12分）解法二：依题意设点P（m，-t），设过点P的切线为y=k（x-m）-t，所以，所以x2-4kx+4km+4t=0，所以△=16k2-4（4km+4t）=0，即k2-km-t=0，（5分）不妨设切线PA、PB的斜率为k1、k2，点A（x1，y1），B（x2，y2），所以k1+k2=m，k1•k2=-t，又，所以，所以，（6分）所以x1=2k1，，即点，同理点，（7分）因为Q（0，-t），所以，同理，（9分）所以=+=，（11分）所以∠AQO=∠BQO．（12分）45.解：（I）∵点D（1，y0）是抛物线上的点，且|DF|=2．∴1+=2，解得p=2．∴抛物线C的标准方程为y2=4x．（II）证明：（i）设A（x1，y1），B（x2，y2），当m==1时，M（1，0），直线AB的斜率存在且不为0，可设直线AB的方程为：x=ty+1（t≠0），可得N．联立，可得：y2-4ty-4=0，∴y1+y2=4t，y1y2=-4．∵=λ，=μ，∴=λ（-y1），=μ（-y2），∴λ+μ=-1--1-=-2-=-2-=-1．为定值．（ii）先取特殊情况探索三条直线AR，BR，MR的斜率之间的关系，当AB⊥x轴时，设A（m，y0），B（m，-y0），R（-m，y3），则k AR=，k MR=，k BR=，则k AR+k BR=2•k MR．下面证明一般情况成立．设A（x1，y1），B（x2，y2），R（-m，y3），直线AB的斜率不等于0，可设直线AB的方程为：x=ty+m．联立，化为：y2-4ty-4m=0，∴y1+y2=4t，y1y2=-4m．则k AR=，k MR=，k BR=，则k AR+k BR=+=，又，．代入可得：k AR+k BR=，把y1+y2=4t，y1y2=-4m代入化简可得：k AR+k BR==2•k MR．综上可得：三条直线AR，BR，MR的斜率满足k AR+k BR=2•k MR．46.解：（1）设抛物线的C方程x2=2py（p＞0），则焦点F（0，），准线方程：y=-，过点Q向准线l作垂线，垂足为Q1，由抛物线的定义可得：丨QF丨=丨QQ1丨，∴2-（-）=3，p=2，∴抛物线方程：x2=4y；（2）设直线AB的方程：y=kx+m，则，整理得：x2-4kx-4m=0，则x1+x2=4k，x1x2=-4m，由AB为直径的圆经过原点，则⊥，•=0，则x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2=0∴（1+k2）×（-4m）+km×4k+m2=0，整理得m2-4m=0，解得：m=4或m=0，由m＞0，则m=4，∴m的值4；（3）设直线AB的斜率为k，k＞0，其方程y-y1=k（x-x1），即y=kx+y1-kx1，∴，整理得：x2-4kx+4kx1-4y1=0，∴x1+x2=4k，x2=-x1+4k，丨AB丨2=（1+k2）[（x1+x2）2-4x1x2]=（1+k2）[（x1+x2）2-4x1x2]，=（1+k2）[（4k）2-4x1（-x1+4k）]，=4（1+k2）（x12-4kx1+4k2），同理丨AD丨=4[1+（-）2][x12-4（-）x1+4（-）2]，=4（1+）（x12+x1+），由丨AB丨=丨AD丨，则丨AB丨2=丨AD丨2，4（1+k2）（x12-4kx1+4k2），=4（1+）（x12+x1+），整理得：x1==k-，则丨AB丨2=4（1+k2）[（k-）2-4k（k-）+4k2]=4（1+k2）（k+）2，丨AB丨=2（k+），丨AD丨2=4（1+）[（k-）2+（k-）+]4（1+）（k+）2，丨AD丨=2（k+），∴△ABD面积S=×丨AB丨×丨AD丨=×2（k+）×2（k+），==2（k+）3≥2（2）3=16，当且仅当k=时，即k2=1，即k=1，取等号，∴△ABD面积的最小值16．47.解：（Ⅰ）设点，由x2=2py（p＞0）得，，求导，而直线MQ的斜率为1，∴且，解得：．∴抛物线的标准方程：x2=4y；…（4分）（Ⅱ）因为点M处的切线方程为：，即，根据切线又与圆相切，得d=r，即，化简得，4p2=x04-4x02＞0，解得：丨x0丨＞2，由方程组，解得：Q（，），由丨PQ丨=丨x P-x Q丨=丨x0-丨=（x02-2），点F（0，）到切线PQ的距离d===，则S1=丨PQ丨•d=（x02-2），S1=丨OF丨•丨x Q丨=，∴====++3≥2+3，当且仅当=时，取“=”号，即x02=4+2，此时p=，所以的最小值为．…（12分）48.解：（1）设弧所在圆的半径为r（r＞0），由题意得r2=52+（r-1）2，则r=13，即弧所在圆的半径为13米．…（4分）（2）以线段AE所在直线为x轴，线段AE的中垂线为y轴，建立如图的平面直角坐标系．∵H=6米，BD=10米，弓高h=1米，∴B（-5，5），D（5，5），C（0，6），设所在圆的方程为x2+（y-b）2=r2，（r＞0），则，，∴弧的方程为x2+（y+7）2=169（5≤y≤6）…6分设曲线AB所在抛物线的方程为：y=a（x-m）2，…（8分）由点B（-5，5），在曲线AB上∴5=a（5+m）2， …（10分）又弧与曲线段AB在接点B处的切线相同，且弧在点B处的切线的斜率为，由y=a（x-m）2，y′=2a（x-m），2a（-5-m）=，2a（5+m）=-，…（12分）由 得m=-29，A（-29，0），E（29，0）∴桥底AE的长为58米；…（13分）答：（1）弧所在圆的半径为13米；（2）桥底AE的长58米．（答和单位各1分）…（14分）49.解：（1）设l：y=kx+b，M（x1，y1），N（x2，y2），由l和圆O相切，得．∴b2=k2+1．由消去y，并整理得x2-kx-b-2=0，∴x1+x2=k，x1x2=-b-2．由OM⊥ON，得，即x1x2+y1y2=0．∴x1x2+（kx1+b）（kx2+b）=0．∴，∴（1+k2）（-b-2）+k2b+b2=0，∴b2（-b-2）+（b2-1）b+b2=0．