2019届河北省衡水中学高三下学期六调考试文科数学试卷(解析版)

2019年衡水市调考文科数学题2010—2011学年度揭阳市高中毕业班期末质量测试数学试题(文科)本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时l20分钟． 参考公式：锥体旳体积公式13V Sh =,其中S 表示底面积，h 表示高． 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出旳四个选项中，只有一项是符合题目要求旳．1．已知集合{}0A x x =≥，{0,1,2}B =，则A ．AB ⊂≠B ．B A ⊂≠C ．A B B =UD ．A B =∅I2．已知复数z 满足(1)2i z -=，则z 为A. 1i +B. 1i -C. 1i -+D. 1i -- 3．已知幂函数()y f x =旳图象过点11(,)28--，则2log (4)f 旳值为 A. 3 B. 4 C.6 D.－64．若(,3),(,2)a xb x ==-，则“x =a b ⊥”旳A ．充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 5．如果等差数列{}n a 中，35712a a a ++=，那么129a a a +++旳值为A.18B.27C.36D.54 6．设l ，m 是两条不同旳直线，α是一个平面，则下列命题正确旳是 A.若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥ B.若l α⊥，l m //，则m α⊥ C.若l α//，m α⊂，则l m // D.若l α//，m α//，则l m // 7．已知11tan ,tan()43ααβ=-=则tan β=. A.711 B.117- C. 113- D.1138．已知双曲线221412x y -=上一点M 旳横坐标是3，则点M 到双曲线左焦点旳距离是A.4B.1)C. 1)D.8俯视图左视图主视图9．在ABC ∆中,若1c =，a =23A π∠=，则b 为. A.1 B.2 10．已知(){},|8,0,0,x y x y x y Ω=+≤≥≥(){},|2,0,30A x y x y x y =≤≥-≥，若向区域Ω上随机投1个点P ，则点P 落入区域A 旳概率为 A.14 B.716 C. 34 D.316二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11－13题）11．命题P ：“2,12x Rx x∃∈+<”旳否定P ⌝为： 、P ⌝旳真假为 12．如果执行右面旳框图，输入5N =，则输出旳数S= .第13题图 第12题图13．四棱锥P ABCD -旳顶点P 在底面ABCD 中旳投影恰好是A ，其三视图如上图所示,根据图中旳信息，在四棱锥P ABCD -旳任两个顶点旳连线中，互相垂直旳异面直线对数为 ． （二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14．(坐标系与参数方程选做题) 已知曲线C 旳参数方程为1cos ,sin .x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），则曲线C上旳点到直线220x y -+=旳距离旳最大值为 .15．(几何证明选讲选做题) 已知圆O 旳半径为3，从圆O 外一点A 引切线AD 和割线ABC ，圆心O 到AC 旳距离为22，3AB =， 则切线AD 旳长为 ____ _．三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本题满分12分）24131452[185,190)[180,185)[175,180)[170,175)[165,170)[160,165)频数身高（cm ）身高（cm ）频数[150,155)[165,170)[170,175)[175,180)[155,160)[160,165)1712631男生样本频率分布直方图0.02频率/cm甲D CBAF E乙DBA已知函数()cos f x x x ππ=+, x R ∈. (1)求函数()f x 旳最小正周期和值域； (2)求函数()f x 旳单调增区间． 17. （本题满分12分）如图甲，在平面四边形ABCD 中，已知45,90,A C ∠=∠=105ADC ∠=,AB BD =,现将四边形ABCD 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BDC （如图乙），设点E 、F 分别为棱 AC 、AD 旳中点.（1）求证：DC ⊥平面ABC ；（2）设CD a =，求三棱锥A －BFE 旳体积. 18．（本题满分14分）为了解高中一年级学生身高情况，某校按10%旳比例对全校700名高中一年级学生按性别进行抽样检查，测得身高频数分布表如下表1、表2. 表1:男生身高频数分布表表2：:女生身高频数分布表（1）求该校男生旳人数并完成下面频率分布直方图；（2）估计该校学生身高在165180cm :旳概率；（3）从样本中身高在180:190cm 之间旳男生中任选2人，求至少有1人身高在185:190cm 之间旳概率。

2019届河北省衡水中学高三上学期六调考试数学（文）试题一、单选题 1．设集合1|02x A x x +⎧⎫=≥⎨⎬-⎩⎭， {}1,0,1,2B =-，则A B ⋂= ( ） A ．{}1,0,1- B ．{}0,1,2 C ．{}1,0,1,2- D ．{}1,2 【答案】A【解析】由题得{|12}A x x =-≤< (注意分母不能为零)，所以{}1,0,1A B ⋂=-，故选A.2．已知复数满足，则对应点所在的象限是（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】D【解析】由题意设，由，得，，所以，在第四象限，选D 。

