工程问题
【学习目标】
工程问题是将一般的工作问题分数化，从分率的角度研究工作总量、工作时间（完成工作总量所需的时间）、工作效率（单位时间内完成的工作量）三者之间关系的问题。它的特点是将工作总量看成单位“1”，用分率表示工作效率，对做工的问题进行分析解答。 工程问题的三个基本数量关系式是：工作效率×工作时间=工作总量；工作总量÷工作时间=工作效率；工作总量÷工作效率=工作时间。 【题型精讲】
基础训练：一项工程，甲单独做要12天，乙要10天，丙要15天．
①甲乙丙同时做要多少天？=4（天） ②
甲乙丙同时加工多少天能完成工程的一半？=2（天）； ③甲乙丙同时加工多少天这项工程还剩？3（天） ④如果甲先做5天，乙丙接着做，还要多少天？（天）
⑤如果甲丙合作做4天后，再由乙做，完成任务时一共用了多少天？ 8（天）
重难点一：效率变化问题
例1、（1）加工一批零件，原计划每天加工20个，15天完成。实际
加工了3天后，引进了新的加工设备，效率比原来提高了20%，问实际完成工作比计划提前了多少天？
（2）加工一批零件，原计划15天完成。实际加工了7天后，引进了新
的加工设备，效率比原来提高了7
1
，问实际完成工作比计划提前了多少天？
（3）加工一批零件，原计划15天完成。实际加工了一些天后，引进了
新的加工设备，效率比原来提高了4
1
，结果比计划提前2天完成任务，
问引进新设备后又工作了多少天？
设引进新设备工作了x 天. 15(x+2)=15*(1+1/4)x 15x+30=75/4x 15/4x=30 x=8
引进新设备后工作了8天.
例2、加工一批零件，原计划每天加工15个，若干天可以完成。当完
成加工任务的5
3
时，采用新技术，效率提高20%。结果，完成任务的
时间提前10天。 （1）原计划多少天完成任务？ （2）这批零件共有多少个？
解析：设原计划完成需要x 天, 根据零件的个数得：
15x = 3/5 X 15x + 15 X (1+20%) X （ 2x/5 - 10 ） 算出来15x=2250 零件共有2250个
重难点二：注水问题
例1、一个水池装有进水管和出水管，单开进水管40分钟可以将空池
注满；单开出水管1小时可以把整池水放完，现同时打开进水管和出水管，需要多少时间才能将水池注满？（120分钟）
例2、有一个水池，装有甲、乙、丙三根水管，其中甲、乙是进水管，丙为排水管，单开甲管需要15分钟注满水池；单开乙管需要10分钟
注满水池；单开丙管需要9分钟将满池水放完。现在池内存水占全池容积的2/5，则同时打开三根水管，注满水池需要用时多少分钟？
（10.8分钟）
例4、甲乙两个水管单独开，注满一池水，分别需要20小时，16小时.
丙水管单独开，排干一池水要10小时，若水池没水，同时打开甲乙两水管，5小时后，再打开排水管丙，问水池注满还是要多少小时？（35小时）
重难点三：交替工作问题
例1、一件工程，甲单独做要6小时完成，乙单独做要10小时完成，
如果按甲、乙、甲、乙…的顺序交替工作，每次1小时，那么需要多少时间完成？ 1÷（1/6+1/10）, =1×4/15,
=3又3/4（次）, 甲、乙交替工作三次, 2×3=6（小时）, 1-（1/6+1/10）×3, =1-4/15×3, =1/5,
接着甲再工作1小时完成1/6, 乙完成剩下的还要：（1/5-1/6）÷1/10, =1/30×10, =1/3（小时）, 6+1+1/3 =7又1/3 （小时）,
答：需要7又1/3小时才能完成．
例2、 一部书稿，甲单独打字要14小时完成，乙单独打字要20小时
完成。如果先由甲打1小时，然后由乙接着甲打1小时，再由甲接替乙打1小时，……两人如此交替工作。那么，打完这部书稿时，甲、乙二人共用了多少小时？
例3、加工一批零件，甲、乙合作1小时完成了这批零件的
60
11
，乙、丙两人接着生产1小时，又完成了
20
3
，甲、丙又合作2小时，完成了3
1
，剩下的任务由甲、乙、丙三人合作，还需多少小时完成？ 甲工效+乙工效=11/60 乙工效+丙工效=3/20
甲工效+丙工效=1/3÷2=1/6
所以：甲乙丙三人合作的工效=（11/60+3/20+1/6）÷2=1/4 （1-11/60-3/20-1/3）÷1/4 =1/3÷1/4
=1又1/3小时
重难点四：牛吃草问题
例1、草场有一片均匀生长的草地，可供27头牛吃6周，或供23头
牛吃9周，那么它可供21头牛吃几周？
草场每周生长（9*23-6*27）/（9-6）=15 则原有草27*6-6*15=72 设可供21头牛吃X 周 则72+15X=21X 故X=12周
综合练习：
