相似三角形练习题7

九年级数学提升练习--相似三角形的综合题1．如图，已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，二次函数经过点，且与一次函数的图象交于点.（1）求一次函数与二次函数的解析式.（2）在轴上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.2．将直角边长为6的等腰Rt△AOC放在如图所示的平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点C、A 分别在x、y轴的正半轴上，一条抛物线经过点A、C及点B（﹣3，0）．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点P是线段BC上一动点，过点P作AB的平行线交AC于点E，连接AP，当△APE的面积最大时，求点P的坐标；（3）在第一象限内的该抛物线上是否存在点G，使△AGC的面积与（2）中△APE的最大面积相等？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图（1）（感知）如图①，在四边形ABCD中，∠C=∠D=90°，点E在边CD上，∠AEB=90°，求证：=.（2）（探究）如图②，在四边形ABCD中，∠C=∠ADC=90°，点E在边CD上，点F在边AD的延长线上，∠FEG=∠AEB=90°，且=，连接BG交CD于点H.求证：BH=GH.（3）（拓展）如图③，点E在四边形ABCD内，∠AEB+∠DEC=180°，且=，过E作EF交AD于点F，若∠EFA=∠AEB，延长FE交BC于点G.求证：BG=CG.4．在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线l经过点A，过点B、C分别作l的垂线，垂足分别为点D、E.（1）特例体验：如图①，若直线l∥BC，AB=AC=，分别求出线设BD、CE和DE的长；（2）规律探究：（Ⅰ）如图②，若直线l从图①状态开始绕点A旋转α（0＜α＜45°），请探究线段BD、CE和DE 的数量关系并说明理由；（Ⅱ）如图③，若直线l从图①状态开始绕点A顺时针旋转α（45°＜α＜90°），与线段BC相交于点H，请再探线段BD、CE和DE的数量关系并说明理由；．（3）尝试应用：在图③中，延长线设BD交线段AC于点F，若CE=3，DE=1，求S△BFC5．如图，在Rt ABC中，AC＝BC＝6，∠ACB＝90°，正方形BDEF的边长为2，将正方形BDEF绕点B旋转一周，连接AE、BE、CF.（1）如图1所示，求证ABE∼CBF，并直接写出的值；（2）在正方形BDEF绕点B旋转过程中，当A、E、F三点共线时，求CF的长；（3）如图2所示，在正方形BDEF旋转过程中，设AE的中点为M，连接FM，请直接写出FM 长度的最大值.6．定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到该边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“好点”.如图1，△ABC中，点D是BC边上一点，连结AD，若，则称点D是△ABC中BC边上的“好点”.（1）如图2，△ABC的顶点是网格图的格点，请仅用直尺画出AB边上的一个“好点”.（2）△ABC中，BC=9，，，点D是BC边上的“好点”，求线段BD 的长.（3）如图3，△ABC是的内接三角形，OH⊥AB于点H，连结CH并延长交于点D.①求证：点H是△BCD中CD边上的“好点”.②若的半径为9，∠ABD=90°，OH=6，请直接写出的值.7．已知：如图，在△ABC中，AB=BC=10，以AB为直径作⊙O分别交AC，BC于点D，E，连接DE和DB，过点E作EF⊥AB，垂足为F，交BD于点P．（1）求证：AD=DE；（2）若CE=2，求线段CD的长；（3）在（2）的条件下，求△DPE的面积．8．如图，已知AC为⊙O的直径，连接AB，BC，OB，过点O作OE⊥AB于点E，点F是半径OC 的中点，连接EF，BF.（1）如图1，设⊙O的半径为2，若∠BAC＝30°，求线段EF的长.（2）如图2，设BO交EF于点P，延长BO交⊙O于点D，连接DF.①求证：PE＝PF；②若DF＝EF，求∠BAC的度数.9．如图1，矩形ABCD的一边BC在直角坐标系中x轴上，折叠边AD，使点D落在x轴上点F处，折痕为AE，已知AB＝8，AD＝10，并设点B坐标为（m，0），其中m＜0.（1）求点E、F的坐标（用含m的式子表示）；（2）连接OA，若△OAF是等腰三角形，求m的值；（3）如图2，设抛物线y＝a（x﹣m+6）2+h经过A、E两点，其顶点为M，连接AM，若∠OAM＝90°，求a、h、m的值.10．综合与实践“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆.该小组继续利用上述结论进行探究.提出问题：如图1，在线段同侧有两点B，D，连接，，，，如果，那么A，B，C，D四点在同一个圆上.探究展示：如图2，作经过点A，C，D的，在劣弧上取一点E（不与A，C重合），连接，则（依据1）点A，B，C，E四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）点B，D在点A，C，E所确定的上（依据2）点A，B，C，E四点在同一个圆上（1）反思归纳：上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？依据1：；依据2：.（2）图3，在四边形中，，，则的度数为.（3）展探究：如图4，已知是等腰三角形，，点D在上（不与的中点重合），连接.作点C关于的对称点E，连接并延长交的延长线于F，连接，.①求证：A，D，B，E四点共圆；②若，的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由.11．如图，和均为等腰直角三角形，.现将绕点C旋转.（1）如图1，若三点共线，，求点B到直线的距离；（2）如图2，连接，点F为线段的中点，连接，求证：；（3）如图3，若点G在线段上，且，在内部有一点O，请直接写出的最小值.12．如图，△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC交BC边于点E，交⊙O于点D，过点A作AF⊥BC 于点F，设⊙O的半径为R，AF＝h．（1）过点D作直线MN∥BC，求证：MN是⊙O的切线；（2）求证：AB•AC＝2R•h；（3）设∠BAC＝2α，求的值（用含α的代数式表示）．13．抛物线经过点和，与x轴交于另一点B.（1）则抛物线的解析式为；（2）点P为第四象限内抛物线上的点，连接，，，设点P的横坐标为.①如图1，当时，求的值；②如图2，过点P作x轴的垂线，垂足为点D，过点C作的垂线，与射线交于点E，与x轴交于点F.连接，当时，求m的值.14．如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx-5与x轴交于A(-1，0)，B(5，0)两点，与y 轴交与点C.（1）求抛物线的函数表达式;（2）若点D是y轴上的点，且以B、C、D为顶点的三角形与△ABC相似，求点D的坐标;（3）如图2，CE//x轴与抛物线相交于点E，点H是直线CE下方抛物线上的动点，过点H且与y 轴平行的直线与BC、CE分别相交于点F，G，试探求当点H运动到何处时，四边形CHEF的面积最大，求点H的坐标及最大面积.15．在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD上一动点，设DE＝nEA，连接CE并延长，交AB 于点F.（1）尝试探究：如图1，当∠BAC＝90°，∠B＝30°，DE＝EA时，BF，BA之间的数量关系是；（2）类比延伸：如图2，当△ABC为锐角三角形，DE＝EA时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）拓展迁移：如图3，当△ABC为锐角三角形，DE＝nEA时，请直接写出BF，BA之间的数量关系.16．定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到这边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“好点”.如图1，中，点是边上一点，连接，若，则称点是中边上的“好点”.（1）如图2，的顶点是网格图的格点，请仅用直尺画出（或在图中直接描出）边上的“好点”；（2）中，，，，点是边上的“好点”，求线段的长；（3）如图3，是⊙O的内接三角形，点在上，连结并延长交⊙O于点.若点是中边上的“好点”.①求证：；②若，⊙O的半径为，且，求的值.答案解析部分1．【答案】（1）∵一次函数的图象与轴交于点，∴当x=0时，y=-2，B（0，-2），∵一次函数的图象过点，∴，∴，∴一次函数解析式为，∵经过点，点，代入得，解方程组得，∴二次函数解析式为：；（2）存在，理由如下，∵已知一次函数的图象与轴交于点，∴y=0，x=2，∴A(2,0),B(0,-2),∴OA=2,OB=2,∠AOB=90°，在Rt△AOB中，由勾股定理AB=，由勾股定理BC=，①当点M为直角顶点时，CM⊥y轴，CM∥OA，∴∠MCB=∠OAB，∠MBC=∠OBA，∴△CMB∽△AOB，∴即，∴，∴OM=MB-OB=6-2=4，∴M（0，4），②当点C为直角顶点时，∴CM⊥BC，∴∠MCB=∠AOB=90°，∠MBC=∠ABO，∴△MCB∽△AOB，∴即，∴，∴OM=MB-OB=12-2=10，∴M（0，10），∴以点，，为顶点的三角形与相似点的坐标为M（0，4）或（0，10）. 2．【答案】（1）解：如图，∵抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象经过点A （0，6），∴c=6．∵抛物线的图象又经过点（﹣3，0）和（6，0），∴，解之得，故此抛物线的解析式为：y=﹣x 2+x+6．（2）解：设点P 的坐标为（m ，0），则PC=6﹣m ，S △ABC =BC•AO=×9×6=27；∵PE ∥AB ，∴△CEP ∽△CAB ；∴，即=（）2，∴S △CEP =（6﹣m ）2，∵S △APC =PC•AO=（6﹣m ）×6=3（6﹣m ），∴S △APE =S △APC ﹣S △CEP =3（6﹣m ）﹣（6﹣m ）2=﹣（m ﹣）2+；当m=时，S △APE 有最大面积为；此时，点P 的坐标为（，0）．（3）解：如图，过G 作GH ⊥BC 于点H ，设点G 的坐标为G （a ，b ），连接AG 、GC ，∵S 梯形AOHG =a （b+6），S △CHG =（6﹣a ）b ，∴S 四边形AOCG =a （b+6）+（6﹣a ）b=3（a+b ）．∵S △AGC =S四边形AOCG ﹣S △AOC ，∴=3（a+b ）﹣18，∵点G （a ，b ）在抛物线y=﹣x 2+x+6的图象上，∴b=﹣a 2+a+6，∴=3（a ﹣a 2+a+6）﹣18，化简，得4a 2﹣24a+27=0，解之得a 1=，a 2=；故点G 的坐标为（，）或（，）．