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模拟试卷一―――――――――――――――――――――――――――――――――― 注意：答案请写在考试专用答题纸上，写在试卷上无效。
（本卷考试时间100分）一、单项选择题（每题3分，共24分）1、已知平面π：042=-+-z y x 与直线111231:-+=+=-z y x L 的位置关系是（ ） （A ）垂直 （B ）平行但直线不在平面上（C ）不平行也不垂直 （D ）直线在平面上 2、=-+→→1123lim0xy xy y x （ ）（A ）不存在 （B ）3 （C ）6 （D ）∞3、函数),(y x f z =的两个二阶混合偏导数y x z ∂∂∂2及xy z∂∂∂2在区域D 内连续是这两个二阶混合偏导数在D 内相等的（ ）条件.（A ）必要条件 （B ）充分条件（C ）充分必要条件 （D ）非充分且非必要条件 4、设⎰⎰≤+=ay x d 224πσ，这里0 a ，则a =（ ）（A ）4 （B ）2 （C ）1 （D ）0 5、已知()()2y x ydydx ay x +++为某函数的全微分，则=a （ ）（A ）-1 （B ）0 （C ）2 （D ）16、曲线积分=++⎰L z y x ds222（ ），其中.110:222⎩⎨⎧==++z z y x L（A ）5π（B ）52π （C ）53π （D ）54π7、数项级数∑∞=1n na发散，则级数∑∞=1n nka（k 为常数）（ ）（A ）发散 （B ）可能收敛也可能发散（C ）收敛 （D ）无界 8、微分方程y y x '=''的通解是（ ）（A ）21C x C y += （B ）C x y +=2（C ）221C x C y += （D ）C x y +=221 二、填空题（每空4分，共20分）1、设xyez sin =，则=dz 。
2、交换积分次序：⎰⎰-222xy dy e dx = 。
高数二试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 下列函数中，哪一个不是周期函数？A. y = sin(x)B. y = cos(x)C. y = e^xD. y = tan(x)2. 函数f(x) = x^2 + 3x + 2的零点个数是：A. 0B. 1C. 2D. 33. 若f(x) = 2x - 1，求f(3)的值是：A. 5B. 4C. 3D. 24. 曲线y = x^3 - 2x^2 + x在点(1,0)处的切线斜率是：A. 0B. -1C. 1D. 25. 以下哪个选项是定积分∫(0,1) x^2 dx的结果？A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 3/4二、填空题（每题2分，共10分）6. 若函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2，则f'(x) = __________。
7. 函数y = √x的导数是 y' = __________。
8. 曲线y = x^2 + 1与x轴所围成的面积是 __________。
9. 定积分∫(0,2) e^x dx的值是 __________。
10. 若f(x) = sin(x) + cos(x)，则f''(x) = __________。
三、解答题（每题10分，共40分）11. 求函数f(x) = 3x^2 + 2x - 5在区间[-1, 2]上的最大值和最小值。
12. 证明函数f(x) = x^3 - 3x在区间(-∞, +∞)上是增函数。
13. 求曲线y = x^3 - 6x^2 + 9x + 2在点(1, 4)处的切线方程。
14. 计算定积分∫(1, e) (2x + 1) / x dx。
四、证明题（每题15分，共30分）15. 证明函数f(x) = x^2 + 2x + 3在区间[-1, 1]上是凹函数。
16. 证明定积分∫(0, 1) x * sin(πx) dx = 1/π。
答案：一、选择题1. C2. C3. A4. C5. A二、填空题6. 3x^2 - 12x + 97. 1/(2√x)8. 1/39. e^2 - 110. -2sin(x) - 2cos(x)三、解答题11. 最大值：f(2) = 11，最小值：f(-1) = -1012. 证明略13. 切线方程：y - 4 = 4(x - 1)，即4x - y - 4 = 014. 结果：1 - 1/e^2四、证明题15. 证明略16. 证明略。