1、一件工程，甲、乙合做10天完成，乙、丙合作8天完成，甲、丙合作12天完成。如果甲、乙、丙三人合作，多少天可以完成？
2、有一批资料要打印，甲单独打要10小时，乙单独打要12小时，
当甲、乙两人同时打印，由于相互有些干扰，每小时两人共少打30页，现在两人同时打用了6小时打完，那么这批资料一共有多少页？
3、单独完成某工程，甲队需10天，乙队需15天，丙队需20天。开
始三个队一起干，因工作需要甲队中途撤走了，结果一共用了6天完成这一工程。问：甲队实际工作了几天？
4、星光小学进行校内植树活动，如果全由六年级同学植树，3天可以完成；如果全由五年级同学植树，则6天可以完成。如果先让六年级植树1天，再由两个年级的同学合作，还需几天可以完成？
5、一件工程，甲队单独做10天完成，乙队单独做30天完成.现在两
队合作，其间甲队休息了2天，乙队休息了8天（不存在两队同一天休息）.问开始到完工共用了多少天时间？
6、 甲、乙两人骑自行车从环形公路上同一地点同时出发，背向而行，
现在已知甲走一圈的时间是75分钟，如果在出发后第45分钟两人相遇，那么乙走一圈的时间是多少分钟？
7、甲、乙两人同时从两地出发，相向而行，走完全程甲需要60分钟，
乙需40分钟，出发后5分钟，甲因忘带东西而返回出发点，取东西又耽误了5分钟，甲再出发后多长时间两人相遇？
8、 画展9点开门，但早有人排队等候入场.从第一个观众来到时起，
每分钟来的观众人数一样多.如果开3个入场口，9点9分就不再有人排队，如果开5个入场口，9点5分就没有人排队.问第一个观众到达时间是8点几分？
设每个入场口每分钟能进入的观众为1份.
如果开三个入场口,从9
点到9
点9分进入的观众数是： 3x9=27（份）
如果开五个入场口,从9点到9点5分进入的观众数是： 5x5=25（份） 所以,
每分钟来的观众数为：(27-25)÷(9-5)=0.5（份） 9点前来的观众数是：25-5×0.5=22.5（份） 这些观众来到需要：22.5÷0.5=45（分钟） 因为,9点-45分钟=8点15分
所以,第一个观众到达时间是8点15分
9、开进水管注水入缸，5分钟可满，满后拔出底塞，那么缸里的水10分钟可流尽，有一次开管注水入缸，过了若干分钟后发现未把底塞堵上，这时赶紧堵上底塞，过了相同时间水才注满，问一共注了多少时间才把缸注满？
10、放满一个水池的水，若同时打开1，2，3号阀门，则20分钟可以完成；若同时打开2，3，4号阀门，则21分钟可以完成；若同时打开1，3，4号阀门，则28分钟可以完成；若同时打开1，2，4号阀门，则30分钟可以完成．问：如果同时打开1，2，3，4号阀门，那么多少分钟可以完成？
11、一件工程，甲队单独完成需要12天。甲队工作3天后乙队再工作2天可以完成全部工作量的一半。现在甲队、乙队合作了若干天以后。余下的工作量由乙队单独完成。之后发现完成两部份工作量所用时间相同。问完成全部工作量用了多少天？
12、一项工程，由甲、乙合做12天完成。现在由甲、乙合做4天后，余下的工程先由甲独做10天后，再由乙独做5天，正好完成这项工程，求：甲、乙独做各需几天完成？
直线与圆位置关系培优1 1、(2011 浙江湖州，9，3)如图，已知AB 是⊙O 的直径，C 是AB 延长线上一点， BC ＝OB ，CE 是⊙O 的切线，切点为D ，过点A 作AE ⊥CE ，垂足为E ，则CD ： DE 的值是（ ） A ．12 B ．1 C ．2 D ．3 2、（2011浙江温州，10，4分）如图，O 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点，⊙O 边AB ，BC 都相切，点E ，F 分别在边AD ，DC 上．现将△DEF 沿着EF 对折，折痕EF 与⊙O 相切，此时点D 恰好落在圆心O 处．若DE ＝2，则正方形ABCD 的边长是( ) A ．3 B ．4 C ．22+ D ．22 3、（2011山东日照，11，4分）已知AC ⊥BC 于C ，BC =a ，CA =b ，AB =c ，下列选项中⊙O 的半径为b a a b +的是（ ） 4、（2011浙江台州，10,4分）如图，⊙O 的半径为2，点O 到直线l 的距离为3，点P 是直线l 上的一个动点，PB 切⊙O 于点B ，则PB 的最小值是（ ） A. 13 B.5 C. 3 D.2