3．【答案】（1）证明：∵∠C=∠D=∠AEB=90°，∴∠BEC+∠AED=∠AED+∠EAD=90°，∴∠BEC=∠EAD ，∴Rt △AED ∽Rt △EBC ，∴；（2）证明：如图1，过点G作GM⊥CD于点M，同（1）的理由可知：，∵，，∴，∴CB=GM，在△BCH和△GMH中，，∴△BCH≌△GMH（AAS），∴BH=GH；（3）证明：如图2，在EG上取点M，使∠BME=∠AFE，过点C作CN∥BM，交EG的延长线于点N，则∠N=∠BMG，∵∠EAF+∠AFE+∠AEF=∠AEF+∠AEB+∠BEM=180°，∠EFA=∠AEB，∴∠EAF=∠BEM，∴△AEF∽△EBM，∴，∵∠AEB+∠DEC=180°，∠EFA+∠DFE=180°，而∠EFA=∠AEB，∴∠CED=∠EFD，∵∠BMG+∠BME=180°，∴∠N=∠EFD，∵∠EFD+∠EDF+∠FED=∠FED+∠DEC+∠CEN=180°，∴∠EDF=∠CEN，∴△DEF∽△ECN，∴，又∵，∴，∴BM=CN，在△BGM和△CGN中，，∴△BGM≌△CGN（AAS），∴BG=CG.4．【答案】（1）解：∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB==45°，∵l∥BC，∴∠DAB=∠ABC=45°，∠EAC=∠ACE=45°，∴BD⊥AE，CE⊥DE，即∠BDA=∠CEA=90°，∴∠ABD=90°-45°=45°，∠ACE=90°-45°=45°，∴∠DAB=∠ABD=∠EAC=∠ACE=45°，∴AD=BD=ABsin∠DAB==1，∴AE=CE=ACsin∠EAC==1，∴DE=AD+AE=2；（2）解：（Ⅰ）DE=CE+BD；理由如下：∵BD⊥AE，CE⊥DE，∴∠BDA=∠CEA=90°，∴∠DAB+∠DBA=90°，∴∠BAC=90°，∴∠DAB+∠CAE=90°，∴∠DBA=∠CAE，∴AB=AC，∴△ABD≌△CAE，∴AD=CE，BD=AE，∴DE=AD+AE=CE+BD，即DE=CE+BD；（Ⅱ）BD=CE+DE，理由如下：∵BD⊥AE，CE⊥DE，∴∠BDA=∠CEA=90°，∴∠DAB+∠DBA=90°，∵∠BAC=90°，∴∠DAB+∠CAE=90°，∴∠DBA=∠CAE，∵AB=AC，∴△ABD≌△CAE（AAS），∴AD=CE，BD=AE，∴BD=AE=AD+DE=CE+DE，即BD=CE+DE.（3）解：由(2)可知，AD=CE=3，∴AE=AD+DE=3+1=4，在Rt△AEC中，AC==5，∵BD⊥AE，CE⊥AE，∴DF∥CE，∴，即，解得：AF=，∴CF=AC-AF=5-=，∵AB=AC=5，=CF×AB=××5=.∴S△BFC5．【答案】（1）解：=，Rt△ABC中，AC=BC，∴AB=CB，∠ABC=45°，∵四边形BDEF是正方形，∴BE=BF，∠EBF=45°，∴＝，∠ABC=∠EBF=45°，∴∠ABE=∠CBF，∴△ABE∽△CBF，∴＝；（2）解：①如图2-1，当点F在A、E之间时，∵AC=BC=6，∠ACB=90°，∴AB=6，又∵∠AFB=90°，∴AF==8，∴AE=8+2，由（1）知，AE＝CF，∴CF=4+2；②如图2-2，当点E在A、F之间时，同理可得AF=8，AE=8−2，∴CF=4−2；综上所述：CF=4+2或4-2；（3）3+26．【答案】（1）解：如图所示：D点及为AB边上的“好点”（2）解：作AE⊥BC于点E，由，可设AE=4x，则BE=3x，CE=6x，∴BC=9x=9，∴，∴BE=3，CE=6，AE=4，设DE=a，①若点D在点E左侧，由点D是BC边上的“好点”知，，∴，即，解得，（舍去），∴.②若点D在点E右侧，由点D是BC边上的“好点”知，，∴，即，解得，（舍去）∴.∴或5.（3）解：①∵∠CHA=∠BHD，∠ACH=∠DBH∴△AHC∽△DHB∴，即∵OH⊥AB∴AH=BH∴∴点H是△BCD中CD边上的“好点”.②连接AD.∵∠ABD=90°∴AD为直径，∵OH⊥AB，OH=6∴，BD=2OH=12∴BH=AH=∴由①得：即∴CH=∴.7．【答案】（1）解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即BD⊥AC∵AB=BC，∴△ABD≌△CBD∴∠ABD=∠CBD在⊙O中，AD与DE分别是∠ABD与∠CBD所对的弦∴AD=DE；（2）解：∵四边形ABED内接于⊙O，∴∠CED=∠CAB，∵∠C=∠C，∴△CED∽△CAB，∴，∵AB=BC=10，CE=2，D是AC的中点，∴CD=；（3）解：延长EF交⊙O于M，在Rt △ABD 中，AD=，AB=10，∴BD=3，∵EM ⊥AB ，AB 是⊙O 的直径，∴，∴∠BEP=∠EDB ，∴△BPE ∽△BED ，∴，∴BP=，∴DP=BD-BP=，∴S △DPE ：S △BPE =DP ：BP=13：32，∵S △BCD =××3=15，S △BDE ：S △BCD =BE ：BC=4：5，∴S △BDE =12，∴S △DPE =．8．【答案】（1）解：∵OE ⊥AB ，∠BAC ＝30°，OA ＝2，∴∠AOE ＝60°，OE ＝OA ＝1，AE ＝EB ＝OE ＝，∵AC 是直径，∴∠ABC ＝90°，∴∠C ＝60°，∵OC ＝OB ，∴△OCB 是等边三角形，∵OF ＝FC ，∴BF⊥AC，∴∠AFB＝90°，∵AE＝EB，∴EF＝AB＝.（2）解：①证明：如图2中，过点F作FG⊥AB于G，交OB于H，连接EH.∵∠FGA＝∠ABC＝90°，∴FG∥BC，∴△OFH∽△OCB，∴＝，同理＝，∴FH＝OE，∵OE⊥AB.FH⊥AB，∴OE∥FH，∴四边形OEHF是平行四边形，∴PE＝PF.②解：∵OE∥FG∥BC，∴＝1，∴EG＝GB，∴EF＝FB，∵DF＝EF，∴DF＝BF，∵DO＝OB，∴FO⊥BD，∴∠AOB＝90°，∵OA＝OB，∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠BAC＝45°.解法二：可以过E点作EG∥OB交AC于点G，连接DG.∵EG∥OB，AE＝EB，∴AG＝OG∵OF＝FC，∴OG＝OF，∴OD﹣FG，∵AE⊥OE，AG＝OG，∴EG＝AO＝OG，∵∠DOG＝∠FGE，∴DOG≌△FGE（SAS），∴DG＝EF，∵DF＝EF，∴DG＝DF，∴DO⊥FG，∴EG⊥AO，∴EA＝EO，∴∠BAC＝45°9．【答案】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，AB＝8，AD＝10，∴AD＝BC＝10，AB＝CD＝8，∠D＝∠DCB＝∠ABC＝90°，由折叠对称性：AF＝AD＝10，FE＝DE，在Rt△ABF中，BF＝＝6，∴FC＝4，设DE＝x，则CE＝8﹣x，在Rt△ECF中，42+（8﹣x）2＝x2，得x＝5，∴CE＝8﹣x＝3，∵点B的坐标为（m，0），∴点E的坐标为（m﹣10，3），点F的坐标为（m﹣6，0）（2）解：分三种情形讨论：若AO＝AF，∵AB⊥OF，BF＝6，∴OB＝BF＝6，∴m＝﹣6；若OF＝AF，则m﹣6＝﹣10，得m＝﹣4；若AO＝OF，在Rt△AOB中，AO2＝OB2+AB2＝m2+64，∴（m﹣6）2＝m2+64，得m＝﹣；由上可得，m＝﹣6或﹣4或﹣（3）解：由（1）知A（m，8），E（m﹣10，3），∵抛物线y＝a（x﹣m+6）2+h经过A、E两点，∴，解得，，∴该抛物线的解析式为y＝（x﹣m+6）2﹣1，∴点M的坐标为（m﹣6，﹣1），设对称轴交AD于G，∴G（m﹣6，8），∴AG＝6，GM＝8﹣（﹣1）＝9，∵∠OAB+∠BAM＝90°，∠BAM+∠MAG＝90°，∴∠OAB＝∠MAG，又∵∠ABO＝∠MGA＝90°，∴△AOB∽△AMG，∴，即，解得，m＝﹣12，由上可得，a＝，h＝﹣1，m＝﹣12.10．【答案】（1）圆内接四边形对角互补；同圆中，同弧所对的圆周角相等（2）45°（3）解：①，，点与点关于对称，，，四点共圆；②，理由如下，如图，四点共圆，，关于对称，，，，，，，，又，，，，，.11．【答案】（1）解：∵，，∴，∴，又∵，，∴（SAS），∴，，∵，，∴，∵若三点共线，∴，如图，过B点作BH⊥CE交CE延长线于点H，∴，∴，即：点B到直线的距离为；（2）解：延长CF到N，使FN=CF，连接BN，∵FD=FB，，∴（SAS）∴，∵，∴，又∵，∴，∴，又∵，，∴（SAS ），∴，又∵，∴，∴，即，（3）解：的最小值为；过程如下：如解图3，过点G 作，且，过点G 作，且，连接OC 、、，∴，，∴，∵，∴，∴，即，∵，∴，∵，仅当C 、O 、、在同一条直线上等号成立；如解图4，过点作，垂足为H，过点作，垂足为P，∵，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，，∴，，∴，∴，∴的最小值为：，∴的最小值为. 12．【答案】（1）解：证明：如图1，连接OD，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴＝，又∵OD是半径，∴OD⊥BC，∵MN∥BC，∴OD⊥MN，∴MN是⊙O的切线；（2）证明：如图2，连接AO并延长交⊙O于H，∵AH是直径，∴∠ABH＝90°＝∠AFC，又∵∠AHB＝∠ACF，∴△ACF∽△AHB，∴，∴AB•AC＝AF•AH＝2R•h；（3）解：如图3，过点D作DQ⊥AB于Q，DP⊥AC，交AC延长线于P，连接CD，∵∠BAC＝2α，AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD＝α，∴＝，∴BD＝CD，∵∠BAD＝∠CAD，DQ⊥AB，DP⊥AC，∴DQ＝DP，∴Rt△DQB≌Rt△DPC（HL），∴BQ＝CP，∵DQ＝DP，AD＝AD，∴Rt△DQA≌Rt△DPA（HL），∴AQ＝AP，∴AB+AC＝AQ+BQ+AC＝2AQ，∵cos∠BAD＝，∴AD＝，∴＝＝2cosα．13．【答案】（1）（2）解：①∵，，，∴，，，∵，∴，∴，化简得：，解得或，∵，∴，∴，作轴于点如图1，在中，；②∵，∴，∴.∴，轴，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，，设直线为，解得直线的解析式为，，∴，∴，解得，12，，经检验知，，12，都是原方程的解，∵，∴，.14．【答案】（1）解：把A(-1，0)，B(5，0)代入y=ax2+bx-5可得，解得二次函数的解析式为y=x2-4x-5.（2）解：如图1,令x=0，则y=−5，∴C(0,−5)，∴OC=OB，∴∠OBC=∠OCB=45°，∴AB=6,BC=5，要使以B,C,D为顶点的三角形与△ABC相似,则有或，当时，CD=AB=6，∴D(0,1)，当时，∴，∴CD=，∴D(0,)，即：D的坐标为(0,1)或(0,)；（3）解：设H(t，t2-4t-5)∥x轴，，又因为点E在抛物线上，即，解得（舍去）∴BC所在直线解析式为y=x-5,∴则，而CE是定值，∴当HF的值最大时，四边形CHEF有最大面积。