3．已知向量在向量方向上的投影为，且，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】∵，又，∴故选：D4．如图在圆中，，是圆互相垂直的两条直径，现分别以，，，为直径作四个圆，在圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）A．B．C．D．【答案】C【解析】连接小圆的各个交点，形成一个正方形，由半圆形与正方形的关系可求得阴影部分占总面积的比值。

【详解】如下图所示，连接相邻两个小圆的交点，得四边形EFMN，易知四边形EFMN为正方形设圆O的半径为r，则正方形EFMN的边长也为r所以正方形的EFMN的面积为r2阴影部分的面积为所以阴影部分占总面积的比值为即在圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是所以选C【点睛】本题考查了几何概型在概率问题中的应用，几何图形较为复杂，需要逐步分解分析，属于中档题。

5．已知函数关于直线对称，且在上单调递增，，，，则，，的大小关系是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据题意，可得关于y轴对称且在上单调递增，因而在上单调递减，根据对数与指数的关系比较自变量的大小即可判断a、b、c的大小关系。

【详解】因为关于直线对称所以关于y轴对称因为在上单调递增所以在上单调递减因为>,<0根据函数对称性及单调性可知所以选D【点睛】本题考查了函数的对称性及单调性的综合应用，对数、指数比较大小及其应用，综合性较强，属于中档题。

河北省衡水中学2019届高三下学期大联考数 学（文科）本试卷共4页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域无效。

5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合}5,4,2,0,1{-=M ，}4)2(|{2<-=x x N ，则集合=N M I A ．φB ．}4,2,0{C ．}2{D ．}2,0,1{-2．已知i 为虚数单位．复数z 满足i11i -=-z ，则z 的共轭复数为 A ．i 2321- B ．i 2321+ C ．i 2321+- D ．i 2121-3．已知椭圆)22(18222>=+a y ax C ：的焦距为2，则C 的长轴长为 A ．3 B ．6 C ．2 D ．244．如图所示的是我国发行的一枚2019猪年生肖邮票——“肥猪旺福”，其规格 为42×46 mm ．为估算邮票中肥猪图案的面积，现向邮票中随机投掷21粒芝 麻，经统计恰有12粒芝麻落在肥猪图案内，则可估计肥猪图案的面积大致为 A ．1104 cm 2 B ．11.04 cm 2 C ．8.28 cm 2 D ．l2 cm 25．下图是我国2018年1月至12月原油进口量统计围（其中同比是今年第n 月与去年第n 月相比较的增长率），则下列说法错误的是A ．2018年下半年我国原油进口量高于2018年上半年B ．2018年12个月中我国原油月最高进口量比月最低进口量高1152万吨C ．2018每我国原油进口总量高于2017年我国原油进口总量D ．2018年1月至5月各月与2017年同期相比较，我国原油进口量有增有减6．已知函数2)1(2)(3-+'-=a f x x x f ，若)(x f 为奇函数，则曲线)(x f y =在点))(,(a f a 处的 切线斜率为 A ．0 B ．2 C ．4 D ．10 7．执行如图所示的程序框图，则输出的S 值为 A ．578 B ．5716 C ．199 D ．718．设函数x x f 31log )(=，若)2l (3og f a =，)2(log 5f b =，)2(2.0f c =，则a ，b ，c 的大小关系为A ．c b a <<B ．a c b <<C ．b a <<cD ．c a b << 9．某四棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的外接球的表面积为 A ．π3B ．23πC ．π6D ．π1210．函数)(x f 的图象可看作是将函数)6(c 2π-=x os y 图象上所有点的横坐标变为原来的21倍而得到的，若R x ∈∀，)()(t f x f ≤，则t 的值可能是A ．12π-B ．1225π-C ．1217πD ．1223π-11．已知点A 在双曲线)0,0(1:222>>=-b a by a x C z的右支上，过点A 作x 轴的平行线交双曲线C的一条渐近线于点B （且点B 在第一象限），若点A 、B 到原点O 的距离的平方差恰好等于4252b ac -，则双曲线C 的离心率为 A ．2或21B ．2C ．2D ．412．当x 为实数时，trunc(x )表示不超过x 的最大整数，如trunc(3,1)=3．已知函数|)(|trunc )(x x f =，函数)(x g 满足)6()(x g x g -=，)1()1(x g x g -=+，且]3,0[∈x 时，|2|)(3x x x g -=，则方程)()(x g x f =的所有根的个数为A ．3B ．4C ．5D ．6第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2019-2020学年河北省衡水中学高三（上）六调数学试卷（文科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 已知集合A ={(x,y)|x 22+y 2=1}，B ={(x,y)|y =12x 2}，则集合A ∩B 中元素的个数为( )A. 0个B. 1个C. 2个D. 4个2. 已知m ，n ∈R ，则“mn >1”是“m >n ”的( )A. 既不充分也不必要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 充要条件3. 复数z 满足(1−2i)z =−2+3i ，则z −=( )A. 15−85iB. −85+15iC. −15−85iD. −85−15i4. 