5 、（2011山东东营，12，3分）如图，直线33 y x =+与 x轴、y分别相交与A、B两点，圆心P的坐标为（1，0），圆P与y轴相切与点O。若将圆P沿x轴向左移动，当圆P与该直线相交时，横坐标为整数的点P′的个数是（） A．2 B．3 C．4 D． 5 6、等腰⊿ABC中，AB=AC，点O是底边BC中点，以O为圆心的⊙O与AB边相切于点D。求证：AC 与⊙O相切 7、(2011浙江绍兴，16，5分) 如图，相距2cm的两个点,A B在在线l上，它们分别以2 cm/s和1 cm/s 的速度在l上同时向右平移，当点,A B分别平移到点11,A B的位置时，半径为1 cm的1A与半径为1 BB的 B相切，则点A平移到点 1 A的所用时间为s. l A B
三年级下册数学思维培优训练及答案 目录 第1 讲………………………数图形 第2 讲………………………找规律 第3 讲………………………和倍问题 第4 讲………………………差倍问题 第5 讲………………………和差问题 第6 讲…………………巧求周长（一） 第7 讲…………………巧求周长（二） 第8 讲………………………巧求面积 第9 讲…………………年月日问题（一） 第10 讲…………………年月日问题（二） 第11 讲………………………应用题（一） 第12 讲………………………应用题（二） 第 1 讲数图形 专题分析： 同学们，你们会数图形吗？要想正确地数出线段、角、三角形……的个数，就必须要有次序、有条理地按照规律去数。 要正确数出图形的个数，关键是要从基本图形入手。首先要弄清图形中包含的基本图形是什么，有多少个；然后再数出由基本图形组成的新的图形，并求出它们的和。 例 1：数出下面图中有多少条线段？ A B C D 【思路导航】我们可以采用以线段左端点分类数的方法。 以A 为左端点的线段有：AB、AC、AD3 条；以 B 为左端点的线段有：BC、BD2条；以 C 为左端点的线段有：CD1 条。所以，图中共有线段 3+2+1=6（条）。
我们还可以这样想：把图中线段 AB、BC、CD 看做基本线段来数，那么，由
1 条基本线段构成的线段有：AB、BC、CD3 条；由 2 条基本线段构成的线段有：AC、BD2 条；又 3 条基本线段构成的线段有：AD1 条。所以，图中一共有3+2+1=6 （条）线段。 例 2：数出下图中有几个角？A O B C D 【思路导航】数角的个数可以采用与数线段相同的方法来数。以 AO 为一边的角有：∠AOB、∠AOC、∠AOD3 个；以 BO 为一边的角有：∠BOC、∠BOD2 个；以 CO 为一边的角有：∠COD1 个。所以图中共有 3+2+1=6（个）角。 当然，也可以把图中∠AOB、∠BOC、∠COD 看做基本角，那该怎样数呢？例 3：数出下图中共有多少个三角形？ A 【思路导航】数三角形的个数也可以采用按边分类的方法来数。以 AB 为边的三角形有：△ABC、△ABD、△ABE3 个；以 AC 为边的三角形有：△ACD、△ACE2个；以 AD 为边的三角形有：△ADE1 个。所以图中共有三角形 3+2+1=6（个）。我们还发现，要数出图中三角形的个数，只需数出△ABE 的底边中包含几条线段就可以了，即 3+2+1=6（个）。所以图中共有 6 个三角形。 拓展训练： 1、数一数，一共有几条线段、几个角？ 1② 共（）条线段共（）条线段③④
高一英语拔尖计划试题 必修一UNIT2 English around the world 袁丽敏2018.3.22 编号：2 I.语境填词(each 2 point，totally 20 points） 1.The ________(官员) visited the air ________(基地). 2.She speaks English ________(流利地),but ______(实际上)she only studied English for two years. 3.At first I didn’t understand his ________(本地的) language,but ________(逐渐地) I came to know what he said. 4.She ________(辨认) the man who attacked her. 5.The man ____________(频繁地) looked at his watch. From the ________(表情) on his face,he was very anxious. 6. Of the phrases “go crazy” and “nuts”, the ________(后者) is used less frequently. II. 