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第四章 解析函数的幂级数表示方法第一节 级数和序列的基本性质 1、复数项级数和复数序列： 复数序列就是：111222,,...,,...n n n z a ib z a ib z a ib =+=+=+在这里，n z 是复数，,Im ,Re n n n n b z a z ==一般简单记为}{n z 。
按照|}{|n z 是有界或无界序列，我们也称}{n z 为有界或无界序列。
设0z 是一个复常数。
如果任给0ε>，可以找到一个正数N ，使得当n>N 时ε<-||0z z n ,那么我们说{}n z 收敛或有极限0z ，或者说{}n z 是收敛序列，并且收敛于0z ，记作0lim z z n n =+∞→。
如果序列{}n z 不收敛，则称{}n z 发散，或者说它是发散序列。
令0z a ib =+，其中a 和b 是实数。
由不等式0||||||||||n n n n n a a b b z z a a b b --≤-≤-+-及容易看出，0lim z z n n =+∞→等价于下列两极限式：,lim ,lim b b a a n n n n ==+∞→+∞→因此，有下面的注解：注1、序列{}n z 收敛（于0z ）的必要与充分条件是：序列{}n a 收敛（于a ）以及序列{}n b 收敛（于b ）。
注2、复数序列也可以解释为复平面上的点列，于是点列{}n z 收敛于0z ，或者说有极限点0z 的定义用几何语言可以叙述为：任给0z 的一个邻域，相应地可以找到一个正整数N ，使得当n N >时，n z在这个邻域内。
注3、利用两个实数序列的相应的结果，我们可以证明，两个收敛复数序列的和、差、积、商仍收敛，并且其极限是相应极限的和、差积、商。
定义4.1复数项级数就是12......n z z z ++++或记为1n n z +∞=∑，或n z ∑，其中n z 是复数。
定义其部分和序列为：12...n n z z z σ=+++如果序列{}n σ收敛，那么我们说级数n z ∑收敛；如果{}n σ的极限是σ，那么说n z ∑的和是σ，或者说n z ∑收敛于σ，记作1nn zσ+∞==∑，如果序列{}n σ发散，那么我们说级数n z ∑发散。
第四章解析函数的幂级数表示法§1.复级数的基本性质1.（定理4.1）复级数收敛的充要条件：实部虚部分别收敛。
2.（定理4.2）复级数收敛的充要条件（用定义）：对任给的>0，存在正整数N()，当n>N且p为任何正整数时，注1：收敛级数通项必趋近于零；注2：收敛级数各项必有界；注3：级数省略有限个项不改变敛散性。
3.（定理4.3）收敛4.（定理4.4）（1）绝对收敛的复级数可任意重排，不改变收敛性，不改变和；（2）两个绝对收敛的复级数可按对角线方法得出乘积（柯西积）级数，也绝对收敛于。
5.一致收敛的定义：对任给的>0以及给定的，存在正整数N=N(,z)，当n>N时，有式中6.不一致收敛的定义7.（定理4.5 柯西一致收敛准则）：级数收敛的充要条件是：任给>0，存在正整数N=N()，使当n>N时，对一切，均有8.（定理4.5’不一致收敛准则）：9.（优级数准则）：如果有正数列，使对一切，有|)|≤，且正项级数收敛复级数在集E上绝对收敛且一致收敛。
10.优级数定义：称为的优级数。
11.（定理4.6）级数各项在点集E上连续，且一致收敛于f(z)，则和函数也在E上连续。
12.（定理4.7 积分求和符号可交换）级数的各项在曲线C上连续，且一致收敛于f(z)，则沿C可逐项积分13.内闭一致收敛：有界闭集上一致收敛14.（定理4.8）在圆K：|z-a|<R内闭一致收敛的充要条件：对任意正整数，只要<R，级数在闭圆上一致收敛。
15.（定理4.9 魏尔斯特拉斯定理）：设（1）函数在区域D内解析；（2）在D内内闭一致收敛于函数f(z):则：（1）f(z)在D内解析；（2）（3）在D内内闭一致收敛于§2.幂级数1.（定理4.10 阿贝尔定理）：幂级数在某点(≠a)收敛它必在圆K：|z-a|<|-a|（以a为圆心，圆周通过的圆）内绝对收敛且内闭一致收敛。
第四章解析函数得幂级数表示法
§1、复级数得基本性质
1、(定理4、1)复级数收敛得充要条件:实部虚部分别收敛。