函数f(x)=12x −1+12的大致图象为( )A.B.C.D.5. 在△ABC 中，D 在边AC 上满足AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，E 为BD 的中点，则CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 56BA ⃗⃗⃗⃗⃗−13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ B. 13BA ⃗⃗⃗⃗⃗−56BC ⃗⃗⃗⃗⃗ C. 13BA ⃗⃗⃗⃗⃗+56BC ⃗⃗⃗⃗⃗ D. 56BA ⃗⃗⃗⃗⃗+13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 6. “沉鱼、落雁、闭月、羞花”是由精彩故事组成的历史典故．“沉鱼”，讲的是西施浣纱的故事；“落雁”，指的就是昭君出塞的故事；“闭月”，是述说貂蝉拜月的故事；“羞花”，谈的是杨贵妃醉酒观花时的故事．她们分别是中国古代的四大美女．某艺术团要以四大美女为主题排演一部舞蹈剧，已知乙扮演杨贵妃，甲、丙、丁三人抽签决定扮演的对象，则甲不扮演貂蝉且丙扮演昭君的概率为( )A. 12B. 14C. 16D. 1127.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0)的部分图象如图所示，其中M(m,0)，N(n,2)，P(π,0)，且m<0，n>0，则函数f(x)在下列区间中一定具有单调性的是()A. (0,π2)B. (π4,2π3)C. (π2,π)D. (2π3,π)8.如图，已知四棱锥P−ABCD的底面是平行四边形，AC交BD于点O，E为AD中点，F在PA上，AP=λAF，PC//平面BEF，则λ的值为()A. 1B. 32C. 2D. 39.设函数f(x)=e x+4x−4,g(x)=lnx−1x，若f(x1)=g(x2)=0，则()A. 0<g(x1)<f(x2)B. g(x1)<0<f(x2)C. f(x2)<0<g(x1)D. f(x2)<g(x1)<010.已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，过点(−2,0)且斜率为k的直线l与抛物线C相交于A、B两点，且满足|AF|=2|BF|，则k的值是()A. √33B. 2√23C. ±2√2D. ±2√2311.数学家也有许多美丽的错误，如法国数学家费马于1640年提出了以下猜想：F n=22n+1(n=0,1,2.…)是质数．直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算出F5= 641∗6700417，不是质数．现设a n=log2(F n−1)，(n=1,2,…)，S n表示数列{a n}的前n 项和，则使不等式2S 1S 2+22S2S 3+⋯+2nSn S n+1<2n2020成立的最小正整数n 的值是(提示210=1024)( )A. 11B. 10C. 9D. 812. 已知对任意x ∈[1e ,e 2]不等式e ax >x 2恒成立(其中e =2.71828…^是自然对数的底数)，则实数a 的取值范围是( )A. (2e ,+∞)B. (1e ,+∞)C. (−∞,−12e )D. (−∞,e 24)二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知实数x ，y 满足约束条件{x −y ≤02x +y −6≤0x ≥−1，则z =3x +2y 的最大值为______．14. 某市农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月4日的每天昼夜温度与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下数据：根据表中12月1日至12月3日的数据，求得线性回归方程y ^=b ^x +a ^中的a ̂=−8，则求得的b ̂=______；若用12月4日的数据进行检验，检验方法如下：先用求得的线性回归方程计算发芽数y ^，再求y ^与实际发芽数y 的差，若差值的绝对值不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，则求得的线性回归方程______(填“可靠”或“不可靠”)． 15. 已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 与圆x 2+y 2=a 2相切于点T ，且直线l 与双曲线C 的右支交于点P ，若F 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4F 1T ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则双曲线C 的离心率为______．16. 已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，b 2+c 2=accosC +c 2cosA +a 2且S △ABC =√32，则△ABC 周长的最小值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 某学校需要从甲、乙两名学生中选一人参加数学竞赛，抽取了近期两人5次数学考试的成绩，统计结果如表：第一次第二次第三次第四次第五次甲的成绩(分8085719287 )乙的成绩(分9076759282 )(1)若从甲、乙两人中选出一人参加数学竞赛，你认为选谁合适？请说明理由．(2)若数学竞赛分初赛和复赛，在初赛中有两种答题方案：方案一：每人从5道备选题中任意抽出1道，若答对，则可参加复赛，否则被淘汰．方案二：每人从5道备选题中任意抽出3道，若至少答对其中2道，则可参加复赛，否则被润汰．