用所给词的正当形式填空(each 2 point，totally 20 points） 1.I would like to ___________ my gratitude to you all though some more feelings are beyond ___________.(express) 2.She had changed so much that you didn’t ________him. As a matter of fact, illness and age changed him beyond______________(recognize). 3.Recovery from the disease is very__________.As the weather ___________becomes warmer and warmer, he will pick up soon.(gradual) 4. So me _________come to the headmaster’s ___________yesterday. (office) 5. The police failed to __________that criminal’s __________.(identity) 6. Mr. Wang, a teacher with ___________experience, encouraged us to _________our life by joining in all kinds of activities after class. (rich) 7. Because all the roads leading to the mountain village ______(block), the rescue workers were not able to reach it to help. 8. American English is more or less different _____British English ____pronunciation and spelling. 9. As a consequence of _________smoking, the ___________of his asthma attacks is increasing, and he coughs_______________(frequent). 10. The boss commanded that all the information_________(send) to him right away. III. 单句改错 1.He thought I had known the fact. But actual, I knew nothing about it. 2. There are more than one kind of English. 3. Oil must be made full use to serve the people well. 4. As far as I know, he was angry because what you said just now. 5.There is no such a person as you mentioned just now.
初中数学有理数及其运算单元综合培优训练题1（附答案） 1．若|1|2x +=，则x 的值是（ ） A ．1 B ．-3 C ．1或-3 D ．1或3 2．据新华社2018年3月5日报道，2018年中国国防支出将增长8.1%，约达到11096亿元人民币.将11096亿元用科学记数法表示为( ) A ．41.109610? 亿元 B ．51.109610? 亿元 C ．311.09610? 亿元 D ．50.1109610? 亿元 3．静静家冰箱冷冻室的温度为﹣3℃，调高5℃后的温度为（ ） A ．0℃ B ．1℃ C ．2℃ D ．8℃ 4．式子﹣2﹣（﹣1）+3﹣（+2）省略括号后的形式是（ ） A ．2+1﹣3+2 B ．﹣2+1+3﹣2 C ．2﹣1+3﹣2 D ．2﹣1﹣3﹣2 5．计算1 1001010 -÷?，结果正确的是（ ） A ．1 B ．﹣1 C ．100 D ．﹣100 6．如图，下列结论正确的个数是 （ ①m+n ＞0；②m ﹣n ＞0；③mn ＜0；④|m ﹣n|=m ﹣n ． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 7．通过估算,估计340的值应在 ( ) A ．1与2之间 B ．2与3之间 C ．