等腰三角形的性质与判定ppt课件

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④0°＜顶角＜180° ⑤0°＜底角＜90°
例
如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC边上的中
另解:因为等腰点三, ∠角B=形3的0°“，三求线∠合1和∠ADC的度A 数.
一”，所以AD是△ABC的顶 角平分线、底边上的高，即
∠1= ∠2， ∠ADC=90°
·1 2 ·
∟
B
30°· D
C
因为∠BAC=180°- 30°- 30°= 120°
证明： ⊿ABC中 ∵AB=AC， ∴ ∠B=∠C （等边对等角） ∵ ∠ A=600 ∴ ∠B=∠C = 600 ∴AB=AC=BC
上的中线).那么有什么结论?
AD⊥BC(AD是底边上的高),
BD C
∠BAD=∠CAD(AD是顶角平分线)
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线 和底边上的高互相重合.
简称“等腰三角形三线合一”
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等腰三角形三线合一性质应用的几何语言， 如图所示，在△ABC中
A （1）∵ AB=AC ，AD⊥BC，
∴∠_B_A_D_ = ∠_C_A_D_，_B_D_= _C_D_
所以 ∠1= ∠BAC
120°
=
=60°.
2
2
答: ∠1为60°, ∠ADC为90°.
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填空题:
1.等腰三角形的腰长等于9,另一边长等于4,
2.那么周长=____2_2______.
2. 等腰三角形的腰长等于另一边的2倍,周长为30,
那么它的各边长分别为__1_2_，___1_2_，___6_. .
中哪些线段相等?
A
A
(1)
A
(2)
(3)
E
F
E
F
E
(4)
(5)
BD C
DE、DF分别是∠ADB、 ∠ADC 的角平分线
A
B
DC
BD C
DE、DF分别是AB、 AD上任意一点与B、C
AC边上的中线
的连接线
A
A
E
F
EF
B
C
等腰三角形两腰上
的中线相等
B
C
等腰三角形两底角
平分线相等 .
E
F
B
C
等腰三角形两腰上的高
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已知：⊿ABC中，∠B=∠C
求证：AB=AC
证明：作∠BAC的平分线AD
A
在⊿BAD和⊿CAD中， 1 2
∠1=∠2， ∠B=∠C，
A≌ ⊿CAD（AAS）
∴AB=AC（全等三角形的对应边 相等）
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推论1证明
已知：如图，⊿ABC中， ∠ A=∠B=∠C
求证：AB=AC=BC
A
证明：在⊿ABC中
∵ ∠ A=∠B（已知）
∴BC=CA（等角对等边）
B
C
同理CA=AB
∴BC=CA=AB
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推论2证明 问题：如果一个等腰三角形中有一个角 是60°，那么这个三角形是什么三角形？
第一种情况：当顶角是600时。 第二种情况：当底角是600时。
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已知： ⊿ABC中，AB=AC， ∠ A=600。 求证：AB=AC=BC
相等
⒈等腰三角形一个底角为70°,它的顶角为___4_0__°.
⒉等腰三角形一个角为70°,它的另外两个角为 _7_0_°__,_4_0_°__或__5_5_°__,5_5_°.
⒊等腰三角形一个角为110°,它的另外两个角为__3_5_°__，__3_5__°.
结论:在等腰三角形中,
① 顶角+2×底角=180° ② 顶角=180°－2×底角 ③ 底角=（180°－顶角）÷2
相等的角: ∠B=∠C,∠BAD=∠CAD,
∠ADB=∠ADC.
依据: 轴对称变换的性质—轴
对称变换不改变图形的 B
形状和大小.
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C D
已知:AB=AC ,∠BAD=∠CAD(AD是顶角平分线).
结论: 1. ∠ B =∠ C
2. BD = CD, 即AD 为底边上的中线
3. AD⊥BC ,即AD为底边上的高
问题:由已知AB=AC得结论∠ B =∠ C用
文字如何表述？
等腰三角形的两个底角相等.
A
可以说成 “在同一个三角形中,等边对等角”
BD C
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如果已知AB=AC,AD⊥BC(AD是底边上的高).
那么有什么结论?
A
BD=CD(AD是底边上的中线),
∠BAD=∠CAD(AD是顶角平分线).
如果已知AB=AC,BD=CD (AD是底边
A
B
D
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探究:
如图,已知∠ABC=20°,BD=DE=EF=FG. ∠ABC内符合条件BD=DE=EF=FG的折线有 几条?
若∠ABC=10°呢?试一试,并说明理由.
A
F D
B
EG
C
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如图,把一张长方形的纸按图中虚线对折,然后沿 实线剪开,再把它展开,得到的△ABC是等腰三角形吗?
C
A
D
B
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利用类似的方法,你还可以得到等腰三角形
等腰三角 形的性质
与判定 .
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在等腰三角形ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC,交BC于D.
(1)若将△ABD作关于直线AD的轴对称变换,所得的像
是什么? 所得的像是△ACD
A (2)找出图中的全等三角形以及所有相等 的线段和相等的角.你的依据是什么? △ABD≌△ACD
相等的线段:AB=AC,BD=CD
3. 等腰三角形的一边长比腰长多2cm,周长等于29cm,
则三边长分别为____9_，___9_，__1_1_.____.
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填空题:
4. 正三角形的边长等于8,则周长等于_______2_4_____. 5. 等边三角形的周长等于72cm,则边长=_____2_4________. 6. 等腰三角形若两边长为3和7,则其周长为____1_7______.
（2）∵ AB=AC ， AD是中线，
BD
C ∴A__D_⊥B__C_ ，∠B__A_D_ =∠C_A__D_ （3）∵ AB=AC ， AD是角平分线，
∴_A_D_ ⊥_B_C_ ，_B_D_ =_C_D_
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性质运用一：生活实际
课本引例：
将一把三角尺和一个重锤如图放置，就能检查 一根横梁是否水平，你知道为什么吗？
3、这个命题正确吗？你能证明吗？
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自学指导： 阅读课本P73—74内容，思考并回答下列问题： ➢等腰三角形的判定定理 与性质定理有何不 同？
➢等腰三角形判定定理与性质定理的证明思路是 否一样？
➢两个推论 是怎样得到的？你有什么新的发 现吗？
➢8分钟后，比谁能回答以上问题，并能做与例 题 类似的练习。
7. 在等腰三角形中,一个内角为30°,则另外两个内角为
7_5_°___, _7_5_°__或____或. 30°,120°
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一、复习： 1、等腰三角形的性质定理是什么？ 等腰三角形的两个底角相等。 （可以简称：等边对等角） 2、这个定理的逆命题是什么？
如果一个三角形有两个角相等， 那么这个三角形是等腰三角形。