已知学生甲、乙都只会5道备选题中的3道，那么你推荐的选手选择哪种答题方案进入复赛的可能性更大？并说明理由．18.设数列{a n}的前n项和S n，满足S n=2S n−1+n(n≥2,n∈N∗)，且a1=1．(1)求证：数列{a n+1}是等比数列；(2)若b n=n(a n+1)，求数列{b n}的前n项和T n．19.如图所示，已知正方形ABCD所在平面垂直于矩形ACEF所在的平面，BD与AC的交点为O，M，P分别为AB，EF的中点，AB=2，AF=1．(1)求证：平面PCD⊥平面PCM；(2)求三棱锥O−PCM的高．20.已知椭圆C：x2+y2=1的左右顶点为A，B，点P，Q为椭圆上异于A，B的两点，4直线AP与直线BQ的斜率分别记为k1，k2，且k2=4k1(I)求证：BP⊥BQ；(Ⅱ)设△APQ，△BPQ的面积分别为S1，S2，判断S1是否为定值，若是求出这个定S2值，若不是请说明理由,g(x)=ae x−a−1，且y=x−1是曲线y=f(x)的切线．21.已知函数f(x)=alnxx(1)求实数a的值以及切点坐标；(2)求证：g(x)≥f(x)．22. 在平面直角坐标系x0y 中，曲线C 1：{x =4cosβy =4sinβ(β为参数)，将曲线C 1上的所有点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标缩短为原来的√34后得到曲线C 2.以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程ρ=3sin(θ−π3)(1)求曲线C 2的极坐标方程和直线l 的直角坐标方程；(2)设直线l 与曲线C 1交于不同的两点A ，B ，点M 为抛物线y 2=−8√3x 的焦点，求|MA|⋅|MB|的值．23. 已知函数f(x)=|x −3|+|2x −4|，g(x)=|x −a|+|x +1|．(1)解不等式f(x)≤10；(2)若f(x)的最小值为M ，且存在x ∈R ，使M ≥g(x)成立，求实数a 的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵A ={(x,y)|x 22+y 2=1}，B ={(x,y)|y =12x 2}，∴联立{x 22+y 2=1y =12x 2，得y 2+y −1=0，解得y =−1±√52． 当y <0时，x 无解，当y >0时，x 有两解． ∴集合A ∩B 中元素的个数为2个． 故选：C ．由题意直接求解二元二次方程组得答案．本题考查交集及其运算，考查方程组的解法，是基础题．2.【答案】A【解析】解：①当m =−2，n =−1时，满足mn >1，但m <n ，∴充分性不成立， ②当m =1，n =−1时，满足m >n ，但mn <1，∴必要性不成立， ∴m n>1是m >n 的既不充分也不必要条件，故选：A ．利用举实例，再结合充要条件的定义判断即可．本题考查了充要条件的判定，利用举实例是关键，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：∵(1−2i)z =−2+3i ， ∴z =−2+3i 1−2i =(−2+3i)(1+2i)(1−2i)(1+2i)=−85−15i ．∴z −=−85+15i. 故选：B ．根据已知条件，结合共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，即可求解． 本题考查了共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：函数的定义域为{x|x ≠0}， f(x)=2+2x −12(2x −1)=2x +12(2x −1)，则f(−x)=2−x +12(2−x −1)=1+2x2(1−2x )=−f(x)，即f(x)是奇函数，排除B ，D ， 当x >0时，f(x)>0，排除A ， 故选：C ．求出函数的定义域，判断函数的奇偶性和对称性，利用排除法进行判断即可． 本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性和对称性，利用排除法是解决本题的关键，是基础题．5.【答案】B【解析】解：因为点E 为BD 的中点，所以CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又因为AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =23CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 则CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12×23CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13BA ⃗⃗⃗⃗⃗ −56BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 故选：B ．根据题意表示出CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，再由AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =23CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12×23CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =13BA ⃗⃗⃗⃗⃗ −56BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ． 本题考查平面向量的基本定理，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：依题意，所有的情况为(甲−西施，丙−昭君，丁−貂蝉)，(甲−西施，丙−貂蝉，丁−昭君)，(甲−昭君，丙−西施，丁−貂蝉)，(甲−昭君，丙−貂蝉，丁−西施)，(甲−貂蝉，丙−昭君，丁−西施)，(甲−貂蝉，丙−西施，丁−昭君)，其中满足条件的就1种，所求事件的概率为16．