∴b2+b=0．∴b=-1或b=0（舍）．当b=-1时，k=0，故直线l的方程为y=-1．（2）设P（x0，y0），Q（x1，y1），R（x2，y2），则．∴．设l QR：y-y0=k1（x-x0），由直线和圆相切，得，即．设l PR：y-y0=k2（x-x0），同理可得：．故k1，k2是方程的两根，故．由得，故x0+x1=k1．同理x0+x2=k2，则2x0+x1+x2=k1+k2，即．∴，解或．当时，；当时，y0=1．故或．50.解：（1）∵直线l过点P（2，0），斜率为，设直线的倾斜角为α，tanα=，sinα=，cosα=，∴直线l的参数方程为（t为参数）（*）∵直线l和抛物线相交，将直线的参数方程代入抛物线方程y2=2x中，整理得8t2-15t-50=0，且△=152+4×8×50＞0，设这个一元二次方程的两个根为t1、t2，由根与系数的关系，得t1+t2=，t1t2=-，由M为线段AB的中点，根据t的几何意义，因为中点M所对应的参数为，将此值代入直线l的参数方程的标准形式中，得M（，）．（2）|AB|=|t2-t1|==．51.（Ⅰ）解：∵动点P到点（，0）的距离比它到直线x=-的距离小2，∴动点P到点（，0）的距离与它到直线x=-的距离相等，∴动点P的轨迹是以点（，0）为焦点的抛物线，∴动点P的轨迹方程为y2=2x；（Ⅱ）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），则直线AB的方程为y=k1（x-2），代入抛物线方程中，得，∴y1+y2=，y1y2=-4直线AC，BD过点Q（1，0），同理可得y1y3=y2y4=-2，∴y3=-，，∴k2===-=2k1，∴=2．52.解：（Ⅰ）设抛物线方程为y2=2px（p＞0），∵圆（x-2）2+y2=22的圆心恰是抛物线的焦点，∴p=4．∴抛物线的方程为：y2=8x；（Ⅱ）依题意直线AB的方程为y=2x-4设A（x1，y1），D（x2，y2），则，得x2-6x+4=0，∴x1+x2=6，|AD|=x1+x2+p=6+4=10．|AB|+|CD|=|AD|-|CB|=10-4=6．53.解：（Ⅰ）由题意可知设椭圆的标准方程：（a＞b＞0），则a=2，将A2（，）代入，则b=1，∴椭圆的标准方程为：；（Ⅱ）方法一：抛物线y2=4x的焦点F（1，0），设直线l的方程为x=my+1，M（x1，y1），N（x2，y2），由⊥，则x1x2+y1y2=0（*），由，消去x，得得（m2+4）y2+2my-3=0，△=16m2+48＞0∴y1+y2=-，y1y2=-，①x1x2=（1+my1）（1+my2）=1+m（y1+y2）+m2y1y2；=1+m×（-）+m2（-），=，②（9分）将①②代入（*）式，得+（-）=0，解得m=±，存在直线l满足条件，且直线l的方程为2x-y-2=0或2x+y-2=0．方法二：当直线l的斜率不存在时，不满足题意；当直线l的斜率存在时，设其方程为y=k（x-1），与C1的交点为M（x1，y1），N（x2，y2）．联立，消去y并整理得（1+4k2）x2-8k2x+4（k2-1）=0，于是x1+x2=，x1x2=．①∴y1y2=k2（x1-1）（x2-1）=k2[x1x2-（x1+x2）+1]=k2[-+1]=-．② 由⊥，则•=0，即x1x2+y1y2=0（*），将①②代入③式，得+（-）==0，解得k=±2，∴存在直线l满足条件，且直线l的方程为2x-y-2=0或2x+y-2=0．54.解：（1）根据题意，点M到点F（1，0）的距离比它到直线x=-3的距离小1，即点M到点F（1，0）的距离与其到直线x=-1的距离相等，则点M的轨迹为抛物线，且其焦点为F（1，0），准线为x=-1，则其轨迹方程为y2=4x；…（6分）（2）①联立直线x=my+1与抛物线的方程，可得y2-4my-4=0，∴y1•y2=-4，x1•x2=1 …（9分）②设D（-1，y2），则k AO-k OD===0，所以A、O、D三点共线．…（12分）55.解：（Ⅰ）法一：抛物线E：y2=2px（p＞0）的焦点F的坐标为，由已知…（2分）解得P=2或P=-14∵P＞0，∴P=2∴E的方程为y2=4x．…（4分）法二：抛物线E：y2=2px（p＞0）的准线方程为，由抛物线的定义可知解得p=2∴E的方程为y2=4x．…（4分）（Ⅱ）法一：由（Ⅰ）得抛物线E的方程为y2=4x，焦点F（1，0）设A，B两点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），则…（6分）两式相减．整理得∵线段AB中点的纵坐标为-1∴直线l的斜率…（10分）直线l的方程为y-0=-2（x-1）即2x+y-2=0…（12分）法二：由（1）得抛物线E的方程为y2=4x，焦点F（1，0）设直线l的方程为x=my+1由消去x，得y2-4my-4=0设A，B两点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），∵线段AB中点的纵坐标为-1∴解得…（10分）直线l的方程为即2x+y-2=0…（12分）56.解：（1）因为抛物线关于y轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M（，-2），则抛物线的焦点在y的负半轴上，∴可设它的标准方程为：x2=-2py（p＞0），又因为点M在抛物线上，则3=-2p×（-2），解得：p=，∴椭圆的标准方程：x2=-y；（2）将直线方程代入抛物线方程：，整理得2x2+x+m=0，则△=b2-4ac=3-8m＞0，解得：m＜，m的取值范围（-∞，）．57.解：（1）抛物线y2=2px（p＞0）的焦点坐标为（p，0），又焦点在直线2x-y-4=0上，∴2p-0-4=0，解得p=2，（2）由题意知双曲线标准方程为：+=1，（a，b＞0）．