魏宗舒版概论3.4

格式：ppt
大小：908.50 KB
文档页数：35

下载文档原格式

教材：《概率论与数理统计》刘国祥等

两两互不相容(互不相容)
Ai Aj ,i j,i, j 1,2,,n
A1 , A 2 , , A n , 两两互不相容(互不相容)
Ai Aj ,i j,i, j 1,2,
6.对立关系（余关系或逆关系）
(1)定义:若A 与B 满足
AB , AB
BA A
称A 与B 相互对立的,并且把B称为A 的对立
法buffon 英Pearson 英Pearson
总次数n
4040 12000 24000
出现正面次数μ
2048 6019 12012
μ/n
0.5069 0.5016 0.5005
从上表可知,随着试验次数的不断增加,出现正面与反面的次数差不多，即出现正面与反面的可能性大小一样,分别是1/2.这就是“掷硬币”这一现象的内在规律性.
2.样本点与样本空间
●样本点: 试验的每一个可能发生的
结果称为一个样本点,记为.
●样本空间：随机试验的所有可能结果所组成的集合称为样本空间，记为。
这里要说明的是：样本点及样本空间只是特殊的元素与集合而已.
例1.1 T1: 掷一枚质地均匀的硬币，观察其出现正面还是反面。
例1.2 T2: 掷一枚质地均匀的骰子，观察其出现的点数。
§1.1 随机事件及其运算
一、随机试验与样本空间
概率论的研究对象是随机现象,而对随机现象是通过试验来研究的.
1.随机试验
对某事物特征进行观察, 统称试验. 定义:若试验满足 1.可在相同的条件下重复进行；（可重复性） 2.试验的可能结果不止一个, 但事先能明确所有可能发生的结果；（可知性） 3. 试验前不能预知出现哪种结果;（随机性）
如:E2: 掷一枚质地均匀的骰子，观察其出现的点数。

4.16《三国鼎立》课件精品-统编版七年级历史上册

第四单元三国两晋南北朝时期：政权分立与民族交融
第16课三国鼎立
2022年版课程标准：了解三国两晋南北朝时期的政权更迭。
1.东汉末年军阀混战使社会生产力遭到巨大破坏，三国鼎立局面的形成，实现了局部统一，使中国历史从动乱走向新的安定。2.曹操是东汉末年的人物而不是三国时期的人物。在他死后，他的儿子曹丕于220年建立魏国，东汉灭亡。
（1）材料一中毛玠提出的这个建议使曹操获得了怎样的优势？曹操后来在哪次战役中以少胜多打败了袁绍？（2分）
[答案] 优势：①曹操可以借皇帝的名义号令天下，取得了政治主动权。②注重发展生产使曹操的势力壮大。（答出一点即可，1分）战役：官渡之战。（1分）
材料二：战前曹操的优势是非常大的。第一，曹操“奉天子以令不臣”，其他诸侯自然在政治正确性上难以争锋；第二，曹操以新胜之军南下，其气自盛；第三，曹操兵力数倍于孙、刘两家。不过曹操却因……兵败……
（4）综合上述材料，谈谈曹操在两次战役中的不同结局给了我们怎样的启示。（2分）
[答案] ①战略战术要运用得当；②不能骄傲轻敌；③要适时出击；等等。（言之有理即可，2分）
诗中所描绘的是怎样的景象？为什么会出现这样的状况？（“课后活动”）
[答案] 参考答案：景象：人民生活困苦，社会混乱。原因：东汉末期军阀割据混战。
1.曹操曾写诗言志：“老骥伏枥，志在千里；烈士暮年，壮心不已。”当时的曹操“志”在( )
D
A. 消灭袁绍 B. 称雄北方 C. 废汉建魏 D. 统一全国
A
A. 为以后全国统一奠定基础 B. 避免出现军阀割据混战的状况C. 促进三国疆土的继续扩展 D. 南北社会经济的同步发展
7.三国时期是一个风云变幻、英雄辈出的时代。阅读材料，完成下列要求。（10分）材料一：毛玠对曹操说，我们现在应当尊奉天子，并打着天子的旗号来命令那些不肯臣服的人，同时要注意发展生产，积蓄军事力量，这样就可以实现称霸天下的大业。曹操能接纳能人之言……袁绍兵多也不足为惧，正所谓兵不在多，在乎能否调遣。

