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传热学第三章-非稳态导热-1
的温度。
t0
t0
t 2
1/h<</
t0
t
t
2
2
/<<1/h
1/h~/
把导热热阻与换热热阻相比可得到一个无因次的数，
称之为毕奥数，即
Bi / h
1/ h
那 么 ， 上 述 三 种 情 况 则 分 别 对 应 着 Bi<<1 、 Bi1 和
Bi>>1。
毕奥数是导热分析中的一个重要的无因次准则，它表 征了给定导热系统内的导热热阻与其和环境之间的换 热热阻的对比关系。
这也是正常的第三类边界条件
(b) (c) t t∞
曲线（c）表示平板外环境的换热
热阻 1/ h 远小于平板内的导热 热阻 / , 即 1/ h /
(a)
x
0
x
从曲线上看，物体内部温度变化比较大，而环境与物体
边界几乎无温差，此时可用认为 tw t 。那么，
边界条件就变成了第一类边界条件，即给定物体边界上
（3）表面换热Biblioteka 数很小。3-2-2 温度分布
一个集总参数系统，其体积为V、表面积为A、密度为、 比热为c以及初始温度为t0，突然放入温度为t、换热系 数为h的环境中。
根据能量守恒要求，单位时间物体热力学能的变化量应
该等于物体表面与流体之间的对流换热量
Vc dt d
hA(t
t)
A
引入过余温度： t t
3-1-1 温度分布
一平壁初始温度为t0 ，令其左侧表面的温度突然升 高到t1，右侧与温度为 t0 的空气接触。
首先，物体紧挨高温表面的部分温度上升很快，经 过一定时间后内部区域温度依次变化，最终整体温度分 布保持恒定，当为常数时，最终温度分布为直线。
t0
t0
t 2
1/h<</
t0
t
t
2
2
/<<1/h
1/h~/
把导热热阻与换热热阻相比可得到一个无因次的数，
称之为毕奥数，即
Bi / h
1/ h
那 么 ， 上 述 三 种 情 况 则 分 别 对 应 着 Bi<<1 、 Bi1 和
Bi>>1。
毕奥数是导热分析中的一个重要的无因次准则，它表 征了给定导热系统内的导热热阻与其和环境之间的换 热热阻的对比关系。
这也是正常的第三类边界条件
(b) (c) t t∞
曲线（c）表示平板外环境的换热
热阻 1/ h 远小于平板内的导热 热阻 / , 即 1/ h /
(a)
x
0
x
从曲线上看，物体内部温度变化比较大，而环境与物体
边界几乎无温差，此时可用认为 tw t 。那么，
边界条件就变成了第一类边界条件，即给定物体边界上
（3）表面换热Biblioteka 数很小。3-2-2 温度分布
一个集总参数系统，其体积为V、表面积为A、密度为、 比热为c以及初始温度为t0，突然放入温度为t、换热系 数为h的环境中。
根据能量守恒要求，单位时间物体热力学能的变化量应
该等于物体表面与流体之间的对流换热量
Vc dt d
hA(t
t)
A
引入过余温度： t t
3-1-1 温度分布
一平壁初始温度为t0 ，令其左侧表面的温度突然升 高到t1，右侧与温度为 t0 的空气接触。
首先，物体紧挨高温表面的部分温度上升很快，经 过一定时间后内部区域温度依次变化，最终整体温度分 布保持恒定，当为常数时，最终温度分布为直线。
传热学第3章非稳态导热PPT课件
x x h Bi
2）毕渥数Bi对温度分布的影响
O( / Bi, 0)
2）毕渥数Bi对温度分布的影响
§3.2 集中参数法分析导热问题
当物体内部导热热阻远小于其表面的换热热阻， 也就是物体内部温度分布几乎趋于一致，可以近似 认为物体内部在同一瞬间均处于同一温度下。 此时 Bi h 0
