甘肃省天水一中2020-2021学年高一数学上学期第一学段考试试题【含答案】

2020-2021学年甘肃省天水一中高一（上）期末数学试卷一、选择题（共10小题）.1．（4分）直线x﹣y+1＝0的倾斜角为（）A．150°B．120°C．60°D．30°2．（4分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．8πB．16πC．D．3．（4分）已知圆C1：x2+y2﹣2x﹣4y+6＝0和圆C2：x2+y2﹣6y＝0，则两圆的位置关系为（）A．内含B．内切C．相交D．外切4．（4分）已知直线l1：（k﹣3）x+（4﹣k）y+1＝0与l2：2（k﹣3）x﹣2y+3＝0平行，则k的值是（）A．1或3B．1或5C．3或5D．1或25．（4分）在同一直角坐标系中，表示直线y＝ax与y＝x+a正确的是（）A．B．C．D．6．（4分）将半径为3，圆心角为的扇形作为侧面围成一个圆锥，则该圆锥的体积为（）A．πB．C．3πD．7．（4分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n B．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nC．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β8．（4分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为（）A．B．C．D．9．（4分）已知两点A（﹣3，4），B（3，2），过点P（1，0）的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是（）A．（﹣1，1）B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）C．[﹣1，1]D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）10．（4分）已知边长为的菱形ABCD，A＝60°，沿对角线BD把△ABD折起，二面角A﹣BD﹣C的平面角是120°，则三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积是（）A．20πB．28πC．36πD．54π二、填空题（共4小题）.11．（5分）已知直线l过点P（1，1），圆C：x2+y2＝4，则直线l与圆C的位置关系是．12．（5分）一个长方体共一顶点的三条棱长分别是，这个长方体它的八个顶点都在同一个球面上，这个球的体积是．13．（5分）已知圆C1：x2+y2﹣4＝0与圆C2：x2+y2﹣4x+4y﹣12＝0相交于A，B两点，则直线AB的方程为．14．（5分）不论m取何实数，直线l：（m﹣1）x+（2m﹣1）y＝m﹣5恒过定点．三、解答题（每题10分，共40分）15．（10分）已知直线l经过两直线l1：2x﹣y+4＝0与l2：x﹣y+5＝0的交点，且与直线x ﹣2y﹣6＝0垂直．（1）求直线l的方程；（2）若点P（a，1）到直线l的距离为，求实数a的值．16．（10分）如图，ABCD是正方形，直线PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点．（1）证明：直线PA∥平面EDB；（2）求直线PB与平面ABCD所成角的正切值．17．（10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，其他四个侧面都是侧棱长为的等腰三角形．（1）求证：PB⊥AC；（2）求二面角P﹣AB﹣C的大小．18．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C的方程为（x﹣1）2+y2＝4，M点的坐标为（3，﹣3）．（1）求过点M且与圆C相切的直线方程；（2）过点M任作一条直线l与圆C交于不同两点A，B，且圆C交x轴正半轴于点P，求证：直线PA与PB的斜率之和为定值．参考答案一、选择题（每题4分，共40分）1．（4分）直线x﹣y+1＝0的倾斜角为（）A．150°B．120°C．60°D．30°解：由直线可知：直线的斜率，解得α＝600，故选：C．2．（4分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．8πB．16πC．D．解：根据几何体的三视图转换为直观图，该几何体为半圆柱．所以V＝．故选：A．3．（4分）已知圆C1：x2+y2﹣2x﹣4y+6＝0和圆C2：x2+y2﹣6y＝0，则两圆的位置关系为（）A．内含B．内切C．相交D．外切解：两圆的标准方程为（x﹣）2+（y﹣2）2＝1，x2+（y﹣3）2＝9，圆心坐标分别为C1（，2），C2（0，3），半径分别为R＝1，r＝3，则|C1C2|＝＝＝＝2＝3﹣1＝r﹣R，即两圆相内切，故选：B．4．（4分）已知直线l1：（k﹣3）x+（4﹣k）y+1＝0与l2：2（k﹣3）x﹣2y+3＝0平行，则k的值是（）A．1或3B．1或5C．3或5D．1或2解：由两直线平行得，当k﹣3＝0时，两直线的方程分别为y＝﹣1 和y＝，显然两直线平行．当k﹣3≠0时，由＝≠，可得k＝5．综上，k的值是3或5，故选：C．5．（4分）在同一直角坐标系中，表示直线y＝ax与y＝x+a正确的是（）A．B．C．D．解：由y＝x+a得斜率为1排除B、D，由y＝ax与y＝x+a中a同号知若y＝ax递增，则y＝x+a与y轴的交点在y轴的正半轴上；若y＝ax递减，则y＝x+a与y轴的交点在y轴的负半轴上；故选：C．6．（4分）将半径为3，圆心角为的扇形作为侧面围成一个圆锥，则该圆锥的体积为（）A．πB．C．3πD．解：如图所示，半径为3，圆心角为的扇形作为侧面围成一个圆锥，则该圆锥的母线长为SA＝3，底面圆周长为2π•OA＝•3＝2π，所以OA＝1；所以圆锥的高为SO＝＝＝2，所以圆锥的体积为V＝π•OA2•SO＝π×12×2＝．故选：D．7．（4分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n B．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nC．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β解：选项A，若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则可能m⊥n，m∥n，或m，n异面，故A错误；选项B，若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n，或m，n异面，故B错误；选项C，若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α与β可能相交，也可能平行，故C错误；选项D，若m⊥α，m∥n，则n⊥α，再由n∥β可得α⊥β，故D正确．故选：D．8．（4分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为（）A．B．C．D．【解答】解以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为2，则A（2，0，0），E（0，2，1），D（0，0，0），C（0，2，0），＝（﹣2，2，1），＝（0，﹣2，0），设异面直线AE与CD所成角为θ，则cosθ＝＝＝，sinθ＝＝，∴tanθ＝．∴异面直线AE与CD所成角的正切值为．故选：C．9．（4分）已知两点A（﹣3，4），B（3，2），过点P（1，0）的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是（）A．（﹣1，1）B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）C．[﹣1，1]D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）解：∵点A（﹣3，4），B（3，2），过点P（1，0）的直线L与线段AB有公共点，∴直线l的斜率k≥k PB或k≤k PA，∵PA的斜率为＝﹣1，PB的斜率为＝1，∴直线l的斜率k≥1或k≤﹣1，故选：D．10．（4分）已知边长为的菱形ABCD，A＝60°，沿对角线BD把△ABD折起，二面角A﹣BD﹣C的平面角是120°，则三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积是（）A．20πB．28πC．36πD．54π解：如图所示：设菱形ABCD的对角线交于F，由菱形的性质可得：二面角A﹣BD﹣C的平面角是∠AFC＝120°，∠AFE＝60°，因为菱形的边长为2，A＝60°，所以AF＝，AE＝，EF＝，设OO′＝x，又O′B＝2，O′F＝1，所以由勾股定理可得：R2＝OB2＝OA2，即R，解得x＝，所以R2＝7，所以四面体的外接球的表面积为S＝4πR2＝4π×7＝28π，故选：B．二、填空题（每题5分，共20分）11．（5分）已知直线l过点P（1，1），圆C：x2+y2＝4，则直线l与圆C的位置关系是相交．解：因为P（1，1）在圆C：x2+y2＝4内，故直线l与圆C：x2+y2＝4相交．故答案为：相交．12．（5分）一个长方体共一顶点的三条棱长分别是，这个长方体它的八个顶点都在同一个球面上，这个球的体积是．解：个长方体共一顶点的三条棱长分别是，这个长方体它的八个顶点都在同一个球面上，设球的半径为R，所以，解得R＝，则：．故答案为：4．13．（5分）已知圆C1：x2+y2﹣4＝0与圆C2：x2+y2﹣4x+4y﹣12＝0相交于A，B两点，则直线AB的方程为x﹣y+2＝0．解：根据题意，圆C1：x2+y2﹣4＝0与圆C2：x2+y2﹣4x+4y﹣12＝0相交于A，B两点，联立，可得4x﹣4y+8＝0，即x﹣y+2＝0，故答案为：x﹣y+2＝0．14．（5分）不论m取何实数，直线l：（m﹣1）x+（2m﹣1）y＝m﹣5恒过定点（9，﹣4）．解：∵不论m取何实数，直线L：（m﹣1）x+（2m﹣1）y＝m﹣5恒过定点，∴m（x+2y﹣1）﹣x﹣y+5＝0恒成立，∴，∴∴直线L：（m﹣1）x+（2m﹣1）y＝m﹣5恒过定点（9，﹣4）．故答案为：（9，﹣4）．三、解答题（每题10分，共40分）15．（10分）已知直线l经过两直线l1：2x﹣y+4＝0与l2：x﹣y+5＝0的交点，且与直线x﹣2y﹣6＝0垂直．（1）求直线l的方程；（2）若点P（a，1）到直线l的距离为，求实数a的值．解：（1）联立两直线l1：2x﹣y+4＝0与l2：x﹣y+5＝0，得交点（1，6），∵与直线x﹣2y﹣6＝0垂直，∴直线l的方程为2x+y﹣8＝0；（2）∵点P（a，1）到直线l的距离为，∴＝，∴a＝6或1．16．（10分）如图，ABCD是正方形，直线PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点．（1）证明：直线PA∥平面EDB；（2）求直线PB与平面ABCD所成角的正切值．【解答】证明：（1）连结AC，BD，交于点O，连结OE，∵ABCD是正方形，∴O是AC中点，∵E是PC的中点，∴OE∥PA，∵PA⊄平面BDE，OE⊂平面BDE，∴直线PA∥平面EDB．解：（2）∵直线PD⊥底面ABCD，ABCD是正方形，PD＝DC，∴∠PBD是直线PB与平面ABCD所成角，设PD＝DC＝a，则BD＝＝，∴tan∠PBD＝＝＝．∴直线PB与平面ABCD所成角的正切值为．17．（10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，其他四个侧面都是侧棱长为的等腰三角形．（1）求证：PB⊥AC；（2）求二面角P﹣AB﹣C的大小．