班级管理的民主进程

班级管理的民主进程摘要文中对班级管理的民主进程进行了探讨。

关键词班级管理民主进程高中学校是实施基础教育的重要阵地，在青少年中宣传与推广民主和法制具有非常重大的意义。

作为一个班主任，我一直强调民主在班级管理中的重要性。

把人人参与，民主管理作为班级组建和发展的基本思想，不断探索和发掘新的管理思路。

不过，这一阶段的发展并不是一帆风顺的。

总的来说，我的班主任工作经历了从专制到民主的一条坎坷道路。

先谈谈我的专制。

2003年毕业参加工作，我供职于四川眉山的一所农村高中。

我所带的班级，是本校入学成绩最差的一个班级，也就是大家说的平行班。

刚组建班级，我就发现了这些学生的问题：学习习惯差，懒惰，做事不认真。

为了发扬民主，我决定用自荐加选举的方式产生本班的班委会。

为此，我信心满满的在班会课上做了一次班委选举的动员，等待学生报名参选。

一个星期过去了，除了一位同学报名参加学习委员的选举外，其余同学无人报名。

为了尽快组建班级，我决定采取任命的方式产生本班班委会。

拿了学生成绩单，我很快规划好了本班的班委名单。

经过对这些同学一个短暂的动员，班委会正式成立。

由于担任班委的学生没有经验，卫生值日表，班规，座位表等全都由我一手操办，班委的工作只有监督和执行。

接下来问题出来了。

比如，分配不合理，有些卫生小组打扫卫生很差；班规太严格，学生感觉压力很大；座位安排不恰当，很多学生之间有矛盾却是同桌。

整个学期，我班未拿过一面流动红旗。

任课老师评价：学生不团结，学习氛围差。

经过思索，我找到症结所在：专制！班级纪律的制定，没有考察班级的具体情况，没有征求学生和任课老师的意见，一切按照自己的想象与期望来做，必然是不适合班级的，久而久之，他们还产生了逆反心理；班主任把班委的任务自己承担了，那么他们就没有积极性了。

接下来的一个学期，我做了诸多改进，但是班级的风气已然形成，任何的措施都是显得苍白无力。

显然，专制管理，并不适合现在的青少年学生。

高二时，我们年级进行了文理分班，我接手一个新的班级，我决定对这个班级实施民主管理。

同等学力加试科目参考书目

《美术概论》王宏建，高等教育出版社2011版
115J1分析化学实验
《分析化学实验》（弟3版），华中师范大学等四校合编，高等教育出版社
115J2生物化学实验
《生物化学实验》(第3版)，陈均辉等编，科学出版社
116J1教学论
赵克礼主编：《历史教学论》（第二版），陕西师范大学出版社，2006年版
117J1学校管理学Байду номын сангаас
数学物理方法(第4版)，梁昆淼主编，高等教育出版社。
104J3理论力学
《理论力学教程》（第三版），周衍柏著，高等教育出版社
105J1中国现代文学
《中国现代文学史》,朱栋霖、朱晓进、龙泉明主编，北京大学出版社2007年版
105J2写作
《现代写作教程》,董小玉、刘海涛著，高等教育出版社2008年版
105J3教学论
《新编语文课程与教学论》，倪文锦主编，华东师范大学出版社，2006年版
108J1离散数学
《离散数学》，屈婉玲、耿素云、张立昂编，高等教育出版社
108J2数据库原理及应用
《数据库系统概论》（第四版），王珊、萨师煊编，高等教育出版社
109J2教学论
《教学论稿》，王策三主编，人民教育出版社2003年版
109J3认知心理学
《分析化学实验》（弟3版），华中师范大学等四校合编，高等教育出版社
106J2无机化学实验
《无机化学实验》，漳州师范学院化学与环境科学系无机及材料化学教研室，厦门大学出版社
106J3有机化学实验
《有机化学实验》（第3版），高等教育出版社
106J5教学论
《教学论》李朝辉，清华大学出版社
110J2学校体育学
《学校体育学》，潘绍伟/于可红主编，高等教育出版社，2011年版