∴=，=，又c2=a2+b2，解得a=4，b=3，∴所求双曲线标准方程为-=158.解：由题设知，抛物线以双曲线的右焦点为焦点，准线过双曲线的左焦点，∴p=2c．设抛物线方程为y2=4cx，∵抛物线过点，6=4c•．∴c=1，故抛物线方程为y2=4x．又双曲线过，∴=1．又a2+b2=c2=1，∴a2=或a2=9（舍）．∴b2=，故双曲线方程为：4x2-=1．59.解：（Ⅰ）抛物线C：y2=4x的焦点为F（1，0），∵⊙F被l所截得的弦长为，∴圆的半径为=3，∴⊙F的方程为（x-1）2+y2=9，与y2=4x联立可得A（2，2），B（2，-2），∴|AB|=4；（Ⅱ）（x-1）2+y2=9，令y=0，可得P（4，0），∵A（2，2），∴直线PA与C的交点个数为2．60.解：（Ⅰ）设动点M（x，y），由抛物线定义可知点M的轨迹E是以N（1，0）为焦点，直线l：x=-1为准线的抛物线，所以轨迹E的方程为y2=4x．（Ⅱ）点N在以PA为直径的圆C上．理由：由题意可设直线l'：x=my+n，由可得y2-4my-4n=0（*），因为直线l'与曲线E有唯一公共点A，所以△=16m2+16n=0，即n=-m2．所以（*）可化简为y2-4my+4m2=0，所以A（m2，2m），令x=-1得，因为n=-m2，所以所以NA⊥NP，所以点N在以PA为直径的圆C上．【解析】1. 解：由题意，建立如图所示的坐标系，设抛物线方程为y=ax2（a＜0），则将（，-h）代入可得a=-，∴该抛物线拱的面积为h×3h+==2h2，故选B．建立坐标系，设抛物线方程为y=ax2（a＜0），将（，-h）代入可得a=-，该抛物线拱的面积为h×3h+，即可得出结论．解决该试题的关键是利用定积分表示出抛物线拱的面积，然后借助于定积分得到结论．2. 解：根据题意，抛物线y=2x2上，设P到准线的距离为d，则有|PF|=d，抛物线的方程为y=2x2，即x2=y，其准线方程为：y=-，分析可得：当P在抛物线的顶点时，d有最小值，即|PF|的最小值为，故选：D．根据题意，设P到准线的距离为d，则有|PF|=d，将抛物线的方程为标准方程，求出其准线方程，分析可得d的最小值，即可得答案．本题考查抛物线的几何性质，要先将抛物线的方程化为标准方程．3. 解：A代入抛物线方程可得p=2，∴抛物线方程为y2=4x，F（1，0），∵+=，∴BC经过AF的中点（1，1），设直线方程为x=my+1-m，代入抛物线方程y2=4x，可得y2-4my-4+4m=0，∴4m=2，∴m=，∴直线方程为x=y+，即2x-y-1=0，故选B．A代入抛物线方程可得p=2，可得抛物线的方程，+=，BC经过AF的中点（1，1），设直线方程为x=my+1-m，代入抛物线方程y2=4x，可得y2-4my-4+4m=0，利用韦达定理，求出m，即可得出结论．本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线位置关系的运用，考查向量知识，属于中档题．4. 解：抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），假设直线AN的斜率k存在，设AB方程为：y=k（x-1），，整理得：k2x2-2（k2+2）x+k2=0设两交点为A（x2，y2），B（x1，y1），∵，则∠NBF=90°，∴（x1-1）（x1+1）+y12=0，∴x12+y12=1，∴x12+4x1-1=0（x1＞0），∴x1=-2+，∵x1x2=1，∴x2=2+，∴|AF|-|BF|=（x2+1）-（x1+1）=4，故选C．设直线l的方程，代入抛物线方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，分别求得A和B点横坐标，根据抛物线的焦半径公式，即可求得则|AF|-|BF|．本题考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线的定义，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．5. 解：如图所示，NF=∵|NF|=2|PF|，∴PM=PF=，由得x P=p∵PM∥NF，∴，∴s△NPT：s△NFT=1：2，∵△PNT的面积为，∴△PNF的面积为3×=9由，得，∵在抛物线y2=2px（p＞0）上，即，解得p=．故选：D由NF|=2|PF|，得x P=p，由，得s△NPT：s△NFT=1：2，由，得，，点P在抛物线y2=2px（p＞0）上，即，解得p．6. 解：如图，点A在第一象限．过A、B分别作抛物线的垂线，垂足分别为D、E，过A作EB的垂线，垂足为C，则四边形ADEC为矩形．由抛物线定义可知|AD|=|AF|，|BE|=|BF|，又∵|AF|=2|BF|，∴|AD|=|CE|=2|BE|，即B为CE中点，∴|AB|=3|BC|，在R t△ABC中，|AC|=2|BC|，∴直线l的斜率为=2；当点B在第一象限时，同理可知直线l的斜率为-2，∴直线l的斜率为±2，故选：C．当点A在第一象限，通过抛物线定义及|AF|=2|BF|可知B为CE中点，通过勾股定理可知|AC=2|BC|，进而计算可得结论．本题考查抛物线的简单性质，注意解题方法的积累，属于中档题．7. 解：抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F（，0），过A和B分别做准线的垂线，垂足分别为A′，B′，则直线AB的方程：y=（x-）设A（x1，y1），B（x2，y2），，整理得：y2-py-p2=0，则y1+y2=p，y1y2=-p2，设=λ，（-x1，-y1）=（x2-，y2），则-y1=λy2，由=++2=-，∴-λ-+2=-，整理得：λ2-17λ+4=0，解得：λ=4或λ=，当λ=4时，丨AF丨=4丨BF丨，则丨AB丨=5丨BF丨，由抛物线的定义可知：丨BF丨=丨BB′丨，由直线AB的斜率为，则sin∠∠BDB′=，即sin∠BDB′==，∴丨BD丨=丨BB′丨=丨BF丨，丨AD丨=丨AB丨+丨BD丨=，∴的值4，当λ=，4丨AF丨=丨BF丨，则丨AB丨=5丨AF丨，由抛物线的定义可知：丨AF丨=丨AB′丨，由直线AB的斜率为，则sin∠∠ADF′=，即sin∠ADF′==，∴丨AD丨=丨AB′丨=丨AF丨，丨BD丨=丨AB丨+丨AD丨=，∴的值，故选D．