对于任意形状的物体当Bi<0.1， 0.95 物体内部的过余温度与其表面的过m 余温度之比为 0.95。其内部热阻就可忽略，从而采用集中参数 法。
物体的温度随时间的变化关系是一条负 自然指数曲线，或者无因次温度的对数
0
与时间的关系是一条负斜率直线。
e
A cV
e
(V
A
)•(VaA
)2
e Bi •Fo
0
其中V/A具有长度的量纲，称为特征长度。
（2）导热量的计算
cV hA 称为系统的时间常数，记为s。
时间常数是反应物体对流体温度变动响应快慢的指标。它 取决于自身的热容量ρcv及表面换热条件hA。热容量越大， 温度变化得越慢；表面换热条件越好单位时间内传递的热 量越多，则越能使物体自身温度迅速接近流体温度。
突然把两侧介质温度降低 为 t并保持不变；壁表 面与介质之间的表面传热 系数为h。
两侧冷却情况相同、温度 分布对称。中心为原点。
3.3 无限大平壁非稳态导热
导热微分方程：
t 2t
a x2
初始条件： 0, t t 0
边界条件： (第三类)
x 0, t x 0
x
,
- t
x
h(t
t )
对于圆柱体和球体在第三类边界条件下的一维非
稳态导热问题，也可以求得温度分布的分析解。
3传热学-第三章
2019/2/22
2
3 温度分布
（1）左侧壁面温度突然升高到t1，并保持不变
t
1
4 3
2
1
t
0
0
2019/2/22
3
（2）今有一无限大平板，突 然放入加热炉中加热，平板受 炉内烟气环境的加热作用，其 温度就会从平板表面向平板中 心随时间逐渐升高，其内能也 逐渐增加，同时伴随着热流向 平板中心的传递。
Φ f(x, y, z, )
(2) 非稳态导热的导热微分方程式：
t t t t c ( ) ( ) ( ) x x y y z z
(3) 求解方法： 分析解法、近似分析法、数值解法
2019/2/22
7
7
毕渥数
t
本章以第三类边界条件为重点。 已知：平板厚 2 、初温 t 0 、表面 传热系数 h 、平板导热系数 ， 将其突然置于温度为 t 的流体中 冷却。
t c
hA(t t ) V
dt hA(t t ) - Vc d
2019/2/22
初始条件
0, t t0
13
令： t t — 过余温度，则有
控制方程 hA - Vc d d ( 0) t t 初始条件 0 0
16
2019/2/22
hA 即 与 1 的量纲相同，当 Vc 时，则 Vc hA
2019/2/22
10
Bi 准则对温度分布的影响
0
t t0 0
3
2
1
t t0 0
1 0
t t0
1 0
2 1 2 1
传热学第三章 非稳态导热
Bi hl ≤0.1
时、物体中最大与最小的过余温度之差小于5%，对于一 般工程计算，此时已经足然特确地可以认为整个物体温度 均匀。按照这样要求，由于l=V/A对圆柱有球分别是半轻 的1/2与1/3、因而如果以l作为Bi数的特征长度，则该Bi数 对平板、国柱与球应该分别小于0.1、0.05和0. 033。
方程中指数的量纲：
hA
W m2K
m2
w1
Vc
kg m3
Jkg K
[
m3
]
J
s
第三章 非稳态导热
9
即与 1 的量纲相同，当 Vc 时，则
hA
hA
1 Vc
此时，
e1 36.8%
0
称
Vc
hA
为时间常数，用 c 表示。
第三章 非稳态导热
10
如果导热体的热容量（ Vc ）小、换热条件好（h大），
有一直径为 5cm 的钢球，初始温度为 450 ℃，将其突然置 于温度为 30 ℃空气中。设钢球表面与周围环境间的总换热 系数为 24w/（m2 . K），试计算钢球冷却到 300 ℃所需的 时间。已知钢球的 c=0.48kJ/(kg·K ) , ρ =7753kg/m3 , λ =33w/(m. K ).
