高中数学1.5函数y=Asin(ωxφ)的图象(1)作业B新人教A版必修4

§1.5 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象(一)一、基础过关1． 要得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象，只要将y ＝sin x 的图象 ( )A ．向左平移π3个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向右平移π6个单位长度2． 为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象，可以将函数y ＝cos 2x 的图象 ( )A ．向右平移π6个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向左平移π3个单位长度3． 为得到函数y ＝cos(x ＋π3)的图象，只需将函数y ＝sin x 的图象( )A ．向左平移π6个单位长度B ．向右平移π6个单位长度C ．向左平移5π6个单位长度D ．向右平移5π6个单位长度4． 把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象向右平移π8个单位，所得图象对应的函数是 ( )A ．非奇非偶函数B ．既是奇函数又是偶函数C ．奇函数D ．偶函数5． 将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是 ( )A ．y ＝cos 2xB ．y ＝1＋cos 2xC ．y ＝1＋sin(2x ＋π4)D ．y ＝cos 2x －16． 函数y ＝sin 2x 图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，所得图象的函数解析式为f (x )＝____________. 7． 某同学给出了以下论断：①将y ＝cos x 的图象向右平移π2个单位，得到y ＝sin x 的图象；②将y ＝sin x 的图象向右平移2个单位，可得到y ＝sin(x ＋2)的图象； ③将y ＝sin(－x )的图象向左平移2个单位，得到y ＝sin(－x －2)的图象； ④函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象是由y ＝sin 2x 的图象向左平移π3个单位而得到的． 其中正确的结论是______(将所有正确结论的序号都填上)．8． 怎样由函数y ＝sin x 的图象变换得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象，试叙述这一过程． 二、能力提升9． 为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象，只需把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象 ( )A ．向左平移π4个单位长度B ．向右平移π4个单位长度C ．向左平移π2个单位长度D ．向右平移π2个单位长度10．要得到函数y ＝2cos x 的图象，只需将函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4图象上的所有点的 ( ) A ．横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再向左平行移动π8个单位长度B ．横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再向右平行移动π4个单位长度C ．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平行移动π4个单位长度D ．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平行移动π8个单位长度11．为得到函数y ＝cos x 的图象，可以把y ＝sin x 的图象向右平移φ个单位得到，那么φ的最小正值是________．12．使函数y ＝f (x )图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标缩小到原来的12倍，然后再将其图象沿x 轴向左平移π6个单位得到的曲线与y ＝sin 2x 的图象相同，求f (x )的表达式．三、探究与拓展13．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x (x ∈R ). (1)求f (x )的单调减区间；(2)经过怎样的图象变换使f (x )的图象关于y 轴对称？(仅叙述一种方案即可)．答案1．B 2.B 3.C 4.D 5.B 6.sin x 7．①③8．解 由y ＝sin x 的图象通过变换得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象有两种变化途径： ①y ＝sin x ――→向右平移π3个单位y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3――→纵坐标不变横坐标缩短为原来的12y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. ②y ＝sin x ――→纵坐标不变横坐标缩短为原来的12y ＝sin 2x ――→向右平移π6个单位y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 9．B 10.C 11.32π12．解 据题意，y ＝sin 2xy ＝sin2⎝⎛⎭⎫x －π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3――→横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3. 13．解 (1)由已知函数化为y ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3.欲求函数的单调递减区间，只需求y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间．由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2 (k ∈Z )，解得k π－π12≤x ≤k π＋512π (k ∈Z )，∴原函数的单调减区间为⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋512π (k ∈Z )． (2)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x ＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π3－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π12. ∵y ＝cos 2x 是偶函数，图象关于y 轴对称， ∴只需把y ＝f (x )的图象向右平移π12个单位即可．。

第一章 三角函数1.5 函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图像测试题知识点一: 利用图象变换法作y ＝Asin(ωx ＋φ)＋b 的图象1.已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的一部分图象如图所示，如果A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2，则( )A.A ＝4B.ω＝1C.φ＝π6 D.B ＝42.(1)利用“五点法”画出函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6在长度为一个周期的闭区间的简图列表：作图：图1－3－5(2)并说明该函数图象可由y ＝sin x (x ∈R )的图象经过怎样变换得到的.知识点二: 正弦型函数的性质3.要得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象，只要将y ＝sin x 的图象( )A ．向左平移π3个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向右平移π6个单位长度4． 为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象，可以将函数y ＝cos 2x 的图象 ( )A ．