2019高考数学文一轮分层演练：第2章函数的概念与基本初等函数 第8讲

一、选择题 1．函数f (x )＝1（log 2x ）2－1的定义域为( )A ．⎝⎛⎭⎫0，12 B ．(2,＋∞) C ．⎝⎛⎭⎫0，12∪(2,＋∞) D ．⎝⎛⎦⎤0，12∪[2,＋∞) 解析：选C.要使函数有意义,(log 2x )2－1>0,即log 2x >1或log 2x <－1,所以x >2或0<x <12,即函数f (x )的定义域为(0,12)∪(2,＋∞)．2．设函数f (x )＝log a |x |在(－∞,0)上单调递增,则f (a ＋1)与f (2)的大小关系是( ) A ．f (a ＋1)>f (2) B ．f (a ＋1)<f (2) C ．f (a ＋1)＝f (2) D ．不能确定 解析：选A.由已知得0<a <1,所以1<a ＋1<2,又易知函数f (x )为偶函数,故可以判断f (x )在(0,＋∞)上单调递减,所以f (a ＋1)>f (2)．3．设a ＝log 510,b ＝log 612,c ＝log 714,则( ) A ．c >b >a B ．b >c >a C ．a >c >bD ．a >b >c解析：选 D.因为a ＝log 510＝1＋log 52,b ＝log 612＝1＋log 62,c ＝log 714＝1＋log 72,又0<log 25<log 26<log 27,所以log 52>log 62>log 72>0,所以a >b >c ,故选D.4．已知函数f (x )＝log a (2x ＋b －1)(a >0,a ≠1)的图象如图所示,则a ,b 满足的关系是( )A ．0<a －1<b <1B ．0<b <a －1<1C ．0<b －1<a <1D ．0<a －1<b －1<1解析：选A.由函数图象可知,f (x )为单调递增函数,故a ＞1.函数图象与y 轴的交点坐标为(0,log a b ),由函数图象可知－1<log a b <0,解得1a <b <1.综上有0<1a<b <1.5．若函数f (x )＝log a x (0<a <1)在区间[a ,2a ]上的最大值是最小值的3倍,则a 的值为( )A ．24 B.22C ．14 D.12解析：选A.因为0<a <1,所以函数f (x )是定义域上的减函数,所以f (x )max ＝log a a ＝1,f (x )min＝log a 2a ,所以1＝3log a 2a ⇒a ＝(2a )3⇒8a 2＝1⇒a ＝24.故选A. 6．已知函数f (x )＝－x ＋log 21－x 1＋x＋2,则f (1e )＋f (－1e )的值为( )A ．2B ．4C ．6D ．10解析：选B.因为函数g (x )＝－x ＋log 21－x 1＋x是奇函数,所以g (1e )＋g (－1e )＝0,则f (1e )＋f (－1e )＝g (1e )＋2＋g (－1e )＋2＝4.故选B.二、填空题7．lg 2＋lg 5＋20＋()5132×35＝________．解析：lg 2＋lg 5＋20＋()5132×35＝lg10＋1＋523×513＝32＋5＝132.答案：1328．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧41－x，x ≤1，1－log 14x ，x >1，则满足不等式f (x )≤2的实数x 的取值集合为________．解析：原不等式等价于⎩⎨⎧x ≤1，41－x ≤2或⎩⎪⎨⎪⎧x >1，1－log 14x ≤2，解得12≤x ≤1或1<x ≤4,即实数x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12≤x ≤4.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12≤x ≤49．函数f (x )＝log 2 x ·log 2(2x )的最小值为________．解析：依题意得f (x )＝12log 2x ·(2＋2log 2x )＝(log 2x )2＋log 2x ＝⎝⎛⎭⎫log 2x ＋122－14≥－14,当且仅当log 2x ＝－12,即x ＝22时等号成立,所以函数f (x )的最小值为－14.答案：－1410．设函数f (x )＝|log a x |(0<a <1)的定义域为[m ,n ](m <n ),值域为[0,1],若n －m 的最小值为13,则实数a 的值为________．解析：作出y ＝|log a x |(0＜a ＜1)的大致图象如图,令|log a x |＝1.得x ＝a 或x ＝1a ,又1－a －⎝⎛⎭⎫1a －1＝1－a －1－a a ＝（1－a ）（a －1）a＜0, 故1－a ＜1a －1,所以n －m 的最小值为1－a ＝13,a ＝23.答案：23三、解答题11．设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a >0,a ≠1),且f (1)＝2. (1)求a 的值及f (x )的定义域；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，32上的最大值．解：(1)因为f (1)＝2,所以log a 4＝2(a >0,a ≠1), 所以a ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x >0，3－x >0，得x ∈(－1,3), 所以函数f (x )的定义域为(－1,3)．