3与4之间 D ．4与5之间 8．有n 个正整数的积为a ，将每一个数都扩大为原来的的3倍，则它们的积是（ ） A ．3n a B ．3a C ．3na D ．3n 9．最小的正整数是（ ）A ．0 B ．1 C ．﹣1 D ．不存在 10．下列四个数：1、－2、0、－3，其中最小的一个是（ ） A ．1 B ．－2 C ．0 D ．－3 11．已知a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是 （ ） A ．b 表示负数，a ，c 表示正数，且|a|＞|b| B ．b 表示负数，a ，c 表示正数，且|b|＜|a|＜|c| C ．b 表示负数，a ，c 表示正数，且|a|＜|c|＜|b|
直线与圆的位置关系 题型培优 一、考点·方法·破译 1. 理解掌握圆的切线、割线的概念，懂得直线与圆的三种位置关系及判别依据； 2. 理解掌握切线的性质定理、判定定理，能熟练运用会根据需要添加辅助线； 3. 理解掌握切线长定理，能利用切线相关定理进行推理论证。 二、经典· 考题· 赏析 题型1（泉州）已知直线y =kx （k ≠0）经过点（3,-4），（1）求k 的值；（2）将该直线向上平移m （m ＞0）个单位，若平移后得到直线与半径为6的⊙O 相离（点O 为坐标原点），试求m 的取值范围 【变式题组】 1.（辽宁）如图，直线y = 3 3 x +3 与 x 轴、y 轴分别相交 于A,B 两点，圆心P 的坐标为 （1,0），⊙P 与y 轴相切于点O ，若将⊙P 沿x 轴向左移动，当⊙P 与该直线相交时， 横坐标为整数的点P 有个 2.（永州）如图，在平面直角坐标系内，O 为原点，A 点的坐标为（-3,0），经过A 、O 两点作半径为5 2的⊙O ，交 y 轴的负半轴于点B （1）求B 点的坐标； （2）过B 点作⊙C 的切线交x 轴于点D ，求直线BD 的解析式 题型2（襄樊）如图所示，AB 是⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上， DC 切⊙O 于C ，若∠A =25°，则∠D 等于（ ） A. 40° B.50° C.60° D.70° 【变式题组】 3.（徐州、南京）如图，两个同心圆的半径分别为3cm 和5cm ，弦AB 与小圆相切于点C ，则AB 的长为（ ） A .4cmB . 5cmC . 6cmD .8cm 4.（南充）如图，从⊙O 外一点P 引⊙O 的两条切线P A 、PB ，切点分别是A ，B,若P A =8cm ，C 是AB 上的一个动点（点C 与A 、B 两点不重合），过点C 作⊙O 的切线，分别交P A 、PB 于点D 、E ，则△PED 的周长是 . 5.（徐州）如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在AB 的延长线上，CD 与⊙O 相切于点D ，若∠C =18°，则∠CDA =. 6.（荆门）如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =6，BC =8,则△ABC 的内切圆半径r =. 题型3（日照）如图，⊙O 的直径AB =4，C 为圆周上一点，AC =2,过点C 作⊙O 的切线l ，过点B 作l 的垂线BD ，垂足为D ，BD 与⊙O 交于点E （1）求∠AEC 的度数; （2）（2）求证：四边形OBEC 是菱形 【变式题组】
四年级数学培优：找规律 １、用两种汉堡、三种饮料配出每套有一个汉堡和一杯饮料的套餐.想想能配多少种？ ２、小红有三件衬衣，两条裙子，两条裤子. 穿衬衣和裙子，有几种不同的穿法？穿衬衣和裤子呢？一共有多少种不同的穿法？ ３、动物乒乓球比赛马上就要开始了，如果3只动物，每两只比一场，一共要进行几场比赛呢？ ·小兔 ·· 小猴小松鼠 如果是4只动物，每两只进行一场比赛，一共比几场呢？ ４、用三张卡片 1 、4 、7 组成三位数，共有几种不同的组法？你能写出不同的三位数吗？５、 三辆车需要停进车位，共有几种停法？ １、小文有8枚1角的硬币，4张2角的纸币，还有一枚5角的硬币.从这些人民币中取出8
角钱.你有多少种不同的取法？请写出来. ２、从1— 9这9个数字中，每次取2个不同数字，这两个数字的和必须大于10. ⑴一共有多少种取法？分别是什么？ ⑵按这种取法组成的两位数有多少个？ ３、教师节这一天，李老师、王老师和陈老师每两个人互相说一句问候的话，一共说了几句话？ ４、下图是一个棋盘，将一个白子和黑子放在棋盘交叉点上，但不能在同一条线上.问：共有多少种不同的放法？ 本次学习收获有： . 1 2 3 4 5 6 7 9 8