设抛物线方程，代入椭圆方程，设=λ，根据向量数量积的坐标运算，即可求得λ的值，分类讨论，根据抛物线的定义及相似性，即可求得丨BD丨及丨AD丨，即可求得的值．本题考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，向量的坐标运算，考查数形结合思想，考查计算能力，属于中档题．8. 解：由y2=4x，得F（1，0），设AB所在直线方程为y=k（x-1），联立y2=4x，得k2x2-（2k2+4）x+k2=0．∵|AB|=，∴2++2=，∵倾斜角为钝角，∴k=-，故选D．由题意设出直线AB的方程，联立直线和抛物线方程，利用韦达定理，结合弦长公式得答案．本题考查了抛物线的简单几何性质，考查了抛物线的定义，考查了学生的计算能力，是中档题．9. 解：由抛物线x2=2py（P＞0）的焦点F（0，），等边三角形的一个顶点位于抛物线x2=2py（P＞0）的焦点，另外两个顶点在抛物线上，则等边三角形关于x轴轴对称两个边的斜率k=±tan60°=±，其方程为：y=±x+，每条直线与抛物线均有两个交点，焦点两侧的两交点连接，分别构成一个等边三角形．满足条件的三角形ABC的个数为2，故选C．由题意可知：x2=2py（P＞0）的焦点F（0，），则两个边的斜率k=±tan60°=±，其方程为：y=±x+，每条直线与抛物线均有两个交点，焦点两侧的两交点连接，分别构成一个等边三角形．满足条件的三角形ABC的个数为2，本题主要考查了抛物线的简单性质．主要是利用抛物线和正三角形的对称性，考查数形结合思想，属于基础题．10. 解：抛物线C：y2=4x的焦过抛物线的焦点，过N做N N′⊥准线x=-1，垂足为N′，由抛物线的定义，丨NN′丨=丨NF丨，由∠N′NM与直线l倾斜角相等，由，则cos∠N′NM==，则tan∠N′NM=±，∴直线l的斜率k=±，故选：C．由题意可知直线l过抛物线的焦点，由∠N′NM与直线l倾斜角相等，根据抛物线的定义即可求得tan∠N′NM，即可求得k的值．本题考查直线与抛物线的位置关系，抛物线的定义，考查数形结合思想，属于中档题．11. 解：由题意得F（，0），准线为x=-，设双曲线的一条渐近线为y=x，则点A （，），由抛物线的定义得|PF|等于点A到准线的距离，即=+，∴=1，e==，故选A．求出抛物线的焦点坐标和准线方程，利用抛物线的定义得到=+，利用离心率的定义求得双曲线的离心率．本题考查抛物线的定义和双曲线、抛物线的标准方程，以及双曲线、抛物线的简单性质的应用，利用抛物线的定义得到=+，是解题的关键．12. 解：如图，设A，B两点的抛物线的准线上的射影分别为A′，B′，过B作AA′的垂线BH，在三角形ABH中，∠BAH等于直线AB的倾斜角，其正切值即为丨k值，由抛物线的定义可知：设|BF|=n，B为AD中点，根据抛物线的定义可知：丨AF丨=丨AA′丨，丨BF丨=丨BB′丨，丨BB′丨=丨AA′丨，可得2|BF|=|AA′|，即|AF|=2|BF|，∴|AF|=2n，|AA′|=2n，|BF|=n，∴|AH|=n，在直角三角形ABH中，tan∠BAH===2，则直线l的斜率k=2；同理求得：直线l的斜率k=-2；故选：D．在三角形ABH中，∠BAH等于直线AB的倾斜角，其正切值即为k值，利用在直角三角形ABN中，tan∠BAH=，从而得出直线AB的斜率．本题主要考察了直线与抛物线的位置关系，抛物线的简单性质，特别是焦点弦问题，解题时要善于运用抛物线的定义解决问题，属于中档题．13. 解：双曲线的右焦点为（5，0）由题意，设抛物线方程为y2=2px（p＞0）∵抛物线的焦点为双曲线的右焦点∴∴p=10所以抛物线方程为y2=20x故选D．先求双曲线的焦点坐标，再假设抛物线的方程，利用抛物线的焦点为双曲线的右焦点，可求抛物线方程．本题以双曲线的标准方程为载体，考查双曲线的焦点坐标，考查待定系数法求抛物线的标准方程，属于基础题．14. 解：依题意知抛物线的准线x=-2，代入双曲线方程得y=±•，不妨设A（-2，）．∵△FAB是等腰直角三角形，∴=p=4，求得a=，∴双曲线的离心率为e====3，故选：A．先求解准线方程，代入双曲线方程求得y，根据双曲线的对称性可知△FAB为等腰直角三角形，进而可求得A或B的纵坐标为4，进而求得a，利用a，b和c的关系求得c，则双曲线的离心率可得．本题主要考查了双曲线的简单性质．解题的关键是通过双曲线的对称性质判断出△FAB 为等腰直角三角形，属于中档题．15. 解：由y2=4x，则焦点F（1，0），设AB所在直线方程为y=k（x-1），联立y2=4x，得k2x2-（2k2+4）x+k2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=2+，∵|AB|=，∴2++2=，解得：k=±，∵倾斜角为钝角，∴k=-，故选D．由题意设出直线AB的方程，联立直线和抛物线方程，利用韦达定理，结合弦长公式得答案．本题考查了抛物线的简单几何性质，考查了抛物线的定义，考查了学生的计算能力，是。