(2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2[(1＋x )(3－x )]＝log 2[－(x －1)2＋4], 所以当x ∈(－1,1]时,f (x )是增函数；当x ∈(1,3)时,f (x )是减函数,故函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，32上的最大值是f (1)＝log 24＝2. 12．已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x ),a ＞0且a ≠1. (1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明；(3)当a ＞1时,求使f (x )＞0成立的解集．解：(1)要使函数f (x )有意义,则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，1－x ＞0，解得－1＜x ＜1.故所求函数f (x )的定义域为(－1,1)． (2)f (x )为奇函数．证明如下： 由(1)知f (x )的定义域为(－1,1), 且f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x ) ＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x )]＝－f (x ), 故f (x )为奇函数．(3)因为当a ＞1时,f (x )在定义域(－1,1)内是增函数, 所以f (x )＞0⇔x ＋11－x ＞1,解得0＜x ＜1.所以使f (x )＞0的x 的解集是(0,1)．。

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第8讲函数与方程、函数的应用一、选择题1．(2017·赣中南五校联考)函数f（x)＝3x－x2的零点所在区间是( ) A．(0,1) B．(1，2）C．（－2,－1）D．(－1,0）解析由于f（－1）＝－错误!〈0，f(0)＝30－0＝1〉0，∴f（－1）·f(0）〈0.则f（x)在（－1，0）内有零点．答案D2．已知函数f(x）＝错误!则函数f(x)的零点为（)A.12，0 B．－2，0C.错误!D．0解析当x≤1时，由f(x）＝2x－1＝0，解得x＝0；当x〉1时,由f(x）＝1＋log2x＝0,解得x＝错误!，又因为x>1,所以此时方程无解．综上函数f(x)的零点只有0。

答案D3．函数f（x)＝2x－错误!－a的一个零点在区间(1,2)内,则实数a的取值范围是( ）A．（1,3) B．（1，2)C．（0，3) D．（0,2）解析因为函数f(x)＝2x－错误!－a在区间(1，2）上单调递增，又函数f （x)＝2x－错误!－a的一个零点在区间(1，2）内，则有f（1）·f（2）〈0，所以(－a）（4－1－a）〈0，即a（a－3)〈0，所以0〈a<3。

一、选择题1．已知函数f (x )＝6x－log 2x ，则f (x )的零点所在的区间是( )A ．(0，1)B ．(2，3)C ．(3，4)D ．(4，＋∞) 解析：选C.易知f (x )是单调函数，f (3)＝2－log 23>0，f (4)＝32－log 24＝32－2＝－12<0，故f (x )的零点所在的区间是(3，4)．2．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －cos x ，则f (x )在[0，2π]上的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：选C.作出g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 与h (x )＝cos x 的图象如图所示，可以看到其在[0，2π]上的交点个数为3，所以函数f (x )在[0，2π]上的零点个数为3，故选C.3．已知实数a >1，0<b <1，则函数f (x )＝a x＋x －b 的零点所在的区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1，0) C ．(0，1) D ．(1，2)解析：选B.因为a >1，0<b <1，f (x )＝a x＋x －b ，所以f (x )为增函数，f (－1)＝1a－1－b <0，f (0)＝1－b >0，则由零点存在性定理可知f (x )在区间(－1，0)上存在零点．4．函数f (x )＝2x－2x－a 的一个零点在区间(1，2)内，则实数a 的取值范围是( )A ．(1，3)B ．(1，2)C ．(0，3)D ．(0，2)解析：选C.因为函数f (x )＝2x －2x －a 在区间(1，2)上单调递增，又函数f (x )＝2x－2x－a 的一个零点在区间(1，2)内，则有f (1)·f (2)<0，所以(－a )(4－1－a )<0，即a (a －3)<0.所以0<a <3.5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ＋a ，x ≤0，3x －1，x >0(a ∈R )，若函数f (x )在R 上有两个零点，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－∞，0)C ．(－1，0)D ．[－1，0)解析：选D.当x >0时，f (x )＝3x －1有一个零点x ＝13，所以只需要当x ≤0时，e x＋a＝0有一个根即可，即e x ＝－a .当x ≤0时，e x∈(0，1]，所以－a ∈(0，1]，即a ∈[－1，0)，故选D.6．已知函数f (x )＝2x ＋x ，g (x )＝log 2x ＋x ，h (x )＝x 3＋x 的零点依次为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．