Fo
l2
a
换热时间 边界热扰动扩散到l 2面积上所需的时间
无量纲 热阻
Fo越大，热扰动就能越深入地传播到物体 内部，因而，物体各点地温度就越接近周
围介质的温度。
无量纲 时间
第三章 非稳态导热
12
对于平板、圆柱、球的一维非稳态第三类边界条件条件下 的导热问题，当按特征长度
l= 、厚度为2 的平板，
l=R、圆柱 l=R.球 定义的Bi数满足
时、物体中最大与最小的过余温度之差小于5%，对于一 般工程计算，此时已经足然特确地可以认为整个物体温度 均匀。按照这样要求，由于l=V/A对圆柱有球分别是半轻 的1/2与1/3、因而如果以l作为Bi数的特征长度，则该Bi数 对平板、国柱与球应该分别小于0.1、0.05和0. 033。
方程中指数的量纲：
hA
W m2K
m2
w1
Vc
kg m3
Jkg K
[
m3
]
J
s
第三章 非稳态导热
9
即与 1 的量纲相同，当 Vc 时，则
hA
hA
1 Vc
此时，
e1 36.8%
0
称
Vc
hA
为时间常数，用 c 表示。
第三章 非稳态导热
10
如果导热体的热容量（ Vc ）小、换热条件好（h大），
有一直径为 5cm 的钢球，初始温度为 450 ℃，将其突然置 于温度为 30 ℃空气中。设钢球表面与周围环境间的总换热 系数为 24w/（m2 . K），试计算钢球冷却到 300 ℃所需的 时间。已知钢球的 c=0.48kJ/(kg·K ) , ρ =7753kg/m3 , λ =33w/(m. K ).
Fo
l2
a
换热时间 边界热扰动扩散到l 2面积上所需的时间
无量纲 热阻
Fo越大，热扰动就能越深入地传播到物体 内部，因而，物体各点地温度就越接近周
围介质的温度。
无量纲 时间
第三章 非稳态导热
12
对于平板、圆柱、球的一维非稳态第三类边界条件条件下 的导热问题，当按特征长度
l= 、厚度为2 的平板，
l=R、圆柱 l=R.球 定义的Bi数满足
传热学第3章非稳态导热
对于一个特征数，应该掌握其定义式＋物理意义，以及定义式中各个参数的意义。
2019/8/31 - 8 -
第3章 非稳态导热——§3-1 非稳态导热的基本概念
Bi r h
rh
1h
当 Bi 时， r rh ，因此，可以忽略对流换热热阻 当 Bi 0 时， r rh ，因此，可以忽略导热热阻
第三章 非稳态导热
第3章 非稳态导热
§3-1 非稳态导热的基本概念 §3-2 零维问题的分析法——集中参数法 §3-3 典型一维物体非稳态导热的分析 §3-4 半无限大物体的非稳态导热 §3-5 简单几何形状物体多维非稳态导热的解析解
2019/8/31 - 2 -
第3章 非稳态导热——§3-1 非稳态导热的基本概念
3、工程上几种典型非稳态导热过程温度变化率的数量级
2019/8/31 - 3 -
第3章 非稳态导热——§3-1 非稳态导热的基本概念
着重讨论瞬态非稳态导热
4、温度分布：
t
开始的一段时间，物体内部温度变化一层
层逐渐深入到内部，温度变化速度不一样，反映 到吸热量上，吸热量不一样。
t1 P
金属壁 保 温 层
BiV
FoV
BiV
h(V
A)
FoV
a
(V A)2
2019/8/31 - 12 -
第3章 非稳态导热——§3-2 集中参数法
BiV
h(V
A)
FoV
a
(V A)2
FoV 是傅立叶数
0
exp(
hA
cV
)
exp( BiV
2019/8/31 - 8 -
第3章 非稳态导热——§3-1 非稳态导热的基本概念
Bi r h
rh
1h
当 Bi 时， r rh ，因此，可以忽略对流换热热阻 当 Bi 0 时， r rh ，因此，可以忽略导热热阻
第三章 非稳态导热
第3章 非稳态导热
§3-1 非稳态导热的基本概念 §3-2 零维问题的分析法——集中参数法 §3-3 典型一维物体非稳态导热的分析 §3-4 半无限大物体的非稳态导热 §3-5 简单几何形状物体多维非稳态导热的解析解
2019/8/31 - 2 -
第3章 非稳态导热——§3-1 非稳态导热的基本概念
3、工程上几种典型非稳态导热过程温度变化率的数量级
2019/8/31 - 3 -