故选：C．根据题意，列出甲，乙，丙扮演的所有的基本事件共6种，而甲不扮演貂蝉且丙扮演昭君值包含1个基本事件，代入古典概型的概率公式即可．本题考查了古典概型的概率，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：∵M(m,0)，N(n,2)，P(π,0)，且m<0，n>0，∴T>π，且3T4<π，则π<T<4π3，当周期无限接近π时，图中的最低点自左向右无限接近3π4，∴f(x)在(2π3,π)上先减后增不单调，排除D；当周期接近4π3又小于4π3时，图中最高点N的横坐标大于0小于π4，f(x)在(0,π4)上先增后减不单调，排除A；图中的最低点的横坐标大于π2小于3π4，f(x)在(π2,3π4)上先减后增不单调，排除C．∴正确的答案为B．故选：B．由题意得到三角函数的周期满足π<T<4π3，然后取周期接近π和接近4π3分别排除选项D、A、C，从而得到正确选项．本题考查y=Asin(ωx+φ)型的函数图象，考查了正弦函数的单调性，训练了利用排除法求解选择题，该题题目设置较为抽象，灵活性强．8.【答案】D【解析】解：设AO交BE于点G，连结FG，如图所示，因为E为AD的中点，则AE=12AD=12BC，四边形ABCD是平行四边形，AD//BC，则△AEG∽△CBG，所以AGGC =AEBC=12，所以AGAC=13，又因为PC//平面BEF，PC⊂平面PAC，平面BEF∩平面PAC=GF，所以GF//PC，所以λ=APAF =ACAG=3．故选：D．根据线面平行，推证出线线平行，结合三角形相似，即可求得答案．本题考查了线面平行的性质定理的应用，主要考查了求线段之间的比例关系，考查了逻辑推理能力与空间想象能力，属于基础题．9.【答案】B【解析】解：∵f′(x)=e x+4>0，∴函数f(x)在R上单调递增，又∵f(0)=−3<0，f(1)=e>0，∴f(x)=0的唯一实数根所在区间为(0,1)，∵g′(x)=1x +1x2>0在(0,+∞)上恒成立，∴函数g(x)在(0,+∞)上单调递增，又∵g(1)=0，∴g(x)=0存在唯一实数根x=1，由题意，f(x1)=g(x2)=0，∴0<x1<1，x2=1，∴g(x1)<g(1)=0，f(x2)=f(1)=e>0，∴g(x1)<0<f(x2)，故选：B．求导可知函数f(x)在R上单调递增，又f(0)=−3<0，f(1)=e>0，所以f(x)=0的唯一实数根所在区间为(0,1)，同理求导可得函数g(x)在(0,+∞)上单调递增，又g(1)=0，所以g(x)=0存在唯一实数根x=1，0<x1<1，x2=1，从而得出g(x1)<0<f(x2).本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，考查了函数的零点与方程根的关系，是中档题．10.【答案】D【解析】解：设抛物线C ：y 2=8x 准线为l′，则准线l′为x =2， 由题意知直线l 为y =k(x +2)，如图，过A ，B 分别作AB ⊥l′于点M ，BN ⊥l′于点N ，∵|AF|=2|BF|，∴由抛物线的性质可得，|AM|=2|BN|，则B 为AP 的中点， 连接OB ，则|OB|=12|AF|，∴|OB|=|BF|，则点B 的横坐标为1，代入抛物线C 的方程，得出B 的坐标为(1,±2√2)， 将B 点的坐标代入直线y =k(x +2)，解得k =±2√23．故选：D ．根据直线的位置关系，求得|OB|=|BF|，即可求得B 点坐标，代入直线l ，即可求解． 本题主要考查抛物线的简单几何性质，需要学生具备数形结合的能力，属于基础题．11.【答案】C【解析】解：F n =22n+1(n =0,1,2.…)，由于a n =log 2(F n −1)=log 2(22n+1−1)=2n ， 故S n =2(1−2n )1−2=2(2n −1)，则2nSn S n+1=2n4(2n −1)(2n+1−1)=14(12n −1−12n+1−1)，则不等式2S1S 2+22S2S 3+⋯+2nSn S n+1<2n2020，即为14(1−122−1+122−1−123−1+⋯+12n −1−12n+1−1)<2n2020，即有14(1−12n+1−1)<2n2020， 即为505(1−12n+1−1)<2n ，由28=256，29=512，210=1024，可得当不等式成立时n 的最小值为9．故选：C ．首项利用已知条件求出数列的通项公式，再由等比数列的求和公式，可得2nSn S n+1=2n4(2n −1)(2n+1−1)=14(12n −1−12n+1−1)，进一步利用裂项相消法求出数列的和，进而确定结果．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于中档题．12.【答案】A【解析】解：x ∈[1e ,e 2]，不等式e ax >x 2恒成立等价于a >2lnx x，x ∈[1e ,e 2]恒成立，令f(x)=2lnx x，f′(x)=2(1x−lnx)x 2，画出y =1x 与y =lnx 的函数图象如图，设交点为x 0，则x 0>1∴1e <x <x 0时，f′(x)>0，f(x)单调递增， x 0<x 时，f′(x)<0，f(x)单调递减， f(x)在x 0处有极大值，∴f(x)max =f(x 0)>f(e 2)=4e 2≈0.54 ∵a >f(x)max ， ∴BCD 均不对， 故选：A ．不等式e ax >x 2恒成立等价于a >2lnx x，x ∈[1e,e 2]恒成立，即a >(2lnx x)max ，进而求解；考查不等式恒成立转化为函数问题，进而求函数的最大值，利用排除法排除BCD ；13.【答案】13【解析】解：由约束条件作出可行域如图，联立方程组解得A(−1,8)，由z =3x +2y ，得y =−32x +z2，由图可得，当直线y =−32x +z2过A 时， 直线在y 轴上的截距最大，z 有最大值，为13． 