高数2试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若函数f(x)=x^3-3x+1，则f'(x)等于：A. 3x^2-3B. x^3-3C. 3x^2-3xD. 3x^2答案：A2. 极限lim(x→0) (sin x)/x 的值是：A. 0B. 1C. πD. ∞答案：B3. 若函数f(x)=e^x，则f'(x)等于：A. e^xB. e^(-x)C. ln(e^x)D. 0答案：A4. 函数y=x^2-4x+4的图像与x轴的交点个数是：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C二、填空题（每题5分，共20分）1. 若函数f(x)=x^2-6x+8，则f(1)的值为____。
答案：32. 曲线y=x^3-3x在点(1,-2)处的切线斜率为____。
答案：03. 函数y=ln(x)的定义域为____。
答案：(0, +∞)4. 函数y=x^2-4x+4的最小值为____。
答案：0三、解答题（每题10分，共60分）1. 求函数y=x^3-3x^2+2x-1的导数。
答案：y'=3x^2-6x+22. 求极限lim(x→2) (x^2-4)/(x-2)。
答案：lim(x→2) (x^2-4)/(x-2) = lim(x→2) (2x) = 43. 求函数y=e^x+ln(x)的二阶导数。
答案：y''=e^x+1/x4. 求函数y=x^3-6x^2+11x-6在x=2处的切线方程。
答案：切线方程为y=-3x+85. 求函数y=x^2-4x+4的极值点。
答案：极值点为x=26. 求曲线y=x^3-3x在点(1,-2)处的法线方程。
答案：法线方程为y=x-1四、证明题（每题10分，共20分）1. 证明：若函数f(x)在点x=a处可导，则f(x)在点x=a处连续。
答案：略2. 证明：若函数f(x)在区间(a,b)上连续，则f(x)在(a,b)上一定存在极值。
答案：略。
高等数学二试题及答案一、选择题1. 函数y=2x^3-3x^2+4x-1的导数为：A. 6x^2 - 6x + 4B. 6x^2 - 4x + 4C. 6x^3 - 6x^2 + 4D. 6x^3 - 6x + 4答案：A2. 极限lim(x→0) (sin(x) - x) / x^3的值为：A. 1B. 0C. 不存在D. 无穷大答案：A3. 曲线y=x^2在点x=1处的切线方程为：A. y=2x-1B. y=x+1C. y=2xD. y=x-1答案：A4. 定积分∫(0,1) x^2 dx的值为：A. 1/3B. 1/2C. 1D. 0答案：A5. 级数Σ(n=1 to ∞) (n^2 / 2^n)收敛于：A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B二、填空题1. 函数z=e^(x+y)在点(0,0)的偏导数∂z/∂x为_________。
答案：12. 极限lim(x→∞) (1+1/x)^x的值为_________。
答案：e3. 曲线y=2x^3在点x=-1处的法线方程为_________。
答案：y=-6x+24. 定积分∫(1,2) (2t^2 + 3t + 1) dt的值为_________。
答案：10/35. 幂级数Σ(n=0 to ∞) (x^n / 2^n)在|x|≤2时收敛于_________。
答案：1 + x三、计算题1. 求函数f(x)=ln(x^2-4)的反函数，并证明其在定义域内是单调的。
解：首先找到反函数的定义域，由于ln(x^2-4)的定义域为x^2-4>0，解得x^2>4，因此x<-2或x>2。
设y=ln(x^2-4)，则x^2-4=e^y，解得x=±√(e^y+4)。
由于x<-2或x>2，我们选择x=√(e^y+4)作为反函数，定义域为y>ln(4)。
显然，当y>ln(4)时，函数√(e^y+4)是单调递增的，因此反函数也是单调的。