解：（1）证明：连接AC，BD，交于点O，连接OP，∵在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，∴AC⊥BD，O是BD中点，∵其他四个侧面都是侧棱长为的等腰三角形，∴PO⊥AC，∵PO∩BD＝O，PO⊂平面PBD，BD⊂平面PBD，∴AC⊥平面PBD，∵PB⊂平面PBD，∴PB⊥AC．（2）以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，则P（0，0，），A（0，﹣，0），B（，0，0），＝（0，，﹣），＝（，0，﹣），设平面PAB的法向量＝（x，y，z），则，取x＝，得＝（，，），平面ABC的法向量＝（0，0，1），设二面角P﹣AB﹣C的大小为θ，则cosθ＝＝＝．∴θ＝60°．故二面角P﹣AB﹣C的大小为60°．18．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C的方程为（x﹣1）2+y2＝4，M点的坐标为（3，﹣3）．（1）求过点M且与圆C相切的直线方程；（2）过点M任作一条直线l与圆C交于不同两点A，B，且圆C交x轴正半轴于点P，求证：直线PA与PB的斜率之和为定值．解：（1）当直线l的斜率不存在时，显然直线x＝3与圆C相切，当直线l的斜率存在时，设切线方程为：y+3＝m（x﹣3），圆心到直线的距离等于半径＝2，解得m＝﹣，切线方程为：5x+12y+21＝0，综上，过点M（3，﹣3）且与圆C相切的直线方程为：x＝3或5x+12y+21＝0．（2）圆C：（x﹣1）2+y2＝4与x轴正半轴的交点为P（3，0），依题意可得直线AB的斜率存在且不为0，设直线AB：y+3＝k（x﹣3），代入圆C：（x ﹣1）2+y2＝4＝整理得：（1+k2）x2﹣2（3k2+3k+1）x+9（k+1）2﹣3＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），且P（3，0），∴x1+x2＝，x1x2＝，∴直线PA和PB的斜率之和为：k PA+k PB＝+＝+＝k﹣+k﹣＝2k﹣3（+）＝2k﹣3×＝2k﹣3×＝2k﹣3×＝2k﹣3×＝2k﹣＝2k﹣2k+＝．。

2019-2020学年甘肃省天水一中高一（上）第一次段考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1. 已知集合U ={−1,1，3，5，7，9}，A ={1,5}，B ={−1,5，7}，则∁U (A ∪B)=( )A. {3,9}B. {1,5，7}C. {−1,1，3，9}D. {−1,1，3，7，9}2. 已知集合A ={x|ax =x 2}，B ={0,1，2}，若A ⊆B ，则实数a 的值为( )A. 1或2B. 0或1C. 0或2D. 0或1或23. 下列函数中，与函数y =x 相同的函数是( )．A. y =x 2xB. y =|x |C. y =lne xD. y =(√x)24. 已知函数f (x )=(14)x−4x ，则f (x )( )A. 是奇函数，且在R 上是增函数B. 是偶函数，且在R 上是增函数C. 是奇函数，且在R 上是减函数D. 是偶函数，且在R 上是减函数5. 函数y =a x −(b +1)(a >0且a ≠1)的图象在第一、三、四象限，则必有( )A. 0<a <1，b >0B. 0<a <1，b <0C. a >1，b <0D. a >1，b >06. 函数f(x)=√x +3的值域为( )A. [3,+∞)B. (−∞,3]C. [0,+∞)D. R7. 函数f(x)=x 22|x|−4的图象大致为( )A. B.C. D.8. 已知函数f(x)=3−x +a ⋅3x +2x 是奇函数，则f(a)=( )A. 23B. −23 C. 1 D. −19. 已知函数f(x)的定义域为[ 0,2 ]，则f(2x)x 的定义域为( )A. { x |0<x ≤4 }B. { x |0≤x ≤4 }C. { x |0≤x ≤1 }D. { x |0<x ≤1 }10. 已知定义域为R ，f(x)满足f(a +b)=f(a)+f(b)，且f(2)=2，那么f(3)等于()A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）11.计算：_____________．12.函数f(x)=ax2−(a+1)x+2在区间(−∞,1)上是减函数，那么实数a的取值范围是______ ．13.函数f(x)=|x2−1|的单调递减区间为______ ．14.某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3km(不超过3km按起步价付费)；超过3km但不超过8km时，超过部分按每km2.15元收费；超过8km时，超过部分按每km2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________km．三、解答题（本大题共4小题，共44.0分）15.已知集合A={x|m−2<x≤m+1}，B={x|log2(x−3)<2}．(1)当m=3时，求A∩B．(2)若A∩B=A，求m的取值范围．16.试判断函数f(x)=√1−x2在[0,1]上的单调性．17.已知函数f(x)=4mx+1．2x(1)若f(x)是偶函数，求m的值；(2)当m<0时，关于x的方程f(−2x2+2x+4+m)=2在区间[−1,1]上恰有两个不同的实数解，求m的范围．18.已知a∈R，函数f(x)=x2−2ax+5．(1)若不等式f(x)>0对任意的x∈R恒成立，求实数a的取值范围；(2)函数f(x)在区间[1,a+1]的最大值为g(a)，求g(a)的表达式．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：【分析】本题主要考查了集合并集和补集的运算，属于基础题．直接根据补集和并集的定义可得答案．【解答】解：∵U={−1,1，3，5，7，9}，A={1,5}，B={−1,5，7}，∴A∪B={−1,1，5，7}，∴∁U(A∪B)={3,9}，故选A．2.答案：D解析：【分析】本题考查了集合间的关系，元素与集合的关系，属于基础题．对a=0和a≠0进行讨论即可．【解答】解：依题意，当a=0时，A={0}，满足A⊆B．当a≠0时，若A⊆B，则1∈A，或者2∈A，若1∈A，则a×1=12，得a=1；若2∈A，则2a=22得a=2，综上：a=0，1或2．故选：D．3.答案：C解析：【分析】本题考查判断函数是否为相同函数，考查推理能力和计算能力，属于基础题．通过对比定义域和对应法则是否相同即可判断．【解答】解：因为y=x的定义域和值域都是R，A、定义域为{x|x≠0}，定义域不同，错误；B、值域为[0,+∞)，值域不同，错误；C、y=lne x=x，正确；D、定义域为[0,+∞)，定义域不同，错误，故选C．4.答案：C解析：【分析】本题考查了函数的奇偶性，函数的单调性及指数函数的性质，属于基础题．由已知得f(−x)=−f(x)，即函数f(x)为奇函数，由函数y =4x 为增函数，y =(14)x 为减函数，结合“减”−“增”=“减”可得答案．【解答】解：∵f(x)=(14)x −4x =4−x −4x ，∴f(−x)=4x −4−x =−f(x)，即函数f(x)为奇函数，又由函数y =4x 为增函数，y =(14)x 为减函数，故函数f (x )=(14)x −4x 为减函数． 故选C ．5.答案：D解析：解：由题意，画出草图如下图：结合图形，可得a >1且b +1>1，∴a >1，b >0．故选D ．本题考查的知识点是指数函数图象的性质，及函数图象的平移变换，由指数函数y =a x 图象的性质，我们知道y =a x 的图象过一、二象限，且恒过(0,1)点，而函数y =a x −(b +1)的图象相当于把y =a x 的图象向下平移了b +1个单位．本题考查了指数函数的图象和图象的平移，即根据图象平移的“左加右减”“上加下减”法则，求出m 的范围，考查了作图和读图能力．6.答案：A解析：【分析】本题考查了函数定义域与值域，函数的单调性，属于基础题．由题意，可得函数f(x)的定义域为[0,+∞)，可得函数f(x)在[0,+∞)上为增函数，即可求出值域．【解答】解：由题意，函数f(x)的定义域为[0,+∞)，函数f(x)=√x +3在[0,+∞)上为增函数，∴f(x)≥f(0)=3，∴函数f(x)=√x +3的值域为[3,+∞)．故选A ．7.答案：D解析：【分析】本题考查了函数的图象，属基础题．利用偶函数可排除A ，B ，再根据x >2时，函数值恒大于0，排除C ．【解答】解：因为f(−x)=(−x)22|−x|−4=x 22|x|−4=f(x)， 所以f(x)为偶函数，其图象关于y 轴对称，所以排除A 、B ，又x >2时，f(x)>0，所以排除C ．故选：D ．8.答案：A解析：【分析】本题考查了函数的奇偶性，考查了化简、变形能力，属于基础题．根据奇函数的定义：f(−x)=−f(x)，列出方程，求出a =−1，即可求出f(a)的值．【解答】解：∵函数f(x)=3−x +a ⋅3x +2x 是奇函数，∴f(−x)=−f(x)，则f(−x)+f(x)=3x +a ⋅3−x −2x +3−x +a ⋅3x +2x =(1+a)(3−x +3x )=0，因为3−x +3x >0，∴1+a =0，解a =−1，当a =−1时f(x)=3−x +a ⋅3x +2x =3−x −3x +2x ，则f(a)=f(−1)=3−3−1−2=23，故选：A ．9.答案：D解析：【分析】本题考查函数的定义域，属于基础题．【解答】∵函数f(x)的定义域为[ 0,2 ]∴f(2x)x 的定义域满足{0≤2x ≤2x ≠0,∴0<x ≤1,∴f(2x)x 的定义域为{x |0<x ≤1}．10.答案：C解析：【分析】本题考查抽象函数的应用，函数值的求法，考查计算能力，属于基础题．利用已知条件求出f(1)，然后求解f(3)．【解答】解：f(a +b)=f(a)+f(b)，且f(2)=2，可得2=f(1)+f(1)，可得f(1)=1，f(3)=f(2)+f(1)=2+1=3，故选：C ．解析：【分析】本题考查指数式、对数式化简求值，考查指数、对数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．利用指数、对数的性质、运算法则直接求解．【解答】 解：=4+4−2=6．故答案为：6．12.答案：[0,1]解析：解：①a =0时，f(x)=−x +2，该函数为一次函数，在(−∞,1)上是减函数； ②若a ≠0，函数f(x)为二次函数，对称轴为x =a+12a ；要使f(x)在区间(−∞,1)上是减函数，则：{a >0a+12a ≥1，解得0<a ≤1；综上得a 的取值范围为[0,1]．故答案为：[0,1]．a =0时，函数f(x)=−x +2为一次函数，显然满足在(−∞,1)上是减函数；a ≠0时，函数f(x)为二次函数，根据二次函数的单调性即可求得a 的取值范围，合并这两种情况即得实数a 的取值范围． 考查一次函数的单调性，以及二次函数单调性和对称轴的关系，不要漏了a =0的情况． 13.答案：(−∞−1)和(0,1)解析：解：函数f(x)=|x 2−1|={x 2−1 , (x >1 , 或x <−1)1−x 2, −1≤x ≤1，如图所示：故函数f(x)的减区间为(−∞−1)和(0,1)，故答案为(−∞−1)和(0,1)．函数f(x)=|x 2−1|={x 2−1 , (x >1 , 或x <−1)1−x 2, −1≤x ≤1，结合图象写出函数的单调减区间．本题主要考查带有绝对值的函数的单调性，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．14.答案：9解析：【分析】由题意直接利用已知条件求解函数的解析式，然后求解即可．本题考查函数的值的求法，函数与方程的应用，考查计算能力．