故答案为：13．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是基础题．14.【答案】3 可靠【解析】解：由题意可得，x −=11+13+123=12，y −=26+32+263=28，故样本中心点为(12,28)，∵线性回归方程y ^=b ^x +a ^中的a ̂=−8， ∴28=b ̂×12−8，解得b ̂=3， ∵y ̂=3x −8，∴12月4日的估计值为y ̂=3×8−8=16， 又∵|17−16|=1<2， ∴求得的线性回归方程可靠． 故答案为：3，可靠．根据已知条件，结合线性回归方程的性质，可得y ̂=3x −8，再将x =8代入该方程，对所得的结果与17作差并取绝对值，将该结果与2比较，即可求解． 本题主要考查了线性回归方程的性质，以及平均值的求解，属于基础题．15.【答案】53【解析】解：如图，连接OTM 在直角三角形OTF 1中，OT =a ，OF 1=c ，所以TF 1=b ，F 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4F 1T ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以PF 1=4b ，PF 2=4b −2a ，在△PF 1F 2中，sin∠PF 1F 2=ac ，F 1F 2=2c ，所以PF 12+4c 2−2PF 1⋅F 1F 2cos∠PF 1F 2=PF 22， 化简可得：3b =4a ， 所以e =√1+(ba )2=√1+169=53．故答案为：53．画出图形，利用双曲线的定义，结合三角形中利用余弦定理，推出a ，b 的关系，然后求解双曲线的离心率即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，三角形的解法，考查分析问题解决问题的能力．16.【答案】3√2【解析】解：根据题意，△ABC 中，b 2+c 2=accosC +c 2cosA +a 2，变形可得2bccosA =accosC +c 2cosA ，由正弦定理可得：2sinBsinCcosA =sinAsinCcosC +sin 2CcosA =sinC(sinAcosC +sinCcosA)=sinCsin(A +C)=sinCsinB ， 即2sinBsinCcosA =sinCsinB ，又由sinBsinC ≠0，则cosA =12，sinA =√32，又由S △ABC =√32，则12bcsinA =12bc ×√32=√32，变形可得bc =2；又由(b +c)2=b 2+c 2+2bc ≥4bc =8，则有b +c ≥2√2，当且仅当b =c 时等号成立，由余弦定理可得：a 2=b 2+c 2−2bccosA =b 2+c 2−bc ≥bc =2，即a ≥√2，当且仅当b =c 时等号成立，则有a +b +c =a +(b +c)≥3√2，△ABC 周长的最小值为3√2，当且仅当b =c 时等号成立，故答案为：3√2．根据题意，将b 2+c 2=accosC +c 2cosA +a 2变形分析可得2sinBsinCcosA =sinCsinB ，进而可得cosA =12，则有sinA =√32，利用三角形的面积公式计算可得bc =2，由余弦定理，基本不等式可得a 的最小值，结合基本不等式的性质求出b +c 的最小值，分析可得答案．本题主要考查正弦定理，余弦定理的应用，涉及基本不等式的性质以及应用，属于基础题．17.【答案】解：(1)解法一：甲的平均成绩为x 1−=80+85+71+92+875=83，乙的平均成绩为x 2−=90+76+75+92+825=83，甲的成绩方差s 12=15∑(5i=1x i −x −)2=50.8， 乙的成绩方差为s 22=15∑(5i=1x i −x −)2=48.8，由于x 1−=x 2−，s 12>s 22，乙的成绩较稳定，派乙参赛比较合适，故选乙合适． 解法二：派甲参赛比较合适，理由如下：从统计的角度看，甲获得85以上(含85分)的概率P 1=35， 乙获得8(5分)以上(含85分)的概率P 2=25． 因为P 1>P 2故派甲参赛比较合适，(2)5道备选题中学生乙会的3道分别记为a ，b ，c ，不会的2道分别记为E ，F ． 方案一：学生乙从5道备选题中任意抽出1道的结果有：a ，b ，c ，E ，F 共5种，抽中会的备选题的结果有a ，b ，c ，共3种． 所以学生乙可参加复赛的概率P 1=35．方案二：学生甲从5道备选题中任意抽出3道的结果有：(a,b,c)，(a,b,E)，(a,b,F)，(a,c,E)，(a,c,F)，(a,E,F)，(b,c,E)，(b,c,F)，(b,E,F)，(c,E,F)，共10种，抽中至少2道会的备选题的结果有：(a,b,c)，(a,b,E)，(a,b,F)，(a,c,E)，(a,c,F)，(b,c,E)，(b,c,F)共7种， 所以学生乙可参加复赛的概率P 2=710因为P 1<P 2，所以学生乙选方案二进入复赛的可能性更大．【解析】(1)法一：先分别求出甲、乙的平均成绩、方差，得到甲、乙的平均成绩相同，乙的方差较小，从而乙的成绩较稳定，派乙参赛比较合适，故选乙合适．法二：从统计的角度看，甲获得85以上(含85分)的概率P 1=35，乙获得8(5分)以上(含85分)的概率P 2=25，由P 1>P 2，得到派甲参赛比较合适，(2)5道备选题中学生乙会的3道分别记为a ，b ，c ，不会的2道分别记为E ，F.方案一求出学生乙可参加复赛的概率P 1=35.方案二求出以学生乙可参加复赛的概率P 2=710，由P 1<P 2，得到学生乙选方案二进入复赛的可能性更大．本题考查平均数、方差、概率的求法及应用，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18.