向右平移π6个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向左平移π3个单位长度5． 为得到函数y ＝cos(x ＋π3)的图象，只需将函数y ＝sin x 的图象( )A ．向左平移π6个单位长度B ．向右平移π6个单位长度C ．向左平移5π6个单位长度D ．向右平移5π6个单位长度6． 把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象向右平移π8个单位，所得图象对应的函数是 ( )A ．非奇非偶函数B ．既是奇函数又是偶函数C ．奇函数D ．偶函数7． 将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是( )A ．y ＝cos 2xB ．y ＝1＋cos 2xC ．y ＝1＋sin(2x ＋π4)D ．y ＝cos 2x －18.(2014·洛阳高一检测)若函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ，则有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝( )A.3或0B.－3或0C.0D.－3或39.(2014·北大附中高一月考)函数y ＝sin x 的图象向左平移π4个单位长度后，所得图象的一条对称轴是( )A.x ＝－π4B.x ＝π4 C.x ＝π2 D.x ＝3π410.把函数y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标都缩小到原来的一半，纵坐标不变，再把图象向左平移π4个单位，这时对应于这个图象的解析式为( )A.y ＝cos 2xB.y ＝－sin 2xC.y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4D.y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π411.(2014·大同高一检测)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，为了得到g (x )＝sin 3x 的图象，则只要将f (x )的图象( )图1－3－4A.向右平移π4个单位长度 B.向右平移π12个单位长度 C.向左平移π4个单位长度 D.向左平移π12个单位长度12.将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移φ⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜φ＜π2个单位长度后，得到函数y ＝sin(2x ＋1)的图象，则φ的值是________.13.把函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2π3的图象向左平移m 个单位，所得图象关于y 轴对称，则m 的最小正值是________.14.关于函数f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3(x ∈R )，有下列命题： ①y ＝f (x )的表达式可改写成y ＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6；②y ＝f (x )是奇函数；③y ＝f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0对称；④y ＝f (x )的图象关于直线x ＝－π6对称. 其中正确命题的序号为________.15.(2014·许昌高一检测)函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)，ω＞0，φ∈(0，π)，x ∈R ，同时满足：f (x )是偶函数，且关于⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，0对称，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是单调函数，求函数f (x ). 11.(2014·合肥高一检测)已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，x ∈R .(1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间.(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，π2上的最小值和最大值，并求出取得最值时x 的值.【参考答案】的图象上所有的点向左平移π6个单位长度，得到。

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1.5 函数y ＝Asin （ωx＋φ)的图像 题号12 3 4 5 6 7 8 9 10 11 得分答案一、选择题（本大题共7小题，每小题5分，共35分)1．函数y ＝cos （2x ＋错误!）的图像的一条对称轴的方程是（ )A ．x ＝－π2B ．x ＝错误!C ．x ＝－错误!D ．x ＝π2．若把函数y ＝sin(x ＋π3)的图像向右平移m （m 〉0)个单位长度后，得到y ＝sin x 的图像，则m 的最小值为( ）A 。

错误! B.错误!C 。

错误! D.错误!3．已知函数f(x ）＝sin 错误!(ω>0）的最小正周期为π，则该函数的图像（ )A ．关于点错误!对称B ．关于直线x ＝错误!对称C．关于点错误!对称 D．关于直线x＝错误!对称4．如图L1。

5。

1所示的图像的函数解析式可以为（)图L1­5。

1A．y＝2sin(2x－错误!)B．y＝2sin(2x＋错误!）C．y＝2sin(2x＋错误!)D．y＝2sin(2x－错误!)5．已知函数f（x）＝cos错误!（x∈R,ω〉0）的最小正周期为错误!，要得到函数g(x）＝sin ωx的图像,只需将y＝f(x）的图像（）A．向左平移错误!个单位长度B．向右平移错误!个单位长度C．向左平移错误!个单位长度D．向右平移7π24个单位长度6．已知点P（－π6，2)是函数f（x）＝sin(ωx＋φ)＋m(ω〉0，|φ|〈错误!）的图像的一个对称中心，且点P到该图像的对称轴的距离的最小值为错误!，则( ) A．f(x）的最小正周期是πB．f(x)的值域为[0，4］C．f(x)的初相φ＝π3D．f（x）在区间［错误!，2π］上单调递增7．已知以原点O为圆心的单位圆上有一质点P,它从初始位置P0(错误!，错误!）开始，按逆时针方向以角速度1 rad/s做圆周运动，则点P的纵坐标y关于时间t的函数关系式为（) A．y＝sin（t＋错误!），t≥0B．y＝sin（t＋错误!），t≥0C．y＝cos(t＋π3),t≥0D．y＝cos（t＋错误!），t≥0二、填空题(本大题共4小题,每小题5分，共20分）8．若将函数y＝tan（ωx＋错误!）（ω>0）的图像向右平移错误!个单位长度后,所得图像与函数y＝tan（ωx＋错误!)的图像重合，则ω的最小值为________．9．把函数y＝cos 2x的图像上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，得到的图像的函数解析式是________．10．某人的血压满足f（t）＝24sin 160πt＋110，其中f(t)为血压，t为时间，则此人每分钟心跳的次数为________．11．已知函数f（x）＝2sin错误!，有如下结论：①函数f(x）的最小正周期为π;②函数f(x)在错误!上的值域为［1,错误!]；③函数f（x)在错误!上是减函数；④函数f(x)的图像向左平移错误!个单位长度得到函数y＝2sin 2x的图像．其中正确的是________(写出所有正确结论的序号）．三、解答题(本大题共2小题，共25分）12．(12分)已知曲线y＝Asin(ωx＋φ)错误!上的一个最高点的坐标为错误!，此点到相邻最低点间的曲线与x轴交于点错误!。