相似三角形性质的练习题相似三角形的性质是指两个三角形的对应角度相等，对应边长成比例。

本题考查的是对相似三角形的判断，需要根据勾股定理求出各个三角形的边长，然后比较是否成比例，最终得出相似的三角形是①和③。

2．如图，D、E分别是AB、AC上两点，CD与BE相交于点O，下列条件中不能使△ABE和△ACD相似的是（）A．∠B=∠C B．∠ADC=∠AEB C．BE=CD，AB=AC D．AD：AC=AE：AB解答】解：根据相似三角形的性质，如果两个三角形相似，则对应角度相等，对应边长成比例。

因此，我们只需要判断哪个条件不满足这个性质即可。

A选项∠B=∠C，这个条件是成立的，因为它是由题目中给出的△ABC是等腰三角形推出的。

B选项∠ADC=∠AEB，这个条件也是成立的，因为它是由题目中给出的CD与BE相交于点O推出的。

C选项BE=CD，AB=AC，这个条件也是成立的，因为它是由题目中给出的D、E分别是AB、AC上两点，CD与BE相交于点O推出的。

D选项AD：AC=AE：AB，这个条件不成立，因为题目中没有给出这个条件，也无法由其他条件推出。

因此，选D。

3．下列说法中，错误的是（）A．两个全等三角形一定是相似形 B．两个等腰三角形一定相似 C．两个等边三角形一定相似 D．两个等腰直角三角形一定相似解答】解：A选项两个全等三角形一定是相似形是正确的，因为全等三角形的对应角度和对应边长都相等，符合相似三角形的定义。

B选项两个等腰三角形一定相似也是正确的，因为等腰三角形的底角相等，而顶角也相等，符合相似三角形的定义。

C选项两个等边三角形一定相似也是正确的，因为等边三角形的三个角都相等，而三个边长也相等，符合相似三角形的定义。

D选项两个等腰直角三角形一定相似是错误的，因为等腰直角三角形的底角相等，但是顶角不相等，不符合相似三角形的定义。

因此，选D。

4．如图，△ACD和△ABC相似需具备的条件是（）A． B． C．AC2=AD•AB D．CD2=AD•BD解答】解：根据相似三角形的定义，△ACD和△ABC相似需要满足两个条件：对应角度相等，对应边长成比例。

三角形相似测试题及答案1. 已知三角形ABC和三角形DEF相似，且AB/DE = 2/3，求AC/DF的比值。

答案：AC/DF = 2/3。

2. 若三角形ABC与三角形DEF相似，且∠A = ∠D，∠B = ∠E，那么∠C与∠F的关系是什么？答案：∠C = ∠F。

3. 在一个三角形中，如果两个角的度数分别为50度和60度，那么第三个角的度数是多少？答案：第三个角的度数是70度。

4. 一个三角形的三边长分别为3cm，4cm，5cm，另一个三角形的三边长分别为6cm，8cm，10cm，这两个三角形是否相似？答案：这两个三角形相似，因为它们的边长比相等，即3/6 = 4/8 = 5/10 = 1/2。

5. 已知三角形ABC与三角形DEF相似，且AB = 6cm，DE = 9cm，那么AC与DF的比值是多少？答案：AC/DF = AB/DE = 6/9 = 2/3。

6. 如果一个三角形的两边长分别为8cm和15cm，且这两个边的夹角为90度，那么这个三角形的第三边长是多少？答案：根据勾股定理，第三边长为17cm。

7. 两个相似三角形的对应高的比为3:4，那么它们的周长比是多少？答案：周长比也是3:4。

8. 一个三角形的三个内角的度数分别为30度，60度，90度，那么这个三角形与另一个三角形相似，其三个内角的度数分别为15度，30度，45度，这两个三角形是否相似？答案：这两个三角形不相似，因为它们的内角不相等。

9. 已知三角形ABC与三角形DEF相似，且BC = 2cm，EF = 4cm，那么AB与DE的比值是多少？答案：AB/DE = BC/EF = 2/4 = 1/2。

10. 一个三角形的三边长分别为2cm，3cm，4cm，另一个三角形的三边长分别为4cm，6cm，8cm，这两个三角形是否相似？答案：这两个三角形相似，因为它们的边长比相等，即2/4 = 3/6 = 4/8 = 1/2。

相似三角形》练习题及答案相似三角形提高练一、选择题1)在△ABC中，D、E、F分别是在AB、AC、BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，则正确的式子是（）。

A。

XXXB。

ADBF/DBFC = ADEF/CEFBC。

ADBF = DBFCD。

AE/AD = EC/BF答案：C解析：根据三角形相似的性质，有AB/AD=BE/EF=BC/CF，又因为DE∥BC，EF∥AB，所以有BE/EF=BC/CF，因此BE/EF=AB/AD，即ABEF∽ADBF，同理有DBFC∽ADEF，因此有ADBF/ABEF=DBFC/ACFC，即ADBF=DBFC。

2)在△ABC中，BC=5，CA=4√5，AB=10，另一个与它相似的三角形的最长边是（）。

A。

8√5B。

10√5C。

12√5D。

不确定答案：B解析：根据三角形相似的性质，有AB/BC=CA/AB，即AB²=BC×CA，又设相似三角形的最短边为x，则有x/5=4√5/x，解得x=2√10，因此最长边为2√10×2√5=10√5.3)在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，∠ABC的平分线交AC于D，则构成的三个三角形中，相似的是（）。

A。

△ABD∽△BCDB。

△ABC∽△BDCC。

△ABC∽△ABDD。

不存在答案：B解析：根据角平分线的性质，有BD/DC=AB/AC=1，因此BD=DC，又因为AB=AC，所以∠ABC=∠ACB，因此△ABD∽△BCD，又因为角BDC为直角，所以△ABC∽△XXX。

4)将三角形高分为四等分，过每个分点作底边的平行线，将三角形分四个部分，则四个部分面积之比是（）。

A。

1∶3∶5∶7B。

1∶2∶3∶4C。

1∶2∶4∶5D。

1∶2∶3∶5答案：C解析：将三角形高分为四等分后，底边上的四个分点将底边分为五等分，设底边长为a，高为h，则每个小三角形的面积为1/20ah，因此四个部分的面积分别为1/20ah、2/20ah、4/20ah、5/20ah，即1∶2∶4∶5.5)下列命题中，真命题是（）。

相似三角形30道经典题英文回答：1. Theorem: If two triangles are similar, then their corresponding sides are proportional.2. Corollary: If two triangles have two pairs of corresponding sides proportional, then they are similar.3. Theorem: If two triangles have three pairs of corresponding angles congruent, then they are similar.4. Corollary: If two triangles have two pairs of corresponding angles congruent, then the third pair is also congruent, and the triangles are similar.5. Theorem: The ratio of the areas of two similar triangles is equal to the square of the ratio of any two corresponding sides.6. Corollary: The ratio of the areas of two similar triangles is equal to the square of the ratio of any two corresponding altitudes.7. Theorem: If a line parallel to one side of a triangle divides another side into two segments, then the ratio of the lengths of the segments is equal to the ratio of the corresponding sides of the triangle.8. Corollary: If a line parallel to the base of a triangle divides the other two sides into segments, then the ratios of the lengths of the segments are equal to the ratio of the corresponding sides of the triangle.9. Theorem: If a line parallel to one side of a triangle divides the area of the triangle into two parts, then the ratio of the areas of the parts is equal to the ratio of the corresponding sides of the triangle.10. Corollary: If a line parallel to the base of a triangle divides the area of the triangle into two parts, then the ratios of the areas of the parts are equal to theratio of the corresponding sides of the triangle.11. Theorem: The sum of the interior angles of a triangle is 180 degrees.12. Corollary: The sum of the exterior angles of a triangle is 360 degrees.13. Theorem: The Pythagorean Theorem: For a right triangle, the square of the hypotenuse is equal to the sum of the squares of the other two sides.14. Corollary: The converse of the Pythagorean Theorem: If the square of one side of a triangle is equal to the sum of the squares of the other two sides, then the triangle is a right triangle.15. Theorem: The Law of Cosines: For any triangle, the square of one side is equal to the sum of the squares of the other two sides minus twice the product of the other two sides and the cosine of the included angle.16. Corollary: The Law of Sines: For any triangle, the ratio of the sine of one angle to the length of theopposite side is equal to the ratio of the sine of anyother angle to the length of its opposite side.17. Theorem: The area of a triangle is equal to halfthe product of the base and height.18. Corollary: The area of a triangle is equal to half the product of two sides and the sine of the included angle.19. Theorem: The perimeter of a triangle is equal tothe sum of the lengths of its three sides.20. Corollary: The perimeter of a triangle is equal to the sum of the lengths of two sides plus the length of the third side.21. Theorem: If a triangle is equilateral, then its angles are all equal to 60 degrees.22. Corollary: If a triangle has two sides equal, thenits angles opposite the equal sides are equal.23. Theorem: If a triangle has two angles equal, thenits sides opposite the equal angles are equal.24. Corollary: If a triangle has three equal sides,then its angles are all equal to 60 degrees.25. Theorem: If a triangle has a right angle, then its other two angles are acute.26. Corollary: If a triangle has an obtuse angle, then its other two angles are acute.27. Theorem: If a triangle has two adjacent sides equal, then the angle opposite the equal sides is greater than the other angles.28. Corollary: If a triangle has two adjacent sides unequal, then the angle opposite the greater side isgreater than the angle opposite the smaller side.29. Theorem: If a triangle has two adjacent angles equal, then the sides opposite the equal angles are equal.30. Corollary: If a triangle has two adjacent angles unequal, then the side opposite the greater angle isgreater than the side opposite the smaller angle.中文回答：1. 定理，如果两个三角形相似，那么它们对应边的比值相等。