第3章 非稳态导热——§3-1 非稳态导热的基本概念
着重讨论瞬态非稳态导热
4、温度分布：
t
开始的一段时间，物体内部温度变化一层
层逐渐深入到内部，温度变化速度不一样，反映 到吸热量上，吸热量不一样。
t1 P
金属壁 保 温 层
BiV
FoV
BiV
h(V
A)
FoV
a
(V A)2
2019/8/31 - 12 -
第3章 非稳态导热——§3-2 集中参数法
BiV
h(V
A)
FoV
a
(V A)2
FoV 是傅立叶数
0
exp(
hA
cV
)
exp( BiV
传热学第三章(1)
•实际上，Bi不可能是零，但当Bi小到一定程度，就可以认
为t=f()。
•集总参数法（lumped method 或 heat conduction with negligible internal resistance) 忽略物体内部导热热阻的简化分析方法。
1. 物理问题
常物性、 Bi 0 、h=const. 求t=f()
h1A1(tf1-tw1)=h2A2(tw2-tf2) 以后为稳态导热 穿透时间： 穿透深度：
2. Biot准则
定义： Bi= h /= ( /)/(1/h) 特征尺度 厚度、半径
物理意义： 内部导热热阻与表面对流热阻之比。 表征换热过程中各点温度趋于一致的能力
准则数（特征数）：
表征某一类物理现象或物理过程特征的无量纲 数
1.07 103 1.89 103
exp 2.02 0.133
即经5min后温度计读数的过余温度的确13.3%.也就是说,在这 段时间内温度计的读数上升了这次测量中温度跃升的86.7%
例题3-3 一直径为5cm,长为30cm的钢圆柱体,初始温度为300C,将其 放入炉温为12000C的加热炉中加热,升温到8000C方可取出.设钢圆柱 体与烟气间的复合换热表面传热系数为140W/(m2.K),钢的物性参数 取与例3-1中一样的值,问需多少时间才能达到要求。
10.36
1.07 103
0.05
可以用集总参数法. 时间常数为
c
cV
hA
13110
138 0.953 10 3 11.63
148 s
F0V
a
V A2
c
V A2
10.36
0.138103 13110
5 60 0.953103
为t=f()。
•集总参数法（lumped method 或 heat conduction with negligible internal resistance) 忽略物体内部导热热阻的简化分析方法。
1. 物理问题
常物性、 Bi 0 、h=const. 求t=f()
h1A1(tf1-tw1)=h2A2(tw2-tf2) 以后为稳态导热 穿透时间： 穿透深度：
2. Biot准则
定义： Bi= h /= ( /)/(1/h) 特征尺度 厚度、半径
物理意义： 内部导热热阻与表面对流热阻之比。 表征换热过程中各点温度趋于一致的能力
准则数（特征数）：
表征某一类物理现象或物理过程特征的无量纲 数
1.07 103 1.89 103
exp 2.02 0.133
即经5min后温度计读数的过余温度的确13.3%.也就是说,在这 段时间内温度计的读数上升了这次测量中温度跃升的86.7%
例题3-3 一直径为5cm,长为30cm的钢圆柱体,初始温度为300C,将其 放入炉温为12000C的加热炉中加热,升温到8000C方可取出.设钢圆柱 体与烟气间的复合换热表面传热系数为140W/(m2.K),钢的物性参数 取与例3-1中一样的值,问需多少时间才能达到要求。
10.36
1.07 103
0.05
可以用集总参数法. 时间常数为
c
cV
hA
13110
138 0.953 10 3 11.63
148 s
F0V
a
V A2
c
V A2
10.36
0.138103 13110
5 60 0.953103
传热学-第三章(3-1)
着重讨论瞬态非稳态导热 温度分布： 3 温度分布： 设有一平壁，其初 t 设有一平壁， 始温度为t 始温度为t0，令其 左侧温度突然升高 并保持不变， 到t1，并保持不变， t 而右侧仍与
H
1
δ
τ4 τ3
τ2
τ1
A
0
B
B’
D
τ0