江苏大学课后答案考试试题全免费下载

江苏大学各专业课后答案真正免费免积分下载！（更新中）PART 121世纪大学英语读写教程（第四册1-4）课后答案免费下载/thread-4531-1-2.html微积分（第二版）同济大学应用数学系编高等教育出版社_课后习题答案下载/thread-4536-1-2.html南京大学物理化学（第四版）卢荣__课后习题答案免费下载/thread-4535-1-2.html《大学物理学》赵近芳_北京邮电大学课后答案免费下载/thread-4533-1-2.html微机原理及应用第三版 (晏寄夫著) 西南交通大学出版社课后答案免费下载/thread-5429-1-1.html数学分析_第三版_上册_(欧阳光中_朱学研_著)_高等教育出版社课后答案免费下载/thread-5412-1-1.html复变函数与积分变换_(王忠仁_著)课后答案免费下载/thread-5411-1-1.html复变函数第四版 (余家荣著) 高等教育出版社课后答案免费下载/thread-5409-1-1.html线性代数 (惠淑荣张京李修清著) 东北大学出版社8090珊瑚论坛课后答案免费下载/thread-5406-1-1.html数理统计第二版 (赵选民徐伟师义民秦超英著) 科学出版社课后答案免费下载/thread-5404-1-1.html随机过程 (汪荣鑫著) 西安交通大学出版社课后答案免费下载/thread-5402-1-1.html当代世界经济与政治第三版，人民大学出版社课后答案下载/thread-5401-1-1.html全新版大学英语第三册综合教程练习课后答案下载/thread-5398-1-1.html线性代数简明教程第二版(陈维新著课后答案免费下载/thread-5397-1-1.html思想道德修养与法律基础 2010版 (罗国杰夏伟东著) 高等教育出版社课后答案下载/thread-5396-1-1.html统计学高教第三版课后习题答案8090珊瑚论坛.pdf/thread-5395-1-1.html概率论与数理统计教程_(茆诗松_程依明_濮晓龙_著)_高等教育出版社课后答案免费下载/thread-5381-1-1.html线性代数简明教程第二版(陈维新著)8090珊瑚论坛.pdf/thread-5380-1-1.html微分几何初步 (陈维桓著) 北京大学出版社课后答案免费下载/thread-5379-1-2.html复变函数习题全解及导学课后答案免费下载.pdf/thread-5378-1-2.html临床医学英语 (高艳陈迎著) 中国海洋大学出版社课后答案.zip/thread-5353-1-2.html普通物理学第三册第五版 (程守洙胡盘新著) 高等教育出版社/thread-5352-1-2.html马克思主义基本原理概论第四版 (本书编写组著) 高等教育出版社免费下载/thread-5351-1-2.html电磁场与电磁波第二版 (周克定翻译著著)课后答案免费下载/thread-5350-1-2.html大学语文第九版 (徐中玉齐森华著) 华东师范大学出版社/thread-5348-1-2.html人大版《会计学基础》课后答案免费免积分下载/thread-4438-1-2.html机电传动控制邓星钟第四版课后答案免费免积分下载/thread-4436-1-2.html现代控制理论第3版刘豹唐万生课后全部答案机械工业出版社免费免积分下载地址/thread-4382-1-2.html《模拟电子技术基础》(第四版)童诗白,华成英_高等教育出版社_课后习题答案下载/thread-4432-1-2.html《自动控制原理》胡寿松_第四版科学出版社课后答案免费免积分下载/thread-4435-1-2.html工程力学_静力学与材料力学_(单辉祖_谢传锋_著)_高等教育出版社_课后答案免费下载/thread-4442-1-3.html工程材料及成形技术_林建榕_高教版课后习题参考答案免费免积分下载/thread-4440-1-3.html《电机及拖动基础》顾绳谷_第四版_机械工业出版社_课后答案免费免积分下载/thread-4434-1-3.html《电工学》秦曾煌第六版上下册课后答案免费免积分下载/thread-4430-1-3.html《数字信号处理(第三版)西安电子科技大学出版社(丁玉美)课后答案/thread-4429-1-3.html《通信原理教程》_樊昌信_最新版电子工业出版社课后答案免费免积分下载/thread-4426-1-3.html《信号与系统》第二版课后答案完整版_郑君里免费免积分下载/thread-4424-1-3.html最全数据结构课后习题答案(耿国华版[1]免费免积分下载/thread-4423-1-3.htmlMATLAB程序设计与应用_刘卫国主编_高等教育出版社课后答案免费免积分下载/thread-4422-1-3.html电磁场与电磁波_第四版_(谢处方_饶克谨_著)课后答案免费免积分下载/thread-4421-1-3.html传感器原理及工程应用_第三版__课后答案免费免积分下载电工学_第七版_秦曾煌_课后习题答案免费免积分下载/thread-4389-1-3.html电力电子技术王兆安第五版课后习题答案免费免积分下载/thread-4387-1-3.html电路_第五版_邱关源_高等教育出版社_课后答案详细版免费免积分下载/thread-4386-1-3.html电路分析_第二版_课后答案_胡翔骏_高等教育出版社免费免积分下载/thread-4385-1-3.html离散数学课后答案（清华版）免费免积分下载/thread-4384-1-3.html通信原理_(周炯盘_著)_北京邮电大学出版社_课后答案免费免积分下载/thread-4383-1-3.html信息论与编码-曹雪虹-课后习题答案免费免积分下载地址/thread-4381-1-3.html移动通信_第三版_(郭梯云__李建东_著)课后答案免费免积分下载/thread-4380-1-3.html自动控制理论(第二版)夏德钤_课后答案免费免积分下载《新视野大学英语读写教程（第二版）》【第一册】课后答案免费下载，免积分下载/thread-4335-1-4.html《线性代数》（同济第四版）课后习题答案（完整版）免费免积分下载/thread-4334-1-4.html《概率论与数理统计教程》课后答案（完整版，魏宗舒版）免费免积分下载/thread-4331-1-4.html曼昆宏观经济学课后答案（第五版）免费免积分下载/thread-4330-1-4.html《中国近代史纲要》完整课后习题答案免费下载/thread-4316-1-4.html机械设计_濮良贵、纪名刚_第八版_第五章课后习题答案免费下载/thread-4313-1-4.html21世纪大学英语读写教程第一册.课后答案免费下载免积分下载/thread-4312-1-4.html21世纪大学英语读写教程（第一二三册）课后翻译答案免费下载/thread-4310-1-4.html大学英语精读第三册课后答案免费免积分下载c语言程序设计第三版谭浩强课后答案免费免积分下载/thread-4307-1-4.html复变函数论第三版高教出版社课后习题答案免费下载/thread-4028-1-4.html专为江苏大学学生整理，真正免积分，只有花几秒钟注册一下就可以任意下载海量资源了~~收藏哦~~留着有用。