疱工巧解牛知识•巧学一、φ对y=sin(x+φ)，x ∈R 的图象的影响1.以函数y=sin(x+3π)，x ∈R 与y=sin(x-4π)，x ∈R 为例说明. 函数y=cosx=sin(x+2π)，x ∈R 的图象可以看作是把正弦曲线上所有的点向左平移2π个单位长度而得到的.显然，y=sin(x+3π)的图象可以看作是把正弦曲线y=sinx 上所有点向左平移3π个单位长度而得到的；y=sin(x-4π)的图象可以看作是把正弦曲线上所有点向右平移4π个单位长度而得到的. 这函数y=sin(x+3π),x ∈R 与函数y=sin(x-4π),x ∈R 的周期都是2π，用“五点法”画出它们在［0,2π］上的简图.列表：x3π-6π 32π 67π 35π x+3π 0 2π π 23π 2π sin(x+3π)1-1x4π 43π 45π 47π 49π x-4π 0 2π π 23π 2π sin(x-4π)1-1描点作图：图1-5-2从图1-5-2和表格中都可以看出：在y=sin(x+3π)与y=sin(x-4π)的图象上各恰当地选取一个纵坐标相同的点，它的横坐标分别比y=sinx 的横坐标小3π与多4π.2.一般地，函数y=sin(x+φ)(φ≠0)，x ∈R 的图象可以看作是把正弦曲线上所有点向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平行移动|φ|个单位长度而得到的，这种变换叫做相位变换. 学法一得 移图与移轴是相对的，把图象向右(左)平移φ(φ＞0)个单位，相当于把y 轴向左(右)平移φ(φ＞0)个单位；把图象向上(下)平移k(k ＞0)个单位，相当于把x 轴向下(上)平移k(k ＞0)个单位，移轴比移图更容易作出函数的图象. 二、ω对y=sin(ωx+φ)的图象的影响 1.以函数y=sin2x ，x ∈R 与y=sin21x ，x ∈R 为例说明. 由于函数y=sin2x 的周期是π，所以可先画出它在［0，π］上的简图，按五个关键点列表：x 0 4π 2π 43π π 2x 0 2π π 23π 2π sin2x 01-1同理，函数y=sin 21x 的周期是4π，所以可先画出它在［0，4π］上的简图，按五个关键点列表：x0 π2π 3π4π 21x 0 2π π 23π 2π sin 21x 01-1描点作图：图1-5-3(1)函数y=sin2x 与y=sinx 的图象间的联系：从图1-5-3及所列表格中可以看出，函数y=sin2x ，x ∈［0，π］的图象上，横坐标为2x ，x 0∈［0，π］的点的纵坐标与正弦曲线y=sinx 上横坐标为x 0的点的纵坐标相等.因此，函数y=sin2x ，x ∈R 的图象，可以看作是把正弦曲线y=sinx ，x ∈R 上所有点的横坐标缩短到原来的21倍(纵坐标不变)而得到的. (2)函数y=sin 21x 与y=sinx 的图象间的联系从图1-5-3及所列表格中可以看出，函数y=sin21x ，x ∈［0，4π］的图象中，横坐标为2x 0，x 0∈［0，4π］的点的纵坐标与正弦曲线y=sinx 上横坐标为x 0的点的纵坐标相等.因此，函数y=sin21x ，x ∈R 的图象，可以看作是把正弦曲线上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)而得到的.2.一般地，函数y=sinωx(ω＞0且ω≠1)，x ∈R 的图象，可以看作是把正弦曲线上所有点的横坐标伸长(0＜ω＜1)或缩短(ω＞1)到原来的ω1倍(纵坐标不变)而得到的，这种变换称为周期变换，它是由ω的变化而引起的，ω与周期T 的关系是ωπ2=T .学法一得 函数y=sinωx 的图象是由y=sinx 的图象通过实施周期变换而得到的，其中ω决定函数的周期，它能改变曲线的形状，φ的值只改变曲线的位置，并不改变曲线的形状. 三、A 对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响 1.以函数y=2sinx ，x ∈R ，y=21sinx ，x ∈R 为例说明. 由于这两个函数的周期都是2π，所以可先画出它们在［0，2π］上的简图，按五个关键点列表：x 0 2π π 23π 2π Sinx 0 1 0 -1 0 2sinx0 20 -20 21sinx 021 021- 0描点画图：图15-4利用这两个函数的周期性，把它们在［0，2π］上的简图向左、右扩展，从而得到它们在整个定义域上的简图.(1)函数y=2sinx 的图象与y=sinx 的图象之间的联系通过图1-5-4及所列表格可知，对同一个x 的值，函数y=2sinx ，x ∈［0，2π］的图象上点的纵坐标总是等于函数y=sinx ，x ∈［0，2π］的图象上点的纵坐标的2倍.根据函数的周期性，它在其他区间上也是如此.所以函数y=2sinx ，x ∈R 的图象，可以看作是把正弦曲线上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)而得到的，从而函数y=2sinx ，x ∈R 的值域是［-2，2］. (2)函数y=21sinx 的图象与y=sinx 的图象之间的联系 通过图154及所列表格可知，对同一个x 的值，函数y=21sinx ，x ∈［0，2π］的图象上点的纵坐标总是等于函数y=sinx ，x ∈［0，2π］的图象上点的纵坐标的21倍，根据函数的周期性，在其他区间上也是如此.所以函数y=21sinx ，x ∈R 的图象，可以看作是把正弦曲线上所有点的纵坐标缩短到原来的21倍(横坐标不变)而得到的，从而函数y=21sinx ，x ∈R 的值域是［-21，21］. 学法一得 一般地，函数y=Asinx ，x ∈R (A ＞0且A≠1)的图象可以看作是把正弦曲线上所有点的纵坐标伸长(A ＞1)或缩短(0＜A ＜1)到原来的A 倍(横坐标不变)而得到的.这种变换叫做振幅变换，它是由A 的变化而引起的，A 叫做函数的振幅，函数y=Asinx ，x ∈R 的值域是［-A ，A ］.四、函数y=Asin(ωx+φ)与y=sinx 图象间的关系1.以函数y=3sin(2x+3π)，x ∈R 为例说明. 函数y=3sin(2x+3π)的周期是π，先画出它在长度为一个周期的闭区间上的简图，按五个关键点列表：x6π-12π 3π 127π 65π 2x+3π 0 2π π 23π 2π 3sin(2x+3π)3-3描点画图：图1-5-5函数y=3sin(2x+3π)，x ∈R 的图象，可看作是先将y=sinx 图象上所有的点向左平移3π个单位长度，得到y=sin(x+3π)，x ∈R 的图象；再把y=sin(x+3π)，x ∈R 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的21倍(纵坐标不变)，得到y=sin(2x+3π)，x ∈R 的图象；最后把y=sin(2x+3π)，x ∈R 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)得到的.2.一般地，函数y=Asin(ωx+φ)(其中A ＞0，ω＞0)，x ∈R 的图象，可以看作是用下面的方法而得到的：先把正弦曲线上所有的点向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平行移动|φ|个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短(ω＞1)或伸长(0＜ω＜1)到原来的ω1倍(纵坐标不变)，再把所得各点的纵坐标伸长(A ＞1)或缩短(0＜A ＜1)到原来的A 倍(横坐标不变).联想发散 y=Asin(ωx+φ)(其中A ＞0，ω＞0)，x ∈R 的图象也可通过下面的方法而得到：先把正弦曲线上所有点的横坐标缩短(ω＞1)或伸长(0＜ω＜1)到原来的ω1倍(纵坐标不变)，再把所得各点向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移ωϕ||个单位长度，再把所得各点的纵坐标伸长(A ＞1)或缩短(0＜A ＜1)到原来的A 倍(横坐标不变). 五、A 、ω、φ的物理意义当函数y=Asin(ωx+φ)，x ∈［0,+∞)(其中A ＞0，ω＞0)表示一个振动量时，A 就表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离，通常称为这个振动的振幅；往复一次所需要的时间ωπ2=T ，称为这个振动的周期；单位时间内往复振动的次数Tf 1=，称为振动的频率；ωx+φ称为相位；当x=0时，相位φ称为初相. 例如，函数y=2sin(3x-3π)，x ∈［0，+∞)的振幅是2，周期T=32π，频率π231==T f ，相位是3x-3π，初相是3π-.六、函数y=Asin(ωx+φ)，x ∈R 的对称问题1.对称轴过函数y=Asin(ωx+φ)，x ∈R 的图象的最值点作x 轴的垂线，可得该函数图象的对称轴.对称轴可由ωx+φ=kπ+2π，k ∈Z 解出，显然对称轴有无数条.例如，y=2sin(2x-3π)图象的对称轴方程是2x-3π=kπ+2π，k ∈Z ，即x=12521ππ+k ，k ∈Z .函数y=Acos(ωx+φ)的对称轴方程可由ωx+φ=kπ，k ∈Z 解出.2.对称中心函数y=Asin(ωx+φ)与x 轴的交点都叫做该函数的对称中心，它是函数值等于零的点，由ωx+φ=kπ得x=ωϕπ-k ，即对称中心是(ωϕπ-k ，0).显然，函数y=4sin(2x-3π)的对称中心是(62ππ+k ，0). 