相似三角形练习题一、填空题：1、若b m m a 2,3==，则_____:=b a 。

2、已知653zy x ==，且623+=z y ，则__________,==y x 。

3、在Rt △ABC 中，斜边长为c ，斜边上的中线长为m ，则______:=c m 。

4、反向延长线段AB 至C ，使AC ＝21AB ，那么BC ：AB ＝ 。

5、如果△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为3：2，若它们的周长的差为40厘米，则 △A ′B ′C ′的周长为 厘米。

6、如图，△AED ∽△ABC ，其中∠1＝∠B ，则()()()AB BC AD_________==。

第6题图 第7题图7、如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，若∠A ＝30°，则BD ：BC ＝ 。

若BC ＝6，AB ＝10，则BD ＝ ，CD ＝ 。

8、如图，梯形ABCD 中，DC ∥AB ，DC ＝2cm ，AB ＝3.5cm ，且MN ∥PQ ∥AB ， DM ＝MP ＝PA ，则MN ＝ ，PQ ＝ 。

第8题图 第9题图9、如图，四边形ADEF 为菱形，且AB ＝14厘米，BC ＝12厘米，AC ＝10厘米，那BE ＝ 厘米。

10、梯形的上底长1.2厘米，下底长1.8厘米，高1厘米，延长两腰后与下底所成的三角形的高为 厘米。

二、选择题：EAD B C 1C BD AD CM P N Q A B11、下面四组线段中，不能成比例的是（ ） A 、4,2,6,3====d c b a B 、3,6,2,1====d c b a C 、10,5,6,4====d c b a D 、32,15,5,2====d c b a12、等边三角形的中线与中位线长的比值是（ ）A 、1:3B 、2:3C 、23:21 D 、1：3 13、已知754zy x ==，则下列等式成立的是（ ） A 、91=+-y x y x B 、167=++z z y x C 、38=-+++z y x z y x D 、x z y 3=+14、已知直角三角形三边分别为b a b a a 2,,++，()0,0>>b a ，则=b a :（ ） A 、1：3 B 、1：4 C 、2：1 D 、3：115、△ABC 中，AB ＝12，BC ＝18，CA ＝24，另一个和它相似的三角形最长的一边是36，则最短的一边是（ ）A 、27B 、12C 、18D 、2016、已知c b a ,,是△ABC 的三条边，对应高分别为c b a h h h ,,，且6:5:4::=c b a ，那么c b a h h h ::等于（ ）A 、4：5：6B 、6：5：4C 、15：12：10D 、10：12：15 17、一个三角形三边长之比为4：5：6，三边中点连线组成的三角形的周长为30cm ，则原三角形最大边长为（ ）A 、44厘米B 、40厘米C 、36厘米D 、24厘米 18、下列判断正确的是（ ）A 、不全等的三角形一定不是相似三角形B 、不相似的三角形一定不是全等三角形C 、相似三角形一定不是全等三角形D 、全等三角形不一定是相似三角形19、如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是高，EF ∥BC ，则图中与△ADC 相似的三角形共有（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、多于3个第19题图 第20题图A E F GB DC20、如图，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 边上的点，若BE ：EC ＝4：5，AE 交BD 于F ，则BF ：FD 等于（ ）A 、4：5B 、3：5C 、4：9D 、3：8 三、解答题：21、已知()3:2:=-y y x ，求yx yx 2352-+的值。

相似三角形性质与判定专项练习30题(有答案)1.在三角形ABC中，点D在边BC上，且∠BAC=∠DAG，∠XXX∠BAD。

证明：=。

当GC⊥BC时，证明：∠BAC=90°。

2.在三角形ABC中，∠ACB=90°，点D在边BC上，CE⊥AB，CF⊥AD，E、F分别是垂足。

证明：AC^2=AF•AD。

联结EF，证明：AE•DB=AD•EF。

3.在三角形ABC中，PC平分∠ACB，PB=PC。

证明：△APC∽△ACB。

若AP=2，PC=6，求AC的长。

4.在平行四边形ABCD中，过B作BE⊥CD，垂足为点E，连接AE，F为AE上一点，且∠XXX∠C。

证明：△ABF∽△EAD。

若AB=4，∠BAE=30°，求AE的长。

5.在三角形ABC中，∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC。

证明：AB•BC=AC•CD。

6.在直角三角形ABC中，AC=BC，点E、F在AB上，∠ECF=45°，设△ABC的面积为S。

说明AF•BE=2S的理由。

7.在等边三角形ABC中，边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，连接AF，BE相交于点P。

若AE=CF，证明：AF=BE，并求∠APB的度数。

若AE=2，试求AP•AF的值。

若AF=BE，当点E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长。

8.在钝角三角形ABC中，AD，BE是边BC上的高。

证明。

9.在三角形ABC中，AB=AC，DE∥BC，点F在边AC 上，DF与BE相交于点G，且∠XXX∠ABE。

证明：（1）△DEF∽△BDE；（2）DG•DF=DB•EF。

10.在等边三角形ABC、△DEF中，点D为AB的中点，E在BC上运动，DF和EF分别交AC于G、H两点，BC=2.问E在何处时CH的长度最大？11.在AB和CD交于点O的图形中，当∠A=∠C时，证明：OA•OB=OC•OD。