2、(定理4、2)复级数收敛得充要条件(用定义):对任给得>0,存在正整数N(),当n>N
且p为任何正整数时,
注1:收敛级数通项必趋近于零;
注2:收敛级数各项必有界;
注3:级数省略有限个项不改变敛散性。
3、(定理
4、3)收敛
4、(定理4、4)
(1)绝对收敛得复级数可任意重排,不改变收敛性,不改变与;
(2)两个绝对收敛得复级数可按对角线方法得出乘积(柯西积)级数,也绝对收敛于。
5、一致收敛得定义:对任给得>0以及给定得,存在正整数N=N(,z),当n>N时,有
式中
6、不一致收敛得定义
7、(定理4、5 柯西一致收敛准则):级数收敛得充要条件就是:任给>0,存在正整数N=N(),使当n>N时,对一切,均有
8、(定理4、5’不一致收敛准则):
9、(优级数准则):如果有正数列,使对一切,有|)|≤,且正项级数
收敛复级数在集E上绝对收敛且一致收敛。
10、优级数定义:称为得优级数。
11、(定理4、6)级数各项在点集E上连续,且一致收敛于f(z),则与函数
也在E上连续。
12、(定理4、7 积分求与符号可交换)级数得各项在曲线C上连续,且一致收敛于f(z),则沿C可逐项积分
13、内闭一致收敛:有界闭集上一致收敛
14、(定理4、8)在圆K:|z-a|<R内闭一致收敛得充要条件:
对任意正整数,只要<R,级数在闭圆上一致收敛。
15、(定理4、9 魏尔斯特拉斯定理):设(1)函数在区域D内解析;(2)在D内内闭一致收敛于函数f(z):
则:
(1)f(z)在D内解析;
(2)
(3)在D内内闭一致收敛于
§2、幂级数
1、(定理4、10 阿贝尔定理):幂级数在某点(≠a)收敛它必在
圆K:|z-a|<|-a|(以a为圆心,圆周通过得圆)内绝对收敛且内闭一致收敛。
2、(推论4、11):幂级数在某点(≠a)发散在以a为圆心,圆周通过得圆周外发散。
3、收敛半径:圆周内部绝对收敛,圆周外部发散。
4、(定理4、12 收敛半径R得求法柯西-阿达马公式):(不能缺项)如果幂级数
得系数满足:
或
或
则幂级数得收敛半径:
注:上极限:收敛子数列得极限值得上确界值。
5、例4、5:(4)(缺项幂级数)
6、(定理4、13):
(1)幂级数
得与函数f(z)在其收敛圆K:|z-a|<R(0<R≤)内解析;
(2)在K内,幂级数可逐项求导至任意阶,且收敛半径相同;
(3)(p=0,1,2,…),即
§3、解析函数得泰勒展开式
1、(定理4、14 泰勒定理):设f(z)在区域D内解析,a D,只要圆K:|z-a|<R含于D,则f(z)在K内能展成幂级数
其中系数
(:|-a|=,0<)
2、(定理4、15)函数f(z)在区域D内解析得充要条件:D内任一点a得邻域内可展开成z-a得幂级数,即泰勒级数
3、柯西不等式:泰勒系数满足:(0<<R)。
4、(定理4、16):幂级数收敛半径R>0,且在收敛圆周C:|z-a|<R上至少有一奇点(不可能处处解析)
注:找收敛半径=找最近奇点
5、一些初等函数得泰勒展式:
(1)
(2)cosz
(3)sinz
(4)多值函数
(5)
例题:
(1)将在z=0展成泰勒级数
(2)求得展式
§4、解析函数零点得孤立性及唯一性定理
1、m阶零点定义:…,,m=1称为单零点。
注:泰勒展开第一项即为m阶导
2、(定理4、17):不恒为零得解析函数f(z)以a为m阶零点得充要条件为:
在a得邻域内解析,且≠0
3、(定理
4、18):不恒为零得解析函数得零点必就是孤立得
4、(推论4、19):设
(1)函数f(z)在邻域K:|z-a|<R内解析;
(2)K内有f(z)得一列零点{}(≠a)收敛于a,
f(z)在K内必恒为零
5、(定理4、20 唯一性定理):
(1)函数在区域D内解析;
(2)D内有一个收敛于得点列{}(≠a),其上等值
在D内恒等
6、(推论4、21)设在区域内解析得函数在D内得某一子区域(或一小段弧)上相等
在D内恒等
7、(推论4、22)一切在实轴上成立得恒等式,只要等式两边在z平面上都就是解析得
等式在z平面上也成立
8、(定理4、23 最大模原理等价于最小模原理):函数f(z)在D内解析|f(z)|在D内任何点都不能达到最大值,除非在D内f(z)恒等于常数
9、(推论4、24):设:(1)f(z)在有界区域D内解析,在闭域上连续;
(2)
则除f(z)为常数得情形外,
即:最大值一定在边界上取到,除非就是常值函数。