解：设出租车行驶xkm 时，付费y 元，则y ={9,0<x ≤38+2.15(x −3)+1,3<x ≤88+2.15×5+2.85(x −8)+1,x >8由y =22.6，解得x =9．故答案为9．15.答案：解：(1)当m =3时，A ={x|1<x ≤4}，B ={x|log 2(x −3)<2}={x|3<x <7}，∴A ∩B ={x|3<x ≤4}．(2)∵A ∩B =A ，∴A ⊆B ，∵集合A ={x|m −2<x ≤m +1}，B ={x|3<x <7}，∴{m −2≥3m +1<7， 解得5≤m <6．∴m 的取值范围是[5,6)．解析：(1)当m =3时，A ={x|1<x ≤4}，B ={x|log 2(x −3)<2}={x|3<x <7}，由此能求出A ∩B ．(2)由A ∩B =A ，得A ⊆B ，再由集合A ={x|m −2<x ≤m +1}，B ={x|3<x <7}，列出不等式组，能求出m 的取值范围．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 16.答案：解：在[0,1]上任取两个实数x 1，x 2，且x 1<x 2．则f(x 1)−f(x 2)=√1−x 12−√1−x 22 =12221222=2121√1−x 1+√1−x 2，∵x 1∈[0,1]，x 2∈[0,1]，且x 1<x 2，∴x 2+x 1>0，x 2−x 1>0，√1−x 12+√1−x 22>0，∴f(x 1)−f(x 2)>0，即f(x 1)>f(x 2)，∴f(x)=√1−x 2在[0,1]上为减函数．解析：【分析】本题考查函数的单调性，属于基础题.利用函数单调性的定义即可证明．17.答案：解：(1)若f(x)是偶函数，则有f(−x)=f(x)恒成立，即4mx +12x =4−mx +12−x ，可化为4mx +12x =4−mx +12−x =4x−mx +4x 2x ，化简得4mx +1=4(1−m)x +4x 恒成立，则m =1．(2)f(x)=22mx−x +2−x ，m <0，y =22mx−x ，y =2−x 都在R 上单调递减， 所以函数f(x)在R 上单调递减，又f(0)=2，则f(−2x 2+2x +4+m)=2可化为f(−2x 2+2x +4+m)=f(0)．又f(x)单调递减，得−2x 2+2x +4+m =0，−2x 2+2x +4+m =0在x ∈[−1,1]有两解，则m =2x 2−2x −4．令g(x)=2x 2−2x −4，x ∈[−1,1]，则g(x)=2(x −12)2−92(−1≤x ≤1)，g(x)min =−92，g(1)=−4，作出y =2(x −12)2−92(−1≤x ≤1)与y =m 的简图如图：由图象可知m 的范围为：−92<m ≤−4．解析：本题考查了函数的奇偶性及函数的单调性、二次函数在定区间上的解的个数问题、数形结合的数学思想方法，属中档题．(1)由函数的奇偶性得：f(−x)=f(x)恒成立，解得m =1．(2)由函数的单调性、二次函数在定区间上的解的个数问题、数形结合的数学思想方法可得：关于x 的方程f(−2x 2+2x +4+m)=2在区间[−1,1]上恰有两个不同的实数解，等价于函数y =2(x −12)2−92(−1≤x ≤1)的图象与直线y =m 有两个交点，作图观察即可得解． 18.答案：解：(1)∵f(x)=x 2−2ax +5且不等式f(x)>0对任意的x ∈R 恒成立，所以Δ=4a 2−20<0,∴−√5<a <√5，故实数a 的取值范围为(−√5,√5);(2)当a ≤2时，f(x)在[1,a)上为减函数，在(a,a +1]上为增函数，所以f(x)最大值为f(a +1)=6−a 2，所以g(a)=6−a 2;当a >2时，f(x)在[1,a)上为减函数，在(a,a +1]上为增函数，所以f(x)的最大值为f(1)=6−2a ，所以g(a)=6−2a.故g(a)={6−a 2, a ≤26−2a, a >2．解析：【分析】本题考查一元二次函数，属于较难题．(1)根据题意，若不等式f(x)>0对任意x>0恒成立，Δ=4a2−20<0,∴−√5<a<√5;(2)对a进行分类讨论，判断f(x)在区间上的单调性，求出最值即可得出g(a)的表达式．。

甘肃省天水一中2020届高三数学上学期第一阶段考试试题 理（满分：150分 时间：120分钟）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集，集合，，则（{}1,0,1,2,3U =-{}0,1,2A ={}1,0,1B =-U C A B ⋂=（））A ．B ．C ．D ．{}1-{}0,1{}1,2,3-{}1,0,1,3-2．已知平面向量，且，则实数的值为（ ）a =(1,m)b =(‒3,1)(2a +b )//b m A ． B ． C ． D ．13‒1323‒233．“”是“”的 2211og a og b <11a b <()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．在等差数列中，为其前项和，若，则（ ）{a n }S n n a 3+a 4+a 8=25S 9=A ．60 B ．75 C ．90 D ．1055．已知函数y =f （x ）+x 是偶函数，且f （2）=1，则f （-2）=（ ）A ．2 B ．3 C ．4 D ．56．如右图所示的图象对应的函数解析式可能是A ． B ．221x yx=--2sin 41x xy x ⋅=+C ．D ．ln xy x=()22e x y x x =-7．已知，有解，，则下列选项中是假命p:∀m ∈R x 2‒mx ‒1=0q:∃x 0∈N x 02‒2x 0‒1≤0题的为（ ）A ．B ．C ．D ．p ∧q p ∧(¬q)p ∨q p ∨(¬q)8．平面上三个单位向量两两夹角都是，则与夹角是（ ）a ,b ,c 23πa ‒b a +c A ．B ．C ．D ．3π23π12π6π9．已知数列的前项和满足( ）且，则（{a n }n S n S n +S m =S m +n m ， n ∈N ∗a 1=5a 8=）A ．B ．C ．D ．403551210．已知函数在区间上单调，且在区f(x)=sin (ωx +π3)‒3cos (ωx +π3)(ω>0)[‒3π4,π2]间内恰好取得一次最大值2，则的取值范围是( )[0,2π]ωA ．B ．C ．D ．(0,23][14,23](0,34][14,34]11．如右图所示，为的外心，，，O ABC ∆4AB =2AC=为钝角，为边的中点，则的值为（ ）BAC ∠M BC AM ⋅AOA ．．12 C ．6 D ．512．设定义在上的函数，满足，为奇函数，且，R f(x)f(x)>1y =f(x)‒3f(x)+f'(x)>1则不等式的解集为（ ）ln(f(x)‒1)>ln 2‒x A ． B ． C ． D ．(1,+∞)(‒∞,0)∪(1,+∞)(‒∞,0)∪(0,+∞)(0,+∞)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知，若幂函数为奇函数，且在α∈{‒2 ， ‒1 ， ‒12 ， 12 ， 1 ， 2 ， 3}f (x )=x a上递减，则____．(0 ， +∞)a =14．将函数的图象向左平移个单位长度得到的图象，则的值为y =2sin3x π12y =f(x)f(π3)．15．已知函数则的值为____．1(10)()1)x x f x x +-≤≤⎧=<≤11()f x dx -⎰16．已知数列的前项和，若不等式对{a n }n S n =2a n ‒2n +12n 2‒n ‒3<(5‒λ)a n 恒成立，则整数的最大值为______．∀n ∈N +λ三、解答题：共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选做题，考生根据要求作答.(一)必考题：共60分.17．（12分）的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC △2cos (cos cos ).C a B+b A c =（Ⅰ）求C ；（Ⅱ）若，求的周长．c ABC △=ABC △18．（12分）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖.（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为，求的分布列和数学期望.19．（12分）如图， 中，，，分别为，ABC △4AB BC == 90ABC ∠=︒,E FAB 边的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且．AC EF ΔAEF A P P B BE =（1）证明：平面；B C ⊥ P BE （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．P BE PCF 20．（12分）已知，两点分别在x 轴和y 轴上运动，且，若()0,0A x ()00,B y 1AB =动点满足(),P x y OP =2OA 求出动点P 的轨迹对应曲线C 的标准方程；()1一条纵截距为2的直线与曲线C 交于P ，Q 两点，若以PQ 直径的圆恰过原点，求出()21l 直线方程．21．（12分）已知函数（）的图象在处的切线为()22xf x e x a b =-++x R ∈0x =（为自然对数的底数）y bx =e （1）求的值；,a b （2）若，且对任意恒成立，求的最大值.k Z ∈()()2135202f x x x k +--≥x R ∈k (二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22．（10分）在直角坐标系中，圆的参数方程（为参数）．以x y O C 1{ x cos y sin ϕϕ=+=ϕ为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．O x （1）求圆的极坐标方程；C（2）直线的极坐标方程是，射线 与圆的交点为、l 2sin 3πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭:OM 3πθ=C O ，与直线的交点为，求线段的长．P l Q Q P 23．（10分）已知函数000a b c ＞，＞，＞，().f x a x x b c =-+++(1)当时,求不等式的解集；1a b c ===()3f x ＞(2)当的最小值为3时,求的最小值.()f x 111a b c ++天水一中2020届2019—2020学年度第一学期第一次考试数学理科试题答案1．A 【解析】【分析】本题根据交集、补集的定义可得.容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查.【详解】，则={1,3}U C A -(){1}U C A B =- 【点睛】易于理解集补集的概念、交集概念有误.2．B 【解析】,选B.(2a +b )//b ⇒(‒1,2m +1)//(‒3,1)⇒‒3(2m +1)=‒1⇒m =‒133．D 【解析】【分析】由可推出，再结合充分条件和必要条件的概念，即可得出结果.2211og a og b <a b <【详解】若，则，所以，即“”不能推出“2211og a og b <0a b <<110a b >>2211og a og b <”，反之也不成立，因此“”是“”的既不充分也不必要条件.11a b <2211og a og b <11a b <故选D 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件，熟记概念即可，属于基础题型.4．