12.在等边三角形△AEC中，以AC为对角线做正方形ABCD（点B在△AEC内，点D在△AEC外）。

相似三角形：填空：1. 如果一个三角形的三边长为5、12、13，与其相似的三角形的最长的边为39，那么较大的三角形的周长为，面积为．2. 如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=2，AE=3，BD=4，则AC= ．3. 五边形ABCDE∽五边形A′B′C′D′E′，∠A=120°，∠B′=130°，∠C=105°，∠D′=85°，则∠E=．4. 如图，在△ABC中，D、E分别是AC、AB边上的点，∠AED=∠C，AB=6，AD=4，AC=5，则AE= ．5. 如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，2），B（4，0），C（6，4）以原点为位似中心，将△ABC缩小，位似比为1：2，则线段AC中点P变换后对应点的坐标为．6. 从美学角度来说，人的上身长与下身长之比为黄金比时，可以给人一种协调的美感．某女老师上身长约61.80cm，下身长约93.00cm，她要穿约cm的高跟鞋才能达到黄金比的美感效果（精确到0.01cm）．7. 如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D，点D为AC的黄金分割点（AD＞CD），AC=6，则CD= ．8．如图，已知P是线段AB的黄金分割点，且PA＞PB，若S1表示PA为一边的正方形的面积，S2表示长是AB，宽是PB的矩形的面积，则S1S2．（填“＞”“=”或“＜”）9．如图，△ABC中，P为AB上一点，在下列四个条件中：①∠ACP=∠B；②∠APC=∠ACB；③AC2=AP•AB；④AB•CP=AP•CB，能满足△APC与△ACB相似的条件是（）10．如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，点F在BC上，且FC=BC．图中相似三角形共有（）对11．如图，正方形ABCD的边长为2，AE=EB，MN=1，线段MN的两端在CB，CD上滑动，当CM= 时，△AED与以M，N，C为顶点的三角形相似．12．如图，C是AB的黄金分割点，BG=AB，以CA为边的正方形的面积为S1，以BC、BG为边的矩形的面积为S2，则S1S2（填“＞”“＜”“=”）．13．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC的中点，MN⊥AC 于点N，则MN等于（）14．在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，则下列说法正确的有（填序号）．①AC•BC=AB•CD；②AC2=AD•DB；③BC2=BD•BA；④CD2=AD•DB．15．如图，在▱ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，EF交AC于点G，则的值是．16．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC，BD交于点O，S△AOD：S△COB=1：9，则S△DOC：S△BOC= ．17．如图，在△ABC中，BC=a．若D1，E1分别是AB，AC的中点，则D1E1=；若D2，E2分别是D1B，E1C的中点，则D2E2=…若D n E n分别是D n﹣1B，E n﹣1C的中点，则D n E n的长是多少（n＞1，且n为整数，结果用含a，n的代数式表示）？18．如图，将△ABC绕顶点A顺时针旋转60°后，得到△AB′C′，且C′为BC的中点，则C′D：DB′=（）19．如图，在正方形网格中，点A、B、C、D都是格点，点E是线段AC上任意一点．如果AD=1，那么当AE= 时，以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似．20．如图，在直角三角形ABC中（∠C=90°），放置边长分别为3，4，x的三个正方形，则x的值为（）21．如图，▱ABCD中，E、F分别为AD、BC上的点，且DE=2AE，BF=2FC，连接BE、AF交于点H，连接DF、CE交于点G，则= ．22．如图，△ABC是边长为1的等边三角形，取BC边中点E，作ED∥AB交AC 于点D，EF∥AC交AB于点F，得到四边形EDAF，它的面积记做S1，取BE边中点E1，作E1D1∥FB交EF于点D1，E1F1∥EF交AB于点F1，得到四边形E1D1FF1，它的面积记做S2．照此规律作下去，则S2013= ．解答：1．已知：如图所示，D是AC上一点，BE∥AC，AE分别交BD，BC于点F，G，∠1=∠2．则证明BF2=FG•EF．2．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G．（1）求证：△CDF∽△BGF；（2）当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD于点E，若AB=6cm，EF=4cm，求CD的长．3．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，DE∥BC，点F在边AC上，DF与BE 相交于点G，且∠EDF=∠ABE．求证：（1）△DEF∽△BDE；（2）DG•DF=DB•EF．4．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，，连接EF并延长交BC的延长线于点G．（1）求证：△ABE∽△DEF；（2）若正方形的边长为4，求BG的长．5．如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME=∠A=∠B，且DM 交AC于F，ME交BC于G．写出图中的所有相似三角形，并选择一对加以证明．6．如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=16cm，AC=12cm，点P从B出发沿BC 以2cm/s的速度向C移动，点Q从C出发，以1cm/s的速度向A移动，若P、Q分别从B、C同时出发，设运动时间为ts，当为何值时，△CPQ与△CBA相似？7．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE=40cm，EF=20cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5m，CD=8m，求树高AB．8．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，P是AB上一点，PE∥BC交CD于点E．若AD=2，BC=，则点P在何处时，PE把梯形ABCD分成两个相似的小梯形？9．如图，已知线段AB，P1是AB的黄金分割点（AP1＞BP1），点O是AB的中点，P2是P1关于点O的对称点．求证：P1B是P2B和P1P2的比例中项．10．如图，已知DE∥BC，EF∥AB，设S△ABC=S，S△ABC=S1，S△ECF=S2，请验证．11．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=1，BC=，以点C为圆心，CB为半径的弧交CA于点D；以点A为圆心，AD为半径的弧交AB于点E．（1）求AE的长度；（2）分别以点A、E为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点F（F与C在AB 两侧），连接AF、EF，设EF交弧DE所在的圆于点G，连接AG，试猜想∠EAG 的大小，并说明理由．12．如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B．试在y轴上找一点P，使△AOP与△AOB相似，你能找出几个这样的点（点P与点B不重合）？分别求出对应AP的长度．13．如图，已知△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，PQ∥AB，点P在AC上（与点A，C不重合），点Q在BC上．（1）△CPQ的边PQ上的高为时，求△CPQ的周长；（2）当△CPQ的周长与四边形PABQ的周长相等时，求CP的长．14．阅读下面的短文，并解答下列问题：我们把相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体．如图，甲、乙是两个不同的正方体，正方体都是相似体，它们的一切对应线段之比都等于相似比（a：b）．设S甲、S乙分别表示这两个正方体的表面积，则==（）2又设V甲、V乙分别表示这两个正方体的体积，则==（）3（1）下列几何体中，一定属于相似体的是（A）A．两个球体B．两个锥体C．两个圆柱体D．两个长方体（2）请归纳出相似体的三条主要性质：①相似体的一切对应线段（或弧）长的比等于；②相似体表面积的比等于；③相似体体积比等于．（3）假定在完全正常发育的条件下，不同时期的同一人的人体是相似体，一个小朋友上幼儿园时身高为1.1米，体重为18千克，到了初三时，身高为1.65米，问他的体重是多少？（不考虑不同时期人体平均密度的变化）15．△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AC=2cm．长为1cm的线段MN在△ABC 的边AB上沿AB方向以1cm/s的速度向点B运动（运动前点M与点A重合）．过M，N分别作AB的垂线交直角边于P，Q两点，线段MN运动的时间为ts．（1）若△AMP的面积为y，写出y与t的函数关系式（写出自变量t的取值范围）；（2）线段MN运动过程中，四边形MNQP有可能成为矩形吗？若有可能，求出此时t的值；若不可能，说明理由；（3）t为何值时，以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？16．定义：若某个图形可分割为若干个都与他相似的图形，则称这个图形是自相似图形．探究：（1）如图甲，已知△ABC中∠C=90°，你能把△ABC分割成2个与它自己相似的小直角三角形吗？若能，请在图甲中画出分割线，并说明理由．（2）一般地，“任意三角形都是自相似图形”，只要顺次连接三角形各边中点，则可将原三分割为四个都与它自己相似的小三角形．我们把△DEF（图乙）第一次顺次连接各边中点所进行的分割，称为1阶分割（如图1）；把1阶分割得出的4个三角形再分别顺次连接它的各边中点所进行的分割，称为2阶分割（如图2）…依次规则操作下去．n阶分割后得到的每一个小三角形都是全等三角形（n为正整数），设此时小三角形的面积为S N．①若△DEF的面积为10000，当n为何值时，2＜S n＜3？（请用计算器进行探索，要求至少写出三次的尝试估算过程）②当n＞1时，请写出一个反映S n﹣1，S n，S n+1之间关系的等式．（不必证明）17．如图①，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1，S2，S3表示，则不难证明S1=S2+S3．（1）如图②，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1，S2，S3表示，那么S1，S2，S3之间有什么关系；（不必证明）（2）如图③，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你确定S1，S2，S3之间的关系并加以证明；（3）若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别用S1，S2，S3表示，为使S1，S2，S3之间仍具有与（2）相同的关系，所作三角形应满足什么条件证明你的结论；（4）类比（1），（2），（3）的结论，请你总结出一个更具一般意义的结论．18．为了加强视力保护意识，欢欢想在书房里挂一张测试距离为5m的视力表，但两面墙的距离只有3m．在一次课题学习课上，欢欢向全班同学征集“解决空间过小，如何放置视力表问题”的方案，其中甲、乙两位同学设计方案新颖，构思巧妙．（1）甲生的方案：如图①，根据测试距离为5m的大视力表制作一个测试距离为3m的小视力表．如果大视力表中“E”的高是3.5cm，那么小视力表中相应“E”的高是多少？（2）乙生的方案：使用平面镜来解决房间小的问题．如图②，若使墙面镜子能呈现完整的视力表，由平面镜成像原理，作出了光路图，其中视力表AB的上、下边沿A，B发出的光线经平面镜MM′的上下边沿反射后射人人眼C处．如果视力表的全长为0.8m，请计算出镜长至少为多少米．19．在直角边分别为5cm和12cm的直角三角形中作菱形，使菱形的一个内角恰好是三角形的一个角，其余顶点都在三角形的边上，求所作菱形的边长．20．如图1，点C将线段AB分成两部分，如果，那么称点C为线段AB 的黄金分割点．某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1，S2，如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线．（1）研究小组猜想：在△ABC中，若点D为AB边上的黄金分割点（如图2），则直线CD是△ABC的黄金分割线．你认为对吗？为什么？（2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？