同理，函数y=Acos(ωx+φ)的对称中心是(ωωππ-+2k ，0)，显然，函数y=2cos(2x+4π)的对称中心是(28ππk +，0). 学法一得 (1)所谓轴对称，就是把图形沿此直线对折，对折后的图形与原图形完全重合.由于函数y=Asin(ωx+φ)中的变量x ∈R ，所以它有无数条对称轴. (2)所谓中心对称，就是把图形绕该点旋转180°后，所得图形与原图形完全重合.由于y=Asin(ωx+φ)的变量x ∈R ，所以它有无数个对称中心. 典题•热题知识点一 A 、ω、φ的求值与图象的平移 例1 (1)用“五点法”作函数y=2sin(2x-3π)，x ∈R 的图象，并指出这个函数的振幅、周期和初相；(2)怎样由y=sinx 的图象，得到y=2sin(2x-3π)的图象？ 解：(1)列表：x6π 125π 32π 1211π67π 2x-3π 0 2π π 23π 2π 2sin(2x-3π)2-2描点连线：图1-5-6把函数y=2sin(2x-3π)在长度为一个周期的简图中向左右扩展，就得到y=2sin(2x-3π)，x ∈R 的简图.振幅A=2，周期T=22π=π，初相φ=3π-.(2)解：先把函数y=sinx 的图象上所有的点向右平移3π个单位，得到函数y=sin(x-3π)的图象；再把y=sin(x-3π)图象上所有点的横坐标缩短到原来的21倍(纵坐标不变)，得到函数y=sin(2x-3π)的图象；最后把y=sin(2x-3π)图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到y=2sin(2x-3π)，x ∈R 的图象.知识点二 图象的平移 例2 已知函数y=21sin(2x+6π)+45，x ∈R . (1)当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合；(2)该函数的图象可由y=sinx(x ∈R )的图象经过怎样的平移和伸缩变换而得到？思路分析：本题主要考查三角函数的图象和性质，求最值时，可把(ωx+φ)视为一个整体.解：(1)要使y 取得最大值必须且只需2x+6π=2π+2kπ，k ∈Z ，即x=6π+kx ，k ∈Z . 所以当函数y 取得最大值时，自变量x 的集合为{x|x=6π+kπ，k ∈Z }.(2)将函数y=sinx 依次进行如下变换： ①把函数y=sinx 的图象向左平移6π个单位，得到函数y=sin(x+6π)的图象；②把得到的图象上各点横坐标缩短到原来的21倍(纵坐标不变)，得到函数y=sin(2x+6π)的图象；③把得到的图象上各点纵坐标缩短到原来的21倍(横坐标不变)，得到函数y=21sin(2x+6π)的图象；④把得到的图象向上平移45个单位长度，得到函数y=21sin(2x+6π)+45的图象. 综上可得函数y=21sin(2x+6π)+45的图象.方法归纳 先相位，再周期变换，同先周期，后相位变换一样，函数y=sinx 图象上的点(0，0)都被变换成了点(ωϕ，0).但要注意平移的单位是不同的，先相位后周期，平移的单位为|φ|；先周期，后相位，平移的单位为ωϕ||.例3 把函数y=f(x)的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移2π个单位，得到曲线y=21sinx的图象，试求函数y=f(x)的解析式.思路分析：一是设f(x)=Asin(ωx+φ)，按图象变换的法则，分两步，得y=Asin ［2ω(x+2π)+φ］，它就是y=21sinx ，构造A 、ω、φ的方程求解；二是采用逆变换，即把上述变换倒过来，由y=21sinx 得到y=f(x). 解：设y=Asin(ωx+φ)，把它的横坐标伸长到原来的2倍得到y=Asin(2ωx+φ)，再向左平移2π个单位，得到y=Asin ［2ω(x+2π)+φ］，即y=Asin x x sin 21)42(=++ϕπωω.由两个代数式恒等，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-===⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+==.2,2,21041221πϕωϕωπωA A∴f(x)=21sin(2x-2π)=-21cos2x. 巧解提示：将y=21sinx 的图象向右平移2π个单位，得到y=21sin(x-2π)的图象，再把y=21sin(x-2π)的图象的所有点的横坐标缩短到原来的21倍，得到y=21sin(2x-2π)，即y=21-cos2x 的图象，所以所求函数f(x)=21-cos2x.方法归纳 平移是相对的，平移的量也不是唯一的，若通过平移φ(φ＞0)个单位能实现图象间的转化，那么平移kT+φ(k ∈Z ，T 是函数的最小正周期)个单位也能实现转化.三角函数的图象的变换是相对的、互逆的.知识点三 已知函数y=Asin(ωx+φ)的图象，求它的解析式. 例4 已知函数y=Asin(ωx+φ)，|φ|＜2π的图象，试确定A 、ω、φ的值.图1-5-7解：显然，A=2. ∵T=65π-(-6π)=π，∴222===πππωT . 从图1-5-7中可以看出，函数y=2sin(2x+φ)是由y=2sin2x 的图象向左平移6π个单位得到的,所以y=2sin2(x+6π)，即φ=3π. 也可利用代点法求φ：由图可知当12]3)6[(21πππ=+-=x 时，y max =2. 故有2x+φ=2×12π+φ=2kπ+2π，即φ=2kπ+3π.∵|φ|＜2π，∴φ=3π.方法归纳 若用代点法确定函数y=Asin(ωx+φ)中的φ值时，能代入最值点更好；若A ＞0，ω＞0时，若代入递增区间中心点的横坐标，应使ωx+φ=2kπ，k ∈Z .若代入递减区间中心点的横坐标，应使ωx+φ=2kπ+π，k ∈Z ，再依据φ的范围，确定φ的值.例5 图1-5-8是一个按正弦规律变化的交流电的图象.根据图象求出它的周期、频率和电流的最大值，并写出图象的函数解析式.图1-5-8思路分析：通过图象确定周期T ，从而进一步求得ω的值是关键，振幅A 也可通过识图求得，初相φ一般通过代点求得.解：由图象看出，这个交流电的周期T=0.2 s ，由频率f 与周期T 的关系式，得频率5112===a T f ，电流的最大值为10 A. 由图1-5-8可知，这个曲线的函数解析式是正弦型函数I=Asin(ωt+φ)，其中A=10，ω=2.022ππ=T =10π，再把点(0，10)代入函数解析式I=10sin(10πt+φ)，得sinφ=1，取φ=2π，于是得到曲线的函数解析式为I=10sin(10πt+2π)，t ∈［0，+∞).根据诱导公式，函数式可化为I=10cos10πt ，t ∈［0，+∞).方法归纳 A 表示振动量离开平衡位置的最大距离；ω可由周期T 或T 的一部分确定；φ可由图象离原点最近的递增区间中心点的横坐标确定，也可用代点法确定. 问题•探究 思想方法探究问题 如何理解函数y=A 1sin(ω1x+φ1)与函数y=A 2sin(ω2x+φ2)图象间的关系?探究过程：设函数y=2sin(x+6π)，x ∈R 的图象为C ，要得到y=3sin(x+6π)，x ∈R 的图象，只需把C 上所有点的纵坐标伸长到原来的23倍(横坐标不变)；要得到y=2sin(21x+6π)，x ∈R的图象，只需把曲线C 上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)；要得到y=2sin(x+3π)，x ∈R 的图象，只需把曲线C 上所有的点向左平移6π个单位长度；要得到y=2sin(x+6π)+2的图象，只需把曲线C 上所有点向上平移2个单位.对于余弦函数也是如此.不同名称的弦函数间的关系，可先统一函数名称，如y=sin(2x-4π)与y=cos2x 图象间的关系，由于y=sin(2x-4π)=cos ［2π-(2x-4π)］=cos(43π-2x)=cos(2x-43π)，所以只需把y=sin(2x-4π)的图象向左平移83π个单位长度，即可得到y=cos2x 的图象.把y=cos2x 的图象向右平移83π个单位，便可得到y=cos(2x-43π)，即y=sin(2x-4π)的图象，所以图象的变换是相对的.探究结论：由y=sinx 到y=Asin(ωx+φ)(其中A ＞0，ω≠1)的思维过程是：①画出y=sinx ，x ∈［0，2π］的简图；②沿x 轴平移，得到y=sin(x+φ)，x ∈R 在长度为一个周期的闭区间上的简图；③横坐标伸长或缩短，得到y=sin(ωx+φ)，x ∈R 在长度为一个周期上的简图；④纵坐标伸长或缩短，得到y=A sin(ωx+φ)，x ∈R 在长度为一个周期上的简图. 误区陷阱探究问题 “要想得到函数y=Asin(ωx+φ)(A ＞0,ω＞0)的图象，只需将函数y=Asinωx(A ＞0,ω＞0)的图象向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移|φ|个单位”这句话是否正确？探究过程：三角函数图象的变换包括了周期变换、振幅变换、相位变换和上下平移变换.其中由函数y=Asinωx(A ＞0,ω＞0)的图象得到函数y=Asin(ωx+φ)(A ＞0,ω＞0)的图象是相位变换，它的实质是左右平移，而左右平移只是变换自变量x ，比如，将函数y=lg2x 的图象向左平移1个单位，得到的是函数y=lg2(x+1)的图象，而不是y=lg(2x+1).由于y=Asin(ωx+φ)=Asinω (x+ωϕ) (A ＞0,ω＞0)，则要由y=Asinωx(A ＞0,ω＞0)得到函数y=Asin(ωx+φ)(A ＞0,ω＞0)的图象，只要向左或向右平移||ωϕ个单位即可.探究结论：这句话不正确，由y=Asinωx(A ＞0,ω＞0)得到函数y=Asin(ωx+φ)(A ＞0,ω＞0)的图象，应向左或向右平移||ωϕ个单位.。