第一部分必做题 １、(☆)小红有3顶不同的帽子，5件不同的上衣，从中各选取一种配成一套装束，一共可配出多少种不同的装束？ ２、(☆)从A地到B地有4条直达铁路，从B地到C地有3条直达公路，那么从A地到B地再到C地有多少种不同的走法？ ３、(☆)学校食堂供应5种主食，4种副食，从主副食中各选一种配成盒饭，那么一共可以配成多少种不同的盒饭？ ４、(☆)小红、小力、小果、小天他们4人约定，在暑假里互通一次电话，他们一共通了多少次电话？约定再互发电子邮件，一共发了多少封电子邮件？ ５、(☆)校运动会上，四年级有5人参加乒乓球单打比赛，每两人都要比赛一场，一共要比多少场？ ６、(☆☆)小霞有3件不同的上衣，4条不同的裤子，2双不同的鞋子.问小霞共有多少种不同的穿戴装束？ ７、(☆☆)有红、黄、蓝三种信号旗，把任意两面分上、下挂在旗杆上表示不同信号，一共可以组成多少种不同的信号？ ８、(☆☆)有8位同学排成一排合影留念，有多少种不同的排法？如果每次选出2人进行拍照，
《劝学》、《逍遥游》、《过秦论》 网上课堂 一、本讲主要内容： （一）生字： 靛（diàn）、蓼（liǎo）、中绳（zhòng）、（róu）、槁（gǎo）暴（pù）、砺(l ì)、参省(cān xǐng)、须臾(yú)、跂(qì)、跬(kuǐ)、骐骥(qí jì)、驽(nú)、锲(qi è)、镂(lòu)、螯(áo)； 冥(míng)、鲲(kūn)、抟(tuán)、坳(āo)芥(jiè)、夭阏(yāo è)蜩(tiáo)、决(xuè)、枪(qiāng)、舂(chōng)、蟪(huì)、铿(kēng)、棘(jí)、鴳(yàn)、沮(j ǔ)、泠(líng)； 雍(yōng)、召(shào)、倪(ní)、廖(liào)、奢(shē)、逡(qūn)、赧(nǎn)、笞(chī)、隳(huī)、镝(dí)、瓮牖(wèng yǒu)、氓(méng)猗(yī)、蠡(lí)、蹑(niè)、耰(yōu)、矜(qín)、铦(xiān)、铩(shā)、度(duó)、絜(xié)、轸(zhěn)（二）词语： 实词：（1）学不可以已．：已，停止，废弃。（2）水为之 ．．：为，动词，凝结；之，代词，它。（3）：使……弯曲。（4）槁暴：枯干。（5）彰：清楚，明显。（6）假：借，借助。（7）江河：文中指长江、黄河。（8）无以：无，无定指代词，没有办法。以，用来。（9）不能十步：不能跨十步。（10）爪牙之利，筋骨之强：“利”与“强”，形容词作后置定语。（11）埃土：细土。埃，尘埃。 （12）志怪：记载怪异之事物。（13）培：凭借。（14）决：快速的样子。（15）枪：触、碰。（16）果然：充实之状。果，饱，充实。（16）适：往。（17）众人匹．之：匹，相比。（18）穷发：穷，穷尽；发，指草木。（19）然后图．南：图，谋划。（20）知效．一官：效，效能，引申为胜任。（21）举：全。（22）内外之分：内外，自我与外物。（23）待：凭借。 （24）务．耕织：务，从事，兴办。（25）蒙，因：承受、沿袭。（26）相与：相互结交。（27）奋：发展。（28）践：踏，这指依仗。（26）陈利兵：携带锋利兵器。（30）疲敝：疲惫，困倦。（31）向时：先前。（32）致：获得。 虚词： 其：（可用作代词、副词、连词和助词） （1）其名为鲲（代词，它的。）（2）不知其千里也（代词，它。）（3）其正色邪？（用在选择句中，加强揣测语气。）（4）不知其力之不足（代词，自己的。）而：（可用作连词、代词和助词） （1）而寒于水（连词，却。）（2）化而为鸟（连词，连接行为、方式和目的，可不译。）（3）而宋荣子犹然笑之（连词，然而。）（4）数仞而下（连词，就。）（5）而控于地。（连词，连接原因和结果，“因而”。）（6）三飡而反（连词，连接行为发生的先后。） 之：（可用作代词、助词、动词） （1）并吞八荒之心（助词，的。）（2）取之于蓝（代词，它，指“青”。）（3）乐毅之徒（代词，这。）（4）汤之向棘也是已（助词，取消句子独立性。）（5）奚以之九万里而南为（动词，列…去。）
有理数的混合运算和近似数习题（七上） 例1：计算：?? ? ??--+÷-21526131301 例2：计算 （1）归纳：－(0.5)－(－3 41) + 2.75－(72 1) （2）凑整（对消）：--+-+-11622344551311638. （3）变序：17.48×37＋174.8×1.9＋8.74×88． （4）约简：()()61112.50.125 1.250.6215284??-??-?÷??? ?? ?