（3）研究小组在进一步探究中发现：过点C任作一条直线交AB于点E，再过点D作直线DF∥CE，交AC于点F，连接EF（如图3），则直线EF也是△ABC 的黄金分割线．请你说明理由．（4）如图4，点E是平行四边形ABCD的边AB的黄金分割点，过点E作EF∥AD，交DC于点F，显然直线EF是平行四边形ABCD的黄金分割线．请你画一条平行四边形ABCD的黄金分割线，使它不经过平行四边形ABCD各边黄金分割点．21．如图，已知线段AB∥CD，AD与BC相交于点K，E是线段AD上一动点．（1）若BK=KC，求的值；（2）连接BE，若BE平分∠ABC，则当AE=AD时，猜想线段AB、BC、CD 三者之间有怎样的等量关系？请写出你的结论并予以证明．再探究：当AE=AD（n＞2），而其余条件不变时，线段AB、BC、CD三者之间又有怎样的等量关系？请直接写出你的结论，不必证明．22．如图，已知△ABC是面积为的等边三角形，△ABC∽△ADE，AB=2AD，∠BAD=45°，AC与DE相交于点F，则△AEF的面积等于（结果保留根号）．23．如图，已知△ABC∽△A1B1C1，相似比为k（k＞1），且△ABC的三边长分别为a、b、c（a＞b＞c），△A1B1C1的三边长分别为a1、b1、c1．（1）若c=a1，求证：a=kc；（2）若c=a1，试给出符合条件的一对△ABC和△A1B1C1，使得a、b、c和a1、b1、c1都是正整数，并加以说明；（3）若b=a1，c=b1，是否存在△ABC和△A1B1C1使得k=2？请说明理由．24．在左图的方格纸中有一个Rt△ABC（A、B、C三点均为格点），∠C=90°（1）请你画出将Rt△ABC绕点C顺时针旋转90°后所得到的Rt△A′B′C′，其中A、B的对应点分别是A′、B′（不必写画法）；（2）设（1）中AB的延长线与A′B′相交于D点，方格纸中每一个小正方形的边长为1，试求BD的长（精确到0.1）．25．如图，已知：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，sinB=，D是BC上一点，DE⊥AB，垂足为E，CD=DE，AC+CD=9．求BC的长．26．如图，在△ABC中，AB=AC=1，点D，E在直线BC上运动．设BD=x，CE=y．（1）如果∠BAC=30°，∠DAE=105°，试确定y与x之间的函数关系式；（2）如果∠BAC=α，∠DAE=β，当α，β满足怎样的关系时，（1）中y与x之间的函数关系式还成立？试说明理由．27．如图，在平行四边形ABCD中，过点B作BE⊥CD于E，F为AE上一点，且∠BFE=∠C．（1）求证：△ABF∽△EAD；（2）若AB=5，AD=3，∠BAE=30°，求BF的长．28．如图，AB与CD相交于E，AE=EB，CE=ED，D为线段FB的中点，CF 与AB交于点G，若CF=15cm，求GF之长．29．如图，AF⊥CE，垂足为点O，AO=CO=2，EO=FO=1．（1）求证：点F为BC的中点；（2）求四边形BEOF的面积．30．E、F为平行四边形ABCD的对角线DB上三等分点，连AE并延长交DC 于P，连PF并延长交AB于Q，如图①（1）在备用图中，画出满足上述条件的图形，记为图②，试用刻度尺在图①、②中量得AQ、BQ的长度，估计AQ、BQ间的关系，并填入下表：（长度单位：cm）；（2）上述（1）中的猜测AQ、BQ间的关系成立吗？为什么？（3）若将平行四边形ABCD改为梯形（AB∥CD）其他条件不变，此时（1）中猜测AQ、BQ间的关系是否成立？（不必说明理由）31．如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴负半轴上，点B的坐标是（0，2），过点B作BC⊥AB交x轴于点C，过点C作CD⊥BC交y轴于点D，过点D作DE⊥CD交x轴于点E，过点E作EF⊥DE交y轴于点F，若EA=3AC．（1）求证：△CBA∽△EDC；（2）请写出点A，点C的坐标（解答过程可不写）；（3）求出线段EF的长．32．Ⅰ．如图①，在△ABC中，点D，E，Q分别在AB，AC，BC上，且DE∥BC，AQ交DE于点P．求证：；Ⅱ．如图②，在△ABC中，∠BAC=90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连结AG，AF，分别交DE于M，N两点．（1）如图②，若AB=AC=1，直接写出MN的长；（2）如图③，探究DM，MN，EN之间的关系，并说明理由．33．如图，在平面直角坐标系中，已知OA=12厘米，OB=6厘米．点P从点O开始沿OA边向点A以1厘米/秒的速度移动；点Q从点B开始沿BO边向点O以1厘米/秒的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间（0≤t≤6），那么（1）设△POQ的面积为y，求y关于t的函数解析式；（2）当△POQ的面积最大时，将△POQ沿直线PQ翻折后得到△PCQ，试判断点C是否落在直线AB上，并说明理由；（3）当t为何值时，△POQ与△AOB相似．34．已知△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，D是腰AC上的一个动点，过C 作CE垂直于BD或BD的延长线，垂足为E，如图．（1）若BD是AC的中线，求的值；（2）若BD是∠ABC的角平分线，求的值；（3）结合（1）、（2），试推断的取值范围（直接写出结论，不必证明），并探究的值能小于吗？若能，求出满足条件的D点的位置；若不能，说明理由．35．已知抛物线y=ax2+bx﹣1经过点A（﹣1，0）、B（m，0）（m＞0），且与y轴交于点C．（1）求a、b的值（用含m的式子表示）；（2）如图所示，⊙M过A、B、C三点，求阴影部分扇形的面积S（用含m的式子表示）；（3）在x轴上方，若抛物线上存在点P，使得以A、B、P为顶点的三角形与△ABC 相似，求m的值．36．如图，点D，E分别在△ABC的边BC，BA上，四边形CDEF是等腰梯形，EF∥CD．EF与AC交于点G，且∠BDE=∠A．（1）试问：AB•FG=CF•CA成立吗？说明理由；（2）若BD=FC，求证：△ABC是等腰三角形．37．如图，在▱ABCD中，AE、BF分别平分∠DAB和∠ABC，交CD于点E、F，AE、BF相交于点M．（1）试说明：AE⊥BF；（2）判断线段DF与CE的大小关系，并予以说明．38．如图①、②在▱ABCD中，∠BAD、∠ABC的平分线AF、BG分别与线段CD 两侧的延长线（或线段CD）相交于点F、G，AF与BG相交于点E．（1）在图①中，求证：AF⊥BG，DF=CG；（2）在图②中，仍有（1）中的AF⊥BG、DF=CG．若AB=10，AD=6，BG=4，求FG和AF的长．39．已知，如图，AD为Rt△ABC斜边BC上的高，点E为DA延长线上一点，连接BE，过点C作CF⊥BE于点F，交AB、AD于M、N两点．（1）若线段AM、AN的长是关于x的一元二次方程x2﹣2mx+n2﹣mn+m2=0的两个实数根，求证：AM=AN；（2）若AN=，DN=，求DE的长；（3）若在（1）的条件下，S△AMN：S△ABE=9：64，且线段BF与EF的长是关于y的一元二次方程5y2﹣16ky+10k2+5=0的两个实数根，求BC的长．40．把两块全等的直角三角形ABC和DEF叠放在一起，使三角板DEF的锐角顶点D与三角板ABC的斜边中点O重合，其中∠ABC=∠DEF=90°，∠C=∠F=45°，AB=DE=4，把三角板ABC固定不动，让三角板DEF绕点O旋转，设射线DE 与射线AB相交于点P，射线DF与线段BC相交于点Q．（1）如图1，当射线DF经过点B，即点Q与点B重合时，易证△APD∽△CDQ．此时，AP•CQ=；（2）将三角板DEF由图1所示的位置绕点O沿逆时针方向旋转，设旋转角为α．其中0°＜α＜90°，问AP•CQ的值是否改变？说明你的理由；（3）在（2）的条件下，设CQ=x，两块三角板重叠面积为y，求y与x的函数关系式．（图2，图3供解题用）41．（Ⅰ）如图1，点P在平行四边形ABCD的对角线BD上，一直线过点P分别交BA，BC的延长线于点Q，S，交AD，CD于点R，T．求证：PQ•PR=PS•PT；（Ⅱ）如图2，图3，当点P在平行四边形ABCD的对角线BD或DB的延长线上时，PQ•PR=PS•PT是否仍然成立？若成立，试给出证明；若不成立，试说明理由（要求仅以图2为例进行证明或说明）；（Ⅲ）如图4，ABCD为正方形，A，E，F，G四点在同一条直线上，并且AE=6cm，EF=4cm，试以（Ⅰ）所得结论为依据，求线段FG的长度．42．取一副三角板按图①拼接，固定三角板ADC，将三角板ABC绕点A依顺时针方向旋转一个大小为α的角（0°＜α≤45°）得到△ABC′，如图所示．试问：（1）当α为多少度时，能使得图②中AB∥DC；（2）当旋转至图③位置，此时α又为多少度图③中你能找出哪几对相似三角形，并求其中一对的相似比；（3）连接BD，当0°＜α≤45°时，探寻∠DBC′+∠CAC′+∠BDC值的大小变化情况，并给出你的证明．43．如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，顶点D，C分别在AM，BN上运动（点D不与A重合，点C不与B重合），E是AB上的动点（点E不与A，B重合），在运动过程中始终保持DE⊥CE，且AD+DE=AB=a．（1）求证：△ADE∽△BEC；（2）当点E为AB边的中点时（如图2），求证：①AD+BC=CD；②DE，CE 分别平分∠ADC，∠BCD；（3）设AE=m，请探究：△BEC的周长是否与m值有关，若有关请用含m的代数式表示△BEC的周长；若无关请说明理由．44．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，点D是BC上一个动点（不与B、C重合），在AC上取E点，使∠ADE=45度．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式；（3）当：△ADE是等腰三角形时，求AE的长．45．等腰△ABC，AB=AC=8，∠BAC=120°，P为BC的中点，小慧拿着含30°角的透明三角板，使30°角的顶点落在点P，三角板绕P点旋转．（1）如图a，当三角板的两边分别交AB、AC于点E、F时．求证：△BPE∽△CFP；（2）操作：将三角板绕点P旋转到图b情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于点E、F．①探究1：△BPE与△CFP还相似吗？（只需写出结论）②探究2：连接EF，△BPE与△PFE是否相似？请说明理由；③设EF=m，△EPF的面积为S，试用m的代数式表示S．46．如图：在平行四边形ABCD中，E是AD上的一点．求证：．47．（1）如图1所示，在等边△ABC中，点D是AB边上的动点，以CD为一边，向上作等边△EDC，连接AE，求证：AE∥BC；（2）如图2所示，将（1）中等边△ABC的形状改成以BC为底边的等腰三角形，所作△EDC相似于△ABC，请问仍有AE∥BC？证明你的结论．48．如图，△ABC内接于⊙O，直径CD⊥AB，垂足为E，弦BF交CD于点M，交AC于点N，且BF=AC，连接AD、AM．求证：（1）△ACM≌△BCM；（2）AD•BE=DE•BC；（3）BM2=MN•MF．49．操作：在△ABC中，AC=BC=2，∠C=90°，将一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、CB于D、E两点．图1，2，3是旋转三角板得到的图形中的3种情况．研究：（1）三角板绕点P旋转，观察线段PD和PE之间有什么数量关系，并结合图2加以证明；（2）三角板绕点P旋转，△PBE是否能成为等腰三角形？若能，指出所有情况（即写出△PBE为等腰三角形时CE的长）；若不能，请说明理由；（3）若将三角板的直角顶点放在斜边AB上的M处，且AM：MB=1：3，和前面一样操作，试问线段MD和ME之间有什么数量关系？并结合图4加以证明．50．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F分别是OA、OB 的中点．（1）求证：△ADE≌△BCF；（2）若AD=4cm，AB=8cm，求CF的长．51．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC=90°，AB=2DC，对角线AC⊥BD，垂足为F，过点F作EF∥AB，交AD于点E，CF=4cm．（1）求证：四边形ABFE是等腰梯形；（2）求AE的长．52．如图，用三个全等的菱形ABGH、BCFG、CDEF拼成平行四边形ADEH，连接AE与BG、CF分别交于P、Q，（1）若AB=6，求线段BP的长；（2）观察图形，是否有三角形与△ACQ全等？并证明你的结论．53．已知点E、F在△ABC的边AB所在的直线上，且AE=BF，FH∥EG∥AC，FH、EG分别交边BC所在的直线于点H、G．（1）如图1，如果点E、F在边AB上，那么EG+FH=AC；（2）如图2，如果点E在边AB上，点F在AB的延长线上，那么线段EG、FH、AC的长度关系是；（3）如图3，如果点E在AB的反向延长线上，点F在AB的延长线上，那么线段EG、FH、AC的长度关系是．对（1）（2）（3）三种情况的结论，请任选一个给予证明．解析：填空：1．解：设较大三角形的其他两边长为a，b．∵由相似三角形的对应边比相等∴解得：a=15，b=36，则较大三角形的周长为90，面积为270．故较大三角形的周长为90，面积为270．∴，∵AD=2，AE=3，BD=4，∴，∴CE=6，∴AC=AE+EC=3+6=9．