B 【解析】，即 ，而a 3+a 4+a 8=a 2+a 5+a 8=3a 5=25a 5=253 ，故选B.S 9=9(a 1+a 9)2=9a 5=9×253=755．D 【解析】∵是偶函数y =f (x )+x ∴f (x )+x =f (‒x )‒x当时，，又x =2f (2)+2=f (‒2)‒2f (2)=1∴f (‒2)=5故选：D 6．D【解析】对于，∵，当趋向于时，函数趋向于0，A 221x yx =--x -∞2x y =趋向于21y x =++∞∴函数的值小于0，故排除221x yx =--A对于，∵是周期函数B sin y x =∴函数的图像是以轴为中心的波浪线，故排除2sin 41x xy x ⋅=+x B对于， ∵的定义域是，且在时， C ln xy x=()()0,11,⋃+∞()0,1x ∈ln 0x <∴，故排除0ln xy x=<C 对于，∵函数，当时，；当时，D ()22211y x x x =-=--0,1x x 0y >01x <<；且恒成立0y <0xy e =>∴的图像在趋向于时， ； 时， ； 趋向于()22x y x x e =-x -∞0y >01x <<0y <x 时， 趋向于+∞y +∞故选D点睛：本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞不合题意的选项一一排除.7．B 【解析】试题分析：∵，∴是真命题，取，满足，∴也p x 0=0∈N x 20‒2x 0‒1≤0q 是真命题，∴是假命题，故选B ．p ∧(¬q)考点：命题真假判断．8．D【解析】 由题意得，向量为单位向量，且两两夹角为，,,a b c 23π则，1a b c -==且()()222213111cos 11cos 11cos 133322a b a c a a c a b b c πππ-⋅+=+⋅-⋅-⋅=+⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=+=，所以与的夹角为，且，a b - a c + ()()cos a b a c a b a cθ-⋅+===-⋅+0θπ≤≤ 所以与的夹角为，故选D.a b -a c +6π9．C 【解析】【分析】数列{a n }的前n 项和S n 满足S n +S m =S n+m （n ，m∈N *）且a 1=5，令m=1，可得S n+1=S n +S 1，可得a n+1=5．即可得出．【详解】数列{a n }的前n 项和S n 满足S n +S m =S n+m （n ，m∈N *）且a 1=5，令m=1，则S n+1=S n +S 1=S n +5．可得a n+1=5．则a 8=5．故选：C ．【点睛】本题考查了数列的通项公式与求和公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．B 【解析】【分析】由三角函数恒等变换的应用化简得f （x ）=2sinωx 可得[﹣，]是函数含原点(ω>0)π2ωπ2ω的递增区间，结合已知可得[﹣，]⊇[]，可解得0＜ω≤，又函数在区间π2ωπ2ω‒3π4,π223[0，2π]上恰好取得一次最大值，根据正弦函数的性质可得 ，得 ，14×π2ω≤2πω≥14进而得解．【详解】=2sinωx ，f(x)=sin (ωx +π3)‒3cos (ωx +π3)(ω>0)∴[﹣，]是函数含原点的递增区间．π2ωπ2ω又∵函数在[]上递增，‒3π4,π2∴[﹣，]⊇[]，π2ωπ2ω‒3π4,π2∴得不等式组：﹣≤，且≤，π2ω‒3π4π2π2ω又∵ω＞0，∴0＜ω≤ ，23又函数在区间[0，2π]上恰好取得一次最大值，根据正弦函数的性质可知 且 14×π2ω≤2π54×π2ω>2π可得ω∈[，．综上：ω∈1454)[14,23]故选：B ．【点睛】本题主要考查正弦函数的图象和性质，研究有关三角的函数时要利用整体思想，灵活应用三角函数的图象和性质解题，属于中档题．11．D 【解析】【分析】取的中点，且为的外心，可知 ，所求AB,AC ,D E O ABC ∆OD AB,OE AC ⊥⊥ ，由数量积的定义可得AM AO AD AO AE AO ⋅=⋅+⋅，代值即可．,AD AO AD AE AO AE⋅=⋅= 【详解】如图所示，取的中点，且为的外心，可知，AB,AC ,D E O ABC ∆OD AB,OE AC ⊥⊥∵是边的中点，∴ .M BC 1()2AM AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，11AM ()()22AO AB AC AO AB AO AC AO AD AO AE AO⋅=+⋅=⋅+⋅=⋅+⋅由数量积的定义可得，cos ,AD AO AD AO AD AO⋅=而 ，故；cos ,AO AD AO AD =2224||422AB AD AO AD ⎛⎫⎛⎫ ⎪⋅==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 同理可得 ，2222||122AC AE AO AE ⎛⎫⎛⎫⎪⋅==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 故.415AM AO AD AO AE AO ⋅=⋅+⋅=+=故选：D ．【点睛】本题考查向量数量积的运算，数形结合并熟练应用数量积的定义是解决问题的关键，属于中档题．12．D【解析】分析：构造函数g（x）=e x f（x）+e x，（x∈R），求函数的导数，研究g（x）的单调性，将不等式进行转化求解即可．详解：设g（x）=e x f（x）-e x，（x∈R），则g′（x）=e x f（x）+e x f′（x）-e x=e x[f（x）+f′（x）-1]，∵f（x）+f′（x）＞1，∴f（x）+f′（x）+1＞0，∴g′（x）＞0，∴y=g（x）在定义域上单调递增，不等式ln（f（x）-1）＞ln2-x等价为不等式ln[f（x）-1]+x＞ln2，即为ln[f（x）-1]+lne x＞ln2，即e x（f（x）-1）＞2，则e x f（x）-e x＞2，∵y=f（x）-3为奇函数，∴当x=0时，y=0，即f（0）-3=0，得f（0）=3，又∵g（0）=e0f（0）-e0=3-1=2，∴e x f（x）-e x＞2等价为g（x）＞g（0），∴x＞0，∴不等式的解集为（0，+∞），故选：D．点睛：本题考查函数的导数与单调性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键，综合性较强，有一定的难度．13．-1【解析】【分析】由幂函数f （x ）=x α为奇函数，且在（0，+∞）上递减，得到a 是奇数，且a ＜0，由此能求出a 的值．【详解】∵α∈{﹣2，﹣1，﹣，1，2，3}，12，12幂函数f （x ）=x α为奇函数，且在（0，+∞）上递减，∴a 是奇数，且a ＜0，∴a=﹣1．故答案为：﹣1．【点睛】本题考查实数值的求法，考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．14．‒2【解析】【分析】先由平移得f(x)的解析式，再将代入解析式求值即可π3【详解】f(x)=2sin3(x+=2sin(3x+,则π12)π4)f(π3)=2sin5π4=‒2故答案为‒2【点睛】本题考查图像平移，考查三角函数值求解，熟记平移原则，准确计算是关键，是基础题15．124π+【解析】【分析】由函数的解析式，得到，即可求解.()fx 111()(1)f x dx x dx --=++⎰⎰【详解】由题意，根据函数，1(10)()1)x x f x x +-≤≤⎧=<≤可得.111()(1)f x dx x dx --=++⎰⎰201112424x x ππ-⎛⎫=++=+⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查了微积分基本定理的应用，其中解答中根据函数的解析式，利用微积分基本定理，得到，然后利用定积分求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答11()f x dx-⎰问题的能力，属于基础题.16．4【解析】试题分析：当时，得，；n =1S 1=2a 1‒22a 1=4S n =2a n ‒2n +1当时，，两式相减得，得，所n ≥2S n ‒1=2a n ‒2n a n =2a n ‒2a n ‒1‒2n a n =2a n ‒1+2n以．a n 2n ‒a n ‒12n ‒1=1又，所以数列是以2为首项，1为公差的等差数列，，即a 121=2{a n 2n }a n2n=n +1．a n =(n +1)•2n 因为，所以不等式，等价于．a n >02n 2‒n ‒3<(5‒λ)a n 5‒λ>2n ‒32n记，时，．所以时，b n =2n ‒32n n ≥2b n +1b n=2n ‒12n +12n ‒32n=2n ‒14n ‒6n ≥3．b n +1b n<1,(b n )max =b 3=38所以，所以整数的最大值为4．5‒λ>38,λ<5‒38=378λ考点：1．数列的通项公式；2．解不等式．17．（Ⅰ）；（Ⅱ）.πC 3=5+【解析】试题分析：（Ⅰ）利用正弦定理进行边角代换，化简即可求角C ；（Ⅱ）根据1sin C 2ab =及可得．再利用余弦定理可得 ，从而可得的周长为πC 3=6ab =()225a b +=ΑΒC △5试题解析：（Ⅰ）由已知及正弦定理得，()2cos sin cos sin cos sin C ΑΒΒΑC +=．()2cos sin sin C ΑΒC +=故．2sin cos sin C C C =可得，所以．1cos 2C =πC 3=（Ⅱ）由已知，．1sin 2ab C =又，所以．πC 3=6ab =由已知及余弦定理得，．222cos 7a b ab C +-=故，从而．2213a b +=()225a b +=所以的周长为．ΑΒC △5+【考点】正弦定理、余弦定理及三角形面积公式【名师点睛】三角形中的三角变换常用到诱导公式,,这是常用的结论,另()()sin sin ,cos cos ,A B C A B C +=+=-()tan tan A B C +=-外利用正弦定理或余弦定理处理条件中含有边或角的等式,常考虑对其实施“边化角”或“角化边”.18．（1）；（2）详见解析.【解析】试题分析：（1）记事件｛从甲箱中摸出的1个球是红球｝，｛从乙箱中摸出的A 1=A 2=1个球是红球｝｛顾客抽奖1次获一等奖｝，｛顾客抽奖1次获二等奖｝，｛顾客抽奖1次能B 1=B 2=C =获奖｝，则可知A 1与相互独立，与互斥，与互斥，且 ， ，A 2A 1A 2A 1A 2B 1B 2B 1=A 1A 2B 2=A 1A 2+A 1A 2，再C =B 1+B 2利用概率的加法公式即可求解；（2）分析题意可知，分别求得X ∼B(3,15)，，P(X =0)=C 03(15)0(45)3=64125P(X =1)=C 13(15)1(45)2=48125，，即可知的概率分布及其期P(X =2)=C 23(15)2(45)1=12125P(X =3)=C 33(15)3(45)0=1125望.