信息与计算科学专业培养计划

信息与计算科学专业培养计划一、培养目标本专业培养具有良好的数学基础与计算机基础，掌握信息与计算科学的基本理论、方法与技能，受到科学研究的初步训练，能解决信息处理和科学与工程计算中的实际问题，能在科技、教育、信息产业、经济金融等部门从事研究、教学、应用开发和管理工作的高级专门人才。

二、培养要求本专业学生主要学习基础数学、计算数学、计算机软件和信息处理等方面的基础理论、基本技能和主要方法；受到严格、系统的数学思维及计算机软件应用、设计与开发的训练，掌握一门外国语，能阅读本专业的外文文献，具有较强的自学能力和知识更新能力。

毕业生应获得以下几方面的知识和能力：1、具有良好的数学基础，掌握信息与计算科学的基础理论和基本方法；2、具备熟练应用计算机（包括常用语言、工具及专用软件）的基本技能，具有较强的算法分析、算法设计和编程能力；3、了解某个应用领域，能运用所学的理论、方法和技能解决科研、生产与管理中的某些实际课题；4、对信息与计算科学的理论、技术及应用的新发展有所了解，具有一定的科学研究和软件开发能力。

三、专业方向与特色本专业设置计算数学、软件设计和经济金融三个专业方向；要求学生具有厚实的数学基础，注重培养学生灵活地应用数学方法和计算机软件解决实际问题的能力。

四、培养年限：四年五、授予学位：理学学士六、主要课程简介1、课程编号：120101101-3课程名称：数学分析（Mathematical Analysis）课程性质：专业必修课主要内容：实数集与函数，极限与连续性，导数与微分（包括微分中值定理、L＇Hospital 法则、函数极值判定、Taylor公式等），积分（包括广义积分），级数（包括幂级数、Fourier 级数），多元函数微分学，重积分，含参变量积分，曲线积分与曲面积分。