学智教育教师备课手册教师姓名学生姓名填写时间学科数学年级高二上课时间课时计划2次课教学目标教学内容抛物线专题复习个性化学习问题解决抛物线定义、标准方程及其几何性质教学重点、难点抛物线定义及其离心率等几何性质的灵活应用教学过程★知识梳理★1.抛物线的标准方程、类型及其几何性质 (0>p)：标准方程图形焦点准线范围对称轴x轴y轴顶点（0，0）离心率2.抛物线的焦半径、焦点弦①)0(22≠=ppxy的焦半径=PF2Px+;)0(22≠=ppyx的焦半径=PF2Py+；问：请你写出抛物线另一种标准方程的焦半径公式？②过焦点的所有弦中最短的弦，也被称做通径.其长度为2p.③AB为抛物线pxy22=的焦点弦，则=BAxx42p，=BAyy2p-，||AB=pxxBA++3. pxy22=的参数方程为⎩⎨⎧==ptyptx222（t为参数），pyx22=的参数方程为⎩⎨⎧==222ptyptx（t为参数）（了解）★重难点突破★重点:掌握抛物线的定义和标准方程，会运用定义和会求抛物线的标准方程，能通过方程研究抛物线的几何性质难点: 与焦点有关的计算与论证重难点:围绕焦半径、焦点弦，运用数形结合和代数方法研究抛物线的性质1.要有用定义的意识问题1：抛物线y=42x上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是( )A.1617B. 1615C.87D. 02.求标准方程要注意焦点位置和开口方向问题2：顶点在原点、焦点在坐标轴上且经过点（3，2）的抛物线的条数有 3.研究几何性质，要具备数形结合思想，“两条腿走路” 问题3：证明：以抛物线焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切点拨：设AB 为抛物线的焦点弦，F 为抛物线的焦点，点''、B A 分别是点B A 、在准线上的射影，弦AB 的中点为M ，则''BB AA BF AF AB +=+=，点M 到准线的距离为AB BB AA 21)''(21=+，∴以抛物线焦点弦为直径的圆总与抛物线的准线相切★热点考点题型探析★考点1 抛物线的定义题型 利用定义,实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换[例1 ]已知点P 在抛物线y 2= 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和的最小值为【解题思路】将点P 到焦点的距离转化为点P 到准线的距离【名师指引】灵活利用抛物线的定义，就是实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换，一般来说,用定义问题都与焦半径问题相关 【新题导练】1.已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点111222()()P x y P x y ，，，，333()P x y ，在抛物线上，且||1F P 、||2F P 、||3F P 成等差数列， 则有 （ ）A ．321x x x =+B ． 321y y y =+C ．2312x x x =+ D. 2312y y y =+2. 已知点),4,3(A F 是抛物线x y 82=的焦点,M 是抛物线上的动点,当MF MA +最小时, M 点坐标是 ( )A. )0,0(B. )62,3(C. )4,2(D. )62,3(- 考点2 抛物线的标准方程 题型:求抛物线的标准方程[例2 ] 求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程： (1)过点(-3,2) (2)焦点在直线240x y --=上 【解题思路】以方程的观点看待问题，并注意开口方向的讨论. 【新题导练】3.若抛物线22y px =的焦点与双曲线2213x y -=的右焦点重合,则p 的值 4. 对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：①焦点在y 轴上；②焦点在x 轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6； ④抛物线的通径的长为5；⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）.能使这抛物线方程为y 2=10x 的条件是____________.（要求填写合适条件的序号） 5. 若抛物线的顶点在原点，开口向上，F 为焦点，M 为准线与Y 轴的交点，A 为抛物线上一点,且3||,17||==AF AM ，求此抛物线的方程考点3 抛物线的几何性质题型：有关焦半径和焦点弦的计算与论证 [例3 ]设A 、B 为抛物线px y 22=上的点,且 90=∠AOB (O 为原点),则直线AB 必过的定点坐标为__________.（复杂）【解题思路】由特殊入手，先探求定点位置［解析］设直线OA 方程为kx y =,由⎩⎨⎧==px y kx y 22解出A 点坐标为)2,2(2k pk p ⎪⎩⎪⎨⎧=-=pxy x k y 212解出B 点坐标为)2,2(2pk pk -，直线AB 方程为221)2(2k pk x k pk y ---=+,令0=y 得p x 2=，直线AB 必过的定点)0,2(p【名师指引】（1）由于是填空题，可取两特殊直线AB, 求交点即可；（2）B 点坐标可由A 点坐标用k1-换k 而得。

抛物线【基础知识整合】 1．抛物线的概念平面内到一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线． 2．抛物线的标准方程与几何性质1．抛物线y 2＝2px (p >0)上一点P (x 0，y 0)到焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0的距离PF ＝x 0＋p2，也称为抛物线的焦半径．2．y 2＝ax 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0，准线方程为x ＝－a4.