（5）分解:25×32×125 ；（24+32）×125 （6）倒序相加：1 2003 2 2003 3 2003 4005 2003 ++++ Λ （7）裂项相消法: 课堂练习(提高篇): 一、选择题: *1、一个数的平方等于它的本身，则这个数是（） A、0B、1或－1 C、0或1D、0或1或－1 *2、小慧测得一根木棒的长度为2.8米，这根木棒的实际长度的范围（） A、大于2.80米，小于2.90米 B、大于2.75米，小于2.85米 C、大于2.75米，小于2.84米 D、大于或等于2.75米，小于2.85米*3、下列各组数中，不相等的一组是（） A、3 (5) -与35- B、2 (5) -与25- C、4 (5) -与45 D、35-与35-*4、一个池塘的水浮莲，每天都在生长，且每天的面积是前一天的2倍，如果12天就能把整个池塘遮满，那么水浮莲长到遮住半个池塘需要（） A、6天 B、8天 C、10天 D、11天 *5．2009个不全相等的有理数之和为0，则这2009个有理数中（）
A ． 至少有一个0 B ． 至少有1005个正数 C ． 至少有一个是负数 D ． 至少有2008个负数 *6．设xy ＜0，x ＞|y|，则x+y 的值是（ ） A ． 负数 B ． 0 C ． 正数 D ． 非负数 *7．如果a 与3互为相反数，则|a ﹣3|的倒数等于（ ） A. 0 B ． ﹣6 C ． D ． *8．若m 、n 取正数，p 、q 取负数，则以下式中其值最大的是（ ） A ． m ﹣（n+p ﹣q ） B ． m +（n ﹣p ﹣q ） C ． m ﹣（n ﹣p+q ） D ． m +（n ﹣p+q ） *9．已知a 是最小的正整数，b 是最大的负整数，c 是绝对值最小的有理数，则a 、b 、c 三 数的和为（ ） A ． 1 B ． ﹣1 C ． 0 D ． 不确定 *10．一位“粗心”的同学在做加减运算时，将“﹣5”错写成“+5”进行运算，这样他得到的结果 比正确答案（ ） A ． 少5 B ． 少10 C ． 多5 D ． 多10 一、填空题: 1．数据显示，今年高校毕业生规模达到727万人，比去年有所增加．数据727万人用科学 记数法表示为 _________ 人． 2.近似数 3.12×105精确到了 _____ 位． 3．近似数1.35是由数a 四舍五入得到的，那么数a 的取值范围是 ． 4．计算：10021)1()1()1(-+?+-+-＝__ __． 5．计算：10061005)4()25.0(-?-＝___ _． 6．甲、乙两数的和是－10.6，乙数为－3.7.则甲数比乙数大___ _． 7．4 1-的绝对值的相反数与432的相反数的差是__ __. 8．绝对值大于3而小于8的所有整数的和是__ __.