【答案】解：(1)证明：∵S n =2S n−1+n ，∴S n+1=2S n +n +1，上面两式相减，得a n+1=2a n +1(n ≥2)， 又a 1+a 2=2a 1+2，且a 1=1， 解得a 2=3，∴a 2=2a 1+1， ∴a n+1=2a n +1(n ∈N ∗)． ∴a n+1+1=2(a n +1)． 又a 1+1=2≠0，∴数列{a n +1}是首项为2，公比为2的等比数列． (2)由(1)知，a n +1=2n ，∴a n =2n −1， 则b n =n ⋅2n ，∴T n =2+2⋅22+3⋅23+⋯+n ⋅2n ①， 2T n =22+2⋅23+3⋅24+⋯+n ⋅2n+1②，由①−②，得−T n =2+22+23+⋯+2n −n ⋅2n+1 =2(1−2n )1−2−n ⋅2n+1=2n+1−2−n ⋅2n+1，故T n =(n −1)⋅2n+1+2．【解析】(1)由数列的递推式和等比数列的定义，即可得证；(2)由等比数列的通项公式、求和公式，以及数列的错位相减法求和，计算可得所求和． 本题考查数列的递推式和等比数列的定义、通项公式和求和公式，以及数列的错位相减法求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题．19.【答案】证明：(1)以C 为坐标原点，以CD ，CB ，CE 为坐标轴建立空间直角坐标系，如图： 则C(0,0,0)，D(2,0,0)，M(1,2,0)，P(1,1,1)． ∴CD⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,0)，CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,1)，CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2,0)． 设平面PCD 的法向量为n 1⃗⃗⃗⃗ =(x,y,z)，平面PCM 的法向量为n 2⃗⃗⃗⃗ =(a,b,c)，则{ n 1⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n 1⃗⃗⃗⃗ ⋅CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n 2⃗⃗⃗⃗ ⋅CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n 2⃗⃗⃗⃗ ⋅CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{2x =0x +y +z =0a +b +c =0a +2b =0，令z =1得n 1⃗⃗⃗⃗ =(0,−1,1)，令c =1得n 2⃗⃗⃗⃗ =(−2,1,1)． ∴n 1⃗⃗⃗⃗ ⋅n 2⃗⃗⃗⃗ =0−1+1=0， ∴n 1⃗⃗⃗⃗ ⊥n 2⃗⃗⃗⃗ ，∴平面PCD ⊥平面PCM ．(2)CO ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,0)，|CO ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2，|n 2⃗⃗⃗⃗ |=√6，CO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 2⃗⃗⃗⃗ =−2+1=−1．∴cos <CO ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n 2⃗⃗⃗⃗ >=CO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |CO ⃗⃗⃗⃗⃗ ||n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |=−√36． ∴O 点到平面PCM 的距离ℎ=|CO ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|cos <CO ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n 2⃗⃗⃗⃗ >|=√2×√36=√66．【解析】(1)以C 为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面PCD 和平面PCM 的法向量，证明它们的法向量垂直即可；(2)求出CO ⃗⃗⃗⃗⃗ 和平面PCM 的法向量n 2⃗⃗⃗⃗ 的夹角θ，则三棱锥O −PCM 的高为O 到平面PCM 的距离ℎ=|OC|⋅|cosθ|．本题考查了面面垂直的判定，点到平面的距离计算，常采用向量法进行证明或计算．20.【答案】解：(1)设P(x 0,y 0)，由题意有，A(−2,0)，B(2,0)，∴k AP ⋅k BP =y 0x 0+2⋅y 0x0−2=y 02x 02−4，又x 024+y 02=1，代入上式得：k AP ⋅k BP =−14，由k 2=4k 1得：14k BP ⋅k BQ =−14， ∴k BP ⋅k BQ =−1， ∴BP ⊥BQ ；(2)设直线PQ 的方程为y =kx +m ，由{x 24+y 2=1y =kx +m 得：(1+4k 2)x 2+8kmx +4(m 2−1)=0， 由△>0得4k 2+1>m 2，由韦达定理得：x 1+x 2=−8km 1+4k 2，x 1x 2=4(m 2−1)1+4k 2，由(1)BP ⊥BQ ，则BP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 则(x 1−2)(x 2−2)+y 1y 2=0，则(x 1−2)(x 2−2)+(kx 1+m)(kx 2+m)=0， 化简得：(1+k 2)x 1x 2+(km −2)(x 1+x 2)+4+m 2=0， ∴12k 2+16km +5m 2=0， 则k =−12m 或k =−56m ，当则k =−12m 时，直线PQ ：y =m(−12x +1)，不合题意， 当k =−56m 时，直线PQ ：y =m(−56x +1)，过定点M(65,0)， 又S 1=12|AM||y 1−y 2|，S 2=12|MB||y 1−y 2|， 则S 1S 2=|AM||MB|=65−(−2)2−65=4，为定值．