故答案为：9．∴∠B=∠B′=130°，∠D=∠D′=85°，又∵五边形的内角和为540°，∴∠E=540°﹣∠A﹣∠B﹣∠C﹣∠D=100°，故答案为：100°．∵∠A=∠A，∠AED=∠C，∴△AED∽△ACB．∴，∴，∴AE=．故答案为：．5．解：如图，∵A（2，2），C（6，4），∴点P的坐标为（4，3），∵以原点为位似中心将△ABC缩小位似比为1：2，∴线段AC的中点P变换后的对应点的坐标为（﹣2，﹣）或（2，）．故答案为：（﹣2，﹣）或（2，）．xcm的高跟鞋才能达到黄金比的美感效果．根据题意，得=≈0.618，解得x≈7.00故答案为：7.00．∴AD=AC═×6=3﹣3，∴CD=AC﹣AD=6﹣（3﹣3）=9﹣3．故答案为9﹣3．8．解：∵P是线段AB的黄金分割点，且PA＞PB，∴PA2=PB•AB，又∵S1表示PA为一边的正方形的面积，S2表示长是AB，宽是PB的矩形的面积，∴S1=PA2，S2=PB•AB，∴S1=S2．故答案为：=．9．解：∵∠A=∠A∴①∠ACP=∠B，②∠APC=∠ACB时都相似；∵AC2=AP•AB∴AC：AB=AP：AC∴③相似；④此两个对应边的夹角不是∠A，所以不相似．所以能满足△APC与△ACB相似的条件是①②③．10．解：图中相似三角形共有3对．理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴∠D=∠C=90°，AD=DC=CB，∵DE=CE，FC=BC，∴DE：CF=AD：EC=2：1，∴△ADE∽△ECF，∴AE：EF=AD：EC，∠DAE=∠CEF，∴AE：EF=AD：DE，即AD：AE=DE：EF，∵∠DAE+∠AED=90°，∴∠CEF+∠AED=90°，∴∠AEF=90°，∴∠D=∠AEF，∴△ADE∽△AEF，∴△AEF∽△ADE∽△ECF，即△ADE∽△ECF，△ADE∽△AEF，△AEF∽△ECF．11. 解：设CM的长为x．在Rt△MNC中∵MN=1，∴NC= ，①Rt△AED∽Rt△CMN时，则，即，解得x=或x=（不合题意，舍去），②Rt△AED∽Rt△CNM时，则，即，解得x=或（不合题意，舍去），综上所述，当CM=或时，△AED与以M，N，C为顶点的三角形相似．故答案为：或．12．解：由题意得：===1．即：S1=S2．13．解：连接AM，∵AB=AC，点M为BC中点，∴AM⊥CM（三线合一），BM=CM，∵AB=AC=5，BC=6，∴BM=CM=3，在Rt△ABM中，AB=5，BM=3，∴根据勾股定理得：AM===4，又S△AMC=MN•AC=AM•MC，∴MN==．14．解答：解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，∴AC•BC=AB•CD，即∴AC•BC=AB•CD，故①正确；∵△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，∴BC2=BD•BA，故③正确；∴△ACD∽△CBD，∴，∴AC2=AD•AB，CD2=AD•DB，故②错误，④正确．故答案为：①③④．15．解答：解：连接BD，与AC相交于O，∵点E、F分别是AD、AB的中点，∴EF是△ABD的中位线，∴EF∥DB，且EF=DB，∴△AEF∽△ADB，∴，∴，∴，∴AG=GO，又OA=OC，∴AG：GC=1：3．故答案为：．16．解答：解：根据题意，AD∥BC∴△AOD∽△COB ∵S△AOD：S△COB=1：9∴=则S△AOD：S△DOC=1：3所以S△DOC：S△BOC=3：9=1：3．17．解答：解：在△ABC中、BC=a，若D1、E1分别是AB、AC的中点，根据中位线定理得D1E1==a，∵D2、E2分别是D1B、E1C的中点，∴D2E2=（+a）=a=a，∵D3、E3分别是D2B、E2C的中点，则D3E3=（a+a）=a，…根据以上可得：若Dn、En分别是D n﹣1B、E n﹣1C的中点，则DnEn=a，即D n E n的长是a．18．解答：解：根据旋转的性质可知：AC=AC′，∠AC′B′=∠C=60°，∵旋转角是60°，即∠C′AC=60°，∴△ACC′为等边三角形，∴BC′=CC′=AC，∴∠B=∠C′AB=30°，∴∠BDC′=∠C′AB+∠AC′B′=90°，即B′C′⊥AB，∴BC′=2C′D，∴BC=B′C′=4C′D，∴C′D：DB′=1：3．19．解答：解：根据题意得：AD=1，AB=3，AC==6，∵∠A=∠A，∴若△ADE∽△ABC时，，即：，解得：AE=2，若△ADE∽△ACB时，，即：，解得：AE=，∴当AE=2或时，以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似．故答案为：2或．20．解答：解：∵在Rt△ABC中（∠C=90°），放置边长分别3，4，x的三个正方形，∴△CEF∽△OME∽△PFN，∴OE：PN=OM：PF，∵EF=x，MO=3，PN=4，∴OE=x﹣3，PF=x﹣4，∴（x﹣3）：4=3：（x﹣4），∴（x﹣3）（x﹣4）=12，即x2﹣4x﹣3x+12=12，∴x=0（不符合题意，舍去），x=7．21解答：解：∵DE=2AE，BF=2FC，∴BF=2AE，ED=2CF，即有△AHE∽△FHB，△CFG∽△EGD，则=，同理=∴S△BFH=S△ABF=×××S▱ABCD，S△CFG=S△CFD=×S▱ABCD，故S四边形EHFG=S△BCE﹣S△BFH﹣S△CFG=S▱ABCD﹣S▱ABCD S▱ABCD=S▱ABCD．故答案为：22．解答：解：∵△ABC是边长为1的等边三角形，∴△ABC的高=AB•sinA=1×=，∵DE、EF是△ABC的中位线，∴AF=，∴S1=××=；同理可得，S2=×；…∴S n=×（）n﹣1；∴S2013=×（）2012=．故答案为：．解答：1．解答：答：BF是FG，EF的比例中项．证明：∵BE∥AC，∴∠1=∠E，∵∠1=∠2，∴∠2=∠E，∴△BFG∽△EFB，∴=，即BF2=FG•EF，2解答：（1）证明：∵梯形ABCD，AB∥CD，∴∠CDF=∠G，∠DCF=∠GBF，（2分）∴△CDF∽△BGF．（3分）（2）解：由（1）△CDF∽△BGF，又∵F是BC的中点，BF=FC，∴△CDF≌△BGF，∴DF=GF，CD=BG，（6分）∵AB∥DC∥EF，F为BC中点，∴E为AD中点，∴EF是△DAG的中位线，∴2EF=AG=AB+BG．∴BG=2EF﹣AB=2×4﹣6=2，∴CD=BG=2cm．（8分）3．解答：证明：（1）∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵DE∥BC，∴∠ABC+∠BDE=180°，∠ACB+∠CED=180°．∴∠BDE=∠CED，∵∠EDF=∠ABE，∴△DEF∽△BDE；（2）由△DEF∽△BDE，得．∴DE2=DB•EF，由△DEF∽△BDE，得∠BED=∠DFE．∵∠GDE=∠EDF，∴△GDE∽△EDF．∴，∴DE2=DG•DF，∴DG•DF=DB•EF．4．解答：（1）证明：∵ABCD为正方形，∴AD=AB=DC=BC，∠A=∠D=90°，∵AE=ED，∴，∵DF=DC，∴，∴△ABE∽△DEF；（2）解：∵ABCD为正方形，∴ED∥BG，∴，又∵DF=DC，正方形的边长为4，∴ED=2，CG=6，∴BG=BC+CG=10．5．解答：解：图中的相似三角形有：△AMF∽△BGM，△DMG∽△DBM，△EMF∽△EAM （3分）以下证明△AMF∽△BGM．∵∠AFM=∠DME+∠E（外角定理），∠DME=∠A=∠B（已知），∴∠AFM=∠DME+∠E=∠A+∠E=∠BMG，∠A=∠B，∴△AMF∽△BGM．（7分）6．解答：解：CP和CB是对应边时，△CPQ∽△CBA，所以，=，即=，解得t=4.8；CP和CA是对应边时，△CPQ∽△CAB，所以，=，即=，解得t=．综上所述，当t=4.8秒或秒时，△CPQ与△CBA相似．7．解答：解：在△DEF和△DBC中，，∴△DEF∽△DBC，∴=，解得BC=4，∵AC=1.5m，∴AB=AC+BC=1.5+4=5.5m，即树高5.5m．8．解答：解：∵PE把梯形ABCD分成两个相似的小梯形，∴梯形ADEP∽梯形PECB，∴，∵AD=2，BC=，∴PE=3，∴相似比为：，∴AP=AB．9．解答：证明：设AB=2，∵P1是AB的黄金分割点（AP1＞BP1），∴AP1=×2=﹣1，∴P1B=2﹣（﹣1）=3﹣，∵点O是AB的中点，∴OB=1，∴OP1=1﹣（3﹣）=﹣2，∵P2是P1关于点O的对称点，∴P1P2=2（﹣2）=2﹣4，∴P2B=2﹣4+3﹣=﹣1，∵P1B2=（3﹣）2=14﹣6，P2B•P1P2=（﹣1）（2﹣4）=14﹣6，∴P1B2=P2B•P1P2，∴P1B是P2B和P1P2的比例中项．10．解答：证明：∵DE∥BC，EF∥AB∴四边形DBFE是平行四边形，∴BD=EF，∵相似三角形的面积比等于对应边的平方比，∴，即=1∴．11．解答：解：（1）在Rt△ABC中，由AB=1，BC=，得AC==，∵以点C为圆心，CB为半径的弧交CA于点D；以点A为圆心，AD为半径的弧交AB于点E∴BC=CD，AE=AD，∴AE=AC﹣CD=；（2）∠EAG=36°，理由如下：∵FA=FE=AB=1，AE=，∴=，∴△FAE是黄金三角形，∴∠F=36°，∠AEF=72°，∵AE=AG，∴∠EAG=∠F=36°．12．解答：解：∵当x=0时，y=1，当y=0时，x=﹣2，∴OA=2，OB=1，∵∠AOB=∠AOP=90°，∴当OA：OB=OP：OA时，△AOP与△AOB相似，∴2：1=OP：2，解得OP=4，故有2个这样的P点为：（0，﹣4）或（0，4），AP==2．若△AOP≌△AOB，则AP=．解答：解：（1）∵AB=5，BC=3，AC=4，∴BC2+AC2=AB2，∴∠C=90°，设AB边上的高为h，则×3×4=×5h，∴h=，∵PQ∥AB，∴△CQP∽△CBA，∴====，∵AB=5，BC=3，AC=4，∴CQ=，CP=1，PQ=，∴△CPQ的周长CQ+CP+PQ=+1+=3；（2）∵△CPQ的周长与四边形PABQ的周长相等，∴CP+CQ+PQ=BQ+PQ+PA+AB=（AB+BC+AC）=6，∵AB=5，BC=3，AC=4，∴CP+CQ=3﹣CQ+4﹣CP+5，2CQ+2CP=12，CQ+CP=6，∵PQ∥AB，∴△PQC∽△ABC．∴=，即=，解得：CP=．解答：解：（1）A；（2分）（2）①相似比②相似比的平方③相似比的立方；（每空（2分），共6分）（3）由题意知他的体积比为；又因为体重之比等于体积比，若设初三时的体重为xkg，则有=解得x==60.75．答：初三时的体重为60.75kg．（2分）15．解答：解：（1）当点P在AC上时，∵AM=t，∴PM=AM•tan60°=t．∴y=t•t=t2（0≤t≤1）．当点P在BC上时，PM=BM•tan30°=（4﹣t）．y=t•（4﹣t）=﹣t2+t（1≤t≤3）．（2）∵AC=2，∴AB=4．∴BN=AB﹣AM﹣MN=4﹣t﹣1=3﹣t．∴QN=BN•tan30°=（3﹣t）．由条件知，若四边形MNQP为矩形，需PM=QN，即t=（3﹣t），∴t=．∴当t=s时，四边形MNQP为矩形．（3）由（2）知，当t=s时，四边形MNQP为矩形，此时PQ∥AB，∴△PQC∽△ABC．除此之外，当∠CPQ=∠B=30°时，△QPC∽△ABC，此时=tan30°=．∵=cos60°=，∴AP=2AM=2t．∴CP=2﹣2t．∵=cos30°=，∴BQ=（3﹣t）．又∵BC=2，∴CQ=2．∴，．∴当s或s时，以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似．解答：解：（1）如图：割线CD就是所求的线段．理由：∵∠B=∠B，∠CDB=∠ACB=90°，∴△BCD∽△ACB．（2）①△DEF经N阶分割所得的小三角形的个数为，∴S n=．当n=5时，S5=≈9.77，当n=6时，S6=≈2.44，当n=7时，S7=≈0.61，∴当n=6时，2＜S6＜3．②S n2=S n﹣1×S n+1．17．解答：解：设直角三角形ABC的三边BC、CA、AB的长分别为a、b、c，则c2=a2+b2（1）S1=S2+S3；（2）S1=S2+S3．证明如下：显然，S1=，S2=，S3=∴S2+S3==S1，即S1=S2+S3．（3）当所作的三个三角形相似时，S1=S2+S3．证明如下：∵所作三个三角形相似∴∴=1∴S1=S2+S3；（4）分别以直角三角形ABC三边为一边向外作相似图形，其面积分别用S1、S2、S3表示，则S1=S2+S3．解答：解：（1）∵FD∥BC∴△ADF∽△ABC．∴=．∴=．∴FD=2.1（cm）．答：小视力表中相应“E”的长是2.1cm；（2）解：作CD⊥MM′，垂足为D，并延长交A′B′于E，∵AB∥MM′∥A′B′，∴CE⊥A′B′，∴△CMM′∽△CA′B′，∴=，又∵CD=CE﹣DE=5﹣3=2，CE=5，A′B′=AB=0.8，∴=，∴MM′=0.32（米），∴镜长至少为0.32米．19．解答：解：∵AC=12，BC=5，∴AB=13，如图1所示：设DE=x，∵四边形ADEF是菱形，∴DE∥AB，∴△CDE∽△CAB，∴=，即=，解得x=cm；如图2所示，同上可知△CEF∽△CAB，设EF=x，∴=，解得x=cm；如图3所示，同理△AEF∽△ABC，∴=，即=，解得x=cm．故所作菱形的边长为：cm、cm、cm．。