试题解析：（1）记事件｛从甲箱中摸出的1个球是红球｝，｛从乙箱中摸出的A 1=A 2=1个球是红球｝｛顾客抽奖1次获一等奖｝，｛顾客抽奖1次获二等奖｝，｛顾客抽奖1次能B 1=B 2=C =获奖｝，由题意，与相互独立，与互斥，与互斥，且 ， A 1A 2A 1A 2A 1A 2B 1B 2B 1=A 1A 2B 2= ，，A 1A 2+A 1A 2C =B 1+B 2∵，，∴，P(A 1)=410=25P(A 2)=510=12P(B 1)=P(A 1A 2)=P(A 1)P(A 2)=25×12=15P(B 2)=P(A 1A 2+A 1A 2)=P(A 1A 2)+P(A 1A 2)=P(A 1)(1‒P(A 2))+(1‒P(A 1))P(A 2)，故所求概率为=25×(1‒12)+(1‒25)×12=12；（2）顾客抽奖3次独立重复试验，由P(C)=P(B 1+B 2)=P(B 1)+P(B 2)=15+12=710（1）知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为，∴，15X ∼B(3,15)于是，，P(X =0)=C 03(15)0(45)3=64125P(X =1)=C 13(15)1(45)2=48125，P(X =2)=C 23(15)2(45)1=12125，故的分布列为P(X =3)=C 33(15)3(45)0=1125123P6412548125121251125的数学期望为.E(X)=3×15=35考点：1.概率的加法公式；2.离散型随机变量的概率分布与期望.【名师点睛】本题主要考查了离散型随机变量的概率分布与期望以及概率统计在生活中的实际应用，这一直都是高考命题的热点，试题的背景由传统的摸球，骰子问题向现实生活中的热点问题转化，并且与统计的联系越来越密切，与统计中的抽样，频率分布直方图等基础知识综合的试题逐渐增多，在复习时应予以关注.19．（1）见解析；（2【解析】【分析】（1）由，分别为，边的中点，可得，由已知结合线面垂直的判定E F AB AC EF BC 可得平面，从而得到平面；（2）取的中点，连接，由EF⊥PBE BC ⊥PBE BE O PO 已知证明平面，过作交于，分别以，，PO ⊥BCFE O OM BC CF M OB OM 所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的一OP x y z PCF PBE 个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得平面与平面所成锐二面角的余弦PBE PCF 值．【详解】（1）因为分别为，边的中点，,E F AB AC 所以，EF BC 因为，90ABC ∠=︒所以，，EFBE ⊥EF PE ⊥又因为，BE PE E ⋂=所以平面，EF ⊥PBE 所以平面．BC⊥PBE （2）取的中点，连接，BE O PO由（1）知平面，平面，BC ⊥PBE BC ⊂BCFE 所以平面平面，PBE ⊥BCFE 因为，PB BE PE ==所以，PO BE ⊥又因为平面，平面平面，PO ⊂PBE PBE ⋂BCFEBE =所以平面，PO ⊥BCFE 过作交于，分别以，，所在直线为轴建立空间O OM BC CF M OB OM OP ,,x y z 直角坐标系，则， ，．(P ()1,4,0C ()1,2,0F -，，(1,4,PC =(1,2,PF =-设平面的法向量为，PCF (),,m x y z=则即0,0,PC m PF m ⎧⋅=⎨⋅=⎩40,20,x y x y ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩则，(m=-易知为平面的一个法向量，()0,1,0n=PBE ，cos<,m n >===所以平面与平面PBE PCF【点睛】本题考查直线与平面垂直的判定，由于“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”之间可以相互转化，因此整个证明过程围绕着线面垂直这个核心而展开，这是化解空间垂直关系难点的技巧所在，两半平面所成的二面角与面的法向量之间所成的角相等或互补，主要通过题意或图形来确定最后结果.20．（1）（2）22143x y +=y 2x =+【解析】【分析】（1）根据向量的坐标运算，以及|AB|=1，得到椭圆的标准方程．（2）直线l 1斜率必存在，且纵截距为2，根据直线与椭圆的位置关系，即可求出k 的值，问题得以解决．【详解】(1)因为2OP OA =即()())()0000,2,00,2x y x y x =+=所以002,x x y ==所以001,2x x y y==又因为,所以1AB =22001x y +=即:,即22112x y ⎫⎛⎫+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭22143x y +=所以椭圆的标准方程为22143x y += (2) 直线斜率必存在，且纵截距为,设直线为1l 22y kx =+联立直线和椭圆方程1l 222143y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得:()22341640k xkx +++=由,得>0∆214k >()*设()()112,2,,P x y Q x y 以直径的圆恰过原点PQ 所以,OP OQ ⊥•0OP OQ = 即12120x x y y +=也即()()1212220x x kx kx +++=即()()212121240k x xk x x ++++=将(1)式代入,得()2224132403434k kkk +-+=++即()()22241324340k k k +-++=解得,满足（*）式，所以243k=k =所以直线2y x =+21．(1)a=-1,b=1;(2)-1.【解析】（1）对求导得，根据函数的图象在处的切线()f x ()2xf x e x '=-()f x 0x =为，列出方程组，即可求出的值；（2）由（1）可得，根y bx =,a b ()21x f x e x =--据对任意恒成立，等价于对任()()2135202f x x x k +--≥x R ∈215122x k e x x ≤+--意恒成立，构造，求出的单调性，由， x R ∈()215122x h x e x x =+--()h x '()00h '<， ， ，可得存在唯一的零点，使得()10h '>102h ⎛⎫< ⎪⎭'⎝304h ⎛⎫> ⎪⎭'⎝013,24x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，利用单调性可求出，即可求出的最大值.()00h x '=()()0min h x h x =k （1）， .()22x f x e x a b =-++()2xf x e x '=-由题意知. ()()01201{ { 011f a b a f b b =++==-⇒==='（2）由（1）知： ，()21x f x e x =--∴对任意恒成立()()2135202f x x x k +--≥x R ∈对任意恒成立2151022x e x x k ⇔+---≥x R ∈对任意恒成立. 215122x k e x x ⇔≤+--x R ∈令，则.()215122x h x e x x =+--()52x h x e x ='+-由于，所以在上单调递增. ()'10xh x e +'=>()h x 'R又， ， ， ()3002h =-<'()3102h e =->'121202h e ⎛⎫=-< ⎪'⎝⎭，343737104444h e ⎛⎫=->+-⎪'= ⎝⎭所以存在唯一的，使得，且当时， ， 013,24x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()00h x '=()0,x x ∈-∞()0h x '<时， . 即在单调递减，在上单调递增.()0,x x ∈+∞()0h x '>()h x ()0,x -∞()0,x +∞所以.()()02000min 15122x h x h x e x x ==+--又，即，∴.()00h x '=00502x e x +-=0052x e x =-∴.()()2200000051511732222h x x x x x x =-+--=-+∵，∴ . 013,24x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0271,328h x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭又因为对任意恒成立，215122x k e x x ≤+--x R ∈()0k h x ⇔≤又，∴ .k Z ∈max 1k =-点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.22．（1）；（2）22cos ρθ=【解析】试题分析：（I ）把cos 2φ+sin 2φ=1代入圆C 的参数方程为 1{ x cos y sin ϕϕ=+=（φ为参数），消去参数化为普通方程，再根据普通方程化极坐标方程的公式得到圆C 的极坐标方程．（II ）设P （ρ1，θ1），联立，解得ρ1，θ1；设Q （ρ2，θ2），2{ 3cos ρθπθ==联立，解得ρ2，θ2，可得|PQ|．()sin { 3ρθθπθ==解析：（1）圆的普通方程为，又， C ()2211x y -+=cos x ρθ=sin y ρθ=所以圆的极坐标方程为C 2cos ρθ=（2）设，则由解得， ()11,ρθP 2{ 3cos ρθπθ==11ρ=13πθ=设，则由解得， ()22Q ,ρθ()sin { 3ρθθπθ+==23ρ=23πθ=所以Q 2P =23．（1）；（2）3{|11}x x x <->或【解析】【分析】（1）通过讨论x 的范围，求出不等式的解集即可；（2）先用绝对值不等式的性质求出最小值为a +b +c ＝3，然后用基本不等式可得．【详解】（1），()111f x x x =-+++∴或或，1123x x ≤-⎧⎨->⎩1133x -<<⎧⎨>⎩1213x x ≥⎧⎨+>⎩解得.{|11}x x x 或-（2） ，f x x a x b c =-+++a x x b c a b c ≥-+++=++3a b c =++= ()11111113a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭133b a c a c b a b a c b c ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.()1322233≥+++=当且仅当时取得最小值3.1a b c ===【点睛】绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。