三角函数的图象和性质变式1．三角函数图像变换将函数12cos()32y x π=+的图像作怎样的变换可以得到函数cos y x =的图像？ 变式1：将函数cos y x =的图像作怎样的变换可以得到函数2cos(2)4y x π=-的图像？解：（1）先将函数cos y x =图象上各点的纵坐标扩大为原来的2倍（横坐标不变），即可得到函数2cos y x =的图象；（2）再将函数2cos y x =上各点的横坐标缩小为原来的12（纵坐标不变），得到函数2cos 2y x =的图象；（3）再将函数2cos 2y x =的图象向右平移π8个单位，得到函数2cos(2)4y x π=-的图象．变式2：将函数12cos()26y x π=-的图像作怎样的变换可以得到函数cos y x =的图像？ 解：（1）先将函数12cos()26y x π=-图象上各点的纵坐标缩小为原来的12（横坐标不变），即可得到函数1cos()26y x π=-的图象； （2）再将函数1cos()26y x π=-上各点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数cos()6y x π=-的图象；（3）再将函数cos()6y x π=-的图象向右平移π6个单位，得到函数cos y x =的图象． 变式3：将函数1sin(2)33y x π=+的图像作怎样的变换可以得到函数sin y x =的图像？ 解：1sin(2)33y x π=+ ）（纵坐标不变倍横坐标扩大为原来的3πsin 312+=−−−−−−−−−→−x y x y sin 313π=−−−−−−−−→−纵坐标不变个单位图象向右平移 x y sin 3=−−−−−−−−−→−横坐标不变倍纵坐标扩大到原来的 另解：（1）先将函数1sin(2)33y x π=+的图象向右平移6π个单位，得到函数1sin 23y x =的图象；（2）再将函数1sin 23y x =上各点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数1sin 3y x =的图象； （3）再将函数1sin 3y x =图象上各点的纵坐标扩大为原来的3倍（横坐标不变），即可得到函数sin y x =的图象．2．三角函数性质求下列函数的最大、最小值以及达到最大(小)值时x 的值的集合． (1) 34sin(2)23y x ππ=+； (2) 6sin(2.52)2y x =-++ 变式1：已知函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值是2-，则ω的最小值等于 （ ）（A ）23 （B ）32（C ）2 （D ）3 答案选B变式2：函数y =2sin x 的单调增区间是（ ）A ．［2k π－2π，2k π＋2π］（k ∈Z ）B ．［2k π＋2π，2k π＋23π］（k ∈Z ） C ．［2k π－π，2k π］（k ∈Z ）D ．［2k π，2k π＋π］（k ∈Z ）答案选A ．因为函数y =2x 为增函数，因此求函数y =2sin x 的单调增区间即求函数y =sin x 的单调增区间．变式3：关于x 的函数f （x ）=sin （x +ϕ）有以下命题：①对任意的ϕ，f （x ）都是非奇非偶函数；②不存在ϕ，使f （x ）既是奇函数，又是偶函数；③存在ϕ，使f （x ）是奇函数；④对任意的ϕ，f （x ）都不是偶函数。

明目标、知重点 1.理解y＝A sin(ωx＋φ)中ω、φ、A对图象的影响.2.掌握y＝sin x与y＝A sin(ωx＋φ)图象间的变换关系，并能正确地指出其变换步骤．用“图象变换法”作y＝A sin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)的图象1．φ对y＝sin(x＋φ)，x∈R的图象的影响y＝sin(x＋φ) (φ≠0)的图象可以看作是把正弦曲线y＝sin x上所有的点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平行移动|φ|个单位长度而得到．2．ω(ω>0)对y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响函数y＝sin(ωx＋φ)的图象，可以看作是把y＝sin(x＋φ)的图象上所有点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的1ω倍(纵坐标不变)而得到．3．A(A>0)对y＝A sin(ωx＋φ)的图象的影响：函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象，可以看作是把y ＝sin(ωx＋φ)图象上所有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0<A<1时)到原来的A倍(横坐标不变)而得到，函数y＝A sin x的值域为[－A，A]，最大值为A，最小值为－A.[情境导学]数学研究生活实际，那在某次实验里面，我们测得交流电电流y随着时间x变化的图象图(1)，如果将图象局部放大，便得到图(2)，看图(2)它跟我们上节课讲得正弦曲线非常相似，那这个图象，它是一个形如y＝A sin(ωx＋φ)的函数，那这个函数跟正弦函数究竟有什么关系呢？这就是这节课要研究的问题．探究点一 φ对y ＝sin(x ＋φ)，x ∈R 的图象的影响思考1 用“五点法”作出函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3比较它与函数y ＝sin x 的图象的形状和位置，你有什么发现？ 答 列表如下：x ＋π3 0 π2 π 3π2 2π x －π3 π6 2π3 7π6 5π3 sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3 01－1通过上表可知，利用五点法作函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象通常选取的五个点依次是⎝⎛⎭⎫－π3，0，⎝⎛⎭⎫π6，1，⎝⎛⎭⎫2π3，0，⎝⎛⎭⎫7π6，－1，⎝⎛⎭⎫5π3，0.图象如下：函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象，可以看作是把曲线y ＝sin x 上所有的点向左平移π3个单位长度而得到的．思考2 用“五点法”作出函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3在一个周期内的图象，比较它与函数y ＝sin x 的图象的形状和位置，你又有什么发现？答 函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象，可以看作是把曲线y ＝sin x 上所有的点向右平移π3个单位长度而得到的．思考3 一般地，对任意的φ (φ≠0)，函数y ＝sin(x ＋φ)的图象是由函数y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到的？答 y ＝sin(x ＋φ)的图象，可以看作是把正弦曲线y ＝sin x 上所有的点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平行移动|φ|个单位长度而得到，上述变换称为平移变换．探究点二 ω(ω>0)对y ＝sin(ωx ＋φ)的图象的影响思考1 作出函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象并与y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象的形状和位置做比较，你有什么发现？ 