高数二考试试卷及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 函数f(x)=x^2在x=0处的导数是：A. 0B. 1C. 2D. 0答案：B2. 曲线y=e^x在x=0处的切线斜率是：A. 1B. eC. e^0D. 0答案：A3. 以下哪个函数是偶函数：A. y=x^3B. y=x^2C. y=x^2-1D. y=x+1答案：B4. 极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值是：A. 1B. 0C. -1D. 25. 以下哪个积分是发散的：A. ∫(1/x)dx 从1到∞B. ∫(x^2)dx 从0到1C. ∫(e^x)dx 从-∞到0D. ∫(x)dx 从0到1答案：A6. 函数y=ln(x)的不定积分是：A. x*ln(x)+1B. x*ln(x)-xC. x*ln(x)D. x^2/2答案：C7. 以下哪个级数是收敛的：A. 1+1/2+1/4+...B. 1-1/2+1/3-1/4+...C. 1+2+3+...D. 1/2+1/4+1/8+...答案：D8. 函数y=x^3-3x^2+2x的极值点是：A. x=1B. x=2C. x=0D. x=1和x=2答案：D9. 以下哪个函数是周期函数：B. y=ln(x)C. y=sin(x)D. y=x^2答案：C10. 以下哪个是二阶导数：A. d^2y/dx^2B. dy/dxC. ∫dyD. ∫d^2y答案：A二、填空题（每题2分，共20分）1. 函数f(x)=x^3的二阶导数是________。
答案：6x2. 曲线y=x^2在点(1,1)处的切线方程是________。
答案：y-1=2(x-1)3. 极限lim(x→∞) (x^2-3x+2)/(x^3+1)的值是________。
答案：04. 函数y=sin(x)的不定积分是________。
答案：-cos(x)+C5. 曲线y=e^x与y=ln(x)的交点个数是________。
《高等数学（二）》期末复习题一、选择题1、若向量b 与向量)2,1,2(-=a 平行，且满足18-=⋅b a ，则=b （ A ） （A ） )4,2,4(-- （B ）(24,4)--， （C ） (4,2,4)- （D ）(4,4,2)--.2、在空间直角坐标系中，方程组2201x y z z ⎧+-=⎨=⎩代表的图形为 ( C )（A ）直线 (B) 抛物线 （C ） 圆 (D)圆柱面 3、设22()DI xy dxdy =+⎰⎰，其中区域D 由222x y a +=所围成，则I =（ D ）(A)224ad a rdr a πθπ=⎰⎰ (B) 22402ad a adr a πθπ=⎰⎰(C)2230023a d r dr a πθπ=⎰⎰ (D) 2240012a d r rdr a πθπ=⎰⎰4、 设的弧段为：230,1≤≤=y x L ，则=⎰L ds 6 （ A ）（A ）9 (B) 6 （C ）3 (D)235、级数∑∞=-11)1(n nn的敛散性为 （ B ） （A ） 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 敛散性不确定 6、二重积分定义式∑⎰⎰=→∆=ni i i i Df d y x f 10),(lim),(σηξσλ中的λ代表的是（ D ）（A ）小区间的长度 (B)小区域的面积 (C)小区域的半径 (D)以上结果都不对 7、设),(y x f 为连续函数，则二次积分⎰⎰-1010d ),(d xy y x f x 等于 ( B )（A ）⎰⎰-1010d ),(d xx y x f y (B) ⎰⎰-1010d ),(d yx y x f y(C)⎰⎰-x x y x f y 1010d ),(d(D)⎰⎰101d ),(d x y x f y8、方程222z x y =+表示的二次曲面是 ( A )（A ）抛物面 （B ）柱面 （C ）圆锥面 （D ） 椭球面9、二元函数),(y x f z =在点),(00y x 可微是其在该点偏导数存在的（ B ）. （A ） 必要条件 （B ） 充分条件 （C ） 充要条件 （D ） 无关条件 10、设平面曲线L 为下半圆周 21,y x =--则曲线积分22()Lx y ds +=⎰( C )(A) 0 (B) 2π (C) π (D) 4π 11、若级数1nn a∞=∑收敛，则下列结论错误的是 （ B ）(A)12nn a∞=∑收敛 (B)1(2)nn a∞=+∑收敛 (C)100nn a∞=∑收敛 (D)13nn a∞=∑收敛12、二重积分的值与 （ C ）（A ）函数f 及变量x,y 有关； (B) 区域D 及变量x,y 无关； （C ）函数f 及区域D 有关； (D) 函数f 无关，区域D 有关。