温度为t 的空气接触， HBD、 温度为t0的空气接触，平板上温度的变化如图HBD、 HCD、HE、 最终达到稳态时，温度分布保持恒定， HCD、HE、HF，最终达到稳态时，温度分布保持恒定， 如曲线HG。
故非稳态物体的温度分布又可表示为： 故非稳态物体的温度分布又可表示为：
θ =e θ0
−
hA τ ρ cV
=e
−
τ τc
当 τ=
ρVc
hA
= τc
时，则
hA τ⋅ = 1 此时， ρVc
θ = e−1 = 36.8% θ0
上式表明： 上式表明：当传热时间等于时间常数 时，物 hA 体的过余温度已经达到了初始过余温度的36.8 36.8％。 体的过余温度已经达到了初始过余温度的36.8％。 即变化了63.2 即变化了63.2％ ρVc θ 当 τ =4 时， =1.83% hA θ0 工程上认为τ =4
λ
>>
1 h
2）当 rλ << rh
δ 1 << 时， λ h
，因此，可以忽略导热热阻 因此，
此时 Bi → 0 因而过程任一 时刻平板中各点的温度接 近均匀， 近均匀，并随着时间的推 温度整体下降， 移，温度整体下降，逐渐 趋于 t∞ 。 3） 当 与
0 < Bi < ∞
1 h
非稳态传热_传热学.完整资料PPT
二类非稳态导热的区别：瞬态导热存在着有区别 的三个不同阶段，而周期性非稳态导热不存在。
t
四、边界条件对温度分布的影响 tf
一大平壁置于高温环境中。
h
tf h
问题的分析： 存在两个传热环节：
0
x
1、 流体与物体表面的对流换热
2、 物体内部的导热
r
rh 1 h
rh
r
tf
tw
tm
t
存在3种情况：
（a） r rh ,h /
(a)
（b） rh r ,h / 1
(b)
（c） r rh,h / 0
(c)
x
上述两个热阻的相对大小对于物体中非稳态导热的温度场的变化具有重
要影响。为此，引入表征这两个热阻比值的无量纲数毕渥数：
1）定义： Bi h 1h
2）物理意义： 导热系统内导热热阻与其和环境之 间的对流换热热阻的相对大小。
0 t0 t
温度分布
其中的指数：
hA cV
hV
A
A2 V 2c
h(V
A)
a
(V A)2
Biv
Fov
Biv
h(V
A)
Bi h
Fov (V
A)2
/
a
换热时间 热扰动扩散到(V A)2面积所用的时间
t t
hA
e vc eBivFov
0 t0 t
瞬态热流量：
hA
h A h A0 e vc
（3）结果适于冷却情况。
0 t t 当几何形状和边界条件都比较简单时可以获得分析解。
例1：一大平壁置于高温环境中
0 0
初始条件
c
c c c
t
四、边界条件对温度分布的影响 tf
一大平壁置于高温环境中。
h
tf h
问题的分析： 存在两个传热环节：
0
x
1、 流体与物体表面的对流换热
2、 物体内部的导热
r
rh 1 h
rh
r
tf
tw
tm
t
存在3种情况：
（a） r rh ,h /
(a)
（b） rh r ,h / 1
(b)
（c） r rh,h / 0
(c)
x
上述两个热阻的相对大小对于物体中非稳态导热的温度场的变化具有重
要影响。为此，引入表征这两个热阻比值的无量纲数毕渥数：
1）定义： Bi h 1h
2）物理意义： 导热系统内导热热阻与其和环境之 间的对流换热热阻的相对大小。
0 t0 t
温度分布
其中的指数：
hA cV
hV
A
A2 V 2c
h(V
A)
a
(V A)2
Biv
Fov
Biv
h(V
A)
Bi h
Fov (V
A)2
/
a
换热时间 热扰动扩散到(V A)2面积所用的时间
t t
hA
e vc eBivFov
0 t0 t
瞬态热流量：
hA
h A h A0 e vc
（3）结果适于冷却情况。
0 t t 当几何形状和边界条件都比较简单时可以获得分析解。
例1：一大平壁置于高温环境中
0 0
初始条件
c
c c c
东南大学传热学课件第三章 非稳态导热1
δ /λ
第二节 集总参数法的简化分析