相似三角形专题练习（培优）附答案一、基础知识（不局限于此）(一).比例1.第四比例项、比例中项、比例线段；2.比例性质：（1）基本性质：bc ad d c b a =⇔= ac b c bb a =⇔=2 （2）合比定理：d dc b b ad c b a ±=±⇒= （3）等比定理：)0.(≠+++=++++++⇒==n d b ban d b m c a n m d c b a3.黄金分割：如图，若AB PB PA ⋅=2，则点P 为线段AB 的黄金分割点．4．平行线分线段成比例定理(二)相似1.定义:我们把具有相同形状的图形称为相似形.2.相似多边形的特性:相似多边的对应边成比例,对应角相等.3.相似三角形的判定● （1）平行于三角形一边的直线与其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。

● （2）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。

● （3）如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。

● （4）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

4.相似三角形的性质● （1）对应边的比相等，对应角相等. ● （2）相似三角形的周长比等于相似比.● （3）相似三角形的面积比等于相似比的平方.● （4）相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比. 5.三角形中位线定义:连接三角形两边中点的线段 叫做三角形的中位线. 三角形中位线性质: 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。

6.梯形的中位线定义：梯形两腰中点连线叫做梯形的中位线.梯形的中位线性质: 梯形的中位线平行于两底并且等于两底和的一半. 7.相似三角形的应用:１、利用三角形相似，可证明角相等；线段成比例（或等积式）； ２、利用三角形相似，求线段的长等3、利用三角形相似，可以解决一些不能直接测量的物体的长度。

如求河的宽度、求建筑物的高度等。

27.2相似三角形综合训练练习人教版2024—2025学年九年级下册一、填空1.已知==，且a +b ﹣2c=6，则a 的值为2.如图，E 为▱ABCD 的边AB 延长线上的一点，且BE ：AB=2：3，连接DE 交BC于点F ，则CF ：AD= ．3.如图，已知AB ∥CD ，AD 与BC 相交于点O ．若=，AD=10，则AO= ．4.如图，△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、BC 上，DE ∥AC ．若BD=4，DA=2，BE=3，则EC= ．5.如图，DE ∥AB ，AC=3AD ，S △ABC =5，则△CED 的面积是 ．6.如图，∠B=∠ACD=90°，BC ∥AD ，若AC=6，AD=10，则AB= ．7.两个相似三角形的最短边分别是5cm 和3cm ，它们的周长之差是12cm ，那么小三角形的周长为 ．8.如图，在△ABC 中，点D 是边AB 上的一点，∠ADC=∠ACB ，AD=2，BD=6，则边AC 的长为9.如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边DC 上，DE ：EC=3：1，连接AE 交BD 于点F ，则△DEF 的面积与△BAF 的面积之比为10.如图，AB ∥GH ∥CD ，点H 在BC 上，AC 与BD 交于点G ，AB=2，CD=3，则GH 的长为 ．11.如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠B=∠C=90°，点F 在BC 边上，AB=8，CD=2，BC=10，若△ABF 与△FCD 相似，则CF 的长为 ．第2题第5题 第6题第8题第10题 第9题 第11题12.如图，△ABC 是等边三角形，被一平行于BC 的矩形所截，AB 被截成三等分，则图中阴影部分的面积是△ABC 的面积的 ．13.如图所示，正方形ABCD 边长是2，BE=CE ，MN=1，线段MN 的端点M 、N 分别在CD 、AD 上滑动，当DM= 时，△ABE 与以D 、M 、N 为顶点的三角形相似．14.如图，在边长为10cm 的正方形ABCD 中，P 为AB 边上任意一点（P 不与A 、B 两点重合），连结DP ，过点P 作PE ⊥DP ，垂足为P ，交BC 于点E ，则BE 的最大长度为 cm ．15.一块直角三角板ABC 按如图放置，顶点A 的坐标为（0，1），直角顶点C 的坐标为（﹣3，0），∠B=30°，则点B 的坐标为 ．二、解答题1.如图，平行四边形ABCD ，AE ⊥BC 交点E ，连接DE ，F 为DE 上一点，且∠AFE=∠B=60°．（1）求证：△ADF ∽△DEC ；（2）若AE=3，AD=4，求EF 的长．第14题第13题 第12题2.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于H，交AO于G，连接OH．（1）求证：AG•GO=HG•GD；（2）若AC=8，BD=6，求DG的长．3.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=（x﹣a）（x﹣3）（0＜a＜3）的图象与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点D，过其顶点C作直线CP⊥x轴，垂足为点P，连接AD、BC．（1）求点A、B、D的坐标；（2）若△AOD与△BPC相似，求a的值；（3）点D、O、C、B能否在同一个圆上？若能，求出a的值；若不能，请说明理由．4.在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+x+c的图象经过点C（0，2）和点D（4，﹣2）．点E是直线y=﹣x+2与二次函数图象在第一象限内的交点．（1）求二次函数的解析式及点E的坐标．（2）如图①，若点M是二次函数图象上的点，且在直线CE的上方，连接MC，OE，ME．求四边形COEM面积的最大值及此时点M的坐标．（3）如图②，经过A、B、C三点的圆交y轴于点F，求点F的坐标．5．如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴和y轴的正半轴上，反比例函数y=在第一象限的图象分别交矩形OABC的边AB、BC边点于E、F，已知BE=2AE，四边形的OEBF的面积等于12．（1）求k的值；（2）若射线OE对应的函数关系式是y=，求线段EF的长；（3）在（2）的条件下，连结AC，试证明：EF∥AC．6.如图，正方形ABCD的边长为10，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF=45°，AH⊥EF于点H，AH=10，连接BD，分别交AE、AH、AF于点P、G、Q．（1）求△CEF的周长；（2）若E是BC的中点，求证：CF=2DF；（3）连接QE，求证：AQ=EQ．。