高数2试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若函数f(x)在x=a处可导，则下列说法正确的是：A. f(x)在x=a处连续B. f(x)在x=a处不可导C. f(x)在x=a处不一定连续D. f(x)在x=a处导数为0答案：A2. 曲线y=x^2在点(1,1)处的切线斜率是：A. 0B. 1C. 2D. 4答案：C3. 函数f(x)=x^3-3x+2的极值点是：A. x=1B. x=-1C. x=0D. x=2答案：A4. 曲线y=x^3-6x^2+9x+1与x轴的交点个数是：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：D二、填空题（每题5分，共20分）1. 若函数f(x)=2x^2-3x+1，则f'(x)=_________。
答案：4x-32. 曲线y=x^2-4x+3在x=2处的切线方程为y=_________。
答案：-x+73. 函数f(x)=ln(x)的原函数是F(x)=_________。
答案：xln(x)-x+C4. 曲线y=x^3-3x^2+2x在x=1处的法线方程为y=_________。
答案：-2x+3三、解答题（每题15分，共30分）1. 求函数f(x)=x^3-6x^2+9x+1在区间[0,3]上的最大值和最小值。
答案：函数f(x)=x^3-6x^2+9x+1的导数为f'(x)=3x^2-12x+9。
令f'(x)=0，解得x=1或x=3。
计算f(0)=1，f(1)=5，f(3)=1，因此最大值为5，最小值为1。
2. 求曲线y=x^2-4x+3与直线y=2x-1的交点坐标。
答案：将y=2x-1代入y=x^2-4x+3得到x^2-6x+4=0，解得x=2或x=2，因此交点坐标为(2,3)。
四、证明题（每题15分，共15分）1. 证明：若函数f(x)在区间(a,b)内可导，且f'(x)≥0，则f(x)在区间(a,b)内单调递增。
答案：假设存在x1，x2∈(a,b)且x1<x2，根据导数的定义，存在Δx 使得f(x2)-f(x1)=f'(ξ)Δx，其中ξ∈(x1,x2)。
高等数学（二）05062B一、填空题（每题4分）（1）微分方程)1()1(322y x y +-='的通解____________（2）直线⎩⎨⎧=-+=-+212z y x z y x 的方向向量 （3）设),(y x z z =是由0=-xyz e z 所确定的函数,则x z ∂∂= （4）过原点P （1，2，3）且与原点与P 的连线垂直的平面方程为（5）改变积分次序⎰⎰--21222),(x x x dy y x f dx = （6）∑∞=-+1)2)1(1(n n nn 是 （收敛、发散）级数 （7）∑∞=-122)1(n n nn x 的收敛半径R= 收敛域 二、计算题（8）（10分）D xydxdy D,⎰⎰是有直线0,2,=-==y x y x y 所围成的闭区域（9）（6分）判别级数∑∞=⋅1!5n n nn n 的收敛性（10）（10分）求内接于半径为a 的球且有最大体积的长方体（11）（10分）求曲面2132222=++z y x 的平行于平面064=++z y x 的切平面方程（12）（10分）把2)4(1)(x x f -=展开成x 的幂级数，并求出收敛区间.（13）（8分）求微分方程xy x y 2sin tan '=⋅+的通解。
（14）（10分）设函数)(x φ连续，且满足⎰-+=x dt t x t x x 02)()()(φφ，求)(x φ（15）（8分）求由2,2+==x y x y 围成图形的面积，以及此图形绕x 轴旋转一周所得立体的体积高等数学（二）05062B 解答及评分标准一、填空题（每题4分）（1）])1tan[(3C x y +-= （2）{}1,1,0 （3）xye yz z - （4）1432=++z y x （5）⎰⎰-+-101122),(y y dx y xf dy （6）发散 （7）2；)2,2(-二、计算题（8）解：{}y x y y y x D -≤≤≤≤=2,10),(……………….2分 ⎰⎰⎰⎰-=y y D xydx dy xydxdy 210……………….6分⎰⎰+-=⋅=-1022102)244(|2dy y y x y dy y y …….8分 31321023=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=y y ……………10分 （9）解：!5)!1(5)1(lim lim 111n n n n u u n nn n n n n n ⋅++=++∞→+∞→……………………3分 155)11(lim <=+=∞→e n nn ………………………………..4分 故原级数收敛…………………………………….6分（10）解： 建立空间直角坐标系，原点在球心设在第一卦限的长方体的顶点为),,(z y x则xyz V 8= 且满足2222a z y x =++……………..3分)(82222a z y x xyz L -+++=λ……………………5分 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=+==+==+=)4()3(028)2(028)1(0282222a z y x z xy L y xz L x yz L zy x λλλ由)3)(2)(1(得z y x == 由)4(得a z y x 33===……8分当长方体为正方体且边长为a 332时体积最大……………10分 （11）解：设切点),,(000z y x ，则有 {}0006,4,2z y x n =………………2分 有条件得：664412000z y x ==，即0002z y x ==及2132202020=++z y x ……4分 解得：2,1000±==±=z y x …………………………………………………6分 曲面2132222=++z y x 的平行于平面064=++z y x 的切平面方程为： 2164±=++z y x ……………………………………………………10分（12）解：14)4(4141141410<⋅=-⋅=-∑∞=x x x x n n …………5分 两边求导2)4(1x -= 14)4(4112<⋅-∞=∑x x n n n ………………10分 （13）解：x x Q x x P 2sin )(,tan )(==])([)()(C dx e x Q e y dx x P dx x P +⎰⎰=⎰-…………………………4分]2sin [tan tan C dx xe e xdx xdx +⎰⎰=⎰-)cos 2(cos c x x +-=……………………………………………………8分（14）解：两边求导数，得⎰-=xdt t x x 0)(2)('φφ 及 )(2)(''x x φφ-=（1）0)( )( "=+x x φφ的特征方程为01 2=+ri r i r -==21,，则：x c x c y sin cos 21+=………………………………4分（2）观察知2)(*=x φ …………………………………………6分（3）通解为：2sin cos )(21++=x c x c x φ…………………………8分 0)0(=φ，0)0('=φ 得：0,221=-=c c即：2cos 2)(+-=x x φ……………………………………………10分（15）解：)4,2(),1,1(22-⇒⎩⎨⎧+==x y x y{}2,21|),(2+≤≤≤≤-=x y x x y x D …………2分dx x x S )2(212⎰--+=………………………………3分 =29)31221(2132=-+-x x x ………………………4分 dx x dx x V ⎰⎰---+=214212)2(ππ…………………………6分 =ππ572]51)2(31[2153=-+-x x ………………………………8分版权所有，翻版必究、本事。
高等数学二试卷及答案1、高等数学二试卷及答案一、单项选择题〔共16题，共30分〕1.设a为常数，则级数A.发散B.条件收敛C.确定收敛D.收敛性与a 的取值有关2.以下级数中确定收敛的级数是A.B.C.D.3.考虑二元函数的下面4条性质：①f(x,y)在点处连续；②f(x,y)在点处的两个偏导数连续；③f(x,y)在点处可微；④f(x,y)在点处的两个偏导数存在.A.231B.321C.341D.314n4.在空间直角坐标系中，方程组z²=x²+y²,y=1代表的图形为A.抛物线B.双曲线C.圆D.直线5.二元函数z=f(x,y)在点可微是其在该点偏导数存在的A.必要条件B.充分条件C.充要条件D.无关条2、件6.方程2z=x²+y²表示的二次曲面是A.抛物面B.柱面C.圆锥面D.椭球面7.二重积分定义式中的，λ代表的是A.小区间的长度B.小区域的面积 C.小区域的半径nD.以上结果都不对8.设L为：x=1,0≤y≤3/2的弧段，则 A.9B.6C.3D.3/29.设，其中区域D由x²+y²=a²所围成，则I=A.B.C.D.10.若，则〔〕A.B.C.D.11.在空间直角坐标系中，方程组代表的图形为A.直线nB.抛物线C.圆D.圆柱面12.设A,B是n阶矩阵，记r(X)为矩阵X的秩，(X,Y)表示分块矩阵，则A.r(A,AB)=r(A)B.r(A,BA)=r(A)C.r(A,B)3、=max{r(A),r(B)}D.13.以下矩阵中阵，与矩阵相像的是A.B.C.D.14.设函数f(x)在[0,1]上二阶可导。