教材：数学分析（第三版），华东师范大学数学系编。

参考书目：数学分析学习指导书，吴良森等编；数学分析，刘玉连等编。

2、课程编号：120101102-2课程名称：高等代数（Advanced Algebra）课程性质：专业必修课主要内容：本课程主要包括多项式理论与线性代数两个部分。

2017年博士研究生招生考试参考范围

《GPS卫星导航定位技术与方法》黄丁发等编，科学出版社，2009；《GPS测量与数据处理》李征航，武汉大学出版社，2010
3008
混凝土材料学
《混凝土材料学》蒋林华河海大学出版社，2006；《土木工程材料》蒋林华科学出版社，2013
3011
水资源规划与管理
《水资源系统规划与管理》董增川主编，中国水利水电出版社，2008；《水资源系统规划与调度》叶秉如编，高等教育出版社，2001
3100
高分子物理
《高分子物理》方征平等浙江大学出版社2005年
3103
泛函分析
《泛函分析讲义》(上册)，张恭庆、林源渠编著，北京大学出版社
3104
遥感数字图像处理
《数字图像处理》贾永红编著（第2版）.武汉大学出版社，2010；《数字摄影测量学》张祖勋张剑清编著（第2版）.武汉大学出版社，2012；
3083
传感器技术与信息处理
《传感器和信号调节》(第二版)Ramon Palids—Areny等著，张伦译，清华大学出版社，2003
3085
泥沙运动力学
《泥沙运动力学》钱宁、万兆惠主编，科学出版社，2003．5
3086
粘性流体动力学
《粘性流体动力学》F·M·怀特著，机械工业出版社，魏中磊等译，1982
2004
应用统计
《应用统计学》（第二版），卢冶飞，孙宝忠编著，清华大学出版社，2015
2015
管理综合
《现代企业管理一变革的观点》黄速建等主编，经济管理出版社;《战略管理》张阳等主编，科学出版社
2016
数理逻辑
《面向计算机科学的数理逻辑系统建模与推理》（英文版第2版），Michael Huth，Mark Ryan著，机械工业出版社，2005年

数学与应用数学专业介绍

数学与应用数学专业介绍篇一：数学与应用数学专业描述数学与应用数学的描述本专业培养掌握数学科学的基本理论与基本方法，具备运用数学知识、使用计算机解决实际问题的能力，受到科学研究的初步训练，能在科技、教育和经济部门从事研究、教学工作或在生产经营及管理部门从事实际应用、开发研究和管理工作的高级专门人才。

一、培养目标：培养适应我国基础教育发展需要，具备数学和应用数学的基本理论、基本知识和基本技能，具有数学、心理学、教育学等专业核心能力，具有思想道德素质，理论基础扎实，业务能力强，综合素质高，德、智、体全面发展。

二、主要课程：数学分析、高等代数、空间解析几何、概率论与数理统计、数学建模、数学史、实变函数、应用数学软件等20余门近代与现代应用数学基础的主要课程。

三、就业方向：本专业毕业生主要面向科技和教育，从事数学教育研究和教学，在普通中小学、职业中学和中等专业学校担任数学教育研究人员或数学教师。

学生也可以选择继续深造和攻读硕士学位。

篇二：数学与应用数学专业专业课程简介数学与应用数学导论050001――050003数学分析mathematicalanalysis开放式教研室：函数论教研室学时296学分15.5开课学期：第一、二、三学期。

教学对象：数学与应用数学专业08年级学生教学目的：使学生掌握函数的微积分理论的基本理论和基本方法，能应用这些理论和方法解决分析中提出的理论和实际问题，为后续课程的学习打下良好的基础。

主要内容：实函数、极限理论、一元微积分理论、级数、微积分和多元函数理论、曲线和曲线面积分数等。

教材：《数学分析》（第三版）上、下册华东师范大学数学系编高等教育出版社参考书目：《数学分析》（上、下册）吕彦鸣等编哈尔滨出版社数学分析讲义刘玉莲傅培仁高等教育出版社050005-050006高等代数解析几何教研室：代数教研室学时188学分10开课学期：第一、二学期。

