第三章 稳态导热

条件:一维、稳 态、常物性、 无内热源
t
q

xc
代入边界条件：
q t w1 t w 2
两种方法结 论完全一致
tw1
t


t w1 t w 2

(w / m )
2
tw2
A
t w1 t w 2


t w1 t w 2
A
( w)
o
q

tw1

t w2
2. 多层大平壁
由几层不同材料组成 • 假设：各层之间接触良好，可以近似地
认为接合面上各处的温度相等
应用热阻的概念：
q t w1 t w 2
1 1
q
t w 2 t w3
2 2 3 3
q
t w3 t w 4
q
1 2 3 1 2 3
(W / m 2 )
t w1 t w 4
球坐标系：
t 1 1 t 1 t 2 t c 2 (r ) 2 2 ( ) 2 ( sin ) r r r r sin r sin
1. 单层长圆筒壁
假设单管长度为L，圆筒壁的外半径小于长度
的1/10时，且管子的内外壁又保持均匀温度时,
已知： (1)矩形直肋 (2)肋根t0，且t0 > tf (3)第 三 类 边 条 : h, tf . (4)稳态: λ=常量 确定： 温度场t 和热流量
分析假设：
1 ）肋宽L>>δ(肋厚),l(肋高), 即在垂直于纸面方向 ( 即深度方 向 ) 很长，不考虑温度沿该方向 的变化; 2）表面上的换热热阻 1/h 远大于肋片的导 热热阻 δ /λ (即λ大)，可近似认为温度 沿厚度方向也不变.
ql t 1 21 ln d d2 1 ln 3 d1 22 d 2
因为温差一定,只要比较两种方案的热 阻大小即可得出结论. 1）A在里层，B在外层
d3 d2 1 Rl 1 ln ln 2A d1 2B d 2 1 1 1 60 1 90 ( ln ln ) 2 0.04 30 0.1 60 3 .4 ( m K / W )
tw2 o
代入边界条件，即
t
t w 2 t w1
t w2 t w1 c1 c2 t w1

x t w1
线性 分布
t
代入傅立叶定律:
q t w1 t w 2
tw1


t w1 t w 2

(w / m2 )
o
tw2
A
t w1 t w 2
b 2 2 0 [(t w 2 t w1 ) (t w 2 t w1 ) 2 t w 2 t w1 b 0 [1 (t w1 t w 2 )] 2 b 0 (1 t ) 2
§ 3-2 通过圆筒壁和球壁的导热
柱坐标系：
t 1 t 1 t t c (r ) 2 ( ) ( ) r r r r z z
即肋片上任意截面上的温度均匀不变。

t f ( x)
方法一：能量守恒＋Fourier law
能量守恒： Φx Φx dx Φc (1) dt Φx AL ( 2) dx dΦx Φx dx Φx dx dx dt d 2t AL AL dx 2 dx dx
第三章 稳态导热
稳态导热:
直角坐标系:
t 0
t t t 0 ( ) ( ) ( ) x x y y z z
§ 3-1 通过平壁的导热
1. 单层大平壁
已知条件: 1)
t t
x 0 x
t w1 const. t w 2 const.
分离变量：
dr dt 2l r
积分，得：
t
2l
ln r c
对数 曲线
代入边界条件：
t w1 tw2 2l ln r2 c 2l ln r1 c
t w2 t w1 t t w1 ln(r r1 ) ln(r2 r1 )
积分，得
1 2 0 (t bt ) qx c 2
二次曲 线方程
代入边界条件，得
q
t w1 t w 2