且,则〔〕A.B.C.D.n15.设函数f〔x〕=，g〔x〕=。
若f〔x〕+g〔x〕在r上连续，则〔〕A.a=3,b=1B.a=3,b=2C.a=-3,b=1D.a=-3,b=216.以下函数中在x=0处不行导的是A.B.C.D.二、填空题〔共6题，共20分〕17.二元函数z=sin(2x+3y)，则18.曲线x=cos³t，y=sin³t，在t=π/4对应处的曲率。
大学-高等数学（Ⅱ）试卷题（A ）一、选择题：(每小题2分，共10分)1. 函数 ),(y x f z =在点),(00y x 处偏导数 ),(00y x f x ,),(00y x f y 存在是函数z在点),(00y x 存在全微分的（ ）；A.充分条件；B.必要条件；C.充分必要条件；D.既非充分又非必要条件.2．下列级数发散的是（ ）；A ．;(1)n nn n ∞=+- B.2(1)ln(1);1n n n n ∞=-++∑ C ．222sin();n a π∞=+∑ D.1.1nn n ∞=+ 3.级数1sin (0) n nxx n ∞=≠∑！，则该级数（ ）；A.是发散级数；B.是绝对收敛级数；C.是条件收敛级数；D. 仅在)1,0)(0,1(-内级数收敛，其他x 值时数发散。
4. 双曲抛物面22x y z p p-=.（p >0，q >0）与xOy 平面的交线是（ ）；A.双曲线B.抛物线C.平行直线D.相交于原点的两条直线. 5.322(,)42,f x y x x xy y =-+-函数下列命题正确的是。
A.点(2,2)是f(x,y)的极小值点B. 点(0，0)是f(x,y)的极大值点C. 点(2,2)不是f(x,y)的驻 点D.f(0,0)不是 f(x,y)的极值.二、填空题：(每小题3分，共30分 )1．222ln()1z x y x y =-++-的定义域为 ；2．曲面2221ax by cz ++=在点()000,,x y z 的法线方程是 ;3．设(,)ln()2yf x y x x=+，则 '(1,0)y f = ;4.已知D 是由直线x ＋y =1,x －y =1及x = 0所围，则Dyd σ⎰⎰= ;5． 3(,)ydy f x y dx ⎰⎰交换积分次序得 ;7．1(2),n n n u u ∞→∞=+=∑n 若级数收敛则lim ；8.微分方程y / + P(x)y = Q(x)的积分因子为_____________(写出一个即可)； 9．设y z x dz ==，则；10.设P(x,y)、Q(x,y)在曲线L 围成的单联通区域内具有一阶连续偏导数。
模拟试卷一――――――――――――――――――――――――――――――――――注意：答案请写在考试专用答题纸上，写在试卷上无效。
（本卷考试时间 100 分）一、单项选择题（每题 3 分，共 24 分）1、已知平面： x 2 yz 4 0 与直线 L :x 1y 2z 1 的位置关系是（）311（ A ）垂直（B ）平行但直线不在平面上（ C ）不平行也不垂直（ D ）直线在平面上2、 lim3xy（）x 0 2xy 1 1y 0（ A ）不存在 （ B ） 3 （ C ） 6（ D ）3、函数 zf ( x, y) 的两个二阶混合偏导数2 z及2z在区域 D 内连续是这两个二阶混合x yy x偏导数在 D 内相等的（）条件 .（ A ）必要条件（ B ）充分条件（ C ）充分必要条件 （ D ）非充分且非必要条件4、设d4 ，这里 a 0 ，则 a =（）x 2y 2a（ A ） 4 （ B ） 2（ C ） 1（ D ） 0 5、已知 x ay dxydy 为某函数的全微分，则a （）xy 2（ A ） -1（B ） 0（ C ） 2（ D ）16、曲线积分x 2ds （），其中 L :x 2 y 2 z 210.Ly 2z 2z 1（ A ）（ B ）2（ C ）3（ D ）455557、数项级数a n 发散，则级数ka n （ k 为常数）（）n 1n 1（A ）发散 （ B ）可能收敛也可能发散（C ）收敛（ D ）无界 8、微分方程 xyy 的通解是（ ）（A ） y C 1 x C 2 （B ） y x 2 C（C ） yC 1 x 2C 2（ D ） y1 x2 C2二、填空题（每空 4 分，共 20 分）1、设 ze sin xy ，则 dz。