教学对象：数学与应用数学专业08年级学生教学目的：使学生初步地掌握基本的、系统的代数知识和抽象的、严格的代数方法，以加深对中学数学的理解，并为进一步学习打下基础；同时也可培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、创新能力等。

数学与应用数学专业(师范类)

数学与应用数学专业（师范类）培养方案学科门类：理学专业代码：070101一、培养目标本专业培养适应社会主义现代化建设需要、德智体全面发展、掌握数学科学的基本理论、基础知识与基本方法，能够运用数学知识和使用计算机解决若干实际数学问题，具备在科技、经济部门从事研究以及在高等和中等学校进行数学教学的教师、教学研究人员及其他教育工作者。

二、培养要求本专业学生主要学习数学和应用数学的基本理论和方法，受到严格的数学思维训练，掌握计算机的基本原理和运用手段，并通过教育理论课程和教学实践环节，形成良好的教师素养，培养从事数学教学的基本能力和数学教育研究、数学科学研究、数学实际应用等基本能力。

毕业生应获得以下几方面的知识和能力：1. 具有扎实的数学基础，初步掌握数学科学的基本思想方法，其中包括数学建模、数学计算、解决实际问题等基本能力。

2. 有良好的使用计算机的能力，能够进行简单的程序编写，掌握数学软件和计算机多媒体技术，能够对教学软件进行简单的二次开发。

3. 具备良好的教师职业素养和从事数学教学的基本能力。

熟悉教育法规，掌握并初步运用教育学、心理学基本理论以及数学教学理论。

4. 了解近代数学的发展概貌及其在社会发展中的作用，了解数学科学的若干最新发展，数学教学领域的一些最新研究成果和教学方法，了解相近专业的一般原理和知识；学习文理渗透的课程，获得广泛的人文和科学修养。

5. 较强的语言表达能力和班级管理能力。

6. 掌握资料查询、文献检索及运用现代信息技术获得相关信息的基本方法，并有一定的科研能力。

7. 具有一定的体育基本知识，掌握科学锻炼身体的基本技能，达到国家规定的大学生体育锻炼合格标准，具有健康的体魄。

8. 具有良好的心理素质，具有坚强的意志力，具有很好的心理自我调节能力。

9. 能够比较熟练地掌握一门外语，初步具有听、说、读、写、译的能力。

三、学制和学分1. 学制：四年。

2. 学分：166。

四、学位授予授予理学学士学位。

《概率论与数理统计》魏魏宗舒版课件1.1课件.ppt

实例6 “一只灯泡的寿命” 可长可
短.
ko
14
随机现象的分类
个别随机现象现象：原则上不能在相同条件下重
复出现（例6）
大量性随机现象：在相同条件下可以重复出
现（例1-5）
随机现象的特征
条件不能完全决定结果
ko
15
说明 1. 随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联系 , 其数量关系无法用函数加以描述. 2. 随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然性, 但在大量重复试验或观察中, 这种结果的出现具有一定的统计规律性 , 概率论就是研究随机现象这种本质规律的一门数学学科. 如何来研究随机现象?
解：用 i 表示掷骰子出现的点数为 i 1, 6;
{1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 }
基本事件 Ai {i}, i 1, 2, , 6;
A {2 ,4 ,6 }; B {1 ,3 ,5 }.
Ai是基本事件，A、B是复杂事件，但都是随机事件，简称事件。
“同性电荷必然互斥”,
ko
11
“函数在间断点处不存在导数” 等.
确定性现象的特征
条件完全决定结果
2. 随机现象
在一定条件下可能出现也可能不出现的现象称为随机现象. 实例1 “在相同条件下掷一枚均匀的硬币,观察正反两面出现的情况”.
结果有可能出现正面也可能出现反面.
ko
12
实例2 “用同一门炮向同一目标发射同一种炮弹多发 , 观察弹落点的情况”.
四、随机事件的概念
随机事件随机试验 E 的样本空间的子集
(或某些样本点的子集），称为 E 的随机事件, 简称事件.
实例抛掷一枚骰子, 观察出现的点数.