2020-2021学年甘肃省天水一中高一（上）第一次段考数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）1. 设集合A ={x|2≤x +1<5}，B ={x ∈N|x ≤2}，则A ∩B =( )A. {x|1≤x ≤2}B. {1,2}C. {0,1}D. {0,1，2}2. 下列各组函数中，f(x)与g(x)相等的是( )A. f(x)=x 3x ，g(x)=x 2(x−1)x−1B. f(x)=x −1，g(x)=x 2−1x+1C. f(x)=√x 2，g(x)=√x 33D. f(x)=x +1x ，g(x)=x 2+1x3. 已知函数f(x)=x 3+3x.若f(−a)=2，则f(a)的值为( )A. 2B. −2C. 1D. −14. 定义在R 上的偶函数f(x)，对任意的x 1，x 2∈(−∞,0)，都有(x 1−x 2)[f(x 1)−f(x 2)]<0，f(−1)=0，则不等式xf(x)<0的解集是( )A. (−1,1)B. (−∞,−1)∪(−,+∞)C. (−1,0)∪(1,+∞)D. (−∞,−1)∪(0,1)5. 函数f(x)=√1−x 2|x+3|−3的奇偶性是( )A. 奇函数B. 偶函数C. 既不是奇函数也不是偶函数D. 既是奇函数也是偶函数6. 甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程S 与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是( )A. 甲比乙先出发B. 乙比甲跑的路程多C. 甲、乙两人的速度相同D. 甲比乙先到达终点7. 已知二次函数f(x)=x 2+bx +c ，且f(x +2)是偶函数，若满足f(2−a)>f(4)，则实数a 的取值范围是( )A. (−2,2)B. (−∞,−2)∪(2,+∞)C. 由b 的范围决定D. 由b ，c 的范围共同决定8. 设函数f(x)={ax −6,x <a |x 2−x−2|,x≥a是定义在R 上的增函数，则实数a 的取值范围是( )A. [2,+∞)B. [0,3]C. [2,3]D. [2,4]9.函数f(x)=(x−2)(ax+b)为偶函数，且在(0,+∞)单调递增，则f(2−x)>0的解集为()A. {x|−2<x<2}B. {x|x>2，或x<−2}C. {x|0<x<4}D. {x|x>4，或x<0}10.设函数f(x)的定义域为R，满足f(x+1)=12f(x)，且当x∈(0,1]时，f(x)=x(x−1).若对任意x∈[m,+∞)，都有f(x)≥−89，则m的最小值是()A. −43B. −53C. −54D. −65二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）11.已知3a2+b=1，则a b√3a=______ ．12.某商人将彩电先按原价提高40%，然后在广告中写上“大酬宾，八折优惠”，结果是每台彩电比原价多赚了270元，则每台彩电原价是______ 元．13.若函数f(x)=(4−x)(x−2)在区间(2a,3a−1)上单调递增，则实数a的取值范围是______．14.已知函数f(x)在定义域(0,+∞)上是单调函数，若对任意x∈(0,+∞)，都有f[f(x)−1 x ]=2，则f(15)的值是______ ．三、解答题（本大题共4小题，共40.0分）15.f(x)=x2+(m−2)x−2m(m∈R)．(1)已知f(x)在[2,4]上是单调函数，求m的取值范围；(2)求f(x)<0的解集．16.已知函数f(x)=x+bx2+1是定义域(−1,1)上的奇函数．(1)确定f(x)的解析式；(2)用定义证明：f(x)在区间(−1,1)上是增函数；(3)解不等式f(t−1)+f(t)<0．17.养鱼场中鱼群的最大养殖量为mt，为保证鱼群的生长空间，实际养殖量不能达到最大养殖量，必须留出适当的空闲量．已知鱼群的年增长量yt和实际养殖量xt与空闲率的乘积成正比，比例系数为k(k>0).注：空闲率=养鱼场中鱼群的最大养殖量−实际养殖量．养鱼场中鱼群的最大养殖量(1)写出y关于x的函数关系式，并指出这个函数的定义域；(2)求鱼群年增长量的最大值；(3)当鱼群的年增长量达到最大值时，求k的取值范围．18.已知定义域为I=(−∞,0)∪(0,+∞)，的函数f(x)满足对任意x1，x2∈I都有f(x1x2)=x1f(x2)+x2f(x1).(1)求证：f(x)是奇函数；(2)设g(x)=f(x)，且当x>1时，g(x)<0，求不等式g(x−2)>g(x)的解．x答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵A={x|1≤x<4}，B={0,1，2}；∴A∩B={1,2}．故选：B．可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．考查描述法、列举法表示集合的定义，以及交集的运算．2.【答案】D【解析】解：对于A，f(x)=x3x =x2的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，g(x)=x2(x−1)x−1=x2的定义域为(−∞,1)∪(1,+∞)，两函数的定义域不同，不是相等函数；对于B，f(x)=x−1的定义域是R，g(x)=x2−1x+1=x−1的定义域(−∞,−1)∪(−1,+∞)，两个函数的定义域不同，不是相等函数；对于C，f(x)=√x2=|x|定义域是R，g(x)=√x33=x的定义域是R，两函数的对应关系不同，不是相等函数；对于D，f(x)=x+1x 的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，g(x)=x2+1x=x+1x定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，两函数的定义域相同，对应关系也相同，是相等函数．故选：D．根据两函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断它们是相等函数．本题主要考查了相等函数的判断问题，利用函数的定义域和对应法则相同判断即可．3.【答案】B【解析】解：∵f(x)是奇函数，且f(−a)=2；∴f(−a)=−f(a)=2；∴f(a)=−2．故选：B．容易看出f(x)是奇函数，从而根据f(−a)=2即可求出f(a)=−2．本题考查奇函数的定义及判断方法，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：若对任意的x 1，x 2∈(−∞,0)，都有(x 1−x 2)[f(x 1)−f(x 2)]<0， 则此时f(x)为减函数，∵f(x)是偶函数，∴当x >0时，f(x)是增函数，∵f(−1)=0，∴f(1)=0， 则f(x)的图象如图：则不等式xf(x)<0等价为{x <0f(x)>0或{x >0f(x)<0， 即x <−1或0<x <1，即不等式的解集为(−∞,−1)∪(0,1)， 故选：D ．根据条件判断函数f(x)的单调性，根据函数奇偶性和单调性作出函数的草图，利用分类讨论思想进行求解即可．本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，根据条件作出函数f(x)的图象是解决本题的关键，是基础题．5.【答案】A【解析】 【分析】先求出函数的定义域关于原点对称，可得f(x)=√1−x 2x ，再由f(−x)=√1−x 2−x =−f(x)，可得f(x)是奇函数．本题主要考查判断函数的奇偶性的方法，注意应先考查函数的定义域是否关于原点对称，再看f(−x)与f(x)的关系，从而根据函数的奇偶性的定义，做出判断．当函数的定义域不关于原点对称时，此函数一定是非奇非偶函数，属于基础题． 【解答】解：∵函数f(x)=√1−x 2|x+3|−3，∴{1−x 2 ≥ 0| x +3| ≠ 3，解得−1≤x ≤1，且x ≠0．故函数f(x)的定义域为[−1,0)∪(0,1]，关于原点对称， ∴f(x)=√1−x 2|x+3|−3=√1−x 2x+3−3=√1−x 2x．又f(−x)=√1−x 2−x=−f(x)，故f(x)是奇函数．故选：A ．6.【答案】D【解析】解：从图中直线的看出：K 甲>K 乙；S 甲=S 乙； 甲、乙同时出发，跑了相同的路程，甲先与乙到达． 故选：D ．根据图象法表示函数，观察甲，乙的出发时间相同；路程S 相同；到达时间不同，速度不同来判断即可．本题考查函数的表示方法，图象法．7.【答案】B【解析】解：根据题意，二次函数f(x)=x 2+bx +c ，是开口向上的二次函数， 若f(x +2)是偶函数，则函数f(x)的对称轴为x =2， 若f(2−a)>f(4)，则必有|2−a −2|>2，即|a|>2， 解可得：a <−2或a >2，即实数a 的取值范围为(−∞,−2)∪(2,+∞)； 故选：B ．根据题意，分析f(x)的对称轴，结合二次函数的性质可得|2−a −2|>2，即|a|>2，解可得a 的取值范围，即可得答案．本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及二次函数的性质，属于基础题．8.【答案】D【解析】【分析】本题考查了函数单调性的判断与性质，属于中档题．判断y =|x 2−x −2|的单调性，再根据f(x)的单调性列不等式组得出a 的范围． 【解答】解：令x 2−x −2=0可得x =−1或x =2， 又当x =12时，(12)2−12−2<0，∴y =|x 2−x −2|在[2,+∞)上单调递增， ∵f(x)={|x 2−x −2|,x ≥aax −6,x <a 是R 上的增函数，∴{a ≥2a 2−6≤a 2−a −2，解得2≤a ≤4．故选D ．9.【答案】D【解析】 【分析】本题主要考查不等式的求解，结合函数奇偶性和单调性的性质求出a ，b 的关系和符号是解决本题的关键．根据函数奇偶性和单调性的关系，判断a ，b 的关系和符号，进而解一元二次不等式即可． 【解答】解：f(x)=(x −2)(ax +b)=ax 2+(b −2a)x −2b ， ∵函数f(x)=(x −2)(ax +b)为偶函数，∴f(−x)=f(x)，即ax 2−(b −2a)x −2b =ax 2+(b −2a)x −2b ， 得−(b −2a)=(b −2a)，即b −2a =0，则b =2a ， 则f(x)=ax 2−4a ， ∵f(x)在(0,+∞)单调递增， ∴a >0，由f(2−x)>0得a(2−x)2−4a >0， 即(2−x)2−4>0，得x 2−4x >0，得x >4或x <0， 即不等式的解集为{x|x >4，或x <0}， 故选：D ．10.【答案】A【解析】【分析】本题考查了二次函数图象的平移，考查了数学结合，属于中档题．由f(x+1)=12f(x)得f(x)=2f(x+1)，画出图形利用数形结合求出结果即可，【解答】解：∵f(x+1)=12f(x)，∴f(x)=2f(x+1)当x∈(0,1]时，f(x)=x(x−1)∈[−14,0]，x∈(−1,0]时，x+1∈(0,1]，f(x)=2f(x+1)=2(x+1)x∈[−12,0]，x∈(−2,−1]时，x+1∈(−1,0]，f(x)=2f(x+1)=4(x+2)(x+1)∈[−1,0]，将函数大致图象在数值上画出，如图：x∈(−2,−1]时，令4(x+2)(x+1)=−89，解得：x1=−53，x2=−43，若对任意x∈[m,+∞)，都有f(x)≥−89，所以m≥−43，故选：A．11.【答案】3【解析】解：∵3a2+b=1，∴a b√3a =32a3b3a2=32a−a2⋅3b=33a2+b=31=3，故答案为：3．由题意，化简a b√3a=32a3b3a2=32a−a2⋅3b=33a2+b=31=3．本题考查了有理指数幂的化简与求值，属于基础题．12.【答案】2250【解析】【分析】本题考查函数模型的应用，关键在于找出题目中的等量关系，根据等量关系列出方程解答．设出每台彩电的原价，从而可得方程，即可求得结论．【解答】解：设每台彩电的原价是x元，则有：(1+40%)x·0.8−x=270，解得：x=2250，故答案为：2250．13.【答案】(1,43]【解析】解：f(x)=(4−x)(x−2)=−x2+6x−8，其单调递增区间为(−∞,3]，根据题意得(2a,3a−1)⊆(−∞,3]，∴3a−1≤3且2a<3a−1，解得：1<a≤43．故答案为：(1,43].f(x)=(4−x)(x−2)=−x2+6x−8，其单调递增区间为(−∞,3]，由(2a,3a−1)⊆(−∞,3]可解决此题．本题考查二次函数图象及性质，考查数学运算能力，属于基础题．14.【答案】6【解析】【解答】解：∵函数f(x)在定义域(0,+∞)上是单调函数，且f(f(x)−1x)=2，∴f(x)−1x 为一个常数，令这个常数为n，则有f(x)=n+1x，且f(n)=2．再令x=n可得n+1n =2，解得n=1，因此f(x)=1+1x，所以f(15)=6．故答案为：6．由函数f(x)在定义域(0,+∞)上是单调函数，且f(f(x)−1x )=2，知f(x)−1x为一个常数，令这个常数为n，则有f(x)−1x =n，f(n)=2，所以n+1n=2，解得n=1，由此能求出f(15)=6．【分析】本题考查利用函数的单调性求函数值，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化，属于中档题．