2 2 22、交换积分次序：0 dx eydy = 。
x3、设 L 是任意一条光滑的闭曲线，则2xydxx 2 dy =。
L4、设幂级数a n x n 的收敛半径为 3，则幂级数na n x 1 n 1 的收敛区域为。
n 0n 15、若 M x, y dx N x, y dy 0 是全微分方程，则函数M 、N 应满足。
三、计算题（每题 8 分，共 40 分）1、求函数 z ln x y 2 的一阶和二阶偏导数。
2、计算xyd ，其中 D 是由抛物线 y 2x 即直线 yx 2 所围成的闭区域。
D3、计算2 x y 4 dx 5 y 3x 6 dy, 其中 L 为三顶点分别为 0,0 、3，0 、3，2 的三角形L正向边界。
4、将 arctan x 展开成 x 的幂级数。
5、求微分方程x y 1 dxe yx dy 0 的通解。
四：应用题 （16 分）求由旋转抛物面 zx 2 y 2 和平面 z a 2 所围成的空间区域的体积。
模拟试卷二――――――――――――――――――――――――――――――――――注意：答案请写在考试专用答题纸上，写在试卷上无效。
（本卷考试时间100 分）一、单项选择题（每小题 2 分，共 20 分）1.点 ( 4,3,5) 到Ox轴的距离d＝()．(A)42( 3)252(B) ( 3)252(C) ( 3)242(D)42522. 下列方程中所示曲面是单叶旋转双曲面的是（） .（A）x2y 2z21（B）x2y 24z（C）x2y 2z21（D） x 2y 2z2149163.二元函数z ln4arcsin1的定义域是 ( ).2y22y2x x（A）1x 2y2 4 ；（ B）1 x2y2 4 ；（C）1x 2y2 4 ；（ D）1 x2y2 4 .4. f x (x0 , y)( ).（A）lim fx0x, y 0f x0 , y 0（ B）lim f x0x, y 0f x0 , y 0x0x x0x（C）lim f x0x, y 0 f x, y（ D）lim f x0x, y f x0 , y 0x0x x x5.已知二重积分dxdy1，则围成区域Ｄ的是（）．D(A)| x |1， | y |1(B)x 轴，y轴及 2x y2023(C)x 轴，x 2 及 y x(D)x y1， x y16.设 I(x2y2 )dxdy，其中 D 由x2y2a2所围成，则I=().D(A)2d a2 rdr a 4(B)2a rdr1 a 4 0a d r 200022(C)2d a2 dr a 3(D)2a2adr2 a 4 0r d a03007. 若 L 是上半椭圆 x a cost ,ydx xdy 的值为 ().取顺时针方向 , 则y b sin t ,L(A)0(B)ab (C)ab(D)ab28. 设 a 为非零常数 , 则当 ( )时 , 级数an 收敛 .n 1 r(A) | r | | a |(B)| r | | a |(C) | r | 1 (D)| r | 19.lim u n 0 是级数u n收敛的 ()条件 .nn 1(A) 充分(B) 必要(C) 充分且必要(D) 既非充分又非必要10. 微分方程 y y0 的通解为 __________.(A) y cos x c(B) y c 1 cos x c 2(C)y c 1 c 2 sin x(D)yc 1 cos x c 2 sin x二、填空题 （每小题 3 分，共 15 分）1.已知平行四边形 ABCD 的两个顶点 A( 2 , 3 , 5 ) , B( 1 , 3 , 2 ) 的及它的对角线的交点E( 4 , 1 , 7 ) ，则顶点D 的坐标 为 _________２. 设 ai j2k， bi 2 j k ，则 a b = ____33. 设 zarctan y, 则2z________x x y4. 若正项级数n 1 u n 的后项与前项之比值的极限等于，则当 ________时，级数必收敛．5. 幂级数x x 2x n的收敛区间是．22 42 4(2n)三、计算题 （每小题 10 分，共 50 分）1. 求函数 f (x, y)x 3 y 3 3 (x 2 y 2 ) 的极值点，并求极值 .2. 计算x 2 e y 2dxdy ，其中 D 是以（ 0,0），（1,1），（ 0,1）为顶点是三角形区域 .D３. 计算12 ds ，其中为曲线： x etcost ， y t t 2y2ze sin t ， z e (0 t 2)．x4.利用逐项求导或逐项积分 ,求下列级数的和函数：x3x5x2n1x52n.315.求微分方程满足已给初始条件的特解：y'e2x y， y |x 00 .四、应用题与证明题（第 1 小题 13 分，第 2 小题 12 分，共 25 分）1. 求球面x2y 2z2a2 (a 0) 被平面 z a与za所夹部分的面积。