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

0
x2 p ( x2 y , x2 ) d x2 − ∫
0 −∞
x2 p ( x2 y , x2 ) d x2
=
∫
+∞ −∞
x2 p ( yx2 , x2 ) d x2.
当 ξ 与 η 相互独立时 , pζ ( y ) =
∫
∞ −∞
x p ξ ( yx ) pη ( x ) d x .
例3.15.
由此容易得到 ξ / n的密度函数
n nx −1 − n ( nx ) 2 e 2 , x > 0 n 2 n pξ / n ( x) = 2 Γ ( ) 2 0, x≤0
同理可得到 η / m的密度函数
m mx −1 − m (m x) 2 e 2 , x > 0 m m 2 pη / m ( x ) = 2 Γ ( ) 2 0, x ≤ 0
0
1
α1 −1 α 2 −1
t
Γ（α1）Γ（α 2） dt =β α1，α 2）（ = Γ（α1 +α 2）
1
令 x y = t,则有
( y − x ) α 1 − 1 x α 2 − 1 d x = y ( α 1 + α 2 ) − 1 ∫ (1 − t ) α 1 − 1 t α 2 − 1 d t ∫
p h y ⋅ h y ' ,α < y < β ( ) ( ) ϕ ( y) = 0, 其它其中α = min{ f (−∞), f (+∞)}; β = max{ f ( −∞), f (+∞)}
证明：不妨设f ( x ) 为单调上升函数，则其反函数 h( y ) = f −1 ( y ) 亦为单调上升函数，即h ′ ( y ) > 0,
i =1 n
∑
i =1
n
a i ξ ∼ N ( ∑ a i µ i， a i 2σ ∑
i =1 i =1
n
n
2 i
).
分布的可加性（再生性）
我们称上述现象为分布的可加性，如离散型的普哇松分布，连续型的正态分布，还 χ 2分布的可加性在数理统计颇为重要，有下面介绍也具有可加性的分布:
参数为（α，λ）的Γ分布
1. ζ =ξ+η 的分布设 (ξ , η )的概率密度为 p ( x , y ), 则 ζ = ξ + η
的分布函数为
F (y) = P{ζ ≤ y} ζ
=
x1 +x2 < y
y
ξ +η = ζ
∫∫
p(x1, x2 )d x1 d x2
O
x
y − x1 −∞
= ∫ [∫
−∞
∞
p( x1, x2 )d x2源自] d x1由此可得概率密度函数为
pζ (y) = ∫ p( y − x, x)d x.
−∞
+∞
由ξ 与η是对称的，则有pζ (y) = ∫ p ( x, y − x ) d x.
−∞
∞
当ξ与η相互独立时，我们有卷积公式
pζ (y) = ∫ pξ ( y − x) pη (x)d x,
−∞
+∞
或
pξ ( y ) = ∫
2 ζ ~ N ( µ1 + µ2 , σ12 + σ 2 ).
有限个相互独立的正态随机变量的线性组合有限个相互独立的正态随机变量的线性组合相互独立仍然服从正态分布. 仍然服从正态分布
若 n个相互独立的随机变量 ξ i , i = 1 , 2 , . . . n , 且 ξ i ∼ N ( µ i , σ i ), 则 ξ = ∑ a i ξ 也服从正态分布，
2 1 2 2 2 且 ξ 和 η 相互独立，则 ξ + η ∼ N( µ1 +µ 2 , σ 12 +σ 2 ).
( 4)Γ 分布：若 ξ ∼ Γ (α1 , λ ),η ∼ Γ (α 2 , λ ), 且 ξ 和 η 相互独立，则 ξ + η ∼ Γ (α1 +α 2 , λ ). (5) χ 分布：若 ξ ∼ χ ( n1 ),η ∼ χ ( n2 ),
λ α α −1 − λ x x e , x ≥ 0, p( x) = Γ(α ) 0, x<0. 其中α > 0, λ > 0
例3.14
设 ξ， η 是两个相互独立的随机变量，分别服从 Γ (α 1 , λ ), Γ (α 2 , λ ). 试求 ζ = ξ + η的分布密度 .
设