类型一、抛物线的标准方程及几何性质【典例1】【2016高考新课标2文数】设F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，曲线y =kx（k >0）与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k =（ ）（A ）12 （B ）1 （C ）32（D ）2【答案】D 【解析】考点： 抛物线的性质，反比例函数的性质.【思路点拨】抛物线方程有四种形式，注意焦点的位置. 对函数y =kx(0)k ≠，当0k >时，在(,0)-∞，(0,)+∞上是减函数，当0k <时，在(,0)-∞，(0,)+∞上是增函数.【变式训练】【2015高考陕西，文3】已知抛物线22(0)y px p =>的准线经过点(1,1)-，则抛物线焦点坐标为（ ）A ．(1,0)-B ．(1,0)C ．(0,1)-D ．(0,1) 【答案】B【解析】由抛物线22(0)y px p =>得准线2px =-，因为准线经过点(1,1)-，所以2p =， 所以抛物线焦点坐标为(1,0)，故答案选B 【考点定位】抛物线方程和性质. 【思路点拨】1.本题考查抛物线方程和性质，采用待定系数法求出p 的值.本题属于基础题，注意运算的准确性.2.给出抛物线方程要求我们能够找出焦点坐标和直线方程，往往这个是解题的关键.【典例2】【2015高考新课标1，文5】已知椭圆E 的中心为坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线2:8C y x =的焦点重合，,A B 是C 的准线与E 的两个交点，则AB = ( )（A ） （B ） （C ） （D ）12 【答案】B【解析】∵抛物线2:8C y x =的焦点为（2,0），准线方程为2x =-，∴椭圆E 的右焦点为（2,0），∴椭圆E 的焦点在x 轴上，设方程为22221(0)x y a b a b+=>>，c=2，∵12c e a ==，∴4a =，∴22212b a c =-=，∴椭圆E 方程为2211612x y +=， 将2x =-代入椭圆E 的方程解得A （-2,3），B （-2，-3），∴|AB|=6，故选B.【考点定位】抛物线性质；椭圆标准方程与性质【思路点拨】本题是抛物线与椭圆结合的基础题目，解此类问题的关键是要熟悉抛物线的定义、标准方程与性质、椭圆的定义、标准方程与性质，先由已知曲线与待确定曲线的关系结合已知曲线方程求出待确定曲线中的量，写出待确定曲线的方程或求出其相关性质.【变式训练】【2014辽宁文8】已知点(2,3)A -在抛物线C ：22y px =的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为（ ） A ．43-B ．1-C ．34-D ．12- 【答案】C【考点定位】1、抛物线的标准方程和简单几何性质；2、直线的斜率．【思路点拨】本题考查抛物线的标准方程、抛物线的几何性质、直线的斜率公式..注意从已知出发，确定焦点F 的坐标，进一步确定直线的斜率.本题是一道基础题，在较全面考查抛物线等基础知识的同时，考查考生的计算能力及分析问题解决问题的能力. 【解题技巧与方法总结】1．涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性． 2．求抛物线方程应注意的问题(1)当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种； (2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系； (3)要注意参数p 的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题．类型二 抛物线的定义及应用【典例3】【2016高考四川文科】抛物线24y x =的焦点坐标是( ) (A)(0,2) (B) (0,1) (C) (2,0) (D) (1,0) 【答案】D 【解析】试题分析：由题意，24y x =的焦点坐标为(1,0)，故选D. 考点：抛物线的定义.【思路点拨】本题考查抛物线的定义．解析几何是中学数学的一个重要分支，圆锥曲线是解析几何的重要内容，它们的定义、标准方程、简单的性质是我们重点要掌握的内容，一定要熟记掌握．【典例4】【2014全国1，文10】已知抛物线C ：x y =2的焦点为F ,()y x A,是C 上一点，x F A 045=，则=x 0（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】A考点：抛物线的方程和定义【思路点拨】本题主要考查了抛物线的定义和性质，同时考查了考生分析问题、转换问题的能力.【变式训练1】已知P 为抛物线y 2＝4x 上一个动点，Q 为圆x 2＋(y －4)2＝1上一个动点，那么点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线准线的距离之和的最小值是________． 【答案】17－1【解析】由题意知，圆x 2＋(y －4)2＝1的圆心为C (0,4)，半径为1，抛物线的焦点为F (1,0)．根据抛物线的定义，点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线准线的距离之和即点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线焦点的距离之和，因此|PQ |＋|PF |≥|PC |＋|PF |－1≥|CF |－1＝17－1.【变式训练2】已知点M (－3,2)是坐标平面内一定点，若抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，点Q 是该抛物线上的一动点，则|MQ |－|QF |的最小值是________．【答案】52【解析】抛物线的准线方程为x ＝－12，当MQ ∥x 轴时，|MQ |－|QF |取得最小值，此时点Q 的纵坐标y ＝2，代入抛物线方程y 2＝2x 得Q 的横坐标x ＝2，则|QM |－|QF |＝|2＋3|－⎪⎪⎪⎪⎪⎪2＋12＝52. 