15.【答案】(1)函数f(x)=x2+(m−2)x−2m(m∈R)的对称轴为：x=2−m2，因在f(x)在[2,4]上是单调函数，所以有或2−m2≤2或2−m2≥4，解得m≤6或m≥−2；(2)方程x2+(m−2)x−2m=0的两个根为：2，−m．当m=−2时，不等式f(x)<0的解集为空集，当m>−2时，不等式f(x)<0的解集为：(−m,2)，当m<−2时，不等式f(x)<0的解集为：(2,−m)．【解析】(1)结合函数f(x)图象可解决此问题；(2)由方程x2+(m−2)x−2m=0的两个根为：2，−m，再对m进行讨论可解决此问题．本题考查二次函数图象及性质、一元二次不等式解法，考查数学运算能力，属于中档题．16.【答案】解：(1)根据题意，函数f(x)=x+bx 2+1是定义域(−1,1)上的奇函数，则有f(0)=b1=0，则b =0；此时f(x)=xx 2+1，为奇函数，符合题意， 故f(x)=xx 2+1．(2)证明：设−1<x 1<x 2<1， f(x 1)−f(x 2)=x 1x 12+1−x 2x 22+1=x 1(1+x 22)−x 2(1+x 12)(1+x 12)(1+x 22)=(x 1−x 2)(1−x 1x 2)(1+x 12)(1+x 22)，又由−1<x 1<x 2<1，则x 1−x 2<0，1−x 1x 2>0， 则有f(x 1)−f(x 2)<0，即函数f(x)在(−1,1)上为增函数；(3)根据题意，f(t −1)+f(t)<0⇒f(t −1)<−f(t)⇒f(t −1)<f(−t)⇒{−1<t −1<1−1<−t <1t −1<−t， 解可得：0<t <12，即不等式的解集为(0,12).【解析】本题考查函数的奇偶性和单调性的综合应用，涉及函数解析式的计算及不等式求解，属于中档题．(1)根据题意，由奇函数的性质可得f(0)=b1=0，解可得b 的值，验证即可得答案； (2)根据题意，设−1<x 1<x 2<1，由作差法分析可得结论；(3)根据题意，由函数的奇偶性与单调性分析可得原不等式等价于{−1<t −1<1−1<−t <1t −1<−t ，解可得t 的取值范围，即可得答案．17.【答案】(1)由题意得，空闲率为m−x m，由于鱼群的年增长量y 和实际养殖量xt 与空闲率的乘积成正比，比例系数为k(k >0)， 所以y =kx ⋅m−x m=kx(1−xm)(0≤x <m)；(2)由(1)可得，y =−km x 2+kx =−km (x −m2)2+km 4，所以当x =m2时，y 取得最大值km 4，即鱼群年增长量的最大值为km 4t ；(3)由题意可得，0≤x +y <m ，即0≤m 2+km 4<m ，所以−2≤k <2，又因为k >0，则0<k <2， 故k 的取值范围是(0,2)．【解析】(1)先求出空闲率，然后利用题意，列出函数关系式即可； (2)利用二次函数的性质求解最值即可； (3)由题意，0≤x +y <m ，即0≤m 2+km 4<m ，求解k 的范围即可．本题考查了函数模型的选择与应用，函数解析式的求解，二次函数性质的应用，不等式的求解，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．18.【答案】(1)证明：令x 1=x 2=1，得f(1)=0，令x 1=x 2=−1，得f(−1)=−12f(1)=0，令x 1=x ，x 2=−1，得f(−x)=−f(x)+xf(−1)=−f(x)， 所以f(x)是奇函数．(2)解：因为f(x 1x 2)=x 1f(x 2)+x 2f(x 1)， 所以f(x 1x 2)x 1x 2=f(x 1)x 1+f(x 2)x 2，则g(x 1x 2)=g(x 1)+g(x 2)，设x 1>x 2>0，则x 1x 2>1，所以g(x1x 2)<0， 因为g(x 1)=g(x 2⋅x 1x 2)=g(x 2)+g(x1x 2)<g(x 2)，所以g(x)在(0,+∞)上是减函数， 因为g(x)是偶函数， 所以g(|x −2|)>g(|x|)，则{x −2≠0x ≠0|x −2|<|x|，解得1<x <2或x >2， 所以不等式g(x −2)>g(x)的解集为{x|1<x <2或x >2}．【解析】(1)利用赋值法，先求出f(1)和f(−1)的值，再证明f(−x)=−f(x)即可； (2)利用赋值法以及函数单调性的定义，证明函数g(x)的单调性，然后利用偶函数以及函数的单调性转化不等式，求解即可．本题考查了抽象函数的理解与应用，函数奇偶性定义以及性质的运用，函数单调性的证明，对于抽象函数问题，赋值法是常用的解题方法，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于中档题．。

天水一中高一级2019-2020学年度第一学期第一学段考试数学试题(满分100分时间90分钟)一、选择题(共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知集合则等于（）A．{1,6} B．{4,5} C．{2,3,4,5,7} D．{1,2,3,6,7}2.已知集合,若，则的值（）A. B．或C．D．0或或3.下面各组函数中为相同函数的是（）B．,A. ,C.,D. ,4.已知函数，则为()A．是奇函数，且在R上是增函数B．是偶函数，且在R上是增函数C．是奇函数，且在R上是减函数D．是偶函数，且在R上是减函数5.若函数(＞0，且)的图象经过第一、三、四象限，则一定有() A．a＞1，且b＜1 B．0＜a＜1，且b＜0C．0＜a＜1，且b＞0 D．a＞1，且b＜06.函数的值域是()A. [0,+) B．(-]C. [) D．[1,+7.函数图象大致形状是（）A．B．C.D.8．设函数若是奇函数，则的值是()A．B．－4C. D．49．已知函数的定义域为(－1，0)，则函数的定义域为()A．(－1，1) B.C．(－1，0) D . ()10.定义在R上的函数满足，当时，，则函数上有（）A．最小值B．最大值C．最大值D．最小值二、填空题（共4小题，每小题4分，共16分）11.计算，所得结果为____________12.函数在区间(－∞，4)上为减函数，则的取值范围为 .13.已知函数，则单调递增区间是________．14.国家规定个人稿费的纳税办法是：不超过800元的不纳税；超过800而不超过4000 元的按超过800元的14%纳税；超过4000元的按全部稿酬的11%纳税。

某人出版了一本书，共纳税420元，则这个人的稿费为.三、解答题（共4小题，44分，请在答题卡上写清必要的解题过程）15.（本题满分10分）已知集合，,.（1）当时，求;（2）若，求的取值范围.16．(本题满分10分)已知函数．(1)若，试证明在区间()上单调递增；(2)若，且在区间(1,)上单调递减，求的取值范围．17.(本题满分12分)（1）已知是奇函数，求常数的值；（2）画出函数的图象，并利用图象回答：为何值时，方程有两解？18．(本题满分12分)已知二次函数的图象过点(0,4)，对任意满足，且有最小值为(1)求的解析式；(2)求函数在区间[0,1]上的最小值，其中；(3)在区间[－1,3]上，的图象恒在函数的图象上方，试确定实数的范围．天水一中高一级2019-2020级学年度第一学期第一学段考试数学试题答案一、选择题(共10小题，每小题4分，共40分．)1-5 DDCAD 6-10 CBADD二、填空题（共4小题，每小题4分，共16分）11. 12. 0≤a ≤5113. (－∞，1] 14、380015．（共10分）（1）1{|1}2A B x x ⋂=-<< （2）3(,][2,)4-∞-⋃+∞（1）因为0a =，所以{|21}B x x =-<<，因为1{|4}2A x x =-<≤， 所以1{|1}2A B x x ⋂=-<<. （2）当B =∅时，3221a a -≥+，即3a ≥，符合题意；当B ≠∅时，32211212a a a -<+⎧⎪⎨+≤-⎪⎩或3221324a a a -<+⎧⎨-≥⎩， 解得34a ≤-或23a ≤<. 综上，a 的取值范围为][3,2,4⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭16.（共10分）(1)证明：任取x 1<x 2<－2,则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2（x 1－x 2）（x 1＋2）（x 2＋2）.因为(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0，所以f (x 1)<f (x 2)．故函数f (x )在区间(－∞，－2)上单调递增．(2)解：任取1<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝2（x 1－x 2）（x 1－a ）（x 2－a ）.因为a >0，x 1－x 2<0，所以要使f (x 1)－f (x 2)>0，只需(x 1－a )(x 2－a )>0恒成立， 所以a ≤1.故a 的取值范围是(0，1]．17.（共12分）（1）函数定义域是又函数是奇函数，，即,解得：m=1（2）函数图像如图： 方程根的个数即为函数与函数y=k 交点的个数， 当0<k<1时,直线y=k 与函数的图象有两个不同交点，所以方程有两解. 综上所述：0<k<1方程有两解18．（共12分）解：(1)由题知二次函数图象的对称轴为x ＝32，又最小值是74，则可设)0(47)23()(2≠+-=a x a x f ，又图象过点(0,4)， 解得a ＝1.47)23()(2+-=x x f ＝x 2－3x ＋4.(2)h (x )＝f (x )－(2t －3)x ＝x 2－2tx ＋4＝(x －t )2＋4－t 2，其对称轴x ＝t .①t ≤0时，函数h (x )在[0,1]上单调递增，最小值为h (0)＝4； ②当0<t <1时，函数h (x )的最小值为h (t )＝4－t 2；③当t ≥1时，函数h (x )在0,1]上单调递减，最小值为h (1)＝5－2t ，所以h (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧4，t ≤0，4－t 2，0<t <1，5－2t ，t ≥1.(3)由已知：f (x )>2x ＋m 对x ∈－1,3]恒成立，∴m <x 2－5x ＋4对x ∈－1,3]恒成立． ∴m <(x 2－5x ＋4)min (x ∈－1,3])．∵g (x )＝x 2－5x ＋4在x ∈－1,3]上的最小值为－94，∴m <－94.。