直线与圆培优讲义-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
培优讲义 一、概念理解： 1、倾斜角：①找α：直线向上方向、x 轴正方向； ②平行：α=0°； ③范围：0°≤α＜180° 。 2、斜率：①找k ：k=tan α （α≠90°）； ②垂直：斜率k 不存在； ③范围： 斜率 k ∈ R 。 3、斜率与坐标：1 2122121tan x x y y x x y y k --=--==α ①构造直角三角形（数形结合）； ②斜率k 值于两点先后顺序无关； ③注意下标的位置对应。 4、直线与直线的位置关系：222111:,:b x k y l b x k y l +=+= ①相交：斜率21k k ≠（前提是斜率都存在） 特例----垂直时：<1> 0211=⊥k k x l 不存在，则轴，即； <2> 斜率都存在时：121-=?k k 。 ②平行：<1> 斜率都存在时：2121,b b k k ≠=； <2> 斜率都不存在时：两直线都与x 轴垂直。 ③重合： 斜率都存在时：2121,b b k k ==； 二、方程与公式： 1、直线的五个方程： ①点斜式：)(00x x k y y -=- 将已知点k y x 与斜率),(00直接带入即可； ②斜截式：b kx y += 将已知截距k b 与斜率),0(直接带入即可； ③两点式：),(21211 21121y y x x x x x x y y y y ≠≠--=--其中， 将已知两点),(),,(2211y x y x 直接带入即可； ④截距式：1=+b y a x 将已知截距坐标),0(),0,(b a 直接带入即可； ⑤一般式：0=++C By Ax ，其中A 、B 不同时为0 用得比较多的是点斜式、斜截式与一般式。
厦大附中高一数学培优专题（一） （2010-3-6/13） 知识要点梳理 本节公式中，,2a b c s ++=,r 为切圆半径，R 为外接圆 半径，Δ为三角形面积. （一). 三角形中的各种关系 设△ABC 的三边为a 、b 、c ，对应的三个角A 、B 、C ． 1．角与角关系：A +B +C = π， 2．边与边关系：a + b > c ，b + c > a ，c + a > b ， a － b < c ，b －c < a ，c －a < b ． 3．边与角关系： 正弦定理； R C c B b A a 2sin sin sin === 余弦定理； c 2 = a 2+b 2－2ba cos C ， b 2 = a 2+ c 2－2ac cos B ，a 2 = b 2+c 2－2bc cos A ． 它们的变形形式有：a = 2R sin A ，b a B A =sin sin ， bc a c b A 2cos 2 22-+=． 3）射影定理：a ＝b ·cos C ＋c ·cos B ， b ＝a ·cos C ＋ c ·cos A ， c ＝a ·cos B ＋b ·cos A ． 4 ）面积公式：11sin 224a abc S ah ab C rs R ?=====
（二）、关于三角形角的常用三角恒等式： 1.三角形角定理的变形 由A ＋B ＋C ＝π，知A ＝π－（B ＋C ）可得出： sin A ＝sin （B ＋C ），cos A ＝－cos （B ＋C ）． 而 2 22C B A +-=π．有：2cos 2sin C B A +=，2 sin 2cos C B A +=． 2.常用的恒等式： （1）sin A ＋sin B ＋sin C ＝4cos 2 A cos 2 B cos 2 C ； （2）cos A ＋cos B ＋cos C ＝1＋4sin 2 A sin 2 B sin 2 C ； （3）sin A ＋sin B －sin C ＝4sin 2 A sin 2 B cos 2 C ； （4）cos A ＋cos B －cos C ＝－1＋4cos 2 A cos 2 B sin 2 C ． 3．余弦定理判定法：如果c 是三角形的最大边，则有： a 2＋ b 2＞ c 2 ? 三角形ABC 是锐角三角形 a 2＋b 2＜c 2 ? 三角形ABC 是钝角三角形 a 2＋b 2=c 2 ? 三角形ABC 是直角三角形 (三) 三角形度量问题：求边、角、面积、周长及有关圆半径等。
此文档下载后即可编辑 初一数学培优专题讲义一 有理数及其运算 一、 有理数的基本概念梳理与强化： （一）几个小知识点的梳理与强化：小知识点是常考的考点，也是易错点。理清小知识点，减少失误 1.字母可以表示任意有理数，不能说a 一定是正数，-a 也不一定是负数 2.相反数等于本身的数是 ；平方等于本身的数是 ；立方 等于本身的数是 ；倒数等于本身的数是 。 3.互为相反数的两个数的绝对值相等。若|－x |=|2 1-|，则x =______； 若|x |=|－4|，则x =____； 若-|x|=-|2|，那么x=＿＿＿；若-|-x|=-|2|，那么x=＿＿＿＿ 4.互为相反数的两个数的平方相等。如果 ，那么a=____；若 x 2=(－2)2，则x =_______. 5.注意乘方中括号的作用。（－2）3的底数是_______，结果是_______； －32的底数是_______，结果是_______；n 为正整数，则（－1）2n =_ __, (－1) 2n +1=_ __。计算： （1） = ； （2） = ； （3） = ；（4） = （5） = 6.a 的相反数是 ；a+b 的相反数是 ；a-b 的相反数 是 ；-a+b-c 的相反数是 ； 变式训练：若a ＜b ，则∣a-b ∣= ，-∣a-b ∣= （二）突破绝对值的化简： 7.绝对值即距离，则0≥a 8.绝对值的代数定义用式子可表示为：（体现分类讨论的思想） （a ＞0） |a| = （a ＝0 ） （a ＜0 ） 9.绝对值的非负性： 162=a