答函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，可以看作是把y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象上所有的点横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)而得到的． 思考2 用“五点法”作出函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3在一个周期内的图象，比较它与函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象的形状和位置，你又有什么发现？ 答函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3的图象，可以看作是把y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象上所有的点横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)而得到的．思考3 一般地，对任意的ω (ω>0)，函数y ＝sin(ωx ＋φ)的图象是由函数y ＝sin(x ＋φ)的图象经过怎样的变换而得到的？答 函数y ＝sin(ωx ＋φ)的图象，可以看作是把函数y ＝sin(x ＋φ)的图象上所有点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的1ω倍(纵坐标不变)而得到的．探究点三 A (A >0)对y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的影响思考1 作出函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象并与函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象的形状和位置做比较，你有什么发现？ 答函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，可以看作是把y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象上所有的点纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)而得到的．思考2 用五点法作出函数y ＝12sin(2x ＋π3)在一个周期内的图象，比较它与函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象的形状和位置，你又有什么发现？答 函数y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，可以看作是把y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象上所有的点纵坐标缩短到原来的12倍(横坐标不变)而得到的．思考3 一般地，对任意的A (A >0且A ≠1)，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象是由函数y ＝sin(ωx ＋φ)的图象经过怎样的变换而得到的？答 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，可以看作是把函数y ＝sin(ωx ＋φ)的图象上所有点的纵坐标伸长(当A >1时)或缩短(当0<A <1时)到原来的A 倍(横坐标不变)而得到的，上述变换称为振幅变换．探究点四 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)与y ＝sin x 的图象关系思考1 由函数y ＝sin x 的图象经过怎样的变换得到函数y ＝sin(ωx ＋φ) (ω>0)的图象？ 答 y ＝sin x 的图象变换成y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象一般有两个途径：途径一：先相位变换，再周期变换先将y ＝sin x 的图象向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|个单位长度，再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的1ω倍(纵坐标不变)，得y ＝sin(ωx ＋φ)的图象．途径二：先周期变换，再相位变换先将y ＝sin x 的图象上各点的横坐标变为原来的1ω倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|ω个单位长度，得y ＝sin(ωx ＋φ)的图象．思考2 将函数y ＝sin x 的图象经过怎样变换，可以得到函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象？ 答 先把函数y ＝sin x 的图象向左平移π3个单位长度，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象；再把曲线上各点的横坐标变为原来的12倍，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象；然后把曲线上各点的纵坐标变为原来的3倍，就得到函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象． 思考3 一般地，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象，可以由函数y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到？答 先把函数y ＝sin x 的图象向左(右)平移|φ|个单位长度，得到函数y ＝sin(x ＋φ)的图象；再把曲线上各点的横坐标变为原来的1ω倍，得到函数y ＝sin(ωx ＋φ)的图象；然后把曲线上各点的纵坐标变为原来的A 倍，就得到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象． 例1 要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，只要将y ＝sin 2x 的图象( ) A ．向左平移π3个单位 B ．向右平移π3个单位C ．向左平移π6个单位D ．向右平移π6个单位答案 C解析 因为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6， 所以把y ＝sin 2x 的图象上所有点向左平移π6个单位，就得到y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象．反思与感悟 已知两个函数的解析式，判断其图象间的平移关系的步骤：①将两个函数解析式化简成y ＝A sin ωx 与y ＝A sin(ωx ＋φ)，即A 、ω及名称相同的结构； ②找到ωx →ωx ＋φ，变量x “加”或“减”的量，即平移的单位为⎪⎪⎪⎪φω；③明确平移的方向．跟踪训练1 要得到y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象，只要将y ＝sin 2x 的图象( ) A ．向左平移π8个单位 B ．向右平移π8个单位C ．向左平移π4个单位D ．向右平移π4个单位答案 A解析 y ＝sin 2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2 ＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π8－π4 若设f (x )＝sin 2x ＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π8－π4， 则f ⎝⎛⎭⎫x ＋π8＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4，∴向左平移π8个单位． 例2 把函数y ＝sin x (x ∈R )的图象上所有的点向左平行移动π3个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，x ∈RB ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6，x ∈R C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，x ∈R D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3，x ∈R 答案 C解析 把函数y ＝sin x 的图象上所有的点向左平行移动π3个单位长度后得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象，再把所得图象上所有的点的横坐标缩短到原来的12倍，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象． 