ξ ~ χ 2 ( n ) , η ~ χ 2 ( m ) , 且ξ , η 相互独立
ξ /n 求ζ = 的密度。 η/m
解：自由度 n的 χ 2 分布的密度
1 x e ,x > 0 n n 2 p(x) = 2 Γ( ) 2 0, x ≤ 0
n −1 2 − x 2
x2 − 2
, − ∞ < x < ∞,
,
− ∞ < y < ∞,
由公式 pζ (z) = ∫ pξ (x) pη (z − x)d x.
−∞
∞
得
pζ ( z ) =
∫
∞ −∞
1 e 2π
z2 − 4
x2 − 2
e
( z − x )2 − 2
d x
1 e = 2π
z t = x− 2
∫ − ∞e
e
− y 2
y
, y > 0
y ≤ 0
分布介绍
自由度 n的 χ
2
分布：
x 2
n −1 − 1 2 x e n n 2 p (x) = 2 Γ ( ) 2 0, x ≤ 0
, x > 0
不难看出上例中的密度就是n = 1的χ 分布的密度函数。
2
二、连续型随机变量函数的分布
又ξ 与η 相独立，由pζ (y) = ∫
∞
∞
−∞
x pξ ( yx) pη ( x) d x
=∫ x
0
n n 2 Γ( ) 2
n 2
n 2
( nxy )
m 2
n −1 2
e
nxy − 2
m m 2 Γ( ) 2
m 2
(mx)
m mx −1 − 2 2
e
dx
n m = n+m y n m 2 2 Γ Γ 2 2
2
而y > 0，有 Fη ( y ) = P(η ≤ y ) = P(ξ ≤ y )
y
= P (− y ≤ ξ ≤
y) =
−
∫
y
ϕ ( x ) dx
再由分布函数求概率密度
p η ( y ) = Fη′ ( y )
′ − ϕ (− y )(− y )′ = ϕ ( y )( y )
1 = 2π 0, e
Fη ( y ) = P {η ≤ y} = P { f (ξ ) ≤ y} = P {ξ ≤ h ( y )} =
h( y)
−∞
∫
p ( x)dx
p ( h ( y ) ) h′( y), f (−∞) < y < f (∞）因此，ϕ ( y ) = Fη′ ( y ) = 0，其它.
2 2 2
且 ξ 和 η 相互独立，则 ξ + η ∼ χ ( n1 + n2 ).
2
（6）若 ξ1， ξ 2，， ξ n 相互独立，都服从 ⋯ b (1, p ), 则∑ ξ i 服从 b ( n, p ).
i =1 n
（7）若 ξ1， ξ 2，， ξ n 相互独立，都服从 ⋯ Exp (λ ), 则∑ ξ i 服从 Γ ( n, λ ).
我们把上述密度函数的分布称为自由度为n,m（参数）的F-分布，记作F(n,m)。（参数）分布，记作。分布
例（分） 6 t 布
设 ξ ~ N (0, 1), η ~ χ 2 ( n ), 且 ξ , η 独立,
+∞
−∞
pξ ( x) pη ( y − x ) d x.
记作： p ζ = pξ ∗ pη
例3.13 设两个独立的随机变量ξ与η 都服从标准正态分布,求服从标准正态分布求=ξ +η 的概率密度. ζ
1 解：由于 pξ ( x) = e 2π
pη ( y ) = 1 e 2π
y2 − 2
解：由卷积公式知y ≤ 0时,pη ( y ) = 0
而当 y>0时 ,有 pζ (y) =
α1 + α 2
∫
∞
−∞
y
pξ ( y − x ) pη ( x ) d x.
1 2
λ = e − λ y ∫ ( y − x ) α −1 x α Γ (α 1 ) Γ (α 2 ) 0
−1
dx
而∫ (1 − t )
∞
z 2 − x− 2
d x
1 e 2π
z2 − 4
∫−∞
∞ −t 2
dt =
1 2π 2
−
z2
2 2（ 2）
e
.
即 ζ 服 N (0 , 2 ) 分布 .
一般, 设ξ ,η相互独立且ξ ~ N ( µ1 , σ12 ),η ~ 说明 2 N ( µ2 , σ 2 ).则ζ = ξ + η 仍然服从正态分布 , 且有
由变量函数的概率密度定理得： pη ( y ) = p ( h ( y ) ) h ′( y )