【解析】(1)设出点P 的坐标，求出点A ，B 的坐标，求出直线AP ，BP 的斜率，联立椭圆方程可求出直线AP ，BP 的斜率之积，再联立k 2=4k 1即可证出BP ⊥BQ ；(2)设出直线PQ 的方程为y =kx +m ，联立直线与椭圆方程得韦达定理，由(1)中结论化简可得k ，m 的关系，求出直线PQ 过定点，再求出△APQ ，△BPQ 的面积分别为S 1，S 2，则S 1S 2=|AM||MB|=65−(−2)2−65=4，为定值．本题主要考查直线与椭圆的位置关系中的定值问题，属于中档题．21.【答案】解：(1)设切点为(x 0,alnx 0x 0)，则切线为y −alnx 0x 0=a(1−lnx 0)x 02(x −x 0)，即y =a(1−lnx 0)x 02x +2alnx 0−ax 0；所以{a(1−lnx 0)x 02=12alnx 0−ax 0=−1，消去a 得：x 0−1+lnx 0−2x 0lnx 0=0， 记m(t)=t −1+lnt −2tlnt(t >0)，则m′(t)=1t −2lnt −1，显然m′(t)单调递减，且m′(1)=0，所以t ∈(0,1)时，m′(t)>0，m(t)单调递增，t ∈(1,+∞)时，m′(t)<0，m(t)单调递减，故m(t)当且仅当t =1时取到最大值，又m(1)=0，所以方程x 0−1+lnx 0−2x 0lnx 0=0有唯一解x 0=1，此时a =1， 所以a =1，切点为(1,0)． (2)证明：由(1)得f(x)=lnx x，g(x)=e x−1−1，记F(x)=e x−1−x(x >0)，则F′(x)=e x−1−1， 当x ∈(1,+∞)时，F′(x)>0，F(x)单调递增； 当x ∈(0,1)时，F′(x)<0，F(x)单调递减，所以F(x)≥F(1)=1−1=0，所以e x−1≥x ，即g(x)≥x −1①， 记G(x)=x 2−x −lnx(x >0)， 则G′(x)=2x −1−1x=2x 2−x−1x=(x−1)(2x+1)x，所以x ∈(0,1)时，G′(x)<0，G(x)单调递减， x ∈(1,+∞)时，G′(x)>0，G(x)单调递增， 所以G(x)≥G(1)=0，即x 2−x ≥lnx ，所以x −1≥lnx x，即x −1≥f(x)②，由①②得g(x)≥f(x)．【解析】(1)设切点(x 0,alnx 0x 0)，则切线为y −alnx 0x 0=a(1−lnx 0)x 02(x −x 0)，所以{a(1−lnx 0)x 02=12alnx0−ax 0=−1，消去a 得：x 0−1+lnx 0−2x 0lnx 0=0，记m(t)=t −1+lnt −2tlnt(t >0)，m(t)当且仅当t =1时取到最大值，又m(1)=0，所以方程x 0−1+lnx 0−2x 0lnx 0=0有唯一解x 0=1，此时a =1，所以a =1，切点为(1,0)． (2)由(1)得f(x)=lnx x，g(x)=e x−1−1，记F(x)=e x−1−x(x >0)，利用导数可得F(x)≥F(1)=1−1=0，所以e x−1≥x ，即g(x)≥x −1①，记G(x)=x 2−x −lnx(x >0)，利用导数可得G(x)≥G(1)=0，即x 2−x ≥lnx ，所以x −1≥lnx x，即x −1≥f(x)②，所以g(x)≥f(x)．本题考查利用导数求过一点的切线方程，构造出新函数是关键，综合性较强，属于难题．22.【答案】解：(1)将曲线C 1：{x =4cosβy =4sinβ(β为参数)，消参得x 2+y 2=16，经过伸缩变换{x′=12xy′=√34y ，后得曲线C 2：x 24+y 23=1， 化为极坐标方程为ρ2=123+sin 2θ，将直线l 的极坐标方程ρ=3sin(θ−π3)，化为直接坐标方程为√3x −y +6=0；(2)由题意知M(−2√3,0)在直线l 上，又直线l 的倾斜角为π3， 所以直线l 的参数方程为{x =−2√3+12ty =√32t (t 为参数)， 设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，将直线l 的参数方程代入x 2+y 2=16中，得t 2−2√3t −4=0， 由韦达定理，得t 1⋅t 2=−4， 所以|MA|⋅|MB|=|t 1⋅t 2|=4．【解析】(1)将曲线C 1化为普通方程，然后经过伸缩变换得到曲线C 2的方程，再将C 2的直角坐标方程转化为极坐标方程，对直线l 根据其极坐标方程直接转化为直角坐标方程即可．(2)根据条件得到直线l 的参数方程，然后由直线参数方程的几何意义求出|MA|⋅|MB|的值．本题考查了曲线的伸缩变换，极坐标与直角坐标的转化，参数方程和普通方程的转化和直线参数方程的几何意义，考查了转化思想，属中档题．23.【答案】解：(1)当x ≤2时，f(x)=3−x +4−2x =7−3x ≤10，解得x ≥−1，即−1≤x ≤2；当2<x <3时，f(x)=3−x +2x −4=x −1≤10.解得x ≤11，即2<x <3； 当x ≥3时，f(x)=x −3+2x −4=3x −7≤10，解得x ≤173，即3≤x ≤173故原不等式的解集为{x|−1≤x ≤173}(5分)(2)由(1)知，f(x)={7−3x,x ≤2x −1,2≤x <33x −7,x ≥3，所以当x =2时，f(x)取最小值f(2)=1.(7分)而g(x)=|x −a|+|x +1|≥|x −a −(x +1)|=|a +1|，由题意可知，|a +1|≤1，即−1≤a +1≤1，解得−2≤a ≤0，所以实数a的取值范围为[−2,0].(10分)【解析】(1)通过x的范围讨论，去掉绝对值符号，求解不等式即可．(2)求出函数的解析式，求解f(x)的最小值为M，利用绝对值的几何意义，求解a的范围即可．本题考查绝对值不等式的解法，绝对值的几何意义，不等式恒成立问题的应用，是中档题．第21页，共21页。