反思与感悟 三角函数图象变换容易出错，尤其是既涉及平移变换又涉及伸缩变换．平移时，若x 的系数不是1，需把x 的系数先提出，提出后括号中的x 加或减的那个数才是平移的量，即x 的净增量．方向的规律是“左加右减”．伸缩时，只改变x 的系数ω，其余的量不变化，伸长时系数|ω|减小，缩短时|ω|增大．跟踪训练2 把函数y ＝sin x (x ∈R )的图象上所有的点向左平移π3个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6，x ∈RB ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3，x ∈R C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，x ∈R D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3，x ∈R 答案 B解析 将y ＝sin x 图象上的所有的点向左平移π3个单位长度得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3.再将图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3.例3 把函数y ＝f (x )的图象上各点向右平移π6个单位，再把横坐标伸长到原来的2倍，再把纵坐标缩短到原来的23倍，所得图象的解析式是y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3，求f (x )的解析式． 解 y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3纵坐标伸长到原来的32倍y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3横坐标缩短到原来的12倍y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3向左平移π6个单位y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝3cos x . ∴f (x )＝3cos x .反思与感悟 (1)本例已知变换途径及变换后的函数解析式，求变换前函数图象的解析式，宜采用逆变换的方法．(2)已知函数f (x )图象的伸缩变换情况，求变换前后图象的解析式．要明确伸缩的方向及量，然后确定出A 或ω即可．跟踪训练3 将y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，然后再将整个图象沿x轴向右平移π2个单位，得到的曲线与y ＝12sin x 图象相同，则y ＝f (x )的函数解析式为( )A ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫12x －π2B ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 C ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π2 D ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2 答案 C1．为了得到函数y ＝sin(2x ＋1)的图象，只需把函数y ＝sin 2x 的图象上所有的点( ) A ．向左平行移动12个单位长度B ．向右平行移动12个单位长度C ．向左平行移动1个单位长度D ．向右平行移动1个单位长度 答案 A解析 y ＝sin 2x 的图象向左平移12个单位长度得到函数y ＝sin 2(x ＋12)的图象，即函数y ＝sin(2x ＋1)的图象．2．要得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3的图象，只要将函数y ＝sin x2的图象( ) A ．向左平移π3个单位 B ．向右平移π3个单位C ．向左平移2π3个单位D ．向右平移2π3个单位答案 C3．由y ＝3sin x 的图象变换到y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3的图象主要有两个过程：先平移后伸缩和先伸缩后平移，前者需向左平移______个单位，后者需向左平移______个单位． 答案 π3 23π4．将函数y ＝sin(－2x )的图象向左平移π4个单位，所得函数图象的解析式为________．答案 y ＝－cos 2x 解析 y ＝sin(－2x ) 左移π4个单位 y ＝sin ⎣⎡⎦⎤－2⎝⎛⎭⎫x ＋π4， 即y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x －π2＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝－cos 2x . [呈重点、现规律]1．由y ＝sin x 的图象，通过变换可得到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象，其变化途径有两条：(1)y ＝sin x ――→相位变换y ＝sin(x ＋φ)――→周期变换y ＝sin(ωx ＋φ)――→振幅变换y ＝A sin(ωx ＋φ)．(2)y ＝sin x ――→周期变换y ＝sin ωx ――→相位变换y ＝sin[ω(x ＋φω)]＝sin(ωx ＋φ)――→振幅变换y ＝A sin(ωx ＋φ)．注意：两种途径的变换顺序不同，其中变换的量也有所不同：(1)是先相位变换后周期变换，平移|φ|个单位．(2)是先周期变换后相位变换，平移|φ|ω个单位，这是很易出错的地方，应特别注意．2．类似地，y ＝A cos(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)的图象也可由y ＝cos x 的图象变换得到．一、基础过关1．要得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象，只要将y ＝sin x 的图象( ) A ．向左平移π3个单位长度 B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向右平移π6个单位长度答案 B2．为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象，可以将函数y ＝cos 2x 的图象( ) A ．向右平移π6个单位长度 B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向左平移π3个单位长度答案 B解析 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫2x －π6 ＝cos ⎝⎛⎭⎫2π3－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －2π3 ＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π3. 3．为得到函数y ＝cos(x ＋π3)的图象，只需将函数y ＝sin x 的图象( )A ．向左平移π6个单位长度B ．向右平移π6个单位长度C ．向左平移5π6个单位长度D ．向右平移5π6个单位长度答案 C4．将函数y ＝3sin(2x ＋π3)的图象向右平移π2个单位长度，所得图象对应的函数( )A ．在区间[π12，7π12]上单调递减B ．在区间[π12，7π12]上单调递增C ．在区间[－π6，π3]上单调递减D ．在区间[－π6，π3]上单调递增答案 B解析 y ＝3sin(2x ＋π3)的图象向右平移π2个单位长度得到y ＝3sin[2(x －π2)＋π3]＝3sin(2x －23π)．令2k π－π2≤2x －23π≤2k π＋π2得k π＋π12≤x ≤k π＋712π，k ∈Z ，则y ＝3sin(2x －23π)的增区间为[k π＋π12，k π＋712π]，k ∈Z .令k ＝0得其中一个增区间为[π12，712π]，故B 正确．