a ＞b ＞cD ．c ＞a ＞b解析：选B.f (x )＝2x ＋x 的零点a 为函数y ＝2x与y ＝－x 图象的交点的横坐标，由图象(图略)可知a ＜0，g (x )＝log 2x ＋x 的零点b 为函数y ＝log 2x 与y ＝－x 图象的交点的横坐标，由图象(图略)知b ＞0，令h (x )＝0，得c ＝0.故选B.二、填空题7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2，x >0，－x 2＋bx ＋c ，x ≤0，若f (0)＝－2，f (－1)＝1，则函数g (x )＝f (x )＋x 的零点个数为________．解析：依题意得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝－2，－1－b ＋c ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4，c ＝－2.令g (x )＝0，得f (x )＋x ＝0，该方程等价于①⎩⎪⎨⎪⎧x >0，－2＋x ＝0，或②⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，－x 2－4x －2＋x ＝0， 解①得x ＝2，解②得x ＝－1或x ＝－2， 因此，函数g (x )＝f (x )＋x 的零点个数为3. 答案：38．方程2x＋3x ＝k 的解在[1，2)内，则k 的取值范围为________．解析：令函数f (x )＝2x＋3x －k ， 则f (x )在R 上是增函数．当方程2x＋3x ＝k 的解在(1，2)内时， f (1)·f (2)<0，即(5－k )(10－k )<0， 解得5<k <10.当f (1)＝0时，k ＝5. 答案：[5，10)9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2（x ＋1），x ＞0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是________．解析：函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，转化为f (x )－m ＝0的根有3个，进而转化为y ＝f (x )，y ＝m 的交点有3个．画出函数y ＝f (x )的图象，则直线y ＝m 与其有3个公共点．又抛物线顶点为(－1，1)，由图可知实数m 的取值范围是(0，1)．答案：(0，1)10．定义在R 上的奇函数f (x )，当x ≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x x ＋1，x ∈[0，1）1－|x －3|，x ∈[1，＋∞），则函数F (x )＝f (x )－1π的所有零点之和为________．解析：由题意知，当x ＜0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x 1－x ，x ∈（－1，0）|x ＋3|－1，x ∈（－∞，－1]，作出函数f (x )的图象如图所示，设函数y ＝f (x )的图象与y ＝1π交点的横坐标从左到右依次为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，由图象的对称性可知，x 1＋x 2＝－6，x 4＋x 5＝6，x 1＋x 2＋x 4＋x 5＝0，令－2x 1－x ＝1π，解得x 3＝11－2π，所以函数F (x )＝f (x )－1π的所有零点之和为11－2π.答案：11－2π三、解答题11．已知a 是正实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3－a .如果函数y ＝f (x )在区间[－1，1]上有零点，求a 的取值范围．解：f (x )＝2ax 2＋2x －3－a 的对称轴为x ＝－12a.①当－12a ≤－1，即0<a ≤12时，须使⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）≤0，f （1）≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≤5，a ≥1，所以无解．②当－1<－12a <0，即a >12时，须使⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ≤0，f （1）≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧－12a －3－a ≤0，a ≥1，解得a ≥1，所以a 的取值范围是[1，＋∞)．12．已知函数f (x )＝－x 2－2x ，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋14x ，x >0，x ＋1，x ≤0.(1)求g (f (1))的值；(2)若方程g (f (x ))－a ＝0有4个实数根，求实数a 的取值范围． 解：(1)利用解析式直接求解得g (f (1))＝g (－3)＝－3＋1＝－2.(2)令f (x )＝t ，则原方程化为g (t )＝a ，易知方程f (x )＝t 在t ∈(－∞，1)内有2个不同的解，则原方程有4个解等价于函数y ＝g (t )(t <1)与y ＝a 的图象有2个不同的交点，作出函数y ＝g (t )(t <1)的图象(图略)，由图象可知，当1≤a <54时，函数y ＝g (t )(t <1)与y ＝a有2个不同的交点，即所求a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，54.。