1 0 1 b(t w1 t w2 ) 2 (w / m2 )

t w1 t w 2


tw 2
t w1
b 2 tw 2 0 (1 bt)dt 0 (t t ) tw1 2 t w 2 t w1 t w 2 t w1
已知条件: 1)第一类边条（不变）
0 2)无内热源: 但导热系数: (1 bt) 0 3)稳态: = const.(A不变,q =const.
应用傅立叶定律，有 分离变量，得
dt dt q 0 (1 bt ) dx dx
0 (1 bt)dt qdx
t w1 t w 4 R1 R 2 R 3
n层平壁的通式： q t1 t n 1
i i 1 i
n
问：当已经知道了q、 t1、tn+1，如何计算中 间接触层的壁温？

t1 t n 1
R
i 1
n
i
例1：一双层玻璃窗，高2m，宽1m，玻璃厚 3mm，玻璃的导热系数为0.5w/m.k。双层 玻璃间的空气夹层厚度为5mm，夹层中的空
(3)
肋片横截面积 AL=L
Φc h (U dx) (t t f )
(4)
肋片截面周长 将式(2)、(3)、(4)代入式(1),并整理得： U=2（L+）

d 2t hU (t t f ) 0 (5) 2 dx AL
关于温度的二阶非 齐次常微分方程
引入过余温度 t t f
( w / m)
Hale Waihona Puke 例:某管道的外径为30mm，准备包两层厚度都 是15mm的不同材料的热绝缘层。A种材料的导 热系数为0.04w/(m.K),B种材料的导热系数为 0.1w/(m.K)。若温差一定，试问从减少热损 失的观点看下列两种方案：1）A在里层，B在 外层；2）B在里层，A在外层。哪一种好？ 解: 应用多层圆筒壁传热量计算式有
§3-3 通过肋片的导热
Φ 1 1 h1 A A h2 A tf1 tf 2 (w)
增加传热量的措施：
（1）增加温差（tf1 - tf2），但受工艺条件限制。 （2）减小热阻：
a) 若为金属薄壁， 很小、热导率很大，故导热热阻 一般可忽略；
b) 增大h1、h2，提高h1、h2并非任意的； c) 增大换热面积A 也能增加传热量。
2）B在里层，A在外层
Rl 2 1 2B ln d d2 1 ln 3 d1 2A d 2
1 1 60 1 90 ( ln ln ) 2 0.1 30 0.04 60
2.72(m K / W )
即 故： Rl 1 Rl 2 ql 1 ql 2
由计算可见:采用方案1）更 好,即保温性能好的材料应放 在里层。
A (t w1 t w4 )

2 1 (15 5) 94.3(W ) 0.003 0.005 0.003 0.5 0.025 0.5
2）单层玻璃单位面积的导热热阻
R1
1 0.003 0.006(m2 K / w) 1 0.5
空气夹层的导热热阻：
2 0.005 R 2 0.2(m2 K / w) 2 0.025
就可以当长圆筒壁处理。即:t=f(r)
已知条件: 1)
t t
r r1 r r2
t w1 const. t w2 const.
2)无内热源: 0
常热物性: =const. 3)稳态: = const.(A沿r变化,q = ？)
由傅立叶定律：
dt dt A 2rl dr dr
工程上，经常采用肋片（或翅片）来强化 传热。
本节将讨论等截面直肋的导热
肋片导热特点：在肋片伸展的方向上表面 有对流换热及辐射散热， 肋片中沿导热 热流传递方向上热流量是不断变化的。即： Φ≠const. 。 肋片导热需解决的问题 ： 1）肋片的温度沿导热热流传递 的方向是如何变化的？ 2）通过肋片的散热量有多少？
气完全静止，空气的导热系数为0.025w/m.k。 如果测得冬季室内外玻璃表面温度分别为 150C和50C。
试求：1）玻璃窗的散热损失； 2）比较玻璃与空气夹层的导热热阻；
3）采用单层玻璃窗的散热损失。
1 2 3
解：1）这是一三层平壁的稳态导热问题。

1 2 3 1 2 3
0
e
m(l x )
e ml ml e e
m(l x )
ch[m(l x)] 0 ch(m l)
(7)
则肋端的过余温度为
令
hU m const. AL
dt 0 dx
d 2 2 则式(5)变成： m 2 dx
(6)
方程的通解为： c1e mx c2 e mx 边界条件：
x 0 时， ＝ 0＝t0 t f d 0 x l 时， dx
应用边界条件可得： e ml e ml c1 0 ml c2 0 ml ml e e e e ml x x e e 最后可得等截面内的温度分布： ch ( x) 2


t w1 t w 2
A
( w)
使用条件：一维、 稳态、常物性、 无内热源