当固体内部的导热热阻远小于其表面换热热阻时， 固体内部的温度趋于一致，以至于可以认为整个 固体在同一瞬间均处于同一温度下。这时所要求 解的温度仅是时间的一元函数而与空间坐标无关， 就好像该固体原来连续分布的质量与热容量汇总 到一个点上，而只有一个温度值那样。这种忽略 物体内部导热热阻、认为物体内部温度均匀一致 集总参数法。显然，如果物体的 的分析方法称为集总参数法 集总参数法 导热系数很大，或几何尺寸很小，或表面换热系 数极低，这时其导热问题都可能属于这一类型的 非稳态导热问题。
对指数的分析
• 将指数做如下变换
h (V / A ) λ / ( ρ c ) h (V / A ) aτ hA = BiV FoV τ= τ= 2 2 ρ cV λ λ (V / A) (V / A)
• 温度分布表达式可表示为
ϑ t − t∞ = exp ( − BiV FoV ) ϑ0 t0 − t∞
用导热微分方程法解决集总参数问题
• 非稳态、有内热 源的导热微分方 程式为 • 由于物体内部的 导热热阻可以忽 略，温度与坐标 无关，所以式中 对坐标的导数项 为零。于是上式 简化为 & • 其中 Φ 应看成是广 义的热源 • 于是有
& ∂t λ ∂ 2t ∂ 2t ∂ 2t Φ = 2 + 2 + 2 + ∂τ ρ c ∂x ∂y ∂z ρ c
非稳态导热过程中热流密度的变化
• 在非稳态导热过程中通过各个截面的热流密度是 不相等的，而且是随时间的变化而变化的。 • 在整个非稳态导热过程中，通过无限大平板的热 流量也是不相等的，而且随着时间的推移平板内 的温度变化逐渐减小，热量变化也逐渐减小。经 过无限长时间后，板内各点温度趋于一致，此时 板内的热量变化也趋于零。图中的阴影部分就代 表了平壁升温过程中所积聚的能量，而正是这部 分能量改变了物体中的温度。
《传热学》第三章 非稳态导热
令：
—— 过余温度
使导热微分方程边界条件齐次化：
1.分离变量法求解导热微分方程：
对于此类偏微分方程，应采用分离变量法来进行求解： 假定：
代入导热微分方程，得出：
令：
并对两式分别求解
求解结果： 因φ 不可能是无限大或常数，所以只能有：μ <0，因而可令：
求解结果：
将两个求解结果合并，得到：
其中：
A c1c2 , B c1c3
集总热容体的温度分布：
其中：
L
V ——定型尺寸 A
cV
hA
——时间常数（表示物体温度接近流体温度的快慢）
集总热容体的温度分布亦可写成：
四、不同加热方式下的无限大平壁瞬态导热
t
qv
h, t f
h, t f
qw
qw
h, t f
h, t f
x
第三节 半无限大物体的瞬态导热
应用领域：大地 一、第一类边界条件
半无限大物体表面温度：
半无限大物体表热负荷：
——一定时间内将壁温提高至tw所需的热负荷
第四节 其他形状物体的瞬态导热
一、无限长圆柱体和球体——计算线图法 分无 布限 计长 算圆 步柱 骤温 度
计算Bi和Fo
由图3－13计算中心温度
由图3－14计算任意处温度 无限大平壁—— 半壁厚δ
定型尺寸
无限长圆柱体和球体—— 半径 R 其他不规则形状物体——V/A
或：
傅立叶准则——
二、正常情况阶段——Fo准则对温度分布的影响
对
进行收敛性分析： 随着β n的递增，级数中指数一项收敛很快，所以级数收敛很快，尤其当Fo较 大时，收敛性更加明显。 因此，当Fo>0.2时，仅用级数第一项来描述，已足够精确，即：
《传热学》第3章-非稳态导热
特殊多维非稳态导热的简易求解方法
在第一类边界条件（初始温度均匀）或第三类边界条件（表面 传热系数h为常数）下的二维或三维的非稳态导热问题，在数学 上已经证明，它们的无量纲过余温度的解等于构成这些物体的 两个或三个物体在同样边界条件下一维非稳态导热问题解的连 乘。
特殊多维非稳态导热的简易求解方法
对于无限长方柱 θ (x, y,τ ) = θ (x,τ ) ⋅ θ (y,τ )
该问题的解可以由3块相应的无限大平板的 解得出。最低温度发生在钢锭的中心，即3 筷无限大平板中心截面的交点上，最高温度 发生在钢锭的顶角，即3块大平板表面的公 共点上。
4
例题3 θ
m/B则θi x0钢==锭hλδ(1θ中=m心3/ 4θ温840×0度).05x.2⋅5(θ=
2.14
m/θ 0
)
y
⋅ (θ
无限大平板的非稳态导热
当Fo ≥ 0.2时，可取
θ (x,τ )
θ0
=
β1
2 sin β1 + sin β1 cos β1