画出y ＝3sin(2x －23π)在[－π6，π3]上的简图，如图，可知y ＝3sin(2x －23π)在[－π6，π3]上不具有单调性，故C ，D 错误．5．将函数y ＝sin x 的图象向左平移π2个单位，得到函数y ＝f (x )的图象，则下列说法正确的是( )A ．y ＝f (x )是奇函数B ．y ＝f (x )的周期为πC ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π2对称D ．y ＝f (x )的图象关于点(－π2，0)对称答案 D解析 由题意知，f (x )＝cos x ，所以它是偶函数，A 错；它的周期为2π，B 错；它的对称轴是直线x ＝k π，k ∈Z ，C 错；它的对称中心是点⎝⎛⎭⎫k π＋π2，0，k ∈Z ，D 对． 6．下列表示函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π上的简图正确的是( )答案 A解析 将y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍，再将所有点向右平移π6个单位长度即得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象，依据此变换过程可得到A 中图象是正确的．也可以分别令2x －π3＝0，π2，π，3π2，2π得到五个关键点，描点连线即得函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象． 7．怎样由函数y ＝sin x 的图象变换得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象，试叙述这一过程． 解 由y ＝sin x 的图象通过变换得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象有两种变化途径： ①y ＝sin x ――→向右平移π3个单位y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3 ――→纵坐标不变横坐标缩短为原来的12y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. ②y ＝sin x ――→纵坐标不变横坐标缩短为原来的12y ＝sin 2x ――→向右平移π6个单位 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 二、能力提升8．为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象，只需把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象( ) A ．向左平移π4个单位长度 B ．向右平移π4个单位长度 C ．向左平移π2个单位长度 D ．向右平移π2个单位长度答案 B 解析 y ＝sin(2x ＋π6)y ＝sin[2(x －π4)＋π6]＝sin(2x －π3)． 9．要得到函数y ＝2cos x 的图象，只需将函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4图象上的所有点的( ) A ．横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再向左平行移动π8个单位长度 B ．横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再向右平行移动π4个单位长度 C ．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平行移动π4个单位长度 D ．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平行移动π8个单位长度 答案 C解析 ∵y ＝2cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2， ∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4――→纵坐标不变横坐标伸长到原来的2倍 y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4 y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2. 10．某同学给出了以下论断：①将y ＝cos x 的图象向右平移π2个单位，得到y ＝sin x 的图象；②将y ＝sin x 的图象向右平移2个单位，可得到y ＝sin(x ＋2)的图象；③将y ＝sin(－x )的图象向左平移2个单位，得到y ＝sin(－x －2)的图象；④函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象是由y ＝sin 2x 的图象向左平移π3个单位而得到的．其中正确的结论是____(将所有正确结论的序号都填上)．答案 ①③11．将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2≤φ<π2)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则f (π6)＝________. 答案 22解析 将y ＝sin x 的图象向左平移π6个单位长度可得y ＝sin(x ＋π6)的图象，保持纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍可得y ＝sin(12x ＋π6)的图象，故f (x )＝sin(12x ＋π6)．所以f (π6)＝sin(12×π6＋π6)＝sin π4＝22. 12．使函数y ＝f (x )图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标缩小到原来的12倍，然后再将其图象沿x 轴向左平移π6个单位得到的曲线与y ＝sin 2x 的图象相同，求f (x )的表达式． 解 方法一 正向变换y ＝f (x )――→横坐标缩小到原来的12y ＝f (2x )――→沿x 轴向左平移π6个单位 y ＝f ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6，即y ＝f ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， ∴f ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝sin 2x .令2x ＋π3＝t ，则2x ＝t －π3， ∴f (t )＝sin ⎝⎛⎭⎫t －π3，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3. 方法二 逆向变换据题意，y ＝sin 2xy ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π6 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3――→横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3. 三、探究与拓展 13．已知函数f (x )＝2sin ωx ，其中常数ω>0；(1)若y ＝f (x )在⎣⎡⎦⎤－π4，2π3上单调递增，求ω的取值范围； (2)令ω＝2，将函数y ＝f (x )的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，区间[a ，b ](a ，b ∈R 且a <b )满足：y ＝g (x )在[a ，b ]上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的[a ，b ]中，求b －a 的最小值．解 (1)因为ω>0，根据题意有⎩⎨⎧ －π4ω≥－π22π3ω≤π2⇒0<ω≤34. (2)f (x )＝2sin 2x ，g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤2(x ＋π6)＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋1 g (x )＝0⇒sin(2x ＋π3)＝－12⇒x ＝k π－π4或x ＝k π－712π，k ∈Z ， 即g (x )的零点相离间隔依次为π3和2π3， 故若y ＝g (x )在[a ，b ]上至少含有30个零点，则b －a 的最小值为14×2π3＋15×π3＝43π3.。