422.证明曲面xyz m ( m 0) 上任一点处切平面与三个坐标面所围成四面体的体积为常数.模拟试卷三――――――――――――――――――――――――――――――――――注意：答案请写在考试专用答题纸上，写在试卷上无效。
（本卷考试时间100 分）一、单项选择题（每小题 2 分，共 20 分）1.若 a ，b为共线的单位向量，则它们的数量积 a b（） .（A） 1（B） -1（ C） 0（ D）cos(a, b)2.设平面方程为Bx Cz D0，且 B , C , D0 ，则平面（） .（A）平行于x轴（ B）垂直于x 轴（ C）平行于y轴（D）垂直于y轴3.设 f ( x, y)( x2y 2 ) sin21y2,x2y 20(0,0) 处 f (x, y) ( ).x, 则在原点0,x 2y 20(A)不连续 (B)偏导数不存在(C)连续但不可微(D)可微4.二元函数 z3( x y)x 3y3的极值点是( ).(A) (1,2)(B) (1，-2) (C) (1,-1)(D) (-1,-1)5. 设 D 为 x 2y 2 1 , 则1dxdy=（ ） .D1 x 2y 2(A) 0(B)(C)2(D)41 1 x f ( x , y ) dy =( )6.dx 0(A)1 x 1f ( x , y ) dx(B)1 1 x0 dy 0dyf ( x , y ) dx1 1 y1 1(C)dyf ( x , y ) dx(D)dyf ( x , y ) dx7.x a cost ,取顺时针方向 , 则 ydxxdy 的值为 ( ).若 L 是上半椭圆yb sin t ,L(A) 0(B)ab(C)ab(D)ab28. 下列级数中 , 收敛的是 ( ).(A)( 5)n 1(B)( 4)n 1(C)(1)n 1 ( 5 )n 1(D)(54) n 1n 1 4n 1 5n 14n 1 459. 若幂级数a n x n 的收敛半径为 R 1 ： 0 R 1，幂级数b n x n 的收敛半径为 R 2 ：n 0n 00 R 2，则幂级数( a n b n ) x n 的收敛半径至少为 ()n 0(A) R 1 R 2 (B)R 1 R 2 (C) max R 1 , R 2 (D) min R 1 , R 210. 方程 xy x 2y 2y 是().(A) 齐次方程(B)一阶线性方程 (C)伯努利方程 (D) 可分离变量方程二、填空题 （每小题 3 分，共 15 分）1. 平行四边形二边为向量a{1, 3,1} ， b { 2, 1,3} ，则其面积 S =.2. 通过点 ( 3 , 0 , 1) 且与平面 3x 7 y 5z12 0 平行的平面方程为．3. 设 zln tan x，则 z_________．y y4. 曲线 xt , y1 t, z t 2 在对应于 t 1 的点处切线方程为 ______________；1 tt5. 设闭区域 D 由分段光滑的曲线 L 围成,函数P( x, y)及Q ( x, y)在 D 上具有一阶连续偏导数,则有Pdx Qdy ________________；L三、计算题（每小题 10 分，共 50 分）1.设z x ln( xy), 求3 z．x y 22.求e x y d, 其中D是由x y 1 所确定的闭区域．D3.计算(x2y)dx(x sin2y)dy ，其中 L 是在圆周： y2x x2上由点(0,0)到点(1,1)L的一段弧．4.将函数 y(1 x)ln(1x) 展开成x的幂级数,并求展开式成立的区间．5.求下列微分方程的通解：cos 2 xdyy tan x.dx四、应用题（第 1 小题 13 分，第 2 小题 12 分，共 25 分）1.在平面xoy 上求一点,使它到x0, y 0 及 x 2 y 160 三直线的距离平方之和为最小.2.求由曲面z x 2 2 y2及z 6 2x2y 2所围成的立体的体积. 、模拟试卷四――――――――――――――――――――――――――――――――――注意：答案请写在考试专用答题纸上，写在试卷上无效。