cos
β
1
x δ
e − β12 ⋅Fo
只与Bi、x/δ有关， 与时间无关
lnθ
=
−mτ
+ lnθ 0
β1
2sin β1 + sinτ β1 cos β1
cos
= 0.36
短圆柱的中心温度为
查图3-6得 θ
再讨论直径为
m2R/θ=600=0m0m.8的无θ限m长/ θ圆0柱=：0.13
×
0.8
=
0.104
Bi = hR = 232 × 0.3 = 1.72 λ 40.5
tm = 0.104θ0 + t∞ 查附=2图0.11得04θ×m(3/θ00−=103.0103) +1300
传热学课件-第3章-非稳态导热分析解法精选全文
是与物体几何形状 有关的无量纲常数
对厚为2δ的 无限大平板
M 1
对半径为R的无 限长圆柱
M
1 2
对半径为R的 球
M 1 3
V A
AA
V R2 R
A 2R 2
V A
4 R3
3
4R 2
R 3
Biv Bi
Biv
Bi 2
Biv
Bi 3
对于一个复杂形体的形状修正系数时，可以将
修正系数M取为1/3，即 BiV 0.0333
由此可见，上述两个热阻的 相对大小对于物体中非稳态导热 的温度场的变化具有重要影响。 为此，我们引入表征这两个热阻 比值的无量纲数毕渥数。
Bi h 1h
1）毕渥数的定义：
Bi h 1h
毕渥数属特征数（准则数）。
2）Bi 物理意义： 固体内部单位导热面积上的导 热热阻与单位表面积上的换热热阻之比。Bi的大小
0
1
τ/τs
工程上认为= 4τc时导热体已达到热平衡状态
3 Bi F物o 理意义
hl l
Bi ＝
物体内部导热热阻
1 h 物体表面对流换热热阻
换热时间
Fo l2 a 边界热扰动扩散到l2面积上所需的时间
无量纲 热阻
无量纲 时间
Fo越大，热扰动就能越深入地传播到物体内部物体， 各点地温度就越接近周围介质的温度。
t(x, ) t — 过余温度
2
a
x2
0, t -t
0
0
x 0, 0
x , - x h x
采用分离变量法求解：
(, 0
)
n 1
Cn
exp(n2Fo) cos(n)
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0
x
远大于平板内的导热热阻 /, 即 1/h /
从曲线上看，物体内部的温度几乎是均匀的，这也就说物 体的温度场仅仅是时间的函数，而与空间坐标无关。我们 称这样的非稳态导热系统为集总参数系统（一个等温系统 或物体）。
曲线（a）表示平板外环境的换热热阻 1/ h
远大于平板内的导热热阻 / , 即
1/h /
下图表示一个大平板的加热过程，并画出在某一时刻的三 种不同边界情况的温度分布曲线（a）、（b）、（c）
(b) (c) t t∞
(a)
x
0
x
此图的实质，是表明在第三类边界条
(b) (c) t
件下可能的三种温度分布。
t∞
按照传热关系式 qttw twt (a)
1h
可作一近似的分析。
曲线（a）表示平板外环境的换热热阻1/ h x
这里， Fov 是傅立叶数。
考察指数项
hA cV
BViFoV
hl l
Bi
1h
＝ 物体内部导热热阻 物体表面对流换热热阻
无量纲 热阻
换 热 时 间
无量纲
F o l2a 边 界 热 扰 动 扩 散 到 l2 面 积 上 所 需 的 时 间 时间
Biv越小，表示内部热阻小或外部热阻大，则内部温度就
非稳态导热可分为
周期性非稳态导热 非周期性非稳态导热（瞬态导热）
周期性非稳态导热：在周期性变化边界条件下发生的导热过
程，物体温度按一定的周期发生变化。在周期性非稳态导热 的物体中，一方面，物体内各处的温度按一定的振幅随时间 周期性地波动；另一方面，同一时刻物体内的温度分布也是 周期性波动。
非周期性非稳态导热：在瞬间变化的边界条件下发生的导热
t0
t
t
2
2
/<<1/h
1/h~/
把导热热阻与换热热阻相比可得到一个无因次的数，
称之为毕奥数，即
Bi/ h
1/h
那 么 ， 上 述 三 种 情 况 则 分 别 对 应 着 Bi<<1 、 Bi1 和
Bi>>1。
毕奥数是导热分析中的一个重要的无因次准则，它表 征了给定导热系统内的导热热阻与其和环境之间的换 热热阻的对比关系。