【一题多解】设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴．证明：直线AC 经过原点O .【思维点拨】 证明k OC ＝k OA . 【证明】【方法一】设AB：x＝my＋p2，代入y2＝2px，得y2－2pmy－p2＝0.由根与系数的关系，得y A y B＝－p2，即y B＝－p2yA.∵BC∥x轴，且C在准线x＝－p2上，∴C(－p2，y B)．则k OC＝yB－p2＝2pyA＝yAxA＝k OA.∴直线AC经过原点O.【思维升华】解决与抛物线的焦点有关的问题，常用到以下结论：①x1x2＝p24，y1y2＝－p2.②AB＝x1＋x2＋p＝2psin2θ(AB为弦长，θ为AB的倾斜角)．③1AF＋1BF＝2p.恰当运用这些结论，就会带来意想不到的效果，特别是在解填空题时可以直接应用．【解题技巧与方法总结】与抛物线有关的最值问题的解题策略该类问题一般情况下都与抛物线的定义有关．实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化．(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解．(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决．类型三、直线与抛物线的位置关系【典例5】【2014全国2，文10】设F 为抛物线2:=3C y x 的焦点，过F 且倾斜角为30︒的直线交C 于A ,B 两点，则 AB =（ ）（A ）3（B ） （C ）12 （D ）【答案】C【考点定位】直线与圆锥曲线的位置关系【思路点拨】本题考查了抛物线的标准方程，焦半径公式，属于中档题，深入理解抛物线的定义是解题的关键，注意韦达定理的使用．【变式训练】已知点(2,3)A -在抛物线C ：22y px =的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为（ ）A ．12 B ．23 C ．34 D ．43【答案】D考点：1.直线与抛物线的位置关系；2.斜率公式.【思路点拨】本题考查抛物线的标准方程、抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系及斜率公式..涉及直线与圆锥曲线的位置关系问题，往往是通过联立直线方程、圆锥曲线方程得到方程组，研究根的判别式、根与系数的关系等，建立新的方程或方程组，寻求解题途径.本题是一道能力题，在较全面考查抛物线等基础知识的同时，考查考生的计算能力及分析问题解决问题的能力.【典例6】【2016高考新课标Ⅲ文数】已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，平行于轴的两条直线12,l l 分别交C 于,A B 两点，交C 的准线于P Q ，两点．（I ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明ARFQ ；（II ）若PQF ∆的面积是ABF ∆的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程. 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）21y x =-．试题解析：由题设)0,21(F .设b y l a y l ==:,:21，则0≠ab ，且)2,21(),,21(),,21(),,2(),0,2(22b a R b Q a P b b B a A +---. 记过B A ,两点的直线为，则的方程为0)(2=++-ab y b a x . .....3分 （Ⅰ）由于F 在线段AB 上，故01=+ab . 记AR 的斜率为1k ，FQ 的斜率为2k ，则222111k b aaba ab a b a a b a k =-=-==--=+-=， 所以ARFQ . ......5分（Ⅱ）设与轴的交点为)0,(1x D ， 则2,2121211b a S x a b FD a b S PQF ABF-=--=-=∆∆. 由题设可得221211ba x ab -=--，所以01=x （舍去），11=x . 设满足条件的AB 的中点为),(y x E . 当AB 与轴不垂直时，由DE AB k k =可得)1(12≠-=+x x yb a . 而y ba =+2，所以)1(12≠-=x x y . 当AB 与轴垂直时，E 与D 重合，所以，所求轨迹方程为12-=x y . ....12分考点：1、抛物线定义与几何性质；2、直线与抛物线位置关系；3、轨迹求法．【方法归纳】（1）解析几何中平行问题的证明主要是通过证明两条直线的斜率相等或转化为利用向量证明；（2）求轨迹的方法在高考中最常考的是直接法与代入法（相关点法），利用代入法求解时必须找准主动点与从动点．【变式训练】已知抛物线E ：y 2＝2px (p >0)的准线与x 轴交于点M ，过点M 作圆C ：(x －2)2＋y 2＝1的两条切线，切点为A ，B ，|AB |＝423.(1)求抛物线E 的方程；(2)过抛物线E 上的点N 作圆C 的两条切线，切点分别为P ，Q ，若P ，Q ，O (O 为原点)三点共线，求点N 的坐标． 【解析】(2)如图，设N (s ，t )．P ，Q 是NC 为直径的圆D 与圆C 的两交点．圆D 方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －s ＋222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －t 22＝s －2＋t 24， 即x 2＋y 2－(s ＋2)x －ty ＋2s ＝0.