甘肃省天水市一中【最新】高一上学期暑假开学考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列各式能用完全平方公式进行分解因式的是（ ）A ．x 2+1B ．x 2+2x ﹣1C ．x 2+x+1D ．x 2+4x+4 2．下列二次根式中的最简二次根式是（ ）A B C ．2x D 3．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于A ，B 两点，则图中使反比例函数的值小于一次函数的值的x 的取值范围是（ ）A ．1x <-B ．1x <-或02x <<C ．2x >D ．10x -<<或2x > 4．下列各式正确的是()AB ．a 0=1C 4D =-5 5．关于x 的分式方程15m x =-，下列说法正确的是（ ） A ．5m <-时，方程的解为负数 B ．方程的解是5x m =+C ．5m >-时，方程的解是正数D ．无法确定 6．不等式2x x >的解集是（ ）A ．(0)-∞，B ．(01)，C ．(1)+∞，D ．(0)(1)-∞⋃+∞，， 7．多项式22215x xy y --的一个因式为（ ）A ．25x y -B ．3x y -C ．3x y +D ．5x y - 8．已知不等式240x ax ++<的解集为空集，则a 的取值范围是（ ）A ．44a -≤≤B ．44a -<<C ．4a ≤-或4a ≥D ．4a 或4a > 9．如图，若一次函数y ax b =+的图象经过二、三、四象限，则二次函数2y ax bx =+的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．10．若实数a b ，且a ，b 满足2850a a -+=，2850b b -+=，则代数式1111b a a b --+--的值为A ．20-B ．2C ．2或20-D ．2或20二、填空题11．函数1y x=与y x =的图象在同一平面直角坐标系内的交点的个数是________. 12．分解因式：224ax ay -=________.13有意义，x 的取值范围是________. 14．已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则下列6个代数式：ab 、ac 、a b c ++、a b c -+、2a b +、2a b -中，其值为正的式子的个数是________.三、解答题15．把下列各式分解因式（1）42718x x --（2）432234m n m n m n mn +--16．已知一元二次函数22y x mx m =-+-.（1）试判断该函数的图象与x 轴有没有交点，有几个交点？（2）若该函数的图象与x 轴有两个交点()1,0x ，()2,0x ，试用m 表示2212x x +并求出它的最小值.17．不等式2260kx x k -+<（1）若不等式的解集为{}32x x x <->-或，求k 的值；（2）若不等式的解集为R ，求k 的取值范围．18．如图，对称轴为直线72x =的抛物线经过点()6,0A 和()0,4B .（1）求抛物线解析式及顶点坐标；（2）设点(),E x y 是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF 是以OA 为对角线的平行四边形，求四边形OEAF 的面积S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；参考答案1．D【解析】试题分析：因为2244(2)(2)(2)x x x x x ++=+=++所以选D考点：公式法分解因式2．A【解析】【分析】根据最简二次根式的定义，判断即可.【详解】.故选：A【点睛】本题考查初高中知识衔接的根式问题，属于较易题.3．B【分析】根据图象可知，在同一坐标系内，图象在上方的函数值大于图象在下方的函数值，直接判断x 的取值范围，即可.【详解】由图可知，使反比例函数的值小于一次函数的值的x 的取值范围是1x <-或02x <<. 故选：B【点睛】本题考查利用函数的图象比较大小，属于较易题.4．D【解析】,,a n a n ⎧=⎨⎩为偶数为奇数 ，则选项A 、C 排除，D 正确，B 需要加条件0a ≠，本题选D.5．A【分析】分类讨论，0m =与0m ≠，解方程即可.【详解】当0m =时，方程无解.当0m ≠时，方程的解为：5x m =+5m >-且0m ≠时，方程的解是正数；5m <-时，方程的解为负数.故选：A【点睛】本题考查解方程，分类讨论思想，属于较易题.6．D【解析】试题分析：由2x x >，得20,(1)0x x x x ->∴->，0x ∴<或1x >.所以选D.考点：二次不等式的解法.7．B【分析】将多项式因式分解，由此确定正确选项.【详解】依题意()()22215325x xy y x y x y --=-+，所以多项式的因式为3x y -，25x y +. 故选：B【点睛】本小题主要考查多项式因式分解，属于基础题.8．A【分析】不等式240x ax ++<的解集为空集，等价于方程240x ax ++=最多一个实数根，即0∆≤，解不等式，即可.【详解】由题意可知，2440a ∆=-⨯≤，解得44a -≤≤.故选：A【点睛】本题考解一元二次不等式，属于中档题.9．C【分析】由题意可知，0a <，0b <，从而确定二次函数的图形，即可.【详解】因为一次函数y ax b =+的图象经过二、三、四象限.所以0a <，0b <.则二次函数2y ax bx =+，开口向下，对称轴02b x a=-<. 即二次函数2y ax bx =+的图象可能是C 选项.故选：C【点睛】本题考查一次函数与二次函数的图象，属于中档题.10．A【详解】 ,a b 满足22850,850a a b b -+=-+=，,a b ∴可看着方程2850x x -+=的两根，8,5a b ab ∴+==，()()()()2211111111b a b a a b a b -+---+=----()()()22222825282201581a b ab a b ab a b +--++-⨯-⨯+===--++-+，故选A. 【方法点睛】本题主要考查韦达定理的应用以及数学的转化与划归思想.属于难题.转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中.本题表面是求出,a b 的值，再代入求值，其实需要转化为利用韦达定理整体代入求解. 11．2【分析】 由题意可知，将1y x=与y x =列方程组，解方程组，即可. 【详解】 由题意可知，1y x y x⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩或11x y =-⎧⎨=-⎩. 即方程组两组解，函数有2个交点.故答案为：2【点睛】本题考查求函数的交点，属于较易题.12．()()22a x y x y +-【分析】先提公因式a ，再利用平方差公式，求解即可.【详解】()()()22224222ax ay a x y a x y x y ⎡⎤-=-=+-⎣⎦故答案为：()()22a x y x y +-【点睛】本题考查因式分解，属于较易题.13．1x ≥-且0x ≠【分析】若使分式有意义，则需分母不为0，若使得开偶次方的根式有意义，则需被开方式大于或等于0，列不等式组，求解，即可.【详解】若使式子x有意义则需010x x ≠⎧⎨+≥⎩，解得1x ≥-且0x ≠ 故答案为：1x ≥-且0x ≠【点睛】本题考查解不等式，属于较易题.14．3【分析】根据二次函数的图象，确定0a <，012b a <-<，>0∆，再令1x =与1x =-，确定y 的正负，从而判断各式子的正负，即可.【详解】由二次函数2y ax bx c =++的图象可知：二次函数2y ax bx c =++开口向下，0a <，对称轴2b x a =-且012b a<-<. 则0b >，2b a <-，即0ab <，20a b +>，20a b -<.二次函数2y ax bx c =++与x 轴有两个交点，240b ac ∆=->. 不妨设两个交点横坐标分别为：1x ，2x ，则1>0x ，20x > 即120b x x a +=->，120c x x a=>，所以0ac >. 由图象可知，1x =时，0y >；1x =-时，0y <令1x =，则0y a b c =++>令1x =-，则0y a b c =-+<综上所述：ac ，2a b +，a b c ++这3个代数式的值为正.故答案为：3【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，属于中档题.15．（1）2(3)(3)(2)x x x +-+；（2）2()()mn m n m n +-【详解】解：（1）42222718(9)(2)(3)(3)(2)x x x x x x x --=-+=+-+（2） 4322343223322322222()[()()][()()]()()()()m n m n m n mn mn m m n mn n mn m m n mn n mn m m n n m n mn m n m n mn m n m n +--=+--=+-+=+-+=+-=+-16．（1）有，有2个不同的交点（2）()2221213x x m +=-+，最小值为3 【分析】（1）根据判别式()242m m ∆=--的正负，判断即可. （2）根据韦达定理，可知12x x m +=，122x x m =-，代入()2221212122x x x x x x +=+-，等价变形为关于m 的二次函数，利用配方法求最值，即可.【详解】解：（1）()()2242240m m m ∆=--=-+> 所以该函数的图象与x 轴有2个不同的交点.（2）由韦达定理12x x m +=，122x x m =-，所以()()()22222121212222133x x x x x x m m m +=+-=--=-+≥即2212x x +的最小值为3. 【点睛】本题考查一元二次函数的图象与性质，属于中档题.17．（1）25k =-；（2）k < 【解析】分析：（1）由一元二次不等式的解集和其对应一元二次方程的根的关系可得. （2）由二次函数的图像可知，不等式的解集为R 当且仅当二次项系数小于0，判别式小于0.详解：(1)不等式的解集是或方程的两个根为-3,-2,(2):①k=0时，显然不满足题意②0k ≠时，解得，综上：点睛：本题考查了一元二次不等式的解法，已知不等式的解集求参数的值或参数的取值范围，解题时注意讨论0k =，熟练掌握一元二次不等式的解法是解题的关键．18．（1）解析式为22725326y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，此时顶点坐标为725,26⎛⎫- ⎪⎝⎭（2）274252S x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，其中16x << 【分析】 （1）根据题意，设抛物线的解析式为272y a x k ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，将点()6,0A 和()0,4B 代入，列方程组，求解即可.（2）过点E 作EH OA ⊥，垂足为H ，由题意可知，OAE AOF ∆≅∆，即1222OAE S S OA EH OA EH ∆==⨯⋅=⋅，求解即可. 【详解】解：（1）由题可设抛物线的解析式为272y a x k ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 抛物线经过点()6,0A 和()0,4B2276027042a k a k ⎧⎛⎫-+=⎪ ⎪⎪⎝⎭∴⎨⎛⎫⎪-+= ⎪⎪⎝⎭⎩，解得：23256a k ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩. ∴抛物线的解析式为22725326y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，此时顶点坐标为725,26⎛⎫- ⎪⎝⎭. （2）过点E 作EH OA ⊥，垂足为H ，如图. 由227250326x ⎛⎫--= ⎪⎝⎭得11x =，26x =. 点(),E x y 是抛物线上位于第四象限一动点， 16x ∴<<，2506y -≤<. 四边形OEAF 是平行四边形，OAE AOF ∴∆≅∆.12262OAE S S OA EH OA EH y ∆∴==⨯⋅=⋅=⨯ 6y =-227256326x ⎡⎤⎛⎫=-⨯--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦274252x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭. ∴四边形OEAF 的面积S 与x 之间的函数关系式为274252S x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，其中16x <<.【点睛】本题考查求二次函数的解析式，待定系数法，属于中档题.。