(b) (c) t
从曲线上看，物体内部的温度几 t∞
乎是均匀的，这也就说物体的温
(a)
度场仅仅是时间的函数，而与空
间坐标无关。我们称这样的非稳 态导热系统为集总参数系统（一
x
0
x
个等温系统或物体）。
曲线（b）表示平板外环境的换热热阻 1/ h 相当于平
板内的导热热阻 /, 即 1/h/
这也是正常的第三类边界条件
3-2-2 温度分布
一个集总参数系统，其体积为V、表面积为A、密度为、 比热为c以及初始温度为t0，突然放入温度为t、换热系 数为h的环境中。
根据能量守恒要求，单流换热量
VcddthA(tt)
A
引入过余温度： t t
ΔΕ
Qc
cVd hA
ρ, c, V, t0
(b) (c) t t∞
曲线（c）表示平板外环境的换热
(a)
热阻 1/ h 远小于平板内的导热
热阻 / , 即 1/h/
x
0
x
从曲线上看，物体内部温度变化比较大，而环境与物体
边界几乎无温差，此时可用认为 tw t 。那么，
边界条件就变成了第一类边界条件，即给定物体边界上
的温度。
t0
t0
t 2
1/h<</
同一物体在不同的环境下时间常数也是不相同。
如图所示，时间常数越小 ，物体的温度变化就越快
[传热学]第三章－非稳态 导热－1
§3-1 非稳态导热的基本概念
定义：导热系统内温度场随时间变化的导热过程为非稳 态导热。 特点：温度随时间变化，热流也随时间变化。
自然界和工程上许多导热过程为非稳态，t = f()
例如：冶金、热处理与热加工中工件被加热或冷却；锅 炉、内燃机等装置起动、停机、变工况；自然环境温度； 供暖或停暖过程中墙内与室内空气温度
h, t
d
初始条件为： 分离变量，得：
(0)t0t0
d hA d cV
A
ΔΕ
ρ, c, V, t0
Qc α, t0
积分得： d hAd
0
0 cV
ln hA 0 cV
0
exp hcAV
其中，指数项可写成：
h cV A h A V c A 2 2 V h (V /A )(V a /A )2 B V F iVo
hA
如果导热体的热容量（ Vc ）小、换热条件好（hA
大），那么单位时间所传递的热量大、导热体的温度
变化快，时间常数 ( Vc / h A) 就小。
cV hA 反映了系统处于一定的环境中所表现出来的传热 动态特征，与其几何形状、密度及比热有关，还与环境
的换热情况相关。同一物质不同的形状其时间常数不同，
过程，物体的温度随时间不断地升高（加热过程）或降低 （冷却过程），在经历相当长时间后，物体温度逐渐趋近于 周围介质温度，最终达到热平衡。瞬态导热过程中物体温度 分布的变化可划分为三个阶段： 起始阶段：特点是物体内各处温度随时间的变化率一样，温度 变化逐渐从边界面逐渐深入到物体内部； 正常阶段：物体内各处温度随时间的变化率具有一定的规律； 稳态阶段：物体各处的温度已近似地达到了新的稳态。
t1
t1
t1
t1
t0
t0
t0
t0
ABCD ABCD ABCD ABCD
(a) = 1 (b) = 2 (c) = 3 (d) = 4
t1
tA
tB
t2
tC
t0
tD
3
A
BC D
3
3-1-4 边界条件对温度分布的影响
边界条件对系统温度分布的影响是很显著的,这里以一维 非稳态导热过程（也就是大平板的加热或冷却过程）为例 来加以说明。
越均匀，集总参数法的误差就越小。
Fo越大，热扰动就能越深入传播到物体内部,物体各点地 温度就越接近周围介质的温度。
于是可得，
hA
e e Vc
BviFov
0
物体中的温度 呈指数分布
方程中指数的量纲：
hA
Vc
mW2Km2 mkg3JKkg[m3]
w J
1 s
3-2-3 时间常数
cV 称为系统的时间常数，记为s，也称弛豫时间。
§3-2 集总参数法
3-2-1 定义
若忽略物体内部导热热阻、认为物体温度均匀一致的
分析方法。此时，Bi0，温度分布只与时间有关，
即 t f ()，与空间位置无关，因此，也称为零维问
题。
Bi/ h
1/h
以下几种情况Bi很小，可用集总参数法求解：
（1）导热系数相当大；
（2）几何尺寸很小；
（3）表面换热系数很小。