① 又圆C 方程为x 2＋y 2－4x ＋3＝0.② 由②－①得(s －2)x ＋ty ＋3－2s ＝0.③P ，Q 两点坐标是方程①和②的解，也是方程③的解，从而③为直线PQ 的方程．因为直线PQ 经过点O ，所以3－2s ＝0，s ＝32.又点N 在抛物线E ：y 2＝4x 上，所以点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6或⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－6. 【典例7】【2016高考浙江文数】如图，设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，抛物线上的点A 到y 轴的距离等于|AF |-1. （I ）求p 的值；（II ）若直线AF 交抛物线于另一点B ，过B 与x 轴平行的直线和过F 与AB 垂直的直线交于点N ，AN 与x轴交于点M .求M 的横坐标的取值范围.【答案】（I ）2p =；（II ）()(),02,-∞+∞.试题解析：(Ⅰ)由题意可得抛物线上点A 到焦点F 的距离等于点A 到直线x=-1的距离. 由抛物线的定义得12p=，即p=2. (Ⅱ)由(Ⅰ)得抛物线的方程为()24,F 1,0y x =，可设()2,2,0,1A t t t t ≠≠±.因为AF 不垂直于y 轴，可设直线AF:x=sy+1,()0s ≠ ,由241y xx sy ⎧=⎨=+⎩ 消去x 得2440y sy --=，故124y y =-，所以212,B tt ⎛⎫- ⎪⎝⎭.又直线AB 的斜率为212tt -，故直线FN 的斜率为212t t--，从而的直线FN:()2112t y x t-=--，直线BN:2y t =-，所以2232,1t N t t ⎛⎫+- ⎪-⎝⎭，设M(m,0),由A,M,N 三点共线得：222222231t t t t t m t t +=+--- ， 于是2221t m t =-，经检验，m<0或m>2满足题意.综上，点M 的横坐标的取值范围是()(),02,-∞+∞.考点：抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系.【思路点睛】（I ）当题目中出现抛物线上的点到焦点的距离时，一般会想到转化为抛物线上的点到准线的距离．解答本题时转化为抛物线上的点到准线的距离，进而可得点到y 轴的距离；（II ）通过联立方程组可得点B 的坐标，进而可得点N 的坐标，再利用A ，M ，N 三点共线可得m 用含有的式子表示，进而可得M 的横坐标的取值范围.【变式训练】【2016·长春三调】已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，若过点F 且斜率为1的直线与抛物线相交于M ，N 两点，且|MN |＝8.(1)求抛物线C 的方程；(2)设直线l 为抛物线C 的切线，且l ∥MN ，P 为l 上一点，求PM ·PN 的最小值．【解析】(1)由题意可知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，则该直线方程为y ＝x －p2，代入y 2＝2px (p >0)，得x 2－3px ＋p 24＝0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝3p .∵|MN |＝8，∴x 1＋x 2＋p ＝8，即3p ＋p ＝8，解得p ＝2，∴抛物线的方程为y 2＝4x .【一题多解】已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)在第一象限内与圆x 2＋y 2－4x ＋1＝0交于不同的两点A ，B .(1)求p 的取值范围；(2)如果在x 轴上只有一个点M ，使MA ⊥MB ，求p 的值及M 的坐标．【解析】(1)据题意知，p ＞0，x ＞0.设A (x 1，2px 1)，B (x 2，2px 2)．把y 2＝2px 代入x 2＋y 2－4x ＋1＝0得，x 2＋2(p －2)x ＋1＝0，∵x 1，x 2是该方程的两不相等的正根，∴⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝p －2－4＞0，x 1＋x 2＝－p －＞0，x 1x 2＝1＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧ p ＜1或p ＞3，p ＜2，∴p 的取值范围是(0,1)．【解法二】设AB 的中点坐标为(x 0，y 0)．据题意，以线段AB 为直径的圆恰好与x 轴相切，即y 0＝|AB |2(此时M 的横坐标为x 0)． y 0＝2px 1＋2px 22＝2p · x 1＋x 2＋2x 1x 22 ＝2p 6－2p 2＝p －p ， |AB |2＝(x 1－x 2)2＋(2px 1－2px 2)2＝x 21＋x 22－2x 1x 2＋2p (x 1＋x 2－2x 1x 2)＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＋2p (x 1＋x 2－2x 1x 2)＝(4－2p )2－4＋2p (2－2p )＝12(1－p )，∴由y 0＝|AB |2得4y 20＝|AB |2， 即4p (3－p )＝12(1－p )，即p 2－6p ＋3＝0，∴p ＝3－6(∵p ＜1，舍去p ＝3＋6)，此时M 的横坐标为x 0＝x 1＋x 22＝2－p ＝6－1，即M 的坐标为(6－1,0)．【解题技巧与方法总结】求解直线与抛物线位置关系问题的方法在解决直线与抛物线位置关系的问题时，其方法类似于直线与椭圆的位置关系．在解决此类问题时，除考虑代数法外，还应借助平面几何的知识，利用数形结合的思想求解．。